ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάννης Μαθηματικός ὁ γιγνώσκων γιγνώσκει τὶ ἢ οὐδέν;

Transcript

1 ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάννης Μαθηματικός ὁ γιγνώσκων γιγνώσκει τὶ ἢ οὐδέν;

2 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ 1. Να βρεθεί το: ) 5. Να βρεθεί το: π π 1 + 4) ) lnημ ) συν ) lnημ ) συν ) ln π ln ημ π 3 3. Να βρεθεί το: 9 9 π lnημ )) συν π ) ημ συν π ) ) συν π ln ημ π συνπ ln Εδώ βλέπουμε ότι η αντικατάσταση του με το 9, οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή. Ετσι, Επειδή 9 μπορούμε να θεωρήσουμε ότι > 0, οπότε ) + 3)

3 4. Να βρεθεί το: ΟΡΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ ) ) ) Να βρεθεί το: ημ3 ημ3 y 0 3ημ y y 3ημ3 3 ημ y 3 y 0 y Χρησιμοποιήθηκε η και θέσαμε 3 y 6. Να βρεθεί το: ημ5 εφ7 ημ5 εφ7 ημ5 συν7 ημ7

4 4 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ Άρα, συν7 5ημ συν7ημ ημ7 7 ημ7 ημ5 εφ7 5 7 ημ5 συν7 5 7 ημ7 5 7 ημ5 συν ημ 7. Να βρεθεί το: + ημ + 8. Να βρεθεί το: a ημ ημ a a 7 7 ημ7 5 7 ημ + ) 1 + ημ 1 Θέτουμε a + y οπότε a) y 0) και άρα, ημ ημ a a a h 0 ημa + y) ημ a h ημ aσυν h + συν aημ h ημ a h 0 h συν h 1 ημ h ημ a + συν a h 0 h h 0 h ημ a 0 + συν a 1 συν a

5 9. Να βρεθεί το: π 4 ΟΡΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 5 συν ημ ) π 4 Θέτουμε y π 4, οπότε π 4 y 0 και άρα, ) συν συν y + π π 4 ημ ) 4 π y 0 ημ y 4 συν y συν π 4 ημ y ) ημπ 4 y 0 ημ y συν y ) ημ y y 0 ημ y 1 συν y + ημ y y 0 ημ y 1 συν y + ημ y )) y 0 ημ y ημ y ) 1 συν y 1 + y 0 ημ y + ) 1 συν y y y 0 y ημ y συν y 1 y 0 y y 0 [ 10. Να βρεθεί το: 3 ημ 5 συν 10 ] y ημ y 0 1

6 6 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ 3 ημ 5 συν 10 ) 3 ημ 5 ) συν 10 ) υπό την προϋπόθεση ότι τα όρια στο δεύτερο μέλος υπάρχουν και δεν οδηγούν σε απροσδιόριστη μορφή. Υπολογίζουμε: Συνεπώς, 3 ημ 5 3 ημ ημ ) ) Ομοίως, 0 3 ημ 5 0 συν10 ημ 5 ) 3 ημ 5 3 ) 0 οπότε συν 10 συνεπώς, ) συν 10 ) 0 συν 10 ) 0 συν 10 ) 0 Άρα, 3 ημ 5 συν 10 ) 3 ημ 5 ) συν 10 ) 0

7 ΟΡΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ Να βρεθεί το: f), αν f) + ημ 1 f) + ημ f) ) ) f) 1 + ημ 1 + ημ Άρα, Συνεπώς, f) + ημ f) ) ) 1 + ημ f) 1 + ημ f) 3 f) + ημ Θέτουμε οπότε Τότε, f) 1 3 Δεύτερος τρόπος g) f) + ημ g) 1 1 f) 3 f) +ημ)g)+ f) + ημ g)+ f) 1 + ημ ) g)+ f) 1 + ημ ) g)+

8 8 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ Συνεπώς, f) 1 + ημ ) ) g) + 1+) Να βρεθεί το: 3 f), αν 3 f) Παρατήρηση:Επειδή το όριο του κλάσματος είναι πραγματικός αριθμός και το όριο του παρονομαστή μηδέν, πρέπει και το όριο του αριθμητή να είναι μηδέν με την προϋπόθεση πως υπάρχει). Ετσι, αν υπάρχει το f) θα ισούται με 11. Θέτουμε f) g) οπότε 3 g) 9 και Άρα, f) g) f) 6 54)g) + 11 f) )g) + 11 ) Να βρεθεί το: f), αν f) ) 4 Θέτουμε g) f) f) g) Επειδή g0 4 θα έχουμε f) g) + 5 1)

9 ΟΡΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ Να βρεθεί το: 1 f) αν 3 1 f) ), 0, ) 3 1 f) ) 3 1 ) f) ) ) f) 3 f) Να βρεθεί το: f) g)),αν f) Θέτουμε 5 και [g) + 10)] 3 f) h) f) )h) g) + 10) k) g) k) + 10 Παρατήρηση: Η τελευταία ισότητα ισχύει με την προϋπόθεση ότι δηλαδή όταν και 5. Μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε την ισότητα αυτή περιορίζοντας το πεδίο ορισμού της g σε μια περιοχή του η οποία δεν περιέχει το 5 και προφανώς για ). Για κάθε στην παραπάνω περιοχή, έχουμε k) f) g) )h) ) + 5) h)k) + 5 οπότε f) g)) h)k)

10 10 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ 16. Να αποδείξετε την πρόταση: «Αν υπάρχει M > 0 με την ιδιότητα g) M και τότε θα ισχύει: f) 0 a f) g)) 0» a ΑΠΟΔΕΙΞΗ: g) M M g) M f) 0 f) 0 a M f) g) f) M f) a M f) ) a f) g)) a M f) ) 0 a f) g)) 0 a f) g)) Αν µ, ν Z να εξετάσετε αν υπάρχει το f) όταν f) { ν + 1, 4µ, > f) + 4µ 16µ + f) ν + 1) 4ν + 1

11 Για να υπάρχει το f) θα πρέπει ΟΡΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 11 f) f) + δηλαδή 16µ 4ν + 1 η οποία είναι προφανώς αδύνατη στο σύνολο των ακεραίων. Συνεπώς δεν υπάρχει το f) 18. Αν f : R R να βρεθεί ο a R ώστε f) 4a 4 R, αν f) 4 Θέτουμε g) f) f) )g) + f) 4a 4 )g) + 4a ) + ) g) + + 4a 4 Το τελευταίο όριο είναι πραγματικός, όταν και μόνον όταν 4a) 0 a 1 Διαφορετικά:

12 1 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ Θέτουμε h) f) )g) + f) f) 4a 4 f) 4)h) + 4a f)) 4)h) + 4a ) 0 + 4a 4 4a a Να δείξετε ότι 0 f) 1 f) f) 1 Θέτουμε Άρα, 0. Να βρεθεί αν υπάρχει)το: ΑΠΟΔΕΙΞΗ: g) f) 1 f) + 1 f) + 1)g) f) 1 f)g) + g) f) 1 f)g) 1) 1 g) f) 1 + g) g) 1 f) g) g) g) + 1 f) g)

13 ΟΡΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 13 Επειδή το όριο του αριθμητή είναι 34 > 0 και το όριο του παρονομαστή είναι το μηδέν, το οποίο προσεγγίζεται με θετικές τιμές, τό ζητούμενο όριο είναι το +. Διαφορετικά: Γράφουμε την f χωρίς απόλυτη τιμή: f) Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια: < 7 f) Άρα f) + 7 f) Να βρεθεί αν υπάρχει)το: Επειδή 5 μπορούμε να θεωρήσουμε ότι + 3 > 0 οπότε f) 3 5

14 14 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ Υπολογίζουμε πλευρικά όρια: f) f) Συνεπώς, δεν υπάρχει το ζητούμενο όριο.. Να βρεθεί αν υπάρχει)το: 3 λ, λ R Ο παρονομαστής έχει όριο το μηδέν λαμβάνοντας μόνον θετικές τιμές. Ο αριθμητής έχει όριο το 1 λ. Συνεπώς, αν 1 λ > 0 1 > λ θα είναι Αν θα είναι τέλος, αν f) + 1 λ < 0 1 < λ f) 1 λ 0 1 λ

15 τότε Άρα, ΟΡΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 15 f) 3 1 f) 3 ) + ) { 3 + ) > 3 + ) < Υπολογίζουμε πλευρικά όρια και έχουμε f) 1 1 f) + Συνεπώς, για λ 1 δεν υπάρχει το f) 3. Να βρεθεί αν υπάρχει)το: λ) 3 Προφανώς Επειδή λ) + 4 ) λ λ ) λ 1 ) 1 λ ) 1 λ λ 1 4λ 4

16 16 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ όταν 1 4λ > 0 θα έχουμε λ) 3 + Αν 1 4λ < 0 θα έχουμε λ) Αν 1 4λ 0 λ 1 4, θα έχουμε λ) + 4) + 4 ) )) Άρα, ) ) ) ) + και επομένως δεν υπάρχει το ζητούμενο όριο. 4. Να βρεθεί αν υπάρχει)το: 4 εφ Το όριο του αριθμητή είναι προφανώς ίσο με 4. Το όριο του παρονομαστή ισούται με μηδέν, το οποίο προσεγγίζεται από θετικές τιμές όταν 0 +, και από αρνητικές τιμές όταν 0. Συνεπώς, τα πλευρικά όρια είναι αντίστοιχα + και, οπότε το ζητούμενο όριο δεν υπάρχει.

17 5. Να βρεθεί αν υπάρχει)το: ΟΡΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ Με απλή εφαρμογή του κανόνα για το όριο όταν + ρητής συνάρτησης, έχουμε ότι το ζητούμενο όριο ισούται με μηδέν. 6. Να βρεθεί αν υπάρχει)το: ημ Επειδή 1 ημ 1 1+ ημ ημ ημ αφού > 0), θα έχουμε ημ ημ ημ

18 18 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ 7. Να βρεθεί αν υπάρχει)το: Αρχικά παρατηρούμε ότι έχει έννοια η αναζήτηση του ορίου όταν αφού το υπόρριζο για αρκετά μικρό )είναι θετικό ) Το επειδή θεωρούμε το αρνητικό). Συνεπώς: Να βρεθεί αν υπάρχει)το: εφ ) Θέτουμε y 1 οπότε + y 0 + και εφ 1 y εφy 1 ημy y συνy 1 ημy συνy y

19 Συνεπώς, ΟΡΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 19 y Να βρεθεί αν υπάρχει)το: ) εφ 1 συνy ημy y 0 + y 3 συν ημ 1 ημ ημ Επίσης, ημ ημ συν 1 συν συν Παρατηρούμε ακόμη πως οι όροι των παραπάνω ανισοτήτων είναι θετικοί, οπότε πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη λαμβάνουμε: Επειδή συν ημ

20 0 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε 3 συν ημ 1 Διαφορετικά: 3 συν ημ Υπολογίζουμε: 1 συν 1 Συνεπώς, 3 συν 3 συν ημ ) ημ 30. Να βρεθεί αν υπάρχει)το: ημ + 5 ) 1 συν 1 3 συν + 5 ) ημ ) ημ + 1 ημ ) 0 ημ

21 Από τον τύπο έχουμε: ΟΡΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 1 ημ A ημ B ημ A B συν A + B ημ ημ ημ συν ημ ) συν Επειδή 1 ημ ) συν συν και ημ ) ημ 1 συν θα έχουμε γινόμενο φραγμένης επί μηδενική), ημ ) + 1 ημ ) ) ημ Να βρεθεί το πολυώνυμο f) που ικανοποιεί τις σχέσεις: f0) 4, f) + a, f) + a β R, β 0

22 o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ - ΚΑΡΡΑΣ Επειδή f) + a R οι όροι του κλάσματος είναι πολυώνυμα του ιδίου βαθμού, επομένως, f) k + λ + µ Επειδή f0) 4 είναι µ 4. Επίσης, οπότε k. Αν τώρα a από την έχουμε k + λ 4 + a + λ 4 + a λ + 4 a + k λ + 4 a + β λ aβ + β 4 άρα f) aβ + β Αν a τότε το f) θα πρέπει να έχει παράγοντα το συνεπώς θα ισχύει f) ) + ν) και Άρα ν β 4. f) + ν) 4 + ν Αντικαθιστώντας βρίσκουμε f) + β 8) + 8 β. Επειδή 8 β 4 θα πρέπει β 6, οπότε f) 4, τιμή που προκύπτει από την f) + aβ+β 4 4 για a. Τελικά: f) + aβ + β 4 4

23 ΟΡΙΑ - ΚΑΡΡΑΣ 3 3. Να βρεθεί το [λ 1) 3 + λ + 1) 3λ + 5], λ R Θέτουμε f) λ 1) 3 + λ + 1) 3λ + 5 Το f) είναι πολυώνυμο, επομένως το ζητούμενο όριο εξαρτάται από το πρόσημο του συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου του. Αν λ 1 > 0 λ, 1) 1, + ) τότε f) + Αν λ 1 < 0 λ 1, 1) τότε f) Αν λ 1 τότε και άρα Αν λ 1 τότε και άρα f) f) + f) f) +