ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

2 Επίλυση συστήματος εξισώσεων Υποθέστε ότι: Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 20. Ποιοι είναι οι αριθμοί; Έστω ότι οι δύο αριθμοί παριστάνονται με x και y. Γνωρίζουμε όμως, ότι x+y = 20. Υπάρχουν άπειρα ζεύγη τα οποία είναι λύσεις αυτής της εξίσωσης, όπως τα ( 0,0), (4,6) κ.α Μπορούμε την παραπάνω εξίσωση να τη γράψουμε ως εξής: x = 20-x Αυτή η εξίσωση δίνει τον x συναρτήσει του y. Για οποιαδήποτε τιμή του y, στην εξίσωση υπάρχει μια αντίστοιχη τιμή του x. Σελίδα

3 2 Αν οι x και y πληρούν και μια δεύτερη συνθήκη, τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε ποιο από αυτά τα ζεύγη ικανοποιεί την εξίσωση. Για παράδειγμα, αν γνωρίζουμε ότι εκτός από την παραπάνω συνθήκη υπάρχει και μια δεύτερη όπως, ότι ο ένας από τους αριθμούς είναι τετραπλάσιος από τον άλλο, τότε θα υπάρχει μόνο ένα ζεύγος τιμών που θα ικανοποιεί και τις δύο συνθήκες. Δηλαδή αν x+y = 20 () x = 4y (2) τότε αντικαθιστώντας την (2) στην () έχουμε: 4y +y = 20 ή 5y = 20 ή y = 4 Άρα η μοναδική λύση η οποία ικανοποιεί και τις δύο εξισώσεις είναι η y = 4 και x = 4y ή x = 4 4= 6. Παραπάνω χρησιμοποιήσαμε μία από τις μεθόδους επίλυσης συστημάτων, την μέθοδο της αντικατάστασης. Η αλγεβρική επίλυση των συστημάτων γίνεται με τρεις τρόπους : Με αντικατάσταση Με αντίθετους συντελεστές Με ορίζουσες Σελίδα 2

4 Την μέθοδο της αντικατάστασης την εφαρμόσαμε παραπάνω, τώρα θα λύσουμε ένα σύστημα με τη μέθοδο της απαλοιφής με αντίθετους συντελεστές. 3 Έστω το σύστημα: x+y = 5 () 3x- y = 2(2) Αν τα αριστερά μέλη προστεθούν το y θα απαλειφθεί. Έτσι είναι! Αν προσθέσουμε τα αριστερά μέλη θα έχουμε: (+y) +( -y) = 0 To αποτέλεσμα θα είναι να παραμείνει μόνο το x. Επομένως x+y = 5 3x- y = 2 4x = 36 ή x = 36 : 4 = 9 Αντικαθιστούμε την τιμή του x σε μια από τις εξισώσεις και έχουμε: x+y = 5 ή 9 + y = 5 ή y = 5 9 = 6 Άρα η λύση είναι x = 9 και y = 6 Σελίδα 3

5 Στο παραπάνω παράδειγμα προσθέτοντας τα αριστερά μέλη απαλειφόταν το y. Στο επόμενο δεν θα απαλείφεται έτσι απλά και θα πρέπει να να δημιουργήσουμε εμείς αντίθετους συντελεστές για το χ ή το y. Επομένως θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της μιας εξίσωσης ή και των δύο με κατάλληλους συντελεστές ώστε να απαλείψουμε τον ένα άγνωστο. 4 Επιλέγουμε ένα άγνωστο και δημιουργούμε σε αυτόν αντίθετους συντελεστές πολ/ζοντας και τις δύο εξισώσεις με κατάλληλους αριθμούς. Για παράδειγμα Έστω το σύστημα: 3χ - y = 4 χ - y = 4 Λύση : Επιλέγουμε να απαλείψουμε τυχαία τον χ,αλλά θα μπορούσαμε με τον ίδιο τρόπο να απαλείψουμε τον y. 3χ - y = 4 3χ - y = 4 3χ - y = 4 3χ - y = 4 3χ - y = 4 3χ +4 = 4 = = = = = χ - y = 4-3 χ - y = 4-3χ + 3y = -2 2y = - 8 y=-4 y = -4 χ = 0 y = -4 Σελίδα 4

6 Άρα η λύση του συστήματος είναι η (0,-4). 5 Εφαρμογή 2x 3y =4 4x - 6y = 38 2x 3y =4-2 -4x +6y = -28-4x +6y = -28 4x - 6y = 38 4x - 6y = 38 0x +0y = 0 H εξίσωση είναι αδύνατη, επομένως το σύστημα δεν έχει λύση. Αν από την πρόσθεση των εξισώσεων αντί της 0x +0y = 0 προέκυπτε η 0x +0y = 0, τότε το σύστημα θα ήταν αόριστο. Μετατροπή μη γραμμικών συστημάτων σε γραμμικά ) Έστω το σύστημα εξισώσεων: χ + y = 5 χ y = Οι εξισώσεις του συστήματος ορίζονται, όταν χ 0 και y 0. Το δεδομένο σύστημα δεν είναι γραμμικό. Θα το μετατρέψουμε σε γραμμικό με τον εξής απλό τρόπο: Θέτουμε χ = α και y = β Σελίδα 5

7 Οπότε έχουμε: 6 α + β = 5 α + β = 5 α + β = 5 3+β = 5 β = 2 α β = 2α = 6 α = 3 α = 3 α = 3 Έχουμε όμως α = 3 και χ = α ή χα = ή χ = /α ή χ = /3 Επιπλέον, β = 2 και 2) y = β ή yβ = ή y = /β ή y = /2 x + y = 3 x y = 2 x y = 2 x (3 x) = 2 3x- x 2 =2 - x 2 +3x =2 x 2-3x = - 2 Είναι β βαθμού οπότε εφαρμόζοντας διακρίνουσα έχουμε Δ= και x = και x 2 = 2 y = 3 = 2 και y = 3 2 = y = 2 και y = x 2-3x + 2 = 0 x = και x 2 = 2 x = και x 2 = 2 x = και x 2 = 2 Αν έστω μια εξίσωση είναι γραμμική, λύνουμε με τη μέθοδο της αντικατάστασης. Σελίδα 6

8 3) Έστω ένα σύστημα που δεν περιέχει γραμμικές εξισώσεις. 7 x 2 + y 2 = 3 x 2 - y 2 = 5 Θέτουμε x 2 = α y 2 = β Οπότε γράφουμε α + β = 3 α + β = 3 α + β = β = 3 β = 3-9 = 4 α β = 5 2α = 8 α = 9 α = 9 α = 9 Προσθέτουμε κατά μέλη. Όμως x 2 = α και y 2 = β Οπότε x 2 = 9 ή x = 3 και y 2 = 4 ή y = 2 Σελίδα 7

9 8 Σελίδα 8