ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ"

Transcript

1 ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΙΣΧΥΣ ΚΑΙ ΑΣΥΝΕΠΕΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΜΕΣΩ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ PRENEX ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΤΗΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1

2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ HERBRAND ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ SKOLEM ΤΟ ΣΥΜΠΑΝ ΤΟΥ HERBRAND ( HERBRAND UNIVERSE ) ΕΝΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΚΩΝ ΤΥΠΩΝ ( CLAUSES ) SEMANTIC TREES ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ HERBRAND µηχανική µέθοδος απόδειξης θεωρηµάτων (~1930) (χρονοβόρα απαιτείη/υ) Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ( RESOLUTION PRINCIPLE ) (Robinson 1965) ένας και µόνο συλλογιστικός κανόνας inference rule- για απόδειξη θεωρηµάτων, χρήσιµος για H/Y Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΕΝΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΕΝΟΠΟΙΗΣΗΣ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΕΞΑΛΕΙΨΗΣ 2

3 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ F1 : εάνέχειζέστηκαιυγρασία, τότεθαβρέξει. F2 : εάνέχειυγρασία, τότεέχειζέστη. F3 : τώραέχειυγρασία. Ηερώτησηείναι : Θαβρέξει ; (F4) ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Έστω P: «έχει ζέστη» Q: «έχει υγρασία» R: «θα βρέξει» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Και τα λογικά σύµβολα «^»νααναπαριστά «και» νααναπαριστά «συνεπάγεται» 3

4 Τότε τα παραπάνω τρία γεγονότα αναπαριστώνται ως : F1 : P Q R F2 : Q P F3 : Q οποτεδήποτεοι F1, F2 και F3 είναιαληθείς, οτύπος F4 : R είναιαληθής Γι αυτόθαλέµεότιτο F4 επακολουθείλογικάαπότα F1, F2 και F3 (logically follows from) Αυτό σηµαίνει δηλαδή, ότι αν οι F1,F2,F3 είναι αληθείς, τότε θα βρέξει. 4

5 Παράδειγµα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Έστω τα ακόλουθα γεγονότα : F1 : Ο Κοµφούκιος είναι ένας άνθρωπος F2 : Κάθε άνθρωπος είναι θνητός Αναπαράσταση των F1 και F2 µε κατηγόρηµα (predicate) Ρ(x) : «x είναιέναςάνθρωπος» Q(x) : «ο x είναιθνητός» ( x) αναπαριστάτο «γιαόλατα x» Τότε τα παραπάνω γεγονότα αναπαριστώνται από το κάτωθι : F1 : P ( Κοµφούκιος ) F2 : ( x ) ( P(x) Q(x) ) Απότα F1 και F2 µπορούµεναπαράγουµελογικά ( logically deduce ) το: F3 : Q ( Κοµφούκιος ) δηλαδή ο Κοµφούκιος είναι θνητός 5

6 Τι προσπαθούµε να αποδείξουµε: Ότι ένας τύπος ( formula ) είναι λογικό επακόλουθο άλλων τύπων Θακαλούµεµίακατάστασηκατάτηνοποίαέναςτύποςείναιλογικόεπακόλουθοάλλων, ωςθεώρηµα. Μιαεπίδειξητουότιέναθεώρηµαείναιαληθέςθακαλείταιαπόδειξητουθεωρήµατος. Το πρόβληµα της σύγχρονης λογικής (ΜΤΡ = Mechanical Theorem Proving) είναι να λάβει υπόψη µηχανικές µεθόδους, για να βρει αποδείξεις θεωρηµάτων ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1. Σεένασύστηµαερωταποκρίσεων, ταγεγονόταµπορούννααναπαρασταθούναπόλογικούςτύπους. Τότε για να απαντηθεί µια ερώτηση από τα γεγονότα, αποδεικνύουµε ότι ένας τύπος που αντιστοιχεί στην απάντηση, παράγεται από τους τύπους που αναπαριστούν τα γεγονότα. 2. Σε ένα πρόβληµα ανάλυσης προγράµµατος, µπορούµε να περιγράψουµε την εκτέλεση ενός προγράµµατος µέσω ενός τύπου Α, και τη συνθήκη ότι το πρόγραµµα θα τερµατιστεί, από έναν άλλο τύπο Β. Τότε για να επιβεβαιώσουµε το ότι το πρόγραµµα θα τερµατιστεί, αρκεί ισοδύναµα να αποδείξουµεότιοτύποςβακολουθείαπότοντύποα. Άλλα παρόµοια προβλήµατα, που λύνονται µε αντίστοιχη µε την παραπάνω συλλογιστική, µέσα από τη θεωρία της Λογικής είναι : Το πρόβληµα ισοµορφισµού γραφηµάτων. Το πρόβληµα µετασχηµατισµού καταστάσεων, κ.λ.π. 6

7 Βασικές µαθηµατικές έννοιες και ορισµοί της θεωρίας συνόλων : Ένασύνολο ( set ) είναιµίασυλλογήαπόστοιχεία (µέλη). Ένασύνολοπουδενπεριέχεικαθόλουστοιχείακαλείταικενόσύνολο (empty set). Έστωδύοσύνολα, ταακαιβ. Ηέκφραση x A χρησιµοποιείταιγιανα δηλώσειότιτο xείναιέναµέλοςτουα, ήότιτο x ανήκειστοα. ΤοσύνολοΑείναιταυτόσηµοήίσο ( identical ) µετοσύνολοβ( συµβολίζεται µεα= Β ), ανκαιµόνοαντοακαιτοβέχουνταίδιαστοιχεία. ΤοσύνολοΑείναιέναυποσύνολοτουσυνόλουΒ( συµβολίζεταιµεα Β), αν καιµόνοανκάθεστοιχείοτουαείναιστοιχείοτουβ. ΤοσύνολοΑείναιένακύριουποσύνολο ( proper subset ) τουσυνόλουβ (συµβολίζεταια Β), ανκαιµόνοανα ΒκαιΑ Β. 7

8 Ηένωσηδύοσυνόλων (union) ΑκαιΒ, (συµβολίζεταια Β) είναιτοσύνολο πουαποτελείταιαπόόλαταστοιχείαπουανήκουνστοαήστοβ. Ητοµήδύοσυνόλων ( intersection ) ΑκαιΒ( συµβολίζεταια Β) είναιτο σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία που από κοινού ανήκουν καιστοακαιστοβ. Η διαφορά µεταξύ δύο συνόλων Α και Β, (συµβολίζεται Α-Β), είναι το σύνολο πουαποτελείταιαπόόλαταστοιχείαπουανήκουνστοα, αλλάδεν ανήκουν στο Β. 8

9 Σχέσεις και συναρτήσεις : Έναδιατεταγµένοζεύγος (ordered pair) στοιχείων, δηλώνεταιµε (x, y), όπου x καλείται πρώτη συντεταγµένη ή τετµηµένη και y δεύτερη συντεταγµένη ή τεταγµένη (first & second coordinate). Μία σχέση είναι ένα σύνολο από διατεταγµένα ζεύγη. Π.χ η σχέση ισότητας είναι ένα σύνολο από διατεταγµένα ζεύγη, καθένα από τα οποία έχει την πρώτη του συντεταγµένη ίση µε τη δεύτερη. Οχώρος (domain) µιαςσχέσης Rείναιτοσύνολοόλωντωνπρώτων συντεταγµένων των στοιχείων του R και το πλάτος στο οποίο κυµαίνεται (range), είναι το σύνολο όλων των δεύτερων συντεταγµένων. 9

10 Μία συνάρτηση είναι µια σχέση τέτοια ώστε δεν υπάρχουν δύο διαφορετικά στοιχεία που να έχουν την ίδια τετµηµένη (πρώτησυντεταγµένη). Εάν fείναιµίασυνάρτησηκαι x είναιέναστοιχείοτου χώρου της, τότε ο συµβολισµός f(x) δηλώνει τη δεύτερη συντεταγµένη (τεταγµένη) τουµοναδικούστοιχείουτης f, τουοποίουηπρώτησυντεταγµένη (τετµηµένη) είναι x. Η f(x) καλείταιητιµήτης f στοσηµείο x, καιλέµεότιηf προσδιορίζει (assigns) την τιµή f(x) στο x. 10

11 Συµβολισµοί Συσχέτισης >: µεγαλύτερο από : µεγαλύτερο ή ίσο <: µικρότερο από : µικρότεροήίσο =: ίσοµε : όχιίσοµε (διάφορο) : ορίζεται ως Το σύµβολο «=» θα χρησιµοποιείται µε πολλά παραπλήσια νοήµατα όπως: «ορίζεταιαπό» ( is defined by ) «είναιταυτόσηµοµε» ( is identical to ) «είναιισοδύναµοµε» ( is equivalent to ) «είναιίσοµε» ( is equal to ) 11

12 ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Η συµβολική λογική λαµβάνει υπόψη γλώσσες των οποίων ο βασικός σκοπός είναι να συµβολίσουν συλλογισµό βασισµένο όχι µόνο σε µαθηµατικά, αλλάεπίσηςκαιστηνκαθηµερινήζωή. Η απλούστερη µορφή συµβολικής λογικής είναι η προτασιακή λογική ( propositional logic or propositional calculus). Στην προτασιακή λογική ενδιαφερόµαστε για δηλωτικές προτάσεις (declarative sentences) που µπορούν να είναι αληθείς (true), ή ψευδείς (false), αλλάόχικαιταδύο. Κάθετέτοιαδηλωτικήπρότασηκαλείταιπρόταση (proposition). 12

13 Παραδείγµατα προτάσεων είναι : «Το χιόνι είναι άσπρο» «Η ζάχαρη είναι υδατάνθρακας» «Ο Βασίλης έχει διδακτορικό» Ηαλήθειαήτοψεύδοςπουαποδίδεταισεµίαπρόταση, καλείταιητιµήαλήθειας (truth value) τηςπρότασης. Αναπαριστούµε τηναλήθεια (true) µετ τοψεύδος (false) µε F Επιπλέον θα δηλώνουµε µε ένα γράµµα ή συνδυασµό γραµµάτων κάθε πρόταση όπως το παράδειγµα που ακολουθεί : Ρ Τοχιόνιείναιάσπρο Q Η ζάχαρη είναι υδατάνθρακας R Ο Βασίλης έχει διδακτορικό Τασύµβολαόπωςτα P, Q, Rπουχρησιµοποιούνταιγιαναδηλώσουνπροτάσεις, καλούνταιατοµικοίτύποιήάτοµα (atomic formulas or atoms). 13

14 Απόπροτάσειςµπορούµεναδοµήσουµεσύνθετεςπροτάσεις (compound propositions), χρησιµοποιώντας λογικούς συνδέσµους (logical connectives). Παραδείγµατα σύνθετων προτάσεων είναι : «Τοχιόνιείναιάσπροκαιοουρανόςκαθαρός». «ΑνοΓιάννηςδενείναιστοσπίτι, τότεημαρίαείναιστοσπίτι». λογικοί σύνδεσµοι στις παραπάνω δύο σύνθετες προτάσεις είναι «και»και «εάν... τότε» Στην προτασιακή λογική θα χρησιµοποιήσουµε πέντε λογικούς συνδέσµους : ~ όχι ( not ): άρνηση και ( and ): σύζευξη ή ( or ): διάζευξη εάν... τότε ( if... then ): συνεπαγωγή εάνκαιµόνοεάν ( if and only if ): ισοδυναµία 14

15 Οι πέντε λογικοί σύνδεσµοι µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να δοµήσουν σύνθετες προτάσεις, από απλές π.χ. αναπαριστούµε τα : «ηυγρασίαείναιυψηλή»µε P «ηθερµοκρασίαείναιυψηλή»µε Q «Κάποιοςαισθάνεταιάνετα»µε C Τότεηπρόταση : «Ανηυγρασίαείναιυψηλήκαιηθερµοκρασίαείναιυψηλή, τότε κάποιος δεν αισθάνεται άνετα», µπορεί να αναπαρασταθεί µε : ( ( P Q ) ( ~ C ) ) Έτσι βλέπουµε ότι µια σύνθετη πρόταση µπορεί να εκφράσει, µία µάλλον πολύπλοκη ιδέα. Στην προτασιακή λογική, µία έκφραση που αναπαριστά µιαπρόταση, όπωςηp, ήµίασύνθετηπρότασηόπωςη ( ( P Q ) ( ~ C ) ) καλείται καλοσχηµατισµένη έκφραση (well - formed formula ή wff) 15

16 Ορισµός : Οι καλοσχηµατισµένες εκφράσεις ( wff ) ή εκφράσεις για συντοµία, στην προτασιακή λογική, ορίζονται επαναληπτικά όπως ακολουθεί : Έναάτοµοείναιµιαέκφραση ( wff ). Αν Gείναιµιαέκφραση ( wff ) τότε ( ~ G ) είναιεπίσηςµιαέκφραση. Αν G καιηείναιεκφράσεις, τότεοι ( G H ), ( G H ), ( G H ) και ( G H ) είναιεκφράσεις. Όλες οι εκφράσεις δηµιουργούνται µέσω εφαρµογής των ανωτέρω κανόνων. Εκφράσειςόπως ( P ) και ( P ) δενείναιεκφράσεις ( wff ) Μερικά ζεύγη παρενθέσεων µπορούν να απαλείφονται π.χ. P Q και P Q είναιαντίστοιχαοιεκφράσεις (P Q) και (P Q) Επιπλέον, µπορούµε να παραλείπουµε τη χρήση παρενθέσεων, εκχωρώντας φθίνουσα κατάταξη (decreasing ranks) στους προτασιακούς συνδέσµους όπως ακολουθεί :,,,, ~ απαιτώντας ότι ο σύνδεσµος µε τη µεγαλύτερη κατάταξη, πάντα φτάνει πιο µακριά. ΈτσιΡ Q R θασηµαίνει ( Ρ ( Q R ) ) και P Q ~ R S θασηµαίνει ( P ( Q ( ( ~ R ) S ) ) ). 16

17 Έστω Gκαι H δύοεκφράσεις. Τότεοιαληθείςτιµέςτωνεκφράσεων : ( ~ G ), ( G H ), ( G H ), ( G H ) και ( G H ) σχετίζονταιµετιςαληθείςτιµέςτων Gκαι H κατά τον ακόλουθο τρόπο : 1. ~ G είναιαληθήςόταν Gείναιψευδήςκαιείναιψευδήςόταν Gείναιαληθής. Το (~ G) καλείται η άρνηση του G (negation) 2. ( G H )είναιαληθήςαν GκαιΗείναικαιταδύοαληθή. Αλλιώςη( G H ) είναιψευδής. Πρόκειταιγιατησύζευξητων GκαιΗ( conjunction ) 3. ( G H )είναιαληθής, αντουλάχιστονένααπότα GκαιΗείναιαληθές. Αλλιώςη( G H ) είναι ψευδής. Μιλάµε τότε για τη διάζευξη των G και Η (disjunction). 4. (G H)είναιψευδήςαν GείναιαληθήςκαιΗείναιψευδής. Αλλιώςη(G H) είναι αληθής. Η (G H) διαβάζεταιως «εάν G, τότεη»ή«gσυνεπάγεταιη» (implication) 5. (G H)είναιαληθήςοποτεδήποτεοι GκαιΗέχουντιςίδιεςτιµέςαληθείας. Αλλιώςη(G H) είναιψευδής. Η (G H) διαβάζεταιως G ανκαιµόνοανη (ισοδυναµία). 17

18 ΒΑΣΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ G H ( ~ G ) ( G H ) ( G H ) ( G H ) ( G H ) T T F T T T T T F F F T F F F T T F T T F F F T F F T T 18

19 ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Υποθέστεότι P και Qείναιδύοάτοµακαιότιοιτιµέςαληθείαςτων P και QείναιΤκαι F, αντίστοιχα. Τότεσύµφωναµετηδεύτερηγραµµή (Λ 120) τουπίνακα (2.1), µε P και Q νααντικαθιστώνταιαπότα GκαιΗαντίστοιχαβρίσκουµεότιοιτιµέςαληθείαςτων (~ Ρ), ( P Q ), ( P Q ), ( P Q ) και ( P Q ) είναι F, F, T, F, F, αντίστοιχα. Παρόµοια, η τιµή αληθείας κάθε έκφρασης (wff), µπορεί να υπολογιστεί σε όρους τιµών αληθείας των ατόµων. Παράδειγµα Θεωρήστε την έκφραση G ( P Q ) ( R ( ~ S ) ) Ταάτοµαστηνέκφρασηαυτήείναι P, Q, R και S. Υποθέστετιςτιµέςαληθείαςαυτώνναείναι T, F, T καιτ, αντίστοιχα. Τότε : * η ( P Q ) είναι FαφότουηGείναιψευδής ( F ) * η ( ~ S ) είναι FαφούηS είναιτ * η ( R ( ~ S ) ) είναι FαφούηR είναιτκαιη( ~ S ) είναι F * η ( P Q ) ( R ( ~ S ) ) είναιταφούη( P Q ) είναι F καιη( R ( ~ S ) ) είναι F Άραηέκφραση G είναιτ( αληθής ), εάντα P, Q, R, S είναι T, F, T, Tαντίστοιχα. Ηεκχώρησητωντιµώναληθείαςστα { Τ, F, Τ, Τ } στα { P, Q, R, S } αντίστοιχα, θα καλείταιµίαερµηνεία (interpretation) τηςέκφρασης G. 19

20 Απότηστιγµήπουτοκαθένααπότα P, Q, R, SµπορείναπαίρνειείτετηντιµήΤ, είτε F, υπάρχουν 2 4 = 16ερµηνείεςγιατηνέκφραση G. 20

21 Ορισµός οθείσηςµιαςέκφρασης GαςείναιΑ1, Α2,..., Αnταάτοµαπουσυναντώνταιστηνέκφραση G. Τότεµίαερµηνείατου GείναιµιακαταχώρησητωντιµώναληθείαςσταΑ1, Α2,..., Αn σταοποίακάθεαiπαίρνειτιµήτήf, αλλάόχικαιτιςδύοµαζί. Ορισµός Μιαέκφραση Gθαλέγεταιαληθήςυπόµία ( ήσεµία ) ερµηνεία [truth under (or in) an interpretation], ανκαιµόνοανηgπαίρνειτηντιµήτστηνερµηνεία. ΑλλιώςηGθαλέγεται ψευδής υπό την ερµηνεία αυτή. (false under the interpretation ). Εάνυπάρχουν «n»διαφορετικάάτοµασεµιαέκφραση τότε Θαυπάρχουν 2 n διαφορετικέςερµηνείεςγιατηνέκφραση ΑνΑ1, Α2,..., Αnείναιόλαάτοµαπουσυναντώνταισεµιαέκφραση, ίσωςείναιπιοβολικόνα αναπαραστήσουµεµιαερµηνείαµέσωενόςσυνόλου {m1...mn}, όπου mi είναι, ήαή(~ Α) Π.χ. τοσύνολο { P, ~ Q, ~ R, S }, αναπαριστάµιαερµηνείαστηνοποία P, Q, R και Sέχουν αντίστοιχατιµέςτ, F, T, T. ηλαδή, ανέναάτοµοαείναιµέσασεένασύνολοπου αναπαριστάµιαερµηνεία, τότετοαπαίρνειτηντιµήτ, ενώναηάρνησητουατόµουα είναιµέσαστοσύνολο, τότετοαπαίρνειτηντιµή F. 21

22 ΙΣΧΥΣ ΚΑΙ ΑΣΥΝΕΠΕΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Παράδειγµα Έστωηέκφραση G ( ( P Q ) P ) Q Άτοµα: P, Q 2 2 = 4 ερµηνείες Ηέκφραση G είναιαληθήςγιαόλεςτιςερµηνείεςτης ισχυρή έκφραση ή ταυτολογία ( valid formula or tautology ) 22

23 Παράδειγµα Έστωηέκφραση G ( ( P Q ) ( P ~ Q ). Η Gείναιψευδήςγιαόλεςτιςερµηνείεςτης ασυνεπής έκφραση (inconsistent formula) ή αντιλογία (contradiction) 23

24 Ορισµός Μιαέκφρασηθαλέγεταιισχυρή (valid), ανκαιµόνοαν, είναιαληθήςυπόόλεςτις ερµηνείες της. Μια έκφραση θα λέγεται ανίσχυρη (invalid), αν και µόνο αν, δεν είναι ισχυρή. Ορισµός Μια έκφραση θα λέγεται ασυνεπής ή ανικανοποίητη (inconsistent or unsatisfiable), αν και µόνοανείναιψευδήςυπόόλεςτιςερµηνείεςτης. Μιαέκφρασηθαλέγεταισυνεπήςή ικανοποιήσιµη, αν και µόνο αν δεν είναι ασυνεπής. Από τους πιο πάνω ορισµούς παρατηρούµεταεξής : 1. Μιαέκφρασηείναιισχυρή, ανκαιµόνοανηάρνησήτηςείναιασυνεπής. 2. Μιαέκφρασηείναιασυνεπής, ανκαιµόνοανηάρνησήτηςείναιισχυρή. 3. Μια έκφραση είναι ανίσχυρη αν και µόνο αν υπάρχει τουλάχιστον µια ερµηνεία υπό την οποίαηέκφρασηείναιψευδής. 4. Μια έκφραση είναι συνεπής, αν και µόνο αν υπάρχει τουλάχιστον µια ερµηνεία υπό την οποίαηέκφρασηείναιαληθής. 5. Εάν µια έκφραση είναι ισχυρή, τότε είναι συνεπής, αλλά όχι το αντίστροφο. 6. Εάνµιαέκφρασηείναιασυνεπής, τότεείναικαιανίσχυρη, αλλάόχιτοαντίστροφο. 24

25 Παράδειγµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Χρησιµοποιώντας τεχνικές πινάκων αληθείας, θα µπορούσαµε να επιβεβαιώσουµε τα ακόλουθα: α. ( P ~ Ρ ) είναιασυνεπής : άραεπίσηςανίσχυρη. β. ( P ~ Ρ ) είναιισχυρή : άραεπίσηςσυνεπής. γ. ( P ~ Ρ ) είναιανίσχυρη : καιακόµαασυνεπής. Ανµιαέκφραση FείναιαληθήςυπότηνερµηνείαΙ, τότελέµεότιηιικανοποιεί ( satisfies ) την F, ήότιηf ικανοποιείταιαπότηνι. Απότηνάλληµεριά, ανµιαέκφραση FείναιψευδήςυπόµιαερµηνείαΙ, τότεθαλέµεότι ηιδιαψεύδει ( είναιενδεχόµενοναεµφανίζεταικαιµετονόρο «ψευτίζει»την Fµε τηνέννοιαότι «προσδίδειψεύδοςστην F»την F ( falsifies F ), ήότιηfδιαψεύδεται απότηνι Π.χ. ηέκφραση ( P ( ~ Q ) ) ικανοποιείταιαπότηνερµηνεία { Ρ, ~ Q } αλλά διαψεύδεταιαπότηνερµηνεία { Ρ, Q }. ΌτανµιαερµηνείαΙικανοποιείµιαέκφραση F, ηιεπίσηςκαλείται, έναµοντέλο ( model ) της F Στην προτασιακή λογική αφότου ο αριθµός των ερµηνειών είναι πεπερασµένος, κάποιος µπορείνααποφασίσειανήόχιµιαέκφρασηστηνπροτασιακήλογικήείναιισχυρή ( ή ασυνεπής ) µέσω εξαντλητικής εξέτασης όλων των πιθανών ερµηνειών της. 25

26 ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Συχνά είναι χρήσιµο ή αναγκαίο να µετασχηµατίσουµε µια έκφραση από µια µορφήσεάλλη, ειδικάσεµιακανονικήµορφή ( normal form ). Αυτό γίνεται αντικαθιστώντας µικρότερες εκφράσεις µε άλλες ισοδύναµες µέσα στη κύρια έκφραση επαναληπτικά ώσπου να πετύχουµε την επιθυµητή µορφήτης. Μετονόροισοδύναµεςεννοούµεταεξής : Ορισµός ύοεκφράσεις Fκαι Gλέγονταιισοδύναµες ( equivalent ) -ήηfείναι ισοδύναµητης G -καιδηλώνονταιως F = G, ανκαιµόνοανοιτιµές αληθείαςτων Fκαι Gείναιοιίδιεςυπόκάθεερµηνείατων Fκαι G. 26

27 Παράδειγµα Επιβεβαιώνουµεότιτο ( P Q ) είναιισοδύναµοµετο ( ~ P Q ), εξετάζονταςτονπίνακααληθείας : 27

28 ΚΑΝΟΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ πάντααληθής πάνταψευδής F, G καιηείναιόλεςεκφράσεις 2.3a και 2.3b καλούνται συχνά νόµοι µετατροπής (commutative laws) 2.4a και 2.4b καλούνται νόµοι σύνδεσης (associative laws) 2.5a και 2.5b νόµοι κατανοµής (distributive laws) 2.10aκαι 2.10b νόµοιτου De Morgan (de Morgan laws) 28

29 Η F1 F2... Fnείναιαληθήςοποτεδήποτετουλάχιστονµίααπότις Fi, 1 i nείναιαληθής, αλλιώςείναιψευδής. Η F1 F2... Fnκαλείταιηδιάζευξη ( disjunction ) των F1,..., Fn F1 F2... Fnαληθής, εάνόλεςοι F1,..., Fnείναιαληθήςκαιηοποίαείναιψευδής αλλιώς. Η F1 F2... Fnκαλείταιησύζευξη ( conjunction ) των F1,..., Fn. Σηµειώστεότιηδιάταξηστην οποία τα Fi εµφανίζονται σε µια σύζευξη, ή, διάζευξη, είναι άνευ σηµασίας Π.χ. F1 F2 F3 = F1 F3 F2 = F2 F1 F3 = F3 F2 F1 = F2 F3 F1 = F3 F1 F2 Ορισµός Έναςστοιχειώδηςτύπος ( literal ) είναιέναάτοµοήηάρνησηενόςατόµου. Ορισµός Μιαέκφραση Fλέγεταιότιείναι «σεµιασυζευκτικήκανονικήµορφή» F F1... Fn, n 1, όπου κάθεένααπότα F1,..., Fnείναιµιαδιάζευξηαπόστοιχειώδειςτύπους. 29

30 Παράδειγµα Έστω P, Q, Rάτοµα Τότε F ( P ~ Q R ) ( ~ P Q ) είναιµιαέκφρασησεµιασυζευκτικήκανονικήµορφή. Γιααυτήτηνέκφραση, F1 = ( P ~ Q R ) και F2 = ( ~ P Q ). Η F1 είναιµιαδιάζευξητωνστοιχειωδώντύπων ~ Ρκαι Q. Ορισµός Μίαέκφραση Fλέγεταιότιείναισεµιαδιαζευκτικήκανονικήµορφή ( disjunctive normal form ), ανκαιµόνοναηf έχειτηµορφήτου F F1... Fn, n 1, όπουκαθένααπότα F1,..., Fn είναι µια σύζευξη από στοιχειώδεις τύπους. 30

31 Παράδειγµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Έστω P, Q, R, άτοµα. ΤότεηF ( ~ P Q ) ( P ~ Q ~ R ) είναιµιαέκφρασησεµιαδιαζευκτική κανονικήµορφή. F1 = ( ~ P Q ) και F2 = ( P ~ Q ~ R ) Η F1 είναιµιασύζευξητωνστοιχειωδώντύπων ~ Pκαι Q καιηf2 είναιµιασύζευξητωνστοιχειωδώντύπων P, ~ Q, και ~ R. Οποιαδήποτεέκφρασηµπορείναµετασχηµατιστείσεµιακανονικήµορφή [νόµοι]. ιαδικασία µετασχηµατισµού : Βήµα 1 Χρησιµοποίησετουςνόµους 2.1 ( F G = ( F G ) ( G F ) ) και 2.2 ( F G = ~ F G ) γιανα εξαλειφθούν οι λογικοί σύνδεσµοι και. Βήµα 2 Επαναληπτικήχρήσητουνόµου 2.9 ( ~ ( ~ F ) = F ) καιτωννόµων De Morgan, 2.10α ( ~ ( F G ) = ~ F ~ G ) και 2.10b ( ~ ( F G ) = ~ F ~ G ) γιαναφέρουµε τααρνητικάσύµβολααµέσωςπρινταάτοµα. Βήµα 3 Επαναληπτικά χρησιµοποίησε τους νόµους κατανοµής 2.5a ( F ( G H ) = ( F G ) ( F H ) ) και 2.5b ( F ( G H ) = ( F G ) ( F H ) καιτουςάλλουςνόµουςγιαναεπιτύχειςµια κανονική µορφή. 31

32 Παράδειγµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ ηµιουργήστεµιαδιαζευκτικήκανονικήµορφήγιατηνέκφραση ( P ~ Q ) R Έχουµε ( P ~ Q ) R = ~ ( P ~ Q ) R ( 2.2 ) = (~ P ~ ( ~ Q ) ) R ( 2.10a ) = ( ~ P Q ) R ( 2.9 ) που είναι το ζητούµενο. Παράδειγµα Βρείτεµιασυζευκτικήκανονικήµορφήγιατηνέκφραση ( P ( Q R ) ) S ( P ( Q R ) ) S = ( P ( ~ Q R ) ) S ( 2.2 ) = ~ ( P ( ~ Q R ) ) S ( 2.2 ) = ( ~ P ~ ( ~ Q R ) ) S ( 2.10b ) = ( ~ P ( ~ ( ~ Q ) ~ R ) ) S ( 2.10a ) = ( ~ P ( Q ~ R ) ) S ( 2.9 ) = ( ( ~ P Q ) ( ~ P ~ R ) ) S ( 2.5a ) = S ( ( ~ P Q ) ( ~ P ~ R ) ) ( 2.3a ) = ( S ( ~ P Q ) ) ( S ( ~ P ~ R ) ) ( 2.5a ) = ( S ~ P Q ) ( S ~ P ~ R ) ( 2.4a ) άρατο ( S ~ P Q ) ( S ~ P ~ R ) είναιτοζητούµενο 32

33 ΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Στα µαθηµατικά, όπως και στην καθηµερινή ζωή, συχνά πρέπει να αποφασίσουµε εάν κάποια κατάσταση είναι επακόλουθο κάποιων άλλων καταστάσεων Αυτό οδηγεί στην έννοια της «λογικής συνέπειας» Παράδειγµα Έστω οι προτάσεις: 1) οι τιµές των µετοχών υποχωρούν, αν το επιτόκιο καταθέσεων ανεβαίνει 2) οι περισσότεροι άνθρωποι είναι δυστυχείς όταν οι τιµές µετοχών υποχωρούν 3) Υποθέστε ότι τώρα το επιτόκιο καταθέσεων πράγµατι ανεβαίνει είξτε ότι µπορείτε να συνάγετε το ότι οι άνθρωποι είναι δυστυχείς 33

34 Για να δείξουµε το ζητούµενο, δηλώνουµε τις καταστάσεις ως ακολούθως : P Το επιτόκιο καταθέσεων ανεβαίνει S Οιτιµέςµετοχώνυποχωρούν U Οι περισσότεροι άνθρωποι είναι δυστυχείς Υπάρχουν 4 καταστάσεις στο παράδειγµά µας. Αυτές είναι : ( 1 ) : Εάν το επιτόκιο καταθέσεων ανεβαίνει, οι τιµές µετοχών υποχωρούν. ( 2 ) : Εάνοιτιµέςµετοχώνυποχωρούν, οιπιοπολλοίάνθρωποιείναιδυστυχείς ( 3 ) : Τοεπιτόκιοκαταθέσεωνανεβαίνει ( 4 ) : Οιπερισσότεροιάνθρωποιείναιδυστυχείς Αυτές οι καταστάσεις, αρχικά συµβολίζονται ως : ( 1 ) : P S ( 2 ) : S U ( 3 ) : P ( 4 ) : U 34

35 Τώραδείχνουµεότι ( 4 ) είναιαληθής, οποτεδήποτεη( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) είναιαληθής. Μετασχηµατίζουµεπρώτατην ( ( P S ) ( S U ) P ( αναπαριστώνταςτην ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) σεµιακανονικήµορφή ) : ( ( P S ) ( S U ) P ) ( ( ~ P S ) ( ~ S U ) P ) ( 2.2 ) = P ( ~ P S ) ( ~ S U ) ( 2.3b ) = ( ( P ~ P ) ( P S ) ) ( ~ S U ) ( 2.5b ) = ( ( ( P S ) ) ( ~ S U ) ) ( 2.8b ) = ( P S ) ( ~ S U ) ( 2.6a ) = ( P S ~ S ) ( P S U ) ( 2.5b ) = ( P ) ( P S U ) ( 2.8b ) = ( P S U ) ( 2.7b ) = P S U ( 2.6a ) Έτσιεάν ( ( P S ) ( S U ) P ) είναιαληθής, τότεη( P S U ) είναιαληθής Αφούη( P S U ) είναιαληθήςµόνοεάν P, S και U είναιόλεςαληθείς, συνάγουµεότι η U είναιαληθής ΕπειδήηUείναιαληθήςοποτεδήποτεοι ( P S ), (S U ) καιρείναιαληθείς, στη λογικήηuκαλείταιλογικήσυνέπειατων ( P S), ( S U ) καιρ 35

36 Ορισµός οθέντωντωνεκφράσεων F1, F2,...Fn καιµιαςέκφρασης G, η G θα καλείται λογική συνέπεια (logical consequence) των F1, F2,...Fn [ ήηgλογικάσυνεπάγεταιαπότις F1, F2,...Fn ( logically follows from F1, F2,...Fn ], ανκαιµόνοαν, γιακάθεερµηνείαι, στηνοποίαη F1 F2... Fnείναιαληθής, η Gείναιεπίσηςαληθής Οι F1, F2,...Fnονοµάζονταιαξιώµατα (axioms) ήακόµαυποθέσεις (premises) ή αυταπόδεικτα του G Θεώρηµα ( 2.1 ) οθέντωντωνεκφράσεων F1, F2,...Fnκαιµιαςέκφρασης G, η G είναιµιαλογικήσυνέπειατων F1, F2,...Fnανκαιµόνοαν ηέκφραση ( ( F1 F2... Fn ) G ) είναιισχυρή (valid) 36

37 Θεώρηµα ( 2.2 ) οθέντωντωνεκφράσεων F1, F2,..., Fnκαιµιαςέκφρασης G, η G είναιλογικήσυνέπειατων F1, F2,...Fn ανκαιµόνοανηέκφραση ( F1 F2... Fn ~G) είναιασυνεπής (inconsistent) Τα δύο αυτά θεωρήµατα είναι πολύ σηµαντικά. είχνουν ότι αποδεικνύοντας πως µια συγκεκριµένη έκφραση είναι µια λογική συνέπεια ενός πεπερασµένου συνόλου εκφράσεων, είναι ισοδύναµο µε το να αποδειχτεί ότι µια συγκεκριµένη συνολική έκφραση είναι ισχυρή ή ασυνεπής. ΕάνηGείναιµιαλογικήσυνέπειατων F1, F2,...Fnηέκφραση ( ( F1 F2... Fn ) G ) καλείταιέναθεώρηµα (theorem) καιηg επίσης καλείται το συµπέρασµα του θεωρήµατος (conclusion of the theorem) Στα µαθηµατικά όπως επίσης και σε άλλες περιοχές, πολλά προβλήµατα µπορούν να τυποποιηθούν ως προβλήµατα απόδειξης θεωρηµάτων 37

38 Παράδειγµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Θεωρήστετιςεκφράσεις : F1 ( P Q ) F2 ~ Q G ~ P είξτεότιηgείναιµιαλογικήσυνέπειατων F1 και F2. Μέθοδος 1 Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την τεχνική των πινάκων αληθείας, για να δείξουµε ότι η G είναι αληθής, σε κάθε µοντέλοτης ( P Q ) ~ Q. Υπάρχειµόνοέναµοντέλογιατην ( P Q ) ~ Q, το { ~ P, ~ Q } (δηλαδήµόνοέναζεύγοςτιµώναλήθειαςπουτην επαληθεύει (Τ) δείτετελευταίαγραµµήτουπίνακα. Η ~ P είναιφυσικάαληθήςστοµοντέλοαυτό. Έτσιµέσωτουορισµούτηςλογικήςσυνέπειας, συµπεραίνουµεότιη~ Ρείναιλογικήσυνέπειατων ( P Q ) και ~ Q. 38

39 Μέθοδος 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Χρησιµοποιούµετοθεώρηµα 2.1. Αυτόµπορείναγίνειαπλάεπεκτείνονταςτονπίνακααληθείαςτουπίνακα ( 2.7 ), ή υπολογίζονταςτηνέκφραση ( ( P Q ) Q ) ~ Ρ. Οπίνακας ( 2.8 ) δείχνειότιη ( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρείναιαληθήςγιακάθεερµηνεία. Έτσιη( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρείναιισχυρή ( valid ) καισύµφωναµετοθεώρηµα 2.1, η ~ Ρείναιµιαλογικήσυνέπειατων P Qκαι ~ Q 39

40 Μέθοδος 3 Μπορούµεεπίσηςνααποδείξουµετηνισχύτης ( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρ, µετασχηµατίζοντας την σε µια συζευκτική κανονική µορφή: ( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρ = ~ ( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρ ( 2.2 ) = ~ ( ( ~ P Q ) ~ Q ) ~ Ρ ( 2.2 ) = ~ ( ( ~ P ~ Q ) ( Q ~ Q ) ) ~ Ρ ( 2.5b ) = ~ ( ( ~ P ~ Q ) ) ~ Ρ ( 2.8b ) = ~ ( (~ P ~ Q ) ) ~ Ρ ( 2.6a ) = ( P Q ) ~ Ρ ( 2.10b ) = ( Q P ) ~ Ρ ( 2.3a ) = Q ( P ~ P) = Q = Άραη( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρείναιισχυρή 40

41 Μέθοδος 4 Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το θεώρηµα ( 2.2 ) Τότε αποδεικνύουµε ότι η ( ( P Q ) ~ Q ) ( ~ ( ~ P ) ) = ( P Q ) ~ Q (~(~P)) είναι ασυνεπής [ll126] Πάλιόπωςστηµέθοδο 2, µπορούµεναχρησιµοποιήσουµετηντεχνικήπίνακααληθείας, γιαναδείξουµεότιη( P Q ) ~ Q (~(~P)) δηλ. η ( P Q ) ~ Q Pείναιψευδήςγιακάθεερµηνεία Απότονπίνακα ( 2.9 ), συµπεραίνουµεότιη( P Q ) ~ Q Pείναιασυνεπήςκαισύµφωναµετοθεώρηµα ( 2.2 ), η ~ Ρείναιµιαλογικήσυνέπειατων ( P Q ) και ~ Q. 41

42 5 η µέθοδος Μπορούµε επίσης να αποδείξουµε την ασυνέπεια της ( P Q ) ~ Q P µετασχηµατίζοντας την σε µια διαζευκτική κανονική µορφή (disjunctive normal form): ( P Q ) ~ Q P = ( ~ P Q ) ( ~ Q P ) = ( 2.2 ) ( ~ P ~ Q P ) ( Q ~ Q P ) = ( 2.5b ) ( ~Q ) ( P ) = ( 2.4 ) ( 2.7 ) ( 2.8 ) = ( 2.8b ) ( 2.6a ) Άραη ( P Q ) ~ Q Pείναιασυνεπής 42

43 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΜΕΣΩ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ Παράδειγµα 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ οθέντοςτουγεγονότοςότιτοκοινοβούλιοαρνείταιναψηφίσεινέουςνόµους, τότε η απεργία δεν θα λήξει, εκτός αν διαρκέσει περισσότερο από ένα χρόνο και ο πρόεδρος παραιτηθεί. εν θα λήξει η απεργία διότι το κοινοβούλιο αρνείται να ενεργήσει και η απεργία µόλις αρχίζει. α. Μετατροπή καταστάσεων σε σύµβολα : P : Το κοινοβούλιο αρνείται να ενεργήσει Q : Ηαπεργίαέχειλήξει R : Ο πρόεδρος παραιτείται S : Ηαπεργίαδιαρκείπερισσότεροαπόέναχρόνο Τότε τα γεγονότα που δείχνονται στο παράδειγµα µπορούν να αναπαρασταθούν από «εκφράσεις» : 43

44 F1 : ( P ( ~ Q ( R S ) ) ) εάντοκοινοβούλιοαρνηθείναψηφίσεινέουςνόµους, τότεηαπεργίαδενθαλήξειεκτόςκιανδιαρκέσει περισσότερο από ένα χρόνο και ο πρόεδρος παραιτηθεί. F2 : Ρ Το κοινοβούλιο αρνείται να ενεργήσει. F3 : ~ S Ηαπεργίαµόλιςαρχίζει. Απόταγεγονότα F1, F2, F3 συµπεραίνουµεότιηαπεργίαδενθαλήξει; ηλαδήµπορούµεναδείξουµεότιη~ Qείναιµιαλογικήσυνέπειατων F1, F2, F3 ; Απότοθεώρηµα 2.1 αυτόείναιισοδύναµοµετοναδείξουµεότιη είναι µια ισχυρή έκφραση (valid formula) ( ( P ( ~ Q ( R S ) ) ) P ~ S ~ Q Στον πίνακα 2.10 φαίνονται οι τιµές αληθείας της παραπάνω έκφρασης για όλες τις ερµηνείες 44

45 45

46 Από τον ίδιο πίνακα βλέπουµε ότι δεν υπάρχει ψευδής ερµηνεία. Άραηέκφρασήµαςείναιµιαισχυρήέκφραση Έτσιη~ Qείναιµιαλογικήσυνέπειατων F1, F2 και F3 και µπορούµε να συνάγουµε την ~ Q απότις Fi Άραηαπάντησηείναι : «ηαπεργίαδενθαλήξει» 46

47 Παράδειγµα (Πρόβληµα Χηµικής Σύνθεσης) Υποθέστε ότι µπορούν να λάβουν χώρα οι ακόλουθες χηµικές αντιδράσεις : (1) : MgO + H2 Mg + H 2 O (2) : C + CO 2 CO 2 (3) : CO 2 + H 2 O H 2 CO 3 Υποθέστεότιέχουµεµερικέςποσότητες MgO, H 2, O 2 και Cσανατοµικέςεκφράσεις. Τότε οι πιο πάνω χηµικές αντιδράσεις µπορούν να αναπαρασταθούν από τις ακόλουθες εκφράσεις : Α1 : ( MgO H 2 ) ( Mg H 2 O ) A2 : ( C O 2 ) CO 2 A3 : ( CO 2 H 2 O ) H 2 CO 3 Αφούέχουµε MgO, H 2, O 2 και C, αυτάταγεγονόταµπορούννααναπαρασταθούναπότιςακόλουθες εκφράσεις : A4 : MgO A5 : H 2 A6 : O 2 A7 : C 47

48 Τώρατοπρόβληµαµπορείνακαταστρωθείεκνέουωςεξής : Πρέπεινααποδείξουµεότιτο H 2 CO 3 είναιµιαλογικήσυνέπειατωνα1,... Α7 πουαπότοθεώρηµα ( 2.2 ) είναιαλήθειαανη( Α1... Α7 ) ~ H2CO3 είναιασυνεπής Αποδεικνύουµετοτελευταίο, µετασχηµατίζονταςτηνέκφραση : ( Α1 Α2... Α7 ~ H2CO3 ) σεµια διαζευκτική κανονική µορφή : (Α1... Α7 ~ H2CO3 ) = = ( ( MgO H 2 ) ( MgO H 2 O ) ) ( ( C O 2 ) CO 2 ) ( ( CO 2 H 2 O ) H 2 CO 3 ) MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = ( ~ MgO ~ H 2 Mg ) ( ~ MgO ~ H 2 H 2 O ) ( ~ C ~ O 2 CO 2 ) ( ~ CO 2 ~ H 2 O H 2 CO 3 ) MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = ( ~ MgO ~ H 2 Mg ) ( ~ MgO ~ H 2 H 2 O ) MgO H 2 ( ~ C ~ O 2 CO 2 ) C O 2 ( ~ CO 2 ~ H 2 O H 2 CO 3 ) ~ H 2 CO 3 MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = = = Mg H 2 O MgO H 2 CO 2 C O 2 ( ~ CO 2 ~ H 2 O ) ~ H 2 CO 3 MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = ( ~ CO 2 ~ H 2 O ) H 2 O CO 2 Mg MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = Mg MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = Αφούη σηµαίνει «πάνταψευδής», ηέκφραση (Α1... Α7 ~ H2CO3 ) είναιασυνεπής. Άρατο H2CO3 είναιµιαλογικήσυνέπειατωνα1,..., Α7. Αυτόσηµαίνειότιµπορούµεναφτιάξουµε H2CO3 από MgO, H2, O2 και C Η παραπάνω διαδικασία καλείται πολλαπλασιαστική µέθοδος (multiplication method), γιατί η διαδικασία µετασχηµατισµού είναι πολύ όµοια µε τον πολλαπλασιασµό µιας αριθµητικής έκφρασης 48 Στην πράξη, πολύ συνθετότερα παραδείγµατα όµοια µε το τελευταίο, λύνονται από Η/Υ µε κατάλληλα

Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης

Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης Λογική Προτασιακή Λογική Λογική Πρώτης Τάξης Λογική (Logic) Αναλογίες διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων υπολογισμού και προβλημάτων νοημοσύνης: Πρόβλημα υπολογισμού 1. Επινόηση του αλγορίθμου 2. Επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Ενότητα 2: Λογική: Εισαγωγή, Προτασιακή Λογική. Νίκος Βασιλειάδης, Αναπλ. Καθηγητής Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος. Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 9: Προτασιακή λογική Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές ναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές! Γενικά Προτασιακή λογική Λογική πρώτης τάξης Λογικός προγραµµατισµός Επεκτάσεις της Λογικής Πρώτης Τάξης Συστήµατα Κανόνων Επίλογος ναπαράσταση γνώσης " ναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές μορφές - Ορισμοί

Κανονικές μορφές - Ορισμοί HY-180 Περιεχόμενα Κανονικές μορφές (Normal Forms) Αλγόριθμος μετατροπής σε CNF-DNF Άρνηση (Negation) Βασικές Ισοδυναμίες με άρνηση Νόμος De Morgan Πίνακες Αληθείας Κανονικές μορφές - Ορισμοί Ορισμός:

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές ναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές Γενικά Προτασιακή λογική Λογική πρώτης τάξης Λογικός προγραµµατισµός Επεκτάσεις της Λογικής Πρώτης Τάξης Συστήµατα Κανόνων Επίλογος ναπαράσταση γνώσης ναπαράσταση γνώσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 1ο μέρος σημειώσεων: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουμε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει

Διαβάστε περισσότερα

1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών

1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-180: Λογική Εαρινό Εξάµηνο 2016 Κ. Βάρσος Πρώτο Φροντιστήριο 1 Συνοπτική ϑεωρία 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού 1. Νόµος ταυτότητας : 2. Νόµοι αυτοπάθειας

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Λογική Αποσαφήνιση και τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης Η μαθηματική

Διαβάστε περισσότερα

Λογικοί πράκτορες. Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση

Λογικοί πράκτορες. Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση Λογικοί πράκτορες Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση Βάση γνώσης (knowledge base: Σύνολο προτάσεων (sentences Γλώσσα αναπαράστασης της γνώσης Γνωστικό υπόβαθρο: «Αµετάβλητο» µέρος της ΒΓ Βασικές εργασίες:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Στην προτασιακή λογική atoms formulas «εκφράσεις» : πλήθος σύνθετων ιδεών Atom: ηδοµή & σύνθεσήτουείναι «κατασταλµένες» ( suppressed ) Προβλήµατα προτασιακής λογικής: π.χ. Κάθεάνθρωποςείναιθνητός.

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

9.1 Προτασιακή Λογική

9.1 Προτασιακή Λογική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 9 Λογική Η λογική παρέχει έναν τρόπο για την αποσαφήνιση και την τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης και προσφέρει µια σηµαντική και εύχρηστη µεθοδολογία για την αναπαράσταση και

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/9/2017

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ Λογική. Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Καθηγητής

ΗΥ Λογική. Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Καθηγητής ΗΥ 180 - Λογική Διδάσκων: Καθηγητής E-mail: dp@csd.uoc.gr Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα, Τετάρτη 4-6 μμ, Αμφ. Β Ώρες φροντιστηρίου: Πέμπτη 4-6 μμ, Αμφ. Β Ώρες γραφείου: Δευτέρα, Τετάρτη 2-4 μμ, Κ.307 Web site:

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Λογική. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου

Κεφάλαιο 9. Λογική. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Κεφάλαιο 9 Λογική Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Λογική Aποσαφήνιση και την τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης. Η µαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II Ενότητα: Λογική και Θεωρία Συνόλων Διδάσκων: Πηγουνάκης Κωστής ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 10/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Ενότητα 1: Εισαγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 18/02/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Προτασιακός Λογισµός (συνέχεια...) Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 18/02/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/18/2016

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά (Τσικνο)Πέµπτη, 12/02/2015 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη

ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Λογικοί Πράκτορες Προτασιακή Λογική Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Παιχνίδια τύχης αναζήτηση expectiminimax Παιχνίδια ατελούς

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

1 Κεφάλαιο 9 Λογική 1

1 Κεφάλαιο 9 Λογική 1 1 Κεφάλαιο 9 Λογική 1 Λογική Aποσαφήνιση και την τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης. Η μαθηματική λογική (mathematical logic) είναι η συστηματική μελέτη των έγκυρων ισχυρισμών (valid arguments).

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Κατηγορηματική Λογική Πρώτης Τάξεως και Λογικά Προγράμματα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Κατηγορηματική Λογική Πρώτης Τάξεως και Λογικά Προγράμματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Κατηγορηματική Λογική Πρώτης Τάξεως και Λογικά Προγράμματα Λέξεις Κλειδιά Μαθηματική Λογική, Προτασιακή Λογική, Κατηγορηματική Λογική, Προτάσεις Horn, Λογικά Προγράμματα Περίληψη Το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Στάμου Αναπαράσταση Οντολογικής Γνώσης και Συλλογιστική. Κριτική Ανάγνωση: Ανδρέας-Γεώργιος Σταφυλοπάτης

Γιώργος Στάμου Αναπαράσταση Οντολογικής Γνώσης και Συλλογιστική. Κριτική Ανάγνωση: Ανδρέας-Γεώργιος Σταφυλοπάτης Γιώργος Στάμου Αναπαράσταση Οντολογικής Γνώσης και Συλλογιστική Κριτική Ανάγνωση: Ανδρέας-Γεώργιος Σταφυλοπάτης Γλωσσική επιμέλεια και επιμέλεια διαδραστικού υλικού: Αλέξανδρος Χορταράς Copyright ΣΕΑΒ,

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση γνώσης και συλλογιστική

Αναπαράσταση γνώσης και συλλογιστική εφάλαιο 1 Αναπαράσταση γνώσης και συλλογιστική 1.1 Tυπική αναπαράσταση γνώσης ι φορμαλισμοί τυπικής αναπαράστασης γνώσης και συλλογιστικής χαρακτηρίζονται από τρία βασικά στοιχεία: τη σύνταξη (syntax),

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου)

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) 1. Εισαγωγή Χαρακτηριστικά της γλώσσας Τύποι δεδοµένων Γλώσσα προγραµµατισµού

Διαβάστε περισσότερα

Ε ανάληψη. Παιχνίδια τύχης. Παιχνίδια ατελούς ληροφόρησης. Λογικοί ράκτορες. ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη 2006. αναζήτηση expectiminimax

Ε ανάληψη. Παιχνίδια τύχης. Παιχνίδια ατελούς ληροφόρησης. Λογικοί ράκτορες. ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη 2006. αναζήτηση expectiminimax ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Προτασιακή Λογική Propositional Logic Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Παιχνίδια τύχης αναζήτηση expectiminimax Παιχνίδια ατελούς

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

σύνθεση και απλοποίησή τους θεωρήµατα της άλγεβρας Boole, αξιώµατα του Huntington, κλπ.

σύνθεση και απλοποίησή τους θεωρήµατα της άλγεβρας Boole, αξιώµατα του Huntington, κλπ. Εισαγωγή Εργαστήριο 2 ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Σκοπός του εργαστηρίου είναι να κατανοήσουµε τον τρόπο µε τον οποίο εκφράζεται η ψηφιακή λογική υλοποιώντας ασκήσεις απλά και σύνθετα λογικά κυκλώµατα (χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ύο προτάσεις που έχουν την ίδια σηµασία λέγονται ταυτόσηµες. 2. Μια αποφαντική πρόταση χαρακτηρίζεται αληθής όταν περιγράφει µια πραγµατική κατάσταση του κόσµου µας.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Βασικά Στοιχεία Λογικής

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Βασικά Στοιχεία Λογικής ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Βασικά Στοιχεία Λογικής 2 Η Πριγκίπισσα και το Κάστρο Αν ρώταγα ένα μέλος της φυλής που δεν ανήκεις για το ποιον δρόμο πρέπει να πάρω για το κάστρο τι θα μου έλεγε; Μία πριγκίπισσα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic Majhmatik c Logik c 2

Ask seic Majhmatik c Logik c 2 Ask seic Majhmatik c Logik c 2 1. Να δειχτεί με πίνακες αλήθειας ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι λογικά ισοδύναμες. (αʹ) (A B) και A B. (βʹ) A (B C) και (A B) (A C). (γʹ) A B και B A. (δʹ) A B και B A.

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη Ι. Ενότητα 7:Προτασιακή Λογική. Πέππας Παύλος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Τεχνητή Νοημοσύνη Ι. Ενότητα 7:Προτασιακή Λογική. Πέππας Παύλος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τεχνητή Νοημοσύνη Ι Ενότητα 7:Προτασιακή Λογική Πέππας Παύλος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Προτασιακή Λογική Σκοποί ενότητας 2 Περιεχόμενα ενότητας Προτασιακή

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Γνώση. Γνώση (knowledge) είναι ο κοινός παράγοντας (π.χ. κανόνες) που περιγράφει συνοπτικά τις συσχετίσεις μεταξύ των δεδομένων ενός προβλήματος.

Γνώση. Γνώση (knowledge) είναι ο κοινός παράγοντας (π.χ. κανόνες) που περιγράφει συνοπτικά τις συσχετίσεις μεταξύ των δεδομένων ενός προβλήματος. Γνώση Η γνώση είναι διαφορετική από τα δεδομένα Γνώση (knowledge) είναι ο κοινός παράγοντας (π.χ. κανόνες) που περιγράφει συνοπτικά τις συσχετίσεις μεταξύ των δεδομένων ενός προβλήματος. Η γνώση για κάποιο

Διαβάστε περισσότερα

HY Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Εαρινό Εξάμηνο. Φροντιστήριο 6

HY Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Εαρινό Εξάμηνο. Φροντιστήριο 6 HY-180 - Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Εαρινό Εξάμηνο 2015-2016 Φροντιστήριο 6 Α) ΘΕΩΡΙΑ Μέθοδος Επίλυσης (Resolution) Στη μέθοδο της επίλυσης αποδεικνύουμε την ικανοποιησιμότητα ενός συνόλου προτάσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Λογικός Προγραμματισμός

Λογικός Προγραμματισμός Λογικός Προγραμματισμός Αναπαράσταση γνώσης: Λογικό Σύστημα. Μηχανισμός επεξεργασίας γνώσης: εξαγωγή συμπεράσματος. Υπολογισμός: Απόδειξη θεωρήματος (το συμπέρασμα ενδιαφέροντος) από αξιώματα (γνώση).

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου. Προηγούµενη φορά. 10 Θεωρία συνόλων. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2016

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου. Προηγούµενη φορά. 10 Θεωρία συνόλων. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2016 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 15/03/2016 Θεωρία Συνόλων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 10/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια

Διαβάστε περισσότερα

! όπου το σύµβολο έχει την έννοια της παραγωγής, δηλαδή το αριστερό µέρος ισχύει ενώ το δεξιό µέρος συµπεραίνεται και προστίθεται στη βάση γνώσης.

! όπου το σύµβολο έχει την έννοια της παραγωγής, δηλαδή το αριστερό µέρος ισχύει ενώ το δεξιό µέρος συµπεραίνεται και προστίθεται στη βάση γνώσης. Αποδείξεις (1/2)! Χρησιµοποιούµε τις συνεπαγωγές της βάσης γνώσης για να βγάλουµε νέα συµπεράσµατα. Για παράδειγµα:! Από τις προτάσεις:! Ακαι Α Β! µπορούµε να βγάλουµε το συµπέρασµα (τεχνική modus ponens

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Ασάφεια (Fuzziness) Ποσοτικοποίηση της ποιοτικής πληροφορίας Οφείλεται κυρίως

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

2 Αποδείξεις. 2.1 Εξαντλητική µέθοδος. Εκδοση 2005/03/22. Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές:

2 Αποδείξεις. 2.1 Εξαντλητική µέθοδος. Εκδοση 2005/03/22. Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές: 2 Αποδείξεις Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές: Εκδοση 2005/03/22 Εξαντλητική µέθοδος ή µέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβληµα έχει πεπερασµένες αριθµό περιπτώσεων τις εξετάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή

Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Εισαγωγή στις έννοιες Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα, Οργάνωση Δεδοµένων και Δοµές Δεδοµένων Χρήσιµοι µαθηµατικοί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Βασικοί τύποι δεδομένων (Pascal) ΕΠΑ.Λ Αλίμου Γ Πληροφορική Δομημένος Προγραμματισμός (Ε) Σχολ. Ετος Κων/νος Φλώρος

Βασικοί τύποι δεδομένων (Pascal) ΕΠΑ.Λ Αλίμου Γ Πληροφορική Δομημένος Προγραμματισμός (Ε) Σχολ. Ετος Κων/νος Φλώρος Βασικοί τύποι δεδομένων (Pascal) ΕΠΑ.Λ Αλίμου Γ Πληροφορική Δομημένος Προγραμματισμός (Ε) Σχολ. Ετος 2012-13 Κων/νος Φλώρος Απλοί τύποι δεδομένων Οι τύποι δεδομένων προσδιορίζουν τον τρόπο παράστασης των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/24/2017

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2016 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ;

Πώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ; 1 Ισοδύναµες εξισώσεις και η έννοια του «κοντά» ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-thedrpuls.gr Εισαγωγή Στην εργασία αυτή αναλύονται και αναπτύσσονται οι έννοιες που

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση /Πίνακες Αληθείας /Λογική Συνεπαγωγή /Ταυτολογίες /Αντινομίες Πλήρης αλγόριθμος μετατροπής CNF

Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση /Πίνακες Αληθείας /Λογική Συνεπαγωγή /Ταυτολογίες /Αντινομίες Πλήρης αλγόριθμος μετατροπής CNF Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση /Πίνακες Αληθείας /Λογική Συνεπαγωγή /Ταυτολογίες /Αντινομίες Πλήρης αλγόριθμος μετατροπής CNF 2 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 3/3/2016 Κατερίνα Δημητράκη

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Άσκηση 1 Έστω οι προτάσεις / προϋπόθεσεις: Π1. Σε όσους αρέσει η τέχνη αρέσουν και τα λουλούδια. Π2. Σε όσους αρέσει το τρέξιμο αρέσει και η μουσική. Π3. Σε όσους δεν αρέσει η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Λύσεις Άσκηση 1 [30 μονάδες] Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα χρησιμοποιώντας τα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10;

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10; C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 4 ο Τελεστές Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Ο τελεστής εκχώρησης = Ο τελεστής = χρησιµοποιείται για την απόδοση τιµής (ή αλλιώς ανάθεση τιµής) σε µία µεταβλητή Π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Τελική εξέταση Ιούλιος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Προηγούµενη φορά. «ανήκει» 10 Θεωρία συνόλων

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Προηγούµενη φορά. «ανήκει» 10 Θεωρία συνόλων HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Θεωρία Συνόλων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/04/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/7/2017

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-1

ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-1 Επίλυση Resolution Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: H Μέθοδος της Επίλυσης στον Προτασιακό Λογισμό στον Κατηγορηματικό Λογισμό ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-1 Το όνειρο του

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 08/04/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/10/2016

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία προτασιακής λογικής

Στοιχεία προτασιακής λογικής Σ. Κοσμαδάκης Στοιχεία προτασιακής λογικής Λογικές πράξεις and, or, not Για οποιεσδήποτε τιμές αλήθειας s, t στο σύνολο {true, false}, οι γνωστές πράξεις s and t, s or t, not s δίνουν αποτελέσματα στο

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Τεχνητή Νοημοσύνη. Ενότητα 5: Αναπαράσταση Γνώσης με Λογική

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Τεχνητή Νοημοσύνη. Ενότητα 5: Αναπαράσταση Γνώσης με Λογική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Τεχνητή Νοημοσύνη Ενότητα 5: Αναπαράσταση Γνώσης με Λογική Αν. καθηγητής Στεργίου Κωνσταντίνος kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική

Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό χωρίζεται σε δύο ενότητες. Στην πρώτη ενότητα επιχειρείται μια ιστορική αναδρομή στη λογική και τον λογικό προγραμματισμό,

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1. Πράξεις Τελεστές Έλεγχος Ροής

Διάλεξη 1. Πράξεις Τελεστές Έλεγχος Ροής Διάλεξη 1 Πράξεις Τελεστές Έλεγχος Ροής Διοργάνωση : ΚΕΛ ΣΑΤΜ Διαφάνειες: Skaros, MadAGu Παρουσίαση: MadAGu Άδεια: Creative Commons 3.0 Αριθμητικοί Τελεστές- Αριθμητικές Πράξεις 2 Internal use only Αριθμητικοί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα