16 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ BESSEL

Transcript

1 SECTION ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ BESSEL. Ορισµοί Οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση του Bessel y'' y' ( )y καλούνται συναρτήσεις Bessel τάξης. Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης του Bessel είναι y c () c (),,,, y c () c Y (), για κάθε y c c d για κάθε όπου c και c είναι αυθαίρετες σταθερές και (), Y () οι συναρτήσεις Bessel πρώτου και δεύτερου είδους αντίστοιχα () Y () 8. Σχ. -: (), Y (),,,,. Συναρτήσεις Bessel Πρώτου Είδους Οι συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους και τάξης ορίζονται µε τις σχέσεις ( ) G ( ) ( )( ) ( / )! G ( ) { }

2 SECTION { } G ( ) ( ) ( )( ) ( / )! G ( ) Αν,,,, (α) οι () και () είναι γραµµικά ανεξάρτητες, (β) η () είναι πεπερασµένη στο, ενώ η () απειρίζεται. Αν,,,, () () (). Η ορίζουσα του Wrosi είναι W [, ] ( ) ( ) si Γεννήτρια συνάρτηση Η γεννήτρια συνάρτηση είναι e t t t Ιδιότητες Για, είναι l l l [λ, λ,, είναι οι θετικές ρίζες της () ] l l l [λ, λ,, είναι οι θετικές ρίζες της () ] '() ()

3 SECTION Γενικά, για κάθε είναι '()![ () } ()] '() () () Αναδροµικές σχέσεις '() () () d { } d d d { } Στην περίπτωση ηµιπεριττής τάξης οι συναρτήσεις Bessel εκφράζονται µε ηµίτονα και συνηµίτονα και R. / Rsi / Rcos R / si cos { } R 5 / si cos R / cos si { } R 5/ si cos Άλλες εκφράσεις µπορούν να ληφθούν από τις αναδροµικές σχέσεις. Ρίζες των συναρτήσεων Bessel Για πραγµατικό ισχύουν τα εξής:. Η () έχει άπειρο πλήθος πραγµατικών ριζών. Όλες αυτές οι ρίζες είναι απλές, εκτός ίσως από την.. Αν, όλες οι ρίζες της () είναι πραγµατικές.. Αν,,, οι θετικές ή αρνητικές ρίζες των () και () εναλλάσσονται, δηλαδή µεταξύ των δύο διαδοχικών ριζών της µιας περιέχεται µία µόνο ρίζα της άλλης.. Η διαφορά λ m λ m µεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της () τείνει να γίνει ίση µε π, όταν η τιµή των ριζών αυξάνει (m ).

4 SECTION. Συναρτήσεις Bessel εύτερου Είδους Οι συναρτήσεις Bessel δεύτερου είδους και τάξης ορίζονται µε τις σχέσεις cos si Y lim cos ( ) si,,,,,, Η συνάρτηση αυτή καλείται και συνάρτηση του Weber ή του Neuma [συµβολίζεται και N ()]. Οι συναρτήσεις Bessel Y () ικανοποιούν και αυτές τις ίδιες αναδροµικές σχέσεις µε τις (). Για,,,, ο κανόνας του L Hosital δίνει Y {l( / ) g} ( )!( / ) όπου γ.5775 είναι η σταθερή του Euler και ( P P ) ( / )!( )! P, P,,, Για είναι Y ( ) {l( / ) g } ( ) Για,,, είναι Y () () Y(). { } Για κάθε, η Y () απειρίζεται στο [ενώ η () είναι πεπερασµένη]. Οι συναρτήσεις Y / (), Y / (), κτλ. προκύπτουν από τον ορισµό της Y () για,, και τις / (), / (),. Συναρτήσεις Hael πρώτου και δεύτερου είδους H () () () iy () H () () () iy ()

5 SECTION 5. Τροποποιηµένες Συναρτήσεις Bessel Ορισµοί Οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την τροποποιηµένη διαφορική εξίσωση του Bessel y'' y' ( )y καλούνται τροποποιηµένες συναρτήσεις Bessel τάξης. Η γενική λύση της τροποποιηµένης διαφορικής εξίσωσης του Bessel είναι y c I () c I (), y c I () c Κ (),,,, για κάθε y c I c I d, για κάθε I όπου c και c είναι αυθαίρετες σταθερές και I () και K () οι τροποποιηµένες συναρτήσεις Bessel πρώτου και δεύτερου είδους αντίστοιχα. I () K () Σχ. -: I (), K (),,,, Τροποποιηµένες συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους i/ I i ( i) e ( i) G ( ) ( ) ( )( ) ( / )! G ( ) { }

6 SECTION i/ I i ( i) e ( i) { } G ( ) ( ) ( )( ) ( / )! G ( ) Για,,, οι I () και I () είναι γραµµικά ανεξάρτητες. Για,,, είναι I () I (). Γεννήτρια συνάρτηση Η γεννήτρια συνάρτηση είναι e t I t t Ιδιότητες Για, είναι I 5 7 I 8 I '() I () I I I I '()![I () I } ()] I '() I () I () Αναδροµικές σχέσεις I '() I () I () d { I} I d d d I { I } ( )

7 SECTION 7 Στην περίπτωση ηµιπεριττής τάξης οι συναρτήσεις εκφράζονται µε υπερβολικά ηµίτονα και συνηµίτονα και R. I / Rsih I / Rcosh I R / cosh sih { } I R 5 / sih cosh I R / sih cosh { } I R 5 / cosh sih Άλλες εκφράσεις µπορούν να ληφθούν από την αναδροµική σχέση. Τροποποιηµένες συναρτήσεις Bessel δεύτερου είδους K { I I},,,, si lim { I si I },,,, Για,,,, ο κανόνας του L Hosital δίνει K ( ) {l( / ) g} I ( )!( / ) ( / )!( )! { F ( ) F ( )} όπου γ.5775 είναι η σταθερή του Euler και Για, P, P,,, K I {l( / ) g} Για,,, είναι K () K ().

8 8 SECTION Για κάθε είναι K K K K '()![K () K } ()] K '() K () K () Αναδροµικές σχέσεις K '() K () K () d { K} K d d d K { K } Τα K / (), K / (), προκύπτουν από τον ορισµό και τις Ι / (), I / (),..5 Συναρτήσεις Ber και Bei, Ker και Kei Συναρτήσεις Ber και Bei Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης y'' y' (i )y, i είναι y c {Ber () ibei ()} c {Ker () ikei ()} Οι συναρτήσεις Ber () και Bei () είναι αντίστοιχα το πραγµατικό και φανταστικό µέρος της (e πi/ ) και αναφέρονται συχνά ως συναρτήσεις Kelvi. Ber G Bei G Για είναι ( / )! cos ( ) ( / )! si ( ) 8 ( / ) ( / ) Ber Ber!! ( / ) ( / ) Bei Bei ( / )! 5!

9 SECTION 9 Ber Bei ( ) 8 8 Σχ. -: Ber (), Bei (),,,, Συναρτήσεις Ker και Kei Οι συναρτήσεις Ker () και Kei () είναι αντίστοιχα το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος του e πi/ K (e πi/ ). Ker {l( / ) g} Ber Bei ( )!( / )! cos ( ) ( / ) P P!( )! ( )cos( ) Kei {l( / ) g} Bei Ber ( )!( / )! si ( ) ( / ) P P!( )! ( )si ( ) όπου γ.5775 είναι η σταθερή του Euler και P, P,,,

10 SECTION Ker ( ) Kei Σχ. -: Ker (), Kei (),,,, Για είναι Ker Ker {l( / ) g} Ber Bei ( / ) ( / )!! Kei Kei {l( / ) g} Bei Ber 8 ( ) ( / ) ( / )!. Σφαιρικές Συναρτήσεις Bessel Οι σφαιρικές συναρτήσεις Bessel πρώτου, δεύτερου, τρίτου και τέταρτου είδους ορίζονται αντίστοιχα µε τις σχέσεις j h ( )! H ( )! () () h ( ) Y! H ( )! και ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση y'' y' [ ( )]y Για ακέραιο οι σφαιρικές συναρτήσεις Bessel είναι στοιχειώδεις συναρτήσεις:

11 SECTION j ( ) si cos h () i ie ( ie h ) j si cos cos si h () i e i i i ( e h ) i. ιάφορες Εκφράσεις των Συναρτήσεων Bessel Ασυµπτωτικές εκφράσεις ( ) cos για µεγάλο Y ( ) si e για µεγάλο για µεγάλο Y e ( ) για µεγάλο I e για µεγάλο K e για µεγάλο Για µεγάλο (ή ) σηµαίνει ότι ο λόγος του αριστερού µέλους προς το δεξιό µέλος τείνει στο, όταν το (ή το ) τείνει στο άπειρο. Εκφράσεις µε ολοκληρώµατα cos( si u) du cos( u si u) du, ακέραιος

12 SECTION cos( si u)cos udu, > G( ) Y cos( cosh u) du I d siu cosh( si u) u e du.7 Ολοκληρώµατα µε Συναρτήσεις Bessel Αόριστα ολοκληρώµατα Οι παρακάτω σχέσεις ισχύουν και αν το () αντικατασταθεί µε Y () ή γενικότερα µε c () c Y (), όπου c και c σταθερές. d ( d ) ( d ) m m m m d ( m) ( m) d d d d ( m) ( m) ( m) d m m m m d d d m m m ( d ) ( d ) d d

13 SECTION d d m m m m m ( d ) ( ) ( ) d ( ) m m m ( d ) ( m ) ( d ) { a( b ) ( a) b( a ) ( b)} ( a) ( b) d b a ( ) d ( a ) { ( a )} { ( a )} a d ( a ) { } a { ( a )} a Ορισµένα ολοκληρώµατα a e ( b) d a b a ( a b a) e ( b) d, b a b cos a ( b) d a b a> b a< b > b d b > b d,,,, a e b d e b / a a

14 SECTION a( b) ( a) b( a) ( b) ( a) ( b) d b a a d a { } ( a a / ){ } b( a) I ( b) a ( a) I( b) ( a) I( b) d a b.8 Αναπτύγµατα σε Σειρά Συναρτήσεων Bessel Ορθογωνιότητα Αν λ, λ m είναι δύο ρίζες της εξίσωσης (), τότε ( l ) ( l ) d![ ( l )] d m m Συνεπώς, οι συναρτήσεις Bessel είναι ορθογώνιες στο διάστηµα [, ] µε συνάρτηση βάρους. Γενικότερα, αν λ, λ m είναι δύο ρίζες της εξίσωσης a () b '() όπου a και b σταθερές (όχι και οι δύο µηδέν), τότε d ( l ) m( lm ) [ ( l)] [ ( l )] l d m Ανάπτυγµα σε σειρά Υποθέτουµε ότι οι f () και f'() είναι τµηµατικά συνεχείς και ότι η f () ορίζεται ίση µε! [ f ( ) f ( )] στα σηµεία ασυνέχειας. Με ρίζες της () Αν λ, λ, λ, είναι οι θετικές ρίζες της εξίσωσης () µε >, τότε f () A (λ ) A (λ ) A (λ ) όπου A ( l) f ( l ) d

15 SECTION 5 Με ρίζες της a () '() Αν λ, λ, λ, είναι οι θετικές ρίζες της a () '() µε > και a αυθαίρετη σταθερή, τότε το ανάπτυγµα της f () έχει τη γενική µορφή f () f () A (λ ) A (λ ) A (λ ) όπου A ( l ) ( l ) ( l ) και η f () ορίζεται ως εξής: Για a >, f (). Για a, f () A, A ( ) f d. f ( l ) d,,,, Για a <, f () A I (λ ), A f I d I I I ( l ), ( l ) ( l ) ( l) όπου ±iλ οι δύο επιπλέον φανταστικές ρίζες που υπάρχουν στην περίπτωση αυτή. Τα προηγούµενα µπορούν να επεκταθούν σε σειρές συναρτήσεων Bessel δεύτερου είδους. ιάφορα αναπτύγµατα cos( siθ) () ()cosθ ()cosθ ()cos(θ) si( siθ) ()siθ ()siθ 5 ()si5θ ()si[( )θ] ( y) ( y),, ±, ±, [αθροιστικός τύπος για τις συναρτήσεις Bessel] () () () () { () () 5 5 () ( ) () } { () () () () () } ( )( )!!

16 SECTION () () 8 () () () () () () ''() # ()! () # () '''() ' () () () ' ()} Οι δύο προηγούµενοι τύποι µπορούν να γενικευθούν. si si Y Y si { () () 5 () () () } cos () { () () () () () } I () I () I () I () e I () I () I () I () I () e cosθ I () I ()cosθ I ()cosθ I ()cos(θ) sih {I () I () I 5 () } cosh I () {I () I () I () }