Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών"

Transcript

1 Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

3 Περιεχόµενα ενότητας 6.1 Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Παράρτηµα: Γενική απόδειξη του Θεωρήµατος Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 6.1 Το φασµατικό θεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Σταθεροποιούµε έναν αυτοσυζυγή τελεστή A B(H ) και στοχεύουµε να «αναπαραστήσουµε» τον A ως πολλαπλασιαστικό τελεστή σ έναν κατάλληλο χώρο L 2 (X, µ). Ακριβέστερα, ϑα κατασκευάσουµε ένα χώρο µέτρου (X, µ) και µία f L (X, µ) ώστε ο A να είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε τον πολλαπλασιαστικό τελεστή M f, δηλαδή να υπάρχει ένας ορθοµοναδιαίος τελεστής U : L 2 (X, µ) H ώστε A = U M f U 1. Το κρίσιµο ϐήµα εµπεριέχεται στο: Λήµµα Για κάθε µη µηδενικό x H υπάρχει ϑετικό κανονικό πεπερασµένο µέτρο Borel µ x στο σ(a) και ισοµετρία U x : L 2 (σ(a), µ x ) H ώστε (και ειδικότερα AU x = U x M fo όπου f o (λ) = λ). U x M f = f (A)U x για κάθε f C(σ(A)) Απόδειξη. Από τον συναρτησιακό λογισµό για συνεχείς συναρτήσεις (Θεώρηµα 5.1.3), ορίζεται η απεικόνιση Φ c : C(σ(A)) B(H ) : f f (A) που είναι ισοµετρικός *-µορφισµός. Σταθεροποιούµε ένα µη µηδενικό x H και ϑεωρούµε την γραµµική απεικόνιση ϕ x : C(σ(A)) C : f f (A)x, x. Παρατηρούµε ότι η ϕ x είναι θετική γραµµική µορφή στον C(σ(A)), δηλαδή ϕ x ( f ) 0 για κάθε f 0. Πράγµατι, αν f 0 τότε f (A) 0 (Πόρισµα ) εποµένως ϕ x ( f ) = f (A)x, x 0. Από το Θεώρηµα Αναπαράστασης του Resz 1, υπάρχει (µοναδικό) ϑετικό πεπερασµένο κανονικό µέτρο Borel µ x στο σ(a) ώστε f dµ x = ϕ x ( f ) = f (A)x, x για κάθε f C(σ(A)). Θεωρώντας τώρα τον χώρο C(σ(A)) ως υπόχωρο του L 2 (σ(a), µ x ), 2 ορίζουµε την απεικόνιση U ox : (C(σ(A)), 2 ) (H, H ) : f f (A)x που είναι προφανώς γραµµική. Ισχυριζόµαστε ότι είναι ισοµετρία. Πράγµατι, για κάθε f C(σ( A)), f (A)x 2 H = f (A)x, f (A)x = f (A) f (A)x, x = ( f f )(A)x, x = f f dµ x = f 2 2 (χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι η Φ c : f f (A) είναι *-µορφισµός). είξαµε λοιπόν ότι U ox ( f ) H = f 2 για κάθε f C(σ(A)), δηλαδή ότι η U ox είναι ισοµετρική. Εποµένως επεκτείνεται σε ισοµετρία U x ορισµένη στην κλειστή ϑήκη του C(σ(A)) ως προς την νόρµα. 2. Αλλά αυτή η κλειστή ϑήκη είναι ακριβώς 3 ο L 2 (σ(a), µ x ). Εχουµε λοιπόν µία ισοµετρία U x : L 2 (σ(a), µ x ) H 1 ϐλέπε π.χ. Γ. Κουµουλλής, Σ. Νεγρεπόντης, Θεωρία Μέτρου, Εκδ. Συµµετρία, 1988 [Θεώρηµα 12.26] 2 δηλαδή ταυτίζοντας συναρτήσεις που διαφέρουν µόνο σε µ x -µηδενικά σύνολα 3 ϐλέπε π.χ. Γ. Κουµουλλής, Σ. Νεγρεπόντης, Θεωρία Μέτρου, Εκδ. Συµµετρία, 1988 [Πρόταση 12.24] Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 που ικανοποιεί U x ( f ) = f (A)x όταν η f είναι συνεχής. Μένει να δειχθεί ότι U x M f = f (A)U x για κάθε f C(σ(A)). Πράγµατι, για κάθε g C(σ(A)) έχουµε (U x M f )(g) = U x ( f g) = (( f g)(a))(x) = f (A)(g(A)(x)) = ( f (A)U x )(g). Εποµένως οι φραγµένοι τελεστές U x M f L 2 (σ(a), µ x ), άρα είναι ίσοι. και f (A)U x ταυτίζονται στον πυκνό υπόχωρο C(σ(A)) του Παρατήρηση Αξίζει ίσως να σχολιάσει κανείς τον διπλό ρόλο του χώρου C(σ( A)) στην προηγού- µενη απόδειξη: Αφενός µεν χρησιµοποιήθηκε (µέσω του συναρτησιακού λογισµού) ως χώρος τελεστών f (A) στον H, αφετέρου ως χώρος διανυσµάτων στον L 2 (σ(a), µ x ). Παρατήρηση Το σύνολο τιµών m(u x ) της ισοµετρίας U x του Λήµµατος είναι ακριβώς ο κυκλικός υπόχωρος H x = [A n x : n = 0, 1,...] = [x, Ax, A 2 x,...] του x για τον A. Πράγµατι, το σύνολο τιµών του U x είναι κλειστό (διότι ο U x είναι ισοµετρία) και περιέχει το f (A)x για κάθε f C(σ(A)). Ειδικότερα περιέχει όλα τα διανύσµατα της µορφής A n x για n = 0, 1,..., άρα περιέχει τον H x. Από την άλλη µεριά κάθε f C(σ(A)) προσεγγίζεται από µία ακολουθία (p n ) από πολυώνυµα, οµοιόµορφα στο σ(a), και συνεπώς p n (A) f (A) 0, άρα και p n (A)x f (A)x 0. Αλλά κάθε p n (A)x ανήκει στον H x, συνεπώς το ίδιο ισχύει για το f (A)x. Εποµένως και συνεπώς ισχύει ισότητα. m U ox = { f (A)x : f C(σ(A))} H x m U x άρα m U x = m U ox H x m U x Παρατήρηση Αν µπορούσαµε να επιλέξουµε το x H ώστε ο U x να είναι αντιστρέψιµος, τότε το προηγούµενο Λήµµα ϑα έδινε f (A) = U x M f Ux 1 για κάθε f C(σ(A)), και ειδικότερα A = U x M fo Ux 1, οπότε ϑα είχαµε δείξει ότι ο A είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε έναν πολλαπλασιαστικό τελεστή. Αλλά ο U x είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν είναι επί του H (γιατί είναι πάντα ισοµετρία, άρα 1 1). Από την προηγούµενη παρατήρηση, αυτό συµβαίνει ακριβώς όταν ο κυκλικός υπόχωρος H x είναι όλος ο χώρος H. Ορισµός Ενα διάνυσµα x H λέγεται κυκλικό (cyclc) για τον τελεστή A B(H ) αν ο κυκλικός υπόχωρος (cyclc subspace) που ορίζει είναι όλος ο H, ισοδύναµα αν ο γραµµικός χώρος [A n x : n = 0, 1,...] είναι πυκνός στον H. Το Λήµµα και οι παρατηρήσεις που προηγήθηκαν αποδεικνύουν την Πρόταση Αν ένας αυτοσυζυγής τελεστής A B(H ) έχει κυκλικό διάνυσµα, υπάρχει πεπερασµένο ϑετικό κανονικό µέτρο Borel µ στο σ(a) ώστε ο A να είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε τον τελεστή M fo του πολλαπλασιασµού επί την ανεξάρτητη µεταβλητή, (M fo (g))(x) = xg(x), στον L 2 (σ(a), µ). Οµως, δεν έχουν όλοι οι αυτοσυζυγείς τελεστές κυκλικά διανύσµατα. Για παράδειγµα, ο ταυτοτικός τελεστής του H δεν έχει ποτέ κυκλικό διάνυσµα, εκτός αν ο H είναι µονοδιάστατος! Ενα λιγότερο τετριµµένο παράδειγµα είναι το εξής: Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 Παράδειγµα Εστω H = L 2 ([0, 1]) L 2 ([0, 1]) 4 και έστω A = M fo M fo όπου f o (λ) = λ (λ [0, 1]). Τότε ο A είναι αυτοσυζυγής τελεστής χωρίς κυκλικό διάνυσµα. Απόδειξη. Οτι ο A είναι αυτοσυζυγής έπεται από το γεγονός ότι η f o είναι πραγµατική. Ισχυριζόµαστε ότι κανένα διάνυσµα f g δεν είναι κυκλικό για τον A. Πράγµατι, το διάνυσµα ḡ ( f ) είναι κάθετο σε κάθε A n ( f g): A n ( f g), ḡ ( f ) = (M n f o f M n f o g), ḡ ( f ) = M n f o f, ḡ M n f o g, f = t n f (t)g(t)dt t n g(t) f (t)dt = 0. Επεται ότι η γραµµική ϑήκη του συνόλου {A n ( f g) : n = 0, 1,...} δεν µπορεί να είναι πυκνή στον H. Παρατηρούµε ότι αν ταυτίσουµε τον χώρο H στο παράδειγµα αυτό µε τον L 2 ([0, 1] [1, 2]), τότε ο τελεστής A ταυτίζεται µε τον M f, όπου f η «οδοντωτή» συνάρτηση f (t) = t για t [0, 1] και f (t) = t 1 για t (1, 2]. Με κάπως ανάλογο τρόπο, η γενική περίπτωση ανάγεται στην περίπτωση της Πρότασης τοποθετώντας κατάλληλους χώρους µέτρου «τον ένα δίπλα στον άλλο». Λήµµα Αν A B(H ) είναι αυτοσυζυγής, υπάρχει µία οικογένεια {H : I} από κάθετους ανά δύο υποχώρους του H, ώστε () κάθε H να είναι A-αναλλοίωτος, δηλ. A(H ) H () κάθε H να είναι A-κυκλικός, δηλ. να περιέχει ένα A-κυκλικό διάνυσµα () το ευθύ άθροισµα H (δηλαδή ο µικρότερος κλειστός υπόχωρος του H που περιέχει κάθε H ) να είναι όλος ο H. Απόδειξη. Ονοµάζουµε δύο µη µηδενικά διανύσµατα x 1, x 2 H πολύ κάθετα (ως προς A) αν A n x 1 A m x 2 για κάθε n, m = 0, 1,..., ισοδύναµα (γιατί;) αν οι κυκλικοί υπόχωροι που παράγονται από τα x 1 και x 2 είναι κάθετοι. Εστω {x : I} µία µεγιστική 5 οικογένεια από πολύ κάθετα διανύσµατα, και για κάθε έστω H = [A n x : n = 0, 1,...] ο αντίστοιχος κυκλικός υπόχωρος. Εφόσον A(A n x ) = A n+1 x H για κάθε n και ο A είναι συνεχής, έπεται ότι A(H ) H για κάθε. Μένει να δειχθεί ότι το ευθύ άθροισµα H είναι όλος ο H. Πράγµατι, αν ένα µη µηδενικό διάνυσµα x H είναι κάθετο στον H τότε για κάθε I και κάθε n, m = 0, 1,... έχουµε A n x, A m x = x, A n+m x = 0 (διότι A n+m x H ) πράγµα που δείχνει (γιατί;) ότι ο κυκλικός υπόχωρος H x που παράγεται από το x είναι κάθετος στον H. Αυτό αντιβαίνει στην µεγιστικότητα της οικογένειας {x : I}. Σταθεροποιούµε µία οικογένεια {H : I} όπως στο Λήµµα µε το εσωτερικό γινόµενο f 1 g 1, f 2 g 2 = f 1, f 2 + g 1, g 2 5 Η απόδειξη της ύπαρξης τέτοιας οικογένειας είναι τυπική εφαρµογή του Λήµµατος Zorn. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 Από το Λήµµα 6.1.1, για κάθε I υπάρχει πεπερασµένο ϑετικό µέτρο Borel µ στον σ(a) και ισοµετρία (*) U : L 2 (σ(a), µ ) H ώστε AU = U M f όπου f (λ) = λ (λ σ(a)), και το σύνολο τιµών της U είναι H. ηλαδή, αν ϑέσουµε A = A H, κάθε A είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε τον πολλαπλασιαστικό τελεστή M f που δρα στον χώρο L 2 (σ(a), µ ). Θα δείξουµε ότι ο A είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε έναν κατάλληλο πολλαπλασιαστικό τελεστή M f στον L 2 (X, µ), όπου ο (X, µ) είναι η λεγόµενη ξένη ένωση των χώρων µέτρου (σ(a), µ ), I. Για να αποφύγουµε ορισµένες µετροθεωρητικές δυσκολίες, ϑα υποθέσουµε στο εξής 6 ότι ο χώρος H είναι διαχωρίσιµος, οπότε και η οικογένεια {x } είναι αριθµήσιµη. Υποθέτουµε λοιπόν ότι I = N. Στην περίπτωση αυτή µπορούµε, όπως ϑα δούµε, να πάρουµε για (X, µ) τον R εφοδιασµένο µε ένα κατάλληλο µέτρο Borel. Παρατηρούµε πρώτα ότι, εφόσον σ( A) [ A, A ], η διάµετρος του σ( A) δεν υπερβαίνει το 2 A. Εποµένως, αν ϑέσουµε a = 3 A και X = σ(a) + a = {λ + a : λ σ(a)}, τα σύνολα X, N είναι ξένα ανα δύο συµπαγή υποσύνολα του R. Ορίζουµε το εξής µέτρο Borel στο R: µ(y ) = µ (ϕ (Y X )), Y R Borel όπου ϕ : X σ(a) : t t a. Είναι εύκολη άσκηση Θεωρίας Μέτρου να ελέγξει κανείς ότι το µ είναι πράγµατι µέτρο και είναι σ- πεπερασµένο, αφού κάθε µ είναι πεπερασµένο. Απεικονίζουµε τώρα τους χώρους L 2 (σ(a), µ ), N ισοµετρικά σε κάθετους ανά δύο υποχώρους του L 2 (R, µ): Ισχυρισµός : Για κάθε η απεικόνιση είναι γραµµική, επί και ικανοποιεί W : L 2 (R, µ) L 2 (σ(a), µ ) όπου (W g)(λ) = g(λ + a), λ σ(a) W g = g X για κάθε g L 2 (R, µ). Απόδειξη : Η W είναι επί του L 2 (σ(a), µ ), γιατί αν h L 2 (σ(a), µ ) ϑέτοντας g(t) = h(ϕ (t)) για t X και g(t) = 0 για t X, έχουµε g(t) 2 dµ(t) = h(ϕ (t)) 2 dµ(t) = h(λ) 2 dµ (λ) < X R 6 Τονίζουµε ότι η υπόθεση αυτή γίνεται µόνον για ευκολία στην απόδειξη το ϑεώρηµα ισχύει και σε µη διαχωρίσιµους χώρους. ίνουµε µία γενική απόδειξη στο Παράρτηµα σ(a) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 άρα g L 2 (R, µ) και W g = h. Εστω g L 2 (R, µ). Αν η g µηδενίζεται στο X τότε για κάθε λ σ(a) έχουµε (W g)(λ) = 0 εφόσον λ + a X. Αν η g µηδενίζεται στο X c τότε ισχυρίζοµαι ότι W g = g. Πράγµατι αρκεί να αποδειχθεί ο ισχυρισµός n όταν η g είναι απλή συνάρτηση, g = c k χ Yk όπου Y k X ξένα Borel. Εχουµε W g = c k χ ϕ (Y k ) k=1 (γιατί W ( χ Y ) = χ ϕ (Y )), άρα W g 2 = c k 2 χ 2 ϕ (Y k ) = c k 2 µ (ϕ (Y k )) = c k 2 µ(y k ) = g 2. Επεται ότι για κάθε g L 2 (R, µ) ισχύει και ο ισχυρισµός αποδείχθηκε. k k W g = W (g X ) + W (g X c ) = W (g X ) = g X k k Για κάθε N έχουµε ονοµάσει f L (σ(a), µ ) τη συνάρτηση f (λ)=λ (λ σ(a)). Ορίζουµε τώρα την συνάρτηση f : R R ϑέτοντας { f (t a), αν υπάρχει ώστε t X f (t) = 0, αν t X Η f ανήκει στον L (R, µ) γιατί f = sup f = A, άρα ορίζεται ο τελεστής M f στον L 2 (R, µ). Παρατηρούµε ότι W M f = M f W Πράγµατι, για κάθε g L 2 (R, µ), αν λ σ(a) έχουµε οπότε (W f g)(λ) = ( f g)(λ + a) = f (λ + a)g(λ + a) = f (λ)g(λ + a) W M f g = W ( f g) = f (W g) = M f W g. Επειδή όµως U M f = AU (ϐλ. εξίσωση (*)), έπεται ότι (**) U W M f = U M f W = AU W. Παρατηρούµε ότι για κάθε g L 2 (R, µ) έχουµε U W g H άρα τα U W g είναι ανά δύο κάθετα και εποµένως, αφού η U είναι ισοµετρία, Επεται ότι η σειρά U W g 2 = =1 = W g 2 = =1 g X 2 =1 g 2 dµ = =1 X U W g συγκλίνει στον H και ότι =1 U W g =1 2 R = g 2. g 2 dµ = g 2. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 Αν λοιπόν ορίσουµε την απεικόνιση U : L 2 (R, µ) H : g U W g τότε η U είναι ισοµετρία. Η εικόνα της περιέχει κάθε H, άρα και την κλειστή γραµµική τους ϑήκη, που είναι ο H. ηλαδή η U είναι ισοµετρία επί, άρα ορθοµοναδιαίος τελεστής. Τέλος, για κάθε g L 2 (R, µ), U M f g = εποµένως U M f = AU και άρα U W M f g ( ) = AU W g = A U W g = AUg A = U M f U 1. Εχουµε λοιπόν αποδείξει (µε την επιπλέον υπόθεση ότι ο H είναι διαχωρίσιµος) το Θεώρηµα (Φασµατικό Θεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές). Εστω A B(H ) αυτοσυζυγής τελεστής. Υπάρχει χώρος µέτρου (X, µ), συνάρτηση f L (X, µ) και ορθοµοναδιαίος τελεστής U : L 2 (X, µ) H ώστε A = U M f U Παράρτηµα: Γενική απόδειξη του Θεωρήµατος Υπενθυµίζεται ότι έχουµε έναν αυτοσυζυγή τελεστή A B(H ) και µία οικογένεια {H : I} από κάθετους ανα δύο A-αναλλοίωτους κυκλικούς υποχώρους µε ευθύ άθροισµα H (Λήµµα 6.1.8). Από το Λήµµα 6.1.1, για κάθε I υπάρχει πεπερασµένο ϑετικό µέτρο Borel µ στον σ(a) και ισοµετρία (*) U : L 2 (σ(a), µ ) H ώστε AU = U M f όπου f (λ) = λ (λ σ(a)), και το σύνολο τιµών της U είναι H. ηλαδή, αν ϑέσουµε A = A H, κάθε A είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε τον πολλαπλασιαστικό τελεστή M f που δρα στον χώρο L 2 (σ(a), µ ). Θα δείξουµε ότι ο A είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε έναν κατάλληλο πολλαπλασιαστικό τελεστή M f στον L 2 (X, µ), όπου ο (X, µ) είναι η ξένη ένωση των χώρων µέτρου (X, µ ) = (σ(a), µ ). Η απόδειξη ϑα γίνει σε δύο ϐήµατα: πρώτα ϑα δείξουµε ότι ο A είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε το ευθύ άθροισµα B = M f των πολλαπλασιαστικών τελεστών M f, και µετά ϑα δείξουµε ότι ο B είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε έναν πολλαπλασιαστικό τελεστή. H = H A H = H U U M f L 2 (X, µ ) L 2 (X, µ ) V V M f L 2 (X, µ) L 2 (X, µ) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 Ορισµός (α) Αν {K } είναι µία οικογένεια χώρων Hlbert, ονοµάζουµε (εξωτερικό) ευθύ άθροισµα K το σύνολο K όλων των οικογενειών (x ) µε x K για κάθε που είναι τετραγωνικά αθροίσιµες 7, δηλαδή x 2 <. Συµβολίζουµε τα στοιχεία x K µε x = x και ϑέτουµε 8 x, y K = x, y. I (ϐ) Αν T : H K είναι ϕραγµένοι τελεστές για κάθε και sup T <, τότε για κάθε x K η οικογένεια (T (x )) είναι τετραγωνικά αθροίσιµη. Ορίζουµε το ευθύ άθροισµα T των τελεστών T από την σχέση T : H K x T (x ). Παρατήρηση Η T είναι καλά ορισµένη γραµµική απεικόνιση διότι για κάθε x H έχουµε T (x ) 2 K sup T 2 x 2 H. I I Εποµένως πράγµατι T (x ) K, και ο T είναι ϕραγµένος τελεστής µε T sup T. Μάλιστα είναι εύκολη άσκηση να δείξει κανείς ότι T = sup T. Αν κάθε T είναι ισοµετρία, τότε και ο T είναι ισοµετρικός. Παρατήρηση Αν H n, n N είναι κάθετοι ανά δύο υπόχωροι ενός χώρου Hlbert H, τότε το εσωτερικό ευθύ άθροισµά τους H n είναι ίσο µε το σύνολο H 0 = { x n : x n H n, x n 2 < } n και η απεικόνιση W : n H n H 0 : x n x n n είναι ισοµετρικός ισοµορφισµός. Για τον λόγο αυτό ταυτίζουµε το εξωτερικό µε το εσωτερικό ευθύ άθροισµα καθέτων ανά δύο υποχώρων 9 ενός χώρου Hlbert. Απόδειξη. Παρατηρούµε πρώτα ότι το σύνολο H 0 είναι καλά ορισµένο, γιατί αν x n H n, δηλαδή xn 2 < τότε τα µερικά αθροίσµατα s N = N x n της σειράς n x n αποτελούν ϐασική ακολουθία: πράγµατι αν m > n τότε s m s n 2 = m k=n+1 n=1 x k 2 (αφού τα x k είναι ανά δύο κάθετα). Επίσης έχουµε 2 n 2 n x k = lm x k = lm x k 2 = n n k=1 k=1 k=1 x k 2. Είναι τώρα ϕανερό ότι η W είναι καλά ορισµένη, γραµµική και ισοµετρική απεικόνιση από τον H n στον H και η εικόνα της είναι ακριβώς ο H 0. Συνεπώς ο H 0 είναι (πλήρης, άρα) κλειστός υπόχωρος του H και ϐεβαίως περιέχει κάθε H n, άρα και τη γραµµική τους ϑήκη. Αφού ο H 0 είναι πλήρης, έπεται ότι H n H 0. Αν όµως κάποιο y H είναι κάθετο σε κάθε H n, τότε είναι κάθετο και στον H 0, γιατί για κάθε x = x n H 0 έχουµε y, n x n = n y, x n = 0. Αρα τελικά ισχύει ισότητα: H n = H 0. 7 Αποδεικνύεται, ακριβώς όπως στην περίπτωση του l 2, ότι το ευθύ άθροισµα χώρων Hlbert είναι χώρος Hlbert. 8 Το άθροισµα της σειράς είναι εξ ορισµού το όριο του δικτύου των αθροισµάτων σε πεπερασµένα υποσύνολα του I, και η σειρά συγκλίνει διότι συγκλίνει απόλυτα, εφόσον ( F x, y )2 ( F x 2) ( F y 2) για κάθε F I πεπερασµένο. 9 Η παρατήρηση αυτή αληθεύει και για υπεραριθµίσιµες οικογένειες υποχώρων, αρκεί να ϑεωρήσουµε το άθροισµα ως το όριο του δικτύου {s F } των αθροισµάτων s F = x όπου F I πεπερασµένο. F Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 10 k=1 x

11 Επανερχόµαστε τώρα στη µελέτη του αυτοσυζυγούς τελεστή A B(H ). Ισχυρισµός Εστω K το (εξωτερικό) ευθύ άθροισµα L 2 (σ(a), µ ) και B := M f : K K. Τότε ο τελεστής A είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε τον τελεστή B µέσω της απεικόνισης U όπου ηλαδή έχουµε το µεταθετικό διάγραµµα: U = U : K = L 2 (σ(a), µ ) H = H. H = H A H = H U U M f L 2 (X, µ ) L 2 (X, µ ) Απόδειξη. Ο B είναι καλά ορισµένος και ϕραγµένος 10, µε B sup M f = sup f = A. Για κάθε g = g K έχουµε B( g ) = M f g, άρα (από την (*)) UB( g ) = U M f g = AU g = A( U g ) = AU( g ). είξαµε λοιπόν ότι UB = AU. A = UBU 1. Εφόσον η U είναι ισοµετρία επί του H, άρα αντιστρέψιµη, έπεται ότι Συνεπώς ο A είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε ένα ευθύ άθροισµα πολλαπλασιαστικών τελεστών. Μένει να αποδειχθεί ότι ο τελεστής B = M f είναι ορθοµοναδιαία ισοδύναµος µε έναν πολλαπλασιαστικό τελεστή σ έναν κατάλληλο χώρο L 2 (X, µ). Ο χώρος (X, µ) είναι η «ξένη ένωση» των χώρων (σ(a), µ ) που ορίζεται αναλυτικά ως εξής: Ορισµός Θέτουµε X = σ(a) {} και ονοµάζουµε S την σ-άλγεβρα των Borel υποσυνόλων του X. Εστω X = I X. Ορίζουµε την οικογένεια S και την απεικόνιση µ από τις σχέσεις S = {Y X : Y X S για κάθε I} µ : S [0, + ] : Y µ (Y X ). (Για συντοµία, ταυτίζουµε το Y X µε την προβολή του {λ σ(a) : (λ, ) Y X.) Ισχυρισµός Η οικογένεια S είναι σ-άλγεβρα υποσυνόλων του X και το µ είναι σ-προσθετικό (ϑετικό) µέτρο στην S. Απόδειξη. Είναι άµεσο ότι η S είναι άλγεβρα υποσυνόλων του X και ότι το µ είναι πεπερασµένα προσθετικό. Εποµένως αρκεί να αποδειχθεί ότι, αν (Y n ) είναι αύξουσα ακολουθία στοιχείων της S και Y = n Y n, τότε Y S και µ(y ) = lm n µ(y n ). Για κάθε I, εφόσον κάθε Y n ανήκει στην S, κάθε Y n X ανήκει στην S. Αρα n (Y n X ) S για κάθε. Αλλά n (Y n X ) = Y X, άρα Y S. 10 Παρατηρούµε ότι εφόσον f (λ) = λ (λ σ(a)) έχουµε f = sup{ λ : λ σ(a)} = A διότι ο A είναι αυτοσυζυγής. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 11

12 Για να δείξουµε ότι µ(y ) = lm n µ(y n ), παρατηρούµε ότι η (µ(y n )) είναι αύξουσα ακολουθία στο [0, + ] και µ(y n ) µ(y ) για κάθε n. Αρα αν µ sup n µ(y n ) έχουµε µ µ(y ). Για την αντίστροφη ανισότητα αρκεί, από τον ορισµό του µ(y ), να δείξουµε ότι F µ (Y X ) µ για κάθε πεπερασµένο υποσύνολο F του I. Παρατηρούµε ότι για κάθε, έχουµε sup n µ (Y n X ) = µ (Y X ) διότι (Y n X ) (Y X ) και το µ είναι σ-προσθετικό. Επεται ότι µ (Y X ) = sup µ (Y n X ) = sup µ (Y n X ) F F n n F sup n I µ (Y n X ) = sup n µ(y n ) = µ, άρα µ(y ) µ. Για κάθε I έχουµε ονοµάσει f L (σ(a), µ ) την συνάρτηση f (λ) = λ (λ σ(a)). Ορίζουµε τώρα την συνάρτηση f : X = (σ(a) {}) C : (λ, ) f (λ). Είναι ϕανερό ότι f L (X, µ) (µάλιστα f = sup f = sup{ λ : λ σ(a)} = A ). Ισχυρισµός Η απεικόνιση V : h (h X ) απεικονίζει τον L 2 (X, µ) ισοµετρικά επί του K = L 2 (σ(a), µ ) και B = V M f V 1. Απόδειξη. είχνουµε πρώτα ότι η V είναι καλά ορισµένος ορθοµοναδιαίος τελεστής. Εστω πρώτα Y S και χ = χ Y. Επεται από τον ορισµό του µέτρου µ ότι χdµ = µ(y ) = µ (Y X ) = χ Y X dµ = χ X dµ. X X X Λόγω γραµµικότητας, η ίδια ισότητα ισχύει αν χ είναι µία απλή ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Εφόσον οι απλές ολοκληρώσιµες συναρτήσεις είναι πυκνές στον L 1 (X, µ), για κάθε g L 1 (X, µ), g 0 έχουµε gdµ = g X dµ. X X Εποµένως αν h L 2 (X, µ) τότε h X L 2 (X, µ ) για κάθε άρα η h (λ) = h(λ, ) ανήκει στον L 2 (σ(a), µ ) και µάλιστα (χρησιµοποιώντας την τελευταία ισότητα για g = h 2 ) h 2 2 = h 2 dµ = h X 2 dµ = h 2 dµ, X X δηλαδή η οικογένεια h όπου h (λ) = h(λ, ) ανήκει στον L 2 (σ(a), µ ) = K και h 2 = h K. Συνεπώς η απεικόνιση V : L 2 (X, µ) K : h h είναι καλά ορισµένη ισοµετρία. Η V είναι επί γιατί ο m V περιέχει το πυκνό υποσύνολο όλων των g = g K όπου g = 0 εκτός από πεπερασµένο πλήθος δεικτών. Πράγµατι, για κάθε τέτοιο g, ορίζουµε την h στον X από τις σχέσεις h(λ, ) = g (λ) (λ σ(a), I) και παρατηρούµε ότι h L 2 (X, µ) και h(λ, ) = g (λ) για κάθε, άρα V h = g = g. σ(a) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 12

13 Ισχυρισµός Η απεικόνιση V : h h, όπου h (λ) = h(λ, ) απεικονίζει τον L 2 (X, µ) ισοµετρικά επί του K = L 2 (σ(a), µ ) και B = V M f V 1. Απόδειξη. είχνουµε ότι B = V M f V 1. Εστω g L 2 (X, µ) και g L 2 (σ(a), µ ) µε g (λ) = g(λ, ). Τότε V (g) = g και B(Vg) = B( g ) = M f g = f g, V (M f g) = V ( f g) = f g. Επεται ότι BV = V M f, άρα B = V M f V 1 διότι ο V είναι αντιστρέψιµος. Αν ονοµάσουµε W : L 2 (X, µ) H την σύνθεση W = U V : L 2 (X, µ) K H, τότε A = UBU 1 = U(V M f V 1 )U 1, δηλαδή A = W M f W 1. Εχουµε λοιπόν αποδείξει το Θεώρηµα (Φασµατικό Θεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές) Εστω A B(H ) αυτοσυζυγής τελεστής. Υπάρχει χώρος µέτρου (X, µ), συνάρτηση f L (X, µ) και ορθοµοναδιαίος τελεστής W : L 2 (X, µ) H ώστε A = W M f W 1. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 13

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Αβελιανές Αλγεβρες von Neumann Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Η έννοια του ϕάσµατος. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Η έννοια του ϕάσµατος. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Η έννοια του ϕάσµατος Αριστείδης Κατάβοος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 7 : Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Συµπαγείς τελεστές. Κεφάλαιο Τελεστές πεπερασµένης τάξης. n. Γράφουµε rank(t ) = n. Αν οι E, F είναι χώροι µε νόρµα, συµβολίζουµε

Συµπαγείς τελεστές. Κεφάλαιο Τελεστές πεπερασµένης τάξης. n. Γράφουµε rank(t ) = n. Αν οι E, F είναι χώροι µε νόρµα, συµβολίζουµε Κεφάλαιο 3 Συµπαγείς τελεστές 3.1 Τελεστές πεπερασµένης τάξης Ορισµός 3.1.1 Μια γραµµική απεικόνιση T : E F µεταξύ δύο γραµµικών χώρων E, F λέγεται τάξης n (n N) αν ο υπόχωρος T (E) = im T έχει διάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard. Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης nstam84@gmail.com 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Προκαταρκτικά Σώµα = Αντιµεταθετικό σώµα, χαρακτηριστικής µηδενός Τα σώµατα αυτά καλούνται και αριθµητικά σώµατα Θα τα συµβολίζουµε µε τα γράµµατα F, F, L κλπ Έστω ότι κάποια ανάγκη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 4 Μέρος 1. Η οµή Ενός

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Youg Ασπασία Κωτσογιάννη Περίληψη Ο µετασχηµατισµός Fourier Εστω f L. Ορίζουµε. fξ = π fxe ix ξ dx, ξ. Το ολοκλήρωµα Lebesgue στη σχέση. συγκλίνει για κάθε ξ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov Το ϑεώρηµα του Alexandrov Γιώργος Γιανναράκης και αυιδούλα ηµοπούλου Περίληψη Το 1939, ο Alexandr Alexandrov απέδειξε το ακόλουθο ϑεώρηµα : Εστω C R d ανοιχτό και κυρτό, f : C R µια κυρτή συνάρτηση. Τότε,

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων

Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Πτυχιακη Εργασια Ιωσηφιδης Ηλιας Α.Μ: 311/2329 Επιβλεπων : Τσολοµυτης Αντωνης A Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Σαµος 27 Εξεταστικη Επιτροπη : Τσολοµύτης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα