MEHANIKA FLUIDA Skripta za studente Tehničkog fakulteta u Rijeci Luka Sopta Lado Kranjčević

Transcript

1 MEHANIKA FLUIDA Skipta a studente Tehničkog fakulteta u Rijeci Luka Sopta Lado Kanjčeić Rijeka, 006.

2 SADRŽAJ. Statika fluida. Osnoe dinamike fluida 3. Stujanje idealnog fluida 4. Stujanje ealnog fluida u cijei 5. Optjecanje tijela

3 UVOD Mateija se dijeli na čstu, tekuću i plinoitu. U čstom stanju mateije molekule se nalae u kistalnoj ešetki s malim stupnjem slobode gibanja. U tekućem stanju molekule imaju eću slobodu gibanja i mogu aueti poioljan oblik adžaajući isti olumen, a u plinoitom stanju molekule mogu aueti poioljan posto. Najeći dio semia je u fluidnom stanju. Galaksije, ijede i planete u ećem dijelu se pomataju kao fluid. Atmosfea, oceani, moa, jeea i ijeke su fluidi. Unutašnjost emlje je u fluidnom stanju. Za gotoo se industijske gane ažna je mehanika fluida: automobilska, aionska, bodogađena, kemijska industija, enegetika Čojekoo tijelo je ećim dijelom fluid. Za medicinu je od elike ažnosti ponaanje stujanja ki i dugih fluida u tijelu. Definicija fluida: fluid je mateija koja se defomia a poioljno malo tangencijalno napeanje (Sl..). τ τ Kutina τ > 0, ( x Fluid, t) 0 τ > 0, ( x, t) > 0 Sl... STATIKA FLUIDA Statika fluida se bai fluidom u stanju mioanja. Fluid je u stanju mioanja ako postoji koodinatni susta u kojem je bina čestica fluida u sakoj točki jednaka nuli.. Osnoni akoni statike fluida U statici fluida ijede da osnona akona:.suma sila na sako tijelo fluida jednaka je nuli..suma momenata na sako tijelo fluida jednaka je nuli. ukupni fluid Ω ΔS ω ΔF S Δm n t ΔF m ΔS Sl.. Sl..3 Sile u mehanici fluida dijele se na [Cauchy]: - masene ili tjelesne sile, u onaci F m, (gaitacija, inecijalna sila, centifugalna sila, Coiolisoa sila, elektomagnetska sila) - kontaktne ili pošinske sile, u onaci F s.

4 Gustoća masene sile, u onaci f, se definia u sakoj točki pomatanog tijela fluida kao f ΔFm ΔFm 0, 0 0 lim lim, Δm 0 Δm ΔV 0 ρδv ( x y, ) gdje je Δm masa tijela ΔV koje sadži točku (x o, y o, o ) i Δ F m masena sila na to tijelo (Sl..). Gustoća kontaktne sile, u onaci t, se definia u sakoj točki tijela fluida kao t ΔFS, lim, ΔA 0 ΔS ( x y, ) gdje je ΔS pošina difeencijalnog dijela anine definiane točkom (x, y, ) i nomalom n, te Δ F S kontaktna sila na ΔS (Sl..3). U osnona da akona statike fluida, koji su ujedno osnoni akoni statike bilo kojeg kontinuuma, potebno je definiati konstitutinu elaciju a fluid koja se očituje u definianju tenoa napeanja. Fluid u stanju mioanja nema tangencijalnih napeanja, odnosno gustoća kontaktne sile u poioljnoj točki (x, y, ) fluida kolineana je ektou nomale a poioljno adanu aninu u točki (x, y, ) (Sl..3), tj. t,. ( x y ) t n 0 0, Inteitet gustoće kontaktne sile oe se tlak i onačaa se sa p. Stoga: t 0 ( x, y ) p n 0 0, Intenitet tlaka ne mijenja se s pomjenom položaja plohe u pomatanoj točki. Kad fluid miuje, sila na plohu je okomita i tlak je uijek isti, kako god postaili plohu Δ s. Tlak je temeljna aijabla u mehanici fluida. 0 Tlak u točki (x, y, ), p(x,y,), definian je omjeom inteniteta kontaktne sile i pošinom plohe. Osnona jedinica a tlak je paskal, u onaci Pa, i jednaka je kocijentu sile od jednog njutna i pošine od jednog meta kadatnog, Pa (paskal) N/m. Često se koisti i jedinica ba 0 5 Pa.. Osnona jednadžba statike fluida Euleoa jednadžba gad p ρ f Euleoa jednadžba pedstalja susta difeencijalnih jednadžbi: p ρ f x ρ f y x p p ρ f y Zadatak statike fluida sastoji se u tome da se i Euleoe jednadžbe statike fluida u ponatu f - gustoću olumne sile i ρ - gustoću (mase), iačuna aspodjela tlaka p(x,y,). 3

5 Euleoa jednadžba iažaa akonitost da je najeća pomjena tlaka ( gad p) u miujućem fluidu u smjeu masene sile f. Gadijent tlaka je ekto okomit na iobau (plohu jednakog tlaka)..3 Fluid konstantne gustoće u polju sile teže Važan slučaj je slučaj fluida konstantne gustoće (homogenog fluida) u konstantnom polju sile teže. Koodinatni susta definian je tako da je f gk, gdje je g 9,8 m/s ubanje sile teže (Sl..4). ak oda x y p 0 Iobae f g. k Sl..4 Miujući fluid u polju sile teže Euleoa jednadžba napisana po komponentama glasi: p p p 0, 0, ρg. x y I pe dije jednadžbe ilai da je p funkcija samo aijable, tj. p p ( ). Teća difeencijalna jednadžba je: Opće ješenje oe jednadžbe je dp ρg. d p ( ) ρg C. Konstanta integacije C se odeđuje i ponaanja tlaka u jednoj točki fluida. Za 0, pema slici Sl..4 tlak je p p 0 pa slijedi ijednost konstatne integacije C: p ( 0) p C. 0 I pethodnog iaa idljio je: Iobae, plohe jednakog tlaka, su anine C, gdje je C poioljan boj, odnosno iobae su anine okomite na smje sile teže. Na odedenoj dubini fluida h tlak je: p ( ) p ρgh 0. 4

6 .4 Mjeenje tlaka Baometa Baometa je instument a mjeenje atmosfeskog tlaka. Pincip baometa [Toicelli, 643] je pikaan na Sl..5. Cije dužine m napunjena je žiom i uonjena u posudu sa žiom. Žia u cijei se spusti na isinu H, pibližno 760 mm, inad pošine žie u posudi. C p 0 h B A p atm žia Hg Sl..5 Pema Sl..5: p p (atmosfeski tlak) A atm p, p C 0 ( akuum), p p ρ g h B p A 3 patm pb ρ Hg gh 3600kg / m 9.8N / kg 0.76m Pa. 0396ba B C Hg 5 Manometa Manometa je instument koji mjei tlak pomoću stupca fluida. Pincip ada manometa je pikaan na Sl..6. Sa slike moguće je aključiti: ak p atm A H h B C oda Sl..6 p B p p ρ C C fluida gh p atm p B p A Difeencijalni manometa Za difeencijalni manometa pema Sl..7 slijedi: p C ( x Δh) p ρ g, p p ρ g x ρ g Δh A D B m 5

7 Sl..7 Iobaa poučena ko točke C i D daje p p. Slijedi: C D p A p B ( ρ ρ) g Δh m U slučaju da u cijei Sl..7 stuji ak, a mjeni fluid je oda, gonji ia a aliku tlakoa moguće je apoksimiati p p ρ g Δh, pošto je mjeni fluid (oda m oda aliku tlakoa mjeimo (ak ρ ρ ). A B m ρ ρ ) u oom slučaju pibližno tisuću puta gušći od fluida čiju ak.5. Relatino mioanje fluida Jednoliko ubanje fluida. Pomata se fluid u posudi koja se giba konstantnim ubanjem a, (Sl..8) Čestice fluida miuju u koodinatnom sustau eanom a spemnik. Gustoća masene sile je: Sl..8 f a g Euleoa jednadžba glasi: 6

8 gad p ρ f ρ, ( a g) odnosno po komponentama: p p ρa 0 x y p ρg I duge jednadžbe slijedi ( x ) p p,. Integacijom i pe jednadžbe slijedi Uštaanjem u teću jednadžbu dobije se: Konačno se može napisati p dp d p ρ ax ϕ() ρ g,. ϕ( ) ρg C p ρ ax ρ g C. Konstanta C se odeđuje i ponaanja tlaka u poioljnoj točki fluida. Iobae su anine (u XZ anini paci): ρ ax ρ g C 0 Ako fluid ima slobodnu pošinu, onda je ona jedna iobaa. Kut θ iobaa u odnosu na hoiontalnu aninu može se iačunati i elacije: a tan θ. g Rotacija fluida. Fluid u posudi otia (Sl..9) konstantnom kutnom binom ω. Čestice fluida miuju u koodinatnom sustau koji je ean a posudu. 7

9 Gustoća masene sile je sada gdje je Sl..9 f g a c centifugalno ubanje. Teba uočiti da se f g ac a c mijenja po smjeu i inteitetu počeši od osi otacije do uba posude. U cilindičnom koodinatnom sustau (gdje je ishodište sustaa na dnu posude, a osi i usmjeene kako je pikaano na slici Sl..9) je i gadijent tlaka f ω e 0 e ϕ ( g)k. p p gad p e e ϕ ϕ p k. Euleoe jednadžbe po komponentama glase: p p ρω 0 ϕ p ρ g I duge jednadžbe slijedi p p(,). Integacijom pe jednadžbe dobija se p (, ) ρ ω ψ ( ) gdje je ψ() poioljna funkcija aijable. Ako se naedeni ia usti u teću jednadžbu, nalaimo: Konačno, polje tlaka je definiano elacijom: dp dψ ρ g, odnosno ψ ρ g C d d p (, ) ρ g ρω C. 8

10 Konstanta integacije C se dobije i ponaanja tlaka u poioljnoj točki fluida (np. na pošini fluida pp 0 ): p (, ) ρ ω ρ g ( Z 0 ) p Iobae, plohe konstantnog tlaka, su otacijski paaboloidi: 0 ω Z 0. g Ako fluid ima slobodnu pošinu, onda je ona iobaa otacijski paaboloid. Volumen otacijskog paaboloida jest pola olumena aljka isine Z R gdje je (Sl..9): V R π, R Z R ω R Z R. g.6. Sile fluida na anu plohu Na dio anine A teba iačunati silu F. Na da djeluje sila df (Sl..0): u smjeu nomale n Sl..0 df p da n. Ukupna sila je (ekto nomale u oom slučaje je konstanta): F n A pda, 9

11 a intenitet sile jednak je: F F pda. Za slučaj fluida konstantne gustoće u konstantnom gaitacijskom polju tlak je definian elacijom: A p ρ gh p p ρ g y sinα 0, p 0 h y sinα Sada a silu ijedi: F ( p ρg y sinα) dxdy ρ gsinα yda p0 da p0 A ρ gsinα 0 ydxdy, A A A A Teoem o sednjoj ijednosti daje: y dxdy y T A, A gdje je y T odinata težišta T(x T,, y T ) pošine A. Slijedi fomula a iačun sile na dio anine A: F p0 A ρ g sinα y T A Centa tlaka Centa tlaka je točka P(x P, y P ) a koju ijedi: M x y P F, M y x P F gdje su M x, M y momenti oko osi-x i osi-y. Kako je ukupni moment oko x-osi pomjenjie sile po pošini A : M x A dm x A ydf A ypda A y( p0da ρ g y sinα da) p0 yda ρ g sinα y A A da slijedi da je: gdje je I xx (moment inecije pema osi x ): y P F ρ g sin α I xx p0 yt A, ρ g sinα I xx p0 yt A y P ρ g sinα y A p A xx A T y dxdy Na analogan način moguće je dobiti i x-koodinatu centa tlaka : I 0 0

12 x pda ρ gsinα x ydxdy p0 xdxdy ρ gsinα I xy x F p0 x P A A A x P ρ gsinα I xy ρ gsinα y T p 0 x A p T 0 A A, T A pi čemu je: I xy A xydxdy podukt inecija obiom na osi x i y. Za slučaj da je anjski tlak p o isti s obje stane plohe (Sl..) ijedi: F p0 A ρg yt A sinα F p0 A F F ρg yt A sinα F ρ g yt sinα A y I y ρg sinα A ρg sinα P xx T I y T xx A. p 0 F p 0 F Sl.. Tlak p 0 s obje stane plohe Tanslacijom koodinatnog sustaa x-y u težište plohe A dobije se noi koodinatni susta ξ η. Ako se moment inecije I xx iai pomoću I xx y T A Iξξ, gdje je Iξξ moment inecije pema osi ξ koja polai ko težište plohe, slijedi: Slično, dobije se i y P y I yt A ξξ, tj. y A P y T T I y ξξ T A x P Iξη xt, y A T gdje je Iξη podukt inecija obiom na koodinatni susta koji polai ko težište plohe. Iae a moment inecije I ξξ i podukt inecija I ξη a aličite geometijske likoe moguće je očitati u ećini adekatnih piučnika.

13 .7. Sile fluida na plohu Na dio plohe S, ds, djeluje sila df u smjeu ektoa nomale (Sl..): fluid Δ F n S S ΔS Sl.. df p ds n. Ukupna sila je: F df S S pnds. Vekto nomale može se napisati kao n n i n j n k x y pi čemu je n x cos α, n y cos β, n cos γ, a α, β, γ kutei koje ekto nomale ataa sa koodinatnim osima. Sila po komponentama: F x pnxds pdyd, F y pny ds pddx, F pn ds pdxdy S A x pi čemu su A x, A y, i A odgoaajuće pojekcije plohe S u anine y, x i xy. S A y S A.8. Ugon Ukupna kontaktna sila miujućeg fluida na tijelo koje pluta ili je potopljeno u njemu oe se ugon. Ukupna kontaktna sila fluida na tijelo jednaka je: F ρ fluida g V tijela U F ρgv tijela k odnosno, sila fluida na tijelo, ugon (U), ne oisi o gustoći (mateijalu) tijela, nego o gustoći fluida, gaitacijskom ubanju i olumenu tijela. Ako je težina tijela eća od ugona, G > U, tijelo tone, ako je težina tijela jednaka ugonu, G U, tijelo lebdi u fluidu, a ako je težina tijela manja od ugona, G < U, tijelo ianja. Nakon što je tijelo ionilo njegoa težina je jednaka ugonu, i ijedi, np. a tijelo na ganici kapljeine i plina (ode i aka), sljedeće (Sl..3):

14 U ρ gv gv G ρ ak oda ρ ρ Ω V V Sl..3 U oom slučaju gustoća ode se može pisati: ρ 000 m kg / 3 U ρ g V, natno je eća od gustoće aka G ρ,9 kg / m 3 te tj. ugon je jednak težini istisnute ode koju istiskuje dio tijela uonjen u odu. Ugon djeluje uijek etikalno pema goe i nema hoiontalne komponente. Pimje fiktina pošina fluida Gonja ploha D D G E F G E F TIJELO C TIJELO C A A B B Donja ploha Sl..4 Pimje ačunanja ugona a tijelo djelomično uonjeno u fluid Ako na slici Sl..4 onačimo plohu CDA kao gonju plohu tijela i plohu ABC kao donju plohu tijela, ugon na tijelo, potpuno ili djelomično potopljeno u fluidu, jednak je alici etikalne komponente sile fluida na donju plohu tijela i etikalne komponente sile fluida na gonju plohu tijela. Sila na goe koja djeluje na donju plohu tijela jest, FG ρ fluida g VABCFGA, gdje je V ABCFGA olumen imeđu donje plohe tijela i pošine fluida (ealne ili fiktine.). Sila na dolje, koja djeluje da gonju plohu je F ρ g V, gdje je V AEGA olumen imeđu gonje plohe tijela i pošine fluida (ealne ili fiktine). Ugon je jednak alici: U F G FD tj. a dani pimje na slici Sl..4 U ρ fluida g VABCFEA. D fluida AEGA 3

15 . OSNOVNI ZAKONI DINAMIKE FLUIDA Jedna od najažnijih aijabli fluida jest bina. Položaj odeđene čestice dan je ektoom položaja Sl.. (Sl..)koji je funkcija emena (ako se čestica giba). Vemenska deiacija položaja daje binu čestice d / dt. Računanje bina xyt (,,, ) sih čestica daje polje bina. Dije su osnone metode opisa stujanja (Sl..). U poj, Euleooj metodi, pomata se fiksno podučje, kontolni olumen Ω tj. analiia se stanje u fiksnim točkama podučja Ω. Duga, Lagangeoa metoda pati gibanje pojedine čestice i analiia kako se osobine fluida eane a tu česticu mijenjaju kao funkcija emena. (Kao ilustacija aličitosti oih diju metoda može poslužiti pimje i biologije, np. onitološko pomatanje migacija ptica. Euleoa metoda bi ahtijeala postaljanje osmatačke postaje i mjeenja peleta boja ptica u odeđenom emenu, dok bi Lagangeoa metoda načila postaljanje adio odašiljača na odeđene ptice i paćenje njihoog gibanja.) Općenito, u mehanici fluida koisti se Euleoa metoda opisa stujanja, dok se Lagangeoa metoda koisti u posebnim slučajeima. Važna je činjenica da su osnoni akoni fiike definiani a čestice, a njih teba a potebe mehanike fluida peesti u odgoaajući opis polja (stanja, aspodjele) odeđene fiikalne eličine u postou (dijelu postoa kontolnom olumenu). Sl..A Polje bina kod Euleoog opisa stujanja Sl..B Lagangeo opis stujanja Mateijalne čestice, mateijalni olumen i kontolni olumen Najjednostanije fome uniealnih fiikalnih akona odnose se na mateijalnu česticu koja je toliko malena da su bina, gustoća ρ i ostala imanentna sojsta unifomna unuta nje. Osnoni akoni očuanja a mateijalnu česticu mogu se iaiti: - akon očuanja mase: d ( ρδ V ) 0 ; dt d ρ ; dt - akon očuanja količine gibanja: ( δv ) δf 4

16 - akon očuanja momenta količine gibanja: ( ρ δv ) δf d - akon očuanja enegije(pi akon temodinamike): ( ρ eδv ) δw δq dt gdje je e totalna enegija (unutanjakinetičkapotencijalna) po jedinici mase, δw ad učinjen na ganicu mateijalne čestice, a δq toplina doedena mateijalnoj čestici na njenoj ganici. U gonjim iaima očuanja δ indicia infiniteimalno malenu eličinu, a d/dt se odnosi na emensku deiaciju. Potebno je pojasniti da pojam akon očuanja uistinu pedstalja očuanje eličine samo u slučaju akona očuanja mase dok bi u ostala ti akona adekatniji bio pojam akon anoteže. Pojam akon očuanja ipak se koisti ukaujući na odeđene analogije pema akonu očuanja mase. U dinamici fluida kao kontinuumu potebno je poopćiti akone očuanja a mateijalnu česticu na mateijalni olumen. Mateijalni olumen je susta beskonačnog boja beskonačno malenih mateijalnih čestica i uijek (u sakom emenskom tenutku) se sastoji od istih čestica. Zakon očuanja mase iažen a mateijalni olumen jest D ρ dv 0, Dt MV d dt akon očuanja količine gibanja D Dt ρ dv F MV, MV akon očuanja momenta količine gibanja D Dt ρ dv i akon očuanja enegije (tj. pi akon temodinamike) D Dt MV M MV ρ et dv Q& MV W& MV. MV D Objašnjenje pojma mateijalne deiacije Dt Mateijalna deiacija naia se još i supstancijalna, indiidualna ili puna deiacija. Opeato D Dt t ( ) jest opeato mateijalne deiacije. Pimjena mateijalne deiacije na neku skalanu eličinu ϕ daje Dϕ ϕ (a) Dt odnosno aspisano u kateijskom koodinatnom sustau ( )ϕ t 5

17 Dϕ ϕ Dt t x ϕ x y ϕ y ϕ. ϕ U iau (a) pi član desne stane pedstalja binu pomjene eličine u adanoj točki postoa te se t naia lokalnom ili mjesnom deiacijom. Dugi član desne stane ( )ϕ pedstalja pomjenu eličine ϕ bog pomjene položaja čestice u postou i naia se konektinom deiacijom. U odeđenom smislu D mateijalna deiacija Dt onačuje emensku pomjenu koju osjeća pomatač koji se giba ajedno s fluidom (česticom fluida), dok kontolnim olumenom. U mehanici fluida često se koisti pojam totalnog ubanja gdje onačuje pomjenu koju bi osjećao pomatač koji np. miuje ajedno s t D a ( ) Dt t pedstalja lokalno ubanje, a ( ) t konektino ubanje. Pi stacionanom stujanju ne postoji lokalno ubanje. Član konektinog ubanja može se matematičkim tansfomacijama ektoske algebe napisati u obliku ( ) ( ) gad ( ). (b) U sa četii pethodna iaa akona očuanja a mateijalni olumen koisti se član oblika D Φ dv Dt MV u kojoj Φ pedstalja neku eličinu po jedinici olumena (masu, količinu gibanja, moment količine gibanja, enegiju) koja je po integiana po mateijalnom olumenu MV i eultat atim deiian mateijalnom deiacijom D/Dt po emenu. Pi stujanju fluida mateijalni olumen se giba i defomia, a s njim i mateijalna pošina koja je neponata funkcija u emenu se dok i sam poblem nije iješen. Pošto je foma mateijalnog olumena nepogodna a pimjenu u inženjestu nameće se poteba definianja sistema po ibou pomatača na koji će se moći pimijeniti akoni očuanja. Zato se definia pojam kontolnog olumena. 6

18 tt MV(t) CV tt MV(t) CV MV(t3) tt3 CV Sl... Odnos mateijalnog i kontolnog olumena Kontolni olumen Kontolni olumen (CV) je poioljno, teoetski definiani olumen oganičen kontolnom pošinom CS u kojem se odeđuju dinamički i temodinamički učinci fluida. Ko kontolni olumen tijekom emena polae aličiti mateijalni olumeni Sl... Kontolna pošina ogađuje dio postoa i u odeđenom koodinatnom sustau može biti statična, može se gibati, ekspandiati ili kontahiati, oisno o želji pomatača. Kontolni olumen i kontolna pošina analogni su Euleoom opisu stujanja fluida, dok pojam mateijalnog olumena odgoaa Lagangeoom opisu stujanja. Često se uima da ganice kontolnog olumena (onačene CS) koincidiaju dijelom sa čstim ganicama (Sl..3 stijenka S 3 ), a dijelom su postaljene okomito na smje stujanja (Sl..3, A, A ), adi pojednostaljenja. Tansfomacija mateijalnog u kontolni olumen Reynoldsoim tanspotnim teoemom Reynoldso tansfomacijski teoem omogućuje tansfomaciju fundamentalnih akona a mateijalni olumen na kontolni olumen. Osnona petpostaka a tansfomaciju je da mateijalni olumen i kontolni olumen koincidiaju u odeđenom emenskom tenutku, kao na sednjoj slici na Sl... Nakon tenutka koincidencije da olumena se potokom emena iše neće poklapati pošto će mateijalni olumen biti odstujan dalje skupa s česticama koje njega čine, dok će kontolni olumen mioati ili se gibati pema odluci pomatača. Za poedbu tansfomacije od inteesa je jedino tenutak kada se da olumena poklapaju. Zapisano matematički Reynoldsoa tansfomacija jest D Dt gdje Φ pedstalja neku općenitu eličinu. Φ t ΦdV dv Φ MV CV CS nds 7

19 Zakon očuanja mase Pimjenom Reynoldsoog tanspotnog teoema, i fomulacije a mateijalni olumen, dolai se do fomulacije akona očuanja mase a kontolni olumen eane u Euleo opis stujanja. Općenita eličina Φ amjenjuje se gustoćom tj., Φ ρ pa slijedi CV ρ dv t CS ρ nds 0 što se fiikalno može intepetiati tdnjom da je poećanje mase unuta kontolnog olumena plus istjecanje mase i kontolnog olumena ko njegou ganicu jednako nuli u sakom tenutku. Sl..3 Dio cijei, kontolni olumen Pimjenom teoema Gaus Ostogadskog na dugi član gonjeg iaa, peodi se plošni integal u olumni te slijedi: ρ s di( ρ) dv 0. t CV Pošto je u gonjem iau poioljan olumen integacije slijedi da je ia u agadi nula: ρ di t s ( ρ) 0 a što jest akon očuanja mase u difeencijalnom obliku. Za slučaj stacionanog stujanja pi član u integalnom iau a akon očuanja mase je nula. Slijedi tj. a slučaj na gonjoj slici: Ω ρ nds 0,, ρ A ρ A m& u petpostaku da su ρ, sednje ijednosti po pesjeku. Onaka m& pedstalja maseni potok [kg s - ]. Uođenjem noe aijable olumnog potoka ili kaće potoka pethodna elacija može se pisati Q A [m 3 s - ] ρ Q Q m&, ρ odnosno a stacionano stujanje u konstantnu gustoću fluida unuta kontolnog olumena ijedi 8

20 Q. A A Zadnji ia posebno je koistan pi poačunima cjeooda pa je tako np. binu moguće iaiti pomoću na način: (A /A ). Osim pojma masenog potoka koisti se i težinski potok [ ] W mg & ρ g Q Ns. Zakon očuanja količine gibanja Zakon očuanja količine gibanja a mateijalni olumen jest D Dt ρ dv fρ dv MV MV MS σ ds. Pimjenom Reynoldsoog tanspotnog teoema na gonji ia, slijedi fomulacija akona očuanja količine gibanja a kontolni olumen: ( ρ) dv ρ ( n) ds fρ dv σ n ds t CV CS Fiikalno je gonji ia moguće intepetiati na način da je pomjena količine gibanja u emenu i dotok količine gibanja ko ganicu kontolnog olumena (CS) jednak članoima na desnoj stani koji pedstaljaju eultantnu silu F (masenu kontaktnu) koja djeluje na kontolni olumen: F fρ dv CV CS n CV n σ ds. Za pimje segmenta cijei (Sl..3) i u petpostaku stacionanog i nestlačiog stujanja, i gonjeg iaa poilai t. impulsni akon F m& ( ) ili F ρ Q( ) CS Benoullijea jednadžba U integalnom iau a očuanje količine gibanja a mateijalni olumen, moguće je dugi član na desnoj stani peesti u olumni integal pimjenom teoema Gaus Ostogadskog: ( ) σ n ds MS MV di T D ρ dv Zbog očuanja mase 0 te staljajući nak totalne deiacije ispod naka integala (u Dt pom članu lijee stane) slijedi: σ dv D ρ ρf di Tσ dv 0. Dt MV Gonji ia biti će jednak nuli ako je ia u agadi jednak nuli. Poilai jednadžba gibanja fluida 9

21 odnosno D ρ Dt ρf di T ρ ρ ρf di T t σ, σ gdje je T σ σ xx τ yx τ x τ σ τ xy yy y τ x τ y σ matica napeanja sa komponentama nomalnih σ i tangencijalnih (smičnih napeanja) τ. Za idelani fluid, bog neiskonosti odnosno nepostojanja smičnih napeanja, matica napeanja T postaje T σ p p 0 0 T p 0 p p te slijedi ia koji se naia Euleoa jednadžba gibanja s t ρ ( ) f gad p. Ako se petpostai nestlačio stujanje fluida ρ const. tada u gonjem iau p gad p gad, ρ ρ nadalje, član konektinog ubanja ( ) moguće je pisati u obliku (b) danom u istaknutom paagafu o mateijalnoj deiaciji, a pošto je gustoća masene sile definiana potencijalom masene sile P gdje je potencijal masene sile u polju sile teže f gad P g, slijedi ia Euleoe jednadžbe gibanja u Lamb Gomekinooj fomi odnosno a stacionano stujanje s p ot gad g t ρ P,, 0

22 p ot gad g. ρ Ako se gonji ia pomnoži skalano s elementom luka stujnice ds S ds, nestaje lijea stana iaa je je ekto bine okomit na ekto ot te slijedi difeencijal p ds S g 0. ρ Da bi gonji difeencijal bio jednak nuli potebno je da je ia u agadi konstanta, tj. da uduž stujnice ijedi p g const. ρ duž stujnice što je ia Benoullijee jednadžbe koji je poiašao i Euleoe jednadžbe gibanja u petpostake anemaie iskonosti te stacionanog i nestlačiog stujanja. Zakon očuanja momenta količine gibanja Moment sile F oko točke O jest M F (Sl..4). je ekto položaja točke na pacu djeloanja sile u odnosu na točku O. Vektoskim množenjem iaa akona očuanja količine gibanja a kontolni olumen ektoom položaja slijea, slijedi: ( ρ ) dv ( ρ )( n) F CV CS ds F. O Sl..4 Lijea stana jednadžbe pedstalja moment na kontolni olumen pouočen od anjskih sila, a desna stana pomjenu momenta količine gibanja u emenu te utok momenta količine gibanja ko ganicu kontolnog olumena. Gonji ia pedstalja akon očuanja momenta količine gibanja a kontolni olumen koji ima posebno iaženu pimjenu pi analii tubostojea gdje su momenti načajniji od samih sila. Pi stacionanom stujanju i(ili) stujanju fluida konstantne gustoće, gubi se pi član desne stane u gonjem iau. Za slučaj otacijskog ueđaja (Sl..5- aspšiač ode) sa ulanom binom u kontolni olumen i ilanom binom akon očuanja momenta količine gibanja moguće je pisati: M otp M ila M tj. m& [( ) ( ) ] Q[ ( ) ( ) ] ula M otp ρ.

23 U gonjem iau M otp jest moment na kontolni olumen tj. kod otacijskih i tubo stojea otponi moment na osoini, a (, ), ektoi bina i pipadajući kakoi. Pimje pimjene akona očuanja momenta količine gibanja na "spinkle" kontolni olumen el Motp el Sl..5 Raspšiač ode - pimjena akona očuanja momenta količine gibanja Za slučaj simetičnog aspšiača ode sa mlanicama istog pomjea, na slici, ulani moment M 0 ula pošto je ekto ulane bine na pacu osi otacije. Zakon očuanja momenta količine gibanja educia se na M otp Q Q ρ ( ) tj. M otp ρ ( el ω ). Od elatine ilane bine ode u odnosu na mlanicu el potebno je odueti binu mlanice ω kako bi se dobila apsolutna ilana bina tj. el ω. Relatina bina el oisi samo o masenom dotoku fluida u kontolni olumen, dok se mijenja s binom tnje ueđaja ω. Zakon očuanja enegije Jednadžba očuanja enegije a kontolni olumen može se napisati u obliku Pi akon temodinamike definia da je de dt CV t ρ ds. ( e) dv ρ e ( n) de dt Q& W& H pomjena enegije sustaa toplina dodana sustau ( Q & (heat))snaga pedana sustau (W & ). Rad u emenu pedan sustau moguće je astaiti na CS H gdje je W & W& S W& p,

24 W& p n ds, p S t ad u emenu učinjen tlačnim silama na pomičnoj ganici, a W & S (wok, shaft) ad tangencijalnih sila u emenu pedan sustau, np. moment u emenu na otiajućoj osoini otacijskog ueđaja (tubostoja). Uimajući u obi gonje iae može se pisati: Q& H W& S p CV t ( ρ e) dv ρ e ( n) CS ρ ds gdje je e totalna enegija po jedinici mase koja pedstalja boj unutanje enegije (enegije molekulanih sila) po jedinici mase, kinetičke enegije po jedinici mase i potencijalne enegije po jedinici mase: e u g. U jednadžbi očuanja enegije pi član desne stane pedstalja pomjenu ukupne enegije sustaa u emenu, a dugi član jest boj ada tlačnih sila na pomičnu ganicu u emenu i potoka ukupne enegije ko ganicu. Ako se jednadžba akona očuanja enegije pimijeni na stacionano stujanje ko kontolni olumen sa jednim utokom i jednim istokom i kontolnog olumena (Sl..6), jednadžba se pojednostaljuje u sljedeći ia: kontolni olumen W S Q H, u,, u, Sl..6 p p m & u u g ρ ρ ( ) Q& H W& S Dijeljenjem jednadžbe sa masenim potokom m& te u činjenicu da je. gubitak aspoložie enegije sustaa u u q H i konačno dijeljenjem sa konstantom gaitacije g poilai: p ρg p g ρg g h g h S 3

25 što pedstalja jednadžbu mehaničke enegije. Zbog sličnosti s Benoullijeom jednadžbom oa jednadžba se još naia i t. pošiena Benoullijea jednadžba. Dimenijski jednadžba jest u obliku enegija po jedinici težine [Nm/N m]. Onaka h g pedstalja se gubitke (gubitak pieometične isine). Ako se unuta kontolnog olumena nalai tubina tada h S -h T gdje je h T pad pieometične isine na tubini, a a pumpu unuta kontolnog olumena ijedi h S h P gdje je h P dobana isina pumpe. Pošto je stujanje u pisustu otacijskih ueđaja (tubostojea) nestacionano (najčešče ciklično), stujanje se smata samo lokalno nestacionano kako bi bila adooljena petpostaka o stacionanosti stujanja unuta kontolnog olumena pomoću koje je i iedena gonja jednadžba. 4

26 3. STRUJANJE IDEALNOG FLUIDA 3. Idealan fluid Idealan fluid (nestlači, neiskoan) - fluid kod kojeg se anemauje efekt tenja pi stujanju. Ia D ρ gad p ρ f Dt jest Euleoa jednadžba gibanja (koja je iedena u poglalju o Zakona očuanja količine gibanja) koju je tekstualno moguće otpilike iaiti masa ubanje ukupna sila na fluid. Integacijom Euleoe jednadžbe duž poioljno iabane stujnice i u petpostaku stujanja idealnog fluida dobija se Benoullijea jednadžba, p g konst. ρ kao što je pokaano u poglalju o akonu očuanja količine gibanja. Stujnica je kiulja kojoj je u sakoj točki stujnog polja ekto bine tangenta, a u slučaju stacionanog stujanja stujnica se poklapa s tajektoijom (putanjom, staom). Pi stacionanom stujanju ništa se ne mijenja u emenu na odeđenoj lokaciji u stujnom polju tj. saka čestica koja polai ko adanu točku ima istu tajektoiju. Benoullijea jednadžba često se postalja imeđu dije točke i na stujnici, a pogodno ju je pisati i u obliku t. pieometične isine (jedinica meta): p p g ρg g ρg 5

27 3. Pimjene Benoullijee jednadžbe Pimje - Istjecanje ko male otoe Sl.3. - Istjecanje ko male otoe Putanja čestice ide sa pošine ode u spemniku. Potebno je iačunati binu (Sl.3.): I jednadžbe kontinuiteta slijedi A A. U p const. i u petpostaku A >>A, slijedi (A /A ), odnosno 0. Iskusteno, bina spuštanja aine pošine je malena ako je oto spemnika elatino mali u odnosu na olumen spemnika, odnosno bina je elatino malena. Za slučaj pikaan na slici (Sl.3.) ijedi 0 ; 0 ; h; p patm ; p patm Gonji ia gooi da je tlak u okolini otoenog mlaa na ilau i spemnika jednak atmosfeskom pa je stoga i ko čita mla tlak jednak atmosfeskom je bi u potinom došlo do pomjene popečne pošine mlaa. I Benoullijee jednadžbe slijedi: tj. gh gh. Pethodni ia pedstalja t.toicellijeu fomulu. Hidostatski tlak ačuna se pema iau: p p ρ gh. 0 Na ilanom pesjeku (točka ) ijednost bine je k gh gdje je k koekcijski fakto koji uključuje efekt iskonosti (Sl.3.). 6

28 Sl.3. - aličiti faktoi k Pimje - Istjecanje ko otoe poioljne eličine (Sl.3.3) Iod iaa a iačun potoka dan je u slijedu: Sl.3.3 dq da b y ( x) b Q y dy 3 A A A a y ( x) a 3 3 da gy da gy dxdy g dx g y ( x) y( x) Za specifičan slučaj kada je oto paokutnik (Sl.3.4) dx Sl.3.4 y ( x) M y ( x) M c Pošto goe naedeni iai nisu funkcije od x nego su konstante, ijedi: 3 3 Q g M c M b a 3 ( ) ( ) 7

29 Pimje 3 - Pelje U slučaju peljea M0, slijedi: 3 Q gc 3 ( b a) odnosno u onake pema slici (Sl.3.5) gdje ch, (b-a)l i u dodaanje empiijskog koeficijenta peljea C E kako bi se dobila efektina ijednost potoka oisno o geometiji peljea, slijedi: 3 Q CE g H L. 3 B, Sl.3.5 Pelje Potok otoenih odotoka moguće je točno iačunati na osnou geometije pesjeka (peljea)(sl.3.5) toka. Pimano se mjei dubina ode na peljeu. Pimjenom samo Benoulijee jednadžbe dobije se guba apoksimacija, ali se ekspeimentalno mogu dobiti dodatni koekcijski faktoi (C E ) koji simuliaju iskone efekte. Pimje 4 - Ventuijea sapnica Ventuijeom sapnicom (Sl.3.6) mjei se potok na osnou alike tlakoa. Ona se sastoji od postupnog koničnog suženja pod kutem 0 o, katkog cilindičnog dijela te difuoa pod kutem 5 o do 7 o. Radi točnosti Z 0.97 C 0.96 Q hm m Re Sl.3.6 Ventuijea sapnica mjeenja uodno od entuimeta cije teba biti ana u dužini baem tideset cjenih pomjea. Na bai entuimeta i u suženju tlak se najčešće mjei pieometičnim pstenoima. Pi mjeenju potoka plinoa potebno je neoisno mjeiti tempeatuu i tlak na bai entuimeta dok a 8

30 mjeenje potoka tekućina dooljno je imjeiti aliku tlakoa. Pimjenom jednadžbe kontinuiteta A A u konstantnu ijednost tlaka pconst. i posječne ijednosti bina i po pesjecima, postalja se Benoullijea jednadžba od do (SL.3.6) p g ρg p g ρg Pimjenom jednadžbe kontinuiteta (A /A ) i u Δpp -p slijedi: Δp ( A / A ) ρ g ( ) U gonji ia potebno je dodati koekcijski fakto bine C kojim se obuhaćaju gubici bog iskonih efekata. Potok ko entuimeta sada se moe iaiti:. Q C ( A / A ) A Δp g ρ ( ) Vijednosti empiijskog faktoa C u oisnosti o Reynoldsoom boju i geometiji entuimeta dane u dijagamu (Sl3.6 ) pimjenjie su a odnose pomjea entuimeta D /D u asponu od 0.5 do 0.75 koji je pikaan isctkanim kiuljama na dijagamu. Kod ibou entuimeta dobo je iabati onaj kod kojega je koeficijent entuimeta C pibližno konstantan a aspon eynoldsoog boja koji se očekuje pi upotebi. Iaimo li aliku tlaka Δp u gonjem iau pomoću stupca mjenog fluida h m gustoće ρ m, tada je ia a potok ko entuijeu cije: Q C A g h m d d ρ m ρ 4 Uočljio je da ako iaimo aliku tlakoa pomoću stupca mjenog fluida u difeencijalnom manometu h m ia a potok postaje neoisan o nagibu entuimeta. Pimje 5 Pitotoa cije Pitotoa cije (Sl.3.7) je ueđaj kojim se mjei bina stujanja u odeđenoj točki. Pincip mjeenja bine pomoću Pitotoe cijei pikaan je na slici pomoću cijei (np. staklena cije) sainute pod paim kutem. Cije je usmjeena u pacu stujanja fluida tako da fluid ustujaa diektno u oto se dok se u cijei ne poeća tlak toliko da se ijednači s djeloanjem fluida koji nastujaa te tada neposedno isped otoa cijei fluid miuje (točka ). Točka neposedno isped otoa cijei u kojoj fluid miuje 0, oe se stagancijska ili austana točka. Postaljanjem benoullijee 9

31 h h0 p p Sl.3.7 Pincip mjeenja bine fluida pomoću jednostane Pitotoe cijei jednadžbe duž stujnice imeđu točaka i (Sl.3.7) uimajući u obi i 0, slijedi: p p ρg g ρg. Tlak u točki moguće je imjeiti pomoću isine stupca fluida u cijei p g 0 ρ ( h Δh) što pedstalja totalni tlak. Totalni tlak je sastaljen od dije komponente, statičkog tlaka p ρgh 0 pedstaljenog isinom stupca h 0 i dinamičkog tlaka kojeg pedstalja dio stupca fluida Δ h. Ijednačaanjem daju pethodnih iaa slijedi ia a binu stujanja lokalno: g Δh. 30

32 4. STRUJANJE REALNOG FLUIDA U CIJEVI 4. Viskonost Fluid je ta koja se kontinuiano defomia pod utjecajem smičnog napeanja ma kako malo to napeanje bilo. Viskonost sojsto otponosti fluida pema smičnoj defomaciji. Sojsto supotno iskonosti jest fluidnost. Viskonost je takođe i mjea unutanjeg tenja u fluidu. Poeanost iskonosti i tenja ukauje na iskonost kao sojsto fluida bog kojeg nastaju gubici pi stujanju. Viskonost je sojsto fluida koje se očituje tek pi gibanju fluida. y U u F y H Sl.4.. x Imeđu dije paalelne ploče nalai se neka ta (Sl.4..). Donja ploča je fiksna, dok na gonju djeluje sila F, koja poiodi smično napeanje τ F/A na ta među pločama. A je pošina gonje ploče. Ako sila F pouokuje gibanje ploče stalnom binom, tada je moguće aključiti da je ta među pločama fluid. Fluid u neposednom kontaktu s čstom ganicom ima istu binu kao čsta ganica (t. ''no slip condition''). Pokus pokauje da je sila F diektno popocionalna pošini i bini A i U i obnuto popocionalna debljini sloja fluida H AU F μ, H gdje je μ fakto popocionalnosti ean a sojsta fluida. Kocijent U/H pedstalja binu kutne du defomacije i općenitije ga se može napisati. Ako se nadalje u pethodnu jednadžbu uede dy ia a smično napeanje τ F/A. Slijedi Newtono akon iskonosti: du τ μ, dy gdje je τ smično napeanje, du/dy bina kutne defomacije pi D stujanju fluida, a μ [ ] s Pa dinamički koeficijent iskonosti. Osnona podjela fluida je na njutnoske i nenjutnoske (ili newtonske, nenewtonske) fluide (Sl.4..). Kod njutnoskih fluida (plinoi, ećina tekućina) postoji lineana elacija (kao na Sl.4..) imeđu inteniteta smičnog napeanja i odgoaajuće bine defomacije. Nenjutnoski fluidi jesu np. dugolančani hidokabonati, k, ubna pasta, neke boje, blato... (Sl.4..) i kod njih je odnos imeđu inteniteta smičnog napeanja i odgoaajuće bine defomacije nelineaan. 3

33 Sl.4.. Newtonoski i nenewtonoski fluid Viskonost se gotoo ne mijenja pomjenom tlaka, a mijenja se s pomjenom tempeatue. Kod tekućina, poećanjem tempeatue smanjuje se iskonost, dok se kod plinoa poećanjem tempeatue iskonost poećaa (Sl.4..3.a,b). Sl.4..3a,b Dinamička i kinematska iskonost u oisnosti o tempeatui, a neke fluide 3

34 Dijeljenjem koeficijenta dinamičke iskonosti s gustoćom fluida dobia se koeficijent kinematske μ m iskonosti fluida ν. Kinematska iskonost se često koisti u mehanici fluida i ρ s inžinjestu i pedstalja mjeu otpoa fluida smičnoj defomaciji odn. tečenju pod djeloanjem sile gaitacije. Na slikama Sl.4..3a,b uočljii su aličiti međusobni odnosi dinamičkog odn. kinematskog iskoiteta a neke fluide (np. oda i žia Sl.4..3a,b). Za odu pi nomalnim 6 m 3 ujetima ijedi ν 0 cst (centi Stokes), odn. μ 0 [ Pa s] cp (centi Poise). s Spomenute su staije jedinice a kinemtasku iskonost Stokes i dinamičku iskonost Poise koje su još ponegdje u upotebi. Mjeenje dinamičke iskonosti otacijskim iskoimetom U adanu binu kutne defomacije du/dy te mjeenjem smičnog napeanja τ, moguće du je pomoću Newtooog akona iskonosti τ μ, iačunati koeficijent dinamičke dy iskonosti μ.. Rotacijski iskoimeta se u osnoi sastoji od anjskog otiajućeg cilinda i unutanjeg, koncentičnog, stacionanog cilinda Sl.4..P. Mjeenjem toijskog momenta T na unutanjem stacionanom cilindu moguće je iačunati smično napeanje. Sl.4..P Shematski pika otacijskog iskoimeta Unutanji je cilinda u dodiu s fluidom peko "plašta" i dna. Ukupni toijski moment imjeen na unutanjem cilindu je stoga T T C T D gdje je T C toija bog smičnog napeanja na plaštu i T D toija bog napeanja na dnu. Za plašt: du ω, dy b 33

35 gdje je ω bina otacije anjskog cilinda, a b ačnost među cilindima.toijski moment bog tenja na plaštu je T C τ π h. Ueši u obi pethodna da iaa i Newtono akon iskonosti slijedi Za dno cilinda: T C π hμ ω. b dt D da dθ d ω τ da μ dθ d a Integianjem po dnu unutanjeg cilinda slijedi: T D μ ω a π 0 dθ 0 4 μ ω T D a gdje je a ačnost na dnu cilinda pema slici. Slijedi jednadžba a ukupni toijski moment π 3 d T h μ πω. b a Pošto je T ukupni toijski moment imjeen na unutanjem cilindu i gonjeg iaa diektno poilai dinamički koeficijent iskonosti μ. Mjeenje kinematske iskonosti Sayboltoim iskoimetom Pincip mjeenja iskonosti Sayboltoim iskoimetom (Sl.4..P) sastoji se u mjeenju emena potebnog a istjecanje V L 60 cm 3 fluida ko kapilanu cije pod utjecajem gaitacije. Pi mjeenju se odžaa konstantna tempeatua mjeenog fluida. Pošto fluid istječe pod utjecajem sile gaitacije ažnost pi oom mjeenju ima i gustoća fluida te je mjeena iskonost kinematska iskonost ν. 34

36 Sl.4..P Shematski pika Sayboltoog iskoimeta Pi analii stujanja keće se od Hagen Poisseuilleoe fomule a stujanje iskonog fluida ko cije ( Hagen Poisseuilleoa fomula će biti analiiana kasnije u oom poglalju) : 4 ΔpπD Q. 8μL Dalje, definia se posječna pieometična isina a ijeme istjecanja h L, ponat je olumen mjeenog fluida V L, potok Q se apoksimia Q V / L t te se uima Δ p ρ g hl. Slijedi: 4 VL ρ g hl π D t 8μ L 4 πgd hl ν t C t. 8V L L Pošto je duljina kapilane cječice L elatino malena dodaje se gonjem iau još i koekcijski fakto oblika C/t pa konačno slijedi ia a kinematski iskoitet oblika ν C C t t tj. pibližni odnos Sayboltoih sekundi i kinematske iskonosti jest t 0 m s t 4 ν. SAE gadacija iskonosti motonih ulja S inženjeskog motišta iskonost je najažnije sojsto industijskih maia. Pemalo iskono maio pod silom stojnih nasjednih pošina bude istisnuto te dolai do kontakta stojnih elemenata i oštećenja. Peiše iskono maio np. ne teče peko cijele ležajne pošine te dolai do oštećenja ili bog soje peelike iskonosti apsobia 35

37 peiše enegije koja se potom petaa u toplinu te doodi do pegijaanja. Stoga je pailan ibo odeđenog maia, ulja a odeđenu industijsku namjenu od iuetne ažnosti. Za pailan ibo maia odn. motonih ulja ažna je njihoa što pecinija klasifikacija. SAE (Society of Automotie Enginees) klasifikacija motonih ulja pema iskonosti je najašieniji i općenito pihaćen susta klasifikacije na sijetu. Pema SAE onakama definiaju se dije gupe iskonosti: - sa onakom W - kojom se klasificiaju ulja a imske ujete ada; - be onake - ulja a općenite ujete ada. Viskonost se kod ulja s onakom W mjei na da načina: - simulatoima hladnog stata; - testom pumpanja koji definia kitičnu tempeatuu pumpanja. U simulatoima hladnog stata dobia se dinamička iskonost u (Pa s), dok ta ulja moaju takođe adooljiti i test minimalne kinematske iskonosti pi 00 o C. Kod ulja be onake mjei se samo kinematska iskonost pi išoj tempeatui. U modenim motoima koiste se t. multigade ulja koja se dobiju miješanjem pethodno naedenih diju gupa ulja te ona adooljaaju kiteije iskonosti pi niskim tempeatuama i adooljaaju takođe ujete minimalne iskonosti pi 00 o C. Np. ulje koje adooljaa 0W ujete i 30 ujet onačaa se SAE 0W30. SAE Viskonost ASTM D60 Viskonost (Pa s) Max temp. ( o C) ASTM D389 Ganična temp. pumpanja ( o C) ASTM D445 Minimalna iskonost (mm /s) pi 00 o C ASTM D445 Maksimalna iskonost (mm /s) pi 00 o C 0W 600 pi ,8-5W 6600 pi W 7000 pi , - 5W 7000 pi ,6-0W 9500 pi ,6-5W 3000 pi ,3-0 5,6 9,3 30 9,3,5 40,5 6,3 50 6,3,9 Tablica 4..P3 SAE klasifikacija iskonosti motonih ulja U inženjestu se često koisti eličina indeksa iskonosti "VI". Unutanje tenje u kapljeinama pa tako i maiu je eće pi nižoj tempeatui i manje pi išoj tempeatui. Np. med pi niskoj tempeatui jeda da teče, a nakon agijaanja teče sasim lako. Med i njemu slični fluidi imanju niak indeks iskonosti dok fluid koji podjednako teče i pi niskim i isokim tempeatuama ima isok indeks iskonosti. Raspon indeksa VI ide od VI0 a ulja sa isokom osjetljiošću na iskonost obiom na tempeatuu do cca. VI00 a ulja kod kojih se iskonost puno manje mijenja s pomjenom tempeatue. U motona ulja stoga se dodaju kemijski aditii (obično dugolančani polimei) a poboljšanje indeksa iskonosti, a što se posebno odnosi na miješana (multigade) ulja. 36

38 37 4. Naie Stokesoe jednadžbe Za Newtonoski fluid iskona napeanja popocionalna su bini smičnog napeanja. Ta se napeanja τ ij, σ ii mogu iaiti pomoću gadijenata bine i sojstaa fluida (iskonost). Ako se tako iažena napeanja uste u difeencijalnu jednadžbu gibanja (dana u poglalju o akonu očuanja količine gibanja) poilae Naie Stokesoe jednadžbe gibanja. U petpostaku nestlačiog stujanja i konstantne iskonosti, Naie Stokesoe jednadžbe u ektoskom obliku jesu f p gad Dt D ρ μ ρ Δ gdje član na lijeoj stani pedstalja silu inecije, pi i dugi član desne stane pedstaljaju kontaktne sile i to nomalne (tlak) i smične te adnji član desne stane pedstalja masenu silu. Zapisane u kateijeom koodinatnom sustau po osima x, y,, jednadžbe jesu: f x x p u y u x u u w y u x u u t u ρ μ ρ f y y p y x u w y x u t ρ μ ρ f p w y w x w w w y w x w u t w ρ μ ρ Naie Stokesoe jednadžbe u spei sa akonom očuanja mase daju puni matematički model stujanja nestlačiih Newtonoskih fluida. Zbog složenosti Naie Stokesoih jednadžbi (pacijalne difeencijalne nelineane jednadžbe dugog eda) moguće ih je iješiti analitički samo u nekim specijalnim slučajeima u ni pojednostaljenja i petpostaki. U daljnjem tekstu pimijenit će se na t. Couetteoo stujanje te Hagen Poiseuilleoo stujanje. 4.. Couetteoo stujanje Viskoni fluid stuji imeđu dije hoiontalne, beskonačno dugačke ploče (Sl.4..) bog nametnutog gadijenta tlaka dp/dx, a u to gonja se ploča giba konstantnom binom U dok donja miuje. Stujanje je laminano, nestlačio, stacionano. Kako bi se dobio algebaski ia aspodjele U F x y y u H u Sl.4.. Stujanje fluida imeđu dije paalelne ploče - Couetteoo stujanje

39 bine po pesjeku a oako definian ežim stujanja, koiste se jednadžba očuanja mase i Naie Stokesoe jednadžbe. Zbog činjenice da je stujanje nestacionano i nestlačio, akon očuanja mase u difeencijalnom obliku jest tj. di 0 u w 0. x y Obiom da je stujanje aninsko poilai 0, w 0. Pofil bine je ustaljen tj. ne mijenja se duž osi x, tj. 0. Zbog naedenih pojednostaljenja ia očuanja mase educia se u x 0 te integacijom u uštenje ubnih ujeta ( no slip ) poilai 0. y Naie Stokesoe jednadžbe na nestlačio stujanje njutnoskog fluida i konstantnu iskonost jesu: D gad p ν Δ f. Dt ρ Zapisom Naie Stokesoih jednadžbi u kateijeom koodinatnom sustau (danom na pethodnoj slici) te pimjenom pije naedenih pojednostaljenja, slijedi susta jednadžbi dan po koodinatnim osima: - smje x u u u u u w t x y p u u u ν ρ x x y Zbog pethodno spomenutih pojednostaljenja, i gonjeg iaa slijedi p u 0 (4C.) ρ x y - smje y Istim pojednostaljenjima kao i a os x slijedi - smje Oaj ia daje oisnost a tlak 0 ρ p g y ( x) p ρ gy p (4C.) 38

40 p 0, ρ i čega poilai da se tlak ne mijenja po osi. Ako se u ia 4C. usti μ ρν slijedi dp dx d u μ. dy Pošto je lijea stana funkcija samo od x, a desna stana samo od y to slijedi da su gonji iai konstante dp dx d u C i μ dy C odnosno, d u d y C μ du dy C y C μ C y u C μ y C tj. ia a binu jest oblika dp y u C y C. dx μ Rubni ujeti a binu jesu te i njih slijede konstante integacije a y 0 ijedi u 0 a y H ijedi u U C 0, CH U C U C H C μ H μ H. Ako se u ia a binu usti bedimenijski gadijent tlaka oblika H dp G μu dx slijedi konačni bedimenijski ia a aspodjelu bine po pesjeku u U y y y G H H H 39

41 koji je pikaan na donjoj slici. Zbog t. "no slip" ujeta tj. činjenice da je bina fluida u stijenku jednaka bini stijenke, a naedeni pimje Couetteoog stujanja slijedi da je bina fluida neposedno u dodiu s donjom pločom u0, a bina fluida u gonju ploču uu. Sl.4.. Couetteoo stujanje pofili bine Analia Couetteoog stujanja pema dobienim pofilima bina kao na gonjoj slici (Sl.4..) daje: Za G0: - gibanje gonje ploče je jedini alog gibanja fluida među pločama, nema nametnutog gadijenta tlaka dp/dx0. Poilai lineani pofil bina. Za G > : - nametnuti tlak se smanjuje u smjeu gibanja ploče, dp/dx<0, bina stujanja poitina je peko čitaog pesjeka. Za G < -: - tlak aste u smjeu gibanja ploče dp/dx>0, bina stujanja postaje negatina na dijelu pesjeka u nepomičnu ploču, tj. na tom dijelu stujanje je supotno od smjea gibanja ploče. Sile smičnog napeanja penošene od gonje ploče ko slojee fluida postaju na odeđenoj udaljenosti manje od sile poitinog udužnog gadijenta tlaka dp/dx. te dolai do poatnog stujanja. Za slučaj kada bi gonja ploča mioala, U0, uspostaio bi se paabolični pofil bine. 4.. Hagen-Poiseuilleoo stujanje Laminano, nestlačio, stacionano stujanje, njutnoskog, ealnog iskonog fluida u cijei (Sl.4..3) bog nametnutog gadijenta tlaka dp/dx. R L Sl.4..3 Laminano, stacionano, nestlačio stujanje u cijei 40

42 4 Naie Stokesoe jednadžbe a njutnoski fluid konstantne iskonosti u cilindičnim koodinatama jesu: ( ) f p t ρ ϑ ϑ μ ϑ ρ ϑ ϑ ϑ ( ) ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ρ ϑ ϑ ϑ μ ϑ ρ f p t f p t ρ ϑ μ ϑ ρ ϑ Zbog stacionanosti 0 t. Zbog aksisimetičnog stujanja 0 ϑ. Stujanje je laminano, paalelno s osi, slijedi 0 ϑ. Pofil bine je ustaljen te stoga 0. I akona očuanja mase a stacionano, nestlačio stujanje 0 di koji u cil. kood. glasi: ( ) ( ) ( ) 0 t p ρ ρ ϑ ρ ϑ poilai ( ) 0 odnosno nakon integacije C. Uštenjem ubnih ujeta 0 a R slijedi C0 tj. 0. Od Naie Stokesoih jednadžbi peostaje: - komponenta : p g ϑ ρ sin 0 ϑ - komponenta : ϑ ϑ ρ p g cos 0, - komponenta : p 0 μ. Integiane jednadžbe po i ϑ daju ( ) f g p ϑ ρ sin, odnosno

43 p ρ g y f što pokauje da je tlak hidostatski distibuian na po popečnom pesjeku cijei te da gadijent tlaka p / ne oisi o i ϑ. Pošto ijedi da je (), umjesto pacijalne može se pisati obična dif. jednadžba: ( ) d d d d dp μ d Gonji ia moguć je samo ako su i lijea i desna stana konstantne je je lijea stana funkcija samo od, a desna samo od. Konstantu je moguće definiati kao Δp const., u Δ p p p, L gdje je Δp pad tlaka na segmentu cijei duljine L. Slijedi, te integianjem, d d d d Δp μl d Δp C d μ L d Δp C d L μ Δp C ln C 4μL I ujeta ealnosti da je a 0 bina konačna, slijedi konstanta integacije C 0. T. no-slip ujet pianjanja iskonog fluida u stijenku cijei daje a R binu 0 odn. Δp C R. 4μL Konačno, što pedstalja otacijski paaboloid. Δp p p () ( R ) ( R ) 4μL 4μL Volumni potok Q Volumni potok moguće je dobiti integacijom donjeg iaa peko popečnog pesjeka cijei: dq da 4

44 π R p p Q dϑ 4μL ( R ) p p d π 4μL R Slijedi Hagen-Poiseuilleoa fomula a potok u kužnoj cijei: R 0 p p Q π 8μL R 4 Posječna bina po pesjeku p p 8 μ L R tj. Q A. Pad tlaka lineano je popocionalan potoku: 8μL Δp Q 4 πr. 4.3 Dimenijska analia stujanja ealnog fluida u cijei Pimjenom dimenijske analie minimiia se poteban boj mjeenja pi laboatoijskom istažianju neke pojae i olakšaa pika i analia eultata mjeenja BUCKINGHAM Π teoem Buckingham Π teoem: Saki fiikalni akon imeđu n fiikalnih eličina Q, Q, Q 3,... Q n iažen funkcijom ( Q, Q,..., ) 0 f, Q n može se iaiti kao funkcija n-k bedimenijskim načajki ( Π, Π,..., Π ) 0 φ, n k gdje je k minimalan boj osnonih eličina čijim se dimenijama mogu opisati dimenije čitaog skupa n fiikalnih eličina. Poteban boj bedimenijskih P eličina je a manji od boj oiginalnih eličina Q. Potebno je iabati imeđu dije gupe banih dimenija a opis aijabli: - M (masa), L (duljina), T (ijeme); - F (sila), L (duljina), T (ijeme). Jednostaan sistematičan postupak keianja t. bedimenijskih podukata jest metoda ponaljajućih aijabli koju je moguće pegledno pikaati na sljedećem pimjeu. 43

45 4.3. Analia pada tlaka u cijei pimjena BUCKINGHAM Π teoema Pimje stacionanog, nestlačiog stujanja newtonoskog fluida ko dugu, hoiontalnu cije kužnog popečnog pesjeka i glatke unutanje stijenke. Analiu gubitaka stujanja moguće je apočeti definiajući aijable o kojima oisi pad tlaka po jedinici duljine cijei Δ p, tj. ( D, ρ, μ ) Δ p L f, gdje je D pomje cijei, gustoća fluida, μ dinamička iskonost, sednja bina. Postupak metode ponaljajućih aijabli sastoji se dalje od sljedećih koaka: a) Iaiti saku od aijabli pomoću jednog skupa banih dimenija, np. F,L,T: 3 Δp L FL D L ρ FL 4 T μ FL T LT L b) Pimjenom Buckinghamoog Π teoema moguće je definiati boj potebnih P eličina. Boj aijabli je n5 ( Δ pl,d,,μ,), a boj baih dimenija k3 (F,L,T) pa je stoga boj potebnih P aijabli n-k. c) Potebno je definiati Π,Π. Ponaljajuće aijable a fomianje P eličina moaju se iabati i neoisnih aijabli (D,,μ,), a nije moguće koistiti oisnu aijablu Δ pl. Pošto postoje ti bane eličine k3 potebno je iabati po ti ponaljajuće aijable a saki P. Pooljno je iabati one ponaljajuće aijable koje su dimenijski jednostanije. U oom pimjeu iabane su neoisne aijable D,,. Slijedi definicija pe P eličine: koja moa biti bedimenijska pa stoga a b c Π ΔpL D ρ 3 a b 4 c ( FL )( L) ( LT ) ( FL T ) F L T. Slijedi: c 0 b 4c b c 0 ( a F ) ( a L) ( a T ) 3 a 0. I gonjeg sustaa jednadžbi slijedi a, b -, c - te je dobiena pa P eličina Δp D Π L. ρ 44

46 Za definiciju duge bedimenijsku eličine Π uodi se jedina peostala neoisna aijabla μ. Slijedi: a c Π μ D b ρ a b 4 c ( FL T )( L) ( LT ) ( FL T ) F L T c 0 a b 4c 0 b c 0 ( a F ) ( a L) ( a T ). I sustaa jednadžbi slijede ijednosti koeficijenata a -, b -, c - te je: d) Reultat bedimenijske analie jest: μ Π. Dρ ili Δp L D ρ ~ μ φ Dρ Δp L D ρ D φ. ρ μ Dobiena bedimenijska načajka odnosno boj mehanici fluida i oe se Reynoldso boj (Re). ρd D ili jedan je od najažnijih bojea u μ ν Važne bedimenijske eličine (bojei) u mehanici fluida Metodom ponaljajućih aijabli pokaanom u pethodnom poglalju (ili nekom dugom metodom) definiaju se bedimenijeske načajke u mehanici fluida. Odeđene bedimenijske kombinacije aijabli ponati su bojei u mehanici fluida i dani su u sljedećoj tablici. 45

47 BROJ IZRAZ OPISNI KVOCIJENT PRIMJENA REYNOLDSOV L inecija BROJ Re ν iskonost FROUDOV BROJ inecija F gl gaitacija odotoci MACHOV BROJ inecija Ma c stlačiost CAUCHYJEV BROJ EULEROV BROJ KAVITACIJSKI BROJ Ca Eu ρ E p ρ inecija stlačiost tlak inecija Općenita pimjena u meh. fluida, mjea tubulencije Stujanje sa slobodnom pošinom, otoeni Stujanje kod kojeg su ažni efekti kompesibilnosti, tanssonična stujanja Stujanje kod kojeg su ažni efekti kompesibilnosti, tanssonična stujanja Poblemi kod kojih su pimani tlakoi i alike tlakoa BROJ IZRAZ OPISNI KVOCIJENT PRIMJENA ( p p ) tlak Poblemi kod kojih su σ ρ inecija pimani tlakoi i alike tlakoa, stujanje u tubostojeima... STROUHALOV BROJ WEBEROV BROJ ωl St We ρ L σ S inecija (lokalno) inecija (konektino) inecija pošinska napetost Tablica 4.3. Važniji bojei u mehanici fluida Nestacionano stujanje s kaakteističnom fekencijom oscilacije Poblemi kod kojih je ažna pošinska napetost Vaijable koištene u tablici jesu: bina, L kaakteistična duljina, n koeficijent kinematske iskonosti, c bina uka, gustoća fluida, E modul elastičnosti, s S koeficijent pošinske napetosti, g ubanje sile teže, w fekencija osciliajućeg stujanja, p tlak, p tlak asićenja. 4.4 Tubulentno i laminano stujanje Kao posljedicu uođenja sojsta iskonosti stujanje ealnog - iskonog fluida moguće je klasificiati i kao laminano, tubulentno, odn. pijelano (Sl.5.4, Sl.4.5). Laminano stujanje čestice fluida gibaju se po glatkim putanjama u infiniteimalno tankim laminama (slojeima), koji klie mino jedan po dugom. Tubulentno stujanje nepailno kaotično gibanje čestica fluida sa jakim fluktuacijama bine u sim točkama stujnog polja. 46

48 Laminano Q Tinta Tag tinte D Pijelano Tubulentno Sl.4.4. Ekspeiment injektianja tinte u cije u kojoj stuji oda. Klasifikacija stujanja. Najažniji bedimenijski paameta pi analii stujanja u cijei jest Reynoldso boj D 4Q Re ili Re, ν Dπν gdje je sednja bina, Q potok, D pomje cijei (ili neka duga kaakteistična dužina) te ν kinematski koeficijent iskonosti. Reynoldso boj pedstalja omje inecijskih i iskonih efekata pi stujanju. On je mjea tubulencije. Pokus (Sl.4.4.) dobo ilustia pijela i laminanog u pijelani i onda potpuno tubulentni ežim stujanja. Duga cije inicijalno je napunjena odom koja miuje se dok se ne otoi entil. Se ećim otaanjem entila poećaa se bina stujanja u cijei, a time i Reynoldso boj. Režim stujanja iualiian je injektianjem tinte u stuju fluida. Pi manjim binama stujanje je laminano u ijednost Reynoldsoog boja Re < ~ 300. Pi ijednostima Reynoldsoog boja Re ~ > 4000 stujanje je eć potpuno tubulentno. Za Reynoldsoe bojee imeđu danih kitičnih ijednosti petpostalja se pijelano stujanje. Spomenute ganične ijednosti Reynoldsoog boja otpilike ijede u ećini ealnih situacija stujanja. Relatinost ganičnih ijednosti Reynoldsoog boja imeđu laminanog i tubulentnog stujanja idljia je i i ponatih ekspeimenata Osbone Reynoldsa koji je u laboatoijskim ujetima uspio postići laminano stujanje u isoki Re 0000, a kasnijim ekspeimentima u još stože kontolianim laboatoijskim ujetima ta je ganica poišena na Re Tag aksijalne (x-komponente) bine mjeene na odeđenoj lokaciji u cijei pi tubulenciji idlji je na slici (Sl.4.4. desno dolje), a moguće ga je pikaati i na dijagamu u-t (Sl.4.4.). 47

49 Sl.4.4. Usednjena bina u i fluktuacija bine u' pi tubulentnom stujanju u cijei. Stohastična stuktua dijagama bine i fluktuacije bine načajka su tubulencije, a sojsta stujanja fluida np. pad tlaka, pijenos topline itd., jako oise o njima. Na slici (Sl.4.4.3) pikaan je odnos oblika pofila bina a slučaj stujanja idealnog neiskonog fluida te oblik laminanog i tubulentnog pofila bina pi ećem Reynoldsoom boju. Moguće je uočiti odeđenu sličnost tubulentnog i idealnog pofila bina. Pi elikim Reynoldsoim bojeima tubulentni pofil bina postaje se "spljošteniji" te u odeđenom smislu oblikom teži idealnom paokutnom obliku. Viskoni efekti pi tubulentnom stujanju nisu jako ažni i bina koja se koisti u stujanju idealnog fluida je adekatna emenski usednjenoj bini u (Sl.4.4.) pi tubulentnom stujanju. Sl Idealan, laminaan i tubulentan oblik pofila bine Naedene činjenice jesu i alog ašto analia stujanja neiskonog fluida daje aumne fiikalne eultate. Idealni fluid nije iskoan, postoje samo inecijalne sile, tj. μ 0 pa je a idealan fluid Reynoldos boj R e ρ D / μ h pošto je nainik jednak nuli, odnosno logična je teoetska petpostaka da bi u tom idealnom slučaju stujanje bilo tubulentno. Na slici (Sl.4.5.) bina u pedstalja sednju binu pi tubulentnom stujanju, a C je bina u centu cijei. Poećanjem Reynoldsoog boja tubulentan pofil bina postaje se "spljošteniji". Radi uspoedbe pikaan je jedan laminaan paaboličan pofil bina. Uočljio je da je u bliini stijenke cijei tubulentan pofil bine natno stmiji. Detaljnjija analia tubulentnog pofila bine dana je u sljedećem poglalju. 48

50 moguće je iaiti peko sednje bine i fluktuacije (Sl.4.4.) u u u' gdje je sednja bina Komponentu tenutne bine u x-smjeu u u( x, y,, t) u T t T 0 t 0 u dt u emenski inteal T koji je natno duži od peiode najduže fluktuacije. Vemensko usednjenje fluktuacija je nula je u' T 0 0 T t T t T t T 0 0 ( u u ) dt u dt u dt ( Tu ut ) 0 t t 0 t 0 T Sl Usednjene fluktuacije i usednjen kadat fluktuacija odnosno fluktuacije su anomjeno distibuiane na obje stane linije emenskog usednjenja (Sl.4.4.4). Kadati fluktuacija su, kao što je idljio i na slici, eći od nule ( u ') > 0, a usednjenja umnožaka fluktuacija po aličitim smjeoima np. eća ili manja od nule. u '', u 'w' mogu biti jednaka nuli, Intenitet tubulencije Stuktua i intenitet tubulentnog stujanja mogu se okaakteiiati bedimenijskim paametom koji se naia intenitet tubulencije i definian je I ( u' ). u Što je eći intenitet tubulencije jače su i fluktuacije bine i ostalih eličina. Tipična ijednost inteniteta tubulencije a stujanje u ijekama i pi atmosfeskim stujanjima jest I ~ >

51 Peioda fluktuacija Peioda fluktuacija pikaanih na slici (Sl.4.4.) a uobičajene slučajee np. pi tubulentnom istjecanju i slaine jest eda eličine 0, 00 ili 000 ciklusa u sekundi dok su tipične peiode pi stujanju golfske stuje u Atlantskom oceanu eda eličine sata ili dana. Miješanje Poces miješanja je tanspot mase, enegije i količine gibanja ko stujno polje. Miješanje je a iše edoa eličine efikasnije pi tubulentnom nego pi laminanom stujanju, pošto su a glaninu pocesa bitni slučajni pocesi na makoskopskoj aini tj. tloženje fluida (Sl.4.4.5), što je sojsto tubuencije. Kod laminanog stujanja stujno polje je moguće opisati laminama koje stuje jedna inad duge i saki slučajni poces i miješanje događa se na molekulanoj aini odeđenim peskakanjem molekula u susjednu laminu. Poitini efekti miješanja pi tubulenciji od suštinske su ažnosti u inženjestu kod np. imjenjiača topline, ispaiača tj. imjene topline imeđu fluida i stijenke ili omogućuju efikasno aspšianje dimnih plinoa koji i dimnjaka ilae u atmosfeu. Sl Pofili bine: a.) Laminano stujanje smično napeanje posljedica molekulanih pocesa; b.) Tubulentno stujanje tloženje fluida Smično napeanje Vtložna stuktua stujnog polja pi tubulenciji snažno potiče miješanje i tanspot količine gibanja ko amišljenu aninu A-A (Sl.4.4.5) tj. smičnu silu. Niži spoiji slojei fluida (Sl.4.4.5a) bliži stijenci, uspoaaju gonje bže slojee fluida tj. taj tanspot količine gibanja peko amišljene anine A-A staa otpo u bžim slojeima odnosno staa se smična sila. Smična sila nastaje samo ako postoji gadijent bine uu(y). Ako se na te pocese nadodaju i koheine molekulane sile moguće je pi laminanom ežimu stujanja ukupno smično napeanje iaiti pomoću anije spomenutog Newtonoog akona iskonosti τ μ du dy. LAM / U spomenute efekte kod tubulentnog stujanja postoji i natno ažniji efekt tložne stuktue stujnog polja (Sl.4.4.5b) koji snažno potiče miješanje i tanspot količine gibanja ko amišljenu aninu A-A. Slučajne fluktuacije bine u' (komponenta u x smjeu) i ' (komponenta u y smjeu), a D slučaj pikaan na slici (Sl.4.4.5), pi tubulenciji pedstaljaju peladaajući efekt koji sudjeluje u ukupnom smičnom napeanju na amišljenoj anini A-A du τ μ ρu' ' τ LAM τ TURB. dy 50

52 Član u gonjem iau ρu'' je poitian i naia se Reynoldsoo napeanje. I pethodnog iaa takođe je idljio da smično napeanje pi tubulentnom stujanju nije iše popocionalno gadijentu sednje bine nego su u njemu bitni i efekti bog fluktuacija bina. Pi laminanom stujanju fluktuacije bina ne postoje tako da je i član τ 0. TURB Sl Tubulentno stujanje u cijei: a.) Smično napeanje; b.) Pofil sednje bine Međusoban odnos τ LAM i τ TURB je kompleksna funkcija (Sl.4.4.6). U uskom sloju fluida u stijenku iskonom podsloju dominia τ LAM dok u anjskom sloju peladaa τ TURB koji je puta eći od τ LAM. Pi stujanju ealnog fluida u cijei ukupno smično napeanje je popocionalno udaljenosti od centalne osi cijei (Sl.4.4.6), u maksimalno smično napeanje na samoj stijenci koje se naia smično napeanje na idu τ W. Na slici (Sl.4.4.6) samo načelno su pikaani odnosi τ LAM i τ TURB i odnos debljine iskonog podsloja pema pomjeu cijei pošto je np. pi sednjoj bini stujanja od 3 ms - u cijei pomjea 75 mm debljina iskonog podsloja oko 0.05 mm. VRTLOŽNA VISKOZNOST S ciljem uspostaljanja analogije pema Newtonoom akonu iskonosti J. Boussinesq ueo je pojam tložne iskonosti η pa je smično napeanje pi tubulentnom stujanju moguće iaiti du τ TURB η. dy Za aliku od iskonosti μ koja je sojsto fluida i koju je moguće očitati i piučnika, tložna iskonost oisi i o sti fluida i o ujetima stujanja i ona se mijenja od točke do točke stujnog polja. DULJINA MIJEŠANJA 5

53 Poteškoća s nemogućnošću odeđianja Reynoldsoog napeanja ρu'' dakle ista je kao i poteškoća odeđianja tložne iskonosti η. U nastojanju definianja pocesa tubulencije L. Pandtl uodi pojam duljine miješanja l m. Tubulentni poces moguće je definiati kao slučajni tanspot čestica fluida ko duljinu l m imeđu ona aličite bine. Vtložnu iskonost moguće je iaiti pomoću duljine miješanja du η ρ l m, dy slijedi ia a smično napeanje pi tubulenciji pomoću duljine miješanja du TURB ρ l m dy τ. I spomenutih petpostaki i pokušaja poilai nemogućnost egaktnog definianja smičnog napeanja ko cijelo stujno polje tubulentnog ealnog fluida, odnosno nemogućnost analitičkog odeđianja tubulentnog pofila bine. 4.5 Tubulentni pofil bine u cijei Tubulentni pofil bine u cijei moguće je podijeliti u četii sloja (Sl.4.5.) obiom na način apoksimacije pofila bine: iskoni podsloj ( iscous sublaye ) podučje laminanog stujanja u stijenku cijei; pijelani sloj ( buffe laye ); logaitamski sloj sloj logaitamskog akona; anjski sloj podučje kojeg se uglanom poklapa sa podučjem pimjene t. akona defekta bine ( defect law ). U iskonom podsloju peladaa iskono smično napeanje τ LAM u odnosu na tubulentno napeanje τ TURB, dok je u anjskom tubulentnom sloju taj odnos obnut. Za analiu pofila bina pooljno je uesti bedimenijske načajke u u * u i y * yu ν gdje je y R udaljenost od stijenke, u emenski usednjena x komponenta bine, * u τ / ρ je bina tenja ( u τ W smično napeanje na idu). W Upotebom bedimenijskih načajki dijagam ganičnog sloja u y igleda slično tj. uspoedio a aličite ežime stujanja, aličite debljine ganičnog sloja δ 99 kod optjecanja nekog objekta, odnosno a aličite ijednosti Reynoldosoog boja. Vaijacijom Reynoldosog boja pimjetna su natna odstupanja u anjskom (desnom) dijelu dijagama gdje se tložna ona odaja od kiulje logaitamskog akona anije (tj. a niže ijednosti y ) što je Reynoldso boj manji. 5

54 Sl.4.5. Tubulentni pofil bine Viskoni podsloj ~ U podučju 0 y 5 na stijenku naliježe tanak sloj fluida u kojemu se sednja bina mijenja sa udaljenošću od stijenke y lineano u y. U iskonom podsloju peladaa iskono smično napeanje, a bina je mala i ona se mijenja od * 0 na stijenci ("no slip ujet) do eda eličine u a y 5. Stujanje u iskonom podsloju je laminano i ne postoje fluktuacije bina. Vijednost y 5 pedstalja pibližnu anjsku ganicu iskonog podsloja dok se kod definicije numeičkih modela tubulencije često u odeđeni fakto sigunosti anjska ganica iskonog podsloja postalja čak na y

55 U postaljenu anjsku ganicu iskonog podsloja y 5 moguće je dobiti debljinu iskonog podsloja δ i bedimenijskog iaa a pofil bine u iskonom podsloju: ν ν y δ 5 5 * u u. δ U pethodnom ia u δ pedstalja binu stujanja na anjskom ubu iskonog podsloja, a koja je usko eana u sednju binu stujanja u cijei. Moguće je aključiti da je debljina iskonog podsloja popocionalna kinematskoj iskonosti i obnuto popocionalna sednjoj bini stujanja, odnosno poećanjem Reynoldsoog boja debljina iskonog podsloja δ se smanjuje. Na slici (Sl.4.4.6) takođe je pikaan smještaj iskonog podsloja kod stujanja u cijei u penaglašenu debljinu. Pijelani sloj U pijelanom sloju (često buffe laye ) stujanje popima kaakteistike tubulencije. Logaitamski sloj U logaitamskom sloju ažni su i tubulentno smično napeanje τ TURB i iskono τ LAM. Pofil bina dobo je definian logaitamskim akonom ida a y ~ > 30 u ln y C κ gdje je bedimenijska konstanta C 5. 0 (a stujanje u idealno glatkoj cijei), a κ 0.4Kamanoa konstanta. U unutanjem dijelu logaitamskog sloja bliže stijenci u ukupnom smičnom napeanju još u odeđenom dijelu sudjeluje iskono napeanje τ LAM, ali s odmakom od stijenke ono gubi na načaju i postaje anemaio te je ukupno smično napeanje u anjskom dijelu pijelane one y > 70 u potpunosti upao tubulentno smično napeanje τ TURB. Logaitamski akon ida koji u odeđenom smislu pedstalja poenicu imeđu iskonog podsloja i centalne one s duge stane može iuetno dobo apoksimiati pofil bine ko gotoo cijeli pesjek cijei (osim centalne one u odeđenim slučajeima kada se tlak niodno jako poećaa, np. u difuou). Poećanjem Reynoldsoog boja, maksimalna ijednost y a koju je moguće u eliku točnost pimijeniti logaitamski akon ida, se poećaa. Vanjski sloj U anjskom sloju u potpunosti dominia tubulentno smično napeanje τ TURB. Jedan od iaa a aspodjelu bine često u upotebi jest t. akon defekta bine (t. defect akon) C u *.5ln u gdje je C bina u centu cijei. Unutanja ganicu oe one (bliže stijenci) bitno oisi o Reynoldosoom boju pa ju je u uniealnom smislu nemoguće točnije definiati. R y 54

56 Eksponencijalni akon pofila bine Eksponencijalni akon pofila bine (Sl.4.5.) je empiijski ia koji daje apoksimatinu distibuciju bine peko gotoo cijelog pesjeka cijei (iako ne ijedi u bliini stijenke i u neposednoj bliini centalne osi cijei) u C R / n gdje je n funkcija Reynoldsoog boja (pikaanog na sljedećem dijagamu). Sl.4.5. Oisnost koeficijenta n o Reynoldsoom boju a glatku cije i pofili bina pi tubulentnom i laminanom stujanju 55

57 Gonji ia u n7 često se koisti kao doba apoksimacija u paksi. Poećanjem Reynoldsoog boja aste koeficijent n i tubulentni pofil postaje se "spljošteniji" što je idljio na sljedećoj slici. Takođe, na slici je eidentna alika laminanog i tubulentnog pofila bine. Logaitamski akon ida a hapau cije Dosadašnja analia tubulentnog pofila petpostalja stujanje u glatkoj cijei. Pi analii utjecaja hapaosti stijenke na stujanje (Sl.4.5.3) ažan je odnos debljine laminanog podsloja i isine * u e neanina e. Cije se smata hidaulički glatkom ako < 5 i tada su se neanine unuta ν iskonog podsloja te stoga ne utječu na stujanje. Stijenka se smata potpuno hapaom ako * u e > 70 je tada hoi neanina stijenke podiu u potpunosti ko iskoni podsloj u ν tubulentno podučje i staaju otpo stujanju, te se logaitamski akon ida modificia u ia u ln y e. Sl Hapaost stijenke, apsolutna hapaost e i debljina iskonog podsloja δ s 4.6 Modelianje tubulencije DNS DNS (Diect Numeical Simulation) pedstalja kompletno u postou todimenijsko i o emenu oisno ješaanje Naie Stokesoih jednadžbi i jednadžbi očuanja. Oako diektno ješaanje je poačunski iuetno ahtijeno i a sad neupotebljio a ješaanje općenitih inženjeskih poblema. Raoj jakih paalelnih ačunala i poećanje memoijskih mogućnosti ačunala omogućit će u budućnosti jeojatno eću upotebljiost oakog pistupa. LES LES (Lage Eddy Simulation) tj. modelianje elikih tloga pedstalja pistup u kojem se eliki tloi ačunaju numeički, a mali tloi koji su eličine ispod astea numeičke meže se matematički modeliaju. Taka postupak opadan je petpostakom da su eliki tloi diektno poeani s numeičkim ubnim ujetima te da oni nose glaninu Reynoldsoih napeanja. Mali 56

58 tloi su eda eličine manje načajni obiom na ukupna Reynoldsoa napeanja, iše iotopni i stoga pogodniji a matematičko modelianje. Pošto se u LES pistupu mali tloi ne ačunaju diektno nego matematički modeliaju to je dooljna natno gublja numeička meža, što natno smanjuje ačunalni napo. RANS Obiom na činjenicu da su i DNS i LES pistup danas još poačunski jako ahtijeni obiom na ješaanje općenitih paktičnih poblema u inžinjestu, u tetianju tubulencije danas su najpopulaniji RANS (Reynolds Aeaged Naie Stokes) modeli asnoani na Reynoldsoim usednjenjima (najčešće usednjenjima u emenu). Obiom da su Naie Stokesoe jednadžbe nelineane, eultiajuća usednjena difeencijalna jednadžba sadži ne samo tažene usednjene aijable bine i tlaka nego i podukte fluktuacija (np. Reynoldsoo napeanje ρu ) te je a ataanje sustaa jednadžbi potebno još dodatnih apoksimacija. U osnoi Reynoldsoo usednjenje jest simplifikacija kojom se gubi puno infomacija sadžanih u Naie Stokesoim jednadžbama. Najkoišteniji RANS pistupi danas su t. dojednadžbeni modeli od kojih su najponatiji k ε model i k ω model koji se sastoje u ješaanju jednadžbi tubulentne kinetičke enegije ( k ) i disipacije tubulentne kinetičke enegije (ε ) odnosno specifičnoj bini disipacije (ω ). Spomenuti modeli (i njihoe aijacije) osnoa su danas elikog boja komecijalnih ačunalnih inženjeskih pogama na podučju ačunalne dinamike fluida (CFD). Nakon 005. godine, poastom snage ačunala, tj. amahom paalelnih ačunala isokih pefomanci i daljnjim aojem ačunalne numeike, na ažnosti dobiaju i hibidni numeički modeli, pogotoo spajanje RANS i LES modela pi modelianju tubulencije. Algebaski modeli Ou gupu čini skup semiempiijskih modela koji na aličiti način apoksimiaju Reynoldsoo napeanje i uglanom koiste pojam duljini miješanja l m (Pandtl). Koiste se petežno u teoetskoj analii tubulencije, a o čemu su neke postake definiane u pethodnom poglalju. Teoija kaosa Teoija kaosa pedstalja elatino nou ganu matematičke fiike i ona obuhaća ponašanje nelineanih dinamičkih sustaa i njihou osjetljiost na inicijalne i ubne ujete. Petpostalja se da stujanje ealnog fluida, koje se modelia Naie Stokesoim jednadžbama, pedstalja taka nelineani dinamički susta. Pod petpostakom da Naie Stokesoe jednadžbe uključuju kaotično gibanje tada je i njihoo ješenje iuetno osjetljio na početne ujete tj. minimalno aličiti inicijalni ujeti mogu poduciati sasim aličita ješenja. Iako teoija kaosa na početku. stoljeća dožiljaa stagnaciju, ona može dati uid u kompleksnost tubulencije. 4.7 Gubici pi stujanju ealnog fluida u cijeima 4.7. Dimenijska analia gubitaka pi laminanom i tubulentnom stujanje u cijei LAMINARNO STRUJANJE Pi laminanom stujanju fluida u hoiontalnoj cijei pad tlaka Δ p je oisan o sednjoj bini stujanja, duljini cijei L, pomjeu cijei D i iskonosti fluida μ. Nije uključena gustoća fluida ρ, pošto a oaj ežim stujanja ona nije bitan paameta. Vijedi (, L, D, μ) Δ p F. 57

59 Pema teoiji dimenijske analie (iloženoj anije), boj aijabli je n5 ( Δ p,, L, D, μ), boj baih dimenija k3 (M,L,T) pa je sukladno Buckinghamoom Π teoemu boj potebnih P aijabli n-k. Moguće je keiati bedimenijske kocijente D Δp μ φ L D Ekspeimentalno je utđeno da su dije gonje bedimenijske eličine diektno popocionalne pa je moguće pisati D Δp μ C L D. Za cije kužnog popečnog pesjeka utđena je ijednost koeficijenta C3 te slijedi Δ p 3μL / D. D π Uštenjem aijable potoka Q umjesto bine, moguće je dobiti ponati ia Hagen 4 Poiseuilleoe fomule potoka (koja je pethodno iedena u poglalju o Naie Stokesooj jednadži): 4 π Δp D Q. 8μL Ako se ia a pad tlaka Δ p podijeli dinamičkim tlakom ρ / slijedi: Δp ρ 3μL / D ρ 64 ρ μ D L D 64 R e L D odnosno L ρ Δ p λ. D Gubitak tlaka Δ p u gonjem iau moguće je iaiti gubitkom pieometične isine h [m]. U petpostaku Δ p ρgh slijedi L h λ. D g Gonji ia jest Dacy Weisbachoa jednadžba kojom se ačunaju dužinski gubici u cijei kužnog popečnog pesjeka gdje je λ koeficijent tenja (ili Dacyje koeficijent tenja). U slučaju stujanja u cijeima nekužnog poečnog pesjeka (np. kadatnog, paokutnog...) potebno je pethodno iačunati odgoaajuću ijednost hidauličnog adijusa R h a pojedini 58

60 slučaj koji se onda može koistiti u nekom iau a cije kužnog popečnog pesjeka umjesto adijusa R (odnosno pomjea D). Za oaj slučaj laminanog stujanja dobien je koeficijent tenja 64 λ. R e I gonje jednadžbe idljio je da je koeficijent tenja pi laminanom stujanju oisan samo o Reynoldosoom boju dok je samo u slučaju ekstemno hapaih cijei ( e / D ~ > 0. ) koeficijent tenja oisan o hapaosti e. TURBULENTNO STRUJANJE Pad tlaka a tubulentno, stacionano, nestlačio stujanje u hoiontalnoj cijei kužnog popečnog pesjeka pomjea D moguće je odediti u fomi funkcionala na sljedeći način (, L, D, μ, e, ρ) Δ p F. Uspoedbom sa laminanim slučajem uočljio je da je lista aijabli nadopunjena sa hapaošću e i gustoćom fluida ρ. Dimenijskom analiom u boj aijabli je n7, boj baih dimenija k3 (M,L,T) moguće je definiati n-k4 bedimenijskih P aijabli: Δp ~ ρd L φ, μ D ρ Logičnom petpostakom da je pad tlaka popocionalan dužini cijei (što je dokaano i ekspeimentalno) moguće je peuediti gonji ia, e D. Δp ρ L φ R D e, e D. Osim Reynoldsoog boja, u analiu stujanja u cijeima uedena je ažna noa bedimenijska eličina elatina hapaost D e. Kao i u laminanom slučaju slijedi L ρ Δ p λ, D odnosno uođenem aijable gubitka pieometične isine poilai Dacy Weisbacho ia L h λ. D g I poedene analie poilai 59

61 λ φ R e, tj. da je koeficijent tenja u tubulentnom slučaju oisan i o ežimu stujanja tj. Reynoldsoom boju i o kaliteti cjeooda e/d. Ta oisnost je kompleksna i definiana je dugogodišnjim ekspeimentalnim adom nia nanstenika Nikuadse (933.), Moody, Colebook i ostali, a što će biti iloženo u sljedećem poglalju. e D 4.7. Oisnost koeficijenta tenja o ežimu stujanja i hapaosti stijenke Uanoteženje sila a stacionano stujanje (be ubanja) u hoiontalnoj cijei (Sl.4.7.) daje Sl.4.7. Uanoteženje sila a stacionano stujanje u cijei Δpπ τ w π ΔL što ijedi i a laminano i a tubulentno stujanje. Dacy Weisbachoa jednadžba gubitaka a segment cijei Δ L pikaan na pethodnoj slici jest L u Δ p λ Δ ρ. Eliminacija Δ p u dije gonje jednadžbe daje ia oisnosti smičnog napeanja na stijenci τ w i sednje bine u : τ w λ u. ρ 8 Gonji ia ušten umjesto sednje bine u logaitamski akon ida dan u pethodnom poglalju daje ia a koeficijent tenja oblika ( λ ) K K ln R e. λ U koištenje laboatoijskih podataka hapaosti pema Nikuadse-u a hidaulički glatke cijei slijedi ln( R e λ ) 0. 8 λ 60

62 te a potpuno hapae cijei λ ln Gonji ia se u liteatui često naia Von Kamanoa fomula. Gonja da iaa dobiena a laboatoijske ujete hapaosti a hidaulički glatke i ekstemno hapae cijei diektno ijede i a komecijalne cijei. U ekspeimentima s gubicima stujanja u hapaim cijeima (Nikuadse) lijepljena su nca pijeska ti aličita pomjea e na unutanje stijenke cijei ti aličita pomjea D na način da je adžan konstantan kocijent D e (elatina hapaost). Ekspeimenti su pokaali ažnost temina elatine e D. hapaosti D e pošto je a cijei aličitih pomjea dobiena glatka nepekinuta λ-re kiulja (Sl.4.7.). Mjeena je alika tlaka potebna kako bi se ostaio željeni potok te je pomoću tih podataka upotebom Sl.4.7. Nikuadseoi testoi hapaosti L ρ Dacy Weisbachoog iaa iačunaan koeficijent tenja λ Δp /( ). Testoi su D ponaljani a šioki aspon R e i e/d kako bi se dobila tažena oisnost λ λ( R e, e / D). U ealnim cijeima hapaost nije unifomna kao u spomenutim laboatoijskim testoima, ali je ipak moguće koeliati ekialentnu isinu neanina komecijalnih cijei s laboatoijskom hapaošću. Neke pibližne ijednosti dane su u sljedećoj tablici. 6

63 CIJEV mateijal APSOLUTNA HRAPAVOST e [mm] Čelik sa akoicama Beton Do Lijeano željeo 0.6 Galaniiano željeo 0.5 Komecijalni čelik Plastika, staklo 0.0 Tablica 4.7. Apsolutna hapaost a neke ste cijei Radom L.F. Moodyja i C.F. Colebooka koeliani su podaci laboatoijski ohapaljenih cijei s komecijalnim cijeima. Ekspeimentalno je utđeno da se u podučju gdje hapaost oisi i o R e i e/d podaci a umjetno ohapaljene cijei i ealne komecijalne cijei ne poklapaju kao u slučaju ekstemno hapaih cijei i hidaulički glatkih cijei te je stoga u najšiem pijelanom podučju tebalo posebno pažljio koeliati podatke i ekspeimenata na komecijalne cijei. Na slici u dodatku A (Sl.A) pikaan je Moodyje dijagam koji daje oisnost koeficijenta tenja λ o elatinoj hapaosti e/d i Reynoldsoom boju Re a čiste, noe komecijalne cijei. Moodyje dijagam pokia šioko podučje. Laminano podučje do pibližne ijednosti R e , pijelano podučje i tubulentno podučje pokieno je a aspon 8 R e 4000 do R e 0. Na dijagamu je potebno pimijetiti da i a e0 koeficijent tenja nije jednak nuli pošto i u takim hidaulički glatkim cijeima fluid neposedno u stijenku bog t. noslip ujeta miuje. Uijek postoji baem mikoskopska pošinska hapaost koja uokuje tako lijepljenje fluida u stijenku. Cijelo tubulentno podučje Moodyjeog dijagama definia Colebookoa fomula e / D ln. λ 3.7 Re λ koja je bog sojeg implicitnog oblika (λ i s lijee i desne stane jednakosti) nepogodna a paktičnu upotebu pa je češće u upotebi pibližna Colebookoa fomula koja daje ijednost koeficijenta hapaosti u pibližnu gešku od %. Potebno je napomenuti da su u Moodyjeom dijagamu dane ijednosti koeficijenta tenja a noe cijei, a da se upotebom ko duže ijeme u cijeima bog kooije i naslaga može natno poećati hapaost ili čak smanjiti unutanji pesjek, što u pimjeni teba ueti u obi. 6

64 4.7.3 Računanje gubitaka stujanja u komecijalnim cijeima Gubici se klasificiaju kao dužinski (glani) i lokalni. DUŽINSKI GUBICI U oom poglalju dan je pegled iaa koji se koiste u ačunanju gubitaka stujanja ealnog fluida u komecijalnim cijeima. Osim Colebookoih iaa koji definiaju cijelo tubulentno podučje Moodyjeog dijagama dani su i iai koji definiaju samo odeđena podučja dijagama a odeđene aspone R e i hapaosti. Dužinski gubici nastaju bog tenja i popocionalni su dužini cijei, pibližno popocionalni kadatu bine, obnuto popocionalni unutanjem dijametu cijei, oise o pošinskoj hapaosti unutanje stijenke cijei, oise o gustoći i iskonosti fluida i neoisni su o tlaku. 63

65 Pegled iaa a ačunanje dužinskih gubitaka u ealnom cjeoodu Gubici pi stujanju u cijei h g dijele se na dužinske i lokalne gubitke tj. h g hdu hlok. Dužinski gubici ačunaju se pomoću Dacy-Weisbachoe fomule (iedena u pethodnom poglalju): h L du D g 8 LQ g π D λ [ m] ili λ [ m] h du 5,gdje je λ koeficijent hapaosti, D pomje cijei, L dužina cijei, bina stujanja i Q potok. Često se a poačun dužinskih gubitaka koiste i dugi empiijski iai (np. Haen-Williamsoa fomula). Koeficijent tenja λ odeđuje se u oisnosti o ežimu stujanja (Re) ili kaliteti cjeooda (elatina hapaost e/d) pomoću Moodyjeog dijagama (Sl.A.) ili pomoću sljedećih empiijskih iaa: 64 a. Pi laminanom stujanju λλ(re) λ. Re b. Pi tubulentnom stujanju b. Za cijelo tubulentno podučje u λλ(re,e/d), ijedi Colebookoa implicitna fomula e,53 0,869 ln λ 3,7 D Re λ dok se najčešće koisti (geška unuta %) pibližna Colebookoa fomula,35 λ ; e 5,74 ln 0,9 3,7 D Re b. Za jako hapae cijei λλ(e/d) ijedi on Kamano ia (spomenut u pethodnom poglalju) λ,4 0,869 ln e D ; b3. Za hidaulički glatke cijei λλ(re) koisti se Blasiusoa fomula u oganičenje Re< ili Kaman-Pandtloa fomula λ 0,36 0,5 Re ( Re ) 0, 8 log λ λ U gonjim iaima e [m] je isina neanina stijenke cijei, D [m] je pomje cijei. 64

66 LOKALNI GUBICI Sl a,b Lokalni gubici Lokalni gubici nastaju bog odajanja stuje (sepaacija) od stijenke cijei i staanja t. mtih ona u kojima se fluid tloži i cpi enegiju i glane stuje. Lokalni gubici dijele se na lokalne gubitke uslijed pomjene pesjeka stuje fluida (naglo pošienje/suženje, ulana ušća i otoi, ilani otoi, pigušnice, sapnice, difuo postupno pošienje, konfuo postupno suženje, entuijea cije, entili, slaine, asuni, aklopke...) (Sl a,b,c,e); Sl c,d,e Lokalni gubici lokalne gubitke uslijed pomjene smjea stuje fluida ( nagla pomjena smjea - koljeno, blaga pomjena smjea - luk) (Sl.4.7.3d). 65

67 Postoje i lokalni otpoi koji objedinjuju dije gonje gupe i nastaju bog pomjene smjea i pesjeka (ače, bifukacije, sastaci...) Općenit ia a ačunanje ećine lokalnih gubitaka jest h lok k g [ m] 8 Q 4 D g π ili k [ m] h lok gdje je k koeficijent koji se odeđuje ekspeimentalno (Sl.4.6) Seijski spojene cijei Q L L L 3 L 4 3 4, A, h,a,h, A, h 3 3 Sl Seijski spojene cijei 3, A, h Kod seijskih (u niu) spojenih cijei (Sl.4.7.4) ukupni gubitak h g jednak je sumi dužinskih i lokalnih gubitaka h UK λ g. m n Li i j i k j i Di g j Za potok ko cjeood ijedi QQ Q... Q i... Q n pa je a ačunanje ukupnih gubitaka pogodno koistiti i aijablu potoka umjesto bine h UK m n λ 8 L Q i Q 8 i j k j [ m] 5 5 g π D g π D. i i j j Paalelno spojene cijei Kod paalelno spojenih cijei (Sl.4.8) gubici u sim paalelnim ganama su jednaki, a ukupni potok ko cjeood jednak je boju sih potoka u pojedinim ganama: h h h... h... h UK Q Q Q... Q i... Q n i n Ukupne (dužinske i lokalne) gubitke po pojedinim ganama (ia 6d) moguće je iaiti u obliku 66

68 h i i i K Q, a i.. n gdje je K koeficijent ukupnih gubitaka. Ueši u obi ia pethodna da iaa ijedi h K UK UK h h hi K K K i h K n n, odnosno slijedi ia a ukupni koeficijent gubitaka a paalelni spoj K UK K UK K K K K i n h,k UK Q 5,K 5 Q 4,K 4 Q Q 3,K 3 Q Q,K Q,K Sl Paalelno spojene cijei Gadijentne linije Pi analii stujanja kompleksnih cjeooda često se koiste gadijentne linije cjeooda (Sl.4.7.6). Benoullijea jednadžba a stacionano stujanje je ponatog oblika p H E const. duž stujnice ρ g g gdje je H E isina ukupne mehaničke enegije. Dimenija gonje jednadžbe je meta [m]. Koisno je pi opisu stujanja u cjeoodu nactati gafoe isina pojedinih članoa Benoullijee jednadžbe: p ρg pedstalja geometijsku ili geodetsku liniju sustaa (GL) odnosno liniju potencijalne enegije; pedstalja hidauličnu gadijentnu liniju odnosno pieometičnu liniju (HGL); g p ρ g pedstalja enegetsku liniju (EL). Na sljedećim slikama pikaani su odnosi linija a ealne sustae s dužinskim i ealnim gubicima koji uključuju spemnik, entil, suženje cijei mlanicu (Sl4.9), detaljni 67

69 Sl Enegetska linija i pieometična linija a susta sa spemnikom, entilom i mlanicom tok enegetske i pieometične linije na suženju cijei (Sl.4.7.7). Vidlji je položaj enegetske linije koja se nalai inad pieometične linije a /g tj. a inos dinamičkog tlaka. Sl Tok enegetske i pieometične linije na suženju cijei Na slici (Sl.4.7.8) pikaan je sifonski susta cijei sa ugađenom pumpom. Gadijentne linije ctane su inad hoiontalnih dijeloa sustaa. 68

70 Sl Enegetska i pieometična linija a sifon sa ugađenom pumpom EKVIVALENTNA DULJINA CIJEVI Pojam ekialente duljine cijei koisti se pi analii kompleksnih cjeooda kako bi se pojednostaila globalna shema sustaa. Tako se susta od iše seijski poeanih cijei aličitih pomjea može amijeniti s jednom cijei odeđenog ekialentnog pomjea koja će dati isti potok a isti dužinski gubitak. Takođe ni lokalnih gubitaka u nekoj cijei moguće je eliminiati i analie sustaa tako da se poduži duljina cijei kako bi se lokalni gubici nadoknadili poećanim dužinskim gubicima. Ekialenta cije tada će hidaulički biti ista kao i pobitna (kaća) cije sa niom lokalnih gubitaka. Na sljedećoj slici pikaan je susta cijei gdje su lokalnii gubici uključeni u obliku ekialentnih duljina. Sl Enegetska linija a susta ekialentnih cijei 69

71 5. OPTJECANJE TIJELA Gibanje tijela ko fluid (odn. gibanje fluida oko tijela) uokuje napeanja i to smična tangencijalna napeanja na stijenku tijela τ i nomalna tlačna napeanja na stijenku p. Ukupno dobienu silu fluida na tijelo moguće je aložiti na dije međusobno okomite komponente, silu otpoa F D ( dag ) i dinamički ugon F L ( lift ). Sila otpoa F D je komponenta ukupne sile fluida na gibajuće tijelo paalelna s elatinom binom nastujaanja pema tijelu, a dinamički ugon F L je komponenta ukupne sile okomita na elatinu binu pibližaanja fluida. Općenito, smična i nomalna napeanja sudjeluju i u sili otpoa i u dinamičkom ugonu. F D p sin θ ds τ cosθ ds i p cos θ ds τ sinθ ds F L p < 0 Smično napeanje Raspodjela tlaka p > 0 FL FD ds p ds sin p ds ds cos Sl.5. Viskone i tlačne sile na aionsko kilo ds p ds cos p ds sin Ganični sloj Dio stuje fluida koja je pod utjecajem smičnih sila naia se ganični sloj. Ganični sloj i njegoe kaakteistike te način opstujaanja tijela, utječu na intenitete sila dinamičkog ugona i otpoa. Ako je na uodnoj pošini nastujaanja fluida na tijelo stijenka glatka, početni ganični sloj je laminaan (Sl.5.), atim ganični sloj se iše deblja, u njemu stujanje postaje nestabilno, i konačno se tansfomia u tubulentan ganični sloj. pofili bina Laminaan ganični sloj Pijelano podučje Tubulentan ganični sloj Sl.5. Rast ganičnog sloja. Optjecanje ane ploče. Ganični sloj oisan je o gadijentu tlaka. U slučaju pada tlaka u niodnom smjeu, ganični sloj postaje se tanji, a u slučaju poasta tlaka u niodnom smjeu ganični sloj naglo dobia na debljini. Poast tlaka u smjeu stujanja i smična napeanja smanjuju količinu gibanja u ganičnom 70

72 sloju te konačno uokuju odajanje ganičnog sloja od stijenke tijela sepaaciju Sl5.3. Poastom tlaka u smjeu stujanja, niodno od točke sepaacije jalja se potustujanje fluida u tložnoj oni ( wake ) u bliini stijenke. Hidodinamično i aeodinamično oblikoana tijela eliminiaju odn. educiaju efekte sepaacije, dok np. nehidodinamična tijela aijaju jaku silu otpoa ( dag ) bog niskog tlaka u tložnoj oni (wake). Režim stujanja u ganičnom sloju (laminano, tubulentno) ažan je a mjesto pojae sepaacije, tj. odajanja ganičnog sloja od stijenke tijela. Mnogo eća imjena količine gibanja unuta tubulentnog ganičnog sloja, u uspoedbi s laminanim, uokuje dužu slijepljenost ganičnog sloja u stijenku tijela, tj. kasniju točku sepaacije niodno. Na Sl5.3 idljio je da je pi laminanom ganičnom sloju točka sepaacije iše uodno na stijenci kugle nego što je u slučaju tubulentnog ganičnog sloja. Stagnacijska točka RE <.0 CD >.5 Laminaan ganični sloj Tubulentan ganični sloj Stagnacijska točka Sepaacija Vtložna ona Stagnacijska točka Sepaacija Vtložna ona 3 0 <RE <.5 0 CD RE >.5 0 CD 0. 5 Sl.5.3 Optjecanje kugle (malen R E, tubulentan i laminaan ganični sloj) Koeficijenti sile otpoa C D i sile dinamičkog ugona C L Iako iai a silu otpoa F D i dinamičkog ugona F L (dani na početku poglalja) ijede a bilo koje tijelo, njihoa je pimjenjiost jako limitiana. Općenito, a ećinu opstujaanih tijela nemoguće je točno iačunati distibuciju smičnih i tlačnih napeanja na stijenci tijela. Altenatia jest u pibližnom odeđianju daju bedimenijskih paametaa (ekspeimentalno, numeički) koeficijenta sile otpoa C D i koeficijenta dinamičkog ugona C L, kako bi se iačunale sile otpoa F D i dinamičkog ugona F L : F D C D ρ A F L C ρ L A gdje je A neka kaakteistična pošina tijela, a najčešće je to pošina pojekcije tijela na aninu okomitu na ekto bine nastujaanja. 7

73 .0 Rana ploča Kug Elipsa D D D CD 0. Aionsko kilo D 0.5 D 0.0 Rana ploča D 0.8 D D RE D Sl.5.4 Koeficijent otpoa stujanja C D a iše dodimenijskih likoa Bojei C D i C L jesu funkcije oblika, kuta nastujaanja i bedimenijskih eličina np. Reynoldsoog boja, Machoog boja, Foudeoog boja, elatine hapaosti stijenke tj. C D f(oblika, kuta nastujaanja, R e, M a, F R, e/d). Pimje oisnosti sile otpoa o obliku ilustian je na (Sl.5.5) gdje se kod da tijela elike alike u eličini jalja ista sila otpoa F D. 0 D Pomje D (a) FD (a) FD (b) Sl.5.5 Da tijela aličitih dimenija koja imaju istu silu otpoa F D. Koeficijent otpoa stujanja a a.) cilinda C D.; b.) aeodinamičan oblik C D 0. Kod analie utjecaja oblika na koeficijent otpoa C D ažna je i eličina Reynoldsoog boja. Što je Reynoldso boj eći to je efekt hidodinamičnosti tijela snažniji, odnosno kod elikog Reynoldsoog boja hidodinamičnost tijela jako educia silu otpoa. Kod umjeenih ijednosti Reynoldsoog boja kod hidodinamičnih tijela koeficijent otpoa C D se blago smanjuje s poećanjem Reynoldsoog boja. Kod ekstemno nehidodinamičnih tijela, np. ana ploča okomita na smje nastujaanja fluida Sl.5.4, točka sepaacije ganičnog sloja je na samom ubu ploče neoisno o ežimu stujanja u ganičnom sloju, tj. koeficijent otpoa pokauje iaito malenu oisnost o Reynoldsoom boju. Hapaost pošine, u općenitom smislu, poećaa koeficijent otpoa i silu otpoa, a što je pogotoo slučaj sa hidodinamičnim tijelima. Kod nehidodinamičnih tijela, kao što su np. kugla i aljak napoti, poećanjem pošinske hapaosti moguće je smanjiti koeficijent otpoa i silu otpoa. Taj efekt se postiže inducianjem pijelaa u tubulentni ežim stujanja eć kod manjih ijednosti Reynoldsoog boja, a što se postiže hapaošću pošine. Na dijagamu Sl.5.4, Sl.5.6 to bi uokoalo pomak udubine na dijagamu a np. kug (ili aljak, kuglu), koja se jalja u (b) 7

74 5 6 asponu 0 < Re < 0, ulijeo na podučje nižih ijednosti Reynoldosog boja. Imajući u idu pije spomenutu činjenicu da je pi tubulentnom ganičnom sloju točka sepaacije iše niodno i np. golf loptica koja ima neanu pošinu i moguće ju je poistoijetiti sa tećim slučajem na slici Sl5.3, imati će bog fomianog tubulentnog ganičnog sloja i kasnije točke sepaacije, eći domet u letu nego np. neka glatka kuglica. Smanjenje sile otpoa poećanjem hapaosti pošine teba činiti pažljio i a ciljani aspon Reynoldsoog boja, pošto taka postupak može biti i kontapoduktian, a što je očigledno i i dijagama Sl.5.4, Sl.5.6. Putanje np. loptice a stolni tenis su katke te ona nikad ne dostiže bine u tubulentnoj oni pa je njena pošina glatka je bi poećanje hapaosti bilo kontapoduktino. Sl.5.6 Utjecaj hapaosti pošine kugle na koeficijent otpoa Kod konstuianja tijela kod kojih je ažna sila dinamičkog ugona kao što su aionska kila, lopatice tubostojea itd., ažno je dobiti što eću silu dinamičkog ugona F L i istoemeno minimiiati silu otpoa F D. Većina optjecanih tijela koja služe a geneianje sile dinamičkog ugona F L (aionska kila, entilatoi, spojlei na automobilu...) imaju adno podučje pi isokim ijednostima Reynoldsoog boja. Kod takog stujanja smično napeanjeτ (Sl.5.) malo pidonosi ukupnoj sili dinamičkog ugona F L, a ećina sile dinamičkog ugona dolai od distibucije tlaka po pošini p (Sl.5.). Tipična aspodjela tlaka po pošini automobila koji se giba dana je na slici (Sl.5.7). Distibucija tlaka je uglanom konistentna s jednostanim Benoullijeim načelom podučja s isokim binama stujanja (inad koa i pednje haube) imaju niak tlak dok su podučja s nižim binama stujanja (ešetke hladnjaka motoa i pednje staklo) podučja isokog tlaka. C D 73

75 Sl.5.7 Raspodjela tlaka na pošini automobila koji se giba Od iuetne je ažnosti i kut ektoa bine nastujaanja, a na (Sl.5.9) pikaana je oisnost koeficijenata C D i C L o tom kutu. Za aionsko kilo jalja se sila dinamičkog ugona i pi kutu nastujaanja od 0 O pošto su ona u pailu asimetična (Sl.5.8 dolje). Simetično kilo u kut nastujaanja 0 O ne staa silu dinamičkog ugona (Sl.5.8 goe), nego ona nastaje tek poećanjem kuta nastujaanja. Sl.5.8 Simetično i asimetično aionsko kilo Poećanjem kuta nastujaanja obnuti gadijent tlaka na gonjoj pošini kila se poećaa i točka sepaacije se pomiče niodno. Maksimalna sila dinamičkog ugona doseže se pi odeđenom kutu nastujaanja koji aia a aličita aionska kila u asponu od O do 0 O (Sl.5.9). Daljnje poećanje kuta nastujaanja uokuje nagli pad dinamičkog ugona i poećanje sile otpoa. To stanje se oe astoj i jasno je idljio na dijagamu (Sl.5.9) (pomjena kuta nastujaanja postiže se np. aketanjem aionskih kilaca). 74