ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ"

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε με αναγραφή τα σύνολα Α Β, Α Β, Α Β, Β Α iii) Να γράψετε όλα τα δυνατά υποσύνολα του Α Θεωρούμε ως βασικό σύνολο το: Ω = {,,3,, 5} καθώς και τα σύνολα i) Α = {x Ω / x άρτιος} και Β = {x Ω / x πολλαπλάσιο του 3} ii) Να παραστήσετε τα σύνολα Α και Β με αναγραφή των στοιχείων τους iii) Να βρείτε τα σύνολα: α) AΒ β) Α Β iii) Α' iv) Β' ν) (AUΒ)' vi) Α Β' 3 Δίνονται τα σύνολα A x R / x 4x 3 και i) Να γραφούν με αναγραφή τα σύνολα ii) Να βρείτε την ένωση και τη τομή τους iii) Να εξετάσετε αν το Α είναι υποσύνολο του Β B x N / x 5x ( x ) 0 4 Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {,, 3,, 0} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα Θεωρούμε επίσης τα ενδεχόμενα: Α = {x Ω/ x- 4 },Β = {xω/x - 4x+ 3 0} και Γ={x Ω/(x-4) 3x-} i) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(Γ) ii) Να βρείτε τα ενδεχόμενα ΑΒ και ΑΓ και στη συνέχεια τις πιθανότητες Ρ(Α Β) και Ρ(ΑΓ) 5 Έστω ο δειγματικός χώρος :Ω = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα Για τα ενδεχόμενα A, Β, Γ του Ω, είναι :A Β = {,, 3, 4, 5, 6},Α Β = {, 3, 4}, Α- Β = {, 6} και Γ = {x Ω/ x- 5 < 3} i) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ) ii) Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί το Β και όχι το Γ iii) Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Β και Γ 6 Από 38 άτομα μιας τάξης, που ρωτήθηκαν, οι 4 απάντησαν ότι έγραψαν άριστα σ ένα διαγώνισμα (Α), οι 3 ότι έγραψαν άριστα σ ένα διαγώνισμα (Β) και οι 5 έγραψαν άριστα και στα δύο Αν επιλέξουμε τυχαία ένα άτομο να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων:

2 i) Το άτομο δεν έγραψε άριστα σε κανένα διαγώνισμα ii) Το άτομο έγραψε άριστα μόνο στο (Α) iii) Το άτομο έγραψε άριστα μόνο στο (Β) 7 Από 0 μαθητές ενός Λυκείου, 4 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 0 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και μαθητές συμμετέχουν και στους δύο διαγωνισμούς Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής: i) Να συμμετέχει σ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς; ii) Να συμμετέχει μόνο σ έναν από τους δύο διαγωνισμούς; iii) Να μην συμμετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισμούς; 8 Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου ενός σχολείου με 5 μαθητές οι μαθαίνουν Αγγλικά, οι Γαλλικά και 8 παιδιά μαθαίνουν και τις γλώσσες Επιλέγουμε μέσα από την τάξη τυχαία έναν μαθητή Να βρείτε τη πιθανότητα του ενδεχομένου: i) Ο μαθητής μαθαίνει τουλάχιστον μία ξένη γλώσσα ii) Ο μαθητής μαθαίνει μόνο Αγγλικά iii) Ο μαθητής μαθαίνει μόνο Γαλλικά iv) Ο μαθητής δεν μαθαίνει Γαλλικά v) Ο μαθητής μαθαίνει μόνο μία από τις δύο γλώσσες vi) Ο μαθητής δεν μαθαίνει καμία από τις δύο γλώσσες vii) Ο μαθητής μαθαίνει Αγγλικά ή δεν μαθαίνει Γαλλικά 9 Θεωρούμε δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, για τα οποία γνωρίζουμε ότι: Ρ(Α ) = 0,6, Ρ(Β) = 0,3 και Ρ(ΑΒ) = 0,3 i) Να δείξετε ότι Ρ(Α) = 0,4 ii) Να βρείτε την πιθανότητα «να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α ή Β» iii) Να βρείτε την πιθανότητα Ρ[(ΑΒ )(ΒΑ )] iv) Αν Γ είναι ένα τρίτο ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω το οποίο δεν είναι το κενό σύνολο, τότε να αποδείξετε ότι: Ρ(Γ) + P( ) 0 Εξετάσαμε τους φοιτητές ενός τμήματος σχετικά με το αν πέρασαν τα μαθήματα της Στατιστικής και των Πιθανοτήτων Προέκυψαν τα εξής συμπεράσματα: το 65% των φοιτητών πέρασαν τη Στατιστική το 5% των φοιτητών πέρασαν τις Πιθανότητες και δεν πέρασαν τη Στατιστική Το 60% των φοιτητών δεν πέρασαν τουλάχιστον ένα από τα δύο μαθήματα Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή του τμήματος Να βρείτε την πιθανότητα αυτός: i) να έχει περάσει και τα δύο μαθήματα, ii) να έχει περάσει το μάθημα των Πιθανοτήτων, iii)να μην έχει περάσει κανένα από τα δύο μαθήματα, iv) να έχει περάσει ένα μόνο από τα δύο μαθήματα Ένα ενυδρείο έχει 400 ψάρια Από αυτά τα 800 είναι τροπικά ψάρια,τα 800 έχουν κόκκινο χρώμα και τα 600 είναι τροπικά ψάρια με κόκκινο χρώμα Επιλέγουμε τυχαία ένα ψάρι Αν Α: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι τροπικό και Β: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι κόκκινο

3 Να βρεθεί η πιθανότητα το ψάρι i) να είναι τροπικό ή να έχει κόκκινο χρώμα ; ii) να μην είναι τροπικό ούτε να έχει κόκκινο χρώμα ; iii) να έχει κόκκινο χρώμα αλλά να μην είναι τροπικό; iv) να είναι τροπικό ή να μην έχει κόκκινο χρώμα ; Ένας κήπος έχει 00 δέντρα Από αυτά τα 300 είναι τροπικά,τα 000 είναι οπωροφόρα και τα 00 είναι τροπικά και οπωροφόρα Επιλέγουμε τυχαία ένα δέντρο Αν Α: το ενδεχόμενο το δέντρο να είναι τροπικό και Β: το ενδεχόμενο το δέντρο να είναι οπωροφόρο Να βρεθεί η πιθανότητα το δέντρο i) να είναι τροπικό ή να είναι οπωροφόρο ; ii) να μην είναι οπωροφόρο ούτε τροπικό ; iii) να είναι οπωροφόρο αλλά να μην είναι τροπικό; iv) να είναι τροπικό ή να μην είναι οπωροφόρο ; 3 Οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α, Β, Α Β ενός πειράματος τύχης µε δειγματικό χώρο Ω ικανοποιούν την σχέση [3Ρ(Α)-] +[Ρ(Β')-] +[6Ρ(Α Β)-] =0 () Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Να πραγματοποιηθεί µόνο το ενδεχόμενο Α ii) Να πραγματοποιηθεί µόνο το ενδεχόμενο Β iii) Να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β iv) Να µην πραγματοποιούνται συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β 4 Σε ένα κουτί υπάρχουν x άσπρες σφαίρες και (x + ) μαύρες σφαίρες, με x 0 i) Επιλέγουμε τυχαία μια σφαίρα από το κουτί Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: επιλέγουμε άσπρη σφαίρα, Μ: επιλέγουμε μαύρη σφαίρα ii) Αν η πιθανότητα να επιλέξουμε μαύρη σφαίρα,είναι κατά 4 μεγαλύτερη από την πιθανότητα 5 να επιλέξουμε άσπρη σφαίρα και στο κουτί υπάρχουν πάνω από 5 σφαίρες, να βρείτε το x, καθώς και την πιθανότητα να επιλεγεί μαύρη σφαίρα iii) Να αποδείξετε ότι :Ρ(Α) < 9 για κάθε x R iv) Για την τιμή του x για την οποία είναι: Ρ(Α) = εκτελούμε το εξής πείραμα: Παίρνουμε 9 διαδοχικά 3 σφαίρες από το κουτί (χωρίς επανατοποθέτηση) και σημειώνουμε κάθε φορά το χρώμα τους Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος 5 Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι: Ρ(Β) = 9(Ρ(Α)) - 7Ρ(Α) + + Ρ(Α Β) i) Να εκφράσετε την P(AB) συναρτήσει της Ρ(Α) ii) Να βρείτε την Ρ(Α) iii) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τo Β και να μην πραγματοποιηθεί το Α 3

4 iv) Αν επιπλέον η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα A, Β είναι να βρείτε: α) τις πιθανότητες Ρ(Β) και Ρ(Α Β), β) την πιθανότητα Ρ(Β'- Α') 6 Σε έναν χορευτικό όμιλο συμμετέχουν x αγόρια και (x + 4) κορίτσια i) Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο για να εκπροσωπήσει τον όμιλο σε μια εκδήλωση Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x την πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι, ii) Αν η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι είναι ίση με και ο όμιλος περιλαμβάνει λιγότερα από 9 00 μέλη, να βρείτε τον αριθμό των μελών του ομίλου, καθώς και την πιθανότητα να επιλεγεί κορίτσι iii) Αν Α είναι το ενδεχόμενο να επιλεγεί αγόρι, να αποδείξετε ότι PA ( ) 7 7 Από τους 5 μαθητές ενός τμήματος Α Λυκείου ενός σχολείου, οι 3 μαθαίνουν Αγγλικά, οι 8 Γαλλικά Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή της τάξης i)να δείξετε ότι : 6 p( A B) ii) Να αποδείξετε ότι : 3 p( A B) Ένας κήπος έχει 00 δέντρα Από αυτά τα 300 είναι τροπικά,τα 000 είναι οπωροφόρα Επιλέγουμε τυχαία ένα δέντρο Αν Α: το ενδεχόμενο το δέντρο να είναι τροπικό και Β: το ενδεχόμενο το δέντρο να είναι οπωροφόρο i)να αποδείξετε ότι : p( A B) 4 ii) Να αποδείξετε ότι 7 p( ) Ένα ενυδρείο έχει 400 ψάρια Από αυτά τα 800 είναι τροπικά ψάρια,τα 800 έχουν κόκκινο χρώμα Επιλέγουμε τυχαία ένα ψάρι Αν Α: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι τροπικό και Β: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι κόκκινο i)να δείξετε ότι p( A B) 3 ii) Να αποδείξετε ότι 5 p( A B) 3 4 4

5 0 Κατά την αρχή της σχολικής χρονιάς οι μαθητές της Α τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά με τον αριθμό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των θερινών διακοπών Σύμφωνα με τις απαντήσεις που δόθηκαν,συντάχθηκε ο επόμενος πίνακας Αριθμός βιβλίων Αριθμός μαθητών 0 α+4 5α+8 4α 3 α- 4 α Γνωρίζουμε ότι αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή,τότε η πιθανότητα να έχει διαβάσει βιβλία είναι 4% i) Να αποδείξετε ότι α=3 ii) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: ο μαθητής έχει διαβάσει το πολύ βιβλίο Β: ο μαθητής έχει διαβάσει τουλάχιστον 3 βιβλία ΔΙΑΤΑΞΗ-ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ-ΡΙΖΕΣ 3 Δίνεται η παράσταση A x 4x x 4 i) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση Α ii) Nα αποδείξετε ότι Α > 0 για x > 4 Αν για τους αριθμούς x,y ισχύει: x +y -4x+y+5 = 0 i) Να δείξετε ότι x = και y = - ii) Να δείξετε ότι οι αριθμοί x y και x y είναι αντίστροφοι iii) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : x y x x y x 3 Αν 3 x 5 4 y 7,να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις: i) Α= x+y ii) Β= x -y iii)γ= x y και iv) Δ= x+3y i) Να βρείτε τον αριθμό: ii) Για την τιμή του λ που βρήκατε, να παραγοντοποιήσετε τις επόμενες παραστάσεις: A x y x y 3 ( ) ( ) και: x xy x y 4 5 Για τους αριθμούς α και β ισχύει: α + β -4α + 6β + 3 = 0 i) Να βρείτε τους αριθμούς α και β ii) Αν α=,β=-3 5 α) Να μετατρέψετε το κλάσμα: a ( ) σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή, β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: B γ) Να αποδείξετε ότι :

6 Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί a και 9 8 i) Να βρείτε τους αριθμούς α και β y 4 3 ii) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: K xy x για x x και 8 y Δίνονται οι αριθμοί και 3 : i) Να βρείτε τους αριθμούς α και β ii) Να υπολογίσετε την παράσταση 6 iii)να λύσετε την εξίσωση βx=α και να γράψετε τη λύση της σαν κλάσμα με ρητό παρονομαστή x 3 3x x 4 8 Δίνεται η παράσταση f( x), x R i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση, για τις διάφορες τιμές του x,είναι ίση με την διαφορά των αποστάσεων, πάνω στον άξονα,τουxαπό τους αριθμούς και ii) Να βρείτε την τιμή του x αν f ( x) 0 iii) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύουν: f ( x) 0 και x (, ) 9 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις x, y που έχει περίμετρο 4 εκατοστά i) Δικαιολογείστε ότι x+y= ii) Nα δώσετε με δικούς σας αριθμούς τις διαστάσεις δύο τέτοιων ορθογωνίων και να υπολογίσετε το εμβαδόν σε καθένα από αυτά iii) Αποδείξτε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου δίνεται από την σχέση: Ε= 4 [(x+y) -(x-y) ] iv) Με δεδομένο ότι x+y = αποδείξτε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου παίρνει την μορφή Ε= 36-4 (x-y) και στη συνέχεια ότι για το εμβαδόν ισχύει Ε36 30 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις x, y που πληρούν τους περιορισμούς: 3x5 και 4y i) Nα δώσετε με συγκεκριμένους αριθμούς τις διαστάσεις δύο τέτοιων ορθογωνίων και να υπολογίσετε το εμβαδόν και την περίμετρό τους ii) Να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών περιέχονται οι παραστάσεις: A= x+y B= x-y Γ= xy iii) Μεταξύ ποιων τιμών περιέχεται η περίμετρος και το εμβαδόν του ορθογωνίου Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 3 Δίνεται η παράσταση x 3 5 i) Να γραφεί η παράσταση Α χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής ii) Να λύσετε την εξίσωση 6

7 iii)να λύσετε την ανίσωση 3 Δίνεται η παράσταση B 3x 4 Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες : i) Β = 4 ii) Β = 4-3x iii) 3<Β < 5 33 Δίνεται η παράσταση x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες : i) A =d(x,) ii) A=5 iii) A < 3 iv) A > 7 34 Δίνονται οι παραστάσεις Α= x +4 και Β= x-6 i) Να λυθεί η εξίσωση ii) Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της ανίσωσης < B< 8 iii) Να λυθεί η εξίσωση Α= Β για 0<x<3 35 Δίνονται οι παραστάσεις x 3 και B x i) Να λύσετε την εξίσωση : Α = 3Β,όπου Α και Β οι παραστάσεις της υπόθεσης A A 4 ii) Να λύσετε την εξίσωση : 0,όπου Α η δοθείσα παράσταση 3 iii) Να λύσετε την εξίσωση : B3x 3,όπου B η δοθείσα παράσταση 36 Δίνονται οι παραστάσεις : A x4 7 και B x4 7 i) Να λυθεί η ανίσωση Α > 8 ii) Να λυθεί η ανίσωση Β < 4 iii) Να λυθεί η εξίσωση Α=Β 37 Δίνονται οι παραστάσεις Α = 3x 4 και Β = x 7 i) Να λυθεί η ανίσωση A 4 ii) Να λυθεί η ανίσωση B 7 iii) Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων α) και β) iv) Να λυθεί η εξίσωση : Α = 38 Δίνονται οι παραστάσεις ( x) x 3 x και ( x) x 3 B i) Να λυθούν οι εξισώσεις: α) ( x) 4 και β) ( x) 5 ii) Να λυθεί η εξίσωση ( x) 0 iii) Να λυθεί η ανίσωση () x () x 3 ( x x )( x 9 x) 39 Δίνεται η παράσταση : x x i) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α ii) Να απλοποιήσετε την παράσταση Α iii) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει : Α=0 40 Δίνονται οι παραστάσεις Α(x) =-x +x+, B(x) = 5x +0x+0, i) Να λυθεί η ανίσωση Α(x) 0 7

8 ii) Να λυθεί η ανίσωση Β(x) <0 iii) Α(x) < B(x)-5 4 Δίνονται οι παραστάσεις Α(x) =x +x+, B(x) = -3x +8x-7 i)να λυθεί η ανίσωση Α(x) 0 ii) Να λυθεί η ανίσωση Β(x)>0 iii) Α(x) < B(x)+ 4 Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( x) x 5 i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να λύσετε την εξίσωση f( x) iii) Να λύσετε την ανίσωση f( x) 0 43 i) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση Α = α 3-3α- ii) Δίνεται η εξίσωση: λ ( λ x + 3) = λ 3 + λ x () α) Να λύσετε την εξίσωση () για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ β) Όταν η εξίσωση () έχει μοναδική λύση, να αποδείξετε ότι αυτή είναι μεγαλύτερη ή ίση του 4 44 Δίνεται η συνάρτηση i) Να αποδείξετε ότι f x x x x 3 f x x x, x ii) Να λύσετε την εξίσωση f x 0 iii) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει: f x 0 iv) Nα λύσετε την εξίσωση f x f x Δίνεται η εξίσωση : 3x x 4( ) 0 i) Να βρεθεί ο μ R ώστε να έχει ρίζες πραγματικές και άνισες ii) Να βρεθεί ο μ R ώστε να έχει μία διπλή ρίζα και στη συνέχεια να βρεθεί η ρίζα αυτή iii) Να βρεθεί ο μ R ώστε να έχει ρίζα το 3 46 Δίνεται η εξίσωση : ( ) x x 4 0,λ i) Να βρεθεί ο λ R ώστε να έχει ρίζες πραγματικές και άνισες ii) Να βρεθεί ο λ R ώστε να έχει μία διπλή ρίζα και στη συνέχεια να βρεθεί η ρίζα αυτή iii) Να βρεθεί ο λ R ώστε να έχει ρίζα το 47 Δίνεται η εξίσωση x λx λ- 0 με λ i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες x, x ii) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : x x και x x iii) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να ισχύει η σχέση: 3x 3x 3 x x 48 Δίνεται η εξίσωση αβx - (α+β)x+ = 0 με α 0, β 0 i) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για οποιεσδήποτε τιμές των α, β ii) Να λυθεί η εξίσωση 8

9 iii)αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός,να δείξετε ότι ο αριθμός της εξίσωσης x -(α +β) x +αβ=0 49 Δίνεται η εξίσωση αx + ( -α)x - = 0 με β>0,α 0 i) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για οποιεσδήποτε τιμές των α, β ii) Αν x, x οι δύο ρίζες της εξίσωσης να δείξετε ότι x+x + x x = - iii) Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός 50 Θεωρούμε το τριώνυμο f ( x) x x, 0,με α,να δείξετε ότι β = α i) Να βρείτε τι τιμές του, ώστε η εξίσωση f( x) 0 να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες ii) Να βρείτε τις τιμές του, ώστε η εξίσωση f( x) 0 να έχει ρίζες δύο αντίστροφους πραγματικούς αριθμούς iii) Να βρείτε τις τιμές του, ώστε το τριώνυμο να έχει θετικές τιμές για κάθε x 5 Δίνεται η εξίσωση: x ( ) x, R i) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η εξίσωση: α) έχει πραγματικές ρίζες, β) έχει αντίστροφες ρίζες ii) Aν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει: x x x x 5 Θεωρούμε τo τριώνυμο f ( x) x x, R i) Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση f(x)=0 να είναι πρώτου βαθμού ii) Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση f(x)=0 να είναι δευτέρου βαθμού και έχει ρίζα τον αριθμό iii) Για λ=, να λύσετε την ανίσωση f( x) Δίνεται η εξίσωση x x 0, R i) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες ii) Για 4, να υπολογίσετε τις παραστάσεις : x x και x x, όπου x, x οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης 0 0 iii) Για 4, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ( x ) ( x ) 54 Δίνεται το τριώνυμο f ( x) ax (3a ) x a 0 Αν η μία από τις δύο ρίζες του τριωνύμου είναι η i) Να βρεθεί ο θετικός α (0 μονάδες) ii) Να βρεθεί η δεύτερη ρίζα ρ του τριωνύμου iii) Να λυθεί η ανίσωση f( x) 0 9

10 55 Δίνεται η εξίσωση:(λ - 5λ + 6)x + (λ -3)x + 3 = 0 () i) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η εξίσωση () έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες ii) Αν x, x είναι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης (), να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει: x x 3 56 Δίνεται η εξίσωση x x- 0 () με ρίζες x, x x x 3 x x 5 0 i) Να βρείτε για ποια τιμή του λ είναι: ii) Για λ=- α) να λυθεί η εξίσωση () β)να σχηματιστεί άλλη εξίσωση ου βαθμού με ρίζες, ρ x, ρ x 57 Δίνεται η εξίσωση:x - λx + λ(λ + 3) = 0 () i) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες, ii) Έστω S και Ρ το άθροισμα και το γινόμενο αντίστοιχα των ριζών της εξίσωσης () Αν ισχύει Ρ-S =, να βρείτε την τιμή του λ iii) Έστω x και x οι ρίζες της εξίσωσης για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα (β) x x α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης x x β) Να σχηματίσετε εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς 58 Δίνεται η εξίσωση:x -(λ + )x + λ = 0 () i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ R ii) Έστω x και x οι ρίζες της εξίσωσης () α) Να αποδείξετε ότι: x x x x x x 0 β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει: x x x x xx και xx 59 Δίνεται το τριώνυμο :f (x) = x - (3λ +)x + λ +3λ 4(0 i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει ρίζες πραγματικές και άνισες ii) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε ο αριθμός να είναι ρίζα της εξίσωσης iii) α)να βρείτε την τιμή του λ ώστε να ισχύει x x 6xx,x,x οι ρίζες της εξίσωσης () β)για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα (α) να λύσετε την ανίσωση f (x) < Δίνεται η εξίσωση:x + αx- 3 = 0 () i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει πραγματικές και άνισες ρίζες για κάθε αr ii) Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε για ποιες τιμές του α ισχύει: xx 5 6 Δίνεται η συνάρτηση: f (x) = x + (μ+ )x + μ i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες ρ, ρ για κάθε μ R 5 ii) Να βρείτε για ποιες τιμές του μ, η εξίσωση: x x 0 έχει μοναδική λύση 4 iii) Να βρείτε για ποιες τιμές του μ αληθεύει η ανίσωση: 6 6 Δίνεται η εξίσωση:(λ + )x -(λ-)x-=0 () με λ - i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε λ - 0

11 ii) Έστω x και x οι ρίζες της εξίσωσης () Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες: α) οι αριθμοί x και x είναι ετερόσημοι, β) ισχύει x + x < xx 63 Δίνεται το τριώνυμο f(x)=x -(λ-)x-λ+ i) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση f(x)=0, να έχει πραγματικές ρίζες ii) Για ποιες τιμές του λ το τριώνυμο έχει διπλή ρίζα; iii) Να γράψετε το άθροισμα S και το γινόμενο Ρ των ριζών της εξίσωσης iv) Να λύσετε την ανίσωση: 3 S 4 P ΠΡΟΟΔΟΙ 64 Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν), της οποίας ο 6ος όρος είναι 0 και το άθροισμα των πρώτων 5 όρων είναι 60 Να βρείτε: i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της (αν), ii) τον ο όρο της (αν), iii) ποιος όρος της (αν) είναι ίσος με - 6, iv) το άθροισμα των πρώτων 5 όρων της (αν), v) πόσοι πρώτοι όροι της (αν) έχουν άθροισμα 0, vi) πόσους θετικούς όρους έχει η (αν), vii) τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών α και α6 65 Δίνεται γεωμετρική πρόοδος (αν), της οποίας ο 5ος όρος είναι 48 και 0 8ος όρος είναι 384 Να βρείτε: i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της (αν), ii) τον 0ο όρο της (αν), iii) ποιος όρος της (αν) είναι ίσος με 9, iv) το άθροισμα των πρώτων 0 όρων της (αν), v) πόσοι πρώτοι όροι της (αν) έχουν άθροισμα 89, vi) τον αριθμητικό μέσο των αριθμών α4 και α9 66 Οι αριθμοί 3x-, x+ και x-5 είναι διαδοχικοί όροι μίας αριθμητικής προόδου a i) Να αποδείξετε ότι x=3 ii) Να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου iii) Αν ο αριθμός 3x- είναι ο έκτος όρος της πρόοδου, να βρείτε: α) τον πρώτο όρο της προόδου β) το άθροισμα S 0 των 0 πρώτων όρων της προόδου 67 Αν -x 3 + κ, x κ, - 3x + κ, με τη σειρά που δίνονται, είναι οι τρεις πρώτοι όροι αριθμητικής προόδου και έχουν άθροισμα 7, τότε: i) να αποδείξετε ότι x =-, ii) να βρείτε τον αριθμό κ, iii) να υπολογίσετε τον εικοστό όρο α0 της προόδου, iv) να υπολογίσετε το άθροισμα S0 των είκοσι πρώτων όρων της προόδου 68 Δίνεται ακολουθία (αν) με α=9 για την οποία ισχύει 6 i) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (γν) με γν =αν-6 είναι γεωμετρική πρόοδος ii) Να βρείτε τον 9ο όρο της ακολουθίας

12 iii) Να βρείτε το άθροισμα των 7 πρώτων όρων της (αν) 69 Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) ισχύει: α6 α9 = α4 i) Να βρείτε το γινόμενο των πρώτων όρων της (αν) ii) Αν επιπλέον ισχύει a 8, να βρείτε: α) τον λόγο και τον πρώτο όρο της (αν), β) την τιμή του κ R, ώστε οι αριθμοί:, 5, 9 να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου 70 Δύο αριθμοί έχουν αριθμητικό μέσο 5 και γεωμετρικό μέσο 4 i) Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς ii) Αν ο μικρότερος από τους αριθμούς που βρήκατε είναι ο 5ος όρος και ο μεγαλύτερος είναι ο 9ος όρος μιας αριθμητικής προόδου (αν), τότε: α) να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της (αν), β) να βρείτε για ποιον όρο ισχύει αν = ν, γ) να βρείτε πόσοι από τους πρώτους όρους της (αν) έχουν άθροισμα 05, δ) να υπολογίσετε το άθροισμα: S = α + α3 + α5 + + α3 7 Έντεκα αριθμοί αποτελούν διαδοχικούς όρους μιας γεωμετρικής προόδου Οι πρώτοι έξι από αυτούς έχουν άθροισμα 63, ενώ οι έξι τελευταίοι έχουν άθροισμα 06 i) Να βρείτε τον λόγο της παραπάνω γεωμετρικής προόδου ii) Ανάμεσα στον πρώτο και τον έβδομο αριθμό να παρεμβάλλεται 8 αριθμούς, ώστε όλοι μαζί να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου 7 Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν), ο 4ος όρος είναι - 5, ενώ το άθροισμα του 7ου και του ου όρου είναι 0 Να βρείτε: i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, ii) πόσοι πρώτοι όροι της προόδου έχουν άθροισμα -5, iii) το άθροισμα S = α + α3 + α5 + + α5, iv) το άθροισμα των όρων ακ για τους οποίους ισχύει ότι 4 95 a 73 Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν), με διαφορά ω 0, για την οποία ισχύει: α + α8 = α + α4 + α9 i) Να βρείτε τον όρο α6 ii) Να αποδείξετε ότι: a5a7 0 iii) Να αποδείξετε ότι αν-6 =αν για κάθε ν 4 S44 iv) Να υπολογίσετε τον λόγο S 74 Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) ισχύει S0 = 80 και η σχέση: α + α4 + α6 + + α0= 430 Να βρείτε: i) τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, ii) το άθροισμα: S= α + α + + α30 iii) την τιμή του κ Ν*, ώστε οι αριθμοί ακ, α5κ-,α4κ-4 να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου 75 Δίνεται η ακολουθία με γενικό όρο : i) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (αν) είναι αριθμητική πρόοδος και έχει πρώτο όρο 9 και διαφορά ω= ii) Να βρείτε το άθροισμα: S a a3 a,όπου a, a3,, a είναι διαδοχικοί όροι της

13 προόδου (αν) iii) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης: x x είναι διαδοχικοί όροι της προηγούμενης προόδου (αν) 76 Στα πρώτα γενέθλια του παιδιού τους, δυο γονείς του καταθέτουν ένα χρηματικό ποσό Ο πατέρας καταθέτει 50 και κάθε χρόνο στα γενέθλια του παιδιού, θα αυξάνει το ποσό κατά 6 Η μητέρα καταθέτει τώρα μόνο και κάθε επόμενα γενέθλια του παιδιού, θα διπλασιάζει το προηγούμενο ποσό i) Πόσα χρήματα θα καταθέσει ο πατέρας στα δέκατα γενέθλια του παιδιού του; ii) Πόσα χρήματα θα καταθέσει η μητέρα στα έκτα γενέθλια του παιδιού της; iii) Αν μετά τα δέκατα όγδοα γενέθλια του το παιδί κάνει ανάληψη των καταθέσεων των γονιών του, πόσα χρήματα θα εισπράξει συνολικά; iv) Σε ποια γενέθλια του παιδιού, το ποσό που θα καταθέσει η μητέρα του θα ξεπεράσει τα 030 ; 77 Η τιμή αγοράς ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή είναι μεγαλύτερη από 60 και μικρότερη από 640 Κατά την αγορά συμφωνήθηκαν τα εξής: Να δοθεί προκαταβολή 0 Η εξόφληση του υπόλοιπου ποσού να γίνει σε δέκα μηνιαίες δόσεις Κάθε δόση να είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη κατά ω όπου ω θετικός ακέραιος Η τέταρτη δόση είναι 48 α)να εκφράσετε το ποσό της πρώτης δόσης ως συνάρτηση του ω β)να εκφράσετε την τιμή αγοράς σαν συνάρτηση του ω γ)να βρείτε την τιμή του ω δ)να βρείτε το ποσό της τελευταίας δόσης ε)να βρείτε την τιμή αγοράς του ηλεκτρονικού υπολογιστή 78 Σ έναν ουρανοξύστη 7 ορόφων,τα γραφεία του ίδιου ορόφου έχουν το ίδιο ενοίκιο Κάθε γραφείο του πρώτου ορόφου ενοικιάζεται 550 το μήνα Κάθε γραφείο ενός ορόφου ενοικιάζεται 35 το μήνα ακριβότερα από ένα γραφείο του προηγούμενου ορόφου i) Ποιο είναι το μηνιαίο ενοίκιο ενός γραφείου του πέμπτου ορόφου; ii) Πόσο ακριβότερο είναι ένα γραφείο του 5ου ορόφου από ένα του 7ου ορόφου; iii) Σε ποιους ορόφους το ενοίκιο ξεπερνά τις 000 το μήνα; iv) Αν το πλήθος των γραφείων ενός ορόφου είναι μικρότερο κατά από το πλήθος των γραφείων του αμέσως προηγούμενου ορόφου και ο 7ος όροφος έχει γραφεία,να βρείτε : α)πόσα γραφεία έχει ο πρώτος όροφος β) πόσα γραφεία έχει συνολικά ο ουρανοξύστης γ) πόσο θα κοστίσει τον μήνα σε έναν επιχειρηματία να νοικιάσει όλα τα γραφεία που βρίσκονται στον μεσαίο όροφο του ουρανοξύστη 79 Σε ένα θέατρο, η πρώτη σειρά έχει 70 καθίσματα και η τελευταία έχει 50 καθίσματα Το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς σχηματίζει αριθμητική πρόοδο Η προτελευταία σειρά έχει 40 καθίσματα περισσότερα από τη δεύτερη σειρά i) Να αποδείξετε ότι κάθε σειρά καθισμάτων του θεάτρου έχει 0 καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη σειρά ii) Να υπολογίσετε το πλήθος των καθισμάτων του θεάτρου iii) Την πρώτη παράσταση ενός θεατρικού έργου, σ αυτό το θέατρο, την παρακολούθησαν 00 θεατές,ενώ σε κάθε επόμενη παράσταση, ο αριθμός των θεατών διπλασιαζόταν Ποια είναι η παράσταση στην οποία για πρώτη φορά θα γεμίσει το θέατρο; 3

14 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ x x i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να βρείτε τις τιμές 0 f 80 Δίνεται η συνάρτηση f x f και iii) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x x iv) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y x 8 Δίνεται η συνάρτηση f( x) x i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x 3 ii) Να λύσετε την εξίσωση f x iii) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα yy 8 Δίνονται οι συναρτήσεις f( x) x 3 και gx ( ) x 3 x x i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g iii) Να βρεθούν τα σημεία τομής των f και g με τους άξονες 3 iv) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α 0, συναρτήσεων, 0, 4 B ανήκουν στη γραφική παράσταση των x 83 Δίνεται η συνάρτηση f( x) x 3 i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να βρείτε, αν η γραφική της παράσταση τέμνει και σε ποια σημεία τους άξονες χ χ και yy iii) Να βρείτε τη τιμή της συνάρτησης για x 7 x x a 84 Δίνεται η συνάρτηση f( x) x 5x 4 i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) ii) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α, αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A3, 7 iii) Αν, τότε: α) Να απλοποιηθεί ο τύπος της συνάρτησης β) Να βρεθούν τα σημεία τομής της με τους άξονες 4

15 γ) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y = x x 3 85 Δίνεται η συνάρτηση f (x) x i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της με μορφή διαστημάτων ii) Να βρείτε τα σημεία τομής της συνάρτησης f με τον άξονα x x και με τον άξονα y y iii) Αφού απλοποιήσετε τον τύπο της παραπάνω συνάρτησης, να δικαιολογήσετε γιατί παριστάνει ευθεία γραμμή από την οποία εξαιρείται ένα σημείο Ποιο είναι αυτό; Τι γωνία σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x x; 86 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f ii) Να βρείτε τις τιμές f (0), f () και f (f (4)) iii) Να λύσετε την εξίσωση f (x) = 0 iv) Να λύσετε την εξίσωση f (x) = - 3 v) Να λύσετε την ανίσωση f (x) < 3 vi) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f (x) = α για τις διάφορες τιμές του α R 87 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x + βx + γ, με β, γ R, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Μ(,-8) και Ν(4,-5) i) Να βρείτε τις τιμές των β και γ, ii) Αν β=-4 και γ=-5,να βρείτε : α) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες β) τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ'χ γ) τη σχετική θέση της γραφικής παράστασης της f ως προς την ευθεία y=-9 88 Δίνεται η συνάρτηση : f (x) = 3x + (λ + 4)x + μ- 3 Αν διέρχεται από το σημείο Α(-,-) και τέμνει τον y'y στο σημείο με τεταγμένη i) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ ii) Έστω λ=,μ= α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = αx + α -,α>0 διέρχεται από το σημείο Ν(-μ, λ) Να βρείτε τον αριθμό α β) Να βρείτε την σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g 89 Δίνεται η συνάρτηση f x x x x i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f iii) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφική της παράστασης με τους άξονες x x x 90 Δίνεται η συνάρτηση f( x) x i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και στη συνέχεια να απλοποιήσετε τον τύπο της 5

16 ii) Να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση f iii) Να λύσετε την εξίσωση f x ( ) x x 5x 3x 8x 4 9 Δίνεται η συνάρτηση f( x) i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ii) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g( x) f ( x) iii)να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g με την ευθεία y=3 9 Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = x + 6x + 7 και g(x) = x - x+ 3 και έστω ε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(3,f(3)) και B(,g() i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε ii) Έστω Γ και Δ τα σημεία της ευθείας ε με τεταγμένες - και 5 αντίστοιχα Να βρείτε: α) τις τετμημένες των Γ και Δ, β) τα συμμετρικά των Γ και Δ ως προς την διχοτόμο του ου και 3 ου τεταρτημορίου iii) Nα βρείτε το κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων της f και g iv) Nα βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της g 4 x a, x 93 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x a, x i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f ii) Να βρείτε τα α, β, ώστε f(0) = -3 και f() = 3 iii) Για α = β = α) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 β) Να βρείτε το γ, ώστε f(f()) = γ 3 3x9, x 94 Δίνεται η συνάρτηση f( x) 6x3, x 4 i) Να υπολογιστούν οι τιμές: f 3, f (0), f (), f (3), 7 f ii) Nα βρείτε τα συμμετρικά των σημείων,f, B(0, f(0)) ως προς την αρχή των αξόνων 3 3 iii) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση 8x 30, x 95 Δίνεται η συνάρτηση f( x) 0 x 4, x i) Να υπολογιστούν οι τιμές: f (), f ( 4), f ( 3), f (3) ii) Να δείξετε ότι τα σημεία Α(, f () ) και Β(-4, f ( 4) ) είναι συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο της ης και 3 ης γωνίας των αξόνων iii) Να δείξετε ότι τα σημεία Γ(3, f (3) ) και Δ(-3, f ( 3) ) είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων 6

17 ax, x 4 96 Δίνεται η συνάρτηση: f ( x) x 4, 4 x με α,βr, της οποίας η γραφική x, x παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(-6, 4) και Β(- 3, ) i) Να βρείτε τις τιμές των α και β ii) Έστω ε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε διέρχεται από τα σημεία Γ( -, f(-)) και Δ(, f()) της Cf iii) Για α= και β=-5, α) να σχεδιάσετε τη Cf και την ευθεία ε β) να λύσετε την ανίσωση f (x) < -x- x, x 97 Δίνεται η συνάρτηση: f ( x) x, x με α, β R, της οποίας η γραφική x5, x παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(-,-6)και Β(4,) i) Να βρείτε τις τιμές των α και β ii) Αν α=3 και β=4 α) Να βρείτε τις τιμές f(-),f(0),f(f(0),f(4) β) Να βρείτε τα συμμετρικά των σημείων Α και Β ως προς την διχοτόμο του ου -3 ου τεταρτημορίου γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f 98 Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) x 3 και g( x) x 3 i) Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των παραπάνω συναρτήσεων ii) Να λύσετε την εξίσωση g(x)= 4 iii) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=g(x) x, x 99 Δίνεται η συνάρτηση f( x) 3x 6, x f, f, f f i) Να βρείτε τα ii) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση iii) Να λύσετε την εξίσωση f x iv) Να λύσετε την ανίσωση f x 00 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x x i) να αποδειχτεί ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε πραγματικό λ ii) να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού λ ώστε να ισχύει 6,όπου x,x οι ρίζες x x της εξίσωσης f(x)=0 iii) για λ=3 να λυθεί η ανίσωση 7 f( x) 4 7

18 0 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x x 6 i) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα χ χ και τις τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης, τα οποία βρίσκονται πάνω από τον άξονα χ χ ii) Να βρείτε τις τιμές του, ώστε η εξίσωση f () x x να μην έχει πραγματικές ρίζες iii)να λύσετε την εξίσωση f x 6 0 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x x 5, με R Αν το σημείο Δ( -, -7) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης τότε: i) Να δείξετε ότι ii) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τους άξονες χ χ και ψ ψ iii) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης που βρίσκονται κάτω από τον άξονα χ χ 03 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x- + α, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(-5, 4) i) Να αποδείξετε ότι α = - 3 ii) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες iii) Έστω ε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β της Cf με τετμημένες -4 και 4 αντίστοιχα, α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε β) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τη Cf και την ευθεία ε γ) Να λύσετε γραφικά την ανίσωση: δ) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f(x) = κ για τις διάφορες τιμές του κ R 04 Οι ευθείες: ε: y = (4α- 5)x + 3 και : y x είναι κάθετες 3 3 i) Να βρείτε την τιμή του α R ii) Να βρείτε το σημείο τομής Α των ευθειών ε και ε iii) Να υπολογίσετε την απόσταση (ΑΒ), όπου Β(, -4) iv) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f(x) = x + λx-4 διέρχεται από το σημείο Α, να βρείτε : α) την τιμή του λ R, β) τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ 05 Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = - x + λx- λ-4, με λr της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ (λ - 3, 7 - λ) και η συνάρτηση: g(x) =x + βx + γ, με β, γ R της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο με τεταγμένη - και διέρχεται από το σημείο Ν(3, ) i) Να βρείτε τον αριθμό λ ii)αν λ=0 α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι κάτω από τον άξονα χ'χ β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από την ευθεία y=-47 iii) Να βρείτε: α) τους αριθμούς β και γ, β) αν β=-,γ=- να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cg βρίσκεται πάνω από την ευθεία y= 8

19 06 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = λx + 3,λ<0 διέρχεται από το σημείο Α(λ +, 3λ + 5) Να βρείτε: i) τον αριθμό λ, ii) Αν λ=-3 α) να βρείτε το συμμετρικό σημείο Α' του Α ως προς τη διχοτόμο της ης και 3ης γωνίας των αξόνων, β) την ευθεία που είναι παράλληλη στον χ χ και διέρχεται από το σημείο Α 07 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f ( x) x διέρχεται από το σημείο Α(6, -6) i) Να βρείτε τον αριθμό λ ii) Αν λ=-3 α) να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) να εξετάσετε αν το συμμετρικό του σημείου Α ως προς τον χ χ ανήκει στη γραφική παράσταση της f γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες 08 Δίνεται η συνάρτηση: f(x) = x- 3 - x i) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι κάτω από τον άξονα χ'χ iii) Να γράψετε τον τύπο της f χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής iv) Η ευθεία y = (λ - 4λ + )x + 3 είναι παράλληλη στη Cf όταν x (0, 3) Να βρείτε τον αριθμό λ 09 Δίνονται τα σημεία Α(3λ, 4) και Β(3, 4λ), τα οποία είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων Ο i) Να βρείτε τον αριθμό λ ii) Να βρείτε την ευθεία ε που διέρχεται από τα σημεία Α και Β iii) Να βρείτε τα σημεία τομής της ε με τους άξονες iv) Να βρείτε την ευθεία ζ που είναι κάθετη στην ε και διέρχεται από το σημείο Γ (8,-7) v) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών ε και ζ 0 Δίνονται τα σημεία: Α(, 3) και Β(-4,-)Να βρείτε: i) την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, ii) το συμμετρικό Α' του Α ως προς τον άξονα χ'χ και το συμμετρικό Β' του Β ως προς τον άξονα y'y iii) την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α' και Β', iv) το σημείο τομής των ευθειών ε και ε Δίνονται οι ευθείες :ε: y = α + x + 3 και ε: y = α- 3 x + 0 i) Να βρείτε για ποιες τιμές του α, οι ευθείες ε και ε είναι παράλληλες ii) Για τη μεγαλύτερη από τις παραπάνω τιμές του α, να βρείτε: α) το σημείο τομής Α της ε με τον y'y, β) το σημείο τομής Β της ε με τον χ'χ γ) τα συμμετρικά των σημείων Α και Β ως προς την αρχή των αξόνων 3, 3, Να βρείτε τα, για τα Έστω τα σημεία Α, Β(,-) και Γ οποία: i) τα σημεία Α,Β να είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων ii) Α,Γ να είναι συμμετρικά ως προς τον y y iii) Β,Γ να είναι συμμετρικά ως προς την διχοτόμο της γωνίας x y 9

20 iv) το σημείο Α να ανήκει στην ευθεία 9 y x 4 3 Έστω ότι οι ευθείες ε: y = λ(λ - 4)x + λ - και ζ: y = (λ - 9)x + 6 είναι παράλληλες i) Να βρείτε τον αριθμό λ ii) Αν λ=3 και το σημείο Α(α + 4, α - 3) ανήκει στην ευθεία ε : α) να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας ζ με τους άξονες και να τη σχεδιάσετε β) να βρείτε τον αριθμό α iii) Για α= - να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α ως προς: α) τον άξονα χ'χ, β) τον άξονα y'y, γ) την αρχή των αξόνων, δ) τη διχοτόμο της ης και 3ης γωνίας των αξόνων iv) Έστω Β το σημείο της ευθείας ζ με τεταγμένη 3 Να βρείτε: α) την τετμημένη του σημείου Β, β) το τεταρτημόριο που ανήκει το Β 4 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f ( x) x a διέρχεται από το σημείο Μ(-, 3) i) Να βρείτε τον αριθμό α, ii) Για α=-4 α)να βρείτε το πεδίο ορισμού της f, β) Να κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο g( x) f ( x) 5 Δίνονται οι συναρτήσεις: f (x) = x + 6x -7 και g (x) =- x -x -8 i) Να βρείτε τα σημεία τομής των Cf και Cg ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g iii) Να λύσετε την ανίσωση x 9 f ( x) g( x) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f( x) διέρχεται από το σημείο M(, 3) x x a i) Να βρείτε τον αριθμό α, ii) Αν α=-,να βρείτε α) το πεδίο ορισμού της f, β) τα σημεία τομής Α,Β της Cf με τον άξονα χ'χ,και το σημείο τομής Γ της Cf με τον άξονα y'y, γ)την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α και Γ(Α το σημείο με θετική τετμημένη) δ) την εξίσωση της ευθείας ζ που είναι παράλληλη στην ε και διέρχεται από το σημείο Ν(, -6), ε) το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία ζ με τους άξονες ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ 7 Έστω Ω το σύνολο που έχει ως στοιχεία τους αριθμούς που είναι οι ενδείξεις ενός ζαριού και λ Ω Αν η εξίσωση x -x + λ- = 0 δεν έχει καμία πραγματική ρίζα, να βρείτε το σύνολο που έχει στοιχεία τις τιμές του λ 8 Έστω Ω το σύνολο που έχει ως στοιχεία τους αριθμούς που είναι οι ενδείξεις ενός ζαριού και λ Ω Αν η εξίσωση x -3x + λ- = 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες και Α το σύνολο που έχει ως στοιχεία τις τιμές του λ: 0

21 i) Να βρείτε το Α ii) Αν Γ = A{β} και Δ = {,4,3,α} να βρείτε τα α και β, ώστε τα σύνολα Γ και Δ να είναι ίσα 9 Έστω Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω,ώστε να ισχύουν : Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α,Β είναι Οι πιθανότητες Ρ(Β),Ρ(ΑΒ) δεν είναι ίσες και ανήκουν στο σύνολο :,, 4,όπου i) Να βρείτε το κ ii) Να βρείτε τα Ρ(Β), Ρ(ΑΒ) και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας iii) Να βρείτε τις πιθανότητες: α) να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α β) να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α 0 Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω και P A, Αν P A 4 3 P A 9 0, το 5 P AB, τότε: P A i) Να βρείτε το ii) Να βρείτε το PB P B είναι ρίζα της εξίσωσης P B οι πιθανότητές τους, αντίστοιχα iii) Να βρείτε τη πιθανότητα να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα Α και Β x P A x 9P A 0 iv) Να λύσετε την ανίσωση Δίνεται η ευθεία (ε) : y 3 P( A) x σημείο της Β(,3) i) Να βρείτε το P A, όπου 4x 9x 0 και P A η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α και το 5 4 είναι η πιθανότητα ενός ενδεχομένου B) και τα ενδεχόμενα Α,Β είναι ασυμβίβαστα να βρείτε τη πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α,Β P B και PB A, να βρείτε τη πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα 3 τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α,Β ii) Αν PB η τετμημένη του σημείου τομής της (ε) με την ευθεία (δ) : y 6PB x ( P B iii) αν Έστω Ρ(Α) και Ρ(Β) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω Για τον αριθμό Ρ(Α) ισχύει: 3 P( A) P( A ) 3, ενώ ο αριθμός Ρ(Β) είναι ρίζα της εξίσωσης: 6x -x-=0 i) Να βρείτε τους αριθμούς Ρ(Α) και Ρ(Β) ii) Αν Ρ(Α)= 3 και Ρ(Β)= και η πιθανότητα να συμβούν ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Α και Β

22 είναι, να υπολογίσετε: 6 α) την πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β β) την πιθανότητα να συμβεί το πολύ ένα από τα Α και Β 3 Δίνεται η παράσταση Α= 3 i) Να την παραγοντοποιήσετε ii) Αν λ> να δείξετε ότι Α>0 iii) Αν Α=0 να λυθεί η ανίσωση x- <λ 4 Δίνονται οι παραστάσεις A d x, 4 ( 3) ( 3) i) Να αποδείξετε ότι B ii) Να αποδείξετε ότι 8 3 iii) Να λύσετε την εξίσωση A B iv) Να λύσετε την ανίσωση Α Γ 5 Δίνεται ο αριθμός: a ( )( ) i) Να βρείτε τον αριθμό α 3 3, x, B και ii) Να λύσετε την εξίσωση: x a ax 8 a x ax a 3 6 Δίνεται ο αριθμός: a 3 3 i) Να βρείτε τον αριθμό α ii) Αν α=5 4 α)να λύσετε την εξίσωση ( x 3) a( x 3) β) Να λύσετε την ανίσωση x x a 7 Δίνεται η επόμενη εξίσωση:λ (x - ) = (x - λ) () i) Αν η εξίσωση () είναι ταυτότητα, να λύσετε την εξίσωση x - (λ + ) x + λ = 0 ii) Αν η εξίσωση () είναι αδύνατη, να λύσετε την ανίσωση x(x - λ) + λ(x + 4) 0 iii) Αν η εξίσωση () έχει μοναδική λύση x0, να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει x0 8 Δίνεται η εξίσωση ( x) ( )( ) ( x ) () Αν η εξίσωση () είναι ταυτότητα,τότε : i) να βρείτε την τιμή του λ, ii) να λύσετε την εξίσωση: x x x x 4x 9 Δίνεται η παράσταση : x i) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α ii) Να απλοποιήσετε την παράσταση Α iii) Να λύσετε τις εξισώσεις: α) A= β) A=-

23 30 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x + 3x - 0 i) Να λύσετε την ανίσωση : f(x)< 0 ii) Αν οι τιμές του x που βρήκατε στο ερώτημα (i) ανήκουν στο διάστημα ( 5,) υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: μ = x x x iii) Αν μ = 4,να βρείτε την τιμή της παράστασης: 3 3, να 3 Δίνεται η εξίσωση ( ) x, Αν η εξίσωση είναι αόριστη τότε: i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) x 4 είναι αδύνατη x ii) Να αποδείξετε ότι για κάθε x x iii) Να λυθεί η ανίσωση x 3 3 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x x i) να αποδείξετε ότι f(x)>0 για κάθε πραγματικό x ii) να λυθεί η εξίσωση f ( x) f ( x) 3 x iii) να βρεθεί το πεδίο ορισμού της 33 Δίνεται η συνάρτηση i) Να αποδείξετε ότι η παράσταση gx ( ) f( x) x 4 f ( x) x 5x 8 και η παράσταση A 3 5 A ii) Να βρεθούν τα σημεία τομής της f() x με τους άξονες iii) Να βρεθούν τα σημεία τομής της f() x με την ευθεία y A,όπου Α η παράσταση που έχει δοθεί x 9x 34 Δίνεται η συνάρτηση: f ( x) x 3x i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να απλοποιήσετε τον τύπο της f (0) ii) Nα μετατρέψετε το κλάσμα σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή f(6) f(5) iii)να λύσετε την ανίσωση: 0 ( f ()) x 3 f (30) x Έστω οι εξισώσεις x 0 () και x - λx + λ- =0 () Η θετική ρίζα της εξίσωσης () είναι ρίζα και της εξίσωσης () i) Να βρείτε τον αριθμό λ 4 ii) Για να λύσετε την εξίσωση () iii) Αν ρ η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης () που βρήκατε, να γράψετε το κλάσμα μετατρέψετε σε αντίστοιχο με ρητό παρονομαστή και να το 3

24 36 Δίνονται οι παραστάσεις A x και B x 3 A 4 5 A i) Να λύσετε τη εξίσωση 3 3 ii) Να λύσετε την εξίσωση A B iii) Αν x 3, τότε: α) να μετατρέψετε τη παράσταση σε ισοδύναμη με ρητό παρονομαστή B A β) Να αποδείξετε ότι 3 3 A A A 37 Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν) για την οποία ισχύει α6 = 5α4 και το άθροισμα των πρώτων 30 όρων της ισούται με 0 i) Να βρείτε τον πρώτο όρο α και τη διαφορά ω της (αν) ii) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f (x) = x + βx + γ διέρχεται από τα σημεία Α(α4, α3) και Β(α3, α8) α) Να βρείτε τους αριθμούς β και γ β) Να λύσετε την ανίσωση f(x) S6 38 Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν) για την οποία ισχύει ότι:α5 + α6 + + α = 00 (και επιπλέον ο αριθμητικός μέσος των α και α5 είναι 5) i) Να αποδείξετε ότι α =-0 και ω = 3 x 3x a x S ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση: f( x) 4 3 x ( a0) α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να απλοποιήσετε τον τύπο της β) Να λύσετε την ανίσωση f (x) 0 39 Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν), ισχύει: α3 + α4 + α = 0 και ο όρος α3 είναι τριπλάσιος από τον όρο α8 i) Να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου ii) Να βρείτε τον όρο αν για τον οποίο ισχύει αν = ν iii) Να λύσετε την ανίσωση: x a x S Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν), της οποίας οι όροι α4 και α6 είναι αντίθετοι, i) Να βρείτε τον όρο α, a 0 ii) Να υπολογίσετε τον λόγο για κάθε ν 6 και ν 0 iii) Αν επιπλέον ο αριθμητικός μέσος των α3 και α8 ισούται με, τότε: α) να αποδείξετε ότι α = - 8 και ω =, β) να υπολογίσετε το άθροισμα των όρων αν για τους οποίους η εξίσωση x + αν x + 5ν = 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες 4 Δίνεται γεωμετρική πρόοδος (αν) για την οποία ισχύει: i) Να βρείτε τον λόγο λ της (αν) ii) Αν επιπλέον οι αριθμοί: α +, α + 5, α3-35 με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε: α) να βρείτε τον α, 4

25 β) να λύσετε την ανίσωση: x 3 a a a x 4 a S Δίνεται γεωμετρική πρόοδος (αν), με α7 = 4 και α0 = 3 Θεωρούμε επίσης τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω i) Να βρείτε τον πρώτο όρο και τον λόγο της (αν) ii) Οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Α Β) και Ρ(ΑΒ) είναι διαφορετικές ανά δύο και ανήκουν στο σύνολο: Σ = {α, α4, α6, S4} Να βρείτε τις πιθανότητες: i) Ρ(Α), Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β) ii) Ρ(Β) iii) Ρ((Α-Β) (Β- Α)) 43 Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Ισχύουν τα εξής: P(A)+P(B)= 5 6 Οι αριθμοί Ρ(Β),Ρ(Α),Ρ(ΑΒ) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου Οι αριθμοί Ρ(Β-Α),Ρ(Α),Ρ(ΑΒ) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου i) Να αποδείξετε ότι : ( ) και ( ) 3 ii) Να βρείτε τις πιθανότητες : α)να πραγματοποιηθεί το Α και να μην πραγματοποιηθεί το Β β)να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α,Β iii) Δίνεται γεωμετρική πρόοδος (αν) για την οποία ισχύει ότι α=ρ(αβ) και α5=ρ((α-β) (Β-Α)) Να βρείτε το άθροισμα των 8 όρων της (αν) 44 Δίνεται μια γεωμετρική πρόοδος (αν), με α > 0 και λόγο λ i) Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του λ για τις οποίες η παράσταση: Α = α3-4α - 5α είναι αρνητικός αριθμός ii) Αν ο λ είναι ο αριθμητικός μέσος των αριθμών λ-,λ+ και το άθροισμα των 6 πρώτων όρων της (αν) είναι 89, τότε: α) να βρείτε τον α και τον λόγο λ S0 β) να λύσετε την ανίσωση: x 5 x a S 45 Δίνεται η συνάρτηση: f (x) = x + λx- 7, με λ R Οι αριθμοί f (), f(6), f(8), με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου i) Να βρείτε την τιμή του λ R ii) Αν λ=- α) και x,x είναι οι ρίζες της εξίσωσης f (x)=0, να βρείτε την τιμή της παράστασης: 3 3 x x x x β) Να λύσετε την ανίσωση: f(x) + f(x-) -3 γ) Θεωρούμε γεωμετρική πρόοδο (αν) Αν η γραφική παράστασης της f διέρχεται από το σημείο Α(,α5), να βρείτε το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της (αν) 5

26 a a3 46 Δίνεται γεωμετρική πρόοδος (αν) για την οποία ισχύει: a a4 i) Να βρείτε τον λόγο λ της (αν) ` ii) Αν και το γινόμενο των τριών πρώτων όρων της (αν) είναι 8, τότε: α) να βρείτε τον α, β) να λύσετε την ανίσωση: x a x a x a x 0a a x Θεωρούμε το τριώνυμο f ( x) x 4ax 6, R i) Να βρείτε για ποιες τιμές του α R η εξίσωση f(x)=0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες ii) Αν x, x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, να αποδείξετε ότι f x x x x iii) Αν οι ρίζες x, x του παραπάνω τριωνύμου είναι ο τέταρτος και ο πέμπτος όρος αντίστοιχα μιας γεωμετρικής προόδου, να υπολογίσετε τον αριθμό: A aa7 όπου, 7είναι επίσης όροι της ίδιας γεωμετρικής προόδου 3x 9 48 Δίνεται η συνάρτηση: f(x)= x 4x3 i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της, να απλοποιήσετε τον τύπο της και να αποδείξετε ότι: 3 f(x)= x ii) Να λύσετε την ανίσωση: 0 f ( x) f ( x) iii) Να δείξετε ότι: α) f()=3 β) 3 f () f () f () iv) Να μετατρέψετε σε ισοδύναμη με ρητό παρονομαστή την παράσταση: f () f() f() 49 Δίνεται η συνάρτηση: f(x) = x -4x- και έστω A, Β τα σημεία της Cf με τετμημένες - 4 και αντίστοιχα Θεωρούμε και την ευθεία ε που διέρχεται από τα σημεία Α και Β i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε ii) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε διέρχεται από τα σημεία Γ(4, f(4)) και Δ(7, f(7)) της Cf iii) Να λύσετε την ανίσωση : f(x) < 0 iv) Να λύσετε την εξίσωση: f(x)= -x+6 50 Δίνονται οι συναρτήσεις :f (x) = 3 -x και g(x) = x i) Να λύσετε την εξίσωση f ( x) 4 x 7 ii) Να λύσετε την ανίσωση f ( x- ) > f (7) iii) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των f και g 5 Δίνεται η συνάρτηση :f (x) = x -(λ + 3)x + λ-, με λr i) Να αποδείξετε ότι η Cf τέμνει τον άξονα χ'χ σε δύο σημεία για κάθε λ R ii) Έστω x και x οι λύσεις της εξίσωσης f (x) =0 α)να βρείτε τις τιμές του ακεραίου αριθμού για τις οποίες η παράσταση αρνητικός αριθμός, x x x x είναι 6

27 β) Για την μικρότερη τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα (α): να λύσετε την ανίσωση x+<f (x) 6 5 Θεωρούμε τη συνάρτηση :f (x) = x -x+ γ, με γ R, καθώς και την ευθεία ε που διέρχεται από τα σημεία Α(-, - ), Β(4, ) και από τo σημείο Α(,f()) i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε ii) Να αποδείξετε ότι γ = 6 iii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από την ευθεία ε iv) Να λύσετε την εξίσωση f (x) = 5 x - x 53 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x x, i) Να βρείτε το λ αν το είναι ρίζα της εξίσωσης f x 0 ii)για την θετική τιμή του λ του α) ερωτήματος να βρείτε τα σημεία τομής της iii) Να λυθεί η εξίσωση f x 0 iv) Να βρεθεί το λ,ώστε η εξίσωση f x 0 να έχει μία διπλή ρίζα 54 Δίνεται η συνάρτηση f x x 4x οποία η εξίσωση f x 0 έχει: i) ρίζα το ii) δύο ρίζες πραγματικές και άνισες iii) ρίζες ετερόσημες iv) Αν 3, τότε C f με τους άξονες Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την α) να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ β) να λύσετε την εξίσωση f x 4x 4 x 55 Δίνεται η συνάρτηση :f (x) = x + (μ - λ)x + 5λ - μ με λ, μ R, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(,-) και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο με τεταγμένη - 3 i) Να βρείτε τις τιμές των λ και μ ii) Για λ=,μ=- α) να λύσετε την ανίσωση f(x) - β) να λύσετε την ανίσωση f (x + ) + f (x) x 6 x 56 Δίνεται η συνάρτηση: f( x) 6 x i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να απλοποιήσετε τον τύπο της ii) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(x) και: g(x) = x 3x Έστω η συνάρτηση f x x k x k i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού k ii) Να βρείτε την τιμή του k, αν είναι γνωστό ότι για τις ρίζες x, x της εξίσωσης f x 0 7

28 ισχύει ότι: x x 5 iii) Αν k, τότε: α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x x β) Να λύσετε την ανίσωση f x 0 γ) Να λύσετε την ανίσωση x f ( x) 6 x3, x4 58 Δίνεται η συνάρτηση: f( x) x 3, a x 4 Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(-4,) και Β(-,4) i) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ ii) Για λ=,μ=- α) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f β) Να λύσετε την ανίσωση: x + f (0) x < f (3) - f (f (-7)) 59 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =x 7 7 +αx+α-, όπου: a 3 3 i) Να αποδείξετε ότι α = 6 ii) Να λύσετε την ανίσωση f(x) f(-) iii) Έστω Κ το σημείο της Cf με τεταγμένη -4 και Λ το σημείο της με τετμημένη -6 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Κ και Λ 60 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x + βx + γ, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Λ(, 0) και Μ(4, 3) i) Να αποδείξετε ότι β = - 4 και γ = 3 ii) Να βρείτε τα συμμετρικά των σημείων Λ και Μ ως προς τους άξονες χ χ και y y x iii) Θεωρούμε τη συνάρτηση gx ( ) f( x) α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g(x) και να απλοποιήσετε τον τύπο της β) Να λύσετε την εξίσωση: f(x) g( ) 6 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x 3( ) x 4, i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( x) 0 έχει δύο άνισες ρίζες x, x για κάθε ii) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες οι ρίζες x, x είναι θετικές iii) Αν, τότε: α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ γ) Να βρείτε την εξίσωση δευτέρου βαθμού που έχει ρίζες τα x και x 6 Η εξίσωση: x + (μ - 3)x - μ + = 0 έχει μοναδική ρίζα i) Να βρείτε την τιμή του μ R και τη ρίζα της εξίσωσης () ii) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f (x) = x + βx + γ τέμνει τον άξονα χ'χ στο σημείο με τετμημένη - μ α) Να βρείτε τους αριθμούς β και γ β) Να λύσετε την ανίσωση f (x) μ 8

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1.Δίνεται η εξίσωση f x x 4x. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1.Δίνεται η εξίσωση f x x 4x. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται η εξίσωση fx x 4x Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εξίσωση f x 0 έχει: α) ρίζα το β) δύο ρίζες πραγματικές και άνισες γ) ρίζες ετερόσημες δ) Αν 3,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1, 2, Β 3, 2,λ. 7, να 2 βρείτε την τιμή του k. x x y y Α)Να βρείτε τις τιμές των x,y για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. Β)Να αποδείξετε ότι Α=-1

1, 2, Β 3, 2,λ. 7, να 2 βρείτε την τιμή του k. x x y y Α)Να βρείτε τις τιμές των x,y για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. Β)Να αποδείξετε ότι Α=-1 ,, Β,,λ. Δίνονται τα σημεία Β.Αν τα Α,Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y y να βρείτε το λ. Β. Βρείτε τις τιμές του λ, ώστε το σημείο Β να βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο του ορθοκανονικού συστήματος.

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Μεθοδική Επανάληψη www.askisopolis.gr Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Ε. Σύνολα i. Τι είναι το σύνολο; ii. Ποιοι είναι οι βασικοί τρόποι παράστασης συνόλων και τι γνωρίζετε γι αυτούς; iii. Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10 ΓΕ.Λ. ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΖΗΤΗΜΑ A ΑΊ. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΛΙΒΑΔΕΙΑ 4 ΜΑΪΟΥ 05 ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 013-014 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9)

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9) α) Να λύσετε την ανίσωση: 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2 β) Να λύσετε την ανίσωση: x+ 5 3. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με χρήση του άξονα των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Θέμα Α. Αν x, x οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx +βx+γ=, α να αποδείξετε ότι S P. (6 μονάδες) Β. Ελέγξατε αν κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ Ε. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής i) Αν Α= {0,5,8,3,89}, τότε το Α. ii) Αν Α = {, {,5}, 8, 0}, τότε το Α. iii) Τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0.

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x +0x=. x + 0x β) Να λύσετε την εξίσωση x. ίνεται η εξίσωση: x λx+(λ +λ )=0 (), λ R. α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Αν έχω τριώνυμο της μορφής :,. Υπολογίζω την Διακρίνουσα 4 Αν Δ> τότε η εξίσωση έχει άνισες ρίζες έστω Ομόσημο του α Ετερόσημο του α, τότε: Ομόσημο του α Αν Δ= τότε η εξίσωση έχει διπλή

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 868 936 064 073 080

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άσκηση 1102 Δίνονται δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανότητες α) Να υπολογίσετε την (Μονάδες 9) β) i) Να υπολογίσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Να λύσετε τα συστήματα: 4 1 17 x y α) 19 x y δ) 1 4 17 5 5 x y β) 15 1 1 y x 1 1 0 x y ε) 1 1 8 x y στ) γ) 5 5 a 1 7 1 1 5 x y 1 7 x y. Να λυθούν τα συστήματα:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΏΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ της Α Λυκείου δίνοντας τους τις εκφωνήσεις μαζί με τις λύσεις (ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα ΘΕΜΑ ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

1η έκδοση Αύγουστος2014

1η έκδοση Αύγουστος2014 mat hemat i c a. gr η έκδοση Αύγουστος04 Μία παρέα διαδικτυακών μαθηματικών φίλων, μελών του http://www.mathematica.gr, μοιράστηκε την ευθύνη, να παρουσιάσει στην κοινότητα τις λύσεις των Μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

-1- ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

-1- ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ . GI_A_ALG 474 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Θεωρούμε την ακολουθία α των θετικών περιττών αριθμών:,3,5,7,... ν --. Να αιτιολογήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4. . Αν για την τετμημένη x του σημείου M ισχύει:, τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την. , με παράμετρο α 0.

ΘΕΜΑ 4. . Αν για την τετμημένη x του σημείου M ισχύει:, τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την. , με παράμετρο α 0. ΘΕΜΑ 4 ΘΕΜΑ Δίνονται η συνάρτηση f x x x, x α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν τέμνει τον άξονα xx. β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της ευθεία ψ x 3. (Μονάδες 0) γ) Έστω

Διαβάστε περισσότερα

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ [ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 5% συμμετέχει στη ομάδα, το 30% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα ποδοσφαίρου και το 15%

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω η εξίσωση (k 5k+ 4) x (k 1)x + 1= 0 Να βρείτε την τιµή του k ώστε η εξίσωση να έχει µία µόνο ρίζα την οποία ρίζα να προσδιορίσετε i Να βρείτε την τιµή του k ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κεφάλαιο Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα

Πιθανότητες. Κεφάλαιο Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Κεφάλαιο Πιθανότητες. Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι Ω = {x N /x 0}. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα A = {x Ω/x πρώτος αριθμός} και B = {x Ω/x άρτιος αριθμός}. Να

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς

Διαβάστε περισσότερα

AΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

AΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ http://1lyk-ag-dimitr.att.sch.gr/ AΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΤΑΞΗ: 1. Έστω ότι α < β και γ < δ. Να αποδείξετε ότι: αγ αδ βγ + βδ > 0 2. Αν α -1, δείξτε ότι α 3 + 1 α 2 + α 3. Αν x>1 δείξτε ότι: 2x 3

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Πεδίο ορισμού. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ( ) 5 6 ii) f ( ) 7 iii) iv) f( ) 4 f( ) 8 v) f ( ) 6 vi) f ( ) 0 5. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα

Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα Ιούνιος 04 . Έννοια της πιθανότητας GI_A_ALG 497 Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται µε ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι

Διαβάστε περισσότερα

6. α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 =3. β) Αν α, β με α< β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση αx 2 +βx+3=0.

6. α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 =3. β) Αν α, β με α< β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση αx 2 +βx+3=0. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Δίνεται η εξίσωση λx=x+λ, με λr. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα (λ )x=(λ )(λ+), λr. β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 1. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 2x 1 5

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 1. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 2x 1 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) ii) iii) iv) 4 9 v) 7 4 vi). Να λυθούν οι ανισώσεις: i) ( ) 4 ii) ( ) ( ) iii) 4( ) ( ) ( ) iv) ( ) ( ) 7( ) v) 4 9 ( ). Να λυθούν οι παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: 1 Παρατηρήσεις Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: Απόλυτες τιμές:.504(δεν χρειάζεται το α

Διαβάστε περισσότερα

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Έχουµε Α Βδεν είναι το κενό. Ρ( Α Β)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις θεμάτων Άλγεβρας Τράπεζας θεμάτων ανά ενότητα. 2ο θέμα

Εκφωνήσεις θεμάτων Άλγεβρας Τράπεζας θεμάτων ανά ενότητα. 2ο θέμα .497 Πιιθαννότητεεςς ο θέμα Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες: η Ειρήνη (Ε)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ : y = α.x ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Δίνεται η ευθεία y = 3x. α) Να υπολογίσετε την κλίση της ευθείας. β) Να κάνετε την γραφική της παράσταση. 2. Μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 6.3 Ασκήσεις: όλες Άσκηση 1 Δίνεται η συνάρτηση f, με x 5x+ 6 f ( x) =. x 3 α) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Άλγεβρα Α Λυκείου, Κεφάλαιο ο ΘΕΩΡΙΑ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). i)

1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). i) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ), 0 i Αν αβ 0 τότε Αν β 0 τότε Αν α 0 τότε v Αν α 0 τότε v Αν α 0 τότε

Διαβάστε περισσότερα