ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2 ΑΝΑΛΥΣΗΣ/ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ., (γ) sin 5xdx sin x cos x. x + x + 1 dx.. 2x 1 2 2

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2 ΑΝΑΛΥΣΗΣ/ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ., (γ) sin 5xdx sin x cos x. x + x + 1 dx.. 2x 1 2 2"

Ὀφιοῦχος Αλεβιζόπουλος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ/00- ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα 6 d (α) d, (β), (γ) si 5d si cos, d (δ) cos cos cos 5d, (ε), (στ) d 5 6 (α) Έχουμε =, οπότε θα είναι: 6 d d = ( ) d = l c,,, d d = = co c, kπ, k si cos si (β) (γ) cos0 si 5d = d = d cos0d = cos0 c, 0 cos8 cos (δ) cos coscos5d= cos d= cos cos8d cos cos d = ( cos cos5 ) ( cos7 cos ) d d = si si 5 si 7 si c, 0 8 (ε) d d d I = = = Θέτουμε =, οπότε d = d, οπότε λαμβάνουμε: d I = arca c arca, = = c (στ) 5 9 ( ) d d d I = = = Αν θέσουμε =, τότε = και d = d, οπότε έχουμε d I = arcsi c arcsi, = = c J = : < = 5, όπου { }

2 Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα (α) l cosd, (β) si d, (γ) d, > 0, (δ) cos(l ) d, (ε) e cosd, (στ) l( d ), (ζ) e cosh d (α) cosd ( si ) d si ( = ) si d = = si si d si ( cos) = 9 d = si cos cosd si cos si 9 9 = c 9 7 d d d d (β) si si si ( si = = ) = si ω= d dω = si = si si c, = < ω (γ) Επειδή d = d= = = c, > 0 έχουμε: l l d l l ( ) d = l d = = c = c, > 0 δ) l = = e cos(l ) d = (cos ) e d I, = οπότε έχουμε I = (cos ) e d = e cos e cos d = e cos e si d = e cos e si e (si ) d = e cos si (cos ) ed= e cos si I I = e cos si c= cos l si l c, 0 > Άρα είναι: I e d e d e e d (ε) ( ) cos cos cos = = = ( cos )

3 = e cos e si d e cos ( e ) si = d 9 9 = e cos e si e cosd= e cos e si, I I = e cos si c, οπότε έχουμε: (στ) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε: l( d ) = l( d ) = l( ) l( ) d ( ) = l( ) d l( ) = d ( ) = l( ) d ( ) ( ) = l( ) d ( ) = l( ) d d = l( ) d l( ) arcsi c, = < (ζ) e e e e cosh d = e d = d = e c, Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα d (α), (β) ( ) d (α)πρώτα αποδεικνύουμε ότι για να ισχύει η ταυτότητα A Β Γ = =,, ( )( ) πρέπει Β=Γ= Α= Έτσι έχουμε:

4 ( ) d ( ) d d d = d = ( ) d d = l d= l 6 d d d = = l ( ) I, 6 6 όπου = d d d I = = = = arca = arca c ( ) β) Αναλύουμε τη ρητή συνάρτηση σε άθροισμα απλών κλασμάτων Έχουμε Α Β Γ Δ = =Α ( ) Β( ) Γ( ) Δ ( ) = ( ΑΒ ) ( Α ΒΓ ) ( ΑΒ ΓΔ) Α { ΑΒ=, Α ΒΓ= 0, Α=Β ΓΔ= 0, Α= } Α=, Β=, Γ=, Δ= d d d d d = ( ) ( ) ( ) = l l c ( ) = l c, (,0) ( 0,) (, ) Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: Υπόδειξη 6 d (α) d, (β), 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) = (α) Επειδή είναι ΕΚΠ, 6 = 6, θέτουμε 6 5 =, οπότε d = 6 d και ( ) ( ) I = d = d = d = d d 6 = 6d 6 = 6 arca c= 6 arca c, > 0

5 5 (β) = = - έχουμε: =, =, =, d= d Άρα έχουμε 5 Επειδή ισχύει, θέτουμε:,οπότε d ( ) d 5 9 I = = d = = c = c 5 Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα cos si (α) 6 d (β) 6 si d (γ) cos si d d (δ) si cos si (α) Θέτουμε si, οπότε d ( cos ) = = d και cos cos d d I = d = cos d d c si = si = = 5 = c, kπ, k 5 5si si (β) Θέτουμε = a, οπότε: d = ( a ) d = ( ) d,cos =,si = si ( ) 6 d ( ) 5 I = d = = d = c cos 5 5 π = a a c, kπ : k 5 (γ) Έχουμε si si ( si ) si d = d = a d si si cos ( cos ) π = d ( a ) d = l cos a c, k π, k cos (δ) Θέτουμε = a, οπότε: d = ( a ) d = ( ) d,cos =,si =

6 6 d I = = d = d = d cos si ( ) ( ) π = d c a a c, kπ, k = = a 6 Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα (α) d (β) ( ) d (γ) d π π (α) Θέτουμε = a,,, οπότε λαμβάνουμε: d = ( a ) d, cos =, si = Έτσι έχουμε: cos d ( cos si ) d I = d= d = a cos = cossi cossi cos d ( si ) cosd ( si ) d = d d si = cos si = cos si si dω = ( θέσαμε ω si ) si = ω ω si = l c= l c si ω si si ( si) ( si) = l c= l c cos cos = l a c= l c cos (β) Θέτουμε cosh, [ 0, ) =, οπότε d = sih d και cosh I = ( ) d= (cosh ) sih d = sih d = = cosh cosh ( cosh ) sih d d d d = 8 = sih sih c, 8 d όπου cosh l = =, οπότε sih = sih cosh =,

7 7 sih sih cosh = = Έτσι τελικά έχουμε: I = c 8 8 ( ) l π π (γ) Θέτουμε = si,,0 0,, οπότε cos cos, cos = = d= d d cos d I = = d = c d = d = o c cos cos si αφού = arcsi, [, 0) ( 0, ], cos si cos si co = = = = si si cos 7 Να αποδείξετε τους παρακάτω αναγωγικούς τύπους: (α) (β) I cos si d = cos ( ) I si cos I si d = I (γ) (l ) I d= (l ) I (δ) m m (l ) m, = (l ) = m, I d I m m I cos d si d si si d (α) = = = si ( cos ) d = si cos ( ) I (β) = = ( ) si cos ( ) si ( si ) d si si cos si cos si I d d cos d = = I I si cos I = si cos ( ) I I = si cos I

8 8 I (l ) d = (l ) d = (l ) l d = (l ) I (γ) (δ) m m m m (l ) Im, = (l ) d = (l ) d = (l ) d m m m m (l ) = Im, m m 8 Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα d (α) (β) d (γ) 6 d, < ( ), οπότε, αν θέσου a d d d (α) I= = = ( ) 9 9 τότε λαμβάνουμε ( a ) d I= c arca 9 = = a c, (β) I= d= d= ( ) οπότε, αν θέσουμε =, τότε λαμβάνουμε: ( ) d d d I= = = a d rcsi c arcsi c - arcsi = = c 6 (γ) I= d= d= d, ( ) 8 < οπότε, αν θέσουμε : - =, ( = -,d = - d), τότε λαμβάνουμε:, 6 d d d d I= = = = I I 8 ( ) ( ) ( ) ( ) Από τη γνωστή ανάλυση = έπεται ότι: =,

9 9 = = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) I = d = l c = l c Επιπλέον έχουμε: ( ) ( ) I d ( ) d c ( ) ( ), = = = οπότε τελικά έχουμε: I = l c c = l c και στη συνέχεια θέτουμε =

Σχετικά έγγραφα

β α β α β α α α β α β α β α α γ α β α) β β β αβ α β β β α β α β μ μ μ μ μ μ μ α β α μ α β αβ α β α α β α α α α αβ α β α β α β α α β α α α α α α α α α α α α α α α α α β β γδ β αβ α α β β β β β β