Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΔΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΜΕ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ GALTON

Transcript

1 Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΔΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΜΕ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ GALTON Αποστόλης Παπανικολάου Άρης Μαυρομμάτης Καθηγητές Μαθηματικών Εθνικής Εστίας Επιστημών, Εστιών Γνώσης Χαλκίδας και Πάτρας Περίληψη : Με την παρούσα δημοσίευση προτείνουμε μια διδακτική δραστηριότητα εισαγωγής στην κανονική κατανομή, ως οριακής μορφής της αντίστοιχης διακριτής δυωνυμικής, με τη βοήθεια του αλληλεπιδραστικού εκθέματος (ΑΕ) γνωστού ως «τρίγωνο Galton» (Galton Board ή Quinqunxpc). Οι ιδιότητες της κανονικής κατανομής δίνονται ως απλές πληροφορίες, χωρίς καμία εξήγηση, για πρώτη φορά στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, στα Μαθηματικά Γ Λυκείου Γενικής Παιδείας. Η προσπάθειά μας είναι να δώσουμε μια ευλογοφανή δικαιολόγηση αυτών των ιδιοτήτων χρησιμοποιώντας την προσέγγισή της από την Δυωνυμική κατανομή χρησιμοποιώντας το «τρίγωνο του Galton». Το θέμα μπορεί να παρουσιασθεί και σε μικρότερες τάξεις ως ένα ανεξάρτητο πρόβλημα στις απλούστερες μορφές του, ανάλογα με το γνωστικό επίπεδο των μαθητών εγγράφοντας υποθήκες για την πλήρη μελέτη του στη Γ λυκείου η αργότερα στο Πανεπιστήμιο.

2 Σχήμα (Το ΑΕ)

3 Εισαγωγή - Θεωρητικό υπόβαθρο A) Σχετικά με τις έννοιες της δυωνυμικής και κανονικής κατανομής Η προτεινόμενη δραστηριότητα αφορά την κατανόηση της κανονικής κατανομής και των ιδιοτήτων της ως ορίου της δυωνυμικής κατανομής, όπως αυτό νομιμοποιείται από το γνωστό ως τοπικό οριακό θεώρημα των De Moivre-Laplace. Το θεώρημα αυτό απέδειξε, ο Abraham De Moivre το733 για p =/ και, εκατό περίπου χρόνια αργότερα, το 8, ο Laplace για κάθε p (0, ). Ο Carl Gauss ( ) ανακάλυψε πάλι επίσης την καμπύλη. Βρήκε τόσες πολλές χρήσεις γι αυτήν, ώστε έγινε γνωστή ως καμπύλη του Gauss - Gaussian. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων των Gauss οδήγησε σε μια αρχική εξίσωση, όμως η τελική μορφή της που χρησιμοποιεί την τυπική απόκλιση s, αποδείχθηκε από τον Pearson ( ). Οι ανθρωπολογικές μετρήσεις του Lambert-Adolphe-Jacques Quatelet ( ) οδήγησαν στην υπόθεση ότι όλα τα βιολογικά μεγέθη εμφανίζονται με συχνότητα που διέπεται από την (τότε ονομαζόμενη αλλά και σήμερα) κατανομή Gauss. Η κατανομή αυτή ονομάσθηκε γι αυτό το λόγο κανονική κατανομή. Όλες αυτές οι αναζητήσεις έθεσαν τις βάσεις για τη διατύπωση και απόδειξη του Κεντρικού οριακού θεωρήματος (ΚΟΘ) που αργότερα διατυπώθηκε και αποδείχθηκε από τον Ρώσο μαθηματικό Lyapunov την περίοδο Το τρίγωνο που αποδίδεται στον Blaise Pascal (63-66) δημοσιεύθηκε το 653, όμως ήταν γνωστό αιώνες νωρίτερα. Μια από τις πολλές χρήσεις του είναι για την εύρεση των συντελεστών στα δυωνυμικά αναπτύγματα. Ο Jacques Bernoulli ( ) βρήκε το τρίγωνο Pascal χρήσιμο για τις κατανομές πιθανότητας των διωνυμικών δοκιμών (σταθερός αριθμός ίδιων και επαναλαμβανόμενων ανεξάρτητων δοκιμών, με δύο πιθανές εκβάσεις). [,,3,4,5]. Το «τρίγωνο του Galton» είναι μια συσκευή επίδειξης μιας τυπικής δυωνυμικής κατανομής, για την περιγραφή της οποίας αρχικά χρησιμοποιούνται απλοϊκές περιγραφές των δειγματικών χώρων για τις απλοποιημένες περιπτώσεις. Στη συνέχεια αφού χρησιμοποιηθεί το τρίγωνο του Pascal, η δραστηριότητα θα οδηγηθεί στην εξαγωγή ως εικασίας της οριακής μορφής της κανονικής 3

4 κατανομής, οι ιδιότητες της οποίας όμως θα εισαχθούν έτσι μέσω μιας ιστορικογενετικής δραστηριότητας και όχι σαν απλής «άνωθεν» πληροφορίας. Πιο συγκεκριμένα : Στη σελίδα 76 του διδακτικού εγχειριδίου Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου [5] εισάγεται η έννοια της κανονικής κατανομής, ως εκείνης που η καμπύλη συχνοτήτων της παρουσιάζει «κωδωνοειδή» συνεχή και ομοιόμορφη μορφή. Κατόπιν στη σελίδα 95 του ίδιου εγχειριδίου αναφέρονται οι βασικές ιδιότητες της κανονικής κατανομής που αφορούν τα ποσοστά της τυπικής απόκλισης. Ποια είναι η απάντηση που θα μπορούσε να δοθεί στην εύλογη απορία ενός μαθητού για το ποια είναι ακριβώς η κανονική κατανομή και από πού προκύπτουν αυτές οι ιδιότητες; Β) Σχετικά με τη διαδικασία της διδασκαλίας με τη χρήση ΑΕ Η αξία της διαμεσολάβησης αισθητών αντικειμένων και φαινομένων για την ανακάλυψη και κατανόηση μιας μαθηματικής έννοιας, χωρίς να γίνεται το άλμα από την φανταστική-αφηγηματική ή έστω και εικονική παρουσίαση ενός προβλήματος που οδηγεί σε μια τέτοια έννοια έχει επισημανθεί από τον Martin Wagenschein : "A lesson must begin with a real phenomenon and not with a verbose description of the thing. This is the only way secure knowledge can develop. «the éminence grise of science education, phenomena and intellectual constructs develop hand in hand. Teach phenomena first and last - without them your theories are empty. Abstract explanatory concepts, which are not derived from phenomena (i.e. that come about "naturally ), tend to be misunderstood as esoteric. Σχετικά επίσης με το ρόλο των ΑΕ ως προκλήσεων στη διδασκαλία των Μαθηματικών μέσα κι έξω από την τάξη γίνεται αναφορά στο άρθρο Icmi Study 6 [6] Martin Wagenschein (3 December 896 in Gießen, Germany 3 April 988 in Trautheim) was a science educator who worked in mathematical and scientific didactics. 4

5 Προτού προχωρήσουμε στην περιγραφή της προτεινόμενης δραστηριότητας θεωρούμε σκόπιμο να αναφερθούμε στο διδακτικό περιβάλλον, τις διδακτικές καταστάσεις και τις βασικές διαφοροποιήσεις των παραμέτρων της όλης διδακτικής «νοόσφαιρας» που θα πρέπει να έχει κατά νου ο διδάσκων, όταν χρησιμοποιεί για τη διδασκαλία αλληλεπιδραστικά εκθέματα (ΑΕ), ώστε να έχει την ικανότητα και δυνατότητα παρέμβασης, διότι η όλη διαδικασία υπάρχει κίνδυνος να εκτραπεί σε ένα παιχνίδι χωρίς διδακτική χρησιμότητα και γενικά απώλεια του ελέγχου της τάξεως. Από τη μέχρι σήμερα υπερδεκαετή μας εμπειρία διδασκαλίας με αλληλεπιδραστικά αντικείμενα επισημαίνουμε εν συντομία βασικές παραμέτρους οι οποίες επηρεάζουν μια τέτοια διαδικασία:.συνυπευθυνότητα Η μεταβίβαση μεγάλου μέρους της υπευθυνότητας του δασκάλου στους μαθητές για την αναζήτηση της γνώσης σωστά έχει τονισθεί και είναι η αρχή για μια επιτυχημένη πορεία προς την αναζήτηση της γνώσης. Μια τέτοια μεταβίβαση από τον καθηγητή και αντίστοιχη αποδοχή της συνυπευθυνότητας από τους μαθητές είναι πιο εύκολη σε ένα περιβάλλον που χρησιμοποιεί παιγνιώδεις κατασκευές. Ο καθηγητής καλεί τους μαθητές ουσιαστικά να παίξουν ένα παιχνίδι γνώσης.. Διατύπωση αληθινά πραγματικού προβλήματος από τους ίδιους τους μαθητές και όχι ενασχόληση με πραγματικό πρόβλημα που αφηγείται ο καθηγητής στους μαθητές. Η αξία της λύσης προβλημάτων και μάλιστα πραγματικών προβλημάτων (problem solving, and real problem solving) είναι πλέον πέραν πάσης αμφισβήτησης στη Διδακτική των Μαθηματικών. Οι μαθηματικές έννοιες προκύπτουν ως προϊόντα ανάγκης της ανθρώπινης σκέψης για την επίλυση προβλημάτων, τα οποία όμως διαμορφώνονται από την αλληλεπίδραση των ίδιων των μαθητών με «χειροπιαστά αντικείμενα» και όχι από τους διδάσκοντες καθηγητές, όπως κατά κανόνα σε ένα παραδοσιακό μάθημα. 5

6 Αποδίδουμε ιδιαίτερη σημασία στο να προκύψει η διατύπωση αλλά και η επεξεργασία του προβλήματος ως αποτέλεσμα διαλόγου και ανάγκης της σκέψης των μαθητών. Το φαινόμενο Topaze παραμονεύει σε κάθε φάση της διδακτικής δραστηριότητας, ιδιαίτερα όμως αν συμβεί εδώ ακυρώνει το διδακτικό συμβόλαιο που άτυπα έχει γίνει στο κεφαλαιώδες θέμα της αποδοχής της συνυπευθυνότητας. Ένα πρόβλημα που τελικά θα απαντηθεί από τον καθηγητή έχει πολύ λίγες ελπίδες να αποτελέσει αντικείμενο ειλικρινούς αναζήτησης και κυρίως ευχάριστης συζήτησης. 3. Αβεβαιότητα (uncertainty) Η χρησιμότητα της αβεβαιότητας ως δυναμικής διδακτικής κατάστασης αναγκαίας (αλλά όχι και ικανής) για την ανάπτυξη της σκέψης έχει επισημανθεί από τον Piazet, τον Dweey αλλά και την Zaslavsky [7]. Η κατάσταση που προκαλεί αμφιβολία, δισταγμό, κλονισμό της πίστης στις υπάρχουσες γνώσεις και κυρίως στις αισθήσεις είναι μια νοητική πρόκληση, μια ανισορροπία (disequilibrium) η οποία τείνει να αποκατασταθεί ακριβώς με την αναζήτηση της γνώσης εκείνης που θα επαναφέρει την ισορροπία. Η αβεβαιότητα στοχεύει πλην των άλλων στην συμμόρφωση και όχι στην αφομοίωση ασύνδετης συσσωρευμένης ύλης. [8] Το ΑΕ ενεργεί ακριβώς έτσι. Μια άγνωστη κατασκευή, ένα παιχνίδι που προκαλεί κάποιον να παίξει μαζί του, τον οδηγεί να βιώσει αυτήν ακριβώς την αβεβαιότητα και να αισθανθεί την ανάγκη ελέγχου του, άρα τη γνώση του λόγου της ύπαρξης και κατασκευής του. Η αβεβαιότητα όμως αυτή δεν έχει μονή κατεύθυνση δηλ. μόνο το μαθητή. Το ενδιαφέρον είναι ότι αφορά και το δάσκαλο, ο οποίος μέσα από το διάλογο με τους μαθητές και στην κοινή προσπάθεια να ανακαλυφθεί ο εσωτερικός μαθηματικός νόμος που διέπει ένα φαινόμενο, ανακαλύπτει νέα ερωτήματα που δεν είχαν περάσει από τη σκέψη του. Εδώ θα πρέπει να σημειώσουμε ότι έχουμε βιώσει παρόμοιες καταστάσεις και βέβαια συμφωνούμε με την παρατήρηση των Holton & Tomas : «ο δάσκαλος κάνει τις πιο παραγωγικές του ερωτήσεις όταν βρίσκεται ο ίδιος σε αβεβαιότητα».[9] «Topaze effect», has been described above as giving away the answer in the question in teaching, comes from a play by Marcel Pagnol, written in 98, in Paris. 6

7 Όλα τα προηγούμενα έχουν και την αρνητική τους επίπτωση αν δεν χειρισθούν κατάλληλα με κυριότερο θέμα την κατάλληλη διαχείριση του χρόνου. Είναι προφανές ότι τέτοιες διαδικασίες απαιτούν περισσότερο χρόνο από μια παραδοσιακή διδασκαλία, ενώ χρειάζεται μια συνεχής εγρήγορση και διαχείριση του χρόνου, ώστε ούτε να εκπέσουν σε παρουσιάσεις χωρίς ενεργό συμμετοχή των μαθητών αλλά ούτε και σε ατέρμονες διαδικασίες χωρίς κατάληξη στους επιθυμητούς διδακτικούς στόχους. Περιγραφή της δραστηριότητας : Στο τρίγωνο του Galton καλούμε τους μαθητές σε πρώτη φάση να προβλέψουν διαισθητικά την κατανομή των μεταλλικών σφαιριδίων κατά την κατακόρυφη πτώση τους από τον επάνω τριγωνικό χώρο στον κάτω και τανάπαλιν. Κάθε σφαιρίδιο κατέρχεται από την κορυφή του τριγώνου και κατολισθαίνει προσκρούον σε Ν σειρές των εμποδίων κινούμενο αριστερά ή δεξιά με πιθανότητα / και όλα μαζί συσσωρεύονται σε Ν+ «θήκες» κάτω από την τελευταία γραμμή εμποδίων. Κατά κανόνα παρατηρείται μια ασυμφωνία και μια αβεβαιότητα στις προβλέψεις τους. Αβεβαιότητα που οφείλεται ακριβώς στην αρχική οπτική διαισθητική τους προσέγγιση και όχι σε κάποια λογική διαδικασία. Μια τέτοια λογική επεξεργασία, είναι ειδικά σε αυτό το ΑΕ, αρκετά δύσκολο να γίνει από τους μαθητές χωρίς καμιά αρχική βοήθεια, γιαυτό και δίνουμε ένα πρώτο επίπεδο βοηθείας καλώντας τους και υιοθετώντας τις στρατηγικές επίλυσης Polya [0] να υποδείξουν μια απλούστερη εκδοχή του προβλήματος ελαττώνοντας την πολυπλοκότητα. Για την διευκόλυνση χρήσης της παραπάνω στρατηγικής είναι χρήσιμο να χρησιμοποιήσουμε τον εξομοιωτή του τριγώνου Galton. Στη διάταξη αυτή έχουμε την επιπλέον δυνατότητα να αυξομειώνουμε κατά το δοκούν τον αριθμό των σειρών εμποδίων και να βαδίσουμε έτσι από τις απλούστερες προς τις συνθετότερες περιπτώσεις : 7

8 Σχήμα. Μια από τις εξομοιώσεις του τριγώνου Galton από τις πολλές που μπορεί να βρει κανείς στο διαδίκτυο. ΣΤΑΔΙΟ Λύση απλοποιημένου προβλήματος : Εάν εκτελούσαμε τη διαδικασία με λιγότερες σειρές εμποδίων όπως φαίνεται παρακάτω τι αποτελέσματα θα έπρεπε να αναμένουμε και γιατί; Με ποιο μαθηματικό μοντέλο μπορούμε να εξηγήσουμε τα αποτελέσματα; 8

9 9

10 Σχήματα 3 και 4 με αντίστοιχα μια και δύο σειρές εμποδίων και αντίστοιχα και τρεις συλλέκτες σφαιριδίων Ερώτημα : Αν αφήναμε να πέσει ένα μόνο σφαιρίδιο πόσες είναι οι δυνατές διαδρομές που θα μπορούσε να κάνει μέχρι να καταλήξει στους συλλέκτες; Η απάντηση βέβαια είναι εύκολη για τις τρεις πρώτες περιπτώσεις : 0

11 Σχήματα 4,5,6 Η πρόβλεψη για την τελευταία επαληθεύεται πειραματικώς με την εικονκή διάταξη :

12 Σχήμα 7

13 Σχήμα 8 Η καταμέτρηση γίνεται δύσκολη όσο αυξάνεται ο αριθμός των σειρών των εμποδίων, οπότε εισάγεται ένα νέο ερώτημα : Μπορούμε να περιγράψουμε με κάποιο κατάλληλο μοντέλο τη διαδικασία για μεγαλύτερη τιμή του αριθμού Ν των σειρών; (Ουσιαστικά ζητείται μια καταγραφή του δειγματικού χώρου) Εκκινούμε πάλι από τα απλούστερα : Ν= : Ω= {α,δ} (α =αριστερά), (δ =δεξιά) Ν= : Ω= { [αα], [αδ,δα], [δδ] } Ν=3 : Ω= { [ααα],[ααδ,αδα, δαα,],[αδδ, δαδ,δδα] [δδδ] } Ν=4 : Ω= {[αααα],[αααδ,ααδα, αδαα,δααα], [ααδδ, αδαδ,δαδα, αδδα, δααδ, δδαα], [αδδδ,δαδδ,δδαδ,δδδα], [δδδδ] } 3

14 Πειραματική επαλήθευση Σχήμα 9 4

15 Σχήμα 0 (Ν=4) Ερώτημα : Τι γίνεται όταν το Ν παίρνει μεγαλύτερες τιμές; Μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση τιμή μ και τη διασπορά s της αντίστοιχης κατανομής; Μπορούμε να υπολογίσουμε το αναμενόμενο ποσοστό των σφαιριδίων στα διαστήματα: [ μ-s,μ+s], [μ-s,μ+s], [μ-3s,μ+3s]; 5

16 ΣΤΑΔΙΟ Από την επεξεργασία των 4 πρώτων περιπτώσεων προκύπτει ότι ο αριθμός των δυνατών διαδρομών προκύπτει από το τρίγωνο του Pascal : Σχήμα Με βάση τα δεδομένα από το τρίγωνο του Pascal έχουμε τους παρακάτω υπολογισμούς : 6

17 Σχήμα Η πειραματικώς παρατηρηθείσα κατανομή : 7

18 Σχήμα 3 8

19 Σχήμα 4 Ανάλογα με τον δυνατό χρόνο μπορούμε να περάσουμε σε υπολογισμούς για μεγαλύτερες τιμές του Ν όπου θα φανεί η σταδιακή προσέγγιση των τιμών της κανονικής κατανομής. Aν συνεχίσουμε τους υπολογισμούς μας με μεγαλύτερο πλήθος θα καταλήξουμε [μ-s,μ+s] 68% [μ-s,μ+s] 95% [μ-3s,μ+3s] 99,7% Πίνακας 9

20 Δηλαδή στις τιμές που δίνονται από τα βιβλία για την κανονική κατανομή. Στη φάση αυτή εκτελούμε το πείραμα έχοντας τώρα όλες τις θεωρητικές δυνατότητες να προβλέψουμε με μεγάλη ακρίβεια την αναμενόμενη συμπεριφορά κατανομή των σφαιριδίων ως προς τις θέσεις στις οποίες αναμένεται να κατανεμηθούν στις διάφορες θέσεις υποδοχείς αναστρέφοντας το τρίγωνο του Galton. Θεωρητικότερη επεξεργασία Βελτίωση του μοντέλου: Αν όπου α (αριστερά) θέσουμε 0 και όπου δ (δεξιά) θέσουμε ο δειγματικός χώρος για 4 οριζόντιες σειρές με 5 θήκες είναι : [0000], [000,000,000,000], [00,00,00,00,00,00], [0,0,0,0], [] 0

21 Στην περίπτωση των Ν σειρών εμποδίων με Ν+ θήκες αντίστοιχα έχουμε : [00...0], θήκη0 Ν φορές [00...0, ,...,00...0], θήκη [00...,...,00...0], θήκη ή έ... [0...,0...,0...,...0], θήκη Ν [...] θήκη Ν Ν φορές Στην κ θήκη έχουμε δυνατές διαδρομές. Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι : ( )

22 Τοπικό οριακό θεώρημα για διωνυμική κατανομή των de Moivre Laplace : 0. p,q, q p, N, e pq q p N Npq Np k k N k Θέτοντας x Npq Np k έχουμε 0.,p,q q,p N, e pq q p N x k N k [] Στην περίπτωσή μας για p = q = ½ είναι : 4 ) ( e ) (

23 3 και θέτοντας Δηλαδή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας παίρνει τη μορφή της τυποποιημένης κανονικής κατανομής. [3] ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ (μ=0,s=, τυποποιημένη κανονική κατανομή) x e x f x ) ( x 4 ) ( N e e ) ( x 4

24 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [] Fischer Hans, A History of the Central Limit Theorem, Springer 00. [] Papoulis Athanasios, Probability and Statistics, Prentice Hall 990 p. 70. [3] Tijms, Henk (004) Understanding Probability: Chance Rules in Everyday Life, Cambridge: Cambridge University Press p.6 [4] Hald, Anders (998). A History of Probability and Statistics and Their Applications before 750 (Wiley Series in Probability and Statistics) John Wiley & Sons, Inc. p [5] Stigler Stephen, The history of statistics, The Measurement of Uncertainty before 900, The belknap press of Harvard University press, [6] Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής (ΟΕΔΒ) [7] Challenging Mathematics in and beyond the classroom: Discussion document- Educational Studies in Mathematics (005) 60 : [8] Orit Zaslavsky (005), Seizing the Opportunity to Create Uncertainty in Learning Mathematics, in Educational Studies in Mathematics, 60, p [9] Γιώτα Ξανθάκου- Μαρία Καΐλα: Το δημιουργικής επίλυσης πρόβλημα,, εκδόσεις Ατραπός, 00, σελ. 40 [0] D. Holton and G. Thomas (00), Mathematical interactions and their influence on learning. In: Clarke (ed), p [] G. Polya, "How to Solve It", nd ed., Princeton University Press, 957. [] Feller, W. (968) An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Wiley. p.8 [3] Κάκουλλου Θ. Μαθήματα Θεωρίας Πιθανοτήτων, Αθήνα 975, 4