Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

## Transcript

1

2

3

4

5

6 a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R:

7 y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t) = p(t)y(t) + q(t); a t b; y(a) = y :

8 p q [a; b]; p; q 2 C [a; b]; Z y(t) = R t t a hy p(s) ds + q(s) R i s a p() d ds ; a t b; a Z y(t) = R t t a p(s) ds y + q(s) R t s p() d ds; a t b: a p = ; y (s) = q(s); [a; t]; a < t b; y(t) y(a) = R t a q(s) ds; y(t) = y(a) + Z t a q(s) ds; a t b: y (s) p(s)y(s) = q(s) R s a p() d y(s) = R s a p() d q(s): a t; q q(t) = : ( y (t) = 2ty(t) + t; t 2 R; y() = : p(t) = 2t q(t) = t: a = y = ; y(t) y(t) = t 2h + Z y(t) = R t t h 2s ds + s R i s 2 d ds ; t 2 R: Z t i s s2 ds ; t 2 R:

9 := s 2 ; Z t s s2 ds = 2 y(t) = t 2h 2 Z t 2 d = 2 t 2 ; t 2 i = t 2h t 2 i ; y(t) = 2 3 t 2 ; t 2 R: y (t) = y(t) + 3t; t t: p(t) = /t q(t) = 3t: y() = c; c; y(t) t; y(t) = t hc + Z y(t) = R t t s hc ds + 3s R i s d ds ; t 2 R: Z t i 3s s ds = h Z t i c + 3ss ds = t t (c + t 3 ); y(t) = t 2 + c t ; t > ; c = c : t: y (t) = p(t)y(t) + q(t)[y(t)] ; a t b;

10 2 R; = = y = v(t) := [y(t)] ; v (t) = ( )[y(t)] y (t); [y(t)] v (t) = p(t)y(t) + q(t)[y(t)] ; v (t) = ( )p(t)v(t) + ( )q(t); a t b: v; y v(t) = [y(t)] : [y(t)] [y(t)] [a; b]; y(t) y (t) = y(t) + [y(t)] 2 ; a t b; [a; b]: = 2: y; y(t) = t 2 [a; b]; v(t) := [y(t)] 2 = /y(t); y(t) [a; b]; v (t) = [y(t)] 2 y (t); [y(t)] 2 v (t) = y(t) + [y(t)] 2 v (t) = y(t) +

11 v (t) = v(t) ; a t b: v(t) = c t + ; c 2 R; y(t) = c t + ; a t b; c c t + [a; b]; c t + ; t 2 [a; b]: y (t) = r(t) + p(t)y(t) + q(t)[y(t)] 2 ; a t b: q = r = = 2: y y(t) = y (t) + z(t) ; z; z y t; y (t) = y (t) [z(t)] 2 z (t): y(t) y (t) y h (t) [z(t)] 2 z (t) = r(t) + p(t) y (t) + i h + q(t) y (t) + i 2; a t b; z(t) z(t)

12 y (t)r(t) p(t)y (t) q(t)[y (t)] 2 [z(t)] 2 z (t) = p(t) z(t) + 2q(t)y (t) z(t) + q(t) [z(t)] 2 : y [z(t)] 2 z (t) = p(t) z(t) + 2q(t)y (t) z(t) + q(t) [z(t)] 2 ; a t b; [z(t)] 2 ; z (t) = p(t) + 2q(t)y (t) z(t) + q(t); a t b: z y y y (t) = y(t) [y(t)] 2 ; t 2; t 2 t y (t) = /t y y(t) := t + z(t) ; z; z(t) [; 2]; y (t) = t 2 [z(t)] 2 z (t): y(t) y (t) t 2 [z(t)] 2 z (t) = t 2 t t + z(t) t + 2; t 2; z(t)

13 [z(t)] 2 ; [z(t)] 2 z (t) = 3 tz(t) [z(t)] 2 ; t 2; z (t) 3 z(t) = ; t 2: t y (t) = /t z; '(t) ; ' '(t) z (t) 3 t '(t) z(t) = '(t) : ' ' (t) = 3/t; t; '(t) = 3 t; '(t) = /t 3 ; t z(t) = 3 t : 3 t Z t z(t) = dt = 3 t 3 2t + c; 2 z(t) = ct 3 t 2 ; t 2; c; c 2 R: y(t) = t + ct 3 t ; t 2; 2 c: [; 2]; ct 2 2 t 2 [; 2];

14 c < /8 c > /2: y y (t) = /t c ct 2 /2; y y (t) = g(t) f (y(t)) : t y; y = g(t) f (y) dy dt = g(t) f (y) : f (y) dy = g(t) dt: Z Z f (y) dy = g(t) dt; F (y) = G(t) + c; c: y t; y(t): dy dy dt dx: y = g(t) f (y) :

15 y t: f (y(t)) f (y(t)) I; f (y(s))y (s) = g(s); s 2 I; a I a t Z t a f (y(s))y (s) ds = Z t a g(s) ds; t 2 I: y I = y(s): y(a) y(t); d = y (s) ds; Z y(t) f () d = Z t y(a) a g(s) ds; t 2 I: F G f g; F (y(t)) F (y(a)) = G(t) G(a); t 2 I: y a; G(t); G(a); F (y(a)) F y: y y:

16 y a; F (y(a)) c F (y(t)) = G(t) G(a) + c; t 2 I; y; G(a); c: y(t) y (t) = t + t 3 ; a t a; Z t a y(s) y (s) ds = Z y(t) y(a) d = Z t a Z t a (s + s 3 ) ds; (s + s 3 ) ds; y(t) y(a) = t t 4 a2 a : y a; c y(a) a2 2 a4 4 ; y(t) = t t c: y c R y(t); y(t) = t t c ;

17 y (t) = 3t 2 + 4t + 2 2[y(t) ] ; t ; y() = ; y ; t: 2[y(s) ]y (s) = 3s 2 + 4s + 2 t; t; Z t 2[y(s) ]y (s) ds = = y(s); Z t (3s 2 + 4s + 2) ds; Z y(t) 2( ) d = Z t y() (3s 2 + 4s + 2) ds; [y(t)] 2 2y(t) [y()] 2 2y() = t 3 + 2t 2 + 2t: y() = ; [y(t)] 2 2y(t) = t 3 + 2t 2 + 2t + 3: y (t) = p t 3 + 2t 2 + 2t + 4; y 2 (t) = + p t 3 + 2t 2 + 2t + 4; t : y 2 (t) y 2 () = 3 y(t) = y (t); t :

18 y (t) = ty(t)[y(t) 2] y(t) = y(t) = 2 y(t) 2 y (s) y(s)[y(s) 2] = s: a a t; Z t a y (s) y(s)[y(s) 2] ds = := y(s); Z y(t) y(a) ( 2) d = Z t Z t a a s ds; s ds: ( 2) = 2 2 ; h Z y(t) Z y(t) i Z t d 2 y(a) 2 y(a) d = s ds; a t 2 jy(t) 2j jy(t)j jy(a) 2j jy(a)j = a2 2 : jy(a)2j jy(a)j a 2 c; a y a; jy(t) 2j jy(t)j = t 2 + c; ˇ 2 ˇy(t) ˇ = t 2 + c; y(t)

19 ˇ ˇ 2 ˇ = t 2 + c: y(t) ˇ ˇ 2 ˇ = zc t 2 ; y(t) zc ; C; 2 y(t) = C t 2 ; y(t) = 2 + C t 2 C : C; y + C t 2 : y 2: C = ; y(t) = 2: y(t) = C; y (t) = g y(t) t f f (t; y) = f (t; y) 8; t; y 2 R:

20 M N f; f (t; y) := M (t; y)/n (t; y); y (t) = f t; y(t) ; M (t; y) dt + N (t; y) dy = ; g(s) := f (; s); f (t; y) = t f (; y t ) = f (; y t ): v(t) := y(t)/t; t; y(t) = tv(t); y (t) = tv (t) + v(t); tv (t) = g v(t) v(t); g v(t) v(t) t; v (s) g v(s) v(s) = s : a a t a t Z t a v (s) g v(s) v(s) ds = Z t a s ds; = v(s); Z v(t) v(a) d = jtj jaj: g() G /[g() ]; G(v(t)) G(v(a)) = jtj jaj; t 2 I:

21 y a; G v: v v: v a; G(v(a)) jaj c G(v(t)) = jtj + c; t 2 I; v; v; y y(t) = tv(t): g v(t) v(t) v? 2 R g; g(v) = v; tv (t) = ; v v(t) = v? : y(t) = v? t y (t) = [y(t)]2 + 2ty(t) t 2 v(t) := y(t)/t v(t) + tv (t) = [v(t)] 2 + 2v(t) tv (t) = [v(t)] 2 + v(t): v 2 + v = v = v = : y(t) = y(t) = t

22 v(t) v (s) v(s)[v(s) + ] = s : a a t; Z t a v (s) v(s)[v(s) + ] ds = := v(s); Z v(t) v(a) ( + ) d = Z t Z t a a s ds; s ds: Z v(t) v(a) ( + ) = + ; Z v(t) Z t d v(a) + d = a s ds; jv(t)j jv(t) + j jv(a)j jv(a) + j = jtj jaj: jv(a)j jv(a) + j jaj jcj; c; a v a; jv(t)j jv(t) + j = jtj + jcj; v(t) ˇ ˇ = jctj; v(t) + v(t) v(t) + = ct; c: v(t) = ct ct ;

23 y(t) = tv(t) y(t) = ct 2 ct c: c; y t /c: y M (t; y(t)) (t) = N (t; y(t)) f (t; y) = M (t; (t; y) = N (t; M (t; y) dt + N (t; y) dy = : f d dt f (t; (t; (t; y(t)) y (t) = M (t; y(t)) + N (t; y(t)) y (t) = ; f (t; y(t)) f (t; y(t)) = c; c: y y; f f:

24 M N 2 f @t : f Z f (t; y) = M (t; y) dt + g(y); = M: Z M y (t; y) dt + g (y) = N (t; y): M y N t ; Z N t (t; y) dt + g (y) = N (t; y) Z g (y) = N (t; y) N t (t; y) dt: y; Z h Z g(y) = N (t; y) i N t (t; y) dt dy + C; C: f M N; M N f; Z Z h Z i f (t; y) = M (t; y) dt + N (t; y) N t (t; y) dt dy + C:

25 y(t) y (t) = t y(t) + 2y(t) : M (t; y) := y N (t; y) := t y (t; (t; y) = y ; f (t; (t; y) @y (t; y) = ty + (t; y) = y f (t; y) = t y + g(y); (t; y) = ty + 2y t y + g (y) = t y + 2y; g (y) = 2y; g(y) = y 2 + c; c: f (t; y) = t y + y 2 + c; c: t y(t) + [y(t)] 2 = c; c: ; y (t) = (t; y(t))m (t; y(t)) (t; y(t))n (t; y(t))

26 @(M @ @t : t y; = = (t): d N : t; y; = (t) (t) N dt : = = d @t M : y; t; = (y); (y) M dy :

27 N y; M t; = (y); y (t) = y(t) t 2 y(t) t : M (t; y) := y N (t; y) := t 2 (t; y) (t; y) = @y M (t; y) = 2ty + 2 y = 2t + 2 y t; = N (t; y) = 2ty + 2 t 2 y t = 2 t y; = (t) t: d dt (t) = 2 t (t) (t) = 2 t ;

28 j(t)j = 2 jtj = t 2 (t) = t 2 : (t) = /t 2 : /t 2 ; y(t) t 2 y (t) = ; y(t) t f = f (t; y) = y ty (t; y) = (t; y) = y Z H) f (t; y) = (t; y) = t + g (y); t + g (y) = y t 2 dt + g(y) = y t + g(y): ty t g (y) = y; g(y) = 2 y2 + c; c: f (t; y) = y t + 2 y2 + c; y(t) y(t) t c: + 2 [y(t)]2 + c = ; Η γραμμική Δ.Ε. ανάγεται σε πλήρη. y (t) = p(t)y(t) + q(t) y (t) = M (t; y(t)) N (t; y(t))

29 M (t; y) = p(t)y q(t) N (t; y) = : p; (t; y) = ; p = N (t; (t; (t; y) = p(t) t; (t) (t) = R [p(t)] dt = R p(t) dt ; R p(t) dt y (t) = p(t)y q(t) M = z (t; y(t)) zn (t; y(t)) ; R p(t) dt zm zn : f = f (t; y) = zm (t; y) = p(t)y + q(t) R (t; y) = zn (t; y) = R p(t) dt : f (t; y) = R p(t) dt y + g(t) g: t Z g (t) = q(t) R p(t) dt ; g(t) = q(t) R t a p(s) ds dt; a p q f Z f (t; y) = R p(t) dt y q(t) R t a p(s) ds dt:

30 f (t; y(t)) = C; Z R p(t) dt y(t) q(t) R t a p(s) ds dt = C; C: y(t) y(t) = R h Z p(t) dt C + q(t) R i t a p(s) ds dt ; n n ( y (t) = A(t)y(t) + f (t); a t b; y(a) = y () : y : [a; b]! R n f : [a; b]! R n y (t); : : : ; y n (t) f (t); : : : ; f n (t); A : [a; b]! R n;n y (t) f (t) a (t) a 2 (t) : : : a n (t) y 2 (t) y(t) = B : A ; f (t) = f 2 (t) B : A ; A(t) = a 2 (t) a 22 (t) : : : a 2n (t) B : : : A ; y n (t) f n (t) a n (t) a n2 (t) : : : a nn (t) t 2 [a; b]: ( y (t) = p(t)y(t) + q(t); a t b; y(a) = y ;

31 p q [a; b]; Z y(t) = R t t a p(s) ds y + q(s) R t s p() d ds; a t b: a A A: A(t) A(s) t s [a; b]; A(t) = p(t)a; p A 2 R n;n : A(t) = A; A t; ( y (t) = Ay(t) + f (t); a t b; y(a) = y () : ( y (t) = Ay(t); t 2 R; y() = y () ; a;

32 t = s + a: y () ; y(t) = : ( y (t) = ay(t); t 2 R; y() = y ; y(t) = at y ; y(t) = t y () ; t 2 R; 2 C; : y(t) = t y () H) y (t) = t y () ; y y (t) = Ay(t); t y () = A t y () = t Ay () ; Ay () = y () : y () y () = y(t) = t y () ; t 2 R; A y () y () A ; : : : ; m A x () ; : : : ; x (m) y () = c x () + + c m x (m) ;

33 c ; : : : ; c m : y y(t) = c t x () + + c m mt x (m) ; t 2 R: y (t) = c t x () + + c m m mt x (m) Ax (i) = i x (i) ; i = ; : : : ; m; Ay(t) = c t Ax () + + c m mt Ax (m) = c t x () + + c m mt m x (m) ; y (t) = Ay(t); t 2 R: x () ; : : : ; x (m) c ; : : : ; c m y () 2 R n A 2 R n;n : A n x () ; : : : ; x (n) 2 C n : A A x () ; : : : ; x (n) C n ; y () y () = c x () + + c n x (n) ; c i y () ; n n c i ; (x () ; : : : ; x (n) ); x (i) : y(t) = c t x () + + c n nt x (n) ; t 2 R; i A x (i) a; y(a) = y () ; y(t) = c (ta) x () + + c n n(ta) x (n) ; t 2 R:

34 y () A: y () ; A ( y (t) = ay(t); t 2 R; y() = y ; y(t) = at y ; y(t) = ta y () ; t 2 R; A ; A: z ; z 2 C; A 2 C n;n ; = I n I n A := I n + A + A2 2! + + A` `! + = X `= A` `! : = I n ; ; ta ta = A ta : A B = A+B ; A B AB = BA: y() = A y () = y () = I n y () = y () : y (t) = ta y () = ta y () = A ta y () = Ay(t); t 2 R;

35 a; y(a) = y () ; y(t) = (ta)a y () ; t 2 R: ta y () ( y (t) = Ay(t) + f (t); t 2 R; y() = y () ; ta y () ; y(t) = ta v(t); t 2 R; v: y() = y () v() = y () : y (t) = ta v(t) = ta v(t) + ta v (t) = A ta v(t) + ta v (t) = Ay(t) + ta v (t); y (t) = Ay(t) + f (t) ta v (t) = f (t): sa v (s) = f (s) v (s) = sa f (s); t v() = y () ; v(t) y () = v(t) = y () + Z t Z t sa f (s) ds; sa f (s) ds; t 2 R: Z t y(t) = ta v(t) = ta y () + ta sa f (s) ds;

36 y(t) = ta y () + Z t (ts)a f (s) ds; t 2 R; y (t) = ay(t) + f (t): a; y(a) = y () ; y(t) = (ta)a y () + Z t a (ts)a f (s) ds; t 2 R: ta y () ta y () ta x; x 2 C n ; t 2 R: = x A : A I n I n ; ta x = ti n t(ain) x = t I n t(ain) x = t t(ain) x h = t I n x + t(a I n )x + t 2 i 2! (A I n) 2 x + ; (A I n )x = (A I n )`x = ; `; ta x = t x: y () A: = x (A I n ) m x = ; A m: ta x = t t(ai n) x = t h I n x + t(a I n )x + t 2 + t m i m! (A I n) m x + ; 2! (A I n) 2 x + + t m (m )! (A I n) m x

37 (A I n )`x = ; ` m; ta x = t h I n x + t(a I n )x + t 2 2! (A I n) 2 x + + t m (m )! (A I n) m x i : n A C n A ta y () = A A A C n A A m: x 2 C n (A I n ) m x = A : A m; m C n A: m A ; m (A I n )x = A

38 (A I n ) 2 x = A A; ; (A I n ) 3 x = A A; (A I n )`x = ; ` ; m : n x () ; : : : ; x (n) A: y ()

39 x () ; : : : ; x (n) ; y () = c x () + + c n x (n) ; y(t) y(t) = ta y () = c ta x () + + c n ta x (n) ; t 2 R: = = ta x (i) ; x (i) A; y(t) = ta y () : a; ' (i) (t) := ta x (i) ; t 2 R; i = ; : : : ; n; y (t) = Ay(t) y (t) = Ay(t); y () ' (i) ; i = ; : : : ; n: x (i) ; i = ; : : : ; n: x (i) ; i = ; : : : ; n; A ' (i) ; i = ; : : : ; n: 4 y B C (t) = Ay(t); t 2 R; A 3 2 A: 2 p A p() = : 6 ; 2; 3; p; ; 2; 3: A = ; 2 = 3; 3 = 2: p p: p p:

40 = v 2 R 3 (A I 3 )v = (A I 3 )v = 4 B v v 2 v 3 C A = ; v 2 + 4v 3 = 3v + v 2 v 3 = 2v + v 2 2v 3 = v + v 3 = ; v = v 3 ; v 2 = 4v 3 : v 3 ; v v 2 : B C v 4A: ' () (t) = t B 4A; t 2 R: 2 = 3 v 2 R 3 (A 2 I 3 )v = (A 3I 3 )v = 2 4 B v v 2 v 3 C A = ; ƒ 2v v 2 + 4v 3 = 3v v 2 v 3 = 2v + v 2 4v 3 = v = v 3 ; v 2 = 2v 3 : B C v 2A; ' (2) (t) = 3t B 2A; t 2 R: : ƒ ;

41 3 = 2 v 2 R 3 (A 3 I 3 )v = (A + 2I 3 )v = 3 4 B v v 2 v 3 C A = ; 3v v 2 + 4v 3 = 3v + 4v 2 v 3 = 2v + v 2 + v 3 = v = v 3 ; v 2 = v 3 : B C v A; ' (3) (t) = 2t B A; t 2 R: y(t) c t + c 2 3t c 3 2t y(t) = c t B 4A + c 2 3t B 2A + c 3 2t B C A 4c t + 2c 2 3t + c 3 2t C A; c t + c 2 3t + c 3 2t t 2 R; c ; c 2 c 3 : y B C (t) = Ay(t); t 2 R; A A: 2 p A p() = (2 )( ) 2 ; A = 2 2 = = 2 v 2 R 3 (A I 3 )v = (A 2I 3 )v = B v v 2 v 3 C A = ; ƒ ;

42 v = v 2 = v 3 v 3 v 3 = ; ' () (t) = 2t B A; t 2 R; 2 = v 2 R 3 (A 2 I 3 )v = (A I 3 )v = v B CB v 2 A = ; v 2 = v 3 = v v v = ; ' (2) (t) = t B A; t 2 R; 2 2 v 2 R 3 (AI 3 ) 2 v = (AI 3 )v : (AI 3 ) 2 = ; (A I 3 ) 2 v = v B CB v 2 A = ; v 3 v 3 v 3 = v v 2 v = v 2 = 2 : ' (3) (t) = t v + t(a I 2 )v = t B A + t t B CB A = t B A + t t B A;

43 t ' (3) (t) = t B A; t 2 R; y(t) t y(t) = c 2t B A + c 2 t B A + c 3 t B A; (c 2 + c 3 t) t B y(t) c 3 t C A; t 2 R; c 2t c ; c 2 c 3 : x ; x 2 R; n n A := I n + A + A2 2! + + A` `! + = X `= A` `! A 2 R n;n : A A A; B 2 R n;n t; s 2 R ta = ta : (t+s)a = ta sa : t(a+b) = ta tb ; A B AB = BA:

44 A+B = A B ; A B A B t = A B = X `= A` `! X `= B` `! = X `X `= k= A`k (` k)! B k = k! X `= `! (A + B)` = A+B : ta ta = A + ta t ` A`+ + = A I n + ta t ` A` `! `! + ; ta = A ta : ( y (t) = Ay(t); a t b; y(a) = y () ; A = a ij i;j 2 =;:::;n Rn;n t y(t) y(t) = (ta)a y () ; a t b: y y (t) = (ta)a y () = ta aa y () = A ta aa y () = A (ta)a y () = Ay(t): = I n ; y(a) = A y () = I n y () = y () : ( y (t) = Ay(t) + f (t); a t b; y(a) = y () :

45 y(t) y(t) = (ta)a hy () + y(t) = (ta)a y () + Z t a Z t a i (sa)a f (s) ds ; a t b; (ts)a f (s) ds; a t b: y (t) = ay(t) y (t) = ay(t) + f (t); y(t) = (ta)a v(t); a t b; v(t): y () v(t) t: v(t): y(a) = v(a); v(a) = y () : (ta)a v (t) = f (t) A (ta)a v(t) + (ta)a v (t) = A (ta)a v(t) + f (t); v (t) = (ta)a f (t); a t b: v; v s t; [a; t]; a t b; v(a) = y () ; v(t) = y () + Z t a (sa)a f (s) ds; a t b:

46 (ta)a A: A (ta)a A v; v; A; A p; p() := (A I n ); A: = A A A a ij ; i j; a ii A i A = ( ; : : : ; n ): n y i (t) = iy i (t); A` = (` ; : : : ; ǹ); ` 2 N ; A = ; : : : ; n : y(t) (ta) y () y(t) = 2(ta) y () 2 B : A ; a t b; n(ta) y () n

47 y () ; y () 2 ; : : : ; y () n y () : A A B; S A = S BS SAS = B A B A 2 = (S BS)(S BS) = S B 2 S A` = S B`S; ` 2 N : A = X `= A` `! = X `= S B`S `! = S X `= B` `! S; A = S B S: A = ( ; : : : ; n ) S S AS = : AS = S; A S n n A n A A n A S n; A: A = S ; : : : ; n S : y(t) y(t) = S (ta) ; : : : ; n(ta) S y () ; a t b:

48 A n S AS = ; y (t) = Ay(t) y (t) = SS y(t) S y (t) = S y(t); z(t) := S y(t); z (t) = z(t): z(a) = S y(a) = S y () =: z () : ( z (t) = z(t); a t b; z(a) = z () : n zi (t) = iz i (t); z i (a) = z () i ; z i (t) = i (ta) z () i ; i = ; : : : ; n; z(t) = (ta) ; : : : ; n(ta) z () ; a t b: z(t) S y(t) z () S y () ; = A A A m A m A m = : A` = ; ` m; A` = A`m A m = A`m = : m; A m = ; A: A m n n A n; A m;

49 A = m X `= y(t) y(t) = m X `= A` `! (t a)` A`y () ; a t b: `! A A = I n +M; M m: I n = I n ; I n nn I n n n M; A = I n+m = I n M = I n M = M ; m X A = `= M ` `! : y(t) m X y(t) = (ta) `= (t a)` M `y () ; a t b: `! n n A A J = (J ; J ; : : : ; J k ); J J` ` ` J` = : : : : : : 2 C n`;n`; ` = ; : : : ; k; B ` A `

50 n n S A = S JS: A J = J ; J ; : : : ; J k : J` J` = `I n` + M n` M n` 2 R n`;n` M n` = : : : : : : : B A M n` M n` x x 2 : x n` x n` x 2 x 3 = : ; C B C x n` A x M n` x = ; n` x 2 C n`; M n` = : n` M n` n`: M k M n` n` M 2 : : : : : : = ; : : : ; M n` n` B A n` = : : : : : : ; M n` = : n` B A

51 Σχετικά με το γεγονός ότι ο πίνακας M n` είναι μηδενοδύναμος. M n` M n` = M n` n`; J = (J ; J ; : : : ; J k ) J ` = (J ` ; J ` ; : : : ; J ` k ); ` 2 N ; A = S J ; J ; : : : ; J k S: J ; J i ; i = ; : : : ; k; y(t) y(t) = B(t)y () ; a t b; B(t) 2 C n;n ; a t b; b ij (t) b ij (t) = mx `= p (i;j ) ` (t) `t ; a t b; ` A p (i;j ) ` (t) `: A v (ta)a v v; A ; y(t) (ta)a y () ; (ta)a : v; y () : y () v () ; : : : ; v (k) :

52 t; 2 R; (ta)a = (ta)i n (ta)(ai n) = (ta) I n (ta)(ai n) = (ta) (ta)(ai n) ; v 2 C n ; (ta)a v = (ta) (t a)` v + (t a)(a I n )v + + (A I n )`v + : `! A: v (A I n )v = (ta)a v = (ta) v: A n y () A C n A: v 2 C n A ; (A I n ) v = : (A I n ) +`v = ; ` 2 N ; (A I n ) +`v = (A I n )`(A I n ) v = (A I n )` = : (ta)a v = (ta) v + (t a)(a I n )v + + (t a) (A I n ) v : ( )! ; A n n A n y () A: A k ; : : : ; k ; : : : ; k ; : : : ; k ; y () y () = v () + + v (k) ;

53 v (i) A i ; i = ; : : : ; k: y(t) y(t) = kx (ta)a v (`) = `= kx `= k X `(ta) m= (t a) m (A I n ) m v (`) ; a t b: m! A: n n y (t) = Ay(t); y n A nn y (t) a a 2 : : : a n y 2 (t) y(t) = B : A ; A := a 2 a 22 : : : a 2n B : : : A : y n (t) a n a n2 : : : a nn t 2 R y () 2 R n ; y(t ) = y () ; y () (t) y (2) (t) y () (t) + y (2) (t) y () (t) + y (2) (t) y () (t) V: V n; V = n: Διάσταση του χώρου λύσεων της. V n; V = n:

54 V n i 2 f; : : : ; ng; ' (i) ( y (t) = Ay(t); t 2 R; y() = e (i) ; fe () ; : : : ; e (n) g R n ; e (i) j = ı ij ; i; j = ; : : : ; n: ' () ; : : : ; ' (n) c ' () + + c n ' (n) = ; c ; : : : ; c n ; c ' () () + + c n ' (n) () = ; c e () + + c n e (n) = ; e () ; : : : ; e (n) ; c = = c n = : y y ' () ; : : : ; ' (n) ; c ; : : : ; c n y(): z; z := c ' () + + c n ' (n) ; z z() = c ' () () + + c n ' (n) () = c e () + + c n e (n) = y(); y: y ' () ; : : : ; ' (n) ; n y (t) = ay(t) y(t) = c at ; c; y(t) = t v;

55 v 2 R n : y (t) = t v; t v = t Av; Av = v: y A v p A; p() = (A I n ): ; : : : ; n v () ; : : : ; v (n) v () ; : : : ; v (n) ' (i) (t) = i t v (i) ; i = ; : : : ; n; t 2 R; V y y = c ' () + + c n ' (n) ; c ; : : : ; c n : ; : : : ; n A = a + b A v = u + w A v = uw y(t) = (a+b)t (u + w)

56 y (t) = Ay(t); y y y(t) = at (bt) + (bt) (u + w) h i = at (bt)u (bt)w + (bt)u + (bt)w : y () y (2) ; y () (t) = at (bt)u (bt)w ; y (2) (t) = at (bt)u + (bt)w ; v = u w: at (bt) at (bt) A; A n ; : : : ; n ; n V; ( y (t) = Ay(t); t 2 R; B C A A y () B C A: y() = y () ; p A p() = ( )[( ) 2 + ]; A = ; 2;3 = : = v 2 R 3 (A I 3 )v = (A I 3 )v = B v v 2 v 3 C A = ;

57 v 2 = v 3 = v v v = ; ' () (t) = t B A; t 2 R; 2;3 = 2 = + ; 3 = = 2 v 2 C 3 (A 2 I 3 )v = A ( + )I 3 v = B v v 2 v 3 C A = ; v = v 2 = v 3 : v 3 := ; v 2 = ; y(t) = (+)t B A; t 2 R; " # y(t) = (+)t B A = t B C B C ( t + A A " # " # = t B C B C A A + t B C B C A + A ; y(t) = t B ta + t B ta: t t

58 ' (2) (t) = t B ta ' (3) (t) = t B ta; t 2 R; t t y(t) y(t) = c t B A + c 2 t B ta + c 3 t B ta; t 2 R; t t c ; c 2 c 3 : c ; c 2 c 3 t = c B C B C B C B C B C B C A + c A + c A c 3 A A; c = c 2 = c 3 = : y(t) = t B A + t B ta + t B ta = t B t ta; t 2 R: t t t + t ; : : : ; n A A A n A A k k < n: c 2

59 k t v; v 2 C n : n k n v A ; (A I n ) v = : Πλήθος γραμμικά ανεξάρτητων γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων. ; : : : ; k A 2 R n;n ; ; : : : ; k ( + + k = n) ; : : : ; k ( j j ); j < j ; (A j I n ) 2 v = j + (A j I n ) m v = ; m < j ; m j (m j < j ) (A j I n ) m+ v = m j + j A j : n A: n = A: A n n t v; A v t v; = A k; k < n; k t v: A; v; (A I n ) 2 v = (A I n )v :

60 v; ta v = t v + t(a I n )v = (A I n ) 3 v = (A I n ) 2 v : v; ta v = t v + t(a I n )v + t 2 2 (A I n) 2 v = n ( y 2 3 (t) = Ay(t); t 2 R; B C A 2 A y () B C 2A: y() = y () ; 2 p A p; p() = (2) 3 ; = 2 A v 2 R 3 (A I 3 )v = (A 2I 3 )v = 3 v B CB v 2 A = ; v 2 = v 3 = v v v = ; ' () (t) = 2t B A; t 2 R; v 3

61 A; v 2 R 3 (A 2I 3 ) 2 v = (A 2I 3 )v : (A 2I 3 ) 2 = ; (A 2I 3 ) 2 v = B v v 2 v 3 C A = ; v 3 = v v 2 v = v 2 = A: ' (2) (t) = 2t v + t(a 2I 3 )v 3 = 2t B A + t 2t B CB A = 2t B A + t 2t B A; t ' (2) (t) = 2t B A; t 2 R; (A 2I 3 ) 2 v = ; A v 2 R 3 (A 2I 3 ) 3 v = (A 2I 3 ) 2 v : (A 2I 3 ) 3 = ; v 2 R (A 2I 3 ) 3 v = : v = (; ; ) T (A 2I 3 ) 2 v (A 2I 3 ) 2 v = ' (3) (t) = 2t v + t(a 2I 3 )v + t 2 2 (A 2I 3) 2 v = 2t 6B C B CB C A + A + t 2 B CB A5; t 2 R; 2

62 3t ' (3) (t) = 2t B t 2 2 t A; t 2 R; y(t) 2 t 3t y(t) = 2t 6 B C B C B t C7 A + c A + c t A5 ; c ; c 2 c 3 : + 5t ' (3) (t) = 2t B t t A; t 2 R; y () (t); : : : ; y (n) (t) y (t) = Ay(t); A 2 R n;n ; y y(t) = c y () (t) + + c n y (n) (t); c ; : : : ; c n ; y(t) = Y (t)c; Y (t) n n y () ; : : : ; y (n) c = (c ; : : : ; c n ) T 2 R n : Θεμελιώδης πίνακας. n n Y (t)

63 Y (t) ta : Θεμελιώδης πίνακας και εκθετική συνάρτηση. Y (t) ta = Y (t)y () : Y (t) t: s y (t) = Ay(t); t 2 R; y(s) = v; v 2 R n ; t = s; Y (s)c = v: v 2 R n ; Y (s) s Y (t) t: Y (t) = y () (t); : : : ; y (n) (t) = Ay () (t); : : : ; Ay (n) (t) = AY (t); Y (t) = AY (t): ta ( ta ) = A ta : Y (t) Z(t) C 2 R n;n ; Z(t) = Y (t)c: y () (t); : : : ; y (n) (t) Y (t) z () (t); : : : ; z (n) (t) Z(t) Z(t) Y (t); z (j ) (t) = c j y () (t) + + c nj y (n) (t); j = ; : : : ; n; Z(t) = Y (t)c C = (c ij ) i;j =;:::;n : ta = Y (t)c: t = ; C = Y () ; ta = Y (t)y () :

64 y (t) = Ay(t) + f (t); A 2 R n;n ; f : R! R n : y y y + y : y : y () (t); : : : ; y (n) (t) y(t) y(t) = c y () (t) + + c n y (n) (t); t 2 R; c ; : : : ; c n c i v i y y (t) = v (t)y () (t) + + v n (t)y (n) (t); y (t) = Y (t)v(t); Y (t) = y () (t); : : : ; y (n) (t) v(t) = v (t); : : : ; v n (t) T : Y (t)v(t) + Y (t)v (t) = AY (t)v(t) + f (t); Y (t) Y (t)v (t) = f (t); v (t) = Y (t) f (t):

65 v Z v(t) = Y (t) f (t) dt: y Z y (t) = Y (t) Y (t) f (t) dt y; c Z B C y(t) = Y : A + Y (t) Y (t) f (t) dt; c n c ; : : : ; c n ( y (t) = Ay(t) + f (t); t 2 R; y(t ) = y () ; y(t) = Y (t)y (t ) y () + Y (t) Z t t Y (s) f (s) ds: t = ; Y (t)y () = ta ; Y (t)y (s) = Y (t)y () Y ()Y (s) = Y (t)y () Y (s)y () = ta sa = (ts)a ; y(t) = ta y () + Z t (ts)a f (s) ds: y (t) = Ay(t) + f (t); B C y() A; B C B C A 2 2A f (t) A; 3 2 t (2t)

66 t 2 R: ta : p A p() = ( )( ); A = 2;3 = 2: = v 2 R 3 (A I 3 )v = (A I 3 )v = B v v 2 v 3 C A = ; v = v 3 v 2 = 3v 3 /2: v 3 = 2; 2 y () (t) = t B 3A; t 2 R; 2 y (t) = Ay(t) 2;3 = 2 2 = + 2; 3 = 2 = 2 v 2 C 3 (A 2 I 3 )v = A ( + 2)I 3 v = 2 B v v 2 v 3 C A = ; v = v 3 = v 2 : v 2 := ; v 3 = ; y(t) = (+2)t B A; t 2 R;

67 y(t) = (+2)t B A = t (2t) + (2t) " # B C B A A " # " # = t B C B C A A + t B C B C A + A ; y(t) = t B (2t) A + t B (2t) A: (2t) (2t) y (2) (t) = t B (2t) A y (3) (t) = t B (2t) A; t 2 R; (2t) (2t) y (t) = Ay(t) 2 Y (t) = t B 3 (2t) (2t) A: 2 (2t) (2t) 2 Y () B C 3 A 2 2 B 3 C 2 A; ta = Y (t)y () = t C (2t) + (2t) (2t) (2t) 2 2 A: + 3 (2t) (2t) (2t) (2t) 2

68 y Z t y(t) = ta B A + ta sa f (s) ds Z t = ta B A+ ta s CB C (2s) (2s) (2s) (2s) 2 2 Ads 3 (2s) (2s) (2s) (2s) s (2s) 2 Z t = t B (2t) (2t) A + ta s B (2s) (2s) A ds (2t) + (2t) 2 (2s) = t B (2t) (2t) A + ta B (4t) 8 A; (2t) + (2t) t + (2t) 2 8 y(t) = t (2t) ( + t ) (2t) C 2 A: ( + t ) (2t) + 5 (2t) 2 4 p : [a; b]! R y (t) = p(t)y(t); t 2 [a; b]; C: R t y(t) = C a p(s) ds y u; u(t) = R t a p(s) ds y(t); t 2 [a; b]; u = ; u Η μέθοδος της μεταβολής των σταθερών p; q : [a; b]! R y (t) = p(t)y(t) + q(t);

69 t 2 [a; b]; t y(t) = R a p(s) dsh Z t C + q(s) R i s a p() d ds ; a t b; a C ; y(t) = C (t)r t a p(s) ds ; C C C y (t) = y(t) + [y(t)] 2 ; t 2; y() = y : [a; b] [; 2]; y c < / c > / 2 : y = p /( p ) t 3/2: c = /( p ): y = : y (t) = y(t) [y(t)] 2 ; y() = 2; I; y: y (t) = y(t) [y(t)] 2 ; t 2; t 2 t y() = y :

70 y = t p 2: c = /4: y = 3: y (t) = + [y(t)]2 ; 2ty(t) y (t) = 2t [y(t)] 3 y(t) ; y (t) = 3[y(t)]2 + t 2 : 2ty(t) y() = ; y 2t + y(t) (t) = t + 2y(t) : y (t) = t + [y(t)]2 ; ty(t) = (t): ( y 2 (t) = Ay(t); t 2 R; B C A := y() = y 2 A y () B C 2A: ;

71 ( y 2 (t) = Ay(t); t 2 R; B C A := y() = y 3 2A y () B C 2A: ; I R p : I! R A nn p(t)a = p (t)a p(t)a ; t 2 I: X p(t)a [p(t)a]` X = = [p(t)]` A` `! `! `= `= p(t)a = X `= A` `p (t)[p(t)]` `! k= = p (t)a X [p(t)a]` `= X = p [p(t)a] k (t)a = p (t)a p(t)a : k! y ( y (t) = p(t)ay(t); t 2 I; y(a) = y () ; (` )! a I; y(t) = (R t a p() d)a y () ; t 2 I: A n n ; : : : ; k A v () ; : : : ; v (k) v () ; : : : ; v (k) v () v () ; : : : ; v (`) ; ` < k; c v () + + c`+ v (`+) = ; c Av () + + c`+ Av (`+) = ; c v () + + c`+ `+ v (`+) = : `+ c (`+ )v () + + c`(`+ `)v (`) = : c i (`+ i ) = ; i = ; : : : ; `; c = = c` = : c`+ v (`+) = ; c`+ = : v () ; : : : ; v (`+)

72 n n M; M n: M x = (x ; ; : : : ; ) T M (; ; : : : ; ) T = M 2 x = (x ; x 2 ; : : : ; ) T ; M n x = n: x 2 C n M: Αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα ιδιοτιμών ενός πίνακα Jordan. nn J = (J ; J ; : : : ; J k ); J J = ( z ; : : : ; z m ); J` ` = ; : : : ; k: p() := (J I n ) J I n ; p() = ( z ) ( z m )( ) n ( k ) n k : J z ; : : : ; z m ; : : : ; k z i j J J: J J J J ; : : : ; J k ; J J J n n A; A = S JS; A Για κάθε n n μηδενοδύναμο πίνακα A ισχύει A n = : A; B; C nn A C ABC = ; B B = :

73 ABC = A C : nn J; J J n = : x 2 R n ; y := J x y i = x i+ ; J (i; i + ) y i = ; J (i; i + ) J 2 x; : : : ; J n x J n x = ; x 2 R n ; J n = : A nn A A n = :! A = 2 2 ; A = B 5 9 6A; 6 4 A; S AS = J: A J S A n S = J n : J n = ; A n = : A n n A A x A`x = `x: A` ; ` 2 N: Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα ενός πίνακα Jordan. n n J = (J ; J ; : : : ; J k ); J J = ( z ; : : : ; z m ); J` ` = ; : : : ; k: n J n` J`; ` = ; : : : ; k: J; J J J` ; (J I n ) + : J` + J` I n` (J` I n`) + = : J I n ; J : (J I n ) +

74 J : (J I n ) + (J I n ) + v = ; J J ; n n J C n ; J R n ; J Πλήθος γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων οποιουδήποτε n n πίνακα. S n n v () ; : : : ; v (k) 2 C n Sv () ; : : : ; Sv (k) A nn n A; S AS = J A: A J S (AI n )S = J I n ; S (AI n )`S = (J I n )`; (A I n )`S = S(J I n )`: v () ; : : : ; v (n) 2 C n J; Sv () ; : : : ; Sv (n) 2 C n A;

75

76

77

78

79

80

81

82

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

### (1.1) y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y 0.

1. Προβλήματα αρχικών τιμών Στο μεγαλύτερο μέρος αυτού του βιβλίου θα ασχοληθούμε με μεθόδους αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων αρχικών τιμών για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (Σ.Δ.Ε.). Στο πρώτο κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

### 3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

### Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

### Κεφάλαιο 7. Μετασχηματισμός Laplace. 7.1 Εισαγωγή στον μετασχηματισμό Laplace

Κεφάλαιο 7 Μετασχηματισμός Laplace Σε αυτο το κεφάλαιο θα μελετήσουμε τη μέθοδο του μετασχηματισμού Laplace, η οποία αποτελεί μία από τις βασικές τεχνικές μαθηματικών προβλημάτων: μετασχηματίζει δύσκολα

Διαβάστε περισσότερα

### Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

### P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st

Διαβάστε περισσότερα

### Μάθημα: Θεωρία Δικτύων

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 5ο Εξάμηνο Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Ανάλυση Ευσταθείας Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ.

Διαβάστε περισσότερα

### L A TEX 2ε. mathematica 5.2

Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

### < h < +. σ (t) = (sin t + t cos t, cos t t sin t, 3), σ (t) = (2 cos t t sin t, 2 sin t t cos t, 0) r (t) = e t j + e t k. σ (t) = 1 2 t 1 2 k

ΛΥΣΕΙΣ 1. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - Tromba. 1. 3.1(3)(a) Είναι r (t) = sin ti + 2 cos(2t)j, r (t) = cos ti 4 sin(2t)j για κάθε t, r (0) = 2j, r (0) = i. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο r(0)

Διαβάστε περισσότερα

### Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

### (x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X

X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω

Διαβάστε περισσότερα

### Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 4: Αποκρίσεις χαρακτηριστικών συστημάτων με

Διαβάστε περισσότερα

### ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

### Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

### Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

### Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης Δ. Δημογιαννόπουλος,

Διαβάστε περισσότερα

### Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 13

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 13 Πάτρα 28 Προσαρμοστικός έλεγχος με μοντέλο αναφοράς

Διαβάστε περισσότερα

### m i N 1 F i = j i F ij + F x

N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

### Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #2: Ποιοτικά Χαρακτηριστικά Συστημάτων Κλειστού Βρόχου - Μόνιμα Σφάλματα Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

### Ενότητα 10: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

### Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

### Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDN Εάν ένας πίνακας δεν διαγωνοποιείται, τότε ο στόχος μας είναι υπολογίσουμε μέσω ενός μετασχηματισμού ομοιότητας, έναν απλούστερο πίνακα, «σχεδόν διαγώνιο» όπως ο παρακάτω πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

### !"#\$ % &# &%#'()(! \$ * +

,!"#\$ % &# &%#'()(! \$ * + ,!"#\$ % &# &%#'()(! \$ * + 6 7 57 : - - / :!", # \$ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # \$ %, ) #, '(#,!# \$\$,',#-, 4 "- /,#-," -\$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

### Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3. Κανονικές μορφές Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

### Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

### Γραμμικά Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων

Κεφάλαιο 8 Γραμμικά Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε συστήματα διαφορικών εξισώσεων με περισσότερες από μία άγνωστες συναρτήσεις. Τέτοια συστήματα εμφανίζονται σε πολλά φυσικά

Διαβάστε περισσότερα

### Επίλυση Δ.Ε. με Laplace

Επίλυση Δ.Ε. με Laplace Ν. Παπαδάκης 24 Οκτωβρίου 2015 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 1 / 78 Περιεχόμενα 1 Παρουσίαση Προβλήματος Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Ορισμός Άλλες μορϕή

Διαβάστε περισσότερα

### Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

### Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2016 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

### Παράδειγµα Θεωρείστε το σύστηµα: αυτοκίνητο επάνω σε επίπεδη επιφάνεια κάτω από την επίδραση δύναµης x( t ) : v(t)

Παράδειγµα Θεωρείστε το σύστηµα: αυτοκίνητο επάνω σε επίπεδη επιφάνεια κάτω από την επίδραση δύναµης x( t ) : p(t) v(t) v(t) Πίεση στό γκάζι Σήµα εισόδου t ΣΥΣΤΗΜΑ Ταχύτης του αυτοκινήτου Σήµα εξόδου t

Διαβάστε περισσότερα

### Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

### = 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L \$ % &'

Διαβάστε περισσότερα

### Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πρώτης Τάξης

KEΦAΛAIO 5 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πρώτης Τάξης Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο 4, η δυναμική μελέτη ενός φυσικού/ χημικού συστήματος οδηγεί συχνά στη διερεύνηση της δυναμικής συμπεριφοράς μιας γραμμικής,

Διαβάστε περισσότερα

### F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

### Χρονική απόκριση συστημάτων, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Χρονική απόκριση συστημάτων, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Χρονική απόκριση συστημάτων αυτομάτου ελέγχου Στα περισσότερα συστήματα αυτομάτου ελέγχου χρησιμοποιείται ως ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος,

Διαβάστε περισσότερα

### 1. ίνονται τα διανύσµατα: x=(a+µ,1), y=(0,b), a,b>0. Για ποιες τιµές του µ τα διανύσµατα είναι: (α) γραµµικά εξαρτηµένα, (β) γραµµικά ανεξάρτητα.

. ίνονται τα διανύσµατα: x=(a+µ,), y=(0,b), a,b>0. Για ποιες τιµές του µ τα διανύσµατα είναι: (α) γραµµικά εξαρτηµένα, (β) γραµµικά ανεξάρτητα.. ίνονται τα διανύσµατα (x,0), (0,y), (z,0). Είναι γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

(G) = 4 1 (G) = 3 (G) = 6 6 W G G C = {K 2,i i = 1, 2,...} (C[, 2]) (C[, 2]) {u 1, u 2, u 3 } {u 2, u 3, u 4 } {u 3, u 4, u 5 } {u 3, u 4, u 6 } G u v G (G) = 2 O 1 O 2, O 3, O 4, O 5, O 6, O 7 O 8, O

Διαβάστε περισσότερα

### Παράρτημα. Παράρτημα - Ανάλυση Έλεγχος και Προσομοίωση Δυναμικών Συστημάτων

Παράρτημα Σύνοψη Στο παράρτημα αυτό θα παρουσιαστούν βασικές έννοιες των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου απαραίτητες για την κατανόηση της λειτουργίας των υδραυλικών και πνευματικών συστημάτων. Οι έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

### -! " #!\$ %& ' %( #! )! ' 2003

-! "#!\$ %&' %(#!)!' ! 7 #!\$# 9 " # 6 \$!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&\$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! \$ - (( 6 6 \$ % 7 7 \$ 9!" \$& & " \$! / % " 6!\$ 6!!\$#/ 6 #!!\$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

### {(x, y) R 2 : f (x, y) = 0}

ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 13 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης Οκτ 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ 102-13 Οκτ 2014 1 / 10 Ενα θεμελιώδες πρόβλημα της Αναλυτικής Γεωμετρίας

Διαβάστε περισσότερα

y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

### TALAR ROSA -. / ',)45\$%"67789

TALAR ROSA!"#"\$"%\$&'\$%(" )*"+%(""%\$," *\$ -. / 0"\$%%"\$&'1)2\$3!"\$ ',)45\$%"67789 ," %"(%:,;,"%,\$"\$)\$*2

Διαβάστε περισσότερα

### = (2)det (1)det ( 5)det 1 2. u

www.maths.gr, Ενδεικτικές Λύσεις ης Εργασίας ΦΥΕ4 έτους -. Οι Λύσεις είναι για την βοήθεια των φοιτητών, σε ΘΕΜΑ ο 5 6 4 6 4 5 det 4 5 6 ()det ()det ()det 8 9 7 9 7 8 7 8 9 ()( ) ()( 6 ) ()( ) 5 4 4 det

Διαβάστε περισσότερα

### Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

### ( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter

Διαβάστε περισσότερα

### Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11. Ελεγξιμότητα (μέρος 2ο) Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

### Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

### 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το

Διαβάστε περισσότερα

### ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

### GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c

GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 2013 ιδάσκων : Π.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 203 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Πέµπτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 23/05/203 Ηµεροµηνία

Διαβάστε περισσότερα

### Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN

Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΛΑΝΔΡΑΚΗ ΓΑΡΥΦΑΛΙΑ Επιβλέπων καθηγητής : Μακριδάκης Χαράλαμπος Περιεχόμενα Εισαγωγή Κεφάλαιο 1. Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN 1.1 Προκαταρκτικά 1.2

Διαβάστε περισσότερα

### DC BOOKS. a-pl½-z-v iao-w Da-c-n

a-pl½-z-v iao-w Da-c-n 1945 P-q-s-s-e 24þ\-v I-mkÀ-t-I-m-U-v aq-s-w-_-b-e-nâ P-\-n -p. {-K-Ù-I-À- -mh-v-, h-n-hà- I³-, d-n-«. A-²-y-m-]-I³. C-c-p-]- -n-\-m-e-p hàj-s- A-²-y-m-]-IP-o-h-n-X- -n-\-pt-i-j-w

Διαβάστε περισσότερα

### Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής. Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000

Διαβάστε περισσότερα

### ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

### Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen

Dissertation for the degree philosophiae doctor (PhD) at the University of Bergen Dissertation date: GF F GF F SLE GF F D Ĉ = C { } Ĉ \ D D D = {z : z < 1} f : D D D D = D D, D = D D f f : D D

Διαβάστε περισσότερα

### Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

### Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 3: Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

! " # \$ % & \$ % & \$ & # " ' \$ ( \$ ) * ) * +, -. / # \$ \$ ( \$ " \$ \$ \$ % \$ \$ ' ƒ " " ' %. " 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; ; < = : ; > : 0? @ 8? 4 A 1 4 B 3 C 8? D C B? E F 4 5 8 3 G @ H I@ A 1 4 D G 8 5 1 @ J C

Διαβάστε περισσότερα

### Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

### A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

### Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία

Διαβάστε περισσότερα

### Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

### Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

### Μηχανική - Ρευστομηχανική

Μηχανική - Ρευστομηχανική Ενότητα 3: Κίνηση Υλικού σημείου σε τρείς διαστάσεις Διδάσκων: Πομόνη Αικατερίνη, Αναπλ. Καθηγήτρια Επιμέλεια: Γεωργακόπουλος Τηλέμαχος, Υπ. Διδάκτωρ Φυσικής 05 Θετικών Επιστημών

Διαβάστε περισσότερα

### 1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

### Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΙΠΛΩΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕ. Ι..Ε.

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΟΜΑ Α 2 Στην ακόλουθη άσκηση σας δίνονται τα έξοδα ανά µαθητή και οι ετήσιοι µισθοί (κατά µέσο όρο) των δασκάλων για 51 πολιτείες της Αµερικής. Τα δεδοµένα είναι για τη χρονιά 1985. Οι µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

### Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου Για την ανεύρεση της µορφής των λύσεων στρεφόµαστε προς τις αναγκαίες συνθήκες, αρχικά στις Εξισώσεις Euler-Lagrange: Τ Τ Τ! f d! f = 0 t t0, t

Διαβάστε περισσότερα

### Ανακεφαλαίωση. T!q i. Q i δ q i q i. d T. ! r j. F j = V. r j. δ q j. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά: "" r ) δ r! i i. m i. ! r i

Ανακεφαλαίωση Τι είδαμε την προηγούμενη φορά: N Αρχή D Alembert: ( F i m i "" r ) δ r i i = 0 i=1 για σύστημα με k ολόνομους δεσμούς και n=n-k γενικευμένες συντεταγμένες q i : d r i = θεωρώντας δυνητικές

Διαβάστε περισσότερα

### ιανύσµατα A z A y A x 1.1 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων 1.2 Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ca = ca x ˆx + ca y ŷ + ca z ẑ

1 ιανύσµατα Ο ϕυσικός χώρος µέσα στον οποίο Ϲούµε και κινούµαστε είναι ένας τρισδιάστατος ευκλείδειος γραµµικός χώ- ϱος. Ισχύουν λοιπόν τα αξιώµατα της Γεωµετρίας του Ευκλείδη, το πυθαγόρειο ϑεώρηµα και

Διαβάστε περισσότερα

### Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου 204 5 (Ιούνιος 205) ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος. α. Να προσδιοριστούν οι τιμές

Διαβάστε περισσότερα

### Κάθε εξίσωση, η οποία περιλαµβάνει παραγώγους, είναι διαφορική εξίσωση. Έτσι οι εξισώσεις

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ µ ÂÓÈÎ ÓÓÔÈÂ Κάθε εξίσωση, η οποία περιλαµβάνει παραγώγους, είναι διαφορική εξίσωση Έτσι οι εξισώσεις d = + t d = 5 (Β) (Β3) d e t = cos (Β) d d = 5 + (Β4) είναι όλες διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

### Ενότητα 2: Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ MAΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΙΩΝ ΠΟΛΕΜΟΥ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ MAΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΙΩΝ ΠΟΛΕΜΟΥ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΦΟΙΤΗΤΗΣ: Σκορδούλης Μιχαήλ Αριθμός Μητρώου: 7756 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Χαλικιάς Μιλτιάδης, Επίκουρος Καθηγητής ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

### ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

### σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

### Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

### Χαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα

Έστω ο n nτετραγωνικός πίνακας A της μορφής a L a M O M an L a όπου aij, i n, j n πραγματικές σταθερές Ονομάζουμε χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα A την εξίσωση A λi, όπου I ο n n μοναδιαίος πίνακας και

Διαβάστε περισσότερα

### 4 4 2 = 3 2 = = 1 2

Πιθανότητες και Τυχαία Σήματα Μάθημα 3 ΑΣΚΗΣΗ Εστω ότι έχουμε δύο νομίσματα. Στο νόμισμα A η πιθανότητα να έρθει κεφαλή είναι. Στο νόμισμα B 4 3 η πιθανότητα να έρθει κεφαλή είναι. Δεν είστε σίγουροι ποιο

Διαβάστε περισσότερα

### Z L L L N b d g 5 * " # \$ % \$ ' \$ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * \$ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " #

Z L L L N b d g 5 * " # \$ % \$ ' \$ % % % ) * + *, - %. / 0 1 2 / + 3 / / 1 2 3 / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * \$ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " # \$ % \$ ' \$ % ) * % @ + * 1 A B C D E D F 9 O O D H

Διαβάστε περισσότερα

### Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

### Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

### ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος

Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

### Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Σε πολλές εφαρµογές, τόσο της αεροδιαστηµικής όσο και άλλων µορφών της τεχνολογίας µεταφορών κλπ, η βελτιστοποίηση επικεντρώνεται στο ζήτηµα της ενέργειας κατά την επίτευξη

Διαβάστε περισσότερα

### Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. Μιχάλης Δρακόπουλος

Μιχάλης Δρακόπουλος Σημειώσεις Τμ. Χημείας Α.Ε. 2016 2017 Περιεχόμενα 1 Βασικές έννοιες 3 1.1 Η εκθετική συνάρτηση............................... 3 1.2 Παράγωγος συνάρτησης..............................

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τίτλος Μαθήματος Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

### Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11

Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση... 0 Εισαγωγή... Ε. Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης... Ε. Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση.. Ε.3 Μορφές σφαλμάτων...

Διαβάστε περισσότερα

### Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

/8/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα / I y dyd συντεταγμένες. Επίσης σχεδιάστε το χωρίο ολοκλήρωσης. Λύση: Το

Διαβάστε περισσότερα

### Š ˆ ˆ ˆ Š ˆ ˆ Œ.. μ É Ó

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2011.. 42.. 2 Š ˆ ˆ ˆ Š ˆ ˆ Œ.. μ É Ó Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ 636 ˆ ˆ Šˆ Œ ˆŸ ˆŒˆ - Šˆ Œ Š ˆ ˆ 638 Š ˆ ˆ ˆ : ˆ ˆŸ 643 ˆ ˆ Šˆ Š 646 Œ ˆ Šˆ 652 Œ ˆ Šˆ Š ˆ -2 ˆ ˆ -2Œ 656 ˆ ˆ Šˆ Š œ Š ˆ Œ

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

### Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

9/6/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 5 Δίνεται ο πίνακας A 5. Αν διαγωνοποιείται να τον διαγωνοποιήσετε και στη συνέχεια να k υπολογίσετε το A όπου k θετικός

Διαβάστε περισσότερα