ΑΡΙΘΜΟΙ FIBONACCI ΚΑΙ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΑΛΥΣΙΔΕΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΔΙΑΔΟΧΙΚΩΝ ΕΠΙΤΥΧΙΩΝ Ή ΑΠΟΤΥΧΙΩΝ

Transcript

1 ΑΡΙΘΜΟΙ FIBONACCI ΚΑΙ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΑΛΥΣΙΔΕΣ ΣΕ ΡΟΕΣ ΔΙΑΔΟΧΙΚΩΝ ΕΠΙΤΥΧΙΩΝ Ή ΑΠΟΤΥΧΙΩΝ Μωυσιάδης Θεόδωρος, Μωυσιάδης Πολυχρόνης Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής, Παν. Κύπρου Τμήμα Μαθηματικών, ΣΘΕ - ΑΠΘ cmoi@math.auth.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το πρόβλημα της εμφάνισης διαδοχικών επιτυχιών ή αποτυχιών σε επαναλαμβανόμενες ρίψεις ενός νομίσματος ή ισοδύναμα της εμφάνισης σειράς διαδοχικών επιτυχιών ή αποτυχιών ενός παίκτη στις επαναλαμβανόμενες επιλογές τυχερών συνδυασμών με σταθερή πιθανότητα, προσεγγίζεται με χρήση απλών και γενικευμένων αριθμών Fiboacci και με μαρκοβιανές α- λυσίδες, με στόχο τον ευκολότερο υπολογισμό των σχετικών πιθανοτήτων και την κατανόηση της πιθανότητας επιτυχίας στα τυχερά παιχνίδια.. ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝΟΜΕΝΕΣ ΡΙΨΕΙΣ ΝΟΜΙΣΜΑΤΟΣ Ας θεωρήσουμε το εξής απλό πρόβλημα: Ρίχνουμε ένα κανονικό νόμισμα έως ότου να εμφανιστούν δύο διαδοχικές κορώνες. Ποια η πιθανότητα να εμφανιστούν για πρώτη φορά δύο κορώνες στην -στή ρίψη ( ); Για την απάντηση αρκεί να παρατηρήσουμε ότι οι δύο τελευταίες από τις ρίψεις θα είναι προφανώς Κορώνες (Κ) και στις υπόλοιπες m, η τελευταία θα είναι υποχρεωτικά Γράμματα (Γ). Επιπλέον, θα ισχύει ότι στις πρώτες m δοκιμές δεν εμφανίστηκαν δύο διαδοχικές Κ. Μία συνδυαστική εύρεση του πλήθους αυτών των διαφορετικών περιπτώσεων είναι η ακόλουθη: Ας θέσουμε m το πλήθος των τοποθετήσεων m συμβόλων Κ, Γ ώστε να μην είναι ούτε δύο Κ σε γειτονικές θέσεις με το τελευταίο να είναι Γ. Έχουμε δύο διακεκριμένες δυνατότητες:. Το τελευταίο σύμβολο είναι Γ και το προτελευταίο είναι επίσης Γ, ενώ στις υπόλοιπες θέσεις δεν υπάρχουν δύο διαδοχικά Κ,. Το τελευταίο σύμβολο είναι Γ, το προτελευταίο είναι Κ, άρα το αμέσως προηγούμενο θα είναι υποχρεωτικά Γ και στις υπόλοιπες θέσεις δεν υπάρχουν δύο διαδοχικά Κ. Το πλήθος των τρόπων για την περίπτωση είναι εξ ορισμού m ενώ για την περίπτωση είναι m. Θα ισχύει επομένως m m m, για κάθε m. Υπολογίζοντας και τις αρχικές τιμές και, διαπιστώνουμε ότι πρόκειται για την ακολουθία των αριθμών Fiboacci. Δηλαδή F, m 0,,, m m

2 Αν συμβολίσουμε X την τ.μ. που παίρνει την τιμή όταν εμφανίζονται για πρώτη φορά οι δύο Κορώνες στην -στη ρίψη, θα είναι: F (),,3,4,... P X p () λαμβάνοντας υπόψη ότι συνολικά έχουμε ανεξάρτητες ρίψεις και καθένα από τα σύμβολα Κ ή Γ εμφανίζεται με πιθανότητα (βλ. Charalambide 00, σελ. 0). Είναι φανερό ότι για την τ.μ. X, θα πρέπει να ισχύει: P() X p F () Η () μπορεί να αποδειχθεί εύκολα είτε απευθείας είτε με τη χρήση της γεννήτριας των αριθμών Fiboacci F() t F t 0 που βρίσκεται με πολλαπλασιασμό της αναδρομικής σχέσης F F F με t και άθροιση από έως άπειρο. Η γεννήτρια είναι (βλ. Μωυσιάδης 00, σελ 4): F() t t t. Το αριστερό μέλος της ( ) γράφεται F() που ισούται με, άρα η () ισχύει. 4 Οι αριθμοί Fiboacci εμφανίζονται παντού στη φύση, από τη διάταξη των φύλλων στα φυτά μέχρι το μοτίβο των πετάλων στα λουλούδια, τις πευκοβελόνες, το πλήθος των αριστερόστροφων ή δεξιόστροφων σπειρών στον ηλιόσπορο, στο κουνουπίδι ή τα στρώματα του φλοιού ενός ανανά. Φαίνεται πώς οι αριθμοί Fiboacci σχετίζονται με την ανάπτυξη κάθε ζωντανού οργανισμού, ενός κυττάρου, ενός σπυριού σταριού, μιας κυψέλης μελισσών, κτλ. Ξεκινώντας από δύο -δες και αθροίζοντας στη συνέχεια τους δύο προηγούμενους σχηματίζεται η ακολουθία αυτών των αριθμών, που οι πρώτοι όροι της είναι:,,, 3, 5, 8,3,, 34, 55, 89,44, 33, 377, 60, 987,597, 584, Ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας τείνει στον αριθμό που είναι γνωστός ως Χρυσή Τομή, ή Χρυσή αναλογία, ή Χρυσός Αριθμός. Ένα ορθογώνιο τετράπλευρο του οποίου ο λόγος των πλευρών είναι ίσος με ονομάζεται Χρυσό Ορθογώνιο. Μερικά παραδείγματα εμφάνισης των αριθμών Fiboacci στη φύση, φαίνονται στην Εικόνα. Με το πρόβλημα αυτό, των επαναλαμβανόμενων ρίψεων, ασχολήθηκαν πάρα πολλοί ερευνητές, όπως οι: Α. Φιλίππου, Δ. Αντζουλάκος, Μ. Κούτρας, Χ. Χαραλαμπίδης, Φ. Μακρή και άλλοι. Θα αναφερθούμε στην προσέγγιση του Harold D. Shae του 973. Ο Shae θεώρησε μια Μαρκοβιανή αλυσίδα η οποία ξεκινά με μία μάρκα στη θέση 0. Σε κάθε λεπτό από εκεί και μετά ρίχνεται ένα νόμισμα. Αν έρθει Κορώνα η μάρκα μετακινείται στην επόμενη θέση, ενώ αν έρθει Γράμματα επιστρέφει στη θέση 0. Έστω X ο αριθμός των ρίψεων (ή o χρόνος σε λεπτά) που απαιτού- - -

3 Εικόνα νται για να φθάσει η μάρκα για πρώτη φορά στη θέση. Αν τότε έχουμε το αρχικό πρόβλημα και η τ.μ. X ονομάστηκε Fiboacci Probability Fuctio. Ο Shae θεώρησε κανονικό το νόμισμα και παρατήρησε ότι για περίπτωση, έχουμε απλή γεωμετρική κατανομή με πιθανότητα. Αν θεωρήσουμε το νόμισμα να είναι μη-κανονικό με πιθανότητα εμφάνισης Κορώνας ίση με p, τότε η X θα ακολουθεί τη γεωμετρική κατανομή με παράμετρο p, δηλαδή X ~() Geom p. Επομένως η γεωμετρική κατανομή μπορεί να θεωρηθεί ως μαρκοβιανή αλυσίδα με δύο καταστάσεις 0 και και με πίνακα μετάβασης: P 0 p p. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι: ()()() p p p p p p 0 P 0 και όριο lim P x Η μορφή του P μας δίνει τη θέση που θα βρίσκεται η μάρκα μετά από ρίψεις. Για παράδειγμα αν η μάρκα ήταν αρχικά στη θέση 0 τότε σε βήματα θα βρεθεί στη θέση αν σε οποιοδήποτε από τα αυτά βήματα βρεθεί στη θέση (οπότε και θα παραμείνει εκεί). Έτσι στη θέση (,) του πίνακα P αθροίζουν οι πιθανότητες να βρεθεί η μάρκα στη θέση από το πρώτο μέχρι το -στο βήμα. Θα είναι επομένως: (,)()() k P P X k F που είναι προφανώς η συνάρτηση κατανομής της τ.μ. X. Το όριο δείχνει ότι τελικά από όποια θέση και αν ξεκινήσουμε θα βρεθούμε στη θέση, κάτι που προφανώς αναμένεται. Για την περίπτωση, η μαρκοβιανή αλυσίδα που θεώρησε ο Shae δίνεται σχηματικά στην εικόνα και διαπιστώνουμε ότι πρόκειται για το αρχικό πρόβλημα, Εικόνα X

4 διότι όταν φθάνουμε για πρώτη φορά στο σημαίνει ότι εμφανίστηκαν για πρώτη φορά δύο Κορώνες. Ο Shae βρήκε την κατανομή της τ.μ. X, θεωρώντας πάλι το νόμισμα ως κανονικό υπολογίζοντας αρχικά τις πιθανότητες P( X )() P HH, P( X 3)() P THH 3 όπου H, T συμβολίζουν Head και Tail αντίστοιχα, και μετά τις πιθανότητες: A, k P( X k 3)( P k δοκιμές χωρίς ροή δύο κεφαλών)() P THH, k 3 όπου η ακολουθία A,k είναι, όπως απέδειξε, η ακολουθία των αριθμών Fiboacci. Επομένως κατέληξε στη σχέση () που αποδείξαμε πιο πάνω. Για την κατανομή αυτή βρήκε επίσης τη συνάρτηση κατανομής της που είναι: F[ x] G ()() x P X x αν x 0 και 0 αλλιώς (3) [ x] όπου [ x] είναι το ακέραιο μέρος του x. Για την απόδειξη χρειάστηκε κάποιες ιδιότητες των αριθμών Fiboacci, τις οποίες απέδειξε ως λήμματα. Στη συνέχεια βρήκε και τη ροπογεννήτρια της τ.μ. που είναι: X t M ()() x E t 4 t t. Αν μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε τις πιθανότητες P() X, δηλαδή τις πιθανότητες να εμφανιστεί για πρώτη φορά ροή δύο Κορωνών στην -στή δοκιμή ( ), μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα πρόγραμμα σε υπολογιστή και να τις βρούμε. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η εύρεσή τους με το Excel, που έχει το πλεονέκτημα να είναι διαθέσιμο σε μεγάλη μερίδα του πληθυσμού. Στις τρεις πρώτες γραμμές και στις τέσσερις πρώτες στήλες τοποθετούμε τους αριθμούς και τις πράξεις, όπως φαίνεται στην Εικόνα 3. Κατόπιν, επιλέγουμε τα A3,B3,C3,D3, τα αντιγράφουμε (Ctrl+C), επιλέγουμε στη συνέχεια την περιοχή A4 έως π.χ. D00, και κάνουμε επικόλληση (Ctrl+V). Τότε η στήλη Α θα έχει τους φυσικούς αριθμούς (δείκτες), η στήλη Β τους αριθμούς Fiboacci, και οι στήλες C και D θα έχουν τη συνάρτηση πιθανότητας και τη συνάρτηση κατανομής της τ.μ. X, αντίστοιχα. Δεξιά στην εικόνα 3 φαίνεται ένα τμήμα του πίνακα που προκύπτει. Για παράδειγμα ισχύει f (6)( P X6) και F(6)( P X6) Εικόνα 3-4 -

5 Η κατανομή της X βρέθηκε με την προϋπόθεση ότι το νόμισμα είναι κανονικό, δηλαδή ότι η πιθανότητα Επιτυχίας-Κορώνας είναι /. Αν, όμως, το νόμισμα δεν είναι κανονικό η παραπάνω μέθοδος δεν λειτουργεί. Για παράδειγμα, αν κάποιος ποντάρει στο Κόκκινο σε Αμερικάνικου τύπου ρουλέτα (Εικόνα 4), τότε έχει πιθανότητα 8 p να κερδίσει και p να 38 χάσει. Εικόνα 4 Πράγματι, αν π.χ. πετύχαμε τις δύο επιτυχίες στις δοκιμές 4 και 5 για πρώτη φορά, τότε οι ευνοϊκές περιπτώσεις είναι 3 F3 και 3 3 συγκεκριμένα οι ΚΓΓΚΚ, ΓΚΓΚΚ, ΓΓΓΚΚ με πιθανότητα ()() p p p p, ενώ η πιθανότητα να βρεθεί η μάρκα στη θέση σε 5 το πολύ βήματα είναι: 3 p (4 3)(5) p p p FX, όπως προκύπτει με απ ευθείας πράξεις και όπου F () X k η σ.κ. της τ.μ. X. Ας θεωρήσουμε τώρα τη μαρκοβιανή αλυσίδα, που ορίζει την τ.μ. X. Έχουμε τρεις καταστάσεις αφού η μάρκα βρίσκεται στη θέση 0, στη θέση και στη θέση, ενώ η τελευταία είναι κατάσταση απορρόφησης (Εικόνα ). Ο πίνακας μετάβασης P p p 0 αυτής της αλυσίδας είναι: P p 0 p. Οι δυνάμεις του πίνακα αυτού δεν 0 0 είναι εύκολο να γραφούν στη γενική μορφή, μπορούν όμως να υπολογιστούν με διάφορα μαθηματικά πακέτα. Π.χ. με το πακέτο Mathematica βρίσκουμε ότι: 3 3 ()( p )()()(4 p 3) p p p p p p p p P ()()()()( p p 3p 5 p ) p p p p p p 0 0 και παρατηρούμε ότι στη θέση (,3) είναι η τιμή F (5) X. Αν μας ενδιαφέρουν οι προσεγγιστικές τιμές, τότε χρησιμοποιώντας την R βρίσκουμε τους πίνακες π.χ. P, για p 0.5 και για p 8 / 38, ότι είναι ίσοι με: P , P Είναι φανερό και μπορεί εύκολα να επαληθευτεί εμπειρικά ότι για οποιαδήποτε 0 0 τιμή του p ισχύει lim P

6 . ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΓΙΑ ΡΟΕΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΥ ΜΗΚΟΥΣ Ας θεωρήσουμε την περίπτωση με 3, δηλ. την τ.μ. X 3 αυτήν που μας δίνει την πιθανότητα να απαιτηθούν ρίψεις ( 3 ) για να βρεθεί η μάρκα στη θέση 3, ή ισοδύναμα να εμφανιστούν για πρώτη φορά τρεις κορώνες διαδοχικά με την -στή δοκιμή. Για την απάντηση παρατηρούμε ότι η τελευταίες 3 ρίψεις είναι ΚΚΚ και ότι η τελευταία από τις υπόλοιπες m k 3 ρίψεις είναι υποχρεωτικά Γ. Επίσης ισχύει ότι στις προηγούμενες m ρίψεις δεν εμφανίστηκαν τρεις διαδοχικές Κ. Εργαζόμενοι όπως και στην περίπτωση του, θέτουμε m το πλήθος των τοποθετήσεων m συμβόλων Κ, Γ ώστε να μην είναι τρεις Κ σε γειτονικές θέσεις με το τελευταίο να είναι Γ. Έχουμε τρεις διακεκριμένες δυνατότητες:. Το τελευταίο σύμβολο είναι Γ και το προτελευταίο είναι επίσης Γ, ενώ στις υπόλοιπες θέσεις δεν υπάρχουν τρία διαδοχικά Κ.. Το τελευταίο σύμβολο είναι Γ, το προτελευταίο είναι Κ, το προ-προτελευταίο Γ και στις υπόλοιπες θέσεις δεν υπάρχουν τρία διαδοχικά Κ. 3. Το τελευταίο σύμβολο είναι Γ, το προτελευταίο είναι Κ, το προ-προτελευταίο Κ και το αμέσως προηγούμενο είναι Γ και στις υπόλοιπες θέσεις δεν υπάρχουν τρία διαδοχικά Κ. Θα ισχύει επομένως η αναδρομική σχέση m m m m3, που μπορεί να θεωρηθεί ως πρώτη γενίκευση της αναδρομικής σχέσης των αριθμών Fiboacci. Γενικώς έχει δοθεί ο εξής ορισμός για γενικευμένους αριθμούς Fiboacci - τάξης, (βλ. Charalambide 00, σελ. 69): Η ακολουθία αριθμών που προκύπτει από την αναδρομική σχέση: F F F,, όπου F, F 0, t 0,,,,, t, m m λέγεται ακολουθία αριθμών Fiboacci τάξης. Για έχουμε τη γνωστή ακολουθία Fiboacci. Διαπιστώνουμε, ότι στην περίπτωσή μας,, 3 4, 4 7, που σημαίνει ότι F,,3 δηλαδή οι Fiboacci αριθμοί τάξης 3, και συνεπώς η ζητούμενη πιθανότητα, για κανονικό νόμισμα, είναι F, () 3, k 3, 4, 5,... k P X k k (4) λαμβάνοντας υπόψη μας ότι συνολικά έχουμε k ανεξάρτητες ρίψεις. Εύκολα μπορεί και εδώ να βρεθεί η ροπογεννήτρια των αριθμών Fiboacci τάξης που είναι η : F () t, που για 3 μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξουμε ότι η X 3 t t t t 3 ικανοποιεί τις απαιτούμενες ιδιότητες και να υπολογίσουμε και άλλες παραμέτρους της

7 Ενδιαφέρον παρουσιάζει το ότι το Excel μπορεί να εμφανίσει τους αριθμούς Fiboacci τάξης, όπως και τιμές της κατανομής X αλλά και της συνάρτησης κατανομής της με τον ίδιο εύκολο τρόπο που αναφέραμε προηγούμενα για τη μεταβλητή X. Για παράδειγμα αν 3, θέτουμε στη στήλη Β τρία αρχικά κελιά με τους αριθμούς,,, στο τέταρτο θα βάλουμε το άθροισμά τους και θα αναπαράγουμε έτσι τους αριθμούς Fiboacci τρίτης τάξης στη στήλη Β (βλ. Εικόνα 5). Στη στήλη C γεμίζουμε τρία κελιά με τους αριθμούς 0, 0, 0 και στο C4 θέτουμε το άθροισμα «=B/^A4», ενώ Εικόνα 5 στη στήλη D γεμίζουμε τρία κελιά με τους αριθμούς 0, 0, 0 και στο D4 θέτουμε το άθροισμα «=D3+C4». Κατόπιν κάνουμε επικόλληση του περιεχομένου της 4 ης γραμμής στις επόμενες γραμμές του πίνακα. Ένα απόσπασμα φαίνεται στην Εικόνα 5. Η τεχνική αυτή γενικεύεται και για μεγαλύτερα. Αν p, η προηγούμενη διαδικασία δε βοηθάει. Θεωρούμε τότε τη μαρκοβιανή αλυσίδα, που ορίζει την τ.μ. X. Υπάρχουν καταστάσεις αφού η μάρκα μπορεί να βρεθεί σε μία από τις θέσεις 0,,,, όπου η τελευταία είναι κατάσταση απορρόφησης (Εικόνα 6). Ο πίνακας μετάβασης P αυτής της αλυσίδας είναι ο ( )( ) πίνακας που δίνεται παρακάτω: p p p 0 p 0 0 p 0 0 p 0 P p p Εικόνα Αν ενδιαφερόμαστε για την πιθανότητα να εμφανιστεί συγκεκριμένο πλήθος ροών αποτυχιών (ή επιτυχιών) με πιθανότητα p με δοκιμές (παρτίδες) αρκεί να υπο- λογίσουμε με κάποιο πρόγραμμα το στοιχείο στη θέση (, ) της δύναμης P του πίνακα μετάβασης για όλα τα (που είναι τιμές της συνάρτησης κατανομής), και από τα στοιχεία αυτά για διαδοχικά, με αφαίρεση, θα προκύψει η πιθανότητα. Για τους υπολογισμούς αυτούς χρησιμοποιήσαμε τη γλώσσα R μετά κάναμε και διάφορες γραφικές παραστάσεις για διάφορες τιμές του. Στα επόμενα ασχολούμαστε με την περίπτωση 6. Έχοντας τη συνάρτηση πιθανότητας (ή και τη συνάρτηση κατανομής) της X6 υπολογίσαμε και τη μέση τιμή ώστε να έχουμε μία εκτίμηση για το πότε ένα «στοίχημα» ότι «σε συγκεκριμένο πλήθος δοκιμών θα εμφανιστεί ροή 6 αποτυχιών», γίνεται ευνοϊκό, πότε σχεδόν βέβαιο, κτλ

8 Χρησιμοποιήσαμε το πακέτο R και τη βιβλιοθήκη expm για να υπολογίσαμε τα στοιχεία των δυνάμεων t t P6.0 (,7),(,7), P6,, t,500, όπου P 6.0 και P6 οι πίνακες μετάβασης της τ.μ. X 8 6 για p και p αντίστοιχα. Ο κώδικας R είναι: 38 library(expm) =6; p=.5 ; P.0=rbid(cbid(rep(-p,),diag(p,,)),c(rep(0,),));P.0 =6; p=0/38 ; P=rbid(cbid(rep(-p,),diag(p,,)),c(rep(0,),));P m=500 ; x=null ; x0=null ; x[]=0; x0[]=0 for (i i :m) { Pi0=P.0 %^% i ; x0[i+]=pi0[,7] ; } x0 ; x Pi=P %^% i x[i+]=pi[,7] # Τα διανύσματα με τιμές της σ.κ. για τις δύο τιμές του p Η γραφική παράσταση των σ.κ. των δύο τ.μ. X 6 για τις δύο τιμές p δίνονται στο σχήμα, καθώς και οι τιμές μετά τις οποίες η σ.κ. γίνεται μεγαλύτερη του 0.5 (ευνοϊκό στοίχημα) ή του 0.95 (σχεδόν β έ- βαιο στοίχημα). Παρατηρούμε ότι: αν p τότε το στοίχημα «να εμφανιστούν 6 διαδοχικές επιτυχίες, τουλάχιστον μία φορά» γίνεται ευνοϊκό σε 89 ή περισσότερες δοκιμές, ενώ γίνεται σχεδόν βέβαιο σε πάνω από 368 δοκιμές. αν p 0 38 τότε οι παραπάνω τιμές είναι μικρότερες και είναι αντίστοιχα 69 και 8 δοκιμές, α- Σχήμα ντίστοιχα. Δηλαδή, σε 8 διαδοχικές παρτίδες στο κόκκινο-μαύρο στη ρουλέτα είναι σχεδόν βέβαιο (>0.95) ότι θα έχουμε μία τουλάχιστον φορά έξι διαδοχικές αποτυχίες. Από τα διανύσματα x0 και x, που υπολογίσαμε πριν βρήκαμε τα διανύσματα των πιθανοτήτων z0, z αντίστοιχα, άρα και τη μέση τιμή, με τον κώδικα: z0=c(0,diff(x0)) ; z=c(0,diff(x)) m0=um(z0[:500]*(0:499)) ;m=um(z[:500]*(0:499)) Τις ίδιες πιθανότητες τις υπολογίσαμε και με προσομοίωση (κώδικας για p=.5 ; =0000 ; hd0=rep(0,) for (j i :){ r=a.umeric(ruif(0000)>=-p) for (i i 6:){ m=i if (r[i-5]== && r[i-4]== && r[i-3]== && r[i-]== && r[i-]== && r[i]==) break } hd0[j]=m } thd0=table(hd0)/ # η συνάρτηση πιθανότητας για p p ): - 8 -

9 Στο Σχήμα κάναμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων πιθανότητας για την τ.μ. X 6. Αριστερά είναι οι ακριβείς τιμές που προέκυψαν από τη μαρκοβιανή αλυσίδα, ενώ δεξιά οι τιμές που προέκυψαν από προσομοίωση με 0000 εκτελέσεις της αλυσίδας. Παρατηρούμε την πολύ καλή ομοιότητα και σχεδόν την ταύτιση των μέσων τιμών Για λόγους σύγκρισης, επαναλάβαμε την προσομοίωση για p και οι συναρτήσεις πιθανότητας, ακριβείς και με προσομοίωση, δίνονται στο Σχήμα 3. Παρατηρούμε και πάλι μεγάλη ο- μοιότητα και ταύτιση των μέσων τιμών. Παρατηρούμε, επίσης, τη μεγάλη μείωση της μέσης τιμής εμφάνισης της ροής 6 διαδοχικών επιτυχιών όταν η πιθανότητα επιτυχίας μειώνεται. ABSTRACT Σχήμα Σχήμα 3 The problem of the appearace of a erie of ucceive uccee or failure i repeated toig of a coi or i repeated bettig i game with cotat probability, i approximated uig imple ad geeralized Fiboacci umber ad Markov chai, i order to make eaier both the calculatio of the probability ad the udertadig of the likelihood of ucce i gamblig. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Charalambide C (00). Eumerative Combiatoric. Hall/CRC Μωυσιάδης Πολυχρόνης (00). Συνδυαστική Απαρίθμηση. Εκδόσεις ΖΗΤΗ, Θεσσαλονίκη Shae Harold D. (973). A Fiboacci Probability Fuctio. The Fiboacci Quarterly.5, p