Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
|
|
|
- Ἠώς Λιακόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Αν έχουμε m εξισώσεις (ισότητες) που περιγράφουν μαθηματικά τις σχέσεις μεταξύ n μεταβλητών, έχουμε ένα σύστημα m εξισώσεων με n μεταβλητές, το σύστημα εξισώσεων έχει διαστάσεις m*n Παράδειγμα: Αν για κάποιο προϊόν γνωρίζουμε την συνάρτηση ζήτησης P d =100-5Q και την συνάρτηση προσφοράς P s =10+4Q, έχουμε ένα σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους (P, Q). Η λύση του συστήματος εξισώσεων είναι οι τιμές των αγνώστων P, Q που «επαληθεύουν» και τις 2 εξισώσεις, οικονομικά το σημείο ισορροπίας της αγοράς (προσφορά=ζήτηση). 2 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
3 ΓΡΑΦΙΚΗ ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Σύστημα Εξισώσεων: P d =100-5Q P s =10+4Q 3 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Q P d=100-5q P s =10+4Q Γραφική Παράσταση ΠΡΟΣΦΟΡΑ & ΖΗΤΗΣΗ Pd=100-5Q Ps=10+4Q Σημείο Ισορροπίας Q=10, P=50
4 ΛΥΣΗ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗ: Προσθέτουμε ή αφαιρούμε εξισώσεις του συστήματος για να απαλείψουμε μια μεταβλητή (μπορεί να χρειαστεί και να πολλαπλασιάσουμε). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Σύστημα Εξισώσεων Προσφοράς-Ζήτησης P d =100-5Q (εξ. 1) P s =10+4Q (εξ. 2) Αν αφαιρέσουμε τις 2 εξισώσεις (δηλ. από το αριστερό μέλος της 1 ης το αριστερό μέλος της 2 ης και από το δεξί μέλος της 1 ης το δεξί μέλος της 2 ης ) P d -P s =100-5Q-(10+4Q) Επειδή P d =P s στην ισορροπία θα έχουμε: 0=90-9Q=> 9Q=90 δηλ. μια εξίσωση με 1 άγνωστο και επομένως Q=90/9=10 Αφού βρήκαμε τον ένα άγνωστο Q=10 από μια από τις 2 εξισώσεις θα βρούμε τον άλλο άγνωστο: (εξ. 2) => P=10+4Q => P=10+4*10 => P=50 4 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
5 ΛΥΣΗ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ: Λύνουμε μία από τις εξισώσεις ως προς τον ένα άγνωστο και αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα στην άλλη (-ες) εξίσωση (-εις) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Σύστημα Εξισώσεων Προσφοράς-Ζήτησης P d =100-5Q (εξ. 1) P s =10+4Q (εξ. 2) Επειδή P d =P s στην ισορροπία θα έχουμε αν αντικαταστήσουμε την τιμή του P d από την 1 η εξ. Στην τιμή P s στη 2 η εξ Q=10+4Q => 4Q+5Q= => 9Q=90 => Q=10 Αφού βρήκαμε τον ένα άγνωστο Q=10 από μια από τις 2 εξισώσεις θα βρούμε τον άλλο άγνωστο: (εξ. 2) => P=10+4Q => P=10+4*10 => P=50 5 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
6 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΑΠΑΛΟΙΦΗ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2-3x+2y=5 (1) 4x+3y=-18 (2) Μέθοδος απαλοιφής: Επειδή οι συντελεστές των αγνώστων x,y στις 2 εξισώσεις είναι διαφορετικοί αν θέλουμε να απαλείψουμε το x πρέπει να πολλαπλασιάσουμε την (1) με 4 και την (2) με (-3): (1) 4(-3x+2y)=4*5-12x+8y=20 (3) (2) -3(4x+3y)=(-3)*(-18) -12x-9y=54 (4) Αφαιρώντας (4)-(3): (-12x-9y)-(-12x+8y)= x+12x-9y-8y=34-17y=34 y=34/(-17)=-2 Αφού y=-2 από την (1) θα έχουμε -3x+2(-2)=5-3x=5+4=9 x=9/(-3)=-3 ΕΠΕΙΔΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΑΜΕ ΤΟ x από την (1) ΘΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΣΤΗΝ (2): 4(-3)+3(-2)=-12-6=-18 άρα είναι x=-3 και y=-2 6 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
7 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2-3x+2y=5 (1) 4x+3y=-18 (2) Μέθοδος αντικατάστασης: Λύνουμε την (1) ως προς y (1) 2y=5+3x y=(5+3x)/2 (3) Στην (2) αντικαθιστούμε την (3) (2) και (3) : 4x+3(5+3x)/2=-18 4x+(15+9x)/2=-18 8x+(15+9x)=-36 17x=-36-15=-51 x=-51/17=-3 (4) Αφού x=-3 από την (1) θα έχουμε -3(-3)+2y=5 2y=5-9=-4 y=-4/2=-2 ΕΠΕΙΔΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΑΜΕ ΤΟ y από την (1) ΘΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΣΤΗΝ (2): Ισχύει 4(-3)+3(-2)=-12-6=-18 άρα είναι x=-3 και y=-2 7 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
8 ΛΥΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 2Χ2 Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων 2Χ2 της μορφής: a 1 x+b 1 y=c 1 a 2 x+b 2 y=c 2 Επειδή καθεμιά από τις 2 εξισώσεις αντιστοιχεί γραφικά σε μία ευθεία γραμμή μπορούμε να παρατηρήσουμε όλες τις δυνατές περιπτώσεις ως προς τις λύσεις Y Μοναδική λύση αν τέμνονται οι ευθείες Y Καμία λύση αν οι ευθείες παράλληλες Y Άπειρες λύσεις αν ταυτίζονται οι ευθείες a 2 x+b 2 y=c 2 a 2 x+b 2 y=c 2 a 2 x+b 2 y=c 2 X X X 8 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr a 1 x+b 1 y=c 1 a 1 x+b 1 y=c 1 a 1 x+b 1 y=c 1
9 ΛΥΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 2Χ2 Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων 2Χ2 της μορφής: a 1 x+b 1 y=c 1 a 2 x+b 2 y=c 2 Μοναδική Λύση: Με βάση το γράφημα οι 2 ευθείες πρέπει να τέμνονται, άρα οι κλίσεις των ευθειών θα πρέπει να είναι διαφορετικές! Καμία Λύση (αδύνατο) Με βάση το γράφημα οι 2 ευθείες πρέπει να είναι παράλληλες, άρα οι κλίσεις να είναι ίδιες. 4x+5y=12 8x+10y=20 (8x+10y)/2=20/2 4x+5y=10 επομένως προκύπτει αδύνατο Άπειρες Λύσεις (αόριστο) 4x+5y=12 8x+10y=24 (8x+10y)/2=24/2 4x+5y=12 είναι ίδια εξίσωση με την 1 η, επομένως υπάρχουν άπειρα ζεύγη x,y (σημεία της ευθείας) που επαληθεύουν την 1 εξίσωση: 4x+5y=12 4x=12-5y x=(12-5y)/4 =3-5y/4, επομένως οι λύσεις είναι της μορφής (x,y)=(3-5d/4, d) όπου το d μπορεί να είναι αριθμός. 9 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
10 ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΩΝ ΑΠΟ 2Χ2 2Χ2: Στο σύστημα 2Χ2 με την απαλοιφή ή αντικατάσταση τελικά από το σύστημα 2Χ2 πήραμε σύστημα 1Χ1 (μια εξίσωση με 1 άγνωστο) και βρήκαμε τη λύση (ax=b x=b/a «σύστημα» 1Χ1). ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΑΝΑΦΕΡΟΥΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΣΑΝ ΜΕΘΟΔΟ ΥΠΟΒΙΒΑΣΜΟΥ (ΑΠΌ 2Χ2 => 1Χ1) 3Χ3: Αν έχουμε να λύσουμε ένα σύστημα 3Χ3 χρησιμοποιούμε τη μέθοδο υποβιβασμού αντίστοιχα ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ: Από την μια εξίσωση λύνουμε ως προς 1 άγνωστο και αντικαθιστούμε στις άλλες 2 εξισώσεις. Προκύπτει σύστημα 2Χ2 που ξέρουμε να λύνουμε! ΑΠΑΛΟΙΦΗ: Παίρνουμε 2 ζεύγη 2 εξισώσεων από τις 3 (οι επιλογές είναι 1-2 και 2-3, 1-3 και 2-3) απαλείφουμε από τα 2 ζεύγη τον ίδιο άγνωστο και προκύπτει σύστημα 2Χ2 που ξέρουμε να λύνουμε. 4Χ4: Με αντίστοιχο τρόπο ένα σύστημα 4Χ4 μπορούμε να το υποβιβάσουμε σε 3Χ3 στη συνέχεια 2Χ2 και να το λύσουμε. Επομένως η μέθοδος του υποβιβασμού μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιοδήποτε σύστημα εξισώσεων ΑΛΛΑ για μεγαλύτερα του 3Χ3 έχει πολλές πράξεις. 10 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
11 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3Χ3 Η συνάρτηση προσφοράς προϊόντος είναι της μορφής q=ap 2 +bp+c (τετραγωνική συνάρτηση) και για τις τιμές η παραγωγή είναι αντίστοιχα. Βρείτε τη συνάρτηση προσφοράς. Η καμπύλη (παραβολή) της τετραγωνικής θα περνάει από τα 3 σημεία: (25, 112.5) επομένως 112.5=a25 2 +b25+c 625a+25b+c=112.5 (1) (30, 250) επομένως 250=a30 2 +b30+c 900a+30b+c=250 (2) (40, 600) επομένως 600=a40 2 +b40+c 1600a+40b+c=600 (3) Είναι σύστημα 3 εξισώσεων με 3 αγνώστους (a,b,c) γραμμικό, μπορούμε να απαλείψουμε εύκολα το c από τις (1)(2) και (2)(3): (2)-(1): 275a+5b=137.5 (4) (3)-(2): 700a+10b=350 (5) σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους 11 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
12 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3Χ3 (συνέχεια) (2)-(1): 275a+5b=137.5 (4) (3)-(2): 700a+10b=350 (5) σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους (απαλοιφή b) (5)-2(4): 150a=75 a=75/150 a=1/2 (6) (5) και (6): 700(1/2)+10b= b=350 b=0 (7) (3) (6) (7) : 1600a+40b+c= (1/2)+40*0+c= c=600 c=-200 ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΣΤΗ (2): 900a+30b+c= =250 σωστό! Επομένως a=1/2, b=0, c=-200 και η συνάρτηση προσφοράς: q=ap 2 +bp+c => q=0.5p ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΜΙΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (ΠΑΡΑΒΟΛΗ) ΓΝΩΡΙΖΟΝΤΑΣ 3 ΣΗΜΕΙΑ ΤΗΣ 12 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
13 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ mχn (m εξισώσεις Χ n αγνώστους) Αν m<n δηλ. εξισώσεις λιγότερες από αγνώστους τότε το σύστημα δεν έχει λύση (αδύνατο) ή άπειρες λύσεις (αόριστο). Αν m n δηλ. εξισώσεις περισσότερες από αγνώστους αναγκαίο για μοναδική λύση αλλά όχι απαραίτητα μοναδική λύση (μπορεί το σύστημα να είναι αδύνατο ή αόριστο) ΔΕΝ ΕΊΝΑΙ ΔΥΝΑΤΟ ΝΑ ΕΞΕΤΑΣΟΥΜΕ ΕΥΚΟΛΑ ΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΛΥΣΗ ΑΝ ΔΕΝ ΛΥΣΟΥΜΕ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΕΊΝΑΙ ΔΥΝΑΤΟ ΝΑ ΕΞΕΤΑΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΛΥΣΗΣ (-ΕΩΝ) ΧΩΡΙΣ ΝΑ ΤΟ ΛΥΣΟΥΜΕ [ΕΠΟΜΕΝΗ ΕΝΟΤΗΤΑ] Με τη μέθοδο απαλοιφής και αντικατάστασης είναι δύσκολο να λύσουμε συστήματα μεγαλύτερα από 3Χ3. 13 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
14 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Σημείο ισορροπίας με μη γραμμικές συναρτήσεις προσφοράς-ζήτησης Προσφορά: q s =0.5p Ζήτηση: q d =p 2-100p+2500 p 20 0 p 50 Ισορροπία αγοράς: q s =q d Έχουμε 3 εξισώσεις με 2 αγνώστους (p, q) του σημείου ισορροπίας, σύστημα 3Χ2 άρα μπορεί να έχει μοναδική λύση. q s =q d 0.5p 2-200=p 2-100p p 2-100p+2700=0 (πολυώνυμο 2 ου βαθμού) Δ=b 2-4ac=(-100) 2-4*(0.5)*2700= =4600> 0 άρα 2 λύσεις p 1,p 2 14 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
15 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ b± Δ p 1,p 2 = 2a = ( 100)± Άρα p 1 =32.18 και p 2 = = 100 ± 4600 = 100 ± Προσφορά: q s =0.5p p 20, Ζήτηση: q d =p 2-100p p 50 Εξαιτίας του περιορισμού 0 p 50 απορρίπτουμε την p 2 = Αυτό το κάνουμε γιατί και οι 2 συναρτήσεις είναι παραβολές κυρτές και επομένως στη συνάρτηση προσφοράς ισχύει μόνο το 2 ο κομμάτι της παραβολής (p 20) ενώ στη ζήτηση μόνο το 1 ο κομμάτι (βλέπε σχήμα) 15 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
16 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΛΥΣΗΣ Προσφορά q s =0.5p Zήτηση q p =p 2-100p Προσφορά q s =0.5p Zήτηση q p =p 2-100p Σημεία Τομής συναρτήσεων Μαθηματικά στις καμπύλες των συναρτήσεων έχουμε 2 λύσεις (σημεία τομής) 16 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr τα τμήματα των συναρτήσεων που ικανοποιούν τους οικονομικούς περιορισμούς δίνουν μοναδικό αποδεκτό σημείο τομής
17 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ ΓΙΑ 2 ΠΡΟΪΟΝΤΑ Έστω η ζήτηση για τριαντάφυλλα q 1d και γαρύφαλλα q 2d είναι συνάρτηση των τιμών τους p 1 και p 2 αντίστοιχα: τριαντάφυλλα q 1d =10-5p 1 +3p 2 (όταν αυξηθεί η τιμή του ανταγωνιστικού προϊόντος p 2 αυξάνεται η ζήτηση του q 1d ) γαρύφαλλα q 2d =10+2p 1-6p 2 Οι παραγωγοί παράγουν μόνο τριαντάφυλλα ή μόνο γαρύφαλλα και επομένως η ποσότητα εξαρτάται μόνο από την τιμή του αντίστοιχου προϊόντος: q 1s =3+6p 1 q 2s =4+5p 2 Συνθήκη ισορροπίας στην αγορά: q 1d = q 1s και q 2d = q 2 s Επομένως έχουμε 2+2+2=6 εξισώσεις και 4 αγνώστους q 1, q 2, p 1, p 2 17 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
18 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΑΓΟΡΑΣ ΓΙΑ 2 ΠΡΟΪΟΝΤΑ (συνέχεια) Το σύστημα εξισώσεων 6Χ4 είναι: q 1d =10-5p 1 +3p 2 (1) q 2d =10+2p 1-6p 2 (2) q 1s =3+6p 1 (3) q 2s =4+5p 2 (4) q 1d = q 1s (5) q 2d = q 2s (6) (1) (3) (5) => 10-5p 1 +3p 2 =3+6p 1 => 7-11p 1 +3p 2 =0 (7) (2) (4) (6) => 10+2p 1-6p 2 = 4+5p 2 => 6+2p 1-11p 2 =0 (8) (7)Χ2+(8)Χ11: p 2 =0 => p 2 =58/115=0.504 Από την (7) για p 2 =0.504 βρίσκουμε p 1 =0.774 Από την (3) για p 1 =0.774 έχουμε q 1 =3+6p 1 =7.64 Από την (4) για p 2 =0.504 έχουμε q 2 =4+5p 2 =6.52 Οι Εξ. (7) (8) Σύστημα 2Χ2 18 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
19 ΑΝΑΛΥΣΗ ΝΕΚΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΝΕΚΡΟ ΣΗΜΕΙΟ ΌΤΑΝ ΚΕΡΔΟΣ=0 (ΚΟΣΤΟΣ=ΕΣΟΔΑ) Έστω κόστος αγοράς αεροπλάνου (σταθερό κόστος), λειτουργικό κόστος 100/μίλι, έσοδα 120/μίλι Συμβολίζουμε με x τα μίλια, είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή. Κόστος C(x)= x (1) Έσοδα R(X)=120x (2) Νεκρό σημείο C(x)=R(X) (3) Έχουμε σύστημα 3Χ3: 3 εξισώσεις με 3 αγνώστους C, R, x Εξισώνοντας τις (1) (2): x=120x =20x x=40000 μίλια C(x=40000)= R(X=40000)= ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
20 ΑΝΑΛΥΣΗ ΝΕΚΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ (συνέχεια) ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Π(x) profit=κέρδος Π(x)=R(x)-C(x)= 120x x= x σταθερό κόστος Π(x)= x=0 =>x=800000/20=40000= οριακό κερδος Οριακό κέρδος ο συντελεστής κλίσης της Π(x) ΝΕΚΡΟ ΣΗΜΕΙΟ R(x) 20 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr C(x) ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Π(x)
21 ΑΝΑΛΥΣΗ ΝΕΚΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΝΕΚΡΟ ΣΗΜΕΙΟ ΌΤΑΝ ΚΕΡΔΟΣ=0 (ΚΟΣΤΟΣ=ΕΣΟΔΑ) Έστω Κόστος C(x)=1.5x (1) Έσοδα R(x)=80x (2) Νεκρό σημείο C(x)=R(X) (3) Έχουμε σύστημα 3Χ3: 3 εξισώσεις με 3 αγνώστους C, R, x Π(x)=R(x)-C(x)= 80x-1.5x 2-500=-1.5x 2 +80x-500 Π(x) τετραγωνική, διακρίνουσα Δ=80 2-4*(-1.5)*(-500)= =3400>0 Ρίζες (λύσεις) x 1 =7.23 και x 2 =46.10 (αποδεκτές και οι 2 οικονομικά!) Για x 1 =7.23 έχουμε C(x 1 )= R(x 1 )=578.4, x 2 =46.10, C(x 2 )= R(x 2 )= ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
22 ΑΝΑΛΥΣΗ ΝΕΚΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ Κόστος C(x)=1.5x Έσοδα R(x)=80x Κέρδη Π(x)=-1.5x 2 +80x-500 Για x 1 =7.23 έχουμε C(x 1 )= R(x 1 )=578.4, x 2 =46.10, C(x 2 )= R(x 2 )= x C(x) R(x) , , , , , , ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΝΕΚΡΟ ΣΗΜΕΙΟ Περιοχή κερδών R(x)>C(x) C(x) R(x)
23 ΑΝΑΛΥΣΗ ΝΕΚΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ Κόστος C(x)=1.5x Έσοδα R(x)=80x Κέρδη Π(x)=-1.5x 2 +80x-500 Για x 1 =7.23 έχουμε C(x 1 )= R(x 1 )=578.4, x 2 =46.10, C(x 2 )= R(x 2 )= x C(x) R(x) , , , , , , ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΝΕΚΡΟ ΣΗΜΕΙΟ Περιοχή κερδών R(x)>C(x) C(x) R(x)
24 ΑΝΑΛΥΣΗ ΝΕΚΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ Κέρδη Π(x)=-1.5x 2 +80x-500 Για x 1 =7.23 έχουμε Π(x 1 )=0, x 2 =46.10, Π(x 2 )=0 x Π(x) , , , , , , ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΚΕΡΔΗ Π(x) Π(x)
25 ΝΕΚΡΟ ΣΗΜΕΙΟ ΓΙΑ 2 ΠΡΟΪΟΝΤΑ Σε ένα δρομολόγιο με τραίνο ορίζουμε x f και x s τους επιβάτες 1 ης θέσης και κανονικής θέσης αντίστοιχα. Έστω Κόστος C(x)= x f +20x s Έσοδα R(x)=60x f +30x s Κέρδη Π(x)= R(x)-C(x)=35x f +10x s (προφανώς 60 τιμή εισιτήριου 1 ης θέσης, 30 κανονικής) Νεκρό σημείο Κέρδη Π(x)=0 => 35x f +10x s -3000=0 Είναι 1 εξίσωση με 2 αγνώστους ΑΟΡΙΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ γιατί: αν θέσουμε x f =20 => x s =230 αν θέσουμε x s =160 => x f =1400/35=40... άπειροι συνδυασμοί τιμών x f, x s αποτελούν αποδεκτές λύσεις
26 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (Β 4.1) Μια συνάρτηση τετραγωνική διέρχεται από τα σημεία (2, 182), (4, 168), (10, 150). Να βρεθεί η μαθηματική έκφραση της συνάρτησης: a) Με απαλοιφή b) Με αντικατάσταση. ΕΠΙΛΥΣΗ: Τετραγωνική συνάρτηση y=f(x)=ax 2 +bx+c 3 σημεία της συνάρτησης => 3 σχέσεις (εξισώσεις) 26 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
27 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (Β4.3) Δίνονται οι παρακάτω συναρτήσεις προσφοράς-ζήτησης, να βρεθούν οι οικονομικά αποδεκτές τιμές και ποσότητες ισορροπίας: a) Q s =-2+P 2 και Q d =14-3P 2 b) Q s =-6+3P 2 και Q d =15-2P 2 ΕΠΙΛΥΣΗ: Στην ισορροπία έχουμε Q s =Q d Επίσης επειδή οι συναρτήσεις είναι τετραγωνικές θα έχουμε περιορισμούς στο διάστημα τιμών που είναι συναρτήσεις κατάλληλες για προσφορά-ζήτηση. 27 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
28 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (Β4.2) Σε μια κλειστή οικονομία έστω ισχύουν τα παρακάτω: Κατανάλωση C= Y Επενδύσεις I= r (Y εισόδημα, r επιτόκιο) Ζήτηση χρήματος για συναλλαγές M d1 =0.25Y Ζήτηση χρήματος για κερδοσκοπία M d2 = r Προσφορά χρήματος Ms=2500 Αν εισόδημα=κατανάλωση+επενδύσεις και προσφορά χρήματος=ζήτηση χρ. συναλ.+ζήτηση χρ. Κερδοσκ. ΝΑ βρεθούν οι τιμές ισορροπίας για το εισόδημα Υ και επιτόκιο r. ΕΠΙΛΥΣΗ: Από τα δεδομένα προκύπτουν 2 σχέσεις ισορροπίας με 2 αγνώστους 28 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
29 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (Β4.6) Δίνονται οι συναρτήσεις Προσφοράς-Ζήτησης για 3 αλληλοεξαρτώμενα προϊόντα: Q d1 =45-2P 1 +2P 2-2P 3 Q d2 =16+2P 1 -P 2 +2P 3 Q d3 =30-P 1 +2P 2 -P 3 Q s1 =-5+2P 1 Q s2 =-4+2P 2 Q s3 =-5+P 3 Να υπολογιστούν οι τιμές και ποσότητες ισορροπίας. ΕΠΙΛΥΣΗ: Ισορροπία αγοράς: Q d1 = Q s1, Q d2 = Q s2. 29 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
30 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω συνάρτηση κόστους C(x)=100x x+1000 και τιμή πώλησης του προϊόντος p=2000, x είναι η ποσότητα του προϊόντος. a) Βρείτε το νεκρό σημείο (-α) b) Υπολογίστε το μέγιστο κέρδος και το x για μέγιστο κέρδος. ΕΠΙΛΥΣΗ: Από τιμή πώλησης βρίσκουμε την R(x) και κατόπιν την Π(x) (b) Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης κέρδους 30 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.
Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Συναρτήσεις Συνάρτηση: Μαθηματική σχέση μεταξύ 2 ή περισσότερων μεταβλητών. y=f(x) η μεταβλητή
Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)
Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής
ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Επίλυση συστήματος εξισώσεων Υποθέστε ότι: Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 20. Ποιοι είναι οι αριθμοί;
Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α
Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α β xdx Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Έστω συνάρτηση y=f(x) Ορίζουμε την παράγωγο της f(x)
1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση
ης εργασίας ΕΟ3 03-04 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) Άσκηση.
Γενικά Μαθηματικά. , :: x, :: x. , :: x, :: x. , :: x, :: x
Γενικά Μαθηματικά Κεφάλαιο Εισαγωγή Αριθμοί Φυσικοί 0,,,3, Ακέραιοι 0,,, 3, Ρητοί,, 0 Πραγματικοί Αν, με, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x Συνάρτηση Κάθε διαδικασία αντιστοίχησης η οποία
Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ
Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑ 2Χ2 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2 (2 εξισώσεις
Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους Η/Υ Μαθηματικά
Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους Η/Υ Μαθηματικά Άσκηση 3 (15%) Ι) Για να βρούμε την τιμή και τη ποσότητα ισορροπίας εξισώνουμε την συνάρτηση ζήτησης με την συνάρτηση προσφοράς: Q = Q 3P+ 8= 4 P 3P +
Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,
Φίλη μαθήτρια φίλε μαθητή Η εργασία αυτή έγινε με σκοπό να συμβάλει στην κατανόηση στην εμπέδωση και στην εμβάθυνση των μαθηματικών εννοιών που αναπτύσσονται στην Άλγεβρα της Β Λυκείου. Η ύλη είναι γραμμένη
ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους
ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Συνάρτηση ονομάζεται η αλληλεξάρτηση (ή η σχέση) δυο μεταβλητών εις τρόπον ώστε για κάθε τιμή της μιας
1 η Εργασία ΕΟ 13 2014-2015. Υποδειγματική λύση
1 η Εργασία ΕΟ 13 014-015 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) 1
Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.
ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης Παραγώγιση Ακρότατα Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα μεγέθη, εξαρτώνται από άλλα μεγέθη. Π.χ η ζήτηση από την τιμή,
Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11
Να λυθεί το σύστημα: Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα x+ 3y= 38 3x y = 2 Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: x+ 3y= 38 x = 38 3y x = 38 3y x = 38 3y 3x y = 2 338 ( 3y) y= 2 3 38 9y y =
Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο
Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,
Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.
Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ
Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές-μαθηματικά
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 018-19 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές-μαθηματικά
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)
6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,
Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικές Προτάσεις Πλοηγηθείτε: http://www.youtube.com/watch?v MtmJ3BArAgA Διαβάστε: Λ. Κάρολ, Η Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων, Εκδόσεις Πατάκη Δείτε: Alice in
ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ
Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί
1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Η εξίσωση με και 0 ή 0 λέγεται γραμμική εξίσωση. Οι μεταβλητές είναι οι άγνωστοι της εξίσωσης αυτής. Οι αριθμοί λέγονται συντελεστές των αγνώστων
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange
Μέγιστα και ελάχιστα 39 f f B f f yx y x xy Οι ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι λ =-, λ =- και οι δυο αρνητικές, άρα το κρίσιμο σημείο (,) είναι σημείο τοπικού μεγίστου. Εφαρμογή 6: Στο παράδειγμα 3 ο αντίστοιχος
Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Σχολή Οικονομικών & Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Τομέας Πολιτικής Οικονομίας
Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Σχολή Οικονομικών & Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Τομέας Πολιτικής Οικονομίας Άσκηση στο μάθημα «Εισαγωγή στην Οικονομική Ανάλυση» Νίκος Θεοχαράκης
Θ.Ε. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι
Θ.Ε. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι 2η Γραπτή Εργασία: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 (Μονάδες 23) Το συνολικό κόστος μιας επιχείρησης είναι TC=550 ευρώ όταν η παραγωγή είναι Q=100 τεμάχια και το σταθερό κόστος είναι FC=50
1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού
1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση
ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Ολοκλήρωμα συνάρτησης
Ολοκλήρωμα συνάρτησης Έννοια Υπολογισμός Χρήση Αόριστο και ορισμένο ολοκλήρωμα εισαγωγικό παράδειγμα οριακού κόστους Έστω η συνάρτηση οριακού κόστους μιας επιχείρησης δίνεται από τη σχέση ΜC(q)=3q 2 +4
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ακρότατα συναρτήσεων δύο μεταβλητών Συνάρτηση παραγωγής Ελαστικότητα Μακροοικονομικό μοντέλο Μεγιστοποίηση κερδών ακρότατα Για να βρούμε τα ακρότατα μίας συνάρτησης
Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan
Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jodan Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y 6 με απαλοιφή Gauss. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης δύο μεταβλητών Ισουψείς καμπύλες Παραγώγιση Μερικές παράγωγοι πρώτου και δευτέρου βαθμού Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα
Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ
1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..
2.10. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας
.. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας ίδαμε ότι η βασική επιδίωξη των επιχειρήσεων είναι η επίτευξη του μέγιστου κέρδους με την πώληση όσο το δυνατόν μεγαλύτερων ποσοτήτων ενός αγαθού στη μεγαλύτερη δυνατή τιμή
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση:
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η επίλυση συστήματος εμφανίστηκε για πρώτη φορά σε αρχαία κινέζικη συλλογή προβλημάτων και αργότερα στο έργο «Αριθμητικά» του Έλληνα μαθηματικού της Αλεξανδρινής περιόδου Διόφαντου όπου για πρώτη
ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
ΘΕΩΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ). (α + β) = α +αβ + β ). (α β) = α αβ + β. 3). (α + β) 3 = α 3 + 3α β +3αβ + β 3 ). (α β) 3 = α 3 3α β +3αβ β 3. 5). α β = (α β)(α + β) 6). α + β = (α + β) αβ. 6). α 3 β 3
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1) Γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ+βψ=γ, όπου α,β,γr. α) Λύση της γραμμικής αυτής εξίσωσης λέγεται κάθε ζεύγος (χ,ψ)=(χ 0,ψ 0 ) που την
f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, τα γραφήματα
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Θέμα. (μονάδες.0) Οι ορίζουσες των πινάκων ABC,, βρεθούν οι ορίζουσες των πινάκων:
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α
Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Να βρεθεί συνάρτηση f() σταθερής
4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο Α(,.
1. Τι ξέρετε για τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων της μορφής ; Πώς ονομάζεται το ; Η γραφική παράσταση των συναρτήσεων της μορφής, είναι ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Το ονομάζεται
Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ και ΘΡΑΚΗΣ Σχολή Διοίκησης & Οικονομίας Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ - Α Εξαμήνου Διδάσκων : ΦΛΩΡΟΥ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ A ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 31 / 01/ 2014 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 2,0 ώρες ΟΔΗΓΙΕΣ Η εξέταση γίνεται με κλειστά βιβλία
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +
Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση
Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14
1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής
3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ
. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέθοδοι επίλυσης : Οι βασικές µέθοδοι αλγεβρικής επίλυσης ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο η µέθοδος της αντικατάστασης
(α) Από τους κανόνες σύνθετης παραγώγισης δύναμης συναρτήσεως και λογαρίθμου συναρτήσεως:
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΔΕΟ -: Άσκηση I. (α) Από τους κανόνες σύνθετης παραγώγισης δύναμης συναρτήσεως και λογαρίθμου συναρτήσεως:
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν
Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης
Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση αx+βy = γ Λύση της εξίσωσης α x + β y = γ ονομάζεται
ΑΣΚΗΣΗ [5 μονάδες (6+6+6+7)] www.onlineclassroom.gr Δίνεται η ακόλουθη συνάρτηση των οριακών εσόδων MR μιας μονοπωλιακής επιχείρησης: MR() = 100 + 16 όπου είναι η ποσότητα παραγωγής του προϊόντος. Επίσης,
3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ
. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους Είναι ένα σύνολο δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους και των οποίων αναζητούµε
ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : 2 4y. x x 1. στ) 1 3y. = 0, είναι κάθετη στην ευθεία ε 2 : y =
ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΛΥΣΗ - ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΥΟ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : α) 5 +
ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x + β διέρχεται από το σημείο Α( 1, 2). Να βρείτε τον αριθμό β.
Γραμμικές Εξισώσεις. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = + β διέρχεται από το σημείο Α(, ). Να βρείτε τον αριθμό. ίνεται η ευθεία = + (α ). Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης
1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει
2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις
. Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;
ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος
Επιχειρησιακά Μαθηματικά
Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά () ΑΘΗΝΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 1 Τηλ:10.93.4.450 Πεδίο Ορισμού Οικονομικών Συναρτήσεων Οι οικονομικές συναρτήσεις (συνάρτηση Ζήτησης, συνάρτηση
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 9/6/08 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Έστω A= k και w = 3 0. Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,
Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω συνάρτηση y=f(x) Όριο L (limit) της συνάρτησης y=f(x) είναι ο αριθμός
12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
5. Να λυθεί η εξίσωση. 6. Δίνεται η συνάρτηση. 2f x ΛΥΣΗ: Τα x για τα οποία 2 x 0 x 0 x, δεν είναι λύσεις της εξίσωσης γιατί για
5. Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ: Τα για τα οποία 0 0, δεν είναι λύσεις της εξίσωσης γιατί για αυτά ισχύει 1 ή 1 1 0 και αντικαθιστώντας στην εξίσωση παίρνουμε την μή αληθή σχέση Αρα θεωρούμε ότι 0 και πλέον
Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις
2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση
2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε
2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,
1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1
1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................
Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ 1. x x. x x x ( ) + ( 20) + ( + 4) = ( + ) + ( 10 + ) + ( )
Ονοματεπώνυμο Τμήμα ο Ερώτημα Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα α) ( + + ) e d β) + ( + 4)( 5) 5 89 ΘΕΜΑ d Απάντηση α) θέτω u = + +και υ = e, επομένως dυ = e και du = ( + ) d. ( + + ) e d= u dυ =
3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ
Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων.
Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 208-9.. Για καθεμία από τις ανισότητες Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων. x + > 2, x x +, x x+2 > x+3 3x+, (x )(x 3) (x 2) 2 0 γράψτε ως διάστημα ή ως ένωση διαστημάτων
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ v.1.0 Τα βασικότερα εργαλεία της Οικονομικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο "Ανοικτά Ακαδημαϊκά
Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές
Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.
ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2014
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία από το σχολικό βιβλίο σελίδα 60. Α. α) Θεωρία από το σχολικό βιβλίο σελίδα 3. β) Θεωρία από το σχολικό
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
![ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β](/thumbs/63/49303177.jpg "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β")
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x
Διαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά
Η Έννοια της εξίσωσης:
Η Έννοια της εξίσωσης: Θεωρία και λυμένα παραδείγματα Εξίσωση με έναν άγνωστο λέμε μια ισότητα η οποία περιέχει αριθμούς και έναν άγνωστο γράμμα ( μεταβλητή). Εξισώσεις είναι οι: χ+=8, χ-21=4,χ+1, 8χ=26.
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.4. 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Σκοπός της ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι ο ορισμός εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε κάποιο σημείο της,
x 2 + y 2 x y
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς