Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων"

Transcript

1 Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Πτυχιακη Εργασια Ιωσηφιδης Ηλιας Α.Μ: 311/2329 Επιβλεπων : Τσολοµυτης Αντωνης A Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Σαµος 27

2

3 Εξεταστικη Επιτροπη : Τσολοµύτης Αντώνιος Ανούσης Μιχαήλ Καραχάλιος Νικόλαος

4

5 v Πρόλογος Το πρώτο πράγµα που πρέπει να αναφέρω, είναι ένα ϑερµό ευχαριστώ για τον κο Αντώνη Τσολοµύτη. Η ϐοήθεια του ήταν σηµαντική σε όλους τους τοµείς που αφορούν την εκπόνηση µιας πτυχιακής εργασίας. Θα ήταν αδύνατον να καταλάβω και να συνειδητοποιήσω ορισµένες µαθηµατικές έννοιες χωρίς την υποµονή και τον χρόνο που µου αφιέρωσε. Ολες οι συζητήσεις που είχαµε µε ϐοήθησαν να δω τα µαθηµατικά µε µεγαλύτερη ωριµότητα και εκτίµησα από την αρχή το ϕιλικό κλίµα που δηµιούργησε. Επίσης ϑα ήθελα να ευχαριστήσω τα µέλη της εξεταστικής επιτροπής κο Μιχαήλ Ανούση και κο Νικόλαο Καραχάλιο, οι οποίοι διάβασαν και ασχολήθηκαν µε την πτυχιακή µου εργασία.

6 vi

7 Περιεχόµενα Πρόλογος v 1 Χώροι µε νόρµα Ορισµοί και παραδείγµατα Ανισότητα Hölder Ανισότητα Minkowski Τοπολογικές έννοιες Χώροι Banach 4 2 Χώροι Hilbert Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο Ανισότητα Cauchy-Schwartz και νόρµα του Hilbert Ανισότητα Bessel Ορθοκανονικές ϐάσεις Ταυτότητα του Parseval ιαχωρίσιµοι χώροι Hilbert Προβολές και ορθογώνιο συµπλήρωµα Γραµµικά συναρτησοειδή Γραµµικά συναρτησοειδή σε χώρους µε νόρµα Φραγµένα γραµµικά συναρτησοειδή. Η νόρµα του συναρτησοειδούς Φραγµένα γραµµικά συναρτησοειδή σε χώρο Hilbert 13 3 υϊκοί χώροι Το ϑεώρηµα του Hahn-Banach Πορίσµατα του ϑεωρήµατος Hahn-Banach 15 4 Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές Ορισµοί και παραδείγµατα Πληρότητα του χώρου L(X,Y) Συµπαγείς τελεστές Συµπαγή σύνολα Βασικές ιδιότητες συµπαγών τελεστών υϊκοί τελεστές 23 vii

8 viii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4.5 Συγκλίσεις στον χώρο των ϕραγµένων τελεστών Αντιστρέψιµοι τελεστές Φάσµα ϕραγµένου γραµµικού τελεστή Ταξινόµηση του ϕάσµατος 26 5 Αυτοσυζυγείς τελεστές Βασικές ιδιότητες αυτοσυζυγών τελεστών ιάταξη στον χώρο των αυτοσυζυγών τελεστών Ιδιότητες της διάταξης Τελεστές προβολής Ιδιότητες προβολών Ορθοπροβολές 35 6 Συναρτήσεις τελεστών Φασµατική αναπαράσταση Η ϐασική ανισότητα Το ϕασµατικό ολοκλήρωµα Το ϑεώρηµα του Hilbert για αυτοσυζυγείς και ϕραγµένους τελεστές Το ϕάσµα των αυτοσυζυγών τελεστών Απλό ϕάσµα 46 7 Φασµατική ϑεωρία unitary τελεστών Φασµατικές ιδιότητες των unitary τελεστών 49 8 Μη ϕραγµένοι αυτοσυζυγείς και συµµετρικοί τελεστές Βασικές έννοιες και παραδείγµατα Ιδιότητες συµµετρικών τελεστών Το ϕάσµα ενός µη ϕραγµένου τελεστή Η µέθοδος του γραφήµατος Μετασχηµατισµός του Cayley: ϕασµατική αναπαράσταση 67 Βιβλιογραφία 73

9 Κεφάλαιο 1 Χώροι µε νόρµα 1.1 Ορισµοί και παραδείγµατα Ορισµός Εστω X ένας γραµµικός χώρος επί του R (ή του C). Μια συναρτηση : X R καλείται νόρµα αν ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες : 1. x, 2. x = x =, 3. λx = λ x, 4. x + y x + y (τριγωνική ανισότητα) για κάθε x, y X και για κάθε λ R (ή C). Ο διανυσµατικός χώρος X εφοδιασµένος µε µια νόρµα καλείται χώρος µε νόρµα. Ορισµός ύο νόρµες 1, 2 καλούνται ισοδύναµες αν και µόνο αν υπάρχουν σταθερές c, C > τέτοιες ώστε c x 2 x 1 C x 2 για κάθε x X. Παράδειγµα Θεωρούµε τον γραµµικό χώρο c ο οποίος αποτελείται από όλες τις ακολουθίες που συγκλίνουν στο. Ευκολα µπορούµε να δούµε ότι η συναρτηση : c R µε x = (x n ) n N = sup n x n είναι νόρµα. Το ίδιο µπορούµε να κάνουµε και για τον γραµµικό χώρο l ο οποίος αποτελείται από όλες τις ϕραγµένες ακολουθίες. Παράδειγµα Στον γραµµικό χώρο C[a, b] = {f : [a, b] R, f συνεχής} ορίζουµε την νόρµα µιας συνάρτησης f, να είναι f = max { f (t) : t [a, b]}. Παράδειγµα Θεωρούµε τον χώρο l p µε 1 p <, ο οποίος απότελείται από όλες τις ακολουθίες πραγµατικών αριθµών x = (x n ) n N για τις οποίες k=1 x k p < +. Στον χώρο αυτό ορίζουµε την νόρµα 1/p x p = x k p. k=1 Οι ιδιότητες 1-3 του ορισµού εύκολα µπορούν να δειχθούν. Αντιθέτως, η απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας δεν είναι καθόλου προφανής και ϑα αποδειχθεί παρακάτω. Παρατηρούµε επίσης ότι η τριγωνική ανισότητα συνεπάγεται το γεγονός ότι ο l p είναι γραµµικός χώρος, αφού αν x, y l p τότε x + y p x p + y p <, και έτσι (x + y) l p. 1

10 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ ΜΕ ΝΟΡΜΑ Ανισότητα Hölder Θεώρηµα Για οποιεσδήποτε δύο ακολουθίες (a n ) n N, (b n ) n N και 1 < p < έχουµε ότι 1/p 1/q (1.1) a k b k a k b k a k p b k q, όπου 1/p + 1/q = 1. k=1 k=1 k=1 Απόδειξη. Καταρχήν, µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι αν η ανισότητα (1.1) ισχύει για κάθε πεπερασµένα σύνολα αριθµών (a k ) n k=1, (b k) n τότε είναι επίσης σωστή και για άπειρα. Για αυτό λοίπον k=1 ϑα την αποδείξουµε για δύο τυχαίες πεπερασµένες ακολουθίες (a i ) n i=1, (b i) n i=1. Αρχικά παρατηρούµε ότι για τους αριθµούς p, q ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις : (1.2) a i k=1 1 = q 1 και (p 1)q = p. p 1 Στη συνέχεια ϑέτουµε c i = ( b και d a j p ) 1/p i = i (, για κάθε i N. Τότε έχουµε ότι c p b j q ) 1/q i = 1, d q i = 1. Για να ολοκληρωθεί η απόδειξη, αρκεί να δείξουµε ότι c i d i 1. Πρώτα παρατηρούµε ότι c i d i (1/p) c p i + (1/q) d q i. Πράγµατι, ϑεωρούµε την συνάρτηση y = x p 1 και την ολοκληρώνουµε ως προς x από το µέχρι το c i. Τότε το εµβαδόν E 1 που αντιπροσωπεύει το ολοκλήρωµα αυτό είναι E 1 = (1/p) c p i. Με παρόµοιο τρόπο υπολογίζουµε το ολοκλήρωµα της αντίστροφης x = y 1/(p 1) = y q 1 ως προς y στο διάστηµα [, d i ] και έχουµε ότι το εµβαδόν E 2 που αντιπροσωπεύεται από το ολοκλήρωµα αυτό είναι ίσο µε E 2 = (1/q) d q i. Οµως το εµβαδόν E 1 + E 2 είναι πάντα µεγαλύτερο ή ίσο από το εµβαδόν του ορθογωνίου µε πλευρές c i, d i και αυτο συµβαίνει για κάθε i N. Άρα έχουµε ότι c i d i 1 p cp i + 1 q dq i, για κάθε i N και η ισότητα ισχύει µόνο όταν d i = c p 1 i. Αθροίζοντας τώρα ως προς i την παραπάνω ανισότητα έχουµε ότι c i d i 1 p + 1 q = 1 εφόσον c p i = d q i = 1,και έτσι έπεται το Ϲητούµενο. Θεώρηµα Εστω 1 < p < και έστω q τέτοιο ώστε 1/p+1/q = 1. Τότε για όλες τις συναρτήσεις f, g στο [a, b] b τέτοιες ώστε τα ολοκληρώµατα f a (t) p b dt, a g(t) q b dt και f (t)g(t) dt υπάρχουν (ώς a ολοκληρώµατα Riemann), έχουµε ότι b a ( b ) 1/p ( b 1/q f (t)g(t) dt f (t) p dt g(t) dt) q. a a Απόδειξη. Θεωρούµε µια διαµέριση P n = {a = x < x 1 < x n = b} ίσων υποδιαστηµάτων του [a, b] και έστω x = x i x i 1 = b a. Τότε έχουµε n n f (x i )g(x i ) x = i=1 = n f (x i )g(x i ) ( x) p q i=1 n ( f (x i ) p x) 1/p ( g(x i ) q x) 1/q. i=1

11 1.1. ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 3 Οµως από την ανισότητα (1.1) έπεται ότι n n ( f (x i ) p x) 1/p ( g(x i ) q x) 1/q f (x i ) p x 1/p i=1 i=1 i=1 Συνδιάζοντας τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι n n f (x i )g(x i ) x f (x i ) p x 1/p i=1 i=1 i=1 Αφήνοντας το n ολοκληρώνεται η απόδειξη. n g(x i ) q x n g(x i ) q x 1/q. 1/q Ανισότητα Minkowski Θεώρηµα Για κάθε ακολουθία a = (a n ) n N και b = (b n ) n N και 1 p ισχύει ότι (1.3) a + b p a p + b p. Απόδειξη. Η σχέση (1.3) ισχύει προφανώς για p = 1 και p =. Εστω λοιπόν 1 < p <. Εχουµε ότι a + b p p = a k + b k p a k + b k p 1 ( a k + b k ) = a k + b k p 1 a k + a k + b k p 1 b k. Τώρα, χρησιµοποιώντας την ανισότητα (1.1) για κάθε ένα απο τα παραπάνω αθροίσµατα και επίσης το ότι (p 1)q = p, προκύπτει ότι η ποσότητα a + b p p είναι µικρότερη ή ίση από την ( ( a k + b k ) p) 1/q ( a k p) 1/p ( + ( a k + b k ) p) 1/q ( b k p) 1/p. Άρα a + b p p ( ( a k + b k ) p) 1/q ( a p + b p ). Τέλος, διαιρώντας και τα δύο µελη µε ( ( a k + b k ) p ) 1/q και εφαρµόζοντας το γεγονός ότι 1 1 = 1 q p, έπεται αυτό που ϑέλαµε να δείξουµε. Θεώρηµα Για κάθε 1 < p < και για κάθε συναρτήσεις f, g στο [a, b] τέτοιες ώστε τα b ολοκληρώµατα f a (t) p b dt και a g(t) p b dt υπάρχουν, έχουµε ότι το ολοκλήρωµα f (t) + a g(t) p dt επίσης υπάρχει, και µάλιστα ικανοποιεί την παρακάτω σχέση : ( b 1/p ( b f (t) + g(t) dt) p a a 1/p ( b 1/p f (t) dt) p + g(t) dt) p. a Απόδειξη. Θεωρούµε µια διαµέριση P n = {a = t < t 1 < < t n = b} η οποία χωρίζει το διάστηµα [a, b] σε n ίσα υποδιαστήµατα µε µήκος x = t i t i 1 = b a, για κάθε i = 1,..., n. Χρησιµοποιώντας n την ανισότητα (1.3) έχουµε ότι 1/p 1/p 1/p n n n f (t i ) + g(t i ) p x f (t i ) p x + g(t i ) p x. i=1 Τώρα αφήνουµε το n και έτσι ολοκληρώνεται η απόδειξη. i=1 i=1

12 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ ΜΕ ΝΟΡΜΑ 1.2 Τοπολογικές έννοιες Ορισµός Εστω X χώρος µε νόρµα. Θα λέµε ότι µια ακολουθία (x n ) n N συγκλίνει σε ένα στοιχείο x X αν και µόνο αν για κάθε ϸ > υπάρχει n N τέτοιο ώστε για κάθε n n. Θα γράφουµε x n x. Ορισµός Εστω X χώρος µε νόρµα. x n x < ϸ 1. Ανοικτή µπάλα κέντρου x και ακτίνας r ορίζεται να είναι το σύνολο της µορφής 2. Μοναδιαία µπάλα του X καλούµε το σύνολο D r (x ) = {x X : x x < r}. D(X) = {x X : x 1}. 3. Ενα σύνολο O X καλείται ανοικτό αν και µόνο αν για κάθε x O, υπάρχει κάποιο r > τέτοιο ώστε D r (x) O. 4. Ενα σύνολο F X καλείται κλειστό αν και µόνο αν για κάθε ακολουθία (x n ) n N F µε x n x, έχουµε ότι x F. Ορισµός Εστω X χώρος µε νόρµα και έστω A X. Η κλειστότητα του A ορίζεται να είναι το σύνολο όλων των x X για τα οποία υπάρχει ακολουθία x n A µε x n x. Τη κλειστότητα του A ϑα τη συµβολίζουµε µε A. Ορισµός Εστω X χώρος µε νόρµα. Ενα σύνολο A X καλείται πυκνό αν και µόνο αν A = X. Ορισµός Ενα υποσύνολο A ενός χώρου µε νόρµα X καλείται ϕραγµένο αν και µόνο αν υπάρχει ένας αριθµός M > τέτοιος ώστε για κάθε x A να έχουµε ότι x M. 1.3 Χώροι Banach Ορισµός Μια ακολουθία (x n ) n N ενός χώρου X καλείται ακολουθία Cauchy αν και µόνο αν για κάθε ϸ > υπάρχει n N τέτοιο ώστε για κάθε n > m n. x n x m < ϸ Ορισµός Ενας χώρος µε νόρµα X καλείται πλήρης αν και µόνο αν κάθε Cauchy ακολουθία συγκλίνει σε ένα στοιχείο x X. Ορισµός Ενας πλήρης χώρος µε νόρµα (X, ) καλείται χώρος Banach. Παράδειγµα Ο χώρος C[a, b] ο οποίος είναι εφοδιασµένος µε την νόρµα f = sup t [a,b] f (t), είναι χώρος Banach. Πράγµατι, έστω (f n ) n N µια ακολουθία Cauchy στον C[a, b]. Τότε για κάθε ϸ > υπάρχει n N τέτοιο ώστε sup t [a,b] f n (t) f m (t) < ϸ, για κάθε n, m n. Εποµένως έχουµε ότι για κάθε t [a, b] υπάρχει ένα σηµειακό όριο lim n f n (t) = f (t). Επιπλέον, σταθεροποιώντας κάποιο n > n και παίρνοντας το όριο όταν m, έχουµε ότι sup f n (t) f (t) ϸ. t [a,b] Από αυτό όµως έπεται ότι η ακολουθία (f n ) n N συγκλίνει οµοιόµορφα στην f, και έτσι η συνάρτηση f είναι συνεχής, δηλαδή f C[a, b]. Άρα ο γραµµικός χώρος (C[a, b], ) είναι χώρος Banach.

13 1.3. ΧΩΡΟΙ BANACH 5 ) Παράδειγµα Ο χώρος (l p, p, 1 p <, είναι χώρος Banach. Πράγµατι, έστω x n = (x n (k)) k N µια ακολουθία Cauchy στον l p. Αυτό σηµαίνει ότι για οποιοδήποτε ϸ > µπορούµε να ϐρούµε ένα n N τέτοιο ώστε για κάθε n, m n να έχουµε (1.4) x n (k) x m (k) p < ϸ p. k=1 Εποµένως, για κάθε n, m n ισχύει ότι x n (k) x m (k) < ϸ, το οποίο σηµαίνει ότι για οποιοδήποτε k (όπου k = 1, 2, 3,...) η ακολουθία (x n (k)) n N είναι Cauchy, και από την πληρότητα του R έχουµε ότι υπάρχει ένα x(k) τέτοιο ώστε x(k) = lim n x n (k). Εστω x = (x(k)) k N. Τότε για κάθε N N ισχύει ότι N N x(k) p = lim x n (k) p sup x n p p < M < k=1 n k=1 για κάποιο M > εφόσον οι Cauchy ακολουθίες είναι ϕραγµένες. Συνεπώς x l p. Τώρα µένει να δείξουµε ότι x n x. Από την ανισότητα (1.4) και για κάθε N N έχουµε ότι N x n (k) x m (k) p < ϸ p για n, m n (ϸ). Παίρνοντας το όριο όταν m προκύπτει ότι k=1 N x n (k) x(k) p ϸ p k=1 και έπειτα αφήνοντας το N έπεται άµεσα ότι k=1 x n(k) x(k) p ϸ p, το οποίο σηµαίνει ότι x n x p ϸ. Άρα, x n x. Εποµένως, εφόσον κάθε ακολουθία Cauchy συγκλίνει έπεται ότι ο l p είναι χώρος Banach. Ορισµός Εστω X, Y χώροι µε νόρµα. Μια γραµµική απεικόνιση T : X Y καλείται ισοµετρία αν και µόνο αν Tx Y = x X για κάθε x X. Θεώρηµα (Πλήρωση). Εστω X χώρος µε νόρµα. Τότε υπάρχει ένας πλήρης χώρος µε νόρµα X και µια γραµµική απεικόνιση T : X X τέτοια ώστε : 1. T είναι ισοµετρία, 2. Το Im T είναι πυκνό σύνολο στον X (δηλαδή TE = X). Τον χώρο X τον ονοµάζουµε πλήρωση του χώρου X. Για την απόδειξη του παραπάνω Θεωρήµατος δες [EMT] (ϑεώρηµα 1.5.5, σελ 19). Θεωρούµε τώρα τον γραµµικό χώρο C p [a, b] ο οποίος αποτελείται από όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f, ορισµένες στο διάστηµα [a, b], τέτοιες ώστε f a (t) p dt <. Εφοδιάζουµε τον χώρο αυτο b µε την νόρµα ( b 1/p f p = f (t) dt) p. Την πλήρωση του C p [a, b] τη συµβολίζουµε µε L p [a, b]. a

14 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ ΜΕ ΝΟΡΜΑ

15 Κεφάλαιο 2 Χώροι Hilbert 2.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο Ορισµός Εστω X ένας γραµµικός χώρος επί του C. Μια συνάρτηση δύο µεταβλητών.,. : X X C καλείται εσωτερικό γινόµενο αν ισχύουν οι ακόκουθες ιδιότητες : 1. x, x, για κάθε x X. 2. x, x = x =. 3. x, y = y, x, για κάθε x, y X. 4. Γραµµικότητα ως προς το πρώτο όρισµα : για κάθε x 1, x 2, y X και a, b C. ax 1 + bx 2, y = a x 1, y + b x 2, y Παρατήρηση Από τις παραπάνω ιδιότητες εύκολα µπορούµε να δούµε ότι για κάθε y 1, y 2, x X και a, b C. x, ay 1 + by 2 = a x, y 1 + b x, y 2 Θεωρούµε επίσης την συνάρτηση p(x) = x, x 1/2, για κάθε x X. (αργότερα ϑα δείξουµε ότι είναι νόρµα, και ϑα γράφουµε p(x) = x ). Παράδειγµα Στον C n ορίζουµε το εσωτερικό γινόµενο x, y = n 1 a ib i, όπου x = (a i ) n 1, y = (b i ) n 1. Παράδειγµα Στον l 2 = { x = (x n ) 1 : 1 x n 2 < }, ορίζουµε την σχέση x, y = x n y n. Από την ανισότητα του Hölder έχουµε ότι x, y = x n y n x n y n x n 2 n=1 n=1 n=1 n=1 1 2 y n 2 και έτσι η συνάρτηση x, y είναι καλά ορισµένη στον l 2 l 2. Επίσης ϐλέπουµε ότι ικανοποιούνται και οι τέσσερις ιδιότητες του παραπάνω ορισµού,συνεπώς είναι εσωτερικό γινόµενο. 7 n=1 1 2 <

16 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΧΩΡΟΙ HILBERT { Παράδειγµα Εστω f, g C 2 [a, b] = h : [a, b] b R, τ/ω h συνεχής και Ορίζουµε f, g = b a f (x)g(x) dx a } h(t) 2 dt <. και παρατηρούµε ότι επαληθεύονται οι παραπάνω ιδιότητες, άρα είναι εσωτερικό γινόµενο, και µένει να δείξουµε ότι είναι καλά ορισµένο στον C 2 [a, b] C 2 [a, b]. Πράγµατι, έχουµε ότι f, g = b a b ( b f (x)g(x) dx f (x) g(x) dx f (x) 2 dx που αυτό προκύπτει από την ανισότητα Holder, για p = q = 2. a a ) 1 2 ( b ) 1 g(x) 2 2 dx < a 2.2 Ανισότητα Cauchy-Schwartz και νόρµα του Hilbert Θεώρηµα Εστω H ένας γραµµικός χώρος εφοδιασµένος µε ένα εσωτερικό γινόµενο.,.. Ισχύει ότι x, y x, x 1/2 y, y 1/2 για κάθε x, y H. Η ανισότητα αυτή καλείται Cauchy-Schwartz. Απόδειξη. Εστω x, y H. Εάν x, y =, δεν έχουµε να δείξουµε τίποτα. Εστω λοιπόν x, y. Θέτουµε p(x) = x, x 1/2, και για κάθε λ C έχουµε ότι x λy, x λy = p(x) 2 2 Re(λ y, x ) + λ 2 p(y) 2. Τότε, παίρνοντας λ = p(x) 2 / y, x έχουµε ότι p(x) 2 + p(x) 4 p(y) 2 / y, x 2, από το οποίο έπεται η ανισότητα Cauchy-Schwartz. Πρόταση Η συνάρτηση p(x) = x = x, x 1/2 είναι νόρµα. Απόδειξη. Πράγµατι, 1. p(x) και p(x) = x =, τα οποία προκύπτουν άµεσα από τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου. 2. p(λx) = λx, λx 1/2 = (λλ) 1/2 x, x 1/2 = λ p(x). 3. Αρχικά παρατηρούµε ότι Re x, y x, y p(x)p(y), και εποµένως έχουµε ότι p(x + y) 2 = x + y, x + y = p(x) Re x, y + p(y) 2 (p(x) + p(y)) 2, και από την τελευταία ανισότητα παίρνουµε ότι p(x + y) p(x) + p(y), και έτσι ολοκληρώνεται η απόδειξη. Παρατήρηση Σύµφωνα µε τα προηγούµενα έχουµε ότι ένας χώρος H εφοδιασµένος µε ε- να εσωτερικό γινόµενο.,. είναι χώρος µε νόρµα, και την νόρµα αυτή, η οποία επάγεται από το εσωτερικό γινόµενο, ϑα την ονοµάζουµε νόρµα του Hilbert. Ορισµός Εστω ότι ο H είναι ένας χώρος µε εσωτερικό γινόµενο. Λέµε ότι ο H είναι χώρος Hilbert αν και µόνο αν είναι πλήρης ως προς τη νόρµα του Hilbert. Ορισµός Εστω ότι ο X είναι χώρος µε εσωτερικό γινόµενο.

17 2.3. ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ BESSEL 9 1. Λέµε ότι δύο διανύσµατα x, y X είναι κάθετα µεταξύ τους εάν x, y =, και γράφουµε x y. 2. Μια οικογένεια {e i : i I} καλείται ορθοκανονική, οταν e i, e j = για κάθε i j, και e i, e j = 1 για i = j. Παρατήρηση Εστω H χώρος µε εσωτερικό γινόµενο. Ευκολα µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι ισχύουν τα ακόλουθα : 1. Το εσωτερικό γινόµενο x, y είναι συνεχής συνάρτηση, δηλαδή x n, y n x, y όταν x n x και y n y. 2. Νόµος του Παραλληλογράµµου : x + y 2 + x y 2 = 2 ( x 2 + y 2), για κάθε x.y H. 3. Πυθαγόρειο Θεώρηµα : Αν x y, τότε x + y 2 = x 2 + y 2. Παράδειγµα Θεωρούµε τον χώρο C 2 [a, b] όπως στο παράδειγµα Από την συνέχεια του εσωτερικού γινοµένου, µπορούµε να επεκτείνουµε το εσωτερικό γινόµενο.,. στην πλήρωση του C 2 [a, b] που είναι ο L 2 [a, b]. Ο L 2 [a, b] είναι χώρος Hilbert. Παράδειγµα Ενα άλλο σηµαντικό παράδειγµα χώρου Hilbert είναι ο γραµµικός χώρος l 2, όπως ακριβώς τον ορίσαµε στο παράδειγµα Πόρισµα Εάν {e i } n i=1 είναι µια ορθοκανονική οικογένεια στον H, τότε 1/2 n n a i e i = a i 2. i=1 i=1 Απόδειξη. Άµεση εφαρµογή του Πυθαγόρειου Θεωρήµατος. 2.3 Ανισότητα Bessel Θεώρηµα Για οποιοδήποτε ορθοκανονικό σύστηµα {e i } i 1 H, και για κάθε x H, έχουµε ότι x, e i 2 x 2. Την ανισότητα αυτή την λέµε ανισότητα Bessel. Απόδειξη. Εστω n N. Θέτουµε y n = n i=1 x, e i e i. Τότε έχουµε ότι n n y n, x = x, e i e i, x = x, e i 2, i=1 i=1 και επίσης ότι 1/2 n y n = x, e i 2. Τώρα, από την ανισότητα Cauchy-Schwartz έχουµε ότι i 1 i=1 y n, x x y n n n x, e i 2 x x, e i 2 i=1 i=1 1/2 n x, e i 2 x 2, για κάθε n N. i=1

18 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΧΩΡΟΙ HILBERT Από την τελευταία ανισότητα προκύπτει άµεσα ότι η ανισότητα Bessel ισχύει για κάθε πεπερασµένο ορθοκανονικό σύστηµα {e i } n i=1 H. Αν το σύστηµα δεν είναι πεπερασµένο, αφήνουµε το n και έτσι έχουµε το Ϲητούµενο. Πόρισµα Εστω H χώρος Hilbert. Τότε, για κάθε x H και για κάθε ορθοκανονικό σύστηµα {e i } 1, υπάρχει ένα στοιχείο y H τέτοιο ώστε y = i=1 x, e i e i. Απόδειξη. Το y n στην προηγούµενη απόδειξη συγκλίνει στο y καθώς το n. Πράγµατι, έστω x H και {e i } 1 ένα ορθοκανονικό σύστηµα στον H. Από το προηγούµενο Θεώρηµα έχουµε ότι x, e i 2 x 2 <. i 1 Επίσης έχουµε ότι m m x, e i e i = x, e i 2 n n 1/2, όταν m > n, το οποίο σηµαίνει ότι η ( n i=1 x, e i e i )n N είναι ακολουθία Cauchy στον H. Οµως επειδή ο H είναι πλήρης (µε τη νόρµα που επάγεται από το εσωτερικό γινόµενο) έχουµε ότι υπάρχει ένα στοιχείο y H τέτοιο ώστε y = i=1 x, e i e i. 2.4 Ορθοκανονικές ϐάσεις Ορισµός Μια οικογένεια {e i } 1 καλείται ϐάση ενός χώρου µε νόρµα X αν και µόνο αν για κάθε x X υπάρχει µία µοναδική σειρά i 1 a i e i η οποία συγκλίνει στο x. Πρόταση Εστω H χώρος Hilbert και E = {e n : n N} µια ορθοκανονική ακολουθία του H. Τα επόµενα είναι ισοδύναµα : 1. Η E είναι ορθοκανονική ϐάση του H. 2. Αν x H και x, e n = για κάθε n N, τότε x =. 3. Για κάθε x H έχουµε ότι x = n=1 x, e n e n Ταυτότητα του Parseval Θεώρηµα Εστω H ένας χώρος Hilbert και έστω {e i } 1 {e i } 1 είναι ϐάση αν και µόνο αν για κάθε x H ισχύει ότι x 2 = x, e i 2. i 1 H ένα ερθοκανόνικο σύστηµα. Τότε Η ισότητα αυτή καλείται ταυτότητα του Parseval. Για την απόδειξη του παραπάνω Θεωρήµατος δες [EMT] (ϑεώρηµα , σελ 32).

19 2.5. ΙΑΧΩΡΙΣΙΜΟΙ ΧΩΡΟΙ HILBERT ιαχωρίσιµοι χώροι Hilbert Ορισµός Ενας χώρος µε νόρµα X καλείται διαχωρίσιµος αν και µόνο αν υπάρχει αριθµήσιµο πυκνό υποσύνολο του. Θεώρηµα Ενας χώρος Hilbert H είναι διαχωρίσιµος αν και µόνο αν έχει µια αριθµήσιµη ορθοκανονική ϐάση. Θεώρηµα Κάθε διαχωρίσιµος και απειροδιάστατος χώρος Hilbert είναι ισοµετρικά ισόµορφος µε τον l 2. Απόδειξη. Εστω H διαχωρίσιµος και απειροδιάστατος χώρος Hilbert. Από το ϑεώρηµα έχουµε ότι ο H έχει µια αριθµήσιµη ορθοκανονική ϐάση B = {e n } n=1. Από την πρόταση έχουµε ότι x = n=1 x, e n e n, για κάθε x H, και από την ταυτότητα Parseval ότι x 2 = i 1 x, e i 2. Παρατηρούµε λοιπόν ότι µπορούµε να ορίσουµε µια απεικόνιση T : H l 2 µε τον ακόλουθο τρόπο : T(x) = ( x, e n ) n N l 2. Προφανώς η T είναι γραµµική απεικόνιση και επίσης χρησιµοποιώντας τη ταυτότητα Parseval εύκολα µπορούµε να δούµε ότι είναι και ισοµετρία. Μένει µόνο να δείξουµε ότι η T είναι επί. Εστω λοιπόν y = (y n ) n N l 2. Θεωρούµε την σειρα i=1 y ie i. Η σειρά αυτή συγκλίνει σε κάποιο στοιχείο του H. Πράγµατι, για κάθε ϸ > έχουµε ότι υπάρχει n N τέτοιο ώστε 2 n m n n m y i e i y i e i = y i 2 = y i 2 y i 2 < ϸ, n, m n i=1 i=1 i=m+1 καθώς (y n ) n N l 2. Οµως επειδή ο H είναι πλήρης έχουµε ότι υπάρχει κάποιο x H τέτοιο ώστε x = i=1 y ie i. Εύκολα µπορούµε να δούµε τώρα ότι x, e n = y n για κάθε n N, και έτσι ολοκληρώνεται η απόδειξη. i=1 i=1 2.6 Προβολές και ορθογώνιο συµπλήρωµα Ορισµός Εστω L ένας κλειστός υπόχωρος του H και x H. Θεωρούµε την απόσταση ρ(x, L) = inf y L x y. Εάν υπάρχει y L τέτοιο ώστε ρ(x, L) = x y (δηλαδή το infimum επιτυγχάνεται), τότε γράφουµε y = P L x και αυτό το y το λέµε προβολή του x στον L. Πρόταση Εστω L ένας κλειστός υπόχωρος του H. Τότε για κάθε x H υπάρχει ένα µοναδικό y L τέτοιο ώστε το διάνυσµα x y να είναι κάθετο στον L και y = P L x. Επίσης x = (x y) + y και x 2 = x y 2 + y 2. Ορισµός Εστω L ένας γραµµικός υπόχωρος του H. Το σύνολο L = {x H : x L} το λέµε ορθογώνιο συµπλήρωµα του L στον H. Παρατήρηση Προφανώς ο L είναι κλειστός υπόχωρος του H. Θεώρηµα Για κάθε κλειστό υπόχωρο L του H έχουµε ότι L L = H. Πόρισµα Εάν ο L είναι κλειστός υπόχωρος έχουµε ότι ( L ) = L. Πρόταση Εάν ο E είναι κλειστός υπόχωρος του H µε codim E = 1, τότε έχουµε ότι η διάσταση του χώρου E είναι ίση µε 1.

20 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΧΩΡΟΙ HILBERT 2.7 Γραµµικά συναρτησοειδή Γραµµικά συναρτησοειδή σε χώρους µε νόρµα Ορισµός Εστω X ένας γραµµικός χώρος επί του C. γραµµικό συναρτησοειδές αν ισχύει ότι Μια συνάρτηση f : X C καλείται για κάθε x, y X και για κάθε λ, µ C. f (λx + µy) = λf (x) + µf (y), Παρατήρηση Παρατηρούµε ότι το σύνολο ker f = {x X : f (x) = } είναι γραµµικός υπόχωρος του X.Το σύνολο αυτό καλείται πυρήνας του συναρτησοειδούς f. 2. Το σύνολο όλων των γραµµικών συναρτησοειδών ενός γραµµικού χώρο E ϑα το συµβολίζουµε µε E #. Παράδειγµα Στόν γραµµικό χώρο C[, 1] ϑεωρούµε το συναρτησοειδές f (x) = 1 x(t)h(t) dt, όπου η h είναι ολοκληρώσιµη. Παρατηρούµε επίσης ότι f (x) max x(t) t 1 h(t) dt. Παράδειγµα Εστω H ένας χώρος Hilbert. Σταθεροποιούµε ένα στοιχείο y H και ορίζουµε το συναρτησοειδές f (x) = x, y. Ευκολα µπορούµε να δούµε ότι f (λx + µy) = λf (x) + µf (y) για κάθε x, y H και λ, µ C. Επίσης από την ανισότητα Cauchy-Schwartz έχουµε ότι f (x) x y. Θεώρηµα Εστω ένας γραµµικός χώρος X και έστω f X # \ {}. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα : 1. codim ker f = Εάν f, g X # \ {} και ker f = ker g, τότε υπάρχει λ C τέτοιο ώστε f = λg. 3. Εστω L X και codim L = 1. Τότε, υπάρχει f X # τέτοιο ώστε ker f = L. Η απόδειξη του παραπάνω Θεωρήµατος παραλείπεται. ες [EMT] (ϑεώρηµα 2.3.2, σελ 37) Φραγµένα γραµµικά συναρτησοειδή. Η νόρµα του συναρτησοειδούς. Τώρα, έχοντας έναν χώρο µε νόρµα X ϑα ορίσουµε ένα υποσύνολο του X #, το οποίο ϑα είναι το σύνολο όλων των ϕραγµένων συναρτησοειδών µε πεδίο ορισµού τον X. Ετσι οδηγούµαστε στον ακόκουθο ορισµό : Ορισµός Εστω (X, ) ένας χώρος µε νόρµα. Ενα στοιχείο f X # καλείται ϕραγµένο συναρτησοειδές αν υπάρχει C > τέτοιο ώστε f (x) C x, για κάθε x X. Το σύνολο όλων των ϕραγµένων γραµµικών συναρτησοειδών του X ϑα το συµβολίζουµε µε X *. Παρατήρηση Προφανώς έχουµε ότι ο X * είναι γραµµικός χώρος. Ορισµός Ενα συναρτησοειδές f ενός χώρου µε νόρµα X καλείται συνεχές αν και µόνο αν για κάθε ακολουθία (x n ) n N X µε x n x, έχουµε ότι f (x n ) f (x).

21 2.7. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙ Η 13 Εστω λοιπόν X ένας χώρος µε νόρµα. Θέλουµε να ορίσουµε µία νόρµα στον X *, και αυτό ϑα το κάνουµε ώς εξής : Εστω f X *.Θεωρούµε την ποσότητα (2.1) f * f (x) = sup x x = sup f (x). x =1 Εύκολα διαπιστώνουµε ότι η συνάρτηση * ικανοποιεί τις ιδιότητες της νόρµας. Παρατηρούµε επίσης ότι από τη σχέση (2.1) έπεται άµεσα ότι (2.2) f (x) f * x. Από εδώ και πέρα ϑα γράφουµε f αντί του f *. Πρόταση Ενα συναρτησοειδές f είναι ϕραγµένο αν και µόνο αν είναι συνεχές. Απόδειξη. Εστω ότι το f είναι ϕραγµένο και x n x. Θα δείξουµε ότι f (x n ) f (x). Εχουµε ότι f (x n ) f (x) = f (x n x) f x n x, όταν n, και από αυτό έπεται ότι f (x n ) f (x).τώρα για να αποδείξουµε το αντίστροφο υποθέτουµε ότι το f δεν είναι ϕραγµένο και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο. Από αυτό έχουµε( ότι για κάθε n N υπάρχει x n µε x n = 1 και f (x n ) xn ) > n. Παρατηρούµε όµως ότι η ακολουθία τείνει στο καθώς το n n N ( n, ενώ xn ) f 1 για κάθε n N. Αυτό σηµαίνει ότι το f δεν είναι συνεχές, το οποίο είναι n άτοπο. Παρατήρηση Εάν ένα γραµµικό συναρτησοειδές f : X C είναι συνεχές στο σηµείο x =, τότε είναι συνεχές σε οποιοδήποτε σηµείο του πεδίου ορισµού του. Επίσης ισχύει ότι το f είναι συνεχές αν και µόνο αν ο ker f είναι κλειστός υπόχωρος του X Φραγµένα γραµµικά συναρτησοειδή σε χώρο Hilbert Το επόµενο ϑεώρηµα περιγράφει τον χώρο όλων των ϕραγµένων γραµµικών συναρτησοειδών σε έναν χώρο Hilbert. Θεώρηµα (Θεώρηµα αναπαράστασης του Riesz). Εστω H ένας χώρος Hilbert. Τότε, για κάθε ϕ H * υπάρχει ένα µοναδικό y H τέτοιο ώστε (2.3) ϕ(x) = x, y, x H. Επιπλέον, έχουµε ότι η αντιστοιχία ϕ y είναι ισοµετρία, δηλαδή ϕ * = y. Αντίστροφα, για κάθε y H, η σχέση (2.3) ορίζει ένα συναρτησοειδές ϕ H * µε νόρµα ϕ * = y. Απόδειξη. Αρχίκα ϑα δείξουµε ότι για κάθε y H, η σχέση (2.3) ορίζει ένα συναρτησοειδές ϕ H * µε νόρµα ϕ * = y. Πράγµατι, έστω y H και ϕ y = x, y. Προφανώς το ϕ y είναι γραµµικό συναρτησοειδές και έτσι µένει να δείξουµε ότι ϕ * = y. Από την ανισότητα Cauchy-Schwartz έχουµε ότι ϕ y (x) x y και εποµένως ϕ * y. Επίσης, ϑέτοντας x = y παρατηρούµε ότι ϕ y (y) = y 2 ϕ * y, και συνεπώς ϕ * y. Άρα ϕ * = y. Τώρα ϑα δείξουµε ότι κάθε συναρτησοειδές ϕ H * γράφεται ως ϕ(x) = x, y, για κάποιο y H. Αν ϕ = ισχύει τετριµµένα. Εστω λοιπόν ϕ και K = ker ϕ. Εφόσον το ϕ είναι συνεχές έχουµε ότι ο K είναι κλειστός υπόχωρος του H και επίσης ότι codim K = 1, εποµένως dim K = 1. Άρα

22 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΧΩΡΟΙ HILBERT K = span { ỹ }, για κάποιο ỹ H\ {}. Τώρα, το διάνυσµα ỹ ορίζει ένα γραµµικό συναρτησοειδές ϕỹ = x, ỹ. Τότε ker ϕỹ = ( span { ỹ }) = ( K ) = K = ker ϕ. Από το ϑεώρηµα έπεται ότι ϕ = λϕỹ, για κάποιο λ C. Ορίζουµε y = λỹ, και έτσι έχουµε ότι ϕ(x) = λϕỹ(x) = λ x, ỹ = x, λỹ = x, y. Προφανώς, αν ϕ(x) = x, y 1 = x, y 2 τότε y 1 = y 2, και έτσι το y είναι µοναδικό. Παρατήρηση Το παραπάνω ϑεώρηµα µας εξασφαλίζει ότι κάθε ϕραγµένο γραµµικό συναρτησοειδές σε έναν χώρο Hilbert αναπαραστάται από κάποιο στοιχείο y, για το οποίο έχουµε ότι ϕ(x) = x, y. Φανερά λοιπόν έχουµε ότι H H *.

23 Κεφάλαιο 3 υϊκοί χώροι Εστω X ένας χώρος µε νόρµα. Θεωρούµε τον χώρο X *, ο οποίος αποτελείται από όλα τα ϕραγµένα γραµµικά συναρτησοειδή f : X R, και είναι εφοδιασµένος µε την νόρµα f (x) (3.1) f = sup x x. Τη νόρµα αυτή ϑα την ονοµάζουµε δυϊκή νόρµα, και τον χώρο X * ϑα τον λέµε δυϊκό χώρο του X. Από τον ορισµό της δυϊκής νόρµας εύκολα µπορούµε να δούµε ότι f (x) f x. Επιπλέον, η νόρµα που ορίστηκε στη σχέση (3.1), µπορεί επίσης να εκφραστεί µε τους εξής διαφορετικούς τρόπους : f (x) f = sup x x = sup f (x) = sup f (x). x =1 x 1 Πρόταση Εάν X είναι ένας χώρος µε νόρµα, τότε ο δυϊκός χώρος X * είναι πάντα πλήρης. Η απόδειξη της παραπάνω πρότασης ϑα γίνει στο επόµενο κεφάλαιο σε πιο γενική µορφή. 3.1 Το ϑεώρηµα του Hahn-Banach Θεώρηµα (Hahn-Banach). Εστω L ένας υπόχωρος του X, και έστω f L *. Τότε, υπάρχει ένα συναρτησοειδές f X * τέτοιο ώστε f (x) = f (x) για κάθε x L (συµβολικά f L = f ) και f X * = f L *. ηλαδή f (x) sup x X\{} x = sup f (x) x L\{} x Πορίσµατα του ϑεωρήµατος Hahn-Banach Πόρισµα Εστω S(X) = {x X : x = 1} η µοναδιαία σφαίρα ενός χώρου µε νορµα X. Τότε, για κάθε x S(X) υπάρχει ένα συναρτησοειδές f X * τέτοιο ώστε f X * = 1, και f (x ) = 1. Αρα, το συναρτησοειδές f επιτυγχάνει το supremum του στη µοναδιαία µπάλα στο διάνυσµα x. Απόδειξη. Εστω x S(X). Θεωρούµε τον µονοδιάστατο γραµµικό χώρο E = {λx } λ R και το συναρτησοειδές ϕ E *, µε ϕ(λx ) = λ. Παρατηρούµε ότι ϕ(λx ) λ ϕ E * = sup = sup λ λx λ λ x = 1. 15

24 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥϊΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Από το ϑεώρηµα Hahn-Banach, υπάρχει ένα συναρτησοειδές f X * τέτοιο ώστε f X * = ϕ E * και f (x ) = ϕ(x ) = 1. Πόρισµα Εστω X ένας χώρος µε νόρµα. Τότε, για κάθε x X, υπάρχει ένα συναρτησοειδές f X * \ {} τέτοιο ώστε f (x ) = f x. Απόδειξη. Εστω x X. Θεωρούµε το διάνυσµα y = x / x. Προφανώς έχουµε ότι y S(X). Χρησιµοποιώντας το Πόρισµα 3.1.2, έχουµε ότι υπάρχει ένα συναρτησοειδές f τέτοιο ώστε f = 1 και f (y) = 1. ηλαδή ( ) x f = 1 x f (x ) = x f (x ) = f x. = 1 Επίσης, εφόσον f = 1, έχουµε ότι f. Πόρισµα Για κάθε x 1 X και για κάθε x 2 X µε x 1 x 2, υπάρχει ένα συναρτησοειδές f X * τέτοιο ώστε f (x 1 ) f (x 2 ). Απόδειξη. Θεωρούµε το διάνυσµα y = x 1 x 2. Από το Πόρισµα 3.1.3, υπάρχει ένα συναρτησοειδές f X * \ {} τέτοιο ώστε f (y) = f (x 1 x 2 ) = f x 1 x 2. Επειδή όµως το f είναι γραµµικό έχουµε ότι f (x 1 ) = f x 1 x 2 + f (x 2 ). Άρα, εφόσον x 1 x 2 > και f >, έπεται άµεσα ότι f (x 1 ) f (x 2 ). Πόρισµα Ο γραµµικός χώρος X * είναι πλήρες σύνολο, δηλαδή αν f (x) = για κάθε f X *, τότε x =. Απόδειξη. Εστω ότι f (x) = για κάθε f X * και x (ϑα καταλήξουµε σε άτοπο). Επειδή x, το Πόρισµα µας εξασφαλίζει ότι υπάρχει ένα συναρτησοειδές φ X * τέτοιο ώστε φ(x) φ() =, το οποίο είναι άτοπο. Άρα x =. Πόρισµα Εστω E ένας υπόχωρος ενός χώρου µε νόρµα X και έστω x X τέτοιο ώστε dist(x, E) = d >. Τότε, υπάρχει ένα συναρτησοειδές f X * τέτοιο ώστε f = 1, f (E) = και f (x) = d. Απόδειξη. Θεωρούµε τον γραµµικό χώρο Ê = {λx + y : λ R, y E} := span {x, E}. Εστω z = λx + y Ê. Ορίζουµε τη συνάρτηση f : Ê R, µε f (z) = λ d. Η συνάρτηση αυτή είναι καλά ορισµένη, αφού τα λ R, y E ορίζονται µοναδικά από το z. Επίσης είναι γραµµική διότι άν z 1 = λ 1 x + y 1, z 2 = λ 2 x + y 2, τότε f (az 1 + bz 2 ) = f ((aλ 1 x + ay 1 ) + (bλ 2 x + by 2 )) = f ((aλ 1 + bλ 2 )x + (ay 1 + by 2 )) = (aλ 1 + bλ 2 ) d = aλ 1 d + bλ 2 d = af (z 1 ) + bf (z 2 ). Προφανώς, f (E) = και f (x) = d. Εφόσον z = λx + y Ê, έχουµε ότι z = (x λ + y ) = λ λ x + y λ (3.2) λ d = f (z),

25 3.1. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ HAHN-BANACH 17 αφού ( y/λ) E και η απόσταση του x από το ( y/λ) είναι τουλάχιστον d. Από την ανισότητα (3.2) έπεται ότι f Ê* 1. Επιπλέον, γνωρίζουµε ότι υπάρχει ακολουθία (y n ) n N E τέτοια ώστε x + y n d. Επίσης ισχύει ότι d = f (x + y n ) f Ê* x + y n, για καθε n N. Παίρνοντας λοιπόν το όριο καθώς n, έχουµε ότι d f Ê* lim x + y n n = f Ê* d. Συνεπώς f Ê* 1, και έτσι δείξαµε ότι f Ê* = 1. Τώρα, από το ϑεώρηµα Hahn-Banach έχουµε ότι υπάρχει ένα συναρτησοειδές f X * τέτοιο ώστε f X * = f Ê* και f Ê = f, δηλαδή f X * = 1, f (E) = και f (x) = d. Ορισµός Εστω X ένας χώρος µε νόρµα και έστω L ένας υπόχωρος του X. Ονοµάζουµε κάθετο υπόχωρο του L το σύνολο L = { } f X * : f (L) =. Παρατήρηση Προφανώς, ο L είναι κλειστός υπόχωρος του X * και επίσης L = L. Αν ξεκινήσουµε µε έναν υπόχωρο E του X *, µπορούµε να ϑεωρήσουµε δύο διαφορετικές κατασκευές που αφορούν τον κάθετο υπόχωρο. Η πρώτη είναι όπως στον ορισµό 3.1.7, δηλαδή E = { } f X ** : f (E) =, και ο E είναι κλειστός υπόχωρος του ( X *) * := X **. Η δεύτερη κατασκευή είναι να ϑεωρήσουµε τον E ώς υπόχωρο του X. Πιο συγκεκριµένα L = {x X : f (x) =, για κάθε f L} = ker f. Πόρισµα Εστω X ένας χώρος µε νόρµα και έστω L ένας κλειστός υπόχωρος του X. Θεωρούµε τους υπόχωρους L X * και ( L ) = { x X : f (x) =, για κάθε f L }. Τότε ( L ) = L. Απόδειξη. Είναι προφανές από τους ορισµούς ότι L ( L ). Θα δείξουµε ότι ( L ) L. Εστω x L. Επειδή ο L είναι κλειστός έχουµε ότι dist(x, L) = d >. Από το Πόρισµα 3.1.6, υπάρχει ένα συναρτησοειδές f X * τέτοιο ώστε f (L) = (δηλαδή f L ) και f (x) = d. Οπότε x ( L ), και έτσι ολοκληρώνεται η απόδειξη. Παρατήρηση Παρατηρούµε ότι για κάθε υπόχωρο L (όχι απαραίτητα κλειστός) του X, ισχύει ότι ( L ) = L. Πόρισµα Εστω {x 1,..., x k } X ένα γραµµικά ανεξάρτητο υποσύνολο του X. Τότε, υπάρχουν f 1,..., f k X * τέτοια ώστε f i (x j ) = δ ij, και για κάθε x span {x i } k i=1 να έχουµε ότι x = k 1 f i(x)x i. f L

26 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥϊΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

27 Κεφάλαιο 4 Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 4.1 Ορισµοί και παραδείγµατα Ορισµός Εστω X, Y χώροι Banach και έστω T : X Y µια γραµµική απεικόνιση (τελεστής). Ο T καλείται ϕραγµένος αν και µόνο αν υπάρχει µια σταθερά C τέτοια ώστε Tx Y C x X για κάθε x X. Αν ένας γραµµικός τελεστής T είναι ϕραγµένος, ορίζουµε τη ποσότητα Tx (4.1) T = sup x x = sup Tx, x =1 και εύκολα µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι είναι νόρµα. Παρατήρηση Το σύνολο όλων των ϕραγµένων γραµµικών τελεστών είναι διανυσµατικός χώ- ϱος, και ϑα τον συβολίζουµε µε L(X, Y ). Επιπλέον, από τον ορισµό της νόρµας T στη σχέση (4.1), προκύπτει ότι Tx T x, για κάθε x X. Εάν H είναι ένας χώρος Hilbert τότε για κάθε ϕραγµένο γραµµικό τελεστή T : H H έχουµε ότι T = sup { Tx, y : x 1, y 1}. Παράδειγµα Στον χώρο C[, 1] ϑεωρούµε τον τελεστή T µε Tf = 1 K(t, τ)f (τ) dτ, όπου K είναι µια συνεχής συνάρτηση δύο µεταβλητών. Από τη γραµµικότητα του ολοκληρώµατος προκύπτει ότι ο τελεστής T είναι γραµµικός. Επίσης παρατηρούµε ότι 1 Tf C[,1] = max t K(t, τ)f (τ) dτ max t 1 max f (τ) max τ = f max K(t, τ) f (τ) dτ t 1 t 1 K(t, τ) dτ. K(t, τ) dτ 1 Συνεπώς, ισχύει ότι T max t K(t, τ) dτ. Στη πραγµατικότητα µπορούµε να δείξουµε ότι T = max t 1 K(t, τ) dτ. 19

28 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Παράδειγµα Στον χώρο L 2 [, 1] ϑεωρούµε τον τελεστή A : L 2 [, 1] L 2 [, 1] µε (Af )(t) = 1 K(t, τ)f (τ) dτ, όπου K είναι µια συνάρτηση δύο µεταβλητών, µε K L 2 ([, 1] [, 1]). Η συνάρτηση K καλείται πυρήνας του τελεστη A. Θα δείξουµε ότι A K L2([,1] 2 ). Πράγµατι, από την ανισότητα Cauchy-Schwartz έχουµε ότι 1 ( 1 ) 1/2 ( 1 1/2 K(t, τ)f (τ) dτ K(t, τ) 2 dτ f (τ) dτ) 2. Εποµένως, Af 2 = K(t, τ)f (τ) dτ dt ( 1 2 K(t, τ)f (τ) dτ) dt = f 2 1 ( 1 ) 1/2 ( 1 1/2 K(t, τ) 2 dτ f (τ) dτ) 2 1 K(t, τ) 2 dτ dt, 2 dt από το οποίο έπεται ότι A K L2([,1] 2 ). Παράδειγµα Θεωρούµε τον τελεστή T : l 2 l 2 που ορίζεται από τη σχέση Tx = (, a 1,..., a k,...), όπου x = (a k ) k=1 l 2. Εύκολα µπορούµε να δούµε ότι Tx = x για κάθε x l 2, και συνεπώς T = Πληρότητα του χώρου L(X,Y) Θεώρηµα Εάν X είναι ένας χώρος µε νόρµα και Y είναι ένας πλήρης χώρος µε νόρµα, τότε ο γραµµικός χώρος L(X, Y ) = {T : X Y, όπου Τ ϕραγµένος γραµµικός τελεστής } είναι χώρος Banach. Απόδειξη. Εστω (A n ) n N µια ακολουθία Cauchy στον L(X, Y ). Τότε για κάθε ϸ >, υπάρχει n N τέτοιο ώστε A n A m < ϸ για κάθε n, m n. Θα δείξουµε ότι υπάρχει ένα στοιχείο A L(X, Y ), τέτοιο ώστε A n A. Παρατηρούµε ότι για κάθε x X και n, m n ισχύει ότι A n (x) A m (x) Y = (A n A m ) (x) Y A n A m x < ϸ x.

29 4.3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ 21 Εποµένως, για οποιοδήποτε x X ισχύει ότι η ακολουθία (A n (x)) n N είναι ακολουθία Cauchy στον Y. Επειδή όµως ο Y είναι πλήρης έχουµε ότι για κάθε x X υπάρχει ένα στοιχείο A(x) Y µε A(x) = lim n A n (x). Από τις ιδιότητες του ορίου εύκολα µπορούµε να δούµε ότι ο τελεστής A είναι γραµµικός. Επίσης είναι ϕραγµένος διότι ή ισοδύναµα A(x) Y sup A n (x) Y n N x X sup A n n N A sup A n <, n N καθώς η ακολουθία ( A n ) n N είναι Cauchy στο R και άρα ϕραγµένη. Άρα A L(X, Y ). Τώρα µένει να δείξουµε ότι A n A. Πράγµατι, εφόσον η (A n ) n N είναι ακολουθία Cauchy έχουµε ότι για κάθε ϸ >, υπάρχει n N τέτοιο ώστε A n A m < ϸ για κάθε n, m n. Από αυτό όµως έπεται ότι A n x A m x < ϸ, για κάθε x X µε x 1 και n, m n. Αφήνοντας το m προκύπτει ότι A n x Ax ϸ για κάθε x X µε x 1 και n n. Συνεπώς, από την παραπάνω ανισότητα έχουµε ότι A n A = sup A n x Ax ϸ x 1 για κάθε n n. Άρα A n A και έτσι ολοκληρώνεται η απόδειξη. Παρατήρηση Ενας τελεστής T είναι ϕραγµένος αν και µόνο αν είναι συνεχής (δηλαδή αν x n x τότε Tx n Tx). 2. Το σύνολο ker T = {x X : Tx = } είναι κλειστός υπόχωρος του X. 3. Από το Θεώρηµα και από την πληρότητα του R (ή του C) εύκολα µπορούµε να δούµε ότι για οποιοδήποτε χώρο µε νόρµα X, ο δυϊκός χώρος X * είναι χώρος Banach. 4. Εστω X, Y, Z χώροι Banach και έστω T 1 L(X, Y ), T 2 L(Y, Z). Τότε προφανώς T 2 T 1 L(X, Z) και T 2 T 1 T 2 T Συµπαγείς τελεστές Ορισµός Ενας γραµµικός τελεστής T : X Y καλείται συµπαγής αν και µόνο αν για κάθε ϕραγµένη ακολουθία (x n ) n N του X, η ακολουθία (Tx n ) n N έχει µια Cauchy υπακολουθία. Παρατήρηση Αν ένας τελεστής T είναι συµπαγής τότε είναι και ϕραγµένος. Πράγµατι, αν ο T δεν είναι ϕραγµένος τότε µπορούµε να κατασκευάσουµε µια ακολουθία (x n ) n στη µοναδιαία µπάλα τέτοια ώστε Tx n, και εποµένως η Tx n δεν έχει Cauchy υπακολουθία Συµπαγή σύνολα Ορισµός Ενα σύνολο K X καλείται συµπαγές αν και µόνο αν για κάθε ακολουθία (x n ) n N K, υπάρχει ένα στοιχείο x K και µια υπακολουθία x nk της x n τέτοια ώστε x nk x. 2. Ενα σύνολο K ονοµάζεται σχετικά συµπαγές αν και µόνο αν κάθε ακολουθία (x n ) n N K έχει µια Cauchy υπακολουθία.

30 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Θεώρηµα (Arzelá). Εστω M C[a, b]. Το M είναι σχετικά συµπαγές στον C[a, b] αν και µόνο αν το M είναι : 1. οµοιόµορφα ϕραγµένο (δηλαδή ϕραγµένο σύνολο στον C[a, b]), και 2. ισοσυνεχές (δηλαδή για κάθε ϸ > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε αν x 1 x 2 < δ τότε f (x 1 ) f (x 2 ) < ϸ, για κάθε f M). Η απόδειξη του παραπάνω Θεωρήµατος παραλείπεται. Παρατήρηση Από τους παραπάνω ορισµούς προκύπτουν άµεσα τα ακόλουθα : 1. Ενα υποσύνολο ενός σχετικά συµπαγούς συνόλου είναι σχετικά συµπαγές σύνολο. 2. Εστω T ένας ϕραγµένος γραµµικός τελεστής. Αν η εικόνα της µοναδιαίας µπάλας είναι σχετικά συµπαγές σύνολο, τότε η εικόνα κάθε µπάλας είναι σχετικά συµπαγές σύνολο. 3. Ενας τελεστής T : X Y είναι συµπαγής αν και µόνο αν η εικόνα της µοναδιαίας µπάλας του X είναι σχετικά συµπαγές υποσύνολο του Y. Παράδειγµα Εστω C 1, C 2 ϑετικές σταθερές και έστω M = { f C[a, b] : f (t) < C 1 και f (t) < C 2 }. Το M είναι σχετικά συµπαγες σύνολο. Πράγµατι, αρκεί να δείξουµε ότι το M είναι οµοιόµορφα ϕραγ- µένο και ισοσυνεχές υποσύνολο του C[a, b]. Προφανώς, από τον ορισµό του, το M είναι ϕραγµένο στον C[a, b]. Επίσης, εφόσον f (t) < C 2 και (f (t 1 ) f (t 2 )) /(t 1 t 2 ) = f (ξ), για t 1 < ξ < t 2, έχουµε ότι f (t 1 ) f (t 2 ) C 2 t 1 t 2. Σύµφωνα µε το Θεώρηµα 4.3.4, το M είναι σχετικά συµπαγες σύνολο. Παράδειγµα Εστω µια συνεχής συνάρτηση δύο µεταβλητών K(t, τ) στο [, 1] [, 1] και τον τελεστή T : C[, 1] C[, 1] µε Tx = 1 K(t, τ)x(τ) dτ. Θα δείξουµε ότι ο τελεστής T είναι συµπαγής. Αρκεί λοιπόν να δειχθεί ότι η εικόνα κάθε ϕραγµένου συνόλου είναι σχετικά συµπαγές σύνολο. Εστω M = {x(t)} ένα ϕραγµένο υποσύνολο του C[, 1] τέτοιο ώστε x r. Είναι προφανές ότι οι συναρτήσεις της µόρφής y(t) = 1 K(t, τ)x(τ) dτ, όπου x M, είναι οµοιόµορφα ϕραγµένες. Πραγµατι, έχουµε ότι 1 y(t) = K(t, τ)x(τ) dτ 1 Cr. K(t, τ) x(τ) dτ όπου C = max t,τ K(t, τ). Επίσης, οι συναρτήσεις αυτές είναι και οµοιόµορφα συνεχείς. Πράγµατι, έστω ϸ >. Από την οµοιόµορφη συνέχεια του K(t, τ) στο [, 1] [, 1], υπάρχει ενα δ > τέτοιο ώστε K(t 1, τ) K(t 2, τ) < ϸ/r, για t 1 t 2 < δ και για κάθε τ [, 1]. Από αυτό προκύπτει ότι y(t 1 ) y(t 2 ) 1 K(t 1, τ) K(t 2, τ) x(τ) dτ < ϸ r r = ϸ για t 1 t 2 < δ, και αυτό ισχύει για οποιαδήποτε συνάρτηση y(t) της µορφής αυτής. Άρα το σύνολο TM = {y(t)} είναι ισοσυνεχές. Από το ϑεώρηµα Arzelá έπεται ότι το TM είναι σχετικά συµπαγές, και έτσι ο τελεστής T είναι συµπαγής.

31 4.4. ΥϊΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Βασικές ιδιότητες συµπαγών τελεστών Πρόταση Το σύνολο K(X, Y ) των συµπαγών τελεστών T : X Y ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες : 1. Ο K(X, Y ) είναι γραµµικός υπόχωρος του L(X, Y ). 2. Εάν A K(X, Y ), B L(Z, X), C L(Y, Z), τότε AB K(Z, Y ) και CA K(X, Z). 3. Ο K(X, Y ) είναι κλειστός υπόχωρος του L(X, Y ). 4.4 υϊκοί τελεστές Εστω A : X Y ένας ϕραγµένος γραµµικός τελεστής, και έστω ϕ Y *. Η ποσότητα f (x) = ϕ(ax), για κάθε x X, ορίζει ένα γραµµικό συναρτησοειδές στον X. Επιπλέον ισχύει ότι f (x) = ϕ(ax) ϕ Y * A x. Άρα το f είναι ϕραγµένο, και έτσι έχουµε ότι f X *. Σύµφωνα µε τα παραπάνω, παρατηρούµε ότι έχουµε µία απεικόνιση A * : Y * X *, µε ϕ f := A * ϕ. Προφανώς η απεικόνιση αυτή είναι γραµµική. Ετσι, για κάθε x X και ϕ Y * έχουµε ( A * ϕ) (x) ϕ(ax). Ο τελεστής A * είναι ϕραγµένος και µάλιστα A * = sup A * (ϕ) X * ϕ =1 ϕ =1 x =1 A * = A. Πράγµατι, έχουµε ότι = sup ϕ =1 x =1 sup A * (ϕ)(x) = sup sup ϕ(ax) = sup sup ϕ(ax) = sup Ax Y = A. x =1 x =1 ϕ =1 Ο τελεστής A * καλείται δυϊκός τελεστής του A. Εστω X ένας χώρος µε νόρµα και έστω X * ο δυϊκός του. Για κάθε f X * και x X ϑα γράφουµε x, f αντί του f (x) (δηλαδή x, f = f (x)). Χρησιµοποιώντας τον συµβολισµό αυτό, µπορούµε να επαναδιατυπώσουµε τον ορισµό του δυϊκού τελεστή µε τον ακόλουθο τρόπο : Ax, ϕ = x, A * ϕ, για κάθε x X και ϕ Y *. Στην περίπτωση που έχουµε έναν ϕραγµένο γραµµικό τελεστή A : H 1 H 2, και H 1, H 2 είναι χώροι Hilbert, τότε ο δυϊκός τελεστής A * : H 2 H 1 ορίζεται από την σχέση Ax, y = x, A * y, x H 1, y H 2. Παράδειγµα Θεωρούµε τον τελεστή T στον L 2 [, 1], ο οποίος δίνεται από τον τύπο (Tf )(t) = 1 K(t, τ)f (τ) dτ, όπου K(t, τ) L 2 ([, 1] [, 1]). Θα δείξουµε ότι ο δυϊκός τελεστής T *, δίνεται από την σχέση (T * g)(t) = 1 K(τ, t)g(τ) dτ. Πράγµατι, έχουµε ότι

32 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ όπου Tf, g = = = = f, g *, g * (τ) = ( 1 ) K(t, τ)f (τ) dτ g(t) dt ( 1 ) K(t, τ)f (τ)g(t) dt dτ ( 1 ) f (τ) K(t, τ)g(t) dt dτ 1 K(t, τ)g(t) dt. Άρα, έχουµε ότι (T * g)(t) = g * (t) = 1 K(τ, t)g(τ) dτ, και έτσι δείξαµε το Ϲητούµενο. Θεώρηµα Εάν ένας τελεστής T : X Y είναι συµπαγής, τότε και ο T * : Y * X * είναι συµπαγής. 4.5 Συγκλίσεις στον χώρο των ϕραγµένων τελεστών Στον χώρο των ϕραγµένων γραµµικών τελεστών L(X) := L(X, X), µπορούµε να ορίσουµε διαφορετικές έννοιες για τη σύγκλιση, οι οποίες αναφέρονται παρακάτω. 1. Σύγκλιση ως προς τη νόρµα. Λέµε ότι µια ακολουθία τελεστών (A n ) n N συγκλίνει ως προς τη νόρµα σε έναν τελεστή A (γράφουµε A n A), αν και µόνο αν A n A, όταν n. Εφόσον ο χώρος L(X) είναι πλήρης, αν (A n ) n είναι µια ακολουθία Cauchy ως προς τη νόρµα, τότε συγκλίνει πάντα σε έναν ϕραγµένο τελεστή. 2. Ισχυρή σύγκλιση. Μια ακολουθία τελεστών (A n ) n N συγκλίνει ισχυρά σε έναν τελεστή A (και γράφουµε A n s A), αν και µόνο αν An x Ax, για κάθε x X. 3. Ασθενής σύγκλιση. Λέµε ότι µια ακολουθία τελεστών (A n ) n N συγκλίνει ασθενώς στον τελεστή A, και γράφουµε A n w A, αν και µόνο αν για κάθε x X και για κάθε φ X * έχουµε ότι φ(a n x) φ(ax). Παρατήρηση Εύκολα µπορούµε να δούµε ότι η ισχυρή σύγκλιση είναι «ασθενέστερη» από τη σύγκλιση ως προς τη νόρµα. ηλαδή, αν A n A ως προς τη νόρµα, τότε A n x Ax, για κάθε x X. Πράγµατι, αυτό ισχύει διότι A n x Ax = (A n A)x x A n A. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Παρατήρηση Αν µια ακολουθία τελεστών (T n ) n συγκλίνει ισχυρά σε έναν τελεστη T, τότε συγκλίνει και ασθενώς στον T. Το αντίστροφο δεν ισχύει.

33 4.6. ΑΝΤΙΣΤΡΕΨΙΜΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Αντιστρέψιµοι τελεστές Ορισµός Εστω A L(X). Ο τελεστής A καλείται αντιστρέψιµος, αν υπάρχει ένας τελεστής B τέτοιος ώστε AB = I και BA = I. Ο B καλείται αντίστροφος του A και τον συµβολίζουµε µε A 1. Παρακάτω αναφέρονται ορισµένες ϐασικές ιδιότητες των αντιστρέψιµων τελεστών : Ιδιότητα Αν A, B είναι αντιστρέψιµοι τελεστές, τότε και ο AB είναι αντιστρέψιµος, και µάλιστα ισχύει ότι (AB) 1 = B 1 A 1. Ιδιότητα Αν A = λ < 1, τότε ο τελεστής (I A) είναι αντιστρέψιµος, και (I A) 1 = k= Ak. Απόδειξη. Αρχικά παρατηρούµε ότι A k A k = λ k, όταν k. Επίσης ισχύει ότι η ακολουθία S n = n k= Ak είναι Cauchy. Πράγµατι, έχουµε ότι n m S n S m = n A k A k = k= k= A k k=m+1 n A k n n A k = λ k k=m+1 k= k=m+1 m λ k λ k, k= k=m+1 όταν n > m. Από την πληρότητα του L(X) έχουµε ότι υπάρχει ένας τελεστής B µε B = lim S n. Επιπλέον, (I A) S n = I A n+1 I και S n (I A) I, καθώς n. Συνεπώς, B = (I A) 1. Ιδιότητα Εάν ο A είναι ένας αντιστρέψιµος τελεστής και ο B είναι ένας τελεστής τέτοιος ώστε A B < 1/ A 1, τότε ο B είναι κι αυτός αντιστρέψιµος. Απόδειξη. Πράγµατι, γράφουµε τον τελεστή B ως γινόµενο δύο τελεστών µε τον εξής τρόπο : ( B = A I A 1 (A B) ). Εφόσον γνωρίζουµε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος, σύµφωνα µε την ιδιότητα 4.6.2, αρκεί να δείξουµε ότι και ο τελεστής ( I A 1 (A B) ) είναι αντιστρέψιµος. Παρατηρούµε ότι A B < 1 A 1 A 1 (A B) < 1, και έτσι από την ιδιότητα προκύπτει άµεσα ότι ο τελεστής ( I A 1 (A B) ) είναι αντιστρέψιµος. Συνεπώς, ο B είναι αντιστρέψιµος ως σύνθεση δύο αντιστρέψιµων τελεστών. Θεώρηµα (Θεώρηµα ανοικτής απεικόνισης του Banach). Εστω X, Y χώροι Banach και έστω A : X Y ένας ϕραγµένος γραµµικός τελεστής ο οποίος είναι «ένα προς ένα» (δηλαδή ker A = ) και «επί» (δηλαδή Im A = Y ). Τότε, ο αντίστροφος τελεστής A 1 : Y X είναι και αυτός γραµµικός και ϕραγµένος. 4.7 Φάσµα ϕραγµένου γραµµικού τελεστή Ορισµός Εστω X ένας χώρος Banach και έστω T : X X ένας ϕραγµένος γραµµικός τελεστής. Ενας µιγαδικός αριθµός λ C καλείται κανονικό σηµείο του T αν και µόνο αν ο αντίστροφος τελεστής (T λi) 1 : X X υπάρχει και είναι ϕραγµένος. Αν το λ δεν είναι κανονικό σηµείο τότε ϑα το λέµε ϕασµατικό σηµείο. Το σύνολο όλων των ϕασµατικών σηµείων ονοµάζεται «ϕάσµα» του T, και ϑα το συµβολίζουµε µε σ(t). Προφανώς, σ(t) C.

34 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Πρόταση Το σύνολο όλων των κανονικών σηµείων ενός ϕραγµένου γραµµικού τελεστή T : X X, είναι ανοικτό σύνολο. Απόδειξη. Εστω K = {λ C : (T λi) είναι αντιστρέψιµος}. Θα δείξουµε ότι για κάθε λ K, υπάρχει r >, τέτοιο ώστε D r (λ) = {z C : λ z < r} K, ή ισοδύναµα ότι για κάθε λ K, υπάρχει r >, τέτοιο ώστε αν λ z < r, τότε z K. Εστω λοιπόν λ K. Εύκολα ϐλέπουµε ότι (4.2) (T λi) (T zi) = λ z. Εφόσον ο τελεστής (T λi) είναι αντιστρέψιµος, από την ιδιότητα γνωρίζουµε ότι αν 1 (T λi) (T zi) < (T λi) 1 τότε ο τελεστής (T zi) είναι αντιστρέψιµος, δηλαδή z K. Άρα, για r = 1/ (T λi) 1, από τη σχέση (4.2) συµπεραίνουµε ότι αν λ z < r, τότε z K. Συνεπώς, δείξαµε ότι το σύνολο K είναι ανοικτό. Παρατήρηση Από την Πρόταση συνεπάγεται ότι το ϕάσµα του τελεστή T είναι κλειστό υποσύνολο του C (ως συµπλήρωµα ανοικτού). Πρόταση Αν λ > T, τότε το λ είναι κανονικό σηµείο του τελεστή T. Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι T λi = λ (I (1/λ)T) και επίσης ότι (1/λ)T < 1. Από την ιδιότητα έχουµε ότι ο τελεστής T λi είναι αντιστρέψιµος, και άρα το λ είναι όντως κανονικό σηµείο Ταξινόµηση του ϕάσµατος Τα ϕασµατικά σηµεία ενός τελεστή T : X X µπορούν να ταξινοµηθούν ώς εξής : 1. Σηµειακό ϕάσµα : Ενας µιγαδικός αριθµός λ C ανήκει στο σηµειακό ϕάσµα αν και µόνο αν υπάρχει ένα διάνυσµα x X\ {} τέτοιο ώστε Tx = λx. Τα στοιχεία του σηµειακού ϕάσµατος τα λέµε ιδιοτιµές, ενώ το σηµειακό ϕάσµα το συµβολίζουµε µε σ p (T). Λέµε ότι το x είναι ιδιοδιάνυσµα του T που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ. Ισοδύναµα, λ σ p (T) αν και µόνο αν ker (T λi). Η διάσταση του χώρου ker (T λi) καλείται πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ. 2. Συνεχές ϕάσµα : Το συνεχές ϕάσµα αποτελείται από ολα τα λ C τέτοια ώστε λ σ(t)\σ p (T) και Im(T λi) είναι πυκνό υποσύνολο του X. Το συνεχές ϕάσµα το συµβολίζουµε µε σ c (T). 3. Υπόλοιπο ϕάσµα : Το υπόλοιπο ϕάσµα ορίζεται να είναι το σύνολο σ r (T) = σ(t)\ ( σ p (T) σ c (T) ). Άρα, σύµφωνα µε τα προηγούµενα, αν λ σ r (T) τότε Im (T λi) X και ker (T λi) =. Πρόταση Εστω A : X X ένας ϕραγµένος τελεστής και έστω {λ i } n i=1 διακριτές ιδιοτηµές του A. Εστω επίσης {x i } n i=1 τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα, δηλαδή Ax i = λ i x i, για κάθε i = 1,..., n. Τότε το {x i } n 1 είναι γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο. Για την απόδειξη της παραπάνω Πρότασης δες [EMT] (λήµµα 5.1.1, σελ 76).

35 4.7. ΦΑΣΜΑ ΦΡΑΓΜΕΝΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ 27 Παρατήρηση Εάν λ σ p (T) αλλά λ σ(t), τότε Im (T λi) X. Πράγµατι, έστω ότι Im (T λi) = X (ϑα καταλήξουµε σε άτοπο). Επειδή λ σ p (T) έχουµε ότι ker (T λi) = και άρα ο τελεστής T λi είναι «ένα προς ένα». Από το Θεώρηµα γνωρίζουµε ότι υπάρχει ο αντίστροφος τελεστής (T λi) 1 και µάλιστα είναι ϕραγµένος. Αυτό όµως σηµαίνει ότι το λ είναι κανονικό σηµείο, το οποίο είναι άτοπο. Παρατήρηση Αντί του λi, συµφωνούµε να γράφουµε (λi) *. Επίσης, ο αριθµός λ πρέπει να γίνει συζυγής όταν χρησιµοποιούµε τον ίδιο συµβολισµό για τον δυϊκό τελεστή όπως και στους χώρους Hilbert, καθώς (λi)x, y = x, (λi) * y.

36 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ

37 Κεφάλαιο 5 Αυτοσυζυγείς τελεστές Ορισµός Εστω H ένας χώρος Hilbert. Ενας ϕραγµένος τελεστής A : H H καλείται αυτοσυζυγής (ή συµµετρικός) αν και µόνο αν για κάθε x, y H ισχύει ότι Ax, y = x, Ay. 5.1 Βασικές ιδιότητες αυτοσυζυγών τελεστών Ιδιότητα Για το κατά σηµείο ϕάσµα σ p ενός αυτοσυζυγή τελεστή A έχουµε ότι σ p (A) R. Απόδειξη. Πράγµατι, έστω λ σ p (A). Τότε έχουµε ότι Ax = λx για x. Εφόσον ο A είναι αυτοσυζυγής ισχύει ότι Ax, x = x, Ax ή ισοδύναµα λ x 2 = λ x 2. Από αυτό όµως έπεται ότι λ = λ, και έτσι λ R. Ιδιότητα Εστω ότι λ 1, λ 2 σ p (A) µε λ 1 λ 2 και Ax 1 = λ 1 x 1, Ax 2 = λ 2 x 2. Τότε x 1 x 2. Απόδειξη. Εφόσον Ax 1, x 2 = x 1, Ax 2, έχουµε ότι λ 1 x 1, x 2 = λ 2 x 1, x 2. Επειδή όµως λ 2 = λ 2 και λ 1 λ 2 συνεπάγεται ότι x 1, x 2 =. Εποµένως x 1 x 2. Ορισµός Εστω T : H H ένας τελεστής και L ένας υπόχωρος του H. Ο L καλείται αναλλοίωτος ως προς τον τελεστή T αν και µόνο αν για κάθε x L έχουµε ότι Tx L (δηλαδή T(L) L). Ιδιότητα Εάν ο L είναι αναλλοίωτος ως προς έναν αυτοσυζυγή τελεστή A τότε ισχύει το ίδιο και για τον υπόχωρο L. Απόδειξη. Πράγµατι, έστω x L και y L. Επειδή ο L είναι αναλλοίωτος ισχύει ότι Ax L, και έτσι έχουµε ότι Ax, y =. Οπότε x, Ay = για κάθε x L, και από αυτό έπεται ότι Ay L. Ιδιότητα Αν A, B είναι αυτοσυζυγείς τελεστές και AB = BA τότε και ο τελεστής AB είναι αυτοσυζυγής. 29

38 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΑΥΤΟΣΥΖΥΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Απόδειξη. Εστω A, B : H H δύο αυτοσυζυγείς τελεστές µε AB = BA. Τότε έχουµε ότι ABx, y = Bx, Ay = x, BAy = x, ABy για κάθε x, y H. Άρα ο τελεστής AB είναι αυτοσυζυγής. Ιδιότητα Αν ο A είναι αυτοσυζυγής τελεστής τότε A = sup x Ax,x x 2. Απόδειξη. Ax,x Εστω C = sup x. Από την ανισότητα Cauchy-Schwartz έχουµε ότι x 2 Ax, x Ax x A x 2. Άρα Ax,x A για κάθε x και εποµένως C A. Τώρα ϑα δείξουµε ότι C A. Παρατηρούµε x 2 πρώτα ότι A(x + y), x + y A(x y), x y = 2 ( Ax, y + Ay, x ). Από την τριγωνική ανισότητα όµως παίρνουµε ότι 2 Ax, y + Ay, x A(x + y), x + y + A(x y), x y Από τον ορισµό του C και από τον νόµο του παραλληλογράµµου έχουµε ότι Ax, y + Ay, x 1 ( A(x + y), x + y + A(x y), x y ) 2 1 ( 2 C x + y 2 + x y 2) (5.1) ( = C x 2 + y 2). Εστω τώρα x H µε x = 1 και Ax. Θεωρούµε το διάνυσµα y = Ax Ax. Προφανώς y = 1 και επίσης αντικαθιστώντας στην (5.1) έχουµε ότι Ax Ax Ax, + Ax Ax, Ax = Ax, Ax Ax, Ax + Ax Ax ( C x 2 + y 2) ή ισοδύναµα έχουµε ότι Ax C 2C, για κάθε x H µε x = 1. Από αυτό όµως έπεται ότι C A, και έτσι δείξαµε το Ϲητούµενο. Ιδιότητα Ενας γραµµικός τελεστής A : H H είναι συµµετρικός αν και µόνο αν Ax, x R για κάθε x H. Ιδιότητα Εστω A ένας συµµετρικός τελεστής και έστω A = µ = sup Ax, x. x =1 Τότε ένα τουλάχιστον από τα στοιχεία µ, µ ανήκει στο ϕάσµα σ(a) του τελεστή A. Η αποδείξεις των δύο παραπάνω ιδιοτήτων παραλείπονται. ες [EMT] (ιδιότητα και 6.1.7, σελ 89).

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Το Φασµατικο Θεωρηµα

Το Φασµατικο Θεωρηµα Το Φασµατικο Θεωρηµα Πτυχιακη Εργασια Μαριαννα Καλογηρου Α.Μ. 2163 Επιβλεπων: ρ. Αντωνης Τσολοµυτης A Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Σαµος 25 2 Περιεχόµενα 1 Γραµµικοί χώροι-χώροι µε νόρµα 7 1.1

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι L p Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

2. d(x, y) = 0 x = y. 3. d(x, y) = d(y, x)

2. d(x, y) = 0 x = y. 3. d(x, y) = d(y, x) Τελεστές σε χώρους Hilbert Γεωργάτος Σπυρίδων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Επιτροπή Επιβλέπων: Φελουζής Ευάγγελος - Αναπληρωτής Καθηγητής Μέλη : Τσολομύτης Αντώνιος - Καθηγητής Νικολόπουλος Χρήστος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης Σηµειώσεις σύντοµη εκδοχή Ε. Στεφανόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αιγαίου Καρλόβασι 2016 2 Περιεχόµενα 1 Γραµµικοι χωροι µε νορµα 5 1.1 Γραµµικοί χώροι......................................

Διαβάστε περισσότερα

Συµπαγείς τελεστές. Κεφάλαιο Τελεστές πεπερασµένης τάξης. n. Γράφουµε rank(t ) = n. Αν οι E, F είναι χώροι µε νόρµα, συµβολίζουµε

Συµπαγείς τελεστές. Κεφάλαιο Τελεστές πεπερασµένης τάξης. n. Γράφουµε rank(t ) = n. Αν οι E, F είναι χώροι µε νόρµα, συµβολίζουµε Κεφάλαιο 3 Συµπαγείς τελεστές 3.1 Τελεστές πεπερασµένης τάξης Ορισµός 3.1.1 Μια γραµµική απεικόνιση T : E F µεταξύ δύο γραµµικών χώρων E, F λέγεται τάξης n (n N) αν ο υπόχωρος T (E) = im T έχει διάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Μιχάλης Σαράντης και Κωνσταντίνος Τσίνας Βασικά αποτελέσµατα από την ανάλυση Fourier Ορισµός.. Ο n-οστός πυρήνας του Dirichlet ορίζεται ως (.) D n (y) Πρόταση.. Για

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μετασχηµατισµός Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μετασχηµατισµός Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μετασχηµατισµός Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Youg Ασπασία Κωτσογιάννη Περίληψη Ο µετασχηµατισµός Fourier Εστω f L. Ορίζουµε. fξ = π fxe ix ξ dx, ξ. Το ολοκλήρωµα Lebesgue στη σχέση. συγκλίνει για κάθε ξ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στους Γραμμικούς Τελεστές! http://eclass.uoa.gr/courses/math122/ Εαρινό Εξάμηνο 2014-15 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο Ορισμός Εστω E K-γραμμικός χώρος (K = R ή C). Ενα εσωτερικό γινόμενο (inner

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Η έννοια του ϕάσµατος. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Η έννοια του ϕάσµατος. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Η έννοια του ϕάσµατος Αριστείδης Κατάβοος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 14, 30 Απριλίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο (Ευκλείδειοι χώροι) 2. Βέλτιστες προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. ιατεταγµένοι χώροι. 1.1 Κώνοι και διάταξη

Κεφάλαιο 1. ιατεταγµένοι χώροι. 1.1 Κώνοι και διάταξη Κεφάλαιο 1 ιατεταγµένοι χώροι 1.1 Κώνοι και διάταξη Εστω E γραµµικός χώρος. Ενα κυρτό, µη κενό υποσύνολο P του E είναι κώνος αν λ P για κάθε λ R +. Αν επιπλέον ισχύει P ( P) = {0} το P είναι οξύς κώνος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν :

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Βασικές έννοιες Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, (ii) d(x, y) = d(y,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Κεφάλαιο 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούµε µε µέσες τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f οι οποίες

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov Το ϑεώρηµα του Alexandrov Γιώργος Γιανναράκης και αυιδούλα ηµοπούλου Περίληψη Το 1939, ο Alexandr Alexandrov απέδειξε το ακόλουθο ϑεώρηµα : Εστω C R d ανοιχτό και κυρτό, f : C R µια κυρτή συνάρτηση. Τότε,

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών: Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση. 3 Παράρτημα 2 Παρατηρήσεις, ασκήσεις και Διορθώσεις Παράγραφος ) Σελίδα, : Παρατηρούμε τα ακόλουθα για το χώρο πηλίκο / Y : Y = / Y και (α) { } (β) = Y / Y { } Επίσης από τον τύπο () έπεται ιδιαίτερα ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Τοπολογίες στον B(H) Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Τοπολογίες στον B(H) Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Τοπολογίες στον B(H) Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( )

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( ) Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις (205 6) Πρόχειρες Σηµειώσεις Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών 205-6 Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 2 Σύγκλιση ακολουθιών και συνέχεια συναρτήσεων 9 3 Τοπολογία µετρικών χώρων

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Θα ϑέλαµε να ορίσουµε το «µήκος» κάθε υποσυνόλου A του R, δηλαδή να αντιστοιχίσουµε σε κάθε A R έναν µη αρνητικό αριθµό λ(a) (ή το + ). Είναι λογικό

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Θεωρία Ζήτησης

Κεφάλαιο 1. Θεωρία Ζήτησης Κεφάλαιο 1 Θεωρία Ζήτησης Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί τις προτιµήσεις του.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πλειότιµες απεικονίσεις. 1.1 Ορισµοί

Κεφάλαιο 1. Πλειότιµες απεικονίσεις. 1.1 Ορισµοί Κεφάλαιο 1 Πλειότιµες απεικονίσεις 1.1 Ορισµοί Εστω X,Y µη κενά σύνολα. Μία (πλειότιµη) απεικόνιση φ : X Y, από το X στο Y είναι ένας κανόνας που σε κάθε σηµείο x του X αντιστοιχεί ένα υποσύνολο φ(x) του

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3

Αρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 Αρµονική Ανάλυση (2017 2018) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 0. (α) Εστω f L (T). είξτε ότι σ n ( f ) f n N. (ϐ) Εστω f L (T). είξτε ότι (γ) είξτε ότι S n ( f ) f + n k=1 sin(kt) k n k= n [Υπόδειξη: Για το (γ) ϑεωρήστε

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Μετρήσιµες συναρτήσεις Οι συναρτήσεις για τις οποίες ϑα επιχειρήσουµε να ορίσουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue είναι συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού κάποιο µετρήσιµο υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

Ατοµική Θεωρία Ζήτησης

Ατοµική Θεωρία Ζήτησης Κεφάλαιο 1 Ατοµική Θεωρία Ζήτησης Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί τις προτιµήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 6 υϊκοι Χωροι και Χωροι Πηλικα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στην Συναρτησιακή Ανάλυση! http://eclass.uoa.gr/courses/math495/ Εαρινό Εξάμηνο 2015-16 Γραμμικοί χώροι K είναι το σώμα R ή C. Ορισμός Ενα X /0 λέγεται K-γραμμικός χώρος αν είναι εφοδιασμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση. Πέτρος Βαλέττας

Πραγµατική Ανάλυση. Πέτρος Βαλέττας Πραγµατική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισµός και παραδείγµατα.......................... 3 1.2 Χώροι

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. x k y k. k=1 k=1

x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. x k y k. k=1 k=1 Σημειώσεις για τους χώρους Hilbert και άλλα Αριστείδης Κατάβολος Από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Θεωρία Τελεστών», εκδ. «Συμμετρία», 2008. Περιεχόμενα I Χώροι Hilbert 1 1 Εσωτερικά γινόμενα 1 1.0.1 Παραδείγματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι πεπερασµένης διάστασης µε νόρµα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι πεπερασµένης διάστασης µε νόρµα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι πεπερασµένης διάστασης µε νόρµα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα