2) Numim matrice elementara o matrice:

Transcript

1 I TRANSFORMARI ELEMENTARE ) Cre di urmtorele opertii efectute supr uei mtrice este trsformre elemetr: ) dure uei liii l o colo; b) imultire uei liii cu sclrul α = c) schimbre dou liii itre ele; d) dure uei liii l o lt liie 4) Trsformrile elemetre se pot plic: ) umi mtricelor ptrtice; b) oricrei mtrice; c) umi mtricelor iversbile; d) umi mtricelor cu rg eul 7) Dc A,B sut mtrice echivlete (A B) tuci: ) A,B sut mtrice ptrtice; b) rg A = rg B; c) dc determitul lui A = rezult, si det B = ; d) dc det A = rezult c si det B = ) Petru fl ivers uei mtrice A M (R) pri trsformri elemetre, ceste se plic: ) umi liiilor; b) umi coloelor; c) tt liiilor ct si coloelor; d) iti liiilor poi coloelor 3) Petru flre iversei uei mtrice A M (R) pri trsformri elemetre, ceste se plic: ) direct supr lui A; b) supr mtricei trspuse A T ; c) mtricei tste B = [AM I ] ; T d) mtricei tste B = [I M A ] 6) Fie A M (R) si B mtrice tst lui A petru determire lui A - pri trsformri elemetre Dc 3 B M3 tuci: ) A - = 3 b)a - = c) A - = d) A - u exist ) Numim mtrice elemetr o mtrice: ) cu rgul egl cu ; b) cre se obtie di mtrice uitte pri trsformri elemetre; c) cu determitul eul; d) obtiut di mtrice uitte pritr-o sigur trsformre elemetr 5) Fie B o mtrice obtiut pri trsformri elemetre di mtrice A Atuci: ) rg A = rg B; b) rg A rg B; c) rg A < rg B; d) rg A > rg B 8) Fie A M (R) Dc rg A = r, tuci pri trsformri elemetre se obtie: ) cel puti r coloe le mtricei uitte; b) cel mult r coloe le mtricei uitte; c) exct r coloe le mtricei uitte; d) tote coloele mtricei uitte ) Dc A M (R) cu det A = tuci form Guss- Jord socit v ve: ) o sigur liie mtricei uitte I ; b) tote liiile si coloele mtricei uitte I ; c) o sigur colo mtricei uitte I ; d) umi o liie si o colo mricei uitte I 4) Fie A M (R) si B mtrice tst cestei i metod flrii iversei lui A pri trsf elemetreatuci: ) B M (R); b) B M, (R); c) B M, (R); d) B M, (R); 7) Aducd mtrice A l form Guss-Jord obtiem: ) A - ; b) rg A; c) det A; d) A T 3) O mtrice elemetr este obligtoriu: ) ptrtic; b) dreptughiulr; c) iversbil; d) esigulr 6) Mtricele A si B se umesc echivlete dc: ) u celsi rg; b) B se obtie di A pri trsformri elemetre; c) sut mbele ptrtice si de celsi ordi; d) u determiti euli 9) Fie A M (R) cu det A Atuci: ) rg A = ; b) A este echivlet cu mtrice uitte I (A - I ); c) pri trsf elemetre putem determi ivers A - d) form Gus-Jord mtricei A este I ) Metod de flre iversei uei mtrice A cu trsformri elemetre se pote plic: ) oricrei mtrice A M (R) ; b) umi mtricelor ptrtice; c) mricelor ptrtice cu det A ; d) tuturor mtricelor cu rg A 5) Fie A M (R) si B mtrice tst lui A petru determire lui A - pri trsformri elemetre Dc B 3 4 M tuci: ) A - = 3 4 b) A - = c) 4 A - = d) A - u exist 8) Dc mtrice A M,3(R) este echivlet cu mtrice A` = tuci: ) rg A = ; b) rg A = ; c) rg A = 3; d) rg A = rg A`

2 9) Dc mtrice A M 3(R) este echivlet cu mtrice A` = tuci rg A este: ) ; b) 3; c) ; d) ) Dc mtrice A este echivlet cu A` = tuci: ) rg A = 3; b) rg A = ; c) det A ; d) A este iversbil 5) Fie A M 3(R) cu det A = α Atuci form Guss-Jord lui A: ) re celsi rg cu mtrice A, ( ) α R; b) re celsi rg cu mtrice A, umi pt α = ; c) coicide cu I 3 <=> α ; d) re cel mult dou coloe le mtricei uitte I 3 dc α = 8) Metod Guss-Jord de rezolvre sistemelor liire pri trsformri elemetre se plic: ) umi sistemelor ptrtice; b) oricrui sistem liir; c) umi dc rgul mtricei sistemului este egl cu umrul de ecutii; d) dor sistemele comptibile edetermite 3) Aplicd metod Guss-Jord uui sistem liir de ecutii, mtrice extis A este echivlet cu mtrice A 3 `= 3 M Atuci sistemul liir: ) este icomptibil; b) este comptibil edetermit; c) re soluti de bz: x=4, x=, x3=-, x4=; d) re o ifiitte de solutii 34) U sistem liir de ecutii cu 4 ecuoscute, cu rgul mtricei sistemului egl cu, re soluti de bz: X=(,,,- ) T Atuci este: ) dmisibil si edegeert; b) dmisibil si degeert; c) edmisibil si edegeert; )Dc A este echivlet cu mtrice uitte I 3 (A I 3), tuci: ) rg A = 3; b) det A I 3; c) A = I 3; d) A - = I 3 3) Dc mtrice A este echivlet cu mtrice A` = tuci: α ) rg A = <=> α = b) rg A = <=> α = c) rg A, ( ) α R; d) rg A = 3 <=> α 6) Dou sisteme liire de ecutii se umesc echivlete dc: ) u celsi umr de ecutii; b) u celsi umr de ecuoscute; c) u celesi solutii; d) mtricele lor extise sut echivlete 9) Fie A si A mtrice, respectiv mtrice lrgit uui sistem liir Aplicd metod Guss-Jord de rezolvre, se plic trsformri elemetre supr: ) liiilor lui A si coloelor lui A ; b) liiilor si coloelor lui A ; c) liiilor lui A ; d) coloei termeilor liberi di A 3) Mtrice extis corespuztore uui sistem liir i 4 form explicit este A = M Atuci sistemul liir: ) este icomptibil; b) este comptibil determit; c) re soluti de bz x=, x=, x3=-, x4=; d) re o ifiitte de solutii 35) u sistem liir cu ecutii si 3 ecuoscute dmite soluti de bz X=(,-,) T Stiid c x, x3 sut vribile priciple, tuci soluti x este: ) dmisibil; b) edmisibil; c) degeert; ) Pivotul uei trsformri elemetre este itotdeu: ) eul; b) egl cu ; c) egl cu ; d) situt pe digol mtricei 4)Dc mtricele A si A` sut echivlete (AA`) tuci: ) u celsi rg; b) sut obligtoriu mtrice iversbile; c) sut obligtoriu mtrice ptrtice; d) se obti u di lt pri trsformri elemetre 7) Mtrice uui sistem liir orecre, i form explicit re: ) form Guss-Jord; b) coloele vribilelor priciple, coloele mtricei uitte; c) tote elemetele de pe liiile vribilelor secudre ule d) elemetele corespuztore de pe coloele vribilelor secudre, egtive 3) Petru obtie mtrice uui sistem liir sub form explicit, se plic trsformri elemetre: ) umi coloelor corespuztore vribilelor secudre; b) umi coloei termeilor liberi; c) tuturor liiilor si coloelor mtricei extise; d) petru fce coloele vribilelor pricipl lese, coloele mtricei uitte 33) Mtrice extis corespuztore uui sistem liir i form explicit este A = M Atuci sistemul 3 liir: ) sistemul este comptibil edetermit; b) vribilele priciple lese sut x, x, x4; c) sistemul este icomptibil; d)soluti de bz cores este x=, x=, x3=, x4=3 36) Sistemele liire de ecutii cre dmit solutii de bz sut umi cele: ) comptibile edetermite; b) comptibile determite; c) icomptibile; d) ptrtice

3 d) edbisibil si degeert d) edegeert 37) Formei explicite uui sistem liir ii corespude 38) Mtrice extis corespuztore formei explicite mtrice A = M Atuci soluti uui sistem liir este A = M Atuci corespuztore este: soluti de bz corespuztore este: ) x= +α- β, x=-+α- β, x3=α, x4= β ; ) X= ( - ) b) x=-α+ β, x=--α+ β, x3=α, x4= β T ; ; b) X= ( ) T ; c) x=+α- β, x=--α+ β, x3=α, x4= β ; c) X= ( ) T ; d) x=-α- β, x=-+α+ β, x3=α, x4= β d) X= ( ) T 4) Soluti de bz X=(α,, β,) T uui sistem liir de dou ecutii este edmisibil dc: ) α > si β >; b) α < si β <; c) α > si β <; d) α < si β > 43) Fie soluti de bz X=(,α,, β ) T corespuztore vribilelor priciple x si x4 Atuci x este dmisibil degeert dc: ) α >, β =; b) α=, β =; c) α=, β >; d) α>, β > 46) Fie A = M mrice corespuztore α formei explicite uui sistem liir Atuci sistemul este icomptibil dc: ) α=; b) α=; c) α=-; d) α= 49) Fie X=(,α,,) T soluti de bz uui sistem liir de ecutii corespuztore vribilelor priciple x, x, x3 Atuci: ) X este dmisibil, dc α>; b) X este degeert, dc α=; c) X este edmisibil, dc α= -; d) X este edegeert, dc α = 4) Soluti de bz X=(,, α,β ) T corespuztore uui sistem liir cu ecutii priciple si 4 ecuoscute este degeert dc: ) α=, β ; b) α, β =; c) α=, β =; d) α, β 44) Form explicit uui sistem liir re mtrice de form A = 3M Atuci soluti de bz corespuztore X este: ) X=( - ) T ; b) X=( - ) T ; c) X=( -) T ; d) X=(- ) T 47) Fie A = M mtrice corespuztore α formei explicite uui sistem liir Atuci sistemul este: ) comptibil edetermit, dc α = ; b) comptibil determit, dc α=; c) icomptibil, dc α ; d) icomptibil, dc α = 5) U sistem liir de ecutii si 4 ecuosute re mtrice corespuztore uei forme explicite de form: A = Atuci soluti de bz corespuztore X este: ) dmisibil, dc α=, β =; b) degeert, dc α <, β =; c) edmisibil, dc α > si β ; 39) Petru se obtie soluti de bz di form explicit uui sistem liir de ecutii: ) vribilele priciple se eglez cu ; b) vribilele secudre se eglez cu ; c) tote vribilele se eglez cu ; d) se tribuie vribilelor secudre vlori eule disticte 4) Fie B si E umrul solutiilor de bz disticte, respectiv l formelor explicite, corespuztore uui sistem liir comptibil edetermit Atuci: ) B E ; b) B E ; c) itotdeu B = E ; d) obligtoriu B > E 45) Form explicit uui sistem liir re mtrice de form A = M Atuci soluti de bz corespuztore X este: ) dmisibil; b) degeert; c) edmisibil; d) edegeert 48) Fie A = M mtrice corespuztore formei α β explicite uui sistem liir Atuci sistemul este comptibil edetermit dc: ) α =, β ; b) α, β =; c) α =o, β =; d) α, β 5) U sistem de m ecutii liite cu ecuoscute, m<, re itodeu: ) mi mult de C m b) cel mult C m forme explicite; forme explicite; c) exct C m forme explicite; d) m+ forme explicite

4 5) U sistem de m ecutii liire cu ecuoscute, m<, re itotdeu: ) exct C m b) cel mult C m solutii de bz; solutii de bz; c) cel puti C m solutii de bz; d) m+ solutii de bz 55) Petru trsform u sistem liir de ecutii itr-uul echivlet se folosesc trsformri elemetre supr: ) liiilor mtricei sistemului; b) coloelor mtricei sistemului; c) liiilor si coloelor mtricei sistemului; d) termeilor liberi i sistemului 58) Fie A o mtrice eul de tipul (m,) Atuci mtrice A dmite ivers dc: ) det A ; b) m= si det A ; c) det A= si m=; d) det A = si m= IIELEMENTE DE ALGEBRA LINIARA ) U sptiu liir X se umeste sptiu liir rel dc: ) elemetele sle sut umere rele; b) corpul peste cre este defiit coicide cu multime umerelor turle; c) multime X este evid; d) opertiile defiite pe X sut opertii cu umere rele 4) Multime solutiilor uui sistem liir formez u sptiu liir dc sistemul este: ) icomprbil; b) omoge; c) comptibil determit; d) ptrtic, cu rgul mtricei egl cu r Necuoscutelor 7) Fie X u sptiu liir si vectorii x,x,x3 X i x+x+αx3=x Atuci vectorii sut: ) liir depedeti, dc α=; b) liir idepedeti, dc α ; c) liir depedeti, dc α ; d) liir idepedeti, dc α= ) Fie B si B` dou bze di sptiul liir R 3 si S mtrice schimbrii de bz Atuci S este: ) ptrtic; b) iversbil; d) edegeert, dc α< si β 53) O solutie de bz petru u sistem cu m ecutii liire cu ecuoscute, m<, este degeert dc re: ) exct m compoete eule; b) mi mult de m compoete eule; c) mi puti de m compoete eule; d) mi mult de -m compoete eule 56) Metod grfic se foloseste i rezolvre sistemelor de iecutii liire cu: ) dou ecuoscute; b) mi mult de 3 ecuoscute; c) oricte ecuoscute; d) exct 3 ecuoscute 59) Petru trsform u sistem liir de ecutii i uul echivlet, se folosesc: ) trsf elem plicte liiilor mtricei tste sistemului; b) trs elem plicte liiilor si coloelor mtr tste sist c) opertii de dure coloelor mtricei tste sist; d) tote opertiile cre se pot efectu supr uei mtrice ) Fie (P (X),+, ) sptiul liir l poliomelor de grd cel mult Atuci opertiile + si reprezit: ) dure si imultire poliomelor; b) dure poliomelor si imultire poliomelor cu sclri reli; c) dure umerelor rele si imultire poliomelor; d) dure poliomelor si imultire r rele 5) Fie vectorii x, x,, xk R i αx+αx++αkxk = Atuci x,x,,xk sut liir idepedeti umi dc: ) ( )α i=, i=, k ; b) ( )α i= ; c) α i, ( )i=, k ; d) k> 8) Vectorii x, x,, xk R sut liir idepedeti Atuci: ) x,x,,xk- sut liir idepedeti; b) xi, ( )i=, ; c) k ; d) x+x++xk= ) Fie vectorii x, x,, xk R At ei form o bz dc: ) sut liir idepedeti si k ; b) xi si k=; c) sut liir idepedeti si k=; 54) O solutie de bz petru u sistem cu m ecutii liire cu ecuoscute, m<, este edegeert dc re: ) exct m compoete eule; b) mi mult de m compoete eule; c) mi puti de m compoete eule; d) -m compoete eule 57) O solutie de bz petru u sistem cu m ecutii liire cu ecuoscute, m<, este dmisibil dc re: ) moritte compoetelor pozitive; b) mi mult de m compoete pozitive: c) mi puti de m compoete egtive; d) tote compoetele egtive 6) O solutie de bz uui sistem liir se obtie: ) dd vribilelor priciple vlore ; b) dd vribilelor secudre vlore ; c) dd vribilelor priciple vlori eule; d) dd vribilelor secudre vlori strict pozitive 3) Fie (P (X),+, ) sptiul liir l poliomelor de grd cel mult Atuci dimesiue s este: ) ; b) =; c) ; d) 6) Fie vectorii x, x,, xk R i αx+αx++αkxk = Atuci x,x,,xk sut liir depedeti dc: ) α i =, ( ) i=, k ; b) ( ) α i ; c) k>; d) α i, ( )i=, k 9) Fie x, x,x R 3 vectori orecre i x3=x-x Atuci: ) coordotele lui x3 sut si -; b) x,x,x3 u formez o bz i R 3 c) x,x,x3 sut liir depedeti; d) deorece x-x-x3= => x,x,x3 sut liir idep ) Fie B = {x, x,,xk} o bz i sptiul liir X Atuci: ) dim X = k; b) dim X > k; c) dim X < k;

5 c) dreptughiulr; d) esigulr (det S ) d) k= si αi, ( )i=, k d) xi x, ( ) i=, k 3) Fie S mtrice de trecere de l o bz B l bz B` si u B respectib u B` coordotele vectorului u i cele dou bze Atuci u loc reltiile: ) u B = S u B` si u B` =S - u B b) u B = S T u B si u B` =S - u B c) u B = S T u B si u B` =( S T ) - u B d) u B =S - u B si u B` = S T u B 4) Fie B = {x,x,,xk} o bz i R Atuci: ) x,x,,xk sut liir idepedeti; b) k<; c) k = ; d) k> 5) I sptiul liir R exist: ) cel mult bze; b) exct bze; c) o sigur bz; d) o ifiitte de bze 6) Fie opertorul liir L: R R 3 si, 3 vectorii uli i celor sptii Atuci: ) L() = ; b) L(3) = 3; c) L() = 3; d) L(3) = 3 9) Fie L: R R m u opertor liir si ker L ucleul su Dc x ker L, tuci: ) L(x) = m; b) L(αx) = m, ( ) α B; c) L(αx) = m, dor pt α = ; d) L(x) = ) Fie L: R R u opertor liir si x u vector propriu corespuztor vlorii proprii λ Atuci: ) L(x) = λ x; b) dc L(x) =, tuci x=; c) L(λ x)= λ x; d) dc L(x) =, tuci λ = 5) Fie L: R R m u opertor liir Atuci L devie form liir dc: ) = ; b) m = ; c) = si m = ; d) =m 8) Form ptrtic Q: R R re mtrice socit A= Atuci Q re expresi: c) Q(x) = x x + x x 3) Form ptrtic Q: R R re form coic socit Q(y) = y + by Atuci Q este egtiv defiit dc: c) <, b< 7) Dc L: R m R este u opertor liir, tuci: ) obligtoriu m>; b) obligtoriu m<; c) m si ut umere turle orecre, eule; d) obligtoriu m= ) Dc L: R m R este u opertor liir si A mtrice s ft de o pereche de bze B,B` tuci: ) A Mm,(R); b) A M,m(R); c) B,B sut bze i R m ; d) B este bz i R m si B` este bz i R 3) Mtrice tst uei forme liire f: R R este o mtrice: ) ptrtic: b) colo; c) liie; d) iversbil 6) Fie Q: R R o form ptrtice si A mtrice socit cestei Atuci: ) A = A T b) A M,(R); c) A M(R); d) A este iversbil 9) Form ptrtic Q: R 3 R re form coic socit 3 Q(y)= y + y + α y Atuci: 3 ) Q este pozitiv defiit dc α >; c) Q este semipozitiv defiit dc α = ; d) Q u pstrez sem costt dc α < 3) Fie Q(y)= y + y + y 3 form coic 3 socit formei ptrtice Q: R 3 R Atuci: ) dc >, >, 3 >, Q este pozitiv defiit; 8) Fie L: R m R u opertor liir si ker L ucleul su Dc x,x ker L, tuci: ) x+x ker L; b) αx ker L, ( ) α B; c) αx+ β x ker L, ( ) α, β R; d) L(x) = x ) Fie L: R R u opertor liir si x u vector propriu pt L Atuci: ) (!) λ R i L(x)=λ x; b) L(λ x)=x, ( ) λ R; c) x ; d) L(x) = λ x, ( ) λ R 4) Dc f : R R este o form liir, tuci: ) f(x+x) = x + x; ( ) x,x R b) f(x+x) = f(x) + f(x); x,x R ; c) f(αx) = αx, ( ) α R si ( ) x R ; d) f(αx) = αf(x), ( ) α R si ( ) x R 3 Q : R R 7) Fie form ptrtic 3 Q( x) = x + x + x3 x x ( )x=(x,x,x3) T R 3 Atuci mtrice socit lui Q este: c) A = 3) Form ptrtic Q: R R re mtrice socit A= Atuci form coic socit este: 3 Nici u: Q(y)= y y su y + 3y su y y su 3y + 7y 33) Fie A mtrice socit formei ptrtice Q: R R si,,, miorii pricipli i lui A Petru plic metod lui Jcobi de ducere l form coic, trebuie obligtoriu c: Nici u

6 d) dc <, >, 3 <, Q este egtiv defiit 34) Formei ptrtice orecre Q: R R i se pote soci: b) msi multe forme coice, dr cu celsi r de coeficieti pozitivi, repectiv egtivi c) o mtrice ptrtic si simetric 37) Form ptrtic Q: R 3 R re form coic socit: Q(y)= y + y y Atuci: 3 c) ( )x,x R 3 i Q(x)< si Q(x)> 4) Metod lui Jcobi de obtie form coic, se pote plic i czul formelor ptrtic: ) pozitiv defiite; c) egtiv defiite 43) Petru se determi vlorile proprii le opertorului L: R R cu mtrice corespuztore A, se rezolv ecuti: Q : 35) Form ptrtic Q( x) = x x i= = este pozitiv defiit dc: i i spuem c b) Q(x)>, ( ) x R, x Q : 38) Form ptrtic re form Q( x) = i xi x i= = coic socit Q(y)= α y + α y + + α y Atuci Q este degeert dc: c) ( ) α=, petru i=, 3 L : 4) Fie opertorul liir L( x) = ( x + x3, x x ) T, ( )x=(x,x,x3) T R 3 Atuci mtrice opertorului i bzele coice le celor dou sptii re form: b) A= T c) det ( A λi ) = 44) Opertorul liir L: R R re mtrice A= 3 46) Fie opertorul liir L: R R Atuci: Atuci ecuti crcteristic pt obtiere vlorilor proprii re form: c) opertorului u i se pote ts ecuti crcteristic λ 3 c) = λ 49)Opert L: R R re vlorile proprii λ =, λ = Atuci: 47) Opertorul liir L: R R re mtrice A= c) dc x,x sut vectori proprii petru λ, respectiv λ Atuci, vlorile proprii le lui L sut: => x,x sut liir idepedeti d) exist o bz ft de cre mtrice opertoului re form c) λ =, λ = A= Q : 36) Form ptrtic Q( x) = x x i= = este semiegtiv defiit dc: b) Q(x), ( ) x R, x 3 3 i i spuem c 39) Fie Q(y)= α y + α y + α y form coic socit formei ptrtice Q: R 3 R Atuci Q u pstrez sem costt dc: ) α>, α<, α3>; d) α>, α<, α3 R 4) Mtrice opertorului L: R R ft de bz coic di R re expresi A= Atuci opertorul L re expresi: b) L(x)= ( x x x ) ` T + 45) Fie opertorul liir L: R R cu mtrice A= Atuci ecuti crcteristic corecpuztore: c) λ λ + = 48) Fie A= mtrice tst opertorului L: R R Atuci: b) vlorile proprii le lui L sut λ =, λ = ; ( λ) x + x = d) sistemul crcteristic tst este x + ( λ) x = 5) Cre di urmtorele firmtii sut devrte? ) orice sptiu liir este grup beli; b) orice grup beli este sptiu liir; c) exist sptii liire cre u sut grupuri beliee;

7 5) Fie opertorul ) kerl={(,) T } L : L( x) = ( x + x, x ) T Atuci : d) exist grupuri beliee cre u sut sptii liire 5) Fie vectorii x,x,,xm R m si A mtrice compoetelor cestor Atuci: ) vectorii sut liir idepedeti dc rg A = m; b) vectorii sut liir depedeti dc rg A < m 55) Fie vectorii x,x,,xm R m si A mtrice compoetelor cestor Atuci sut liir idepedeti dc: ) rg A = m; d) det A 58) Fie vectorii x,x,,x R, >3, liir idepedeti Atuci: ) vectorii x,x,,x formez o bz i R ; b) vectorii x,x,,xk sut liir idepedeti, ( )k=, 6) U sistem de vectori di R, cre cotie vectorul ul: b) este liir depedet; c) u formez o bz i R 64) Mtrice schimbrii de bz este: ) o mtrice ptrtic; b) o mtrice iversbil; c) formt di coordotele vectorilor uei bze descompusi i cellt bz 67) Fie x si x vectori proprii pt opertorul liir L: R R corespuztori l vlori proprii disticte Atuci: ) x si x sut liir idepedeti 7) Opertorul L: R R re vlori proprii disticte λ, λ,, λ cror le corespud vectorii proprii x,x,,x Atuci: ) x,x,,x formez o bz i R ; d) x,x,,x sut liir idepedeti 73) Nucleul uui opertor liir L: R m R este: ) u subsptiu liir; b) o multime de vectori di R m 53) I sptiul R o multime de vectori liir idepedeti pote ve: ) cel mult vectori; c) exct vectori 56) Fie vectorii x,x,,xm R liir idepedeti Atuci vectorii : c) formez o bz i R, umi dc m=; d) u coti vector ul 59) Cre di urmtorele firmtii sut devrte: ) orice submultime uei multimi de vectori liir idepedeti este tot liir idepedet; b) o submultime uei multimi de vectori liir depedeti este tot liir depedet; c) coordotele uui vector i bz coic di R coicid cu compoetele cestui d) dc o multime de vectori u cotie vectorul ul, tuci este liir idepedet 6) Coordotele uui vector i bze cre difer pritr-u sigur vector sut: ) diferite 65) Fie plicti L: R m R Atuci L este u opertor liir dc: c) L(x+x)=L(x)+L(x) si L(αx)=αL(x),( )x,x,x R m 68) Fie L: R m R u opertor liir si A mtrice s Atuci: ) A Mm,(R) 7) Fie opertorul liir L: R m R liir orecre Atuci: ) ker L R m ; d) ker L este subsptiu liir 74) U opertor liir L: R R re: ) cel mult vlori proprii disticte; d) o ifiitte de vectori proprii, pt fiecre vlore proprie 54) Fie vectorii x,x,,xm R m si A mtrice compoetelor cestor Atuci sut liir depedeti dc: c) rg A < m; d) det A = 57) Multime x,x,,xm este formt di vectori liir depedeti Atuci: b) cel puti u vector se pote exprim c o combitie liir de ceillti; d) pote cotie vector ul 6) Coordotele uui vector di R : ) sut uice reltiv l o bz fixt; b) se schimb l schimbre bzei; c) sut celesi i orice bz 63) Dimesiue uui sptiu vectoril este egl cu: ) umrul vectorilor ditr-o bz; b) umrul mxim de vectori liir idepedeti 66) Aplicti L: R m R este u opertor liir Cre di firmtiile de mi os sut devrte: ) L(x+x)=L(x)+L(x), ( )x,x R m ; b) L(αx)=αL(x),( ) x R m, ( ) α R ; d) L(αx+x)=αL(x)+L(x), ( )x,x R m si ( ) α R 69) Fie L: R 3 R u opertor liir Atuci: c) u se pote pue problem vlorilor proprii petru L; d) mtrice lui L este dreptughiulr 7) Uui opertor liir L: R m R i se pote soci: ) o mtrice uic reltiv l o pereche de bze fixte; 75) I sptiul R o multime de vectori liir idepedeti pote fi formt di: ) mi puti de vectori;

8 76) Fie vectorii x,x,,xm R, vectorii liir idepatuci c) formez o bz i R, dc m= 77) Coordotele uui vector di R : ) sut uice reltiv l o bz; b) sut i umr de ; c) exct vectori 78) U sistem de m vectori di R cre cotie vectorul ul: ) este itotdeu liir idepedet; d) u formez o bz i R 79) Dimesiue uui sptiu liir este egl cu: ) umrul vectorilor ditr-o bz 8) O form ptrtic este pozitiv defiit dc form coic tst cestei: ) re coeficietii pozitivi; 85) Dc sum vectori di R este egl cu vectorul ul tuci: b) vectorii sut liir idepedeti; c) cel puti uul se srie c o combitie liir de restul d) u formez o bz i R 8) Mtrice uei forme ptrtice orecre este o mtrice: b) ptrtic; c) simetric 83) O solutie de bz uui sistem se obtie: 8) Dc vem relti x=αx tuci vectorii: c) x si x sut liir idepedeti, ( ) α R 84) O form liir este pozitiv defiit dc: b) dd vribilelor secudre, vlore d) pozitiv defiire se refer umi l formele ptrtice 86) Dc vectorii x,xx formez o bz i sptiul 87) Mtrice socit uui opertor liir orecre L: R m liir X, tuci: R : b) x,xx sut liir idepedeti; b) depide de bzele cosiderte i cele dou sptii; c) dim X = ; d) x,xx- sut liir idepedeti 88) Nucleul uui opertor liir L: R m R : b) cotie totdeu vectorul ul l sptiului R m ; c) este subsptiu liir; d) u cotie vectorul ul l sptiului R m IIIELEMENTE DE PROGRAMARE LINIARA ) O problem de progrmre liir re itotdeu: ) I form vectoril, o problem de progrmre liir 3) I form stdrd o problem de prgrmre liir re ) fucti obiectiv liir; re vectorii P,P,P defiiti de: itotdeu: c) restrictiile liire b) coloele mtricei A corespuztore sistemului de c) restrictiile de tip ecutie 4) Itr-o problem de progrmre liir coditiile de egtivitte cer c: d) ecuoscutele problemei s fie egtive 7) O multime M R se umeste covex dc: ( ) x, x M si ( ) λ [,] vem c) λx + ( λ) x M ) Fie S A multime solutiilor dmisibile l uei probleme de progrmre liir Atuci: ) ( ) x, x S λx + ( λ) x S,( ) λ [,] A 3) I rezolvre uei probleme de progrmre liir cu lgoritmul Simplex se plic: ) iti criteriul de itrre i bz, poi criteriul de iesire di bz; d) criteriul de optim l fiecre etp lgoritmului A restrictii 5) Pt plic lgoritmul Simplex de rezolvre uei probl de progrmre liir, cest trebuie s fie i form: c) stdrd 8) Combiti liir λ x + λ x + λ 3 x 3 este covex dc: b) λ [,],( ) i =,3 si λ + λ + λ3 = i ) Fie S A si S AB multime solutiilor dmisibile, respectiv multime solutiilor dmisibile de bz uei probleme de progrmre liir Atuci, dc x S AB rezult c: ( ) x, x S, x x vem b) A x λ + ( λ) x,( ) λ [,] 4) Dc x si x sut solutii optime disticte (x,x S O) le uei probleme de progrmre liit, tuci: ) λx + ( λ) x S O,( ) λ [,] ; b) S O re o ifiitte de elemete; c) f(x)=f(x), cu f(x) fucti obiectiv 6) Pt duce o problem de progrmre liir de mxim l u de miim se foloseste relti: c) mx(f) = -mi(-f) 9) Dc M R este o multime covex spuem c x M este vrf (puct extrem) l multimii M dc: Nici u ) Fie S A, S AB, S O multimile solutiilor dmisibile, de bz dmisibile, respectiv optime petru o problem de progrmre liir Atuci: d) S A, S O sut multimi covexe 5) O problem de progrmre liir cu cerite de miim re urmtorul tbel Simplex: - -3 B C B P P P P 3 P 4 P 5 P P z c ) Itr i bz P 3 ; c) iese di bz P

9 6) Fie urmtorul tbel simplex l uei probleme de progrmre liir: - -3 B C B P P P P 3 P 4 P 5 P 3 P z c α 3 d) α=8 7) O problem de progrmre liir re urmetorul tbel Simplex: 3 B C B P P P P 3 P 4 P P 3 z c f α - 3 c) f=8, α=- 8) O probl De progrmre liir cu cerite de miim re urmtbel Simplex: - B C B P P P P 3 P 4 P -3 P z c -3-9) O probl De progrmre liir cu cerite de miim re urmtbel Simplex: - B C B P P P P 3 P 4 P P z c f - -6 ) O probl De progrmre liir cu cerite de miim re urmtbel Simplex: B C B P P P P 3 P 4 P 5 P P 3-4 z c b) vectorul P 3 v iesi di bz; d) problem re o ifiitte de solutii optime Atuci soluti optim problemei este: c) x =(,,3,) T ) Cre di elemetele urmtbel Simplex u sut corecte? 3 B C B P P P P 3 P 4 P 5 P 3 P 3 - z c b) diferetele z-c si z5-c5; c) vlore fuctiei obiectiv Atuci: c) f=6 si soluti optim este x =(,,,) T ; d) problem dmite solutie optim uic ) I urmtbel Simplex pt o problem de trsport cu cerite de miim: - B C B P P P P 3 P 4 P 5 P 3 - P z c 6 - b) itr i bz P 3 su P 5 ; c) iese di bz P 4 dc itr P 5 ; 3) I tbsimplex de mi os, cu cerite de miim petru fucti obiectiv - 3 B C B P P P P 3 P 4 P P - - z c - -6 α 4) I tbelul simplex de mi os - B C B P P P P 3 P 4 P 5 P 6 4 P P 3 γ z c f α β costtele f, α, β, γ u urmtorele vlori: c) f=7, α=-, β =, γ = 5) I fz I metodei celor fze, vlore optim fuctiei rtificile g(x )= Atuci: b) problem iitil u re solutie c) α= si problem dmite optim ifiit 6) Fucti rtificil di metod celor dou fze: ) depide dor de vribilele rtificile itroduse; c) re coeficietii vribilelor rtificile egli cu 7) Probl rtificil se tsez uei probl de progrmre: b) i form stdrd; d) petru determire uei solutii de bz dmisibile problemei iitile

10 8) Di tbelul Simplex de mi os pt o problem de progrmre liir cu cerite de miim: - 3 B C B P P P P 3 P 4 P 5 P P z c d) x =(,4,6,,) T solutie optim, dr u este uic 33) I rezolvre uei probleme de trsport metod costului miim se plic pt determire: c) uei solutii de bz dmisibile iitile 9) Di tbelul Simplex de mi os pt o problem de progrmre liir cu cerite de miim: 3 B C B P P P P 3 P 4 P P P 3 z c 4 - ) x =(,,4,3,) T este solutie optim c) problem re o ifiitte de solutii optime 34) Ctittile δ i di criteriul de optim l problemelor de trsport se clculez petru: c) celulele ebzice 3) I tbelul Simplex de mi os pt o problem de progrmre liir cu cerite de miim: - B C B P P P P 3 P 4 P 5 P P 3 3 z c -3-4 ) pote itr i bz P 4 su P 5 ; b) v iesi di bz umi P ; d) soluti de bz dmisibil gsit este x =(,,3,,) T 35) Itr-o problem de trsport ciclul celulei cre itr i bz este: 36) Soluti uei probleme de trsport este optim dc: c) ( )δ i 3) Problem de trsport de form: D D D3 C C C3 3 4 α 3 5 c) echilibrt, dc α=5 39) O solutie de bz dmisibil uei probleme de trsport este degeert dc: b) ( ) x i =, cu (i,) celul bzic 3) Soluti de bz dmisibil uei probleme de trsport este dt de tbelul: D D D3 C C C3 C4 3 5 α β ) x 4) O solutie de bz dmisibil uei probleme de trsport cu depozite si 5 cetre de desfcere este degeert dc re: b) 7 compoete egle cu ; c) cel mult 5 compoete eule 37) O solutie de bz dmisibil uei probleme de trsport este dt de tbelul D D D3 de mrf cre trebuie trsp este 65 um δ =-4 d) 3 C C C ) ctitte totl Atuci: c) α = 5, β =

11 38) Fie problem de trsport dt de urmtorul tbel: D D D3 C C C Aplicd metod cosyului miim se determi mi iti vlore lui : c) x 3 44) Fie soluti de bz dmisibil uei probleme de trsport dt de tbelul: C C C3 D D 4 4) Fie problem de trsport: D D C C 3 Atuci problem: d) este eechilibrt 46) Soluti de bz iitil uei probleme de trsport este dt de tbelul: C C D Atuci vlore 3 D fuctiei obiectiv f, 5 corespuztore cestei solutii este: b) f=65 D3 4 Soluti optim uei probleme de trsp este uic dc ctittile δ i corespuztore cestei sut tote: b) strict egtive 43) Soluti uei probleme de trsport este optim dc: c) ( ) δ i 45) Itr-o problem de trsport v itr i bz vribil x corespuztore ctittii δ i dt de relti: i b) δ = mx{ δ > } i kl 48) Itr-o problem de trsport vribil x itr i bz si re urmtorul ciclu: Atuci: c) θ = x iese di bz d) Atuci δ se clculez dup relti: δ =-+=+4 c) 47) Itr-o problem de trsport cu m depozite si m cetre de desfcere, vribilele ebzice le uei solutii de bz dmisibile sut: b) tote egle cu ; d) i umr de m m + 5) Pt o prolem de progrmre liir, cre di urmtorele firmtii sut devrte: ) o solutie de bz dmisibil este puct extrem l multimii solutiilor dmisibile; b) u puct extrem l multimii solutiilor dmisibile este o solutie de bz dmisibil 53) O solutie de bz dmisibil re compoete: ) egtive 49) Itr-o problem de trsport, otiue de ciclu se tsez: b) celulelor ebzice 54) O problem de progrmre liir cu cerite de miim re mi multe solutii optime dc: ) z c si exist vectori P cre u fc prte di bz cu z c =,cre u si coordotele strict pozitive 5) Coeficietii fuctiei obiectiv uei probleme de trsport orecre sut: c) umere egtive 5) Itr-o problem de progrmre liir se folosesc vribilele de compesre cd: ) restrictiile sut de form ; b) restrictiile sut de form 55) O problem de progrmre liir cu cerit de miim petru fucti obiectiv, dmite optim ifiit dc: ) exist vectori P cu tote coordotele egtive, cre u fc prte di bz si petru cre z c > 56)I form stdrd, o problem de progrmre liir re: ) umrul restrictiilor cel mult egl cu l ecuoscutelor 57) Dc mtrice uei probleme de progrmre liir i form stdrd re rgul egl cu r restrictiilor, tuci: b) restrictiile sut idepedete 58) Petru duce o problem de progrmre liir l form stdrd, se folosesc vriile: b) de compesre 59) Solutiile dmisibile le uei probleme de progrmre 6) Solutiile de bz dmisibil le uei probleme de 6) O solutie de bz dmisibil re umi compoete:

12 liir formez totdeu o multime c) covex 6) Petru plicre lgoritmului Simplex, soluti de bz iitil uei probleme de progrmre liir trebuie s fie: ) dmisibil 65) Itr-o problem de trsport metod perturbrii se plic tuci cd: ) soluti iitil este degeert; b) pe prcursul rezolvrii se obtie o solutie degeert 68) Petru o problem de progrmre liir, multime S A solutiilor dmisibile si multime S AB solutiilor dmisibile de bz stisfc reltiile: S S c) A AB S S = S d) A AB A 7) Pt rezolv o problem de trsport eechilibrt: ) se itroduce u ou depozit, dc cerere este mi mre dect ofert; b) se itroduce u ou cetru, dc cerere este mi mic dect ofert 74) O problem de progrmre liir de miim re mi multe sol optime dc vem stisfcut criteriul de optim si: b) exist vectori P cre u fc prte di bz, cu z c =, cre u coordote pozitive 77) I form stdrd, o probl de progrmre liir re: ) umrul restrictiilor cel mult egl cu l ecuoscutelor; b) restrictiile de tip ecutie 8) Solutiile optime le uei probleme de progrmre liir formez totdeu o multime: c) covex 83) O problem de progrmre liir pote fi rezolvt cu lgoritmul Simplex umi dc: ) este i form stdrd progrmre liir formez o multime: ) fiit 63) O solutie de bz dmisibil uei probleme de trsport cu m depozite si cetre (m<) re: ) cel mult m+- compoete eule 66) O problem de trsport pt cre exist δ i = pt o vribil ebzic solutiei optime re: b) mi multe solutii optime 69) O problem de progrmre liir pote ve: ) optim (fiit su u) su ici o solutie dmisibil 7) Petru o problem de progrmre liir cre di urmtorele firmtii sut devrte: d) multime solutiilor dmisibile este covex 75) O problem de progrmre liir de miim dmite optim ifiit dc: ) criteriul de optim u este stisfcut si vectorii di fr bzei u tote coordotele egtive 78) Dc mtrice uei problem de progrmre liir i form stdrd re rgul egl cu r restrictiilor tuci: b) restrictiile sut idepedete 8) O solutie de bz dmisibil edegeert re itotdeu compoetele priciple: b) stricti pozitive 84) Petru rezolv o problem de trsport trebuie c: b) problem s fie echilibrt 86) O problem de trsport: ) re itotdeu solutie optim fiit; c) pote ve mi multe solutii optime 87) Petru determi soluti iitil uei probleme de trsport: ) se plic metod digolei; 88) Petru plicre lgoritmului Simplex este ecesr c: b) sistemul i form stdrd s ib cel puti o solutie de bz dmisibil d) problem trebuie s fie echilibrt 9) Criteriul de optim l uei probleme de progrmre de 9) O problem de trsport re optim ifiit: miim este stisfcut dc: ) tote diferetele z c ; b) iciodt d) toti vectorii P di fr bzei u diferetele z c ) eegtive 64) Petru o problem de trsport cre di urmtorele firmtii sut devrte? ) dmite totdeu o solutie de bz dmisibil; c) re totdeu optim fiit 67) Metod grfic de rezolvre problemelor de progrmre liir se plic pt probleme: c) cu dou ecuoscute 7) Petru plic lgoritmul de rezolvre uei probleme de trsport trebuie c: b) problem s fie echilibrt si s vem o solutie de bz iitil edegeert 73) Itr-o problem de progrmre liir u se folosesc vribile de compesre cd: c) restrictiile sut de form = d) sistemul iitil de restrictii este i form stdrd 76) O problem de progrmre liir de miim dmite solutie optim uic dc: ) criteriul de optim este stisfcut si toti vectorii di fr bzei u diferetele z c < ; c) criteriul de optim este stisfcut si vectorii di fr bzei cu diferetele z c = u coordotele egtive 79) Petru duce o problem de progrmre liir l form stdrd se folosesc: b) vribile de compesre 8) O probl De trsport cu 3 cetre si 4 depozite, re soluti de bz iitil edegeert, dc cest re: b) 6 compoete pozitive 85) Metod celor fze se plic: b) Petru determire uei solutii de bz dmisibile problemei iitile; d) cu o fuctie obiectiv diferit de fucti iitil 89) Soluti uei probleme de trsport este optim dc: b) tote ctittile δi 9) O problem de trsport re itotdeu: ) optim fiit; b) cel puti o solutie de bz dmisibil

13 93) Fucti obiectiv problemei rtificile re: ) totdeu optim fiit; d) coeficieti egtivi 96) Itr-o problem de trsport vom ve costuri de trsport egle cu dc: b) problem iitil este eechilibrt 94) Dc fucti rtificil re optim strict pozitiv, tuci; ) problem iitil u re solutii; b) i bz u rms vribilele rtificile 97) Itr-o problem de trsport v itr i bz vribil corespuztore lui: ) δ i >, mxim 99) Problemele de trsport: ) sut czuri prticulre de probleme de progrmre liir; c) u umi optim fiit ) Itr-o problem de trsport criteriul de iesire se plic: b) celulelor cu umr pr di ciclul celulei cre itr i bz IV SERII NUMERICE SERII DE PUITERI ) Cre di urmtorele opertii pote modific tur uei ) Fie seri coverget Atuci, sociid termeii serii divergete: = i grupe fiite: b) seri rme coverget; d) sum seriei u se modific 4) Fie seri umeric = de mi os sut devrte:, Cre di firmtiile ) dc coverge, tuci lim = ; = = = = ) sociere termeilor seriei i grupe fiite 5) Fie ( S) sirul sumelor prtile tst seriei = Dc lim S =, tuci: ) seri coverge; d) seri re sum S= = 95) Itr-o problem de trsport coeficietii fuctiei obiectiv reprezit: c) cheltuieli de trsport 98) Ciclul uei celule ebzice este formt: ) di cel puti 4 celule; c) ditr-u umr pr de celule 3) Sum uei serii covergete se modific t cd: b) dugm u rfiit de termei; c) suprimm u r fiit de termei i seriei; d) imultim termeii seriei cu u sclr eul 6) Fie ( S) sirul sumelor prile tst seriei si = lim S = S Atuci seri: ) coverge, dc S ± ; d) coverge, dc S= d) dc lim, tuci seri diverge = 9) Fie ( S) sirul sumeolor prtile tst uei serii de 7) Fie seri geometric q cu Atuci seri: 8) Seri rmoic geerlizt este o serie: = = ) coverge, petru q (-,); b) diverget, dc α<; termei pozitivi, ( ) Atuci sirul ( S) = c) coverget, dc α>; este itotdeu: d) diverget, dc α= b) mooto cresctor ) Fie seriile cu termei pozitivi si b stfel ict,( ) * b ) Fie seri cu termei pozitivi, si seri rmoic Atuci: = = = = Atuci: b) diverge dc ) coverge dc b ; d) b diverge dc diverge = ) Fie seriile cu termei pozitivi lim =, tuci: b ) dc ( C) b ( C) ; = = = si = b Dc 3) Criteriile de comprtie se plic seriilor: b) cu termei pozitivi 5) Fie seri 4) Fie seriile de termei pozitivi = stisfc relti lim = k Atuci: b si = b, cre ) lim b) =, = = coverge Dc lim + =, tuci:

14 ) dc k (,) seriile u ceesi tur b) dc b ( D) ( D) = = b) k= si ( C) b ( C) = = 6) Fie seri cu termei pozitivi, si otm cu = c) k= si b ( D) ( D) = = = si λ = lim Atuci: lim + λ c) λ = λ ; d) dc λ = λ = 8) Petru seri cu termei pozitivi vem lim = Atuci: = + c) diverge; d) lim = = ) Seri cu termei pozitivi re sirul sumelor prtile ( S ) ) coverge; = = mrgiit Atuci: b) sirul ( S) coverge + 4) Fie seri ( ), stfel ict lim = = Atuci seri coverge dc: este mooto descresctor b) ( ) 7) Fie seri, stfel ict lim = + 9) Fie, stfel ict lim = = + Atuci : ) coverge = ) I plicre criteriului lui Rbe-Duhmel seriei se cere clculul limitei: = Atuci: c) lim + ) seri coverge; b) seri coverge; c) lim = = 8) O serie cu termei orecre, se umeste semicoverget dc: b) ( ) C si = = ( D) = 5) Seri u este o serie ltert dc : = b) u g u +,( ) ; + d) u = ( ), = = 9) Fie seri cu termei pozitivi, Atuci: ) dc = = ( ) C rezult ( C) ; = 7) Petru seri, vem lim Atuci : c) dc = = λ, diverge + = λ d) dc λ, coverge = ) Fie, stfel ict lim = = + Atuci: d) dc µ (,) ( C) = 3) Fie seri ltert ( ) cu Criteriul lui = Leibiz firm c seri: ) coverge, dc -> mooto descresctor 6) Fie seri de termei orecre, Cre di = urmtorele firmtii sut devrte? b) dc c) dc ( C) ( C) ; = = ( D) ( C) = = 3) Seri cu termei pozitivi = lim = µ Atuci dc: + re limit µ

15 + 3) Seri de puteri x, re lim = Atuci: = b) lim = ; c) seri coverge petru x (-,) 34) Seri de puteri ( x + ) r= Atuci seri: c) coverge, petru x (-,); d) diverge, dc x (3,) re rz de coverget = 35) Seri de puteri ( ) x x re lim = = Atuci seri: d) coverge, ( ) x R 38) Fie seri de puteri ( ) = seriei sut dti de relti: c) ( ) = 4) Fie seri de puteri = x coverget este r > fiit Atuci: ) seri coverge, ( ) x (-r,r) c) lim = ; r d) lim + = lim x Atuci coeficietii, crei rz de b) dc c) = = = 3) Seri de puteri ( ) D rezult ( D) ; = = lim = Atuci: = x, re limit b) seri coverge, petru ( )x ; + d) lim = 36) Seri de puteri ( ) x x re rz de = coverget r > Atuci teorem lui Abel firm c seri coverge pe itervlul: b) (x-r,x+r) 39) Fie r rz de coverget seriei de puteri x Atuci seri: ) coverge ( ) x R, dc r = +; c) coverge itotdeu i x = = 4) Seri Tylor tst uei fuctii f(x) i puctul x: b) este o serie de puteri; ( ) f ( x ) d) re coeficietii de form =! 43) Seri McLuri tst uei fuctii f(x): c) este o serie de puteri cetrt i ; d) este u cz prticulr de serie Tylor 46) Seri de puteri x stisfce propriette lim = Atuci seri: c) coverge, ( ) x (-,) = x : = 47) Seri de puteri ( ) c) re rz de coverget r =; d) coverge, ( ) x (-,) 48) Petru studi coverget uei serii lterte se plic: c) criteriul lui Leibiz c) µ = rezult = diverge; d) µ =3 rezult coverge = 33) Seri de puteri ( ) x x cu re lim + = = + Atuci seri: c) re rz de coverget r=; d) coverge umi i/petru x=x 37) Fie seri de puteri x cu lim = b) rz de coverget este r=; d) seri diverge ( )x (-,-) (,+ ) = Atuci + x 4) Seri de puteri ( ) re rz de coverget = r= Atuci domeiul mxim de coverget seriei este: b) x (-,] 44) Fie f : I o fuctie orecre Cre di coditiile de mi os sut ecesre pt -i ts cestei o serie Tylor i puctul x: ) obligtoriu x I; b) f(x) dmite derivte de orice ordi i x 45) Coeficietii umerici i uei serii McLuri tste uei fuctii f(x) u form: ( f ) () b) =! 49) Seri de puteri x este coverget pe R umi = dc: b) rz de coverget r = + ;

16 5) Seri de puteri ( x x ) coverge umi i x, = dc si umi dc: ) rz de coverget r=; c) lim = + 53) Dc petru seri, sirul sumelor prtile = este mrgiit, tuci seri: ) este coverget 56) Fie seri ( ), = si lim = Atuci seri: c) este coverget, dc + petru price * 59) Fie seri, si lim = b) este diverget, petru λ > c) este coverget, petru λ = d) este diverget, dc λ = + 6) Petru seri x vem lim = rz de coverget r este: = λ Atuci seri: = λ =ρ Atuci ) r= ; c) r=, dc ρ = + ; d) r=, dc ρ = ρ 65) Seri ( x x ) + re lim = Atuci seri: = ) este coverget, ( ) x R 5) Fie seri umeric petru cre lim = = Atuci seri: d) u se pote preciz tur seriei 54) Fie seri, si lim = b) coverge dc λ <; c) coverge, dc λ = 57) Fie seri = +, si lim = Atuci seri: = λ Atuci seri d) u se pote preciz tur seriei; se plic criteriul lui Rbe-Duhmel 6) Fie seri = b) este diverget, petru, cu lim = Atuci seri: + 63) Seri x re rz de coverget r= Atuci = seri: ) este coverget, umi i x= 66) Fie seri umeric = c) diverge, dc lim Atuci seri: c) lim = 5) Dc petru sirul umerelor prtile lim S = tuci seri : = ) este coverget si re sum S= + 55) Fie seri, si lim = µ = Atuci seri: ) este diverget, dc µ =; d) este coverget, dc µ = + 58) Seri este diverget dc: = b) lim = c) lim = + 6) Fie seri x si = ) este coverget, ( ) x R + lim = Atuci seri: 64) Dc seri ( x x ) re rz de coverget r=o, = tuci seri: b) este diverget, ( ) x R\{x}; c) este coverget, umi i x=x 67) O serie cu termei pozitivi: b) este diverget, dc termeul geerl u tide l ; c) re totdeu sirul umerelor prtile cresctor

17 68)Fie seri, si lim = ) diverge, dc λ > ; b) coverge, dc λ < 7) Seri, este: = ) coverget, dc lim = ; b) diverget, dc lim = ; c) coverget, dc lim = + 74) O serie de termei pozitivi, : = + b) diverge, dc lim = ; d) diverge, dc lim = = λ Atuci seri 77) Seri rmoic geerlizt cu α R: b) diverge, dc α <; d) coverge, dc α = α = 8) Seri de puteri ( x + ) re rz de coverget = r= Atuci seri: b) diverge, petru x (,) (, + ) ; c) coverge, petru x (,) V FUNCTII REALE DE N VARIABILE ) Fie puctele P (,), P (,) R Atuci distt ditre ele este egl cu: c) d(p,p ) = 69) Fie seri, si lim = = + Atuci seri este diverget, dc: b) µ = ; d) µ = 7) Fie seri cu lim = Atuci seri = + b) este diverget, dc 75) Seri de puteri x re lim seri: = b) coverge, umi petru x=; d) diverge, petru x µ = + Atuci 78) Fie seri cu termei lterti ( ), Dc lim =, tuci: = b) seri diverge coform criteriului geerl de diverget 8) Seri de puteri = r= Atuci seri: c) coverge, petru x R ( x + ), re rz de coverget ) Fie puctele P(x,x) si P(y,y) R Atuci distt b) d(p,p)= ( x x ) + ( y y ) 7) O serie cu termei pozitivi, : = + ) coverge, dc lim = ; b) diverge, dc lim =; c) diverge, dc lim = + 73) O serie de puteri x re rz de coverget r= = Atuci seri: ) coverge pt x (-,) d) diverge, dc x > 76) Fie o seri orecre cu termei pozitivi, si lim + = Atuci: = ) lim = ; c) Rbe-Duhmel pt det tur seriei 79) Seri de puteri = ( x + ), re rz de coverget r= Atuci seri: b) diverge, petru x (, ) (, + ) ; d) coverge, petru x (-,) 8) Seri de puteri x re rz de coverget r = = Atuci seri: b) coverge, umi petru x=; d) diverge, ( ) x R 3) Fie P(x,x) R ; Atuci distt de l O(,) l P este: b) d(o,p)= 4) Fie sirul ( x ) cu termeul geerl de form 5) Fie sirul ( x ) cu termeul geerl 6) Fie sirul de pucte ( x ) Atuci sirul: x =, + Atuci ( ) b) coverge, dc tote sirurile coordotelor coverg; x =, At: b)sirul diverge/limit x=(, ) d) diverge, umi dc tote sirurile de coordote diverg + b) limit sirului este x=(,) 7) Fie f(x,y) o fuctie de vribile si otm cu lg limit globl, respectiv l,l limitele prtile le cestei itr-u puct (x,y) Cre di urmtorele firmtii sut devrte: ) dc ( ) lg tuci ( ) l,l si l=l=lg; c) dc ( )l,l si l l tuci u exist lg x + x

18 8) Fie f : D si (x,y) D Atuci derivt prtil lui f(x,y) i rport cu vribil x i puctul (x,y) se clculez cu relti: f f ( x, y) f ( x, y ) b) ( x, y) = lim x x x x x ) Fie fucti f(x,y)=xy, cre di urmtorele eglitti sut corecte? f f b) = y ; d) = x x 4)Diferetil de ordi I fuctiei f(x,y) = xe y re expresi c) df(x,y) = e y dx + xe y dy; 7) Puctele critice le fuctiei f(x,y) C(R) se obti: f = x c) rezolvd sistemul f = y f : ) Fucti re: f ( x, y) = x + y + b) ici u puct critic 3) Hessi fuctiei f(x,y) i puctul critic P, este de α β form H(P)= Atuci P este puct de mxim β locl petru f dc: Nici u α α 6) Fie H(P)= hessi fuctiei f(x,y) i α puctul critic P Atuci petru : b) α=4 u se pote preciz tur lui P; c) α= P u este puct de extrem locl; d) α=3 P este puct de miim locl 9) Fie fucti f(x,y)= ) f x = ; d) x y x y Atuci: f x = x y ) Diferetil de ordi I fuctiei f(x,y)=xy clcult i puctul P(,) re expresi: c) df(p)=4dx+4dy 5) Fie (x,y) oo fuctie cre stisfce criteriul lui Schwrtz f si cre re = xy Atuci: x y f b) = xy y x 8) Fucti f(x,y) re derivtele prtile ordiul I de form: x l y y + f f b) = x y y x ; d) H(x,y)= y x x y + x y y f x c) = x y y ) Fie H(P)= α β hessi tst fuctiei f(x,y) i β puctul critic P Atuci P: ) este puct de miim locl, dc α=β =; c) u este puct de extrem locl, dc α= si β = 4) Hessi fuctiei f(x,y) i puctul critic P re form: α + α H(P)= α α P de miim locl pt f dc: b) α>- si α 3 >; 7) Hessi tst fuctiei f(x,y) re form H(x,y)= 3 y 6xy ; Atuci diferetil de ordi II futiei 6xy 6x y re form: 3 c) d f ( x, y) = y dx + xy dxdy + 6x y dy ) Derivtele prtile le fuctiei f(x,y)=l(xy) sut: f b) = ; x x f d) = x y 3) Diferetil de ordi I fuctiei f(x,y)=xy+x3y i puctul P(,) re expresi: b) df(p)= 7dx+4dy 6 x 6) Fie H(x,y)= hessi tst fuctiei f(x,y) 6y Dc P(,-) si P(-,-) sut pucte critice le lui f,tuci c) P u este puct de extrem, ir P este puct de mxim; f : 9) Fucti re: f ( x, y) = xy + c) u sigur puct critic; d) hessi de form H(x,y)= ) Fie P u puct critic l fuctiei f(x,y) si hessi corespuztore cestui de form: H(P)= 3 α α Atuci P v fi puct de miim pt fucti f dc: c) α= 3 ; d) α= 5) Dc fucti f(x,y) re derivtele prtile de ordi I de f = x( x + y ) x form, tuci f re: f = y(x + y ) y d) ptru pucte critice 8) Diferetil de ordi I fuctiei f(x,y) re form df(x,y)=(x+y)dx+(x+)dy Atuci fucti f(x,y); c) re puctul critic uic P(-,) 9) Fie H(x,y)= y x hessi tst fuctiei f(x,y) x Atuci diferetil de ordi II fuctiei f re form: d) d f ( x, y) = ydx + 4xdxdy

19 y x 3) Fie H(x,y)= hessi tst fuctiei f(x,y) x Dc P(,-), P(-,) sut puctele critice le lui f, tuci c) P,P u sut pucte de extrem locl 33) Fie P u puct critic l fuctiei f(x,y) si d f ( P ) = 4dx dxdy + dy Atuci: ) P este puct de miim locl 35) Fucti f(x,y) re derivtele prtile de ordi I de form f = x 3x + respectiv f = y Atuci umrul x y puctelor critice le lui f este: d) 4 38) Fucti orecre f(x,y,z) stisfce coditiile di criteriul lui Schwrz Atuci u loc eglittile: f f b) = x z z x ; d) f f = y z z y 4) Fie fucti f(x,y)= e x+y Atuci: f x y d) = + e x 44) Dc P(x,y) este puct critic petru fucti f(x,y) tuci: f f b) ( P ) = si ( P ) = ; c) df(p)= x y α 3) Fie H(P)= α hessi corespuztore α + fuctiei f(x,y,z) i puctul critic P Atuci: ) P este puct de miim locl, dc α>; c) P u este puct de extrem locl, dc α = ; d) P este puct de miim locl, dc α=- 36) Diferetil de ordi I fuctiei f(x,y,z)=xy+y z re form: b) df(x,y,z)=ydx+(x+yz)dy+y z; x + y + x y 39) Fie fucti f(x,y)= si x + y l = lim lim (, ), l = lim ( lim f ( x, y) ) limitele ( f x y y ) x y x iterte le fuctiei i O(,) Atuci: d) l=, l=- 43) Fie fucti f(x,y,z)=x+y+z Atuci: b) fucti f u re pucte critice; c) fucti f u re pucte de extrem locl α β 45) Fie H(P)= hessi tst fuctiei f(x,y) i β puctul critic P Atuci, dc: Nici u 3 α y 6xy y x α 46) Fie H(x,y)= mtrice hessi tst β xy 6x y 47) Fie H(x,y,z)= β x 3z hessi tst fuctiei f(x,y) Atuci, dc fucti f(x,y) stisfce criteriul γ z 6yz lui Schwrz vem: ) α=3, β =6; fuctiei f(x,y,z)= x y + yz 3 Deorece f stisfce criteriul lui Schwrz vem: c) α=, β =, γ =3 5) Criteriul lui Schwrz firm c fucti f(x,y) re: 5) Cre di urmtorele firmtii sut devrte: c) derivtele prtile mixte de ordiul egle b) orice puct de extrem locl este puct critic; c) i u puct critic derivtele prtile de ordiul I sut ule d) puctele de ectrem locl se gsesc pritre pct critice 5) O fuctie f : re itotdeu: 54) Hessi tst fuctiei orecre f : : ) derivte prtile de ordiul I; ) este o mtrice ptrtic de ordiul ; d) derivte prtile de ordiul II d) este formt cu derivtele prtile de ordi II le fuctiei 56) Fie f : Criteriul lui Schwrz firm c: 57) Criteriul luii Schwrz implic fptul c fucti f : re: ) mtrice hessi simetric; 3) Fie P puct critic l fuctiei f(x,y) si d f ( P ) = dx + dy Atuci: c) P u este puct de extrem locl 34) ) Fie P u puct critic l fuctiei f(x,y,z) si d f ( P ) = dx + 4dy + d z Atuci: ) P este puct de miim locl 37) Diferetil de ordi I fuctiei f(x,y,z)=xyz re form: c) df(x,y,z)=yzdx+xzdy+xydz; 4) Fie fucti f(x,y)=e xy Atuci: f xy c) = ye x 4) Fie H(P)= hessi tst fuctiei f(x,y,z) i puctul critic P Atuci: c) P u este puct de extrem locl 48) Metod multiplicrilor lui Lgrge se foloseste l determire puctelor de extrem locl, i czul fuctiilor: d) le cror vribile sut supuse l o serie de legturi 49) Fie fucti f(x,y)=x+y cu vribilele stisfcd legtur x+y= Atuci fucti lui Lgrge tst re expresi: c) L(x,y)=x+y+λ (x+y-) 53) O fuctie f : re itotdeu: d) umrul puctelor critice si de extrem u depide de 55) Puctul P R este puct critic petru fucti f : dc derivtele prtile: c) de ordi I se ulez i P 58) O fuctie orecre f : re: d) umrul puctelor critice si de extrem u depide de

20 f f ) = ; d) deriv prtde ordi II - cotiue x y y x 59) Dc puctul P este puct de mxim petru fucti f, tuci: b) df(p) este egtiv defiit d) P este puct critic petru f 6) Dc, sut miorii digoli i hessieei H(P), tuci puctul critic P(x,y) este puct de mxim dc: <, > ; d) 65) O fuctie orecre f(x,y) re: b) derivte prtile de ordiul I si 4 derivte prtile de ordiul II; d) derivte prtile de ordiul II mixte (dreptughiulre) b) derivtele prtile de ordiul II mixte, egle 6) Dc puctul P este puct de miim petru fucti f, tuci: ) df(p) este pozitiv defiit; d) P este puct critic petru fucti f 63) Dc,, 3 sut miorii digoli i hessieei H(P), tuci puctul critic P(x,y,z) este puct de mxim dc: <, >, < b) 3 66) O fuctie orecre f(x,y,z) re: c) 3 derivte prtile de ordiul I si 9 derivte prtile de ordiul II; d) 6 derivte prtile de ordiul mixte (dreptughiulre) 6) Dc, sut miorii digoli i hessieei H(P), tuci puctul critic P(x,y) este puct de miim dc: >, > ) 64)Dc,, 3 sut miorii digoli i hessieei H(P), tuci puctul critic P(x,y,z) este puct de miim dc: >, >, > ) 3 67) Puctele critice le fuctiei f(x,y); f = y b) sut solutiile sistemului f = y