ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ"

Transcript

1 ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΙΣΧΥΣ ΚΑΙ ΑΣΥΝΕΠΕΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΜΕΣΩ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ PRENEX ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΤΗΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1

2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ HERBRAND ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ SKOLEM ΤΟ ΣΥΜΠΑΝ ΤΟΥ HERBRAND ( HERBRAND UNIVERSE ) ΕΝΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΚΩΝ ΤΥΠΩΝ ( CLAUSES ) SEMANTIC TREES ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ HERBRAND µηχανική µέθοδος απόδειξης θεωρηµάτων (~1930) (χρονοβόρα απαιτείη/υ) Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ( RESOLUTION PRINCIPLE ) (Robinson 1965) ένας και µόνο συλλογιστικός κανόνας inference rule- για απόδειξη θεωρηµάτων, χρήσιµος για H/Y Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΕΝΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΕΝΟΠΟΙΗΣΗΣ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΕΞΑΛΕΙΨΗΣ 2

3 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ F1 : εάνέχειζέστηκαιυγρασία, τότεθαβρέξει. F2 : εάνέχειυγρασία, τότεέχειζέστη. F3 : τώραέχειυγρασία. Ηερώτησηείναι : Θαβρέξει ; (F4) ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Έστω P: «έχει ζέστη» Q: «έχει υγρασία» R: «θα βρέξει» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Και τα λογικά σύµβολα «^»νααναπαριστά «και» νααναπαριστά «συνεπάγεται» 3

4 Τότε τα παραπάνω τρία γεγονότα αναπαριστώνται ως : F1 : P Q R F2 : Q P F3 : Q οποτεδήποτεοι F1, F2 και F3 είναιαληθείς, οτύπος F4 : R είναιαληθής Γι αυτόθαλέµεότιτο F4 επακολουθείλογικάαπότα F1, F2 και F3 (logically follows from) Αυτό σηµαίνει δηλαδή, ότι αν οι F1,F2,F3 είναι αληθείς, τότε θα βρέξει. 4

5 Παράδειγµα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Έστω τα ακόλουθα γεγονότα : F1 : Ο Κοµφούκιος είναι ένας άνθρωπος F2 : Κάθε άνθρωπος είναι θνητός Αναπαράσταση των F1 και F2 µε κατηγόρηµα (predicate) Ρ(x) : «x είναιέναςάνθρωπος» Q(x) : «ο x είναιθνητός» ( x) αναπαριστάτο «γιαόλατα x» Τότε τα παραπάνω γεγονότα αναπαριστώνται από το κάτωθι : F1 : P ( Κοµφούκιος ) F2 : ( x ) ( P(x) Q(x) ) Απότα F1 και F2 µπορούµεναπαράγουµελογικά ( logically deduce ) το: F3 : Q ( Κοµφούκιος ) δηλαδή ο Κοµφούκιος είναι θνητός 5

6 Τι προσπαθούµε να αποδείξουµε: Ότι ένας τύπος ( formula ) είναι λογικό επακόλουθο άλλων τύπων Θακαλούµεµίακατάστασηκατάτηνοποίαέναςτύποςείναιλογικόεπακόλουθοάλλων, ωςθεώρηµα. Μιαεπίδειξητουότιέναθεώρηµαείναιαληθέςθακαλείταιαπόδειξητουθεωρήµατος. Το πρόβληµα της σύγχρονης λογικής (ΜΤΡ = Mechanical Theorem Proving) είναι να λάβει υπόψη µηχανικές µεθόδους, για να βρει αποδείξεις θεωρηµάτων ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1. Σεένασύστηµαερωταποκρίσεων, ταγεγονόταµπορούννααναπαρασταθούναπόλογικούςτύπους. Τότε για να απαντηθεί µια ερώτηση από τα γεγονότα, αποδεικνύουµε ότι ένας τύπος που αντιστοιχεί στην απάντηση, παράγεται από τους τύπους που αναπαριστούν τα γεγονότα. 2. Σε ένα πρόβληµα ανάλυσης προγράµµατος, µπορούµε να περιγράψουµε την εκτέλεση ενός προγράµµατος µέσω ενός τύπου Α, και τη συνθήκη ότι το πρόγραµµα θα τερµατιστεί, από έναν άλλο τύπο Β. Τότε για να επιβεβαιώσουµε το ότι το πρόγραµµα θα τερµατιστεί, αρκεί ισοδύναµα να αποδείξουµεότιοτύποςβακολουθείαπότοντύποα. Άλλα παρόµοια προβλήµατα, που λύνονται µε αντίστοιχη µε την παραπάνω συλλογιστική, µέσα από τη θεωρία της Λογικής είναι : Το πρόβληµα ισοµορφισµού γραφηµάτων. Το πρόβληµα µετασχηµατισµού καταστάσεων, κ.λ.π. 6

7 Βασικές µαθηµατικές έννοιες και ορισµοί της θεωρίας συνόλων : Ένασύνολο ( set ) είναιµίασυλλογήαπόστοιχεία (µέλη). Ένασύνολοπουδενπεριέχεικαθόλουστοιχείακαλείταικενόσύνολο (empty set). Έστωδύοσύνολα, ταακαιβ. Ηέκφραση x A χρησιµοποιείταιγιανα δηλώσειότιτο xείναιέναµέλοςτουα, ήότιτο x ανήκειστοα. ΤοσύνολοΑείναιταυτόσηµοήίσο ( identical ) µετοσύνολοβ( συµβολίζεται µεα= Β ), ανκαιµόνοαντοακαιτοβέχουνταίδιαστοιχεία. ΤοσύνολοΑείναιέναυποσύνολοτουσυνόλουΒ( συµβολίζεταιµεα Β), αν καιµόνοανκάθεστοιχείοτουαείναιστοιχείοτουβ. ΤοσύνολοΑείναιένακύριουποσύνολο ( proper subset ) τουσυνόλουβ (συµβολίζεταια Β), ανκαιµόνοανα ΒκαιΑ Β. 7

8 Ηένωσηδύοσυνόλων (union) ΑκαιΒ, (συµβολίζεταια Β) είναιτοσύνολο πουαποτελείταιαπόόλαταστοιχείαπουανήκουνστοαήστοβ. Ητοµήδύοσυνόλων ( intersection ) ΑκαιΒ( συµβολίζεταια Β) είναιτο σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία που από κοινού ανήκουν καιστοακαιστοβ. Η διαφορά µεταξύ δύο συνόλων Α και Β, (συµβολίζεται Α-Β), είναι το σύνολο πουαποτελείταιαπόόλαταστοιχείαπουανήκουνστοα, αλλάδεν ανήκουν στο Β. 8

9 Σχέσεις και συναρτήσεις : Έναδιατεταγµένοζεύγος (ordered pair) στοιχείων, δηλώνεταιµε (x, y), όπου x καλείται πρώτη συντεταγµένη ή τετµηµένη και y δεύτερη συντεταγµένη ή τεταγµένη (first & second coordinate). Μία σχέση είναι ένα σύνολο από διατεταγµένα ζεύγη. Π.χ η σχέση ισότητας είναι ένα σύνολο από διατεταγµένα ζεύγη, καθένα από τα οποία έχει την πρώτη του συντεταγµένη ίση µε τη δεύτερη. Οχώρος (domain) µιαςσχέσης Rείναιτοσύνολοόλωντωνπρώτων συντεταγµένων των στοιχείων του R και το πλάτος στο οποίο κυµαίνεται (range), είναι το σύνολο όλων των δεύτερων συντεταγµένων. 9

10 Μία συνάρτηση είναι µια σχέση τέτοια ώστε δεν υπάρχουν δύο διαφορετικά στοιχεία που να έχουν την ίδια τετµηµένη (πρώτησυντεταγµένη). Εάν fείναιµίασυνάρτησηκαι x είναιέναστοιχείοτου χώρου της, τότε ο συµβολισµός f(x) δηλώνει τη δεύτερη συντεταγµένη (τεταγµένη) τουµοναδικούστοιχείουτης f, τουοποίουηπρώτησυντεταγµένη (τετµηµένη) είναι x. Η f(x) καλείταιητιµήτης f στοσηµείο x, καιλέµεότιηf προσδιορίζει (assigns) την τιµή f(x) στο x. 10

11 Συµβολισµοί Συσχέτισης >: µεγαλύτερο από : µεγαλύτερο ή ίσο <: µικρότερο από : µικρότεροήίσο =: ίσοµε : όχιίσοµε (διάφορο) : ορίζεται ως Το σύµβολο «=» θα χρησιµοποιείται µε πολλά παραπλήσια νοήµατα όπως: «ορίζεταιαπό» ( is defined by ) «είναιταυτόσηµοµε» ( is identical to ) «είναιισοδύναµοµε» ( is equivalent to ) «είναιίσοµε» ( is equal to ) 11

12 ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Η συµβολική λογική λαµβάνει υπόψη γλώσσες των οποίων ο βασικός σκοπός είναι να συµβολίσουν συλλογισµό βασισµένο όχι µόνο σε µαθηµατικά, αλλάεπίσηςκαιστηνκαθηµερινήζωή. Η απλούστερη µορφή συµβολικής λογικής είναι η προτασιακή λογική ( propositional logic or propositional calculus). Στην προτασιακή λογική ενδιαφερόµαστε για δηλωτικές προτάσεις (declarative sentences) που µπορούν να είναι αληθείς (true), ή ψευδείς (false), αλλάόχικαιταδύο. Κάθετέτοιαδηλωτικήπρότασηκαλείταιπρόταση (proposition). 12

13 Παραδείγµατα προτάσεων είναι : «Το χιόνι είναι άσπρο» «Η ζάχαρη είναι υδατάνθρακας» «Ο Βασίλης έχει διδακτορικό» Ηαλήθειαήτοψεύδοςπουαποδίδεταισεµίαπρόταση, καλείταιητιµήαλήθειας (truth value) τηςπρότασης. Αναπαριστούµε τηναλήθεια (true) µετ τοψεύδος (false) µε F Επιπλέον θα δηλώνουµε µε ένα γράµµα ή συνδυασµό γραµµάτων κάθε πρόταση όπως το παράδειγµα που ακολουθεί : Ρ Τοχιόνιείναιάσπρο Q Η ζάχαρη είναι υδατάνθρακας R Ο Βασίλης έχει διδακτορικό Τασύµβολαόπωςτα P, Q, Rπουχρησιµοποιούνταιγιαναδηλώσουνπροτάσεις, καλούνταιατοµικοίτύποιήάτοµα (atomic formulas or atoms). 13

14 Απόπροτάσειςµπορούµεναδοµήσουµεσύνθετεςπροτάσεις (compound propositions), χρησιµοποιώντας λογικούς συνδέσµους (logical connectives). Παραδείγµατα σύνθετων προτάσεων είναι : «Τοχιόνιείναιάσπροκαιοουρανόςκαθαρός». «ΑνοΓιάννηςδενείναιστοσπίτι, τότεημαρίαείναιστοσπίτι». λογικοί σύνδεσµοι στις παραπάνω δύο σύνθετες προτάσεις είναι «και»και «εάν... τότε» Στην προτασιακή λογική θα χρησιµοποιήσουµε πέντε λογικούς συνδέσµους : ~ όχι ( not ): άρνηση και ( and ): σύζευξη ή ( or ): διάζευξη εάν... τότε ( if... then ): συνεπαγωγή εάνκαιµόνοεάν ( if and only if ): ισοδυναµία 14

15 Οι πέντε λογικοί σύνδεσµοι µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να δοµήσουν σύνθετες προτάσεις, από απλές π.χ. αναπαριστούµε τα : «ηυγρασίαείναιυψηλή»µε P «ηθερµοκρασίαείναιυψηλή»µε Q «Κάποιοςαισθάνεταιάνετα»µε C Τότεηπρόταση : «Ανηυγρασίαείναιυψηλήκαιηθερµοκρασίαείναιυψηλή, τότε κάποιος δεν αισθάνεται άνετα», µπορεί να αναπαρασταθεί µε : ( ( P Q ) ( ~ C ) ) Έτσι βλέπουµε ότι µια σύνθετη πρόταση µπορεί να εκφράσει, µία µάλλον πολύπλοκη ιδέα. Στην προτασιακή λογική, µία έκφραση που αναπαριστά µιαπρόταση, όπωςηp, ήµίασύνθετηπρότασηόπωςη ( ( P Q ) ( ~ C ) ) καλείται καλοσχηµατισµένη έκφραση (well - formed formula ή wff) 15

16 Ορισµός : Οι καλοσχηµατισµένες εκφράσεις ( wff ) ή εκφράσεις για συντοµία, στην προτασιακή λογική, ορίζονται επαναληπτικά όπως ακολουθεί : Έναάτοµοείναιµιαέκφραση ( wff ). Αν Gείναιµιαέκφραση ( wff ) τότε ( ~ G ) είναιεπίσηςµιαέκφραση. Αν G καιηείναιεκφράσεις, τότεοι ( G H ), ( G H ), ( G H ) και ( G H ) είναιεκφράσεις. Όλες οι εκφράσεις δηµιουργούνται µέσω εφαρµογής των ανωτέρω κανόνων. Εκφράσειςόπως ( P ) και ( P ) δενείναιεκφράσεις ( wff ) Μερικά ζεύγη παρενθέσεων µπορούν να απαλείφονται π.χ. P Q και P Q είναιαντίστοιχαοιεκφράσεις (P Q) και (P Q) Επιπλέον, µπορούµε να παραλείπουµε τη χρήση παρενθέσεων, εκχωρώντας φθίνουσα κατάταξη (decreasing ranks) στους προτασιακούς συνδέσµους όπως ακολουθεί :,,,, ~ απαιτώντας ότι ο σύνδεσµος µε τη µεγαλύτερη κατάταξη, πάντα φτάνει πιο µακριά. ΈτσιΡ Q R θασηµαίνει ( Ρ ( Q R ) ) και P Q ~ R S θασηµαίνει ( P ( Q ( ( ~ R ) S ) ) ). 16

17 Έστω Gκαι H δύοεκφράσεις. Τότεοιαληθείςτιµέςτωνεκφράσεων : ( ~ G ), ( G H ), ( G H ), ( G H ) και ( G H ) σχετίζονταιµετιςαληθείςτιµέςτων Gκαι H κατά τον ακόλουθο τρόπο : 1. ~ G είναιαληθήςόταν Gείναιψευδήςκαιείναιψευδήςόταν Gείναιαληθής. Το (~ G) καλείται η άρνηση του G (negation) 2. ( G H )είναιαληθήςαν GκαιΗείναικαιταδύοαληθή. Αλλιώςη( G H ) είναιψευδής. Πρόκειταιγιατησύζευξητων GκαιΗ( conjunction ) 3. ( G H )είναιαληθής, αντουλάχιστονένααπότα GκαιΗείναιαληθές. Αλλιώςη( G H ) είναι ψευδής. Μιλάµε τότε για τη διάζευξη των G και Η (disjunction). 4. (G H)είναιψευδήςαν GείναιαληθήςκαιΗείναιψευδής. Αλλιώςη(G H) είναι αληθής. Η (G H) διαβάζεταιως «εάν G, τότεη»ή«gσυνεπάγεταιη» (implication) 5. (G H)είναιαληθήςοποτεδήποτεοι GκαιΗέχουντιςίδιεςτιµέςαληθείας. Αλλιώςη(G H) είναιψευδής. Η (G H) διαβάζεταιως G ανκαιµόνοανη (ισοδυναµία). 17

18 ΒΑΣΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ G H ( ~ G ) ( G H ) ( G H ) ( G H ) ( G H ) T T F T T T T T F F F T F F F T T F T T F F F T F F T T 18

19 ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Υποθέστεότι P και Qείναιδύοάτοµακαιότιοιτιµέςαληθείαςτων P και QείναιΤκαι F, αντίστοιχα. Τότεσύµφωναµετηδεύτερηγραµµή (Λ 120) τουπίνακα (2.1), µε P και Q νααντικαθιστώνταιαπότα GκαιΗαντίστοιχαβρίσκουµεότιοιτιµέςαληθείαςτων (~ Ρ), ( P Q ), ( P Q ), ( P Q ) και ( P Q ) είναι F, F, T, F, F, αντίστοιχα. Παρόµοια, η τιµή αληθείας κάθε έκφρασης (wff), µπορεί να υπολογιστεί σε όρους τιµών αληθείας των ατόµων. Παράδειγµα Θεωρήστε την έκφραση G ( P Q ) ( R ( ~ S ) ) Ταάτοµαστηνέκφρασηαυτήείναι P, Q, R και S. Υποθέστετιςτιµέςαληθείαςαυτώνναείναι T, F, T καιτ, αντίστοιχα. Τότε : * η ( P Q ) είναι FαφότουηGείναιψευδής ( F ) * η ( ~ S ) είναι FαφούηS είναιτ * η ( R ( ~ S ) ) είναι FαφούηR είναιτκαιη( ~ S ) είναι F * η ( P Q ) ( R ( ~ S ) ) είναιταφούη( P Q ) είναι F καιη( R ( ~ S ) ) είναι F Άραηέκφραση G είναιτ( αληθής ), εάντα P, Q, R, S είναι T, F, T, Tαντίστοιχα. Ηεκχώρησητωντιµώναληθείαςστα { Τ, F, Τ, Τ } στα { P, Q, R, S } αντίστοιχα, θα καλείταιµίαερµηνεία (interpretation) τηςέκφρασης G. 19

20 Απότηστιγµήπουτοκαθένααπότα P, Q, R, SµπορείναπαίρνειείτετηντιµήΤ, είτε F, υπάρχουν 2 4 = 16ερµηνείεςγιατηνέκφραση G. 20

21 Ορισµός οθείσηςµιαςέκφρασης GαςείναιΑ1, Α2,..., Αnταάτοµαπουσυναντώνταιστηνέκφραση G. Τότεµίαερµηνείατου GείναιµιακαταχώρησητωντιµώναληθείαςσταΑ1, Α2,..., Αn σταοποίακάθεαiπαίρνειτιµήτήf, αλλάόχικαιτιςδύοµαζί. Ορισµός Μιαέκφραση Gθαλέγεταιαληθήςυπόµία ( ήσεµία ) ερµηνεία [truth under (or in) an interpretation], ανκαιµόνοανηgπαίρνειτηντιµήτστηνερµηνεία. ΑλλιώςηGθαλέγεται ψευδής υπό την ερµηνεία αυτή. (false under the interpretation ). Εάνυπάρχουν «n»διαφορετικάάτοµασεµιαέκφραση τότε Θαυπάρχουν 2 n διαφορετικέςερµηνείεςγιατηνέκφραση ΑνΑ1, Α2,..., Αnείναιόλαάτοµαπουσυναντώνταισεµιαέκφραση, ίσωςείναιπιοβολικόνα αναπαραστήσουµεµιαερµηνείαµέσωενόςσυνόλου {m1...mn}, όπου mi είναι, ήαή(~ Α) Π.χ. τοσύνολο { P, ~ Q, ~ R, S }, αναπαριστάµιαερµηνείαστηνοποία P, Q, R και Sέχουν αντίστοιχατιµέςτ, F, T, T. ηλαδή, ανέναάτοµοαείναιµέσασεένασύνολοπου αναπαριστάµιαερµηνεία, τότετοαπαίρνειτηντιµήτ, ενώναηάρνησητουατόµουα είναιµέσαστοσύνολο, τότετοαπαίρνειτηντιµή F. 21

22 ΙΣΧΥΣ ΚΑΙ ΑΣΥΝΕΠΕΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Παράδειγµα Έστωηέκφραση G ( ( P Q ) P ) Q Άτοµα: P, Q 2 2 = 4 ερµηνείες Ηέκφραση G είναιαληθήςγιαόλεςτιςερµηνείεςτης ισχυρή έκφραση ή ταυτολογία ( valid formula or tautology ) 22

23 Παράδειγµα Έστωηέκφραση G ( ( P Q ) ( P ~ Q ). Η Gείναιψευδήςγιαόλεςτιςερµηνείεςτης ασυνεπής έκφραση (inconsistent formula) ή αντιλογία (contradiction) 23

24 Ορισµός Μιαέκφρασηθαλέγεταιισχυρή (valid), ανκαιµόνοαν, είναιαληθήςυπόόλεςτις ερµηνείες της. Μια έκφραση θα λέγεται ανίσχυρη (invalid), αν και µόνο αν, δεν είναι ισχυρή. Ορισµός Μια έκφραση θα λέγεται ασυνεπής ή ανικανοποίητη (inconsistent or unsatisfiable), αν και µόνοανείναιψευδήςυπόόλεςτιςερµηνείεςτης. Μιαέκφρασηθαλέγεταισυνεπήςή ικανοποιήσιµη, αν και µόνο αν δεν είναι ασυνεπής. Από τους πιο πάνω ορισµούς παρατηρούµεταεξής : 1. Μιαέκφρασηείναιισχυρή, ανκαιµόνοανηάρνησήτηςείναιασυνεπής. 2. Μιαέκφρασηείναιασυνεπής, ανκαιµόνοανηάρνησήτηςείναιισχυρή. 3. Μια έκφραση είναι ανίσχυρη αν και µόνο αν υπάρχει τουλάχιστον µια ερµηνεία υπό την οποίαηέκφρασηείναιψευδής. 4. Μια έκφραση είναι συνεπής, αν και µόνο αν υπάρχει τουλάχιστον µια ερµηνεία υπό την οποίαηέκφρασηείναιαληθής. 5. Εάν µια έκφραση είναι ισχυρή, τότε είναι συνεπής, αλλά όχι το αντίστροφο. 6. Εάνµιαέκφρασηείναιασυνεπής, τότεείναικαιανίσχυρη, αλλάόχιτοαντίστροφο. 24

25 Παράδειγµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Χρησιµοποιώντας τεχνικές πινάκων αληθείας, θα µπορούσαµε να επιβεβαιώσουµε τα ακόλουθα: α. ( P ~ Ρ ) είναιασυνεπής : άραεπίσηςανίσχυρη. β. ( P ~ Ρ ) είναιισχυρή : άραεπίσηςσυνεπής. γ. ( P ~ Ρ ) είναιανίσχυρη : καιακόµαασυνεπής. Ανµιαέκφραση FείναιαληθήςυπότηνερµηνείαΙ, τότελέµεότιηιικανοποιεί ( satisfies ) την F, ήότιηf ικανοποιείταιαπότηνι. Απότηνάλληµεριά, ανµιαέκφραση FείναιψευδήςυπόµιαερµηνείαΙ, τότεθαλέµεότι ηιδιαψεύδει ( είναιενδεχόµενοναεµφανίζεταικαιµετονόρο «ψευτίζει»την Fµε τηνέννοιαότι «προσδίδειψεύδοςστην F»την F ( falsifies F ), ήότιηfδιαψεύδεται απότηνι Π.χ. ηέκφραση ( P ( ~ Q ) ) ικανοποιείταιαπότηνερµηνεία { Ρ, ~ Q } αλλά διαψεύδεταιαπότηνερµηνεία { Ρ, Q }. ΌτανµιαερµηνείαΙικανοποιείµιαέκφραση F, ηιεπίσηςκαλείται, έναµοντέλο ( model ) της F Στην προτασιακή λογική αφότου ο αριθµός των ερµηνειών είναι πεπερασµένος, κάποιος µπορείνααποφασίσειανήόχιµιαέκφρασηστηνπροτασιακήλογικήείναιισχυρή ( ή ασυνεπής ) µέσω εξαντλητικής εξέτασης όλων των πιθανών ερµηνειών της. 25

26 ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Συχνά είναι χρήσιµο ή αναγκαίο να µετασχηµατίσουµε µια έκφραση από µια µορφήσεάλλη, ειδικάσεµιακανονικήµορφή ( normal form ). Αυτό γίνεται αντικαθιστώντας µικρότερες εκφράσεις µε άλλες ισοδύναµες µέσα στη κύρια έκφραση επαναληπτικά ώσπου να πετύχουµε την επιθυµητή µορφήτης. Μετονόροισοδύναµεςεννοούµεταεξής : Ορισµός ύοεκφράσεις Fκαι Gλέγονταιισοδύναµες ( equivalent ) -ήηfείναι ισοδύναµητης G -καιδηλώνονταιως F = G, ανκαιµόνοανοιτιµές αληθείαςτων Fκαι Gείναιοιίδιεςυπόκάθεερµηνείατων Fκαι G. 26

27 Παράδειγµα Επιβεβαιώνουµεότιτο ( P Q ) είναιισοδύναµοµετο ( ~ P Q ), εξετάζονταςτονπίνακααληθείας : 27

28 ΚΑΝΟΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ πάντααληθής πάνταψευδής F, G καιηείναιόλεςεκφράσεις 2.3a και 2.3b καλούνται συχνά νόµοι µετατροπής (commutative laws) 2.4a και 2.4b καλούνται νόµοι σύνδεσης (associative laws) 2.5a και 2.5b νόµοι κατανοµής (distributive laws) 2.10aκαι 2.10b νόµοιτου De Morgan (de Morgan laws) 28

29 Η F1 F2... Fnείναιαληθήςοποτεδήποτετουλάχιστονµίααπότις Fi, 1 i nείναιαληθής, αλλιώςείναιψευδής. Η F1 F2... Fnκαλείταιηδιάζευξη ( disjunction ) των F1,..., Fn F1 F2... Fnαληθής, εάνόλεςοι F1,..., Fnείναιαληθήςκαιηοποίαείναιψευδής αλλιώς. Η F1 F2... Fnκαλείταιησύζευξη ( conjunction ) των F1,..., Fn. Σηµειώστεότιηδιάταξηστην οποία τα Fi εµφανίζονται σε µια σύζευξη, ή, διάζευξη, είναι άνευ σηµασίας Π.χ. F1 F2 F3 = F1 F3 F2 = F2 F1 F3 = F3 F2 F1 = F2 F3 F1 = F3 F1 F2 Ορισµός Έναςστοιχειώδηςτύπος ( literal ) είναιέναάτοµοήηάρνησηενόςατόµου. Ορισµός Μιαέκφραση Fλέγεταιότιείναι «σεµιασυζευκτικήκανονικήµορφή» F F1... Fn, n 1, όπου κάθεένααπότα F1,..., Fnείναιµιαδιάζευξηαπόστοιχειώδειςτύπους. 29

30 Παράδειγµα Έστω P, Q, Rάτοµα Τότε F ( P ~ Q R ) ( ~ P Q ) είναιµιαέκφρασησεµιασυζευκτικήκανονικήµορφή. Γιααυτήτηνέκφραση, F1 = ( P ~ Q R ) και F2 = ( ~ P Q ). Η F1 είναιµιαδιάζευξητωνστοιχειωδώντύπων ~ Ρκαι Q. Ορισµός Μίαέκφραση Fλέγεταιότιείναισεµιαδιαζευκτικήκανονικήµορφή ( disjunctive normal form ), ανκαιµόνοναηf έχειτηµορφήτου F F1... Fn, n 1, όπουκαθένααπότα F1,..., Fn είναι µια σύζευξη από στοιχειώδεις τύπους. 30

31 Παράδειγµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Έστω P, Q, R, άτοµα. ΤότεηF ( ~ P Q ) ( P ~ Q ~ R ) είναιµιαέκφρασησεµιαδιαζευκτική κανονικήµορφή. F1 = ( ~ P Q ) και F2 = ( P ~ Q ~ R ) Η F1 είναιµιασύζευξητωνστοιχειωδώντύπων ~ Pκαι Q καιηf2 είναιµιασύζευξητωνστοιχειωδώντύπων P, ~ Q, και ~ R. Οποιαδήποτεέκφρασηµπορείναµετασχηµατιστείσεµιακανονικήµορφή [νόµοι]. ιαδικασία µετασχηµατισµού : Βήµα 1 Χρησιµοποίησετουςνόµους 2.1 ( F G = ( F G ) ( G F ) ) και 2.2 ( F G = ~ F G ) γιανα εξαλειφθούν οι λογικοί σύνδεσµοι και. Βήµα 2 Επαναληπτικήχρήσητουνόµου 2.9 ( ~ ( ~ F ) = F ) καιτωννόµων De Morgan, 2.10α ( ~ ( F G ) = ~ F ~ G ) και 2.10b ( ~ ( F G ) = ~ F ~ G ) γιαναφέρουµε τααρνητικάσύµβολααµέσωςπρινταάτοµα. Βήµα 3 Επαναληπτικά χρησιµοποίησε τους νόµους κατανοµής 2.5a ( F ( G H ) = ( F G ) ( F H ) ) και 2.5b ( F ( G H ) = ( F G ) ( F H ) καιτουςάλλουςνόµουςγιαναεπιτύχειςµια κανονική µορφή. 31

32 Παράδειγµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ ηµιουργήστεµιαδιαζευκτικήκανονικήµορφήγιατηνέκφραση ( P ~ Q ) R Έχουµε ( P ~ Q ) R = ~ ( P ~ Q ) R ( 2.2 ) = (~ P ~ ( ~ Q ) ) R ( 2.10a ) = ( ~ P Q ) R ( 2.9 ) που είναι το ζητούµενο. Παράδειγµα Βρείτεµιασυζευκτικήκανονικήµορφήγιατηνέκφραση ( P ( Q R ) ) S ( P ( Q R ) ) S = ( P ( ~ Q R ) ) S ( 2.2 ) = ~ ( P ( ~ Q R ) ) S ( 2.2 ) = ( ~ P ~ ( ~ Q R ) ) S ( 2.10b ) = ( ~ P ( ~ ( ~ Q ) ~ R ) ) S ( 2.10a ) = ( ~ P ( Q ~ R ) ) S ( 2.9 ) = ( ( ~ P Q ) ( ~ P ~ R ) ) S ( 2.5a ) = S ( ( ~ P Q ) ( ~ P ~ R ) ) ( 2.3a ) = ( S ( ~ P Q ) ) ( S ( ~ P ~ R ) ) ( 2.5a ) = ( S ~ P Q ) ( S ~ P ~ R ) ( 2.4a ) άρατο ( S ~ P Q ) ( S ~ P ~ R ) είναιτοζητούµενο 32

33 ΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Στα µαθηµατικά, όπως και στην καθηµερινή ζωή, συχνά πρέπει να αποφασίσουµε εάν κάποια κατάσταση είναι επακόλουθο κάποιων άλλων καταστάσεων Αυτό οδηγεί στην έννοια της «λογικής συνέπειας» Παράδειγµα Έστω οι προτάσεις: 1) οι τιµές των µετοχών υποχωρούν, αν το επιτόκιο καταθέσεων ανεβαίνει 2) οι περισσότεροι άνθρωποι είναι δυστυχείς όταν οι τιµές µετοχών υποχωρούν 3) Υποθέστε ότι τώρα το επιτόκιο καταθέσεων πράγµατι ανεβαίνει είξτε ότι µπορείτε να συνάγετε το ότι οι άνθρωποι είναι δυστυχείς 33

34 Για να δείξουµε το ζητούµενο, δηλώνουµε τις καταστάσεις ως ακολούθως : P Το επιτόκιο καταθέσεων ανεβαίνει S Οιτιµέςµετοχώνυποχωρούν U Οι περισσότεροι άνθρωποι είναι δυστυχείς Υπάρχουν 4 καταστάσεις στο παράδειγµά µας. Αυτές είναι : ( 1 ) : Εάν το επιτόκιο καταθέσεων ανεβαίνει, οι τιµές µετοχών υποχωρούν. ( 2 ) : Εάνοιτιµέςµετοχώνυποχωρούν, οιπιοπολλοίάνθρωποιείναιδυστυχείς ( 3 ) : Τοεπιτόκιοκαταθέσεωνανεβαίνει ( 4 ) : Οιπερισσότεροιάνθρωποιείναιδυστυχείς Αυτές οι καταστάσεις, αρχικά συµβολίζονται ως : ( 1 ) : P S ( 2 ) : S U ( 3 ) : P ( 4 ) : U 34

35 Τώραδείχνουµεότι ( 4 ) είναιαληθής, οποτεδήποτεη( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) είναιαληθής. Μετασχηµατίζουµεπρώτατην ( ( P S ) ( S U ) P ( αναπαριστώνταςτην ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) σεµιακανονικήµορφή ) : ( ( P S ) ( S U ) P ) ( ( ~ P S ) ( ~ S U ) P ) ( 2.2 ) = P ( ~ P S ) ( ~ S U ) ( 2.3b ) = ( ( P ~ P ) ( P S ) ) ( ~ S U ) ( 2.5b ) = ( ( ( P S ) ) ( ~ S U ) ) ( 2.8b ) = ( P S ) ( ~ S U ) ( 2.6a ) = ( P S ~ S ) ( P S U ) ( 2.5b ) = ( P ) ( P S U ) ( 2.8b ) = ( P S U ) ( 2.7b ) = P S U ( 2.6a ) Έτσιεάν ( ( P S ) ( S U ) P ) είναιαληθής, τότεη( P S U ) είναιαληθής Αφούη( P S U ) είναιαληθήςµόνοεάν P, S και U είναιόλεςαληθείς, συνάγουµεότι η U είναιαληθής ΕπειδήηUείναιαληθήςοποτεδήποτεοι ( P S ), (S U ) καιρείναιαληθείς, στη λογικήηuκαλείταιλογικήσυνέπειατων ( P S), ( S U ) καιρ 35

36 Ορισµός οθέντωντωνεκφράσεων F1, F2,...Fn καιµιαςέκφρασης G, η G θα καλείται λογική συνέπεια (logical consequence) των F1, F2,...Fn [ ήηgλογικάσυνεπάγεταιαπότις F1, F2,...Fn ( logically follows from F1, F2,...Fn ], ανκαιµόνοαν, γιακάθεερµηνείαι, στηνοποίαη F1 F2... Fnείναιαληθής, η Gείναιεπίσηςαληθής Οι F1, F2,...Fnονοµάζονταιαξιώµατα (axioms) ήακόµαυποθέσεις (premises) ή αυταπόδεικτα του G Θεώρηµα ( 2.1 ) οθέντωντωνεκφράσεων F1, F2,...Fnκαιµιαςέκφρασης G, η G είναιµιαλογικήσυνέπειατων F1, F2,...Fnανκαιµόνοαν ηέκφραση ( ( F1 F2... Fn ) G ) είναιισχυρή (valid) 36

37 Θεώρηµα ( 2.2 ) οθέντωντωνεκφράσεων F1, F2,..., Fnκαιµιαςέκφρασης G, η G είναιλογικήσυνέπειατων F1, F2,...Fn ανκαιµόνοανηέκφραση ( F1 F2... Fn ~G) είναιασυνεπής (inconsistent) Τα δύο αυτά θεωρήµατα είναι πολύ σηµαντικά. είχνουν ότι αποδεικνύοντας πως µια συγκεκριµένη έκφραση είναι µια λογική συνέπεια ενός πεπερασµένου συνόλου εκφράσεων, είναι ισοδύναµο µε το να αποδειχτεί ότι µια συγκεκριµένη συνολική έκφραση είναι ισχυρή ή ασυνεπής. ΕάνηGείναιµιαλογικήσυνέπειατων F1, F2,...Fnηέκφραση ( ( F1 F2... Fn ) G ) καλείταιέναθεώρηµα (theorem) καιηg επίσης καλείται το συµπέρασµα του θεωρήµατος (conclusion of the theorem) Στα µαθηµατικά όπως επίσης και σε άλλες περιοχές, πολλά προβλήµατα µπορούν να τυποποιηθούν ως προβλήµατα απόδειξης θεωρηµάτων 37

38 Παράδειγµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Θεωρήστετιςεκφράσεις : F1 ( P Q ) F2 ~ Q G ~ P είξτεότιηgείναιµιαλογικήσυνέπειατων F1 και F2. Μέθοδος 1 Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την τεχνική των πινάκων αληθείας, για να δείξουµε ότι η G είναι αληθής, σε κάθε µοντέλοτης ( P Q ) ~ Q. Υπάρχειµόνοέναµοντέλογιατην ( P Q ) ~ Q, το { ~ P, ~ Q } (δηλαδήµόνοέναζεύγοςτιµώναλήθειαςπουτην επαληθεύει (Τ) δείτετελευταίαγραµµήτουπίνακα. Η ~ P είναιφυσικάαληθήςστοµοντέλοαυτό. Έτσιµέσωτουορισµούτηςλογικήςσυνέπειας, συµπεραίνουµεότιη~ Ρείναιλογικήσυνέπειατων ( P Q ) και ~ Q. 38

39 Μέθοδος 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Χρησιµοποιούµετοθεώρηµα 2.1. Αυτόµπορείναγίνειαπλάεπεκτείνονταςτονπίνακααληθείαςτουπίνακα ( 2.7 ), ή υπολογίζονταςτηνέκφραση ( ( P Q ) Q ) ~ Ρ. Οπίνακας ( 2.8 ) δείχνειότιη ( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρείναιαληθήςγιακάθεερµηνεία. Έτσιη( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρείναιισχυρή ( valid ) καισύµφωναµετοθεώρηµα 2.1, η ~ Ρείναιµιαλογικήσυνέπειατων P Qκαι ~ Q 39

40 Μέθοδος 3 Μπορούµεεπίσηςνααποδείξουµετηνισχύτης ( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρ, µετασχηµατίζοντας την σε µια συζευκτική κανονική µορφή: ( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρ = ~ ( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρ ( 2.2 ) = ~ ( ( ~ P Q ) ~ Q ) ~ Ρ ( 2.2 ) = ~ ( ( ~ P ~ Q ) ( Q ~ Q ) ) ~ Ρ ( 2.5b ) = ~ ( ( ~ P ~ Q ) ) ~ Ρ ( 2.8b ) = ~ ( (~ P ~ Q ) ) ~ Ρ ( 2.6a ) = ( P Q ) ~ Ρ ( 2.10b ) = ( Q P ) ~ Ρ ( 2.3a ) = Q ( P ~ P) = Q = Άραη( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρείναιισχυρή 40

41 Μέθοδος 4 Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το θεώρηµα ( 2.2 ) Τότε αποδεικνύουµε ότι η ( ( P Q ) ~ Q ) ( ~ ( ~ P ) ) = ( P Q ) ~ Q (~(~P)) είναι ασυνεπής [ll126] Πάλιόπωςστηµέθοδο 2, µπορούµεναχρησιµοποιήσουµετηντεχνικήπίνακααληθείας, γιαναδείξουµεότιη( P Q ) ~ Q (~(~P)) δηλ. η ( P Q ) ~ Q Pείναιψευδήςγιακάθεερµηνεία Απότονπίνακα ( 2.9 ), συµπεραίνουµεότιη( P Q ) ~ Q Pείναιασυνεπήςκαισύµφωναµετοθεώρηµα ( 2.2 ), η ~ Ρείναιµιαλογικήσυνέπειατων ( P Q ) και ~ Q. 41

42 5 η µέθοδος Μπορούµε επίσης να αποδείξουµε την ασυνέπεια της ( P Q ) ~ Q P µετασχηµατίζοντας την σε µια διαζευκτική κανονική µορφή (disjunctive normal form): ( P Q ) ~ Q P = ( ~ P Q ) ( ~ Q P ) = ( 2.2 ) ( ~ P ~ Q P ) ( Q ~ Q P ) = ( 2.5b ) ( ~Q ) ( P ) = ( 2.4 ) ( 2.7 ) ( 2.8 ) = ( 2.8b ) ( 2.6a ) Άραη ( P Q ) ~ Q Pείναιασυνεπής 42

43 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΜΕΣΩ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ Παράδειγµα 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ οθέντοςτουγεγονότοςότιτοκοινοβούλιοαρνείταιναψηφίσεινέουςνόµους, τότε η απεργία δεν θα λήξει, εκτός αν διαρκέσει περισσότερο από ένα χρόνο και ο πρόεδρος παραιτηθεί. εν θα λήξει η απεργία διότι το κοινοβούλιο αρνείται να ενεργήσει και η απεργία µόλις αρχίζει. α. Μετατροπή καταστάσεων σε σύµβολα : P : Το κοινοβούλιο αρνείται να ενεργήσει Q : Ηαπεργίαέχειλήξει R : Ο πρόεδρος παραιτείται S : Ηαπεργίαδιαρκείπερισσότεροαπόέναχρόνο Τότε τα γεγονότα που δείχνονται στο παράδειγµα µπορούν να αναπαρασταθούν από «εκφράσεις» : 43

44 F1 : ( P ( ~ Q ( R S ) ) ) εάντοκοινοβούλιοαρνηθείναψηφίσεινέουςνόµους, τότεηαπεργίαδενθαλήξειεκτόςκιανδιαρκέσει περισσότερο από ένα χρόνο και ο πρόεδρος παραιτηθεί. F2 : Ρ Το κοινοβούλιο αρνείται να ενεργήσει. F3 : ~ S Ηαπεργίαµόλιςαρχίζει. Απόταγεγονότα F1, F2, F3 συµπεραίνουµεότιηαπεργίαδενθαλήξει; ηλαδήµπορούµεναδείξουµεότιη~ Qείναιµιαλογικήσυνέπειατων F1, F2, F3 ; Απότοθεώρηµα 2.1 αυτόείναιισοδύναµοµετοναδείξουµεότιη είναι µια ισχυρή έκφραση (valid formula) ( ( P ( ~ Q ( R S ) ) ) P ~ S ~ Q Στον πίνακα 2.10 φαίνονται οι τιµές αληθείας της παραπάνω έκφρασης για όλες τις ερµηνείες 44

45 45

46 Από τον ίδιο πίνακα βλέπουµε ότι δεν υπάρχει ψευδής ερµηνεία. Άραηέκφρασήµαςείναιµιαισχυρήέκφραση Έτσιη~ Qείναιµιαλογικήσυνέπειατων F1, F2 και F3 και µπορούµε να συνάγουµε την ~ Q απότις Fi Άραηαπάντησηείναι : «ηαπεργίαδενθαλήξει» 46

47 Παράδειγµα (Πρόβληµα Χηµικής Σύνθεσης) Υποθέστε ότι µπορούν να λάβουν χώρα οι ακόλουθες χηµικές αντιδράσεις : (1) : MgO + H2 Mg + H 2 O (2) : C + CO 2 CO 2 (3) : CO 2 + H 2 O H 2 CO 3 Υποθέστεότιέχουµεµερικέςποσότητες MgO, H 2, O 2 και Cσανατοµικέςεκφράσεις. Τότε οι πιο πάνω χηµικές αντιδράσεις µπορούν να αναπαρασταθούν από τις ακόλουθες εκφράσεις : Α1 : ( MgO H 2 ) ( Mg H 2 O ) A2 : ( C O 2 ) CO 2 A3 : ( CO 2 H 2 O ) H 2 CO 3 Αφούέχουµε MgO, H 2, O 2 και C, αυτάταγεγονόταµπορούννααναπαρασταθούναπότιςακόλουθες εκφράσεις : A4 : MgO A5 : H 2 A6 : O 2 A7 : C 47

48 Τώρατοπρόβληµαµπορείνακαταστρωθείεκνέουωςεξής : Πρέπεινααποδείξουµεότιτο H 2 CO 3 είναιµιαλογικήσυνέπειατωνα1,... Α7 πουαπότοθεώρηµα ( 2.2 ) είναιαλήθειαανη( Α1... Α7 ) ~ H2CO3 είναιασυνεπής Αποδεικνύουµετοτελευταίο, µετασχηµατίζονταςτηνέκφραση : ( Α1 Α2... Α7 ~ H2CO3 ) σεµια διαζευκτική κανονική µορφή : (Α1... Α7 ~ H2CO3 ) = = ( ( MgO H 2 ) ( MgO H 2 O ) ) ( ( C O 2 ) CO 2 ) ( ( CO 2 H 2 O ) H 2 CO 3 ) MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = ( ~ MgO ~ H 2 Mg ) ( ~ MgO ~ H 2 H 2 O ) ( ~ C ~ O 2 CO 2 ) ( ~ CO 2 ~ H 2 O H 2 CO 3 ) MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = ( ~ MgO ~ H 2 Mg ) ( ~ MgO ~ H 2 H 2 O ) MgO H 2 ( ~ C ~ O 2 CO 2 ) C O 2 ( ~ CO 2 ~ H 2 O H 2 CO 3 ) ~ H 2 CO 3 MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = = = Mg H 2 O MgO H 2 CO 2 C O 2 ( ~ CO 2 ~ H 2 O ) ~ H 2 CO 3 MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = ( ~ CO 2 ~ H 2 O ) H 2 O CO 2 Mg MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = Mg MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = Αφούη σηµαίνει «πάνταψευδής», ηέκφραση (Α1... Α7 ~ H2CO3 ) είναιασυνεπής. Άρατο H2CO3 είναιµιαλογικήσυνέπειατωνα1,..., Α7. Αυτόσηµαίνειότιµπορούµεναφτιάξουµε H2CO3 από MgO, H2, O2 και C Η παραπάνω διαδικασία καλείται πολλαπλασιαστική µέθοδος (multiplication method), γιατί η διαδικασία µετασχηµατισµού είναι πολύ όµοια µε τον πολλαπλασιασµό µιας αριθµητικής έκφρασης 48 Στην πράξη, πολύ συνθετότερα παραδείγµατα όµοια µε το τελευταίο, λύνονται από Η/Υ µε κατάλληλα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής ΜΠΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΥΦΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Ι.

Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής ΜΠΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΥΦΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Ι. Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής ΜΠΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΥΦΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Ι. Χατζηλυγερούδης ΩΡΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Τετάρτη/Τρίτη 5.00-7.00 µ.µ. (ΠΡΟΚΑΤ Τµήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Είδη εντολών. Απλές εντολές. Εντολές ελέγχου. Εκτελούν κάποια ενέργεια. Ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται άλλες εντολές

Είδη εντολών. Απλές εντολές. Εντολές ελέγχου. Εκτελούν κάποια ενέργεια. Ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται άλλες εντολές Μορφές Εντολών Είδη εντολών Απλές εντολές Εκτελούν κάποια ενέργεια Εντολές ελέγχου Ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται άλλες εντολές Εντολές και παραστάσεις Μιαεντολήείναιμιαπαράστασηπου ακολουθείται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Η γλώσσα προγραμματισμού C Γεώργιος Δημητρίου Εκφράσεις και Λίγες Εντολές Οι εκφράσεις της C Τελεστές Απλές και σύνθετες εντολές Εντολές ελέγχου (επιλογής) Εισαγωγή σε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Mαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΤΗΜΑΤΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2004 Θέμα 1 ο : Αποδείξτε με τον κανόνα της επίλυσης τα ακόλουθα Α. Η πρόταση (Α (Β C)) & (A B) & (A C) είναι μη επαληθεύσιμη Β. Η Β είναι αποδείξιμη από το Δ={ (Β

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Σηµειώσεις στο µάθηµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. ιδάσκων : Χαράλαµπος Κορνάρος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Σηµειώσεις στο µάθηµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. ιδάσκων : Χαράλαµπος Κορνάρος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Σηµειώσεις στο µάθηµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ιδάσκων : Χαράλαµπος Κορνάρος ηµιουργία του ηλεκτρονικού αρχείου Χρήστος Πηλιχός Φοιτητής του Τµήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Αποδείξτε τη µεταβατική και τη συµµετρική ιδιότητα του Θ. Λύση Μεταβατική Ιδιότητα (ορισµός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)). Για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Θεωρητική εισαγωγή

1.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ NOT, AND, NAND Σκοπός: Να εξοικειωθούν οι φοιτητές µε τα ολοκληρωµένα κυκλώµατα της σειράς 7400 για τη σχεδίαση και υλοποίηση απλών λογικών συναρτήσεων.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Προτάσεις, Σύνολα, Απεικονίσεις

Προτάσεις, Σύνολα, Απεικονίσεις Κεϕάλαιο 1 Προτάσεις, Σύνολα, Απεικονίσεις Το κεϕάλαιο αυτό είναι εισαγωγικό και έχει σκοπό να υπενθυµίσει και να γενικεύσει κάποιες εν µέρει γνωστές έννοιες καθώς και τη σχετική ορολογία και το συµβολισµό.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σύνολα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ορισμός Συνόλου Σύνολο είναι μια συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ OR, NOR, XOR

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ OR, NOR, XOR ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ OR, NOR, XOR Σκοπός: Να επαληθευτούν πειραµατικά οι πίνακες αληθείας των λογικών πυλών OR, NOR, XOR. Να δειχτεί ότι η πύλη NOR είναι οικουµενική.

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 6. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤ ΕΠΙΠΕ ΘΕΩΡΙΑ. Σύστηµα καθέτων ηµιαξόνων: Είναι δύο κάθετες µεταξύ τους ηµιευθείες µία οριζόντια και µία κατακόρυφη. Την οριζόντια την ονοµάζουµε και την λέµε ηµιάξονα των ή ηµιάξονα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές

Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές Εισαγωγή στις Περιγραφικές Λογικές Σύνταξη, Σημασιολογία και Αλγόριθμοι Συλλογιστικής Γιώργος Στοΐλος Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1. Εισαγωγή Ένα από τα προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο 6ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο. Δομημένος Προγραμματισμός - Γενικές Ασκήσεις Επανάληψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο 6ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο. Δομημένος Προγραμματισμός - Γενικές Ασκήσεις Επανάληψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο 1. Συμπληρώστε τα κενά με τη λέξη που λείπει. α. Ένα πρόβλημα το χωρίζουμε σε άλλα απλούστερα, όταν είναι ή όταν έχει τρόπο επίλυσης. β. Η επίλυση ενός προβλήματος προϋποθέτει την του. γ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Πιθανοτική Συλλογιστική Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Αβεβαιότητα πεποιθήσεων πράκτορας θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client ΕΣΔ 516 Τεχνολογίες Διαδικτύου Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client Περιεχόμενα Περιεχόμενα Javascript και HTML Βασική σύνταξη Μεταβλητές Τελεστές Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ιαφάνειες παρουσίασης #1

ιαφάνειες παρουσίασης #1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/programming/ ιδάσκοντες: Στάθης Ζάχος (zachos@cs.ntua.gr) Νίκος Παπασπύρου (nickie@softlab.ntua.gr) ιαφάνειες παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΣΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΣΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΣΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Θεματική Ενότητα: Πολλαπλές Ερμηνευτικές Προσεγγίσεις Βασίλειος Τσακανίκας Γεώργιος Τσαπακίδης vasilistsakanikas@yahoo.gr

Διαβάστε περισσότερα

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Προγραμματισμός και Αλγόριθμοι Από το και τημ Χελώμα στημ Ευριπίδης Βραχνός http://evripides.mysch.gr/ 2014 2015 1 Προγραμματισμός Ζάννειο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πειραιά Ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

οµηµένες Αναπαραστάσεις Γνώσης

οµηµένες Αναπαραστάσεις Γνώσης οµηµένες Αναπαραστάσεις Γνώσης! Η κλασική λογική δε µπορεί να αναπαραστήσει κλάσεις αντικειµένων.! Είναι επιθυµητή η µείωση του όγκου της γνώσης για ένα πρόβληµα.! Η πράξη απαιτεί µία περισσότερο διαισθητική

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΑΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΩΤΟΥ ΑΘΟΥ 1. ηµειώστε το γράµµα αν η πρόταση είναι σωστή και το γράµµα αν είναι λάθος. 1. Ο αλγόριθµος πρέπει να τερµατίζεται µετά από εκτέλεση πεπερασµένου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Σχεσιακή Άλγεβρα

Εισαγωγή στη Σχεσιακή Άλγεβρα Εισαγωγή στη Σχεσιακή Άλγεβρα Η Σχεσιακή Άλγεβρα παρέχει τους τελεστές (operators): Μοναδιαίοι Σχεσιακοί Τελεστές (Unary Relational Ops) Επιλογή (Select, (sigma)) Προβολή (Project, (pi)) Μετονομασία (Rename,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

6. ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ

6. ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ 6. ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ- ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 1 ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΥΟ ΕΙΣΟ ΩΝ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Pascal Βασικοί τύποι δεδοµένων

Pascal Βασικοί τύποι δεδοµένων Pasal Βασικοί τύποι δεδοµένων «ΜΗ ΕΝ ΠΟΛΛΟΙΣ ΟΛΙΓΑ ΛΕΓΕ, ΑΛΛ ΕΝ ΟΛΙΓΟΙΣ ΠΟΛΛΑ» Σηµαίνει: "Μη λες πολλά χωρίς ουσία, αλλά λίγα που να αξίζουν πολλά" (Πυθαγόρας) Κουλλάς Χρίστος www.oullas.om oullas 2 Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

Visual Basic Βασικές Έννοιες

Visual Basic Βασικές Έννοιες Visual Basi Βασικές Έννοιες «Είδα στον ύπνο µου ότι η ζωή είναι χαρά. Ξύπνησα και είδα ότι είναι χρέος. Αγωνίστηκα και είδα ότι τo χρέος είναι χαρά.» Ραµπριτανάθ Ταγκόρ Κουλλάς Χρίστος www.oullas.om oullas

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Δέντρα Αναζήτησης Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Το πρόβλημα Αναζήτηση Θέλουμε να διατηρήσουμε αντικείμενα με κλειδιά και να μπορούμε εκτός από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340 ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2010 Ι ΑΣΚΩΝ: ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΣΑΒΒΙ ΗΣ ΒΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΑΣΗ 2η από 5 Ανάθεση: Πέµπτη 15 Απριλίου 2010, 11:00 (πρωί)

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

Α4. Δίδεται ο παρακάτω αλγόριθμος

Α4. Δίδεται ο παρακάτω αλγόριθμος Διαγώνισμα 2014-15 Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Πραγματικό Περιβάλλον Επώνυμο Όνομα Εξεταζόμενο μάθημα Γ Λυκείου Κυριακή 02/11/2014 Τμήμα Ημερομηνία Τάξη Θέμα Α A1. Επιλέξτε Σωστό ή Λάθος για τις παρακάτω προτάσεις:

Διαβάστε περισσότερα

(REASONING WITH UNCERTAINTY)

(REASONING WITH UNCERTAINTY) ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ REASONING WITH UNCERTAINTY Ακριβής και πλήρης γνώση δεν είναι πάντα δυνατή Οι εµπειρογνώµονες πολλές φορές παίρνουν αποφάσεις από αβέβαια, ηµιτελή ή και αλληλοσυγκρουόµενα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Πορτίδης / Στάθης Ψύλλος / Διονύσιος Αναπολιτάνος: Λογική. Η δομή του επιχειρήματος. Αθήνα: Νεφέλη 2007, 292 σ., 22.

Δημήτρης Πορτίδης / Στάθης Ψύλλος / Διονύσιος Αναπολιτάνος: Λογική. Η δομή του επιχειρήματος. Αθήνα: Νεφέλη 2007, 292 σ., 22. 1/6 2009-01 Πορτίδης/Ψύλλος/Αναπολιτάνος: Λογική Δημήτρης Πορτίδης / Στάθης Ψύλλος / Διονύσιος Αναπολιτάνος: Λογική. Η δομή του επιχειρήματος. Αθήνα: Νεφέλη 2007, 292 σ., 22. Κρίνει ο Αριστείδης Αραγεώργης

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα