Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών"

Transcript

1 Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες, ου υόκειται σε άλλου τύου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το αρόν εκαιδευτικό υλικό έχει ανατυχθεί στα λαίσια του εκαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανειστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοοιείται στο λαίσιο του Ειχειρησιακού Προγράµµατος «Εκαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται αό την Ευρωαϊκή Ενωση (Ευρωαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και αό εθνικούς όρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

3 Περιεχόµενα ενότητας 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις 4 7. Οµάδα Α Οµάδα Β Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις 7. Οµάδα Α. (α) Χρησιµοοιώντας τη συνάρτηση f : [, ] R µε f (x) x και την ταυτότητα του Parseval, δείξτε ότι ( + ) 4 4 και (ϐ) Χρησιµοοιώντας την -εριοδική εριττή συνάρτηση g : [, ] R µε g(x) x( x) στο [, ] και την ταυτότητα του Parseval, δείξτε ότι ( + ) και Υόδειξη. (α) Παρατηρήστε ότι f () x dλ(x) xdλ(x). Για γράφουµε f () f (x)e i x dλ(x) x συν( x) dλ(x) [ ] x ημ( x) συν( x) + ( ). Συνεώς, η σειρά Fourier της f είναι η Αό την ταυτότητα του Parseval, + ( ) e i x. x e i x dλ(x) x συν( x) dλ(x) ( + ) 4 f (x) dλ(x) x dλ(x) 3. Εεται ότι ( + ) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 Οµως, Συνεώς, 4 ( + ) 4 + () (ϐ) Αφού η f είναι εριττή, έχουµε f (). Για γράφουµε f () i i ( ) i ( ) f (x)e i x dλ(x) i [ x συν( x) + i ημ( x) [ x συν( x) i ( ) i[( ) ] 3. Συνεώς, η σειρά Fourier της f είναι η Αό την ταυτότητα του Parseval, + i ] ] + i x( x) ημ( x) dλ(x) + i [ x ημ( x) + i[( ) ] 3 e i x. x ημ( x) dλ(x) x συν( x) dλ(x) ] συν( x) 6 ( + ) 6 f (x) dλ(x) ( x) x dλ(x) 4 3. Εεται ότι Οµως, Συνεώς, 6 ( + ) ( + ) 6 + () Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 . είξτε ότι: αν α Z, τότε η σειρά Fourier της συνάρτησης στο [, ], είναι η f (x) ημ α ei( x)α e i x + α. Εφαρµόζοντας την ταυτότητα του Parseval, συµεράνατε ότι ( + α) ημ (α). Υόδειξη. Γράφουµε f () f (x)e i x dλ(x) ημ α eiα e ix(α+) dλ(x) [ ] e ix(α+) e iα ημ α i( + α) e iα e iα i( + α) ημ α + α. Συνεώς, η σειρά Fourier της f είναι η Αό την ταυτότητα του Parseval, αφού f (x) ημ(α) για κάθε x. ( + α) eiα e iα ημ α i( + α) i ημ α i( + α) ημ α e i x + α. f (x) dλ(x) ημ (α), 3. Εστω < a. Θεωρούµε την συνάρτηση f : [, ] R µε f (x) χ [ a,a] (x). (α) είξτε ότι f () a και f () ημ(a) αν. (ϐ) είξτε ότι για κάθε x [, ] \ { a, a} ισχύει f (x) a + ημ(a) e i x. (γ) Υολογίστε τα αθροίσµατα ημ(a) και ημ (a). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 Υόδειξη. (α) Για έχουµε f () f (x) dλ(x) a a dλ(x) a a. Για γράφουµε f () a f (x)e i x dλ(x) συν( x) dλ(x) a [ ] ημ( x) a ημ(a). a a a e i x dλ(x) συν( x) dλ(x) (ϐ) Αν x [, ] \ { a, a} τότε η f είναι αραγωγίσιµη στο x, άρα f (x) S( f, x) a + ημ(a) e i x. (γ) Θέτοντας x στην ισότητα του (ϐ) έχουµε f () a + ημ(a) a + ημ(a), άρα ημ(a) ( a ) a. Για το δεύτερο άθροισµα χρησιµοοιούµε την ταυτότητα του Parseval: έχουµε f () f ( ) για κάθε, άρα f f () + f () a + ημ (a). Αφού τελικά έχουµε ημ (a) f a a dλ(x) a, ( ) a a a a a( a). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 4. Εστω f : R R συνεχώς αραγωγίσιµη -εριοδική συνάρτηση. (α) είξτε ότι (ϐ) είξτε ότι f s n ( f ) n+ a ( f ) + b ( f ). lim n f sn ( f ). n Υόδειξη. Αφού η f είναι συνεχώς αραγωγίσιµη, γνωρίζουµε ότι f S( f ). Συνεώς, f (x) s n ( f, x) (a ( f ) συν x + b ( f ) ημ x), x R. n+ Παίρνοντας αόλυτες τιµές και κατόιν supremum άνω α όλα τα x R, καταλήγουµε στην f s n ( f ) n+ ( a ( f ) + b ( f ) ). Τώρα χρησιµοοιούµε τη σχέση των συντελεστών Fourier της f µε τους συντελεστές Fourier της f : a ( f ) b ( f ), b ( f ) a ( f ) και την ανισότητα Cauchy--Schwarz, διαδοχικά, για να άρουµε n+ ( a ( f ) + b ( f ) ) n+ /n n+ / n+ ( a ( f ) n+ + b ( f ) ) / a ( f ) a ( f ) + b ( f ) + /, n+ / b ( f ) όου έχουµε χρησιµοοιήσει το γενονός ότι n+ < n+ ( ) n+ ( ) n και την στοιχειώδη ανισότητα a + b a + b. Εοµένως, n f sn ( f ) n+ / a ( f ) + b ( f ). Αό την ανισότητα του Bessel έχουµε ότι η σειρά ( a ( f ) + b ( f ) ) συγκλίνει και το συµέρασµα έεται. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 5. Εστω f : C συνεχώς αραγωγίσιµη συνάρτηση. (α) είξτε ότι υάρχει σταθερά C( f ) > ώστε f () C( f ) για κάθε Z. (ϐ) Εξετάστε αν lim f (). (γ) Εξετάστε αν f () < +. Υόδειξη. Η αάντηση είναι καταφατική σε όλα τα ερωτήµατα. Αρχικά αρατηρούµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη. Αό την ταυτότητα του Parseval, Γνωρίζουµε ότι f () i f (), συνεώς f () f < +. f () < +. Εεται το (ϐ) (και αό αυτό, το (α)): αφού η αραάνω σειρά συγκλίνει, έχουµε lim f (). Για το (γ), αό την ανισότητα Cauchy-Schwarz αίρνουµε f () f () ) ( f () < +. Εεται ότι f () f () + f () < Εστω f : R R συνεχώς αραγωγίσιµη -εριοδική συνάρτηση µε f (x) dλ(x). Χρησιµοοιώντας την ταυτότητα του Parseval για τις f και f δείξτε ότι f (x) dλ(x) f (x) dλ(x), µε ισότητα αν και µόνο αν f (x) a συν x + b ημ x για κάοιους a, b R. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 Υόδειξη. Γνωρίζουµε ότι f () i f () για κάθε Z. Είσης, αό την υόθεση έχουµε f () f (x) dλ(x). Αό την ταυτότητα του Parseval για τις f και f έεται άµεσα ότι f (x) dλ(x) f f () f () f () f () f (x) dλ(x). Για την τελευταία ισότητα αρατηρήστε ότι f () f (x)dλ(x) f () f () αό την -εριοδικότητα της f. Ισότητα µορεί να ισχύει αν και µόνο αν f () i f () για κάθε (εξηγήστε γιατί). Ισοδύναµα αν f (x) f ()e ix + f ( )e ix για κάθε x R, δηλαδή αν υάρχουν a, b R ώστε f (x) a συν x + b ημ x. 7. (α) Εστω f, g : C συνεχώς αραγωγίσιµες συναρτήσεις. Υοθέτουµε ότι ότι f (t)g(t) dλ(t) f (t) dλ(t) g (t) dλ(t). (ϐ) Εστω f : [a, b] C συνεχώς αραγωγίσιµη συνάρτηση µε f (a) f (b). είξτε ότι g(t) dλ(t). είξτε b a f (t) dλ(t) (b a) b a f (t) dλ(t). Υόδειξη. (α) Αό την ανισότητα Cauchy-Schwarz αίρνουµε f (t)g(t) dλ(t) f (t) dλ(t) g(t) dλ(t). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

11 Αφού g(t)dλ(t), αό την ροηγούµενη άσκηση έχουµε και έεται το Ϲητούµενο. g(t) dλ(t) g (t) dλ(t), (ϐ) Υοθέτουµε ρώτα ότι [a, b] [, ]. Αφού f () f (), µορούµε να εεκτείνουµε την f σε συνεχή -εριοδική συνάρτηση µε f (t)dλ(t), ϑέτοντας f (x) f ( x) για x [, ]. Η εέκταση της f είναι συνεχώς αραγωγίσιµη σε κάθε διάστηµα της µορφής (, + ), Z. Εφαρµόζοντας το (α) µε g f, αίρνουµε f (t) dλ(t) f (t) dλ(t) Χρησιµοοιώντας και το γεγονός ότι η f είναι εριττή, συµεραίνουµε ότι f (t) dλ(t). ( ) f (t) dλ(t) f (t) dλ(t). Αν το [a, b] είναι τυχόν, ϑεωρούµε την F : [, ] C µε F(x) f ( a + b a x). Τότε, η ( ) ισχύει για την F, δηλαδή f ( a + b a x) dλ(x) F(x) dλ(x) (b a) Κάνοντας την αλλαγή µεταβλητής t a + b a x, αίρνουµε f ( a + b a x) F (x) dλ(x) dλ(x). b a f (t) dλ(t) (b a) b a f (t) dλ(t). 7. Οµάδα Β 8. ώστε αράδειγµα ακολουθίας { f n } ολοκληρώσιµων συναρτήσεων f n : [, ] R ώστε lim n f n (x) dλ(x), αλλά για κάθε x [, ] η ακολουθία { f n (x)} δεν συγκλίνει. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

12 Υόδειξη. Θεωρούµε µια ακολουθία {I n } υοδιαστηµάτων του [, ] µε τις ακόλουθες ιδιότητες:. Για κάθε x [, ], τα σύνολα A x {n N : x I n } και B x {n N : x I n } είναι άειρα.. l(i n ), όου l(i) είναι το µήκος ενός διαστήµατος I. Ενας τρόος να ορίσουµε µια τέτοια ακολουθία είναι ο εξής: αίρνουµε I [, ], στη συνέχεια χωρίζουµε το [, ] σε δύο διαδοχικά διαστήµατα I και I 3 µήκους, στη συνέχεια χωρίζουµε το [, ] σε τέσσερα διαδοχικά διαστήµατα I 4,..., I 7 µήκους / και ούτω καθεξής. Ορίζουµε f n χ In, n,,.... Παρατηρήστε ότι κάθε f n είναι ολοκληρώσιµη και lim n f n (x) dλ(x) lim n l(i n ). Αό την άλλη λευρά, για κάθε x [, ] έχουµε ότι τα A x και B x είναι άειρα υοσύνολα του N, άρα µορούµε να ϐρούµε γνησίως αύξουσες ακολουθίες ϕυσικών ( n ) και (r n ) στα A x και B x αντίστοιχα. Τότε, δηλαδή η ακολουθία { f n (x)} δεν συγκλίνει. f n (x) χ In (x) και f rn (x) χ Irn (x), 9. είξτε ότι ημ t t dλ(t). Υόδειξη. Γνωρίζουµε ότι το ολοκλήρωµα του n-οστού υρήνα του Dirichlet στο [, ] είναι ίσο µε. ηλαδή, ημ ( n + ) t dλ(t). Γράφουµε ημ t ημ ( n + ) t dλ(t) + t/ g(t) ημ ( n + ) t dλ(t), όου g(t) ημ(t/) t/. Παρατηρούµε ότι η g µορεί να οριστεί στο ώστε να γίνει συνεχής συνάρτηση στο [, ] (εξηγήστε γιατί). Συνεώς, g(t) ημ ( n + ) t dλ(t) + g(t) συν(t/) ημ(nt) dλ(t) g(t) ημ(t/) συν(nt) dλ(t) όταν n, αό το Λήµµα Riemann--Lebesgue για τις συνεχείς συναρτήσεις g(t) συν(t/) και g(t) ημ(t/). Εεται ότι lim ημ ( n + ) t dλ(t). n t/ Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα

13 Οµως, ημ ( n + ) t t/ dλ(t) ( n+ ) ημ x x dλ(x). Εεται ότι ( ) n+ ημ x x dλ(x) ημ x όταν n. Χρησιµοοιώντας και το γεγονός ότι lim x x, µορούµε τώρα να δείξουµε ότι υάρχει το ημ x M ημ x dλ(x) lim dλ(x) x M x. Συµληρώστε τις λετοµέρειες.. Εστω f : R C συνάρτηση -εριοδική, η οοία ικανοοιεί την συνθήκη Lipshitz για κάθε x, y R, όου K > σταθερά. f (x) f (y) K x y (α) Για κάθε t > ορίζουµε g t (x) f (x + t) f (x t). είξτε ότι g t (x) dλ(x) 4 ημ t f () και συµεράνατε ότι ημ t f () K t. (ϐ) Εστω p N. Ειλέγοντας t / p+, δείξτε ότι p < p f () K p+. (γ) ώστε άνω ϕράγµα για το f () p < p και συµεράνατε ότι η σειρά Fourier της f συγκλίνει αολύτως, άρα οµοιόµορφα. Υόδειξη. (α) Αό την ταυτότητα του Parseval έχουµε g t (x) dλ(x) ĝ t (). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

14 Υολογίζουµε τους συντελεστές Fourier της g t : είναι Συνεώς, ĝ t () f (x + t)() f (x t)() e it f () e it f () (i ημ t) f (). g t (x) dλ(x) Χρησιµοοιώντας την συνθήκη Lipschitz αίρνουµε ημ t f () ημ t f (). f (x + t) f (x t) dλ(x) K (t) dλ(x) K t. (ϐ) Εφαρµόζοντας το (α) για t / p+ έχουµε p < p ημ(/ p+ ) f () ημ(/ p+ ) f () K p+. Οµως, αν p < p έχουµε 4 p+. Αρα, ημ(/p+ ) ημ(/4) / γι αυτές τις τιµές του. Ειστρέφοντας στην ροηγούµενη ανισότητα, αίρνουµε p < p f () K p+, δηλαδή p < p f () K p+. (γ) Αρκεί να δείξουµε ότι f () < +. Χρησιµοοιώντας το (ϐ) και την ανισότητα Cauchy--Schwarz, έχουµε f () > f () p/ f () p p < p p p < p p/ K K p ( ) < +. p p p / Εεται ότι f () f () + f () < +. > Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

15 . Εστω α > / και f : R C συνάρτηση -εριοδική, η οοία ικανοοιεί την συνθήκη Hölder f (x) f (y) K x y α για κάθε x, y R, όου K > σταθερά. οµοιόµορφα. είξτε ότι η σειρά Fourier της f συγκλίνει αολύτως, άρα Υόδειξη. Ακολουθούµε την ίδια διαδικασία µε αυτήν της Ασκησης. Για κάθε t > ορίζουµε g t (x) f (x + t) f (x t) και, χρησιµοοιώντας την ταυτότητα του Parseval, ϐλέουµε ότι g t (x) dλ(x) Χρησιµοοιώντας την συνθήκη Hölder αίρνουµε Ειλέγοντας t / p+, έχουµε ημ t f () ημ t f (). f (x + t) f (x t) dλ(x) K (t) α dλ(x) K t α. p < p ημ(/ p+ ) f () ημ(/ p+ ) f () K α α(p+). Οµως, αν p < p έχουµε 4 p+. Αρα, ημ(/p+ ) ημ(/4) / γι αυτές τις τιµές του. Ειστρέφοντας στην ροηγούµενη ανισότητα, αίρνουµε δηλαδή p < p f () p < p f () Χρησιµοοιώντας την ανισότητα Cauchy--Schwarz, έχουµε K α α(p+), K α α(p+). f () > f () p/ f () p < p p p < p K p/ α K α αp+α α ( ) < +, α p p p p / διότι α >. Εεται ότι f () f () + f () < +. > Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

16 . Εστω f : R R συνεχής -εριοδική συνάρτηση και έστω a, b οι συντελεστές Fourier της f. είξτε ότι b ( x) f (x) dλ(x). Υόδειξη. Για την g : [, ] R µε g(x) x έχουµε ĝ() και ĝ() ( i) για κάθε. Εχουµε f, g L (), άρα ( x) f (x) dλ(x) g, f f ()ĝ() i ( f () f ( )) b. i ( i)b 3. Εστω f : R R συνεχής -εριοδική συνάρτηση και έστω a, b οι συντελεστές Fourier της f. Υοθέτουµε ότι a. είξτε ότι a ( f (x)ln ημ x ) dλ(x). Υόδειξη. Εεκτείνουµε την ln( ημ x ) σε µια άρτια -εριοδική συνάρτηση g στο R. Εξηγήστε ρώτα ότι, γενικά, αν f, g L () και οι f, g αίρνουν ραγµατικές τιµές, τότε f (x)g(x)dλ(x) a ( f )a (g) + (a ( f )a (g) + b ( f )b (g)). Αφού η g είναι άρτια, έχουµε b (g) για κάθε. Αρα, f (x)g(x)dλ(x) a ( f )a (g). Τέλος, για κάθε έχουµε: a (g) ln ημ x συν x dλ(x) ln( ημ x ) συν x dλ(x) ημ x συν x ημ(x/) dλ(x) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

17 ημ( + /)x + ημ( /)x ημ(x/) D (x) + D (x) dλ(x). dλ(x) 4. Εστω f L (). Υοθέτουµε ότι [w ( f, /n)] <, n όου είξτε ότι f L (). w ( f, x) f (x + t) f (t) dλ(t). Υόδειξη. Αό το ϑεώρηµα Riesz-Fisher αρκεί να δείξουµε ότι η σειρά f () συγκλίνει. Εστω Z. Παρατηρούµε ότι f ( + /)() f (t + /)e it dλ(t) f (s)e is ds f (). Αρα, f () f ( + /)() f () f (t + /) f (t) dλ(t) w ( f, /). Χρησιµοοιώντας και την w ( f, x) w ( f, x) (η οοία ροκύτει αό την αλλαγή µεταβλητής s x + t στο f (x + t) f (t) dλ(t)) έχουµε για κάθε. Είσης, f () f. Συνεώς, f () w ( f, / ) f () f () [w ( f, /)] + 4 αό την υόθεση. f + [w ( f, /)] < 5. Εστω f L (). Ορίζουµε F(x) s n ( f, x) σ n+ ( f, x) n n είξτε ότι F L () και F f. Ειδικότερα, F(x) < σχεδόν αντού στο. /. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

18 Υόδειξη. Για κάθε N N ορίζουµε g N (x) s n ( f, x) σ n+ ( f, x). n n Παρατηρούµε ότι Αρα, g N (x) dλ(x) s n ( f, x) σ n+ ( f, x) n n n n n n(n + ) f () n + f ()e i x. N f () n n(n + ). Γράφουµε n n(n + ) n n ( ) n(n + ) (n + ) ( n ) n + N+ n + n(n + ) N N + ( + ). Συνεώς, g N (x) dλ(x) N Αό το ϑεώρηµα µονότονης σύγκλισης αίρνουµε F lim n f () N s n ( f, x) σ n+ ( f, x) n n g N (x) dλ(x) f. f () f. dλ(x) 6. Εστω x n, y m C, n, m. είξτε ότι n,m x n y m n + m + n / x n m / y m. Υόδειξη. Θεωρούµε την ϕ : [, ) C µε ϕ(t) i( t)e it και την εεκτείνουµε σε -εριοδική συνάρτηση στο R. Αυτό ου ϑα χρησιµοοιήσουµε είναι ότι ϕ() + για κάθε και ϕ. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

19 Για κάθε N N έχουµε n,m x n y m n + m + ηλαδή, αν ορίσουµε α N (t) N n,m n n,m n,m x n y m ϕ(n + m) x n y m ϕ(t)e i(n+m)t dλ(t) x n e int n m x n e int και β N (t) N x n y m n + m + αό την ανισότητα Cauchy-Schwarz. Αφού m y m e imt ϕ(t) dλ(t). y m e imt, έχουµε α n (t) β n (t)ϕ(t)dλ(t) α N (t) β N (t) ϕ dλ(t) ϕ α N β N α N n / x n και β N m / y m, αίρνουµε Αφού ϕ, έεται ότι n,m x n y m n + m + ϕ n n,m Ειδικότερα, έχουµε το Ϲητούµενο. x n y m n + m + n / x n / x n m m / y m. / y m. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Σειρές Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες, ου υόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier.

Κεφάλαιο 7. Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier. 7 Σειρές Fourier Κεφάλαιο 7 Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier Mια συνάρτηση : R καλείται εριοδική µε ερίοδο >, αν ισχύει ( x) = ( x+ ) για κάθε x R και ο είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οοίο ισχύει αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5- ΛΥΣΕΙΣ Οι ασκήσεις της Εργασίας αυτής βασίζονται στην ύλη των Ενοτήτων 9 του συγγράµατος «Λογισµός Μιας Μεταβλητής»

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Συναρτήσεις Bessel ρώτου και δευτέρου είδους Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση (8 µον) Χρησιµοοιώντας την αντικατάσταση acosθ, ή ataθ, για µια κατάλληλη

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2

είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Ιουλίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του µαθήµατος, ενώ αό τα Θέµατα,, 4 και 5 µορείτε να ειλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΕΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4 Παράδειγµα Έστω το ακόλουθο εριοδικό σήµα f ( f

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του

Διαβάστε περισσότερα

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2.

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2. 99 ΘΕΜΑΤΑ. α) ίνεται η συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα µε τιµές στο (, + ). Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g µε g() = lnf(),, έχει την ιδιότητα «g (), για κάθε» αν και µόνο αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: Mαΐου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12)

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12) ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-) ΛΥΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, - Eνότητες: 8,9,,,, αό το βιβλίο «ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ» Γ. άσιου. Παράδοση της εργασίας µεχρι τις 9 /4/

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.) Λύση: f ( ) ( ) ( ) ( )! f α) Ο τύος της σειράς µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: 9 Mαίου 7 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον Φοιτητή: Ιουνίου 7 Άσκηση. ( µον.) ίνεται το σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να

Διαβάστε περισσότερα

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Κεφάλαιο 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούµε µε µέσες τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f οι οποίες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 00-00 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. (0 µον.) Να υολογισθούν τα όρια:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ http://eepgr/pli/pli/studetshtm ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ), - ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤ Τα κάτωθι ροβλήµατα ροέρχονται αό την ύλη και των συγγραµµάτων της

Διαβάστε περισσότερα

f p = lim (1 a n ) < n=0

f p = lim (1 a n ) < n=0 Πανειστήμιο Κρήτης Τμήμα Μαθηματικών Συντελεστές Taylor συναρτήσεων σε χώρους Hardy Καλλιόη Παολίνα Κουτσάκη Ειβλέων Καθηγητής: Μιχαήλ Πααδημητράκης Ειτροή: Μιχαήλ Κολουντζάκης, Θεμιστοκλής Μήτσης και

Διαβάστε περισσότερα

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3)

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3) ΘΕΜΑΤΑ Έστω f µια ραγµατική συνάρτηση µε τύο f() α) Αν η f είναι συνεχής, να αοδείξετε ότι α - 9 α,, > β) Να βρείτε την εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης C f της συνάρτησης f στο σηµείο Α(4,

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυο Yοβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμληρώνει την ενότητα «Υοβολή Εργασίας» και αοστέλλει το έντυο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος συμληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Βλέε Πόρισµα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου. β. Βλέε σελίδα 4 σχολικού βιβλίου. Β. α. (Σ), β. (Σ), γ. (Σ), δ. (Σ).

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση

2.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i. 1.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση .5 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 49 5 A Οµάδας.i Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() + ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [, ], και αν ναι στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξ (α, β) για

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Πέµτη 7 Ιανουαρίου 16 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία f ( t ) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, + ) R µε: f ( ) = + ( + ), > t Α ) να δείξετε ότι: α) f ( ) = ln +, > β) f ( ) = Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f Γ) να δείξετε ότι η C f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στις Σειρές Fourier

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στις Σειρές Fourier 61 Εισαγωγή Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στις Σειρές Fourier Είναι γνωστό αό τα Μαθηµατικά Ι ότι το ανάτυγµα Τaylor µιας αναλυτικής συνάρτησης σ ένα διάστηµα της ραγµατικής ευθείας I = ( x R, x + R) κέντρου x και

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα Αλλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων

Το θεώρηµα Αλλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων 8 Το θεώρηµα λλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων Όως έχουµε ήδη αναφέρει η δεύτερη βασική µέθοδος υολογισµού ολλαλών ολοκληρωµάτων είναι αυτή της αλλαγής µεταβλητής, την οοία έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αοστολής στους Φοιτητές: 7 Αριλίου 9 Ημερομηνία αράδοσης της Εργασίας: 9 Μαΐου 9 Πριν αό την λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

7.1. Το ορισµένο ολοκλήρωµα

7.1. Το ορισµένο ολοκλήρωµα Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα Για το αόριστο ολοκλήρωµα βρήκαµε ότι: Αν η συνάρτηση F ( είναι µια αρχική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

z έχει µετασχ-z : X(z)= 2z 2

z έχει µετασχ-z : X(z)= 2z 2 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος ΑΣΚΗΣΗ 4. Βρείτε τον µετασχηµατισµό- των σηµάτων ου φαίνονται στο αρακάτω σχήµα Α4. εκφράζοντάς τους σε όσο το δυνατόν αλούστερη-συµαγέστερη µορφή. a a a -->...

Διαβάστε περισσότερα

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA 1 Eisagwg Οι σειρές Fourier είναι ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο του Λογισμού ου βρίσκει ολλές εφαρμογές σε διάφορα εδία της ειστήμης, χ στις

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx.

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx. Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωμα Lebesgue (11 1) 3ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω f, g : T C ολοκληρώσιμες συναρτήσεις. Δείξτε ότι, για κάθε n N, (s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). Υπόδειξη. Θυμηθείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 7.5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ. Θεώρηµα Rlle Αν µια συνάρτηση f είναι : Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις (Αναζητώ ρίζα) συνεχής σε κλειστό διάστηµα [α, β] αραγωγίσιµη στο ανοικτό (α, β) f (α) f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Μιχάλης Σαράντης και Κωνσταντίνος Τσίνας Βασικά αποτελέσµατα από την ανάλυση Fourier Ορισµός.. Ο n-οστός πυρήνας του Dirichlet ορίζεται ως (.) D n (y) Πρόταση.. Για

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του Π.Α.Τ.: y = f ( x, y), y( x ) (Θεώρημα Picard) ' Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου Παρουσίαση ΘΕΩΡΙΑ Παρουσίαση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ισότητα µιγαδικών. Να αναφέρετε ότε δύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, λέµε ότι είναι ίσοι. Αάντηση ύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, είναι ίσοι,

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017 Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Ιωάννης Χαρ. Κατσαβουνίδης Τμήμα Μηχ. Η/Υ, Τηλε. Δικτύων Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΦΘινοωρινό Εξάμηνο 00/ Άσκηση Να βρείτε αν τα αρακάτω συστήματα είναι γραμμικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 5 Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: 5 Αριλίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον Φοιτητή:

Διαβάστε περισσότερα

ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου.

ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου. ιαφορικές Εξισώσεις µε Μερικές Παραγώγους, Ααντήσεις-Παρατηρήσεις στην Τελική Εξέταση Περιόδου Ιουνίου. Ανδρέας Ζούας 8 Σετεµβρίου Οι λύσεις αλώς ροτείνονται και σαφώς οοιαδήοτε σωστή λύση είναι αοδεκτή!

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 4 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στο e-course στις «Περιλητικές Σημειώσεις» σελ7 και σελ5 β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f( ) γράφονται uxy (, ) = si( x) και

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Αλυσίδες Markov διακριτού χρόνου

3.1 Αλυσίδες Markov διακριτού χρόνου Κεφάλαιο 3 Συστήµατα Markov Μια διαδικασία Markov µε διακριτό χώρο καταστάσεων ονοµάζεται αλυσίδα Markov Ένα σύνολο αό τυχαίες µεταβλητές { } αοτελούν µια αλυσίδα Markov όταν η ιθανότητα η εόµενη τιµή

Διαβάστε περισσότερα

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα:

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα: Ποιο µέγεθος ροηγείται ανάµεσα σε δυο µεγέθη ου αρουσιάζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους Προκειµένου να καθορίσουµε τη διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο φυσικά µεγέθη ενός κινητού και να βρούµε οιο αό τα δυο ροηγείται,

Διαβάστε περισσότερα

lim f x lim g x. ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α

lim f x lim g x. ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α1. Έστω µια συνάρτηση f αραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο οοίο όµως η

Διαβάστε περισσότερα

Σειρές συναρτήσεων. Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα πιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύπτουν τις μυστικές αναλογίες, που τα ενώνουν.

Σειρές συναρτήσεων. Τα μαθηματικά συγκρίνουν τα πιο διαφορετικά φαινόμενα και ανακαλύπτουν τις μυστικές αναλογίες, που τα ενώνουν. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σειρές συναρτήσεων Καθώς το εερασμένο ερικλείει μία άειρη σειρά Και στο αεριόριστο εμφανίζονται όρια Έτσι και η ψυχή της αεραντοσύνης φωλιάζει στις μικρές λετομέρειες Και μέσα στα ιο στενά όρια,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

X(s + j 2π T k)esit ds, C 1 = a + j(0,2π/t) ( ln(z) + j2πk. z i 1 dz, C = e at+j(0,2π). j2π C T

X(s + j 2π T k)esit ds, C 1 = a + j(0,2π/t) ( ln(z) + j2πk. z i 1 dz, C = e at+j(0,2π). j2π C T Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ24: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Φθινόωρο 25 Λύσεις Εαναλητικών Εξετάσεων Θέμα 1 (α) Αό το μετασχηματισμό Laplace δ(t t ) e st, ροκύτει y[i ]δ(t i T) y[i ]e si T = Y (e st ), με

Διαβάστε περισσότερα

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ. Τμήμα Α (α) Για τη συνάρτηση f () : Παρατηρούμε ότι si u= y x και v x u = ycos x, u = si x, v =, v =. x y x y = οότε Οι ανωτέρω ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x) http://eler.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική και στατιστική Θερμοδυναμική

Κλασική και στατιστική Θερμοδυναμική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κασική και στατιστική Θερμοδυναμική Κασικά συστήματα Διδάσκων: Καθηγητής Ιωάννης Παναγιωτόουος Άδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υικό υόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ x. Η f είναι συνεχής στο x0. lim lim 1. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ x. Η f είναι συνεχής στο x0. lim lim 1. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΘΕΜΑ A A. Αοδεικνύουμε το θεώρημα στην ερίτωση ου είναι f () >. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι f ( ) f ( ). Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() = ln, [,] αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. β) ln d + d =. Β) Δίνεται η συνάρτηση α) h() h(), για κάθε [, + ). = d. Να αοδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Μετρήσιµες συναρτήσεις Οι συναρτήσεις για τις οποίες ϑα επιχειρήσουµε να ορίσουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue είναι συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού κάποιο µετρήσιµο υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2]. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riem Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Μαρία Μαστροθεοδώρου και Αγγελική Χαντζηθάνου Περίληψη Το κεντρικό αποτέλεσµα της εργασίας είναι ότι µια συνάρτηση f είναι απόλυτα συνεχής στο [, b] αν και µόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5 η Ηµεροµηνί Αοστολής στον Φοιτητή: 7 Μρτίου 8 Ηµεροµηνί ράδοσης της Εργσίς: Μϊου 8 Πριν ό την λύση κάθε

Διαβάστε περισσότερα