Σειρές Fourier. Κεφάλαιο Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. f(x) dλ(x) u(x) dλ(x) + i. (tf(x) + sg(x)) dλ(x) = t. f(x) dλ(x) = Re ix 0

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σειρές Fourier. Κεφάλαιο Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. f(x) dλ(x) u(x) dλ(x) + i. (tf(x) + sg(x)) dλ(x) = t. f(x) dλ(x) = Re ix 0"

Transcript

1 Κεφάλαιο 5 Σειρές Fourier 5. Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων Σε αυτό το κεφάλαιο ϑεωρούµε συναρτήσεις µε µιγαδικές τιµές. Αν f : [a, b] C είναι οποιαδήποτε συνάρτηση, τότε η f γράφεται στη µορφή f = u + iv, όπου u(x) = Re(f(x)) και v(x) = Im(f(x)), x [a, b]. Λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη αν οι u, v είναι ολοκλη- ϱώσιµες, και ορίζουµε (5..) b a f(x) dλ(x) = b a u(x) dλ(x) + i b a v(x) dλ(x). Εύκολα ελέγχουµε ότι εξακολουθεί να ισχύει η γραµµικότητα : αν οι f, g : [a, b] C είναι ολοκληρώσιµες και αν, s C τότε (5..) b a (f(x) + sg(x)) dλ(x) = b a f(x) dλ(x) + s b a g(x) dλ(x). Θα χρησιµοποιούµε συχνά το εξήσ: αν η f : [a, b] C είναι ολοκληρώσιµη, τότε (5..3) b a b f(x) dλ(x) f(x) dλ(x). a Για την απόδειξη αυτού του ισχυρισµού, γράφουµε (5..4) b a f(x) dλ(x) = Re ix, όπου R = b a f(x) dλ(x) και x R, 47

2 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER και παρατηρούµε ότι b a f(x) dλ(x) = e ix = = b a b a b a f(x) dλ(x) = b Re(e ix f(x)) dλ(x) f(x) dλ(x). a e ix f(x) dλ(x) b a e ix f(x) dλ(x) Στην τρίτη ισότητα χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι αφού το ολοκλήρωµα της e ix f(x) είναι πραγµατικός αριθµός ϑα ισούται µε το ολοκλήρωµα της Re(e ix f(x)). Ορισµός 5.. (µιγαδικές συναρτήσεις στο µοναδιαίο κύκλο). Συµβολίζουµε µε το µοναδιαίο κύκλο (5..5) = {z C : z = } = {e ix : x R}. Αν F : C είναι συνάρτηση µε µιγαδικές τιµές, ορίζουµε f : R C µε (5..6) f(x) = F (e ix ). Παρατηρήστε ότι η f είναι -περιοδική. Αντίστροφα, αν f : R C είναι µια περιοδική συνάρτηση, τότε η F : C µε F (e ix ) = f(x) είναι καλά ορισµένη (πράγµατι, αν e ix = e ix για κάποιους x, x R τότε x = x + kπ για κάποιον ακέραιο k, άρα f(x ) = f(x ) από την -περιοδικότητα της f). Εχουµε λοιπόν µια αντιστοιχία ανάµεσα στις συναρτήσεις F : C και τις -περιοδικές συναρτήσεις f : R C. Με ϐάση αυτήν την αντιστοιχία, λέµε ότι η F είναι ολοκληρώσιµη αν η f είναι ο- λοκληρώσιµη σε κάποιο (άρα σε κάθε) διάστηµα µήκους, η F είναι συνεχής αν η f είναι συνεχής, η F είναι παραγωγίσιµη αν η f είναι παραγωγίσιµη, η F είναι συνεχώς παραγωγίσιµη αν η f είναι συνεχώς παραγωγίσιµη και ούτω καθεξής. Ορισµός 5.. (ο χώρος L p ()). Για κάθε p < ϑεωρούµε το χώρο L p () των -περιοδικών µετρήσιµων συναρτήσεων f : R C για τις οποίες (5..7) f(x) p dλ(x) <, ταυτίζοντας ως συνήθως συναρτήσεις που είναι ίσες σχεδόν παντού, εφοδιασµένο µε τη νόρµα (5..8) f p = ( /p f(x) dλ(x)) p.

3 5.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 49 Γράφοντας εννοούµε οποιοδήποτε διάστηµα µήκους, για παράδειγµα το (, π]. Ο (L p (), p ) είναι χώρος Banach (η απόδειξη είναι όµοια µε αυτήν που δόθηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο). Θεωρούµε επίσης τον χώρο (L (), ) των «ουσιωδώς ϕραγµένων» -περιοδικών µετρήσιµων f, ο οποίος είναι χώρος Banach µε νόρµα την (5..9) f = min{β : λ({x : f(x) > β}) = } = lim p f p. Ορισµός 5..3 (τριγωνοµετρικά πολυώνυµα). Πραγµατικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο είναι κάθε πεπερασµένος γραµµικός συνδυασµός των συναρτήσεων cos kx και sin kx. ηλαδή, κάθε συνάρτηση της µορφής (x) = a + (a k cos kx + b k sin kx), k= όπου n N και a k, b k R. Ο ϐαθµός του είναι ο µικρότερος n για τον οποίο το έχει µια αναπαράσταση αυτής της µορφής. Συµβολίζουµε µε n την κλάση όλων των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων που έχουν ϐαθµό µικρότερο ή ίσο από n. Παρατηρήστε ότι ο n είναι γραµµικός υπόχωρος του χώρου των συνεχών -περιοδικών συναρτήσεων f : R R. Μιγαδικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο είναι µια συνάρτηση της µορφής (5..) p(x) = k= n c k e ikx όπου n, c k C και c n + c n. Ο n είναι ο ϐαθµός του p. Θεωρούµε επίσης ότι η µηδενική συνάρτηση είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο µηδενικού ϐαθµού. Χρησιµοποιώντας την γραµµικότητα του ολοκληρώµατος και το γεγονός ότι, αν k Z, (5..) { e ik d =, αν k, αν k =, ελέγχουµε εύκολα ότι (5..) c k = p(x)e ikx dλ(x) για κάθε k n. Ορισµός 5..4 (τριγωνοµετρική σειρά). Τριγωνοµετρική σειρά είναι µια σειρά της µορφής (5..3) k= c k e ikx.

4 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Με τον όρο πραγµατική τριγωνοµετρική σειρά αναφερόµαστε σε µια σειρά της µορφής (5..4) a + (a k cos kx + b k sin kx), k= όπου a k, b k R. Το συµµετρικό n-οστό µερικό άθροισµα της σειράς (5..3) είναι το τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (5..5) s n (x) = c k e ikx, k= n ενώ το n-οστό µερικό άθροισµα της σειράς (5..4) είναι το πραγµατικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (5..6) a + (a k cos kx + b k sin kx). k= Ορισµός 5..5 (σειρά Fourier). Εστω f L (). Για κάθε k Z ορίζουµε τον k-οστό συντελεστή Fourier της f µέσω της (5..7) f(k) = Από την (5..3) έχουµε (5..8) f(k) = f(x)e ikx dλ(x). f(x)e ikx dλ(x) f(x) dλ(x) = f, χρησιµοποιώντας και το γεγονός ότι e ikx =. Συνεπώς, η ακολουθία { f(k)} k Z είναι ϕραγµένη. Η σειρά Fourier της f είναι η σειρά συναρτήσεων (5..9) S(f, x) = k= f(k)e ikx. Το n-οστό µερικό άθροισµα της σειράς Fourier της f είναι το µιγαδικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (5..) s n (f, x) = k= n f(k)e ikx. Αν F : C είναι ολοκληρώσιµη συνάρτηση, ϑεωρούµε την f(x) = F (e ix ) και ορίζουµε τους συντελεστές Fourier της f µέσω του περιορισµού της f στο (, π], χρησιµοποιώντας την (5..7).

5 5.. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 Παρατήρηση Εστω f L (). Για κάθε k ορίζουµε (5..) a k (f) = π και για κάθε k ορίζουµε (5..) b k (f) = π f(x) cos kx dλ(x) f(x) sin kx dλ(x). Αν η f είναι άρτια, δηλαδή f( x) = f(x) για κάθε x, τότε όλοι οι συντελεστές b k µηδενί- Ϲονται, και (5..3) a k (f) = π f(x) cos kx dλ(x). Αν η f είναι περιττή, δηλαδή f( x) = f(x) για κάθε x, τότε όλοι οι συντελεστές a k µηδενίζονται, και (5..4) b k (f) = π Παρατηρήστε ότι : αν k Z \ {}, (5..5) και (5..6) Επίσης, f(k) = = a k(f) ib k (f), f(x) sin kx dλ(x). f(x) cos kx dλ(x) i f(x) sin kx dλ(x) f( k) = f(x) cos kx dλ(x) + i f(x) sin kx dλ(x) = a k(f) + ib k (f). (5..7) f() = Παίρνουµε έτσι την επόµενη πρόταση. f(x) dλ(x) = a (f). Πρόταση Εστω f L (). Για κάθε k Z \ {} ισχύουν οι (5..8) a k (f) = f(k) + f( k) και b k (f) = i( f(k) f( k)). Επίσης, a (f) = f() και (5..9) s n (f, x) = k= n f(k)e ikx = a (f) + (a k (f) cos kx + b k (f) sin kx). k=

6 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Απόδειξη. Οι ισότητες a (f) = f(), a k (f) = f(k) + f( k) και b k (f) = i( f(k) f( k)) προκύπτουν άµεσα από τις (5..5), (5..6) και (5..7). Για την (5..3) γράφουµε s n (f, x) = f(k)e ikx k= n = a (f) = a (f) = a (f) = a (f) = a (f) f(k)e ikx + k= k= n f(k)e ikx n f(k)e ikx + f( k)e ikx k= k= n f(k)(cos kx + i sin kx) + f( k)(cos kx i sin kx) k= ( f(k) + f( k)) cos kx + k= k= i( f(k) f( k)) sin kx k= (a k (f) cos kx + b k (f) sin kx), k= χρησιµοποιώντας την (5..8). Το ϐασικό πρόβληµα που ϑα µας απασχολήσει είναι το εξήσ: αν F : C είναι ολοκληρώσιµη συνάρτηση, ή ισοδύναµα, αν f : R C είναι µια -περιοδική συνάρτηση, ολοκληρώσιµη σε κάθε διάστηµα µήκους, ϑα εξετάσουµε αν η ακολουθία s n (f, x) = n k= n f(k)e ikx «συγκλίνει» στην f. Σαν ένα πρώτο παράδειγµα, ϑεωρούµε τη συνάρτηση f(x) = x στο [, π) και την επεκτείνουµε σε -περιοδική συνάρτηση στο R. Η f είναι προφανώς ολοκληρώσιµη στο [, π]. Θα υπολογίσουµε τους συντελεστές Fourier της f. Αφού η f είναι περιττή, έχουµε π (5..3) f() = x dλ(x) =. Για κάθε k γράφουµε f(k) = = = xe ikx dλ(x) = π ik + xe ikx = ( )k+. ik e ikπ πe ikπ ik = k x e ikx ik [ e ikx dλ(x) ik e ikπ + e ikπ i ] dλ(x)

7 5.. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 53 e Χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι ikx ik dλ(x) =. Επεται ότι (5..3) S(f, x) = ( ) k+ e ikx ( ) k+ e ikx ( ) k+ e ikx = ik ik k k= k+ sin kx = ( ). k k= Θα µπορούσε κανείς, εναλλακτικά, να παρατηρήσει πρώτα ότι a k (f) = για κάθε k Z, διότι η f είναι περιττή. Αυτό σηµαίνει ότι (5..3) S(f, x) = k b k (f) sin kx. Χρησιµοποιώντας ολοκλήρωση κατά µέρη, ακριβώς όπως παραπάνω, µπορείτε να υπολογίσετε τους συντελεστές b k (f) και να καταλήξετε πάλι στην (5..3). 5. Τριγωνοµετρικά πολυώνυµα Σκοπός µας σε αυτήν την παράγραφο είναι να δείξουµε ότι η κλάση των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων είναι πυκνή στο χώρο (C(), ) των συνεχών -περιοδικών συναρτήσεων f : R C. Θεώρηµα 5... Εστω f : R C συνεχής -περιοδική συνάρτηση. Για κάθε ε > υπάρχει µιγαδικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο p τέτοιο ώστε (5..) f p = max{ f(x) p(x) : x R} ε. Ισοδύναµα, υπάρχει ακολουθία {p m } τριγωνοµετρικών πολυωνύµων τέτοια ώστε f p m. Στη συνέχεια ϑα δούµε και άλλες αποδείξεις του Θεωρήµατος 5... ίνουµε όµως πρώτα µία απόδειξη που είναι «ανεξάρτητη» από την ϑεωρία των σειρών Fourier. Ξεκινάµε µε κάποιες παρατηρήσεις για τα πραγµατικά τριγωνοµετρικά πολυώνυµα. Πρόταση 5... Κάθε πραγµατικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (x) ϐαθµού n είναι πολυώνυµο των cos x και sin x ϐαθµού n. ηλαδή, υπάρχει πολυώνυµο p(, s) ϐαθµού n ώστε (5..) (x) = p(cos x, sin x). Η Πρόταση 5.. είναι άµεση συνέπεια του ακόλουθου λήµµατος.

8 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Λήµµα Για κάθε n, οι συναρτήσεις cos nx και (sin(n + )x)/ sin x είναι πολυώνυµα του cos x ϐαθµού n. Απόδειξη. είχνουµε µε επαγωγή ότι : για κάθε n υπάρχουν a,n,..., a n,n R ώστε n (5..3) cos nx = n cos n x + a j,n cos j x. Παρατηρήστε ότι η (5..3) ισχύει τετριµµένα για n =, ενώ για n = γνωρίζουµε ότι j= (5..4) cos x = cos x. Υποθέτουµε ότι η (5..3) ισχύει για το cos kx, k. Από την τριγωνοµετρική ταυτότητα (5..5) cos[(k + )x] + cos[(k )x] = cos kx cos x παίρνουµε cos(k + )x = cos kx cos x cos(k )x k k = cos x k cos k x + a j,k cos j x k cos k x a j,k cos j x = k cos k+ x + j= k a j,k+ cos j x j= για κατάλληλους a j,k+ R. Για τον δεύτερο ισχυρισµό του λήµµατος, χρησιµοποιώντας την τριγωνοµετρική ταυτότητα (5..6) sin[(k + )x] sin[(k )x] = cos kx sin x δείχνουµε επαγωγικά ότι, για κάθε n, j= (5..7) sin(n + )x sin x n = n cos n x + a j,n cos j x j= για κατάλληλους a j,n R (η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση). Παρατήρηση Θεωρούµε το σύνολο (5..8) B n = {, cos x, cos x,..., cos n x, sin x, sin x cos x,..., sin x cos n x}. Από το Λήµµα 5..3 έχουµε (5..9) n span(b n ),

9 5.. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 55 όπου span(b n ) είναι ο γραµµικός χώρος που παράγεται από το B. Ειδικότερα, η διάσταση dim( n ) του n είναι µικρότερη ή ίση από n+, κάτι που είναι ϕανερό και από το γεγονός ότι (5..) n = span(a n ), όπου (5..) A n = {, cos x, cos x,..., cos nx, sin x,..., sin nx}. Παρατηρήστε ότι card(a n ) = card(b n ) = n + (µε card(x) συµβολίζουµε το πλήθος των στοιχείων ενός πεπερασµένου συνόλου X). Πρόταση Για κάθε n ισχύει (5..) n = span(b n ) = span(a n ). Για την απόδειξη της Πρότασης 5..5 ϑα δείξουµε πρώτα ότι το A n είναι γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο. Θα χρειαστούµε την επόµενη πρόταση. Πρόταση 5..6 (σχέσεις ορθογωνιότητας). Ισχύουν τα παρακάτω : (i) Αν m, n =,,,... και m n τότε (5..3) (ii) Αν m, n =,,... και m n τότε (5..4) (iii) Αν m =,,,... και n =,,... τότε (5..5) (iv) Αν m, n =,,... τότε (5..6) cos mx cos nx dλ(x) =. sin mx sin nx dλ(x) =. cos mx sin nx dλ(x) =. cos mx dλ(x) = sin nx dλ(x) =. Απόδειξη. Αφήνεται ως άσκηση. Χρησιµοποιήστε τις ταυτότητες cos θ cos φ = cos(θ φ) + cos(θ + φ), sin θ cos φ = sin(θ + φ) + sin(θ φ), sin θ sin φ = cos(θ φ) cos(θ + φ), και τις cos θ = cos θ +, sin θ = cos θ.

10 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Πρόταση Το σύνολο A = {, cos x, cos x,..., cos nx, sin x,..., sin nx} είναι γραµ- µικά ανεξάρτητο (πάνω από το R). Απόδειξη. είχνουµε ότι αν (5..7) (x) = ν + για κάποιους ν k, µ k R, τότε (ν k cos kx + µ k sin kx), k= (5..8) ν = ν = = ν n = µ = = µ n =. Αυτό προκύπτει άµεσα από την Πρόταση Για παράδειγµα, για κάθε m =,..., n έχουµε = (x) sin mxdλ(x) = ν sin mxdλ(x) + (ν k cos kx sin mxdλ(x) + µ k k= = µ m sin mx sin mxdλ(x) = µ m, ) sin kx sin mxdλ(x) διότι cos kx sin mxdλ(x) = για κάθε k n και π sin kx sin mxdλ(x) = για κάθε k n, k m. Οµοια δείχνουµε ότι ν m = για κάθε m =,,..., n. Απόδειξη της Πρότασης Από την Πρόταση 5..7 γίνεται σαφές ότι dim( n ) = n+ : το A είναι µία ϐάση του n. Επιπλέον, αφού span(b) n και dim(span(b)) n+, συµπεραίνουµε ότι, τελικά, (5..9) n = span(b) = span(a). Ειδικότερα, κάθε πολυώνυµο του cos x, ϐαθµού µικρότερου ή ίσου από n, ανήκει στην κλάση n. Θα χρησιµοποιήσουµε το προσεγγιστικό ϑεώρηµα του Weiersrass (µια απόδειξη δίνεται στο Παράρτηµα). Θεώρηµα Εστω f : [a, b] R συνεχής συνάρτηση. πολυώνυµο p ώστε Για κάθε ε > υπάρχει (5..) f p = max{ f(x) p(x) : x [a, b]} ε. Ισοδύναµα, υπάρχει ακολουθία {p m } πολυωνύµων ώστε f p m.

11 5.. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 57 Χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 5..8 ϑα δείξουµε ότι η κλάση των πραγµατικών τριγωνοµετρικών πολυωνύµων είναι «πυκνή» στον χώρο των συνεχών -περιοδικών πραγ- µατικών συναρτήσεων : Θεώρηµα Εστω f : R R συνεχής -περιοδική συνάρτηση. Για κάθε ε > υπάρχει πραγµατικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο ώστε (5..) f = max{ f(x) (x) : x R} ε. Ισοδύναµα, υπάρχει ακολουθία { m } πραγµατικών τριγωνοµετρικών πολυωνύµων ώστε f m. Απόδειξη. είχνουµε πρώτα τον ισχυρισµό του ϑεωρήµατος, κάνοντας την επιπλέον υπόθεση ότι η f είναι άρτια : δηλαδή, f( x) = f(x) για κάθε x R. Ορίζουµε g : [, ] R µε (5..) g(y) = f(arccos y). Η g είναι καλά ορισµένη, διότι arccos y [, π] για κάθε y [, ], και συνεχής, ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Από το Θεώρηµα 5..8 υπάρχει πολυώνυµο p ώστε g p < ε. ηλαδή, (5..3) f(arccos y) p(y) < ε για κάθε y [, ]. Ορίζουµε (x) = p(cos x). Το είναι πολυώνυµο του cos x, άρα. Παρατηρούµε ότι, για κάθε x [, π] υπάρχει y [, ] ώστε y = cos x, και τότε, (5..4) f(x) (x) = f(x) p(cos x) = f(arccos y) p(y) < ε. Αφού οι f και είναι άρτιες συναρτήσεις, έπεται ότι (5..5) f = max{ f(x) (x) : x π} < ε, το οποίο είναι το Ϲητούµενο. Για τη γενική περίπτωση, ϑεωρούµε τυχούσα συνεχή -περιοδική συνάρτηση f : R R και ορίζουµε (5..6) f (x) = f(x) + f( x) και f (x) = [f(x) f( x)] sin x. Παρατηρήστε ότι οι f και f είναι άρτιες, συνεχείς και -περιοδικές. Άρα, µπορούµε να ϐρούµε τριγωνοµετρικά πολυώνυµα και ώστε (5..7) f < ε και f < ε.

12 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Αν ϑέσουµε (5..8) 3 (x) = ( (x) sin x + (x) sin x), τότε 3 και, για κάθε x [, π], f(x) sin x 3 (x) = f (x) sin x + f (x) sin x (x) sin x (x) sin x (f (x) (x)) sin x + (f (x) (x)) sin x f (x) (x) + f (x) (x) < ε + ε = ε. Με άλλα λόγια, αν ορίσουµε f 3 (x) = f(x) sin x τότε (5..9) f 3 3 < ε. Θεωρούµε τώρα τη συνάρτηση g(x) := f ( x π ). Η g είναι συνεχής και -περιοδική. Συνεπώς, ο ίδιος συλλογισµός δείχνει ότι υπάρχει τριγωνοµετρικό πολυώνυµο 4 ώστε, για τη συνάρτηση f 4 (x) = g(x) sin x να ισχύει f 4 4 < ε. Αν ορίσουµε 5(x) = 4 (x + π/), τότε το 5 είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (εξηγήστε γιατί) και για κάθε x R, αν ϑέσουµε y = x + π/ έχουµε (5..3) f(x) cos x 5 (x) = f(x) cos x 4 (x + π/) = f(y π/) sin y 4 (y) < ε. Συνεπώς, (5..3) f 5 5 < ε, όπου f 5 (x) = f(x) cos x. Παρατηρήστε ότι f = f 3 + f 5, διότι f(x) = f(x) sin x + f(x) cos x. Ορίζουµε = Τότε, και (5..3) f = (f 3 + f 5 ) ( ) f f 5 5 < ε + ε = ε. Αυτό αποδεικνύει το ϑεώρηµα. Πόρισµα 5... Εστω f : R R συνεχής -περιοδική συνάρτηση µε την ιδιότητα (5..33) a k (f) = b k (f) = για κάθε k. Τότε, f.

13 5.. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 59 Απόδειξη. Από την υπόθεση και από τη γραµµικότητα του ολοκληρώµατος είναι ϕανερό ότι (5..34) f(x) (x) dλ(x) = για κάθε τριγωνοµετρικό πολυώνυµο. Από το Θεώρηµα 5..9 υπάρχει ακολουθία { m } τριγωνοµετρικών πολυωνύµων ώστε f m. Τότε, για κάθε m έχουµε (5..35) f (x) dλ(x) = = f (x) dλ(x) f(x) m (x) dλ(x) f(x)(f(x) m (x)) dλ(x). Άρα, (5..36) f (x) dλ(x) f f m dλ(x) = f f m. Επεται ότι (5..37) f (x) dλ(x) =, και, αφού η f είναι συνεχής, συµπεραίνουµε ότι f. Απόδειξη του Θεωρήµατος 5... Εστω f : R C συνεχής -περιοδική συνάρτηση και έστω ε >. Γράφουµε f = u + iv και, χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα Εστω f : R R ϐρίσκουµε πραγµατικά τριγωνοµετρικά πολυώνυµα, τέτοια ώστε (5..38) u ε/ και v ε/. Παρατηρήστε ότι αν ορίσουµε p = u + iv τότε (5..39) f(x) p(x) = u(x) (x) + v(x) (x) u + v ε για κάθε x R, άρα (5..4) f p = max{ f(x) p(x) : x R} ε. Μένει να δείξουµε ότι η p = u + iv είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο. τέτοιος ώστε τα, να γράφονται στη µορφή Υπάρχει n N (5..4) (x) = (a k cos kx + b k sin kx) και (x) = ( k cos kx + s k sin kx), k= k=

14 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER όπου a k, b k, k, s k R. Αν ορίσουµε c k = a k ib k και d k = k is k, τότε από τους υπολογισµούς της Παρατήρησης 5..6 ϐλέπουµε ότι (5..4) p(x) = (x) + i (x) = c k e ikx + i d k e ikx = (c k + id k )e ikx, k= n k= n k= n δηλαδή το p είναι (µιγαδικό) τριγωνοµετρικό πολυώνυµο ϐαθµού το πολύ ίσου µε n. Πόρισµα 5... Αν η f : R C είναι συνεχής -περιοδική συνάρτηση µε (5..43) f(k) = για κάθε k Z, τότε f. Απόδειξη. Ακριβώς όπως στην απόδειξη του Πορίσµατος 5.., από την υπόθεση και από τη γραµµικότητα του ολοκληρώµατος είναι ϕανερό ότι (5..44) f(x)p(x) dλ(x) = για κάθε µιγαδικό τριγωνοµετρικό πολυώνυµο p. Από το Θεώρηµα 5.. υπάρχει ακολου- ϑία {p m } µιγαδικών τριγωνοµετρικών πολυωνύµων ώστε f p m. Τότε, για κάθε m έχουµε (5..45) Άρα, (5..46) f(x) dλ(x) = f(x) dλ(x) = f(x) dλ(x) f(x)p m (x) dλ(x) f(x) f(x) p m (x) dλ(x). f f p m dλ(x) = f f p m. Επεται ότι (5..47) f(x) dλ(x) =, και, αφού η f είναι συνεχής, συµπεραίνουµε ότι f, δηλαδή f. 5.3 Βασικές ιδιότητες των σειρών Fourier Σε αυτήν την παράγραφο συγκεντρώνουµε ϐασικές και χρήσιµες ιδιότητες των σειρών Fourier, τις οποίες ϑα χρησιµοποιούµε συχνά στα επόµενα. Κάποιες πολύ στοιχειώδεις ιδιότητες είναι οι εξήσ:

15 5.3. ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER 6 (i) Αν f, g L () και α C τότε (5.3.) f + αg(k) = f(k) + α ĝ(k) για κάθε k Z. (ii) Αν g L () τότε (5.3.) ĝ(k) = ĝ( k) για κάθε k Z. (iii) Αν f L (), α R και f α () = f( + α), τότε (5.3.3) fα (k) = f( + α)e ik d = e ikα f(k) για κάθε k Z. (iv) Αν f L (), n Z και g n () = f()e in, τότε (5.3.4) ĝ n (k) = f()e in e ik d = f(k n) για κάθε k Z. Εστω f L (). Οπως είδαµε, για κάθε k Z, (5.3.5) f(k) = f(x)e ikx dλ(x) f(x) dλ(x) = f. Με άλλα λόγια, η { f(k)} k= είναι ϕραγµένη. Ισχύει όµως κάτι ισχυρότερο : Θεώρηµα 5.3. (Riemann-Lebesgue). Εστω f L (). Τότε, (5.3.6) lim k f(k) =. Απόδειξη. Εστω ε >. Θα χρησιµοποιήσουµε το γεγονός ότι τα τριγωνοµετρικά πολυώνυ- µα είναι πυκνά στον L (): υπάρχει τριγωνοµετρικό πολυώνυµο p ε ώστε (5.3.7) f p ε < ε. Πράγµατι, αυτό είναι άµεσο από το Θεώρηµα 4.. (οι συνεχείς συναρτήσεις είναι πυκνές στον L ()) και το Θεώρηµα 5.. (τα τριγωνοµετρικά πολύώνυµα είναι πυκνά στον

16 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER (C(), ), άρα και στον (C()), )). Εστω n = n (ε) ο ϐαθµός του p ε. Για κάθε k > n ισχύει (5.3.8) f(k) = (f(x) p ε (x))e ikx dλ(x) = f p ε (k) διότι p ε(x)e ikx dλ(x) =. Συνεπώς, (5.3.9) f(k) = f p ε (k) f p ε < ε για κάθε k > n. Επεται το Ϲητούµενο. Οι επόµενες προτάσεις δίνουν τους συντελεστές Fourier των συναρτήσεων που προκύπτουν αν ολοκληρώσουµε ή παραγωγίσουµε µια συνάρτηση. Πρόταση Εστω f L () και έστω F το αόριστο ολοκλήρωµα της f: (5.3.) F (x) = c + x Θεωρούµε τη συνάρτηση G(x) = F (x) f()x. Τότε, (5.3.) Ĝ(k) = f(k) ik για κάθε k Z \ {}. f() dλ(), x. Απόδειξη. Παρατηρήστε αρχικά ότι (5.3.) F (x + ) F (x) = x+ x f() dλ() = f() dλ() = f(). Άρα, αν f() τότε η F δεν είναι -περιοδίκή. Γι αυτό το λόγο ϑεωρούµε τη συνάρτηση G(x) = F (x) f()x. Η G είναι -περιοδική, απολύτως συνεχής, και G (x) = f(x) f() σχεδόν παντού στο. Για κάθε k έχουµε Ĝ(k) = G()e ik dλ() = G()e ik π ik + (f() (ik) f())e ik dλ() = (ik) f(k).

17 5.3. ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER 63 Παρατήρηση Εστω f : C συνεχώς παραγωγίσιµη συνάρτηση. Για κάθε k, ολοκληρώνοντας κατά µέρη γράφουµε f(k) = = ik f(x)e ikx dλ(x) = f(x) e ikx π ik + ik f (x)e ikx dλ(x), όπου χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι, αφού η f είναι -περιοδική, Με άλλα λόγια, (5.3.3) f(k) = ik f(x) e ikx ik π =. f (x)e ikx dλ(x) = ik f (k) για κάθε k. Από την περιοδικότητα της f είναι ϕανερό ότι (5.3.4) f () = f (x) = f(π) f() =. Συνεπώς, (5.3.5) f (k) = ik f(k), k Z. Οµοίως, αν η f : C είναι δύο ϕορές συνεχώς παραγωγίσιµη, τότε (5.3.6) f (k) = (ik) f (k) = (ik) f(k) για κάθε k Z, και επαγωγικά έχουµε την ακόλουθη πρόταση. f (x)e ikx dλ(x) Πρόταση Εστω f C m (), δηλαδή η f είναι m ϕορές συνεχώς παραγωγίσιµη. Τότε, (5.3.7) f (m) (k) = (ik) m f(k) για κάθε k Z, και (5.3.8) lim k [km f(k)] =. Ειδικότερα, υπάρχει C > ώστε, για κάθε k, (5.3.9) f(k) C k m.

18 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Απόδειξη. Είναι άµεση συνέπεια της Πρότασης 5.3.5, την οποία εφαρµόζουµε, διαδοχικά, m ϕορές. Ο τελευταίος ισχυρισµός προκύπτει από το λήµµα Riemann-Lebesgue (Θεώρηµα 5.3.) το οποίο εφαρµόζουµε για την f (m). Γενικότερα, η (5.3.5) ισχύει για τις απολύτως συνεχείς συναρτήσεις. Πρόταση Εστω f L (). Αν η f είναι απολύτως συνεχής, τότε (5.3.) f (k) = (ik) f(k) για κάθε k Z, και lim k [k f(k)] =. Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι x (5.3.) f(x) = f() + f () dλ() διότι η f είναι απολύτως συνεχής. Κατόπιν, εφαρµόζουµε την Πρόταση Για τον τελευταίο ισχυρισµό χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι f (k) όταν k, το οποίο έπεται από το λήµµα Riemann-Lebesgue αφού f L (). Η επόµενη πρόταση δείχνει ότι αν τα µερικά αθροίσµατα s n της τριγωνοµετρικής σειράς (5.3.) k= c k e ikx συγκλίνουν σε µια ολοκληρώσιµη συνάρτηση f ως προς την, τότε c k = f(k) για κάθε k. Πρόταση Εστω k= c ke ik µια τριγωνοµετρική σειρά και έστω f L (). Αν s n f καθώς το n, τότε (5.3.3) c k = f(k) για κάθε k Z. Απόδειξη. Σταθεροποιούµε k Z και γράφουµε (5.3.4) f(k) = (f(x) s n (x))e ikx dλ(x) + Παρατηρούµε ότι, αν n k τότε (5.3.5) s n (x)e ikx dλ(x) = c k. s n (x)e ikx dλ(x).

19 5.3. ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER 65 Άρα, για κάθε n k έχουµε f(k) c k = (f(x) s n (x))e ikx dλ(x) f(x) s n (x) dλ(x) = f s n καθώς το n. Επεται ότι c k = f(k). Χρησιµοποιώντας την Πρόταση και το ϑώρηµα µοναδικότητας (Πόρισµα 5..) µπορούµε να δώσουµε καταφατική απάντηση στο ερώτηµα της σηµειακής σύγκλισης της s n (f) στην f αν η f είναι συεχής και η σειρά των συντελεστών Fourier της f συγκλίνει απολύτως. Θεώρηµα Εστω f : C συνεχής συνάρτηση. Υποθέτουµε ότι (5.3.6) k= f(k) < +. Τότε, η σειρά Fourier της f συγκλίνει οµοιόµορφα στην f. ηλαδή, (5.3.7) s n (f) οµ f. Απόδειξη. Από την υπόθεση ότι f(k) < + ϐλέπουµε ότι η ακολουθία συναρτήσεων k= (5.3.8) s n (f, x) = k= n f(k)e ikx είναι οµοιόµορφα ϐασική : πράγµατι, για κάθε m > n έχουµε (5.3.9) s m (f) s n (f) = max x s m(f)(x) s n (f, x) n< k m f(k) όταν m, n. Συνεπώς, η {s n (f)} συγκλίνει οµοιόµορφα σε µια συνεχή συνάρτηση g : C. Ειδικότερα, (5.3.3) s n (f) g s n (f) g, οπότε η Πρόταση µας εξασφαλίζει ότι (5.3.3) f(k) = ĝ(k)

20 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER για κάθε k Z. Αφού οι συνεχείς συναρτήσεις f και g έχουν τους ίδιους συντελεστές Fourier, από το Πόρισµα 5.. συµπεραίνουµε ότι g f. Συνεπώς, s n (f) οµ f. Η υπόθεση k= f(k) < εξασφαλίζεται, για παράδειγµα, αν η f έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο. Αυτό προκύπτει από την Πρόταση 5.3.4, αφού υπάρχει C > ώστε, για κάθε k, (5.3.3) f(k) C k. Συνεπώς, έχουµε το εξήσ: Πρόταση Εστω f : C δύο ϕορές παραγωγίσιµη συνάρτηση και έστω ότι η f είναι συνεχής. Τότε, η σειρά Fourier της f συγκλίνει οµοιόµορφα στην f. Παρατήρηση Εστω f L (). Ενα ϕυσιολογικό ερώτηµα που προκύπτει από το Θεώρηµα είναι να δοθούν ικανές συνθήκες ώστε η σειρά k= f(k) να συγκλίνει : αυτό εξασφαλίζει, όπως είδαµε, την οµοιόµορφη σύγκλιση της S(f) στην f. Είδαµε ότι αρκεί η συνέχεια της f. Οπως ϑα δούµε αργότερα, η σύγκλιση της σειράς f(k) εξασφαλίζεται και µε ασθενέστερες υποθέσεις για την f. k= Αρκεί να υποθέσουµε ότι η f είναι συνεχώς παραγωγίσιµη. Ακόµα ασθενέστερη συνθήκη για την f είναι να ικανοποιεί συνθήκη Holder τάξης α > /: δηλαδή, να υπάρχει M > ώστε (5.3.33) f(x) f(y) M x y α για κάθε x, y R. Κλείνουµε αυτήν την παράγραφο µε κάποιες παρατηρήσεις για τους συντελεστές Fourier της συνέλιξης δύο ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. Θεώρηµα Εστω f, g L (). Αν f g είναι η συνέλιξη των f και g, η οποία ορίζεται µέσω της (5.3.34) (f g)(x) = f(x )g() dλ(), τότε (5.3.35) f g(k) = f(k)ĝ(k) για κάθε k Z.

21 5.3. ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER 67 Απόδειξη. Στο προηγούµενο κεφάλαιο είδαµε ότι η f g ορίζεται καλά σχεδόν παντού στο, είναι ολοκληρώσιµη συνάρτηση, και f g f g. ϑεώρηµα Fubini γράφουµε f g(k) = = = = f(k)ĝ(k). ( ) f(x )g() dλ() e ikx dλ(x) ( ) g()e ik f(x )e k(x ) dλ(x) g()e ik f(k) dλ() Χρησιµοποιώντας το dλ() Πόρισµα Εστω f L (). Αν p(x) = N k= N c ke ikx είναι ένα τριγωνοµετρικό πολυώνυµο ϐαθµού N τότε η συνέλιξη f p είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο ϐαθµού µικρότερου ή ίσου από N, το οποίο δίνεται από την (5.3.36) (f p)(x) = N k= N c k f(k)e ikx. Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι (f p)(x) = f()p(x ) dλ() = N f() c k e ik(x ) dλ() k= N N ( ) = c k f()e ik dλ() e ikx k= N N = c k f(k)e ikx, k= N άρα η f g είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο ϐαθµού µικρότερου ή ίσου από N Μοναδικότητα σειρών Fourier Είδαµε ότι αν µια συνεχής -περιοδική συνάρτηση f : R C έχει όλους τους συντελεστές Fourier f(k) ίσους µε µηδέν, τότε f. Κλείνουµε αυτήν την παράγραφο µε το ακόλουθο ισχυρότερο ϑεώρηµα µοναδικότητας.

22 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεώρηµα Εστω f L () µε f(k) = για κάθε k Z. Αν η f είναι συνεχής στο σηµείο x τότε f(x ) =. Απόδειξη. Υποθέτουµε πρώτα ότι η f παίρνει πραγµατικές τιµές. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι η f ορίζεται στο [, π] και ότι x =. [Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση : αν η f είναι συνεχής στο x, τότε η g(x) = f(x + x ) είναι συνεχής στο υπολογίστε τους συντελεστές Fourier της g.] Θα υποθέσουµε ότι f() > και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο (τελείως ανάλογα αποκλείουµε την περίπτωση f() < ). Η ιδέα είναι να ορίσουµε κατάλληλη ακολουθία {p m } τριγωνοµετρικών πολυωνύµων τα οποία παρουσιάζουν «κορυφή» στο σηµείο και από αυτή τους την ιδιότητα να συµπεράνουµε ότι (5.3.37) lim p m (θ)f(θ) dθ = +. k Αυτό είναι προφανώς άτοπο, αφού η υπόθεση ότι f(k) = για κάθε k Z δείχνει ότι όλα τα παραπάνω ολοκληρώµατα είναι ίσα µε. Αρχικά, εφαρµόζοντας τον ορισµό της συνέχειας για την f στο σηµείο, ϐρίσκουµε < δ < π/ ώστε f(x) > f()/ για κάθε x ( δ, δ). Παρατηρούµε ότι cos x cos δ < αν δ x π. Συνεπώς, υπάρχει ε > ώστε (5.3.38) ε + cos x < ε/ ( cos δ) για κάθε δ x π. Αρκεί να επιλέξουµε < ε < 3. Τότε, αν ε + cos x έχουµε ε + cos x = ε + cos x ε + cos δ < ε/ από την επιλογή του ε, ενώ αν ε + cos x < έχουµε ε + cos x = cos x ε ε < ε/. Ορίζουµε (5.3.39) p(x) = ε + cos x, x [, π]. Τότε, p() = + ε, συνεπώς υπάρχει < η < δ ώστε (5.3.4) p(x) + ε/, x ( η, η). Τώρα, για κάθε m =,,..., ορίζουµε (5.3.4) p m (x) = [p(x)] m = (ε + cos x) m. Παρατηρήστε ότι κάθε p m είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (εξηγήστε γιατί). Αφού f(k) = για κάθε k Z, συµπεραίνουµε ότι (5.3.4) p m (x)f(x) dλ(x) =, k =,,....

23 5.3. ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER 69 Γράφουµε (5.3.43) και παρατηρούµε ότι : p m (x)f(x) dλ(x) = δ x π p m (x)f(x) dλ(x) + p m (x)f(x) dλ(x) + η x <δ x <η p m (x)f(x) dλ(x), (i) Για το πρώτο ολοκλήρωµα έχουµε p m (x)f(x) ( ε/) m f(x) f(x) και η f είναι ολοκληρώσιµη στο K δ := {x : δ x π}. Αφού p m (x)f(x) ( ε/) m f(x) σε κάθε x K δ για το οποίο f(x) <, έχουµε p m (x)f(x) σχεδόν παντού στο K δ, και εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα κυριαρχηµένης σύγκλισης παίρνουµε (5.3.44) όταν m. δ x π p m (x)f(x) dλ(x) (ii) Για το δεύτερο ολοκλήρωµα έχουµε (5.3.45) p m (x)f(x) dλ(x) η x <δ διότι p(x) και f(x) στο {x : η x < δ}. (iii) Για το τρίτο ολοκλήρωµα ισχύει το κάτω ϕράγµα (5.3.46) p m (x)f(x) dλ(x) η f() x <η ( + ε/)m. Αφού (5.3.47) lim m ( + ε/)m = +, συνδυάζοντας τα παραπάνω ϐλέπουµε ότι (5.3.48) lim p m (x)f(x) dλ(x) = +. m Ετσι, οδηγούµαστε σε άτοπο στην περίπτωση που η f παίρνει πραγµατικές τιµές. Στη γενική περίπτωση που η f παίρνει τιµές στο C, γράφουµε f(x) = u(x) + iv(x), όπου οι u και v είναι ολοκληρώσιµες πραγµατικές συναρτήσεις. Αν ϑέσουµε g(x) = f(x), έχουµε (5.3.49) u(x) = f(x) + g(x) και v(x) = f(x) g(x). i

24 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Παρατηρούµε ότι (5.3.5) ĝ(k) = f(k) =, k Z. Επεται ότι (5.3.5) û(k) = f(k) + ĝ(k) = και v(k) = f(k) ĝ(k) i = για κάθε k Z. Εστω ότι η f είναι συνεχής στο x. Από τη συνέχεια των u και v στο x, από το γεγονός ότι οι συντελεστές Fourier των u και v µηδενίζονται και από το αποτέλεσµα στην πραγµατική περίπτωση, συµπεραίνουµε ότι u(x ) = v(x ) =. Άρα, f(x ) = u(x ) + iv(x ) =. 5.4 Ο πυρήνας του Dirichle Εστω f L (). Ξεκινώντας από την παρατήρηση ότι s n (f, x) = k= n = δίνουµε τον παρακάτω ορισµό. f(k)e ikx = f() ( k= n ( ) f()e ik dλ() e ikx ) e ik(x ) dλ(), k= n Ορισµός Ο n-οστός πυρήνας του Dirichle είναι η συνάρτηση (5.4.) D n (y) = e iky, n. k= n Σύµφωνα µε αυτόν τον ορισµό, ο προηγούµενος υπολογισµός µας δίνει το εξής. Λήµµα Εστω f L (). Για κάθε n ισχύει (5.4.) s n (f, x) = f()d n (x ) dλ(). Παρατήρηση Θα χρησιµοποιούµε συχνά τις παρακάτω ϐασικές ιδιότητες του πυ- ϱήνα D n.

25 5.4. Ο ΠΥΡΗΝΑΣ ΤΟΥ DIRICHLE 7 (i) Από τον Ορισµό 5.4. παίρνουµε : αν < y π τότε D n (y) = e iny k= n e i(k+n)y = e iny k= e iky = e iny ei(n+)y e iy = ei(n+)y e iny ( e iy ) e iy/ e i(n+ )y e i(n+ )y = e iy/ (e iy/ e iy/ ) = sin ( n + ) y sin y. (ii) Πάλι από τον ορισµό της D n, και από την γραµµικότητα του ολοκληρώµατος, έχουµε (5.4.3) D n (y) dλ(y) =, για κάθε n. Παρατηρήστε ότι η D n είναι άρτια συνάρτηση. Άρα, µπορούµε επίσης να γράψουµε την προηγούµενη ισότητα στη µορφή (5.4.4) π D n (y) dλ(y) =. (iii) Τα δύο ϐασικά άνω ϕράγµατα για την D n (y) είναι : (5.4.5) D n (y) e iky = n + k= n µε ισότητα όταν y =, και sin ( n + (5.4.6) D n (y) = ) y sin y sin y π y, < y < π, η οποία προκύπτει από το γεγονός ότι sin π είναι άρτια, συµπεραίνουµε ότι (5.4.7) D n (y) π, < y < π. y Ορισµός Για κάθε n ορίζουµε (5.4.8) Dn(y) = D n (y) + D n (y), y. για κάθε (, π/). Αφού η D n

26 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Πρατηρήστε ότι (5.4.9) D n(y) = sin y ( sin ( n ) y + sin ( n + Αν f L (), για κάθε n και για κάθε ϑέτουµε (5.4.) s n(f, x) := f()d n(x ) dλ(). εδοµένου ότι (5.4.) D n (y) D n(y) = D n(y) D n (y) συµπεραίνουµε ότι (5.4.) s n (f, x) = s n(f, x) + Λήµµα Εστω f L (). Για κάθε x ισχύει ) ) y = sin(ny) an y. = einy + e iny f() cos n(x ) dλ(). (5.4.3) s n (f, x) s n(f, x) καθώς το n. = cos(ny), Απόδειξη. Λόγω της (5.4.) αρκεί να ελέγξουµε ότι f() cos n(x ) dλ() = cos(nx) (5.4.4) f() cos(n) dλ() + sin(nx) f() sin(n) dλ(), το οποίο ισχύει από το λήµµα Riemann-Lebesgue. Παρατήρηση Θεωρούµε την συνάρτηση (5.4.5) φ(y) = an y y. Εύκολα ελέγχουµε ότι το lim y φ(y) υπάρχει, άρα φ L (). Αν λοιπόν f L () τότε fφ L (), και από το λήµµα Riemann-Lebesgue έχουµε (5.4.6) f()φ(x ) sin n(x ) dλ(). Επεται ότι (5.4.7) s n(f, x) sin n(x ) f() dλ() = f()φ(x ) sin n(x ) dλ(). x Από το Λήµµα καταλήγουµε στην (5.4.8) s n (f, x) sin n(x ) f() dλ(). π x

27 5.5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 73 Παρατήρηση Αφού D n = (D n + D n ), οι ϐασικές ιδιότητες της D n προκύπτουν άµεσα από αυτές της D n. Εχουµε ότι η Dn είναι άρτια συνάρτηση, και (5.4.9) D n(y) dλ(y) = D π n(y) dλ(y) = για κάθε n. Τα δύο ϐασικά άνω ϕράγµατα για την D n(y) είναι : (5.4.) Dn(y) ( D n (y) + D n (y) ) ((n ) + (n + )) = n µε ισότητα όταν y =, και (5.4.) Dn(y) π, < y < π. y 5.5 Σειρές Fourier συνεχών συναρτήσεων Σκοπός µας σε αυτήν την παράγραφο είναι να δείξουµε ότι υπάρχουν συνεχείς -περιοδικές συναρτήσεις f : R C που η σειρά Fourier τους αποκλίνει σε κάποιο σηµείο. Θα δώσουµε δύο αποδείξεις. Η πρώτη είναι έµµεση και χρησιµοποιεί την αρχή οµοιόµορφου ϕράγµατος (ϑεώρηµα Banach-Seinhaus) ενώ η δεύτερη είναι κατασκευαστική. Ορισµός 5.5. (σταθερές Lebesgue). Για κάθε n, η n-οστή σταθερά Lebesgue L n ορίζεται ως εξήσ: (5.5.) L n = D n = D n (y) dλ(y). Στην επόµενη πρόταση υπολογίζουµε την τάξη µεγέθους της σταθεράς L n για µεγάλες τιµές του n. Πρόταση Ισχύει (5.5.) L n 4 ln n π καθώς το n. Σηµείωση. Ο συµβολισµός a n b n σηµαίνει ότι η ακολουθία {a n b n } είναι ϕραγµένη : υπάρχει σταθερά A > ώστε a n b n A για κάθε n. Ενας άλλος τρόπος για να περιγράψουµε την ίδια ιδιότητα είναι να γράψουµε a n b n = O(). Γράφοντας a n = b n + o() εννοούµε ότι a n b n καθώς το n.

28 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Απόδειξη. Αφού η D n είναι άρτια και sin > στο (, π), έχουµε L n = ( sin((n + /)) π sin ) dλ() + sin((n + /)) π dλ() = A n + B n. ( ) Ο πρώτος όρος είναι ϕραγµένοσ: αφού η φ() = sin είναι ϕραγµένη, έχουµε A n = O(). Για τον δεύτερο όρο, κάνοντας την αλλαγή µεταβλητής s = ( n + ) παίρνουµε B n = π nπ+π/ = C n + O(), sin s dλ(s) s = π nπ π sin s dλ(s) s + O() αφού, λόγω της lim s + sin s s =, έχουµε (5.5.3) sin s s dλ(s) = O() και nπ+π/ nπ sin s s dλ(s) π nπ. Μένει λοιπόν να δείξουµε ότι (5.5.4) C n := π nπ π sin s dλ(s) s = 4 ln n + O(). π Εχουµε C n = π = π = π n (k+)π k= kπ n k= Παρατηρούµε ότι, για κάθε (, π), sin s s sin(kπ + ) kπ + n (sin ) k= dλ(s) dλ() kπ + dλ(). (5.5.5) (k + )π kπ + kπ, άρα (5.5.6) n π k= n k + k= kπ + n π k. k=

29 5.5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 75 Τα δύο αθροίσµατα n k= k+ και n k= k είναι ln n + O(). Αφού π sin dλ() =, καταλήγουµε στην (5.5.7) C n = 4 ln n + O() π και η απόδειξη είναι πλήρης. Πόρισµα Για κάθε f L () και για κάθε x και n ισχύει (5.5.8) s n (f, x) C(ln n) f, όπου C > απόλυτη σταθερά. Απόδειξη. Εχουµε s n (f, x) = f(x ) D n () dλ() = D n f C ln n f διότι D n = L n C ln n από την Πρόταση f D n () dλ() Σκοπός µας είναι να δείξουµε ότι υπάρχει f C() για την οποία η ακολουθία s n (f, ) δεν είναι ϕραγµένη (άρα, δεν συγκλίνει). Η επόµενη πρόταση συνδέει το πρόβληµα µε την συµπεριφορά της ακολουθίας (L n ). Πρόταση Για κάθε n N (5.5.9) sup s n (f, ) = L n. f C(), f Απόδειξη. Θα χρησιµοποιήσουµε το γεγονός ότι αν g : R είναι µια Riemann ολοκληρώσιµη συνάρτηση, τότε για κάθε δ > υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : R ώστε f(x) g για κάθε x και (5.5.) f(x) g(x) dλ(x) < δ. Η συνάρτηση g(x) = sign D n (x), όπου sign u είναι το πρόσηµο του u και sign =, είναι Riemann ολοκληρώσιµη (έχει πεπερασµένα το πλήθος σηµεία ασυνέχειας, όσα είναι τα σηµεία στα οποία αλλάζει πρόσηµο η D n ) και g =. Μπορούµε λοιπόν να ϐρούµε συνεχή συνάρτηση f : C ώστε f και (5.5.) f(x) sign D n (x) dλ(x) < ε n +.

30 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Τότε, s n (f, ) = f(y)d n ( y) dλ(y) sign D n (y)d n ( y) dλ(y) f(y) g(y) D n ( y) dλ(y) sign D n (y)d n (y) dλ(y) ε D n n + D n (y) dλ(y) ε, όπου χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι η D n, άρα και η sign D n, είναι άρτια, καθώς και την D n = n +. Από τα παραπάνω ϐλέπουµε ότι s n (f, ) L n ε. Από την άλλη πλευρά, για κάθε f C() µε f έχουµε (5.5.) s n (f, ) f(y) D n (y) dy D n f L n, και η απόδειξη είναι πλήρης. Από την Πρόταση και την Πρόταση 5.5., για κάθε n υπάρχει f n C() ώστε (5.5.3) s n (f n, ) L n 4 ln n. π Θα δείξουµε ότι υπάρχει µία f C() ώστε (5.5.4) sup s n (f, ) = +. n Ειδικότερα, η f έχει σειρά Fourier η οποία αποκλίνει στο σηµείο. Για την απόδειξη ϑα χρησιµοποιήσουµε το ϑεώρηµα Banach-Seinhaus. Για λόγους πληρότητας δίνουµε την (σχετικά απλή) απόδειξή του, η οποία ϐασίζεται στο ϑεώρηµα Baire. Πρόταση Εστω X πλήρης µετρικός χώρος και έστω {f n } ακολουθία συνεχών συναρτήσεων f n : X R µε την εξής ιδιότητα : για κάθε x X ισχύει sup f n (x) <. n Τότε, υπάρχουν x X και r, M > ώστε f n (x) M για κάθε x B(x, r) και για κάθε n N. Απόδειξη. Για κάθε m N ορίζουµε (5.5.5) A m = {x X : για κάθε n N, f n (x) m}.

31 5.5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 77 Κάθε A m είναι κλειστό υποσύνολο του X: αυτό ϕαίνεται αµέσως αν γράψουµε A m = {x X : f n (x) m} = n= n= fn ([ m, m]) και ϑυµηθούµε ότι για κάθε n N η αντίστροφη εικόνα του [ m, m] µέσω της f n είναι κλειστό υποσύνολο του X και ότι η τοµή κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύολο. Παρατηρήστε ότι X = m= A m: Εστω x X. Από την υπόθεση, η ακολουθία {f n (x)} είναι ϕραγµένη, δηλαδή υπάρχει M x > ώστε, για κάθε n N, f n (x) M x. Υπάρχει m = m(x) N µε m M x. Τότε, x A m. Ο X είναι πλήρης µετρικός χώρος, οπότε το ϑεώρηµα Baire µας εξασφαλίζει ότι κάποιο A m έχει µη κενό εσωτερικό, δηλαδή υπάρχουν x X και r > ώστε B(x, r) A m. Οµως τότε, η {f n } είναι οµοιόµορφα ϕραγµένη στην B(x, r): για κάθε x B(x, r) και για κάθε n N ισχύει f n (x) m. Ορισµός Εστω X, Y δύο χώροι µε νόρµα και έστω : X Y γραµµικός τελεστής (γραµµική απεικόνιση). Λέµε ότι ο είναι ϕραγµένος αν υπάρχει σταθερά M > τέτοια ώστε για κάθε x X. x Y M x X Η αρχή του οµοιόµορφου ϕράγµατος διατυπώνεται για µια ακολουθία { n } ϕραγµένων γραµµικών τελεστών n : X Y για τους οποίους ισχύει για κάθε x X. sup n (x) Y < n Αν ο X είναι πλήρης, η γραµµικότητα των n και η απλή ιδέα της απόδειξης της Πρότασης µας δίνουν ότι n είναι οµοιόµορφα ϕραγµένοι. Η ακριβής διατύπωση είναι η εξήσ: Θεώρηµα (αρχή οµοιόµορφου ϕράγµατος, Banach-Seinhaus). Εστω X χώρος Banach, Y χώρος µε νόρµα, και έστω { n } µια ακολουθία από ϕραγµένους γραµµικούς τελεστές : X Y µε την ιδιότητα : για κάθε x X, (5.5.6) sup x Y < +. n Τότε, υπάρχει M > ώστε : για κάθε n N και για κάθε x X, (5.5.7) x Y M x X.

32 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Απόδειξη. Για κάθε n N ορίζουµε f n : X R µε f n (x) = (x) Y. Κάθε f n είναι Lipschiz συνεχής συνάρτηση. Γνωρίζουµε ότι ο n είναι ϕραγµένος, άρα υπάρχει M n > τέτοιος ώστε n (x) Y M n x X για κάθε x X. Αν x, y X, τότε (5.5.8) f n (x) f n (y) = n (x) Y n (y) Y n (x) n (y) Y = n (x y) Y M n x y X. Από την υπόθεσή µας, για κάθε x X ισχύει (5.5.9) sup n f n (x) = sup n (x) Y < +. n Από την Πρόταση υπάρχουν x X και r, M > ώστε για κάθε x B(x, r) και για κάθε n N, (5.5.) f n (x) = n (x) Y M. Εστω x X µε x X. Τότε, για κάθε n N έχουµε (x + (r/)x) Y (x ) Y M (γιατί x, x + (r/)x B(x, r)). Άρα, για κάθε n N M και n (x) Y = r n((r/)x) Y = r n(x + (r/)x) n (x ) Y r ( n(x + (r/)x) Y + n (x ) Y ) 4M r. Τώρα, για κάθε x ϑέτουµε x = x/ x X και παρατηρούµε ότι x X =, άρα (5.5.) n (x) Y = n ( x X x ) X = x X n (x ) Y 4M r x X για κάθε n N, οπότε το Ϲητούµενο έπεται µε M = 4M /r. Εφαρµόζουµε το ϑεώρηµα Banach-Seinhaus για τους γραµµικούς τελεστές f s n (f, ), f C(). Θεώρηµα Υπάρχει f C() ώστε (5.5.) sup s n (f, ) = +. n Απόδειξη. Για κάθε n ϑεωρούµε τον τελεστή n : (C(), ) C µε (5.5.3) n (f) = s n (f, ). Κάθε n είναι ϕραγµένο γραµµικό συναρτησοειδέσ: η γραµµικότητα ελέγχεται εύκολα, και (5.5.4) n = sup{ s n (f, ) : f C(), f } = L n.

33 5.5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 79 Ας υποθέσουµε ότι, για κάθε f C() ισχύει (5.5.5) sup n n (f) = sup s n (f, ) <. n Από το ϑεώρηµα Banach-Seinhaus υπάρχει M > ώστε s n (f, ) = n (f) M για κάθε f C() µε f. Από την Πρόταση παίρνουµε (5.5.6) L n = sup s n (f, ) M f C(), f για κάθε n N, άρα η (L n ) είναι ϕραγµένη, το οποίο είναι άτοπο από την Πρόταση Συνεπώς, υπάρχει f C() τέτοια ώστε lim sup n s n (f, ) = +. Ειδικότερα, η σειρά Fourier της f αποκλίνει στο σηµείο Μια κατασκευή του Lebesgue Κλείνουµε αυτήν την παράγραφο µε µια κατασκευαστική απόδειξη της ύπαρξης συνεχούς f : R για την οποία (5.5.7) lim sup s n (f, ) =. n Το επιχείρηµα οφείλεται στον Lebesgue. f L () και για κάθε, (5.5.8) s n (f, x) π Στην Παρατήρηση είδαµε ότι, για κάθε sin n(x ) f() dλ(). x Θα ορίσουµε µια άρτια συνάρτηση f : R, ϑέτοντας (5.5.9) f() = c k sin(n k )χ Ik (), < < π, k= όπου {n k } k= είναι µια γνησίως αύξουσα ακολουθία ϕυσικών( που ϑα επιλεγεί κατάλληλα, χ Ik είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση του διαστήµατος I k = π n, π k n ], και k {c k } είναι µια ϕθίνουσα µηδενική ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών που ϑα επιλεγεί κατάλληλα. Παρατηρήστε ότι αν ο n k είναι πολλαπλάσιο του n k τότε η f ϑα είναι συνεχής (και ίση µε ) σε όλα τα σηµεία π/n k και ότι η υπόθεση c k εξασφαλίζει ότι η f είναι συνεχής στο αν ϑέσουµε f() =. Κατόπιν, επεκτείνουµε την f στο [, ) ώστε να γίνει άρτια συνάρτηση, και τέλος, την επεκτείνουµε -περιοδικά στο R. Επειδή τα διαστήµατα I k έχουν ξένους ϕορείς, αυτό που περιµένουµε από την (5.5.8) είναι ότι, αν επιλέξουµε

34 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER κατάλληλα τις παραµέτρους, ο ϐασικός όρος στο µερικό άθροισµα s nk (f, ) ϑα είναι ο k-οστός, δηλαδή ο c k sin(n k )χ Ik (). Αρχικά ορίζουµε c =, n = και I = (π/, π]. Στο I έχουµε (5.5.3) f() = c sin(n ). Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ορίσει n < n < < n k, τους c,..., c k, και τα διαστή- µατα I j, j =,..., k. Ορίζουµε k (5.5.3) φ() = c j sin(n j )χ Ij () αν (π/n k, π] και φ() = αλλιώς. j= µηδενίζεται στο [, π/n k ], άρα Παρατηρούµε ότι η φ()/ είναι ϕραγµένη : πράγµατι, η φ (5.5.3) φ() c c n k. π Από το λήµµα Riemann-Lebesgue έχουµε (5.5.33) lim n φ() sin(n) dλ() =. Ορίζουµε n k = n k N k, όπου ο N k k είναι αρκετά µεγάλος ώστε να ισχύει (5.5.34) π φ() sin(n k ) dλ() π <. Στη συνέχεια, ϑέτουµε I k = (π/n k, π/n k ] και ορίζουµε f() = c k sin(n k ) στο I k, όπου < c k < c k < τον οποίο ϑα επιλέξουµε. Για να εκτιµήσουµε το µερικό άθροισµα s nk (f, ) αρκεί, από την (5.5.8), να εκτιµήσουµε το ( π f() sin(n k ) dλ() = + π π (,π/n k ] =: A k + B k + C k. (π/n k,π/n k ] ) + (π/n k,π] Από την (5.5.34) ϐλέπουµε ότι C k = O(): στο (π/n k, π] έχουµε f() = φ(), άρα (5.5.35) f() sin(n k ) dλ() π = φ() sin(n k ) dλ() < π. Επίσης, ανεξάρτητα από τον τρόπο επιλογής των c k, από την sin y y στο (, π) και την < c k έχουµε (5.5.36) A k (,π/n k ] sin(n k ) dλ() n k π n k = π.

35 5.6. ΘΕΩΡΗΜΑ DINI ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ MARCINKIEWICZ 8 Τέλος, B k = c k (sin n k ) dλ() cos(n k ) = c k dλ() I k I k = c k dλ() c k cos(n k ) dλ() I k I k =: B k B k. Για τον B k έχουµε (5.5.37) B k = c k dλ() I k = c ( ) k ln nk = c k n k (ln N k). Επιλέγοντας c k = (ln N k ) ɛ, όπου < ɛ <, έχουµε c k και (5.5.38) B k = (ln N k) ɛ καθώς το k. Το ολοκλήρωµα στον όρο B k ισούται µε (5.5.39) cos(n k ) dλ() = sin(n k) π/n k + I k n k π/n k sin(n k ) I k n k dλ(). Από την επιλογή των n k έχουµε ότι (5.5.4) sin(n k ) n k π/n k π/n k = sin() sin(n k) N k =. Επίσης, (5.5.4) sin(n k ) I k n k dλ() n k π/n k dλ() = n k n k π = = O(). Συγκεντρώνοντας όλες τις εκτιµήσεις µας, ϐλέπουµε ότι (5.5.4) s nk (f, ) = (ln N k) ɛ + O(), απ όπου έπεται ότι s nk (f, ). 5.6 Θεώρηµα Dini και ϑεώρηµα Marcinkiewicz Το ϑεώρηµα Dini µας δίνει µια ικανή συνθήκη για την σύγκλιση της σειράς Fourier µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης σε δεδοµένο σηµείο.

36 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεώρηµα 5.6. (Dini). Εστω f L () και έστω x µε την εξής ιδιότητα : υπάρχει α C ώστε (5.6.) Τότε, f(x + ) + f(x ) α (5.6.) lim n s n(f, x) = α. dλ() Απόδειξη. Λόγω του Λήµµατος αρκεί να δείξουµε ότι (5.6.3) s n(f, x) α. Αφού (5.6.4) και (5.6.5) α = π έχουµε s n(f, x) = = π (5.6.6) s n(f, x) α = π f(x ) sin(n) an dλ() <. f(x + ) + f(x ) sin(n) an dλ() αd n() dλ() = π α sin(n) an ( f(x + ) + f(x ) Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση ( f(x + ) + f(x ) (5.6.7) F x () := dλ(), ) sin(n) α an dλ(). ) α an γράφεται στη µορφή ( f(x + ) + f(x ) (5.6.8) F (x) = A (x) + B (x) := ( ) f(x + ) + f(x ) + α φ(), ) α όπου φ() = an. Εχουµε δει ότι φ L, άρα η B x είναι ολοκληρώσιµη (εξηγήστε γιατί). Από την υπόθεση, η A x είναι επίσης ολοκληρώσιµη. Συνεπώς, F x L και έπεται ότι (5.6.9) s n(f, x) α = π από το λήµµα Riemann-Lebesgue. F x () sin(n) dλ()

37 5.6. ΘΕΩΡΗΜΑ DINI ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ MARCINKIEWICZ 83 Παρατηρήσεις (α) Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν τα πλευρικά όρια (5.6.) f(x + ) = lim f() και f(x ) = lim f(). x + x Αν η (5.6.) ικανοποιείται για κάποιον α, τότε έχουµε αναγκαστικά f(x + ) + f(x ) (5.6.) α =. Πράγµατι, αν είχαµε f(x+)+f(x ) α = r >, τότε ϑα υπήρχε δ (, π) ώστε : αν < < δ τότε (5.6.) f(x + ) + f(x ) α r. Οµως τότε ϑα είχαµε δ (5.6.3) f(x + ) + f(x ) α dλ() δ r dλ() =, το οποίο είναι άτοπο. Ειδικότερα, αν η f είναι συνεχής στο x και αν ικανοποιείται η (5.6.) τότε έχουµε αναγκαστικά α = f(x). (ϐ) Ας υποθέσουµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο x. Τότε, η συνάρτηση (5.6.4) f(x + ) f(x) είναι ϕραγµένη σε µια περιοχή του. Άρα, υπάρχουν δ (, π) και M > ώστε : αν < < δ τότε f(x + ) f(x) M. ηλαδή, για κάθε < < δ, (5.6.5) f(x + ) + f(x ) f(x) [ f(x + ) f(x) + f(x ) f(x) ] M. Συνεπώς, (5.6.6) και (5.6.7) δ f(x + ) + f(x ) δ f(x) dλ() f(x + ) + f(x ) f(x) δ dλ() δ f(x + ) + f(x ) M dλ() = Mδ <, f(x) dλ() < (εξηγήστε γιατί), άρα η (5.6.) ικανοποιείται µε α = f(x). Ετσι έχουµε το εξήσ:

38 84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεώρηµα Εστω f L () και έστω x στο οποίο η f είναι παραγωγίσιµη. Τότε, (5.6.8) lim n s n(f, x) = f(x). Μια σηµαντική συνέπεια του Θεωρήµατος είναι η αρχή τοπικότητας του Riemann: η σύγκλιση ή µη της ακολουθίας s n (f, x) εξαρτάται µόνο από τη συµπεριφορά της f σε µια περιοχή του x. Αυτό δεν είναι καθόλου προφανές αν σκεφτούµε ότι τα µερικά αθροίσµατα s n (f, x) ορίζονται µέσω των συντελεστών Fourier f(k), k n, της f και οι συντελεστές Fourier προκύπτουν µε ολοκλήρωση στο [, π], δηλαδή παίρνουν υπόψη τις τιµές της f σε ολόκληρο το [, π]. Θεώρηµα Εστω f, g : C δύο ολοκληρώσιµες συναρτήσεις. Υποθέτουµε ότι, για κάποιο x και για κάποιο ανοικτό διάστηµα I ώστε x I, ισχύει (5.6.9) f() = g() για κάθε I. Τότε, (5.6.) s n (f, x) s n (g, x). Ειδικότερα, η {s n (f, x)} συγκλίνει αν και µόνο αν η {s n (g, x)} συγκλίνει. Απόδειξη. Θεωρούµε την συνάρτηση h = f g : C. Η h είναι ολοκληρώσιµη και h() = για κάθε I. Αφού το x είναι εσωτερικό σηµείο του I, η h είναι παραγωγίσιµη στο x, µε h (x) =. Από το Θεώρηµα ϐλέπουµε ότι (5.6.) s n (h, x) h(x) =. Οµως, (5.6.) s n (h, x) = s n (f g, x) = s n (f, x) s n (g, x). Επεται το Ϲητούµενο. Το επόµενο ϑεώρηµα µας δίνει ένα απλό κριτήριο που εξασφαλίζει ότι s n (f, x) f(x) σχεδόν παντού. Θεώρηµα (Marcinkiewicz). Εστω f L (). Για καθε ορίζουµε (5.6.3) w (f, ) = f(x + ) f(x) dλ(x). Αν (5.6.4) τότε s n (f, x) f(x) σχεδόν παντου στο. w (f, ) dλ() <,

39 5.7. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 85 Απόδειξη. Από το ϑεώρηµα Fubini έχουµε ( π f(x + ) f(x) dλ() ) dλ(x) = Άρα, = ( ) dλ() f(x + ) f(x) dλ(x) w (f, ) dλ() <. (5.6.5) f(x + ) f(x) dλ() < σχεδόν για κάθε x. Παρατηρούµε ότι w (f, ) = f(x ) f(x) dλ(x) = = f(s + ) f(s) dλ(s) = = w (f, ). f(s) f(s + x) dλ(s) f(s + ) f(s) dλ(s) Επαναλαµβάνοντας τον αρχικό υπολογισµό ϐλέπουµε τώρα ότι ( π (5.6.6) f(x ) f(x) dλ() ) dλ(x) = w (f, ) dλ() <, άρα (5.6.7) f(x ) f(x) dλ() < σχεδόν για κάθε x. Τώρα, (5.6.8) f(x + ) + f(x ) f(x) dλ() < σχεδόν για κάθε x, και από το ϑεώρηµα Dini έπεται ότι s n (f, x) f(x) σχεδόν για κάθε x. 5.7 Ασκήσεις Οµάδα Α. Εστω (x) = λ + n k= (λ k cos kx + µ k sin kx) τριγωνοµετρικό πολυώνυµο. είξτε ότι : (α) Αν το είναι περιττή συνάρτηση, τότε λ k = για κάθε k =,,..., n. (ϐ) Αν το είναι άρτια συνάρτηση, τότε µ k = για κάθε k =,..., n.

40 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. είξτε ότι : για κάθε k N υπάρχει πολυώνυµο p() ϐαθµού k ώστε sin k x = p(cos x) για κάθε x R. 3. (α) είξτε ότι το σύνολο {e ikx : k Z} είναι C-γραµµικώς ανεξάρτητο. (ϐ) ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί < µ < µ < < µ n. είξτε ότι οι συναρτήσεις e iµx, e iµx,..., e iµnx είναι C-γραµµικώς ανεξάρτητες. Χρειάζεται η υπόθεση ότι όλοι οι µ j είναι ϑετικοί ; 4. Εστω f L (). είξτε ότι : για κάθε a < b στο R, b f(x) dλ(x) = b+ f(x) dλ(x) = b a a+ a f(x) dλ(x), και f(x + a) dλ(x) = f(x) dλ(x) = +a +a f(x) dλ(x). 5. Εστω f L (). είξτε ότι lim f(x + ) f(x) dλ(x) =. 6. Εστω f L (). είξτε ότι : (α) Αν η f είναι άρτια, τότε f( k) = f(k) για κάθε k Z και η S(f) είναι σειρά συνηµιτόνων. (ϐ) Αν η f είναι περιττή, τότε f( k) = f(k) για κάθε k Z και η S(f) είναι σειρά ηµιτόνων. (γ) Αν f(x + π) = f(x) για κάθε x R τότε f(k) = για κάθε περιττό ακέραιο k. (δ) Αν η f παίρνει πραγµατικές τιµές τότε ˆf(k) = ˆf( k) για κάθε k Z. Αν, επιπλέον, υποθέσουµε ότι η f είναι συνεχής, τότε ισχύει και το αντίστροφο. 7. Εστω f L (). Για κάθε a R ορίζουµε τ a (x) = f(x a). Περιγράψτε το γράφηµα της τ a σε σχέση µε αυτό της f. Είναι η τ a περιοδική ; Εκφράστε τους συντελεστές Fourier της τ a συναρτήσει των συντελεστών Fourier της f. 8. Εστω f L (). Για κάθε m N ορίζουµε g m (x) = f(mx). Περιγράψτε το γράφηµα της g m σε σχέση µε αυτό της f. Είναι η g m περιοδική ; Εκφράστε τους συντελεστές Fourier της g m συναρτήσει των συντελεστών Fourier της f.

41 5.7. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Εστω f, f n L () (n N) συναρτήσεις οι οποίες ικανοποιούν την lim f(x) f n (x) dλ(x) =. n είξτε ότι f n (k) f(k) όταν n, οµοιόµορφα ως προς k. ηλαδή, για κάθε ε > υπάρχει n N ώστε για κάθε n n και για κάθε k Z, f n (k) f(k) < ε.. Ορίζουµε f(x) = π x αν < x <, f() = f() =, και επεκτείνουµε την f σε µια -περιοδική συνάρτηση στο R. είξτε ότι η σειρά Fourier της f είναι η S(f, x) = k= sin kx. k. Θεωρούµε τη συνάρτηση f(x) = (π x) στο [, ] και την επεκτείνουµε σε µια -περιοδική συνάρτηση ορισµένη στο R. είξτε ότι Χρησιµοποιώντας το παραπάνω, δείξτε ότι S(f, x) = π k= k= k = π 6. cos kx k.. Εστω < α και έστω f : R R, -περιοδική συνάρτηση. Υποθέτουµε ότι υπάρχει M > ώστε f(x) f(y) M x y α για κάθε x, y R. είξτε ότι : υπάρχει σταθερά C > ώστε, για κάθε k, a k (f) C k α και b k (f) C k α. 3. Θεωρούµε την περιττή -περιοδική συνάρτηση f : R R που στο [, π] ορίζεται από την f(x) = x(π x). Σχεδιάστε την γραφική παράσταση της f, υπολογίστε τους συντελεστές Fourier της f και δείξτε ότι f(x) = 8 π k= sin[(k + )x] (k + ) 3.

42 88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 4. Εστω < δ < π. Θεωρούµε τη συνάρτηση f : [, π] R µε { x f(x) = δ αν x δ αν δ x π Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f και δείξτε ότι f(x) = δ + k= cos kδ k πδ cos kx. 5. Θεωρούµε την -περιοδική συνάρτηση f : R R που στο [, π] ορίζεται από την f(x) = x. Σχεδιάστε την γραφική παράσταση της f, υπολογίστε τους συντελεστές Fourier της f και δείξτε ότι f() = π/ και + ( )k f(k) = πk, k. Γράψτε τη σειρά Fourier S(f) της f σαν σειρά συνηµιτόνων και ηµιτόνων. Θέτοντας x = δείξτε ότι k= (k + ) = π 8 και k= k = π Εστω f : R R µια -περιοδική συνάρτηση, ολοκληρώσιµη στο [, ]. (α) είξτε ότι lim f(x + ) f(x) dλ(x) =. [Υπόδειξη: εξετάστε πρώτα την περίπτωση που η f είναι συνεχής.] (ϐ) (Λήµµα Riemann-Lebesgue). είξτε ότι, για κάθε n N, και συµπεράνατε ότι f(x) sin nx dλ(x) = lim n f ( x + π n) sin nx dλ(x). f(x) sin nx dλ(x) =. 7. (α) Θεωρώντας την περιττή επέκταση της cos x από το (, π) στο (, π) \ {} δείξτε ότι για κάθε < x < π. cos x = 8 π k= k sin(kx) 4k (ϐ) Θεωρώντας την άρτια επέκταση της sin x από το (, π) στο (, π) δείξτε ότι sin x = π 4 π k= cos(kx) 4k

43 5.7. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 89 για κάθε < x < π. Οµάδα Β 8. (α) Για κάθε k N ϑέτουµε είξτε ότι : αν k > m τότε A k (x) = k sin jx. j= A k (x) A m (x) sin(x/) για κάθε < x < π. (ϐ) Αν λ λ λ n, δείξτε ότι k j=m+ για κάθε n k > m και για κάθε < x < π. λ j sin jx λ m+ sin(x/) 9. Εστω n N και M >. Αν λ λ λ n και kλ k M για κάθε k =,..., n, δείξτε ότι λ k sin kx (π + )M k= για κάθε x R. [Υπόδειξη : Μπορείτε να υποθέσετε ότι < x < π. Γράψτε, αν ϑέλετε, m λ k sin kx = λ k sin kx + λ k sin kx, όπου m = min{n, π/x }.] k= k= k=m+. (Λήµµα του Sečkin). Εστω (x) = λ + n k= (λ k cos kx + µ k sin kx) τριγωνοµετρικό πολυώνυµο και έστω x R µε την ιδιότητα f(x ) = f = max{ f(x) : x R}. είξτε ότι : αν π n τότε f(x + ) f cos(n).. (Ανισότητα του Bernsein). Εστω (x) = λ + n k= (λ k cos kx + µ k sin kx) τριγωνοµετρικό πολυώνυµο. είξτε ότι f n f.

44 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Εστω [a, b] κλειστό διάστηµα που περιέχεται στο εσωτερικό του [, π]. Θεωρούµε την f(x) = χ [a,b] (x) που ορίζεται στο [, π] από τις f(x) = αν x [a, b] και f(x) = αλλιώς, και την επεκτείνουµε -περιοδικά στο R. είξτε ότι η σειρά Fourier της f είναι η S(f, x) = b a + e ika e ikb e ikx. ik k είξτε ότι η S(f) δεν συγκλίνει απολύτως για κανένα x R. Βρείτε τα x R για τα οποία η S(f, x) συγκλίνει. 3. Εστω (x) = n k= n c ke ikx τριγωνοµετρικό πολυώνυµο. Υποθέτουµε ότι το παίρνει ϑετικές πραγµατικές τιµές. είξτε ότι υπάρχει τριγωνοµετρικό πολυώνυµο Q ώστε για κάθε x R. (x) = Q(x) 4. (α) Εστω < δ < π. είξτε ότι, για κάθε x [δ, δ], n + cos kx sin δ και sin kx sin δ. k= (ϐ) Εστω ( k ) ϕθίνουσα ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών µε k. είξτε ότι οι σειρές k= k cos kx και k= k sin kx συγκλίνουν κατά σηµείο στο (, ) και οµοιόµορφα σε κάθε διάστηµα [δ, δ], όπου < δ < π. Συµπεράνατε ότι ορίζουν συνεχείς συναρτήσεις στο (, ). k= 5. Εστω f L () και g L (). είξτε ότι lim f(x)g(nx) dλ(x) = n f()ĝ().

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Κεφάλαιο 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούµε µε µέσες τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f οι οποίες

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Μιχάλης Σαράντης και Κωνσταντίνος Τσίνας Βασικά αποτελέσµατα από την ανάλυση Fourier Ορισµός.. Ο n-οστός πυρήνας του Dirichlet ορίζεται ως (.) D n (y) Πρόταση.. Για

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx.

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx. Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωμα Lebesgue (11 1) 3ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω f, g : T C ολοκληρώσιμες συναρτήσεις. Δείξτε ότι, για κάθε n N, (s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). Υπόδειξη. Θυμηθείτε

Διαβάστε περισσότερα

Anˆlush Fourier kai Olokl rwma Lebesgue. Prìqeirec Shmei seic

Anˆlush Fourier kai Olokl rwma Lebesgue. Prìqeirec Shmei seic Anˆlush Fourier kai Olokl rwma Lebesgue Prìqeirec Shmei seic Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na, 22 Perieqìmena I Anˆlush Fourier Εισαγωγή 3. Τριγωνομετρικά πολυώνυμα..........................

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2]. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riem Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Μετρήσιµες συναρτήσεις Οι συναρτήσεις για τις οποίες ϑα επιχειρήσουµε να ορίσουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue είναι συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού κάποιο µετρήσιµο υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Μαρία Μαστροθεοδώρου και Αγγελική Χαντζηθάνου Περίληψη Το κεντρικό αποτέλεσµα της εργασίας είναι ότι µια συνάρτηση f είναι απόλυτα συνεχής στο [, b] αν και µόνο

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων

Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων Βλάσης Μαστραντώνης Περίληψη Το πρόβληµα της µοναδικότητας του αναπτύγµατος µιας συνάρτησης σε τριγωνοµετρική σειρά έχει µεγάλη ιστορία, η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κεφάλαιο Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund, Katznelson 4 και Stein and Shakarchi.. Μερικά βασικά περί μιγαδικών αριθμών Υποθέτουμε ως γνωστές

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( )

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( ) Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις (205 6) Πρόχειρες Σηµειώσεις Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών 205-6 Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 2 Σύγκλιση ακολουθιών και συνέχεια συναρτήσεων 9 3 Τοπολογία µετρικών χώρων

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier

Σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier Κεφάλαιο 6 Σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 2002, Katznelson 2004 και Stein and Shakarchi 20. 6. Όχι σύγκλιση σε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες, ου υόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας.

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας. Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερµότητας Εστω Ω είναι ανοικτό σύνολο του µε γνωστή θερµοκρασία στο σύνορό του Ω κάθε χρονική στιγµή και γνωστή αρχική θερµοκρασία σε κάθε σηµείο του Ω Τότε οι φυσικοί νόµοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Συντελεστές και σειρές Fourier

Συντελεστές και σειρές Fourier Κεφάλαιο 3 Συντελεστές και σειρές Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 22, Katznelson 24 και Stein and Shakarchi 211. 3.1 Συντελεστές Fourier μιας ολοκληρώσιμης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Youg Ασπασία Κωτσογιάννη Περίληψη Ο µετασχηµατισµός Fourier Εστω f L. Ορίζουµε. fξ = π fxe ix ξ dx, ξ. Το ολοκλήρωµα Lebesgue στη σχέση. συγκλίνει για κάθε ξ

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Θα ϑέλαµε να ορίσουµε το «µήκος» κάθε υποσυνόλου A του R, δηλαδή να αντιστοιχίσουµε σε κάθε A R έναν µη αρνητικό αριθµό λ(a) (ή το + ). Είναι λογικό

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov Το ϑεώρηµα του Alexandrov Γιώργος Γιανναράκης και αυιδούλα ηµοπούλου Περίληψη Το 1939, ο Alexandr Alexandrov απέδειξε το ακόλουθο ϑεώρηµα : Εστω C R d ανοιχτό και κυρτό, f : C R µια κυρτή συνάρτηση. Τότε,

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 + x + 1 (x + 3)(x 1) 2 dx, 2x (x + 1) dx. b x 1 + x dx x x 2 1, 6u 5 u 3 + u 2 du = 6u 3 u + 1 du. = u du.

2x 2 + x + 1 (x + 3)(x 1) 2 dx, 2x (x + 1) dx. b x 1 + x dx x x 2 1, 6u 5 u 3 + u 2 du = 6u 3 u + 1 du. = u du. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 8: Τεχνικές ολοκλήρωσης Α Οµάδα. Υπολογίστε τα ακόλουθα ολοκληρώµατα : + + d, + + ( + 3)( ) d, 3 + 3 + 3 + + + d. Υπόδειξη. (α) Γράφουµε + + d

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m )

f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m ) 302 14. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες ως προς τη σχέση ισοµορφίας. Ε- πίσης ϑα αποδείξουµε ένα σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ι και Εφαρµογές

Ανάλυση Ι και Εφαρµογές Ανάλυση Ι και Εφαρµογές Σηµειώσεις από τις παραδόσεις Α. Γιαννόπουλος Τµήµα Φυσικής Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 206 Περιεχόµενα Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Φυσικοί, ακέραιοι και ϱητοί αριθµοί.......................

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αρνητικά αποτελέσµατα στη ϑεωρία προσέγγισης

Αρνητικά αποτελέσµατα στη ϑεωρία προσέγγισης Αρνητικά αποτελέσµατα στη ϑεωρία προσέγγισης Μιλτιάδης Καρακικές 1 Εισαγωγή Η ϑεωρία προσέγγισης είναι ένας κλάδος της µαθηµατικής ανάλυσης που µελετά την προσέγγιση συναρτήσων από απλούστερες συναρτήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος.

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. Πανεπιστηµιο Αιγαιου Τµηµα Μαθηµατικων 8 200 Καρλοβασι Σαµος Καρλόβασι 09/02/2012 Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. 1. Απαντήστε µε α(αλήθεια)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τα βασικότερα στοιχεία που είναι απαραίτητα για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους Έτσι, δίνονται συστηµατικά οι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα