Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 B G

11

12

13 [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20 f q p; p = q = 1; 2; 3; 4; sx)

14 t = 1; N j" N j ku N k; Nt = 1; t: Nt = 1; p Nt = 1; p Nt = 1; p ku N k; Nt = 1; t: Nt = 1; p

15 a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 0 2 R: y : [a; b]! R; y 0 t) = f t; yt) ; a t b; ya) = y 0 :

16 f t; y) 2 [a; b] R: f 2 C [a; b] R): y 2 C 1 [a; b]; ya) = y 0 ; f y ỹ ỹ 0 y 0 ; jy 0 ỹ 0 j ky ỹk [a; b]; f y; y 0 t) = pt)yt) + qt); a t b; ya) = y 0 : p; q 2 C [a; b]; Z yt) = R t t a hy ps) ds 0 + qs) R i s a p) d ds ; a t b; a Z yt) = R t t a ps) ds y 0 + qs) R t s p) d ds; a t b: a

17 p = 0; y 0 s) ps)ys) = qs) R s 0 a p) d ys) = R s a p) d qs): a t; f y 0 = y 2 ; 0 t 2; y0) = 1: yt) y 0 t) 2 = 1 d 1 yt) dt yt) = 1: 0 t; 1 yt) + 1 y0) = t yt) = 1 1 t : 0 t < 1 yt) = 1 1 t ; yt)! 1 t! 1 : [0; 2]: y 0 = p jyj; 0 t 1; y0) = 0;

18 y y 1 y = 1 [0; 1): 1t 1 t yt) := 0; 0 t 1; yt) := y 0 ; 0 t 1 2 ; t 1 2 )2 ; < t 1: t? y 1 t

19 Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων για Σ.Δ.Ε. f : [a; b] R! R y; t; 9L 0 8t 2 [a; b] 8y 1 ; y 2 2 R ˇˇf t; y1 )f t; y 2 )ˇˇ Ljy1 y 2 j: y 0 2 R; T : C [a; b]! C [a; b]; T xt) := T x)t) := y 0 + Z t a f s; xs) ds; a t b: y [a; t] y y = Ty: y 2 C [a; b] ya) = y 0 : f [a; b] R; y [a; b]: y 0 t) = f t; yt) ; t 2 [a; b]; y y 2 C [a; b]; T C [a; b] k k; kxk := jxt)j 2Lt : atb kk C [a; b]: C [a; b]; kk 1 ) C [a; b]; kk) T C [a; b]; kk); T

20 x; z 2 C [a; b] t 2 [a; b]; jt xt) T zt)j = ˇˇ Z t f s; xs) f s; zs) dsˇˇ Z t a a ˇ ˇf s; xs) f s; zs) ˇˇ ds L Z t a jxs) zs)j ds; jt xt) T zt)j L Z t a Lkx zk jxs) zs)j 2Ls 2Ls ds Z t a 2Ls ds 1 2 kx zk2lt ; kt x T zk 1 kx zk 8x; z 2 C [a; b] 2 Lb a) 1/2 k k Lb a) k k: T ı T ı ı T n n f t; y) := y 2 p; q 2 C [a; b] f t; y) := pt)y + qt) f t; y) := pt) y f 9M 2 R 8t 2 [a; b] 8y 2 R ˇˇfy t; y)ˇˇ M; f L := M

21 f f y) := p jyj; y 1 ; y 2 : [a; b]: [a; b] [a; b 0 ]; b 0 : Τοπική ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων για Σ.Δ.Ε. c > 0 f 2 C [a; b] [y 0 c; y 0 + c] : f [a; b] [y 0 c; y 0 + c] y; t; 9L 0 8t 2 [a; b] 8y 1 ; y 2 2 [y 0 c; y 0 + c] ˇ ˇf t; y1 ) f t; y 2 )ˇˇ Ljy1 y 2 j; [a; b 0 ]; A := atb y 0 cyy 0 +c ˇ ˇf t; y)ˇˇ b 0 := b; a + c A : f 2 C [a; b] [y 0 c; y 0 + c] ; [y 0 c; y 0 + c]; f; f 2 C [a; b] R ; [a; c]; c > a: f y) := p jyj y

22 f f y 0 ; z 0 2 R; y 0 = f t; y); a t b; ya) = y 0 ; z 0 = f t; z); a t b; za) = z 0 : = f y; z 2 C 1 [a; b]; "t) := yt) zt); t 2 [a; b]; " 0 t) = f t; y) f t; z): ˇ ˇ"t)ˇˇ 2; "t) "t) "t)" 0 t) = f t; y) f t; z) "t); t 2 [a; b] "t)" 0 t) = 1 d 2 dt "2 t) ˇˇf t; y) f t; z)ˇˇ ˇˇ"t)ˇˇ L" 2 t): " 2 t) =: 't) ' 0 2L' 0; t 2 [a; b]: 2Lt ; 2Lt ' 0 t) 2L 2Lt 't) = d dt 2Lt 't) 0; t 2 [a; b]:

23 2Lt 't) [a; b]: 2Lt 't) 2La 'a); a t b; ˇ ˇ"t)ˇˇ Lta)ˇˇ"a)ˇˇ; a t b; atb ˇ ˇyt) zt)ˇˇ Lba) jy 0 z 0 j: y k k 1 ; ˇ kyk 1 := ˇyt)ˇˇ; y 0 2 R: atb L: = f 8t 2 [a; b] 8y 1 ; y 2 2 R f t; y 1 ) f t; y 2 ) y 1 y 2 ) 0: f " 0 t) = f t; y) f t; z) "t) "t)" 0 t) = f t; y) f t; z) "t);

24 t 2 [a; b] "t)" 0 t) = 1 d 2 dt "2 t) 0: " 2 t: j"j; ˇ ˇyt) zt)ˇˇ jy0 z 0 j: atb f f [a; b]r: [a; b 0 ); f [a; b]; y; [a; b]: y 0 t) = f t; yt) f t; 0) + f t; 0); y 0 t)yt) = f t; yt) f t; 0) yt) + f t; 0)yt): yt) 2; 2xz x 2 + z 2 yt) 2 0 f t; 0) 2 + yt) 2; t yt) 2 0 t f t; 0) 2 : [a; t]; t yt) 2 a ya) Z t 2 s f s; 0) 2 ds; a

25 yt) 2 bh y 0 ) 2 a + Z b a s f s; 0) 2 ds i; a t b: y [a; b]: [a; b]; f [a; s) [a; s] s 1 1; t!s yt) = 1 t!s yt) = 1: y [a; b]; y f y; f t; y) = t)y + t); t) y 0 = t)y; a t b; ya) = y 0 : ˇ ˇyt)ˇˇ jy0 j; atb t)

26 y y 0 = 1; y 0 y: t) t: y 0 = y; t 0; y0) = 1; yt) = t ; ; y m 2 N; f : [a; b] R m! R m ; y 0 2 R m : y : [a; b]! R m y 0 t) = f t; yt) ; a t b; ya) = y 0 : kk R m : Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων για συστήματα Σ.Δ.Ε. f : [a; b]r m! R m y; t; k k R m ; 9L0 8t 2[a; b] 8y 1 ; y 2 2R m f t; y1 )f t; y 2 ) Lky1 y 2 k:

27 y 0 2 R m ; k k = k k 1 ; f t; y) 2 [a; b] R m ; M := 1im t;y)2[a;b]r m mx ˇ j =1 j t; y)ˇˇ < 1; f L = M: y 0 t) = At)yt) + gt); a t b; ya) = y 0 ; t 2 [a; b]; gt) 2 R m At) 2 R m;m : g A t; t 2 [a; b]: y m) t) = f t; yt); y 0 t); : : : ; y m1) t) ; a t b; y i) a) = y i ; i = 0; : : : ; m 1: zt) := yt); y 0 t); : : : ; y m1) t) T ; z0 := y 0 ; y 1 ; : : : ; y m1 ) T ; 0 1 z 2 t) z 3 t) z 0 t) = : ; a t b; B z m t) f t; z 1 t); : : : ; z m t) A za) = z 0 :

28 f R m : f f : [a; b] R m! R m 8t 2 [a; b] 8x; x 2 R m f t; x) f t; x); x x 0; ; ) R m : f f t; y) = At)y+gt) At); t 2 [a; b]; 8t 2 [a; b] 8x 2 R m At)x; x 0; t) y 0 = y = + ˇ; ; ˇ 2 R; 0 y1 ˇ y1 = y 2 ˇ y 2

29 y 1 y 2 y; A; ˇ A := ; ˇ Ax; x) = kxk 2 8x 2 R 2 : p : [a; b]! R y 0 t) = pt)yt); t 2 [a; b]; R t yt) = C a ps) ds C: y u; ut) = R t a ps) ds yt); t 2 [a; b]; u 0 = 0; u Η μέθοδος της μεταβολής των σταθερών p; q : [a; b]! R y 0 t) = pt)yt) + qt); t 2 [a; b]; yt) = R t a ps) dsh C 0 + Z t a qs) R i s a p) d ds ; a t b;

30 C 0 ; yt) = C t)r t a ps) ds ; C C C y 0 = p jyj; 0 t 2; y0) = 1: c L: y [0; b 0 ]: f y [1 c; 1 + c]; b 0 c: y0 = p j1 y 2 j; t 0; y0) = 1: yt) = 1 yt) = t [0; b]; b > 0: [b; 0] yt) = t

31 t? 2 0; 1): c y : [0; 1]! R; 0; 0 t t? ; yt) := ct t? ) 2 ; t? < t 1; t? = 1/2? R m? f : [a; b] R m! R m k k R m : y z y 0 = f t; y); t 2 [a; b]; ya) = y 0 ; z 0 = f t; z); t 2 [a; b]; za) = z 0 ; t 2 [a; b]; kyt) zt)k Lta) ky 0 z 0 k: ; ) R m : x : [a; b]! R m d dt kxt)k2 = d x1 t) xm t) 2 = 2 x1 t)x1 0 dt t) + + x mt)xm 0 t) = 2 x 0 t); xt) :? f : [a; b] R! R 8t 2 [a; b] 8y 1 ; y 2 2 R f t; y 1 ) f t; y 2 ) y 1 y 2 ) y 1 y 2 ) 2 ; : = 0 t 2 [a; b]; jyt) zt)j ta) jy 0 z 0 j:

32 ? f : [a; b] R m! R m 8t 2 [a; b] 8y 1 ; y 2 2 R m f t; y 1 ) f t; y 2 ); y 1 y 2 0: y z y 0 = f t; y); t 2 [a; b]; ya) = y 0 ; z 0 = f t; z); t 2 [a; b]; za) = z 0 ; t 2 [a; b]; kyt) zt)k ky 0 z 0 k: ; ) kk R m :? y 0 = f t; y); t 2 [a; b]; ya) = y 0 ; f ut) := ta) yt) u 0 = F t; u); t 2 [a; b]; ua) = y 0 ; F t; v) := ta) f t; ta) v v F 8t 2 [a; b] 8y 1 ; y 2 2 R F t; y 1 ) F t; y 2 ) y 1 y 2 ) 0:

33 ? Η ανισότητα του Gronwall σε ολοκληρωτική μορφή. ' [0; T ]; ; ˇ 2 R ˇ 0: Z t 't) + ˇ 's) ds 8t 2 [0; T ]; 0 't) ˇ t 8t 2 [0; T ]: " ; t) := + ")ˇ t ; t 2 [0; T ]; Z t t) = + " + ˇ 0 s) ds 8t 2 [0; T ]: '0) < 0): t 0 [0; T ] 't 0 ) = t 0 ): 't 0 ) < t 0 ):? Γενίκευση της Άσκησης 1.12 Z t 't) + hs)'s) ds 8t 2 [0; T ]; 0 h [0; T ]; 't) R t 0 hs) ds 8t 2 [0; T ]: " ; t) := + ") R t 0 hs) ds ; t 2 [0; T ]; Z t t) = + " + hs) s) ds 8t 2 [0; T ]: 0? Η ανισότητα του Gronwall σε διαφορική μορφή ' [0; T ] ' 0 t) ˇ't) 8t 2 [0; T ]: 't) '0)ˇ t 8t 2 [0; T ]:

34 't) '0) + ˇ Z t 0 's) ds 8t 2 [0; T ] ˇs 's) t:? Γενίκευση της Άσκησης 1.14 ' [0; T ] ' 0 t) ht)'t) 8t 2 [0; T ]; h [0; T ]; 't) '0)R t 0 hs) ds 8t 2 [0; T ]:? a 2 R f : [0; 1)! R y y 0 t) = ayt) + f t); t 0; y0) = y 0 yt) = at y 0 + Z t 0 ats) f s) ds; t 0; x 0 t) = axt); t 0; x0) = y 0 ats) f s) t x 0 t) = axt); t s; xs) = f s):

35 ? M 2 R m;m x x; M M := 1X `=0 k k 1 `! M `: 8" > 0 9n 2 N 8k 2 N n+k X 1 `! M ` "; M n+k X `=n 1 `! M ` n+k X `=n `=n 1 km k` `! P 1 `=0 1`! x` x 2 R: y 0 t) = Myt); t 0; y0) = y 0 : y tm 0 = 1 X `=0 yt) = tm y 0 ; t 0: 1 `! t `M `0 X 1 1 = ` 1)! t `1 M ` = M tm : `=1 Et) Et) = tm ; yt) = Et)y 0 : x+y = x y x y; A; B 2 R m;m A+B = A B ; A B AB = BA: Et) E + ) = E)E) 8; 0:

36 x 0 t) = M xt); 0 t ; x0) = y 0 x 0 t) = M xt); t + ; x) = E)y 0 [0; + ] y + ) = x + ): + [0; + ]; [0; ] [; + ]; E)y 0 :? = 1 ; : : : ; m ) M 2 R m;m M = UU 1 = 1 ; : : : ; m ): = 1 ; : : : ; m M = U U 1 ; tm = U t U 1 ; t 2 R:? f : [0; 1)! R m y 0 t) = Myt) + f t); t 0; y0) = y 0 : tm yt) 0 = tm f t) yt) = tm y 0 + Z t 0 ts)m f s) ds; t 0: yt) = tm y 0 ; yt) = tm vt);

37 v; Z t yt) = Et)y 0 + Et s)f s) ds; 0 Et) = tm ; t x 0 t) = M xt); t 0; x0) = y 0 ; Et s)f s) t x 0 t) = M xt); t s; xs) = f s):? M 2 C m;m 1 ; : : : ; m i 0; i = 1; : : : ; m: y 0 t) = Myt); t 0; y0) = y 0 y 0 0: k k C m : m = 1; kyt)k ky 0 k ; jyt)j jy 0 j; t 0: m = 2; M = ) ; 1 = 2 = 0; yt) y0 ) yt) = 1 + y 0 ) 2 t ; t 0; y 0 ) 2

38 y 0 ) 1 y 0 ) 2 0 y 0 ; kyt)k! 1; t! 1; ky 0 k m = 1? 2 R: M = ; 1 = 1 2 = 0: yt) y0 ) yt) = 1 t + y 0 ) 2 1 t ) ; t 0: y 0 ) 2 y 0 ) 1 = 0 k k p p 1) R 2 ; kyt)k p ky 0 k p 1 + jj p 1/p ; t 0: m = 1? 2 C < 0: M M = : :: : :: ; : :: C 1A 0 1 = = m = : yt) = y1 t); : : : ; y m t) T ym t) = y m 0) t ; Z t y i t) = y i 0) t + y i+1 s) ts) ds; i = m 1; : : : ; 1; 0 '; 't) := R t 0 jts) j ds; kyt)k 1 C ky 0 k 1 ; t 0;

39 C:? i 0; i = 1; : : : ; m; i < 0; i kyt)k C ky 0 k; t 0; C k k: m = 1 m > 1; T 2 C m;m T 1 M T = J M: xt) := T 1 yt) x 0 t) = J xt): m = 1: kxt)k 1 zc kx0)k 1 ; t 0; C m? M 2 R m;m i 0; 1 i m: ' : 1; 0]! R 'M ) 2 R m;m ; ) R m ; v i) ; i = 1; : : : ; m; M; M v i) = i v i) ; 1 i m: v 2 R m 'M ) M 'M )v = mx ' i )v; v i) )v i) : i=1 k'm )k 2 = 1im j' i)j; k k 2 R m :

40 yt) = tm y0); t 0; y kyt)k 2 t i i ) ky0)k 2 ; t 0: tm? Τετραγωνική ρίζα πίνακα 'M ) M 2 R m;m M x; x) 0; x 2 R m : i 0; 1 i m: ; ) R m ; v i) ; i = 1; : : : ; m; M; M v i) = i v i) ; 1 i m; 'M ) M 1/2 2 R m;m M M 1/2 v = mx p i v; v i) )v i) 8v 2 R m : i=1 M 1/2 M 1/2 v = mx i v; v i) )v i) 8v 2 R m ; i=1 M 1/2 M 1/2 = M; M 1/2 M:? M 2 R m;m M x; x) 0 x 2 R m : y 0 t) = Myt); t 0; y0) = y 0 : ky)k

41 ? x 0 t) = 2xt) + yt); t 0; y 0 t) = 2xt) 2yt); t 0; x0) = x 0 ; y0) = y 0 : [x)] 2 + [y)] )? M 2 R m;m M T = M; M ij = M j i ; i; j = 1; : : : ; m: y 0 t) = Myt); t 0; y0) = y 0 : ky)k kyt)k = ky0)k; t 0: M T = M; x; y 2 R m M x; y) = x; My): M x; x) = 0 x 2 R m : yt) M x; x) = 0 x 2 R m m m M x+y); x+y) = M x; x)+my; y)+m x; y)+x; My) x; y 2 R m :? M 2 R m;m y 0 t) = Myt); t 0; y0) = y 0 y : [0; 1)! C m ; ky)k kyt)k = ky0)k; t 0: yt) d dt kyt)k2 = d yt); yt) = y 0 t); yt) + yt); y 0 t) = 2 y 0 t); yt) ; dt d y 0 t); yt) = 1 2 dt kyt)k2 : M z; z) 2 R; z 2 C m :

42 ? X; k k T : X! X n T n := T ı T ı ı T n T T n x? : T n T x? ) = T T n x? ) = T x? ; T x? = x? : x T; T n x = T n1 x = = T x = x; x T n : Η προεπισκόπηση των επόμενων σελίδων δεν είναι διαθέσιμη

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία 0 3 10 71 < < 3 1 7 ; (y k ) 0 LU n n M (2; 4; 1; 2) 2 n 2 = 2 2 n 2 n 2 = 2y 2 n n ' y = x [a; b] [a; b] x n = '(x n 1 ) (x n ) x 0 = 0 S p R 2 ; S p := fx 2 R 2 : kxk p = 1g; p = 1; 2; 1 K i

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr - f= f= f t+ 0 ) max

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων

1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων 1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων Εξίσωση πρώτης τάξης µε συνθήκες αρχικών τιµών ΠΡΟΒΛΗΜΑ : Να ευρεθεί συνάρτηση y = y(x) η οποία για x [a, b] ικανοποιεί την εξίσωση y = f(x, y) υπό την αρχική συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

. Σήματα και Συστήματα

. Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/16 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πρώτης Τάξης

Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πρώτης Τάξης KEΦAΛAIO 5 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πρώτης Τάξης Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο 4, η δυναμική μελέτη ενός φυσικού/ χημικού συστήματος οδηγεί συχνά στη διερεύνηση της δυναμικής συμπεριφοράς μιας γραμμικής,

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Χρονική απόκριση συστημάτων, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Χρονική απόκριση συστημάτων, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Χρονική απόκριση συστημάτων, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Χρονική απόκριση συστημάτων αυτομάτου ελέγχου Στα περισσότερα συστήματα αυτομάτου ελέγχου χρησιμοποιείται ως ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Πρόχειρες σηµειώσεις. Αλκης Τερσένοβ. 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Πρόχειρες σηµειώσεις. Αλκης Τερσένοβ. 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2 Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 215 Πρόχειρες σηµειώσεις Αλκης Τερσένοβ Περιεχόµενα 1. ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης... 2 2. Συστήµατα ιαφορικών Εξισώσεων Πρώτης Τάξης... 22 2.1 ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 6. Ορισμός επικαμπύλιου ολοκληρώματος 36 KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα επικαμπύλια ολοκληρώματα αποτελούν επέκταση της έννοιας του απλού ολο κληρώματος στην περίπτωση κατά την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ. κατά τον άξονα Ζ.

ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ. κατά τον άξονα Ζ. ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι κύκλοι κατεργασίας χρησιµοποιούνται για ξεχόνδρισµα - φινίρισµα ενός προφίλ χωρίς να απαιτείται να προγραµµατίζουµε εµείς τα διαδοχικά πάσα της κατεργασίας. Έτσι, στο πρόγραµµα περικλείουµε

Διαβάστε περισσότερα

Spare Parts. Cartridges. Chipbreakers Wrenches / Spanners Springs / Washers / Plugs / Nuts / Punches

Spare Parts. Cartridges. Chipbreakers Wrenches / Spanners Springs / Washers / Plugs / Nuts / Punches 1~20 Screws ins Shims artridges lamps lamp Sets hipbreakers Wrenches / Spanners Springs / Washers / lugs / Nuts / unches 2~6 7 8~11 12 13 14~15 16 17~18 19 1 Screws escription imension (mm) ngle ( ) H

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος

ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo

Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo Ημερομηνία έκδοσης καταλόγου: 6/11/2011 Κωδικός Προϊόντος Είδος Ανταλλακτικού Μάρκα Μοντέλο F000000884 Inverter Lenovo 3000 C200 F000000885 Inverter Lenovo 3000 N100 (0689-

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ HILBERT ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Διπλωματική εργασία του Χασαπλαδάκη Μιλτιάδη Επιβλέπων:

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

Spare Parts P2~P6. Screws. Cartridges Clamp Sets Clamps Chipbreakers Wrenches Wrenches / Springs / Nuts / Punches / Others P13~P14 P15 P17~P18

Spare Parts P2~P6. Screws. Cartridges Clamp Sets Clamps Chipbreakers Wrenches Wrenches / Springs / Nuts / Punches / Others P13~P14 P15 P17~P18 1~18 Screws ins Shims artridges lamp Sets lamps hipbreakers Wrenches Wrenches / Springs / Nuts / unches / Others 2~6 7 8~12 12 13~14 15 16 17~18 18 1 Screws imension (mm) ngle ( ) Torque escription (N

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Κλίση συνάρτησης f Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Αν σε κάθε σημείο Px, y,z ενός τμήματος Δ του χώρου μία τιμή, ορίζεται μια συνάρτηση. f x, y,z : Δ, Δ αντιστοιχίσουμε την οποία ονομάζουμε σημειακή

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Ηλεκτρονικη και 1/65 Πληροφορίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Ηλεκτρονικη και 1/65 Πληροφορίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 /65 Σήματα- συμβολισμοί 5 5 4 4 3 3 2 2 - -4-3 -2-2 3 4 5-2 3 4 5 6 7 8-2 -2-3 -3 x(), x(-),x(), x(),. x(){,-2,-3,-,,, 2, 3, 4, } x(){x()}{,x(-),x(), x(),.} x(){,-2,-3, -,,, 2, 3, 4, } 2/65

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών

Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών Ν. Καδιανάκη Αν. Καθηγητή Ε.Μ.Π. Σημειώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών ΑΘΗΝΑ Απαγορεύεται η ανατύπωση, αναδημοσίευση, αντιγραφή όλου ή μέρους του παρόντος βιβλίου, η αποθήκευση σε ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Συνήθεις ιαϕορικές Εξισώσεις. Σηµειώσεις

Εισαγωγή στις Συνήθεις ιαϕορικές Εξισώσεις. Σηµειώσεις Εισαγωγή στις Συνήθεις ιαϕορικές Εξισώσεις Σηµειώσεις Ε. Στεϕανόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αιγαίου Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές αποτελούν εξέλιξη σηµειώσεων οι οποίες χρησιµοποιήθηκαν σε παραδόσεις

Διαβάστε περισσότερα

SBT/HVAC +30 210 6771453 +30 210 6773837. E-Mail. George.kottaras@siemens.com 8/02/2006. Tx 216291 shea gr.

SBT/HVAC +30 210 6771453 +30 210 6773837. E-Mail. George.kottaras@siemens.com 8/02/2006. Tx 216291 shea gr. Προς: Όλους τους συνεργάτες Όνοµα Τµήµα Τόπος εργασίας Τηλέφωνο Αρ. τηλ. Fax E-Mail Επιστολή σας Ηµεροµηνία ΚΟΤΤΑΡΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ SBT/HVAC Ν. Ψυχικό +30 210 6771453 +30 210 6773837 George.kottaras@siemens.com

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ] συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t)

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα 3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

v r T, 2 T, a r = a r (t) = 4π2 r

v r T, 2 T, a r = a r (t) = 4π2 r Πρώτη και Δεύτερη Διαστημική Ταχύτητα Άλκης Τερσένοβ 1. Πρώτη Διαστημική Ταχύτητα και Γεωστατική Τροχιά Πρώτη Διαστημική Ταχύτητα ονομάζεται η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να αναπτύξει ένα σώμα που

Διαβάστε περισσότερα

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 r 1, r 2 r = r 1 r 2 = r 1 r 2 ê r = rê r F 12 = f(r)ê r F 21 = f(r)ê r f(r) f(r) < 0 f(r) > 0 m 1 r1 = f(r)ê r m 2 r2 = f(r)ê r r = r 1 r 2 r 1 = 1 m 1 f(r)ê r r 2 = 1 m

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Στα προηγούμενα κεφάλαια παρουσιάσαμε την έννοια της συνάρτησης συστήματος για αναλογικά

Διαβάστε περισσότερα

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 12 14 16 3 6 11 1 12 7 1 2 5 4 3 9 10 8 18 20 21 22 23 24 25 26

Διαβάστε περισσότερα

2 3 4 5 6 7 8 9 10 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 12 14 16 9 10 1 8 12 7 3 1 6 2 5 4 3 11 18 20 21 22 23 24 26 28 30

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6 ) Ευθεία Ευθεία διέρχεται από το σηµείο Α µε διάνυσµα θέσης = i j+ 4k το διάνυσµα β = 2i + 3j + k. και είναι παράλληλη προς Α = + tβ α β ιανυσµατική εξίσωση: Εισάγουµε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Α' Λυκείου. Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση. 9η παρουσίαση. Σχολική χρονιά 2013-2014 Φροντιστήριο Μ.Ε. ΤΖΑΝΕΤΟΥ www.frontistiriotzanetou.

Φυσική Α' Λυκείου. Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση. 9η παρουσίαση. Σχολική χρονιά 2013-2014 Φροντιστήριο Μ.Ε. ΤΖΑΝΕΤΟΥ www.frontistiriotzanetou. Φυσική Α' Λυκείου Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 9η παρουσίαση Σχολική χρονιά 213-214 Φροντιστήριο Μ.Ε. ΤΖΑΝΕΤΟΥ www.frontistiriotzanetou.com 1.1.5 Η έννοια της ταχύτητας στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #2: Ποιοτικά Χαρακτηριστικά Συστημάτων Κλειστού Βρόχου - Μόνιμα Σφάλματα Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

1.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

1.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ . ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Έστω ότι με Κ συμβολίζουμε ένα οποιοδήποτε σώμα, όταν με την έννοια «σώμα» αναφερόμαστε σε ένα σύνολο, όπως για παράδειγμα το των πραγματικών αριθμών, το των μιγαδικών αριθμών, το

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 2: Μοντελοποίηση φυσικών συστημάτων στο πεδίο του χρόνου Διαφορικές Εξισώσεις Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές Διδακτικές Σημειώσεις Τμήματος Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τομέας Αρχιτεκτονικής Υπολογιστικών και Βιομηχανικών εφαρμογών Δρ. Βολογιαννίδης Σταύρος email:

Διαβάστε περισσότερα

Για τον ορισμό της ισχύος θα χρησιμοποιηθεί η παρακάτω διάταξη αποτελούμενη από ένα κύκλωμα Κ και μία πηγή Π:

Για τον ορισμό της ισχύος θα χρησιμοποιηθεί η παρακάτω διάταξη αποτελούμενη από ένα κύκλωμα Κ και μία πηγή Π: 1. Ηλεκτρικό ρεύμα Το ηλεκτρικό ρεύμα ορίζεται ως ο ρυθμός μιας συνισταμένης κίνησης φορτίων. Δηλαδή εάν στα άκρα ενός μεταλλικού αγωγού εφαρμοστεί μια διαφορά δυναμικού, τότε το παραγόμενο ηλεκτρικό πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 007-8 ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΑ: α) R. A. SERWAY, PHYSICS FOR SCIENTISTS & ENGINEERS,

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Κεφ. I Εισαγωγή.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ανάγκη µαθηµατικής περιγραφής και µοντελοποίησης συστηµάτων τα οποία εξελίσσονται χρονικά κατά τρόπο που περιέχει, σε µικρό ή µεγάλο βαθµό, τυχαιότητα,

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ

ΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ ΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ ΑΔΑΜΗΣ Δ.Κ. / Τ.Κ. E.T. ΕΓΓ/ΝΟΙ ΨΗΦΙΣΑΝ ΕΓΚΥΡΑ ΓΙΟΒΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΛΕΥΚΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΜΑΝΤΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΔΑΛΙΑΝΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΣΤΡΟΣ 5 2.728 1.860 36 1.825 69 3,8% 152 8,3% 739 40,5%

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος ΨΕΣ Η Επεξεργασία Σήµατος µέσω της ψηφιοποίησής του και της επεξεργασίας µε ηλεκτρονικό υπολογιστή ή ειδικά ολοκληρωµένα κυκλώµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τίτλος Μαθήματος Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Έργο Κινητική Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1

Έργο Κινητική Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1 Έργο Κινητική Ενέργεια ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1 Είδη δυνάµεων q Δύο είδη δυνάμεων: Ø Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις και μή συντηρητικές ü Μια δύναμη είναι συντηρητική όταν το έργο που παράγει ασκούμενη

Διαβάστε περισσότερα

y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V

Διαβάστε περισσότερα

ΚEΦΑΛΑΙΟ 1. Πίνακες. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι κάθε γραµµή και στήλη ενός πίνακα A ορίζει µονοσήµαντα τη θέση κάθε στοιχείου A

ΚEΦΑΛΑΙΟ 1. Πίνακες. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι κάθε γραµµή και στήλη ενός πίνακα A ορίζει µονοσήµαντα τη θέση κάθε στοιχείου A ΚEΦΑΛΑΙΟ Πίνακες Εστω και είναι το σώµα των πραγµατικών και των µιγαδικών αριθµών αντιστοίχως Στο εξής όταν γράφουµε F θα εννοούµε είτε το είτε το Ορισµός Eστω F = ή και m, Κάθε ορθογώνια διάταξη m A F

Διαβάστε περισσότερα

K K 1 2 1 K M N M(2 N 1) K K K K K f f(x 1, x 2,..., x K ) = K f xk (x k ), x 1, x 2,..., x K K K K f Yk (y k x 1, x 2,..., x k ) k=1 M i, i = 1, 2 Xi n n Yi n Xn 1 Xn 2 ˆM i P (n) e = {( ˆM 1, ˆM2 )

Διαβάστε περισσότερα

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. 1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

1ος Θερμοδυναμικός Νόμος

1ος Θερμοδυναμικός Νόμος ος Θερμοδυναμικός Νόμος Έργο-Έργο ογκομεταβολής Αδιαβατικό Έργο Εσωτερική ενέργεια, U Πρώτος Θερμοδυναμικός Νόμος Θερμότητα Ολική Ενέργεια Ενθαλπία Θερμοχωρητικότητα Διεργασίες Ιδανικών Αερίων ΕΡΓΟ Κεφάλαιο3,

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Πρώτοι αριθµοί και τα Βασικά Θεωρήµατά τους Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 1 Πρωτοι αριθµοι και τα Βασικα Θεωρηµατα τους Στη µνήµη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΘΡΥΣ ΑΤΕ ΑΝΑΔΟΧΟΣ: ΕΡΓΟ :

ΟΘΡΥΣ ΑΤΕ ΑΝΑΔΟΧΟΣ: ΕΡΓΟ : ΑΓ.ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΑΓ.ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ.: FAX: e mail:othris.ate@gmail.com ΟΘΡΥΣ ΑΤΕ ΑΝΑΔΟΧΟΣ: ΕΡΓΟ : ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΧΕΔΙΟΥ : ΚΥΡΙΟΣ ΕΡΓΟΥ : ΟΘΡΥΣ ΑΤΕ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ, ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΘΕΣΗ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΗΛΕΛΕΓΧΟΥ ΤΗΛΕΧΕΙΡΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 5: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ρύθμισης (LQ Regulators) Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

i 5 i 1 i 4 i 2 3 i 3

i 5 i 1 i 4 i 2 3 i 3 ΒΑΣΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΜΙΚΡΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Εισαγωγή στη Θεωρία Κκλωµάτων LS Tecnology and omputer Arctecture Lab Εισαγωγή στη Θεωρία Κκλωµάτων Γ. Τσιατούχας ΒΑΣΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΜΙΚΡΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Διάρθρωση. Ηλεκτρονικό

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Θεωρία και Εφαρμογές. Δρ. Βολογιαννίδης Σταύρος,

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Θεωρία και Εφαρμογές. Δρ. Βολογιαννίδης Σταύρος, Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Θεωρία και Εφαρμογές Δρ. Βολογιαννίδης Σταύρος, (svol@teicm.gr) 9 Νοεμβρίου 204 Περιεχόμενα Βασικές έννοιες. Σήματα και συστήματα.........................2 Σήματα συνεχούς

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α' ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) 1 ΠΙΝΑΚΕΣ- ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Α' Ομάδας i) 3x7 ii) π.χ. το στοιχείο α 12 μας πληροφορεί ότι η ομάδα «ΝΙΚΗ» έχει 6 νίκες. x = -7, y = 8, ω = 8..i) x

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογισμού ΙΙ

Σημειώσεις Λογισμού ΙΙ Σημειώσεις Λογισμού ΙΙ https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 16, Εαρινό εξάμηνο Περιεχόμενα I Ατρέας 3 Διανυσματικές συναρτήσεις & καμπύλες στο χώρο 3..1 Όριο και συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων....................

Διαβάστε περισσότερα

W ISR i = 5 15 ISR i + 4 15 ISR i 1 + 3 15 ISR i 2 + 2 15 ISR i 3 + 1 15 ISR i 4 W ISR W ISR ) E T hreshold = (1 Ẽ Ẽ + IQR (E) Ẽ IQR(E) E T hreshold = 0.99 e 1 N N i=1 (E i) + 0.01 Ẽ h(t) = H(y )(t)

Διαβάστε περισσότερα

HY 571 - Ιατρική Απεικόνιση. ιδάσκων: Kώστας Μαριάς

HY 571 - Ιατρική Απεικόνιση. ιδάσκων: Kώστας Μαριάς HY 571 - Ιατρική Απεικόνιση ιδάσκων: Kώστας Μαριάς 1. Εισαγωγή Ιατρική Απεικόνιση Κλασική ακτινολογία Ηλεκτρονική λυχνία A D B C Πυρηνική ιατρική δέκτης σπινθηριστής Υπερηχοτοµογραφία Υπολογιστική τοµογραφία

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις του Maxwell

Εξισώσεις του Maxwell ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Εισαγωγή στα Η/Μ Κύματα Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Εξισώσεις του Maxwell

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 28 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης: 3/2/28 Ηµεροµηνία Παράδοσης: 7/2/28

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z)

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z) 1 ιανυσματικοί χώροι Άσκηση 1.1 Στο σύνολο R 3 όλων των διατεταγμένων τριάδων διατηρούμε την πρόσθεση, που ορίσαμε στο αντίστοιχο παράδειγμα, και ορίζουμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό με τη σχέση λ(a 1,a 2,a

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 6: Παράγωγος κατά κατεύθυνση, κλίση, εφαπτόμενα επίπεδα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ MAΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΙΩΝ ΠΟΛΕΜΟΥ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ MAΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΙΩΝ ΠΟΛΕΜΟΥ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ MAΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΙΩΝ ΠΟΛΕΜΟΥ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΦΟΙΤΗΤΗΣ: Σκορδούλης Μιχαήλ Αριθμός Μητρώου: 7756 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Χαλικιάς Μιλτιάδης, Επίκουρος Καθηγητής ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγή στην Κατάστρωση. Δυναμικών Εξισώσεων

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγή στην Κατάστρωση. Δυναμικών Εξισώσεων Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγή στην Κατάστρωση 4 1 Δυναμικών Εξισώσεων 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια

Διαβάστε περισσότερα

X(s + j 2π T k)esit ds, C 1 = a + j(0,2π/t) ( ln(z) + j2πk. z i 1 dz, C = e at+j(0,2π). j2π C T

X(s + j 2π T k)esit ds, C 1 = a + j(0,2π/t) ( ln(z) + j2πk. z i 1 dz, C = e at+j(0,2π). j2π C T Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ24: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Φθινόωρο 25 Λύσεις Εαναλητικών Εξετάσεων Θέμα 1 (α) Αό το μετασχηματισμό Laplace δ(t t ) e st, ροκύτει y[i ]δ(t i T) y[i ]e si T = Y (e st ), με

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 73 Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Ο µετασχηµατισµός Laplace µετασχηµατίζει τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τα γραµµικά µη χρονικά µεταβαλλόµενα συστήµατα συνεχούς χρόνου, σε αλγεβρικές εξισώσεις και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Θεόδωρος Η. Αλεξόπουλος, Εµµανουήλ Α. ρης, Σταύρος Ε. Μαλτέζος, Γεώργιος. Τσιπολίτης Εργαστήριο Πειραµατικής Φυσικής Υψηλών Ενεργειών Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Κίνηση σε µία διάσταση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 2 Κίνηση σε µία διάσταση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο Κίνηση σε µία διάσταση Copyright 9 Pearson Education, Inc. Περιεχόµενα Κεφαλαίου Συστήµατα Αναφοράς και µετατόπιση Μέση Ταχύτητα Στιγµιαία Ταχύτητα Επιτάχυνση Κίνηση µε σταθερή επιτάχυνση Προβλήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων. Ανάλυση Ακολουθιακών Κυκλωμάτων 1

ΗΜΥ 210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων. Ανάλυση Ακολουθιακών Κυκλωμάτων 1 ΗΜΥ-210: Σχεδιασμός Ψηφιακών Συστημάτων Ανάλυση Ακολουθιακών Κυκλωμάτων Διδάσκουσα: Μαρία Κ. Μιχαήλ Ανάλυση Ακολουθιακών Κυκλωμάτων Ανάλυση: Ο καθορισμός μιας κατάλληλης περιγραφής η οποία επιδεικνύει

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακά Σ.Α.Ε: Περιγραφή στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές και φυτική κόλλα.

Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές και φυτική κόλλα. Cotton leather paper Με υπερηφάνια σας παρουσιάζουμε μια νέα σειρά χειροποίητων προϊόντων το...cotton leather paper. Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Περιγραφή της Κίνησης. 2.1 Κίνηση στο Επίπεδο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Περιγραφή της Κίνησης. 2.1 Κίνηση στο Επίπεδο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Περιγραφή της Κίνησης Στο κεφάλαιο αυτό θα δείξουμε πώς να προγραμματίσουμε απλές εξισώσεις τροχιάς ενός σωματιδίου και πώς να κάνουμε βασική ανάλυση των αριθμητικών αποτελεσμάτων. Χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται 6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση

Διαβάστε περισσότερα

2 Συντεταγµένες στο επίπεδο

2 Συντεταγµένες στο επίπεδο Συντεταγµένες στο επίπεδο Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σύστηµα συντεταγµένων Ένα σύστηµα δυο κάθετων αξόνων µε κοινή αρχή Ο και µοναδιαία διανύσµατα, i και j λέµε ότι αποτελεί ένα καρτεσιανό σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 3: Απόκριση Συχνότητας - Φίλτρα. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 3: Απόκριση Συχνότητας - Φίλτρα. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 3: Απόκριση Συχνότητας - Φίλτρα Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα