METODE ŞI ETAPE NECESARE PENTRU DETERMINAREA

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "METODE ŞI ETAPE NECESARE PENTRU DETERMINAREA"

Ίησους Λιακόπουλος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ETOE ŞI ETAPE ECESARE PETRU ETERIAREA UGHIULUI A OUĂ PLAE PROF. IACU ARIA, ŞCOALA ROUL LAEA, ORAVIłA, CARAŞ- SEVERI (). Unghi diedru. Fie α şi β două semiplne vând ceeşi frontieră (muchie)d. Se numeşte unghi diedru su diedru cu muchid şi feńeleα, β, reuniune α β d. că α şi β sunt plnele suport le lui α, respectivβ, tunci se numeşte interiorul diedrului figur ( αb βa), unde A α, B β. că αeste identic cuβ, tunci unghiul dintre αşiβ se numeşte diedru nul; unghiul dintre αşi β se numeşte diedru plt, dcăα şiβ sunt semiplne opuse. În celellte czuri unghiul dintre α şiβ este un diedru propriu. ObservŃie. că plnele α şiβ se intersecteză, tunci ele determină ptru diedre cu ceeşi muchie α β, două câte două opuse (l muchie). (b). Unghi pln corespunzător unui unghi diedru. ăsur unui unghi diedru. efinińie. Fie unghiul dintre αşi β un unghi diedru şi d muchi s. umim unghi pln l unghiului diedru, vlore unghiului dintre două semidrepte, b mbele vând origine într-un punct P d, conńinute respectiv în cele două semiplne cre formeză diedrul şi perpendiculre pe d. ObservŃie. Unghiul pln corespunzător unghiului diedru dintre α şiβ nu este unic, dr tote unghiurile plne corespunzătore unui diedru sunt congruente c unghiuri cu lturile respectiv prlele. efinińie. Se numeşte măsur unghiului diedru dintreα şiβ, măsur unui unghi pln l diedrului. ouă diedre se numesc congruente, dcă ele u ceeşi măsură. ObservŃie. Fiecre punct P d este vârful unui unghi pln l diedrului dintre α şiβ, ir măsur unghiului pln corespunzător diedrului este un număr din,8 unic determint. Perpendiculrele în P ped, conńinute în αşiβ, sunt lturile unghiului pln cu vârful P l diedrului formt de α şiβ. Un diedru este drept dcă dmite un unghi pln drept. ăsur unghiului diedru nul este eglă cu unghiului diedru plt este de8., ir

2 (c). Unghiul două plne. Se numeşte unghiul plnelor α şiβ un unghi diedru determint de α şiβ, cre re măsur cuprinsă în intervlul,9. că plnul αeste identic cu β, su α este prlel cuβ, tunci unghiul plnelor este, prin definińie, unghiul nul şi re măsur. (d). Plne perpendiculre. ouă plne se numesc perpendiculre dcă reuniune lor conńine un unghi diedru drept, respectiv dcă măsur cestui este 9. (e). etode. Pentru evlure su determinre unghiului două plne dispunem de metode cre derivă din definińie şi de metode derivte. ). că d este muchi plnelor α şi β, se identifică un punct P pe d în cre se consideră perpendiculrele în P, situte respectiv în plnul αşi în plnul β, fie ele şi b ; unghiul dintre dreptele şi b, v fi unghiul dintre plnele α şi β. ). Se identifică un punct P le cărui proiecńii pe α şiβ, respectiv, se pot preciz uşor. Se evlueză P cre reprezintă suplementul unghiului celor două plne (remintim că unghiul plnelorα şi β este congruent cu unghiul pln l diedrului, dcă cest nu este obtuz şi cu suplementul cestui în cz contrr; două plne secnte determină ptru unghiuri diedre: două u măsur u, ir celellte două u măsur 8 -u ). ). Se identifică un triunghi (su un poligon convex), în plnul α cărui proiecńie în plnul β este vizibilă. Atunci unghiul plnelor αşi β rezultă din S = S cosu, unde S este ri poligonului ce se proiecteză, ir S este ri poligonului-proiecńie şi u unghiul celor două plne. Când unghiul două plne se determină folosind metodele ) su ), în rezolvre cestui tip de probleme se impun prcurgere unor etpe: (E). Aflre muchiei diedrului. (E). Construire perpendiculrelor în celşi punct pe muchi diedrului. ( E). Precizre unghiului celor două plne. (E). Încdrre unghiului într-o figură geometrică, de obicei într-un triunghi. (E5). emonstrre fptului că cel triunghi este dreptunghic (dcă e posibil!). (E6). Aflre unei funcńii trigonometrice celui unghi. că triunghiul nu este dreptunghic se construiesc două înălńimi le celui triunghi şi folosind relńi h = b hb = c hc se flă elementele necesre pentru pute clcul sinusul unui unghi su se flă direct cosinusul celui unghi folosind teorem cosinusului.

3 ( E7). Precizre măsurii celui unghi dcă este posibil. Exemple. P ) Triunghiurile echilterle ABC şi BC sunt situte în plne diferite. Să se fle unghiul diedru dintre ceste plne ştiind că distnń dintre vârfurile A şi este eglă cu lungime lturii triunghiurilor. SoluŃie. Fie AB= A= ABC BC = BC (muchi diedrului) (E ) : (E ) : A BC mijloc ( BC) BC. (E ): A BC, A ( ABC) şi BC, ( BC) A (( ABC) ;( BC) ) ( A ; ) A. (E ): A (E 6 ): A = =.Fie A şi AA. C A : A = AA = AA ( ). B Cu T.Pitgor în A AA sin( AA ) =. =. in relńi 6 AA =. (E 7 ):Unghiul plnelor ( ABC ) şi ( BC) este unghiul l cărui sinus este egl cu. P ) În cubul ABCABC de ltură cm, este mijlocul segmentului ( BB ), ir este mijlocul segmentului ( BC ). Să se fle: ) ăsur unghiului formt de dreptele şi A. b) ăsur unghiului diedru formt de plnele ( ) şi ( ABC ). SoluŃie. B C A B C

4 ) ( BCC ) ( A ) plnul ( ) tie plnul ( A ) după o dreptă ce trece prin, prlelă cu. =l.mij. BBC BC şi BC A A m ( ( ; A )) =. b) Vom fl măsur unghiului celor două plne prin ), prin proiecńii. = ABC { }, pr ABC { B} pr A A SAB S A = pr( ABC) A = AB = cos u, unde u = ; A şi A A = trpez. AB dr. A = trpez isoscel. C C dr. ( CC..) = C + C = A 5 =. ABC. Fie E A şi F A ; E, F A F= F= F = F E F F = S A 9 = + = 8. SAB = ( B+ A) AB S AB = 9 = cosu cos u 8 ( ) ; ( ABC ) = este unghiul ce re cosinusul egl cu. BIBLIOGRAFIE :. Ion oru Albu, Geometrie. Concepte pentru metode de studiu, Editur irton, Timişor, Ivăşchescu, C.Bsrb, Probleme de mtemtică pentru clsele V-VIII Editur Crdinl,Criov, Gh. łińeic, Culegere de probleme de geometrie, Editur Tehnică,Bucureşti, 99.

Σχετικά έγγραφα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul