ΓΕΝΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ- Α ΕΞΑΜΗΝΟ (Μ. ΦΙΛΙΠΠΑΚΗΣ) x 2t+1. 4t dt

Transcript

1 ΓΕΝΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ- Α ΕΞΑΜΗΝΟ - (Μ ΦΙΛΙΠΠΑΚΗΣ) ΑΣΚΗΣΗ Να ευρεθεί η αράγωγος της συνάρτησης G με ++7 ( ) G = dt/, + t ( cos ++5) β) ( ) G = dt/ t ΑΣΚΗΣΗ Έστω f/ [,+ ) συνεχής συνάρτηση Να υολογισθεί ο αριθμός f( ) όταν ισχύει η σχέση ( ) + f() t dt = ( +), β) f() t dt =, γ) () ( ) f t dt = + για κάθε [,+ ) ΑΣΚΗΣΗ Να υολογισθούν τα όρια: t+ t ( ) e +dt lim dt 4, β) lim 4 4t+ t + e + dt ΑΣΚΗΣΗ 4 Αν f/[α,β] για κάθε ΑΣΚΗΣΗ 5 είναι μια συνεχής συνάρτηση, να αοδειχθεί η σχέση ( ) ( ) ( ) u f(t)dt du = u f du α α α Να υολογισθούν οι τιμές των ορισμένων ολοκληρωμάτων: d -, β), ( +) e d γ) cos si 4 d, δ) 4cos + si ΑΣΚΗΣΗ 7 d +7cos Αν για μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση f/ [, α], όου α >, ισχύει η σχέ-ση f ( α ) =f( ) για κάθε [ α,α], να αοδειχθεί ότι α ( ) α f d = α f( ) d

2 β) Να υολογισθεί η τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος si d +cos ΑΣΚΗΣΗ 8 Να ευρεθούν οι ραγματικές σταθερές α και β έτσι ώστε α(si + cos) + β( cos si ) = 4si + 7cos () για κάθε R, και στη συνέχεια να υολογισθεί το ορισμένο ολοκλήρω-μα 4si + 7cos I= d si + cos ΑΣΚΗΣΗ 9 Να αοδειχθεί ότι για κάθε k ισχύουν οι σχέσεις k k cos si d = = k k k k cos + si cos + si 4 ΑΣΚΗΣΗ Να υολογισθούν οι τιμές των ορισμένων ολοκληρωμάτων: cosd, β), γ) arctgd ΑΣΚΗΣΗ e cosd Να υολογισθούν οι τιμές των ορισμένων ολοκληρωμάτων: arctgd e, β) (l) d ΑΣΚΗΣΗ Να υολογισθεί το όριο της ακολουθίας ( α ) με - α = d + ΑΣΚΗΣΗ Να υολογισθεί το εμβαδό του χωρίου ου εριέχεται μεταξύ: Της αραβολής y = και της ευθείας =4 β) Των αραβολών με εξισώσεις y=8- και y= γ) Της αραβολής y= και των ευθειών y=, =και = ΑΣΚΗΣΗ 4 Να υολογιστεί το εμβαδό του χωρίου ου εριέχεται μεταξύ: Της λογαριθμικής συνάρτησης και των ευθειών = και y= β) Της άνω ημιεριφέρειας με εξίσωση +y = 4και της αραβολής y= γ) Της ημιτονοειδούς καμύλης, της συνημιτοειδούς καμύλης και των ευθειών = και =

3 ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίδεται η συνάρτηση, αν = f() = lim α, αν (,+ ) + + * όου α =,, (, + ) + Να αλοοιηθεί ο τύος της συνάρτησης και να αοδειχθεί ότι η f είναι συνεχής β) Να υολογισθεί το εμβαδό του χωρίου ου εριέχεται μεταξύ της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f και των ευθειών με εξισώσεις y=,= και = ΑΣΚΗΣΗ 6 Να αοδειχθεί η ανισότητα για κάθε ΑΣΚΗΣΗ 7 + < l < - >, και στη συνέχεια να υολογισθεί το όριο lim l - Να υολογισθεί το εμβαδό μιας αψίδας της κυκλοειδούς καμύλης με εξισώσεις =θ siθ, y= cosθ, όου θ [,] Yόδειξη y M θ ΑΣΚΗΣΗ 8 Να υολογισθεί το εμβαδό του χωρίου ου ερικλείεται αό την αστρο-ειδή καμύλη με εξισώσεις =cost,y=sit, όου t υόδειξη y Δηλαδή του γεωμετρικού τόου ενός σταθερού σημείου Μ της μοναδικής εριφέρειας της οοίας ο κύκλος κυλιέται άνω στον άξονα των τετμημένων

4 ΑΣΚΗΣΗ 9 Να υολογισθεί το εμβαδό του χωρίου ου εριέχεται μεταξύ της αρα- βολής ρ = και των ημιευθειών θ = και θ = +cosθ β) Να υολογισθεί το εμβαδό του χωρίου το οοίο ερικλείεται αό τη καρδιοειδή καμύλη με εξίσωση ρ = (+cosθ), θ [,] γ) Να υολογισθεί το εμβαδό του χωρίου το οοίο ερικλείεται αό το λημνίσκο με 5 εξίσωση ρ =cosθ, θ,, ΑΣΚΗΣΗ Να υολογισθεί το μήκος του τόξου της καμύλης : y= /[4,9], β) y=cosh/[,l] ΑΣΚΗΣΗ Να υολογισθεί το μήκος του τόξου της αστροειδούς καμύλης με εξι-σώσεις: = cos t, y = si t, όου t ΑΣΚΗΣΗ Να υολογισθεί το μήκος του τόξου της καμύλης: y = /[,], β) ( ) y= l /,, γ) y = + /[,] 4 ΑΣΚΗΣΗ Να υολογισθεί το μήκος του τόξου της καμύλης με αραμετρικές εξισώσεις: = t, y= t t, t [,], β) = cos t cost, y = si t sit, t [,] ΑΣΚΗΣΗ 4 Να ευρεθεί το μήκος του τόξου της καμύλης με ολική εξίσωση: κθ ρ= αe, όου α >, κ > και θ [,], β) ρ= α ( cosθ), όου α > και θ [,] ΑΣΚΗΣΗ 5 Να ευρεθεί ο όγκος του στερεού ου ροκύτει, με εριστροφή ερί τον άξονα των τετμημένων, του χωρίου της συνάρτησης f( ) = ( ) /[,] β) Να υολογισθεί ο όγκος του στερεού ου ροκύτει, με εριστροφή ερί τον άξονα των τετμημένων, του χωρίου ου ορίζεται αό το σύνολο (,y) : y 4 +, { }

5 ΑΣΚΗΣΗ 6 Έστω R το χωρίο του ρώτου τεταρτημόριου ου εριέχεται μεταξύ της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f( ) = + 4/ και των ευθειών = και y= 8 Να υολογισθεί το εμβαδό του χωρίου R β) Να υολογισθεί ο όγκος του στερεού ου αράγεται με εριστροφή του χωρίου R γύρω αό τον άξονα των τετμημένων ΑΣΚΗΣΗ 7 Να ευρεθούν τα αόριστα ολοκληρώματα: si cos7d, β) si d ΑΣΚΗΣΗ 8 t =, t > t + d, με τη βοήθεια του μετασχη-ματισμού ΑΣΚΗΣΗ 9 θ, ΑΣΚΗΣΗ μετασχηματισμού y= ( l) ΑΣΚΗΣΗ d ( + ), με τη βοήθεια του μετασχη-ματισμού = tgθ, d l( ( l) ), >, με τη βοή-θεια του + e d, β) cos( ) d, γ) ( + ) sid ΑΣΚΗΣΗ ( ) sih ( ) d +, β) ( ) coshd ΑΣΚΗΣΗ e 4 cos( + ) d, β) e si( + ) d

6 ΑΣΚΗΣΗ 4 6 e + sih( + ) d, β) e cosh( 4 + ) d ΑΣΚΗΣΗ 5 ΑΣΚΗΣΗ 6 I = e cos d arcsi d, β) ( ) + 4 l d, γ) arctg d ΑΣΚΗΣΗ 7 με τη βοήθεια του μετασχηματισμού, I= 4 + d = tgθ, θ < < ΑΣΚΗΣΗ 8 Αν α I = ( l) d, να αοδειχθεί ότι α+ ( l) I = Ι α + α + * για κάθε και α, και στη συνέχεια να ευρεθούν τα Ι, Ι ΑΣΚΗΣΗ 9 Αν J = d, να αοδειχθεί ότι ( + ) J = + J ( )( + ) ( ) για κάθε με, και στη συνέχεια να ευρεθούν τα, J ΑΣΚΗΣΗ 4 J m (i) Αν I = si cos d, να αοδειχθεί ότι m, για κάθε m, με S = si d C = I m+ si cos m, = + Im, m+ m+ (ii) Αν και cos d να αοδειχθούν με τη βοήθεια του (i) οι τύοι:

7 και για κάθε με S = si cos+ S C = cos si+ C ΑΣΚΗΣΗ 4 Αν I m, m cos si για κάθε m, με ΑΣΚΗΣΗ 4 = d, να αοδειχθεί η σχέση I m+ cos m + = I ( ) si m, m, Να ευρεθούν τα αόριστα ολοκληρώματα: d, β) ( )( + )( + ) d, ( + 4)( + ) γ) d ( )( ) ( + + ) ΑΣΚΗΣΗ 4 d, β) d si + cos + + cos ΑΣΚΗΣΗ 44 cos si d, β) d si, γ) cos si 6 d cos ΑΣΚΗΣΗ 45, β), sih+ cosh+ sih cosh d + cosh γ) d, δ) d cosh sih sih ΑΣΚΗΣΗ 46 Να ευρεθούν τα ολοκληρώματα d, β) d, γ) + d 9 4

8 ΑΣΚΗΣΗ 47 I = 9d, όου > με τη βοήθεια της αντικατάστασης = cosht, t >, β) =, t, cos t ΑΣΚΗΣΗ 48 Να ευρεθούν τα ολοκληρώματα d +, β) d, γ) ( + ) + d + + ΑΣΚΗΣΗ 49 γ) si + d, + β) d ( + )( ), δ) d, d ( + ) ΑΣΚΗΣΗ 5 d, β) ( + ) 4 5 d, γ) + d 4 9