Άσκηση 1. i) ============================================================== Α n ( 3 n 1 ) A ) 5 4. Α n 1 2 ( n n 2.

Transcript

1 Τηλ: 6995 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 8-9: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση. i) Α n ( n ) A + ( n ) I Α n + ( n ) ( n ) Α n n n n + n + Η σχέση ισχύει για n : A Έστω ότι ισχύει για n >. Θα δείξουµε ότι ισχύει για n +. Πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη της σχέσης µε Α και κάνοντας τις πράξεις βρίσκουµε: A n+ 6 n 6 n n + n +

2 A n+ (n+) (n+) (n+) + (n+) + δηλ. ισχύει για n +, άρα ισχύει για κάθε µη αρνητικό n. Άσκηση. ii) a a a a a a a a a det b + 5 c b + 5 c b + 5 c det b b b + det 5 c 5 c 5 c c c c c c c c c c a a a a a a.. det b b b + 5. det c c c c c c c c c a a a 4 det b b b + c c c a a a 4 det b b b c c c k 4 Άσκηση. i) det a 4 a b 96 4 b det 5 4 5

3 a b 96 4 () Trace a 4 a+ b 4 b Trace 5 5 a+ b () Έχουµε: () a b+ () αντικαθιστούµε στην () και βρίσκουµε: ( b+ ) b 96 4 b + b 96 4 b b+

4 στο τριώνυµο είναι: a, β -, γ,, άρα οι ρίζες είναι: -β +- b, a b, b Αντικαθιστώντας στην () βρίσκουµε: b a ή b a maths@maths.gr, Τηλ: 6995 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 8-9: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση. ii) Έστω ότι: b, a BA 4 4 Επίσης έστω ότι ο πίνακας Α είναι: 4

5 A x z y w Tότε ο πίνακας ΑΒΑ είναι: ABA (AB) A (5) (x ) + () (z ) (5) (y ) + () (w ) () (x ) + (5) (z ) () (y ) + (5) (w ) 5 x+ z 5 y+ w x+ 5 z y+ 5 w ABA A (BA) (x) ( ) + (y) (4 ) (x) (4 ) + (y) ( ) (z) ( ) + (w) (4 ) (z) (4 ) + (w) ( ) x+ 4 y 4 x+ y z+ 4 w 4 z+ w άρα έχουµε: 5 x+ z 5 y+ w x+ 4 y 4 x+ y x+ 5 z y+ 5 w z+ 4 w 4 z+ w 5 x+ z x+ 4 y 5 y+ w 4 x+ y x+ 5 z z+ 4 w y+ 5 w 4 z+ w 5 x 4 y+ z 5

6 4 x 5 y+ w x 4 w+ 5 z y+ 5 w 4 z Γ ---> { Γ 5 < 4 y z x x 5 y+ w x 4 w+ 5 z y+ 5 w 4 z Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ ---> Γ + { Γ < 4 y z x+ 5 5 y 54 z + w y 96 z + 4 w 5 5 y+ 5 w 4 z 5 Γ Γ ---> { < 6

7 4 y z x z 5 w y + 54 y 96 z + 4 w 5 5 y+ 5 w 4 z Γ ---> Γ + { 4 5 Γ 54 Γ ---> Γ + { Γ 5 Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ < 5 z x+ 4 z y + 4 w 5 w < 5 z 4 w x + 4 z 5 w y z z w w Άρα ο πίνακας Α είναι της µορφής:

8 5 z A + z 4 w 4 z w 5 w π.χ. για z w έχουµε: A maths@maths.gr, Τηλ: 6995 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 8-9: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση. i) Ο πίνακας έχει δύο ίδιες στήλες, άρα η ορίζουσά του είναι µηδέν και ο Α δεν είναι αντιστρέψιµος. Άσκηση. ii) B A A T () ( ) () ( ) + () ( ) () ( ) () ( ) + () ( ) () ( ) + () ( ) () ( ) + () ( ) () ( ) () ( ) + () ( ) () ( ) λ -5 - λ I B -5 λ λ 8

9 λ -5 - det -5 λ λ ( λ ) det + λ -5 5 det -5 λ -5-5 det - λ -5 λ - -5 ( λ ) ( λ 4λ+ 8) 4λ+ 4 λ λ + 6λ b - b 6 Άσκηση. iii) A T -4 5 B+ b I A T ( B+ b I ) () (-4 ) + () (5 ) + () ( ) () (5 ) + () (-6 ) () (-4 ) + () (5 ) + () ( ) () (-4 ) + () (5 ) + () ( ) () (5 ) + () (-6 ) () (-4 ) + () (5 ) + () ( ) () (-4 ) + () (5 ) + () ( ) () (5 ) + () (-6 ) () (-4 ) + () (5 ) + () ( )

10 A Άσκηση. iv) A A + A A + A A + A ( ) A + A T

11 ( A + A ) T A + A maths@maths.gr, Τηλ: 6995 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 8-9: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση 4. i) - A - - A T Υπολογίζουµε την ορίζουσα του A: - det - () det + - (-) det () det () (- ) (-) (4 ) + () ( ) άρα ο Α, κι εποµένως και ο ανάστροφός του, είναι αντιστρέψιµοι. A T X A I A T X A A - I A - A T X A -

12 ( A T ) - A T X ( A T ) - A - X ( A T ) - A - X ( A A T ) - επειδή: ( A B) - B - A - Άρα η λύση είναι: X ( A A T ) - Υπόλογίζουµε διαδοχικά: A A T () ( ) + (-) (- ) () ( ) + (-) (- ) + () ( ) () (- ) + (-) ( ) + () ( ) () ( ) + (-) (- ) + () ( ) () ( ) + (-) (- ) + () ( ) () (- ) + (-) ( ) + () ( ) (-) ( ) + () (- ) + () ( ) (-) ( ) + () (- ) + () ( ) (-) (- ) + () ( ) + () ( ) Βρίσκουµε τον αντίστροφο: [ A A T I ]

13 Γ Γ ---> { 6 ~ Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ ---> Γ + { Γ ~ Γ Γ ---> { ~

14 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ ~ Γ Γ ---> { ~ Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ 4

15 ~ άρα η λύση είναι: X Άσκηση 4. ii) O πίνακας Α του συστήµατοες είναι: c b A c a b a D det( A) c b det c a c det + c a b det b c b a b a a b c όχι µηδενική η ορίζουσα λόγω υποθέσεως, άρα χρησιµοποιούµε τον κανόνα Cramer: Υπολογίζουµε τις ορίζουσες: 5

16 D a b c c b det a b c a a b c a a b c c b det a b c a a b c det + a c det a a b c a b det a b c a b c a b c a a b c a a b c+ c a b+ b a c D a b c b det c a b c a b a b c a b c b det c a b c a a b c det + c a b det b c b b a b c b a c+ b ( c a b a b c ) a b c a b c D c a b c det c a b c b a a b c c a b c det c a b c c det + c a b c a b c det b a b c c b a b a a b c c ( c a b a b c ) + c a b Άρα η µοναδική λύση είναι: x D D 6

17 a b c+ c a b+ b a c x a b c x + + a c a a b x a ( a c b) y D D y c a b + b a c a b c a b c y + b c a b b y b ( b+ c+ a) z D D z c a b c a b+ c a b a b c

18 z + c a c b c z c ( c+ a+ b) Τελικά: x a ( a c b) y z b ( b+ c+ a) c ( c+ a+ b) Άσκηση 4. iii) Επειδή είναι διανύσµατα για να είναι βάση αρκεί να είναι γραµµικά ανεξάρτητα, δηλ. η ορίζουσα του πίνακα Α µε στήλες αυτά να µην είναι µηδέν: A - a det( A ) det - det + - det - det a a a 8

19 a < a 5 x a + y + z - < x+ y+ z x z a x+ y+ z < x+ y+ z x z a x+ y+ z Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { a Γ < x+ y+ z y 4 z - y y a+ z z a a 9

20 Γ ---> { Γ < x+ y+ z y+ z y y a+ z z a a Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { ( a ) Γ < x z y+ z - ( 5+ a) z Γ Γ ---> { 5+ a < x z y+ z z ( 5+ a )

21 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ < x y + z ( 5+ a ) 5+ a ( 5+ a ) τις ανωτέρω γραµµοπράξεις µπορέσαµε να τις κάνουµε επειδή α 5 maths@maths.gr, Τηλ: 6995 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 8-9: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση αντιγραφής ή ύπαρξης παροραµάτων δεν φέρουµε καµία ευθύνη. Άσκηση 5. i) a) Για το υποσύνολο U παρατηρούµε ότι το µηδενικό διάνυσµα του R δεν ανήκει στο U, διότι: x+ 4 y+ 8 z - x y z - που είναι αδύνατον, άρα το U δεν είναι υπόχωρος του R Άσκηση 5. i) b)

22 Για το υποσύνολο V παρατηρούµε ότι το µηδενικό διάνυσµα του R ανήκει στο U, διότι: x+ 4 y+ 8 z x y z O R Έστω δύο διανύσµατα u,v του V: u v x y z x y z Τότε έχουµε: u V, v V x + 4 y + 8 z x + 4 y + 8 z προσθέτουµε κατά µέλη: x + 4 y + 8 z + x + 4 y + 8 z

23 ( x + x ) + 4 ( y + y ) + 8 ( z + z ) ( u+ v) V Έστω και τυχόν λ R u V x + 4 y + 8 z πολλαπλασιάζουµε µε λ: λ ( x + 4 y + 8 z ) (λx ) + 4 (λy ) + 8 (λz ) λ u V Άρα το V είναι υπόχωρος του R Άσκηση 5. ii) a) b) Για τον υπόχωρο W έχουµε: x x + x 4

24 x x x 4 x x x x 4 x x x 4 x x [ ] x [ ] x [ ] x x u x u x u όπου θέσαµε:,, u u u - Για τον υπόχωρο W έχουµε: + x x 4 x 4 x 4

25 x x x x 4 x x x x + + [ ] x [ ] x [ ] x x v x v x v όπου θέσαµε:,, v v v - Σχηµατίζουµε τον πίνακα Α µε στήλες τα διανύσµατα:,,,,, u u u v v v A - - κάνουµε τον Α ανηγµένο κλιµακωτό πίνακα µε πράξεις γραµµών: - - Γ ---> { Γ 5

26 ~ - - Γ ---> Γ + { Γ ~ Γ ---> Γ + { Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ ~ - - Γ4 --> Γ4. ~ 6

27 - -6 Γ --> Γ + /.Γ ~ Π - -6 Ένα µέγιστο σύνολο γραµµικά ανεξάρτητων διανυσµάτων του W είναι τα: u, u, u, άρα µία βάση είναι αυτά, εποµένως dim(w) Ένα µέγιστο σύνολο γραµµικά ανεξάρτητων διανυσµάτων του W είναι τα: v, v, v, άρα µία βάση είναι αυτά, εποµένως dim(w) Το σύνολο των διανυσµάτων που αντιστοιχεί στις στήλες,, και 5 είναι ένα από τα µεγαλύτερα γραµµικά ανεξάρτητα σύνολα στηλών του πίνακα, άρα τα διανύσµατα u, u, u, v, είναι γραµµικά ανεξάρτητα και παράγουν τον W + W, εποµένως είναι µία βάση του και dim(w+w) 4 Ένα διάνυσµα που ανήκει στην τοµή των W και W είναι τέτοιο ώστε να υπάρχουν αριθµοί k, k, k, λ, λ, λ τέτοιοι ώστε: k u + k u + k u λ v + λ v + λ v < k u + k u + k u λ v λ v λ v O <

28 k u + k u + k u + (-λ) v + (-λ) v + (-λ) v O η τελευταία εξίσωση είναι ένα οµογενές σύστηµα γραµµικών εξισώσεων µε πίνακα συντελεστών τον A ως προς τους αγνώστους k, k, k, -λ, -λ, -λ Άρα αφού έχουµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή, η λύση του οµογενούς συστήµατος είναι: k λ k λ k+ λ λ+ 6 λ < k λ k λ k λ λ, λ R Έτσι η τοµή αποτελείται από τα διανύσµατα: k u + k u + k u λ u + λ u λ u λ u + λ ( u u ) λ + λ 6 - δηλ. µία βάση είναι:, 6 - κι εποµένως: 8

29 dim ( W W ) Άσκηση 5. ii) c) Ο R, δεν µπορεί να είναι το ευθύ άθροισµα των W, W διότι δείξαµε ήδη ότι οι δύο χώροι έχουν µη µηδενική τοµή. Στον πίνακα µε πρώτες στήλες την βάση του W και 4η στήλη το e 4 - Γ4 --> Γ4 +. Γ ~ δηλ. τα 4 διανύσµατα είναι βάση του R 4 κι επίσης dim ( W+ ) 4 dim ( W) άρα ο χώρος R 4, γράφεται σαν ευθύ άθροισµα του W και του 9