Laura Radu. Minime şi maxime în matematica elementară

Transcript

1 Lur Rdu Miime şi mime î mtemti elemetră Ploieşti

2 MINIME ŞI MAXIME ÎN MATEMATICA ELEMENTARĂ (EDITIE ONLINE, FORMAT PDF, Autor: LAURA RADU ISBN Site we: wwwmteiforo Tote drepturile preetei ediţii prţi site-ului wwwmteiforo Lurre este oferită grtuit dor pe site-ul wwwmteiforo şi iio prte estei ediţii u pote fi reprodusă fră ordul sris l wwwmteiforo su l utorului lurării Dă oservţi estă rte pe u lt site deât wwwmteiforo vă rugăm să e utţi pe doredrei@hooom (prof Adrei Otvi Dore petru fe demersurile legle

3 CUPRINS Itroduere Cpitolul I Miime şi mime î lgeră Itervle de umere rele Mulţimi mărgiite î R 5 Şiruri mărgiite 7 Ieglităţi remrile î mtemti elemetră 9 5 Vlori etreme le fuţiilor elemetre 6 Proleme reolvte 9 Cpitolul II Miime şi mime î li mtemtiă Etreme lole şi glole le fuţiilor derivile Teoreme fudmetle le liei mtemtie Rolul primei derivte î studiul fuţiilor Rolul derivtei dou î studiul fuţiilor8 5 Proleme reolvte56 Cpitolul III Miime şi mime geometrie Aspete teoretie şi prtie59 wwwmteiforo Proleme re se reolvă u jutorul uor ieglităţi remrile6 Proleme de geometrie re se reolvă u jutorul derivtelor66 Biliogrfie7

4 INTRODUCERE A reolv o prolemă îsemă găsi o ieşire ditr-o difiultte, îsemă găsi o le de ooli u ostol, de tige u oietiv re u este diret esiil A găsi soluţi uei proleme este o performţă speifiă iteligeţei, ir iteligeţ este pjul distritiv l speiei ume (G Pol Îvăţre mtemtiii eerseă gâdire, treeă pitte de orgire logiă ideilor, îtăreşte teţi şi măreşte putere de oetrre î itesitte şi durtă, treeă memori logiă, devoltă u suţit simţ riti ostrutiv şi gustul petru oietivitte şi preiie Studiul mtemtiii urmăreşte să otriuie l formre şi devoltre pităţii elevilor de reflet supr lumii, de formul şi reolv proleme pe relţioării uoştiţelor di diferite domeii, preum şi l îestrre u u set de ompeteţe meite să sigure o itegrre profesiolă optimă Se ştie ă u se pote îţelege, îvăţ şi osolid mtemti umi pri îsuşire uor uoştiţe teoretie, fără pliţii le estor Teori se fieă şi se profudeă umi pri wwwmteiforo reolvre uui umăr ât mi mre de eeriţii şi proleme Aprofudre uoştiţelor de mtemtiă presupue şi demostrţii, folosire teoremelor îvăţte î soluţiore uor proleme u rter prti Prolemele de mim şi miim geometri oferă soluţii prtie î multe împrejurări: î ostruţii, î legătură u eoomiile de mteril şi de muă, l reduere ostului lurărilor, l trsări de drumuri, ăi ferte, et

5 Lurre de fţă preită îtr-o mieră esiilă, simplifită dr rigurosă di put de vedere ştiiţifi, diferite metode şi proedee pri re pot fi soluţiote prolemele de miim şi mim Lurre pote fi privită u mteril util elevilor deoree duă lolltă metode lgerie, de liă şi de geometrie î găsire uor soluţii optime, u pliţii î diferite domeii Treuie remrtă forţ metodelor liei mtemtie l reolvre uor proleme de lgeră şi geometrie, ăror reolvre u este îtotdeu posiilă dă sut plite dor metodele lgerei şi geometriei elemetre Lurre este struturtă pe trei pitole Cpitolul I se referă l miime şi mime î lgeră şi upride oţiui despre itervle, mulţimi şi şiruri mărgiite şi emărgiite, teoreme de mărgiire le estor, ieglităţi remrile î lgeră, vlori etreme le fuţiilor elemetre şi âtev proleme reolvte referitore l este oţiui Cu jutorul ieglităţilor remrile preette, se pot determi umite vlori miime su mime uor epresii re depid de două su mi multe vriile rele, su se pot demostr lte ieglităţi re l râdul lor pri prtiulrire e oferă umite vlori etreme eesre Cpitolul II ordeă oţiuile de vlori etreme î li mtemtiă şi upride proprietăţi de ă le derivtei, rolul derivtelor îtâi şi dou î studiul fuţiilor Cpitolul III preită reolvre prolemelor de miim şi mim geometri u jutorul uor ieglităţi su u jutorul derivtei, dei proleme de geometrie re se reolvă lgeri şi u jutorul liei mtemtie Fiere pitol se îheie u u prgrf e oţie o serie de proleme reolvte e suliiă eesitte studierii prolemelor de miim şi mim, proleme u mre pliilitte î viţ de i u i wwwmteiforo Prolemele de mim şi miim idelieă o îliţie turii şi ostră îşie de oţie efete optime u eforturi, heltuieli miime (G Pol

6 CAPITOLUL I MINIME ŞI MAXIME ÎN ALGEBRĂ Mulţime umerelor rele, ottă u R, re repreetre geometriă o dreptă umită umerelor rele Deoree ître elemetele lui R şi mulţime putelor de pe o dreptă se pote stili o orespodeţă ijetivă, mulţime umerelor rele este umită drept relă, ir umerele rele se mi umes pute Itervle de umere rele Dă, R, <, tui următorele sumulţimi de umere se umes itervle: (, { R / < < } itervl deshis; [, ] { R / } itervl îhis; [, { R / < } itervl îhis l stâg şi deshis l drept; (, ] { R / < } itervl deshis l stâg şi îhis l drept; (, { R / > } itervl deshis l stâg şi emărgiit l drept; [, { R / } itervl îhis l stâg şi emărgiit l drept; (, { R / < } itervl deshis l drept şi emărgiit l stâg; (, ] { R / } itervl îhis l drept şi emărgiit l stâg; (, R mulţime umerelor rele; wwwmteiforo (, [, (, ] Ø şi [, ] { } itervle degeerte Itervlele (,, [, ], (, ], [, se umes itervle mărgiite; şi se umes etremităţile itervlului, etremitte stâgă ir etremitte dreptă Itervlul [, ] se umeşte ompt (îhis şi mărgiit Drept relă şi semidreptele sut itervle emărgiite

7 Mulţimi mărgiite î R Defiiţie: Mulţime evidă A R se umeşte: mărgiită superior (mjortă dă eistă R stfel îât, A; umărul se umeşte mjort l mulţimii A ; el mi mi mjort M se umeşte mrgie superioră mulţimii A şi se oteă supa; mărgiită iferior (miortă dă eistă R stfel îât, A ; umărul se umeşte miort l mulţimii A ; el mi mre miort m se umeşte mrgie iferioră mulţimii A şi se oteă ifa; mărgiită dă este mjortă şi miortă, diă eistă, R stfel îât, A Oservţii: O mulţime este emărgiită dă e este emărgiită iferior su este emărgiită superior Dă u mjort l mulţimii A prţie mulţimii el se umeşte el mi mre elemet şi se oteă u ma Dă u miort l mulţimii A prţie mulţimii el se umeşte el mi mi elemet şi se oteă u mia Dă o mulţime re u mjort, tui e re o ifiitte de mjorţi, vâd mjorţi oriât de mri Dă A u dmite mjorţi, pri defiiţie sup A wwwmteiforo Dă A u dmite miorţi, pri defiiţie if A - Mulţime R R {, } se umeşte drept relă îheită su mulţime etisă umerelor rele Aiom lui Ctor (iom mrgiii superiore Orie sumulţime evidă mjortă lui R dmite u el mi mi mjort 5

8 Eemple de mulţimi mărgiite şi emărgiite: Itervlul (, este o mulţime mărgiită superior şi emărgiită iferior Mulţime umerelor turle este mărgiită iferior ( fiid miort şi emărgiită superior Mulţime umerelor îtregi Z, u dmite if Z şi sup Z Orie mulţime fiită este mărgiită i Dă A (,] tui sup A ii Mulţime B (, u este mărgiită superior, dei u eistă sup B iii Dă C {,, }, tui sup C mc Oservţii: Mrgie superioră, dă eistă, este uiă Următore rterire mrgiii superiore este utilă î reolvre uor situţii şi ume: M sup A dă sut îdepliite simult odiţiile: i petru orie A, vem M ( M este mjort; ii ε >, A stfel îât M ε < A mjorţii lui A sup A Mrgie iferioră, dă eistă, este uiă E pote fi rterită şi pri odiţiile: m if A i A, m (m este miort; M wwwmteiforo ii ε >, A stfel îât < m ε m A miorţii lui A if A Dă eistă ma (respetiv mia, tui supa ma (respetiv if A mia 6

9 Şiruri mărgiite Defiiţie: Se umeşte şir de umere rele orie fuţie f : N R, f ( Dei, u şir este o fuţie de form fieărui umăr,,, u umăr rel, ude N, R, re pue î orespodeţă Numărul re îsoţeşte termeul geerl se umeşte rgul estui, Eemple: ( :,,, şir ostt, re toţi termeii egli u ; ( : şirul umerelor turle; ( f, f f, f f f, şirul Fioi Defiiţie: U şir de umere ( este mărgiit superior (mjort dă ( R stfel îât * N Oservţii: Numărul di defiiţie este u mjort petru termeii şirului Şirul este mulţime mjortă, Defiiţie: ( este mărgiit superior dă şi umi dă mulţime M { N } * wwwmteiforo U şir de umere ( este mărgiit iferior (miort dă ( R stfel îât * N Oservţii: Numărul di defiiţie este u miort petru termeii şirului Şirul ( mulţime miortă este mărgiit iferior dă şi umi dă mulţime M { N } * este 7

10 Defiiţie: U şir de umere ( este mărgiit dă eistă umerele rele şi stfel îât, * N Oservţie: Şirul ( este mărgiit dă şi umi dă mulţime M { N } * este mulţime mărgiită * N Teoremă: Spuem ă şirul ( este mărgiit dă şi umi dă ( M > stfel îât M, Demostrţie: Dă şirul ( este mărgiit tui eistă, R stfel îât, * N Luăm M m{, } > şi tui este lr ă M, ( Presupuem ă ( M > stfel îât M, M M, * N şi dei şirul este mărgiit Defiiţie: U şir re u este mărgiit se umeşte şir emărgiit Oservţii: wwwmteiforo N U şir este emărgiit dă u se pote găsi u itervl de form [ ] * Reultă ă, î re să se fle toţi termeii şirului Dei, oform teoremei, u şir ( este emărgiit dă ( M >, ( stfel îât > M Dă şirul ( u este mărgiit superior şi ( este u şir u, (su, dt, tui şirul ( este de semee emărgiit superior 8

11 Dă şirul ( u este mărgiit iferior şi ( este u şir u, (su, petru dt, tui şirul ( este de semee emărgiit iferior Eemple: Şirul (, este mărgiit deoree este desresător, u termei poitivi Şirul ( u si, N, este mărgiit, deoree este sum două şiruri mărgiite Şirul ( u (, N, este mărgiit deoree mulţime vlorilor şirului este mărgiită, est fiid formtă umi di elemetele şi după um este pr su impr Ieglităţi remrile î mtemti elemetră Ieglităţile preette î otiure sut forte des utilite î pliţii l ivelul liel Cu jutorul lor se pot determi vlorile etreme le uor epresii re depid de umite vriile, se pot demostr lte ieglităţi porid de l este Ieglitte lui Hölder i i i wwwmteiforo /p /q p q i i i i, ( i, i R, i,, p,q >, p q Ieglitte lui Cuh-Buikowski-Shwr i i i i i i i, ( i, i R, i, 9

12 Ieglitte lui Mikowski / p p i i i / p / p p p i i i i, ( i, i R, i,, p Ieglitte lui Jese Fie I R, itervl şi f: I R, oveă Atui ( i I, λ i >, i, vem: f i λii λ i i i Ieglitte mediilor su λi f ( i λ i i mi(,,, mh m g m m p m(,,, mi(,,, Ieglitte lui Ceâşev i i i i i i i m(,, wwwmteiforo,, ( i, i R, i,,, Ieglitte lui Beroulli ( r r, (, r R,, r

13 5 Vlori etreme le fuţiilor elemetre Defiiţie: Fie o fuţie relă f : E R, E R Fuţi f se umeşte mărgiită superior dă mulţime vlorilor ei este mjortă, diă dă eistă u umăr rel M, stfel îât f ( M petru orie E Fuţi f se umeşte mărgiită iferior dă mulţime vlorilor ei este miortă, diă dă eistă u umăr rel m, stfel îât f ( m petru orie E Fuţi f se umeşte mărgiită dă este mărgiită iferior şi superior, diă dă eistă m şi M umere rele, stfel îât m f ( M petru orie E Se pote firm ă fuţi f este mărgiită dă eistă M > stfel îât f ( M, E Di put de vedere grfi, fuţi f este mărgiită dă şi umi dă grfiul estei este upris ître două drepte prlele u O, şi (Fig M f(e wwwmteiforo O E m Fig

14 Fuţi de grdul I Fuţi f : R R, f (,, R, se umeşte fuţie de grdul I Grfiul fuţiei de grdul îtâi este o dreptă (Fig Euţi dreptei este, > < G f O O Fig Fuţi de grdul îtâi este mărgiită dă domeiul de defiiţie este o mulţime mărgiită, ir î otrr fuţi este emărgiită wwwmteiforo O O O G f fuţie fuţie fuţie mărgiită mărgiită mărgiită iferior superior Fig

15 Fuţi de grdul l II-le Fuţi f : R R, f (, se umeşte fuţie de grdul l II-le su fuţie pătrtiă Pri prelurre, fuţi de grdul l II-le se pote due l form Δ Δ f (, umită form oiă Se oservă ă putul V ; este u put speil l grfiului Grfiul fuţiei este o prolă (Fig miim V O O V Fig Î rport u semul lui, vem două uri î studiul fuţiei: - dă >, fuţi f dmite o vlore miimă, dei fuţi este mărgiită iferior; Δ, re se oţie î putul de wwwmteiforo f( f mi Δ

16 mim - dă <, fuţi f dmite o vlore mimă, dei fuţi este mărgiită superior f m Δ, re se oţie î putul de Dă fuţi este defiită pe u itervl mărgiit, tui fuţi este mărgiită Fuţi putere u epoet turl Fuţi f : R R, f (, * N se umeşte fuţie putere de grdul Petru şi se oţi fuţiile de grdul îtâi şi respetiv de grdul l doile Aeste sut uri prtiulre fuţiei putere Dă epoetul este pr tui fuţi este mărgiită iferior de putul şi emărgiită superior f( wwwmteiforo Δ O f( Fig 5

17 Dă epoetul este impr tui fuţi u este mărgiită O Fig 6 Fuţi rdil de ordi Fuţi f : [, [,, f ( se umeşte fuţie rdil de ordi pr Aestă fuţie este mărgiită iferior de, dr este emărgiită superior O wwwmteiforo Fig 7 f( f( Fuţi rdil de ordi impr f : R R, f (, * N u este mărgiită ii iferior şi ii superior 5

18 O f( Fig 8 Dă fuţi rdil este defiită pe u itervl mărgiit tui fuţi este mărgiită Fuţi epoeţilă Fuţi f : R (,, ă f (, >,, se umeşte fuţie epoeţilă de Fuţi epoeţilă defiită pe R este mărgiită iferior de şi emărgiită superior, dr dă este defiită pe u itervl mărgiit, tui e este mărgiită wwwmteiforo O O Fig 9 6

19 Fuţi logritmiă O fuţie de form f logritmiă de ă :(, R, f ( log, >,, se umeşte fuţie Fuţi logritmiă este emărgiită pe R, dr este mărgiită pe orie itervl îhis şi mărgiit O O Fig Fuţii trigoometrie Fuţi f : R [, ], f ( si este mărgiită pe orie itervl wwwmteiforo O - Fig π π m f ( f kπ, mi f ( f kπ, k Z 7

20 Fuţi f : R [, ], f ( os este mărgiită pe orie itervl O - Fig f ( kπ, mi f ( f ( π kπ m f (, k Z π Fuţi f : R (k ; k Z R, f ( tg u este mărgiită pe domeiul de defiiţie, u dmite vlori etreme π O π π wwwmteiforo Fig : π, f ( tg, şi fuţi tgetă, u este Fuţi f R { k ; k Z} R mărgiită pe domeiul de defiiţie 8

21 π Prolem Se dă mulţime A, sup A Soluţie: π π O Fig wwwmteiforo π 6 Proleme reolvte π π * A N Să se determie, dă eistă, mi A, m A, if Se oservă ă <, N *, reultă ă A este mărgiită Este evidet ă A, dei m Asup A Vom răt ă if A urmărid propriette de rterire mrgiii iferiore: i ii >, N * este miort; ε >, N stfel îât < ε > ε 9

22 wwwmteiforo Vom lu ε este el mi mre miort, dei if A Dr A, reultă ă mi A u eistă Prolem Să se studiee mărgiire şirului ( u şi,, ude este u umăr rel supruitr fit Soluţie: Di relţi de reureţă se determiă form termeului geerl pleâd de l eglităţile: Aduâd memru u memru este relţii se oţie: <,, <, de ude reultă ă şirul ( este mărgiit

23 wwwmteiforo Prolem Să se rte ă şirul ( defiit pri ( (,, este mărgiit Soluţie: Este evidet ă >, Se oservă ă: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Dr <,, dei <, de ude se dedue ă < Am oţiut ă < <, şi reultă ă şirul ( este mărgiit Prolem Să se studiee mărgiire şirului de umere rele (, ude p p p p p p,, * N p, p Soluţie: Se oservă ă > p p k, k,,, * N p, p Atui şi > î eleşi odiţii Arătăm ă şirul este mărgiit superior Petru est, putem srie: p p p p p p p p p p p p p p

24 p p p < p Dei < Am rătt ă şirul este mărgiit iferior de şi mărgiit superior de Deduem ă şirul este mărgiit Prolem 5 Arătţi ă următorul şir reuret este mărgiit Soluţie: [,],,, Clulăm ( Se oservă ă şi ştiid ă [,], vem : [,] ( [] ( [, ] [, ] Demostrăm pri iduţie mtemtiă fptul ă orie terme l şirului prţie itervlului [,] Am demostrt ă [, ], diă propoiţi este devărtă petru wwwmteiforo Presupuâd ă k [, ], treuie să rătăm ă k [, ] Avem: (, k k k k k um k [, ] k [,] ( [, ] k [, ] Dei [, ] [, ],, de ude reultă ă şirul este mărgiit Prolem 6 Să se demostree ă petru orie umere rele strit poitive,, este devărtă ieglitte: Soluţie: Prelurăm relţi di euţ stfel:

25 wwwmteiforo, ( relţie e treuie demostrtă Amplifiăm prim frţie u, dou u şi trei u :, relţie e treuie demostrtă Îmulţim memrul stâg u epresi [ ] ( ( (, re repreită u umăr strit poitiv şi pliăm ieglitte Cuh-Buikowski-Shwr : [ ] ( ( ( ( ( ( (, reultă ă relţi ( este devărtă, ee e impliă fptul ă relţi de l re m plet este devărtă, şi ume: Prolem 7 Arătţi ă dă,, >, vem ieglitte:

26 Soluţie: Notăm >, >, > şi reultă: Amplifiăm prim frţie u, dou frţie u şi trei frţie u : ( Folosid ieglitte Cuh-Buikowski-Shwr putem srie: Dr, [( ( ( ] ( tui di relţi ( oţiem: ( ( wwwmteiforo ( (, ( şi reveid l otţiile iiţile, vem: ( ( ee e treui demostrt,,

27 wwwmteiforo 5 Prolem 8 Arătţi ă orire r fi umerele rele strit poitive,, re lo relţi: Soluţie: Amplifiăm prim frţie u, dou u şi trei u î vedere pliării ieglităţii Cuh-Buikowski-Shwr: Apliăm ieglitte lui Cuh-Buikowski-Shwr : ] ( ( [( ( ( ( ( (, reultt oţiut î urm pliării ieglităţii mediilor: g m m Dei

28 wwwmteiforo 6 Prolem 9 Să se demostree ieglitte: ( ( 6 5 6, * N Soluţie: Fiere ftor l produsului se pote srie stfel: ( ( ( ( ( ( ( ( ( Atui vem: ( ( Apliâd ieglitte mediilor g m m petru fiere prteă, oţiem: Dei ( ( 6 5 6, * N, ee e treui demostrt

29 Prolem Fie mulţimile A mi, R, şi { Z 6 6 9, miim} B Clulţi ri ptrulterului determit de elemetele mulţimii ( A {} B Soluţie: Determiăm elemetele mulţimii A Apliăm ieglitte mediilor petru şi oţiem ă mi Numărul se pote srie su form: 6 ( 9 6 ( 9 Numărul este miim dă produsul estui este Reultă ă su 6 Elemetele mulţimilor A şi B sut: A { }, B {, } Atui ( {} B {,} {,} {(, ; (,; (, ; (,} A m şi wwwmteiforo O m h : ( este miim Vlore miimă Ptrulterul determit de ele ptru pute este u pătrt u ltur eglă u uitte, l u, ir ri estui este eglă u u 7

30 Prolem Să se determie fuţi se oţie vlore etremă eglă u Soluţie: f : R R, f (, dă A determi fuţi f îsemă -i prei oefiieţii,, Di doi este f ( reultă euţi şi oţiem euţi f ( şi petru Putul de etrem petru fuţi de grdul wwwmteiforo Ştim ă vlore etremă fuţiei de grdul l doile este eglă u Δ Reultă ă Prolem Dei vem de reolvt sistemul : Apliâd metod sustituţiei, se oţie soluţi este f ( Fie fmili de fuţii de grdul l doile m Să se determie m stfel îât: f să iă o vlore miimă egtivă; f să iă o vlore miimă poitivă; f să iă o vlore mimă egtivă; d f să iă o vlore mimă poitivă f m Δ,, Dei fuţi ăuttă : R R, f m ( ( m ( m m, 8

31 Soluţie: Fuţi pătrtiă f re vlore miimă dă m >, diă m >, ir vlore miimă se oţie petru mi, âd Δ ( m ( m ( m m f mi ( m m m Dei se impue odiţi < şi oţiem m (, (, m Aşdr f re miim egtiv dă re lo sistemul de odiţii: m > Δ < m > m (, (, Pri iterseţi mulţimilor soluţiilor elor două ieuţii se oţie ă m (, Fuţi f re vlore miimă poitivă dă re lo sistemul: m > m > m Reolvâd sistemul reultă miimă poitivă Sistemul de odiţii este m < m < m m Ø, diă u eistă m di R petru re f să iă vlore Soluţi sistemului este m (, m < m (, (, wwwmteiforo d Se impue sistemul de odiţii m < m > m şi găsim m (, m < m (, 9

32 Prolem Fie Soluţie: 8,, R stfel îât şi Să se rte ă,,, Se srie sistemul de odiţii su form: ( Formăm euţi de grdul doi î t u rădăiile şi şi vem : t ( t Cum euţi re rădăiile rele, treuie să puem odiţi, re odue l 8 8, Dr sistemul este simetri î,, şi dei l fel se juge l,, 8 Î oluie,,, wwwmteiforo Δ t

33 CAPITOLUL II MINIME ŞI MAXIME ÎN ANALIZA MATEMATICĂ Fie fuţi Etreme lole şi glole le fuţiilor derivile f : E R,E itervl su reuiue de itervle Defiiţie: U put E se umeşte put de mim lol l fuţiei f dă eistă o veiătte V lui, î re fuţi re vlori mi mii deât î, diă f ( f ( V E, Dă este u put de mim lol l lui f, tui umărul ( l lui f, ir putul ( f ( f se umeşte mim, de pe grfi se umeşte put de mim lol l grfiului Î fig, este ilustrt fptul ă f( f( este put de mim lol l fuţiei f wwwmteiforo O O f( f( Fig

34 Oservţie: Utilire djetivului lol petru u put de mim este motivtă de fptul ă ieglitte ( f ( f re lo pe o ume veiătte V putului Defiiţie: U put E se umeşte put de miim lol petru fuţi f dă eistă o veiătte V lui, î re fuţi re vlori mi mri deât î, diă f ( f ( V E, Dă este u put de miim lol l lui f, tui umărul ( lui f, ir putul ( f ( f( f( f se umeşte miim l, de pe grfi se umeşte put de miim lol l grfiului Î fig, este ilustrt fptul ă este put de miim lol l lui f O O f( f( Fig wwwmteiforo Defiiţie: U put de miim lol su mim lol petru o fuţie f se umeşte put de etrem lol l fuţiei Vlorile fuţiei î putele sle de etrem, mimele şi miimele fuţiei, se umes etremele lole le fuţiei Putele de mim şi de miim lol le grfiului se umes pute de etrem lol le grfiului

35 Defiiţie: U put Oservţii: E se umeşte put de mim solut l fuţiei f dă f ( f (, E Putul E este put de mim solut petru f dă vlorile fuţiei pe domeiul de defiiţie sut el mult egle u vlore fuţiei î reipro Orie put de mim solut este şi put de mim lol dr, î geerl, u şi O fuţie pote ve mi multe pute de mim solut ( şi î fig Defiiţie: U put f O Fig E se umeşte put de miim solut l fuţiei f dă ( f (, E wwwmteiforo Oservţii: U put este miim solut petru f dă vlorile fuţiei pe domeiul de defiiţie sut el puţi egle u vlore fuţiei î Orie put de miim solut este şi put de miim lol, dr, î geerl, u şi reipro O fuţie pote ve mi multe pute de miim solut (,, î fig

36 O Fig Defiiţie: U put de mim solut su de miim solut se umeşte put de etrem solut Oservţie: O vlore mimă lolă pote fi mi miă deât o vlore miimă lolă Teoreme fudmetle le liei mtemtie Teorem lui Fermt Utilitte derivtelor pre î mod evidet î următorul reultt: Teorem lui Fermt wwwmteiforo Fie f : E R, E itervl ir u put de etrem di iteriorul itervlului Dă fuţi f este derivilă î, tui '( f Demostrţie: Presupuem ă este u put de mim lol ( î otrr îlouim f u f Pri urmre eistă o veiătte V V şi dei u umăr ε > stfel îât ( ε, ε V E petru re f ( f (, ( ε, ε

37 Fie ( ε, Atui f ( f ( (deoree ( f ( f, < Cum f este derivilă î, eistă f ( f ( lim f ' < Luăm um (, ε petru re Rţioâd mi sus deduem ă f ( şi î plus, '( ( f ( f ( f ( lim f ' > f ' Di ( şi ( reultă ( Iterpretre geometriă: (, ee e treui demostrt f ( ( Di f '(, reultă ă tget l grfi î putul ( f (, este prlelă u O (fig 5 Teorem lui Fermt spue ă: grfiul uei fuţii derivile re tgetă prlelă u O î putele sle de etrem (de mim su de miim re u oiid u etremităţile grfiului wwwmteiforo O Fig 5 5

38 Oservţii: Teorem lui Fermt re u rter lol Dă putul E [ ; ] -r fi di iteriorul itervlului, tui olui teoremei lui Fermt u mi este devărtă petru ă f ( u r fi fost defiită petru <, respetiv petru > Reipro teoremei lui Fermt, î geerl, u este devărtă, diă derivt uei fuţii se pote ul îtr-u put, fără est să fie put de etrem De eemplu fuţi f : R R, f ( petru re f '( şi dei '( etrem petru f fuţi U put E f R R :, ( derivilă î derivtei f, dr u este put de pote fi put de etrem petru f fără să eiste f '( wwwmteiforo Aş este f, petru re este put de miim, dr ştim ă f u este este 5 Dă f : E R este o fuţie derivilă pe u itervl deshis E, tui erourile f ' sut umite pute ritie le lui f pe E Teorem lui Fermt firmă ă putele de etrem lol le uei fuţii derivile f sut pritre putele ritie, diă putele de etrem lol le lui f sut pritre soluţiile euţiei ( f ' Eemplu: Dă, >,, R, tui Soluţie: Se osideră fuţi f : R R, f f ( (, petru re Cum di ipoteă f ( f (, R se dedue ă este u put de miim petru f şi R Coform teoremei lui Fermt reultă f ( Dr f ( l l Aşdr l l su l(, diă 6

39 Teorem lui Rolle Fie o fuţie f [, ] R :,, R, < Dă: f este otiuă pe itervlul îhis [, ] ; f este derivilă pe itervlul deshis (, ; f re vlori egle l petele itervlului, f ( f (, tui eistă el puţi u put di itervlul deshis (,, (, uleă, '( f Demostrţie: Se lieă urile:, î re derivt se Fuţi f este osttă pe [, ] Î est f '(, (, put (, răspude oluiei teoremei Fuţi f u este osttă Cum f este otiuă pe u ompt [ ] (Weierstrss f este mărgiită şi îşi tige mrgiile pe ompt, diă ( m, M [, ] îât f ( m m, f ( M M, ude M sup f (, m if f ( respetiv iferioră lui f Deoree f u este osttă reultă miim se flă î iteriorul itervlului [ ] m ( f ' m Dei luâd m teorem este demostrtă şi dei orie wwwmteiforo,, tui stfel sut mrgie superioră şi m < M Dă putul de,, tui oform teoremei lui Fermt, Dă m {, }, dei m oiide u uul di petele itervlului [, ], tui f ( f ( f ( m m < M f ( M Î est este lr ă M, putul de mim l lui f, se flă î iteriorul itervlului [, ] Di ou pliâd teorem lui Fermt se dedue '( şi teorem este omplet demostrtă f M Dei M Corolr: Fie f :[ ] R, otiuă pe [, ], derivilă pe (, şi f ( f (, sut rădăii petru f Atui eistă el puţi u put (, stfel îât f '( ( Dei ître două rădăii le fuţiei f se flă el puţi o rădăiă derivtei f ' 7

40 Iterpretre geometriă: Teorem lui Rolle re o iterpretre geometriă simplă Di '( l grfiul fuţiei f î putul ( f ( f reultă ă tget, este prlelă u O (fig 6 Dei dă eriţele teoremei lui Rolle sut îdepliite, tui pe grfiul fuţiei f eistă (el puţi u put ( f (, î re tget este prlelă u O f(f( Iterpretre fiiă: O Presupuem ă este timpul şi ( dreptă, l mometul L mometul Fig 6 f este oordot uui put, re se mişă pe o putul re oordot f (, poi se mişă îtr-u umit mod u vite f '( şi se îtore l putul de plere u oordot f ( ( f ( f ( Este lr ă petru se îtore l putul f ( umit momet, diă l u umit momet vite este ero f '(, l mometul, el treuie să opresă l u wwwmteiforo Oservţii: Teorem lui Rolle este o teoremă de eisteţă Tote ele trei eriţe di teorem lui Rolle sut eseţile petru teorem să fie devărtă Dă u di ele trei ipotee u se verifiă, tui olui teoremei u mi re lo Nu treuie să se trgă olui ă derivt uei fuţii u se uleă î ii u put dă e fuţie u stisfe u di odiţiile teoremei lui Rolle De eemplu f [, ] R :, ( f 8

41 Teorem lui Lgrge Aestă teoremă este o geerlire simplă teoremei lui Rolle î re fuţi f u mi i oligtoriu vlori egle l petele şi le itervlului osidert Mi preis re lo următore: Teorem lui Lgrge :,, R, Fie o fuţie f [, ] R < Dă: f este otiuă pe itervlul îhis [, ] ; f este derivilă pe itervlul deshis (,, tui eistă el puţi u put di itervlul deshis (,, (, f ( f ( ( f '( petru re Demostrţie: Eglitte re pre î teoremă se umeşte formul lui Lgrge Se osideră fuţi g :[, ] R, g( f ( k, ude k R otiuă pe [, ] (difereţă de fuţii otiue, este derivilă pe ( derivile şi g ( f '( k ' Se determiă umărul rel k di eriţ ( g( f ( k ( k k k f f ( f ( g şi oţiem: f ( f ( k Atui fuţi g v ve form: g Evidet fuţi g este, (difereţă de fuţii wwwmteiforo f ( f ( ( f ( Aum fuţiei g i se pote pli teorem lui Rolle Dei eistă (, stfel îât '( diă f ( demostrt f ( f ( ', relţie ehivletă u f ( f ( ( f '( g,, ee e treui 9

42 f Iterpretre geometriă: Formul lui Lgrge srisă su form eprimă fptul ă eistă pe grfiul fuţiei f el puţi u put ( f ( î re pt tgetei ( ( f ( ( f ( f (,,, diferit de etremităţi, ( f ' să fie eglă u pt ordei determită de putele ( f ( B,, ee e îsemă ă estă tgetă este prlelă u ord AB (fig 7 A,, A O Iterpretre fiiă: Fig 7 Presupuem ă este timpul şi ( dreptă, l mometul Epresi f ( f ( wwwmteiforo B f este oordot uui put, re se mişă pe o repreită vite medie mişării putului î itervlul de timp de l l Formul lui Lgrge rtă ă eistă u momet eglă u vite medie î itervlul de timp [, ] î re vite isttee este Corolr : Fie o fuţie defiită îtr-o veiătte V putului, derivilă pe V \ { } şi otiuă î Dă eistă limit λ lim f (, tui f ( eistă şi f ( λ Dă limit λ este fiită, tui f este derivilă î

43 Teorem lui Cuh Fie f g :[, ] R,, < două fuţii u proprietăţile: f, g sut otiue pe itervlul îhis [, ] ; f, g sut derivile pe itervlul deshis ( g '(, (,, tui g( g( şi eistă el puţi u put (, f ( f ( f '( g( g( g' (, ; (formul lui Cuh stfel îât să vem: Demostrţie: Proăm ă g( g( Dă pri surd ( g( pe [, ] odiţiile teoremei lui Rolle şi dei eistă ' (, stfel îât g '( ' otrdiţie u ipote Rămâe dei g( g( h g, tui g verifiă Petru demostrre formulei lui Cuh se osideră fuţi h [, ] R ( f ( kg(, [, ] ( h( f ( kg( f ( kg(, f ( f ( k g( g( h şi de ude se oţie ir de ii wwwmteiforo, î :,, ude k este o osttă relă, re se determiă di eriţ Aum fuţi h verifiă ipoteele teoremei lui Rolle Aşdr eistă (, petru re h '( Deoree h '( f '( kg' ( şi h '( f '( kg' (, reultă ă f '( kg' ( su ( ( f ' k şi eglâd ele două vlori le lui k se oţie formul lui Cuh g' ( g ' Oservţie : Formul lui Lgrge este prtiulr l formulei lui Cuh petru g ( âd

44 Teorem lui Drou Dă f este o fuţie derivilă pe u itervl E, tui derivt Drou pe E, diă, E, λ ( stfel îât f '( λ λ, f ' re propriette lui < şi λ ( f '(, f '( su λ ( f '(, f '(, eistă Demostrţie : Fie fuţi E şi g '( f '( λ <, '( f '( λ > g ( < g(, (, δ Îtr-devăr, deoree g' ( h ( g este otiuă î diă ( g( g' Cum ( g' ( < g g : E R, g( f ( λ, re evidet, este derivilă pe g Vom răt ă eistă δ > stfel îât (,, h se dedue ă eistă > ( g( <, ( δ, şi um > g lim ( g(, fuţi δ stfel îât h ( <, ( δ,, reultă ă g ( < g(, ( δ, Dei fuţi g u-şi tige miimul î Se demostreă log ă g u-şi tige mimul î Cum g este otiuă pe omptul [ ] eistă u put (, g '(, diă f '( λ λ λ,, oform teoremei lui Weierstrss vem ă λ î re fuţi g îşi tige miimul Coform teoremei lui Fermt wwwmteiforo Coseiţă utilă petru studiul semului derivtei Corolr: Fie f : E R o fuţie derivilă Dă f ' i vlori de seme otrre î două pute, di E, tui derivt f ' se uleă el puţi îtr-u put upris ître şi Dă derivt f ' fuţieie f u se uleă pe u itervl I E, tui derivt f ' păstreă elşi sem pe I

45 Se pote ord următore prolemă: Dtă fiid o fuţie f : E R, E itervl, eistă o fuţie F : E R u proprietăţile: F derivilă pe E şi F ( f ( ', E? Dei dă este usoută o fuţie f derivtă fuţiei F ( F, um rtă F? Î orie petru pute vori de F, f F' treuie să iă propriette lui Drou O stfel de fuţie F î ul î re eistă se umeşte primitivă fuţiei f pe itervlul E Proedeul de oţiere fuţiilor F se studiă î drul lulului itegrl Rolul primei derivte î studiul fuţiilor Coseiţe le teoremei lui Lgrge Coseiţ Fuţii u derivt ulă Dă o fuţie re derivt ulă pe u itervl, tui e este osttă pe est itervl Demostrţie: Fie otiuă pe E, E itervl şi f : E R, o fuţie derivilă î putele di iteriorul lui E şi E u elemet fit Dă E este ritrr, tui oform teoremei lui Lgrge plită fuţiei f pe itervlul [, ] su [, ], eistă u put (, su (, stfel îât f ( f ( ( f '( Cum f '(, vem f ( f (, E, ee e rtă ă f este osttă pe E wwwmteiforo Oservţii: Afirmţi reiproă oseiţei este lră Dă o fuţie este osttă pe u itervl, tui derivt estei este ulă pe itervl Coseiţ dă u proedeu de luru pri re se rtă ă o fuţie defiită pe u itervl este osttă Clulăm derivt estei şi dă f ', tui eistă o osttă k R stfel îât f ( k Petru determire osttei se lege o vlore prtiulră di

46 itervlul petru re f ( re o formă ât mi simplă Alteori dă itervlul re form ( tui petru determire osttei se peleă l lulul lim f ( su f ( > lim <,, el itervl Coseiţ Fuţii u derivte egle Dă două fuţii u derivtele egle pe u itervl, tui ele diferă pritr-o osttă pe Demostrţie: Fie ( g' ( f ', E f, g : E R, derivile pe iteriorul lui E şi otiue pe E, E fiid itervl u Aestă odiţie srisă su form ( g ( Dei eistă o osttă diferă pritr-o osttă pe itervlul E f, E rtă ă se pote pli oseiţ k R stfel îât f ( g( k, E, ltfel spus, ele două fuţii Oservţii: Ceriţ E să fie itervl este eseţilă Următorul eemplu ilustreă est fpt: Fie f, g : (, (, R, f ( (, (,,, g,, ( E Evidet f ( g' ( ( wwwmteiforo ',,, E, fără difereţ f ( g( să fie o osttă Dr f g este, (, osttă pe fiere itervl (,, (, âte o osttă pe fiere itervl eglă u şi respetiv Dei f g diferă pri Formulele de l trigoometrie pot fi demostrte utiliâd estă oseiţă Spre eemplu să rătăm ă Se osideră fuţiile ( os f si si os, R f g : R R ' şi g' ( [ os si ] os Aşdr eistă ( g(,, f ( si, g( si os Dei f ( g' ( petru re ', R k R stfel îât f ( g( k, R Luăm âd f Dei k şi formul este stilită

47 U lt reultt importt petru o fuţie derivilă pe u itervl este furit de semul derivtei Aest v fi utilit petru determire itervlelor de mootoie Mi preis re lo următore oseiţă: Fie su Coseiţ Itervle de mootoie f : E R, E itervl, o fuţie derivilă [, ] Dă '( Dă '( f, E, tui f este resătore pe E f, E, tui f este desresătore pe E, Dă '( > Dă '( < Demostrţie: Fie f, E, tui f este strit resătore pe E f, E, tui f este strit desresătore pe E, E, < şi '( f, E Se pliă teorem lui Lgrge pe itervlul Pri urmre eistă (, stfel îât f ( f ( ( f '(, ee e rtă ă ( f ( Aum este lr ă dă f '>, tui m fi oţiut ( f ( f, ee e demostreă ă f este resătore pe E strit resătore pe E, diă Alog dă '( ( f ( f f, E f <, ee e odue l f se oţie ă f ( f ( ( f '( wwwmteiforo Dei petru <, E desresătore pe E Dă '( < desresătore f, E, reultă ( f (, tui găsim ( f (, diă f, ee e îsemă ă f este f > şi pri urmre f este strit 5

48 Oservţii: Petru mr mootoi uei fuţii utiliâd semul derivtei se utilieă tele ele e urmeă E f ( f ( ude î lii orespuătore lui f m idit pritr-o săgetă oriettă î sus fptul ă f este (strit resătore pe E su o săgetă oriettă î jos petru mr fptul ă f este (strit desresătore pe E Petru determi itervlele de mootoie le uei fuţii derivile f : E R, E u epărt itervl di R se proedeă stfel: se luleă derivt f ' fuţiei f ; se reolvă (î R euţi '( f, E ; se determiă itervlele î re f ' păstreă elşi sem ; d se ţie sem de oseiţ şi se stiles itervlele de mootoie Următorul reultt este importt petru ă permite să deidem dă o fuţie este derivilă îtr-u put Codiţi sufiietă est luru să se îtâmple este dtă de : Fie Coseiţ Derivt uei fuţii îtr-u put wwwmteiforo f : E R, E itervl şi E Dă: f este otiuă î ; f este derivilă pe E { }; E f ( f ( eistă lim f '( l R tui f re derivtă î Dă şi f ( l, ' l R, tui f este derivilă î şi f ( l ' 6

49 vem f Demostrţie: Se pliă teorem lui Lgrge fuţiei f pe u itervl [ ], ( f ( f ' ( De ii f ' (, <, u < < ( f (, < şi f f ( l s lim lim ', deoree dă < Alog ( ( l f ' < f ' d eistă şi este eglă u l Dei f re derivtă î şi Oservţii: Aestă oseiţă petru studiul derivilităţii uei fuţii îtr-u put, permite să lulăm derivtele lterle îtr-u put Coseiţ teoremei lui Lgrge dă o odiţie sufiietă petru eisteţ derivtei uei fuţii îtr-u put Codiţi u este şi eesră, după um se pote vede pri eemplul următor Fie f : R R, ( f '(, ude f '( lim si,, f, derivilă î origie şi f '( si os, îtruât se ştie ă u eistă lim os, dr u eistă Dă u di odiţiile oseiţei u-i verifită, olui u este umideât, [, devărtă Spre eemplu fuţi f :[,] R, f ( este derivilă pe [, ( lim f ' < wwwmteiforo, şi totuşi f u este derivilă î, efiid otiuă î est put şi Dr u este elusă posiilitte o fuţie disotiuă îtr-u put să iă totuşi derivtă î est put De eemplu f '(, derivtă lultă folosid defiiţi rtg, f : R R, f ( este disotiuă î şi totuşi, Î odiţiile oseiţei, dă f este derivilă î, v reult ă f ' este otiuă î 7

50 Rolul derivtei dou î studiul fuţiilor Coveitte şi ovitte Î prgrful m văut ă semul primei derivte dă iformţii supr mootoiei fuţiei, ir erourile primei derivte sut evetule pute de etrem Aeste iformţii şi ltele se utilieă î trsre grfiului uei fuţii, umi ă, î destule uri, sut eesre şi iformţii suplimetre, re să le îtregesă pe ele furite de prim derivtă De eemplu o fuţie derivilă pote fi strit resătore î două moduri, după um tget l grfi se flă su grfi (fig 8 su desupr grfiului (fig 8 Alog, o fuţie derivilă pote fi strit desresătore î două moduri după poiţi tgetei l grfi î rport u est: su grfi (fig 9 su desupr grfiului (fig 9 O O Fig 8 wwwmteiforo O O Fig 9 8

51 Defiiţie: O fuţie f : E R, E R itervl, se umeşte oveă pe itervlul E dă, E, t [,] re lo ieglitte: (( t t ( t f ( tf ( f O fuţie f : E R, E R itervl, se umeşte ovă pe itervlul E dă, E, t [,] re lo ieglitte: (( t t ( t f ( tf ( f Oservţii: Dă î defiiţi preedetă ieglităţile sut strite tui spuem ă fuţi f este strit oveă şi respetiv strit ovă Este lr ă fuţi f este ovă pe E dă ( f Iterpretre geometriă Se osideră putele A (, f (, (, f ( f şi putul t ( t t, [,] wwwmteiforo este oeă pe E B, prţiâd grfiului fuţiei t, re prţie segmetului de pete, (se verifiă imedit dul ieglitte t (fig A O C D t Fig B Cord AB re euţi f ( sisă t de pe estă ordă v fi: ( f ( ( f şi ordot putului C de 9

52 ( ( f ( ( ( t f ( tf ( f f t Dă f este oveă, tui f ( t Putul D prţiâd grfiului re oordotele (, f ( t t Semifiţi ieglităţii f ( t, ul fuţiei ovee, este ee ă grfiul fuţiei f este situt su orie ordă dă uim două pute situte pe grfiul fuţiei, u sisele prţiâd lui E Alog, semifiţi ieglităţii f ( t, ul fuţiei ove, este ă grfiul fuţiei f este situt desupr ordei determite de orie două pute situte pe grfiul fuţiei, u sisele prţiâd lui E Dă î fiere put grfiul fuţiei dmite o tgetă uiă, tui ieglitte f ( t este ehivletă u fptul ă î fiere put (, f (, [ ] tget l grfiul lui f este sitută su grfiul lui f Petru ieglitte ( t Teoremă: f iterpretre este logă Codiţie sufiietă de oveitte (ovitte Fie f :[, ] R, < o fuţie de două ori derivilă pe [, ] Dă f "(, (,, tui fuţi f este oveă pe itervlul [ ] Dă f "(, (,, tui fuţi f este ovă pe itervlul [ ] Demostrţie:,, wwwmteiforo Fie < Petru fiere put (, fuţiei f pe itervlele [, ], [, ] şi dei eistă (,, (, f ( f ( f ( f ( f '(, f '( f Cum < reultă '( f ( ( f ( f ( f ( ', se pliă teorem lui Lgrge stfel îât f (di euţ f rtă ă f este resătore diă 5

53 Di (,, ritrr, est este ehivletă u sriere: ( t t t (, Îlouid pe î ieglitte de mi sus reultă f ( ( t f ( tf ( rtă ă f este oveă pe [, ] Se demostreă î mod log,, ee e Oservţie: Este vlilă şi firmţi reiproă teoremei şi ume: Dă f :[, ] R este de două ori derivilă pe [ ] tui f (, şi este oveă (ovă, Iterpretre geometriă Derivt dou f, fiid derivt primei derivte, di f se dedue ă f este o fuţie resătore, ee e îsemă ă petru u grfi ove, pt tgetei l grfi reşte âd putul de tgeţă se deplseă spre drept (fig O iterpretre logă se pote d dă f O Fig wwwmteiforo 5

54 Itervle de oveitte (ovitte Teorem terioră firmă ă semul elei de- dou derivte e permite să găsim itervlele de oveitte şi ovitte petru o fuţie Petru determire itervlelor de oveitte (ovitte se prurg următorele etpe: Se luleă f "; Se reolvă euţi "( f ; Cu jutorul rădăiilor derivtei dou se determiă itervlele pe re derivt dou păstreă elşi sem; Dă f "> pe u itervl, tui f este oveă pe el itervl, ir dă f "< pe u itervl, tui f este ovă pe el itervl Fptul ă pe u itervl [, ], f este oveă su ovă se mrheă îtr-u tel de form: f ( f ( f oveă wwwmteiforo f ( f ( f ovă 5

55 Codiţie sufiietă petru u put de ifleiue Teoremă: Fie f : E R şi u put di itervlul E Dă f este de două ori derivilă îtr-o veiătte V lui şi dă eistă două umere α, β V stfel îât: α < β ; < f ; ( ( < f pe ( pe (, β, α, şi > tui este put de ifleiue petru f f R R Putul ( f ( Oservţii: f pe (, β su ( > f pe ( M, se umeşte put de ifleiue l grfiului Codiţi ( :, ( α, şi f < f u impliă utomt put de ifleiue Îtr-devăr fie f petru re şi ( f ( Euţi ( f, re îsă u este put de ifleiue petru f deoree ( > şi petru > Codiţi f să fie otiuă î este importtă Fie f : R R, (,, f re ( >, < f,, > f re soluţi f, tât petru < ât wwwmteiforo ee e îsemă ă pe itervlul ( ;, < f, diă f este ovă, ir pe ( ;, f >, diă f este oveă Dr u este put de ifleiue, fuţi efiid otiuă î est put De semee dă f u re derivtă (fiită su ifiită î, tui u este put de ifleiue petru f 5

56 Fie f, : R R, (, f, tui ( >, < f şi, >, < f ( Se osttă ă f este otiuă î, > ' ' şi f (, ( wwwmteiforo s f Dei f u re derivtă î Aest put este put ughiulr petru f, deşi f > dă < şi f < petru > Petru să fie put de ifleiue petru fuţi f (îdepliid odiţiile teoremei treuie să vem u di situţiile de mi jos: f ( f ( f ( De eemplu, fie fuţi f ( f ( f ( f : R R, f ( Avem f ( şi d f ( 6 Euţi f ( re soluţi Cum f ( < dă < şi f ( > dă > reultă ă este put de ifleiue petru f, ir putul (, este put de ifleiue petru grfiul fuţiei 5

57 Codiţie sufiietă petru u put de etrem Studiid semul derivtei îtâi de o prte şi de lt uui put de etrem, se pote prei dă est este put de mim su miim Aeeşi oluie se pote trge di studiul semului derivtei dou îtr-u put de etrem Fie Teoremă: f : (, R o fuţie de două ori derivilă şi u put de etrem petru f Dă f ( >, tui este put de miim lol petru f Dă f ( <, tui este put de mim lol petru f Demostrţie: Di f ( >, eistă δ > stfel îât pe δ,, f este resătore ( δ Dr di ipoteă f ( Atui δ, vem f ( f (, diă pe ( itervlul δ, fuţi f este desresătore Alog dă,, tui ( ( δ f ( f ( şi pri urmre f este resătore pe itervlul, De ii se dedue ă este u put de miim petru f Alog u demostrţi ( δ Oservţie: Dă f ( <, tget l grfi î putul, f ( se flă ( desupr grfiului, ir dă f ( > estă tgetă este su grfi wwwmteiforo 55

58 5 Proleme reolvte Prolem Dă,, >,, R, tui Soluţie: Se osideră fuţi f R R di ipoteă f ( f (, ( R :, f (, petru re f ( wwwmteiforo Cum, se dedue oform defiiţiei uui put de miim, ă este put de miim petru f şi R Coform teoremei lui Fermt, derivt f î est put este ulă, diă (, şdr l l l Dr f ( l l l reultă ă Prolem (Geerlire prolemei Soluţie Dă >, i, i, i i i i, ( R Se osideră fuţi f R R su l (, tui i :, ( i i f de ude Este lr ă (, tui relţi dtă devie: f ( f (, ( R f rtă ă putul este put de miim petru fuţi f Coform teoremei lui Fermt, reultă ă f ( şi tui ( l l l f f ( l l l, ude: l l l, ee e f ( l i i l i i i i, i i i ee e treui demostrt 56

59 Prolem Soluţie: Prolem Soluţie: Să se rte ă eistă u umăr rel, > u propriette : Fie fuţi f : R R defiită pri f ( (, ( R Di ipoteă vem f (, ( R Cum f ( reultă ( f ( put de miim l fuţiei f f diă este Apliâd teorem lui Fermt reultă ă f (, dr f ( l ( l f e Î est f ( e (, derivt este ( e Telul de vriţie l fuţiei este: Dei wwwmteiforo f şi re rădăi - f ( f ( este put de miim petru fuţi dtă, diă ( f (, dei f, R, ee e îsemă ă e, R, de ude reultă ă e verifiă odiţiile prolemei Aflţi R stfel îât rtg, R Fie fuţi Evidet ă ( f : R R, f ( rtg f şi f ( de ude reultă ă este put de miim petru fuţi f f şi oform teoremei lui Fermt ( Dr f ( ( şi um, de ude reultă ă f ( ( f oţiem 57

60 Demostrăm um ă rtg, R Fie f Avem: : R R, f ( rtg şi studiem semul estei fuţii f ( ( ( Aflăm rădăiile derivtei îtâi: f ( su ( Se oservă ă euţi ( u dmite soluţii rele şi derivt îtâi fuţiei f dmite o sigură rădăiă Ţiâd ot ă umitorul derivtei este u umăr strit poitiv orire r fi R, tui telul de vriţie l fuţiei este: f ( f ( f ( wwwmteiforo Di tel se etrge olui ă f este desresătore pe (, (, de ude reultă ă este u put de miim f, R, diă rtg, R Atui ( f ( şi resătore pe 58

61 CAPITOLUL III MINIME ŞI MAXIME GEOMETRICE Aspete teoretie şi prtie Prolemele de miim şi mim geometri oferă soluţii prtie î multe împrejurări: l ostruţii, î legătură u eoomiile de mteril şi de muă, l reduere ostului lurărilor, l trsări de drumuri, ăi ferte, et Vreme îdelugtă, petru evlu o suprfţă ultivtă, se măsur umi perimetrul, deoree se rede ă uui perimetru mi mre îi orespude o rie mi mre Geometrii u rătt de mult ă estă părere este u totul greşită Astfel: U dreptughi u lugime de m şi lăţime de m re perimetrul de 8 m şi ri de 8 m, u pătrt u ltur de m re perimetrul tot de 8 m, îsă ri lui este de m Asemee osttări u odus l studiere prolemelor de flre figurilor re u ri e mi mre ditre ele re u elşi perimetru, şi ivers, studiere prolemelor de flre figurilor re u perimetrul el mi mi ditre ele re u eeşi rie Di ele spuse mi sus se despride următore idee: uor proleme de mim su de miim le orespud lte proleme, respetiv de miim su de mim, este fiid reiproe le elor ditâi De eemplu: propoiţi: re reipro: wwwmteiforo Pătrtul este dreptughiul re, u u perimetru dt, re ri e mi mre, Ditre dreptughiurile ehivlete, pătrtul re perimetrul miim ; prolemei direte de determire uui miim: Ditre tote triughiurile ehivlete, re re perimetrul miim? îi orespude reipro de determire uui mim: Ditre tote triughiurile vâd elşi perimetru, re re ri mimă? 59

62 Reiproele se pot trt idepedet de propoiţiile direte, îsă ele pot fi şi deduse di este Reolvre prolemelor de miim su mim se fe pri trsformre estor î proleme mi simple re să îlesesă găsire soluţiei, su re să oduă l o propriette su teoremă uosută, um r fi: Îtr-u triughi ughiului mi mre i se opue ltur mi mre şi ivers, lturii mi mri i se opue ughiul mi mre Distţ e mi surtă ditre două pute orere lute pe două drepte prlele, este lugime perpediulrei ditre ele două drepte Ditre două orde le uui er, e mi lugă este e mi propită de etrul erului Petru reolvre prolemelor de miim su mim, sut utile şi teoreme um r fi: Produsul două vriile ăror sumă este osttă este mim âd ftorii sut egli, su dă ei u pot fi egli, tui âd difereţ lor este miimă Sum doi termei l ăror produs este ostt, este miimă, âd termeii sut egli, su dă ei u pot devei egli, tui âd difereţ lor este miimă Dă sum pătrtelor două tităţi vriile este osttă, produsul elor două vriile este mim âd ftorii sut egli Dă produsul două tităţi vriile este ostt, sum pătrtelor ftorilor este miimă âd ftorii sut egli wwwmteiforo 6

63 Proleme re se reolvă u jutorul uor ieglităţi remrile Prolem Dă sum lugimilor elor şse muhii le uui tetredru tridreptughi ABCD, u m( BACm( CADm( DAB 9 este S, să se determie volumul său mim Soluţie: D Notăm AB, AC, AD Avem V Deoree BC BD A ABC AD Δ 6 ABCD, DC,, este devărtă eglitte S Di ieglitte mediilor m p m m g deduem ă: şi oţiem: wwwmteiforo B A C S Apliăm di ou ieglitte mediilor petru,, şi vem: 6

64 Dei : S S ( şi pri ridire l u vem S 7 (7 5, de ude reultă ă: S 7 (7 5 Ţiâd ot de formul volumului, oţiem: S V 6 6 (7 5 Tote ieglităţile de mi sus devi eglităţi âd şi î est volumul îşi tige vlore mimă: V Dă luăm Prolem S m S 6 (7 5 vem S ( şi dei S Se osideră triughiul ABC î re se du îălţimile AD, BE si CF Aeste iterseteă erul irumsris triughiului i M, N si P Să se rte ă este devrtă ieglitte : Demostrţie: σ[ MNP] AD BE σ[ DEF] AM BN CF 9 CP wwwmteiforo Avem ă A B deoree suîtid elşi r MC, dr A B vâd elşi omplemet C Reultă ă B B, de ude deduem ă Δ BDM Δ BDH şi de ii, MDDH Alog NEEH şi PFFH Dei segmetele DE, EF şi FD sut liii mijloii î triughiurile HMN, HNP şi respetiv HPM, ele sut prlele u ele şi egle u jumtte elor 6

65 A N P F H B D C M Reultă imedit ă triughiurile DEF şi MNP sut semee şi u rportul de semre σ[ MNP] egl u Reultă ă rportul riilor este σ[ DEF] Avem: AD BE CF AD BE CF AM BN CP AD DM BE EN CF FP Apliâd ieglitte mediilor, m m h oţiem: AD AD DM BE BE EN wwwmteiforo 9 HD HE AD BE HF CF E CF CF FP DM AD EN BE 9 HD BC HE AC HF AD BC BE AC CF FP CF 9 AB σ[ ABC] AB σ[ ABC] 9 AD AM BE BN CF CP 9 σ[ MNP] AD BE CF 9 Dei 9 σ[ DEF] AM BN CP ee e treui demostrt σ[ MNP] AD BE CF 9, σ[ DEF] AM BN CP 6

66 Prolem Î iteriorul uui triughi orere ABC se osideră u put M re se proieteă pe dreptele BC, CA, AB respetiv î P, Q, R Să se preiee poiţi putului M petru re sum BC MP CA AB să fie miimă A MQ MR Soluţie: Notâd vem Fie BC, AC, AB, Q p ( R M MP, MQ, MR Atui: BC CA AB MP MQ MR B P C Di S SΔ ABC SΔ BMC SΔ CMA S AM S ( Δ Folosid ieglitte Cuh-Buikowski-Shwrt putem srie: ( ( Avâd î vedere ă Pri urmre, ( ( S pr ( p S p r p mi âd r, diă r wwwmteiforo deoree dă îlouim î ( reultă ( S S p S r p Î oluie, M este etrul erului îsris î triughiul ABC 6

67 Prolem Fie OABC este u tetredru petru re OA OB OC OA u muhiile OA, OB, OC vâd lugimile,, ir OH este îălţime tetredrului, H (ABC Fie M u put situt l mijloul lui OH şi d, d, d distţele de l M l feţele lterle (OAB, (OBC, (OAC Soluţie: Arătţi ă: d d d ; ddd ; 6 OH d d d Sriem V OABC VMOAB VMOBC VMOAC VMABC dr V V V OABC S ΔOAB d 6 d S ΔOBC d S ΔOAC d S ΔABC MH d ABC OABC, S ΔABC OH V 6 OABC d 6, reultă: S Δ OH VOABC d d d OABC V OABC d d d d d d d d d wwwmteiforo Apliâd ieglitte mediilor m m g, vem: d ( d d dd d C A O M H N B 7d d d ( d d d 6 Folosid ieglitte Cuh-Buikowski-Shwrt oţiem: d d d ( d d d ( d d d ( 6 65

68 d ( d d d ( d d ( Î Δ CON, dreptughi î O, vem : Dei d OAOB OC OH AB AB OA OB OC AB AB OH ( ( OH ( OH d d Proleme de geometrie re se reolvă u jutorul derivtelor Petru determi vlore mimă su miimă uei mărimi, se eprimă vlore estei (dă e posiil pritr-o fuţie şi poi se studiă vriţi fuţiei oţiute u jutorul derivtei Petru trspue reolvre prolemei de mim su miim î limjul mtemti u jutorul uei fuţii de o sigur vriilă se foloseşte următorul lgoritm: Se lege u prmetru oveil, se oteă de regulă u şi se eprimă mărimile di prolemă î fuţie de ; wwwmteiforo Petru mărime e treuie să tigă vlore mimă su miimă, se determiă o fuţie de vriilă ; Se stileşte itervlul pe re fuţi treuie să tigă vlore mimă su miimă; Cu jutorul derivtei se determiă putele de mim su miim pe itervlul stilit; 5 Se determiă mărime euosută di prolemă şi dă se ere şi vlore mimă su miimă 66

69 Oservţii: Dă itervlul este deshis, (, şi pe est itervl fuţi re u umăr fiit de pute de mim su miim, tui vlore e mi mre su e mi miă fuţiei v fi tisă îtr-u put de mim su de miim Nu îtotdeu este oveil să se otee u mărime euosută prolemei Se oteă u e mărime petru re fuţi oţiută este uşor de erett u jutorul derivtei Prolem Să se fle lturile dreptughiului u ri mimă, îsris î elips Soluţie: Fie M u put l elipsei şi ostruim dreptughiul re re u vârf î putul M Notăm sis lui M u şi lulăm ordot stfel: A wwwmteiforo dei M re oordotele (, Ari dreptughiului este: S L l S( O B B S( M(,, A 67

70 Derivt futiei S este : S ( S ( Rădăiile derivtei sut ± Cum S( este poitivă petru şi egtivă petru,, tui l şi L, ir S m Prolem, este u put de mim lol Dei Să se determie dreptughiul de rie mimă îsris îtr-u er de ră R Soluţie: Se oteă u şi dimesiuile dreptughiului ABCD îsris î erul de etru O şi ră R le ărui digole sut dimetre şi dei se iterseteă î O Ari dreptughiului este S Se eprimă î fuţie de şi î est fel ri S devie o fuţie de o sigură vriilă wwwmteiforo Î triughiul dreptughi ABC, pliăm teorem lui Pitgor, ţiâd ot ă >, oţiem R Aşdr ri v fi R, ir de ii, S( R, (, R Treuie să determiăm pe petru re ri S să fie mimă Derivt D A O C B fuţiei S este (R S (, ir euţi S ( re soluţi R ( > R Deoree S ( > petru < R şi S ( < petru > R, deduem ă R este put de mim petru S, ir m S( R De ii oţiem ă (, R 68

71 wwwmteiforo 69 R Aşdr dreptughiul de rie mimă îsris î erul de ră R este pătrtul de ltură R Prolem Să se determie îălţime uui o îsris îtr-o sferă de ră R, stfel îât volumul oului să fie mim Soluţie: Notăm AO Coform teoremei lui Pitgor î AOO Δ reultă ă R OO ir H o VO R R Atui volumul oului v fi: o o H A V ( R R V o π Am oţiut fuţi: ( ( R R V π ude (,R Ceretăm fuţi V( u jutorul derivtei: ( ( R R R R R V π π ( R R R R R R R π π R R R R R R R R π π Reolvăm euţi ( R R R R V ; R R R ( ( R R R V A B O O

72 R R 9 R R 9 8 R ( 9 8R 8R 9 R ± R Dr ţiâd ot de odiţi ă (, R, reultă ă re este put de 8R mim Atui H R R 9 R 9 R R R R Dei, volumul oului îsris î sfer de ră R este mim dă îălţime oului este H R wwwmteiforo 7

73 Biliogrfie L Armă, T Moro, Proleme de lul difereţil şi itegrl, Ed Tehiă, Buureşti, 978; M Burte, G Burte, Mtemtiă - mul petru ls IX-, Editur Crmiis, Piteşti ; J Crîgu, Aliă mtemtiă, Ed Fudţiei Uiversitre Duăre de Jos, Glţi 6; I C Drăghiesu, V Msgrs, Proleme de geometrie, Ed Tehiă, Buureşti 987; 5 M Gg, Elemete de liă mtemtiă - mul petru ls XI-, Editur Mthpress, Ploieşti ; 6 M Gg, Mtemtiă - mul petru ls X-, Editur Mthpress, Ploieşti 5; 7 L Niolesu, V Boskoff, Proleme prtie de geometrie, Editur Tehiă, Buureşti 99; 8 L Olărşu, Proleme de etrem î mtemtiă, Editur Pim, Işi 9; 9 I Petriă, E Costtiesu, D Petre, C Ştef, Eeriţii şi proleme de liă wwwmteiforo mtemtiă, ls XI-, Editur Petrio, Buureşti ; I F Suvorov, Curs de mtemtii superiore, Editur Tehiă, Buureşti 955 7