Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ"

Transcript

1 Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

2 ΣΥΣΤΗΜΑ 2Χ2 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2 (2 εξισώσεις Χ 2 άγνωστοι) στη γενική του μορφή: a 11 X 1 +a 12 X 2 b 1 a 21 X 1 +a 22 X 2 b 2 όπου Χ 1, Χ 2 οι 2 άγνωστοι Μπορούμε να ορίσουμε τους πίνακες: Α a 11 a 12 a 21 a 22, X X 1 X 2, B b 1 b 2 Ισχύει Α*ΧΒ δηλ. a 11 a 12 X 1 b 1 > a 11X 1 +a 12 X 2 b 1 > a 11X 1 +a 12 X 2 b 1 a 21 a 22 X 2 b 2 a 21 X 1 +a 22 X 2 b 2 a 21 X 1 +a 22 X 2 b 2 Α: πίνακας συντελεστών των αγνώστων Χ: πίνακας αγνώστων Β: πίνακας σταθερών όρων Προφανώς μπορώ να λύσω χρησιμοποιώντας Πίνακες: Α*ΧΒ > Α -1 *Α*ΧΑ -1 *Β > Ι*ΧΑ -1 *Β >ΧΑ -1 *Β Με την προϋπόθεση ότι υπάρχει ο αντίστροφος Α -1 του Α (δηλ. ορίζουσα Α 0) 2 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

3 ΣΥΣΤΗΜΑ 3Χ3 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 3Χ3 (3 εξισώσεις Χ 3 άγνωστοι) στη γενική του μορφή: a 11 X 1 +a 12 X 2 +a 13 X 3 b 1 a 21 X 1 +a 22 X 2 +a 23 X 3 b 2 όπου Χ 1, Χ 2, Χ 3 οι 3 άγνωστοι a 31 X 1 +a 32 X 2 +a 33 X 3 b 3 Μπορούμε να ορίσουμε τους πίνακες: a 11 a 12 a 13 X 1 Α a 21 a 22 a 23, X X 2, B a 31 a 32 a 33 X 3 b 1 b 2 b 3 Ισχύει Α*ΧΒ δηλ. 3 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 X 1 X 2 X 3 Α: πίνακας συντελεστών των αγνώστων, Χ: πίνακας αγνώστων, Β: πίνακας σταθερών όρων Προφανώς μπορώ να λύσω: Α*ΧΒ > Α -1 *Α*ΧΑ -1 *Β > Ι*ΧΑ -1 *Β >ΧΑ -1 *Β Με την προϋπόθεση ότι υπάρχει ο αντίστροφος Α -1 του Α (δηλ. Α 0) b 1 b 2 b 3 ΓΙΑ ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ nxn ΜΠΟΡΩ ΝΑ ΛΥΣΩ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

4 ΣΥΣΤΗΜΑ 3Χ3 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (1) Έστω το παρακάτω σύστημα 3Χ3: X 1 +2X 2 +4X 3 5 3X 1 +X 2 +2X X 1 +2X ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: όπου Χ 1, Χ 2, Χ 3 οι 3 άγνωστοι Μπορούμε να ορίσουμε τους πίνακες: X 1 5 Α 3 1 2, X X 2, B X 3 15 Α: πίνακας συντελεστών των αγνώστων, Χ: πίνακας αγνώστων, Β: πίνακας σταθερών όρων Ισχύει Α*ΧΒ δηλ X 1 X 2 X επειδή Α Α -10 0, μπορώ να λύσω: Α*ΧΒ > Α -1 *Α*ΧΑ -1 *Β > Ι*ΧΑ -1 *Β > ΧΑ -1 *Β ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΩ ΤΟΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ Α -1-2* * *(-6)+(-22)-10

5 Α ΣΥΣΤΗΜΑ 3Χ3 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (2) > Α 1 1 Α Α+ όπου Α Πίνακας αλγεβρικών συμπληρωμάτων του Α: Αναστρέφω και προκύπτει ο Α + Α 1 1 Α Α ΧΑ -1 *Β * ( 4) ( 22) ( 6) ( 5) /2 Χ 1 3 > Χ 2 4 Χ 3 3/2 ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ Α*ΧΒ : ορίζουσα Α 0 >αντίστροφος Α 1 1 Α Α+ >λύση ΧΑ -1 *Β 5 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

6 ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ nxn ME ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Α nxn *Χ nx1 Β nx1 1. ΥΠΟΛΟΓΙΖΩ ΤΗΝ ορίζουσα Α 0, αν Α 0 δεν υπάρχει μοναδική λύση 2. Α 0, υπολογίζω τον αντίστροφο Α 1 1 Α Α+ 3. Υπολογίζω τη λύση ΧΑ -1 *Β Χρησιμοποιώ τα παρακάτω: 1. Υπολογισμός ορίζουσας Α nxn 2. Υπολογισμός αντίστροφου Α -1 (Α + :ανάστροφος πίνακα Αλγεβρικών συμπληρωμάτων Α) 3. Γινόμενο πινάκων Α -1 *Β 6 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

7 ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ KANONA CRAMER ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Α nxn *Χ nx1 Β nx1 Κανόνας Cramer: X i A Xi A ( κάθε άγνωστος είναι πηλίκο 2 οριζουσών) A Xi είναι η ορίζουσα που προκύπτει αν αντικαταστήσουμε στην ορίζουσα του Α τη στήλη που αντιστοιχεί στον άγνωστο X i με τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα Β Παράδειγμα 3Χ3: Α*ΧΒ δηλ. X 1 A X1 A X 1 X 2 X 3 X 2 A X2 A X 3 A X3 A Χρειάζεται να υπολογίσω μόνο 4 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ για να λύσω το σύστημα εξισώσεων! 7 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

8 ΣΥΣΤΗΜΑ 3Χ3 ΜΕ CRAMER: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω το προηγούμενο σύστημα 3Χ3: X 1 +2X 2 +4X X 1 +X 2 +2X 3 10 σε μορφή πινάκων: Α X 1 +2X Κανόνας Cramer: X i A Xi (πηλίκο 2 οριζουσών) A Α * * ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: X Πρέπει να υπολογίσω τις 3 ορίζουσες A X1, A X2, A X A X A X2 A X X 1 X 2 X 3, B *(-6)+(-22)-10 0 άρα υπάρχει μοναδική λύση -2* * * -2*(-10)+(-50) > X 1 A X1 A * * * *(-50)+6*(-30) > X 2 A X2 A * * * -2*(-15)+(-15) > X 3 A X3 A /2 ΜΕ ΤΗ ΜΈΘΟΔΟ CRAMER ΜΠΟΡΟΎΜΕ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΟΥΜΕ ΞΕΧΩΡΙΣΤΑ ΚΆΘΕ ΑΓΝΩΣΤΟ

9 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ-CRAMER ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Α nxn *Χ nx1 Β nx1 ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΙΝΑΚΑ: 1. ΥΠΟΛΟΓΙΖΩ ΤΗΝ ορίζουσα Α 0, αν Α 0 δεν υπάρχει μοναδική λύση 2. Α 0, υπολογίζω τον αντίστροφο Α 1 1 Α Α+ 3. Υπολογίζω τη λύση ΧΑ -1 *Β >όλοι οι άγνωστοι μαζί ΜΕΘΟΔΟΣ CRAMER: 1. ΥΠΟΛΟΓΙΖΩ ΤΗΝ ορίζουσα Α 0, αν Α 0 δεν υπάρχει μοναδική λύση 2. Α 0, υπολογίζω τις n ορίζουσες A Xi, Κανόνας Cramer: X i A Xi A >κάθε άγνωστος ξεχωριστά 9 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

10 ΤΑΞΗ (RANK) ΠΙΝΑΚΑ nxm Η τάξη (rank) ενός πίνακα Α nxm rank(a) είναι ο μέγιστος αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών ή στηλών του. Γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα είναι αυτά που η αντίστοιχη ορίζουσα είναι διάφορη του 0. Έστω πίνακας A , είναι Α -10 0, επομένως rank(a)2, τα διανύσματα , 3 1 γραμμικά ανεξάρτητα, όπως και τα 2 3, 4 2 γιατί Έστω πίνακας B είναι B 0, επομένως rank(β)<2, επειδή o B έχει τουλάχιστο 1 μη μηδενικό στοιχείο rank(β) C έχουμε 0 ενώ -2 0 επομένως rank(c) F έχουμε , , 0 επομένως rank(f)<2 >rank(f) Ένας πίνακας Α mxn έχει τάξη k αν υπάρχει υπο-ορίζουσα των γραμμών ή στηλών του kxk 0 10 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

11 ΤΑΞΗ (RANK) ΠΙΝΑΚΑ 3Χ3 Η τάξη (rank) ενός πίνακα Α nxm rank(a) είναι ο μέγιστος αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών ή στηλών του (διάσταση μέγιστης ορίζουσας ή υπο-ορίζουσας 0). Γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα είναι αυτά που η αντίστοιχη ορίζουσα είναι διάφορη του 0. Έστω Α ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: είναι Α , επομένως rank(a)< Επειδή υπάρχει τουλάχιστο 1 υπο- Εξετάζουμε υπο-ορίζουσες 2Χ2 του Α: , 6 6 ορίζουσα 2Χ2 μη μηδενική, έχουμε rank(a)2. Έστω Β , είναι Β Εξετάζουμε υπο-ορίζουσες 2Χ2 του Β: , του Β είναι ίσες με μηδέν (0), επομένως rank(β)<2 Επειδή ο πίνακας έχει μη μηδενικά στοιχεία είναι rank(b)1 0 (η 2 η γραμμή το διπλάσιο της 1 ης ), επομένως rank(β)< όλες οι 9 υπο-ορίζουσες 2Χ2

12 ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ [Α,Β] ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Α nxn *Χ nx1 Β nx1 επαυξημένος πίνακας [Α,Β] είναι ο πίνακας που προκύπτει αν στον πίνακα Α «προσθέσουμε» μια επιπλέον στήλη, τα στοιχεία του Β. Αν Α 3x επαυξημένος [Α,Β] 3x4 X 1 X 2, B 3x1 X , X 3x1 Στο παραπάνω σύστημα είναι Α 0, οπότε χρειάζεται να εξετάσουμε τον επαυξημένο [Α,Β] ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

13 ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ nxn ΌΤΑΝ ΟΡΙΖΟΥΣΑ0 ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Α nxn *Χ nx1 Β nx1 Αν Α 0 τότε μοναδική λύση αν Α 0 δεν υπάρχει μοναδική λύση, άπειρες λύσεις ή αδύνατο Εξετάζουμε την τάξη (rank) του επαυξημένου πίνακα [Α,Β] και του Α: 1. Αν rank(a)rank([α,β]) τότε έχουμε άπειρες λύσεις (αόριστο) 2. Αν rank(a)<rank([α,β]) τότε έχουμε καμία λύση (αδύνατο) Δεν υπάρχει περίπτωση rank(a)>rank([α,β]) γιατί ο [Α,Β] «περιέχει» τον Α 13 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

14 ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3X3 ΌΤΑΝ ΟΡΙΖΟΥΣΑ0 Έστω σύστημα εξισώσεων σε μορφή Πινάκων: Α Στο παραπάνω σύστημα είναι: Α * , X X 1 X 2 X 3, B επαυξημένος [Α,Β] 2 4 0, επομένως rank(a)<3, η υπο-ορίζουσα 2Χ2: > rank(a)2 Επειδή Α 0 χρειάζεται να εξετάσουμε τον επαυξημένο [Α,Β] ορίζουσες 3Χ3 επαυξημένου [Α,Β]: , , , Εξετάζουμε υπο-ορίζουσες 2Χ2 του επαυξημένου [Α,Β]: * *00 > rank([a,b])< > rank([a,b])2 (Συνέχεια στην επόμενη) 14 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

15 ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ nxn ΌΤΑΝ ΟΡΙΖΟΥΣΑ0 (2) X Α , X X 2, B 6 επαυξημένος [Α,Β] X Έχουμε υπολογίσει Α 0, rank(a)2 και rank([a,b])2 Επειδή rank(a)rank([a,b])2 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις (αόριστο) ΕΥΡΕΣΗ ΛΥΣΕΩΝ ΑΟΡΙΣΤΟΥ (ΑΠΕΙΡΕΣ ΛΥΣΕΙΣ) Η υπο-ορίζουσα που ήταν 0 αντιστοιχούσε στις 2 πρώτες γραμμές του Α και τις 2 πρώτες στήλες , επομένως το αντίστοιχο «υποσύστημα» 2Χ2 έχει «μοναδική» λύση: 6 6 2X 1 +4X 2 +14X 3 8 6X 1 +6X 2 +12X 3 6 4X 1 +4X 2 +8X ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: > 2X 1 +4X X 3 6X 1 +6X X 3 > Αυτό είναι σύστημα 2Χ2 και το λύνουμε ως προς X 1,X 2 με Cramer (Θεωρούμε το X 3 «σταθερά») 8 14X 3 X 1 Α 4 Χ1 6 12X 3 6 Α X 3 X 2 Α Χ X 3 Α X X X X X 3 3 5X 3 Υπάρχουν άπειρες λύσεις X 1, X 2, X 3, π.χ. αν X 3 0 > X 1-2 X 2 3 Το ονομάζουμε αόριστο γιατί ορίζοντας την τιμή του ενός αγνώστου προκύπτουν οι τιμές των άλλων 2.

16 ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ nxn ΌΤΑΝ ΟΡΙΖΟΥΣΑ0 (3) Α , X 16 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: X 1 X 2, B X Έχουμε υπολογίσει Α 0, rank(a) επαυξημένος [Α,Β] * το προηγούμενο σύστημα με διαφορετικό τον πίνακα Β υπολογίζουμε τις ορίζουσες 3Χ3-2*(-12)24 0, επομένως rank([a,b])3 Επειδή rank(a)2<rank([a,b])3 το σύστημα δεν έχει λύση (ΑΔΥΝΑΤΟ) ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΔΕΙΞΟΥΜΕ ΌΤΙ ΕΊΝΑΙ ΑΔΥΝΑΤΟ? 2X 1 +4X 2 +14X 3 8 6X 1 +6X 2 +12X 3 7 4X 1 +4X 2 +8X 3 3 > 6X 1 +6X 2 +12X 3 7 4X 1 +4X 2 +8X 3 3 > X 1 +X 2 +2X 3 7/6 X 1 +X 2 +2X 3 3/4 Δεν είναι εύκολο να δείξουμε ποιες εξισώσεις ενός συστήματος είναι «ασυμβίβαστες» «ΑΔΥΝΑΤΟ», χρειάζεται εμπειρία!

17 ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ mxn m>n Ένα σύστημα με εξισώσεις m> n αγνώστους (εξισώσεις περισσότερες από αγνώστους), το σύστημα Α mxn *Χ nx1 Β mx1 θα έχει: 1. Μοναδική λύση αν rank(a)rank([a,b])n 2. άπειρες λύσεις αν rank(a)rank([a,b])<n 3. καμία λύση αν rank(a)<rank([a,b]) ΙΣΧΥΟΥΝ ΚΑΤΆ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΥΤΆ ΠΟΥ ΕΙΔΑΜΕ ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑ nxn 17 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

18 ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3X2 (ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΛΥΣΗ) Αν έχουμε ένα σύστημα 3Χ2, (3 εξισώσεις με 2 αγνώστους) 2X 1 +4X X 1 +2X 2 8 > Α 3Χ2 1 2, Χ 2Χ1 X , Β X 3Χ1 8 > επαυξ. [Α,Β] X 1 +X Υπολογισμός rank(a): , -10 0, επομένως rank(a) Υπολογισμός rank([α,β]): (γιατί 1 η γρ.2χ2 η γρ.) > rank([α,β])< Ελέγχω υπο-ορίζουσες 2Χ2 του [Α,Β]: , rank([α,β])2 3 1 Επειδή στο σύστημα υπολόγισα: rank(a)rank([α,β])2n (έχω 2 αγνώστους) Το σύστημα έχει μοναδική λύση: αντιστοιχεί στην μη μηδενική υπο-ορίζουσα: 2X 1 +4X X 1 +X ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: Είναι 2Χ2 με ορίζουσα 0

19 ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3X2 (ΑΠΕΙΡΕΣ ΛΥΣΕΙΣ) Αν έχουμε ένα σύστημα 3Χ2, 3 εξισώσεις με 2 αγνώστους 2X 1 +4X X 1 +2X 2 5 > Α 3Χ2 1 2, Χ 2Χ1 X , Β X 3Χ1 5 > επαυξ. [Α,Β] X 1 +6X Υπολογισμός rank(a): , 0, 0 > rank(a)<2 > rank(a) rank([α,β]): > rank([α,β])< Ελέγχω 2Χ2 στον [Α,Β]: , 0, 0 > rank([α,β])<2 > rank([α,β]) Επειδή στο σύστημα υπολόγισα: rank(a)rank([α,β])1 άπειρες λύσεις (ΑΟΡΙΣΤΟ) (η 1 η εξίσ. είναι 2πλάσια της 2 ης και η 3 η εξίσωση 3πλάσια της 2 ης > έχουμε 1 εξίσωση με 2 αγνώστους άρα λύσεις: X 1 +2X 2 5> X 1 5 2X 2 άπειρες λύσεις) 19 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

20 ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3X2 (ΚΑΜΙΑ ΛΥΣΗ) Αν έχουμε ένα σύστημα 3Χ2, 3 εξισώσεις με 2 αγνώστους 2X 1 +4X X 1 +2X 2 8 > Α 3Χ2 1 2, Χ 2Χ1 X 10 1, Β X 3Χ1 8 > επαυξ. [Α,Β] 2X 1 +X Υπολογισμός rank(a): , -10 0, επομένως rank(a) rank([α,β]): (-5)* *630 0 > rank([α,β])3 Επειδή στο σύστημα υπολόγισα: rank(a)2< rank([α,β])3 καμία λύση (ΑΔΥΝΑΤΟ) (Από την 1 η και 2 η εξίσωση μπορούμε να δούμε ότι είναι αδύνατο) 20 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

21 ΟΜΟΓΕΝΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ένα σύστημα εξισώσεων Α*ΧΒ με Β0 (μηδενικός πίνακας) δηλ. ΑΧ0 ονομάζεται ομογενές. Παράδειγμα: 5Χ 1 + 3Χ 2 0 2X 1 + 7X 2 0 είναι προφανές ότι Χ 1Χ 2 0 είναι η τετριμμένη λύση. 5 3 Σε μορφή πινάκων έχουμε 2 7 * Χ όπου Α 3 Χ Επειδή ορίζουσα 0 μπορώ να αντιστρέψω οπότε ΧΑ -1 *ΒΑ -1 *00 Με Cramer θα έχω Α Χ , Α 5 0 Χ , επομένως Χ 1 Α Χ1 / Α 0/290 και Χ 2 Α Χ2 / Α 0/290 ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝ Α 0 ΤΟΤΕ ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΛΥΣΗ Χ0 (τετριμμένη) ΑΝ Α 0 τότε ο επαυξημένος [Α,Β] ισχύει πάντα rank(a)rank([a,b]) > ΑΠΕΙΡΕΣ ΛΥΣΕΙΣ (γιατί τα στοιχεία του πίνακα Β είναι όλα μηδέν) 21 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

22 ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΘΝΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Σε μια «κλειστή» οικονομία έχουμε: Εθνικό εισόδημα YC+I+G (C κατανάλωση, Ι επενδύσεις, G κυβερνητικές δαπάνες) Η Κατανάλωση C εξαρτάται από Εθν. Εισόδημα Υ και Επιτόκιο r: Ca*r+b*Y Οι επενδύσεις I εξαρτώνται από εισόδημα Y και Επιτόκιο r: Ιc+d*r+e*Y 3 εξισώσεις με 3 αγνώστους Υ, C, I και 6 σταθερές (συντελεστές) G,a,r,b,c,d,e: YC+I+G Y C IG Y G Ca r+b Y by+car b 1 0 C ar A*XB Ιc+d r+e Y ey+ιc+dr e 0 1 I c + dr A b 1 0 e 0 1, X Y C I, B G ar c + dr Μπορώ να υπολογίσω τα Y,C,I αν γνωρίζω τους υπόλοιπους συντελεστές του συστήματος: ΧΑ -1 *Β 22 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

23 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΝΑΥΠΗΓΕΙΟΥ 1/5 Ένα ναυπηγείο παράγει 3 είδη πλοίων Χ 1,Χ 2,Χ 3 Κάθε είδος πλοιού χρειάζεται κάποιες εργατο-ημέρες εργασίας σε 3 στάδια: Στάδιο Τύπος Πλοίου Διαθέσιμες Κατασκευής Χ 1 Χ 2 Χ 3 Εργατοημέρες Α Β C Πόσα από το κάθε είδος πρέπει να παράγει για να εξαντλεί τις διαθέσιμες εργατοημέρες? για το σταδιο Α εχουμε: 4Χ Χ Χ Χ για το σταδιο Β εχουμε: 1Χ 1 + 7Χ Χ Χ για το σταδιο Β εχουμε: 4Χ 1 + 8Χ 2 + 8Χ Χ Είναι σύστημα 3Χ3 και επομένως μπορώ να το λύσω με πίνακες (συνέχεια στην επόμενη διαφάνεια) 23 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

24 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΝΑΥΠΗΓΕΙΟΥ 2/5 Ναυπηγείο 3 είδη πλοίων Χ 1,Χ 2,Χ 3 Πόσα από το κάθε είδος πρέπει να παράγει για να εξαντλεί τις διαθέσιμες εργατοημέρες? σύστημα 3Χ3: ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: Χ 1 Χ 2 Χ > Α * *(-8)40 0 Επειδή Α 0 υπάρχει μοναδική λύση: ΧΑ -1 *Β (με αντίστροφο) ή με CRAMER:X i A Xi Α X1 Α X2 Α X * *(162*8-140*10)520 > X 1 A X1 A 0* -1* * -1* * > X 2 A X2 A * > X 2 A X3 A A (συνέχεια στην επόμενη διαφάνεια)

25 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1: ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΝΑΥΠΗΓΕΙΟΥ 3/5 ΕΠΕΚΤΑΣΗ: Αν ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις διαθέσιμες εργατοώρες τις επόμενες 4 χρονικές περιόδους πόση πρέπει να είναι η αντίστοιχη παραγωγή? Στάδιο Διαθέσιμες Εργατοημέρες Κατασκευής Περίοδος 1 Περίοδος 2 Περίοδος 3 Περίοδος 4 Α Β Το σύστημα C3Χ3 ήταν: Χ Χ Α*ΧΒ Α 0, ΧΑ -1 *Β Χ Αν ορίσω C παρατηρώ ότι μπορώ να υπολογίσω ΥΑ -1 *C πίνακας 3Χ4 που η κάθε στήλη του θα είναι η παραγωγή για την αντίστοιχη περίοδο. Διαφορετικά θα έπρεπε να λύσω 4 συστήματα εξισώσεων, 1 σύστημα 3Χ3 για κάθε στήλη (Περίοδο) 25 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: (συνέχεια στην επόμενη διαφάνεια)

26 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΝΑΥΠΗΓΕΙΟΥ 4/5 Α 1 1 Α Α+ έχω υπολογίσει την ορίζουσα Α 40 0 Πιν. Αλγ. Συμπλ. Α: Α Α 1 1 Α Α+ 1/40* αναστρέφω και έχω τον Το σύστημα 3Χ3 ήταν: Χ Χ Χ 3 Αν ορίσω C 26 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: Α*ΧΒ Α 0, ΧΑ -1 *Β στήλη του θα είναι η παραγωγή για την αντίστοιχη περίοδο. παρατηρώ ότι μπορώ να υπολογίσω ΥΑ -1 *C πίνακας 3Χ4 που η κάθε (συνέχεια στην επόμενη διαφάνεια)

27 ΥΑ -1 *C ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΝΑΥΠΗΓΕΙΟΥ 5/ Η κάθε στήλη του πίνακα Y προκύπτει με τον πολλαπλασιασμό του Α -1 με την αντίστοιχη στήλη του πίνακα C. Επομένως είναι η «λύση» του αντίστοιχου συστήματος εξισώσεων για τον υπολογισμό της παραγωγής σε κάθε χρονική περίοδο. Δηλαδή ισχύει: * * ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

28 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΣΡΟΩΝ-ΕΚΡΟΩΝ 1/2 Ανάλυση Leontief για ένα τομέα της οικονομίας: Πίνακας εισροών-εκροών τεχνολογικών συντελεστών της οικονομίας: Α 240/490 Εκροή Τομέα Εισροή Τομέα Τελική Ζήτηση Σύνολο Ιδιωτικός 28 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: Δημόσιος Ιδιωτικός Δημόσιος Υπεραξία Σύνολο πίνακας εκροών Χ 200 πίνακας ζήτησης D /490 20/200 60/ Ισχύει: ΑΧ+DX * ΑΧ+DX DX-AXIX-AX(I-A)X X(I-A) -1 D Αν υποθέσουμε ότι οι τεχνολογικοί συντελεστές παραμένουν σταθεροί μπορούμε να υπολογίσουμε την επίδραση αύξησης της ζήτησης από το δημόσιο τομέα (κυβέρνηση) στις εκροές

29 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΣΡΟΩΝ-ΕΚΡΟΩΝ 2/ Ισχύει: ΑΧ+DX * ΑΧ+DX DX-AXIX-AX(I-A)X X(I-A) -1 D Είναι Ι-Α > (I-A) Επομένως X(I-A) D * Στον πίνακα D το 230 είναι ιδιωτική ζήτηση και το 20 δημόσια, αν το δημόσιο αυξήσει τη 230 ζήτησή του π.χ. από 20 σε 40, D θα έχουμε τις νέες εκροές: X(I-A) D * , επομένως η αύξηση κατά 20 της δημόσιας 231 ζήτησης οδήγησε σε αύξηση των εκροών κατά Επομένως συμφέρει με την τρέχουσα κατάσταση η δημόσια δαπάνη! 29 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

30 ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΠΙΝΑΚΑ Αν έχουμε σύστημα σε μορφή πινάκων: Α*ΧΒ > ΧΑ -1 *Β Ας εξετάσουμε την περίπτωση: Α*Χλ*Χ Όπου Α τετραγωνικός πίνακας nxn, X πίνακας nx1 και λ πραγματικός αριθμός (λ είναι αριθμός που είναι «ισοδύναμος» με τον πίνακα Α στον πολλαπλασιασμό με τον οποιοδήποτε πίνακα Χ) Α*Χλ*Χ > Α*Χ-λ*Χ0 > Α*Χ-λ*Ι*Χ0 > (Α-λ*Ι)*Χ0 Είναι ομογενές σύστημα και υπάρχει η προφανής λύση Χ0 Αν ψάξουμε για άλλες λύσεις (δηλ. Α-λ*Ι 0), οι τιμές του λ ονομάζονται ιδιοτιμές (eigenvalues) του πίνακα Α. Για να βρούμε τις ιδιοτιμές πίνακα Α χρησιμοποιούμε τη σχέση Α-λ*Ι 0 Ονομάζεται ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Α: Α-λ*Ι 0 30 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

31 ΕΥΡΕΣΗ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑ Για να βρούμε τις ιδιοτιμές λ πίνακα Α χρησιμοποιούμε τη σχέση Α-λ*Ι 0 Παράδειγμα: έστω πίνακας Α 2Χ2 3 2 η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: λ 0 3 λ 2 Α-λ*Ι 0 λ λ 1 5 λ 0 (3-λ)*(5-λ)-1*20 λ 2-8λ+130 πολυώνυμο 2 ου βαθμού ως προς λ, Δb 2-4ac(-8) 2-4*1* >0 Διακρίνουσα Δ12>0 επομένως 2 λύσεις: λ 1 b Δ 12 ( 8) 2a ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: και λ 2 Αν έχουμε πίνακα Α 2Χ2 θα έχει: 2 ιδιοτιμές αν η αντίστοιχη διακρίνουσα Δ>0, 1 διπλή ιδιοτιμή αν Δ0, αν Δ<0 δεν έχει πραγματικές ιδιοτιμές b+ Δ a

32 ΧΡΗΣΗ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ-ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Για να βρούμε τις ιδιοτιμές λ πίνακα Α χρησιμοποιούμε τη σχέση Α-λ*Ι 0 Αν Α 2Χ λ 2 τελικά θα καταλήξουμε στη σχέση λ 0 Διαγωνίου Προκύπτει πολυώνυμο 2 ου βαθμού που ψάχνουμε τις ρίζες, λ και λ Ανάλογα με το πρόσημο των ιδοτιμών λ του πίνακα Α: Όλες οι ιδιοτιμές ΘΕΤΙΚΕΣ Όλες οι ιδιοτιμές ΑΡΝΗΤΙΚΕΣ 32 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: > ο πίνακας Α ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΣ > ο πίνακας Α ΑΡΝΗΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΣ Όλες οι ιδιοτιμές ΘΕΤΙΚΕΣ ή ΜΗΔΕΝ > ο πίνακας Α ΘΕΤΙΚΑ ΗΜΙ-ΟΡΙΣΜΕΝΟΣ Όλες οι ιδιοτιμές ΑΡΝΗΤΙΚΕΣ ή ΜΗΔΕΝ > ο πίνακας Α ΑΡΝΗΤΙΚΑ ΗΜΙ-ΟΡΙΣΜΕΝΟΣ Κάποιες ΘΕΤΙΚΕΣ και κάποιες ΑΡΝΗΤΙΚΕΣ > ο πίνακας Α ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΟΣ Η ορίζουσα του πίνακα με λ στα στοιχεία της κύριας Ο ορισμός του πίνακα χρησιμοποιείται για να ελέγξουμε το είδος των ακροτάτων (μέγιστο-ελάχιστο) σε προβλήματα με μερικές παραγώγους συναρτήσεων πολλών μεταβλητών

33 ΕΥΡΕΣΗ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑ 3Χ3 Για να βρούμε τις ιδιοτιμές λ πίνακα Α χρησιμοποιούμε τη σχέση Α-λ*Ι Αν Α 3Χ η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: Α-λ*Ι ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: λ λ λ λ 0 3 λ (2-λ) 4 3 λ 4-0* +0* 0 (2-λ) 0 (2-λ)[(3-λ)(9-λ)-4*4]0 4 9 λ 4 9 λ (2-λ)(27-3λ-9λ+λ 2-16)0 (2-λ)(λ 2 2 λ 0-12λ+11)0 λ 2 12λ+11 0 λ 2 λ 2 12λ+11 0 για το πολυώνυμο 2 ου βαθμού λ 2 12λ+11 0 έχουμε Δb 2-4ac(-12) 2-4*1* είναι διακρίνουσα Δ100>0 > 2 ρίζες: λ 1 b Δ 100 ( 12) a , λ 2 Τελικά έχουμε λ 1 1, λ 2 11, λ 3 2 (πίνακας 3Χ3 > 3 ιδιοτιμές) Ο Πίνακας Α είναι ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΣ ΓΙΑΤΙ ΕΧΕΙ ΜΟΝΟ ΘΕΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Μπορούμε απευθείας από τον πίνακα να αφαιρέσουμε λ από τα στοιχεία της κυρίας Διαγωνίου b+ Δ 2a 11

34 ΙΔΙΟΔΥΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑ 1/4 Αν Α 2Χ λ 2 από τη σχέση λ 0 βρίσκουμε ιδιοτιμές λ και λ Τα λ 1 και λ 2 έχουν την ιδιότητα ότι αν τα αφαιρέσουμε από τα στοιχεία της Κύριας Διαγωνίου του πίνακα Α τότε η ορίζουσα Α 0, δηλ. για το λ έχουμε: Χ 1 0 Χ Χ 1 + 2Χ 2 0 1Χ Χ 2 0 άπειρες λύσεις (είναι ομογενές με ορίζουσα 0 > άπειρες λύσεις). 0 το αντίστοιχο σύστημα 2Χ2: (Α-λ*Ι)*Χ0 αφού έχει ορίζουσα Α-λ*Ι 0 θα έχει Χ Αν βρούμε από τις άπειρες λύσεις αυτή που αντιστοιχεί σε μοναδιαίο διάνυσμα 1 Χ 2 με την ιδιότητα Χ Χ 2 Χ 2 1 το διάνυσμα 1 ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Α. Χ 2 δηλ. 34 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

35 ΙΔΙΟΔΥΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑ 2/4 Ορίζουσα είναι μηδ Χ 1 + 2Χ 2 0 1Χ Χ 2 0 Χ Χ Παίρνω την 1 η εξίσωση και τον ορισμό μοναδιαίου: 0.732Χ 1 + 2Χ 2 0 Χ Χ επειδή δεν είναι γραμμικό σύστημα (2 η εξίσωση) λύνω με αντικατάσταση: 2Χ Χ 1 Χ Χ Χ Χ 1 Χ Χ Χ Χ 1 Χ ( 0.366Χ 1 ) 2 1 Χ Χ 1 Χ Χ Χ 1 Χ Χ Χ 1 Χ Χ Χ 1 Χ Χ Χ Χ Χ 1 Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ 1 Χ 1 2 1/1.134 Χ Χ το 1 ο ιδιοδιάνυσμα είναι: Χ 1 Χ για την ιδιοτιμή λ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

36 ΙΔΙΟΔΥΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑ 3/4 Α 2Χ και λ > Χ 1 + 2Χ 2 0 1Χ Χ 2 0 Χ Χ Παίρνω την 2 η εξίσωση και τον ορισμό μοναδιαίου: Χ Χ 2 0 Χ Χ επειδή δεν είναι γραμμικό σύστημα (2 η εξίσωση) λύνω με αντικατάσταση: Χ Χ 2 Χ Χ Χ Χ 2 (0.732Χ 2 ) 2 + Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ 2 Χ 2 1 1/1.536 Χ Χ 2 Χ Χ Χ 2 Χ Χ Χ 2 Χ Χ Χ Χ Χ το 2o ιδιοδιάνυσμα είναι: 36 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: Χ 1 Χ για την ιδιοτιμή λ

37 ΙΔΙΟΔΥΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑ-ΔΙΑΓΩΝΙΟΣ 4/4 Για τον πίνακα Α 2Χ λ 2 υπολογίζουμε από τη σχέση λ ιδιοτιμές λ και λ Για κάθε ιδιοτιμή υπολογίζουμε 1 ιδιοδιάνυσμα: Χ το 1 ο ιδιοδιάνυσμα είναι: Χ για την ιδιοτιμή λ Χ το 2o ιδιοδιάνυσμα είναι: Χ για την ιδιοτιμή λ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: Ο Πίνακας ιδιοδιανυσμάτων του Α (Transformation matrix) T Έχει την ιδιότητα: Τ -1 *Α*Τ διαγώνιος πίνακας: Τ *Α*Τ λ λ 2 0 τις Ο ΔΙΑΓΩΝΙΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΟΥ Α ΕΧΕΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΚΥΡΙΑΣ ΔΙΑΓΩΝΙΟΥ ΤΙΣ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΤΟΥ Α ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΙΣ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΤΟΥ

38 ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ-ΙΔΙΟΔΥΑΝΥΣΜΑΤΑ-ΔΙΑΓΩΝΙΟΣ ΠΙΝΑΚΑ 1. ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΠΙΝΑΚΑ: Για να υπολογίσω τις ιδιοτιμές λ ενός πίνακα Α, αφαιρώ από τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου λ και θέτω την αντίστοιχη ορίζουσα ίση με μηδέν, από τον υπολογισμό Α-λΙ 0 προκύπτουν οι ιδιοτιμές λ του πίνακα Α. Α 2Χ λ λ 0 (3-λ)(5-λ)-1*20 λ και λ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΙΝΑΚΑ: Για κάθε ιδιοτιμή λ του πίνακα Α, η ορίζουσα του Α-λΙ 0 γίνεται μηδέν, επομένως το «αντίστοιχο» ομογενές σύστημα εξισώσεων έχει άπειρες λύσεις. Η λύση (από τις άπειρες) που ικανοποιεί τη συνθήκη «μοναδιαίου» διανύσματος (άθροισμα τετραγώνωνμονάδα) ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Α 2Χ λ λ 0 λ > το αντίστοιχο ομογενές σύστημα εξισώσεων: Χ 1 + 2Χ 2 0 1Χ Χ 2 0 (επειδή έχει ορίζουσα ) έχει άπειρες λύσεις από τις άπειρες λύσεις, υπάρχει κάποια που ικανοποιεί τη συνθήκη μοναδιαίου διανύσματος: Χ Χ για να υπολογίσω το ιδιοδιάνυσμα επιλέγω 1 από τις 2 εξισώσεις (την «ευκολότερη») και την συνθήκη μοναδιαίου: Χ 1 + 2Χ 2 0 Χ 1 2 +Χ αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα. λύνω το σύστημα με αντικατάσταση και προκύπτει η λύση Χ 1 Χ 2 που είναι το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα. Για κάθε ιδιοτιμή υπάρχει το 3. ΔΙΑΓΩΝΙΟΣ ΠΙΝΑΚΑ: Ο πίνακας που έχει στην κύρια διαγώνιο τις ιδιοτιμές λ του πίνακα Α ονομάζεται Διαγώνιος του Α λ 1 Επομένως για την «ΔΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ» υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές λ 38 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: 0 0 λ 2

39 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ (Β 6.1) Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα εξισώσεων: α) 5Χ 1 +6Χ Χ 1 +3Χ 2-3 β) 2Χ 1 +3Χ 2-2Χ 3 1 Χ 1-2Χ 2-3Χ 3-9 5Χ 1 +4Χ 2-4Χ 3 2 ΕΠΙΛΥΣΗ: Δοκιμάστε τη μέθοδο αντιστροφής και τη μέθοδο Cramer 39 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

40 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ (Β 6.5) Έστω οι πίνακες: Α και Β Εξετάστε ποιες είναι οι λύσεις του συστήματος Α*ΧΒ ΕΠΙΛΥΣΗ: Όταν η ορίζουσα A 0 εξετάζουμε το rank(a) και rank([a,b]) 40 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

41 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ (ΑΛ. 7) Δίνεται το σύστημα: x+2y+3z0 4x+(3+λ)y+6z0 5x+4y+(λ+1)z0 Να βρεθεί για ποιες τιμές του λ το σύστημα έχει μη-μηδενικές λύσεις. Να βρεθεί η λύση για την μικρότερη τιμή του λ. ΕΠΙΛΥΣΗ: Είναι ομογενές οπότε υπολογίζουμε την ορίζουσα του συστήματος 41 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

42 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ (ΑΛ. 9) έστω το σύστημα εξισώσεων: x + y-z1 2x+3y+az3 x+ay+3z2 Να βρείτε την τιμή του a ώστε το σύστημα να έχει 1 λύση, καμία λύση, άπειρες λύσεις. ΕΠΙΛΥΣΗ: Προφανώς εξετάζουμε την ορίζουσα και τον επαυξημένο. 42 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

43 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ (ΑΛ 34) έστω το σύστημα εξισώσεων: 1 1 2κ x y 4 κ 1 2 z 2 Διερευνήστε τις λύσεις του συστήματος για τις τιμές του κ. ΕΠΙΛΥΣΗ: Ορίζουσα και επαυξημένος (rank) 43 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

44 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ (ΑΛ 28) έστω το σύστημα εξισώσεων: x 1 -x 2 1 x 1 +x 2 +x 3 0 2x 1 -x 2 +3x 3-2 Αποδείξτε ότι έχει μοναδική λύση και βρείτε τη λύση. ΕΠΙΛΥΣΗ: Ορίζουσα και επίλυση 44 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

45 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ (ΑΛ 1) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του πίνακα Α: Α ΕΠΙΛΥΣΗ: Χαρακτηριστική εξίσωση Α-λ*Ι 0, αν προκύψει πολυώνυμο 3 ου βαθμού χρησιμοποιούμε ιδιότητες οριζουσών, επομένως υπολογίζουμε τις 5.8 (ΑΛ 3 τροποποιημένη) Να βρεθεί ο Διαγώνιος του πίνακα Α: Α λ ΕΠΙΛΥΣΗ: Ο Διαγώνιος του πίνακα Α είναι: 0 λ 2 0 ιδιοτιμές του Α 0 0 λ 3 45 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

46 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Να βρεθούν οι ιδιοτιμές, τα ιδιοδιανύσματα και ο Διαγώνιος του πίνακα Α: 1 4 Α 2 1 ΕΠΙΛΥΣΗ: Χαρακτηριστική εξίσωση Α-λ*Ι 0, για τα ιδιοδιανύσματα θα ισχύει Χ Χ 2 2 1, Διαγώνιος Α: λ λ 2 46 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ:

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2009-2010 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Αν έχουμε m εξισώσεις (ισότητες) που περιγράφουν μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

AX=B (S) A A X=A B I X=A B X=A B I X=A B X=A B X=A B X X

AX=B (S) A A X=A B I X=A B X=A B I X=A B X=A B X=A B X X . Επίλυση γραμμικού συστήματος με χρήση αντιστρόφου Πρόταση Θεωρούμε ένα τετραγωνικό γραμμικό σύστημα (δηλαδή ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων) AX=B (S). Αν ο πίνακας Α είναι

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. 1 Πίνακες Ορίζουσες Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. Παράδειγμα (χορήγηση Βαλασικλοβιρης (αντιυπερτασικό) σε νήπια) Ηλικία (μήνες) Μέσο Cmax (μg/ml) Μέσο βάρος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/24 Κ2: Γραµµικά συστήµατα 1. Ορισµοί 2. Σύστηµα σε µορφή πίνακα 3. Επίλυση Crammer 4. Επίλυση Gauss

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Θέμα. (μονάδες.0) Οι ορίζουσες των πινάκων ABC,, βρεθούν οι ορίζουσες των πινάκων:

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα

Χαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα Έστω ο n nτετραγωνικός πίνακας A της μορφής a L a M O M an L a όπου aij, i n, j n πραγματικές σταθερές Ονομάζουμε χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα A την εξίσωση A λi, όπου I ο n n μοναδιαίος πίνακας και

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : 2 4y. x x 1. στ) 1 3y. = 0, είναι κάθετη στην ευθεία ε 2 : y =

ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : 2 4y. x x 1. στ) 1 3y. = 0, είναι κάθετη στην ευθεία ε 2 : y = ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΛΥΣΗ - ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΥΟ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : α) 5 +

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες a) 4 b) c) a b + a) 4 4 Παρατήρηση: Προσέξτε ότι ο συμβολισμός της ορίζουσας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια Ι.. (Σωστό-Λάθος) με επαρκή αιτιολόγηση α) Για κάθε μητρώο A μεγέθους x μπορείτε να βρείτε ένα αντιστρέψιμο μητρώο X τέτοιο ώστε ΑΧ ΧK, όπου το

Διαβάστε περισσότερα

Εάν A = τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό. det( A) = = ( 2)4 3 1 = 8 3 = 11. τότε η ορίζουσά του πίνακα ισούται με

Εάν A = τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό. det( A) = = ( 2)4 3 1 = 8 3 = 11. τότε η ορίζουσά του πίνακα ισούται με Κεφάλαιο Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί a b Εάν A τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό a b ad bc Συμβολίζουμε την ορίζουσα του πίνακα και ως A Εάν A τότε ( ) 8 Εάν a a a A a a a a a a τότε η

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x+ y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 (10) B 2, B 1. (10)

1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 (10) B 2, B 1. (10) Γραμμική Άλγεβρα, Τμήμα Β (Τζουβάρας/Χαραλάμπους) Φεβρουάριος 07 (I) Εστω n n πίνακας A τέτοιος ώστε A = 6A, έστω δ.χ. V με dim(v ) = n και f : V V η γραμμική απεικόνιση με πίνακα A ως πρός κάποια βάση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση1: Να λυθεί και να διερευνηθεί για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων ab, το σύστημα: a 4 4a. το σύστημα έχει άπειρες λύσεις:

Άσκηση1: Να λυθεί και να διερευνηθεί για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων ab, το σύστημα: a 4 4a. το σύστημα έχει άπειρες λύσεις: Άσκηση: Να λυθεί και να διερευνηθεί για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων ab, το σύστημα: a z 4 b z 3 b z 4 Λύση a 4 b 4 b 4 b0 3 33 /( b) b 3 b 3 0 b 0 b 4 a 4 0 ab a 4 4a b 4 b 4 33 ( ab) 0 0 / b 0 0

Διαβάστε περισσότερα

[A I 3 ] [I 3 A 1 ].

[A I 3 ] [I 3 A 1 ]. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Α ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Α ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Α ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΘ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

2. Ορίζουσες-ιδιότητες -ανάπτυγμα ορίζουσας. Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ν-τάξης Α, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός,

2. Ορίζουσες-ιδιότητες -ανάπτυγμα ορίζουσας. Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ν-τάξης Α, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός, . Ορίζουσες-ιδιότητες -ανάπτυγμα ορίζουσας Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ν-τάξης Α, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός, που λέγεται Ορίζουσα (Determinant) του Α, και παριστάνεται με τα σύμβολα: D(A), ή

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11 Να λυθεί το σύστημα: Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα x+ 3y= 38 3x y = 2 Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: x+ 3y= 38 x = 38 3y x = 38 3y x = 38 3y 3x y = 2 338 ( 3y) y= 2 3 38 9y y =

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jodan Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y 6 με απαλοιφή Gauss. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορίζουσες. Άσκηση 1.1 Θεωρούμε τον πίνακα. 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 A =

1 Ορίζουσες. Άσκηση 1.1 Θεωρούμε τον πίνακα. 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 A = 1 Ορίζουσες Άσκηση 1.1 Θεωρούμε τον πίνακα 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1, όπου x είναι τυχόν στοιχείο του σώματος R. Να βρεθούν όλες οι τιμές του x για τις οποίες ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιμος.

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Να εξετασθεί αν είναι γραμμικές οι ακόλουθες συναρτήσεις: a) f : R R με f b) f : R R f y, ( +, y

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να επιλύσουμε μία παραμετρική εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: i) Βγάζω παρενθέσεις ii) Κάνω απαλοιφή παρανομαστών iii) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους (άγνωστος είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι; Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 9: Γεωμετρία του Χώρου των Μεταβλητών, Υπολογισμός Αντιστρόφου Μήτρας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά συστήματα. - όπου Α είναι ένας (m x n) πίνακας, ο οποίος περιέχει. - όπου Β είναι ένας (m x 1) πίνακας που περιέχει τους

Γραμμικά συστήματα. - όπου Α είναι ένας (m x n) πίνακας, ο οποίος περιέχει. - όπου Β είναι ένας (m x 1) πίνακας που περιέχει τους Γραμμικά συστήματα Η γενική μορφή ενός τέτοιου συστήματος είναι Α.Χ=Β - όπου Α είναι ένας (m x n) πίνακας, ο οποίος περιέχει τους συντελεστές των αγνώστον. - όπου Χ είναι ένας (n x 1) πίνακας που περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4.. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθούν οι ελεύθερες ταλαντώσεις συστημάτων που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1. Να διερευνήσετε την εξίσωση. Ισχύει: Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν τότε: ΘΕΩΡΙΑ Απάντηση Επομένως, αν η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την. Αν, τότε η εξίσωση γίνεται,

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ).

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). 1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). A n Πόρισμα 1: Ο βαθμός του χαρ/κου πολυωνύμου ενός

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ι,

Γραμμική Άλγεβρα Ι, Γραμμική Άλγεβρα Ι, 207-8 Ασκήσεις2 και Ασκήσεις3: Γραμμοϊσοδύναμοι Πίνακες και Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Βασικά σημεία Γραμμοϊσοδυναμία πινάκων o Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών o Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή

Διαβάστε περισσότερα