Adrian Stan Editura Rafet 2007
|
|
- Μίδας Αγγελίδου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Dreptul de copyright: Crte dowlodtă de pe site-ul u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului Adri St Editur Rfet 007
2 . Mulţime umerelor rele.. Scriere î z zece: cd 0 0 c0 d -cifr miilor; -cifr sutelor; c-cifr zecilor; d-cifr uităţilor;, efg 0 e0 f 0 g0 0 e0. f 0.0 g0.00 e-cifr zecimilor; f-cifr sutimilor; g-cifr miimilor.. Frcţii c -Frcţii zecimle fiite:, ;, c ; Frcţii zecimle periodice:- c simple:,( ;,( c ; 9 99 c cd mite:, ( c ;, ( cd ; Rporte şi proporţii se umeste rport 0; k se umeşte coeficiet de proporţiolitte ; Propriette fudmetlă proporţiilor: k, * Q, c d d c 4. Proporţii derivte: c d d d c su su c c d c ± c ± d su ± c ± d d c c su su d d c d.
3 5. Sir de rporte egle: ;... (,,,... şi (,,,... sut direct proporţiole.. k. (,,... şi (,,,..., sut ivers proporţiole.. 6. Modulul umerelor rele Proprietăţi:, 0 def 0, 0, 0., R 0 ;. 0, 0. R ;, ; 4., ± ; 5. ; ± ; ; 8., ±, 0 ; 9., [, ], 0 ; 0., [, ] [, ], Reguli de clcul î R. ( ;. ( ;. ((- - ;
4 4 4. ( c c c c 5. ( ; 6. ( ; 7. ( ( ; 8. ( (. 8. Puteri cu epoet îtreg fctori def ; 4. 0, 7. (. 0, 6.. ( 5. 0; ;0 ;. m m m m m m m m o 9. Proprietăţile rdiclilor de ordiul doi. R, 0.. 0, 4. (, 5. ± ± ude ²-k².
5 0. Medii y Medi ritmetică m Medi geometrică m g y p q y Medi podertă m p ; p, q poderile p q y Medi rmoică m h. y y Ieglitte mediilor y y y y. Ecuţii 0, 0 ±, 0 ; ± 4c c 0,. 0, 4c 0., 0 ±., 0 [,. []. Procete p % di N N p 00 5
6 S p D. Doâd oţiută pri depuere l că uei 00 sume S de i pe o periodă de lui cu procetul p l doâdei ule cordte de că. Cât l sută reprezită umărul di N. 00 % di N. N. Prte îtregă. [] { }, R, [ ] Z şi { } [0,. [ ] < [ ] [ ] < K Z. [] [] y 4. [ k] k [ ]. î., y [ k, k ] y <, k Z, R 5. { k} { }, R, k Z 6. Dcă {} { y} y Z 7. Dcă R [ ] [ ] Z [{ }] 0, {[] } 0, { } { } 8. Idetitte lui Hermite [] [ ],, y R 9. [ y] [ ] [ y], R 0. Prim zecimlă, după virgulă, uui umăr N este dtă N N N 0 de [ 0 { }] su [( [ ] ] 6
7 . Ieglităţi k k. > < k ( 0, k < k k m m. 0 < ( ( 0 m, N. ( > 0 < < k - k k k k > k - k. k k k 5., R 6.,, > 0 7. c c c,, c R 8. ( c ( c,, c R c 9. ( c,, c R c 0. c ( c,, c ( ( (......, N. ( (., N,, > 0. r 4. 0 < < <, r > 0. r r < >, r > 0 r 7
8 5. ( > ±,, R suc. 7. ± ±... ±..., i R su C. 8. i R su C. 9. <! ( ( m 0., Z, m, Z, Q m.. Numerele pozitive,, c pot fi lugimile lturilor uui triughi * dcă şi umi dcă, y, z R. i y z, z, c y.., > 0, * c c.,, c R 6. c 4. Dcă,..., 0 si... k costt tuci produsul k... e mim câd Dcă.,..., 0 si k costt... < i miimă tuci câd... k. i e 6. Dcă,..., 0 si... k costt tuci... p p p este mim câd p p k *..., pi N, i, p p... p 8
9 7. Teorem lui Jese: Dcă f : Ι R, (Ι itervl si f (, Ι... f... f ( Ι, i,. i ( f ( f ( f ( Ieglitte mediilor ( i 0, i,. eglitte câd i j, i, j,. 0. Ieglitte lui Cuchy-Buikowsky-Schwrtz. ( ( ( i, i R. i j. Ieglitte mediilor geerlizte: " ". i j β β β,, R, β, i i......, β R Ieglitte lui Beroulli:,, N (. 9
10 .Mulţimi. Operţii cu mulţimi.. Asocitivitte reuiuii si itersecţiei: A (B C(A B C A (B C(A B C. Comuttivitte reuiuii si itersecţiei: A BB A A BB A. Idempoteţ reuiuii si itersecţiei: A AA A AA 4. A ØA A ØØ 5. Distriutivitte reuiuii fţă de itersecţie: A (B C(A B (A C 6. Distriutivitte itersecţiei fţă de reuiue: A (B C(A B (A C 7. A,B E, (A B A B 8. A E, ( AA (A B A B 9. A\B (A B 0. A\(B C(A\B\C A\(B C(A\B (A\C (A B\C(A\C (B\C (A B\CA (B\C(A\C B. A (B C(A B (A C A (B C(A B (A C A (B\C(A B\ (A C A B B A A B ( ( A> B A B ( (( A ( B A B ( A ( B A B ( A ( B C E A ( E ( A A\B ( A ( B 0
11 . Relţiile lui de Morg. pך (q p ך, qך qךp p ך. qך. p (q r (p q (p r, p (q r(p q (p r.. pך pa, pך F. p 4. p q pך q. 5. p q (p q (q p pך q ך q p. 6. p A p, p AA 7. p q q p, p q q p.8 ppךך 9. p pך F, p pך A 0. (p q r p (q r (p q r p (q r. p F p p F F
12 4. Progresii. Şiruri Se cuosc dej şirul umerelor turle 0,,,,4,.,şirul umerelor pre,4,6, Di oservţiile directe supr cestor şiruri, u şir de umere rele este dt î form,,,... ude,, sut termeii şirului ir idicii,,, reprezită poziţi pe cre îi ocupă termeii î şir. Defiiţie: Se umeşte şir de umere rele o fucţie f: N* R, defiită pri f( Notăm ( şirul de terme geerl, N* Oservţie: Numerotre termeilor uui şir se mi pote fce îcepâd cu zero: 0,,,... i, i se umeşte termeul de rg i. U şir pote fi defiit pri : descriere elemetelor mulţimii de termei.,4,6,8,.. cu jutorul uei formule c pritr-o relţie de recureţă. U şir costt este u şir î cre toţi termeii şirului sut costţi : 5,5,5,5,.. Două şiruri (,( sut egle dcă, N Orice şir re o ifiitte de termei.
13 . Progresii ritmetice Defiiţie: Se umeşte progresie ritmetică u şir î cre difereţ oricăror doi termei cosecutivi este u umăr costt r, umit rţi progresiei ritmetice.. Relţi de recureţă ître doi termei cosecutivi: r,.,, -,, sut termeii uei progresii ritmetice. Termeul geerl este dt de : ( r 4. Sum oricăror doi termei egl deprtţi de etremi este egl cu sum termeilor etremi : k k 5. Sum primilor termei : S ( 6. Şirul termeilor uei progresii ritmetice: r, r, r,., m ( m r 7. Trei umere,, se scriu î progresie ritmetică de form : u v u u v u,v R. 8. Ptru umere,,, 4 se scriu î progresie ritmetică stfel: u v, u v, u v, 4 u v, u,v 9. Dcă i k k k k R.
14 4. Progresii geometrice Defiiţie : Se umeşte progresie geometrică u şir î cre rportul oricăror doi termei cosecutivi este u umăr costt q, umit rţi progresiei geometrice.. Relţi de recureţă : q,.,, -,, sut termeii uei progresii geometrice cu termei pozitivi. Termeul geerl este dt de : q 4. Produsul oricror doi termei egl deprtti de etremi este egl cu produsul etremilor k k 5. Sum primilor termei i uei progresii geometrice : S q q 6. Şirul termeilor uei progresii geometrice : q, q,... q,..., 7. Trei umere,, se scriu î progresie geometrică de form : u * u u v, u, v R v 8. Ptru umere,,, 4 se scriu î progresie geometrică stfel : u v u v u v * 4 u v u, v R 4
15 5. Fucţii I. Fie ƒ: A B. Fucţi ƒ este ijectivă,dcă,y A, y>ƒ( ƒ(y. Fucţi ƒ este ijectivă,dcă di ƒ(ƒ(y >y. Fucţi f este ijectivă, dcă orice prlelă l 0 itersecteză grficul fucţiei î cel mult u puct. II. Fucţi ƒ este surjectivă, dcă y B, eistă cel puţi u puct A,.î. ƒ(y. Fucţi ƒ este surjectivă, dc ƒ(a B. Fucţi ƒ este surjectivă, dcă orice prlelă l 0, dusă pritr-u puct l lui B, itersecteză grficul fucţiei î cel puţi u puct. III. Fucţi ƒeste ijectivă dcă este ijectivă şi surjectivă. Fucţi ƒ este ijectivă dcă petru orice y B eistă u sigur A.î. ƒ( y (ecuţi ƒ(y,re o sigură soluţie,petru orice y di B Fucţi ƒ este ijectivă dcă orice prlelă l 0, dusă pritr-u puct l lui B, itersecteză grficul fucţiei îtr-u puct şi umi uul. IV. A : A A pri A (, A. Fucţi ƒ: A B este iversilă, dcă eistă o fucţie g:b A stfel îcât g o ƒ A si ƒ o g B, fucţi g este ivers fucţiei ƒ şi se oteză cu ƒ -. ƒ( y <> ƒ - (y ƒ este ijectivă <> ƒ este iversilă. 5
16 V. Fie ƒ:a B si g: B C, două fucţii. Dcă ƒ si g sut ijective, tuci g o ƒ este ijectivă. Dcă ƒ si g sut surjective,tuci g o ƒ este surjectivă. Dcă ƒ si g sut ijective, tuci g o ƒ este ijectivă. 4 Dcă ƒ si g sut (strict cresctore,tuci g o ƒ este (strict cresctore. 5 Dcă ƒ si g sut (strict descresctore, tuci g o ƒ este (strict descresctore. 6 Dcă ƒ si g sut mootoe, de mootoii diferite,tuci g o ƒ este descresctore. 7 Dcă ƒ este periodică, tuci g o ƒ este periodică. 8 Dcă ƒ este pră, tuci g o ƒ este pră. 9 Dcă ƒ si g sut impre, tuci g o ƒ este impră, 0 Dcă ƒ este impră si g pră, tuci g o ƒ este pră. VI. Fie ƒ: A B si g:b C, două fucţii. Dcă g o ƒ este ijectivă, tuci ƒ este ijectivă. Dcă g o ƒ este surjectivă, tuci g este surjectivă. Dcă g o ƒ este ijectivă, tuci ƒ este ijectivă si g surjectivă. Dcă ƒ,g: A B ir h: B C ijectivă si h o ƒ h o ƒ, tuci ƒ g. VII. Fie ƒ: A B si X,Y mulţimi orecre. Fucţi ƒ este ijectivă, dcă şi umi dcă oricre r fi fucţiile u,v: X A,di ƒ o u ƒ o v, rezultă uv. Fucţi ƒ este surjectivă, dc şi umi dcă oricre r fi fucţiile u,v :B Y, di u o ƒ v o ƒ, rezultă uv 6
17 VIII. Dcă ƒ :A B este strict mootoă,tuci ƒ este ijectivă. Dc ƒ : R R este periodic şi mootoă, tuci ƒ este costtă. Dc ƒ : R R este ijectivă şi impră,tuci ƒ - este impră. 4 Fie A fiită şi ƒ :A A. Atuci ƒ este ijectivă <> este surjectivă. IX. Fie ƒ: E F, tuci ƒ ijectivă <> ( g : F E (surjectivă.i. g o ƒ E. ƒ surjectivă <>( g : E F (ijectivă.i. ƒ o g F ƒ ijectivă <> iversilă. X. Fie ƒ : E F. Fucţi ƒ este ijectivă dcă şi umi dcă ( A,B E ƒ(a B ƒ (A (B. Fucţi ƒ este surjectivă dcă şi umi dcă ( B F eistă A E, stfel îcât ƒ(ab. Fucţi ƒ este ijectivă dcă ƒ(a Bƒ(A ƒ(b, A, B E. XI. Fie ƒ : E F si A E, B E, tuci ƒ(a {y F A.i. ƒ(y} ƒ - (B { E ƒ( B}..Fie ƒ: E F si A,B E, tuci A B > ƒ(a ƒ(b, ƒ(a B ƒ(a ƒ(b, c ƒ(a B ƒ(a ƒ(b, d ƒ(a ƒ(b ƒ(a B. 7
18 .Fie ƒ: E F si A,B F tuci A B > ƒ - (A ƒ - (B, ƒ - (A ƒ - (B ƒ -- (A B, cƒ - (A ƒ - (B ƒ - ( A B, d ƒ - (A ƒ - (B ƒ - (A B, e ƒ - (F E. Fucţi de grdul l doile Form coică fucţiei f:r R, f ( c,,, c R, 0 este Δ f (, R ; 4 Δ Grficul fucţiei este o prolă de vârf V,, ude 4 Δ 4c 0 f este coveă; Δ 0 ;, C f( >0, R ; Δ V, 4 de miim; - puct 8
19 Δ 0, R f( 0, R ; f(0 Δ 0, R f( 0, (, ] [, ; f(<0,, ( Petru, fucţi este strict descrescătore; Petru [,, fucţi este strict crescătore 9
20 <0 fucţi este cocvă Δ 0 ;, C f( <0, R ; mim V Δ, 4 - puct de Δ 0, R f( 0, R ; f(0 Δ 0, R f( 0, [, ] ; f(<0, (, (, 0
21 Petru, fucţi este strict crescătore; Petru [,, fucţi este strict descrescătore. 6. NUMERE COMPLEXE. NUMERE COMPLEXE SUB FORMĂ ALGEBRICĂ C z z i,, R, i - mulţime umerelor complee. zire zim z OPERAŢII CU NUMERE COMPLEXE Fie z i, z c id. Atuci:. z z c si d.. z z ( c i( d.. z z ( c d i( d. c 4. z i, cojugtul lui z z c d c d 5. i z c d c d 6. i. z
22 PUTERILE LUI i 4k. i ; 4. i k i ; 4k. i ; 4 4. i k i ; 5. i, i i i i 6. i ( i ( i ; i, i, pr impr PROPRIETĂŢILE MODULULUI z - modulul r. complee. z 0, z 0 z z z z z z z 5., z 0 z z 6. z z z ± z z z z C; z R Im z 0 z z ECUAŢII: z z z. z z z z z z, i ± z, ± i ± i dcă pozitiv; - dcă egtiv
23 c 0, ± 4c dc Δ 4c 0 su, ± i Δ dc Δ 0 NUMERE COMPLEXE SUB FORMĂ GEOMETRICĂ Form trigoometrică umerelor complee: z ρ (cos ϕ i si ϕ, ϕ rctg kπ, k 0,,, (, I (, II, III (, IV ρ z se umeşte rz polră lui z Fie z ρ(cosϕ i si ϕ şi z ρ (cosϕ i si ϕ ; z z ρ ρ, si eist k Z i ϕ ϕ kπ. z z ρ ρ [cos( ϕ ϕ i si( ϕ ϕ z ρ(cosϕ i si ϕ
24 [cos( ϕ i si( ϕ ] z ρ z z ρ cos( i ρ [ ϕ ϕ si( ϕ ϕ ] ϕ z ρ (cos ϕ i si, R ϕ kπ ϕ kπ z ρ (cos i si, k 0, 7. FUNCTIA EXPONENTIALĂ Def. f: R (0,, f(, 0, Dcă f este strict crescătore Dcă ( 0, f este strict descrescătore Proprietăţi: Fie, ( 0,,,,, y R 4
25 5 ( ( y y y y y y y defieste se u petru 0, 0, 0, 0, 0 Tipuri de ecuţii:. f f log ( 0, 0,, (. ( ( 0,, ( ( g f g f. g f g f log ( (, 0,,, ( ( 4. ecuţii epoeţile reductiile l ecuţii lgerice pritr-o sustituţie. 5. ecuţii ce se rezolvă utilizâd mootoi fucţiei epoeţile. Iecuţii >, ( ( ( ( g f g f ( ( (0, ( ( g f g f
26 FUNCTIA LOGARITMICĂ Def: f:(0, R, f( log, 0,,>0 Dcă f este strict crescătore log log Dcă ( 0, f este strict descrescătore log log Proprietăţi: c 0,,,, c,, y (0,, m R Fie, ( y 0 log y log y log y log log log log y y 6
27 log m m, log m m log log log log c c, log log log c c log, log log 0, Tipuri de ecuţii: log.. log f ( g (, f, g 0, f g( f (. log f ( log g( f ( g( log g (. log f ( log g( f ( 4. ecuţii logritmice reductiile l ecuţii lgerice pritr-o sustituţie. 5. ecuţii ce se rezolvă utilizâd mootoi fucţiei logritmice. Iecuţii >, log f ( log g( f ( g( ( 0, log f ( log g( f ( g( 7
28 8. BINOMUL LUI NEWTON Î 664 Isc Newto (64-77 găsit următore formulă petru dezvoltre iomului (. Deşi formul er cuoscută îcă di tichitte de către mtemticiul r Omr Khyym (040-, Newto etis-o şi petru coeficieţi rţioli. TEOREMĂ: Petru orice umăr turl şi şi umere rele eistă relţi: 0 k k k ( C C C... C... C ( 0 Numerele C, C,..., C se umesc coeficieţii iomili i dezvoltării; Este ecesr să se fcă disticţie ître coeficietul uui terme l dezvoltării şi coeficietul iomil l celui terme. Eemplu: ( Coeficietul celui de-l doile terme este 8 ir coeficietul iomil este C 4 4; Petru (- vem următore formă iomului lui Newto: 0 k k k k ( C C C.... ( C...( C ( Proprietăţi:. Numărul termeilor dezvoltării iomului ( este ; Dcă k coeficietul iomil l termeului di mijloc l dezvoltării k este C şi este cel mi mre. Dcă k C k şi C k sut egli şi sut cei mi mri; C o <C < <C k >C k >..>C dc este pr, k 8
29 C o <C < <C k C k >..>C dc este impr, k.. Coeficieţii iomili di dezvoltre, egl depărtţi de termeii etremi i dezvoltării sut egli ître ei. ( k C C k. Termeul de rg k l dezvoltării (su termeul geerl l dezvoltării este ( k k k Tk C, k 0,,,..., Formul iomului lui Newto scrisă restrâs re form: ( C k k k 0 (4 4. Relţi de recureţă ître termeii succesivi i dezvoltării este următore: T T k k (5 5. Petru se oţie 0 k k k. C C C... C ( (6 cee ce îsemă că umărul tuturor sumulţimilor uei mulţimi cu elemete este. 9
30 9. Vectori şi operţii cu vectori Defiiţie: Se umeşte segmet oriett, o pereche ordotă de pucte di pl; Se umeşte vector, mulţime tuturor segmetelor oriette cre u ceeşi direcţie, ceeşi lugime şi celşi ses cu le uui segmet oriett. Oservţii: Orice vector AB se crcterizeză pri: - modul(lugime,ormă, dt de lugime segmetului AB; - direcţie, dtă de drept AB su orice dreptă prlelă cu cest; - ses, idict pritr-o săgetă de l origie A l etremitte B. Notţii: AB vectorul cu origie A şi etremitte B; AB ( 0 ( y y0 - modulul vectorului AB ude A( 0,y 0, B(.y. Defiiţie: Se umesc vectori egli, vectorii cre u ceeşi direcţie, celşi ses şi celşi modul. Doi vectori se umesc opuşi dcă u ceeşi direcţie, celşi modul şi sesuri cotrre: - AB BA. Adure vectorilor se pote fce după regul triughiului su după regul prlelogrmului: 0
31 λ v 0 λ 0 su v 0, λ R Dc λ 0, v 0 λ v λ v, λ v re direcţi şi sesul vectorului v dcă λ 0 şi ses opus lui v dcă λ 0. Defiiţie: Doi vectori se umesc coliiri dcă cel puţi uul este ul su dcă mâdoi sut euli şi u ceeşi direcţie. Î cz cotrr se umesc ecoliiri. vectori coliiri vectori ecoliiri Teoremă: Fie u 0 şi v u vector orecre. Vectorii u şi v sut coliiri λ R. i. v λ u.
32 Puctele A, B, C sut coliire AB si AC sut coliiri λ R. i. AB λ AC. AB CD AB si CD sut coliiri; Dcă u şi v sut vectori ecoliiri tuci, y R. i. u y v 0 y 0. Teoremă: Fie şi doi vectori ecoliiri. Oricre r fi vectorul v, eistă, β R( uice stfel îcât v β. Vectorii şi formeză o ză., β se umesc coordotele vectorului v î z (,. Defiiţie: Fie XOY u reper crtezi. Cosiderăm puctele A(,0, B(0,. Vectorii i OA si j OB se umesc versorii elor de coordote. Ei u modulul egl cu, direcţiile elor şi sesurile semielor pozitive cu OX şi OY. Bz ( i, j se umeşte ză ortoormtă.
33 v A' B' A'' B' ' i y j B - A, yy B - y A v pr OX v i pr OY v j AB ( B A ( yb y A Teoremă: Fie u (, y, v( ', y'. Atuci: u v re coordotele (.yy ; λ R, λ v re coordotele ( λ, λ y ; u(, y, v( ', y' sut coliiri y k, ', y' 0. y' ' y 0. ' y' 4 Produsul sclr doi vectori euli. u v u v cos ude m( u, v, [0, π ]. ' y y' cos y ( ' ( y' π π [ 0, ] u v 0; (, π ] u v 0 Fie u (, y, v( ', y' euli. Atuci: u v 0 u v ' y y' 0. u u u 0, u. u u 0 u 0. sut vectori de poziţie, tuci: i i j j ; i j 0. Vectori de poziţie. Dcă AB r B r A r, r A B
34 0. Fucţii trigoometrice Semul fucţiilor trigoometrice: π π Si:, [, ] rcsi:[-,] π π, Cos: [ 0, π ] [, ] rccos:[-,] [ 0,π ] 4
35 π π Tg:, R π π rctg:r, Reducere l u ughi scuţit π Fie u (0, Notăm sg f semul fucţiei f; cof cofucţi lui f π sg f ( k ± u si u, k pr π si k ± u Alog petru π sg f ( k ± u cosu, k impr celellte; π sg f ( k ± u f ( u, k pr π Î geerl, f ( k ± u π sg f ( k ± u cof ( u, k impr 5
36 Ecuţii trigoometrice Fie u ughi, u umăr rel şi k Z. k si, ( rcsi kπ, dcă [0,] k ( rcsi kπ, dcă [,0] cos, ± rccos kπ, dcă [0,] ± rccos (k π, dcă [,0] tg, R rctg kπ k rcsi(si ( kπ rccos(cos ± kπ rctg ( tg kπ k si f ( si g( f ( ( g( kπ cos f ( cos g( f ( ± g( kπ tgf ( tgg( f ( g( kπ, k Z Ecuţii trigoometrice reductiile l ecuţii cre coţi ceeşi fucţie celuişi ughi; Ecuţii omogee î si şi cos de form: si cos 0; si si.cos ccos 0 Ecuţii trigoometrice cre se rezolvă pri descompueri î fctori; Ecuţii simetrice î si şi cos ; Ecuţii de form: c si cos c 0 : si tgϕ cos k c ϕ ( rcsi( cosϕ kπ si cos Oservţie importtă: Pri ridicre l putere uei ecuţii trigoometrice pot păre soluţii străie ir pri împărţire uei ecuţii trigoometrice se pot pierde soluţii; 6
37 7 FORMULE TRIGONOMETRICE. cos si ; si cos cos si ± ± R. ; cos cos cos si si ± ± tg tg. ; si ; cos tg tg tg ± ± 4. β β β si si cos cos cos( ; 5. β β β si si cos cos cos( ; 6. β β β cos si cos si si( ; 7. β β β cos si cos si si( ; 8. ; ( ; ( β β β β β β tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg 9. ; ( ; ( β β β β β β ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg 0. ; cos si si. si cos si cos cos. cos si ; cos cos ;. ; cos ;si cos cos ± ± 4. cos cos ; cos cos ± ± ctg tg 5. ; ; ctg ctg ctg tg tg tg
38 8 6. ; ; tg tg ctg tg tg tg 7. ; ; cos 4cos cos ; 4si si si ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg 8. ; si cos cos si ctg tg 9. ; cos ; si tg tg tg tg cos si si si cos si si si si si cos cos cos si cos cos tg tg cos cos si( ctg ctg si si si( ctg ctg si si si( tg tg cos cos si(
39 si( si( si cos cos( cos( cos cos si si cos( cos( rcsi rcsi y rcsi( y y π π rcsi rccos rctg rcctg π rctg rctg rccos(-π -rccos 9
40 . ECUAŢIILE DREPTEI ÎN PLAN. Ecuţi crteziă geerlă dreptei: yc0 (d Puctul M( 0,y 0 d 0 y0 c 0. Ecuţi dreptei determită de puctele A(,y, B(,y : y y y y. Ecuţi dreptei determită de u puct M( 0,y 0 şi o direcţie dtă( re pt m y-y 0 m( Ecuţi eplicită dreptei (ecuţi ormlă: y y ym, ude m tgϕ este pt dreptei şi este ordot l origie. y 5. Ecuţi dreptei pri tăieturi:,, Fie (d: ym şi (d : ym Dreptele d şi d sut prlele mm şi. Dreptele d şi d coicid mm şi. Dreptele d şi d sut perpediculre mm -. Tget ughiului ϕ celor două drepte este m m' tgϕ m m' 7. Fie d: yc0 şi d : yc 0 cu,,c 0. şi θ m ( d, d' c Dreptele d şi d sut prlele ' ' c' 40
41 c Dreptele d şi d coicid ' ' c' Dreptele d şi d sut cocurete ' ' - 0. v v' ' ' cosθ ude v v' ' ' v (,, v' ( ', ' d şi d. Dreptele d şi d sut perpediculre, d d' ' ' 0 sut vectorii directori i dreptelor 8. Fie puctele A(,y, B(,y, C(,y, D( 4,y 4 î pl. Dreptele AB şi CD sut prlele, AB CD R*,. î AB CD su m AB m CD. Dreptele AB şi CD sut perpediculre, AB CD AB CD 0 Codiţi c puctele A(,y, B(,y, C(,y să fie coliire este: y y y y 9. Distţ ditre puctele A(,y şi B(,y este AB ( ( y y Distţ de l u puct M 0 ( 0,y 0 l o dreptă h de ecuţie (h: yc0 este dtă de: 0 y0 c d( M 0, h. 4
42 . CONICE.CERCUL Defiiţie: Locul geometric l tuturor puctelor di pl egl depărtte de u puct fi, umit cetru se umeşte cerc. C ( O, r { M (, y OM r}. Ecuţi geerlă cercului A(² y² B Cy D 0. Ecuţi cercului de cetru: O(, respectiv O(0, 0 si rz r ( - ² (y ² r² ; ² y² r². Ecuţi cercului de dimetru A( ;y, B( ; y ( - ( - ( y- y (y - y 0 4. Ecuţi tgetei după o direcţie O(0,0 : y m ± r m² O(, : y- m(- ± r m² 5. Ecuţi tgetei î puctul M( 0, y 0 ( 0 (y y 0 r² respectiv ( - ( 0 - (y - (y 0 - r² 6. Ecuti orml cercului 4
43 ² y² m y p 0 cu O(-m; - şi r² m² ² - p 7. Ecuţi tgetei î puctul M( 0,y 0 0 y y 0 m( 0 (y y 0 p 0 8. Distt de l cetrul cercului O(, l drept de ecuţie y m este m 0 y0 c d(0,d su ( d m² ² ² 9. Ecuţiile tgetelor di puctul eterior M( 0, y 0 I. Se scrie ecuţi 4 şi se pue codiţi c M să prţiă cercului de ecuţie 4. II. y - y 0 m( - 0 ² y² r², Δ 0. ELIPSA Defiiţie: Locul geometric l puctelor di pl cre u sum distţelor l două pucte fie, costtă, se umeşte elipsă. F,F - focre, FF distţ foclă E{ M (, y MF MF' } MF,MF - rze focle. Ecuţi elipsei 4
44 ² y² ² ², ² ² - c². Ecuţi tgetei l elipsă y m ± ² m² ². Ecuţi tgetei î puctul M( 0, y 0 l elipsă 0 y y0 ² 0, m ² ² ² y0 4. Ecuţiile tgetelor ditr-u puct eterior M( 0, y 0 l elipsă VAR I Se scrie ecuţi şi se pue codiţi c M să prţiă elipsei de ecuţie de ude rezultă m VAR II Se rezolvă sistemul y y 0 m(-0 ² y², cu coditi Δ 0 ² ². HIPERBOLA Defiiţie: Locul geometric l puctelor di pl căror difereţă l două pucte fie este costtă, se umeşte hiperolă 44
45 H: { M(,y MF MF } y ± --ecuţi simptotelor. Ecuţi hiperolei ² y², ² c² - ² ; ² ² Dc > hiperol echilterlă.ecuţi tgetei l hiperolă y m ± ² m² ². Ecuţi tgetei î puctul M( 0, y 0 0 y y0 ² 0, m ² ² ² y0 4. Ecuţiile tgetelor ditr-u puct eterior M( 0, y 0 VAR I. Se scrie ecuţi si se pue codiţi c M să prţiă hiperolei de ecuţie, de ude rezultă m. VAR II. Se rezolv sistemul y - y 0 m( - 0 ² y², cu Δ 0 ² ² 4. PARABOLA Defiiţie: Locul geometric l puctelor egl depărtte de u puct fi, (umit focr şi o dreptă fiă (umită directore, se umeşte prolă. 45
46 P: { M(, y MF MN } p (d: ( locul geometric l puctelor di pl de ude putem duce tgete l o prolă.. Ecuţi prolei y² p. Ecuţi tgetei l prolă P y m m. Ecuţi tgetei î M ( 0, y 0 y y 0 p( 0 4. Ecuti tgetelor ditr-u puct eterior M( 0, y 0 VAR I. Se scrie ecuţi şi se pue codiţi c M (ecuti > m VAR II. Se rezolvă sistemul y - y 0 m( - 0 y² p cu Δ 0 46
47 47. ALGEBRA LINIARĂ. MATRICE. Adure mtricelor t d z c y t z y d c t z y t z y Îmulţire mtricelor t d y c z d c t y z t z y d c Trspus uei mtrice d c d c T. DETERMINANŢI. c d d c ; d i h f g e c f g c h d i e i h g f e d c Proprietăţi:. Determitul uei mtrice este egl cu determitul mtricei trspuse;. Dcă tote elemetele uei liii (su coloe ditr-o mtrice sut ule, tuci determitul mtricei este ul;. Dcă îtr-o mtrice schimăm două liii(su coloe ître ele oţiem o mtrice cre re determitul egl cu opusul determitului mtricei iiţile. 4. Dcă o mtrice re două liii (su coloe idetice tuci determitul său este ul;
48 5. Dcă tote elemetele uei liii(su coloe le uei mtrice sut îmulţite cu u elemet, oţiem o mtrice l cărei determit este egl cu îmulţit cu determitul mtricei iiţile. 6. Dcă elemetele două liii(su coloe le uei mtrice sut proporţiole tuci determitul mtricei este ul; 7. Dcă l o mtrice pătrtică A de ordi presupuem că elemetele uei liii i sut de form ij ' ij tuci det A det A det A ; 8. Dcă o liie (su coloă uei mtrice pătrtice este o comiţie liiră de celelte liii(su coloe tuci determitul mtricei este ul. 9. Dcă l o liie (su coloă mtricei A duăm elemetele ltei liii (su coloe îmulţite cu celşi elemet se oţie o mtrice l cărei determit este egl cu determitul mtricei iiţile; 0. Determitul Vdermode: c ( ( c ( c ; c. Dcă îtr-u determit tote elemetele de desupr digolei priciple su de dedesutul ei sut egle cu zero, tuci determitul este egl cu c f ; 0 0 c 0 c f d e f. Fctor comu y z m u v r p m u y v z p r '' ij 48
49 . Rgul uei mtrice Fie A M m, ( C, r N, r mi( m,. Defiiţie: Se umeşte mior de ordiul r l mtricei A, determitul formt cu elemetele mtricei A situte l itersecţi celor r liii şi r coloe. Defiiţie: Fie A O m, o mtrice. Numărul turl r este rgul mtricei A eistă u mior de ordiul r l lui A, eul ir toţi miorii de ordi mi mre decât r (dcă eistă sut uli. Teorem: Mtrice A re rgul r eistă u mior de ordi r l lui A ir toţi miorii de ordi r sut zero. Teorem: Fie A M m, ( C, B M, s( C. Atuci orice mior de ordiul k, k mi( m, s l lui AB se pote scrie c o comiţie liiră de miorii de ordiul k l lui A (su B. Teorem: Rgul produsului două mtrice este mi mic su egl cu rgul fiecărei mtrice. Defiiţie: M (C. A este iversilă det A 0.( A este esigulră. Teorem: Ivers uei mtrice dcă eistă este uică. Oservţii: det (A B det A det B. A A* det A τ i j ( A A A* (( dij i, j A A - M (Z det A ±. Stilire rgului uei mtrice: Se i determitul de ordiul k- şi se ordeză cu o liie (respectiv cu o coloă. Dcă oul determit este ul rezultă că ultim liie(respectiv coloă este comiţie liiră de celellte liii (respectiv coloe. 49
50 Teorem: U determit este ul u di coloele (respectiv liii este o comiţie liiră de celellte coloe(respectiv liii. Teorem: Rgul r l uei mtrice A este egl cu umărul mim de coloe(respectiv liii cre se pot lege ditre coloele (respectiv liiile lui A stfel îcât ici u ditre ele să u fie comiţie liiră celorllte. 4. Sisteme de ecuţii liire Form geerlă uui sistem de m ecuţii cu ecuoscute este:... (... su m m... m m j ij j i Ude A ( ij i m, j - mtrice coeficieţilor ecuoscutelor.... Mtrice A... se umeşte mtrice etisă m... m m sistemului. Defiiţie: U sistem de umere,,... se umeşte soluţie sistemului ( j, i m. ij j i, Defiiţie: - U sistem se umeşte icomptiil u re soluţie; - U sistem se umeşte comptiil re cel puţi o soluţie; - U sistem se umeşte comptiil determit re o sigură soluţie; 50
51 - U sistem se umeşte comptiil edetermit re o ifiitte de soluţii; Rezolvre mtricelă uui sistem Fie A, B M (C. A A X B X A B X j ij i, j,. det A i Rezolvre sistemelor pri metod lui Crmer: Teorem lui Crmer: Dcă det A ot Δ 0, tuci sistemul AXB re o soluţie uică X i Δ Δ i. Teorem lui Kroecker- Cpelli: U sistem de ecuţii liire este comptiil rgul mtricei sistemului este egl cu rgul mtricei etise. Teorem lui Rouche: U sistem de ecuţii liire este comptiil toţi miorii crcteristici sut uli. Notăm cu m-umărul de ecuţii; - umărul de ecuoscute; r -rgul mtricei coeficieţilor. I mr Sistem comptiil determit II mr Sistem comptiil edetermit III r m Sistem comptiil determit su Δ 0 Miorul pricipl este eul Dcă toţi miorii crcteristici sut uli 5
52 IV Sistem icomptiil r, r m Sistem comptiil edetermit su Sistem icomptiil Eistă cel puţi u mior crcteristic eul Dcă toţi miorii crcteristici sut uli Eistă cel puţi u mior crcteristic eul Teorem: U sistem liir şi omoge dmite umi soluţi lă Δ 0 5
53 4. SIRURI DE NUMERE REALE. Veciătăţi. Pucte de cumulre. Defiiţi : Se umeşte şir, o fucţie f : N R defiită pri f(. Notăm (,,,... su,,,... : 0 N Orice şir re o ifiitte de termei; este termeul geerl l şirului (. N Defiiţi : Două şiruri (, ( N sut egle N, k N Defiiţi : Fie R. Se umeşte veciătte puctului R, o mulţime V petru cre ε >0 şi u itervl deschis cetrt î de form (- ε, ε V. Defiiţi 4: Fie D R. U puct R se umeşte puct de cumulre petru D dcă î orice veciătte lui eistă cel puţi u puct di D-{ } V (D-{ } Ǿ. U puct D cre u e puct de cumulre se umeşte puct izolt.. Şiruri covergete Defiiţi 5 : U şir ( este coverget către u umăr R N dcă î orice veciătte lui se flă toţi termeii şirului cu ecepţi uui umăr fiit şi scriem lim su se umeşte limit şirului. Teorem : Dcă u şir e coverget, tuci limit s este uică. Teorem : Fie ( u şir de umere rele. Atuci: N ( este mooto crescător N, N su 0, su ; 5
54 ( N este stict crescător, N su 0, su ; ( N este mooto descrescător, N su 0, su ; ( N este strict descrescător, N su 0, su. Defiiţi 6. U şir ( este mărgiit M R stfel îcât M su N, β R stfel îcât β. Teorem : Teorem lui Weierstrss: Orice şir mooto şi mărgiit este coverget. Defiiţi 7: Dcă u şir re limită fiită şirul este coverget. Dcă u şir re limită ifiită su şirul este diverget. Teorem 4: Orice şir coverget re limită fiită şi este mărgiit dr u epărt mooto. Teorem 5: Lem lui Cesro: Orice şir mărgiit re cel puţi u suşir coverget. Defiiţi 8: U şir e diverget fie dcă u re limită, fie dcă re o limită su dcă dmite două suşiruri cre u limite diferite. OBS: Orice şir crescător re limită fiită su ifiită. Teorem 6: Dcă ( R * N este u şir strict crescător şi lim lim 0 emărgiit tuci. U şir descrescător cu termeii pozitivi este mărgiit de primul terme şi de 0. 54
55 . Operţii cu şiruri cre u limită Teorem 7: Fie (, ( N şiruri cre u limită: N,. Dcă operţiile,, u ses tuci şirurile.,,,,, u limită lim( lim lim ; lim( lim.lim ; lim lim( lim ; lim lim lim lim (lim ( log log ( lim lim lim k k lim Pri coveţie s- stilit: ;, R; (- - ; - (- - ;,>0; -,<0; (- - ; - (- ; ; 0;, dcă 0 0 0; 0, dcă 0 ± 0 Nu u ses operţiile: -, 0 (± ;,,,. ± Teorem 8: Dcă şi 0 Dcă şi 55
56 Dcă şi Dcă. Dcă 0 0. Teorem 9: Dcă şirul ( N este coverget l zero, ir ( este u şir mărgiit, tuci şirul produs N este coverget l zero. 4. Limitele uor şiruri tip lim q 0, dc ă q (,, dc ă q, dc ă q u eist ă, dc ă q p p, p, 0 lim ( 0 0 p p 0 lim q q q p 0, dcă p q 0, dcă p q 0 0, dcă p q şi 0 0 0, dcă p q şi
57 lim e,7... lim e si lim lim ( e 0 0 rcsi lim 0 rctg lim 0 tg lim 0 l( lim 0 lim 0 l ( lim r 0 r lim e l p lim 0 p 57
58 5. LIMITE DE FUNCŢII Defiiţie: O fucţie f:d R R re limită lterlă l stâg ( respectiv l drept î puctul de cumulre 0 eistă ls R (respectiv l d R. î. lim f( l s, (respectiv lim f( l d Defiiţie: Fie f:d R R, 0 D u puct de cumulre. Fucţi f re limită î l l ( Proprietăţi: 0 s ( 0 d 0. Dcă lim f( eistă, tuci cestă limită este uică. 0 lim f ( l.. Dcă lim f( l tuci 0 0 Reciproc u.. Dcă lim f ( 0 lim f ( Fie f,g:d R R, U o veciătte lui 0 D stfel D U şi dcă eistă 0 îcât f( g( { } 0 lim f (,lim g( 0, 0 lim f ( 0 lim g( 0 58
59 5. Dcă f ( g ( h( D U { 0} şi lim f ( lim h( l lim g ( l. 6. Dcă lim g( 0 lim f ( l { } f ( l g( D U 0 şi 7. Dcă lim f ( 0 şi M 0. î. g( M. lim f ( g( 0 Dcă f ( g( şi lim g( 8. lim f (. Dcă f ( g( şi lim g( lim f (. OPERAŢII CU FUNCŢII Dcă eistă lim f ( l,lim g( l l ses opertiile l l, l l, l l,, l l tuci:. lim(f( ± g( l ± l.. limf(g( l l şi l, l u 59
60 f ( l.lim g( l g ( 4.lim f ( l l 5.lim f ( l P(X 0 -.., 0 0 P ( 0 ( ± lim± lim 0, dcă q (, q, dcă q, dcă q> u dcă q eistă, 60
61 p 0 lim q 0 p q q p 0, dcă p q 0, dcă p q 0 0, dcă p q şi 0 0 0, dcă p q şi 0. 0 lim lim 0 > lim lim (0, 0 lim log lim0 lim log lim0 > log (0, log lim0 lim0 lim0 lim0 lim0 si tg rcsi rctg ( e u u u u u lim 0 ( ( ( ( ( lim 0 lim 0 lim 0 lim 0 u( u( ( ( u( u( ( ( si tgu u rcsi rctgu u ( u( u( e 6
62 lim e u ( u( ( lim 0 u lim0 ( l u lim 0 ( ( u( u( l lim0 l u u ( ( 0 u( lim l lim0 ( r r lim u 0 ( ( u( u( r r lim 0 k u ( ( lim u u k ( 0 lim l k 0 u ( l u( k ( lim u 0 6
63 6. FUNCŢII CONTINUE DEFINIŢIE. O fucţie f : D R R se umeşte cotiuă î puctul de cumulre 0 D oricre r fi veciătte V lui f( 0, eistă o veciătte U lui 0, stfel îcât petru orice U D f( V. DEFINIŢIE. f : D R R este cotiuă î 0 D f re limită î 0 şi lim f( f( 0 su l s ( 0 l d ( 0 f( 0. 0 se umeşte puct de cotiuitte. Dcă fucţi u este cotiuă î 0 f.se umeşte discotiuă î 0 şi 0 se umeşte puct de discotiuitte. Acest pote fi: - puct de discotiuitte de prim speţă dcă l s ( 0, l d ( 0 fiite, dr f( 0 ; - puct de discotiuitte de dou speţă dcă cel puţi o limită lterlă e ifiită su u eistă. DEFINIŢIE. f este cotiuă pe o mulţime ( itervl este cotiuă î fiecre puct mulţimii ( itervlului. Fucţiile elemetre sut cotiue pe domeiile lor de defiiţie. Eemple de fucţii elemetre: fucţi costtă c, fucţi idetică, fucţi poliomilă f( , fucţi rţiolă f(/g(, fucţi rdicl f (, fucţi logritmică log f(, fucţi putere, fucţi epoeţilă, fucţiile trigoometrice si, cos, tg, ctg. PRELUNGIREA PRIN CONTINUITATE A UNEI FUNCŢII ÎNTR-UN PUNCT DE ACUMULARE DEFINIŢIE. Fie f : D R R. Dcă f re limit l R î puctul de cumulre 0 D f (, D f: D { 0 } R, f( l, 0 6
64 este o fucţie cotiuă î 0 şi se umeşte prelugire pri cotiuitte lui f î 0. OPERAŢII CU FUNCŢII CONTINUE T. Dcă f,g:d R sut cotiue î 0 ( respectiv pe D tuci fg, f, f g,f/g, f g, f sut cotiue î 0 ( respectiv pe D; R, g 0. T. Dcă f:d R e cotiuă î 0 D ( respectiv pe D f ( e cotiuă î 0 ( respectiv pe D. Reciproc u e vlilă. T. Fie f:d R cotiuă î î 0 A şi g:b A cotiuă î 0 B, tuci g f e cotiuă î 0 A. lim f( g ( f( lim g( 0 0 Orice fucţie cotiuă comută cu limit. PROPRIETĂŢILE FUNCŢIILOR CONTINUE PE UN INTERVAL LEMĂ. Dcă f este o fucţie cotiuă pe u itervl [,] şi dcă re vlori de seme cotrre l etremităţile itervlului ( f( ( f( <0 tuci eistă cel puţi u puct c (, stfel îcât f(c 0. Dcă f este strict mootoă pe [,] ecuţi f( 0 re cel mult o rădăciă î itervlul (,. f este strict mootoă f: I J - cotiuă f(i J - surjectivă f - ijectivă Orice fucţie cotiuă pe u itervl compct este mărgiită şi îşi tige mrgiile. 64
65 STABILIREA SEMNULUI UNEI FUNCŢII PROP. O fucţie cotiuă pe u itervl, cre u se uleză pe cest itervl păstreză sem costt pe el. DEFINIŢIE. Fie f : I R R ( I itervl f re propriette lui Drou., I cu < şi λ ( f(, f( su λ ( f(, f( c (,,.î. f(c λ. TEOREMĂ. Orice fucţie cotiuă pe u itervl re P.D. Dcă f :I R re P.D. tuci f( I e itervl. ( Reciproc e î geerl flsă. CONTINUITATEA FUNCŢIILOR INVERSE T. Fie f : I R R o fucţie mootoă.î. f( I e itervl. Atuci f este cotiuă. T. Orice fucţie cotiuă şi ijectivă pe u itervl este strict mootoă pe cest itervl. T. Fie f : I R, I, J R itervle. Dcă f e ijectivă şi cotiuă tuci ivers s f - e cotiuă şi strict mootoă. 65
66 7. DERIVATE FUNCŢIA DERIVATA C l e e - - si cos cos -si tg cos ctg - si rcsi 66
67 rccos - l rctg rcctg - l log (u v v. u v-.u u v.v.lu f( c d c d f ( ( c d REGULI DE DERIVARE (f.g f gfg f g ( f ' χ χ f ' ' ' f g g ' ( ( f ( f 0 fg ' ' f ( 0 67
68 8. STUDIUL FUNCŢIILOR CU AJUTORUL DERIVATELOR Proprietăţi geerle le fucţiilor derivile..puctele de etrem le uei fucţii. Fie Ι u itervl şi f:ι R. Defiiţie. Se umeşte puct de mim (respectiv de miim(locl l fucţiei f, u puct Ι petru cre eistă o veciătte V lui stfel îcât f ( f ( ( respectiv. f ( f ( V. U puct de mim su de miim se umeşte puct de etrem. se umeşte puct de mim(respectiv de miim glol dcă f f resp. f f. Ι. ( ( ( ( ( Os..O fucţie pote ve îtr-u itervl mi multe pucte de etrem.(vezi deseul. Os..O fucţie pote ve îtr-u puct u mim (locl, fără ve î ce mi mre vlore di itervl.(vezi deseul f < f c. ( ( (, f (, ( c, f ( c -pucte de mim (, f (,( d, f ( d -pucte de miim 68
69 TEOREMA LUI FERMAT Dcă f este o fucţie derivilă pe u itervl Ι si ' de etrem,tuci f ( 0 0. Iterpretre geometrică: ' Deorece ( I u puct f tget l grfic î puctul ( f ( 0 0, 0 este prlelă cu OX. Os.. Teorem este devărtă şi dcă fucţi este derivilă umi î puctele de etrem. Os.. Codiţi c puctul de etrem 0 să fie iterior itervlului este eseţilă. (dcă r fi o etremitte itervlului I tuci s-r pute c ' f ( 0. E. f (. 0 Os.. Reciproc T. lui FERMAT u este devărtă.(se pot găsi ' fucţii stfel îcât f ( 0 dr 0 să u fie puct de etrem. 0 ' Soluţiile ecuţiei f ( 0 se umesc pucte critice. Puctele de etrem se găsesc pritre ceste. Teorem lui Fermt dă codiţii suficiete (dr u si ecesre petru c derivt îtr-u puct să fie ulă. O ltă teoremă cre dă codiţii suficiete petru c derivt să se uleze este : 69
70 TEOREMA LUI ROLLE. Fie f : I R,, I, <. Dcă:. f este cotiuă pe [,];. f este derivilă pe (, ;. f ( f (, tuci cel puţi u puct c (, INTEPRETAREA GEOMETRICA '.î f ( c 0. Dcă fucţi f re vlori egle l etremităţile uui itervl [,], tuci eistă cel puţi u puct î cre tget este prlelă cu o. Coseciţ. Ître două rădăcii le uei fucţii derivile se flă cel puţi o rădăciă derivtei. Coseciţ. Ître două rădăcii cosecutive le derivtei se flă cel mult o rădăciă fucţiei. TEOREMA LUI LAGRANGE (su creşterilor fiite Fie f : I R,I (itervl,, I, <. Dcă:. f este cotiuă pe[, ] 70
71 . f este derivilă pe (,, tuci eistă cel puţi u puct c,.î să vem f ( ( f ( ' f (. c INTERPRETAREA GEOMETRICĂ Dcă grficul fucţiei f dmite tgetă î fiecre puct(cu ecepţi evetul, etremităţilor eistă cel puţi u puct de pe grfic(cre u coicide cu etremităţile, î cre tget este prlelă cu cord cre ueşte etremităţile. ( f ( f tg tget l grfic î M re coeficietul. ughiulr f ' ( c dr ' f ( ( f ( f c Os.. Dc f ( f ( Teorem lui Rolle. Coseciţ. Dcă o fucţie re derivt ul pe u itervl,tuci e este costt pe cest itervl. Dcă o fucţie re derivt ul pe o reuiue disjuct de itervle propriette u mi rămâe devărtă î geerl., ( 0, Epl. f : ( 0, (, f (, (, 7
72 Coseciţ. Dcă f si g sut două fucţii derivile pe u ' ' itervl I şi dcă u derivtele egle f g tuci ele diferă pritr-o costtă. f g c. c R Dcă f si g sut defiite pe o reuiue disjuctă de itervle, propriette e flsă î geerl. Epl. f ( tg π tg, 0,, g ( π tg, π Coseciţ. ' Dc f ( > 0 pe I f e strict crescătore pe I. ' Dc ( < 0 f pe I f e strict descrescătore I. Coseciţ 4. f : i R, I ' f re derivt î 0 şi f ( 0. Dcă l < f e derivil i. ' Coseciţ 5.Dc f ( 0 I. ' ' 0 Dc f ( 0 f ( 0 pe I f ' l R. s d 0 păstreză sem costt pe ETAPELE REPREZENTĂRII GRAFICULUI UNEI FUNCŢII. Domeiul de defiiţie;. Itersecţi grficului cu ele de coordote : Itersecti cu O coţie pucte de form{,0},ude este o rădăciă ecuţiei f(0 {dc eistă}. Itersecţi cu Oy este u puct de form {0,f{0}} {dcă puctul 0 prţie domeiului de defiitie}. Studiul cotiuităţii fucţiei pe domeiul de defiiţie : 7
73 Dcă fucţi este defiită pe R se studiză limit fucţiei l ± ir dcă este defiită pe u itervl se studiză limit l cpetele itervlului. 4.Studiul primei derivte :. Clculul lui f.. Rezolvre ecuţiei f (0.Rădăciile cestei ecuţii vor fi evetule pucte de mim su de miim le fuctiei ; c. Stilire itervlelor pe cre semul lui f este costt. Aceste reprezit itervlele de mootoie petru f. 5.Studiul derivtei dou :.Se clculeză f.se rezolv ecuti f (0. Rădăciile cestei ecuţii vor fi evetule pucte de ifleiue le grficului c.determire itervlelor pe cre semul lui f este costt. Astfel,pe itervlele pe cre f >0 fucti este coveă şi pe cele pe cre f <0, fucţi ete cocvă. 6.Asimptote :. Asimptotele orizotle sut drepte de form y, ude lim f ( dcă cel puţi u di ceste limite re ses şi ± eistă î R. Asimptotele verticle sut drepte de form 0, dcă eistă cel puţi o limită lterlă fucţiei î 0, ifiită. c Asimptotele olice sut drepte de form ym, ude f ( m lim R si lim( f ( m R, log şi petru Telul de vriţie; 8. Trsre grficului. 7
74 9. PRIMITIVE Primitive. Proprietăţi. Fie I u itervl di R. Defiiţi. Fie f: I R. Se spue că f dmite primitive pe I dcă F : I R stfel îcât F este derivilă pe I; F ( f(, ε I. F se umeşte primitiv lui f. ( I pote fi şi o reuiue fiită disjuctă de itervle. Teorem. Fie f : I R. Dcă, : I R sut două primitive le fucţiei f, tuci eistă o costtă c R stfel îcât F ( ( c, F I. Demostrţie : Dcă F, F sut primitive tuci F, F sut ' derivile ' F ( ( f ( F ε I ' ' ( ( ( ' F ( 0 F F, ε I. F F ( F ( c, c costtă OBS. Fiid dtă o primitivă F uei fucţii, tuci orice primitivă F 0 lui f re form F F 0 c, c costtă f dmite o ifiitte de primitive. OBS. Teorem u mi rămâe devărtă dcă I este o reuiue disjuctă de itervle Epl: f: R- {0 }, f( ² F, G F, G sut primitive le lui f dr F-G u e costtă. Cotrdicţie cu T. OBS. Orice fucţie cre dmite primitive re Propriette lui Drou. Se ştie că derivt oricărei fucţii re Propriette lui Drou, rezultă că f re Propriette lui Drou. F f. F F 74
75 F P.D P C D OBS 4. Dcă I este itervl şi f(i def { f / I } ( u este itervl tuci f u dmite primitive. Dcă presupuem că f dmite primitive tuci di OBS rezultă că f re P lui Drou, rezultă f(i este itervl cee ce este o cotrdicţie. OBS 5. Orice fucţie cotiuă defiită pe u itervl dmite primitive. Defiiţi. Fie f: I R o fucţie cre dmite primitive. Mulţime tuturor primitivelor lui f se umeşte itegrl edefiită fucţiei f şi se oteză pri simolul f ( Operţi de clculre primitivelor uei fucţii(cre dmite primitive se umeşte itegrre. Simolul fost propus petru prim dtă de Leiiz, î 675. Fie F(I { f : I R} Pe cestă mulţime se itroduc operţiile : (fg( f( g(, (f(.f( R, costtă C { f : I R / f R} ( F( I f d { F / F primitivă lui f }. d. 75
76 Teorem. Dcă f,g:i R sut fucţii cre dmit primitive şi R, 0, tuci fucţiile fg, f dmit de semee primitive şi u loc relţiile: (fg f g, f f, 0, f f C Formul de itegrre pri părţi. Teorem. Dcă f,g:r R sut fucţii derivile cu derivtele cotiue, tuci fucţiile fg, f g, fg dmit primitive şi re loc relţi: f(g (d f(g(- f (g(d Formul schimării de vriilă (su metod sustituţiei. Teoremă: Fie I,J itervle di R şi ϕ : I J, f : J R, fuctii cu propriett ile : ϕ este derivilă pe I; f dmite primitive. (Fie F o primitivă s. Atuci fucţi (f oϕ ϕ dmite primitive, ir fucţi F oϕ este o primitivă lui (f oϕ ϕ dică: ' ( ϕ ( t ϕ ( t dt Fo ϕ C f 5. Itegrre fucţiilor trigoometrice Clculul itegrlelor trigoometrice se pote fce fie folosid formul itegrării pri părţi, fie metod sustituţiei. Î cest cz se pot fce sustituţiile:. Dcă fucţi este impră î si, R(-si,cos -R(si,cos tuci cos t.. Dcă fucţi este impră î cos, R(si,-cos -R(si,cos tuci si t.. Dcă fucţi este pră î rport cu mele vriile R(-si,-cos tuci tg t. 76
77 4. Dcă o fucţie u se îcdreză î czurile,,,tuci se utilizeză sustituţiile uiversle: si t t, cos ude t tg t t 5. Se mi pot folosi şi lte formule trigoometrice: si si.cos, cos cos si cos Itegrre fucţiilor rţiole Defiiţie: O fucţie f:i R, I itervl, se umeşte rţiolă dcă f ( R(, g( 0, I, ude f,g sut fucţii poliomile. g( Dcă grd f grd g, tuci se efectueză împărţire lui f l g fgqr, 0 grd r<grd g şi deci f ( r ( R ( q(. Petru R ( se fce g ( g ( scriere c sum de fuctii rtiole simple. PRIMITIVELE FUNCŢIILOR CONTINUE SIMPLE. cd c C, c R. d C. d C 4. d C l 77
78 5. e d e C 6. d l C 7. d ctg C si 8. d tg C cos 9. si d cos C 0. cos d si C. d rctg C. d l C. d l( C 4. d l C 5. d rcsi C 78
79 79 6. C tgd cos l 7. C ctgd si l 8. C d 9. C d 0. C d. C d l. C d l. C d rcsi 4. C d l 5. C d ( ( ( 6. ( ( d d C d ' (
80 80 7. Δ Δ Δ Δ 0, ] ( [( 0, ] ( [( d d d c 8. C c d c l 9. d c c m d c m d c B A l (
81 Biliogrfie: - Aro Khe. Complemete de mtemtică, Editur Tehică, Bucureşti, C. Năstăsescu,C. Niţă, Gh. Rizescui: Mtemtică- Mul petru cls IX-, E.D.P., Bucureşti, C. Năstăsescu, C Niţă, I. Stăescu: Mtemtică-Mul petru cls X--Algeră, E.D.P., Bucureşti, E. Beju, I. Beju: Compediu de mtemtică, editur Ştiiţifică şi Eciclopedică, Bucureşti, E. Rogi, Tele şi formule mtemtice,editur tehică,98. - Mică eciclopedie mtemtică, Editur tehică, Bucureşti, Lumiiţ Curtui, Memortor de Mtemtică-Alger, petru clsele 9-, Editur Booklet,006. 8
82 Proleme propuse şi rezolvte.să se determie umerele îtregi şi stfel îcât ; Rezolvre: Ridicăm l putere dou epresi dtă: ; Di eglre termeilor semee ître ei rezultă : şi 4 rezultă: şi..dcă 7, să se clculeze 4 4. Rezolvre: Ridicăm l putere dou relţi dtă: ( 49, 5 procedâd log se oţie Aflţi X di X. 008 ( 008 : ( Rezolvre: ² X X ²... X X X X [ ] X 008, după formul 8
83 ( ( ( ( ( ( ² ², 4. Să se clculeze: ude Rezolvre: 5. Ştiid că să se clculeze prte îtregă umărului ² ² ² ² Rezolvre: 6.Se dă umrul Să se rte c ² 4 Să se clculeze (X 007 Rezolvre:
84 ( 5 ² ( 5 ² ² 4. 0 ( Dcă 007, să se clculeze. 9 Rezolvre: Să se clculeze sum 007 S.... Rezolvre: S ( ( (... ( ( (. 004 [ ] Am dăugt şi m scăzut
85 85 9.Clculţi: ( : E Rezolvre: ( ( ( 6. : : < E 0.Determiti Z stfel îcât Z Rezolvre ( ( { },,, Z. Să se rezolve ecuţi: (-4(-((-6 Rezolvre: Ecuţi dtă este echivletă cu: (-4((-(-6 (4 4-8 ( Notm 4 4-8t t(t-5-6 t -5t60 t si t 4 4-8, ± 4 4-8,4 ±.
86 . Se dă ecuţi: ² 8 0. Se cere să se clculeze, sut soluţiile ecuţiei., ude Rezolvre : Fie A. Se ridică l putere trei A³ A Cum - 8 (Relţiile lui Viete A³- A 8 0 ; Soluţi relă cestei ecuţii este A - ; restul u sut rele A³ A²-A²-9A6A80 A²(A A (A6(Ao (A(A²-A60 A-. Dou drepte perpediculre ître ele î puctul M(;4 itersecteză OY î puctul A si OX î puctul B. să se scrie ecuţi dreptei AB să se rte c digolele ptrulterului AOBM sut perpediculre,ude 0 este origie sistemului. Rezolvre : Scriem ecuţiile dreptelor AM si MB ( AM : y 4 m( cum AM MB ( MB : y 4 ( m Aflm coordotele lui A: - di ( câd 0 y 4 m Aflm coordotele lui B: - di ( câd y 0 4m 86
87 Fie P(,y mijlocul lui AB 4M 4 m X, y 4 y 4 8y y 5 0( ec. drepteiab pt dreptei AB este m. 4 Pt dreptei OM este evidet m AB mom OM AB. 0 A M(,4 O B 4. Se du puctele A (,6, B(-4,, C(6,-. Se cere: perimetrul triughiului ABC şi tur s ; coordotele cetrului de greutte; c ecuţi dreptei BC; d ecuţi mediei AM şi lugime s; e ecuţi îălţimii di A pe BC şi lugime s ; f ecuţi dreptei cre trece pri A şi fce u ughi de 0 0 cu OX; 87
88 g ecuţi dreptei cre trece pri A şi este prlelă cu BC; h ecuţi isectorei di A şi lugime ei i ri triughiului ABC. Rezolvre: Aplicâd formul distţei petru cele trei lturi le triughiului AB ( ( y oţiem: y AB 5, BC 5 5,AC 4 5 P 5 ; Se verifică cu reciproc teoremei lui Pitgor că triughiul este dreptughic cu ughiul de 90 0 î vârful A. Coordotele cetrului de greutte sut dte de formul: y y y 4 7 G, G, ; c Ecuţi dreptei BC se scrie folosid formul: y y y y y 4 50y-00 y (form geerlă dreptei su y (form ormlă; d Coordotele mijlocului segmetului BC sut : M (, ecuţi mediei este: 6 y -y-0 0; Petru clculul lugimii 6 mediei AM se pote folosi fptul că îtr-u triughi dreptughic medi corespuzătore ipoteuzei este jumătte di ipoteuză: AM BC 5 5, ltfel se pote plic formul distţei. e Fie AD îălţime di A AD şi BC sut perpediculre cee ce îsemă că produsul ptelor este egl cu -. Cum 88
89 pt dreptei BC este pt lui AD este. Rămâe să scriem ecuţi dreptei cre trece pri A şi re pt : y-6(- -y0 este ecuţi îălţimii di A; Petru clculul îălţimii (îtr-u triughi dreptughic este coveil să plicăm formul: AB AC AD ; BC Altfel, treui rezolvt sistemul formt di ecuţiile dreptelor BC şi AD petru determi coordotele lui D. f y-6 (-; Am plict formul y-y0 m(- 0 î codiţiile î cre pt este tg0 0 g y-6 (- ude este pt dreptei BC. h Fie AE isectore ughiului A. BE AB Di teorem isectorei k k.folosidu-e EC AC 4 de rportul î cre u puct împrte u segmet rezultă 6 coordotele lui E,. Atuci ecuţi isectorei este: 7 7 y 6-7y0. Petru clcul lugime isectorei e putem folosi şi de formul A AB AC cos AE cre este utiliztă de oicei câd se AB AC cuoşte măsur ughiului cărei isectore se clculeză. 0 AE. 7 i Ari triughiului dreptughic ABC este dtă de formul A AB AC 0. 89
90 Se v isist pe fptul că dcă triughiul u r fi fost dreptughic r fi treuit să se clculeze distţ de l A l drept BC dică tocmi lugime îălţimii ir cest s-r pute fce mi simplu folosid formul : Distţ de l u puct M 0 ( 0,y 0 l o dreptă h de ecuţie (h: yc0 este dtă de: 0 y0 c d( M 0, h. 5. S se rezolve ecuţi : Rezolvre : Ecuţi dtă este echivletă cu : Ridicăm l putere ( Di mootoi fucţiei ( ( crescătore ecuţi ( f cre e strict re soluţie uică 4 6. Să se rezolve ecuţi: (
91 Rezolvre: Ecuţi dtă este echivletă cu: 007 (006. Ridicăm l putere / > > (* Di mootoi fucţiei f( ( cre e strict crescătore > ecuţi (* re soluţie uică: 7. Să se determie umărul de cifre di cre este compus umărul Rezolvre: 0 < c <0 ; p 0 < cd < 0 4 ; p 4 (* 0 p- N < 0 p, ude p reprezită umărul de cifre le lui N. Di (* > lg 0 p- lg N <lg 0 p > p- lg N <p. Petru N > lg N 007 lg de cifre. 9
92 8. Să se rte că mtrice A M ( Z e c d iversilă, ude : c ori de 005 d 006 Rezolvre : A e iversilă e 0 u u u u ( 5 ( d 6 ( 6 ( c 6 u det A 0 ultim cifră umărului det A ( det A det A 0. 9
93 9 Proleme - siteze I. NUMERE REALE. APLICAŢII.. Să se clculeze: ( 6 (5 8 7 ( ( [ ] { }. 5 : : :6 (. 9 : 5 ( ( 8 0 ( i h g f e d c
94 94 (. : l k j ( ( ( ( ( ( y p o m ( ( ( ( ( 6 ( ( 7 v u t s r q. Dcă , rătţi că Să se clculeze umărul 5 46, 4,5 şi petru
95 95 4. Comprţi umerele: ( ( ( ( Dcă , clculti 6. Arătţi că umărul (,4 :, e pătrt perfect. 7. Să se rte că epresi c stiid Q E 8. Să se ducă l o formă mi simplă epresi: 0., ( E 9. Cre umăr este mi mre: su. 0*. Să se rte că: Q R Q R Să se rte că: N N N Q, 4 9, Stiliţi vlore de devăr propoziţiei:.... Q. Să se fle ştiid că Să se fle umerele îtregi petru cre. 5 4 Z 5. Să se verifice eglităţile: Să se ordoeze crescător umerele: 6 6,,. 7. Să se rţiolizeze umitorii frcţiilor:
96 5. ; e ;. c ; d Să se determie rădăci pătrtă umărului Să se determie cel mi mre umăr turl cu propriette: Fie,,c umere rţiole stfel îcât cc. Să se demostreze că: ( ( ( c Q. Să se demostreze că 5 u este u umăr rţiol... II. PROGRESII ARITMETICE. Să se scrie primii ptru termei i progresiei ritmetice ( - ; r5 7 ;r c, ; r 0, dcă :. Să se găsescă primii doi termei i progresiei ritmetice ( :,,5,,7,..., 9,,5,...,. Să se clculeze primii cici termei i şirului cu termeul geerl ; (- c 4. Fie ( o progresie ritmetică. Dcă se du doi termei i progresiei să se fle ceillţi : c d 8 6 7, 5, 9?, 5? 40, 0 0, 7?, 0?, 0 6, 9?,? 5, 5,?,? Fie ( o progresie ritmetică. Se du : 96
97 , r 0,5 se cere, r, 5 se cere 9 c 0, r se cere d 00 0, r se cere 6. Să se găsescă primul terme şi rţi uei progresii ritmetice dcă : 7, 60 c d e S f 0, 7 4 8S 4, , S 9 0 6, 7 5, Şirul ( este dt pri formul termeului geerl. -5 ; 0-7. Să se rte că ( Să se fle primul terme şi rţi. 8. i. Să se fle S 00 dcă : 9.Cuoscâd S să se găsescă : 0, c 5,5,, r ,5 e o progresie ritmetică. primii cici termei i progresiei ritmetice dcă S 5 ; S ; S. 4?, r? dcă S ; 0. Este progresie ritmetică u şir petru cre : S - ; S 7- ; c S -4.. i, S0 00, S Să se clculeze S50.. Determiă R stfel îcât următorele umere să fie î progresie ritmetică. 97
98 -, 9, ;,(,4,8,. Să se rezolve ecuţiile : ; ; c ((4(7..(8 55 ; d (((5..(5 8 ; e (5(0 ( c 4. Să se rte că următorele umere sut î progresie ritmetică : (², ²², (-² ;,, ; ( ( c,,,, 0. ( 5. Să se rte că dcă umerele,, sut î progresie c c ritmetică tuci umerele,, c sut î progresie ritmetică. 6. Fie ( o progresie ritmetică. Să se rte că :...,. 7. Fie ecuţi ² c 0 cu soluţiile,. Dcă umerele,,c sut î progresie ritmetică tuci eistă relţi : ( Să se demostreze : c, c, c,, c c, c, c,, c c c c d,, c, d,, c, d cd cd d c 98
99 III. PROGRESII GEOMETRICE. Să se scrie primii cici termei i progresiei geometrice ( dcă : 6, q 4, q 0, 5 c 0, q d 0,5, q e, q 5. Să se găsescă primii doi termei i progresiei geometrice ( :,,4,6,54,...,,5, 5.8,..., Dcă se cuosc doi termei i progresiei geometrice ( 6, 5 4, să se găsescă 7, 9, 0 5 0, 8 0,. 6,,. 4. Să se scrie formul termeulei l -le l progresiei geomertice dte pri :, 4, c 9, d 0, 5 5. Este progresie geometrică u şir petru cre sum primilor termei este : S ² - ; S ; c S 6. Să se determie.î. umerele următore să fie î progresie geometrică :,, c ;, 4, ; c,, 6 ; 7. Să se găsescă primul terme şi rţi q progresiei geometrice ( dcă : 99
100 c Să se clculeze sumele : c d e (de ori f.... g (de ori 7 h Să se rezolve ecuţiile : , 007 ( (... ( 0, 0 IV. LOGARITMI. Să se logritmeze epresiile î z : E 7 6. E 4 5. c E. Să se determie epresi E ştiid că : lg E lg- lg- lg.. Să se rte că log 6log 6 >. 4. Să se clculeze epresiile: 5 log 00
101 7 log 4 49 c Elog 5-log 0 4 log log5 (log (log6 6 log (log5 (log 4 d e f g log log 5 log 5 log 8 log 7 log 5. Să se rte că epresi: E log idepedetă de vlorile strict mi,z,y. 6. Să se clculeze epresiile: E log 4 log log log log log log 8 9 y log y log. z este z mri c le vriilelor log 9 log. 96 log 7 log4 E 7.Să se clculeze sum: log log... log log log... log... log log... log 8. Să se rte că dcă,,c sut î progresie geometrică tuci re loc eglitte:,, c R * {}, 0 log log log c 9. Să se rte că dcă, y, z sut î progresie geometrică tuci log,log y, log z sut î progresie ritmetică. c 0
Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
Διαβάστε περισσότεραDreptul de copyright: Cartea downloadată de pe site-ul nu poate fi publicată pe un alt site şi nu poate fi folosită în scopuri
reptul de copyright: rte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului, Refereţi ştiiţifici: Profesor
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότεραTESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ. pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ petru emeul de bcluret şi dmitere î îvăţămâtul superior l UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii
Διαβάστε περισσότεραCULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA î ul uiversitr 9 PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii lor
Διαβάστε περισσότεραPolinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.
Poliome ) Form lgebrică uui poliom Pri form lgebrică su form coică îţelegem f X X X Prescurtt putem scrie f X,,, sut coeficieţii poliomului cu, se umeşte coeficiet domit şi X terme domit tuci poliomul
Διαβάστε περισσότερα6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU
6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6.1. Noţiui teoretice şi rezultte fudmetle 6.1.1. Metod lui Droux de defii itegrl simplă Fie [, ] u itervl. Descompuem itervlul [, ] îtr-u umăr orecre
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
Διαβάστε περισσότεραCap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D
Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cp PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METOE GENERALE E CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î cest prgrf vom remiti oţiue de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele geerle de clcul le cestor efiiţi Fie f : I,
Διαβάστε περισσότεραANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n,
ANEXA ANEXĂ MATRICE ŞI DETERMINANŢI Fie K u corp şi m N* = N \ {} Tbloul dreptughiulr A = ude ij K i = m j = m m m se umeşte mtrice de tip (m ) cu elemete di corpul K Mulţime mtricelor cu m liii şi coloe
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότερα4. Integrale improprii cu parametru real
4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραDRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR
Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR FucŃiile cu vrińie mărgiită u fost itroduse de Jord Cmille (88-9) şi utilizte de el cu oczi studiului prolemei rectificilităńii curelor,
Διαβάστε περισσότεραExerciţii de Analiză Matematică
Exerciţii de Aliză Mtemtică October, 5 Şiruri si serii de umere rele. Să se stbilescă dcă şirul cu termeul geerl x =... este su u fudmetl.. Petru răt că şirul este fudmetl: Petru răt că şirul este fudmetl:
Διαβάστε περισσότεραTema 4. Primitiva şi integrala Riemann. Aplicaţii. Modulul Primitiva. Aplicaţii
Tem 4 Primitiv şi itegrl Riem. Alicţii. Modulul 4. - Primitiv. Alicţii Noţiue de rimitivă s- degjt di licţiile mtemticii î situţii cocrete, cre costă î determire modelului mtemtic l uui roces tuci câd
Διαβάστε περισσότεραREZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS ALGEBRÃ... 5 I. Elemente de logicã matematicã... 5 I.1. Noţiunea de propoziţie... 5 I.2. Operatori logici... 5 I.3. Expresii în calculul
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic UPRINS ALGEBRÃ. 5 I. Elemete de logicã mtemticã 5 I.. Noţiue de propoziţie 5 I.. Opertori logici.. 5 I.. Epresii î clculul propoziţiilor 7 I.4. Noţiue de predict
Διαβάστε περισσότεραOperaŃii cu numere naturale
MulŃime umereleor turle www.webmteifo.com Petru scrie u umr orecre trebuie s combim itre ele uele ditre cele 0 simboluri: 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9.Aceste simboluri se umesc cifre. Ele sut de origie rb. Ν =
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραBreviar teoretic Vectori în plan
Proiect cofiţt i Foul Socil Europe pri Progrmul Operţiol Sectoril Dezvoltre Resurselor Ume 7- prioritră Eucţi şi formre profesiolă î sprijiul creşterii ecoomice şi ezvoltării societăţii zte pe cuoştere
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ
COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ LUCRARE CONCEPUTĂ ȘI REALIZATĂ DE COLECTIVUL CLASEI XII- A, PROFIL REAL, SPECIALIZAREA MATEMATICĂ-INFORMATICĂ.
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 REZOLVAREA ECUAŢIILOR NELINIARE
Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică CAPITLUL 4 REZLVAREA ECUAŢIILR NELINIARE Rezolvre uei ecuţii eliire pre prctic î orice modelre mtemtică uei proleme fizice. Cu ecepţi uor czuri forte prticulre,
Διαβάστε περισσότεραEcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau
EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x
Διαβάστε περισσότερα4. Serii de numere reale
I. (,) lim x lim + II. x şi lim x III. > x ( + ) ( + ) şi cum lim ( >) ; lim x lim lim lim x + ; (,) (, ). 4. Serii de umere rele Coceptul de serie umerică este o geerlizre turlă oţiuii de sum fiită de
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότερα9. Polinoamele Taylor asociate unor funcţii (I. Boroica) 9.1. Formulele lui Taylor şi polinoamele Taylor asociate funcţiilor elementare
lgeră Cupris Mtrice de ordi doi şi plicţii (IDicou VPop Mtrice de ordi doi Proleme rezolvte Teorem lui Cle- Hmilto 4 Proleme rezolvte 5 Determire puterilor turle le uei mtrice de ordi doi 6 Proleme rezolvte
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραREZIDUURI ŞI APLICAŢII
Mtemtici specile şi metode umerice EZIDUUI ŞI APLICAŢII. Formule petru reiduuri Câd sigulrităţile du vlore şi uţ. Teorem reiduurilor Defiiţi. Fie f() o fucţie cre re î C u pol su u puct sigulr eseţil iolt.
Διαβάστε περισσότερα1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
Διαβάστε περισσότερα4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire
4.7. Sbilie sisemelor liire cu o irre şi o ieşire Se spue că u sisem fizic relizbil ese sbil fţă de o siuţie de echilibru sţior, dcă sub cţiue uei perurbţii eeriore (impuls Dirc) îşi părăseşe sre de echilibru
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότεραlim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότερα4.7 Reprezentarea complexă a seriilor Fourier
4.7 Reprezetre compeă seriior Fourier Presupuem că f ( ) îdepieşte codiţii suficiete petru dezvotre î serie Fourier. Atuci pote fi reprezettă pe [, ] cu seri: f b + ( cos + si ) f cos d,,, b f si d,, Foosid
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότεραInegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότερα2) Numim matrice elementara o matrice:
I TRANSFORMARI ELEMENTARE ) Cre di urmtorele opertii efectute supr uei mtrice este trsformre elemetr: ) dure uei liii l o colo; b) imultire uei liii cu sclrul α = c) schimbre dou liii itre ele; d) dure
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραExamenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
Διαβάστε περισσότεραUNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ MATEMATICI SUPERIOARE
UNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ DEPARTAMENTUL PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ MATEMATICI SUPERIOARE PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNTUL LA DISTANŢĂ - Ediţie reviuită - Lector Agel Picu Editur Uiversităţii
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότεραIV.3. Factorul de condiţionare al unei matrice
IV.3. Fctorul de codiţiore l uei mtrice defieşte pri Defiiţie. Fctorul de codiţiore l uei mtrice pătrte A M, (R) se cod(a) = A A - ude este o orm opertorilă mtricei A (de exemplu, su ). Pri coveţie cod(a)
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότεραTransformata z (TZ) TZ este echivalenta Transformatei Laplace (TL) in domeniul sistemelor discrete. In domeniul sistemelor continui: Sistem continuu
Prelucrre umeric semlelor Trsformt Trsformt este echivlet Trsformtei Lplce TL i domeiul sistemelor discrete. I domeiul sistemelor cotiui: xt s Sistem cotiuu yt Ys ht; Hs I domeiul sistemelor discrete:
Διαβάστε περισσότεραMULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότερα3.4 Integrarea funcţiilor trigonometrice. t t. 2sin cos 2tg. sin + cos 1+ cos sin 1 tg t cos + sin 1+ x 1
3.4 Iegrre fucţiilor rigoomerice ) R( si,cos ) d Susiuţi recomdă ese: uei fucţii rţiole. g =, (, ) şi iegrl dă se reduce l iegrre si cos si cos g si + cos + g = = = + cos si g cos + si + g = = = + = rcg
Διαβάστε περισσότεραπ } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.
Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x)
Διαβάστε περισσότεραTit Tihon CNRV Roman FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE. Caracteristici vizibile observate PUNCTAJ ACORDAT
Tit Tihon CNRV Romn FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE Nr. crt 5 6 7 8 9 0 Nr. crt Nr. crt Crcteristici vizibile observte PUNCTAJ ACORDAT preciere D+ Nu Observţii privind preciere folosire mnulului
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuatii liniare
Sisteme e eutii liire Sisteme e ou eutii u ou euosute Def.U sistem e ou eutii u ou euosute re form ( S : ue,,, se umes oefiietii euosutelor, ir, termeii lieri. Def.Se umeste solutie sistemului orie ulu
Διαβάστε περισσότερα5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Διαβάστε περισσότεραSeminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii
Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela
MATEMATICĂ clasa a IX a - frecveţă redusă - Prof. Bara Mihaela Gariela CUPRINS. Mulţimi şi elemete de logică matematică Mulţimea umerelor reale Elemete de logică matematică Şiruri. Fuctii, ecuaţii, iecuaţii
Διαβάστε περισσότεραλ C valoare proprie a matricei A dacă x, x 0
ALULUL NUMERI AL VALORILOR PROPRII ŞI AL VETORILOR PROPRII A mtrice pătrtică de ordiul cu elemete rele vlore proprie mtricei A dcă, R : A ; () vector propriu l mtricei A socit vlorii () (A I), I mtrice
Διαβάστε περισσότεραŞiruri recurente. Mircea Buzilă. 2009, Editura Neutrino Titlul: Şiruri recurente Autor: Mircea Buzilă ISBN
Mirce Buzilă Şiruri recurete Editur eutrio 9 9 Editur eutrio Titlul: Şiruri recurete utor: Mirce Buzilă SB 978-97-896-7-9 Descriere CP Bibliotecii ţiole Roâiei BUZLĂ MRCE Şiruri recurete / Mirce Buzilă.
Διαβάστε περισσότεραx x m Δx. Rezulta deci că adevătata valoare a mărimii căutate va fi cuprinsă între limitele:
ERORI DE MĂSURĂ L efecture uei determiări, pri repetre celeişi măsurători, reliztă î codiţii idetice, se oţi rezultte diferite, difereţele fiid î geerl mici. Acest fpt dovedeşte că măsurătorile efectute
Διαβάστε περισσότεραClasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A
1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA FINALĂ - 22 mai 2010
ETAPA FINALĂ - mi 00 BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A. Pe o dreptă se consideră 00 puncte, cre formeză 009 segmente, fiecre de cm. Pe primul segment, desupr dreptei, construim un pătrt, pe l doile segment,
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Διαβάστε περισσότεραLaura Radu. Minime şi maxime în matematica elementară
Lur Rdu Miime şi mime î mtemti elemetră Ploieşti MINIME ŞI MAXIME ÎN MATEMATICA ELEMENTARĂ (EDITIE ONLINE, FORMAT PDF, Autor: LAURA RADU ISBN 978-97--5- Site we: wwwmteiforo Tote drepturile preetei ediţii
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
Διαβάστε περισσότερα1. Ordinul unui element al unui grup (D. Heuberger) 2. Teoremele lui Lagrange şi Cauchy pentru grupuri finite (D. Heuberger)
CLASA XII- ALGEBRĂ Ordiul uui elemet l uui grup D Heuerger Teoremele lui Lgrge şi Cuchy petru grupuri iite D Heuerger 3 Aplicţii le teoremei lui Lgrge î proleme de teori umerelor V Pop 3 Noţiui şi rezultte
Διαβάστε περισσότεραCULEGERE DE PROBLEME
Colecţia "LICEU CULEGERE DE PROBLEME petru eameul de admitere la Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii, Facultatea de Arhitectură Descrierea CIP a Bibliotecii
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc SEMINAR 1 3. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1. Să se arate că. f (x) dx = 0. Rezolvare:
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC. Să se rte că Rezolvre: SEMINAR
Διαβάστε περισσότεραCURS I II. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1 Integrabilitate Riemann. Criterii de integrabilitate
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC CURS I II Cpitolul I: Integrl
Διαβάστε περισσότεραDUMITRU BUŞNEAG PROBLEME ALGEBRĂ
DUMITRU BUŞNEAG FLORENTINA CHIRTEŞ DANA PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Dumitru BUŞNEAG Floreti CHIRTEŞ D PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Dumitru BUŞNEAG Floreti CHIRTEŞ D PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Editur UNIVERSITARIA
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
Διαβάστε περισσότερα4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
Διαβάστε περισσότεραsin d = 8 2π 2 = 32 π
.. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότερα6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE. 1. Precizari si recomandari privind desfasurarea activitatilor la disciplina MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE
MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE. Precizri si recomdri privid desfsurre ctivittilor l discipli MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE Tip curs obligtoriu Mulul de curs recomdt R. Trdfir I. Dud A. Bciu R. Io Mtemtici
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.
CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte
Διαβάστε περισσότεραOLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a
CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1 - rezolvari mate MT1
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri
Διαβάστε περισσότερα3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =
Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,
Διαβάστε περισσότερα3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
Διαβάστε περισσότεραTEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE
TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 35 TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE Obiective: Deinire principlelor proprietăţi mtemtice le uncţiilor, le itelor de uncţii şi le uncţiilor continue Deinire principlelor
Διαβάστε περισσότεραIntegrale generalizate (improprii)
Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem
Διαβάστε περισσότεραCursul 4. Matrice. Rangul unei matrice. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare. Metoda eliminării a lui Gauss
Lector univ dr Cristin Nrte Cursul 4 Mtrice Rngul unei mtrice Rezolvre sistemelor de ecuţii linire Metod eliminării lui Guss Definiţie O mtrice m n este o serie de mn intrări, numite elemente, rnjte în
Διαβάστε περισσότεραlim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Διαβάστε περισσότερα