ANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n,

Transcript

1 ANEXA ANEXĂ MATRICE ŞI DETERMINANŢI Fie K u corp şi m N* = N \ {} Tbloul dreptughiulr A = ude ij K i = m j = m m m se umeşte mtrice de tip (m ) cu elemete di corpul K Mulţime mtricelor cu m liii şi coloe cu elemete di K se oteză cu M m (K) = {A = [ ij ] ij K i = m j = } Î czul prticulr m = mtricele se umesc pătrtice şi mulţime lor se oteză M (K) Elemetele mulţimii M m (K) se umesc mtrice (vector) coloă ir elemetele mulţimii M (K) se umesc mtrice (vector) liie Mulţime M (K) se idetifică cu K O mtrice A M m (K) se umeşte digolă dcă ij = i j i = m j = şi există i { mi(m )} stfel îcât ii O mtrice digolă A M (K) re form A = şi se oteză A = dig ( ) Două mtrice A = [ ij ] B = [b ij ] M m (K) sut egle dcă ij = b ij i = m j = 8

2 MATRICE ŞI DETERMINANŢI Operţi iteră de dure "+": M m (K) M m (K) M m (K) defiită pri C = A + B ude c ij = ij + b ij i = m j = determiă pe M m (K) o structură de grup comuttiv Elemetul eutru este mtrice ulă O m cre re tote elemetele ; elemetul simetric l mtricei A = [ ij ] M m (K) este - A = [- ij ] M m (K) Operţi de îmulţire " ": M m (K) M p (K) M mp (K) defiită pri D = AB ude D = [d ij ] d ij = i = m j = p 9 ikb kj k= re următorele proprietăţi: A(BC) = (AB)C A M m (K) B M p (K) C M pq (K); A(B + C) = AB + AC A M m (K) B C M p (K); (A + B)C = AC + BC A B M m (K) C M p (K) Operţi de îmulţire mtricelor este operţie iteră pe mulţime M (K) Tripletul (M (K) + ) re o structură de iel ecomuttiv cu uitte Elemetul uitte di M m (K) este mtrice uitte I = [δ ij ] ude δ ij = petru i = j dică petru i j I = Operţi exteră de îmulţire " ": K M m (K) M m (K) defiită pri C = αa ude C = [c ij ] c ij = α ij i = m j = re următorele proprietăţi: α(βa) = (αβ)a α(a + B) = αa + αb

3 ANEXA (α + β)a = αa + βa A = A petru A B M m (K) α β K ude este elemetul uitte di K Operţi "( ) t ": M m (K) M m (K) defiită pri A t = [ ji ] petru A = [ ij ] i = m j = se umeşte operţi de trspuere şi re următorele proprietăţi: (A t ) t = A; (A + B) t = A t + B t ; (αa) t = αa t ; (AB) t = B t A t (dcă produsul re ses) petru A B M m (K) α K Se umeşte urm (trce) mtricei A = [ ij ] M (K) sum elemetelor de pe digol priciplă şi se oteză tra = Petru A B M (K) α β K u loc relţiile: tra = tra t ; tr(αa + βb) = αtra + βtrb; tr(ab) = tr(ba) Se umeşte determitul mtricei A = [ ij ] M (K) elemetul det A K defiit pri det A = ude sum se clculeză după tote cele! substituţii le mulţimii { } ir ε(s) este sigtur substituţiei s Se umeşte mior de ordiul k l mtricei A M (K) determitul socit mtricei de ordiul k formtă cu elemetele cre se flă l itersecţi k liii şi k coloe fixte di A Dcă liiile şi coloele fixte sut i < i < < i k şi j < j < < j k i= = ε (s)s() s() s() s S ii

4 tuci miorul de ordiul k este M k = i i i k j j j MATRICE ŞI DETERMINANŢI i j i j ik j i i j k i k j j k k Se umeşte mior complemetr lui M k miorul de ordi - k cre se obţie di A pri suprimre liiilor şi coloelor corespuzătore lui M k Se umeşte complemetul lgebric l miorului M k miorul M ' k dt de relţi M ' k = (- )s M k ude s = i + i + + i k + j + j + + j k dică sum idicilor liiilor şi coloelor di M k Complemetul lgebric l elemetului ij se oteză A ij şi este A ij = (- ) i + j M ij ude M ij este miorul complemetr lui ij Dcă A = [ ij ] M (K) tuci (det A)δ ij = ika jk k= su (det A)δ ij = k= kia kj ude - petru i = j prim ( dou) formulă reprezită dezvoltre determitului det A după elemetele uei liii (coloe); - petru i j prim ( dou) formulă rtă că sum produselor elemetelor uei liii (coloe) pri complemeţii lgebrici i ltei liii (coloe) este ulă Dcă M M M p ude p = C k sut miorii de ordi k< cre se pot form cu elemetele k liii (coloe) fixte şi M ' M ' M ' p sut complemeţii lor lgebrici tuci det A = M k= k M ' k

5 ANEXA dică determitul uei mtrice este egl cu sum produselor miorilor de pe k liii fixte le mtricei pri complemeţii lor lgebrici (teorem lui Lplce) Folosid regul lui Lplce se pote demostr că det AB = det A det B petru A B M (K) Mulţime SL( K) = {A M (K) det A = } ude K este u corp şi K este elemetul uitte di K formeză u grup î rport cu operţi de îmulţire mtricelor umit grupul liir specil Numărul r N se umeşte rgul mtricei A M m (K) (r = rg A) dcă sut îdepliite codiţiile: - există u mior eul de ordiul r - toţi miorii de ordi mi mre decât r sut egli cu zero (cee ce este echivlet cu fptul că toţi miorii de ordi r + sut egli cu ) Di defiiţie rezultă că rg A mi{m } petru A M m (K) (rg O m = ) Se umesc trsformări elemetre le liiilor (coloelor) uei mtrice A M m (K) următorele operţii: Schimbre două liii (coloe) ître ele Îmulţire uei liii (coloe) cu u sclr eul Adure elemetelor uei liii (coloe) l elemetele ltei liii (coloe) îmulţite cu u sclr Două mtrice A B M m (K) se umesc echivlete dcă u celşi rg; se oteză cu A B Relţi "" este o relţie de echivleţă lgebrică Rgul uei mtrice este ivrit l trsformări elemetre deci două mtrice cre se obţi u di lt pri trsformări elemetre sut echivlete

6 MATRICE ŞI DETERMINANŢI Petru determire rgului uei mtrice A M m (K) se plică trsformări elemetre supr liiilor (coloelor) pâă se obţie o mtrice digolă Rgul mtricei A v fi egl cu umărul elemetelor eule de pe digol priciplă Exemplu Să se determie folosid trsformări elemetre rgul mtricei A = 7 8 Soluţie A L L L L L L L L + + C C C C C C C C C C (trsformări elemetre supr coloei coduc direct l j = j = fără schimbre celorllte elemete ij i= j= ) C: C: L L L L L L L L L L Deci rg A =

7 ANEXA Probleme propuse Să se determie rgul mtricelor: A = 8 9 ; R rg A = A = ; R rg A = A = ; R rg A = A = ; R rg A = A = ; R rg A =

8 A = 7 MATRICE ŞI DETERMINANŢI ; R rg A = 9 7 Se umeşte ivers uei mtrice A M (K) mtrice ottă A - cre stisfce relţiile AA - = A - A = I O mtrice A = [ ij ] M (K) este iversbilă dcă şi umi dcă e este esigulră dică det A Î cest cz ivers se clculeză cu formul A - = A* det A ude A* este mtrice djuctă A* = [A ji ] j i = complemetul lgebric l lui ji ) (A ji este Mulţime GL( K) = {A M (K) det A } formeză u grup î rport cu operţi de îmulţire mtricelor umit grupul liir Au loc proprietăţile: (A - ) - = A (αa) - = α - A - (AB) - = B - A - (A t ) - = (A - ) t petru A B GL( K) Se pote determi ivers uei mtrice A GL( K) folosid trsformări elemetre Se bordeză A cu mtrice uitte I obţiâdu-se mtrice [A I ] cre pri trsformări elemetre umi supr liiilor se duce l form [ I A - ] dică [A I ] [ I A - ]

9 ANEXA L psul petru uşuriţ clculelor se urmăreşte c = (pri schimbări de liii combiţii liire de liii împărţire pri ) Î cotiure pri trsformări elemetre supr liiei se obţi elemetele j = j = L psul se obţie = şi pri trsformări elemetre supr liiei se obţi elemetele j = j = L psul i se obţie ii = şi pri trsformări elemetre supr liiei i se obţi elemetele ji = j = i - i + Exemplu Să se fle folosid trsformări elemetre ivers mtricei A = Soluţie [A I ] = L L L L L L L L + + L L L L + L L L L L L + +

10 MATRICE ŞI DETERMINANŢI 7 L L L L L L A Probleme propuse Să se fle iversele mtricelor: A = = A R ; ; A = = A R ; 9 7 ; A = = A R ; ; A = = A R ; ; A = ; A = ;

11 ANEXA 7 A = O mtrice A M m (K) se pote împărţi î blocuri(submtrice) ducâd prlele l liiile şi coloele ei Descompuere î blocuri sugereză idee de cosider mtrice A c o ouă mtrice umită mtrice de blocuri De exemplu mtrice A = A A pote fi cosidertă c o mtrice de blocuri A = A A ude A = A = A = A = Descompuere uei mtrice î blocuri u este uică e se pote fce î moduri diferite Două mtrice A B M m (K) se umesc coforme dcă sut descompuse î blocuri de celşi tip A A Aq B B Bq A A A B B B Dcă A = A p A p A q pq B = B p B p B q pq 8

12 MATRICE ŞI DETERMINANŢI sut două mtrice coforme tuci pri defiiţie A + B A + B Aq + Bq A A + B = B A B Aq Bq Ap + Bp Ap + Bp Apq + Bpq αa αa αaq αa αa = αa αaq αap αap αapq Dcă A = [A ij ] i = p j = q B = [B ij ] i = q j = r q tuci C = AB = [C ij ] C ij = A i = p j = r (î ipotez că k= ik B kj există produsele A ik B kj k = q) Se observă că operţiile cu mtrice de blocuri se efectueză c şi cum î locul blocurilor r fi umere U cz prticulr de mtrice împărţită î blocuri este cel l mtricelor cvsidigole dică A A = Ap ude A A A p sut mtrice pătrtice î geerl de ordie diferite ir î fr lor tote elemetele sut zero Î cest cz re loc relţi det A = det A det A det A p Cu mtricele de cest tip operţiile se efectueză mi uşor Dcă A = A A p B B = tuci B p 9

13 ANEXA αa + βb AB αa + βb = AB= αap + βb p ApBp ude A i B i i = p sut blocuri de celşi tip Se pote clcul ivers uei mtrice esigulre folosid împărţire î blocuri A B Fie mtrice S = GL( K) şi ivers s de form C D S - Q L = GL( K) M N ude A Q M p (K) B L M p - p (K) C M M - p p (K) D N M - p (K) Di relţi Ip Op p A B Q L AQ + BM AL + BN = Op p I p C D = M N CQ + DM CL + DN rezultă sistemul mtricel () AQ+ BM = Ip () AL + BN = Op p () CQ + DM = Op p () CL + DN = Ip Di relţi () dcă A - tuci A - (AQ + BM) = A - I p de ude Q = A - - A - (BM) Di relţi () dcă A - tuci A - (AL + BN) = A - O p - p de ude L = - A - (BN) Îlocuid L î relţi () rezultă N = (D - CA - B) - Îlocuid Q î relţi () rezultă M = - NCA - Î cocluzie ordie clculelor petru flre lui S - este: - A - CA - CA - B D - CA - B N = (D - CA - B) - M = - NCA - - A - B A - BM Q = A - - A - BM L = - A - BN

14 MATRICE ŞI DETERMINANŢI Clculele se fc mi uşor după următore schemă: C D X = A - B A - B Z - Y = CA - Z = D - CA - B S - = + Z Y Z XZ Y XZ A Observţie Metod este utilă î czul î cre A - este uşor de clcult Exemplu Folosid metod împărţirii î blocuri să se clculeze iversele mtricelor: ) S = ; b) S = Soluţie: ) Deorece det S rezultă că S - Cosiderăm A = B = C = D = A - = CA - = CA - B = D - CA - B = N = (D - CA - B) - = M = - NCA - = 7

15 ANEXA A - B = A - BM = Q = A - - A - BM = L = - A - BN = Deci S - = 7 Folosid schem obţiem X = Z - = Y = Z = S - = 7 b) Deorece det S rezultă că S - Cosiderăm A = B = C = D =

16 MATRICE ŞI DETERMINANŢI A - = CA - = CA - B = D - CA - B = N = (D - CA - B) - = M = - NCA - 7 = A - B = A - BM = Q = A - - A - 7 BM = L = - A - BN = 7 Deci S - = 7 Probleme propuse Să se clculeze folosid metod împărţirii î blocuri iversele mtricelor de l problemele teriore O mtrice A = [ ij ] M (K) se umeşte simetrică dcă A = A t dică ij = ji i j = Notăm mulţime mtricelor simetrice cu Σ (K) O mtrice A = [ ij ] M (K) se umeşte tisimetrică dcă A t = -A dică ij = - ji i j = Notăm mulţime mtricelor tisimetrice cu Α (K)

17 ANEXA Di defiiţie rezultă că o mtrice tisimetrică A M (K) re tote elemetele de pe digol priciplă egle cu zero dică ii = i = Următorele firmţii sut devărte: ) A t A Σ (K) A M (K) b) α(a + A t ) Σ (K) A M (K) α K c) α(a - A t ) Α (K) A M (K) α K d) A = ((A + A t ) + (A - A t )) A M (K) e) det A = A Α + (K) ude K este corp de crcteristică diferită de f) Dcă A Σ (K) (A Α (K)) det A tuci A - Σ (K) (A - Α (K)) g) Fie A B Σ (K) (A B Α (K)) Produsul AB Σ (K) dcă şi umi dcă AB = BA h) Fie A B Α (K) Produsul AB Α (K) dcă şi umi dcă AB = - BA O mtrice A = [ ij ] M (K) de form A = se umeşte triughiulră iferior( ij = j > i) Mulţime lor se oteză cu I i (K)

18 MATRICE ŞI DETERMINANŢI O mtrice A = [ ij ] M (K) de form A = se umeşte triughiulră superior( ij = j < i) Mulţime lor se oteză cu I s (K) Se observă că determitul uei mtrice triughiulre este egl cu produsul elemetelor de pe digol priciplă O mtrice triughiulră re determitul eul dcă şi umi dcă tote elemetele de pe digol priciplă sut eule O mtrice digolă A = dig ( ) este triughiulră iferior şi superior Sut devărte relţiile: ) A + B I i (K) (A + B Is (K)) A B Ii (K) ( A B I s (K)); b) AB I i (K) (AB Is (K)) A B Ii (K) ( A B I s (K)); c) A - I i (K) (A- I s (K)) A Ii (K) ( A Is (K)) cu det A Modul de clcul l iversei uei mtrice A I i (K) (A I s (K)) cu det A este mi simplu Exemplu Să se fle ivers mtricei A =

19 ANEXA Soluţie Notâd ivers mtricei pri A - = relţi A - A = I coduce l sistemele = + = = Î cocluzie A - = = = = Orice mtrice A = [ ij ] M (K) de form A = m m m cu Δ = Δ = Δ = det A se pote scrie A = BC ude B = [b ij ] I i (K) (B Is (K)) şi C = [c ij ] I s (K) (C Ii (K)) Descompuere este uică dcă se fixeză elemetele de pe digol priciplă uei ditre mtricele triughiulre (de exemplu se iu egle cu ) Di eglitte A = BC rezultă sistemul (S) b c = k= ik kj ij i j = Deorece b ij = petru j > i şi c ij = petru j < i tuci sistemul (S) se descompue î sistemele

20 MATRICE ŞI DETERMINANŢI (S ) b ikckj = ij i j j = k= (S ) b ikckj = ij i < j i = - k= Exemplu Să se scrie mtrice A = sub form uui produs de două mtrice triughiulre Soluţie: Relţi A = T T ude T I i (K) T I s (K) b c c T = b b T = c b b b se pote scrie b bc bc = b bc + b bc + bc b bc + b bc + bc + b b b b Se obţi sistemele: = bc = = bc + b = bc + b = = b b b c c c = + b + b c c = + b = cre u soluţiile: b = c b = b b = b = = = c c b = = = 7

21 ANEXA Deci T = T = Observţie Ivers uei mtrice A M (K) cu det A scrisă sub form A = T T T I i (K) T I s (K) se pote determi mi uşor di relţi A - - = T - T Două mtrice A B M (K) se umesc semee şi se oteză A B dcă există o mtrice S M (K) cu det S stfel îcât B = S - AS Relţi de semăre re proprietăţile: ) " " este o relţi de echivleţă lgebrică b) A B rg A = rg c) A B A k B k k N* d) A B P(A) P(B) ude P(A) = I + A + A + + A i K i = O mtrice A M (K) K = R su K = C se umeşte ortogolă dcă AA t = I Relţi di defiiţie este echivletă cu A t A = I Orice mtrice ortogolă A M (K) este esigulră şi det A = ± O mtrice A M (K) este ortogolă dcă şi umi dcă A este esigulră şi A - = A t Mulţime GO( K) = {A M (K) AA t = I } formeză u grup fţă de operţi de îmulţire mtricelor umit grupul ortogol 8

22 MATRICE ŞI DETERMINANŢI Grupul mtricelor SO( K) = {A GO( K) det A = } se umeşte grupul ortogol specil SO( K) = GO( K) SL( K) Dcă K = R tuci GO( R) = GO() se umeşte grupul ortogol rel; SO( R) = SO() Elemetele uei mtrice A = [ ij ] GO( K) stisfc ( + ) următorele codiţii: ik jk = δij ij = k= cre sut echivlete cu k= = δ ij ki kj ij = Deci sum produselor elemetelor corespuzătore două liii (coloe) disticte este ir sum pătrtelor elemetelor uei liii (coloe) este dică vectorii liie (vectorii coloă) sut versori ortogoli doi câte doi 9