Πράξεις διανυσμάτων. Πρόσθεση. Αφαίρεση. Συντεταγμένες στο επίπεδο. Συντεταγμένες διανύσματος και. Συντεταγμένες μέσου ευθυγράμμου τμηματος

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πράξεις διανυσμάτων. Πρόσθεση. Αφαίρεση. Συντεταγμένες στο επίπεδο. Συντεταγμένες διανύσματος και. Συντεταγμένες μέσου ευθυγράμμου τμηματος"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ Πράξεις διανυσμάτων Πρόσθεση Αφαίρεση Συντεταγμένες στο επίπεδο Συντεταγμένες διανύσματος με (x 1, y1) (x, y ) (x x, y y ) 1 Συντεταγμένες μέσου ευθυγράμμου τμηματος x M x x M y y y 1 ΣΤΕΛΙΟΣ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

2 Μέτρο διανύσματος x y Εσωτερικό γινόμενο Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου x x y y Ευθεία Τύποι εξίσωσης ευθείας Συντελεστής Διεύθυνσης y ax x By y y ( x x ) ΣΤΕΛΙΟΣ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

3 y y x x Δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης Κύκλος Τύποι εξίσωσης κύκλου Κέντρο-Ακτίνα C : x y Κέντρο (,) ακτίνα ρ C:( x x) ( y y) Κέντρο (x,y ) ακτίνα ρ 3 ΣΤΕΛΙΟΣ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

4 C: x y Ax By Παριστάνει κύκλο όταν 4 Κέντρο, ακτίνα 4 Έλλειψη Τύποι εξίσωσης έλλειψης Στοιχεία έλλειψης Εστίες Ε (-γ,),ε(γ,) Κορυφές Α (-α,),α(α,) x y Β (,-β),β(,β) 1 a Μεγάλος άξονας Α Α με με (Α Α)= α Μικρός άξονας Β Β=β με (Β Β)= β x με y 1 Εστίες Ε (,-γ),ε(,γ) Κορυφές Α (,-α),α(,α) Β (-β,),β(β,) Μεγάλος άξονας Α Α με (Α Α)= α Μικρός άξονας Β Β=β με (Β Β)= β Υπερβολή Τύποι εξίσωσης υπερβολής Στοιχεία υπερβολής Εστίες Ε (-γ,),ε(γ,) Κορυφές Α (-α,),α(α,) x y 1 Εκκεντρότητα a με Ασύμπτωτες ( 1) : y x, a ( ) : y x a 4 ΣΤΕΛΙΟΣ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

5 y x 1 με Εστίες Ε (,-γ),ε(,γ) Κορυφές Α (,-α),α(,α) Εκκεντρότητα Ασύμπτωτες ( 1) : y x, ( ) : y x 5 ΣΤΕΛΙΟΣ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

6 Η Γεωμετρία των μιγαδικών Γεωμετρικός τόπος λέγεται το σύνολο σημείων που έχουν μια κοινή, χαρακτηριστική ιδιότητα Παραθέτουμε έναν πίνακα βασικών γεωμετρικών τόπων (γτ) ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ z z1 z z όπου z 1,z γνωστοί μιγαδικοί αριθμοί Αν A(z 1), B(z ) Μ(z) οι εικόνες των μιγαδικών z 1,z z αντίστοιχα, τότε MA MB Η μεσοκάθετος ε του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ Κύκλος με κέντρο K(z ) ακτίνα ρ zz όπου z (μιγαδικός) ρ> Αν K(z ) Α(z) οι εικόνες των z, z αντίστοιχα, τότε KA Έλλειψη με εστίες Ε(z 1) E (z ) z z1 z z όπου z 1, z γνωστοί μιγαδικοί, α z z z1=β,z=-β ή z1=βi,z=-βi,β> Αν M( z), E(z ), E (z ) οι εικόνες των z,z,z αντίστοιχα, τότε ME ME 6

7 z z1 z z όπου z 1, z γνωστοί μιγαδικοί, z z z1=β,z=-β ή z1=βi,z=-βi,β> Αν Mz ( ), E(z ), E (z ) οι εικόνες των z,z,z αντίστοιχα, τότε ME ME Υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε (z 1) E (z ) z z1 z z όπου z 1,z γνωστοί μιγαδικοί, α z z α z1=β,z=-β ή z1=βi,z=-βi,β> Αν Mz ( ), E(z ), E (z ) οι εικόνες των z,z,z αντίστοιχα, τότε ME ME Ο αριστερός κλάδος της υπερβολής με εστίες τα σημεία Ε (z 1) E (z ) z z z z1 όπου z 1,z γνωστοί μιγαδικοί, α z z α z1=β,z=-β ή z1=βi,z=-βi,β> Αν Mz ( ), E(z ), E (z ) οι εικόνες των z,z 1,z αντίστοιχα, τότε ME ME Ο δεξιός κλάδος της υπερβολής με εστίες τα σημεία Ε (z 1) E (z ) 7

8 ΜΕΓΙΣΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΜΕΤΡΟ z, z min max Γεωμετρικός τόπος Ελάχιστο μέτρο Μέγιστο μέτρο Εύρεση μιγαδικού (OK) d(o, ) Δεν υπάρχει Βρίσκουμε τον συντελεστή της ε ( ) d(o, ) Είναι Βρίσκουμε τον συντελεστή της ΟΚ με : x By Είναι λ ΟΚ λ ε 1 Βρίσκουμε τη εξίσωση της ΟΚ Είναι : y x Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Λύνουμε το σύστημα του z είναι η ευθεία ε των ΟΚ, ε βρίσκουμε το σημείο Κ που είναι η εικόνα του ζητούμενου μιγαδικού Βρίσκουμε τον OA OK O OK συντελεστή της ΟΚ y Είναι x Βρίσκουμε τη εξίσωση της ΟΚ Είναι : y x Λύνουμε το σύστημα των ΟΚ, C βρίσκουμε τα σημεία Α Β Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι κύκλος κέντρου Κ(z) ακτίνας ρ C : z z ή x x y y 8

9 Γεωμετρικός τόπος Ελάχιστο μέτρο Μέγιστο μέτρο Εύρεση μιγαδικού Αν η έλλειψη έχει εστίες στον x x,τότε: Το ελάχιστο μέτρο το έχουν οι μιγαδικοί Είναι τα μήκη Είναι τα μήκη z1 i z i ( ) ( ) ( ) ( ) Το μέγιστο μέτρο το έχουν οι μιγαδικοί z3 a z4 a Αν η έλλειψη έχει εστίες στον άξονα y y, Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z είναι η έλλειψη τότε: το ελάχιστο μέτρο το z z z z α έχουν οι μιγαδικοί C: ή x a y 1 Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z είναι η υπερβολή z z z z a C: ή x a y 1 Είναι τα μήκη ( ) ( ) Δεν υπάρχει z1 z Το μέγιστο μέτρο το έχουν οι μιγαδικοί z3 i z4 i Αν η υπερβολή έχει εστίες στον x x,τότε: Το ελάχιστο μέτρο το έχουν οι μιγαδικοί z1 a z a Αν η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα y y, τότε: Το ελάχιστο μέτρο το έχουν οι μιγαδικοί z1 ai z ai 9

10 Γεωμετρικός τόπος ΜΕΓΙΣΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΜΕΤΡΟ z w Ελάχιστο μέτρο z w Μέγιστο μέτρο z w Εύρεση μιγαδικού Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε το Μ είναι η εικόνα του w x yi ( MK) d( M, ) x y με : x By Δεν υπάρχει Βρίσκουμε τον συντελεστή της ε Είναι Βρίσκουμε τον συντελεστή της MΚ Είναι 1 Βρίσκουμε τη εξίσωση της ΜΚ Είναι : y y (x x ) Λύνουμε το σύστημα των MΚ, ε βρίσκουμε το σημείο Κ που είναι η εικόνα του ζητούμενου μιγαδικού Αν, τότε, οπότε : y ym Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία των εικόνων του w 1 είναι η ευθεία x y ( ) x, y Όπου τυχαίο σημείο της 1 που βρίσκουμε αντικαθιστώντας στην εξίσωση της,όπου 1 x μια τυχαία τιμή x προσδιορίζοντας το αντίστοιχο y : x By Δεν υπάρχει Υπάρχουν άπειρα ζεύγη z,w για τα οποία το z w γίνεται ελάχιστο Για να βρούμε όμως ένα από αυτά κάνουμε τα εξής: Βρίσκουμε ένα τυχαίο σημείο της,δηλαδή 1 αντικαθιστούμε στην εξίσωση της 1 όπου x μια τυχαία τιμή x προσδιορίζουμε y Τότε M x,y Βρίσκουμε τον συντελεστή της τον συντελεστή 1 της κάθετής ΚΜ Είναι 1 Βρίσκουμε τη εξίσωση της ΜΚ λύνουμε το σύστημα των ΜΚ, βρίσκουμε το Κ Οι ζητούμενοι μιγαδικοί z,w έχουν εικόνες τα Μ,Κ αντίστοιχα 1

11 Γεωμετρικός τόπος Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος C: x x y y Και η εικόνα του w είναι το σημείο Μ Ελάχιστο μέτρο z w (MK) Μέγιστο μέτρο z w Εύρεση μιγαδικού Βρίσκουμε τον συντελεστή y ym της ΜΚΕίναι λ MΚ x x Μ Βρίσκουμε την εξίσωση της ΜΚ Είναι : y y (x x ) Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων της ΜΚ με τον κύκλο βρίσκουμε τα σημεία Α,Β, όπου το Α είναι η εικόνα του z με το ελάχιστο z w το Β είναι η εικόνα του z με το μέγιστο z w Βρίσκουμε τον συντελεστή της ε Είναι Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος C: x x y y Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w είναι η ευθεία : x By (AM) d(k, ) x y Δεν υπάρχει Βρίσκουμε τον συντελεστή της MΚ Είναι 1 Βρίσκουμε τη εξίσωση της ΜΚ Είναι MΚ : y y λ x x Ο Κ Λύνουμε τα συστήματα των MΚ, ε βρίσκουμε το σημείο Μ των ΜΚ, C βρίσκουμε το Α Οι ζητούμενοι μιγαδικοί z,w για τους οποίους το z w γίνεται ελάχιστο έχουν εικόνες τα Α,Μ αντίστοιχα 11

12 Γεωμετρικός τόπος Ελάχιστο μέτρο Μέγιστο μέτρο Εύρεση μιγαδικού Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z,w είναι ο ίδιος κύκλος κέντρου (z ) ακτίνας ρ C: z z ή x x y y Οι γεωμετρικοί τόποι των z,w είναι οι κύκλοι (x x ) (y y ) (x x ) (y y ) Με κέντρα (x 1, y 1), (x,y ) ακτίνες 1, Το μέτρο z w έχει ελάχιστη τιμή το γιατί οι εικόνες των z,w μπορεί να ταυτίζονται ( ) ( ) Η μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων του ίδιου κύκλου είναι η διάμετρος Δηλαδή z w max ( ) ( ) Υπάρχουν άπειρα ζεύγη z,w για τα οποία το z w γίνεται μέγιστο Για να βρούμε ένα από αυτά τα ζεύγη κάνουμε τα εξής: Βρίσκουμε τυχαίο σημείο του κύκλου, αντικαθιστώντας στην εξίσωσή του μια τυχαία τιμή του x Έστω x x Υπολογίζουμε το αντίστοιχο y Τότε (x,y ) Το αντιδιαμετρικό σημείο Β του Α θα βρεθεί από τις σχέσεις: xa xb xk ya yb yk Οι ζητούμενοι μιγαδικοί z,w έχουν εικόνες τα Α,Β Βρίσκουμε την εξίσωση της ΚΛ Λύνουμε τα συστήματα των ΚΛ, C1 ΚΛ,C βρίσκουμε τα σημεία Α,Β Γ,Δ αντίστοιχα Οι μιγαδικοί z,w με το ελάχιστο z w, έχουν εικόνες τα σημεία Β,Γ αντίστοιχα οι μιγαδικοί z,w με το μέγιστο z w, έχουν εικόνες τα σημεία Α,Δ αντίστοιχα 1

13 Γεωμετρικός τόπος Ελάχιστο μέτρο Μέγιστο μέτρο Εύρεση μιγαδικού Ο γεωμετρικοί τόπος του z είναι ο κύκλος (c1) : x y με κέντρο Ο(,) ακτίνα ρ ο γεωμετρικός τόπος του w x y είναι η έλλειψη 1 a Είναι το ευθύγραμμο τμήμα (ΒΣ)=( Β Ρ)=β-ρ Είναι το ευθύγραμμο τμήμα (ΑΜ)=( Α Π)=α+ρ Όταν οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα χ χ Οι μιγαδικοί z, w για τους οποίους το z-w είναι ελάχιστο έχουν εικόνες τα σημεία Σ,Β (ή τα σημεία Ρ,Β )Το σημείο Β έχει συντεταγμένες (,β) το σημείο Σ έχει συντεταγμένες (,ρ) (Το σημείο Β έχει συντεταγμένες (,-β) το σημείο Ρ έχει συντεταγμένες (,-ρ) ) Ο γεωμετρικοί τόπος του z είναι ο κύκλος (c1) : x y με κέντρο Ο(,) ακτίνα ρ ο γεωμετρικός τόπος του w x y είναι η έλλειψη 1 a Είναι το ευθύγραμμο τμήμα (ΒΣ)=( Β Ρ)=β-ρ Είναι το ευθύγραμμο τμήμα (ΑΜ)=( Α Π)=α+ρ Όταν οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα y y Οι μιγαδικοί z, w για τους οποίους το z-w είναι ελάχιστο έχουν εικόνες τα σημεία Σ,Β (ή τα σημεία Ρ,Β )Το σημείο Β έχει συντεταγμένες (β,) το σημείο Σ έχει συντεταγμένες (ρ,) (Το σημείο Β έχει συντεταγμένες (-β,) το σημείο Ρ έχει συντεταγμένες (-ρ,) ) 13

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ..: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Ο κύκλος Στέλιος Μιταήλογλοσ wwwaskisopolisgr Κύκλος Εξίσωση κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με M x, y του κέντρο το σημείο 0

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΙ ΤΠΙ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ ΣΥΝΤΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΠΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΥ Α( 1, y 1 ΑΠ ΤΗΝ ΑΡΧΗ (0, 0 των αξόνων: (A = + y 1 1 Αν έχουμε τον μιγαδικό αριθμό 1 = 1 + i y 1 με εικόνα στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε.

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) Του Κώστα Βακαλόπουλου Στο άρθρο που ακολουθεί παραθέτουμε μια σειρά από ασκήσεις στις οποίες συνυπάρχουν άλλοτε αρμονικά και άλλοτε ανταγωνιστικά οι δύο βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Ε_.ΒΜλΘ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

x y Ax By 0 για τις διάφορες τιμές των Α, Β,Γ (μον.8)

x y Ax By 0 για τις διάφορες τιμές των Α, Β,Γ (μον.8) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 94 Ον/μο:.. Β Λυκείου Ύλη:Διανύσματα- Ευθεία Θετ-Τεχν Κατ. Κωνικές τομές 6-01-14 ΘΕΜΑ 1 ο : A.1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(x 0,y 0

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) . Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ www.thetiko.gr 1. Λάθος. Λάθος 3. Σωστό. Λάθος 5. Λάθος 6. Λάθος 7. Σωστό 8. Λάθος 9. Λάθος 10. Λάθος 11. Λάθος 1. Σωστό 13. Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 10/4/017 ΕΩΣ /4/017 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τετάρτη 1 Απριλίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του

Διαβάστε περισσότερα

2(z 2) οι εικόνες των z 1

2(z 2) οι εικόνες των z 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ 3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου Θεωρούμε το

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε τα µέτρα των µιγαδικών : 1 + i, 1 i, 3 + 4i, 3 4i, 5i, 4, 1 i, 1 i.

2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε τα µέτρα των µιγαδικών : 1 + i, 1 i, 3 + 4i, 3 4i, 5i, 4, 1 i, 1 i. .3 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 00-0 A Οµάδας. Να βρείτε τα µέτρα των µιγαδικών : +,, 3 +, 3, 5,, ( ) ( + ), ( ) ( + ), και +, 3+ 3 + + + ( ) 3+ 3 3 + 5 5 3 + ( ) 5 5 5 5 5. 5 + + (οι +, είναι συζυγείς,

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγισεις. Γεωμετρικοι Τοποι. Επ ι με λ ε ι α : Τακης Τσακαλακ ος

Προσεγγισεις. Γεωμετρικοι Τοποι. Επ ι με λ ε ι α : Τακης Τσακαλακ ος Προσεγγισεις Γεωμετρικοι Τοποι Επ ι με λ ε ι α : Τακης Τσακαλακ ος Τ ο π ο ι ( Δ ι α ν υ σ μ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Ισοτητα μετρων παραστασεων διανυσματων. Z η τ ο υ μ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 1) Δίνονται διανύσματα α και β, με α π = 4 και (α, β ) = 3 Αν ισχύει ότι το α (α + 2β ) = 28, να βρείτε: α) το εσωτερικό γινόμενο α β, β) το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της Γεωμετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 x y

x 2 + y 2 x y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Αναλυτική Γεωμετρία Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Αναλυτική Γεωμετρία 4.1 Εξίσωση Καμπύλης Έστω C μια καμπύλη στο R. H C αποτελείται από άπειρα σημεία Μ(x,y). Έξίσωση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η ισότητα στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζεται από την ισοδυναµία: α +βi = γ + δi α = γ και β = δ. Σ Λ. * Αν z = α + βi, α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2015 Διάρκεια: 3 ώρες

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2015 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 5 Διάρκεια: 3 ώρες A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν f ()

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι.

ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Σύγχρονο www.fasma.fro.gr ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο Κατά το πέρας της εξέτασης οι λύσεις θα αναρτηθούν στο και στο site του φροντιστηρίου. 5ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= 32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Υπερβολής

Μεθοδολογία Υπερβολής Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ο κύκλος x + y = 5 και οι εφαπτόµενες σ αυτόν από το σηµείο Μ(0, 0). Αν Α και Β είναι τα σηµεία επαφής, να βρείτε Τις εξισώσεις των εφαπτόµενων Τις συντεταγµένες των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στους ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ.Περιγράψτε το σύνολο των μιγαδικών αριθμών και δώστε τους ορισμούς της πρόσθεσης, του πολ/σμού και της ισότητας δύο μιγαδικών αριθμών.(σελ. 86-87, τα μπλε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ÅÐÉËÏÃÇ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Σάββατο 8 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Α1. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελίδα 83 Α2. α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς ιδάσκων : Αντώνης Λουτράρης Μαθηµατικός M.S.c Αύγουστος, 2012 Σελίδα 1 Ο συντοµότερος δρόµος ανάµεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Επίσης. Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Επίσης. Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΡΑΝΙΑΣ - ΒΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ. Έστω σημεία Α,Β,Γ του επιπέδου και Ο σημείο αναφοράς.αν ισχύει 2, 2

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΡΑΝΙΑΣ - ΒΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ. Έστω σημεία Α,Β,Γ του επιπέδου και Ο σημείο αναφοράς.αν ισχύει 2, 2 Άσκηση 1 η Έστω σημεία Α,Β,Γ του επιπέδου και Ο σημείο αναφοράς.αν ισχύει,, 1 και 4 5 0. i. Να δείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. ii. iii. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Να βρεθεί το

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1. .. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 94 97 Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. Ε ι σ α γ ω γ ή Στο 3 ο θέμα των μαθηματικών θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης του 006, δίνονταν τρεις μιγαδικοί,, 3 με = = 3 = και + + 3 = 0 και, μεταξύ άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητής : Νικόλαος. Κατσίπης 19 Απριλίου 2013 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας εύχοµαι καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της ευθείας θα πρέπει να είναι σε θέση: Να βρίσκει τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας Να διατυπώνει τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών, και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. , για. a 0. (8 μονάδες) Γ. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις:

Θέματα. , για. a 0. (8 μονάδες)  Γ. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: Θέματα Θέμα 1 Α. Να δώσετε τον ορισμό της παραβολής. (5 μονάδες) Β. Να αποδείξετε ότι a v a, για a 0. (8 μονάδες) Γ. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ισχύει Σ Λ ii)

Διαβάστε περισσότερα