I x sin2x dx, I = x ln x dx, n 1, I = e cosx dx, I = x 2 sinx cosx dx, = x ln dx, x 1. arctanx dx, I. x e 3. I 2 3x. x e 3. cos 2x

Transcript

1 OΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Αν u(),v() είναι δύο συναρτήσεις µε συνεχείς παραγώγους είναι γνωστό από το διαφορικό λογισµό ότι ισχύει d(uv) vduudv ή (uv) u vuv Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει µε ολοκλήρωση vdu uv udv ή u vd uv uv d ή u vd uv uv d Από τις σχέσεις vdu uv udv είναι δυνατόν να υπολογιστεί ένα ολοκλήρωµα µε κατά παράγοντες ολοκλήρωση Η µέθοδος αυτή είναι κατάλληλη για τον υπολογισµό ολοκληρωµάτων της µορφής e si β d, e cos β d, p()e d, p()ηµ β d, p()συνγ d, p()lδ d, si cos β d, όπου p() είναι πολυώνυµο του και α, β, γ, δ σταθερές ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ) Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα e d, e si d, (rcsi) d, si d, l d,, e cos d, si cos d, 8 l d, 0 e d, rct d, 9 t d, rcsi d e d e 9 e d e d e e 9 e d e e e d si d d d

2 l d e si d e si e si Eίναι λοιπόν e si l d si d ( e ) cos d e si d e cos l e si d e cos e si d si l e cosd cos e c () e cos d e cos Eίναι λοιπόν cos d ( e ) si d e cos e cos e si d e si e cos d e cos e si cos si e c ηµ d ( συν ) συν d ( συν ) si cos d ( συν ) ηµ (συν) 8 (συν ) d (ηµ) d ος τρόποs (rcsi) d (rsi (rcsi ) ) rcsi d ( ) rcsi d (rcsi ) rcsi (rcsi ) ( ) rcsi ( ) d ος τρόπος Θέτουµε rc t si t, d cos tdt (rcsi) d t cos tdt t si t t si tdt t si t t cos t si t c

3 8 l d l l ( ) l d () ( ) () d ()( ) d l d l d d l d ( )( ) l d d 9 l l t d l( ) l( ) c l c l cos d d (t) t d (t ) d d (t) si d cos c si cos 0 e d e d e e t d cos cos e (t ) d e t d e t e t d e t d e t rct d rct d rct rct rcsi d rcsi d

4 rcsi rcsi ( ) d rcsi d rcsi ( ) d ( ) d rcsi ( ) ( ) d rcsi ( ) d rcsi ( ) d rcsi ( ) rct c Aναγωγικοί τύποι Aν δίνεται ένα ολοκλήρωµα, όπου N, και η ολοκληρωτέα συνάρτηση εξαρτάται από το, τότε η κατά παράγοντες ολοκλήρωση µπορεί να καταλήξει σε ένα τύπο ο οποίος συνδέει το µε ένα ή περισσότερα από τα -, -,, Ο τύπος αυτός ονοµάζεται αναγωγικός ή αναδροµικός τύπος Η επιτυχία ενός αναγωγικού τύπου εξαρτάται από αν το αρχικό ολοκλήρωµα µπορεί να υπολογιστεί ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ () Αν d, N, µε, να αποδειχθεί ο αναγωγικός τύπος ( ) - - c, - (-) (-)( ) d, N ( ) d d rct ( ) ( ) d d ( ) d - d - ( ) ( ) ( )

5 d (-) ( ) c - - (-)( ) (-) c, (-) (-)( ) - - () Αν d, N, µε,, να αποδειχθεί ο αναγωγικός τύπος - cos sid -cos c d ( cos) d cos si ( ) cos cos d - - cos si ( ) ( ) d - - cos si ( ) d ( ) d - cos si ( ) - ( ), δηλαδή είναι - ( ) cos si ( ) - ή - () - si - cos - () Αν l d, N, µε, να αποδειχθεί ο αναγωγικός τύπος l - l d l d l l d l (l ) d l - () Αν e d, N, µε, να αποδειχθεί ο αναγωγικός τύπος - e - e d (e ) d e e d e e e d - (e ) d e e d e - () Αν t d, N, µε, να αποδειχθεί ο αναγωγικός τύπος t d - t - c, και στη συνέχεια να υπολογιστεί το - si d cos ( cos) d l cos cos

6 t d - t d t - t d - t d - t d t - (t) d - - t d - t - Για τον υπολογισµόν του ολοκληρώµατος χρησιµοποιούµε τον αναγωγικόν τύπον - t - c για, δηλαδή t d Συνεπώς t t c t, όπου t 0, και 0 () Αν d, N, µε, να αποδειχθεί ο αναγωγικός τύπος cos d d - d d cos (si) cos d si cos d - cos () d - cos si d - cos - Συνεπώς cos - AΣΚΗΣΕΙΣ Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα l d, (απ l c) (l ) d, (απ (l ) l c) 8 rct d, (απ rct rct c) cos(l ) si(l ) cos(l ) d, (απ c)

7 l( l ) d, (απ ( ) l(l ) c) l( ) d, (απ l l d, (απ l rc d, (απ rcsi (rc) d, (απ (rc ) 0 t ( ) d, (απ c) c) c) t( ) c) rc c) d, (απ t l c) ( )rct d, (απ ( )rct l( ) )