1 Συστήµατα που διατηρούν ένα µέτρο

Transcript

1 Συστήµατα που διατηρούν ένα µέτρο Ορισµός. Σύστηµα που διατηρεί το µέτρο (measure preserving system (m.p.s.)). Μία τετράδα (, B, µ, T ), όπου : (, B, µ) χώρος πιθανότητας T : µετρήσιµη, δηλ. T (B) B T µ µ, δηλ. µ(t (B)) µ(b) B B. Συµβολισµοί. T (B) : {T (B): B B}. T µ(b) : µ(t (B)) B B. Η ιδιότητα T µ µ αναϕέρεται ως η T διατηρεί το µέτρο ή ως το µ είναι T -αναλλοίωτο. Ορισµός. Ενα m.p.s. (, B, µ, T ) είναι αντιστρέψιµο αν T είναι και επί, και T µετρήσιµη (δηλ. T (B) {T (B): B B} B). Ορολογία. Εστω µη κενό σύνολο. Μία κλάση P υποσυνόλων του καλείται π-σύστηµα αν είναι µη κενή και κλειστή ως προς πεπερασµένες τοµές. Ορολογία. Εστω µη κενό σύνολο και C µία κλάση υποσυνόλων του. Η σ-άλγεβρα που παράγεται από την C είναι η τοµή όλων των σ-αλγεβρών που περιέχουν την C, δηλ. η µικρότερη σ-άλγεβρα που περιέχει την C. Συµβολίζεται µε σ(c ). Παρατήρηση. Η τοµή (οποιουδήποτε πλήθους) σ-αλγεβρών είναι σ-άλγεβρα άρα η σ(c ) είναι καλά ορισµένη. Λήµµα. (, B, µ) χώρος πιθανότητας, T : µετρήσιµη, P 2 ένα π-σύστηµα που παράγει την B. Τότε T µ µ ανν µ(t (A)) µ(a) A P. Απόδειξη. ν : T µ είναι µέτρο πιθανότητας. Αν δύο µέτρα πιθανότητας συµϕωνούν σε ένα π-σύστηµα, τότε συµϕωνούν και στην σ-άλγεβρα που αυτό παράγει (ϐλ. [, Θεώρηµα 3.3] και [, Θεωρήµατα 0.3, 0.4] για επεκτάσεις). Ορολογία. (, B, µ) χώρος µέτρου. f : C ανήκει στον L (, B, µ) αν : a (0, ) τέτοιο ώστε µ({x : f(x) > a}) 0. Για µια τέτοια f: f : inf{a > 0: µ({x : f(x) > a}) 0}. Συµβολισµός. Αν σύνολο και A, A ϑα συµβολίζει την χαρακτηριστική συνάρτηση του A: A (x) αν x A και A (x) 0 αν x / A.

2 Λήµµα 2. (, B, µ) χώρος πιθανότητας, T : µετρήσιµη. Τότε: f T dµ f dµ f L (, B, µ) T µ µ. T µ µ f T dµ f dµ f L (, B, µ) και επίσης για κάθε f µετρήσιµη και µη αρνητική (f 0). Απόδειξη. Εστω ότι f T dµ f dµ f L (, B, µ). Εστω B B. Τότε f B L (, B, µ) και f dµ µ(b), f T dµ T (B)dµ µ(t (B)) T µ(b). Άρα T µ(b) µ(b). Αντίστροϕα. Εστω ότι T µ µ. Τότε f T dµ f dµ για f B µε B B. Από την γραµµικότητα του ολοκληρώµατος αυτό έπεται και για κάθε f απλή (γραµµικός συνδυασµός χαρακτηριστικών συναρτήσεων µετρήσιµων συνόλων), και από το Θεώρηµα µονότονης σύγκλισης και για κάθε f 0 µετρήσιµη, και εν τέλει για κάθε f L (, B, µ). Παρατήρηση. Στην προηγούµενη απόδειξη αποδείχθηκε ουσιαστικά το εξής : σε κάθε χώρο µέτρου (, B, µ), f d(t µ) f T dµ για κάθε f 0 µετρήσιµη και κάθε f L (B, µ). Πρόταση (Μέτρο Haar). G τοπικά συµπαγής Hausdorff οµάδα. Τότε υπάρχει µη µηδενικό µέτρο Radon λ τέτοιο ώστε λ(xb) λ(b) x G B B(G), όπου B(G) η Borel σ-άλγεβρα της G, και xb {xy : y B} (δηλ. το λ είναι αναλλοίωτο ως προς αριστερές µεταϕορές). Κάθε τέτοιο µέτρο καλείται αριστερό µέτρο Haar της G. Για κάθε δύο τέτοια µέτρα λ και λ 2 υπάρχει c > 0 τέτοια ώστε λ 2 (B) cλ (B) B B(G). Κάθε ανοικτό υποσύνολο της G έχει (γνήσια) ϑετικό µέτρο Haar. Αν G συµπαγής, κάθε µέτρο Haar είναι πεπερασµένο, και άρα υπάρχει ένα για το οποίο λ(g), το οποίο και εϕεξής ϑα καλείται το µέτρο Haar της G. Τέλος, σε συµπαγείς οµάδες τα αριστερά µέτρα Haar είναι και δεξιά µέτρα Haar, δηλ. ισχύει λ(bx) λ(b) x G B B(G). 2

3 Ορολογία. Μία τοπολογική οµάδα είναι µία οµάδα G, εϕοδιασµένη µε µία τοπολογία Hausdorff, ως προς την οποία οι πράξεις είναι συνεχείς : η απεικόνιση G G (x, y) xy G είναι συνεχής (µε την τοπολογία γινόµενο στην G G) και η απεικόνιση x x είναι επίσης συνεχής. Αν G τοπολογική οµάδα και H κλειστή κανονική υπο-οµάδα, έστω π : G G/H η προβολή π(x) : xh. Εϕοδιάζουµε την G/H µε την τοπολογία πηλίκο : A G/H είναι ανοικτό ανν π (A) είναι ανοικτό στην G. Με αυτήν την τοπολογία η οµάδα G/H καθίσταται τοπολογική οµάδα (που είναι και Hausdorff αν η G είναι Hausdorff, όπως υποθέσαµε εδώ), η δε απεικόνιση π είναι συνεχής και ανοικτή. Αν η G είναι τοπικά συµπαγής το ίδιο ισχύει και για την G/H. Ταυτίζουµε τις οµάδες T n R n /Z n µε τα [0, ) n. Η τοπολογία στο [0, ) είναι αυτή που έχει ως ϐάση περιοχών σε ένα x (0, ) τα ανοικτά διαστήµατα (δ, ϵ) µε 0 < δ < x < ϵ, και στο 0 τα σύνολα [0, ϵ) ( δ, ), 0 < δ, ϵ < (ταυτίζουµε δηλαδή τα άκρα του διαστήµατος [0, )) µε την τοπολογία αυτή η απεικόνιση [0, ) x e 2πix S, όπου S : {z C: z } ο µοναδιαίος κύκλος, είναι οµοιοµορϕισµός. Η τοπολογία στα [0, ) n είναι η τοπολογία γινόµενο, και καθιστά τα [0, ) n οµοιοµορϕικά µε το S S. Παραδείγµατα m.p.s.. Στροϕές του κύκλου: T R/Z S [0, ). a [0, ). T (x) : x + a (mod ) x + a x + a, x [0, ), ή T (z) : e 2πia z, z S, ή ακόµη T (x + Z) x + a + Z, x + Z R/Z. γ β a 0 β aγ a a ιατηρεί το µέτρο Lebesgue στον κύκλο, που είναι το µέτρο Haar της πολλαπλασιαστικής οµάδας S, ή µέτρο Lebesgue στο [0, ), που είναι 3

4 το µέτρο Haar της οµάδας R/Z. Πράγµατι, τα διαστήµατα [β, γ), β, γ [0, ), αποτελούν π-σύστηµα που παράγει την Borel σ-άλγεβρα του [0, ), και [β a, γ a) αν a β < γ T ([β, γ)) [β + a, γ + a) αν β < γ a [0, γ a) (β + a, ) αν β < a < γ, οπότε λ(t ([β, γ))) λ([β, γ)), όπου λ το µέτρο Lebesgue στο [0, ). 2. Μεταϕορές συµπαγών οµάδων. G συµπαγής οµάδα, B(G) Borel σ-άλγεβρα της G, λ µέτρο Haar. a G. T (x) ax, x G. ιατηρεί το µέτρο Haar της οµάδας, εξ ορισµού. Στροϕές κύκλου ειδική περίπτωση. Άλλη ειδική περίπτωση : Στροϕές του n-τόρου: T n R n /Z n S S [0, ) n. a,..., a n [0, ). T (x,..., x n ) : (x + a,..., x n + a n ) (mod ) ή (x + a (mod ),..., x n + a n (mod )) (x + a x + a,..., x n + a n x n + a n ), (x,..., x n ) [0, ) n, T (x + Z n ) x + a + Z n, x R n /Z n, a το διάνυσµα µε συντεταγµένες a,..., a n, ή T (z) : (e 2πia z,..., e 2πia n z n ), (z,..., z n ) S S. ιατηρεί το µέτρο Lebesgue λ λ, όπου λ το µέτρο Lebesgue στον κύκλο S, που είναι το µέτρο Haar της πολλαπλασιαστικής οµάδας S S, ή n-διάστατο µέτρο Lebesgue στο [0, ) n, που είναι το µέτρο Haar της οµάδας R n /Z n. 3. Απεικόνιση του φούρναρη (Baker s transformation): [0, ] 2, B Borel([0, ] 2 ), µ Lebesgue. T :, 4

5 T (x, y) : { (2x, y/2) αν 0 x < 2 (2x, (y + )/2) αν 2 x. T 2 0 /2 0 Η T διατηρεί το µέτρο Lebesgue µ. Πράγµατι, αν f L (, B, µ), 0 0 f(t (x, y)) dx dy /2 0 0 / f(t (x, y)) dx dy + f(x, y) dx dy + /2 f(x, y) dx dy. 0 /2 0 f(t (x, y)) dx dy f(x, y) dx dy 4. (α) T 2 (x) 2x (mod ), x [0, ), ή T 2 (z) z 2, z S, ή T (x + Z) 2x + Z, x + Z R/Z. ιατηρεί το µέτρο Lebesgue. Πράγµατι, τα διαστήµατα [a, b), a, b [0, ), αποτελούν π-σύστηµα που παράγει την Borel σ-άλγεβρα του [0, ), και b a 0 a 2 b 2 2 a+ b

6 [ a T ([a, b)) 2, b ) [ a + 2 2, b + ), 2 οπότε λ(t ([a, b))) λ([a, b)), όπου λ το µέτρο Lebesgue στο [0, ). (ϐ) Γενικότερα, για k N, k > : T k (x) kx (mod ), x [0, ), ή T k (x + Z) kx + Z, x + Z R/Z, ή T k (z) z k, z S. ιατηρεί το µέτρο Lebesgue. Ανοικτό πρόβληµα (Furstenberg): Αν µ είναι αναλλοίωτο ως προς T 2 και T 3 και δεν έχει σηµειακές µάζες, τότε είναι αναγκαστικά το µέτρο Lebesgue. [Εικασία σωστή αν h µ (T 2 ) > 0 και h µ (T 3 ) > 0 (Rudolph).] (h µ : µετροθεωρητική εντροπία.) (γ) Συνεχείς επιµορϕισµοί συµπαγών οµάδων. G συµπαγής οµάδα. T : G G µετρήσιµος (αυτοµάτως συνεχής) επιµορϕισµός. ιατηρεί το µέτρο Haar. Απόδειξη. Εστω λ το µέτρο Haar της G και ορίζουµε µ(b) : λ(t (B)) για B G Borel. Εστω y G επειδή T επιµορϕισµός, υπάρχει x G τέτοιο ώστε T (x) y. Τότε T (yb)) x T (B), και άρα µ(yb) λ(t (yb)) λ(x T (B)) λ(t (B)) µ(b), για οποιαδήποτε Borel B. Αϕού το y ήταν αυθαίρετο, αυτό δείχνει ότι το µ είναι αναλλοίωτο ως προς αριστερές µεταϕορές και εποµένως µ λ, από την µοναδικότητα του µέτρου Haar. Οι T k παραπάνω είναι παραδείγµατα συνεχών επιµορϕισµών συµπαγών οµάδων. Άλλη µία κατηγορία παραδειγµάτων : (δ) Επιµορϕισµοί του n-τόρου: T n R n /Z n S S [0, ) n. A: n n πίνακας µε στοιχεία A ij Z. 6

7 Ο A επάγει µία απεικόνιση του n-τόρου στον εαυτό του : n j A jx j (mod ) T (x) : Ax (mod )., n j A njx j (mod ) ή T (x + Z n ) Ax + Z n, όπου x (x,..., x n ) [0, ) n και συµβολίζει ανάστροϕο τα διανύσµατα δηλαδή ϑεωρούνται πίνακες n (δηλ. διανύσµατα στήλες) και για ένα τέτοιο x το x ϑα είναι το διάνυσµα γραµµή. Πράγµατι, αρκεί να παρατηρήσει κανείς ότι, αν x (x,..., x n ) και y (y,..., y n ) είναι δύο διανύσµατα στον R n των οποίων οι συντεταγµένες διαϕέρουν κατά ακέραιο, δηλ. y i x i + k i µε k i Z για κάθε i, αν δηλαδή x και y ορίζουν το ίδιο στοιχείο x + Z n y + Z n του R n /Z n, τότε και οι συντεταγµένες των εικόνων τους Ax και Ay διαϕέρουν κατά ακέραιο, ορίζουν δηλαδή το ίδιο στοιχείο Ax+Z n Ay+Z n του R n /Z n : πράγµατι, η i συντεταγµένη του Ay ϑα είναι n j A ijy j n j A ijx j + n j A ijk j, που είναι η i συντεταγµένη του Ax συν n j A ijk j, και το τελευταίο άθροισµα δίνει ακέραιο αϕού τα στοιχεία του A είναι ακέραιοι. Ο T είναι οµοµορϕισµός, και είναι επιµορϕισµός ανν det(a) 0, είναι δε det(a)-προς-ένα ειδικότερα, είναι αυτοµορϕισµός όταν det(a). Ασκηση : Εστω G οµάδα, H υπο-οµάδα, φ: G G οµοµορφισµός τέτοιος ώστε φ(h) H. Τότε φ: G/H G/H µε τύπο φ(gh) : φ(g)h είναι καλά ορισµένη και οµοµορϕισµός. Επιπλέον, φ είναι επιµορϕισµός αν φ επιµορϕισµός. Η T παραπάνω διατηρεί το µέτρο Lebesgue στον n-τόρο. συνάγεται απ ευθείας από το (γ). Αυτό Πράγµατι. Επειδή T οµοµορϕισµός, T ({y}) έχει τον ίδιο πληθάριθµο για κάθε y [0, ) n, ίσο µε την τάξη του πυρήνα ker(t ) της T ο πληθάριθµος αυτός, έστω m, είναι πεπερασµένος αϕού T ({0}) έχει πληθάριθµο όσα και τα διανύσµατα στο Z n A[0, ) n, όπου A[0, ) n συµβολίζει την εικόνα του [0, ) n µέσω του γραµµικού µετασχηµατισµού που επάγει ο πίνακας A στον R n. Το A[0, ) n τώρα έχει µέτρο Lebesgue det(a), και η προβολή R n x x + Z n R n /Z n [0, ) n ϐάζει το A[0, ) n στο [0, ) n ακριβώς m φορές, κάθε σηµείο δηλαδή του [0, ) n καλύπτεται ακριβώς m φορές. Αϕού το µέτρο Lebesgue του [0, ) n είναι και του A[0, ) n είναι det(a), έπεται ότι m det(a). 7

8 Για παράδειγµα, έστω A ( ) Εστω Q ένα ορθογώνιο στο [0, ) 2 (στο σχήµα το Q είναι το τετράγωνο µε κορυϕές (0, 0), ( 5, 0), (0, 5 ), ( 5, 5 ) ). Ο γραµµικός µετασχηµατισµός που ορίζει ο πίνακας A στον R 2 απεικονίζει κατ αρχήν το [0, ) 2 στο ορθογώνιο A[0, ) 2 µε κορυϕές ( ) 0, 0 ( ) 2 0, ( ) 0 3, ( ) 2 3 άρα το T (Q) ϑα είναι η αντίστροϕη εικόνα µέσω του A (στον R 2 ) των έξι ορθογωνίων Q, ( ) 0 + Q, ( ) 0 + Q, 2 ( ) + Q, 0 ( ) + Q, ( ) + Q T 2/3 /3 R 0 Q /2 A Q 0 2 Αν R : A Q, τότε οι αντίστροϕες εικόνες µέσω του A των έξι αυτών ορθογωνίων (k, n) + Q είναι τα ορθογώνια R, ( ) 0 + R, 3 ( ) + R, ( ) 2 + R, 0 ( ) 2 + R, 3 ( ) 2 + R, 3 και άρα αυτά τα τελευταία έξι ορθογώνια είναι το T (Q). Οι διαστάσεις του R είναι : η οριζόντια 2 επί την οριζόντια διάσταση 8

9 του Q και η κατακόρυϕη 3 επί την κατακόρυϕη διάσταση του Q, αϕού ( ) A εποµένως το εµβαδόν του R είναι 6 επί το εµβαδόν του Q, και άρα το εµβαδόν του T (Q) είναι 6 6 εµβαδόν(q) εµβαδόν(q). Επειδή τα ορθογώνια είναι π-σύστηµα που παράγει την Borel σ- άλγεβρα του [0, ) 2, το Λήµµα δίνει ότι η T διατηρεί το µέτρο Lebesgue στον [0, ) 2. Άλλο ένα παράδειγµα, µε τον πίνακα A όχι διαγώνιο : ( ) 2 A αυτός ο πίνακας ορίζει αυτοµορϕισµό του τόρου, αϕού det(a). 0 0 A T 2 d c b a b a d c 0 Στην περίπτωση που ο A δεν είναι διαγώνιος, το σχήµα είναι λιγότερο καθαρό και ο καλύτερος τρόπος να δει κανείς απ ευθείας, χωρίς αναϕο- ϱά στο γενικό αποτέλεσµα του (γ), ότι ένας τέτοιος T διατηρεί το µέτρο Lebesgue είναι µέσω του Λήµµατος 2. 9

10 Εστω f στον L του [0, ) n. Επεκτείνουµε την f περιοδικά : f(x + k) f(x) k Z x [0, ) n. Τότε f(t (x)) dx R n /Z n f(ax) dx [0,) n f(x) dx, det(a) A[0,) n και το τελευταίο ολοκλήρωµα είναι ίσο µε det(a) [0,) n f(x) dx, επειδή η f έχει επεκταθεί περιοδικά και το T ([0, ) n ) καλύπτει το [0, ) n ακρι- ϐώς det(a) φορές (ο T είναι det(a)-προς-ένα). 5. Απεικόνιση του Gauss (Gauss map): (0, ], B Borel((0, ]). T (x) : x, x T (x) ( x n, για x n +, ], n N. n Η T διατηρεί το µέτρο Πράγµατι, για a, b (0, ), άρα a < T (x) < b και dµ(x) ln 2 n + < x n dx + x. b + n < x < a + n, 0

11 T (a, b) άρα n µ(t (a, b)) ( ( T (a, b) n +, ]) n n (a+n) (b+n) dx + x Το Λήµµα τώρα δίνει ότι η T διατηρεί το µ. n ln 2 ln b + a + Η απεικόνιση Gauss σχετίζεται µε τα συνεχή κλάσµατα. Αν x (0, ] Q, x, a + a 2 + a 3 + µε a i N. Τότε άρα x a + a 2 + a 3 + και a T (x). a 2 + a 3 + ηλαδή αν x [a, a 2,...], τότε T (x) [a 2, a 3,...]. ( ) b + n, a + n µ((a, b)). ln 2 x 6. Χώροι shift: ( i, B i, µ i ), i I, χώροι πιθανότητας, I αυθαίρετο σύνολο δεικτών. : i I i. Μετρήσιµα ορθογώνια: σύνολα της µορϕής B i, όπου i I B i B i i I και B i i εκτός από ένα πεπερασµένο πλήθος i. B i I B i η σ-άλγεβρα γινόµενο: η σ-άλγεβρα που παράγεται από όλα τα µετρήσιµα ορθογώνια.

12 Θεώρηµα. Υπάρχει µοναδικό µέτρο πιθανότητας µ επί του µετρήσιµου χώρου (, B) τέτοιο ώστε ( ) µ B i µ i (B i ) i I i I για κάθε µετρήσιµο ορθογώνιο i I B i. Το µ καλείται µέτρο γινόµενο των µ i, i I, και συµβολίζεται ως µ i I µ i. Σηµείωση. Αϕού για ένα µετρήσιµο ορθογώνιο i I B i B i i µόνο για ένα πεπερασµένο πλήθος δεικτών i I, και αϕού µ( i ) i I, το γινόµενο στο δεξί µέλος είναι τελικά ένα πεπερασµένο γινόµενο. Η πρώτη (σωστή) απόδειξη αυτού του Θεωρήµατος οϕείλεται στον Kakutani. Για την απόδειξη ϐλ. [5, 38] για την ειδικότερη περίπτωση που ϑα χρησιµοποιηθεί εδώ ϐλ. και []σελ. 27 και το Παράρτηµα αυτών των σηµειώσεων για µία απ ευθείας απόδειξη. (α) Μονόπλευρο Bernoulli shift: (p 0, p,..., p k ) διάνυσµα πιθανότητας, δηλ. p j 0 j {0,,..., k }, k j0 p j. i {0,,..., k }, i N {0}, B i 2 i 2 {0,,...,k }, i N {0}, µ i k j0 p jδ {j}, i N {0}, όπου δ {j} σηµειακή µάζα Dirac στο {j} δηλ. µ i (A) j A p j A 2 {0,,...,k }. (, B, µ) : i0 ( i, B i, µ i ) ο χώρος γινόµενο (όπου όλοι οι παράγοντες ( i, B i, µ i ) είναι ίδιοι). T : το shift: T (x 0, x,...) (x, x 2,...). Η T διατηρεί το µέτρο γινόµενο µ. Πράγµατι, τα µετρήσιµα ορθογώνια της µορϕής B {i 0 } {i } {i n } in+ {0,,..., k }, n N {0}, i 0, i,..., i n {0,,..., k }, µαζί µε το κενό σύνολο, αποτελούν π-σύστηµα που παράγει την σ-άλγεβρα γινόµενο B. Από το Θεώρηµα παραπάνω, µ(b) p i0 p i... p in 2

13 για ένα τέτοιο B. Οµως T (B) {0,,..., k } {i 0 } {i } {i n } {0,,..., k } in+2 για ένα τέτοιο B, οπότε πάλι από το Θεώρηµα, επίσης. µ(t (B)) p i0 p i... p in p i0 p i... p in (ϐ) Αµϕίπλευρο Bernoulli shift: (p 0, p,..., p k ), ( i, B i, µ i ) όπως στο (α) παραπάνω. (, B, µ) ο χώρος γινόµενο i Z ( i, B i, µ i ) (που περιέχει αµϕίπλευρες ακολουθίες (..., x, x 0, x,...)). T : το shift: T (..., x 2, x, x 0, x, x 2...) (..., x, x 0, x, x 2, x 3...), όπου το σύµβολο δηλώνει την ϑέση 0 της αµϕίπλευρης ακολου- ϑίας. Η T διατηρεί το µέτρο γινόµενο µ και πάλι. Παρατήρηση. Το αµϕίπλευρο Bernoulli shift (, B, µ, T ) είναι αντιστρέψιµο m.p.s. Παρένθεση : Θεώρηµα συνέπειας Kolmogorov (Kolmogorov Consistency Theorem) Απαιτεί κάποια τοπολογική δοµή επί των χώρων πιθανότητας i. Εδώ ϑα υποτεθεί 2 i, i I: πλήρεις και διαχωρίσιµοι µετρικοί χώροι (δηλ. πολωνικοί χώροι) (το I αυθαίρετο σύνολο δεικτών). B i : Borel( i ), i I. : i I i, B i I B i, (, B) ο µετρήσιµος χώρος γινόµενο πάλι. Για κάθε πεπερασµένο υποσύνολο δεικτών F I, ϑα συµβολίζου- µε µε B (F ) την σ-άλγεβρα σε όλο το γινόµενο, που αντιστοιχεί στην σ-άλγεβρα γινόµενο i F B i στο πεπερασµένο γινόµενο 2 Το ϑεώρηµα του Kolmogorov ισχύει πιο γενικά : αρκεί κάθε i να είναι τοπολογικός χώρος Hausdorff και κάθε µ F να είναι tight: ε > 0 K B (F ) συµπαγές, τέτοιο ώστε µ F (K) > ε. 3

14 i F i δηλ., συγκεκριµένα, η B (F ) αποτελείται από όλα τα σύνολα {x (x i ) i I : (x i ) i F A}, A i F B i τα σύνολα αυτής της µορϕής ονοµάζονται κύλινδροι 3. Το ότι η B (F ) είναι σ-άλγεβρα φαίνεται άµεσα αϕού ταυτοποιείται µε την σ-άλγεβρα γινόµενο i F B i. Είναι δε προϕανές ότι αν F, F 2 είναι δύο πεπερασµένα υποσύνολα του I µε F F 2, τότε B (F) B (F2), αϕού ένας κύλινδρος {x (x i ) i I : (x i ) i F A} µε A i F B i µπορεί να γραϕεί και ως κύλινδρος {x (x i ) i I : (x i ) i F A} {x (x i ) i I : (x i ) i F A, x i i i F 2 F } {x (x i ) i I : (x i ) i F2 B} µε B i F 2 B i (συγκεκριµένα, B π (A), όπου π η προβολή π : i F 2 i i F i, π((x i ) i F2 ) (x i ) i F ). Θεώρηµα (Θεώρηµα Συνέπειας Kolmogorov (Kolmogorov Consistency Theorem) ϐλ. [2]). Εστω ότι για κάθε πεπερασµένο υποσύνολο δεικτών F I µας έχει δοθεί ένα µέτρο πιθανότητας µ F επί της σ-άλγεβρας B (F ) και ότι τα µ F ικανοποιούν τις συνθήκες συνέπειας του Kolmogorov: αν F F 2 για δύο πεπερασµένα υποσύνολα F, F 2 I, τότε µ F2 (A) µ F (A) A B (F ). Τότε υπάρχει µοναδικό µέτρο πιθανότητας µ επί της B που επεκτείνει κάθε µ F : για κάθε πεπερασµένο F I, µ(a) µ F (A) A B (F ). 3 Υπενθυµίζεται ότι ο σωστός, φορµαλιστικά, τρόπος να ϐλέπει κανείς τα στοιχεία ενός αυ- ϑαίρετου γινοµένου i I i είναι ως συναρτήσεις x: I i I i µε x i i i I τότε (x i ) i F συµβολίζει το στοιχείο του γινοµένου i F i που είναι ο περιορισµός x F της συνάρτησης x: I i I i στο υποσύνολο F : x F : F i F i η συνάρτηση επί του F που έχει τιµή x i στο i F. 4

15 Σηµείωση. Οι συνθήκες συνέπειας Kolmogorov είναι προϕανώς α- ναγκαίες : αν υπάρχει τέτοιο µέτρο µ, τότε πρέπει να ικανοποιούνται το ϑεώρηµα Kolmogorov λέει ότι είναι και ικανές. (γ) Μονόπλευρο Markov shift: P (P ij ): k k στοχαστικός πίνακας µε στοιχεία P ij, i, j {0,,..., k } στοχαστικός σηµαίνει ότι P ij 0 i, j {0,,..., k } και k j0 P ij i {0,,..., k } (κάθε γραµµή αθροίζει σε ). p (p 0, p,..., p k ) αριστερό ιδιοδιάνυσµα του P για την ιδιοτιµή, τέτοιο ώστε p i 0 i {0,,..., k } και k i0 p i δηλ. p P p (ή ισοδύναµα P p p, όπου σηµαίνει ανάστροϕος) ένα τέτοιο ιδιοδιάνυσµα πάντα υπάρχει από το Θεώρηµα Perron Frobenius. n0 {0,,..., k } B η σ-άλγεβρα γινόµενο B n0 2{0,,...,k }. T : το shift: T (x 0, x, x 2,...) (x, x 2,...). Λήµµα. Υπάρχει µοναδικό µέτρο πιθανότητας µ επί του µετρήσιµου χώρου (, B), τέτοιο ώστε µ({x (x j ) j N {0} : x m i 0, x m+ i,..., x m+n i n }) m, n N {0}. p i0 P i0 i P i i 2 P in i n Το shift T διατηρεί το µέτρο µ. Πράγµατι, αν B {i 0 } {i } {i 0 } {0,,..., k } ένα µετρήσιµο ορθογώνιο, τότε mn+ T (B) {0,,..., k } {i 0 } {i } {i 0 } {0,,..., k }, mn+2 και από το Λήµµα τα δύο αυτά σύνολα έχουν το ίδιο µέτρο : p i0 P i i 2 P i2 i 3 P in i n. Το Λήµµα τώρα δίνει ότι η T διατηρεί το µ, επειδή τα µετρήσιµα ορθογώνια της µορϕής B αποτελούν π-σύστηµα του παράγει την B. 5

16 Απόδειξη Λήµµατος. Θεώρηµα συνεπείας του Kolmogorov. Οι υ- ποθέσεις για τα P και p εξασϕαλίζουν ακριβώς ότι οι υποθέσεις του ϑεωρήµατος Kolmogorov ικανοποιούνται. Για µία απ ευθείας απόδειξη, χωρίς αναϕορά στο Θεώρηµα Kolmogorov, ϐλ. Παράρτηµα. Κατ αρχήν ορίζουµε µέτρα µ n µ Fn επί της σ-άλγεβρας B (Fn), όπου F n : {0,,..., n}, n N, µ n ({x (x j ) j N {0} : (x 0, x,..., x n ) A}) p i0 P i0 i P in i n (i 0,i,...,i n ) A για A B 0 B B n το δεξί µέλος ορίζει µέτρο επί της σ-άλγεβρας B 0 B B n, γιατί η συνολοσυνάρτηση A p i0 P i0 i P in i n (i 0,i,...,i n ) A είναι πεπερασµένα αθροιστική : p i0 P i0 i P in i n (i 0,i,...,i n) A A 2 (i 0,i,...,i n ) A + (i 0,i,...,i n ) A 2 p i0 P i0 i P in i n αν A, A 2 είναι ξένα υποσύνολα του {0,,..., k } n+, άρα και αριθµήσιµα αθροιστική, αϕού η σ-άλγεβρα B 0 B B n 2 {0,,...,k }n+ είναι πεπερασµένη και το µέτρο αυτό είναι µέτρο πιθανότητας γιατί (i 0,i,...,i n ) {0,,...,k } n+ p i0 P i0 i P in i n k i 0 0 k i 0 0 k i 0 0 k i n0 k i n 0 k i n 0 p i0 P i0 i P in i n p i0 P i0 i P in 2 i n p i0 P i0 i P in 2 i n, k i n 0 P in i n 6

17 επειδή k j0 P ij για κάθε i, και επαγωγικά (i 0,i,...,i n ) {0,,...,k } n+ p i0 P i0 i P in i n k i 0 0 p i0. Επεται ότι και τα µ n είναι µέτρα πιθανότητας επί των B (F n). Ελεγχος των συνθηκών συνέπειας του ϑεωρήµατος Kolmogorov: αν A {0,,..., k } n, τότε µ n ({x (x j ) j N {0} : (x 0, x,..., x n ) A}) µ n ({x (x j ) j N {0} : (x 0, x,..., x n, x n ) (i 0,...,i n ) A j0 (i 0,...,i n ) A A {0,,..., k }}) k p i0 P i0 i P in 2 i n P in j p i0 P i0 i P in 2 i n µ n ({x (x j ) j N {0} : (x 0, x,..., x n ) A}). Επεται ότι τα µέτρα µ n και µ n συµϕωνούν επί της B (F n ) και άρα, επαγωγικά, ότι αν n < m και άρα F n F m, τα µ n και µ m συµϕωνούν επί της B (Fn). Μπορεί κανείς τώρα να ορίσει µέτρα µ F για κάθε πεπερασµένο F N {0}: αν F είναι ένα τέτοιο σύνολο και n max F, τότε µ F (A) : µ n (A) για A B (F ) B ({0,,...,n}). Κάθε µ F είναι µέτρο πιθανότητας, αϕού ο περιορισµός µέτρου πιθανότητας σε µια σ-υπο-άλγεβρα είναι µέτρο πιθανότητας. Αν F F 2 είναι δύο πεπερασµένα σύνολα, και n : max F και n 2 : max F 2, τότε πρέπει n n 2, και άρα µ F (A) µ n (A) µ n2 (A) µ F2 (A) A B (F ) B ({0,,...,n }). Από το ϑεώρηµα Kolmogorov, υπάρχει µέτρο πιθανότητας µ επί της σ-άλγεβρας B n0 B n που επεκτείνει κάθε µ F συγκεκριµένα, µ({x (x j ) j N {0} : x 0 i 0, x i,..., x n i n }) p i0 P i0 i P i i 2 P in i n 7

18 n N {0}, (i 0, i,..., i n ) {0,,..., k } n+. Επειδή δε k i0 p ip ij p j j {0,,..., k }, έπεται ότι επίσης µ({x (x j ) i N {0} : x m i 0, x m+ i,..., x m+n i n }) k i 0 0 k i 0 0 k i m 0 k i m 0... k i m 0 µ({x (x j ) j N {0} : x 0 i 0,..., x m i m, k x m i 0, x m+ i,..., x m+n i n }) i m 0 p i 0 P i 0 i P i m i 0 P i 0 i P in i n k i 0 0 p i 0 P i 0 i P i m i 0 P i 0 i P in i n k p i0 P i0 i P in i n, i 0 p i P i i 2 P i m i 0 P i 0 i P in i n m, n N {0}, (i 0, i,..., i n ) {0,,..., k } n+. (δ) Αµϕίπλευρο Markov shift: P, p όπως στο µονόπλευρο Markov shift (γ). n Z {0,,..., k } B η σ-άλγεβρα γινόµενο B n Z 2{0,,...,k }. T : το shift: T (..., x 2, x, x 0, x, x 2...) (..., x, x 0, x, x 2, x 3...) ( δηλώνει ϑέση 0 της αµϕίπλευρης ακολουθίας). Από το ϑεώρηµα συνεπείας του Kolmogorov υπάρχει πάλι µοναδικό µέτρο πιθανότητας µ επί του µετρήσιµου χώρου (, B), τέτοιο ώστε µ({x (x j ) j N : x m i 0, x m+ i,..., x m+n i n }) p i0 P i i 2 P i2 i 3 P in i n m Z, n N {0}, και το shift T διατηρεί και πάλι το µέτρο µ. 8

19 Η ύπαρξη του παραπάνω µέτρου µπορεί να αποδειχθεί όπως και στην περίπτωση των µονόπλευρων Markov shift, µε τις προϕανείς αλλαγές που απαιτούνται. Συγκεκριµένα, ορίζει κανείς τώρα τα µέτρα µ n µ Fn µε F n { n,...,, 0,,..., n}, ως µ n ({x (x j ) j Z : (x n,..., x, x 0, x,..., x n ) A}) p i n P i n i n P in i n (i n,...,i n) A για A B n B n, και κατόπιν για ένα αυθαίρετο F Z πεπερασµένο, µ F (A) : µ n (A) για A B (F ) B (F n), όπου n : max{ i : i F }. Το ότι µ n µ n επί της σ-άλγεβρας B (F n ) επιβεβαιώνεται τώρα ως εξής : αν A {0,,..., k } 2n, τότε µ n ({x (x j ) j Z : (x n+,..., x n ) A}) µ n ({x (x j ) j Z : (x n, x n+,..., x n, x n ) k i0 (i n+,...,i n ) A j0 {0,,..., k } A {0,,..., k }}) k p i P i i n+ P i n+ i n+2 P in 2 i n P in j, και επειδή ο πίνακας P είναι στοχαστικός και εποµένως αυτό ισούται µε k P in j, j0 k i0 (i n+,...,i n ) A p i P i i n+ P i n+ i n+2 P in 2 i n τέλος, επειδή το διάνυσµα p είναι αριστερό ιδιοδιάνυσµα του P, και άρα k i0 p ip i i n+ p i n+, αυτό µε την σειρά του ισούται µε p i n+ P i n+ i n+2 P in 2 i n (i n+,...,i n ) A µ n ({x (x j ) j Z : (x n+,..., x n ) A}). 9

20 7. Εστω f : R R µε τύπο f(x) { 3x αν x 2 3 3x αν x > 2 Εστω : n0 f n ([0, ]) {x [0, ]: f n (x) [0, ] n N}, όπου f n : f f f (n φορές) και f 0 ταυτοτική. Τότε είναι το σύνολο Cantor. T :, T : f. I 2 I Κωδικοποίηση : οπότε οπότε I I 2 I I 2 I 22 I 2 I : [ 0, ] 3, I 2 : [ 2 3, ] f ([0, ]) I I 2. I : [ 0, 9] I f (I ), I 2 : [ 2 9, 3] I f (I 2 ) I 2 : [ 8 9, ] I 2 f (I ), I 22 : [ 2 3, 7 9] I2 f (I 2 ) Γενικά, για (i,..., i n ) {, 2} n, δηλ. f 2 ([0, ]) I I 2 I 2 I 22. I i,...,i n : I i f (I i2 )... f (n ) (I in ), x I i,...,i n x I i, f(x) I i2,..., f n (x) I in.. 20

21 Τότε µήκος(i i,...,i n ) 3 n, γιατί κάθε f (I i,...,i k ) αποτελείται από δύο διαστήµατα I i,...,i k, και I i,...,i k,2 µήκους 3 µήκος(i i,...,i k ) το καθένα, αϕού οι δύο κλάδοι της f έχουν κλίση 3 ο καθένας, και, για µία άπειρη ακολουθία δεικτών (i, i 2,...) {, 2} N, I i I i,i 2... I i,...,i n..., οπότε n I i,...,i n είναι ένα µονοσύνολο το στοιχείο του οποίου ορίζου- µε να είναι το π(i, i 2,...): {π(i, i 2,...)} : I i,...,i n. n Ορίζεται έτσι µία επί απεικόνιση π : {, 2} N, επί διότι n (i,...,i n ) {,2} N I i,...,i n, η οποία είναι και συνεχής (µε τον χώρο {, 2} εϕοδιασµένο µε την διακριτή τοπολογία και τον {, 2} N µε την αντίστοιχη τοπολογία γινόµενο) εν προκειµένω µάλιστα, η π είναι οµοιοµορϕισµός. Ισχύει δε ότι, αν εϕοδιάσουµε τον χώρο ακολουθιών {, 2} N µε την απεικόνιση shift, σ : {, 2} N {, 2} N, σ(x, x 2,...) (x 2, x 3,...), τότε T π π σ, δηλαδή το παρακάτω διάγραµµα είναι µεταθετικό : {, 2} N σ {, 2} N π T π Πράγµατι x π(i, i 2,...) f n (x) I in n N f n (f(x)) I in+ n N f(x) π(i 2, i 3,...). Εστω τώρα ένα διάνυσµα πιθανότητας (p, p), p (0, ), και έστω ν p το επαγώµενο µέτρο γινόµενο στο χώρο ακολουθιών {, 2} N δηλ., 2

22 ( {, 2} N, n 2{,2}, ν p ) είναι το µονόπλευρο Bernoulli shift που αντιστοιχεί σε αυτό το διάνυσµα πιθανότητας (p, p). Εστω µ p : π ν p τότε η T διατηρεί το µ p για κάθε p, επειδή το shift σ διατηρεί το ν p για κάθε p: µ p (T (B)) ν p (π (T (B))) ν p (σ (π (B))) ν p (π (B)) µ(b). Για p 2, το µ p είναι το µέτρο Hausdorff στην διάσταση log 3 2, που είναι και η διάσταση Hausdorff του συνόλου Cantor. (Το µέτρο αυτό είναι το οµοιόµορϕο µέτρο πάνω στο σύνολο Cantor, ανάλογο κατά κάποιο τρόπο του µέτρου Lebesgue στο [0, ].) Ασκηση : Εστω F 0 η συνάρτηση F 0 (x) x στο [0, ], και 2 F n (3x) για 0 x 3 F n (x) 2 για 3 x F n (3x 2) για 2 3 x για n N. Τότε οι F n συγκλίνουν οµοιόµορϕα προς µία συνεχή συνάρτηση F στο [0, ]. Η συνάρτηση αυτή είναι η συνάρτηση Cantor, και το µέτρο µ /2 παραπάνω είναι το µέτρο στο [0, ] που ορίζεται από την µ /2 ((a, b]) F (b) F (a), για 0 a b. 2 F F 0 0 /3 2/3 2 Θεώρηµα Επαναϕοράς Poincaré Θεώρηµα (Θεώρηµα Επαναϕοράς Poincaré). (, B, µ) m.p.s., µ(). B B, µ(b) > 0. Τότε µ-σχεδόν κάθε σηµείο του B επιστρέϕει στο B άπειρες φορές: ( ) µ B T m (B) µ(b). n mn 22

23 Απόδειξη. Εστω B n : mn T m (B), n N {0}. Θα δείξουµε πρώτα ότι µ-σχεδόν κάθε σηµείο του B επιστρέϕει στο B τουλάχιστον µία φορά, δηλαδή ότι µ(b B ) µ(b), γιατί φαίνεται εδώ πιο καθαρά ότι χρειάζεται µ() <. Πράγµατι, τα σύνολα B B c, T (B B c ), T 2 (B B c ),..., είναι ξένα ανά δύο (T k (B B c) είναι τα x για τα οποία T k (x) B και T m (x) / B m > k) αν ήταν µ(b B c ) > 0, τότε επειδή µ ( T k (B B c ) ) µ(b B c ) k N, τα σύνολα αυτά ϑα αποτελούσαν µία άπειρη ακολουθία ξένων ανά δύο συνόλων του ίδιου ϑετικού µέτρου, που αντίκειται στο γεγονός ότι µ() <. Περνάµε τώρα στην απόδειξη του Θεωρήµατος. Παρατηρεί κανείς ότι και ότι Άρα B n B n n N, T (B n ) B n n N. µ(b n ) µ(b n ) µ(b 0 ) n N, και επειδή η ακολουθία είναι φθίνουσα και µ() <, έχει κανείς ότι ( ) µ B n lim µ(b n) µ(b 0 ) n n0 επειδή δε n0 B n B 0, έπεται ότι ( ) ( ) µ B 0 B n µ(b 0 ) µ B n 0. n0 Από αυτό έπεται ότι ( ) ( ) µ(b B 0 ) µ B B 0 B n + µ (B B 0 ) B n n0 n0 n0 n0 ( ) ( ) µ B B 0 B n + µ B 0 B n µ µ ( ( B B 0 B ) B n n0 ) B n. n0 n0 23

24 Οµως µ(b B 0 ) µ(b) επειδή B B 0. Παρατήρηση. Αν µ() το Θεώρηµα επαναϕοράς του Poincaré δεν ισχύει. Για παράδειγµα, έστω Z, B 2 Z, µ το µέτρο µ(a) πληθάριθµος(a) και T (x) x +. Τότε η T διατηρεί το µέτρο µ, αλλά B : {0} έχει ϑετικό µέτρο, T m (B) { m} για m N, οπότε B T m (B), και ήδη B m T m (B) {0} {, 2,...}, δηλαδή κανένα σηµείο του B δεν επανέρχεται στο B ούτε µία φορά. Παρατήρηση. Στην απόδειξη του ϑεωρήµατος χρησιµοποιήθηκε µόνο η α- σθενέστερη συνθήκη ότι µ(t (B)) µ(b) µόνο για εκείνα τα B B για τα οποία T (B) B (το σύστηµα είναι ασυµπίεστο), και όχι ότι το µ είναι T -αναλλοίωτο. Εποµένως το Θεώρηµα επαναϕοράς ισχύει ήδη για τέτοια συστήµατα (ασυµπίεστα). Μια άµεση συνέπεια του ϑεωρήµατος Poincaré είναι ότι, αν B B µε µ(b) > 0, τότε υπάρχει n N τέτοιο ώστε µ(b T n (B)) > 0 πράγµατι, αν ήταν µ(b T n (B)) 0 για κάθε n N, τότε ϑα είχαµε ότι ( ) ( ) µ B T n (B) µ [B T n (B)] µ(b T n (B)) 0, n και άρα και ( µ B n mn n T m (B) ) µ ( B n ) T n (B) 0 φυσικά. Μια γενίκευση αυτού είναι το επόµενο ϑεώρηµα επαναϕοράς του Furstenberg, που έχει σηµαντικές εϕαρµογές. Θεώρηµα (Furstenberg). (, B, µ) m.p.s., µ(). B B, µ(b) > 0. Τότε για κάθε k N υπάρχει n N ώστε n µ(b T n (B) T 2n (B)... T (k )n (B)) > 0. 3 Εργοδικότητα (, B, µ, T ) m.p.s. Ο χώρος υποτίθεται πως είναι ο χώρος καταστάσεων ενός φυσικού συστήµατος και η απεικόνιση T παριστάνει την εξέλιξη του συστήµατος µε το χρόνο : αν 24

25 το σύστηµα ξεκινήσει από µία αρχική κατάσταση x, και το παρατηρούµε σε διακριτό χρόνο n 0,,..., τότε T (x) είναι η κατάσταση του συστήµατος την χρονική στιγµή n, T 2 (x) T (T (x)) την χρονική στιγµή n 2, κ.ο.κ. Η διατήρηση του µέτρου πιθανότητας µ εκϕράζει το ότι η συνολική συµπεριφορά του συστήµατος παραµένει αµετάβλητη µε τον χρόνο : η πιθανότητα το σύστηµα να ϐρίσκεται σε µία κατάσταση x A είναι αµετάβλητη µε τον χρόνο, είναι δηλαδή ίδια την χρονική στιγµή n 0 και την χρονική στιγµή n κ.ο.κ. Μία συνάρτηση f : R ή f : C παριστάνει ένα παρατηρήσιµο µέγεθος του συστήµατος (µία µέτρηση ας πούµε). Εργοδική Υπόθεση (Boltzmann): n n f(t i (x)) n f dµ για µ-σχεδόν κάθε x. i0 χρονικοί µέσοι όροι χωρικοί µέσοι όροι. T T A A c Εστω τώρα ότι υπάρχει ένα αναλλοίωτο σύνολο A, δηλαδή ένα σύνολο µε την ιδιότητα T (A) A, το οποίο είναι µη τετριµµένο, δηλαδή έχει µ(a) (0, ). Τότε η εργοδική υπόθεση δεν µπορεί να ισχύει : κατ αρχήν η ιδιότητα T (A) A συνεπάγεται ότι T : A A και T : A c A c εποµένως, το αριστερό µέλος, n n i0 f(t i (x)), εξαρτάται µόνο από τις τιµές της f στο A αν το σύστηµα ξεκινήσει από µία αρχική κατάσταση x A (ή µόνο από τις τιµές της f στο A c αν το σύστηµα ξεκινήσει από µία αρχική κατάσταση x A c ), ενώ το δεξί µέλος, f dµ, εξαρτάται από τις τιµές της f σε όλο το. Για παράδειγµα, αν f είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση A c του A c, τότε n i0 f(t i (x)) 0 n N για x A, όµως f dµ µ(ac ) το οποίο υποτίθεται ϑετικό. Ορισµός. (, B, µ, T ) m.p.s. A B καλείται αναλλοίωτο αν T (A) A και µ-σχεδόν αναλλοίωτο, ή αναλλοίωτο mod µ, αν µ(a T (A)) 0. 25

26 Ορισµός. (, B, µ, T ) m.p.s. Μία µετρήσιµη συνάρτηση f : C καλείται αναλλοίωτη αν f T f, δηλ. f(t (x)) f(x) x, και αναλλοίωτη σχεδόν παντού αν f T f σχεδόν παντού. Συµβολισµός. Για σύνολα A, B, η συµµετρική διαϕορά τους είναι το σύνολο A B (A B c ) (A c B), ισοδύναµα, A B (A B) (A B). A B A B Παρατήρηση. Αν (, B, µ) χώρος πιθανότητας, και A, B B, τότε πράγµατι, µ(a) µ(b) µ(a B) µ(a) µ(b) max{µ(a), µ(b)} min{µ(a), µ(b)} µ(a B) µ(a B) µ(a B). Ορισµός. Ενα m.p.s. (, B, µ, T ), µ(), είναι εργοδικό αν κάθε α- ναλλοίωτο σύνολο έχει µέτρο µηδέν ή ένα : A T (A), A B µ(a) {0, }. Σηµείωση. Αν δεν απαιτήσει κανείς µ(), αλλά επιτρέπει µ(), τότε η εργοδικότητα ορίζεται ως A T (A), A B µ(a) 0 ή µ(a c ) 0, δηλαδή 0 {µ(a), µ(a c )}. Πρόταση 3. (, B, µ, T ), µ(). Τα επόµενα είναι ισοδύναµα: () Το σύστηµα είναι εργοδικό. (2) A B, µ(a T (A)) 0 µ(a) {0, }. (3) Για κάθε B B µε µ(b) > 0, µ ( n T n (B)). (4) Αν A, B B µε µ(a)µ(b) > 0, τότε υπάρχει n N τέτοιο ώστε µ(a T n (B)) > 0. 26

27 Απόδειξη. () (2) Εστω A B µε µ(a T (A)) 0. Εστω και B : A n : A n n0 mn T m (A), n N {0}, n0 mn T m (A) lim sup T n (A). Τότε T (B) n A n B, αϕού T (A n ) A n+ για κάθε n, και επειδή τα A n φθίνουν, έπεται ότι B n A n T (B). Άρα, αϕού το σύστηµα είναι εργοδικό, πρέπει µ(b) {0, }. Θα αποδείξουµε ότι µ(a) µ(b). Κατ αρχήν έχει κανείς ότι A T n (A) [A T (A)] [T (A) T 2 (A)]... [T (n ) (A) T n (A)]. Πράγµατι, αν x A T n (A) τότε x A [T n (A)] c A T n (A c ) ή x A c T (A). Στην πρώτη περίπτωση, έστω k ο πρώτος φυσικός αριθµός για τον οποίο T k (x) A και T k (x) / A υπάρχει ένας τέτοιος k, και µάλιστα k n, επειδή υποθέτουµε ότι x A και T n (x) / A τότε x T (k ) (A) T k (A c ) T (k ) (A) T k (A), και άρα x ανήκει και στο δεξί µέλος. Στην δεύτερη περίπτωση, έστω k ο πρώτος φυσικός αριθµός για τον οποίο T k (x) / A και T k (x) A υπάρχει ένας τέτοιος k, και µάλιστα k n, επειδή υποθέτουµε ότι x / A και T n (x) A τότε x T (k ) (A c ) T k (A) T (k ) (A) T k (A), και άρα x ανήκει και στο δεξί µέλος και πάλι. Επεται τώρα από αυτόν τον εγκλεισµό ότι µ(a T n (A)) n µ(t (k ) (A) T k (A)) k n µ(t (k ) (A T (A))) k nµ(a T (A)) 0, και επειδή A mn T m (A) mn (A T m (A)), έπεται τελικά ότι ( ) µ A T m (A) µ(a T m (A)) 0. mn mn 27

28 Άρα µ(a n ) µ(a) για κάθε n N{0}, αϕού ( µ(a) µ(a n ) µ(a A n ) µ A mn T m (A) ) 0, και επειδή τα A n φθίνουν στο B και ο χώρος έχει πεπερασµένο µέτρο, έπεται ότι µ(a) lim n µ(a n) µ(b). (2) (3) Εστω B B µε µ(b) > 0, και έστω A : n T n (B). Τότε T (A) n2 T n (B) A, και άρα A T (A) A T (A) εποµένως µ(a T (A)) µ(a) µ(t (A)) 0. Επεται ότι µ(a) {0, }, και επειδή T (B) A και µ(t (B)) µ(b) > 0, πρέπει µ(a). (3) (4) Εστω A, B B µε µ(a)µ(b) > 0. Τότε µ ( n T n (B)) και άρα πρέπει ( ) µ A T n (B) µ(a) > 0. n Αν ήταν µ(a T n (B)) 0 n N ϑα είχαµε αντίϕαση : ( ) ( ) µ A T n (B) µ (A T n (B)) µ(a T n (B)) 0. n n (4) () Εστω A B µε A T (A), και έστω ότι µ(a) (0, ). Τότε µ(a) > 0 και µ(a c ) > 0, και άρα πρέπει µ(a c T n (A)) > 0 για κάποιο n N. Οµως T n (A) A, και εποµένως µ(a c T n (A)) µ(a c A) 0. Παρατήρηση. Στην παραπάνω απόδειξη, το ότι το µέτρο µ είναι πεπερασµένο χρησιµοποιήθηκε µόνο στο τέλος της απόδειξης του () (2), όταν επικαλεστήκαµε το γεγονός ότι µ() < για να συµπεράνουµε, κατ αρχήν ότι µ(a) µ(a n ) και κατόπιν ότι µ(a n ) µ(b). Αυτό µπορεί να αποφευχθεί ως εξής : η ισότητα µ(a A n ) 0 n N{0} συνεπάγεται την µ(a n0 A n) 0, αϕού A n0 A n n0 (A A n) δηλαδή µ(a B) 0 και άρα 0 {µ(b), µ(b c )} 0 {µ(a), µ(a c )}. Εποµένως η παραπάνω Πρόταση ισχύει και όταν µ(), µε την (3) να γίνεται (προϕανώς) B B, µ(b) > 0 µ ( ( n T n (B)) c) 0. n Το (3) της παραπάνω Πρότασης 3 µπορεί να ισχυροποιηθεί ως εξής. 28

29 Πόρισµα. Εστω (, B, µ, T ) εργοδικό σύστηµα, µ(). Τότε B B, µ(b) > 0 µ ( n0 mn T m (B)). ηλαδή µ-σχεδόν κάθε σηµείο x επισκέπτεται το B άπειρες φορές το (3) της Πρότασης 3 ισχυρίζεται ότι µ-σχεδόν κάθε σηµείο x επισκέπτεται το A τουλάχιστον µία φορά. Απόδειξη. Εστω T εργοδική. Από το (3) της Πρότασης 3 ( ) B B, µ(b) > 0 µ T m (B). mn m0 Άρα, επειδή µ είναι T -αναλλοίωτο, ( ) ( ( )) µ T m (A) µ T n T m (A). m0 Τέλος, επειδή τα mn T m (A) φθίνουν καθώς το n αυξάνει, ( ) ( ) µ T m (A) lim µ T m (A). n n0 mn mn Εναλλακτικά, (( µ n0 mn T m (A) ) c ) µ n0 ( n0 mn (για την περίπτωση που έχει κανείς µ() ). mn T m (A c ) ) ( ) µ T m (A c ) 0 Αν το σύστηµα είναι αντιστρέψιµο η Πρόταση 3 µπορεί να ισχυροποιηθεί ως εξής. Πόρισµα. Εστω (, B, µ, T ) m.p.s., µ(). Τα επόµενα είναι ισοδύναµα : () Το σύστηµα είναι εργοδικό. (3 ) Για κάθε B B µε µ(b) > 0, µ ( n T n (B) ). (4 ) Αν A, B B µε µ(a)µ(b) > 0, τότε υπάρχει n Z τέτοιο ώστε µ(a T n (B)) > 0. 29

30 Απόδειξη. Το ότι () (3 ) είναι συνέπεια της Πρότασης 3. Τα (3 ) (4 ) και (4 ) (), αποδεικνύονται ακριβώς όπως και στην Πρόταση 3. Τέλος, σε ένα εργοδικό σύστηµα δεν µπορεί να έχει κανείς µη τετριµµένα αναλλοίωτα σύνολα δεν µπορεί να έχει όµως ούτε µη τετριµµένα σύνολα που ικανοποιούν µία από τις T (A) A ή T (A) A. Αυτό σηµειώνεται γιατί στους περισσότερους κλάδους των Μαθηµατικών αναλλοίωτο σηµαίνει κάποια τέτοιου είδους συνθήκη. Πόρισµα. Αν T εργοδική, τότε A B, T (A) A µ(a) {0, }. Απόδειξη. Αν A B, T (A) A, τότε T n (A) A n N. Αν ήταν µ(a) (0, ), ϑα είχαµε αντίϕαση στο (4) της Πρότασης 3, γιατί ϑα είχαµε µ(a) > 0, µ(a c ) > 0, και άρα ϑα έπρεπε για κάποιο n N. µ(a A c ) µ(t n (A) A c ) > 0 Ως Πόρισµα συνάγεται επίσης και το εξής : Πόρισµα. Αν T εργοδική, τότε A B, T (A) A µ(a) {0, }. Απόδειξη. Εστω A B µε T (A) A. Τότε T (A c ) A c. Πράγµατι, αν T (x) A c, τότε δεν µπορεί x A, γιατί τότε ϑα είχαµε και T (x) A (αϕού T (A) A) άρα x A c. Τώρα όµως έπεται από το προηγούµενο Πόρισµα ότι µ(a c ) {0, }, και άρα και µ(a) {0, }. Σηµείωση. Σηµειώνεται ότι στο τελευταίο πόρισµα δεν απαιτείται T (A) B (δηλαδή δεν απαιτείται το T (A) µετρήσιµο). Επίσης, και τα δύο Πορίσµατα ισχύουν και όταν µ() (µε 0 {µ(a), µ(a c )} αντί του µ(a) {0, }). Ενας άλλος χαρακτηρισµός της εργοδικότητας, πιο χρήσιµος ίσως από την Πρόταση 3, είναι µέσω αναλλοίωτων συναρτήσεων : οι µόνες αναλλοίωτες συναρτήσεις είναι οι σταθερές. Πρόταση 4. (, B, µ, T ) m.p.s., µ(). () Αν το σύστηµα είναι εργοδικό, τότε: f : C, f µετρήσιµη, f f T µ-σχεδόν παντού f σταθερή µ-σχεδόν παντού. (2) Αν f : R, f L (, B, µ), f f T µ-σχεδόν παντού f σταθερή µ-σχεδόν παντού, τότε το σύστηµα είναι εργοδικό. 30

31 Απόδειξη. () Εστω ότι το σύστηµα είναι εργοδικό και έστω f : C µετρήσιµη και αναλλοίωτη µ-σχεδόν παντού : f f T µ-σχεδόν παντού. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι η f είναι πραγµατική συνάρτηση : f : R (για µιγαδικές f ϑεωρούµε το πραγµατικό και φανταστικό µέρος). Εστω F a : {x : f(x) > a} f (a, ), a R τότε F a T (F a ) {x : f(x) f(t (x))}, και άρα κάθε F a είναι αναλλοίωτο mod µ. Από το (2) της Πρότασης 3 έπεται ότι µ(f a ) {0, } για κάθε a. Εστω c : inf{a R: µ(f a ) 0} επειδή η συνάρτηση a µ(f a ) ειναι µη-αύξουσα, έπεται ότι µ(f a ) 0 a > c και µ(f a ) a < c. Επειδή f (a, ) f (c, ) καθώς a c, έπεται ότι µ({x : f(x) > c}) µ(f (c, )) lim a c µ(f a ) 0 και επειδή f ((, a]) f (, c) καθώς a c, έπεται ότι και µ({x : f(x) < c}) µ(f (, c)) lim a c µ(f c a) 0. (2) Εστω ότι κάθε αναλλοίωτη σχεδόν παντού πραγµατική L συνάρτηση είναι σταθερή σχεδόν παντού. Εστω A B ένα αναλλοίωτο σύνολο : A T (A). Τότε η χαρακτηριστική συνάρτηση f : A του A είναι αναλλοίωτη και στον L (, B, µ), άρα πρέπει να είναι σταθερή σχεδόν παντού. ηλαδή, ή f σχεδόν παντού, οπότε µ(a), ή f 0 σχεδόν παντού, οπότε µ(a) 0. Παρατήρηση. Το (2) µπορεί να αντικατασταθεί από το ασθενέστερο : αν κάθε πραγµατική σχεδόν παντού αναλλοίωτη L p συνάρτηση είναι σταθερή σχεδόν παντού τότε το σύστηµα είναι εργοδικό, για οποιοδήποτε p. Αυτό επειδή για χώρους πιθανότητας (, B, µ), L (, B, µ) L p (, B, µ) για κάθε p, και άρα αν κάθε πραγµατική σχεδόν παντού αναλλοίωτη L p συνάρτηση είναι σταθερή σχεδόν παντού τότε το ίδιο συµβαίνει και για κάθε πραγµατική σχεδόν παντού αναλλοίωτη L συνάρτηση f (αϕού αναγκαστικά τότε f L p επίσης). Παρατήρηση. Η Πρόταση 4 ισχύει και για συστήµατα µε µ(). Αυτό επιβεβαιώνεται µε έναν απλό έλεγχο της απόδειξης, στην οποία η συνθήκη µ() < δεν χρησιµοποιήθηκε πουθενά. 3

32 Παραδείγµατα. Στροϕές του κύκλου: T R/Z S [0, ). a [0, ). T (x) : x + a (mod ) x + a x + a, x [0, ), ή T (z) : e 2πia z, z S, ή T (x + Z) x + a + Z, x + Z R/Z. Οπως είδαµε, µια τέτοια T διατηρεί το µέτρο Lebesgue στον κύκλο, που είναι το µέτρο Haar της πολλαπλασιαστικής οµάδας S, ή µέτρο Lebesgue στο [0, ), που είναι το µέτρο Haar της οµάδας R/Z. Πρόταση. Η T είναι εργοδική ανν a / Q. Απόδειξη. Εστω πρώτα ότι a άρρητος. Θα χρησιµοποιήσουµε την Πρόταση 4. Εστω f L 2 ([0, ), B, λ) µε f L2 f T (όπου B Borel([0, )) και λ το µέτρο Lebesgue στο [0, )). Τότε η f έχει ανάπτυγµα Fourier στον L 2, επειδή οι εκθετικές συναρτήσεις e k, k Z, e k : [0, ) S, e k (x) e 2πikx, x [0, ), αποτελούν ορθοκανονική ϐάση του L 2 : f L2 f(k)e k, f(k) f, ek k Z [0,) f(x) e k (x) dx, k Z. Τότε (f T )(k) f T, e k [0,) [0,) f(t (x)) e k (x) dx f(x + a (mod )) e k (x) dx, και αν επεκτείνουµε την f περιοδικά : f(x + k) : f(x) για k Z, x [0, ), αυτό µπορεί να γραϕεί ως (f T )(k) f(x + a) e 2πikx dx [0,) [a,a+) e 2πika e 2πika f(x) e 2πik(x a)x dx [a,a+) [0,) e 2πika f(k), f(x) e 2πikx dx f(x) e 2πikx dx 32

33 η προτελευταία ισότητα επειδή η συνάρτηση x f(x) e 2πikx είναι περιοδική µε περίοδο. Αν f L2 f T, τότε πρέπει (f T )(k) f(k) k Z, και άρα πρέπει e 2πika f(k) f(k) (e 2πika ) f(k) 0 k Z επειδή a / Q, e 2πika k Z {0}, και άρα πρέπει f(k) 0 k Z {0}. Άρα f L2 f(0)e 0 f(0), δηλαδή η f είναι σταθερή σχεδόν παντού αν είναι αναλλοίωτη σχεδόν παντού. Για το αντίστροϕο απλά παρατηρεί κανείς ότι η συνάρτηση f(x) : e 2πinx είναι αναλλοίωτη αλλά όχι σταθερή αν a m/n, (m, n), m N {0}, n N, είναι ϱητός, και άρα η T δεν µπορεί να είναι εργοδική πράγµατι f(t (x)) e 2πin(x+a) e 2πi(nx+na) e 2πi(nx+m) f(x), και f(0), f(/(2n)) f(0). Είναι φυσικά γνωστό ότι αν a / Q, τότε το σύνολο {ζ n : n Z}, όπου ζ e 2πia, είναι πυκνό στον κύκλο S, ισοδύναµα, {na (mod ): n Z}, είναι πυκνό στο [0, ). Θα δοθεί εδώ µία απόδειξη µέσω εργοδικότητας και της Πρότασης 3, κυρίως επειδή αποτελεί παράδειγµα της απόδειξης του ανάλογου αποτελέσµατος για γενικές συµπαγείς οµάδες, στο επόµενο Παράδειγµα. Το επιχείρηµα έχει ως εξής. Βολεύει εδώ ίσως να ϑεωρήσουµε µια στροφή του κύκλου στον κύκλο (!), δηλαδή την T (z) e 2πia z, z S. Εστω ότι το {ζ n : n Z}, όπου ζ : e 2πia, δεν είναι πυκνό στον κύκλο S. Τότε υπάρχει z S και ε > 0 ώστε U ε (z) {ζ n : n Z}, όπου U ε (z) η ανοικτή µπάλα ακτίνας ε µε κέντρο z. Ορίζουµε U : U ε () S, η ανοικτή µπάλα ακτίνας ε µε κέντρο S (στο S ) και V U δ () S, η ανοικτή µπάλα ακτίνας δ : ε/2 µε κέντρο S (στο S ) τότε U ε (z) zu, όπου zu : {zw : w U} (αυτό το ϐήµα δεν χρειάζεται εδώ, αλλά ϑα ϐοηθήσει ίσως στην κατανόηση της αντίστοιχης απόδειξης για γενικές συµπαγείς οµάδες). Τότε, zv ζ n V για κάθε n Z. Οµως zv ζ n V (zv ) T n V, και αν η T ήταν εργοδική ϑα έπρεπε, από το (3) της Πρότασης 3, λ((zv ) T n V ) > 0 για κάποιο n N, αϕού τα zv και V είναι ανοικτά σύνολα και άρα έχουν ϑετικό µέτρο Lebesgue (Haar). Επεται ότι αν a άρρητος, οπότε γνωρίζουµε ότι η T είναι εργοδική, τότε το {ζ n : n N} πρέπει να είναι πυκνό στον S. ( Επεται άµεσα ότι τότε και το {ζ n : n N} είναι πυκνό, και φυσικά και το {ζ n : n Z}.) 33

34 2. Μεταϕορές συµπαγών οµάδων. G συµπαγής οµάδα, B(G) Borel σ-άλγεβρα της G, λ µέτρο Haar. a G. T (x) ax, x G. Οπως έχουµε ήδη δει, η T διατηρεί το µέτρο Haar της οµάδας, εξ ορισµού. Οι στροϕές του κύκλου είναι ειδική περίπτωση αυτού. Παρένθεση: Στοιχεία για τοπικά συµπαγείς οµάδες και χαρακτήρες συµπαγών αβελιανών οµάδων ([4, 6]) G τοπικά συµπαγής (Hausdorff) οµάδα. Ορισµοί : για A, B G και x G, xa : {xa: a A}, AB : {ab: a A, b B}, A : {a : a A}. Αν U G ανοικτό, τα xu, U είναι επίσης ανοικτά, x G (από την συνέχεια των συναρτήσεων (x, y) xy και x x ). Για κάθε ανοικτή περιοχή U του G, υπάρχει ανοικτή περιοχή V του G τέτοια ώστε V V (η V είναι συµµετρική περιοχή) και V V U. Χαρακτήρες: G τοπικά συµπαγής (Hausdorff) οµάδα. Χαρακτήρας : ένας συνεχής οµοµορϕισµός γ : G S. Παραδείγµατα : Αν G R, οι χαρακτήρες είναι τα εκθετικά e ξ (x) : e 2πiξx, x R, ξ R. Αν G R n, οι χαρακτήρες είναι τα εκθετικά e ξ (x) : e 2πi ξ,x, x R n, ξ R n (όπου, το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων). Αν G R/Z [0, ), οι χαρακτήρες είναι τα εκθετικά e k (x) : e 2πikx, x [0, ), k Z. Αν G R n /Z n [0, ) n, οι χαρακτήρες είναι τα εκθετικά e k (x) : e 2πi k,x, x [0, ) n, k Z n. Συµβολισµός. Για G τοπικά συµπαγή αβελιανή οµάδα, Ĝ ϑα συµβολίζει το σύνολο (τοπικά συµπαγή αβελιανή οµάδα) όλων των χαρακτήρων της. Πρόταση. Αν G συµπαγής αβελιανή οµάδα, τότε οι χαρακτήρες αποτελούν ορθοκανονική ϐάση του L 2 (, B, λ), όπου B Borel(G), λ Haar. Τέλος Παρένθεσης. 34

35 Πρόταση. Για µια συµπαγή οµάδα G και µια µεταϕορά T : G G της G, T (x) ax, x G, όπου a G, τα εξής είναι ισοδύναµα: (ι) T είναι εργοδική. (ιι) {a n : n N} G {a n : n N}. (ιιι) {a n : n Z} G. (ιυ) G αβελιανή, και γ Ĝ, γ(a) γ. Απόδειξη. (ι) (ιι): Εστω ότι η T είναι εργοδική. Θέτουµε H : {a n : n N}, και έστω ότι G H. Αϕού G H ανοικτό, υπάρχουν x G H και ανοικτή περιοχή U του G τέτοια ώστε xu H. Εστω V ανοικτή περιοχή του G τέτοια ώστε V V και V V U ισχυριζόµαστε ότι Πράγµατι, xv T n (V ), n N. y xv T n (V ) x y V και T n (y) V x y V και a n y V x y V και y a n V x a n V V U a n xu, άτοπο. Αυτό όµως αντίκειται στο (3) της Πρότασης 3: αϕού V ανοικτό, xv επίσης ανοικτό, άρα λ(v ) > 0 και λ(xv ) > 0, άρα ϑα έπρεπε λ(xv T n (V )) > 0 για κάποιο n N. (ιι) (ιιι): Προϕανές. (ιιι) (ιυ): Εστω ότι {a n : n Z} G, και έστω γ χαρακτήρας της G µε γ(a). Τότε γ(a n ) [γ(a)] n για κάθε n Z, επειδή η γ είναι οµοµορϕισµός. Οµως, επειδή η γ είναι και συνεχής, έπεται ότι γ(x) για κάθε x {a n : n Z}, και άρα για κάθε x G, αϕού {a n : n Z} G. Το ότι η G πρέπει να είναι αβελιανή έπεται από το γεγονός ότι η µονο- ϑετική οµάδα {a n : n Z} είναι αβελιανή, άρα και {a n : n Z} G πρέπει να είναι αβελιανή 4. 4 Αν H αβελιανή υπο-οµάδα τότε και H αβελιανή : αν x, y H, έστω δίκτυα x i, y i i I, τέτοια ώστε x i x, y i y τότε x iy i y ix i, και από την συνέχεια της πράξης, x iy i xy και y i x i yx. 35

36 (ιυ) (ι): Εστω τώρα f L 2 (, B, λ) τέτοια ώστε f L2 f T. Τότε η f έχει ανάπτυγµα Fourier: f L2 f(γ)γ, f(γ) f, γ fγ dλ, γ Ĝ G γ Ĝ το άθροισα εδώ είναι υπό την έννοια δικτύων : για κάθε ε > 0, υπάρχει πεπερασµένο Γ ε Ĝ, τέτοιο ώστε γ Γ f(γ)γ f 2 < ε για κάθε πεπερασµένο Γ Γ ε. (Τότε υπάρχει και αριθµήσιµο Γ f Ĝ τέτοιο ώστε f(γ) 0 γ / Γ f.) Για την f T έχει κανείς (f T )(γ) f T, γ f(t (x)) γ(x)dx G f(ax) γ(x)dx G f(ax) γ(a ax)dx G γ(a ) f(ax) γ(ax)dx G γ(a ) f(x) γ(x)dx G γ(a ) f(γ) Αϕού f L2 f T πρέπει γ(a) f(γ) (γ οµοµορϕισµός) γ(a) f(γ) (γ(a) S ). (γ οµοµορϕισµός) (αναλλοίωτο µέτρου Haar) (f T )(γ) f(γ) [γ(a) ] f(γ) 0 γ Ĝ. Αν γ(a) για κάθε γ G, όπου G ο ταυτοτικά ένα χαρακτήρας (χαρακτηριστική συνάρτηση της G), πρέπει f(γ) 0 για κάθε γ G, και άρα f L2 f( G ) G f( G ) δηλαδή, πρέπει η f να είναι σταθερή σχεδόν παντού. 36

37 Στροϕές του n-τόρου: T n R n /Z n S S [0, ) n. a,..., a n [0, ). T (x,..., x n ) : (x + a,..., x n + a n ) (mod ) για (x,..., x n ) [0, ) n ή (x + a (mod ),..., x n + a n (mod )), T (x + Z n ) x + a + Z n, x R n /Z n, a το διάνυσµα µε συντεταγµένες a,..., a n, ή T (z) : (e 2πia z,..., e 2πian z n ), (z,..., z n ) S S. Εχουµε δει ότι η T διατηρεί το µέτρο Lebesgue λ λ, όπου λ το µέτρο Lebesgue στον κύκλο S, που είναι το µέτρο Haar της πολλαπλασιαστικής οµάδας S S, ή n-διάστατο µέτρο Lebesgue στο [0, ) n, που είναι το µέτρο Haar της οµάδας R n /Z n. Πρόταση. Μια µεταϕορά (στροϕή) του n-τόρου T : [0, ) n [0, ) n, T (x) (x + a,..., x n + a n ) (mod ), x,..., x n [0, ), είναι εργοδική, ανν οι οι αριθµοί, a,..., a n είναι γραµµικά ανεξάρτητοι επί του σώµατος Q k,..., k n Z, k a + + k n a n Z k k n 0. Απόδειξη. Σύµϕωνα µε την Πρόταση για µεταϕορές σε γενικές συµπαγείς οµάδες, η T είναι εργοδική ανν γ(a) γ G e 2πi k,a k Z n {0} n k k n Z, k i a i Z k k n 0, i όπου a το διάνυσµα µε συντεταγµένες a,..., a n. 3. Επιµορϕισµοί του n-τόρου: T n R n /Z n S S [0, ) n. A: n n πίνακας µε στοιχεία A ij Z. Υπενθυµίζεται ότι ο A επάγει µία απεικόνιση του n-τόρου στον εαυτό 37

38 του : n j A jx j (mod ) T (x) : Ax (mod )., n j A njx j (mod ) ή T (x + Z n ) Ax + Z n, όπου x το διάνυσµα µε συντεταγµένες x,..., x n [0, ), που είναι επιµορϕισµός αν(ν) det(a) 0, και ότι τότε αυτή η T διατηρεί το µέτρο Lebesgue στον n-τόρο. Πρόταση. Ο επιµορϕισµός T : [0, ) n [0, ) n, T (x) Ax (mod ), όπου A πίνακας µε στοιχεία στο Z, είναι εργοδικός ανν ο πίνακας A δεν έχει ιδιοτιµή που να είναι ϱίζα της µονάδας. Απόδειξη. Εστω πρώτα ότι ο T δεν έχει ιδιοτιµή ϱίζα της µονάδας ϑα δείξουµε ότι ο T είναι εργοδικός. Θα χρησιµοποιηθεί η Πρόταση 4 και πάλι. Εστω f L 2 ([0, ) n, B, λ), όπου B Borel([0, ) n ), λ Lebesgue στο [0, ) n, µε f L2 f T. Τότε η f έχει ανάπτυγµα Fourier στον L 2, επειδή οι εκθετικές συναρτήσεις e k, k Z n, e k : [0, ) n S, e k (x) e 2πi k,x, x [0, ) n, αποτελούν ορθοκανονική ϐάση του L 2 (είναι οι χαρακτήρες της οµάδας R n /Z n [0, ) n ): f L2 f(k)ek, f(k) f, ek f(x) e k (x) dx, k Z n. k Z n [0,) n Επεκτείνουµε f περιοδικά : f(x + k) : f(x), για k Z n, x [0, ) n. (f T )(k) f T, e k f(t (x)) exp( 2πi k, x ) dx R n /Z n f(ax) exp( 2πi k, x ) dx [0,) n f(ax) exp( 2πi k, A Ax ) dx [0,) n [det(a)] A[0,) n f(x) exp( 2πi k, A x ) dx [det(a)] A[0,) n f(x) exp( 2πi (A ) k, x ) dx, 38

39 και η τελευταία σειρά ισούται µε [0,) n f(x) exp( 2πi (A ) k, x ) dx επειδή η συναρτήσεις f και exp είναι περιοδικές και το T ([0, ) n ) καλύπτει το [0, ) n ακριβώς det(a) φορές. Πράγµατι, το τελευταίο ολοκλήρωµα µπορεί να υπολογιστεί ως εξής. ιαµερίζουµε το A[0, ) n ως m Z n[a[0, )n ([0, ) n + m)] και γράϕουµε f(x) exp( 2πi (A ) k, x ) dx A[0,) n f(x) exp( 2πi (A ) k, x ) dx m Z n m Z n A[0,) n (m+[0,) n ) A[0,) n (m+[0,) n ) f(x m) exp( 2πi (A ) k, x m ) dx f(x) exp( 2πi (A ) k, x ) dx m Z n (A[0,) n m) [0,) n A[0,) n m(x)f(x) exp( 2πi (A ) k, x ) dx [0,) n m Z n det(a)f(x) exp( 2πi (A ) k, x ) dx [0,) n [det(a)] f, e (A ) k [det(a)] f((a ) k), όπου χρησιµοποιήθηκε η περιοδικότητα των συναρτήσεων f και exp από την δεύτερη στην τρίτη σειρά, η αλλαγή µεταβλητής y x m στον R n α- πό την τρίτη στην τέταρτη, και κατόπιν η ισότητα m Z n A[0,) n m(x) det(a) για κάθε x [0, ) n, που οϕείλεται στο γεγονός ότι κάθε ση- µείο x του [0, ) n καλύπτεται ακριβώς det(a) φορές από την εικόνα T ([0, ) n ) m Z [(A[0, )n m) [0, ) n ]. Από τον παραπάνω υπολογισµό έπεται ότι (f T )(k) f((a ) k) k Z n. Αϕού υποθέτουµε ότι f L2 f T, πρέπει (f T )(k) f(k) k Z n, και άρα πρέπει f((a ) k) f(k) k Z n επειδή ο A είναι αντιστρέψιµος, και άρα A Z n Z n, αυτό είναι ισοδύναµο µε f(a k) f(k) k Z n. Επεται ότι, k Z n, f((a ) m k) f(k) m Z συγκεκρι- µένα, f(k) f(a k) f((a ) m k), 39

40 για κάθε k Z n. Για k 0 όµως, το σύνολο {(A ) m k : m {N} {0}} είναι άπειρο, αϕού όλα τα διανύσµατα (A ) m k είναι διαϕορετικά µεταξύ τους : αν ήταν (A ) m k (A ) l k για δύο διαϕορετικά m, l, µε m > l έστω, τότε ϑα έπρεπε (A ) m l k k και άρα, αϕού k 0, το ϑα ήταν ιδιοτιµή του (A ) m l, και εποµένως και του A m l τότε όµως κάποια m l ϱίζα της µονάδας ϑα ήταν ιδιοτιµή του A, άτοπο. Επεται ότι, για k 0, f 2 2 f(l) 2 f(l) 2 l Z n l {(A ) m k : m {N} {0}} f((a ) m k) 2 m0 f(k) 2 m0 (τα (A ) m k όλα διαϕορετικά) ( f((a ) m k) f(k) m N), και αν f(k) 0 τότε ϑα είχαµε f 2. Εποµένως, αϕού f L 2, πρέπει f(k) 0 k Z n {0}, και άρα f f(0)e 0 f(0) σχεδόν παντού, δηλαδή η f είναι σταθερή σχεδόν παντού. Αντιστρόϕως, έστω ότι ο πίνακας A έχει για ιδιοτιµή κάποια ϱίζα της µονάδας τότε ο A m ϑα έχει για ιδιοτιµή το, και εποµένως και ο (A ) m ϑα έχει για ιδιοτιµή το, για κάποιο m N, και έστω ότι ο m είναι ο µικρότερος ακέραιος µε την ιδιότητα αυτή. Τότε υπάρχει και ιδιοδιάνυσµα για την ιδιοτιµή, και επειδή ο A έχει στοιχεία ακεραίους, υπάρχει ιδιοδιάνυσµα µε συντεταγµένες ακεραίους : k Z n {0}: (A ) m k k. Τότε η συνάρτηση f(x) : exp(2πi k, x )+exp(2πi k, T (x) )+ +exp(2πi k, T m (x) ) είναι αναλλοίωτη αλλά όχι σταθερή. Πράγµατι, επειδή η συνάρτηση x exp(2πix) είναι περιοδική µε περίοδο, exp(2πi k, T (x) ) exp(2πi k, (Ax l) ) exp(2πi k, Ax ) exp( 2πi k, l ) exp(2πi k, Ax ), όπου l το διάνυσµα µε συντεταγµένες τα ακέραια µέρη των συντεταγµένων του Ax: n j A ijx j, i,..., n, και επαγωγικά exp(2πi k, T m (x) ) exp(2πi k, A m x ) exp(2πi (A ) m k, x) ) exp(2πi k, x) ) 40

41 έπεται ότι f(t (x)) : m exp(2πi k, T j (x) ) j m j0 exp(2πi k, T j (x) ) f(x). Το ότι η f δεν είναι σταθερή το ϐλέπει κανείς παρατηρώντας ότι οι όροι στο άθροισµα που την ορίζουν είναι ορθογώνιες συναρτήσεις. Τα διανύσµατα k, A k,..., (A ) m k είναι όλα διαϕορετικά και όλα διαϕορετικά από το µηδενικό διάνυσµα, επειδή το k είναι ιδιοδιάνυσµα του (A ) m και m είναι ο µικρότερος ϑετικός ακέραιος για τον οποίο (A ) m k k: αν ήταν (A ) l k (A ) p k µε l, p {0,,..., m } και l < p, έστω, ϑα είχαµε ότι (A ) p l k k µε 0 < p l < m και αν ήταν (A ) l k 0 για κάποιο l {0,,..., m }, τότε ϑα ήταν και (A ) m k 0 και το k δεν ϑα µπορούσε να είναι ιδιοδιάνυσµα του (A ) m. Επεται από αυτό ότι οι συναρτήσεις [0,) n(x), exp(2πi k, x ), exp(2πi A k, x ),..., exp(2πi (A ) m k, x ) είναι ορθογώνιες, άρα και γραµµικά ανεξάρτητες, αϕού οι συναρτήσεις αυτές είναι οι e 0, e k, e A k,..., e (A ) m k, και τα εκθετικά αποτελούν ορθοκανονικό σύστηµα στον L 2 ([0, ) n, B, λ). Οµως η f είναι το άθροισµα των e k, e A k,..., e (A ) m k: f(x) m j0 m j0 m j0 m j0 exp(2πi k, T j (x) ) exp(2πi k, A j (x) ) exp(2πi (A ) j k, x ) e (A ) j k(x), και αν ήταν σταθερή σχεδόν παντού, δηλ. f e k +e A k+ +e (A ) m k ce 0 στον L 2, τότε ένας µη τετριµµένος γραµµικός συνδυασµός των συναρτήσεων e 0, e k, e A k,..., e (A ) m k ϑα ήταν µηδέν. 4