(m, n) = 1 τότε Aut(H K) = Aut(H) Aut(K). Z(GL(2, R)), Z(SL(2, R)), Z(GL(n, R)), Z(SL(n, R)). } a b 0 c {( ) 1 b A = 0 1 {( ) a 0 D = 0 c T = } : b R
|
|
- Ἁλκυόνη Σεμέλη Σκλαβούνος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ασκήσεις στην Θεωρία Ομάδων 2 Μαίου 2014 Άσκηση 1 Δίνεται μια ομάδα G τάξης n και a 1, a 2,..., a n G. Δείξτε ότι υπάρχουν k, m N τέτοια ώστε 1 k m n και a k a 2...a m = 1. Άσκηση 2 Δίνεται μια ομάδα G και δύο υποομάδες K και H της G. Δείξτε ότι η HK είναι υποομάδα της G αν και μόνον αν HK = KH. Άσκηση 3 Δείξτε ότι μια ομάδα με εκθέτη 2 είναι αβελιανή. Άσκηση 4 Δίνεται μια ομάδα G και μια γνήσια υποομάδα H της G. Δείξτε ότι η < G H = G. Άσκηση 5 Δίνεται μια ομάδα G και δύο υποομάδες K και H της G. Θέτουμε G : H = m, G : K = n. Δείξτε ότι αν (m, n) = 1, τότε G : (H K) = mn. Άσκηση 6 Δείξτε ότι n N υπάρχει πεπερασμένο πλήθος ομάδων τάξης n. Άσκηση 7 Δίνεται μια ομάδα G και μια γνήσια υποομάδα H της G. Δείξτε ότι αν η H έχει δείκτη 2 στην G, τότε είναι κανονική. Άσκηση 8 Δίνεται μια ομάδα G και μια κανονική υποομάδα H της G. Δείξτε ότι η C G (H) είναι κανονική υποομάδα της G. ( ) Άσκηση 9 Δίνεται η μετάθεση ρ = της S Δείξτε ότι η ρ έχει τάξη 6. Είναι η ρ ισόμορϕη με την S 3 ; 1
2 ( ) Άσκηση 10 Δίνονται οι μεταθέσεις σ = και ( ) τ = της S Υπολογίστε τα στοιχεία στ, στ 2, στσ 1, σ 100 και τους αριθμούς σ, τ 2. Άσκηση 11 Βρείτε όλες τις υποομάδες της D 3. Άσκηση 12 Βρείτε όλες τις υποομάδες της D 4. Ποιές απο αυτές είναι κανονικές; Άσκηση 13 Δίνονται δύο πρώτοι αριθμοί p, q. Βρείτε το πλήθος των γεννητόρων της Z pq. Άσκηση 14 Βρείτε τους ομομορϕισμούς απο την Z 2 Z 2 στην Z 2. Άσκηση 15 Βρείτε τους ομομορϕισμούς απο την Z 2 Z 3 στην Z 6. Άσκηση 16 Δίνεται μια ομάδα G και s G τέτοιο ώστε S = G. Δείξτε ότι αν ϕ, ψ είναι ομομορϕισμοί απο την G σε μια ομάδα H, τότε ϕ = ψ αν και μόνον αν ϕ(s) = ψ(s) για κάθε s S. Άσκηση 17 Δίνεται μια μη αβελιανή ομάδα G. Δείξτε ότι η G/Z(G) δεν είναι κυκλική. Άσκηση 18 Δίνεται μια ομάδα G με τάξη p 2, όπου p πρώτος. Δείξτε ότι η G είναι αβελιανή. Άσκηση 19 Δίνεται μια αβελιανή ομάδα G τάξης n και r N με (n, r) = 1. Δείξτε ότι η απεικόνιση ϕ : G G που ορίζεται ϕ(g) = g r είναι ομομορϕισμός. ( ) 0 1 Άσκηση 20 Θεωρούμε τα στοιχεία a =, b = 1 0 GL(2, R). Βρείτε τις τάξεις των στοιχείων a, b, ab. ( ) της 1 1 Άσκηση 21 Θεωρούμε δύο ομάδες G, G και H G, H G. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας ομομορϕισμός ϕ τέτοιος ώστε ϕ(h) H. Δείξτε ότι υπάρχει ένας ομομορϕισμός ϕ : G/H G /H τέτοιος ώστε ϕ π = π ϕ, όπου π (αντιστ. π ) είναι η κανονική απεικόνιση G G/H (αντιστ. G G /H ). 2
3 Άσκηση 22 Βρείτε δύο αβελιανές ομάδες K και H και μια υποομάδα N της K H τέτοια ώστε N H = N K = 1, N {1. Άσκηση 23 Δίνεται μια πεπερασμένη ομάδα G. Δείξτε ότι αν Aut(G) = {1 τότε G 2. Άσκηση 24 Δίνονται δύο ομάδες H, K με H = m, K = n. Δείξτε ότι αν (m, n) = 1 τότε Aut(H K) = Aut(H) Aut(K). Άσκηση 25 Δείξτε ότι S n /A n {1, 1. Είναι η S n το ημιευθύ γινόμενο της A n με την {1, 1; Άσκηση 26 Υπολογίστε τις ομάδες Z(GL(2, R)), Z(SL(2, R)), Z(GL(n, R)), Z(SL(n, R)). Άσκηση 27 Δείξτε ότι GL(n, R)/SL(n, R) (R, ). Είναι η GL(n, R) το ημιευθύ γινόμενο της SL(n, R) με την (R, ); Άσκηση 28 Δείξτε ότι Z m Z n Z mn αν και μόνον αν (m, n) = 1. Άσκηση 29 Δείξτε ότι μια άπειρη κυκλική ομάδα δεν είναι το ευθύ γινόμενο δύο γνήσιων υποομάδων της. Άσκηση 30 Θέτουμε T = a b : a R, c R, b R 1 b A = a 0 D = : b R : a R, c R. Δείξτε ότι οι T, A, D είναι ομάδες με πράξη τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Δείξτε ότι A T και ότι T/A D. Είναι η T το ημιευθύ γινόμενο της A με την D; 3
4 Άσκηση 31 Θέτουμε a b G = GL(2, R) = c d T = Βρείτε τις ομάδες C G (T ), N G (T ). Άσκηση 32 Θέτουμε a b G = GL(2, R) = c d : a, b, c, d R, ad bc 0, a b : a R, c R, b R. T = Βρείτε τις ομάδες C G (T ), N G (T ). Άσκηση 33 Θέτουμε a b G = GL(2, R) = c d H (12) = Βρείτε τις ομάδες C G (T ), N G (T ). : a, b, c, d R, ad bc 0, a 0 : a R, c R. : a, b, c, d R, ad bc 0, a 0 : a R, c R. Άσκηση 34 Θέτουμε a b G = : a R, b R a 0 H = : a R 1 b K = : b R. Δείξτε ότι οι G, H, K είναι ομάδες με πράξη τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Δείξτε ότι K G και ότι η G είναι το ημιευθύ γινόμενο της H με την K. 4
5 Άσκηση 35 Υπολογίστε την Aut(Z p ) για p πρώτο. Άσκηση 36 Δείξτε ότι αν H = Z 3, K = Z 2 ισομορϕικές G ώστε η ακολουθία υπάρχουν ακριβώς δύο μη να είναι ακριβής. 1 H G K 1 Άσκηση 37 Δείξτε ότι αν H = Z 2, K = Z 3 υπάρχει ακριβώς μία G ώστε η ακολουθία να είναι ακριβής. 1 H G K 1 Άσκηση 38 Δίνεται μια υποομάδα G της S n. Δείξτε ότι αν η G περιέχει μια περιττή μετάθεση τότε η τάξη της G είναι άρτιος και το πλήθος των περιττών μεταθέσεων της G είναι G /2. Άσκηση 39 Δίνεται μια ομάδα G και τρείς κανονικές υποομάδες A, B, C της G με A B. Δείξτε ότι αν A C = B C και AC = BC τότε A = B. Άσκηση 40 Δείξτε ότι δεν υπάρχει απλή ομάδα τάξης 56. Άσκηση 41 Δείξτε ότι δεν υπάρχει απλή ομάδα τάξης 312. Άσκηση 42 Δίνεται μια πεπερασμένη ομάδα G και μια p-sylow υποομάδα P της G. Δείξτε ότι η P είναι η μοναδική p-sylow υποομάδα της G αν και μόνον αν P G. Άσκηση 43 Δίνεται μια πεπερασμένη ομάδα G, μια υποομάδα H της G και μια p-sylow υποομάδα P της G. Δείξτε ότι αν H G, P H, τότε P G. Άσκηση 44 Δείξτε ότι μια ομάδα τάξης p 2 q όπου p, q είναι πρώτοι περιέχει μια γνήσια κανονική υποομάδα διάϕορη της {1. Άσκηση 45 Δίνεται μια ομάδα τάξης p 2 q όπου p, q είναι πρώτοι. Υποθέτουμε ότι q < p και ότι ο q δεν διαιρεί τον p 2 1. Δείξτε ότι η G είναι αβελιανή. 5
6 Άσκηση 46 Δίνεται μια ομάδα πεπερασμένης τάξης G και μια γνήσια υποομάδα H της G. Δείξτε ότι g G ghg 1 G. Άσκηση 47 Δίνεται μια ομάδα πεπερασμένης τάξης G και δύο υποομάδες H και K της G. Δείξτε ότι HK = H K H K. Άσκηση 48 Δίνεται μια μηδενοδύναμη ομάδα πεπερασμένης τάξης G και μια υποομάδα H της G. Δείξτε ότι αν η H είναι μεγιστική, τότε H G και ο G/H είναι πρώτος. Άσκηση 49 Δίνεται μια μηδενοδύναμη ομάδα πεπερασμένης τάξης G και μια υποομάδα H της G. Δείξτε ότι αν η H είναι μεγιστική, τότε H G και ο G/H είναι πρώτος. Άσκηση 50 Δείξτε ότι η D n είναι επιλύσιμη. Είναι η D n μηδενοδύναμη; Άσκηση 51 Δίνεται μια ομάδα G τάξης pq όπου p, q είναι πρώτοι p q. Δείξτε ότι η G είναι επιλύσιμη. Άσκηση 52 Δίνεται μια ομάδα G τάξης p k όπου p είναι πρώτος. Δείξτε ότι η G είναι επιλύσιμη. Άσκηση 53 Δίνεται μια ομάδα G τάξης p 2 q όπου p, q είναι πρώτοι. Δείξτε ότι η G είναι επιλύσιμη. Άσκηση 54 Δίνεται μια ομάδα G τάξης pq n όπου p, q είναι πρώτοι με p < q. Δείξτε ότι η G είναι επιλύσιμη. Άσκηση 55 Δείξτε ότι αν η Aut(G) είναι μηδενοδύναμη, τότε και η G είναι μηδενοδύναμη. Άσκηση 56 Δείξτε ότι αν H G και H και G/H είναι επιλύσιμες, τότε η G είναι επιλύσιμη. Άσκηση 57 Αν H G και H και G/H είναι μηδενοδύναμες, είναι η G μηδενοδύναμη; 6
7 Άσκηση 58 Θέτουμε T n = {A GL(n, R) : a ij = 0 i > j R n = {A T n : a ii = 0 i = 1, 2,..., n. Δείξτε ότι η T n είναι επιλύσιμη αλλά όχι μηδενοδύναμη. Δείξτε ότι η R n είναι μηδενοδύναμη. Άσκηση 59 Δίνεται μια ομάδα G και δύο υποομάδες H και K της G. Δείξτε ότι αν οι H και K είναι επιλύσιμες και H G τότε η HK είναι επιλύσιμη. Άσκηση 60 Δείξτε ότι η S 4 είναι επιλύσιμη. Άσκηση 61 Δίνεται μια ομάδα G. Ενα στοιχείο x G λέγεται μη-γεννήτορας αν: Y G, < Y {x >= G < Y >= G. Εστω Φ(G) η τομή των μεγιστικών υποομάδων της G. Δείξτε ότι: 1. Φ(G) G. 2. Αν G <, τότε η Φ(G) είναι μηδενοδύναμη. 3. Φ(G) = {x G : x μη-γεννήτορας 7
834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013
834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 Περιεχόμενα 1 Βασικές Έννοιες 1 1.1 Ορισμοί - παραδείγματα.............................. 1 1.2 Υποομάδες και σύμπλοκα..............................
Διαβάστε περισσότερα834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013
834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 Περιεχόμενα 1 Βασικές Έννοιες 1 1.1 Ορισμοί - παραδείγματα.............................. 1 1.2 Υποομάδες και Σύμπλοκα..............................
Διαβάστε περισσότεραΑ Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013
Α Δ Ι Α - Φ 7 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Θεωρία Sylow Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Θεωρία Sylow 21 Τα Θεωρήματα Sylow Ορισμός 211 Μια ομάδα (G, ) τάξης p α, όπου
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p.
Κεφάλαιο 9 Οµάδες συγκεκριµένης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό ϑα εφαρµόσουµε τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κεφάλαια για να περιγράψουµε οµάδες τάξης pq, όπου p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί,
Διαβάστε περισσότεραΑ Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης
Α Δ Ι Ε Υ Μ Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 28 Ι 2014 Το παρόν κείμενο
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I
Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 31 Μαρτίου 2017 Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επεκτάσεις Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Επεκτάσεις Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 6 Επεκτάσεις Ομάδων 6.1 Προκαταρκτικές Έννοιες Σύμφωνα με το Θεώρημα 4.2.4
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Επιλύσιμες Ομάδες 41 Προκαταρκτικές Έννοιες 411 Ορισμός και Παραδείγματα
Διαβάστε περισσότερα(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =
ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο
Διαβάστε περισσότεραf(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m )
302 14. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες ως προς τη σχέση ισοµορφίας. Ε- πίσης ϑα αποδείξουµε ένα σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Το Θεώρημα Jordan Hölder 31 Προκαταρκτικές Έννοιες 311 Υποορθόθετες
Διαβάστε περισσότεραΦυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες
Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες Εσωτερικά και Εξωτερικά ευθέα Γινόμενα Α 1. Έστω η κυκλική ομάδα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα
Διαβάστε περισσότεραΠαρασκευή 6 Δεκεμβρίου 2013
Α Δ Ι Α - Φ 6 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi20/asi20.html, https://sites.google.com/site/mathsedu/home/algdom Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 20
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου
Διαβάστε περισσότεραΟµάδες-Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών
Κεφάλαιο 5 Οµάδες-Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών 5.1 Συνοπτική Θεωρία Στο παρόν Κεφάλαιο επικεντρωνόµαστε στις ϐασικές ιδιότητες των οµάδων πηλίκων και των Θεωρηµάτων Ισοµορφισµών Οµάδων και στις
Διαβάστε περισσότεραNilpotent οµάδες και Lie άλγεβρες. Α.Ι. Πάπιστας Τµήµα Μαθηµατικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης
Nilpotent οµάδες και Lie άλγεβρες Α.Ι. Πάπιστας Τµήµα Μαθηµατικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης 2 Περιεχόµενα 1 Επιλύσιµες και µηδενοδύναµες οµάδες 5 1.1 Ανώτερη κεντρική σειρά. Οµάδα µεταθέτης...........
Διαβάστε περισσότεραΑ Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R)
Α Δ Ι Α - Φ 8 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραΑ Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =
Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi06/asi06.html Πέµπτη Απριλίου 06 Ασκηση. Θεωρούµε τα
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε
Διαβάστε περισσότεραbca = e. H 1j = G 2 H 5j = {f G j : f(0) = 1}
Αλγεβρα Ι, Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Το [Α] συμβολίζει το φυλλάδιο ασκήσεων που θα βρείτε στην ιστοσελίδα του μαθήματος επιλέγοντας «Άλλες Ασκήσεις». 1. Πόσες
Διαβάστε περισσότεραΟµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών
Κεφάλαιο 6 Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε τις ϐασικές ιδιότητες της οµάδας πηλίκο µιας οµάδας ως προς µια κανονική υποµάδα, ϑα αποδείξουµε τα ϐασικά ϑεωρήµατα
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση
Διαβάστε περισσότεραΑναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών
6 Ιουλίου 2015 1 Οµάδες 2 3 οµάδες Οµάδες Παραδείγµατα (Z, +) (Z n, +) (R, +), (R, ), (R +, ) (T, ), T = {z C : z = 1} S n = {φ : N n N n, 1 1 και επί}, όπου N n = {1, 2,..., n}, µε πράξη την σύνθεση.
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραG = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n
236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην
Διαβάστε περισσότεραΑ Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),
Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου
Διαβάστε περισσότεραf : G G G = 7 12 = 5 / N. x 2 +1 (x y) z = (x+y+xy) z = x+y+xy+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+yz+xz+xyz.
Σ.Παπαδόπουλος 1 1 Βασικές έννοιες ομάδας Εστω G ένα σύνολο με G. Μία πράξη στο G είναι μία συνάρτηση f : G G G. Αντί f(x, y) γράφουμε x y και αν δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης xy. Είναι φανερό ότι σε
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος
Αλγεβρικες οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 22
Διαβάστε περισσότεραa = a a Z n. a = a mod n.
Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση
Διαβάστε περισσότεραg (v + W ) = gv + W gv = 0.
Ασκήσεις #1 Σε ότι ακολουθεί, G είναι πεπερασμένη ομάδα και V είναι C-διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης. 1. Δείξτε ότι η απεικόνιση G G G που ορίζεται θέτοντας g x = gxg 1 για g, x G αποτελεί
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Weddebu για ημιαπλούς δακτυλίους, αναπτύσσουμε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασμένων
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 31 Μαρτίου 2016 Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Διαβάστε περισσότεραΔακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.
Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)
Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 7
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 12 Μαίου 2017 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΔακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)
6 Δακτύλιοι και Πρότυπα 016-17 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i.
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Διαβάστε περισσότεραΝίκος Μαρμαρίδης. Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων
Νίκος Μαρμαρίδης Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων Λ 2013 Περιεχόμενα 1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου 5 11 Δράσεις και μετατακτικές Αναπαραστάσεις 5 12 Τροχιές και Σταθερωτές 10 121 Το Θεώρημα Burnside 12 13
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.
Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 7
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Διαβάστε περισσότεραΕπιλύσιµες και µηδενοδύναµες οµάδες
Κεφάλαιο 8 Επιλύσιµες και µηδενοδύναµες οµάδες Σύνοψη. Μελετώνται οι επιλύσιµες και οι µηδενοδύναµες οµάδες. Εισάγονται οι έννοιες των κανονικών και συνθετικών σειρών. Αποδεικνύεται το Θεώρηµα των Schreier,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε
Διαβάστε περισσότεραG 1 = G/H. I 3 = {f R : f(1) = 2f(2) ή f(1) = 3f(2)}. I 5 = {f R : f(1) = 0}.
Αλγεβρα ΙΙ, Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Φροντιστήριο 1. 1. Δίνεται η ομάδα G = Z 4 Z 8, το στοιχείο a = (1, 2) της G, και η υποομάδα H =< a > της G. Εστω G 1 = G/H.
Διαβάστε περισσότεραΑυτομορφισμοί ελεύθερων γινομένων με αμάλγαμα και εφαρμογές
113 Αυτομορφισμοί ελεύθερων γινομένων με αμάλγαμα και εφαρμογές Ιωάννης Τσουκνίδας επιβλέπων καθηγητής, κ. Δημήτριος Βάρσος Τμήμα Μαθηματικών, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, 2016 Στη γιαγιά
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια
Διαβάστε περισσότεραΘεώρηµα Sylow. Κεφάλαιο ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήµατος. (x, y) R x = ayb
Κεφάλαιο 7 Θεώρηµα Sylow Σύνοψη. Αποδεικνύεται το Θεώρηµα Sylow και αναπτύσσονται δύο τεχνικές που προκύπτουν από την εφαρµογή του. Γίνεται η ταξινόµηση των οµάδων µε τάξη το πολύ 15. Προαπαιτούµενη γνώση.
Διαβάστε περισσότεραΟµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» }
Κεφάλαιο 4 Οµάδες Μεταθέσεων 4.1 Συνοπτική Θεωρία Οι οµάδες µεταθέσεων επί ενός συνόλου και ιδιαίτερα επί του πεπερασµένου συνόλου { 12 n } αποτελούν µια από τις ϐασικότερες κλάσεις οµάδων. Στην παρούσα
Διαβάστε περισσότερα1 Η εναλλάσσουσα ομάδα
Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις
Διαβάστε περισσότεραΑναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών
8 Ιουλίου 2015 1 τοπολογικές οµάδες 2 3 4 τοπολογικές οµάδες Ορισµός Μια οµάδα G λέγεται τοπολογική οµάδα αν είναι εφοδιασµένη µε µια τοπολογία τ.ω. οι (x, y) xy και x x 1 να είναι συνεχείς. Παραδείγµατα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. ράση οµάδας. 5.1 Ορισµοί - Βασικές έννοιες. i. g 1 (g 2 α) = (g 1 g 2 ) α, g 1, g 2 G, α A
Κεφάλαιο 5 ράση οµάδας Από τον ορισµό της οµάδας συµµετρίας, S(X), ενός συνόλου Χ και ιδιαίτερα όταν το Χ είναι ένα γεωµετρικό σχήµα στον διδιάστατο ή τριδιάστατο χώρο διαπιστώνουµε ότι η οµάδα S(X) «δρα»
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη
Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη
Διαβάστε περισσότεραΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.
Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα
Διαβάστε περισσότεραΒασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )
Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 0-4 (εκδοχή 5--04) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόµενα σελίδα Ασκήσεις ιαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιµίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρηµα του Euler 7
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε
Διαβάστε περισσότεραΠοιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους
Διαβάστε περισσότεραΔώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας
Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης
Διαβάστε περισσότεραΑριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραa pn 1 = 1 a pn = a a pn a = 0,
Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 14 Ιανουαρίου 2015 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 60
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7. Σειρές Οµάδων. 7.1 Σειρές σύνθεσης. G = G 0 G 1 G 2 G n... G = G 0 G 1 G r = {e}. (7.1.1)
Κεφάλαιο 7 Σειρές Οµάδων Συχνά στα µαθηµατικά προκειµένου να µελετήσουµε ένα µαθηµατικό αντικείµενο το αναλύουµε σε απλούστερα συστατικά του. Οι ακέραιοι αριθµοί για παράδειγµα αναλύονται σε γινόµενο πρώτων
Διαβάστε περισσότερα(a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac, ad + bc)
ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Ασκήσεις 1. Δείξτε ότι ο a 1 διαιρεί τον a n 1 για κάθε a Z και κάθε n N. 2. Δίνονται οι ακέραιοι a = 126 και b = 434. (α Υπολογίστε το µκδ(a, b. (β Βρείτε x, y Z
Διαβάστε περισσότεραΑ Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26
Διαβάστε περισσότεραΒασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )
Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler
Διαβάστε περισσότερα1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1
Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =
Διαβάστε περισσότεραΗ οµή των Κυκλικών Οµάδων
Κεφάλαιο 4 Η οµή των Κυκλικών Οµάδων Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την κλάση των κυκλικών οµάδων, η οποία είναι η απλούστερη µη τετριµµένη κλάση οµάδων. Ιδιαίτερα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες θεώρημα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.
Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 7 Απριλίου 2017 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο
Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα. Στοιχεία από τη Θεωρία Οµάδων
Παράρτηµα I Στοιχεία από τη Θεωρία Οµάδων Ορισµός I.1. Ενα µη κενό σύνολο G λέγεται οµάδα (group) αν σε αυτό ορίζεται µία πράξη µε τις ακόλουθες ιδιότητες : : G G G, (a, b) ab α. Η πράξη είναι προσεταιριστική,
Διαβάστε περισσότεραa 11 a 1n b 1 a m1 a mn b n
Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 13 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 28/4/2014 ΧΚουρουνιώτης (ΠανΚρήτης) Διάλεξη 13 28/4/2014 1 / 14 Πίνακες πάνω από σώμα K Πίνακες πάνω από σώμα K Το σύνολο των m n
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017
ΜΑΣ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο 07-08, Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: ώρες 8 Νοεμβρίου, 07 Δίνονται 4 προβλήματα που αντιστοιχούν σε 0 μονάδες με άριστα το 00! ΟΝΟΜΑ: Αρ.
Διαβάστε περισσότεραf(x) = e x g(y) = log e y f(x 1 ) = f(x) 1 f(x k ) = f(x) k
287 13. Οµοµορφισµοί Οµάδων Στην παρούσα ενότητα ϑα µελετήσουµε απεικονίσεις µεταξύ οµάδων οι οποίες ϑα µας επιτρέψουν τη σύγκριση και την ταξινόµηση διάφορων κλάσεων οµάδων, ως προς τις δοµικές τους ιδιότητες.
Διαβάστε περισσότεραΥποοµάδες. Κυκλικές οµάδες
Κεφάλαιο 2 Υποοµάδες. Κυκλικές οµάδες Σύνοψη. ίνεται ο ορισµός της υποοµάδας µιας οµάδας, αποδεικνύεται το Θεώρηµα Cayley, εισάγονται οι έννοιες του συνόλου γεννητόρων µιας οµάδας και του δείκτη υποοµάδας
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου 11 Δράσεις και μετατακτικές Αναπαραστάσεις
Διαβάστε περισσότεραs G 1 ). = R, Z 2 Z 3 = Z6. s, t G) s t = st. 1. H = G 4. [G : H] = a G ah = Ha.
Αλγεβρα ΙΙ Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Ομάδες-Πηλίκο: Κρατήσαμε σταθερή μια ομάδα G με ταυτοτικό το ι και μια υποομάδα H της G. Συμβολίσαμε με G 1 το G/H (το σύνολο των αριστερών συμπλόκων
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος 3. Εισαγωγή 7
Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου. Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,
Διαβάστε περισσότερα1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι:
13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: n N {0}, ( ) + n = = n + ( ) και ( ) + ( ) = (**) Ονομάζουμε επικεφαλής συντελεστή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου f, τον συντελεστή f(i)
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οµοµορφισµοί Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 287 13. Οµοµορφισµοί Οµάδων Στην παρούσα ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΠορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4)
Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smh (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4 Θα δείξουμε εδώ ότι από την κανονική μορφή Smh πινάκων πάνω από περιοχή κυρίων ιδεωδών R, έπονται τα εξής Το Θεώρημα Βάσεων Το Θεώρημα Ανάλυσης
Διαβάστε περισσότερα