Αναπαραστάσεις οµάδων: παραδείγµατα

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αναπαραστάσεις οµάδων: παραδείγµατα"

Χρύσηίς Ρόκας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Φεβρουάριος-Μάρτιος 2016

2 1 τοπολογικές οµάδες 2 3

3 τοπολογικές οµάδες Ορισµός Μια οµάδα G λέγεται τοπολογική οµάδα αν είναι εφοδιασµένη µε µια τοπολογία τ.ω. οι (x, y) xy και x x 1 να είναι συνεχείς.

4 Παραδείγµατα G οµάδα µε την διακριτή τοπολογία (R, +), (R, ), (R +, ) (T, ), T = {z C : z = 1}

5 Οι παρακάτω οµάδες πινάκων µε την σχετική τοπολογία και πράξη τον πολλαπλασιασµό πινάκων. Παραδείγµατα GL(n, R) = {A = (a ij ) : n n πίνακας, a ij R, det A 0} SL(n, R) = {A : A GL(n, R), det A = 1} O(n, R) = {A : A GL(n, R), A t A = I} GL(n, C) = {A = (a ij ) : n n πίνακας, a ij C, det A 0} U(n) = {A : A GL(n, C), A A = I} SU(n) = {A : A U(n), det A = 1}

6 Παραδείγµατα T n = {A = (a ij ) : n n άνω τριγωνικός πίνακας, i, a ii = 1} 1 a 12 a 13 a 14 a a 23 a 24 a 25 T 5 = a 34 a a 45 : a ij R Η οµάδα του Heisenberg 1 x z H = 0 1 y : x, y, z R

7 Παραδείγµατα Affine group G = {(A, x) : A GL(n, R), x R n } (A, x)(b, y) = (AB, Ay + x). Οµάδα Ισοµετριών του R n G = {(A, x) : A O(n, R), x R n } (A, x)(b, y) = (AB, Ay + x). G = {F : R n R n : Fw 2 = w 2, w R n }

8 Παραδείγµατα Η οµάδα του Lorentz J = G = {A GL(4, R) : AJA t = J} G = {F : F GL(4, R) : g(fw) = g(w), w R 4 } g(t, x, y, z) = t 2 x 2 y 2 z 2.

9 Πρόταση G τοπικά συµπαγής τοπολογική οµάδα. Τότε η G έχει ένα αριστερά αναλλοίωτο µέτρο. Το µέτρο αυτό είναι µοναδικό up to a scalar. Λέγεται µέτρο Haar και ϑα συµβολίζεται µ.

10 Ορισµός H χώρος Hilbert και G τοπολογική οµάδα. Μια unitary αναπαράσταση π της G είναι µια απεικόνιση G B(H) τέτοια ώστε: 1 x π(x) είναι οµοµορφισµός οµάδων 2 π(x) π(x) = π(x)π(x) = I, x G. 3 Για κάθε v H η απεικόνιση x π(x)v είναι συνεχής. Ορισµός (π, H) unitary αναπαράσταση της G. Ενας κλειστός διανυσµατικός υπόχωρος V του H λέγεται αναλλοίωτος αν π(x)v V, v V, x G V αναλλοίωτος, τότε V αναλλοίωτος.

11 Ορισµός (π, H) unitary αναπαράσταση της G. Η π λέγεται irreducible αν οι µόνοι αναλλοίωτοι υπόχωροι είναι ο H και ο {0}. Ορισµός G οµάδα (π, H) unitary αναπαράσταση της G. Αν V αναλλοίωτος υπόχωρος του H, τότε ο περιορισµός π V (x) του π(x) στον V, ορίζει ένα στοιχείο του B(V). Η g π V (x) είναι µια απεικόνιση G B(V) και λέγεται υποαναπαράσταση της π. Ορισµός (π 1, H 1 ), (π 2, H 2 ) αναπαραστάσεις της G. Η απεικόνιση x (π 1 π 2 )(x) : G B(H 1 H 2 ) που ορίζεται (π 1 π 2 )(x)(v 1 + v 2 ) = π 1 (x)v 1 + π 2 (x)v 2 λέγεται ευθύ άθροισµα των π 1, π 2.

12 Ορισµός (π 1, H 1 ), (π 2, H 2 ) αναπαραστάσεις της G. Λέγονται ισοδύναµες αν υπάρχει U : H 1 H 2 ισοµετρία επί, τέτοια ώστε x G. Uπ 1 (x) = π 2 (x)u Η ισοδυναµία αναπαραστάσεων είναι σχέση ισοδυναµίας. Ορισµός Ĝ το σύνολο των κλάσεων ισοδυναµίας των unitary irreducible αναπαραστάσεων της G.

13 Πρόταση G οµάδα, (π, H) αναπαράσταση της G. Τότε τα ε.ε.ι. 1 A B(H), Aπ(x) = π(x)a για κάθε x G, τότε A = λi. 2 π irreducible Παρατήρηση {π(x) : x G} είναι αυτοσυζυγής άλγεβρα και {π(x) : x G} = CI π irreducible

14 Παραδείγµατα Η τετριµµένη L 2 (G) ο χώρος Hilbert µε εσωτερικό γινόµενο f, g = f(x)g(x)dµ(x). Η αναπαράσταση λ που ορίζεται λ(y)f(x) = f(y 1 x) λέγεται αριστερή κανονική αναπαράσταση της G. G

15 Παρατήρηση G = R λ η αριστερή κανονική αναπαράσταση της R στον L 2 (R). Αν y 0, λ(y) λ(0) = 2

16 τοπολογικές οµάδες Πρόταση R, στο C: ορίζουµε για r R π r (x) = e irx Τότε ˆR = {π r : r R}. Απόδειξη π(s) h π(t)dt = h π(s + t)dt = 0 0 s s+h Επειδή π συνεχής και π(0) = 1, υπάρχει h > 0 τ.ω. h 0 π(t)dt 0. π(u)du

17 Επειδή η π συνεχής, η s s+t s π(u)du είναι διαφορίσιµη. Αρα η s π(s) είναι διαφορίσιµη. Θέτουµε c = π (0). Τότε π π(s + t) π(s) π(t) π(0) (s) = lim = π(s) lim = cπ (0). t 0 t t 0 t

18 Θέτουµε φ(s) = π(s)e cs. Τότε φ (s) = 0 και φ(0) = 1. Αρα π(s) = e cs. Επειδή π(s)π(s) = 1 έχουµε c = ir µε r R και π(s) = e irs.

19 Παρατήρηση f L 2 (R): ορίζουµε ˆf(s) = f(t)e ist dt R F : L 2 (R) L 2 (R) Ff = ˆf Ορίζουµε για x R, π(x) : L 2 (R) L 2 (R) (π(x)g)(s) = e ixs g(s)

20 Παρατήρηση Τότε αν f L 2 (R) F(λ(x)f)(s) = (λ(x)f)(t)e ist dt = f(t x)e ist dt R R R f(t)e is(t+x) dt = e isx R f(t)e ist dt = π(x)(ff)(s). Αρα και οι π και λ είναι ισοδύναµες. π(x)f = Fλ(x), x R

21 Παραδείγµατα T = R/Z, στο C: ορίζουµε για n Z π n (x) = e 2πinx ˆT = {π n : n Z}. Z στο C: ορίζουµε για a T π a (n) = e 2πina Ẑ = {π a : a T}.

22 συµπαγείς οµάδες τοπολογικές οµάδες Πρόταση G συµπαγής οµάδα. Τότε αν π Ĝ, d π < +. Πρόταση G συµπαγής οµάδα. Τότε η { d π π ij : π Ĝ, 1 i, j d π } είναι ορθοκανονική ϐάση του L 2 (G). Πρόταση G συµπαγής οµάδα. Τότε λ = π Ĝ π dπ

23 Πρόταση f L 2 (G) Θέτουµε ˆf(π) = f(x)π(x 1 )dµ(x) όπου µ(g) = 1. Τότε f(x) = d π tr(ˆf(π)π(x)) π Ĝ G (L 2 (G) σύγκλιση) Το µέτρο Plancherel του {π} είναι d π.

24 Παράδειγµα G = T e n (t) = e 2πint V n = [e n ] Τότε (λ(x)e n )(t) = e n (t x) = e 2πinx e 2πint = e 2πinx e n (t) L 2 (T) = n Z V n λ = n Z π n.

25 Παράδειγµα f L 2 (T) 1 ˆf(n) = f(t)e 2πint dt 0 f(t) = 2πint ˆf(n)e n Z (L 2 (T) σύγκλιση)

26 Παραδείγµατα SU(2) V n : οµογενή πολυώνυµα ϐαθµού n δύο µιγαδικών µεταβλητών. Θέτουµε φ k (z 1, z 2 ) = z k 1 zn k 2. Τα φ k για k = 0, 1,..., n αποτελούν ϐάση του V n και dim V n = n + 1. Ορίζουµε a k φ k, b k φ k = k!(n k)!a k b k.

27 Παραδείγµατα Η SU(2) δρά στον V n : Αν ( a b x = c d ) (π n (x)f)(z 1, z 2 ) = f(az 1 + cz 2, bz 1 + dz 2 ).

28 Πρόταση π n είναι irreducible. Απόδειξη A B(V n ) τ.ω. x SU(2) π n (x)a = Aπ n (x). Αν τότε x = ( a 0 0 a 1 π n (x)φ k (z 1, z 2 ) = φ k (az 1, a 1 z 2 ) = a 2k n φ k (z 1, z 2 ). ) Αν τα a 2k n, k = 0, 1, 2,...n είναι διάφορα ανά δύο, τότε Aφ k = c k φ k µε c k C k = 0, 1, 2,...n.

29 Αν τότε ( ) cos t sint x = sin t cos t (Aπ n (x)φ n )(z 1, z 2 ) = A(z 1 cos t + z 2 sin t) n n ( ) n = cos k t sin n k t Aφ k (z 1, z 2 ) k = k=0 n ( ) n cos k t sin n k t c k φ k (z 1, z 2 ) k k=0

30 και (π n (x)aφ n )(z 1, z 2 ) = (π n (x)c n φ n )(z 1, z 2 ) = c n (π n (x)φ n )(z 1, z 2 ) n ( ) n = c n cos k t sin n k t φ k (z 1, z 2 ) k k=0 n ( ) n = cos k t sin n k t c n φ k (z 1, z 2 ). k k=0 Αρα c n = c k k = 0, 1, 2,..., n.

31 Πρόταση ŜU(2) = {π n : n = 0, 1, 2,...}

32 Παραδείγµατα SO(3) l = 0, 1,..., P l : µιγαδικός χώρος των οµογενών πολυωνύµων ϐαθµού l τριών πραγµατικών µεταβλητών. dim P l = 1 (l + 1)(l + 2) 2 P 2 = {c 11 x 2 1 +c 22 x 2 2 +c 33 x 2 3 +c 12 x 1 x 2 +c 23 x 2 x 3 +c 31 x 3 x 1 : c ij C}

33 Παραδείγµατα Η SO(3) δρα στον P l : Αν A SO(3), x = (x 1, x 2, x 3 ), f P l ϑέτουµε Af(x) = f(xa). Η δράση δεν είναι irreducible.

34 Παραδείγµατα Αρµονικά πολυώνυµα ϐαθµού l. = 2 /ϑx /ϑx /ϑx 2 3 H l = {f P l : f = 0} f C. dim H l = 2l + 1 Af = A f

35 Παραδείγµατα Ορίζουµε σ n στον H l σ n (A)f(x) = f(xa) Πρόταση ŜO(3) = {σ n : n = 0, 1, 2,...}

36 Παραδείγµατα SU(2)/{ I, I} SO(3) π αναπαράσταση της SU(2) τετριµµένη στο κέντρο, ορίζει µια αναπαράσταση της SO(3). V 2l H l

37 Παραδείγµατα Οµάδα του Heisenberg H: λ R, ορίζουµε π λ στον L 2 (R): (π λ (x, y, z)f)(t) = e iλz e iλyt f(t x) (s, t) R 2, ορίζουµε π s,t στον C: π s,t (x, y, z) = e i(sx+ty) Ĥ = {π λ : λ R } {π s,t : (s, t) R 2 }

Σχετικά έγγραφα

Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών

Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών 8 Ιουλίου 2015 1 τοπολογικές οµάδες 2 3 4 τοπολογικές οµάδες Ορισµός Μια οµάδα G λέγεται τοπολογική οµάδα αν είναι εφοδιασµένη µε µια τοπολογία τ.ω. οι (x, y) xy και x x 1 να είναι συνεχείς. Παραδείγµατα