ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2"

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε με αναγραφή τα σύνολα Α Β, Α Β, Α Β, Β Α iii) Να γράψετε όλα τα δυνατά υποσύνολα του Α Θεωρούμε ως βασικό σύνολο το: Ω = {,,3,, 5} καθώς και τα σύνολα i) Α = {x Ω / x άρτιος} και Β = {x Ω / x πολλαπλάσιο του 3} ii) Να παραστήσετε τα σύνολα Α και Β με αναγραφή των στοιχείων τους iii) Να βρείτε τα σύνολα: α) AΒ β) Α Β iii) Α' iv) Β' ν) (AUΒ)' vi) Α Β' 3 Δίνονται τα σύνολα A x R / x 4x 3 και i) Να γραφούν με αναγραφή τα σύνολα ii) Να βρείτε την ένωση και τη τομή τους iii) Να εξετάσετε αν το Α είναι υποσύνολο του Β B x N / x 5x ( x ) 0 4 Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {,, 3,, 0} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα Θεωρούμε επίσης τα ενδεχόμενα: Α = {x Ω/ x- 4 },Β = {xω/x - 4x+ 3 0} και Γ={x Ω/(x-4) 3x-} i) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(Γ) ii) Να βρείτε τα ενδεχόμενα ΑΒ και ΑΓ και στη συνέχεια τις πιθανότητες Ρ(Α Β) και Ρ(ΑΓ) 5 Έστω ο δειγματικός χώρος :Ω = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα Για τα ενδεχόμενα A, Β, Γ του Ω, είναι :A Β = {,, 3, 4, 5, 6},Α Β = {, 3, 4}, Α- Β = {, 6} και Γ = {x Ω/ x- 5 < 3} i) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ) ii) Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί το Β και όχι το Γ iii) Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Β και Γ 6 Από 38 άτομα μιας τάξης, που ρωτήθηκαν, οι 4 απάντησαν ότι έγραψαν άριστα σ ένα διαγώνισμα (Α), οι 3 ότι έγραψαν άριστα σ ένα διαγώνισμα (Β) και οι 5 έγραψαν άριστα και στα δύο Αν επιλέξουμε τυχαία ένα άτομο να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων:

2 i) Το άτομο δεν έγραψε άριστα σε κανένα διαγώνισμα ii) Το άτομο έγραψε άριστα μόνο στο (Α) iii) Το άτομο έγραψε άριστα μόνο στο (Β) 7 Από 0 μαθητές ενός Λυκείου, 4 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 0 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και μαθητές συμμετέχουν και στους δύο διαγωνισμούς Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής: i) Να συμμετέχει σ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς; ii) Να συμμετέχει μόνο σ έναν από τους δύο διαγωνισμούς; iii) Να μην συμμετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισμούς; 8 Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου ενός σχολείου με 5 μαθητές οι μαθαίνουν Αγγλικά, οι Γαλλικά και 8 παιδιά μαθαίνουν και τις γλώσσες Επιλέγουμε μέσα από την τάξη τυχαία έναν μαθητή Να βρείτε τη πιθανότητα του ενδεχομένου: i) Ο μαθητής μαθαίνει τουλάχιστον μία ξένη γλώσσα ii) Ο μαθητής μαθαίνει μόνο Αγγλικά iii) Ο μαθητής μαθαίνει μόνο Γαλλικά iv) Ο μαθητής δεν μαθαίνει Γαλλικά v) Ο μαθητής μαθαίνει μόνο μία από τις δύο γλώσσες vi) Ο μαθητής δεν μαθαίνει καμία από τις δύο γλώσσες vii) Ο μαθητής μαθαίνει Αγγλικά ή δεν μαθαίνει Γαλλικά 9 Θεωρούμε δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, για τα οποία γνωρίζουμε ότι: Ρ(Α ) = 0,6, Ρ(Β) = 0,3 και Ρ(ΑΒ) = 0,3 i) Να δείξετε ότι Ρ(Α) = 0,4 ii) Να βρείτε την πιθανότητα «να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α ή Β» iii) Να βρείτε την πιθανότητα Ρ[(ΑΒ )(ΒΑ )] iv) Αν Γ είναι ένα τρίτο ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω το οποίο δεν είναι το κενό σύνολο, τότε να αποδείξετε ότι: Ρ(Γ) + P( ) 0 Εξετάσαμε τους φοιτητές ενός τμήματος σχετικά με το αν πέρασαν τα μαθήματα της Στατιστικής και των Πιθανοτήτων Προέκυψαν τα εξής συμπεράσματα: το 65% των φοιτητών πέρασαν τη Στατιστική το 5% των φοιτητών πέρασαν τις Πιθανότητες και δεν πέρασαν τη Στατιστική Το 60% των φοιτητών δεν πέρασαν τουλάχιστον ένα από τα δύο μαθήματα Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή του τμήματος Να βρείτε την πιθανότητα αυτός: i) να έχει περάσει και τα δύο μαθήματα, ii) να έχει περάσει το μάθημα των Πιθανοτήτων, iii)να μην έχει περάσει κανένα από τα δύο μαθήματα, iv) να έχει περάσει ένα μόνο από τα δύο μαθήματα Ένα ενυδρείο έχει 400 ψάρια Από αυτά τα 800 είναι τροπικά ψάρια,τα 800 έχουν κόκκινο χρώμα και τα 600 είναι τροπικά ψάρια με κόκκινο χρώμα Επιλέγουμε τυχαία ένα ψάρι Αν Α: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι τροπικό και Β: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι κόκκινο

3 Να βρεθεί η πιθανότητα το ψάρι i) να είναι τροπικό ή να έχει κόκκινο χρώμα ; ii) να μην είναι τροπικό ούτε να έχει κόκκινο χρώμα ; iii) να έχει κόκκινο χρώμα αλλά να μην είναι τροπικό; iv) να είναι τροπικό ή να μην έχει κόκκινο χρώμα ; Ένας κήπος έχει 00 δέντρα Από αυτά τα 300 είναι τροπικά,τα 000 είναι οπωροφόρα και τα 00 είναι τροπικά και οπωροφόρα Επιλέγουμε τυχαία ένα δέντρο Αν Α: το ενδεχόμενο το δέντρο να είναι τροπικό και Β: το ενδεχόμενο το δέντρο να είναι οπωροφόρο Να βρεθεί η πιθανότητα το δέντρο i) να είναι τροπικό ή να είναι οπωροφόρο ; ii) να μην είναι οπωροφόρο ούτε τροπικό ; iii) να είναι οπωροφόρο αλλά να μην είναι τροπικό; iv) να είναι τροπικό ή να μην είναι οπωροφόρο ; 3 Οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α, Β, Α Β ενός πειράματος τύχης µε δειγματικό χώρο Ω ικανοποιούν την σχέση [3Ρ(Α)-] +[Ρ(Β')-] +[6Ρ(Α Β)-] =0 () Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Να πραγματοποιηθεί µόνο το ενδεχόμενο Α ii) Να πραγματοποιηθεί µόνο το ενδεχόμενο Β iii) Να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β iv) Να µην πραγματοποιούνται συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β 4 Σε ένα κουτί υπάρχουν x άσπρες σφαίρες και (x + ) μαύρες σφαίρες, με x 0 i) Επιλέγουμε τυχαία μια σφαίρα από το κουτί Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: επιλέγουμε άσπρη σφαίρα, Μ: επιλέγουμε μαύρη σφαίρα ii) Αν η πιθανότητα να επιλέξουμε μαύρη σφαίρα,είναι κατά 4 μεγαλύτερη από την πιθανότητα 5 να επιλέξουμε άσπρη σφαίρα και στο κουτί υπάρχουν πάνω από 5 σφαίρες, να βρείτε το x, καθώς και την πιθανότητα να επιλεγεί μαύρη σφαίρα iii) Να αποδείξετε ότι :Ρ(Α) < 9 για κάθε x R iv) Για την τιμή του x για την οποία είναι: Ρ(Α) = 9 εκτελούμε το εξής πείραμα: Παίρνουμε διαδοχικά 3 σφαίρες από το κουτί (χωρίς επανατοποθέτηση) και σημειώνουμε κάθε φορά το χρώμα τους Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος 5 Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι: Ρ(Β) = 9(Ρ(Α)) - 7Ρ(Α) + + Ρ(Α Β) i) Να εκφράσετε την P(AB) συναρτήσει της Ρ(Α) ii) Να βρείτε την Ρ(Α) iii) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τo Β και να μην πραγματοποιηθεί το Α 3

4 iv) Αν επιπλέον η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα A, Β είναι να βρείτε: α) τις πιθανότητες Ρ(Β) και Ρ(Α Β), β) την πιθανότητα Ρ(Β'- Α') 6 Σε έναν χορευτικό όμιλο συμμετέχουν x αγόρια και (x + 4) κορίτσια i) Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο για να εκπροσωπήσει τον όμιλο σε μια εκδήλωση Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x την πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι, ii) Αν η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι είναι ίση με και ο όμιλος περιλαμβάνει λιγότερα από 9 00 μέλη, να βρείτε τον αριθμό των μελών του ομίλου, καθώς και την πιθανότητα να επιλεγεί κορίτσι iii) Αν Α είναι το ενδεχόμενο να επιλεγεί αγόρι, να αποδείξετε ότι PA ( ) 7 7 Από τους 5 μαθητές ενός τμήματος Α Λυκείου ενός σχολείου, οι 3 μαθαίνουν Αγγλικά, οι 8 Γαλλικά Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή της τάξης i)να δείξετε ότι : 6 p( A B) ii) Να αποδείξετε ότι : 3 p( A B) Ένας κήπος έχει 00 δέντρα Από αυτά τα 300 είναι τροπικά,τα 000 είναι οπωροφόρα Επιλέγουμε τυχαία ένα δέντρο Αν Α: το ενδεχόμενο το δέντρο να είναι τροπικό και Β: το ενδεχόμενο το δέντρο να είναι οπωροφόρο i)να αποδείξετε ότι : p( A B) 4 ii) Να αποδείξετε ότι 7 p( ) Ένα ενυδρείο έχει 400 ψάρια Από αυτά τα 800 είναι τροπικά ψάρια,τα 800 έχουν κόκκινο χρώμα Επιλέγουμε τυχαία ένα ψάρι Αν Α: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι τροπικό και Β: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι κόκκινο i)να δείξετε ότι p( A B) 3 ii) Να αποδείξετε ότι 5 p( A B) 3 4 4

5 0 Κατά την αρχή της σχολικής χρονιάς οι μαθητές της Α τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά με τον αριθμό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των θερινών διακοπών Σύμφωνα με τις απαντήσεις που δόθηκαν,συντάχθηκε ο επόμενος πίνακας Αριθμός βιβλίων Αριθμός μαθητών 0 α+4 5α+8 4α 3 α- 4 α Γνωρίζουμε ότι αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή,τότε η πιθανότητα να έχει διαβάσει βιβλία είναι 4% i) Να αποδείξετε ότι α=3 ii) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: ο μαθητής έχει διαβάσει το πολύ βιβλίο Β: ο μαθητής έχει διαβάσει τουλάχιστον 3 βιβλία ΔΙΑΤΑΞΗ-ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ-ΡΙΖΕΣ 3 Δίνεται η παράσταση A x 4x x 4 i) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση Α ii) Nα αποδείξετε ότι Α > 0 για x > 4 Αν για τους αριθμούς x,y ισχύει: x +y -4y+y+5 = 0 i) Να δείξετε ότι x = και y = - ii) Να δείξετε ότι οι αριθμοί x y και x y είναι αντίστροφοι iii) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : x y x x y x 3 Αν 3 x 5 4 y 7,να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις: i) Α= x+y ii) Β= x -y iii)γ= x y και iv) Δ= x+3y i) Να βρείτε τον αριθμό: ii) Για την τιμή του λ που βρήκατε, να παραγοντοποιήσετε τις επόμενες παραστάσεις: A x y x y 3 ( ) ( ) και: x xy x y 4 5 Για τους αριθμούς α και β ισχύει: α + β -4α + 6β + 3 = 0 i) Να βρείτε τους αριθμούς α και β ii) Αν α=,β=-3 5 α) Να μετατρέψετε το κλάσμα: a ( ) 5 σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή, β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: B γ) Να αποδείξετε ότι :

6 Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί a και 9 8 i) Να βρείτε τους αριθμούς α και β y 4 3 ii) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: K xy x για x x και 8 y Δίνονται οι αριθμοί και 3 : i) Να βρείτε τους αριθμούς α και β ii) Να υπολογίσετε την παράσταση 6 iii)να λύσετε την εξίσωση βx=α και να γράψετε τη λύση της σαν κλάσμα με ρητό παρονομαστή x 3 3x x 4 8 Δίνεται η παράσταση, x R i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση, για τις διάφορες τιμές του x,είναι ίση με την διαφορά των αποστάσεων, πάνω στον άξονα,τουxαπό τους αριθμούς και ii) Να βρείτε την τιμή του x αν f ( x) 0 iii) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύουν: f ( x) 0 και x (, ) 9 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις x, y που έχει περίμετρο 4 εκατοστά i) Δικαιολογείστε ότι x+y= ii) Nα δώσετε με δικούς σας αριθμούς τις διαστάσεις δύο τέτοιων ορθογωνίων και να υπολογίσετε το εμβαδόν σε καθένα από αυτά iii) Αποδείξτε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου δίνεται από την σχέση: Ε= 4 [(x+y) -(x-y) ] iv) Με δεδομένο ότι x+y = αποδείξτε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου παίρνει την μορφή Ε= 36-4 (x-y) και στη συνέχεια ότι για το εμβαδόν ισχύει Ε36 30 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις x, y που πληρούν τους περιορισμούς: 3x5 και 4y i) Nα δώσετε με συγκεκριμένους αριθμούς τις διαστάσεις δύο τέτοιων ορθογωνίων και να υπολογίσετε το εμβαδόν και την περίμετρό τους ii) Να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών περιέχονται οι παραστάσεις: A= x+y B= x-y Γ= xy iii) Μεταξύ ποιων τιμών περιέχεται η περίμετρος και το εμβαδόν του ορθογωνίου Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 3 Δίνεται η παράσταση x 3 5 i) Να γραφεί η παράσταση Α χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής ii) Να λύσετε την εξίσωση 6

7 iii)να λύσετε την ανίσωση 3 Δίνεται η παράσταση B 3x 4 Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες : i) Β = 4 ii) Β = 4-3x iii) 3<Β < 5 33 Δίνεται η παράσταση x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες : i) A =d(x,) ii) A=5 iii) A < 3 iv) A > 7 34 Δίνονται οι παραστάσεις Α= x +4 και Β= x-6 i) Να λυθεί η εξίσωση ii) Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της ανίσωσης < B< 8 iii) Να λυθεί η εξίσωση Α= Β για 0<x<3 35 Δίνονται οι παραστάσεις x 3 και B x i) Να λύσετε την εξίσωση : Α = 3Β,όπου Α και Β οι παραστάσεις της υπόθεσης A A 4 ii) Να λύσετε την εξίσωση : 0,όπου Α η δοθείσα παράσταση 3 iii) Να λύσετε την εξίσωση : B3x 3,όπου B η δοθείσα παράσταση 36 Δίνονται οι παραστάσεις : A x4 7 και B x4 7 i) Να λυθεί η ανίσωση Α > 8 ii) Να λυθεί η ανίσωση Β < 4 iii) Να λυθεί η εξίσωση Α=Β 37 Δίνονται οι παραστάσεις Α = 3x 4 και Β = x 7 i) Να λυθεί η ανίσωση A 4 ii) Να λυθεί η ανίσωση B 7 iii) Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων α) και β) iv) Να λυθεί η εξίσωση : Α = 38 Δίνονται οι παραστάσεις ( x) x 3 x και ( x) x 3 B i) Να λυθούν οι εξισώσεις: α) ( x) 4 και β) ( x) 5 ii) Να λυθεί η εξίσωση ( x) 0 iii) Να λυθεί η ανίσωση () x () x 3 ( x x )( x 9 x) 39 Δίνεται η παράσταση : x x i) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α ii) Να απλοποιήσετε την παράσταση Α iii) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει : Α=0 40 Δίνονται οι παραστάσεις Α(x) =-x +x+, B(x) = 5x +0x+0, i) Να λυθεί η ανίσωση Α(x) 0 7

8 ii) Να λυθεί η ανίσωση Β(x) <0 iii) Α(x) < B(x)-5 4 Δίνονται οι παραστάσεις Α(x) =x +x+, B(x) = -3x +8x-7 i)να λυθεί η ανίσωση Α(x) 0 ii) Να λυθεί η ανίσωση Β(x)>0 iii) Α(x) < B(x)+ 4 Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( x) x 5 i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να λύσετε την εξίσωση f( x) iii) Να λύσετε την ανίσωση f( x) 0 43 i) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση Α = α 3-3α- ii) Δίνεται η εξίσωση: λ ( λ x + 3) = λ 3 + λ x () α) Να λύσετε την εξίσωση () για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ β) Όταν η εξίσωση () έχει μοναδική λύση, να αποδείξετε ότι αυτή είναι μεγαλύτερη ή ίση του 4 44 Δίνεται η συνάρτηση i) Να αποδείξετε ότι f x x x x 3 f x x x, x ii) Να λύσετε την εξίσωση f x 0 iii) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει: f x 0 iv) Nα λύσετε την εξίσωση f x f x Δίνεται η εξίσωση : 3x x 4( ) 0 i) Να βρεθεί ο μ R ώστε να έχει ρίζες πραγματικές και άνισες ii) Να βρεθεί ο μ R ώστε να έχει μία διπλή ρίζα και στη συνέχεια να βρεθεί η ρίζα αυτή iii) Να βρεθεί ο μ R ώστε να έχει ρίζα το 3 46 Δίνεται η εξίσωση : ( ) x x 4 0,λ i) Να βρεθεί ο λ R ώστε να έχει ρίζες πραγματικές και άνισες ii) Να βρεθεί ο λ R ώστε να έχει μία διπλή ρίζα και στη συνέχεια να βρεθεί η ρίζα αυτή iii) Να βρεθεί ο λ R ώστε να έχει ρίζα το 47 Δίνεται η εξίσωση x λx λ- 0 με λ i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες x, x ii) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : x x και x x iii) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να ισχύει η σχέση: 3x 3x 3 x x 48 Δίνεται η εξίσωση αβx - (α+β)x+ = 0 με α 0, β 0 i) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για οποιεσδήποτε τιμές των α, β ii) Να λυθεί η εξίσωση 8

9 iii)αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός,να δείξετε ότι ο αριθμός της εξίσωσης x -(α +β) x +αβ=0 49 Δίνεται η εξίσωση αx + ( -α)x - = 0 με β>0,α 0 i) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για οποιεσδήποτε τιμές των α, β ii) Αν x, x οι δύο ρίζες της εξίσωσης να δείξετε ότι x+x + x x = - iii) Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός 50 Θεωρούμε το τριώνυμο f ( x) x x, 0,με α,να δείξετε ότι β = α i) Να βρείτε τι τιμές του, ώστε η εξίσωση f( x) 0 να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες ii) Να βρείτε τις τιμές του, ώστε η εξίσωση f( x) 0 να έχει ρίζες δύο αντίστροφους πραγματικούς αριθμούς iii) Να βρείτε τις τιμές του, ώστε το τριώνυμο να έχει θετικές τιμές για κάθε x 5 Δίνεται η εξίσωση: x ( ) x, R i) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η εξίσωση: α) έχει πραγματικές ρίζες, β) έχει αντίστροφες ρίζες ii) Aν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει: x x x x 5 Θεωρούμε τo τριώνυμο f ( x) x x, R i) Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση f(x)=0 να είναι πρώτου βαθμού ii) Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση f(x)=0 να είναι δευτέρου βαθμού και έχει ρίζα τον αριθμό iii) Για λ=, να λύσετε την ανίσωση f( x) Δίνεται η εξίσωση x x 0, R i) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες ii) Για 4, να υπολογίσετε τις παραστάσεις : x x και x x, όπου x, x οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης 0 0 iii) Για 4, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ( x ) ( x ) 54 Δίνεται το τριώνυμο f ( x) ax (3a ) x a 0 Αν η μία από τις δύο ρίζες του τριωνύμου είναι η i) Να βρεθεί ο θετικός α (0 μονάδες) ii) Να βρεθεί η δεύτερη ρίζα ρ του τριωνύμου iii) Να λυθεί η ανίσωση f( x) 0 9

10 55 Δίνεται η εξίσωση:(λ - 5λ + 6)x + (λ -3)x + 3 = 0 () i) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η εξίσωση () έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες ii) Αν x, x είναι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης (), να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει: x x 3 56 Δίνεται η εξίσωση x x- 0 () με ρίζες x, x x x 3 x x 5 0 i) Να βρείτε για ποια τιμή του λ είναι: ii) Για την τιμή αυτή του λ να λυθεί η εξίσωση () iii) Να σχηματιστεί άλλη εξίσωση ου βαθμού με ρίζες, ρ x, ρ x 57 Δίνεται η εξίσωση:x - λx + λ(λ + 3) = 0 () i) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες, ii) Έστω S και Ρ το άθροισμα και το γινόμενο αντίστοιχα των ριζών της εξίσωσης () Αν ισχύει Ρ-S =, να βρείτε την τιμή του λ iii) Έστω x και x οι ρίζες της εξίσωσης για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα (β) x x α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης x x β) Να σχηματίσετε εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς 58 Δίνεται η εξίσωση:x -(λ + )x + λ = 0 () i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ R ii) Έστω x και x οι ρίζες της εξίσωσης () α) Να αποδείξετε ότι: x x x x x x 0 β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει: x x x x xx και xx 59 Δίνεται το τριώνυμο :f (x) = x - (3λ +)x + λ +3λ 4(0 i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει ρίζες πραγματικές και άνισες ii) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε ο αριθμός να είναι ρίζα της εξίσωσης iii) α)να βρείτε την τιμή του λ ώστε να ισχύει x x 6xx,x,x οι ρίζες της εξίσωσης () β)για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα (α) να λύσετε την ανίσωση f (x) < Δίνεται η εξίσωση:x + αx- 3 = 0 () i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει πραγματικές και άνισες ρίζες για κάθε αr ii) Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε για ποιες τιμές του α ισχύει: xx 5 6 Δίνεται η συνάρτηση: f (x) = x + (μ+ )x + μ i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες ρ, ρ για κάθε μ R 5 ii) Να βρείτε για ποιες τιμές του μ, η εξίσωση: x x 0 έχει μοναδική λύση 4 iii) Να βρείτε για ποιες τιμές του μ αληθεύει η ανίσωση: 6 6 Δίνεται η εξίσωση:(λ + )x -(λ-)x-=0 () με λ - i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε λ - ii) Έστω x και x οι ρίζες της εξίσωσης () Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες: 0

11 α) οι αριθμοί x και x είναι ετερόσημοι, β) ισχύει x + x < xx 63 Δίνεται το τριώνυμο f(x)=x -(λ-)x-λ+ i) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση f(x)=0, να έχει πραγματικές ρίζες ii) Για ποιες τιμές του λ το τριώνυμο έχει διπλή ρίζα; iii) Να γράψετε το άθροισμα S και το γινόμενο Ρ των ριζών της εξίσωσης iv) Να λύσετε την ανίσωση: 3 S 4 P ΠΡΟΟΔΟΙ 64 Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν), της οποίας ο 6ος όρος είναι 0 και το άθροισμα των πρώτων 5 όρων είναι 60 Να βρείτε: i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της (αν), ii) τον ο όρο της (αν), iii) ποιος όρος της (αν) είναι ίσος με - 6, iv) το άθροισμα των πρώτων 5 όρων της (αν), v) πόσοι πρώτοι όροι της (αν) έχουν άθροισμα 0, vi) πόσους θετικούς όρους έχει η (αν), vii) τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών α και α6 65 Δίνεται γεωμετρική πρόοδος (αν), της οποίας ο 5ος όρος είναι 48 και 0 8ος όρος είναι 384 Να βρείτε: i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της (αν), ii) τον 0ο όρο της (αν), iii) ποιος όρος της (αν) είναι ίσος με 9, iv) το άθροισμα των πρώτων 0 όρων της (αν), v) πόσοι πρώτοι όροι της (αν) έχουν άθροισμα 89, vi) τον αριθμητικό μέσο των αριθμών α4 και α9 66 Οι αριθμοί 3x-, x+ και x-5 είναι διαδοχικοί όροι μίας αριθμητικής προόδου a i) Να αποδείξετε ότι x=3 ii) Να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου iii) Αν ο αριθμός 3x- είναι ο έκτος όρος της πρόοδου, να βρείτε: α) τον πρώτο όρο της προόδου β) το άθροισμα S 0 των 0 πρώτων όρων της προόδου 67 Αν -x 3 + κ, x κ, - 3x + κ, με τη σειρά που δίνονται, είναι οι τρεις πρώτοι όροι αριθμητικής προόδου και έχουν άθροισμα 7, τότε: i) να αποδείξετε ότι x =-, ii) να βρείτε τον αριθμό κ, iii) να υπολογίσετε τον εικοστό όρο α0 της προόδου, iv) να υπολογίσετε το άθροισμα S0 των είκοσι πρώτων όρων της προόδου 68 Δίνεται ακολουθία (αν) με α=9 για την οποία ισχύει 6 i) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (γν) με γν =αν-6 είναι γεωμετρική πρόοδος ii) Να βρείτε τον 9ο όρο της ακολουθίας iii) Να βρείτε το άθροισμα των 7 πρώτων όρων της (αν)

12 69 Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) ισχύει: α6 α9 = α4 i) Να βρείτε το γινόμενο των πρώτων όρων της (αν) ii) Αν επιπλέον ισχύει a 8, να βρείτε: α) τον λόγο και τον πρώτο όρο της (αν), β) την τιμή του κ R, ώστε οι αριθμοί:, 5, 9 να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου 70 Δύο αριθμοί έχουν αριθμητικό μέσο 5 και γεωμετρικό μέσο 4 i) Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς ii) Αν ο μικρότερος από τους αριθμούς που βρήκατε είναι ο 5ος όρος και ο μεγαλύτερος είναι ο 9ος όρος μιας αριθμητικής προόδου (αν), τότε: α) να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της (αν), β) να βρείτε για ποιον όρο ισχύει αν = ν, γ) να βρείτε πόσοι από τους πρώτους όρους της (αν) έχουν άθροισμα 05, δ) να υπολογίσετε το άθροισμα: S = α + α3 + α5 + + α3 7 Έντεκα αριθμοί αποτελούν διαδοχικούς όρους μιας γεωμετρικής προόδου Οι πρώτοι έξι από αυτούς έχουν άθροισμα 63, ενώ οι έξι τελευταίοι έχουν άθροισμα 06 i) Να βρείτε τον λόγο της παραπάνω γεωμετρικής προόδου ii) Ανάμεσα στον πρώτο και τον έβδομο αριθμό να παρεμβάλλεται 8 αριθμούς, ώστε όλοι μαζί να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου 7 Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν), ο 4ος όρος είναι - 5, ενώ το άθροισμα του 7ου και του ου όρου είναι 0 Να βρείτε: i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, ii) πόσοι πρώτοι όροι της προόδου έχουν άθροισμα -5, iii) το άθροισμα S = α + α3 + α5 + + α5, iv) το άθροισμα των όρων ακ για τους οποίους ισχύει ότι 4 95 a 73 Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν), με διαφορά ω 0, για την οποία ισχύει: α + α8 = α + α4 + α9 i) Να βρείτε τον όρο α6 ii) Να αποδείξετε ότι: a5a7 0 iii) Να αποδείξετε ότι αν-6 =αν για κάθε ν 4 S44 iv) Να υπολογίσετε τον λόγο S 74 Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει S0 = 80 και η σχέση: α + α4 + α6 + + α0= 430 Να βρείτε: i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, ii) το άθροισμα: S= α + α + + α30 iii) την τιμή του κ Ν*, ώστε οι αριθμοί ακ, α5κ-,α4κ-4 να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου 75 Δίνεται η ακολουθία με γενικό όρο : i) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (αν) είναι αριθμητική πρόοδος και έχει πρώτο όρο 9 και διαφορά ω= ii) Να βρείτε το άθροισμα: S a a3 a,όπου a, a3,, a είναι διαδοχικοί όροι της προόδου (αν)

13 iii) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης: x x είναι διαδοχικοί όροι της προηγούμενης προόδου (αν) 76 Στα πρώτα γενέθλια του παιδιού τους, δυο γονείς του καταθέτουν ένα χρηματικό ποσό Ο πατέρας καταθέτει 50 και κάθε χρόνο στα γενέθλια του παιδιού, θα αυξάνει το ποσό κατά 6 Η μητέρα καταθέτει τώρα μόνο και κάθε επόμενα γενέθλια του παιδιού, θα διπλασιάζει το προηγούμενο ποσό i) Πόσα χρήματα θα καταθέσει ο πατέρας στα δέκατα γενέθλια του παιδιού του; ii) Πόσα χρήματα θα καταθέσει η μητέρα στα έκτα γενέθλια του παιδιού της; iii) Αν μετά τα δέκατα όγδοα γενέθλια του το παιδί κάνει ανάληψη των καταθέσεων των γονιών του, πόσα χρήματα θα εισπράξει συνολικά; iv) Σε ποια γενέθλια του παιδιού, το ποσό που θα καταθέσει η μητέρα του θα ξεπεράσει τα 030 ; 77 Η τιμή αγοράς ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή είναι μεγαλύτερη από 60 και μικρότερη από 640 Κατά την αγορά συμφωνήθηκαν τα εξής: Να δοθεί προκαταβολή 0 Η εξόφληση του υπόλοιπου ποσού να γίνει σε δέκα μηνιαίες δόσεις Κάθε δόση να είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη κατά ω όπου ω θετικός ακέραιος Η τέταρτη δόση είναι 48 α)να εκφράσετε το ποσό της πρώτης δόσης ως συνάρτηση του ω β)να εκφράσετε την τιμή αγοράς σαν συνάρτηση του ω γ)να βρείτε την τιμή του ω δ)να βρείτε το ποσό της τελευταίας δόσης ε)να βρείτε την τιμή αγοράς του ηλεκτρονικού υπολογιστή 78 Σ έναν ουρανοξύστη 7 ορόφων,τα γραφεία του ίδιου ορόφου έχουν το ίδιο ενοίκιο Κάθε γραφείο του πρώτου ορόφου ενοικιάζεται 550 το μήνα Κάθε γραφείο ενός ορόφου ενοικιάζεται 35 το μήνα ακριβότερα από ένα γραφείο του προηγούμενου ορόφου i) Ποιο είναι το μηνιαίο ενοίκιο ενός γραφείου του πέμπτου ορόφου; ii) Πόσο ακριβότερο είναι ένα γραφείο του 5ου ορόφου από ένα του 7ου ορόφου; iii) Σε ποιους ορόφους το ενοίκιο ξεπερνά τις 000 το μήνα; iv) Αν το πλήθος των γραφείων ενός ορόφου είναι μικρότερο κατά από το πλήθος των γραφείων του αμέσως προηγούμενου ορόφου και ο 7ος όροφος έχει γραφεία,να βρείτε : α)πόσα γραφεία έχει ο πρώτος όροφος β) πόσα γραφεία έχει συνολικά ο ουρανοξύστης γ) πόσο θα κοστίσει τον μήνα σε έναν επιχειρηματία να νοικιάσει όλα τα γραφεία που βρίσκονται στον μεσαίο όροφο του ουρανοξύστη 79 Σε ένα θέατρο, η πρώτη σειρά έχει 70 καθίσματα και η τελευταία έχει 50 καθίσματα Το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς σχηματίζει αριθμητική πρόοδο Η προτελευταία σειρά έχει 40 καθίσματα περισσότερα από τη δεύτερη σειρά i) Να αποδείξετε ότι κάθε σειρά καθισμάτων του θεάτρου έχει 0 καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη σειρά ii) Να υπολογίσετε το πλήθος των καθισμάτων του θεάτρου iii) Την πρώτη παράσταση ενός θεατρικού έργου, σ αυτό το θέατρο, την παρακολούθησαν 00 θεατές,ενώ σε κάθε επόμενη παράσταση, ο αριθμός των θεατών διπλασιαζόταν Ποια είναι η παράσταση στην οποία για πρώτη φορά θα γεμίσει το θέατρο; 3

14 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ x x i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να βρείτε τις τιμές 0 f 80 Δίνεται η συνάρτηση f x f και iii) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x x iv) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y x 8 Δίνεται η συνάρτηση f( x) x i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x 3 ii) Να λύσετε την εξίσωση f x iii) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα yy 8 Δίνονται οι συναρτήσεις f( x) x 3 και gx ( ) 4 x 3 x x i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g iii) Να βρεθούν τα σημεία τομής των f και g με τους άξονες 3 iv) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α 0, συναρτήσεων, 0, 4 B ανήκουν στη γραφική παράσταση των x 83 Δίνεται η συνάρτηση f( x) x 3 i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να βρείτε, αν η γραφική της παράσταση τέμνει και σε ποια σημεία τους άξονες χ χ και yy iii) Να βρείτε τη τιμή της συνάρτησης για x 7 x x a 84 Δίνεται η συνάρτηση f( x) x 5x 4 i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) ii) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α, αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A3, 7 iii) Αν, τότε: α) Να απλοποιηθεί ο τύπος της συνάρτησης β) Να βρεθούν τα σημεία τομής της με τους άξονες γ) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y =

15 x x 3 85 Δίνεται η συνάρτηση f (x) x i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της με μορφή διαστημάτων ii) Να βρείτε τα σημεία τομής της συνάρτησης f με τον άξονα x x και με τον άξονα y y iii) Αφού απλοποιήσετε τον τύπο της παραπάνω συνάρτησης, να δικαιολογήσετε γιατί παριστάνει ευθεία γραμμή από την οποία εξαιρείται ένα σημείο Ποιο είναι αυτό; Τι γωνία σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x x; 86 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f ii) Να βρείτε τις τιμές f (0), f () και f (f (4)) iii) Να λύσετε την εξίσωση f (x) = 0 iv) Να λύσετε την εξίσωση f (x) = - v) Να λύσετε την ανίσωση f (x) < 3 vi) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f (x) = α για τις διάφορες τιμές του α R 87 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x + βx + γ, με β, γ R, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Μ(,-8) και Ν(4,-5) i) Να βρείτε τις τιμές των β και γ, ii) Αν β=-4 και γ=-5,να βρείτε : α) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες β) τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ'χ γ) τη σχετική θέση της γραφικής παράστασης της f ως προς την ευθεία y=-9 88 Δίνεται η συνάρτηση : f (x) = 3x + (λ + 4)x + μ- 3 Αν διέρχεται από το σημείο Α(-,-) και τέμνει τον y'y στο σημείο με τεταγμένη i) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ ii) Έστω λ=,μ= α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = αx + α -,α>0 διέρχεται από το σημείο Ν(-μ, λ) Να βρείτε τον αριθμό α β) Να βρείτε την σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g 89 Δίνεται η συνάρτηση f x x x x i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f iii) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφική της παράστασης με τους άξονες x x x 90 Δίνεται η συνάρτηση f( x) x i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και στη συνέχεια να απλοποιήσετε τον τύπο της ii) Να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση f 5

16 iii) Να λύσετε την εξίσωση f x ( ) x x 5x 3x 8x 4 9 Δίνεται η συνάρτηση f( x) i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ii) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g( x) f ( x) iii)να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g με την ευθεία y=3 9 Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = x + 6x + 7 και g(x) = x - x+ 3 και έστω ε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(3,f(3)) και B(,g() i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε ii) Έστω Γ και Δ τα σημεία της ευθείας ε με τεταγμένες - και 5 αντίστοιχα Να βρείτε: α) τις τετμημένες των Γ και Δ, β) τα συμμετρικά των Γ και Δ ως προς την διχοτόμο του ου και 3 ου τεταρτημορίου iii) Nα βρείτε το κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων της f και g iv) Nα βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της g 4 x a, x 93 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x a, x i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f ii) Να βρείτε τα α, β, ώστε f(0) = -3 και f() = 3 iii) Για α = β = α) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 β) Να βρείτε το γ, ώστε f(f()) = γ 3 3x9, x 94 Δίνεται η συνάρτηση f( x) 6x3, x 4 i) Να υπολογιστούν οι τιμές: f 3, f (0), f (), f (3), 7 f ii) Nα βρείτε τα συμμετρικά των σημείων,f, B(0, f(0)) ως προς την αρχή των αξόνων 3 3 iii) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση 8x 30, x 95 Δίνεται η συνάρτηση f( x) 0 x 4, x i) Να υπολογιστούν οι τιμές: f (), f ( 4), f ( 3), f (3) ii) Να δείξετε ότι τα σημεία Α(, f () ) και Β(-4, f ( 4) ) είναι συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο της ης και 3 ης γωνίας των αξόνων iii) Να δείξετε ότι τα σημεία Γ(3, f (3) ) και Δ(-3, f ( 3) ) είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων 6

17 ax, x 4 96 Δίνεται η συνάρτηση: f ( x) x 4, 4 x με α,βr, της οποίας η γραφική x, x παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(-6, 4) και Β(- 3, ) i) Να βρείτε τις τιμές των α και β ii) Έστω ε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε διέρχεται από τα σημεία Γ( -, f(-)) και Δ(, f()) της Cf iii) Για α= και β=-5, α) να σχεδιάσετε τη Cf και την ευθεία ε β) να λύσετε την ανίσωση f (x) < -x- x, x 97 Δίνεται η συνάρτηση: f ( x) x, x με α, β R, της οποίας η γραφική x5, x παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(-,-6)και Β(4,) i) Να βρείτε τις τιμές των α και β ii) Αν α=3 και β=4 α) Να βρείτε τις τιμές f(-),f(0),f(f(0),f(4) β) Να βρείτε τα συμμετρικά των σημείων Α και Β ως προς την διχοτόμο του ου -3 ου τεταρτημορίου γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f 98 Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) x 3 και g( x) x 3 i) Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των παραπάνω συναρτήσεων ii) Να λύσετε την εξίσωση g(x)= 4 iii) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=g(x) x, x 99 Δίνεται η συνάρτηση f( x) 3x 6, x f, f, f f i) Να βρείτε τα ii) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση iii) Να λύσετε την εξίσωση f x iv) Να λύσετε την ανίσωση f x 00 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x x i) να αποδειχτεί ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε πραγματικό λ ii) να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού λ ώστε να ισχύει 6,όπου x,x οι ρίζες x x της εξίσωσης f(x)=0 iii) για λ=3 να λυθεί η ανίσωση 7 f( x) 4 7

18 0 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x x 6 i) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα χ χ και τις τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης, τα οποία βρίσκονται πάνω από τον άξονα χ χ ii) Να βρείτε τις τιμές του, ώστε η εξίσωση f () x x να μην έχει πραγματικές ρίζες iii)να λύσετε την εξίσωση f x 6 0 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x x 5, με R Αν το σημείο Δ( -, -7) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης τότε: i) Να δείξετε ότι ii) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τους άξονες χ χ και ψ ψ iii) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης που βρίσκονται κάτω από τον άξονα χ χ 03 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x- + α, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(-5, 4) i) Να αποδείξετε ότι α = - 3 ii) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες iii) Έστω ε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β της Cf με τετμημένες -4 και 4 αντίστοιχα, α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε β) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τη Cf και την ευθεία ε γ) Να λύσετε γραφικά την ανίσωση: δ) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f(x) = κ για τις διάφορες τιμές του κ R 04 Οι ευθείες: ε: y = (4α- 5)x + 3 και : y x είναι κάθετες 3 3 i) Να βρείτε την τιμή του α R ii) Να βρείτε το σημείο τομής Α των ευθειών ε και ε iii) Να υπολογίσετε την απόσταση (ΑΒ), όπου Β(, -4) iv) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f(x) = x + λx-4 διέρχεται από το σημείο Α, να βρείτε : α) την τιμή του λ R, β) τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ 05 Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = - x + λx- λ-4, με λr της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ (λ - 3, 7 - λ) και η συνάρτηση: g(x) =x + βx + γ, με β, γ R της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο με τεταγμένη - και διέρχεται από το σημείο Ν(3, ) i) Να βρείτε τον αριθμό λ ii)αν λ=0 α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι κάτω από τον άξονα χ'χ β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από την ευθεία y=-47 iii) Να βρείτε: α) τους αριθμούς β και γ, β) αν β=-,γ=- να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cg βρίσκεται πάνω από την ευθεία y= 8

19 06 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = λx + 3,λ<0 διέρχεται από το σημείο Α(λ +, 3λ + 5) Να βρείτε: i) τον αριθμό λ, ii) Αν λ=-3 α) να βρείτε το συμμετρικό σημείο Α' του Α ως προς τη διχοτόμο της ης και 3ης γωνίας των αξόνων, β) την ευθεία που είναι παράλληλη στον χ χ και διέρχεται από το σημείο Α 07 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f ( x) x διέρχεται από το σημείο Α(6, -6) i) Να βρείτε τον αριθμό λ ii) Αν λ=-3 α) να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) να εξετάσετε αν το συμμετρικό του σημείου Α ως προς τον χ χ ανήκει στη γραφική παράσταση της f γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες 08 Δίνεται η συνάρτηση: f(x) = x- 3 - x i) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι κάτω από τον άξονα χ'χ iii) Να γράψετε τον τύπο της f χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής iv) Η ευθεία y = (λ - 4λ + )x + 3 είναι παράλληλη στη Cf όταν x (0, 3) Να βρείτε τον αριθμό λ 09 Δίνονται τα σημεία Α(3λ, 4) και Β(3, 4λ), τα οποία είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων Ο i) Να βρείτε τον αριθμό λ ii) Να βρείτε την ευθεία ε που διέρχεται από τα σημεία Α και Β iii) Να βρείτε τα σημεία τομής της ε με τους άξονες iv) Να βρείτε την ευθεία ζ που είναι κάθετη στην ε και διέρχεται από το σημείο Γ (8,-7) v) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών ε και ζ 0 Δίνονται τα σημεία: Α(, 3) και Β(-4,-)Να βρείτε: i) την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, ii) το συμμετρικό Α' του Α ως προς τον άξονα χ'χ και το συμμετρικό Β' του Β ως προς τον άξονα y'y iii) την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α' και Β', iv) το σημείο τομής των ευθειών ε και ε Δίνονται οι ευθείες :ε: y = α + x + 3 και ε: y = α- 3 x + 0 i) Να βρείτε για ποιες τιμές του α, οι ευθείες ε και ε είναι παράλληλες ii) Για τη μεγαλύτερη από τις παραπάνω τιμές του α, να βρείτε: α) το σημείο τομής Α της ε με τον y'y, β) το σημείο τομής Β της ε με τον χ'χ γ) τα συμμετρικά των σημείων Α και Β ως προς την αρχή των αξόνων 3, 3, Να βρείτε τα, για τα Έστω τα σημεία Α, Β(,-) και Γ οποία: i) τα σημεία Α,Β να είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων ii) Α,Γ να είναι συμμετρικά ως προς τον y y iii) Β,Γ να είναι συμμετρικά ως προς την διχοτόμο της γωνίας x y 9

20 iv) το σημείο Α να ανήκει στην ευθεία 9 y x 4 3 Έστω ότι οι ευθείες ε: y = λ(λ - 4)x + λ - και ζ: y = (λ - 9)x + 6 είναι παράλληλες i) Να βρείτε τον αριθμό λ ii) Αν λ=3 και το σημείο Α(α + 4, α - 3) ανήκει στην ευθεία ε : α) να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας ζ με τους άξονες και να τη σχεδιάσετε β) να βρείτε τον αριθμό α iii) Για α= - να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α ως προς: α) τον άξονα χ'χ, β) τον άξονα y'y, γ) την αρχή των αξόνων, δ) τη διχοτόμο της ης και 3ης γωνίας των αξόνων iv) Έστω Β το σημείο της ευθείας ζ με τεταγμένη 3 Να βρείτε: α) την τετμημένη του σημείου Β, β) το τεταρτημόριο που ανήκει το Β 4 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f ( x) x a διέρχεται από το σημείο Μ(-, 3) i) Να βρείτε τον αριθμό α, ii) Για α=-4 α)να βρείτε το πεδίο ορισμού της f, β) Να κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο g( x) f ( x) 5 Δίνονται οι συναρτήσεις: f (x) = x + 6x -7 και g (x) =- x -x -8 i) Να βρείτε τα σημεία τομής των Cf και Cg ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g iii) Να λύσετε την ανίσωση x 9 f ( x) g( x) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f( x) διέρχεται από το σημείο M(, 3) x x a i) Να βρείτε τον αριθμό α, ii) Αν α=-,να βρείτε α) το πεδίο ορισμού της f, β) τα σημεία τομής Α,Β της Cf με τον άξονα χ'χ,και το σημείο τομής Γ της Cf με τον άξονα y'y, γ)την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α και Γ(Α το σημείο με θετική τετμημένη) δ) την εξίσωση της ευθείας ζ που είναι παράλληλη στην ε και διέρχεται από το σημείο Ν(, -6), ε) το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία ζ με τους άξονες ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ 7 Έστω Ω το σύνολο που έχει ως στοιχεία τους αριθμούς που είναι οι ενδείξεις ενός ζαριού και λ Ω Αν η εξίσωση x -x + λ- = 0 δεν έχει καμία πραγματική ρίζα, να βρείτε το σύνολο που έχει στοιχεία τις τιμές του λ 8 Έστω Ω το σύνολο που έχει ως στοιχεία τους αριθμούς που είναι οι ενδείξεις ενός ζαριού και λ Ω Αν η εξίσωση x -3x + λ- = 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες και Α το σύνολο που έχει ως στοιχεία τις τιμές του λ: 0

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΏΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ της Α Λυκείου δίνοντας τους τις εκφωνήσεις μαζί με τις λύσεις (ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Να λύσετε τα συστήματα: 4 1 17 x y α) 19 x y δ) 1 4 17 5 5 x y β) 15 1 1 y x 1 1 0 x y ε) 1 1 8 x y στ) γ) 5 5 a 1 7 1 1 5 x y 1 7 x y. Να λυθούν τα συστήματα:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Πεδίο ορισμού. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ( ) 5 6 ii) f ( ) 7 iii) iv) f( ) 4 f( ) 8 v) f ( ) 6 vi) f ( ) 0 5. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α Α ΟΜΑ Α Πιθανότητες: 1. Να βρείτε τον δ.χ. των παρακάτω πειραµάτων τύχης. ι) Ρίχνουµε ένα νόµισµα και σταµατάµε όταν έρθουν 3 κεφαλές και γράµµατα ιι) Ρίχνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (141) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1,

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1, Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά είναι 0,8. Η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 1. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το βαθμολογικό επίπεδο των μαθητών ενός σχολικού συγκροτήματος.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 1. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το βαθμολογικό επίπεδο των μαθητών ενός σχολικού συγκροτήματος. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Προβλήματα 1. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το βαθμολογικό επίπεδο των μαθητών ενός σχολικού συγκροτήματος. Βαθμολογικά ΚΟΡΙΤΣΙΑ ΑΓΟΡΙΑ επίπεδα Γυμνάσιο Λύκειο Γυμνάσιο Λύκειο Χαμηλή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΟΔΗΓΙΕΣ: α) Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. β) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού. γ) Να γράφετε μόνο με μπλε μελάνι. (Για τα σχήματα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο : Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56)

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56) ΓΕΝΙΚEΣ AΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Κώστας Βακαλόπουλος, Κώστας Παπαϊωάννου, Θανάσης Χριστόπουλος Άσκηση ( λ) λ λ 5 Δίνεται η συνάρτηση F(x) x λx. α) Να βρεθεί η F (x). Ν(Β) Άρα: Β = {5}, οπότε

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr 11 ΟΗΓΙΕΣ 1. Το ebook περιέχει εργασίες δραστηριότητες για µαθητές που θα πάνε στη Γ Λυκείου και θα επιλέξουν µαθηµατικά κατεύθυνσης ή γενικής παιδείας.. Για την επίλυση θα χρειαστούν όλα τα βιβλία µαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 4 o Γενιό Λύειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματιά Γενιής Παιδείας γ Ασήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr 4 ο Γενιό Λύειο Χανίων 00 0 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα