Karakteristične funkcije

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Karakteristične funkcije"

Transcript

1 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matea Spajić Karakteristične funkcije Završni rad Osijek, 2015.

2 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matea Spajić Karakteristične funkcije Završni rad Voditelj: doc. dr. sc. Dragana Jankov Maširević Osijek, 2015.

3 Sadržaj 1. Uvod Osnovni pojmovi Pojam i osnovna svojstva vjerojatnosti i slučajne varijable Karakteristična funkcija Definicija i osnovna svojstva Teorem inverzije Primjeri karakterističnih funkcija nekih slučajnih varijabli Literatura 26

4 Sažetak Karakteristične funkcije slučajnih varijabli su važno sredstvo teorije vjerojatnosti zbog svojih značajnih svojstava. Svojstva koja imaju karakteristične funkcije su uvelike olakšala neke probleme teorije vjerojatnosti te ćemo ih zbog toga u ovom radu pobliže upoznati. Za početak ćemo se podsjetiti nekih osnovnih definicija i važnijih teorema koji će nam pomoći da shvatimo što su to karakteristične funkcije. Nakon osnovnih pojmova definirati ćemo karakterističnu funkciju i njezina osnovna svojstva, te navesti dva najznačajnija teorema koja su pomogla da se rad s funkcijama distribucije prelaskom na karakteristične funkcije znatno olakša. Naposljetku ćemo izračunati karakteristične funkcije nekih specifičnih distribucija diskretnih i neprekidnih slučajnih varijabli. Ključne riječi Karakteristična funkcija, slučajna varijabla, funkcija gustoće, funkcija distribucije, matematičko očekivanje Abstract Characteristic functions of random variables are basic tools of probability theory because of it s significant properties which make problems in probability theory a lot easier. Because of it s significance we will explain them more thoroughly. First of all we will recall some of the base definitions and theorems, which will help us to understand what characteristic functions are. After basic terms we will define characteristic function and it s main properties. Furthermore we will introduce two of the most significant theorems - Inversion theorem and Uniqueness theorem. Lastly we will also calculate characteristic functions of some specific distributions of random variables. Key words Characteristic function, random variable, probability density function, distribution function, mathematical expectation

5 1. Uvod Početci teorije vjerojatnosti vezani su uz igre na sreću koje se pojavljuju sredinom 17. stoljeća. Do danas se teorija vjerojatnosti značajno razvila i zauzela jednu od najvažnijih uloga u području suvremene matematike, zbog svoje široke primjene. Teorija vjerojatnosti se primjenjuje u različitim matematičkim disciplinama, ali i u drugim područjima kao što su fizika, biologija, medicina, ekonomija i drugdje. Jedno od najjačih analitičkih sredstava teorije vjerojatnosti upravo su karakteristične funkcije. U prvom poglavlju ćemo navesti neke od osnovnih pojmova koje ćemo koristiti u nastavku te neke važnije teoreme i propozicije. Nakon što se podsjetimo osnovnih pojmova, spremni smo definirati karakteristične funkcije te ćemo navesti osnovna svojstva koja su vezana za nju, tj. koje uvjete mora imati neka funkcija da bi bila karakteristična funkcija. Zatim ćemo navesti Teorem jedinstvenosti i Teorem inverzije koji nam osiguravaju ekvivalenciju izmedu funkcija distribucije slučajne varijable i karakteristične funkcije. U zadnjem poglavlju ćemo izračunati karakteristične funkcije nekoliko važnih distribucija slučajnih varijabli. 1

6 2. Osnovni pojmovi Prije nego krenemo detaljnije govoriti o karakterističnim funkcijama definirat ćemo osnovne pojmove teorije vjerojatnosti. Najvažniji od tih pojmova je vjerojatnosni prostor na kojem proučavamo pokuse. Nakon izvodenja pokusa zanima nas ishod koji se dogodio i kojem želimo pridružiti neku vrijednost. Funkcije koje nam pomažu da rezultatu pokusa pridružimo neku vrijednost se nazivaju slučajne varijable. Pojmovi koji su usko vezani uz slučajnu varijablu su funkcija gustoće, funkcija distribucije, njezine numeričke karakteristike i drugi. Sve te pojmove ćemo detaljnije opisati u nastavku kako bismo stvorili bolju predodžbu što je to karakteristična funkcija slučajne varijable i koja je njezina uloga u teoriji vjerojatnosti Pojam i osnovna svojstva vjerojatnosti i slučajne varijable Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti koji se ne definiraju, nego objašnjavaju primjerima su pokus i njegov ishod. Najjednostavniji primjer pokusa je bacanje simetričnog novčića, poznat kao igra pismo-glava. Pokus se izvodi tako da se novčić baci u vis iznad neke ravne plohe te kada padne na plohu mogu se dogoditi dvije mogućnosti, a to su da se novčić okrenuo na stranu na kojoj je pismo ili da se okrenuo na stranu na kojoj je glava i te dvije mogućnosti nazivamo ishodom pokusa. Svaki ishod slučajnog pokusa je jedan elementarni dogadaj i označava se s ω. Skup svih ishoda slučajnog pokusa naziva se skup ili prostor elementarnih dogadaja i označava s Ω. Sada znamo da skup elementarnih dogadaja sadrži sve moguće ishode pokusa, a mi proučavamo samo one koji su nam zanimljivi. Na primjer, u našem pokusu nas zanima pri bacanju dva novčića kada će se okrenuti dvije iste strane novčića, tada je naš Ω {P P, P G, GP, GG}, a dogadaj koji je nama zanimljiv možemo opisati kao podskup od Ω i to kao skup {P P, GG}. Svi podskupovi od Ω nazivaju se slučajni dogadaji ili samo dogadaji. Kako ćemo u nastavku računati vjerojatnost pojedinih dogadaja, potrebno je definirati pojam vjerojatnosti. Prije toga definirajmo familiju dogadaja koja će nam biti potrebna za definiranje vjerojatnosti, a nazivamo je σ-algebra. Definicija 2.1. Neka je dan neprazan skup Ω. σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi: Familija F podskupova skupa Ω je 1. F, 2. ZATVORENOST NA KOMPLEMENTIRANJE: ako je A F onda je i A c F, 2

7 3. ZATVORENOST NA PREBROJIVE UNIJE: ako je dana prebrojiva familija skupova (A i, i I) F, I N, onda F sadrži i njihovu uniju, tj. i I A i F. Na tako zadanoj familiji definirat ćemo vjerojatnost sljedećom aksiomatskom definicijom. Definicija 2.2. Neka je Ω neprazan prostor elementarnih dogadaja i F σ-algebra skupova na njemu. Funkciju P : F R zovemo vjerojatnost na Ω ako zadovoljava sljedeća svojstva: 1. NENEGATIVNOST VJEROJATNOSTI: P (A) 0, za sve A F, 2. NORMIRANOST VJEROJATNOSTI: P (Ω) 1, 3. σ - ADITIVNOST VJEROJATNOSTI: ako je dana prebrojiva familija medusobno disjunktnih skupova (A i, i I) F, I N, tj. A i Aj čim je i j, tada vrijedi ( ) P A i P (A i ). i I i I Definicija 2.3. Uredenu trojku (Ω, F, P ), gdje je F σ-algebra na Ω i P vjerojatnost na F zovemo vjerojatnosni prostor. Vjerojatnosni prostor kod kojeg je Ω konačan ili prebrojiv skup, a pridružena σ- algebra je partitivan skup P(Ω), zovemo diskretan vjerojatnosni prostor. Vjerojatnost na diskretnom vjerojatnosnom prostoru odredujemo zadavanjem vjerojatnosti na jednočlanim podskupovima od Ω, no kada Ω nije diskretan nije moguće definirati vjerojatnost na taj način. Zbog toga uvodimo pojam slučajne varijable koji ćemo razdvojiti na diskretne i neprekidne slučajne varijable. Definicija 2.4. Neka je dan vjerojatnosni prostor (Ω, F, P ). Funkciju X : Ω R zovemo slučajna varijabla na Ω ako je X 1 (B) F za proizvoljan B B, tj. X 1 (B) F. Definicija 2.5. Neka je dan diskretan vjerojatnosni prostor (Ω, P(Ω), P ). Svaka funkcija X : Ω R je slučajna varijabla i zovemo je diskretna slučajna varijabla. Kako bismo si olakšali rad sa diskretnim slučajnim varijablama, koristiti ćemo pregledniji zapis koji nam daje sljedeća definicija. 3

8 Definicija 2.6. Diskretnu slučajnu varijablu X zadajemo tako da zadamo skup svih vrijednosti koje ta slučajna varijabla može primiti, tj. skup R(X) {x 1, x 2,...} kojeg nazivamo slika slučajne varijable X i njima pripadne vjerojatnosti p i P (X x i ), za i 1, 2,... što pregledno možemo zapisati u obliku tablice ( ) x1 x X 2... x n.... p 1 p 2... p n... Ovu tablicu nazivamo tablica distribucije, distribucija ili zakon razdiobe. Prije nego navedemo definiciju neprekidne slučajne varijable, definirat ćemo i što su to nezavisne slučajne varijable u sljedećoj definiciji. Definicija 2.7. Neka je dan diskretan vjerojatnosni prostor (Ω, P(Ω), P ) i neka su X 1, X 2,..., X n slučajne varijable na njemu. Kažemo da su X 1, X 2,..., X n nezavisne slučajne varijable ako za proizvoljne B i R, i 1, 2,..., n, vrijedi P {X 1 B 1, X 2 B 2,..., X n B n } P {ω Ω; X 1 (ω) B 1, X 2 (ω) B 2,..., X n (ω) B n } ( n ) P {X i B i } i1 n P {X i B i }. i1 Definicija 2.8. Neka je dan vjerojatnosni prostor (Ω, F, P ). Funkciju X : Ω R za koju vrijedi: {ω Ω : X(ω) x} {X x} F za svaki x R, postoji nenegativna realna funkcija realne varijable f X, takva da vrijedi P {ω Ω : X(ω) x} P {X x} x f X (t)dt, x R, zovemo neprekidna slučajna varijabla, a funkciju f X funkcija gustoće slučajne varijable X. Vjerojatnosna svojstva slučajnih varijabli najčešće su opisana funkcijom distribucije te navodimo njezinu definiciju. Definicija 2.9. Neka je dan vjerojatnosni prostor (Ω, F, P ) i neka je X slučajna varijabla na njemu. Funkciju F X : R [0, 1] koja realnom broju x pridružuje vjerojatnost da dana slučajna varijabla bude manja ili jednaka tom broju, tj. funkciju 4

9 F X (x) P {ω Ω : X(ω) x} P {X x} zovemo funkcija distribucije slučajne varijable X. Teorem koji sljedeći navodimo daje nam osnovna svojstva funkcije distribucije. Teorem 2.1. Neka je dan vjerojatnosni prostor (Ω, F, P ) i neka je X slučajna varijabla na njemu sa funkcijom distribucije F X. Tada vrijede sljedeća svojstva: 1. F X je monotono rastuća funkcija, tj. x 1 < x 2 F X (x 1 ) F X (x 2 ), 2. lim x F X(x) F X () 0, 3. lim x F X (x) F X ( ) 1, 4. F X je neprekidna zdesna, tj. lim x x0 F X (x) F X (x 0 ). Dokaz: Vidi [1, str ]. Za funkcije distribucije vrijedi i sljedeća korisna propozicija. Propozicija 2.1. Neka su F X1 i F X2 funkcije distribucije i neka je F X1 (x) F X2 (x), x C(F X1 ) C(F X2 ). Tada je F X1 F X2. Dokaz: Vidi [5, Propozicija 9.3., str. 258]. Osim funkcija distribucije dodatna pomoć u opisivanju slučajnih varijabli su numeričke karakteristike, zbog svojih generalnih svojstava. Osnovna numerička karakteristika slučajne varijable je matematičko očekivanje, koje ćemo u nastavku definirati za diskretnu i neprekidnu slučajnu varijablu. Definicija Neka je dan diskretan vjerojatnosni prostor (Ω, P(Ω), P ) i neka je X slučajna varijabla na njemu. Ako red ω Ω X(ω)P ({ω}) apsolutno konvergira, tj. ako konvergira red X(ω) P ({ω}), onda kažemo da slučajna varijabla X ima matematičko očekivanje i broj E[X] X(ω)P ({ω}) zovemo matematičko očekivanje ω Ω ω Ω (očekivanje) slučajne varijable X. 5

10 Definicija Neka je X neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće f X. Ako je integral očekivanje i broj x f X (x)dx konačan, onda kažemo da slučajna varijabla X ima E[X] xf X (x)dx zovemo matematičko očekivanje neprekidne slučajne varijable X. Navest ćemo i nekoliko svojstava matematičkog očekivanja, koja će nam biti potrebna u nastavku. Prije toga ćemo napomenuti kako svojstva koja vrijede kod matematičkog očekivanja za diskretnu slučajnu varijablu, vrijede i za neprekidnu. Teorem 2.2. (Linearnost matematičkog očekivanja) Neka su X i Y dvije slučajne varijable na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ) takve da postoje očekivanja E[X] i E[Y ]. Tada za proizvoljne a, b R, postoji očekivanje slučajne varijable ax + by i vrijedi E[aX + by ] ae[x] + be[y ]. Dokaz: Vidi [1, Teorem 2.3., str. 87]. Teorem 2.3. Neka su X 1, X 2,..., X n nezavisne slučajne varijable. Ako su sve X i nenegativne ili ako je E[X i ] konačno za sve i 1, 2,..., n, tada postoji E[ X i ] i n vrijedi i1 n E[ X i ] i1 n E[X i ]. i1 Dokaz: Vidi [5, Teorem 11.5., str. 357]. U nastavku ćemo iskazati još nekoliko poznatih teorema, koji će nam biti potrebni u dokazima koji su vezani uz karakterističnu funkciju. Teorem 2.4. (Fubinijev teorem) Neka su (X, A, µ) i (Y, B, υ) prostori σ-konačne mjere, a f : X Y [, ] funkcija koja je A B izmjeriva i integrabilna s obzirom na produktnu mjeru µ υ. Tada vrijedi: 1. Postoji skup N X X mjere nula, µ(n X ) 0, sa svojstvom da je za svaki x X\N X fukcija f x integrabilna s obzirom na mjeru υ. 6

11 2. Funkcija g : X R definirana formulom { g(x) f Y xdυ, ako je x X\N X 0, ako je x N X integrabilna je s obzirom na mjeru µ. 3. Postoji skup N Y Y mjere nula, υ(n X ) 0, sa svojstvom da je za svaki y Y \N Y fukcija f y integrabilna s obzirom na mjeru µ. 4. Funkcija h: Y R definirana formulom { h(y) f y dµ, ako je y Y \N X Y 0, ako je y N Y integrabilna je s obzirom na mjeru υ. ( ) 5. fd(µ υ) f y dµ dυ(y) X Y Dokaz: Vidi [2, Teorem 5.12., str. 176]. Y X X ( Y ) f x dυ dµ(x). Teorem 2.5. (Lebesgueov teorem o dominantnoj konvergenciji) Neka su f, f n : X [, ], n N, Σ-izmjerive funkcije i neka je g : X [0, ] integrabilna funkcija. Ako su ispunjeni sljedeći uvjeti: 1. lim n f n f, 2. funkcije f n dominirane su funkcijom g, tj. f n g, za svaki n N, onda su sve funkcije f i f n, n N integrabilne i vrijedi f n dµ fdµ. lim n Dokaz: Vidi [2, Teorem 4.36., str. 138]. Teorem 2.6. (Weierstrassov teorem aproksimacije) Neka je f C([a, b], R). Tada postoji niz polinoma p n (x) koji uniformno konvergira prema f(x) na [a, b]. Dokaz: Vidi [7, Teorem 14.1., str. 1-3]. Napomena 2.1. Rezultat sličan Weierstrassovom teoremu aproksimacije pojavljuje se kod Fourierovih redova. On tvrdi da neprekidnu periodičnu funkciju možemo uniformno aproksimirati na R trigonometrijskim polinomom. 7

12 3. Karakteristična funkcija Znamo da svojstva slučajnih varijabli opisujemo funkcijama distribucije, no rad s funkcijama distribucije često može biti vrlo kompliciran. Kako bi se olakšao taj problem funkcijama distribucije se pridružuju pripadne karakteristične funkcije. Karakteristične funkcije su korisne jer postoji ekvivalencija izmedu njih i funkcija distribucije, a rad s karakterističnim funkcijama je znatno lakši nego rad s funkcijama distribucije. Nakon što definiramo karakteristične funkcije i navedemo njihova osnovna svojstva, iskazat ćemo i dokazati Teorem o jedinstvenosti koji nam jamči tu ekvivalencju i Teorem inverzije koji nam pokazuje kako se funkcija distribucije i funkcija gustoće u specijalnom slučaju mogu eksplicitno prikazati pomoću svoje karakteristične funkcije Definicija i osnovna svojstva Definicija 3.1. Neka je dan vjerojatnosni prostor (Ω, F, P ) i slučajna varijabla X na njemu s funkcijom distribucije F X. Karakteristična funkcija od F X je funkcija ϕ X : R C definirana izrazom ϕ X (t) e itx df X (x) cos(tx)df X (x) + i sin(tx)df X (x), t R. Za svaki t R funkcija x e itx je neprekidna i budući da je e itx 1, ϕ X je dobro definirana. Napomena 3.1. Ovdje ćemo pokazati da je funkcija ϕ X uistinu dobro definirana na cijelom R. Koristeći trigonometrijski zapis i apsolutnu vrijednost kompleksnog broja vrijedi sljedeće e itx cos(tx) + i sin(tx) cos 2 (tx) + sin 2 (tx) 1. Sada prema prethodnoj definiciji i dobivenom rezultatu imamo ϕ X (t) e itx df X (x) te zaključujemo da je ϕ X dobro definirana. df X (x) 1 Definicija 3.2. Neka je X slučajna varijabla s funkcijom distribucije F X. Karakteristična funkcija ϕ X slučajne varijable X je karakteristična funkcija od F X dana izrazom ϕ X (t) e itx df X (x) E[e itx ], za t R. 8

13 Ako je X diskretna slučajna varijabla sa slikom R(X) {x k : k I N}, te pripadnim vjerojatnostima, P {X x k } p k, k I, tada je ϕ X (t) k I e itx k p k x k R(X) cos(tx k )p k + i x k R(X) sin(tx k )p k. Ako je X neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće f X, tada je ϕ X (t) e itx f X (x)dx cos(tx)f X (x)dx + i sin(tx)f X (x)dx. Sada kada smo definirali karakterističnu funkciju, navest ćemo nužna svojstva koja neka funkcija ϕ X mora ispunjavati da bi bila karakteristična funkcija slučajne varijable. Propozicija 3.1. Karakteristična funkcija ϕ X : R C slučajne varijable X mora zadovoljavati sljedeće: 1. ϕ X (t) ϕ X (0) 1, 2. ϕ X ( t) ϕ X (t), 3. ϕ X je uniformno neprekidna funkcija na R. Dokaz: 1. Za svaki t R prema definiciji karakteristične funkcije i Napomeni 3.1. vrijedi ϕ X (t) e itx df X (x) e itx df X (x) df X (x) 1 F X ( ). Takoder vrijedi pa zaključujemo ϕ X (0) E[e i 0 x ] E[e 0 ] E[1] 1, ϕ X (t) ϕ X (0) Koristeći se svojstvom kompleksnog konjugiranja i definicijom karakteristične funkcije za svaki t R vrijedi ϕ X ( t) e itx df X (x) e itx df X (x) e itx df X (x) ϕ X (t). 9

14 3. Još nam preostaje dokazati da je ϕ X uniformno neprekidna na R. Uzmimo proizvoljne t, h R te pogledajmo apsolutnu vrijednost karakteristične funkcije ϕ X u danim vrijednostima. Tada je ϕ X (t + h) ϕ X (t) e i(t+h)x df X (x) e itx df X (x) (e i(t+h)x e itx )df X (x) (e itx e ihx e itx )df X (x) e itx (e ihx 1)dF X (x). Koristeći predznanje iz integralnog računa, znamo da na integrale možemo primjeniti nejednakost trokuta. Navedena tvrdnja i rezultat koji smo dobili u Napomeni 3.1. će nam pojednostaviti prethodni izraz e itx (e ihx 1)dF X (x) e itx (e ihx 1) dfx (x) e ihx 1 df X (x). Pogledajmo sada podintegralnu vrijednost, primjećujemo da e ihx 1 0 za h 0, osim toga vrijedi e ihx 1 e ihx Zaključujemo da su ispunjeni uvjeti Lebesgueovog teorema o dominiranoj konvergenciji, te vrijedi sljedeće lim h 0 e ihx 1 dfx (x) Dakle, ϕ X je uniformno neprekidna na R. 0dF X (x) 0. Propozicija 3.1. daje nužne uvjete koje karakteristična funkcija mora zadovoljiti. U nastavku ćemo navesti Bochnerov teorem koji sadrži nužne i dovoljne uvjete kako bi za danu funkciju ϕ X : R C znali odrediti kada je ona karakteristična. Prije toga ćemo definirati kada je funkcija ϕ X pozitivno semidefinitna, jer ćemo takve funkcije koristiti u Bochnerovom teoremu. Osim toga navest ćemo Teorem neprekidnosti koji će nam biti potreban u dokazu tog teorema. 10

15 Definicija 3.3. Funkcija g : R C je pozitivno semidefinitna ako je i1 g(t i t j )α i α j 0 j1 za proizvoljno n, te za proizvoljne t 1, t 2,..., t n R i za α 1, α 2,..., α n C. Teorem 3.1. (Teorem neprekidnosti) Neka je (F Xn, n N) niz funkcija distribucije i (ϕ Xn, n N) odgovarajući niz karakterističnih funkcija. w 1. Ako F Xn F X, gdje je F X funkcija distribucije, tada ϕ Xn (t) ϕ X (t) za sve t R, gdje je ϕ X karakteristična funkcija od F X. 2. Ako za svaki t R postoji lim ϕ Xn (t) ϕ X (t) i ako je funkcija ϕ X neprekidna n u t 0, tada je ϕ X karakteristična funkcija funkcije distribucije F X i vrijedi w F X. F Xn Dokaz: Vidi [5, Teorem , str 480]. Teorem 3.2. (Bochnerov teorem) Funkcija ϕ X : R C je karakteristična funkcija ako i samo ako je ona pozitivno semidefinitna i neprekidna u nuli. Dokaz: Neka je ϕ X : R C karakteristična funkcija. Trebamo pokazati da je ϕ X pozitivno semidefinitna i neprekidna u nuli. Prethodno smo u Propoziciji 3.1. dokazali da je ϕ X neprekidna na cijelom R, prema tome neprekidna je i u nuli. Preostalo nam je još pokazati da je ϕ X pozitivno semidefinitna, tj. ϕ X (t i t j )α i α j 0. Prije nego nastavimo sa dokazom, napomenut ćemo da se u dokazu koristimo nekim već poznatim činjenicama o svojstvima kompleksnog konjugiranja i tvrdnjama o integralima. Tada je i1 ϕ X (t i t j )α i α j j1 i1 j1 i1 [ [ i1 [ i1 j1 e i(t i t j )x ] α i α j df (x) ] e i(t i t j )x α i α j df (x) j1 ] e itix e itjx α i α j df (x) j1 11

16 [ ] α i e itix α j e it jx df (x) i1 j1 2 α i e it ix df (x) 0. i1 Zaključujemo da je ϕ X je pozitivno semidefinitna. Sada još trebamo dokazati drugi smjer. Pretpostavimo sada da je ϕ X pozitivno semidefinitna i neprekidna u nuli, treba pokazati da je ϕ X karakteristična funkcija. Za proizvoljne x R i n > 0 postoji integral I(x) 1 n n n 0 0 ϕ X (v w)e i(v w)x dwdv. Ako prethodni integral aproksimiramo Riemmanovim sumama i iskoristimo pretpostavku teorema da je ϕ X pozitivno semidefinitna, zaključujemo da je I(x) 0. Uvedimo supstituciju tako da je u v w. Tada iz 0 w + u n i 0 w n sljedi I(x) 1 n 1 n n 0 n 0 n ϕ X (u)e iux ( n u ) dw du + 1 n ϕ X (u)e iux (n + u)du + 1 n n ( ϕ X (u)e iux 1 u ) du. n n 0 n 0 ϕ X (u)e iux ( n u ϕ X (u)e iux (n u)du Definiramo novu funkciju ϕ Xn tako da je { ( ) ϕ ϕ Xn (u) X (u) 1 u, u n n 0, u > n, zbog toga možemo integral I(x) napisati kao I(x) 0 ϕ Xn (u)e iux du. ) dw du ( 1 x X ) e ivx Sada ćemo prethodnu jednakost pomnožiti s obje strane izrazom 1 i zatim ćemo dobiveni izraz integrirati u granicama od X do X, pri čemu je X > 0. Primjenom navedenog imamo 12

17 1 X ( 1 x ) I(x)e ivx dx 1 X X π ϕ Xn (u)e iux X X ϕ Xn (u) ϕ Xn (u) X X 0 X ( 1 x X ( 1 x X ( 2 1 x X ϕ Xn (u) sin2 1 X(v u) 2 du. X(v u) 2 ) e ivx dxdu ) e ix(v u) dxdu ) cos(x(v u))dxdu ( Kako je 1 x ) 0 za x ( X, X) i I(x) 0, tada lijeva strana prethodne X jednadžbe ima oblik karakteristične funkcije do na konstantu. Pogledajmo sada limes desne strane jednadžbe kada X, on je jednak ϕ Xn (u). Budući da je funkcija ϕ Xn (u) limes niza karakterističnih funkcija i neprekidna je u nuli, zaključujemo da je ϕ Xn (u) karakteristična funkcija. Osim toga je lim ϕ Xn ϕ X, te prema Teoremu n neprekidnosti sljedi da je ϕ X karakteristična funkcija i time je naš teorem dokazan. Kao zadnje svojstvo navest ćemo tvrdnje koje vrijede za afinu transformaciju slučajne varijable X, odnosno za Y ax + b, gdje su a, b R, a 0 i za sumu n nezavisnih slučajnih varijabli. Teorem Neka je X slučajna varijabla s karakterističnom funkcijom ϕ X i a, b R, a 0. Karakteristična funkcija slučajne varijable Y ax + b je dana izrazom ϕ Y (t) ϕ ax+b (t) e ibt ϕ X (at), t R. 2. Neka su X 1, X 2,..., X n nezavisne slučajne varijable s karakterističnim funkcijama ϕ Xk (t), k {1, 2,..., n}.tada je karakteristična funkcija slučajne varijable Y X k dana izrazom k1 ϕ Y (t) ϕ n k1 X (t) n ϕ k Xk (t). k1 13

18 Dokaz: 1. Neka je X slučajna varijabla i Y njezina afina transformacija. Koristeći se definicijom karakteristične funkcije slučajne varijable i svojstvima matematičkog očekivanja koja smo naveli u Teoremu 2.2. i Teoremu 2.3. dobivamo ϕ Y (t) ϕ ax+b (t) E[e it(ax+b) ] E[e itb e itax ] E[e itb ]E[e itax ] e ibt ϕ X (at). 2. Neka su X 1, X 2,..., X n nezavisne slučajne varijabe i Y svoje dosadašnje znanje o karakterističnim funkcijama. Tada je Prema Teoremu 2.3., sljedi ϕ Y (t) ϕ n k1 X (t) n k E[eit k1 X k ] E[ E[ n e itx k ] k1 n E[e itx k ] k1 X k. Iskoristimo sada k1 n e itx k ]. k1 n ϕ Xk (t). k1 14

19 3.2. Teorem inverzije Najvažniji rezultati vezani uz karakteristične funkcije iskazani su u sljedećim teoremima. Teorem jedinstvenosti nam daje 1 1 korespodenciju izmedu karakteristične funkcije i njoj pripadne funkcije distribucije. Naime, ako dvije slučajne varijable imaju jednake karakteristične funkcije, onda one imaju jednake funkcije distribucije. Teorem 3.4. (Teorem jedinstvenosti) Neka su F X1 i F X2 funkcije distribucije na R i neka one imaju istu karakterističnu funkciju, tj. za sve t R vrijedi Tada je F X1 F X2. e itx df X1 (x) e itx df X2 (x). Dokaz: Neka su a, b R takvi da je a < b te neka je ε > 0. Promotrimo funkciju f (ε), čiji je graf prikazan na Slici 1., te dokažimo da vrijedi Slika 1: Graf funkcije f (ε) f (ε) (x)df X1 (x) f (ε) (x)df X2 (x). Neka je n N takav da je [a ε, b+ε] [ n, n] i neka je (δ n, n N) niz, takav da je 1 δ n 0 za n. Restringirana funkcija f (ε) [ n,n] je neprekidna i prima jednake vrijednosti u rubnim točkama. Sada prema Weierstrassovom teoremu aproksimacije i Napomeni 2.1. možemo funkciju f (ε) [ n,n] uniformno aproksimirati trigonometrijskim polinomima. Dakle, postoji konačna suma 15

20 f n (ε) (x) k a k e i πxk n tako da vrijedi Proširimo funkciju f (ε) n sup f (ε) (x) f n (ε) (x) δ n. n x n na cijeli R i primijećujemo da je sup f n (ε) (x) 2. x R Iz pretpostavke teorema da F X1 i F X2 imaju jednaku karakterističnu funkciju sljedi da je f n (ε) (x)df X1 (x) f n (ε) (x)df X2 (x). Označimo sa M max{f X1 ( ), F X2 ( )}, pa dobivamo sljedeće f (ε) (x)df X1 (x) n f (ε) (x)df X2 (x) f (ε) df X1 (x) n n f n (ε) df X1 (x) n + 2Mδ n f n (ε) df X1 (x) n n n n f (ε) df X2 (x) f n (ε) df X2 (x) f (ε) n + 2Mδ n + 2µ FX1 ([ n, n] e ) + 2µ FX2 ([ n, n] e ), df X2 (x) gdje su µ FX1 i µ FX2 mjere inducirane redom s F X1 odnosno F X2. Desna strana prethodnog izraza teži prema nuli kada n, dakle vrijedi f (ε) df X1 (x) f (ε) df X2 (x). Primjetimo, kada ε 0 vrijedi f (ε) (x) K [a,b] (x), gdje je K [a,b] (x) funkcija definirana na sljedeći način K [a,b] (x) { 1, x [a, b] 0, x / [a, b]. 16

21 Ukoliko na jednakost f (ε) (x)df X1 (x) f (ε) (x)df X2 (x) primjenimo Lebesgueov teorem o dominantnoj konvergenciji, dobivamo K [a,b] (x)df X1 (x) K [a,b] (x)df X2 (x). Prema tome kako smo definirali funkciju K [a,b] iz prethodne jednakosti sljedi F X1 (b) F X1 (a) F X2 (b) F X2 (a), ako je a točka u kojoj su i F X1 i F X2 neprekidne, tj. a C(F X1 ) C(F X2 ). Pustimo a po skupu C(F X1 ) C(F X2 ), tada prema svojstvima funkcija distribucije znamo da je F X1 () F X2 () 0 i zbog Propozicijie 2.1. sljedi F X1 F X2. Nastavit ćemo s drugim važnim teoremom, Teoremom inverzije i njegovim dokazom. Teorem 3.5. (Teorem inverzije) 1. Ako je ϕ X karakteristična funkcija slučajne varijable X s funkcijom distribcije F X i ako su a i b proizvoljne točke neprekidnosti funkcije F X takve da je a < b, tada vrijedi: 2. Ako je 1 F X (b) F X (a) lim T T T e iat e ibt ϕ X (t)dt it ϕ X (t) dt <, tada slučajna varijabla X ima funkciju gustoće f X, tj. X je neprekidna slučajna varijabla i vrijedi f X (x) 1 e itx ϕ X (t)dt, x R. Osim toga, f X je neprekidna i ograničena funkcija. Dokaz: 1. Označimo sa I(T ) izraz, za a < b, I(T ) 1 T T koji možemo zapisati na sljedeći način e iat e ibt ϕ X (t)dt, it I(T ) 1 T 1 T T T T T e iat e ibt ϕ X (t)dt it [ e iat e ibt it [ e it(x a) e it(x b) 17 it e itx df X (x) ] dt ] df X (x)dt.

22 Kako bi prethodni izraz još pojednostavili, želimo zamjeniti integrale. Prije toga potrebno je provjeriti je li podintegralna funkcija ograničena kako bi mogli primjeniti Fubinijev teorem. Dakle, sredivanjem podintegralne funkcije i primjenom nejednakosti trokuta na integral sljedi e iat e ibt e itx e iat e ibt it it e itx e iat e ibt it 1 b e itx dx a b a b a. e itx dx Primjenjujući prethodni rezultat, pogledajmo sljedeći integral c c (b a)dtdf X (x) 2c(b a)f X ( ) <. Sada smijemo zamjeniti integrale i vrijedi T [ ] e it(x a) e it(x b) I(T ) df X (x)dt. it T U nastavku ćemo iskoristiti trigonometrijski zapis sin z eiz e iz i neparnost 2i sinusa te dobivamo [ T ] e it(x a) e it(x b) [ 1 T sin t(x a) dt df X (x) dt T it π 0 t 1 T ] sin t(x b) dt df X (x). π t Znamo da općenito vrijedi 0 sin(αx) dx sign(α) π 0 x 2, gdje je sign(α) predznak od α koji može biti 1, 0 ili 1, zavisno o tome je li α manji, jednak ili veći od nule. U našem slučaju α su x a i x b, te ćemo sve pregledno zapisati ovako 1 π 0 sin(αt) dt t 18 1, α > 0 2 0, α 0. 1, α < 0 2

23 Iz prethodno navedenog vidimo kako je funkcija 1 sin(αt) dt neprekidna po T π 0 t i postoji limes te funkcije kada T i on je konačan, zbog čega zaključujemo da je dana funkcija uniformno ograničena. Dakle, postoji M, 0 < M <, takav da vrijedi 1 T sin(αt) dt π 0 t M za sve T i α. U nastavku ćemo primjeniti Lebesgueov teorem o dominiranoj konvergenciji, jer smo prethodno zaključili da su ispunjeni uvjeti tog teorema. Primjenom navedenog, vrijedi [ 1 T sin(t(x a)) lim I(T ) lim dt 1 T ] sin(t(x b)) dt df X (x) T π t π t gdje je T 0 L(x, a, b)df X (x) T 1, a < x < b 1 L(x, a, b), x a ili x b 2 0, x < a ili x > b Nakon djelovanja limesa, vrijedi sljedeće lim [ I(T ) T (,a) 12 ( 1 )] df X + 2 [ 1 jer su a, b C(F X ). + b + a (a,b) (b, ) [ [ ( 1 2 F X (b) F X (a) ( 1 )] df X + 2 ] df X )] df X 0 {a} {b}. [ ( 0 1 )] df X 2 [ ] df X 2. Želimo dokazati, ako je ϕ X (t) dt <, tada funkcija distribucije F X slučajne varijable X ima funkciju gustoće f X za koju vrijedi, f X (x) 1 e itx ϕ X (t)dt, x R. Prvo ćemo pokazati da je f X integrabilna na [a, b] tj. da je ograničena i neprekidna. Znamo da je funkcija ϕ X integrabilna što povlači da je f X dobro definirana 19

24 i ograničena. Preostalo je još pokazati da je f X neprekidna na R, za taj dokaz potrebno je ponoviti sličan postupak koji smo naveli u dokazu Propozicije 3.1.(3). Dakle, funkcija gustoće f X je integrabilna na [a, b] pa sada možemo računati odredeni integral funkcije gustoće, b a f X (x)dx b a [ 1 ] e itx ϕ X (t)dt dx. Prethodno smo već zaključili da funkcija gustoće zadovoljava uvjete Fubinijevog teorem, pa ćemo ga iskoristiti b a [ 1 ] e itx ϕ X (t)dt dx 1 [ b ϕ X (t) a 1 lim T lim T 1 T T T T [ b ϕ X (t) ] e itx dx dt a ] e itx dx dt e iat e ibt ϕ X (t)dt. it Primjećujemo da smo dobili isti izraz kao u 1. dijelu teorema, prema tome znamo da vrijedi 1 T e iat e ibt lim ϕ X (t)dt F X (b) F X (a), T T it za a, b C(F X ). Budući da je integral neprekidna funkcija svojih granica, zaključujemo da je F X (b) F X (a) b Kada pustimo a sljedi F X (b) a f X (x)dx za sve a, b R, takve da je a < b. b f X (x)dx, za b R. Prema tome kako je F X funkcija distribucije slučajne varijable X, možemo zaključiti da je f X funkcija gustoće od X. 20

25 4. Primjeri karakterističnih funkcija nekih slučajnih varijabli U ovom poglavlju ćemo izračunati karakteristične funkcije nekoliko distribucija slučajnih varijabli koje se zbog svoje velike važnosti često koriste u praksi i koje prepoznajemo po njihovim specifičnim svojstvima. Primjer 4.1. (Bernoullijeva distribucija) U stvarnom životu nas često zanima kolika je vjerojatnost da se neki dogadaj realizirao ili da se nije realizirao, a te realizacije često zovemo uspjeh, odnosno neuspjeh. Takvi pokusi kod kojih slučajna varijabla može primiti točno dvije vrijednosti su opisani Bernoullijevom distribucijom, gdje je R(X) {0, 1}, a pridružene vjerojatnosti su p P (X 1) i q 1 p P (X 0). Sada prema definiciji karakteristične funkcije sljedi ϕ X (t) i R(X) e itx i p i e 0 (1 p) + e it p 1 p + e it p q + e it p. Primjer 4.2. (Binomna distribucija) Za slučajnu varijablu X koja opisuje broj uspjeha u n nezavisnih ponavljanja i gdje nas pri svakom izvodenju pokusa zanima samo je li se neki dogadaj dogodio ili ne, kažemo da ima Binomnu distribuciju. Neka je n N i p (0, 1), slučajna varijabla X prima ( ) vrijednosti iz skupa {0, 1, 2,..., n} s pripadnim n vjerojatnostima p i P {X i} p i (1 p) n i. Na taj način je dana Binomna distribucija s parametrima n i p koju označavamo X B(n, p). Karakterističnu funkciju i računamo ( ) ϕ X (t) e itx i p i e itx i n p i (1 p) n i. i i0 i0 ( ) n Prema Binomnom teoremu koji tvrdi da je (a + b) n a k b n k, gdje su a, b R, k k0 n N, sljedi ( ) e itx i n p i (1 p) n i (pe it + 1 p) n. i i0 Dakle, karakteristična funkcija za slučajnu varijablu X s Binomnom distribucijom je ϕ X (t) (pe it + 1 p) n. Primjer 4.3. (Uniformna distribucija) Uniformna distribucija slučajne varijable X veže se uz pokuse za koje je poznato da mogu primiti vrijednosti iz ograničenog intervala (a, b), ali pritom ne preferiramo neko područje. Preciznije, za neprekidnu 21

26 slučajnu varijablu X kažemo da ima uniformnu distribuciju na intervalu (a, b), gdje je a < b, ako joj je funkcija gustoće dana izrazom { 1, x (a, b) f X (x) b a 0, x / (a, b). Označavamo je s X U(a, b), a, b R, takvi da je a < b. uniformne slučajne varijable je dana na sljedeći način 0, x (, a) x a F X (x), x [a, b) b a 1, x [b, ) Funkcija distribucije i njezin graf za X U(0, 5)vidimo na Slici 2. Slika 2: Funkcija distribucije uniformne slučajne varijable Pogledajmo sada postupak računanja karakteristične funkcije ϕ X (t) e itx f X (x)dx b a 1 b a 1 e itx 1 b a dx b a b b a a 1 it(b a) e itx dx (cos(tx) + i sin(tx))dx [ e itb e ita]. Dakle, karakteristična funkcija neprekidne slučajne varijable s uniformnom distribucijom je ϕ X eitb e ita it(b a). 22

27 Primjer 4.4. (Normalna distribucija) Za neprekidnu slučajnu varijablu X na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ) kažemo da ima normalnu ili Gaussovu distribuciju s parametrima µ i σ 2 ako je njezina funkcija gustoće dana s f X (x) 1 σ (x µ) 2 e 2σ 2, x R, gdje su µ i σ realni brojevi i σ > 0. Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable za µ 1 i σ 2 prikazana je na Slici 3. Slika 3: Funkcija gustoće slučajne varijable Označavamo je s X N (µ, σ 2 ). Funkcija distribucije je dana formulom F X (x) 1 σ x e (t µ)2 2σ 2 dt, x R. pa dobi- Prvo ćemo napraviti afinu transformaciju slučajne varijable X Y µ σ vamo sljedeće X Y µ σ σx Y µ Y σx + µ. Prema Teoremu 3.2.(1) o svojstvima karakteristične funkcije znamo da vrijedi ϕ Y (t) ϕ σx+µ (t) e iµt ϕ X (σt) što ćemo iskoristiti na kraju. Sada odredimo karakterističnu funkciju standardne normalne distribucije slučajne varijable X N (0, 1), čija je gustoća dana s f X (x) 1 e x2 2, x R. Tada je 23

28 [ 1 ϕ X (t) e itx f X (x)dx e itx e x2 2 e x2 2 e itx e x2 2 k0 k0 (it) k k0 k! ] dx ( ) (it) k x k dx k! k! k0 (it) k x k e x2 2 dx (it) k k! 1 x k e x2 2 dx x k e x2 2 dx Pogledajmo sada podintegralnu funkciju i označimo je s g(x) x k e x2 2. Funkcija g je parna za paran k, odnosno neparna kada je k neparan i vrijedi sljedeće x k e x2 2 dx (( 1) k + 1) 0 y k e y2 2 dy. Zatim ćemo dobiveni izraz uvrstiti na odgovarajuće mjesto, nakon čega ϕ X izgleda ovako (it) k 1 ϕ X (t) (( 1) k + 1) y k e y2 2 dy. k! k0 Kako bismo imali pregledniji račun uvest ćemo supstituciju s y2. Tada je 2 (( 1) k + 1)(it) k ϕ X (t) k! (2s) k 2 e s (2s) 1 2 ds k0 0 (( 1) k + 1)(it) k k! 2 k k 2 s 2 e s s 1 2 ds k0 0 (( 1) k + 1)(it) k k! 2 k 1 2 s k 1 2 e s ds. k0 Iintegral u prethodnoj jednakosti odgovara definiciji Gama funkciji, tj. Γ(x) 0 t x 1 e t dt, pri čemu je x > 0, te je prethodni izraz jednak (( 1) k + 1)(it) k k0 k! 24 2 k ( ) k Γ. 2

29 Primjetimo sada da su sumandi jednaki nuli za sve neparne k, zbog toga ćemo sumirati samo po parnim k i vrijedi ϕ X (t) ( ) (( 1) 2n + 1)(it) 2n (2n)! 2 n 1 2n Γ 2 n0 ( ) 2(it) 2n 2n + 1 (2n)! π 2n 1 Γ. 2 n0 U nastavku ( ćemo iskoristiti svojstva koja vrijede za Gamma funkciju, odnosno Γ(x)Γ x + 1 ) π Γ(2x) te nakon toga Γ(x) (x 1)!. Kada to uvrstimo u 2 22x 1 prethodnu jednakost dobit ćemo rješenje (it) 2n Γ(2n + 1) ϕ X (t) 2 n (2n)! Γ(n + 1) (it) 2n 2 n n! n0 n0 ( ) n t2 2 e t2 2, t R. n! n0 ( 1) n t 2n 2 n n! n0 Za kraj ćemo prethodni rezultat uvrsititi u početni izraz i dobiti karakterističnu funkciju slučajne varijable Y, ϕ Y (t) e iµt (σt)2 iµt ϕ X (σt) e 2, t R. 25

30 Literatura [1] M. Benšić, N. Šuvak, Uvod u vjerojatnost i statistiku, Sveučilište J.J. Strossmayera, Odjel za matematiku, Osijek, [2] D. Jukić, Mjera i integral, Sveučilište J.J. Strossmayera, Odjel za matematiku, Osijek, [3] A.F. Karr, Probability, Springer-Verlag, New York, [4] P.A.P. Moran, An introduction to probability theory, Oxford University Press, [5] N. Sarapa, Teorija vjerojatnosti, Školska knjiga, Zagreb, [6] [7] speicher/section14.pdf 26

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa

Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

Parametarski zadane neprekidne distribucije

Parametarski zadane neprekidne distribucije Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Kristijan Šućur Parametarski zadane neprekidne distribucije Završni rad Osijek, 217. Sveučilište

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 1 Slučajna varijabla Slučajna varijabla je funkcija X koja elementarnim dogadajima pridružuje

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja 2016. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je I kolekcija svih ograničenih jednodimenzionalnih intervala

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u vjerojatnost i matematičku statistiku

Uvod u vjerojatnost i matematičku statistiku Uvod u vjerojatnost i matematičku statistiku - vježbe - Danijel Krizmanić 28. rujna 2007. Sadržaj Osnove vjerojatnosti 2 2 Kombinatorika i vjerojatnost 5 3 Uvjetna vjerojatnost. Nezavisnost 9 4 Geometrijske

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Mjera i Integral Vjeºbe

Mjera i Integral Vjeºbe Mjera i Integral Vjeºbe September 8, 2015 Chapter 1 σ-algebre 1.1 Osnovna svojstva i prvi primjeri Najprije uvodimo pojmove algebre i σ-algebre 1 skupova. Za skup, familiju svih njegovih podskupova zovemo

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Laplaceova transformacija

Laplaceova transformacija Laplaceova transformacija Laplaceova transformacija je integralna transformacija s brojnim primjenama u matematici, fizici, elektrotehnici, teoriji vjerojatnosti i drugdje. Koristi se za rješavanje diferencijalnih

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odjel Ivan Ivec SOOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Nenad Antonić Zagreb, siječnja 001. Zahvaljujem svojem mentoru doc.

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007. Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka

Διαβάστε περισσότερα

Sintaksa i semantika u logici

Sintaksa i semantika u logici Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova

Διαβάστε περισσότερα

O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija

O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija O fiksnim točkama... O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija Matea Jelčić, Kristina Ivankić, Mirela Katić Žlepalo 3 i Bojan Kovačić Sažetak U ovom članku razmatramo fiksne točke četiriju

Διαβάστε περισσότερα

Metode dokazivanja nejednakosti

Metode dokazivanja nejednakosti IMO/MEMO pripreme 2016. Aleksandar Bulj, 8. 6. 2016. Uvod Metode dokazivanja nejednakosti Cilj ovoga predavanja je prikazati razne tehnike za dokazivanje nejednakosti. U prvom će poglavlju kroz nekoliko

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI. Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974.

METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI. Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974. METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI Šime Ungar http://www.mathos.unios.hr/~sime/ Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974. Š. Ungar. Matematička analiza 3, PMF-Matematički

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL OSIJEK, f = 3 α i χ Ai. α 2. α 1. α 3 A 1 A 2 A 3. 3 fdλ = α i λ(a i )

Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL OSIJEK, f = 3 α i χ Ai. α 2. α 1. α 3 A 1 A 2 A 3. 3 fdλ = α i λ(a i ) Dragan Jukić α 2 f = 3 α i χ Ai 3 fdλ = α i λ(a i ) α 1 α 3 A 1 A 2 A 3 MJERA I INTEGRAL OSIJEK, 2012. prof.dr.sc. Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL Osijek, 2012. D. Jukić Mjera i integral. Izdavač: Sveučilište

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Ako između tri slučajne varijable postoji veza ζ = f (ξ, η) i ako su poznate sve relevantne gustoće vjerojatnosti, tada je

Ako između tri slučajne varijable postoji veza ζ = f (ξ, η) i ako su poznate sve relevantne gustoće vjerojatnosti, tada je Višekomponentne slučajne varijable Srednje vrijednosti i momenti Definicija srednje vrijednosti Ako između tri slučajne varijable postoji veza ζ = f (ξ, η) i ako su poznate sve relevantne gustoće vjerojatnosti,

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

R ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti

R ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti Opća topologija 116 Opća topologija 118 Drugi aksiom prebrojivosti 4 AKSIOMI SEPARACIJE I PREBROJIVOSTI Aksiomi prebrojivosti Aksiomi separacije Normalni prostori Urysonova lema Urysonov teorem o metrizaciji

Διαβάστε περισσότερα

(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1

(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1 χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Monte Carlo metode Bojan Basrak, PMF MO Zagreb. Financijski praktikum 29. veljače 2016.

Monte Carlo metode Bojan Basrak, PMF MO Zagreb. Financijski praktikum 29. veljače 2016. Monte Carlo metode Bojan Basrak, PMF MO Zagreb Financijski praktikum 29. veljače 2016. 1 Monte Carlo metode 2 Primjene modeliranje složenih sustava upravljanje portfeljima u financijama i osiguranju procjena

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα