Τι είναι Γραμμική Άλγεβρα;

Transcript

1 Γιατί Γραμμική Άλγεβρα; Είναι χρήσιμη Είναι όμορφη Είναι απαραίτητη

2 Τι είναι Γραμμική Άλγεβρα;

3 Τι είναι Γραμμική Άλγεβρα; (από την Βικιπαίδεια)

4 Τι είναι Γραμμική Άλγεβρα; (από την Βικιπαίδεια) Η γραμμική άλγεβρα είναι τομέας των μαθηματικών και της άλγεβρας ο οποίος ασχολείται με τη μελέτη διανυσμάτων, διανυσματικών χώρων, γραμμικών απεικονίσεων και συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Η αναλυτική γεωμετρία αποτελεί έκφρασή της και η ίδια αποτελεί κεντρικό συνδετικό ιστό των σύγχρονων μαθηματικών, ιδιαιτέρως μέσω της αφηρημένης έννοιας του διανυσματικού χώρου η οποία μπορεί να μοντελοποιήσει πολλά διαφορετικά προβλήματα που συναντώνται στην πράξη.

5 Τι είναι Γραμμική Άλγεβρα; Γραμμή στο επίπεδο:

6 Τι είναι Γραμμική Άλγεβρα; Γραμμή στο επίπεδο: y = ax +b,

7 Τι είναι Γραμμική Άλγεβρα; Γραμμή στο επίπεδο: y = ax +b, cy +dx = f

8 Τι είναι Γραμμική Άλγεβρα; Γραμμή στο επίπεδο: y = ax +b, cy +dx = f Γραμμή στις τρείς διαστάσεις:

9 Τι είναι Γραμμική Άλγεβρα; Γραμμή στο επίπεδο: y = ax +b, cy +dx = f Γραμμή στις τρείς διαστάσεις: cy +dx +ez = f,

10 Τι είναι Γραμμική Άλγεβρα; Γραμμή στο επίπεδο: y = ax +b, cy +dx = f Γραμμή στις τρείς διαστάσεις: cy +dx +ez = f, a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 = f

11 Τι είναι Γραμμική Άλγεβρα; Γραμμή στο επίπεδο: y = ax +b, cy +dx = f Γραμμή στις τρείς διαστάσεις: cy +dx +ez = f, a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 = f Γραμμή στις n διαστάσεις:

12 Τι είναι Γραμμική Άλγεβρα; Γραμμή στο επίπεδο: y = ax +b, cy +dx = f Γραμμή στις τρείς διαστάσεις: cy +dx +ez = f, a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 = f Γραμμή στις n διαστάσεις: a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n = f

13 Τι είναι Γραμμική Άλγεβρα; Γραμμή στο επίπεδο: y = ax +b, cy +dx = f Γραμμή στις τρείς διαστάσεις: cy +dx +ez = f, a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 = f Γραμμή στις n διαστάσεις: a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n = f

14 Τι είναι Γραμμική Άλγεβρα; Γραμμές στις n διαστάσεις:

15 Τι είναι Γραμμική Άλγεβρα; Γραμμές στις n διαστάσεις: a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n = f 1 b 1 x 1 +b 2 x 2 + +b n x n = f 2 Γραμμές στις n διαστάσεις:.

16 Τι είναι Γραμμική Άλγεβρα; Γραμμές στις n διαστάσεις: a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n = f 1 b 1 x 1 +b 2 x 2 + +b n x n = f 2 Γραμμές στις n διαστάσεις:. a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2 + +a 1,n x n = f 1 a 2,1 x 1 +a 2,2 x 2 + +a 2,n x n = f 2. a i,1 x 1 +a i,2 x 2 + +a i,n x n = f i. a n,1 x 1 +a n,2 x 2 + +a n,n x n = f n

17 Τι είναι Γραμμική Άλγεβρα; Γραμμές στις n διαστάσεις: a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n = f 1 b 1 x 1 +b 2 x 2 + +b n x n = f 2 Γραμμές στις n διαστάσεις:. a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2 + +a 1,n x n = f 1 a 2,1 x 1 +a 2,2 x 2 + +a 2,n x n = f 2. a i,1 x 1 +a i,2 x 2 + +a i,n x n = f i. a n,1 x 1 +a n,2 x 2 + +a n,n x n = f n

18 Γραμμική Άλγεβρα είναι κυρίως η μελέτη του παρακάτω συνόλου εξισώσεων: a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2 + +a 1,n x n = f 1 a 2,1 x 1 +a 2,2 x 2 + +a 2,n x n = f 2. a i,1 x 1 +a i,2 x 2 + +a i,n x n = f i. a m,1 x 1 +a m,2 x 2 + +a m,n x n = f m

19 Γραμμική Άλγεβρα είναι κυρίως η μελέτη του παρακάτω συνόλου εξισώσεων: a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2 + +a 1,n x n = f 1 a 2,1 x 1 +a 2,2 x 2 + +a 2,n x n = f 2. a i,1 x 1 +a i,2 x 2 + +a i,n x n = f i. a m,1 x 1 +a m,2 x 2 + +a m,n x n = f m Το παραπάνω λέγεται σύστημα αγεβρικών γραμμικών εξισώσεων.

20 Χαρακτηριστικά Γραμμικής Άλγεβρας Εύκολη

21 Χαρακτηριστικά Γραμμικής Άλγεβρας Εύκολη Ομορφη

22 Χαρακτηριστικά Γραμμικής Άλγεβρας Εύκολη Ομορφη Χρήσιμη

23 Χαρακτηριστικά Γραμμικής Άλγεβρας Εύκολη Ομορφη Χρήσιμη Σημαντική

24 Εξίσωση ευθείας γραμμής φιγς/λινεεχνα.πδφ

25 Εξίσωση ευθείας γραμμής y = mx +b φιγς/λινεεχνα.πδφ

26 Εξίσωση ευθείας γραμμής y = mx +b y mx = b φιγς/λινεεχνα.πδφ

27 Εξίσωση ευθείας γραμμής φιγς/λινεεχνβ.πδφ y = mx +b y mx = b x 2 mx 1 = b

28 Εξίσωση ευθείας γραμμής φιγς/λινεεχνβ.πδφ y = mx +b y mx = b x 2 mx 1 = b mx 1 +x 2 = b

29 Εξίσωση ευθείας γραμμής φιγς/λινεεχνβ.πδφ y = mx +b y mx = b x 2 mx 1 = b mx 1 +x 2 = b ( a 2 0) a 1 x 1 +a 2 x 2 = b

30 Γραμμική εξίσωση ως προς τις εξής μεταβλητές x 1,...,x n : a 1 x 1 +a 2 x a n x n = b όπου οι συντελεστές a 1,...,a n και ενδεχομένως το b είναι γνωστά εκ των προτέρω.

31 Γραμμική εξίσωση ως προς τις εξής μεταβλητές x 1,...,x n : a 1 x 1 +a 2 x a n x n = b όπου οι συντελεστές a 1,...,a n και ενδεχομένως το b είναι γνωστά εκ των προτέρω. Λύση είναι μια λίστα αριθμών s 1,...,s n τέτοιων ώστε a 1 s 1 +a 2 s a n s n = b

32 Γραμμική εξίσωση ως προς τις εξής μεταβλητές x 1,...,x n : a 1 x 1 +a 2 x a n x n = b όπου οι συντελεστές a 1,...,a n και ενδεχομένως το b είναι γνωστά εκ των προτέρω. Λύση είναι μια λίστα αριθμών s 1,...,s n τέτοιων ώστε a 1 s 1 +a 2 s a n s n = b Παράδειγμα 1: Για την εξίσωση της γραμμής a 1 x 1 +a 2 x 2 = b: Το ζεύγος s 1,s 2 είναι λύση το σημείο (s 1,s 2 ) βρίσκεται πάνω στην γραμμή.

33 Παράδειγμα 2 Υπολογισμός του τελικού βαθμού στο μάθημα: x 1 ο βαθμός της τελικής εξέτασης μου x 2 ο μέσος όρος των βαθμών των εξετάσεων προόδου μου x 3 ο μέσος όρος των βαθμών των τεστ μου x 4 ο βαθμός συμμετοχής στο μάθημα

34 Παράδειγμα 2 Υπολογισμός του τελικού βαθμού στο μάθημα: x 1 ο βαθμός της τελικής εξέτασης μου x 2 ο μέσος όρος των βαθμών των εξετάσεων προόδου μου x 3 ο μέσος όρος των βαθμών των τεστ μου x 4 ο βαθμός συμμετοχής στο μάθημα Γραμμική εξίσωση 0.5x x x x 4 = 7

35 Σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών εξισώσεων:

36 Σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών εξισώσεων: a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 +a m2 x a mn x n = b m

37 Σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών εξισώσεων: a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 +a m2 x a mn x n = b m Λύση του συστήματος είναι μια λίστα s 1,...,s n R η οποία αποτελεί λύση όλων των m εξισώσεων ταυτόχρονα.

38 Σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών εξισώσεων: a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 +a m2 x a mn x n = b m Λύση του συστήματος είναι μια λίστα s 1,...,s n R η οποία αποτελεί λύση όλων των m εξισώσεων ταυτόχρονα. Δηλαδή, όλες οι m εξισώσεις αληθεύουν όταν x 1 = s 1,x 2 = s 2,...,x n = s n..

39 Παράδειγμα a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2

40 Παράδειγμα a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Λύση η τομή των δύο γραμμών: φιγς/λινεπαιρα.πδφ

41 Παράδειγμα a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Λύση η τομή των δύο γραμμών: φιγς/λινεπαιρα.πδφ Παράδειγμα: 1x 1 +2x 2 = 3 2x 1 +1x 2 = 3 (x 1,x 2 ) = (1,1)

42 Άλλες πιθανότητες: φιγς/λινεπαιρβ.πδφ

43 Άλλες πιθανότητες: 1x 1 +2x 2 = 3 1x 1 +2x 2 = 4 φιγς/λινεπαιρβ.πδφ ασυνέπεια

44 Άλλες πιθανότητες: 1x 1 +2x 2 = 3 1x 1 +2x 2 = 4 φιγς/λινεπαιρβ.πδφ ασυνέπεια 1x 1 +2x 2 = 3 2x 1 +4x 2 = 6 αοριστία

45 Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα

46 Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα Δεν υπάρχει καμμία λύση

47 Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα Δεν υπάρχει καμμία λύση Υπάρχει μια μοναδική λύση

48 Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα Δεν υπάρχει καμμία λύση Υπάρχει μια μοναδική λύση Υπάρχει απειρία λύσεων

49 Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα Δεν υπάρχει καμμία λύση Υπάρχει μια μοναδική λύση Υπάρχει απειρία λύσεων Στόχοι: Μελέτησε το ποιό ενδεχόμενο ισχύει.

50 Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα Δεν υπάρχει καμμία λύση Υπάρχει μια μοναδική λύση Υπάρχει απειρία λύσεων Στόχοι: Μελέτησε το ποιό ενδεχόμενο ισχύει. Δώσε την λύση αν είναι μοναδική.

51 Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα Δεν υπάρχει καμμία λύση Υπάρχει μια μοναδική λύση Υπάρχει απειρία λύσεων Στόχοι: Μελέτησε το ποιό ενδεχόμενο ισχύει. Δώσε την λύση αν είναι μοναδική. Βρές έναν τρόπο να περιγράψεις όλες τις λύσεις όταν αυτές είναι πολλές.

52 Η κρίσιμη πληροφορία βρίσκεται στα a ij,b i.

53 Η κρίσιμη πληροφορία βρίσκεται στα a ij,b i. Άρα τοποθέτησε όλους αυτούς τους αριθμούς σε έναν πίνακα a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2. a m1 x a mn x n = b m

54 Η κρίσιμη πληροφορία βρίσκεται στα a ij,b i. Άρα τοποθέτησε όλους αυτούς τους αριθμούς σε έναν πίνακα a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2 a m1 x a mn x n = b m. a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn m n πίνακας συντελεστών

55 Η κρίσιμη πληροφορία βρίσκεται στα a ij,b i. Άρα τοποθέτησε όλους αυτούς τους αριθμούς σε έναν πίνακα a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2 a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn m n πίνακας συντελεστών a m1 x a mn x n = b m. a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m m (n+ 1) επαυξημένος πίνακας

56 Μελετήστε το σύστημα 3x 1 +2x 2 +4x 3 = 0 x 1 x 2 +2x 3 = 1 2x 1 +2x 2 +3x 3 = 2 x 1 +x 3 = 3