Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών"

Δελφίνια Παπάγος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 7 Ιουλίου 2015

2 1 χαρακτήρες

3 χαρακτήρες Ορισµός G οµάδα, (π, H) unitary αναπαράσταση της G. Λέµε χαρακτήρα της π την συνάρτηση χ π : G, που ορίζεται χ(x) = tr π(x) Πρόταση G οµάδα, (π, H) unitary αναπαράσταση της G. 1 χ π (e) = d π 2 χ π (x 1 ) = χ π (x) 3 χ π (yxy 1 ) = χ π (x) 4 Αν οι π και οι ρ είναι ισοδύναµες, χ π (x) = χ ρ (x).

4 Ορίζουµε το ακόλουθο εσωτερικό γινόµενο στον L 2 (G): Πρόταση (f g) = 1 f(x)g(x) x G G οµάδα, π, ρ unitary irreducible αναπαραστάσεις της G. 1 Αν οι π και ρ δεν είναι ισοδύναµες, (χ π χ ρ ) = 0. 2 Αν οι π και ρ είναι ισοδύναµες, (χ π χ ρ ) = 1.

5 Απόδειξη Αν οι π και ρ δεν είναι ισοδύναµες έχουµε π(x) = π ij (x), ρ(x) = ρ kl (x), χ π (x) = i π ii (x), χ ρ = i ρ kk (x) και (χ π χ ρ ) = 1 = 1 1 χ π (x)χ ρ (x) x G ( ) ( ) π ii (x) ρ kk (x) x G = 1 i ( ) π ii (x)ρ kk (x) i k x G ( ) π ii (x)ρ kk (x 1 ) = 0. i k x G k

6 Αν οι π και ρ είναι ισοδύναµες έχουµε (χ π χ ρ ) = (χ π χ π ) = 1 = 1 χ π (x)χ π (x) x G ( ) ( ) π ii (x) π jj (x) x G i ( ) ( ) = 1 π ii (x)π jj (x) = 1 π ii (x)π jj (x 1 ) i j x G i j x G ( ) 1 π ii (x)π ii (x 1 ) = 1 (/d π ) = 1. i x G j i

7 Πόρισµα G οµάδα, (ρ, H) unitary αναπαράσταση τ.ω. ρ = π n1 1 πn πnk k µε π i unitary irreducible αναπαραστάσεις µη ισοδύναµες ανά δύο. Τότε 1 (χ πi χ ρ ) = n i. 2 (χ ρ χ ρ ) = n n n 2 k. Πόρισµα G οµάδα, ρ unitary αναπαράσταση. Τότε η ρ είναι irreducible αν και µόνον αν (χ ρ χ ρ ) = 1.

8 Πόρισµα G οµάδα, π, ρ unitary αναπαραστάσεις. Τότε οι π και ρ είναι ισοδύναµες αν και µόνον αν χ π = χ ρ. Απόδειξη π = π n1 1 πn πnk k ρ = π m1 1 π m π mk k µε π i unitary irreducible αναπαραστάσεις µη ισοδύναµες ανά δύο. Τότε n i = (χ π χ πi ) = (χ ρ χ πi ) = m i.

9 Πρόταση G οµάδα, π unitary irreducible αναπαράσταση. Τότε η π είναι υποαναπαράσταση της λ µε πολλαπλότητα d π. Απόδειξη χ λ (x) = y G λ(x)e y, e y = y G e xy, e y. Αρα χ λ (x) = 0 αν x e και χ λ (x) = αν x = e. Εχουµε (χ λ χ π ) = 1 x G χ λ (x)χ π (x) = 1 χ λ(e)χ π (e) = d π.

10 Πόρισµα G έχει πεπερασµένο πλήθος unitary irreducible αναπαράστάσεων π 1, π 2,..., π k. Επιπλέον = d 2 π 1 + d 2 π d 2 π k

11 Ποιό είναι το k; Συµβολίζουµε H(G) τον χώρο των class functions. H(G) = {f : G G : f(yxy 1 ) = f(x), x, y G} Οι χαρακτήρες ανήκουν στον H(G). Πρόταση dim H(G) = c, όπου c το πλήθος των κλάσεων συζυγίας της G. Πρόταση π 1, π 2,..., π k οι unitary irreducible αναπαραστάσεις της G και χ 1, χ 2,..., χ k οι αντίστοιχοι χαρακτήρες. Τότε οι χ 1, χ 2,..., χ k αποτελούν ϐάση του H(G).

12 Λήµµα f H(G), π unitary irreducible αναπαράσταση. Τότε π(f) {π(x) : x G}. Αν π irreducible τότε Απόδειξη της Πρότασης π(f) = (χ π f) I d π (χ π f) = 0 π(f) = 0 για κάθε π Ĝ. Αρα λ(f) = 0. Εχουµε λ(f)e e = 0 x G f(x)λ(x)e e x G f(x)e x = 0 f = 0.

13 Πόρισµα G αβελιανή, Ĝ =.

14 1 Να υπολογιστεί το Ĝ. 2 Να µελετηθεί η λ. 3 Για f L 1 (G) να ϐρεθεί η f απο τα π(f).

15 Παραδείγµατα Z n Z n, ορίζουµε για k = 0, 1, 2,...n 1 π k : Z n C π k (m) = e 2πi km n Ẑ n = {π k : k = 0, 1, 2,...n 1} n 1 λ = π k k=0

16 Παραδείγµατα Ορίζουµε ˆf(k) = m Z n f(m)π k ( m) Εχουµε mk 2πi ρ m : Ĝ C, ρ m (π k ) = e n Ñ é ˆf(k)ρm0 (π k ) = f(m)π k ( m) ρ m0 (π k ) π k Zn k Zn m Z n Ö è = f(m) π k ( m)ρ m0 (π k ) m Z n π k Zn

17 Παραδείγµατα Ö = f(m) e m Z n π k Zn Αρα 1 Z n Κάθε σηµείο του Ẑn έχει µάζα (Μέτρο Plancherel). 2πi (m 0 m)k n è π k Zn ˆf(k)ρm0 (k) = f(m 0 ). 1 Z n. = nf(m 0 ).

18 Παρατήρηση Αν G αβελιανή, τότε Ĝ αβελιανή όµάδα µε πράξη τον κατά σηµείο πολλαπλασιασµό. Αν x G, τότε η ρ x : Ĝ C, που ορίζεται ρ x (π) = π(x) είναι unitary irreducible αναπαράσταση της Ĝ. Κάθε unitary irreducible αναπαράσταση της Ĝ είναι της µορφής ρ x για κάποιο x G. Αρα Ĝ = G (Pontryagin duality).

19 Παραδείγµατα D 4 π 0 (a) = π 0 (b) = 1 π 1 (a) = 1, π 1 (b) = 1 π 2 (a) = 1, π 2 (b) = 1 π 3 (a) = 1, π 3 (b) = 1 π 4 (a) = Ç å Ç 0 1, π 4 (b) = 1 0 å

20 character table χαρακτήρες D 4 χ 0 χ 1 χ 2 χ 3 χ 4 e b b b a ba b 2 a b 3 a

21 young tableux Young diagram, Young tableau, standard Young tableau, normal Young tableau Τα standard Young tableau για την S 3 είναι:

22 T standard Young tableau Row subgroup P T, Column subgroup Q T A T = x P T e x B T = x Q T sgn(x)e x C T = A T B T Ο χώρος L 1 (G)C T λέγεται Specht module. Η αριστερή δράση της S n είναι µια unitary irreducible αναπαράσταση της S n και κάθε unitary irreducible αναπαράσταση της S n είναι αυτής της µορφής για ένα µοναδικό Young diagram.

Σχετικά έγγραφα

Αναπαραστάσεις και χαρακτήρες πεπερασµένων οµάδων

Αναπαραστάσεις και χαρακτήρες πεπερασµένων οµάδων Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων Αθήνα, Φεβρουάριος-Μάρτιος 2016 Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων 1 Αναπαραστάσεις 2 3 4 Αναπαραστάσεις και πεπερασµένων οµάδων Ορισµός H χώρος Hilbert πεπερασµένης