ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ"

Transcript

1 ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΙΣΧΥΣ ΚΑΙ ΑΣΥΝΕΠΕΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΜΕΣΩ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ PRENEX ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΤΗΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1

2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ HERBRAND ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ SKOLEM ΤΟ ΣΥΜΠΑΝ ΤΟΥ HERBRAND ( HERBRAND UNIVERSE ) ΕΝΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΚΩΝ ΤΥΠΩΝ ( CLAUSES ) SEMANTIC TREES ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ HERBRAND µηχανική µέθοδος απόδειξης θεωρηµάτων (~1930) (χρονοβόρα απαιτείη/υ) Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ( RESOLUTION PRINCIPLE ) (Robinson 1965) ένας και µόνο συλλογιστικός κανόνας inference rule- για απόδειξη θεωρηµάτων, χρήσιµος για H/Y Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΕΝΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΕΝΟΠΟΙΗΣΗΣ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΕΞΑΛΕΙΨΗΣ 2

3 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ F1 : εάνέχειζέστηκαιυγρασία, τότεθαβρέξει. F2 : εάνέχειυγρασία, τότεέχειζέστη. F3 : τώραέχειυγρασία. Ηερώτησηείναι : Θαβρέξει ; (F4) ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Έστω P: «έχει ζέστη» Q: «έχει υγρασία» R: «θα βρέξει» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Και τα λογικά σύµβολα «^»νααναπαριστά «και» νααναπαριστά «συνεπάγεται» 3

4 Τότε τα παραπάνω τρία γεγονότα αναπαριστώνται ως : F1 : P Q R F2 : Q P F3 : Q οποτεδήποτεοι F1, F2 και F3 είναιαληθείς, οτύπος F4 : R είναιαληθής Γι αυτόθαλέµεότιτο F4 επακολουθείλογικάαπότα F1, F2 και F3 (logically follows from) Αυτό σηµαίνει δηλαδή, ότι αν οι F1,F2,F3 είναι αληθείς, τότε θα βρέξει. 4

5 Παράδειγµα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Έστω τα ακόλουθα γεγονότα : F1 : Ο Κοµφούκιος είναι ένας άνθρωπος F2 : Κάθε άνθρωπος είναι θνητός Αναπαράσταση των F1 και F2 µε κατηγόρηµα (predicate) Ρ(x) : «x είναιέναςάνθρωπος» Q(x) : «ο x είναιθνητός» ( x) αναπαριστάτο «γιαόλατα x» Τότε τα παραπάνω γεγονότα αναπαριστώνται από το κάτωθι : F1 : P ( Κοµφούκιος ) F2 : ( x ) ( P(x) Q(x) ) Απότα F1 και F2 µπορούµεναπαράγουµελογικά ( logically deduce ) το: F3 : Q ( Κοµφούκιος ) δηλαδή ο Κοµφούκιος είναι θνητός 5

6 Τι προσπαθούµε να αποδείξουµε: Ότι ένας τύπος ( formula ) είναι λογικό επακόλουθο άλλων τύπων Θακαλούµεµίακατάστασηκατάτηνοποίαέναςτύποςείναιλογικόεπακόλουθοάλλων, ωςθεώρηµα. Μιαεπίδειξητουότιέναθεώρηµαείναιαληθέςθακαλείταιαπόδειξητουθεωρήµατος. Το πρόβληµα της σύγχρονης λογικής (ΜΤΡ = Mechanical Theorem Proving) είναι να λάβει υπόψη µηχανικές µεθόδους, για να βρει αποδείξεις θεωρηµάτων ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1. Σεένασύστηµαερωταποκρίσεων, ταγεγονόταµπορούννααναπαρασταθούναπόλογικούςτύπους. Τότε για να απαντηθεί µια ερώτηση από τα γεγονότα, αποδεικνύουµε ότι ένας τύπος που αντιστοιχεί στην απάντηση, παράγεται από τους τύπους που αναπαριστούν τα γεγονότα. 2. Σε ένα πρόβληµα ανάλυσης προγράµµατος, µπορούµε να περιγράψουµε την εκτέλεση ενός προγράµµατος µέσω ενός τύπου Α, και τη συνθήκη ότι το πρόγραµµα θα τερµατιστεί, από έναν άλλο τύπο Β. Τότε για να επιβεβαιώσουµε το ότι το πρόγραµµα θα τερµατιστεί, αρκεί ισοδύναµα να αποδείξουµεότιοτύποςβακολουθείαπότοντύποα. Άλλα παρόµοια προβλήµατα, που λύνονται µε αντίστοιχη µε την παραπάνω συλλογιστική, µέσα από τη θεωρία της Λογικής είναι : Το πρόβληµα ισοµορφισµού γραφηµάτων. Το πρόβληµα µετασχηµατισµού καταστάσεων, κ.λ.π. 6

7 Βασικές µαθηµατικές έννοιες και ορισµοί της θεωρίας συνόλων : Ένασύνολο ( set ) είναιµίασυλλογήαπόστοιχεία (µέλη). Ένασύνολοπουδενπεριέχεικαθόλουστοιχείακαλείταικενόσύνολο (empty set). Έστωδύοσύνολα, ταακαιβ. Ηέκφραση x A χρησιµοποιείταιγιανα δηλώσειότιτο xείναιέναµέλοςτουα, ήότιτο x ανήκειστοα. ΤοσύνολοΑείναιταυτόσηµοήίσο ( identical ) µετοσύνολοβ( συµβολίζεται µεα= Β ), ανκαιµόνοαντοακαιτοβέχουνταίδιαστοιχεία. ΤοσύνολοΑείναιέναυποσύνολοτουσυνόλουΒ( συµβολίζεταιµεα Β), αν καιµόνοανκάθεστοιχείοτουαείναιστοιχείοτουβ. ΤοσύνολοΑείναιένακύριουποσύνολο ( proper subset ) τουσυνόλουβ (συµβολίζεταια Β), ανκαιµόνοανα ΒκαιΑ Β. 7

8 Ηένωσηδύοσυνόλων (union) ΑκαιΒ, (συµβολίζεταια Β) είναιτοσύνολο πουαποτελείταιαπόόλαταστοιχείαπουανήκουνστοαήστοβ. Ητοµήδύοσυνόλων ( intersection ) ΑκαιΒ( συµβολίζεταια Β) είναιτο σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία που από κοινού ανήκουν καιστοακαιστοβ. Η διαφορά µεταξύ δύο συνόλων Α και Β, (συµβολίζεται Α-Β), είναι το σύνολο πουαποτελείταιαπόόλαταστοιχείαπουανήκουνστοα, αλλάδεν ανήκουν στο Β. 8

9 Σχέσεις και συναρτήσεις : Έναδιατεταγµένοζεύγος (ordered pair) στοιχείων, δηλώνεταιµε (x, y), όπου x καλείται πρώτη συντεταγµένη ή τετµηµένη και y δεύτερη συντεταγµένη ή τεταγµένη (first & second coordinate). Μία σχέση είναι ένα σύνολο από διατεταγµένα ζεύγη. Π.χ η σχέση ισότητας είναι ένα σύνολο από διατεταγµένα ζεύγη, καθένα από τα οποία έχει την πρώτη του συντεταγµένη ίση µε τη δεύτερη. Οχώρος (domain) µιαςσχέσης Rείναιτοσύνολοόλωντωνπρώτων συντεταγµένων των στοιχείων του R και το πλάτος στο οποίο κυµαίνεται (range), είναι το σύνολο όλων των δεύτερων συντεταγµένων. 9

10 Μία συνάρτηση είναι µια σχέση τέτοια ώστε δεν υπάρχουν δύο διαφορετικά στοιχεία που να έχουν την ίδια τετµηµένη (πρώτησυντεταγµένη). Εάν fείναιµίασυνάρτησηκαι x είναιέναστοιχείοτου χώρου της, τότε ο συµβολισµός f(x) δηλώνει τη δεύτερη συντεταγµένη (τεταγµένη) τουµοναδικούστοιχείουτης f, τουοποίουηπρώτησυντεταγµένη (τετµηµένη) είναι x. Η f(x) καλείταιητιµήτης f στοσηµείο x, καιλέµεότιηf προσδιορίζει (assigns) την τιµή f(x) στο x. 10

11 Συµβολισµοί Συσχέτισης >: µεγαλύτερο από : µεγαλύτερο ή ίσο <: µικρότερο από : µικρότεροήίσο =: ίσοµε : όχιίσοµε (διάφορο) : ορίζεται ως Το σύµβολο «=» θα χρησιµοποιείται µε πολλά παραπλήσια νοήµατα όπως: «ορίζεταιαπό» ( is defined by ) «είναιταυτόσηµοµε» ( is identical to ) «είναιισοδύναµοµε» ( is equivalent to ) «είναιίσοµε» ( is equal to ) 11

12 ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Η συµβολική λογική λαµβάνει υπόψη γλώσσες των οποίων ο βασικός σκοπός είναι να συµβολίσουν συλλογισµό βασισµένο όχι µόνο σε µαθηµατικά, αλλάεπίσηςκαιστηνκαθηµερινήζωή. Η απλούστερη µορφή συµβολικής λογικής είναι η προτασιακή λογική ( propositional logic or propositional calculus). Στην προτασιακή λογική ενδιαφερόµαστε για δηλωτικές προτάσεις (declarative sentences) που µπορούν να είναι αληθείς (true), ή ψευδείς (false), αλλάόχικαιταδύο. Κάθετέτοιαδηλωτικήπρότασηκαλείταιπρόταση (proposition). 12

13 Παραδείγµατα προτάσεων είναι : «Το χιόνι είναι άσπρο» «Η ζάχαρη είναι υδατάνθρακας» «Ο Βασίλης έχει διδακτορικό» Ηαλήθειαήτοψεύδοςπουαποδίδεταισεµίαπρόταση, καλείταιητιµήαλήθειας (truth value) τηςπρότασης. Αναπαριστούµε τηναλήθεια (true) µετ τοψεύδος (false) µε F Επιπλέον θα δηλώνουµε µε ένα γράµµα ή συνδυασµό γραµµάτων κάθε πρόταση όπως το παράδειγµα που ακολουθεί : Ρ Τοχιόνιείναιάσπρο Q Η ζάχαρη είναι υδατάνθρακας R Ο Βασίλης έχει διδακτορικό Τασύµβολαόπωςτα P, Q, Rπουχρησιµοποιούνταιγιαναδηλώσουνπροτάσεις, καλούνταιατοµικοίτύποιήάτοµα (atomic formulas or atoms). 13

14 Απόπροτάσειςµπορούµεναδοµήσουµεσύνθετεςπροτάσεις (compound propositions), χρησιµοποιώντας λογικούς συνδέσµους (logical connectives). Παραδείγµατα σύνθετων προτάσεων είναι : «Τοχιόνιείναιάσπροκαιοουρανόςκαθαρός». «ΑνοΓιάννηςδενείναιστοσπίτι, τότεημαρίαείναιστοσπίτι». λογικοί σύνδεσµοι στις παραπάνω δύο σύνθετες προτάσεις είναι «και»και «εάν... τότε» Στην προτασιακή λογική θα χρησιµοποιήσουµε πέντε λογικούς συνδέσµους : ~ όχι ( not ): άρνηση και ( and ): σύζευξη ή ( or ): διάζευξη εάν... τότε ( if... then ): συνεπαγωγή εάνκαιµόνοεάν ( if and only if ): ισοδυναµία 14

15 Οι πέντε λογικοί σύνδεσµοι µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να δοµήσουν σύνθετες προτάσεις, από απλές π.χ. αναπαριστούµε τα : «ηυγρασίαείναιυψηλή»µε P «ηθερµοκρασίαείναιυψηλή»µε Q «Κάποιοςαισθάνεταιάνετα»µε C Τότεηπρόταση : «Ανηυγρασίαείναιυψηλήκαιηθερµοκρασίαείναιυψηλή, τότε κάποιος δεν αισθάνεται άνετα», µπορεί να αναπαρασταθεί µε : ( ( P Q ) ( ~ C ) ) Έτσι βλέπουµε ότι µια σύνθετη πρόταση µπορεί να εκφράσει, µία µάλλον πολύπλοκη ιδέα. Στην προτασιακή λογική, µία έκφραση που αναπαριστά µιαπρόταση, όπωςηp, ήµίασύνθετηπρότασηόπωςη ( ( P Q ) ( ~ C ) ) καλείται καλοσχηµατισµένη έκφραση (well - formed formula ή wff) 15

16 Ορισµός : Οι καλοσχηµατισµένες εκφράσεις ( wff ) ή εκφράσεις για συντοµία, στην προτασιακή λογική, ορίζονται επαναληπτικά όπως ακολουθεί : Έναάτοµοείναιµιαέκφραση ( wff ). Αν Gείναιµιαέκφραση ( wff ) τότε ( ~ G ) είναιεπίσηςµιαέκφραση. Αν G καιηείναιεκφράσεις, τότεοι ( G H ), ( G H ), ( G H ) και ( G H ) είναιεκφράσεις. Όλες οι εκφράσεις δηµιουργούνται µέσω εφαρµογής των ανωτέρω κανόνων. Εκφράσειςόπως ( P ) και ( P ) δενείναιεκφράσεις ( wff ) Μερικά ζεύγη παρενθέσεων µπορούν να απαλείφονται π.χ. P Q και P Q είναιαντίστοιχαοιεκφράσεις (P Q) και (P Q) Επιπλέον, µπορούµε να παραλείπουµε τη χρήση παρενθέσεων, εκχωρώντας φθίνουσα κατάταξη (decreasing ranks) στους προτασιακούς συνδέσµους όπως ακολουθεί :,,,, ~ απαιτώντας ότι ο σύνδεσµος µε τη µεγαλύτερη κατάταξη, πάντα φτάνει πιο µακριά. ΈτσιΡ Q R θασηµαίνει ( Ρ ( Q R ) ) και P Q ~ R S θασηµαίνει ( P ( Q ( ( ~ R ) S ) ) ). 16

17 Έστω Gκαι H δύοεκφράσεις. Τότεοιαληθείςτιµέςτωνεκφράσεων : ( ~ G ), ( G H ), ( G H ), ( G H ) και ( G H ) σχετίζονταιµετιςαληθείςτιµέςτων Gκαι H κατά τον ακόλουθο τρόπο : 1. ~ G είναιαληθήςόταν Gείναιψευδήςκαιείναιψευδήςόταν Gείναιαληθής. Το (~ G) καλείται η άρνηση του G (negation) 2. ( G H )είναιαληθήςαν GκαιΗείναικαιταδύοαληθή. Αλλιώςη( G H ) είναιψευδής. Πρόκειταιγιατησύζευξητων GκαιΗ( conjunction ) 3. ( G H )είναιαληθής, αντουλάχιστονένααπότα GκαιΗείναιαληθές. Αλλιώςη( G H ) είναι ψευδής. Μιλάµε τότε για τη διάζευξη των G και Η (disjunction). 4. (G H)είναιψευδήςαν GείναιαληθήςκαιΗείναιψευδής. Αλλιώςη(G H) είναι αληθής. Η (G H) διαβάζεταιως «εάν G, τότεη»ή«gσυνεπάγεταιη» (implication) 5. (G H)είναιαληθήςοποτεδήποτεοι GκαιΗέχουντιςίδιεςτιµέςαληθείας. Αλλιώςη(G H) είναιψευδής. Η (G H) διαβάζεταιως G ανκαιµόνοανη (ισοδυναµία). 17

18 ΒΑΣΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ G H ( ~ G ) ( G H ) ( G H ) ( G H ) ( G H ) T T F T T T T T F F F T F F F T T F T T F F F T F F T T 18

19 ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Υποθέστεότι P και Qείναιδύοάτοµακαιότιοιτιµέςαληθείαςτων P και QείναιΤκαι F, αντίστοιχα. Τότεσύµφωναµετηδεύτερηγραµµή (Λ 120) τουπίνακα (2.1), µε P και Q νααντικαθιστώνταιαπότα GκαιΗαντίστοιχαβρίσκουµεότιοιτιµέςαληθείαςτων (~ Ρ), ( P Q ), ( P Q ), ( P Q ) και ( P Q ) είναι F, F, T, F, F, αντίστοιχα. Παρόµοια, η τιµή αληθείας κάθε έκφρασης (wff), µπορεί να υπολογιστεί σε όρους τιµών αληθείας των ατόµων. Παράδειγµα Θεωρήστε την έκφραση G ( P Q ) ( R ( ~ S ) ) Ταάτοµαστηνέκφρασηαυτήείναι P, Q, R και S. Υποθέστετιςτιµέςαληθείαςαυτώνναείναι T, F, T καιτ, αντίστοιχα. Τότε : * η ( P Q ) είναι FαφότουηGείναιψευδής ( F ) * η ( ~ S ) είναι FαφούηS είναιτ * η ( R ( ~ S ) ) είναι FαφούηR είναιτκαιη( ~ S ) είναι F * η ( P Q ) ( R ( ~ S ) ) είναιταφούη( P Q ) είναι F καιη( R ( ~ S ) ) είναι F Άραηέκφραση G είναιτ( αληθής ), εάντα P, Q, R, S είναι T, F, T, Tαντίστοιχα. Ηεκχώρησητωντιµώναληθείαςστα { Τ, F, Τ, Τ } στα { P, Q, R, S } αντίστοιχα, θα καλείταιµίαερµηνεία (interpretation) τηςέκφρασης G. 19

20 Απότηστιγµήπουτοκαθένααπότα P, Q, R, SµπορείναπαίρνειείτετηντιµήΤ, είτε F, υπάρχουν 2 4 = 16ερµηνείεςγιατηνέκφραση G. 20

21 Ορισµός οθείσηςµιαςέκφρασης GαςείναιΑ1, Α2,..., Αnταάτοµαπουσυναντώνταιστηνέκφραση G. Τότεµίαερµηνείατου GείναιµιακαταχώρησητωντιµώναληθείαςσταΑ1, Α2,..., Αn σταοποίακάθεαiπαίρνειτιµήτήf, αλλάόχικαιτιςδύοµαζί. Ορισµός Μιαέκφραση Gθαλέγεταιαληθήςυπόµία ( ήσεµία ) ερµηνεία [truth under (or in) an interpretation], ανκαιµόνοανηgπαίρνειτηντιµήτστηνερµηνεία. ΑλλιώςηGθαλέγεται ψευδής υπό την ερµηνεία αυτή. (false under the interpretation ). Εάνυπάρχουν «n»διαφορετικάάτοµασεµιαέκφραση τότε Θαυπάρχουν 2 n διαφορετικέςερµηνείεςγιατηνέκφραση ΑνΑ1, Α2,..., Αnείναιόλαάτοµαπουσυναντώνταισεµιαέκφραση, ίσωςείναιπιοβολικόνα αναπαραστήσουµεµιαερµηνείαµέσωενόςσυνόλου {m1...mn}, όπου mi είναι, ήαή(~ Α) Π.χ. τοσύνολο { P, ~ Q, ~ R, S }, αναπαριστάµιαερµηνείαστηνοποία P, Q, R και Sέχουν αντίστοιχατιµέςτ, F, T, T. ηλαδή, ανέναάτοµοαείναιµέσασεένασύνολοπου αναπαριστάµιαερµηνεία, τότετοαπαίρνειτηντιµήτ, ενώναηάρνησητουατόµουα είναιµέσαστοσύνολο, τότετοαπαίρνειτηντιµή F. 21

22 ΙΣΧΥΣ ΚΑΙ ΑΣΥΝΕΠΕΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Παράδειγµα Έστωηέκφραση G ( ( P Q ) P ) Q Άτοµα: P, Q 2 2 = 4 ερµηνείες Ηέκφραση G είναιαληθήςγιαόλεςτιςερµηνείεςτης ισχυρή έκφραση ή ταυτολογία ( valid formula or tautology ) 22

23 Παράδειγµα Έστωηέκφραση G ( ( P Q ) ( P ~ Q ). Η Gείναιψευδήςγιαόλεςτιςερµηνείεςτης ασυνεπής έκφραση (inconsistent formula) ή αντιλογία (contradiction) 23

24 Ορισµός Μιαέκφρασηθαλέγεταιισχυρή (valid), ανκαιµόνοαν, είναιαληθήςυπόόλεςτις ερµηνείες της. Μια έκφραση θα λέγεται ανίσχυρη (invalid), αν και µόνο αν, δεν είναι ισχυρή. Ορισµός Μια έκφραση θα λέγεται ασυνεπής ή ανικανοποίητη (inconsistent or unsatisfiable), αν και µόνοανείναιψευδήςυπόόλεςτιςερµηνείεςτης. Μιαέκφρασηθαλέγεταισυνεπήςή ικανοποιήσιµη, αν και µόνο αν δεν είναι ασυνεπής. Από τους πιο πάνω ορισµούς παρατηρούµεταεξής : 1. Μιαέκφρασηείναιισχυρή, ανκαιµόνοανηάρνησήτηςείναιασυνεπής. 2. Μιαέκφρασηείναιασυνεπής, ανκαιµόνοανηάρνησήτηςείναιισχυρή. 3. Μια έκφραση είναι ανίσχυρη αν και µόνο αν υπάρχει τουλάχιστον µια ερµηνεία υπό την οποίαηέκφρασηείναιψευδής. 4. Μια έκφραση είναι συνεπής, αν και µόνο αν υπάρχει τουλάχιστον µια ερµηνεία υπό την οποίαηέκφρασηείναιαληθής. 5. Εάν µια έκφραση είναι ισχυρή, τότε είναι συνεπής, αλλά όχι το αντίστροφο. 6. Εάνµιαέκφρασηείναιασυνεπής, τότεείναικαιανίσχυρη, αλλάόχιτοαντίστροφο. 24

25 Παράδειγµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Χρησιµοποιώντας τεχνικές πινάκων αληθείας, θα µπορούσαµε να επιβεβαιώσουµε τα ακόλουθα: α. ( P ~ Ρ ) είναιασυνεπής : άραεπίσηςανίσχυρη. β. ( P ~ Ρ ) είναιισχυρή : άραεπίσηςσυνεπής. γ. ( P ~ Ρ ) είναιανίσχυρη : καιακόµαασυνεπής. Ανµιαέκφραση FείναιαληθήςυπότηνερµηνείαΙ, τότελέµεότιηιικανοποιεί ( satisfies ) την F, ήότιηf ικανοποιείταιαπότηνι. Απότηνάλληµεριά, ανµιαέκφραση FείναιψευδήςυπόµιαερµηνείαΙ, τότεθαλέµεότι ηιδιαψεύδει ( είναιενδεχόµενοναεµφανίζεταικαιµετονόρο «ψευτίζει»την Fµε τηνέννοιαότι «προσδίδειψεύδοςστην F»την F ( falsifies F ), ήότιηfδιαψεύδεται απότηνι Π.χ. ηέκφραση ( P ( ~ Q ) ) ικανοποιείταιαπότηνερµηνεία { Ρ, ~ Q } αλλά διαψεύδεταιαπότηνερµηνεία { Ρ, Q }. ΌτανµιαερµηνείαΙικανοποιείµιαέκφραση F, ηιεπίσηςκαλείται, έναµοντέλο ( model ) της F Στην προτασιακή λογική αφότου ο αριθµός των ερµηνειών είναι πεπερασµένος, κάποιος µπορείνααποφασίσειανήόχιµιαέκφρασηστηνπροτασιακήλογικήείναιισχυρή ( ή ασυνεπής ) µέσω εξαντλητικής εξέτασης όλων των πιθανών ερµηνειών της. 25

26 ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Συχνά είναι χρήσιµο ή αναγκαίο να µετασχηµατίσουµε µια έκφραση από µια µορφήσεάλλη, ειδικάσεµιακανονικήµορφή ( normal form ). Αυτό γίνεται αντικαθιστώντας µικρότερες εκφράσεις µε άλλες ισοδύναµες µέσα στη κύρια έκφραση επαναληπτικά ώσπου να πετύχουµε την επιθυµητή µορφήτης. Μετονόροισοδύναµεςεννοούµεταεξής : Ορισµός ύοεκφράσεις Fκαι Gλέγονταιισοδύναµες ( equivalent ) -ήηfείναι ισοδύναµητης G -καιδηλώνονταιως F = G, ανκαιµόνοανοιτιµές αληθείαςτων Fκαι Gείναιοιίδιεςυπόκάθεερµηνείατων Fκαι G. 26

27 Παράδειγµα Επιβεβαιώνουµεότιτο ( P Q ) είναιισοδύναµοµετο ( ~ P Q ), εξετάζονταςτονπίνακααληθείας : 27

28 ΚΑΝΟΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ πάντααληθής πάνταψευδής F, G καιηείναιόλεςεκφράσεις 2.3a και 2.3b καλούνται συχνά νόµοι µετατροπής (commutative laws) 2.4a και 2.4b καλούνται νόµοι σύνδεσης (associative laws) 2.5a και 2.5b νόµοι κατανοµής (distributive laws) 2.10aκαι 2.10b νόµοιτου De Morgan (de Morgan laws) 28

29 Η F1 F2... Fnείναιαληθήςοποτεδήποτετουλάχιστονµίααπότις Fi, 1 i nείναιαληθής, αλλιώςείναιψευδής. Η F1 F2... Fnκαλείταιηδιάζευξη ( disjunction ) των F1,..., Fn F1 F2... Fnαληθής, εάνόλεςοι F1,..., Fnείναιαληθήςκαιηοποίαείναιψευδής αλλιώς. Η F1 F2... Fnκαλείταιησύζευξη ( conjunction ) των F1,..., Fn. Σηµειώστεότιηδιάταξηστην οποία τα Fi εµφανίζονται σε µια σύζευξη, ή, διάζευξη, είναι άνευ σηµασίας Π.χ. F1 F2 F3 = F1 F3 F2 = F2 F1 F3 = F3 F2 F1 = F2 F3 F1 = F3 F1 F2 Ορισµός Έναςστοιχειώδηςτύπος ( literal ) είναιέναάτοµοήηάρνησηενόςατόµου. Ορισµός Μιαέκφραση Fλέγεταιότιείναι «σεµιασυζευκτικήκανονικήµορφή» F F1... Fn, n 1, όπου κάθεένααπότα F1,..., Fnείναιµιαδιάζευξηαπόστοιχειώδειςτύπους. 29

30 Παράδειγµα Έστω P, Q, Rάτοµα Τότε F ( P ~ Q R ) ( ~ P Q ) είναιµιαέκφρασησεµιασυζευκτικήκανονικήµορφή. Γιααυτήτηνέκφραση, F1 = ( P ~ Q R ) και F2 = ( ~ P Q ). Η F1 είναιµιαδιάζευξητωνστοιχειωδώντύπων ~ Ρκαι Q. Ορισµός Μίαέκφραση Fλέγεταιότιείναισεµιαδιαζευκτικήκανονικήµορφή ( disjunctive normal form ), ανκαιµόνοναηf έχειτηµορφήτου F F1... Fn, n 1, όπουκαθένααπότα F1,..., Fn είναι µια σύζευξη από στοιχειώδεις τύπους. 30

31 Παράδειγµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Έστω P, Q, R, άτοµα. ΤότεηF ( ~ P Q ) ( P ~ Q ~ R ) είναιµιαέκφρασησεµιαδιαζευκτική κανονικήµορφή. F1 = ( ~ P Q ) και F2 = ( P ~ Q ~ R ) Η F1 είναιµιασύζευξητωνστοιχειωδώντύπων ~ Pκαι Q καιηf2 είναιµιασύζευξητωνστοιχειωδώντύπων P, ~ Q, και ~ R. Οποιαδήποτεέκφρασηµπορείναµετασχηµατιστείσεµιακανονικήµορφή [νόµοι]. ιαδικασία µετασχηµατισµού : Βήµα 1 Χρησιµοποίησετουςνόµους 2.1 ( F G = ( F G ) ( G F ) ) και 2.2 ( F G = ~ F G ) γιανα εξαλειφθούν οι λογικοί σύνδεσµοι και. Βήµα 2 Επαναληπτικήχρήσητουνόµου 2.9 ( ~ ( ~ F ) = F ) καιτωννόµων De Morgan, 2.10α ( ~ ( F G ) = ~ F ~ G ) και 2.10b ( ~ ( F G ) = ~ F ~ G ) γιαναφέρουµε τααρνητικάσύµβολααµέσωςπρινταάτοµα. Βήµα 3 Επαναληπτικά χρησιµοποίησε τους νόµους κατανοµής 2.5a ( F ( G H ) = ( F G ) ( F H ) ) και 2.5b ( F ( G H ) = ( F G ) ( F H ) καιτουςάλλουςνόµουςγιαναεπιτύχειςµια κανονική µορφή. 31

32 Παράδειγµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ ηµιουργήστεµιαδιαζευκτικήκανονικήµορφήγιατηνέκφραση ( P ~ Q ) R Έχουµε ( P ~ Q ) R = ~ ( P ~ Q ) R ( 2.2 ) = (~ P ~ ( ~ Q ) ) R ( 2.10a ) = ( ~ P Q ) R ( 2.9 ) που είναι το ζητούµενο. Παράδειγµα Βρείτεµιασυζευκτικήκανονικήµορφήγιατηνέκφραση ( P ( Q R ) ) S ( P ( Q R ) ) S = ( P ( ~ Q R ) ) S ( 2.2 ) = ~ ( P ( ~ Q R ) ) S ( 2.2 ) = ( ~ P ~ ( ~ Q R ) ) S ( 2.10b ) = ( ~ P ( ~ ( ~ Q ) ~ R ) ) S ( 2.10a ) = ( ~ P ( Q ~ R ) ) S ( 2.9 ) = ( ( ~ P Q ) ( ~ P ~ R ) ) S ( 2.5a ) = S ( ( ~ P Q ) ( ~ P ~ R ) ) ( 2.3a ) = ( S ( ~ P Q ) ) ( S ( ~ P ~ R ) ) ( 2.5a ) = ( S ~ P Q ) ( S ~ P ~ R ) ( 2.4a ) άρατο ( S ~ P Q ) ( S ~ P ~ R ) είναιτοζητούµενο 32

33 ΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Στα µαθηµατικά, όπως και στην καθηµερινή ζωή, συχνά πρέπει να αποφασίσουµε εάν κάποια κατάσταση είναι επακόλουθο κάποιων άλλων καταστάσεων Αυτό οδηγεί στην έννοια της «λογικής συνέπειας» Παράδειγµα Έστω οι προτάσεις: 1) οι τιµές των µετοχών υποχωρούν, αν το επιτόκιο καταθέσεων ανεβαίνει 2) οι περισσότεροι άνθρωποι είναι δυστυχείς όταν οι τιµές µετοχών υποχωρούν 3) Υποθέστε ότι τώρα το επιτόκιο καταθέσεων πράγµατι ανεβαίνει είξτε ότι µπορείτε να συνάγετε το ότι οι άνθρωποι είναι δυστυχείς 33

34 Για να δείξουµε το ζητούµενο, δηλώνουµε τις καταστάσεις ως ακολούθως : P Το επιτόκιο καταθέσεων ανεβαίνει S Οιτιµέςµετοχώνυποχωρούν U Οι περισσότεροι άνθρωποι είναι δυστυχείς Υπάρχουν 4 καταστάσεις στο παράδειγµά µας. Αυτές είναι : ( 1 ) : Εάν το επιτόκιο καταθέσεων ανεβαίνει, οι τιµές µετοχών υποχωρούν. ( 2 ) : Εάνοιτιµέςµετοχώνυποχωρούν, οιπιοπολλοίάνθρωποιείναιδυστυχείς ( 3 ) : Τοεπιτόκιοκαταθέσεωνανεβαίνει ( 4 ) : Οιπερισσότεροιάνθρωποιείναιδυστυχείς Αυτές οι καταστάσεις, αρχικά συµβολίζονται ως : ( 1 ) : P S ( 2 ) : S U ( 3 ) : P ( 4 ) : U 34

35 Τώραδείχνουµεότι ( 4 ) είναιαληθής, οποτεδήποτεη( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) είναιαληθής. Μετασχηµατίζουµεπρώτατην ( ( P S ) ( S U ) P ( αναπαριστώνταςτην ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) σεµιακανονικήµορφή ) : ( ( P S ) ( S U ) P ) ( ( ~ P S ) ( ~ S U ) P ) ( 2.2 ) = P ( ~ P S ) ( ~ S U ) ( 2.3b ) = ( ( P ~ P ) ( P S ) ) ( ~ S U ) ( 2.5b ) = ( ( ( P S ) ) ( ~ S U ) ) ( 2.8b ) = ( P S ) ( ~ S U ) ( 2.6a ) = ( P S ~ S ) ( P S U ) ( 2.5b ) = ( P ) ( P S U ) ( 2.8b ) = ( P S U ) ( 2.7b ) = P S U ( 2.6a ) Έτσιεάν ( ( P S ) ( S U ) P ) είναιαληθής, τότεη( P S U ) είναιαληθής Αφούη( P S U ) είναιαληθήςµόνοεάν P, S και U είναιόλεςαληθείς, συνάγουµεότι η U είναιαληθής ΕπειδήηUείναιαληθήςοποτεδήποτεοι ( P S ), (S U ) καιρείναιαληθείς, στη λογικήηuκαλείταιλογικήσυνέπειατων ( P S), ( S U ) καιρ 35

36 Ορισµός οθέντωντωνεκφράσεων F1, F2,...Fn καιµιαςέκφρασης G, η G θα καλείται λογική συνέπεια (logical consequence) των F1, F2,...Fn [ ήηgλογικάσυνεπάγεταιαπότις F1, F2,...Fn ( logically follows from F1, F2,...Fn ], ανκαιµόνοαν, γιακάθεερµηνείαι, στηνοποίαη F1 F2... Fnείναιαληθής, η Gείναιεπίσηςαληθής Οι F1, F2,...Fnονοµάζονταιαξιώµατα (axioms) ήακόµαυποθέσεις (premises) ή αυταπόδεικτα του G Θεώρηµα ( 2.1 ) οθέντωντωνεκφράσεων F1, F2,...Fnκαιµιαςέκφρασης G, η G είναιµιαλογικήσυνέπειατων F1, F2,...Fnανκαιµόνοαν ηέκφραση ( ( F1 F2... Fn ) G ) είναιισχυρή (valid) 36

37 Θεώρηµα ( 2.2 ) οθέντωντωνεκφράσεων F1, F2,..., Fnκαιµιαςέκφρασης G, η G είναιλογικήσυνέπειατων F1, F2,...Fn ανκαιµόνοανηέκφραση ( F1 F2... Fn ~G) είναιασυνεπής (inconsistent) Τα δύο αυτά θεωρήµατα είναι πολύ σηµαντικά. είχνουν ότι αποδεικνύοντας πως µια συγκεκριµένη έκφραση είναι µια λογική συνέπεια ενός πεπερασµένου συνόλου εκφράσεων, είναι ισοδύναµο µε το να αποδειχτεί ότι µια συγκεκριµένη συνολική έκφραση είναι ισχυρή ή ασυνεπής. ΕάνηGείναιµιαλογικήσυνέπειατων F1, F2,...Fnηέκφραση ( ( F1 F2... Fn ) G ) καλείταιέναθεώρηµα (theorem) καιηg επίσης καλείται το συµπέρασµα του θεωρήµατος (conclusion of the theorem) Στα µαθηµατικά όπως επίσης και σε άλλες περιοχές, πολλά προβλήµατα µπορούν να τυποποιηθούν ως προβλήµατα απόδειξης θεωρηµάτων 37

38 Παράδειγµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Θεωρήστετιςεκφράσεις : F1 ( P Q ) F2 ~ Q G ~ P είξτεότιηgείναιµιαλογικήσυνέπειατων F1 και F2. Μέθοδος 1 Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την τεχνική των πινάκων αληθείας, για να δείξουµε ότι η G είναι αληθής, σε κάθε µοντέλοτης ( P Q ) ~ Q. Υπάρχειµόνοέναµοντέλογιατην ( P Q ) ~ Q, το { ~ P, ~ Q } (δηλαδήµόνοέναζεύγοςτιµώναλήθειαςπουτην επαληθεύει (Τ) δείτετελευταίαγραµµήτουπίνακα. Η ~ P είναιφυσικάαληθήςστοµοντέλοαυτό. Έτσιµέσωτουορισµούτηςλογικήςσυνέπειας, συµπεραίνουµεότιη~ Ρείναιλογικήσυνέπειατων ( P Q ) και ~ Q. 38

39 Μέθοδος 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Χρησιµοποιούµετοθεώρηµα 2.1. Αυτόµπορείναγίνειαπλάεπεκτείνονταςτονπίνακααληθείαςτουπίνακα ( 2.7 ), ή υπολογίζονταςτηνέκφραση ( ( P Q ) Q ) ~ Ρ. Οπίνακας ( 2.8 ) δείχνειότιη ( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρείναιαληθήςγιακάθεερµηνεία. Έτσιη( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρείναιισχυρή ( valid ) καισύµφωναµετοθεώρηµα 2.1, η ~ Ρείναιµιαλογικήσυνέπειατων P Qκαι ~ Q 39

40 Μέθοδος 3 Μπορούµεεπίσηςνααποδείξουµετηνισχύτης ( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρ, µετασχηµατίζοντας την σε µια συζευκτική κανονική µορφή: ( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρ = ~ ( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρ ( 2.2 ) = ~ ( ( ~ P Q ) ~ Q ) ~ Ρ ( 2.2 ) = ~ ( ( ~ P ~ Q ) ( Q ~ Q ) ) ~ Ρ ( 2.5b ) = ~ ( ( ~ P ~ Q ) ) ~ Ρ ( 2.8b ) = ~ ( (~ P ~ Q ) ) ~ Ρ ( 2.6a ) = ( P Q ) ~ Ρ ( 2.10b ) = ( Q P ) ~ Ρ ( 2.3a ) = Q ( P ~ P) = Q = Άραη( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρείναιισχυρή 40

41 Μέθοδος 4 Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το θεώρηµα ( 2.2 ) Τότε αποδεικνύουµε ότι η ( ( P Q ) ~ Q ) ( ~ ( ~ P ) ) = ( P Q ) ~ Q (~(~P)) είναι ασυνεπής [ll126] Πάλιόπωςστηµέθοδο 2, µπορούµεναχρησιµοποιήσουµετηντεχνικήπίνακααληθείας, γιαναδείξουµεότιη( P Q ) ~ Q (~(~P)) δηλ. η ( P Q ) ~ Q Pείναιψευδήςγιακάθεερµηνεία Απότονπίνακα ( 2.9 ), συµπεραίνουµεότιη( P Q ) ~ Q Pείναιασυνεπήςκαισύµφωναµετοθεώρηµα ( 2.2 ), η ~ Ρείναιµιαλογικήσυνέπειατων ( P Q ) και ~ Q. 41

42 5 η µέθοδος Μπορούµε επίσης να αποδείξουµε την ασυνέπεια της ( P Q ) ~ Q P µετασχηµατίζοντας την σε µια διαζευκτική κανονική µορφή (disjunctive normal form): ( P Q ) ~ Q P = ( ~ P Q ) ( ~ Q P ) = ( 2.2 ) ( ~ P ~ Q P ) ( Q ~ Q P ) = ( 2.5b ) ( ~Q ) ( P ) = ( 2.4 ) ( 2.7 ) ( 2.8 ) = ( 2.8b ) ( 2.6a ) Άραη ( P Q ) ~ Q Pείναιασυνεπής 42

43 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΜΕΣΩ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ Παράδειγµα 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ οθέντοςτουγεγονότοςότιτοκοινοβούλιοαρνείταιναψηφίσεινέουςνόµους, τότε η απεργία δεν θα λήξει, εκτός αν διαρκέσει περισσότερο από ένα χρόνο και ο πρόεδρος παραιτηθεί. εν θα λήξει η απεργία διότι το κοινοβούλιο αρνείται να ενεργήσει και η απεργία µόλις αρχίζει. α. Μετατροπή καταστάσεων σε σύµβολα : P : Το κοινοβούλιο αρνείται να ενεργήσει Q : Ηαπεργίαέχειλήξει R : Ο πρόεδρος παραιτείται S : Ηαπεργίαδιαρκείπερισσότεροαπόέναχρόνο Τότε τα γεγονότα που δείχνονται στο παράδειγµα µπορούν να αναπαρασταθούν από «εκφράσεις» : 43

44 F1 : ( P ( ~ Q ( R S ) ) ) εάντοκοινοβούλιοαρνηθείναψηφίσεινέουςνόµους, τότεηαπεργίαδενθαλήξειεκτόςκιανδιαρκέσει περισσότερο από ένα χρόνο και ο πρόεδρος παραιτηθεί. F2 : Ρ Το κοινοβούλιο αρνείται να ενεργήσει. F3 : ~ S Ηαπεργίαµόλιςαρχίζει. Απόταγεγονότα F1, F2, F3 συµπεραίνουµεότιηαπεργίαδενθαλήξει; ηλαδήµπορούµεναδείξουµεότιη~ Qείναιµιαλογικήσυνέπειατων F1, F2, F3 ; Απότοθεώρηµα 2.1 αυτόείναιισοδύναµοµετοναδείξουµεότιη είναι µια ισχυρή έκφραση (valid formula) ( ( P ( ~ Q ( R S ) ) ) P ~ S ~ Q Στον πίνακα 2.10 φαίνονται οι τιµές αληθείας της παραπάνω έκφρασης για όλες τις ερµηνείες 44

45 45

46 Από τον ίδιο πίνακα βλέπουµε ότι δεν υπάρχει ψευδής ερµηνεία. Άραηέκφρασήµαςείναιµιαισχυρήέκφραση Έτσιη~ Qείναιµιαλογικήσυνέπειατων F1, F2 και F3 και µπορούµε να συνάγουµε την ~ Q απότις Fi Άραηαπάντησηείναι : «ηαπεργίαδενθαλήξει» 46

47 Παράδειγµα (Πρόβληµα Χηµικής Σύνθεσης) Υποθέστε ότι µπορούν να λάβουν χώρα οι ακόλουθες χηµικές αντιδράσεις : (1) : MgO + H2 Mg + H 2 O (2) : C + CO 2 CO 2 (3) : CO 2 + H 2 O H 2 CO 3 Υποθέστεότιέχουµεµερικέςποσότητες MgO, H 2, O 2 και Cσανατοµικέςεκφράσεις. Τότε οι πιο πάνω χηµικές αντιδράσεις µπορούν να αναπαρασταθούν από τις ακόλουθες εκφράσεις : Α1 : ( MgO H 2 ) ( Mg H 2 O ) A2 : ( C O 2 ) CO 2 A3 : ( CO 2 H 2 O ) H 2 CO 3 Αφούέχουµε MgO, H 2, O 2 και C, αυτάταγεγονόταµπορούννααναπαρασταθούναπότιςακόλουθες εκφράσεις : A4 : MgO A5 : H 2 A6 : O 2 A7 : C 47

48 Τώρατοπρόβληµαµπορείνακαταστρωθείεκνέουωςεξής : Πρέπεινααποδείξουµεότιτο H 2 CO 3 είναιµιαλογικήσυνέπειατωνα1,... Α7 πουαπότοθεώρηµα ( 2.2 ) είναιαλήθειαανη( Α1... Α7 ) ~ H2CO3 είναιασυνεπής Αποδεικνύουµετοτελευταίο, µετασχηµατίζονταςτηνέκφραση : ( Α1 Α2... Α7 ~ H2CO3 ) σεµια διαζευκτική κανονική µορφή : (Α1... Α7 ~ H2CO3 ) = = ( ( MgO H 2 ) ( MgO H 2 O ) ) ( ( C O 2 ) CO 2 ) ( ( CO 2 H 2 O ) H 2 CO 3 ) MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = ( ~ MgO ~ H 2 Mg ) ( ~ MgO ~ H 2 H 2 O ) ( ~ C ~ O 2 CO 2 ) ( ~ CO 2 ~ H 2 O H 2 CO 3 ) MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = ( ~ MgO ~ H 2 Mg ) ( ~ MgO ~ H 2 H 2 O ) MgO H 2 ( ~ C ~ O 2 CO 2 ) C O 2 ( ~ CO 2 ~ H 2 O H 2 CO 3 ) ~ H 2 CO 3 MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = = = Mg H 2 O MgO H 2 CO 2 C O 2 ( ~ CO 2 ~ H 2 O ) ~ H 2 CO 3 MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = ( ~ CO 2 ~ H 2 O ) H 2 O CO 2 Mg MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = Mg MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = Αφούη σηµαίνει «πάνταψευδής», ηέκφραση (Α1... Α7 ~ H2CO3 ) είναιασυνεπής. Άρατο H2CO3 είναιµιαλογικήσυνέπειατωνα1,..., Α7. Αυτόσηµαίνειότιµπορούµεναφτιάξουµε H2CO3 από MgO, H2, O2 και C Η παραπάνω διαδικασία καλείται πολλαπλασιαστική µέθοδος (multiplication method), γιατί η διαδικασία µετασχηµατισµού είναι πολύ όµοια µε τον πολλαπλασιασµό µιας αριθµητικής έκφρασης 48 Στην πράξη, πολύ συνθετότερα παραδείγµατα όµοια µε το τελευταίο, λύνονται από Η/Υ µε κατάλληλα

Λογικοί πράκτορες. Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση

Λογικοί πράκτορες. Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση Λογικοί πράκτορες Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση Βάση γνώσης (knowledge base: Σύνολο προτάσεων (sentences Γλώσσα αναπαράστασης της γνώσης Γνωστικό υπόβαθρο: «Αµετάβλητο» µέρος της ΒΓ Βασικές εργασίες:

Διαβάστε περισσότερα

9.1 Προτασιακή Λογική

9.1 Προτασιακή Λογική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 9 Λογική Η λογική παρέχει έναν τρόπο για την αποσαφήνιση και την τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης και προσφέρει µια σηµαντική και εύχρηστη µεθοδολογία για την αναπαράσταση και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Λογική. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου

Κεφάλαιο 9. Λογική. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Κεφάλαιο 9 Λογική Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Λογική Aποσαφήνιση και την τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης. Η µαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

1 Κεφάλαιο 9 Λογική 1

1 Κεφάλαιο 9 Λογική 1 1 Κεφάλαιο 9 Λογική 1 Λογική Aποσαφήνιση και την τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης. Η μαθηματική λογική (mathematical logic) είναι η συστηματική μελέτη των έγκυρων ισχυρισμών (valid arguments).

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά (Τσικνο)Πέµπτη, 12/02/2015 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen

Διαβάστε περισσότερα

Ε ανάληψη. Παιχνίδια τύχης. Παιχνίδια ατελούς ληροφόρησης. Λογικοί ράκτορες. ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη 2006. αναζήτηση expectiminimax

Ε ανάληψη. Παιχνίδια τύχης. Παιχνίδια ατελούς ληροφόρησης. Λογικοί ράκτορες. ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη 2006. αναζήτηση expectiminimax ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Προτασιακή Λογική Propositional Logic Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Παιχνίδια τύχης αναζήτηση expectiminimax Παιχνίδια ατελούς

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Βασικά Στοιχεία Λογικής

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Βασικά Στοιχεία Λογικής ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Βασικά Στοιχεία Λογικής 2 Η Πριγκίπισσα και το Κάστρο Αν ρώταγα ένα μέλος της φυλής που δεν ανήκεις για το ποιον δρόμο πρέπει να πάρω για το κάστρο τι θα μου έλεγε; Μία πριγκίπισσα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Τεχνητή Νοημοσύνη. Ενότητα 5: Αναπαράσταση Γνώσης με Λογική

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Τεχνητή Νοημοσύνη. Ενότητα 5: Αναπαράσταση Γνώσης με Λογική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Τεχνητή Νοημοσύνη Ενότητα 5: Αναπαράσταση Γνώσης με Λογική Αν. καθηγητής Στεργίου Κωνσταντίνος kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10;

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10; C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 4 ο Τελεστές Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Ο τελεστής εκχώρησης = Ο τελεστής = χρησιµοποιείται για την απόδοση τιµής (ή αλλιώς ανάθεση τιµής) σε µία µεταβλητή Π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1. Πράξεις Τελεστές Έλεγχος Ροής

Διάλεξη 1. Πράξεις Τελεστές Έλεγχος Ροής Διάλεξη 1 Πράξεις Τελεστές Έλεγχος Ροής Διοργάνωση : ΚΕΛ ΣΑΤΜ Διαφάνειες: Skaros, MadAGu Παρουσίαση: MadAGu Άδεια: Creative Commons 3.0 Αριθμητικοί Τελεστές- Αριθμητικές Πράξεις 2 Internal use only Αριθμητικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Λογική και Προτασιακός Λογισµός ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 16 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύντοµη εισαγωγή στην Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές Γενικά Προτασιακή λογική Λογική πρώτης τάξης Λογικός προγραµµατισµός Επεκτάσεις της Λογικής Πρώτης Τάξης Συστήµατα Κανόνων Επίλογος Μειονεκτήµατα προτασιακής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Η ΓΛΩΣΣΑ PASCAL ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Απλοί ή στοιχειώδης Τ.Δ. Ακέραιος τύπος Πραγματικός τύπος Λογικός τύπος Χαρακτήρας Σύνθετοι Τ.Δ. Αλφαριθμητικός 1. Ακέραιος (integer) Εύρος: -32768 έως 32767 Δήλωση

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής ΜΠΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΥΦΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Ι.

Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής ΜΠΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΥΦΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Ι. Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής ΜΠΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΥΦΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Ι. Χατζηλυγερούδης ΩΡΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Τετάρτη/Τρίτη 5.00-7.00 µ.µ. (ΠΡΟΚΑΤ Τµήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 4 ΛΙΣΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ... 6 ΛΙΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΩΝ... 7 ΛΙΣΤΑ ΕΙΚΟΝΩΝ... 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 4 ΛΙΣΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ... 6 ΛΙΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΩΝ... 7 ΛΙΣΤΑ ΕΙΚΟΝΩΝ... 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...9 ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ/ΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟY ΠΑΤΡΩΝ ιπλωµατική Εργασία για το Μεταπτυχιακό ίπλωµα Ειδίκευσης στην «Επιστήµη και Τεχνολογία Υπολογιστών» ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ. ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ. Πύλες - Άλγεβρα Boole 1

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ. ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ. Πύλες - Άλγεβρα Boole 1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ Πύλες - Άλγεβρα Boole 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α)Ηλεκτρονικά κυκλώµατα Αναλογικά κυκλώµατα Ψηφιακά κυκλώµατα ( δίτιµα ) V V 2 1 V 1 0 t t Θετική λογική: Ο V 1 µε V 1 =

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη 2006. Ε ανάληψη. πράκτορες βασισµένοι σε προτασιακή λογική. πράκτορες βασισµένοι σε κύκλωµα

ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη 2006. Ε ανάληψη. πράκτορες βασισµένοι σε προτασιακή λογική. πράκτορες βασισµένοι σε κύκλωµα ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Λογική Πρώτης Τάξης First-Order Logic Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Συστηµατική αναζήτηση DPLL Το ική αναζήτηση WalkSat Λογικοί

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Σηµειώσεις στο µάθηµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. ιδάσκων : Χαράλαµπος Κορνάρος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Σηµειώσεις στο µάθηµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. ιδάσκων : Χαράλαµπος Κορνάρος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Σηµειώσεις στο µάθηµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ιδάσκων : Χαράλαµπος Κορνάρος ηµιουργία του ηλεκτρονικού αρχείου Χρήστος Πηλιχός Φοιτητής του Τµήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Είδη εντολών. Απλές εντολές. Εντολές ελέγχου. Εκτελούν κάποια ενέργεια. Ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται άλλες εντολές

Είδη εντολών. Απλές εντολές. Εντολές ελέγχου. Εκτελούν κάποια ενέργεια. Ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται άλλες εντολές Μορφές Εντολών Είδη εντολών Απλές εντολές Εκτελούν κάποια ενέργεια Εντολές ελέγχου Ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται άλλες εντολές Εντολές και παραστάσεις Μιαεντολήείναιμιαπαράστασηπου ακολουθείται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ME ΠΟΛΛΕΣ ΚΑΙ ΕΓΚΑΡΔΙΕΣ ΕΥΧΕΣ ΓΙΑ ΚΑΛΕΣ ΓΙΟΡΤΕΣ, ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΡΟΟΔΟ ΣΕ ΕΣΑΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΣΑΣ Φυλλάδιο 2: Σχεσιακή Λογική ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2006 ΠΑΡΑΔΟΣΗ: 12/11/2006

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Τύπου Μείωσης Προβλήµατος

Αλγόριθµοι Τύπου Μείωσης Προβλήµατος Αλγόριθµοι Τύπου Μείωσης Προβλήµατος Περίληψη Αλγόριθµοι Τύπου Μείωσης Προβλήµατος ( Decrease and Conquer ) Μείωση κατά µια σταθερά (decrease by a constant) Μείωση κατά ένα ποσοστό (decrease by a constant

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { D το D είναι ένα DFA το οποίο αποδέχεται όλες τις λέξεις στο Σ * } (α) Για να διαγνώσουμε το πρόβλημα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Λογικές πύλες Περιεχόμενα 1 Λογικές πύλες

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Ορολογία 17 - Η αρχή του περιστερώνα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Ορολογία 17 - Η αρχή του περιστερώνα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/04/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/21/2015

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1) Ποιοι είναι οι τελεστές σύγκρισης και

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ220 24/1/2007. of them occurring as the solution of a problem indicates some inconsistency or absurdity.

Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ220 24/1/2007. of them occurring as the solution of a problem indicates some inconsistency or absurdity. Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ0 //007 Μιγαδικοί Αριµοί Παναγιώτης Παναγή, ppanagi@ucy.ac.cy ηµήτρης Ηλιάδης, eldemet@ucy.ac.cy The imaginary expression a and the negative expression b, have this resemblance,

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Η γλώσσα προγραμματισμού C Γεώργιος Δημητρίου Εκφράσεις και Λίγες Εντολές Οι εκφράσεις της C Τελεστές Απλές και σύνθετες εντολές Εντολές ελέγχου (επιλογής) Εισαγωγή σε

Διαβάστε περισσότερα

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων NP-πληρότητα Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πολυωνυμικός μετασχηματισμός Ένας πολυωνυμικός μετασχηματισμός από την L 1 Σ 1 * στην L 2 Σ 2 * είναι μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

Λογική στην Πληροφορική - Εισαγωγή

Λογική στην Πληροφορική - Εισαγωγή Λογική στην Πληροφορική - Εισαγωγή Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Οργάνωση του Μαθήματος Αναδρομή στην Ιστορία της Λογικής ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 1-1 Διδασκαλία Διαλέξεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Αποδείξτε τη µεταβατική και τη συµµετρική ιδιότητα του Θ. Λύση Μεταβατική Ιδιότητα (ορισµός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)). Για

Διαβάστε περισσότερα