REZISTENŢA MATERIALELOR NOŢIUNI FUNDAMENTALE ŞI APLICAŢII * *

Transcript

1 PAVEL TRIPA MIHAI HLUŞCU REZISTENŢA MATERIALELOR NOŢIUNI UNDAMENTALE ŞI APLICAŢII * * Editur MIRTON Timişor 007

2 Dcă cee ce i făcut pre simplu, însemnă că nu i flt încă totul. ( Donld Westlke) Prefţă În nul 00, respectiv 00, pre în volume (407 pgini) l Editur MIRTON din Timişor lucrre Etpe şi modele de rezolvre problemelor de rezistenţ mterilelor vându-l c utor pe Pvel TRIPA. Experienţ ulterioră dovedit că lucrre l cre m făcut referire mi sus, prezent un nejuns şi nume cel că nu pune l dispoziţi celor interesţi probleme nerezolvte, probleme propuse pentru rezolvre. Rezolvând singur stfel de probleme, te poţi verific în legătură cu însuşire şi înţelegere noţiunilor de rezistenţ mterilelor. C urmre, s- impus completre lucrării Etpe şi modele de rezolvre problemelor de rezistenţ mterilelor cu un cpitol cre să conţină probleme propuse pentru fi rezolvte. Acestă problemă fost prţil rezolvtă prin priţi în nul 006 l Editur MIRTON din Timişor, într-un prim volum, lucrării Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii utori fiind Pvel TRIPA şi Mihi HLUŞCU, cdre didctice l Universitte POLITEHNICA din Timişor, cultte de Mecnică. Prezent lucrre este cel de-l II-le volum din Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii l celorşi utori în cre sunt trtte cpitolele: încovoiere oblică, solicitările compuse, clculul deformţiilor şi sistemelor sttic nedeterminte utilizând metod Mohr Mxwell, tensiuni l bre curbe plne, flmbjul brelor zvelte solicitte l compresiune, solicitre prin şoc, obosel mterilelor. C şi în precedentul volum, în primele 7 cpitole, l începutul fiecărui se prezintă noţiunile teoretice fundmentle obligtoriu fi cunoscute în vedere bordării clculelor de rezistenţă. După prezentre noţiunilor teoretice fundmentle sunt prezentte etpele ce trebuie prcurse în clculul de rezistenţă, specifice fiecărui cpitol. În continure, l fiecre cpitol sunt prezentte probleme rezolvte, urmând ps cu ps etpele recomndte fi prcurse. Ultimul cpitol l lucrării (Cpitolul 8) propune pentru fiecre din celellte 7 cpitole, un număr mre de plicţii (probleme) spre fi rezolvte, l cre se du rezulttele finle şi de multe ori şi rezulttele intermedire, pentru se pute verific pe prcurs rezolvre problemei. Problemele sunt prezentte, în generl, într-un mod grdt din punct de vedere l dificultăţii de rezolvre, de l cele mi simple spre cele cu un grd ridict de dificultte.

3 Întreg lucrre Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii (Vol. + ), se dreseză în primul rând studenţilor de l fcultăţile tenice cre studiză disciplin de Rezistenţ mterilelor, în vedere pregătirii lor profesionle şi mi les exmenului l cestă disciplină. Acestă lucrre constituie în celşi timp şi mteril de curs l Rezistenţ mterilelor, mi les pentru specilizările cu un număr de ore mi redus l cestă disciplină. Acest mteril este forte util şi proiectnţilor de elemente şi structuri de rezistenţă, cre de cele mi multe ori din comoditte, dr mi les din nestăpânire corespunzătore metodologiei clculului de rezistenţă şi deformbilitte, nu fc stfel de clcule. De semene, cestă lucrre vând un număr forte mre de probleme, constituie o bză de pregătire pentru studenţii cre prticipă l Concursul profesionl studenţesc C. C. Teodorescu l disciplin de Rezistenţ mterilelor, tât l fz loclă cât şi l ce nţionlă. Elborre cestei lucrări se bzeză în primul rând pe experienţ cumultă de utori cu studenţii şi ctivităţii lor în producţie îninte de ctivre lor în învăţământul superior, periodă ce cuprinde peste 0 de ni. C de fiecre dtă, l priţi unei noi lucrări pot păre unele nejunsuri cre să nu stisfcă pe deplin pe cei interesţi. Autorii, c de fiecre dtă, sunt recunoscători celor cre vor binevoi lectur cestă lucrre şi vor veni cu propuneri şi sugestii în vedere îmbunătăţirii conţinutului cestei, prezentării grfice etc., stfel încât să rezulte o lucrre utilă, de cre l or ctulă considerăm că este mre nevoie. Totodtă, utorii mulţumesc domnilor Prof. Dr. Euro. Ing. Tiberiu BABEU, membru titulr l Acdemiei de Ştiinţe Tehnice din Români şi Prof. Dr. Ing. Nicole NEGUŢ, decn l cultăţii de Mecnică din Timişor, pentru bunăvoinţ şi răbdre de lectur cestă lucrre, pentru sugestiile făcute şi pentru cceptre de o recenz ştiinţific. Timişor ebrurie, 007 Autorii 4

4 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii. CALCULUL DE REZISTENŢĂ LA ÎNCOVOIERE OBLICĂ.. Considerţii generle. Etpe de clcul Într-o secţiune trnsverslă unui element de rezistenţă se relizeză o solicitre de încovoiere oblică, tunci când în secţiune respectivă cţioneză un moment încovoietor M i, cre nu este orientt după nici un din direcţiile principle de inerţie le secţiunii (ig..- ). y M iy α M i z G M iz ig..- O stfel de solicitre rezultă în czul elementelor de rezistenţă solicitte de forţe căror plne trec prin x geometrică (ig..-), su forţele sunt în plne perpendiculre, plne cre trec prin x geometrică (ig..-b) brei. ) b) ig..- 5

5 Clculul de rezistenţă l înovoiere oblică Dcă direcţiile principle de inerţie sunt xele Gz, respectiv Gy, în czul încovoierii oblice, momentul încovoietor M i se descompune în două componente orientte după direcţiile principle de inerţie, rezultând M iz, respectiv M iy (ig..-). Deorece, tât M iz cât şi M iy, produc tensiuni normle σ, rezultă că într-un punct K dintr-o secţiune solicittă l încovoiere oblică, tensiune rezultntă, se clculeză cu relţi: σ M M iz iy K = ± yk ± z K.- Iz I y unde: y K şi z K - coordontele punctului K, fţă de sistemul principl de inerţie zgy, I z şi I y - momentele de inerţie xile (principle) fţă de direcţiile principle de inerţie Gz, respectiv Gy. Semnul + su -, se pune în funcţie de cum zon în cre se flă punctul K, este întinsă su comprimtă. Din relţi.-, rezultă că într-o secţiune, tensiune normlă σ este mximă în punctele cele mi îndepărtte tât de direcţi principlă Gz cât şi de direcţi principlă Gy. Pentru o secţiune dreptunghiulră (su formtă din suprfeţe dreptunghiulre), cest punct K, se flă într-un colţ l secţiunii, ir pentru secţiuni circulre, cest punct este situt pe fibr exterioră secţiunii. Vriţi tensiunii normle σ pe o secţiune solicittă l încovoiere oblică este liniră. Pentru reprezent grfic vriţi tensiunii normle σ l o solicitre de încovoiere oblică, trebuie determintă poziţi xei neutre. Ax neutră reprezintă locul geometric l punctelor din secţiune trnsverslă elementului de rezistenţă, în cre tensiune normlă σ este nulă. Ecuţi xei neutre pentru încovoiere oblică, rezultă din relţi.-: σ = 0 de unde rezultă: σ M M iz iy = ± yk ± z K 0.- I I K = z y 6

6 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii În sistemul de xe principl zgy, relţi.- este o dreptă, cre pote fi scrisă şi sub ltă formă: su M I z iz M iy y = z.- I y y z M I iy z =.-b M iz I y unde: y, z - reprezintă coordontele punctelor situte pe x neutră. Anlizând relţi.-, se consttă că dcă y = 0, rezultă z = 0 cee ce însemnă că x neutră l solicitre de încovoiere oblică, trece prin centrul de greutte G l secţiunii (origine sistemului principl de inerţie). Pentru reprezent x neutră pe secţiune, se pot utiliz două procedee: ) Se mi determină încă un punct (pe lângă G), punct prin cre trece x neutră. Pentru cest, în relţi.- su.-b, se dă o vlore lui y (y = y ) şi se clculeză z. Rezultă stfel, cel de-l doile punct de pe x neutră, de coordonte (z ; y ). Prin G şi cest punct de coordonte (z ; y ) se duce x neutră (o dreptă). b) De cele mi multe ori, x neutră se reprezintă după ce s- determint pnt cestee (unghiul β, făcut de x neutră cu direcţi principlă Gz; ig..-). Ax neutră y β M i y α z z ig..- 7

7 Clculul de rezistenţă l înovoiere oblică Din ig..-, se pote constt, că: şi y = tgβ z.-4 M iy = tgα.-4b M z Cu relţiile.-4 şi.-4b, relţi.-b, cpătă form: I tgβ = z tgα.-5 I y de unde rezultă, unghiul β făcut de x neutră cu direcţi principlă de inerţie Gz: β Iz = rctg tgα Iy.-6 Dcă: I I I > I β α.-7 z y > < I β α.-7b z y < = I β α.-7c z y = Din relţi.-7c, rezultă că pentru secţiuni circulre (unde I z = I y ), direcţi xei neutre, coincide cu direcţi momentului încovoietor M i, (M i M i,rez ): M M = M + M i.-8 i,rez iz iy 8

8 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Acestă consttre, conduce l concluzi că, pentru o secţiune circulră, punctele cele mi solicitte (cele mi depărtte de x neutră), sunt punctele cele mi depărtte de direcţi momentului încovoietor M i,rez. Se pote tunci clcul tensiune normlă mximă σ mx, pentru secţiune circulră, cu relţi: M M i,rez i,rez i,rez σ mx = y mx =.-9 I z Wz Wy M Clculul l încovoiere oblică, se fce exclusiv din condiţi de rezistenţă elementului. Relţiile de clcul utilizte, sunt prezentte în Tbelul.-. Pentru clculul de rezistenţă, trebuie stbilită secţiune periculosă, precum şi punctele cele mi solicitte din cestă secţiune. Tbelul.- Tipul problemei Secţiune necirculră Secţiune circulră De verificre σ M M iz iy i,rez mx = y+ z σ σ mx = σ Iz I W y z M De dimensionre M I z iz Miy Mi,rez y + z = σ Wz = =... I σ y De effort cpbil M I z iz M y+ I y iy z = σ Mi, cp= Mi,rez = Wz σ =... Pentru clculul de rezistenţă l încovoiere oblică, se prcurg următorele etpe: Se reprezintă elementul de rezistenţă numi prin x s geometrică Se reduc tote forţele (concentrte, distribuite, momente) în centrul de greutte l secţiunii în cre ele cţioneză. Dcă forţele concentrte şi cele distribuite nu u direcţi xelor principle de inerţie, ele se descompun în componente orientte după direcţiile principle de inerţie. Componentele 9

9 Clculul de rezistenţă l înovoiere oblică obţinute prin reducere în centrul de greutte l secţiunii, se pun pe elementul de rezistenţă reprezentt numi prin x s geometrică. Se obţine stfel un element de rezistenţă reprezentt numi prin x s geometrică, încărct cu forţe în plne perpendiculre (semănător cu brele drepte orizontle încărcte cu forţe, dr în două plne). Pentru sistemul obţinut, se trseză digrmele de eforturi. Rezultă numi digrme de momente încovoietore (M iz, M iy ) în două plne perpendiculre. Din nliz digrmelor de momente încovoietore şi vriţiei secţiunii în lungul elementului de rezistenţă, se stbileşte secţiune periculosă. Se deseneză secţiune periculosă. În secţiune periculosă, dcă cest re formă necirculră, se determină punctele cele mi solicitte (cel mi întins, respectiv cel mi comprimt). Pentru secţiuni circulre, nu este necesră determinre punctelor mi solicitte. Pentru stbilire punctelor mi solicitte, se procedeză în felul următor (vezi şi ig..-4): În cele ptru cdrne (delimitte de direcţiile principle Gz şi Gy), se pun semnele convenţionle şi (su lte semne). Se nlizeză ce tensiuni (de întindere su compresiune) produc în fiecre cdrn momentele încovoietore M iz, respectiv M iy. Pentru exemplul din ig..-4, rezultă: Cdrn II y Cdrn I Legend: Mi M iy z σ pentru M iz M iz + G + σ pentru M iy Cdrn III Cdrn IV ig..-4 0

10 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii momentul M iz întinde prte de sub x z (cdrnele III şi IV) şi comprimă prte de desupr xei z (cdrnele I şi II). C urmre, în semnul convenţionl pătrt, corespunzător tensiunii σ pentru M iz (vezi legend), în cdrnele III şi IV, punem +, ir în cele din cdrnele I şi II, punem -, momentul M iy întinde fibrele din cdrnele II şi III şi comprimă fibrele din cdrnele I şi IV. C urmre, în cercurile din cdrnele II şi III, punem +, ir în cercurile din cdrnele I şi IV, punem semnul -. Anlizând cum ig..-4, se consttă că punctul cel mi întins (punctul T), este situt în cdrnul III (unde tât M iz cât şi M iy întind), ir cel mi comprimt (punctul C), este situt în cdrnul I (unde tât M iz cât şi M iy comprimă). Se stbileşte tipul de problemă şi solicitre. Pentru solicitre de încovoiere oblică, pentru punctele cele mi solicitte (punctele T şi C) se scrie relţi corespunzătore tipului de problemă (relţi din Tbelul.-). Din relţi scrisă şi prticulriztă pentru problem dtă, se determină mărime necunoscută (tensiune mximă, dimensiune secţiunii trnsversle su încărcre cpbilă). În generl, pentru cest tip de probleme, se cere să se reprezinte şi vriţi tensiunii normle σ pe secţiune (de obicei în secţiune periculosă). Pentru cest, se prcurg etpele (evident după ce s- efectut clculul de rezistenţă): ixăm primul cdrn l sistemului de xe principle, dică orientăm xele Gz şi Gy. Primul cdrn este cel cre conţine (include) momentul încovoietor rezultnt, M i, rez M i (vezi relţi.-8). Se scrie ecuţi xei neutre (rel..- su.-b) Se determină poziţi xei neutre. Spre exemplu, se clculeză unghiul β (rel..-6) făcut de x neutră cu direcţi principlă Gz (vezi şi discuţiile de l rel c). Se duce x neutră (ig..-5). Pentru situţi din ig..-4, deorece I z > I y, rezultă, β > α.

11 Clculul de rezistenţă l înovoiere oblică Se duc prlele l x neutră prin punctele cele mi depărtte de cest. Punctele cele mi depărtte de x neutră, trebuie să fie punctele cele mi solicitte (vezi ig..-4), deorece punctele cele mi solicitte l încovoiere, sunt punctele cele mi depărtte de x neutră. Se duce poi o perpendiculră pe x neutră şi se reprezintă vriţi tensiunii normle σ, cre este o dreptă (vezi ig..-5). Se pun semnele +, respectiv - în funcţie de zon întinsă su comprimtă şi se reprezintă şi vlorile tensiunii σ în celellte puncte (se duce "hşur" tensiunii). β y C M i z α G σ mx,c T Ax neutră σ mx,t ig..-5. Modele de probleme rezolvte.. ie br cu form şi încărcre din ig...-. ) Să se verifice br, dcă: = 8 KN, σ t = 0 MP, σ c = 40 MP b) Să se reprezinte vriţi tensiunii normle σ în secţiune periculosă.

12 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Obs.: σ t - este tensiune normlă dmisibilă l întindere σ c - este tensiune normlă dmisibilă l compresiune. α,4 00 α = 45 0 = 0,5 m 00 ig...- Rezolvre: ) Se prcurg etpele de l prgrful., referitore l clculul de rezistenţă: Se reprezintă br numi prin x s geometrică (ig...-) ig...- Se reduc tote forţele în centrul de greutte G l secţiunii în cre ele cţioneză şi ce se obţine se pune pe br reprezenttă în ig...- (vezi ig...-). orţ,4 se descompune în două componente (,4 sin45 0 şi,4 cos45 0 ) orientte după direcţiile principle de inerţie Gz, respectiv Gy (ig...-b). Pentru sistemul din ig...-b, se trseză digrmele de eforturi. Se renunţă l digrm de efort tăietor T. Rezultă numi efort moment încovoietor.

13 Clculul de rezistenţă l înovoiere oblică α,4,4 cosα,4 sinα ) b) ig...- Digrm de momente încovoietore M i, este prezenttă în ig M iz M iy ig...-4 Cum br re secţiune constntă, rezultă că secţiune periculosă este în încstrre, unde momentul încovoietor este mxim. Se deseneză secţiune periculosă (ig...-5). (y) G (z) ig...-5 Se stbilesc punctele cele mi solicitte din secţiune 4

14 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii periculosă, ţinând sem de efectul celor două momente de încovoiere, M iz = l şi M iy = l, cre cţioneză în secţiune periculosă (ig...-6) Pentru cestă etpă, vezi prgrful.. S (y) T Legend: C G P (z) σ Miz σ Miy ig...-6 M iz întinde prte de desupr xei Gz şi comprimă prte de sub x Gz, ir M iy, întinde prte din drept xei Gy şi comprimă prte din stâng cestei xe. Atenţie: În ig...-4, digrmele de momente încovoietore sunt reprezentte pe fibr întinsă (ş după cum se ştie de l digrmele de eforturi). Din ig...-6, rezultă că punctul cel mi întins (punctul T), este situt în cdrnul trigonometric I, ir cel mi comprimt (punctul C), în cdrnul trigonometric III. Problem studită este de verificre, ir solicitre este de încovoiere oblică. Se scrie relţi generlă de clcul pentru problem de verificre, secţiune necirculră, solicitre de încovoiere oblică (vezi Tbelul.-): σ mx M M iz iy = y + z..- I I z y Prticulriztă pentru punctele cele mi solicitte, rezultă: σ mx, t M M iz iy = σ T = yt + zt..- Iz I y 5

15 Clculul de rezistenţă l înovoiere oblică σ mx, c M M iz iy = σc = yc zc..-b Iz I y unde: σ mx,t ; σ mx,c - tensiune normlă mximă l întindere, respectiv tensiune normlă mximă l compesiune. Explicitând relţiile..- şi..-b, se obţine: h b = σ T = +..- bh b h σ mx, t h b = σc =..-b bh b h σ mx, c unde: h = 00 mm; b = 00 mm; = 0,5 m = 500 mm; = 8 KN. Cu ceste vlori numerice, rezultă: σ mx,t = σ T = 4 MP > σ t = 0 MP σ mx,c = σ C = - 4 = 4 MP < σ c = 90 MP Anlizând rezulttele obţinute, rezultă că br stisfce condiţi de rezistenţă l compresiune, dr nu o stisfce pe ce de întindere. Deci, condiţi de rezistenţă, nu este stisfăcută pentru cestă bră. Dcă dorim să clculăm tensiune normlă şi în lte puncte, tunci se utilizeză relţi.-. În relţi.-, se pune + su -, după cum ceste puncte se flă în zon întinsă su comprimtă pentru fiecre din cele două momente încovoietore. Spre exemplu, dcă se doreşte clculul tensiunii normle în punctul S, situt în cdrnul trigonometric II (ig...-6), su pentru punctul P din cdrnul trigonometric IV (ig...-6), relţi.-, se scrie stfel: 6

16 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii σ S M M iz iy = + ys zs..-4 Iz Iy σ M M iz iy P = yp + zp Iz I..-4b y b) Să reprezentăm cum vriţi tensiunii normle σ, în secţiune periculosă. ixăm primul cdrn, dică orientăm xele principle Gz şi Gy (ig...-7). Scriem ecuţi xei neutre (relţi.-b): y z M I iy z =..-5 M iz I y Determinăm poziţi xei neutre (unghiul β), cu relţi.-6: I β = rctg I z y = I tgα rctg I z y M M iy iz su după înlocuirile vlorilor numerice se obţine: şi β = 69,44 0 M iy α = rctg = rctg =,69 M iz 0 Cum I z > I y, rezultt β > α (cee ce se şti de l prgrful., relţi.-7). Se duce x neutră şi se reprezintă vriţi tensiunii normle (ig...-7). 7

17 Clculul de rezistenţă l înovoiere oblică S T G M i α z C P β y - 4 MP + 4 MP Ax neutră ig...-7 L x neutră ducem prlelele cre să trecă prin punctele cele mi depărtte de ceste. Aceste prlele, după cum se observă, trec prin punctele T şi C, cre sunt cele mi solicitte. Acum se reprezintă vriţi tensiunii normle σ pe secţiune. iind vorb ici de secţiune periculosă, vlorile mxime le tensiunii normle, sunt: σ mx,t = σ mx,c = 4 MP.. Pentru br cu form şi încărcre din ig...-, se cere: ) orţ cpbilă ( =?), pentru σ = 50 MP, b) Digrm de vriţie tensiunii normle σ, în secţiune periculosă. Se cunosc: t=0 mm, ir forţ de,7 este sitută în plnul secţiunii trnsversle şi fce cu direcţi principlă Gz un unghi de α =0 0, ir = 0,5 m. 8

18 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii 4t t 4t α,7 t ig...- Rezolvre: ) Se prcurg etpele cunoscute de l prgrful., respectiv, exemplul... Reprezentăm br numi prin x s geometrică (ig...-). ig...- Se reduce forţ,7 în centrul de greutte l secţiunii în cre e cţioneză (cpătul liber l brei). Din ig...-, se consttă că forţ concentrtă cţioneză chir în centrul de greutte G l secţiunii, deci prin reducere se obţine numi o forţă concentrtă eglă cu,7, cre se pune pe br repezenttă în ig...-, rezultând sistemul din ig...-. orţ concentrtă,7, se descompune după direcţiile principle de inerţie Gz şi Gy, rezultând sistemul din ig...-b. 9

19 Clculul de rezistenţă l încovoiere oblică,7 cos0 0 α,7 α,7 sin0 0,7 ) b) ig...- Pentru sistemul din ig...-b, se trseză digrmele de eforturi, în vedere stbilirii solicitării şi secţiunii periculose. Deorece, br este cu secţiune trnsverslă grosă, se pote renunţ (neglij) efectul efortului tăietor T. Pentru sistemul din ig...-b, rezultă numi moment încovoietor în două plne. Digrmele M i, sunt prezentte în ig (,7 sin0 0 ) = 0,865 M iz (,7 cos0 0 ) =,5 M iy ig...-4 Din ig...-4, rezultă că br este solicittă l încovoiere oblică de către M iz şi M iy, ir secţiune periculosă, este în înţepenire. Desenăm secţiune periculosă (ig...-5). L cestă secţiune, pentru cunoşte poziţi direcţiilor principle Gz şi Gy, trebuie determintă poziţi centrului de 0

20 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii greutte G. Poziţi centrului de greutte G, este prezenttă în ig...-5 (y G =,5 t). T z Legend σ Miz y G =,5 t σ Miy C y ig...-5 Se stbilesc punctele cele mi solicitte din secţiune periculosă, punând în fiecre cdrn trigonometric, câte un pătrt pentru tensiune normlă produsă de M iz şi câte un cerc pentru tensiune produsă de M iy (ig...-5). Momentul M iz, întinde prte de sus (cdrnele I şi II) şi comprimă prte de jos (cdrnele III şi IV), ir M iy, întinde prte din drept (cdrnele I şi IV) şi comprimă prte din stâng (cdrnele II şi III). Acestă consttre s- făcut pe bz digrmei de momente încovoietore (ig...-4), digrme cre totdeun se reprezintă pe fibr întinsă. Din ig...-5, rezultă că punctul cel mi întins (punctul T) se flă în cdrnul trigonometric I, ir cel mi comprimt (punctul C), în cdrnul trigonometric III (ig...-5). Problem este de efort cpbil (se cere =?), ir solicitre este de încovoiere oblică (încovoiere în două plne). Relţiile de clcul pentru punctele cele mi solicitte (din Tbelul.-) sunt:

21 Clculul de rezistenţă l încovoiere oblică M M σ = iz iy mx, t = σt = yt + zt σt Iz I..- y M M σ = iz iy mx, c = σc = yc zc σc Iz I..-b y Pentru pute efectu clculul tensiunilor normle, trebuie clculte momentele de inerţie xile I z, repectiv I y. Pentru secţiune din ig...-5, cu vlorile prezentte în ig...-, rezultă: I z = 49, t 4 = 49, 0 4 mm 4 I y =, t 4 =, 0 4 mm 4. Prticulrizând relţiile..- şi..-b, rezultă: 0, ,5 500, = , 0, , ,5 500,5 0 0 = b 49, 0, 0 Din relţi..-, rezultă = 6,07 N =,6 KN, ir din relţi..-b, rezultă = 74,9 N =,74 KN. orţ cpbilă pentru br studită, este: cp = min ( ; ) =,6 KN. b) Pentru trsre digrmei de vriţie tensiunii normle σ pe secţiune, se prcurg etpele: ixăm primul cdrn (vezi ig...-5), dică se orienteză direcţiile principle Gz şi Gy. Atenţie: Primul cdrn formt de direcţiile principle ( nu se confund cu primul cdrn trigonometric), este cdrnul în cre cţioneză momentul încovoietor M i M i,rez, dt de M iz şi M iy şi nu cdrnul în cre este forţ. Pentru exemplul nostru, forţ,7

22 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii cţioneză în cdrnul trigonometric III (su I), ir momentul M i,rez, în cdrnul trigonometric IV. Aşdr, primul cdrn l xelor principle de inerţie Gz şi Gy, este cdrnul trigonometric IV. Se scrie cum, ecuţi xei neutre (rel..-b): y z M I iy z = M iz I..- y Determinăm poziţi xei neutre (rel..-6): M I β = iy z 0 = rctg 8, M iz I..-4 y N: Se duce x neutră (ig...-6). Se duc prlele l x neutră prin punctele cele mi depărtte şi se se consttă că ceste prlele trec prin punctele T şi C, stbilite c fiind cele mi solicitte, cee ce este corect. Se reprezintă vriţi tensiunii normle σ pe secţiune (ig...-6). Cum cp =, obţinută din condiţi σ mx,t = σ Τ = 50 MP (rel...-), rezultă că în punctul C (cel mi comprimt), tensiune σ, trebuie clcultă pentru vlore lui = cp. Pentru cest, utilizăm relţi..-b, unde =.6,07 0,866.6,07 500,5.6, = 5 0 = 96, , 0, 0 σc 4 MP Acestă vlore este trecută în digrm de vriţie tensiunii normle σ pe secţiune (ig...-6).

23 Clculul de rezistenţă l încovoiere oblică T G z C y -96,98 MP +50 MP Ax neutră ig ) Să se dimensioneze br cu form şi încărcre din ig...- (d =?), pentru σ = 50 MP. b) Să se reprezinte vriţi tensiunii normle σ în secţiune periculosă, fără mi clcul vlore mximă cestee. p = 0 kn/m d = p ig...- Rezolvre: ) Se reprezintă br prin x s geometrică (ig...-). ig...- 4

24 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Se reduc forţele ( şi p) în centrul de greutte l secţiunii în cre cţioneză şi rezultntele lor se pun pe br reprezenttă în ig...- (ig...-). p p ig...- Se trseză digrmele de eforturi (neglijăm efortul tăietor T). Digrmele M i (moment încovoietor), sunt prezentte în ig p M iz p M iy ig...-4 Din ig...-4, rezultă că secţiune periculosă este în încstrre, ir solicitre este de încovoiere oblică, cu momentele M iz = pl şi M iy = pl. Secţiune periculosă, este prezenttă în ig iind secţiune circulră, nu mi stbilim punctele cele mi solicitte, lucru cre presupune pentru cest tip de secţiune, determinre mi întâi poziţiei xei neutre. Problem este de dimensionre, solicitre de încovoiere oblică. 5

25 Clculul de rezistenţă l încovoiere oblică ig...-5 Din Tbelul.-, relţi de clcul, este: W Mi,rez = σ z, nec = Prticulrizând relţi..-, pentru problem în studiu, rezultă: M M iz + iy π d = σ..-b de unde se obţine: d = M iz π σ + M iy / =,77 p σ / Cu vlorile numerice, se obţine: d = 00 mm. b) Poziţi xei neutre, pentru secţiuni circulre, coincide cu poziţi momentului încovoietor rezultnt (rel...7c): β =α 6

26 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii M iy p β = rctg = rctg = rctg = M p iz 6,56 0 Primul cdrn este prezentt în ig T y Legend β α = 6,56 0 C z σ Miz σ Miy σ mx,t σ mx,c Ax neutră ig...-6 O nliză punctelor mi solicitte, scote în evidenţă fptul că punctul cel mi întins este situt în cdrnul trigonometric II, ir cel mi comprimt, în cdrnul trigonometric IV. L fel rezultt şi în urm reprezentării grfice vriţiei tensiunii pe secţiune. 7

27 Clculul de rezistenţă l solicitări compuse. CALCULUL DE REZISTENŢĂ LA SOLICITĂRI COMPUSE. Considerţii generle. Tipuri de solicitări compuse Dcă în secţiune unui element de rezistenţă, există mi multe eforturi, spunem că în ce secţiune, se relizeză o solicitre compusă. Solicitre compusă elementelor de rezistenţă, este solicitre ce mi întâlnită în prctică. Sunt puţine czurile în cre elementele de rezistenţă sunt simplu solicitte, dică supuse cţiunii unui singur efort. Dcă eforturile cre cţioneză într-o secţiune, produc tote celşi tip de tensiune (normlă σ su tngenţilă τ), se spune că solicitre respectivă este o solicitre compusă de ctegori I. C exemplu de stfel de solicitre, se minteşte: solicitre xilă + încovoiere oblică; forfecre + torsiune. Dcă eforturile cre cţioneză într-o secţiune elementului de rezistenţă, produc tensiuni de ntură diferită (normlă σ şi tngenţilă τ), se spune că solicitre respectivă, este o solicitre compusă de ctegori II-. Spre exemplu, o stfel de solicitre este crcteristică rborilor, în secţiunile lor trnsversle întâlnindu-se efeorturile: M iz, M iy, M t. Clculul de rezistenţă pentru cele două tipuri de solicitări compuse (ctegori I şi ctegori II-), este diferit. În cestă lucrre, cele două ctegorii de solicitări compuse, se trteză seprt.. Solicitre compusă de ctegori I.. Considerţii generle. Etpe de clcul După cum s- mi spus, în czul solicitării compuse de ctegori I, eforturile cre cţioneză în secţiune trnsverslă unui element de rezistenţă, produc tensiuni de celşi tip. 8

28 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii iind vorb despre tensiuni de celşi tip (ntură), tensiune rezultntă într-un punct dintr-o stfel de secţiune, se obţine c o sumă vectorilă tensiunilor produse de fiecre efort în prte. Astfel: pentru czul existenţei eforturilor N, M iz, M iy, tensiune normlă rezultntă într-un punct K (σ rez,k ), este: σ rez, K = ± σ N ± σ Miz ± σ Miy N M = ± ± A I z iz y K M ± I y iy z K..- unde: σ N - tensiune normlă în punctul K, produsă de efortul xil N σ Miz - tensiune normlă în punctul K, produsă de momentul încovoietor M iz σ Miy - tensiune normlă în punctul K, produsă de momentul încovoietor M iy. Pentru bre de secţiune circulră, când se clculeză tensiune normlă rezultntă mximă, se utilizeză relţi: unde: N Mi,rez σ rez,mx = A W z M + i, rez Miz Miy =..- Din relţi..-, se consttă că tensiune rezultntă σ rez,k, este o sum lgebrică şi st dtorită fptului că tensiunile normle produse de eforturile N, M iz, M iy (σ Ν, σ Μiz, σ Μiy ) sunt tote normle (perpendiculre) l secţiune, cz în cre sum vectorilă se reduce l o sumă lgebrică. pentru czul existenţei eforturilor T y, T z, M t, tensiune tngenţilă rezultntă într-un punct K (τ rez,κ ), este: 9

29 Clculul de rezistenţă l solicitări compuse unde: τ rez, K = τty + τtz + τ Mt..-4 τ Ty - tensiune tngenţilă în punctul K, produsă de efortul tăietor T y τ Tz - tensiune tngenţilă în punctul K, produsă de efortul tăietor T z τ Mt - tensiune tngenţilă în punctul K, produsă de momentul de torsiune M t În czul solicitării compuse de ctegori I de forfecre şi torsiune, l elementele de rezistenţă căror rie secţiunii trnsversle re vlore mre, efortul tăietor se pote neglij. În cest cz, rezultă numi o solicitre simplă de torsiune. Clculul elementelor de rezistenţă supuse solicitărilor compuse, se fce în generl numi din condiţi de rezistenţă. În czul solicitării compuse (cu eforturile N, M iz, M iy ), pentru cele trei tipuri de problemă (verificre, dimensionre, efort cpbil), condiţi de rezistenţă, relţiile de clcul sunt prezentte în Tbelul..-. Tbelul..- Tipul Condiţi de rezistenţă problemei Secţiune necirculră Secţiune circulră De verificre De dimensionre σmx= N/A + (Miz/Iz) ymx +(Miy/Iy) zmx < σ N/A + (Miz/Iz) ymx +(Miy/Iy) zmx = σ σmx=n/a + Mirez / Wz < σ N/A + Mirez / Wz = σ De efort cpbil N/A + (Miz/Iz) ymx +(Miy/Iy) zmx = σ N/A + Mirez / Wz = σ Relţiile de clcul prezentte în Tbelul..-, se scriu pentru punctele cele mi solicitte, situte în secţiune periculosă. Aceste puncte trebuie determinte, cu excepţi secţiunilor circulre. 0

30 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Pentru clculul de rezistenţă, solicitre compusă de ctegori I, se prcurg următorele etpe (vezi şi etpele de l încovoiere oblică, Cp. ): Se reprezintă elementul de rezistenţă numi prin x s geometrică. Se reduc tote forţele exteriore în centrul de greutte l secţiunii în cre ele cţioneză şi ce se obţine se pune pe elementul de rezistenţă reprezentt numi prin x s geometrică. Se trseză digrmele de eforturi (fără efortul tăietor T) pentru sistemul obţinut nterior. Vor rezult eforturile: N, M iz, M iy (ici s- presupus că eforturile cre rezultă conduc l o solicitre compusă de ctegori I). Se stbileşte secţiune periculosă şi eforturile din cestă secţiune. Se stbileşte tipul problemei. Pentru punctele cele mi solicitte, în funcţie de tipul problemei, din Tbelul..-, se scrie relţi de clcul. Din relţiile scrise nterior, se determină mărime necunoscută. Pentru cest tip de solicitre, se cere de cele mi multe ori şi reprezentre tensiunii normle pe secţiune. Pentru cest, se prcurg următorele etpe: Se fixeză primul cdrn l sistemulul de xe principle, dică se orienteză xele principle Gz şi Gy. De dt cest, primul cdrn este cel în cre tensiunile normle produse de cele trei eforturi, sunt tote fie pozitive, fie negtive. Se scrie ecuţi xei neutre: N A M M iz iy + y 0 + z 0 = I I z y cre, după cum se observă, este o dreptă cre nu trece prin centrul de greutte. În relţi..-5, y 0 şi z 0, sunt coordontele punctelor de pe x neutră.

31 Clculul de rezistenţă l solicitări compuse Pentru reprezent x neutră, se determină punctele de intersecţie le cestee cu direcţiile principle Gz, respectiv Gy: Dcă impunem y 0 = 0, se obţine intersecţi xei neutre cu x Gz în punctul P de coordonte: y 0 = 0 N Iy z0 =..-6 M A iy Dcă impunem z 0 = 0, se obţine intersecţi xei neutre cu x Gy în punctul S de coordonte: z 0 = 0 N Iz y0 =..-7 M A iz Prin punctele P şi S, se duce x neutră (o dreptă). Se duc prlele l x neutră prin punctele cele mi depărtte de cest. Punctele cele mi depărtte de x neutră, trebuie să fie punctele cele mi solicitte (punctele T şi C). Se duce poi o perpendiculră pe x neutră şi se reprezintă vriţi tensiunii normle σ, cre este tot o dreptă. Se pun semnele +, respectiv - în funcţie de zon întinsă su comprimtă şi se reprezintă vlorile tensiunii normle şi în celellte puncte (se duce "hşur" tensiunii). Observţie: Dcă unul din cele două momente încovoietore lipseşte, x neutră este prlelă cu un din direcţiile principle. Astfel: dcă M iy = 0, rezultă poziţi xei neutre: N Iz y0 = Miz A şi x neutră este prlelă cu x principlă Gz, dcă M iz = 0, poziţi xei neutre, este:

32 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii z N = M 0 iy I y A ir, x neutră este prlelă cu x principlă Gy, dcă N = 0, rezultă o solicitre de încovoiere oblică (vezi Cp.). După cum rezultă din relţiile..-6 şi..-7, x neutră tie xele principle Gz şi Gy pe sensurile lor negtive, motiv pentru cre l poziţionre xei neutre pe secţiune, este forte importnt să se ştie cre sunt sensurile pozitive le xelor principle Gz şi Gy (dică să se cunoscă su să se definescă un prim cdrn)... Modele de probleme rezolvte... Pentru br din ig...-, se cere: ) Vlore forţei, pentru σ = 50 MP b) Digrm tensiunii normle σ, în secţiune periculosă. 4 ig = 00 mm Rezolvre: ) Pentru clculul forţei cpbile, se prcurg etpele prezentte l prgrful..:

33 Clculul de rezistenţă l solicitări compuse Se reprezintă br numi prin x s geometrică (ig...- ). ig...- Se reduc forţele plicte ( şi 0) în centrul de greutte l secţiunilor în cre ele cţioneză şi ce se obţine se şeză pe br reprezenttă numi prin x s geometrică (ig...- ). M iz = 400 M iy = ig...- Pentru sistemul din ig...-, se trseză digrmele de eforturi (fără efortul tăietor), obţinându-se digrmele din ig Anlizând cum digrmele de eforturi din ig c, rezultă că secţiune periculosă este în cpătul liber l brei, unde cţioneză eforturile: N = 0 σ N M iz = 400 σ Miz M iy = 400 σ Miy 4

34 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii ) b c) ig Secţiune periculosă este prezenttă în ig Tot în ig...-5, se prezintă modul de determinre punctelor mi periculose din cestă secţiune (vezi Cp.). Rezultă că punctul cel mi întins este punctul T (situt în cdrnul trigonometric IV), ir cel mi comprimt este punctul C (situt în cdrnul trigonometric II). Dintre cele două puncte, deorece secţiune este dublu simetrică, rezultă că punctul T este cel mi solicitt (în cest punct, tote eforturile produc tensiuni normle de întindere). M i C Legend σ N σ Miz T σ Miy ig...-5 Problem este de efort cpbil, solicitre compusă de ctegori I, secţiune necirculră. 5

35 Clculul de rezistenţă l solicitări compuse Relţi de clcul (din Tbelul..-), este: N M ± ± A I z iz y K M ± I y iy z K = σ...- su, prticulriztă pentru punctul T, rezultă: N M ± ± A I z iz y T M ± I y iy z T = σ...- su după înlocuire vlorilor eforturilor: unde: = A I I z A = =.000 mm I z = I y = 86, mm4. y Înlocuind pe A, I z, I y în relţi...-, se obţine: = , ,66 0 de unde, rezultă vlore forţei cpbile (vlore mximă dmisă pentru forţ ): =,97 KN...-5 b) Pentru reprezentre vriţiei tensiunii normle în secţiune periculosă, se procedeză stfel: Se stbileşte primul cdrn (vezi ig...-5). Primul cdrn este prezentt în ig Se determină punctele de intersecţie le xei neutre cu xele principle Gz şi Gy (vezi rel...-6 şi..-7): intersecţi cu x Gz (punctul P): 6

36 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii y 0 = 0 z N = M iy Iy A 0 =,66 MP intersecţi cu x Gy (punctul S): z 0 = 0 y N = M iz Iz = A 0,66 MP Poziţi xei neutre, este prezenttă în ig Se duc prlele l x neutră prin punctele cele mi depărtte de cest. Aceste prlele, după cum se pote constt, trec prin punctele cele mi solicitte (punctele T şi C). C S -05 P G z y T Ax neutră σ [MP] +50 ig...-6 Se reprezintă vriţi tensiunii normle σ pe secţiune (ig...-6). Trebuie clcultă cum, tensiune normlă din punctul C, l vlore forţei dmisibile, =,97 KN: 7

37 Clculul de rezistenţă l solicitări compuse = , ,66 0 σc = 05 MP Acestă vlore tensiunii normle din punctul C, l vlore forţei dmise, este trecută în digrm din ig Pentru grind în consolă din ig...-, se cere: ) Tensiunile normle mxime şi minime (mxime l întindere şi compresiune), b) Vriţi tensiunii normle în secţiune periculosă, c) Tensiune normlă în dreptul centrului de greutte G l secţiunii trnsversle grinzii. = 0,7 kn 0 00 = m 80 = kn ig...- Rezolvre: Se vor prcurge etpele dej cunoscute (vezi prgrful.. şi exemplul precedent). Se reprezintă grind numi prin x s geometrică (ig...-). 8

38 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii G y G = 4, mm ig...- ig...- Se reduc tote forţele plicte în centrul de greutte l secţiunii în cre ele cţioneză. Pentru cest, trebuie determintă poziţi centrului de greutte l secţiunii trnsversle (vezi clculul poziţiei centrului de greutte l unei suprfeţe plne). Poziţi centrului de greutte G, l secţiunii trnsversle pentru br nostră, este prezenttă în ig...-. Componentele obţinute prin reducere forţelor plicte, în centrul de greutte l secţiunii, se pun pe grind reprezenttă numi prin x s geometrică, rezultând sistemul din ig M iz = 4, ig...-4 M iy = 49 Cu încărcările din ig...-4, se trseză digrmele de eforturi (se neglijeză efortul tăietor). Pentru czul studit digrmele de eforturi rezultte sunt prezentte în ig

39 Clculul de rezistenţă l solicitări compuse = kn 4, + =.9,96 kn mm 480 kn mm = kn.9,96 kn N 40 =480 kn mm M i ) b) ig...-5 Din nliz digrmelor de eforturi şi le vriţiei secţiunii în lungul brei, rezultă că secţiune periculosă, este în încstrre. Eforturile din secţiune periculosă, sunt: N = - = - KN M iz =.9,96 KN mm M iy = 480 KN mm Rezultă că în secţiune periculosă, există o solicitre compusă de ctegori I, secţiune fiind necirculră. orm secţiunii periculose, este prezenttă în ig Stbilire şi poziţionre punctelor mi solicitte din secţiune periculosă, este prezenttă în ig Punctul cel mi întins (punctul T), este situt în cdrnul trigonometric II, ir cel mi comprimt (punctul C), în cdrnul trigonometric IV. Tot cum se pote preciz şi primul cdrn, cre ici coincide cu cdrnul trigonometric IV (vezi ig...-6), unde tote tensiunile sunt de compresiune (negtive). 40

40 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii T Legend G z σ N σ Miz C σ Miy y ig...-6 Problem este de verificre, condiţi de rezistenţă, secţiune necirculră. Relţiile de clcul (din Tbelul..-), pentru punctele cele mi solicitte, sunt: σ mx, t N M M iz iy = σt = + yt + zt...- A Iz Iy σ mx, c N M M iz iy = σc = yc zc A Iz I...- y Pentru secţiune periculosă, rezultă: A =.600 mm I z = 49,68 04 mm4 I y = 9 04 mm4 y T = 76,67 mm, z T = 0 mm y C = 4, mm, z C = 40 mm Cu ceste vlori şi cu cele le eforturilor din secţiune periculosă, din relţiile...- şi...-, se obţine: σ mx,t = σ Τ = 7,6 MP σ mx,c = σ C = -5 MP 4

41 Clculul de rezistenţă l solicitări compuse Se pote constt, că tensiunile mxime l trcţiune (σ mx,t ), respectiv l compresiune (σ mx,c ), sunt inferiore celor dmisibile pentru oţel. b) Pentru reprezent vriţi tensiunii normle pe secţiune periculosă, trebuie stbilită poziţi xei neutre. Ecuţi xei neutre, este (relţi..-5): N M M iz iy + y0 + z0 = 0 A I I z de unde rezultă tăieturile xei neutre cu xele principle Gz şi Gy: intersecţi cu x Gz (punctul P): y y 0 = 0 N z = M iy I y A 0 = 6,4 MP intersecţi cu x Gy (punctul S): z 0 = 0 N y = M Iz A 0 = iz,4 MP Poziţi xei neutre, precum şi vriţi tensiunii normle σ, în secţiune periculosă, este prezenttă în ig c) Pentru centrul de greutte G, relţi de clcul tensiunii normle σ, este: σ mx, G = N A + M I z iz y G + M I y iy z G unde: y G = z G = 0, ir relţi...-, cpătă form: 4

42 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii N A = A σ mx, G = = =,4 MP T P S z 7,6 MP y C σ G,mx Ax neutră -5 MP ig...-7 Tensiune σ mx,g, este de semene prezenttă în ig Pentru br de secţiune circulră din ig...-, se cere: ) dimensionre brei (d =?) pentru σ = 50 MP b) digrm de vriţie tensiunii normle în secţiune periculosă. = 0 kn d 6d 0d ig...- Rezolvre: 4

43 Clculul de rezistenţă l solicitări compuse Se prcurg etpele cunoscute şi dej plicte l exemplele precedente. ) Br reprezenttă numi prin x s geometrică, se încrcă cu componentele obţinute prin reducere srcinilor şi 4 în centrul de greutte l secţiunii în cre ele cţioneză (ig...-) 4 6 d 0 d M iz = d/ ig...- Se trseză digrmele de eforturi (fără efortul tăietor) pentru sistemul din ig...-. Aceste digrme sunt prezentte în ig d/ M iz = 40,5 d N M iz Anlizând digrmele de eforturi (ig...-) şi vriţi secţiunii în lungul brei, se consttă că secţiune periculosă este în înţepenire (secţiune constntă şi eforturi mxime), unde cţioneză eforturile: N = = 0 KN M iz = 40,5 d ig...- Secţiune periculosă este prezenttă în ig În secţiune periculosă, există o solicitre compusă de ctegori I, lcătuită din trcţiune şi încovoiere plnă. 44

44 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii y Legend z σ N σ Miz ig...-4 Problem este de dimensionre, condiţi de rezistenţă, secţiune circulră. Nu trebuie determinte punctele cele mi solicitte din secţiune. Relţi de clcul utiliztă (din Tbelul..-), este: unde: M N A M i,rez + = σ...- Wz = M + M = M = 40,5 d...- i, rez iz iy iz Prticulrizând pentru problem nostră, relţi...- cpătă form: su: 40,5 d + = σ π d π d π d.96 + π d = de unde, se obţine dimetrul secţiunii trnsversle l brei: 45

45 Clculul de rezistenţă l solicitări compuse.00 d = = 66 π 50 mm b) Pentru reprezentre vriţiei tensiunii normle pe secţiune, se determină poziţi xei neutre, din ecuţi: N A M iz + y 0 = I z de unde rezultă singur tăietură xei neutre cu x principlă Gy: y N = M I z d = = A iz 0,56 mm Pentru pute reprezent x neutră, trebuie stbilit primul cdrn. Acestă etpă este forte bine prezenttă în ig După cum se pote constt, tât cdrnul trigonometric I cât şi II, pot fi considerte primul cdrn pentru xele principle Gz şi Gy. Poziţi xei neutre şi vriţi tensiunii normle σ în secţiune periculosă, este prezenttă în ig În cest cz, mi trebuie clcultă tensiune normlă mximă l compresiune (din punctul C), pentru vlore lui d = 66 mm: 4.96 σ mx,c = σ C = + π 66 π 66 = 47, MP Vlore σ C este trecută în digrm σ din ig

46 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii T y 50 MP z Ax neutră C -47, MP σ [MP] ig

47 Clculul de rezistenţă l solicitări compuse. Solicitări compuse de ctegori II-.. Considerţii generle. Etpe de clcul În czul solicitărilor compuse de ctegori II-, tensiunile dintr-un punct sunt de ntură diferită (σ şi τ), ir o rezultntă lor nu pote fi obţinută. În cest cz de solicitre compusă, se clculeză o tensiune echivlentă (σ ech ) după o numită teorie de rezistenţă. Sunt cceptte cinci teorii de rezistenţă, ir pentru stre plnă de tensiune, tensiune echivlentă pentru cele cinci teorii de rezistenţă, se clculeză cu relţiile: ) Teori tensiunii normle mxime (Teori I): σ σ ech() + = + σ 4τ..- b) Teori deformţiei specifice mxime (Teori II-): σ + ech(ii) = 0,5 σ + 0,65 σ 4τ..- c) Teori tensiunii tngenţile mxime (Teori III-): σ + ech(iii) = σ 4τ..- d) Teori energiei totle de deformţie (Teori IV-): σ + ech(iv) = σ,6 τ..-4 e) Teori energiei de vriţie formei (Teori V-): σ σ σ + τ ech(v) = Cercetările experimentle u rătt că pentru mterilele tence, există o concordnţă suficient de bună cu Teori III- su cu 48

48 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Teori V-. Din cest motiv, cele două teorii sunt preferte în clcul tunci când este vorb despre mterile tence. În schimb, pentru mterilele frgile, rezultte mi propite de relitte, prezintă Teori II- de rezistenţă. O situţie prticulră, o constituie clculul de rezistenţă brelor drepte de secţiune circulră (în specil l rborilor) solicitte numi l încovoiere şi torsiune. În cest cz prticulr, clculul se pote fce pe bz relţiei: σ ech, mx( ) M ech( ) = σ..-6 W z unde, momentul echivlent M ech( ) după cele cinci teorii de rezistenţă, re următorele expresii: M = 0,5 [M + M M ]..-7 ech(i) i,rez i,rez + t M = 0,5 M + 0,65 M + M..-7b ech(ii) i,rez i,rez t M = M + M..-7c ech(iii) i,rez t M ech(iv) = M + 0,65 M..-7d i,rez t unde: M ech(v) = M + 0,75 M..-7e i,rez M = i, rez M iz M iy t În czul unei solicitări compuse de ctegori II- unde este prezent şi efortul xil N, se utilizeză numi relţiile Pentru cest tip de probleme, se prcurg în generl celeşi etpe cre u fost prezentte l solicitre compusă de ctegori I, deosebiri părând dor l clculul tensiunilor. 49

49 Clculul de rezistenţă l solicitări compuse Ită etpele cre trebuie prcurse pentru rezolvre problemelor de cest tip: Se reprezintă elementele de rezistenţă numi prin xele lor geometrice. Se reduc tote srcinile în centrul de greutte l secţiunii în cre ele cţioneză şi componentele obţinute se fixeză pe elementul de rezistenţă reprezentt numi prin x s geometrică. Pentru sistemul stfel obţinut, se trseză digrmele de eforturi (fără efortul tăietor cre se neglijeză). Din nliz digrmelor de eforturi şi vriţiei secţiunii trnsversle în lungul elementului de rezistenţă, se stbileşte secţiune periculosă. Se scriu eforturile din secţiune periculosă. Dcă în secţiune periculosă pre pe lângă N şi Mi c efort şi momentul de torsiune Mt, însemnă că în ce secţiune se relizeză o solicitre compusă de ctegori II-. Dcă secţiune periculosă este necirculră, cest se deseneză şi se stbilesc punctele cele mi solicitte din cestă secţiune. Dcă secţiune periculosă este circulră, cestă etpă nu este necesră. Se scrie relţi de clcul corespunzătore teoriei de rezistenţă indictă în enunţul problemei su teori de rezistenţă lesă de rezolvitor (rel su..-6). În funcţie de tipul problemei (verificre, dimensionre, efort cpbil), din relţi scrisă şi prticulriztă pentru dtele problemei ce trebuie rezolvtă, rezultă mărime cerută în problemă. Observţie: iindcă l cest tip de probleme se lucreză cu tensiune echivlentă cre nu pote fi reprezenttă fizic, nu se mi pote cere şi reprezentre vriţiei tensiunii pe secţiune. 50

50 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii.. Modele de probleme rezolvte... Pe un rbore sunt montte două roţi de dimetre D =400 mm şi D =40 mm, cţionte l periferie de forţele = kn şi, c în ig...-. Se cere, să se dimensioneze rborele de secţiune circulră cu dimetrul d, utilizând l nevoie teori III- de rezistenţă şi σ = 40 MP. B d C Rezolvre: Se prcurg etpele prezentte l prgrful... Se reprezintă rborele (numi el ne intereseză) numi prin x s geometrică (ig...-). Se reduc forţele şi (l o forţă şi l un moment de torsiune) în centrul de greutte l secţiunii în cre ele cţioneză şi componentele rezultte se pun pe rborele reprezentt numi prin x s geometrică (ig...-). Pentru trsre digrmelor de eforturi se utilizeză principiul suprpunerii efectelor: deorece nu se cunoşte vlore lui, se încrcă rborele reprezentt numi prin x s geometrică, cu momentele de torsiune obţinute prin reducere forţelor şi (vezi ig...-b) şi se trseză digrm Mt (ig...-c). Cum cele două momente de torsiune trebuie să fie egle (numi ş se verifică slturile în digrm Mt şi rborele este în echilibru l torsiune), rezultă: D D =...- de unde se obţine: ig...- 5

51 Clculul de rezistenţă l solicitări compuse D 400 = = 5 kn...- D 40 = Se încrcă cum rborele cu forţele şi (dej cunoscută c vlore) c în ig...-d şi se trseză digrmele de momente Mi (ig...-e). D / D / B C ) D / D / b 600 kn mm 0 M t c) = = d M i [kn mm] e) Din nliz digrmelor de eforturi şi vriţiei secţiunii trnsversle rborelui, rezultă că secţiune periculosă este ce de pe rezemul B. Eforturile din secţiune periculosă, sunt: M iz = 600 kn mm M t = 600 kn mm 54,8 5

52 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii de unde rezultă că în secţiune periculosă, există o solicitre compusă (încovoiere plnă cu torsiune) de ctegori II-. Secţiune periculosă este circulră şi nu este necesr se stbili punctele cele mi solicitte din cestă secţiune. iindcă solicitre compusă din secţiune periculosă este de încovoiere şi torsiune ir secţiune este circulră, pentru clcul se scrie relţi generlă: σ ech, mx( ) M ech( ) = σ...-4 Wz Deorece, prin enunţul problemei se impune pentru clcul teori III- de rezistenţă, relţi...-4, pote fi scrisă sub form: M ech(iii) W z σ...-5 Problem fiind de dimensionre, relţi...-5, devine: W z, nec M ech(iii) π d = =...-6 σ de unde se obţine dimetrul rborelui: d M ech(iii) =...-7 π σ Având în vedere expresi momentului echivlent după teori III- de rezistenţă (relţi..-7c şi..-8), relţi...-7, devine: d M + M i,rez t M iz + Mt = =...-8 π σ π σ 5

53 Clculul de rezistenţă l solicitări compuse d: Înlocuind vlorile momentelor M iz, M t şi σ, se obţine pentru ( ) + ( ) = 40 mm...-9 π 50 d... Pe un rbore sunt montte două roţi de cure. Curelele de trnsmisie cţioneză supr roţilor c în ig...-. Se cere să se dimensioneze rborele după teori tensiunii tngenţile mxime, cunoscând σ = 0 MP. Se cunosc: dimetrul roţii, D = 00 mm şi dimetrul roţii, D = 00 mm. B d 6 kn C 5 kn kn kn ig...- Rezolvre: Se reprezintă rborele (numi cest ne intereseză) prin x s geometrică şi se încrcă cu componentele obţinute din reducere forţelor în centrul de greutte l secţiunilor în cre ele cţioneză (ig...-). Trsre digrmelor de eforturi, se fce prin suprpunere efectelor: Se încrcă rborele cu momentele de torsiune (ig...-b) şi se trseză digrm M t (ig...-c). 54

54 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Se încrcă rborele numi cu forţele din pln verticl (ig...-d) şi se trseză digrm M iz (ig...-d). B 6 kn 600 kn mm 600 kn mm 8 kn C ) kn mm 600 kn mm b) 600 kn mm 600 kn mm M t c) 6 kn M iz d) 400 kn 8 kn M iy e) 500 kn mm 75 kn mm M i 500 kn mm 000 kn f) 400 kn mm 75 kn mm ig...- În cestă figură, încărcre este pusă împreună cu digrm de moment încovoietor. Se încrcă rborele numi cu forţele din pln orizontl (ig...-e) şi se trseză digrm M iy (ig...-e). 55

55 Clculul de rezistenţă l solicitări compuse Şi ici încărcre este pusă împreună cu digrm de moment încovoietor. După cum se pote observ, s-u obţinut digrme de momente încovoietore în două plne perpendiculre. Aceste digrme sunt duse într-o singură figură (ig...-f), cu scopul de pute determin mi uşor secţiune periculosă. Se stbileşte secţiune periculosă. Cum secţiune rborelui şi momentul de torsiune sunt constnte pe intervlul dintre cele două roţi, rezultă că secţiune periculosă este colo unde momentul încovoietor rezultnt este mi mre (mxim). Se clculeză tunci M i,rez în secţiunile celor două roţi de cure: M M 6 ( ) + ( ) =,455 0 N mm =...- i, rez 6 ( ) + ( 75 0 ) =, N mm =...-b i, rez de unde rezultă că M i,rez > M i,rez, şi c urmre, secţiune periculosă este secţiune în cre este monttă rot. Eforturile din secţiune periculosă, sunt: M i,rez =.45,5 kn mm M t = 600 kn mm b rezultând o solicitre compusă de ctegori II-. Relţi de clcul pentru problem studită (problemă de dimensionre, solicitre compusă de ctegori II-, secţiune circulră, teori III- de rezistenţă), este (vezi exemplul..., relţi...-7 şi...-8): M π σ + M i,rez t d = = 6 (,450 ) π (0,6 0 ) = 56 mm 56

56 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii... Pentru br circulră din ig...-, se cere să se verifice br, utilizând teori tensiunii tngenţile mxime, dcă d = 00 mm şi σ = 60 MP. p = 0 kn/m M = 0 kn m = 0 kn = 0 kn = m ig...- Rezolvre: Br reprezenttă numi prin x s geometrică şi încărctă cu componentele obţinute prin reducere srcinilor, este prezenttă în ig...-. Trsre digrmelor de eforturi (fără efortul tăietor), se fce prin suprpunere de efecte: orţ, creeză numi efort xil (ig...-b) Srcin distribuită p (ig...-c), creeză moment încovoietor M iz (ig...-d). orţ concentrtă (ig...-e) creeză moment încovoietor M iy (ig...-e). Digrmele M iz şi M iy, sunt reprezentte împreună în digrm din ig...-f. Momentul plict M, este de torsiune (ig...- g) şi creeză pe bră moment de torsiune M t (ig...-g). 57

57 Clculul de rezistenţă l solicitări compuse 0 kn 0 kn/m = m 0 kn m 0 kn ) N kn/m 0 kn b c) p = 0 kn m M iz d M iy e) 0 kn m 0 kn 0 kn m M i f) 0 kn m 0 kn m 0 kn m M t g) ig...- Din nliz digrmelor de eforturi (ig...-b,f,g) şi vriţiei secţiunii brei, rezultă că secţiune periculosă este în încstrre. În secţiune periculosă, cţioneză eforturile: 58

58 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii N = 0 kn M iz = 0 kn m M iy = 0 kn m M t = 0 kn m b...-c...-d Relţi de clcul (problemă de verificre, solicitre compusă de ctegori II- vând şi efort xil, secţiune circulră), este (rel...-): unde: σ ech(iii) = σrez + 4 τ...- N M iz + M iy σ rez = + = 0,8 + 6,05 = 6,4 A W z MP τ = M W t p = 6,6 MP Cu ceste vlori, relţi...-, devine: σ ech, mx(iii) = 6, ,6 = 8,5 MP Cum σ ech,mx (III) < σ = 60 MP, rezultă că cestă br stisfce condiţi de rezistenţă cerută. 59

59 Clculul de rezistenţă l solicitări compuse...4 Pentru br cotită de secţiune circulră din ig...4-, se cere să se clculeze, folosind teori III- de rezistenţă, forţ cpbilă. Se du: = 00 mm, b = 00 mm, c = 500 mm, d = 80 mm, (d - dimetrul secţiunii trnsversle l brei), σ = 50 MP. c b b ig...4- Rezolvre: Br este dej reprezenttă prin x s geometrică şi tote srcinile cţioneză în centrul de greutte l secţiunilor în cre ele sunt plicte. Digrmele de eforturi (fără efortul tăietor), sunt prezentte în ig c b b + b b b N M i M t ig...4- Secţiune periculosă este în încstrre, unde cţioneză eforturile: N =

60 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii M iz = ( + c) M iy = b M t = b...4-b...4-c...4-d În secţiune periculosă, există o solicitre compusă de ctegori II-. Relţi de clcul pentru cestă problemă (problemă de efort cpbil, solicitre compusă de ctegori II-, secţiune circulră, teori III- de rezistenţă), este (relţi..-): unde: σ rez 4 τ = + σ...4- ( + c) M + M N M i,rez iz iy b σ = + = + = + rez A W A W π d d z z τ M b 6 b t = = = Wp π d π d Cu ceste vlori pentru σ şi τ, relţi...4-, devine: 4 π d 8 ( c) b b = σ d π d de unde, se obţine forţ cpbilă: cp = 4 π d ( + c) σ 8 + b + d 64 b + π d 9 kn 6

61 Clculul de rezistenţă l solicitări compuse...5 Pentru mnivel de pornire unui motor, reprezenttă schemtic în ig...5-, se cere să se clculeze tensiune mximă. L nevoie se v utiliz teori trei de rezistenţă. Se cunosc: = 50 N, = 40 mm, b = 40 mm, d = 8 mm, σ = 80 MP. b d ig...5- Rezolvre: Br reprezenttă numi prin x s geometrică şi reducere forţei în centrul de greutte l secţiunii în cre e cţioneză, este prezenttă în ig b M i M t b ) b) c) ig...5- Digrmele de eforturi, sunt prezentte în ig...5-b,c. Secţiune periculosă este în încstrre, unde cţioneză eforturile: M iz = b M t = 6

62 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Rezultă o solicitre compusă de ctegori II- (încovoiere plnă cu torsiune). Se utilizeză relţi: σ ech, mx(iii) M M ech(iii) i,rez + M t = =...5- W W z z cre explicittă pentru problem studită, cpătă form: σ ech, mx(iii) ( b) + ( ) π d b = π d = + = = 7,4 MP < π 8 σ = 80 MP După cum uşor se pote constt, condiţi de rezistenţă este stisfăcută. 6

63 Clculul deformţiilor prin metode energetice. CALCULUL DEORMAŢIILOR PRIN METODE ENERGETICE. Deformţiile l încovoiere le elementelor de rezistenţă Sub cţiune forţelor exteriore, x geometrică unui element de rezistenţă se deformeză. În ig..- se prezintă (linie întreruptă) l o scră mult mărită, x deformtă unei grinzi încstrtă l un cpăt şi solicittă în cpătul liber de o forţă concentrtă. y A x Centrul de greutte C l unei secţiuni orecre de bscisă x, se deplseză în punctul C. Deplsre CC centrului de greutte l secţiunii pe o direcţie perpendiculră l x grinzii, se numeşte săget grinzii (deplsre grinzii) din dreptul secţiunii, su săget secţiunii grinzii. Săget se noteză cu v, y su δ. Deorece x grinzii, cre se găseşte în plnul neutru nu-şi modifică lungime în urm încovoiereii, punctul C se v depls lterl fţă de perpendiculr dusă pe x grinzii. Totuşi săgeţile v sunt mici în comprţie cu lungime grinzii şi deplsre lterlă mintită este un infinit mic de ordin superior fţă de lungime grinzii, motiv pentru cre cest (deplsre lterlă) se neglijeză. În urm deformării grinzii, secţiune rămâne plnă dr se roteşte fţă de poziţi ei iniţilă. În ig..-, se rtă poziţi secţiunii (de bscisă x), îninte şi după deformre. C C ig..- B B x 64

64 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Unghiul ϕ cu cre fiecre secţiune se roteşte în rport cu poziţi s iniţilă, portă numele de unghi de rotţie l secţiunii, su rotire secţiunii. y ϕ A x C C B B ϕ x ig..- Pentru clculele de rezistenţă, este necesr uneori să se cunoscă săgeţile şi rotirile diferitelor secţiuni le elementului de rezistenţă. Vlore mximă deformţiilor (săgeţi şi rotiri), pote servi drept criteriu pentru se pute cunoşte în ce măsură se deformeză un element de rezistenţă sub cţiune forţelor exteriore. Astfel, pentru grinzile metlice, în funcţie de destinţi lor, se impune c săget să nu depăşescă :000 până l :50 din deschidere grinzii. În concluzie, l solicitre de încovoiere, secţiune unui element de rezistenţă, suferă două deformţii: - săget (deplsre) secţiunii, - rotire secţiunii. 65

65 Clculul deformţiilor prin metode energetice. Metod srcinii unitre (Mohr-Mxwell) pentru clculul deformţiilor Dintre metodele energetice utilizte pentru clculul deformţiilor elementelor de rezistenţă, se prezintă numi un şi nume: metod srcinii unitre su metod Mohr-Mxwell.... Considerţii generle. Etpe de clcul Metod srcinii unitre su metod Mohr-Mxwell, este o metodă uşor de plict şi nerestrictivă. E pote fi plictă tuturor sistemelor sttic determinte, indiferent de solicitre l cre ceste sunt supuse. Ridicre nedeterminării sistemelor sttic nedeterminte, de semene se fce uşor prin cestă metodă. În czul unei solicitări de încovoiere, pentru un element de rezistenţă cu un singur intervl crcteristic de lungime, deplsre (săget) δ unei secţiuni pe o numită direcţie, se clculeză cu relţi: Mimi δ = dx..- EI 0 unde: M i - expresi momentului încovoietor pe cel intervl, produs de srcinile plicte, m i - expresi momentului încovoietor pe celşi intervl, produs de o forţă concentrtă unitră, plictă în secţiune în cre se clculeză deplsre şi cţionând pe direcţi deplsării cerute, EI - rigiditte l încovoiere, fţă de x după cre este orientt momentul încovoietor (M i şi m i trebuie să fie orientţi după ceişi xă principlă). Pentru celşi tip de element de rezistenţă şi celşi cz de solicitre (încovoiere), rotire unei secţiuni se clculeză cu relţi: unde: = 0 M m EI ' ϕ i i dx..- 66

66 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii m' i - expresi momentului încovoietor de pe intervlul considert, produs de un moment concentrt unitr, plict în secţiune în cre se clculeză rotire. Dcă l determinre momentelor încovoietore M i, m i, m' i, elementul de rezistenţă trebuie împărţit în mi multe intervle, tunci şi integrl din relţi..- şi..-, se descompune într-o sumă de integrle de form: Mimi δ dx..- = = 0 0 EI ' M imi ϕ dx..-4 EI Delimitre intervlelor este impusă şi de existenţ pe fiecre intervl unei rigidităţi constnte. Pentru czul existenţei şi solicitării xile şi de torsiune şi mi multor intervle crcteristice, relţiile..- şi..-4, cpătă form: Mimi M tmt = dx + dx + EI GI 0 0 t 0 Nn dx EA δ..-5 Mim' i M tm' t = dx + dx + EI GI 0 0 t 0 Nn' dx EA ϕ..-6 unde: N, n, n', M t, m t, m' t u ceeşi semnificţie, numi că se referă l solicitre xilă, respectiv torsiune. Pentru secţiuni circulre, rigiditte l torsiune GI t, devine GI p. Deorece, deformţiile produse de efortul xil N şi tăietor T sunt mici în comprţie cu cele produse de încovoiere şi torsiune, 67

67 Clculul deformţiilor prin metode energetice ceste se neglijeză. Din cest motiv, în relţiile..-5 şi..-6, nu pre efortul tăietor, ci numi cel xil, încovoietor şi de torsiune. Pentru clculul deformţiilor l încovoiere şi torsiune, se prcurg următorele etpe (sistemul trebuie să fie sttic determint): În funcţie de srcinile plicte, secţiunile în cre se clculeză deformţiile şi rigiditte elementului, se stbilesc intervlele crcteristice. Pentru elementul de rezistenţă încărct cu srcinile plicte, pe fiecre intervl crcteristic, se scriu funcţiile de eforturi (notte M i, M t ). Se elibereză sistemul de srcinile plicte, rezultând un sistem neîncărct. Aceste prime etpe sunt comune, indiferent că se clculeză deplsări su rotiri. Pentru clculul deplsării unei secţiuni, se prcurg etpele: Pe sistemul obţinut mi îninte (neîncărct), în secţiune în cre se clculeză deplsre şi pe direcţi deplsării cerute, se pune o forţă concentrtă unitră (de vlore unu). Pentru elementul de rezistenţă stfel încărct, se scriu pe fiecre intervl crcteristic funcţiile de eforturi, notte m i, m t. Având stbilite funcţiile M i, M t, m i şi m t, pe fiecre intervl crcteristic se plică relţi..-5 şi stfel după rezolvre relţiei, se obţine deplsre cerută. Pentru clculul rotirii unei secţiuni, se prcurg etpele: Elementul de rezistenţă neîncărct (obţinut după primele trei etpe), se încrcă cu un moment concentrt unitr (de vlore unu) în secţiune în cre trebuie determintă rotire. Pentru cest sistem stfel încărct, se scriu funcţiile de eforturi, cre se noteză cu m' i, respectiv m' t. Având stbilite funcţiile M i, M t, m' i şi m' t, se plică relţi..-6, ir după rezolvre cestei, se obţine vlore rotirii cerute. 68

68 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Rezulttele cu semnul +, confirmă că deformţiile se produc în sensul srcinilor unitre plicte, ir semnul -, în sens contrr sensului srcinilor unitre plicte... Modele de probleme rezolvte... Pentru cdrul de rigiditte constntă din ig...-, se cere: ) deplsre totlă secţiunii în cre cţioneză forţ, (δ =?) b) rotire secţiunii, (ϕ =?). Pentru mbele deformţii, se v neglij efectul efortului xil şi tăietor. B ig...- Rezolvre: Se prcurg etpele recomndte pentru stfel de probleme. Pentru cdrul din ig...-, ţinând sem de rigiditte s şi de deformţiile cerute, rezultă două intervle crcteristice: - şi - B, (ig...-). 69

69 Clculul deformţiilor prin metode energetice x x B B ig...- ig...- uncţiile de eforturi pe ceste intervle crcteristice, sunt (N, T se neglijeză, M t nu există): Intervlul -, M i = x...- Intervlul - B, M i =...- Se elibereză cdrul de srcinile plicte, rezultând sistemul din ig...-. ) Să clculăm deplsre totlă secţiunii, secţiune în cre cţioneză forţ plictă, (vezi ig...-4). Deplsre totlă secţiunii (δ ) este segmentul '. Nu este cunoscută direcţi deplsării secţiunii, dr e pote fi scrisă, funcţie de deplsre pe orizontlă şi verticlă cestei secţiuni (ig...-4), stfel:...- = δ + = δh δv Aşdr, pentru clculul deplsării totle secţiunii, trebuie clculte deplsre pe orizontlă δ Η şi ce pe vericlă δ V, le secţiunii. Pentru început, clculăm deplsre pe orizontlă secţiunii. 70

70 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii δ H δ V ig...-4 Punem în secţiune sistemului din ig...-, o forţă concentrtă unitră, orienttă pe orizontlă (ig...-5). x x B ig...-5 Pe cele două intervle crcteristice - şi - B, funcţiile de eforturi, sunt: Intervlul - : m i = Intervlul - B: m i = x...-5 Cu funcţiile de eforturi dte de relţiile...-,...-,...-4,...-5, se scrie relţi..-: x 0 x δ H = dx + dx =...-6 EI EI EI 0 0 Clculăm cum deplsre secţiunii, pe verticlă. 7

71 Clculul deformţiilor prin metode energetice Încărcăm cdrul din ig...-, în secţiune, cu o forţă concentrtă unitră, orienttă pe verticlă (ig...-6). x x B Pe celeşi intervle crcteristice, scriem funcţiile de eforturi: Intervlul - : m i = x...-7 Intervlul - B: mi =...-8 Cu funcţiile eforturilor M i (rel...-,) şi mi (rel...-7,8), se clculeză (cu relţi..-) deplsre pe verticlă secţiunii : x x 7 δ V = dx + dx =...-9 EI EI EI 0 ig Ţinând sem de relţiile...-6 şi...-9, cu relţi...-, se obţine deplsre totlă secţiunii : δ 85 = δ H + δ V =...-0 EI b) Pentru clculul rotirii secţiunii, se procedeză stfel: Sistemul din ig...-, se încrcă în secţiune, cu un moment concentrt unitr (ig...-7). 7

72 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii x x B ig...-7 Pentru sistemul din ig...-7, pe cele două intervle crcteristice, se scriu funcţiile de eforturi m' i : Intervlul - : m' i = Intervlul - B: m' i = Cu funcţiile de eforturi M i (rel....-,) şi m' i (rel...-,), plicând relţi..-4, se clculeză rotire secţiunii : ( ) x 0 δ = dx + dx =...- EI EI EI 0 0 Semnul - (minus) pentru rotire, rtă că rotire secţiunii, se produce în sens invers sensului momentului concentrt unitr plict în secţiune. Modul de deformre l cdrului prezentt în ig...-4, confirmă cestă concluzie. 7

73 Clculul deformţiilor prin metode energetice... Pentru br de rigiditte constntă din ig...-, să se clculeze: ) deplsre pe verticlă secţiunii, b) deplsre pe orizontlă secţiunii, c) rotire secţiunii. R B ig...- Rezolvre: Se prcurg etpele dej însuşite, pentru clculul deformţiilor. Şi l cest exemplu, se v ţine sem numi de efectul momentelor. Pentru cestă bră, există un singur intervl, - B. Pentru br din ig...-, se scrie expresi momentului încovoietor (moment de torsiune nu există) în secţiune α din intervlul - B (ig...-): M i = - R sin α...- R α ig...- B Se elibereză br de srcin plictă şi rezultă sistemul din ig...-. R ig...- B 74

74 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Pentru clcul deformţiile cerute, se procedeză stfel: ) Pentru clculul deplsării pe vericlă secţiunii, pe br din ig...-, în secţiune, se pune pe verticlă o forţă concentrtă unitră (ig...-4) şi pentru cre în secţiune α, se scrie expresi momentului încovoietor m iv : α R B ig...-4 m iv = - (R - R cos α) = -R ( - cos α)...- Cu funcţiile de eforturi M i (rel...-) şi m iv (rel...-), plicând relţi..-, se clculeză deplsre pe vericlă secţiunii : δ V π = 0 ( Rsinα) [ R( cosα) ] EI R dα R = EI b) Pentru clculul deplsării pe orizontlă secţiunii, pe br din ig...-, în secţiune, se pune pe orizontlă o forţă concentrtă unitră (vezi ig...-5) şi pentru cre în secţiune α, se scrie funcţi momentului încovoietor, m H : m ih = - R sin α = R sin α...- α R B ig

75 Clculul deformţiilor prin metode energetice Cu expresiile M i (rel...-) şi m H (rel...-), plicând relţi..-, se clculeză deplsre pe orizontlă secţiunii : δ H = π 0 ( R sinα) ( R sinα) EI R dα = π R EI Cu deplsările δ V şi δ H, se pote clcul deplsre totlă δ secţiunii, cu relţi: R δ + EI = δv + δh = 4 π c) Pentru clculul rotirii secţiunii, pe br din ig...-, în secţiune, se pune un moment concentrt unitr (vezi ig...- 6), pentru cre poi, se scrie în secţiune α, expresi momentului încovoietor m' : α R B ig...-6 m' = Cu funcţiile de eforturi M i (rel...-) şi m' (rel...- 4), plicând relţi..-4, se clculeză rotire secţiunii : 76

76 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Observţie: L brele drepte, în relţi..- vribil este x şi diferenţil dx, ir l brele curbe, vribil este rcul de pe curbă, ir diferenţil trebuie să fie ds. Cum însă l bre curbe, vribil se i unghiul α, pentru pute efectu integrlele, trebuie dusă şi diferenţil l dα. Relţi dintre diferenţil curbilinie ds şi ce unghiulră dα, este: ds = R dα Acest este explicţi pentru cre în relţiile de clcul le lui δ V, δ H şi ϕ în loc de dx în relţiile , pre (R dα). 77

77 Clculul deformţiilor prin metode energetice. Metod srcinii unitre, procedeul Veresceghin.. Considerţii generle. Etpe de clcul Nu întotdeun rezolvre integrlelor (mi les în czul prezenţei mi multor srcini) pentru clculul deformţiilor, este uşor de făcut. Deorece, srcin unitră este fie o forţă unitră fie un cuplu unitr, digrmele m i, m t, m' i, m' t sunt limitte de linii drepte (funcţiile cestor eforturi sunt linire). În cest cz, integrlele de form: M i m i dx etc. pentru orice contur, pot fi înlocuite cu lte mărimi. Veresceghin, propus înlocuire digrmelor de tipul celor utilizte de Mohr-Mxwell, rezultând un nou procedeu de clcul deformţiilor. Trebuie specifict că, cee ce propus Veresceghin este un procedeu şi nu o metodă nouă, deorece metod este ceeşi, ce srcinii unitre (Mohr-Mxwell), numi că rezolvre integrlelor se fce printr-o metodă grfo-nlitică. Procedeul Veresceghin, pote fi plict numi pe cele intervle pe cre funcţiile eforturilor m i, m t, m' i, m' t sunt linire, deci cest procedeu nu pote fi plict brelor curbe. Clculul deformţiilor, prin procedeul Veresceghin, se fce pe bz următorelor relţii: deplsre unei secţiuni unde: Ω + + N n c Ω i m ic Ω t m tc δ =..- EA EI GI rotire unei secţiuni Ω = + + N n' c Ω i m' ic Ω t m' tc ϕ..- EA EI GI t t 78

78 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Ω Ν, Ω i, Ω t - ri suprfeţei digrmei de efort xil, încovoietor, respectiv de torsiune, pe fiecre intervl crcteristic, produsă de srcinile plicte, n c, m ic, m tc - vlore efortului xil, încovoietor, respectiv de torsiune, din secţiune corespunzătore centrului de greutte suprfeţelor Ω Ν, Ω i, Ω t, eforturi produse de srcinile unitre concentrte puse în secţiunile în cre se clculeză deformţiile. Procedeul Veresceghin, după cum se pote observ, impune trsre digrmelor de eforturi tât pentru srcinile plicte cât şi pentru cele unitre puse în secţiunile în cre trebuie clculte deformţiile. Pentru clculul deformţiilor prin metod srcinii unitre, dr procedeul Veresceghin, trebuie prcurse, următorele etpe: Pentru sistemul dt, se trseză digrmele de eforturi N, M i, M t (prin suprpunere de efecte), produse de srcinile plicte. Se elibereză sistemul dt, de tote srcinile plicte, rezultând un sistem neîncărct. Pentru clculul deplsării unei secţiuni pe o numită direcţie, se procedeză, stfel: Pe elementul de rezistenţă neîncărct (obţinut mi îninte), se pune o forţă unitră concentrtă, în secţiune în cre se clculeză deplsre şi vând direcţi deplsării cerute. Pentru cest sistem stfel încărct, se trseză digrmele de eforturi n, m i, m t. În funcţie de digrmele srcinilor plicte, rigidităţii elementului de rezistenţă şi digrmelor forţelor unitre, se delimiteză intervlele crcteristice. Suprfeţele digrmelor N, M i, M t de pe fiecre intervl crcteristic, se împrte în suprfeţe simple, l cre se cunoşte ri şi poziţi centrului de greutte. Se clculeză riile cestor digrme, rezultând Ω Ν, Ω i, Ω t. Se poziţioneză centrele de greutte le cestor suprfeţe. Se clculeză în digrmele n, m i, m t, vlore eforturilor din secţiunile corespunzătore centrelor de greutte le 79

79 Clculul deformţiilor prin metode energetice suprfeţelor de rie Ω Ν, Ω i, Ω t, pe cre le notăm cu n c, m ic, m tc. Cu riile Ω Ν, Ω i, Ω t şi vlorile n c, m ic, m tc, pe bz relţiei..-, se clculeză deplsre secţiunii pe direcţi cerută. Pentru clculul rotirii unei secţiuni, se procedeză stfel: Pe elementul de rezistenţă neîncărct, în secţiune în cre trebuie clcultă rotire, se pune un moment concentrt unitr. Pentru cest sistem, se trseză digrmele de eforturi n', m' i, m' t. În funcţie de digrmele srcinilor plicte, rigidităţii elementului de rezistenţă şi digrmelor momentului unitr, se delimiteză intervlele crcteristice. Suprfeţele digrmelor N, M i, M t de pe fiecre intervl crcteristic se împrt în suprfeţe simple l cre se cunoşte ri şi poziţi centrului de greutte. De cele mi multe ori, ceste suprfeţe sunt celeşi cu cele de l clculul deplsărilor. Se clculeză riile cestor digrme, rezultând Ω Ν, Ω i, Ω t. Se poziţioneză centrul de greutte l cestor digrme. Se clculeză în digrmele n', m' i, m' t, vlore eforturilor din secţiunile corespunzătore centrelor de greutte le suprfeţelor de rii Ω N, Ω i, Ω t, pe cre le notăm cu n'c, m'ic, m'tc. Cu riile Ω N, Ω i, Ω t şi vlorile n' c, m' ic, m' tc, pe bz relţiei..-, se clculeză rotire secţiunii cerute. În ig...-, se prezintă relţiile de clcul riei şi poziţi centrului de greutte, pentru cele mi întâlnite forme le digrmelor de eforturi. 80

80 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii b b/ b/ 5b/8 b/8 h h h b/ b/ b b/4 b/4 b ig Modele de probleme rezolvte Pentru început, se v rezolv prin procedeul Veresceghin, cdrul rezolvt l exemplul..- prin procedeul Mohr-Mxwell.... Pentru cdrul de rigiditte constntă din ig...-, se cere: ) deplsre totlă secţiunii (δ =?) b) rotire secţiunii (ϕ =?). B ig...- Rezolvre: Se vor urmări etpele prezentte mi îninte, referitore l plicre procedeului Veresceghin pentru clculul deformţiilor. Pentru cest exemplu, se v ţine sem numi de momentul încovoietor (N, T se neglijeză ir M t nu există). ) Pentru sistemul dt, se trseză digrm de moment încovoietor M i (ig...-). 8

81 Clculul deformţiilor prin metode energetice / M i m iv m ih m i B ) b) c) d) e) Se elibereză sistemul dt (ig...-) de tote srcinile plicte, rezultând cdrul din ig...-b. Se încrcă cdrul din ig...-b cu o forţă concentrtă unitră, plictă pe verticlă în secţiune (ig...- c) şi se trseză digrm m iv (ig...-c). Se contureză două intervle: - şi - B. Pe cele două intervle, digrmele u forme simple (triunghi, respectiv triunghi) l cre se cunoşte ri şi centrul de greutte. Suprfeţele rezultte, u riile (ig...-): Pe intervlul - : Ω = / = /...- Pe intervlul - B: Ω = =...- Se poziţioneză centrele de greutte le celor două suprfeţe. În secţiunile corespunzătore celor două centre de greutte, dr din digrm m iv, se clculeză momentele m ic, respectiv m ic (ig...-c), rezultând: m ic =...- m ic =...-4 Aplicând relţi..- şi ţinând sem de relţiile , rezultă deplsre pe verticlă secţiunii : δ ig...- Ω i m ic Ω i m ic 7 = EI EI EI V = 8

82 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii S- obţinut celşi rezultt, c prin procedeul Mohr-Mxwell. Pentru clculul deplsării pe orizontlă secţiunii, procedăm stfel: Pe cdrul neîncărct (ig...-b), punem în secţiune pe orizontlă, o forţă concentrtă unitră (ig...-d). Pentru cest sistem, se trseză digrm de momente m ih (ig...-d). Intervlele crcteristice se păstreză, l fel şi suprfeţele elementre le digrmei M i. Rezultă riile suprfeţelor elementre: Ω =...-6 i = Ω i =...-7 Vlore momentelor citite în digrm m ih, din secţiunile flte în dreptul centrelor de greutte le suprfeţelor elementre, sunt: m ic = m ic =...-9 Aplicând relţi..- şi ţinând sem de relţiile , rezultă deplsre pe orizontlă secţiunii : δ 0 = EI EI EI H = celşi rezultt c prin procedeul Mohr-Mxwell. Cu deplsările δ V şi δ H, se determină deplsre totlă secţiunii : 8

83 Clculul deformţiilor prin metode energetice δ 85 = δ V + δ H =...- EI b) Se clculeză cum rotire secţiunii. Se încrcă cdrul din ig...-b cu un moment concentrt unitr, în secţiune şi se trseză digrm de moment încovoietor m' i (ig...-e). Se păstreză suprfeţele, rezultând riile: Ωi =...- Ω i =...- Momentele din secţiunile corespunzătore centrelor de greutte le suprfeţelor, dr citite în digrm m' i, sunt (ig...e): m' ic = m' ic = Aici, m' ic este negtiv, deorece întide fibrele opuse fţă de cum întind srcinile plicte (dică forţ ). orţ întinde fibrele din stâng (ig...-), ir momentul unitr, întinde fibrele din prte dreptă (ig...-e). Este firesc tunci c ele să fie de semne contrre. Cu relţiile , se clculeză rotire secţiunii : 0 ( ) ϕ = + =...-6 EI EI EI S- obţinut celşi rezultt c în czul utilizării procedeului Mohr-Mxwell. Din cest exemplu, se pote trge concluzi că cele 84

84 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii două procedee (Mohr-Mxwell, respectiv Veresceghin), conduc l celşi rezultt. Rezolvitorul re dreptul să-şi legă procedeul pe cre-l doreşte, însă trebuie vut grijă de restricţiile impuse de procedeul Veresceghin. se cer:... Pentru br din ig...-, de rigiditte constntă, ) deplsre pe orizontlă secţiunii b) rotire secţiunii. Se v ţine sem numi de solicitre de încovoiere. B R R ig...- Rezolvre: Se vor prcurge etpele recomndte pentru clculul deformţiilor. După cum se pote constt, pe porţiune curbă (intervlul - B) nu se pote plic procedeul Veresceghin. Pe cest intervl se scriu funcţiile de eforturi şi se vor utiliz integrle de tip Mohr- Mxwell. 85

85 Clculul deformţiilor prin metode energetice Se trseză digrmele de eforturi su se scriu funcţiile cestor, pentru sistemul din ig...-, (vezi ig...- ). M i =R (+sinα) R α B ) m i =R (-cosα) B α M i m i B b) B α m i c) ig...- d) Se elibereză sistemul din ig...- de forţ şi rezultă cdrul din ig...-b. )Pentru clcul deplsre pe orizontlă secţiunii, se procedeză stfel: Pe sistemul din ig...-b, se pune în secţiune pe direcţie orizontlă o forţă concentrtă unitră (ig...-c). Pentru cest sistem, pe porţiune dreptă se trseză digrm de momente mi, ir pe ce curbă, se scrie funcţi de moment încovoietor. Pentru exemplul studit, forţ unitră orizontlă din secţiune, nu creeză moment încovoietor pe porţiune dreptă (intervlul - ). Cu digrmele şi funcţiile de efort din ig...-, respectiv ig...-c, se clculeză deplsre pe orizontlă secţiunii : δ H π/ R R 0 Ωi mic Mi mi = + R dα = + EI EI EI 0 86

86 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii π/ ( + sinα) R ( cosα) R π R + R dα =...- EI EI 0 b) Pentru clculul rotirii secţiunii, se încrcă sistemul din ig...-b cu un moment încovoietor unitr concentrt în secţiune (ig...-d). Pentru cest sistem, pe porţiune dreptă brei, se trseză digrm de moment încovoietor, ir pe ce curbă, se scrie funcţi cestui (ig...-d). În ig...- se poziţioneză centrul de greutte l suprfeţei digrmei de moment încovoietor M i şi se clculeză ri cestei suprfeţe: Ω i = R R = R...- În digrm m' i din ig...-d, se clculeză vlore m' ic din secţiune corespunzătore centrului de greutte l suprfeţei M i : m' ic =...- Cu relţiile...-,...- şi cu funcţiile de efort de pe porţiune curbă, se clculeză rotire secţiunii : ϕ π/ Ωi m' ic Mi m' ic R = + R dα = EI EI EI 0 + π/ ( + sinα) R R + R dα = ( π + )...-4 EI EI 0 87

87 Clculul deformţiilor prin metode energetice... Pentru br cotită şi cu secţiune constntă din ig...-, se cer: ) deplsre pe orizontlă secţiunii b) rotire secţiunii. B 4 ig...- Rezolvre: Br vând numi porţiuni drepte, se utilizeză procedeul Veresceghin. Se trseză digrmele de eforturi M i şi M t (N şi T se neglijeză) pentru sistemul din ig...-. Aceste digrme sunt prezentte în ig...-. Se elibereză sistemul dt de tote srcinile plicte (ig...-b). 4 B ) b) 4 B c) d) ig

88 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii ) Pentru clculul deplsării pe orizontlă secţiunii, pe sistemul neîncărct (ig...-b), în secţiune, se pune pe orizontlă o forţă concentrtă unitră (ig...-c). În ig...-, se delimiteză suprfeţele de rii Ω. Pe intervlul -, suprfţ fiind un trpez, cest se descompune în două suprfeţe: un dreptunghiulră şi celltă triunghiulră. Pe mbele intervle, riile suprfeţelor sunt cunoscute, l fel şi poziţi centrelor de greutte le cestor suprfeţe (ig...-). Rezultă: Pe intervlul -: Ωi0 = =...- Pe intervlul -: Ω = i =...- Ω = (- )...- i = Pe intervlul -B: Ω = i = Ω = i4 = Corespunzător poziţiei centrelor de greutte le cestor suprfeţe, din digrm mi prezenttă în ig...-c, rezultă vlore momentelor: Pe intervlul -: m c0 = Pe intervlul -: m c = =...-7 m c =

89 Clculul deformţiilor prin metode energetice Pe intervlul -B: 8 m c = 4 =...-9 m c4 =...-0 Pe bz relţiilor se pote clcul deplsre pe orizontlă secţiunii : δ H Ωi0 m = EI c0 Ωi m + EI c Ωi m + EI c Ωi m + EI c Ωi4 m + GI p c4 = 8 = EI GI p Pentru oţel G = E/5, ir în czul secţiunilor circulre I p = I z. Cu ceste considerţii, relţi...-, conduce l: δ H 9 =...- 6EI b) Pentru clculul rotirii secţiunii, pe sistemul din ig...-b, în secţiune se pune un moment concentrt unitr (ig...-d). Pentru cest sistem, se trseză digrmele de momente (ig...-d). Rezultă numi digrmă de moment de torsiune. Cum pe intervlul -B nu există digrme de moment încovoietor, rezultă că pe cest intervl, în relţi de clcul rotirii, nu pr termeni corespunzători cestei solicitări. Clculul rotirii secţiunii, se fce tunci cu relţi: ϕ Ω i4 m' GI 8 E I 5 c4 = = = p 0 EI...- Atenţie: În czul solicitării de torsiune, rigiditte brei este GI t (pentru secţiuni circulre, GI p ). 90

90 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii.4 Sisteme sttic nederminte, rezolvte prin metod srcinii unitre.4. Considerţii generle. Etpe de clcul. Simetrii şi ntisimetrii în sisteme sttic nedeterminte Rezolvre sistemelor sttic nedeterminte, presupune în primul rând ridicre nedeterminării, dică determinre unor necunoscute, stfel încât după cunoştere cestor, sistemul să devină sttic determint. Un cdru este sttic nedetermint exterior (ig,.4.-), tunci când numărul necunoscutelor din rezeme este mi mre decât numărul ecuţiilor de echilibru cre se pot scrie pentru cel cdru. În cest cz, grdul de nedeterminre, este dt de diferenţ dintre numărul necunoscutelor şi cel l ecuţiilor de echilibru cre se pot scrie. Un sistem este sttic nedetermint interior (ig..4.-b), dcă el este un sistem închis, fără rezeme. L un stfel de contur închis (în pln), se pote fce o secţiune orecre, în cre se introduc eforturile N, T, Mi (ig..4.-c), cre nu pot fi determinte din ecuţiile de echilibru exterior. Rezultă că un sistem pln închis, este triplu sttic nedetermint. T M i N M i T ) b) c) ig

91 Clculul deformţiilor prin metode energetice Se pote firm că, l un cdru pln, grdul de nedeterminre este egl cu numărul necunoscutelor din rezeme plus de trei ori numărul contururilor închise, minus trei (numărul ecuţiilor de echilibru). Elementele su structurile de rezistenţă, pot fi şi sttic nedeterminte exterior şi interior. Grdul de nedeterminre, se micşoreză odtă cu prezenţ rticulţiilor interiore. Astfel, pentru cdrul din ig..4.-, există o rticulţie cre legă două bre. Dcă se secţioneză conturul închis chir în rticulţie, colo momentul încovoietor este nul şi rămân numi două necunoscute. C urmre, cest cdru este numi de cinci ori sttic nedetermint. Când într-o rticulţie se întâlnesc trei bre (ig..4.-b), grdul de nedeterminre scde cu. Cdrul din ig..4.-b, este de ptru ori sttic nedetermint. În generl, dcă într-o rticulţie concură k bre, grdul de nedeterminre l cdrului se micşoreză cu k-. ) b) ig..4.- Pentru sistemele sttic nedeterminte, necunoscutele suplimentre se noteză cu X, X, X,... X n. Pentru cdrele reltiv simple întâlnite frecvent în plicţiile inginerului mecnic, ce mi simplă metodă de rezolvre sistemelor sttic nedeterminte, este metod eforturilor (metod srcinii unitre su metod Mohr-Mxwell), metodă prezenttă l clculul deformţiilor (prgrful.). În cestă metodă, sistemul sttic nedetermint se trnsformă mi întâi într-un sistem sttic determint echivlent (nott SE) şi poi în unul sttic determint de bză (nott SB). 9

92 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Sistemul echivlent SE, se obţine din sistemul sttic nedetermint dt, prin înlocuire legăturilor exteriore suplimentre su celor interiore cu forţele de legătură (recţiunile) su cu eforturile corespunzătore şi cre se noteză cu X, X,... X n, unde n este grdul de nedeterminre l sistemului iniţil. De exemplu, în locul unui rezem simplu, se introduce o singură forţă; tot l fel tunci când o rticulţie fixă se înlocuieşte cu un rezem simplu; în locul unei rticulţii fixe suprimte se introduc două forţe; în locul unei încstrări se introduc două forţe şi un cuplu; l înlocuire unei încstrări prin rticulţie se introduce un cuplu; l o secţiune completă într-un contur interior pln se introduc două forţe şi un cuplu; introducere unei rticulţii interiore fără tăiere brei impune introducere unui cuplu. După cum reiese din cele prezentte, trnsformre sistemului rel (sttic nedetermint) într-unul echivlent, se pote fce în mi multe feluri. Totdeun se v lege vrint considertă ce mi comodă pentru clcule. Problemele rezolvte ce vor urm, vor explic modul de legere unei numite vrinte pentru sistemul echivlent. Sistemul de bză SB, se formeză din sistemul echivlent SE, prin înlăturre de pe sistemul echivlent SE tuturor srcinilor plicte şi necunoscutelor X, X,... X n. Rezultă că sistemul de bză SB, este formt numi din elementul de rezistenţă sttic nedermint. Pentru rezolvre sistemelor sttic nedeterminte, se prcurg următorele etpe: Se stbileşte grdul de nedeterminre n l sistemului rel (SR). Se stbileşte tipul nedeterminării sttice: exterior, interior su exterior-interior. Pentru clculul deplsărilor (linire su unghiulre) δ ii, Δ i0, se procedeză în felul următor: Din sistemul rel SR se formeză sistemul echivlent SE, cel mi convenbil. Din SE se formeză sistemul de bză SB. 9

93 Clculul deformţiilor prin metode energetice Corespunzător grdului de nedeterminre, se scrie sistemul de ecuţii de condiţie (spre exemplu, pentru grdul n de nedeterminre): δ X +δ X +δ X δ n X n + Δ 0 = 0 δ X +δ X +δ X δ n X n + Δ 0 = 0... δ n X +δ n X +δ n X δ nn X n + Δ n0 = unde: Δ i0 - este deplsre pe direcţi necunoscutei X i secţiunii în cre cţioneză necunoscut X i (i =,,... n), produsă de srcinile plicte δ ii - este deplsre pe direcţi necunoscutei X i secţiunii în cre cţioneză necunoscu X i, produsă de necunoscut X i =. Pentru czul când n = (grdul de nedeterminre este ), sistemul.4.-, cpătă form: δ X + δ X + δ X + Δ 0 = 0 δ X +δ X +δ X + Δ 0 = δ X +δ X +δ X + Δ 0 = 0 Pentru czul când n = (grdul de nedeterminre este ), sistemul.4.-, cpătă form: δ X + δ X + Δ 0 = 0 δ X + δ X + Δ 0 = 0.4.-b Pentru czul când n = (grdul de nedeterminre este ), sistemul.4.-, cpătă form: 94

94 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii δ X + Δ 0 = 0.4.-c Se i SB şi se încrcă pe rând: mi întâi cu srcinile plicte şi în funcţie de procedeul les (Mohr-Mxwell su Veresceghin) se scriu funcţiile de eforturi su se trseză digrmele de eforturi, cre se noteză cu N 0, M i0, M t0 cu necunoscutele X =, X =,... X n = şi pentru fiecre stfel de încărcre, funcţie de procedeul les, se scriu funcţile de eforturi su se trseză digrmele cestor, cre se noteză cu (n, m i, m t ), (n, m i, m t ),... (n n, m in, m tn ) Cu N 0, M i0, M t0 şi (n, m i, m t ), (n, m i, m t ),... (n n, m in, m tn ) se clculeză coeficienţii Δ 0, Δ 0,... Δ ν0, δ, δ,... δ nn. Indicii i0, ij i cestor coeficienţi, indică şi funcţiile su digrmele cre se utilizeză pentru clculul coeficienţilor Δ i0, δ ii. Cunoscându-se deplsările Δ i0, δ ii, ceste se introduc în sistemul de ecuţii de condiţie, corespunzător grdului de nedeterminre (rel..4.-). Se rezolvă sistemul de ecuţii de condiţie stfel obţinut, rezultând necunoscutele suplimentre X, X,... X n. Pe sistemul echivlent SE, se înlocuiesc necunoscutele X, X,... X n cu vlorile şi sensurile lor rezultte în urm clculului, obţinându-se stfel un sistem rel sttic determint. Pentru sistemul sttic determint obţinut, se pot efectu cum clcule de rezistenţă su de deformţii. Rezolvre unui sistem cu un grd mre de nedeterminre, este o operţie dificilă, dtorită tât clculării unui număr mre de deplsări (coeficienţi), cât şi rezolvării unui sistem linir (rel..4.-), cre conţine un număr mre de ecuţii. 95

95 Clculul deformţiilor prin metode energetice În plicţiile prctice din construcţi de mşini, se întâlnesc sisteme cu un grd mi mic de nedeterminre. De multe ori, ceste sisteme prezintă numite simetrii, cre încă de l început, permit determinre su cunoştere unor necunoscute iniţile, fie că ele sunt nule, fie că sunt egle pe perechi. Cunoştere cestor necunoscute, micşoreză grdul de nedeterminre l sistemului, deci se reduce numărul ecuţiilor şi bineînţeles, simplifică clculul. Astfel, pentru un element de rezistenţă pln şi simetric: ) încărct simetric, în secţiunile cuprinse în plnul de simetrie se cunoşte efortul tăietor. Dcă în secţiunile din plnul de simetrie nu există forţe tăietore concentrte, în cele secţiuni, efortul tăietor este nul, ir dcă există o forţă tăietore concentrtă, tunci cest se distribuie pe cele două feţe le secţiunii, în mod egl (în vlori egle). Pentru elementele de rezistenţă încărcte simetric, digrmele de eforturi N şi M i, sunt simetrice, ir digrm T este ntisimetrică fţă de x de simetrie. b) încărct ntisimetric, în secţiunile cuprinse în plnul de simetrie, se cunosc eforturile N şi M i. Dcă în ceste secţiuni, nu există plicte forţe xile concentrte su cupluri concentrte, ici eforturile N şi M i sunt nule. Dcă există forţe xile şi cupluri concentrte, eforturile N şi M i din ceste secţiuni se distribuie pe cele două feţe le secţiunii din plnul de simetrie, în mod egl. Pentru sisteme simetrice încărcte ntisimetric, digrmele de eforturi N şi M i sunt ntisimetrice ir digrm T este simetrică fţă de x de simetrie. În concluzie, l sistemele simetrice încărcte simetric, în secţiunile cuprinse în plnul de simetrie se cunoşte efortul tăietor T, ir l sistemele simetrice încărcte ntisimetric, se cunosc eforturile N şi M i. Sistemele simetrice încărcte simetric su ntisimetric, du posibilitte utilizării numi unei jumătăţi din sistem (cdru), cee ce uşureză şi mi mult clculul..4. Modele de probleme rezolvte.4.. Pentru cdrul pln de rigiditte constntă, din ig..4..-, se cer: 96

96 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii ) ridicre nedeterminării b) deplsre pe orizontlă secţiunii. Se v ţine sem numi de efectul încovoierii. p 4 = p ig Rezolvre: Se prcurg etpele recomndte. ) Sistemul rel nu re contururi închise. Sunt 4 recţiuni (trei în încstrre şi un în rezemul mobil). Rezultă grdul de nedeterminre: n = 4 - =. Sistemul rel este o dtă sttic nedetermint exterior (necunoscut suplimentră este o recţiune). Se formeză sistemul echivlent SE. În ig se prezintă două vrinte posibile le sistemului echivlent SE, rezultte din sistemul rel SR. p X p 4 4 SE = p SE = p ) ig Sistemul de ecuţii.4.-, prticulrizt pentru grdul de nedeterminre n =, cpătă form: δ X + Δ 0 = de unde rezultă expresi pentru necunoscut suplimentră X : X b) 97

97 Clculul deformţiilor prin metode energetice X Δ 0 =.4..- δ Dintre cele două vrinte, se lege ce din ig..4..-, (ig..4..-): Se formeză sistemul de bză SB (ig..4..-b). Se i SB şi se încrcă cu srcinile plicte (ig ) şi se trseză digrm de momente încovoietore M i0 (ig b). p 4 4 SE = p SB ) X ig b) p 4 4 ) = p c) X = 98

98 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii 8p p p M i 0 p 4 m i b) d) Se i SB şi se încrcă cu X = (ig c) şi se trseză digrm de momente încovoietore m i (ig d). Pentru clcule, cdrul vând bre drepte, se lege procedeul Veresceghin, motiv pentru cre s-u trst digrmele de eforturi. Pentru clculul coeficienţilor Δ 0 şi δ din relţi.4..-, se utilizeză digrmele M i0 şi m i. Astfel, pentru Δ 0 se utilizeză digrm M i0 (de unde se i suprfţ Ω i ) şi digrm m i (de unde se i m ic ), ir pentru clculul coeficientului δ se utilizeză numi digrm m i (de ici se i şi Ωi şi m ic ). Pentru pute înţelege cum se clculeză coeficienţii Δ 0 şi δ, vă recomnd să revedeţi pginile din urmă unde s- trtt clculul deformţiilor prin procedeul Veresceghin. Pentru Δ 0, se obţine: Δ p 0 8p p 4 EI = = Pentru δ, se obţine: ig p EI 4 δ EI = = 64 EI Cu vlorile obţinute pentru Δ 0 şi δ, din relţi.4..-, rezultă X : 99

99 Clculul deformţiilor prin metode energetice Δ δ 6p EI 64 EI 0 X = = = 4 4 p Cu vlore lui X determintă, sistemul iniţil sttic nedetermint, devine un sistem sttic determint (ig ), pentru cre cum se pote clcul deplsre pe orizontlă secţiunii. p b) Pentru clculul deplsării pe orizontlă secţiunii (pentru sistemul rel din ig ), se prcurg etpele prezentte în prgrful.. Digrmele necesre cestui clcul, sunt prezentte în ig p 4 ig = p p/4 p p p M i 0 p m ih ig Se obţine: EI δh = p + + p 4 + p 4 00

100 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii 8p 5 4 = p 4 de unde rezultă: δ H = 5p EI Să se ridice nedeterminre, pentru cdrul de rigiditte constntă, din ig p ig Rezolvre: Sunt 5 recţiuni şi se pot scrie ecuţii de echilibru. Rezultă grdul de nedeterminre: n = 5 - =. Sistemul este sttic nedetermint exterior de ori. Se formeză sistemul echivlent SE. În ig..4..-, se prezintă mi multe vrinte le sistemului echivlent. Corepunzător lui n =, sistemul de ecuţii de condiţii, re form: δ X + δ X + Δ 0 = 0 δ X + δ X + Δ 0 =

101 Clculul deformţiilor prin metode energetice X X p p p X X X X ) b c) X X p p X X d e) ig Pentru ridicre nedeterminării, se lege vrint din ig..4..-, deorece pentru cestă vrintă, digrmele de eforturi se trseză cel mi uşor (ig..4..-). p X X SE SB ) b) ig Sistemul de bză SB, este prezentt în ig..4..-b. 0

102 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Se încrcă sistemul de bză SB cu srcin plictă p (ig ) şi se trseză digrm de momente M i0 (ig b). Se încrcă sistemul de bză SB, pe rând cu X = (ig c) şi X = (ig...-4d) şi se trseză digrmele de momente încovoietore m i (ig e), respectiv m i (ig f). p X X X X SE ) c) d) M m i m i i 0 p b) e) f) ig stfel: Coeficienţii Δ i0 şi δ ii din sistemul.4..-, se clculeză Δ 0 din digrmele M i0 şi m i Δ 0 din digrmele M i0 şi m i δ din digrm m i, δ = δ din digrmele m i şi m i δ din digrm m i Pentru coeficienţii Δ i0 şi δ ii, se obţine: 4 EI Δ = p = 4 0 p 0

103 Clculul deformţiilor prin metode energetice 4 EI Δ0 = p = p 4 7 EI δ = + = EI δ = EI δ = = 8 EI δ = = Cu vlorile cestor coeficienţi, sistemul.4..-, cpătă form: 7 4 X X p 4 = 0 8 X X + p 4 = După rezolvre sistemului.4..-, rezultă vlore necunoscutelor: X X = = p 5 9 p 0 S- obţinut cum, sistemul sttic determint (ig ): p 9p/0 p/5 ig Pentru cest sistem, se pot efectu cum clcule de rezistenţă su deformţii. 04

104 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii.4.. Să se ridice nedeterminre pentru br din ig R R R ig Rezolvre: Grdul de nedeterminre este: n = 4 - =. Sistemul este o dtă sttic nedetermint exterior. Vrint ce mi convenbilă pentru sistemul echivlent SE este ce prezenttă în ig..4..-, ir sistemul de bză pentru cest SE, este prezentt în ig..4..-b. Sistemul de ecuţii pentru grdul de nedeterminre, (n = ), re form: δ X + Δ0 = de unde rezultă expresi pentru necunoscut suplimentră X : X Δ 0 =.4..- δ R X R R R R SE ) b) ig Se i sistemul de bză încărct cu şi (ig..4..-). Pe porţiune curbă se scrie funcţi de moment încovoietor, ir pe ce dreptă se trseză digrm de moment încovoietor M i0 (ig..4..-b). SB 05

105 Clculul deformţiilor prin metode energetice R R ) R R R X = R c) R M i0 = Rsinα R R m i =0 α M i 0 α m b) d) R ig Se încrcă SB cu X = (ig..4..-c) şi se scrie ecuţi m i su se trseză digrm de momente încovoietore m (ig..4..-d). Cu M i0 şi m, se clculeză coeficienţii din relţi.4..-, stfel: Δ 0 cu funcţiile şi digrmele M i0 şi m δ cu funcţiile şi digrmele m Δ 0 = π/ 0 Rsinα 0 R dα EI R R EI R R R R + EI R R = EI δ = π/ R dα + EI R R EI R = 8 R EI 06

106 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii de unde se obţine: R = EI 8 R EI = 8 X Sistemul sttic determint obţinut, este prezentt în ig R / R R ig

107 Clculul deformţiilor prin metode energetice.4..4 Să se trseze digrmele de eforturi N şi M i, pentru sistemul din ig ig Rezolvre: Sunt 6 recţiuni şi se pot scrie ecuţii de echilibru (sistemul este pln). Rezultă grdul de nedeterminre: n = 6 - =. Se observă că l cest cdru, există două bre legte printr-o rticulţie interioră. Se ştie că cestă rticulţie interioră în cre momentul încovoietor este nul, scde grdul de nedeterminre cu o unitte. Rezultă tunci că sistemul dt, este de numi două ori sttic nedetermint exterior. Sistemul echivlent SE cel mi convenbil, este prezentt în ig , ir sistemul de bză SB rezultt din SE, în ig b. X X SE SB ) b) ig

108 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Sistemul de ecuţii de condiţie, corespunzător grdului de nedeterminre n =, este: δ X + δx + Δ0 = δ X + δ X + Δ 0 = Se i SB încărct numi cu srcin, (ig ) şi se trseză digrm de moment încovoietor M i0 (ig b). Se încrcă SB pe rând cu X =, (ig c) şi X =, (ig e) şi se trseză digrmele de moment încovoietor m (ig d), respectiv m (ig f). X = X = ) c) e) M i0 m m b) d) e) ig Cu digrmele M i0, m şi m, se clculeză coeficienţii sistemului.4..4-, după cum urmeză: Δ 0 - cu digrmele M i0 şi m 09

109 Clculul deformţiilor prin metode energetice Δ 0 - cu digrmele M i0 şi m δ - cu digrm m δ = δ - cu digrmele m şi m δ - cu digrm m EI Δ0 = = EI Δ 0 = = EI δ = = EI δ = EI δ = = 4 EI δ = + = Cu ceşti coeficienţi, sistemul.4..4-, cpătă form: + + X X X X = 0 = După rezolvre sistemului.4..4-, rezultă vlore necunoscutelor suplimentre: X X = = 7 6 Sistemul sttic determint rezultt, este prezentt în ig

110 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Digrmele de eforturi N şi M i, pentru cdrul sttic determint din ig , sunt uşor de trst şi ele se prezintă în ig / 7/ 6/ ig / -6/ 6/ -6/ -7/ N -6/ -7/ 0/ 6/ M i 7/ ig Pentru cdrul din ig , să se clculeze deplsre pe verticlă secţiunii. / / / / ig Rezolvre: Sistemul este sttic nedetermint exterior, ir grdul de nedeterminre este : n = 6 - =.

111 Clculul deformţiilor prin metode energetice Se observă că sistemul este simetric, încărct simetric. Sistemul echivlent SE cel mi convenbil, este prezentt în ig , ir sistemul de bză SB, în ig b. L sistemele simetrice încărcte simetric, în secţiunile cuprinse în plnul de simetrie, este cunoscut efortul tăietor T. Cum în cestă secţiune, pentru exemplul nostru, nu există o forţă tăietore concentrtă, efortul tăietor T este nul. Deci, numărul necunoscutelor în secţiune din x de simetrie, s- redus de l trei l două. X X / / / / SE SB ) b) Se v pute utiliz în cest cz, numi o jumătte din sistem (ig ,b). ig X / / X SE SB ) b) ig Sistemul de ecuţii de condiţie, re form: δ X + δ X + Δ 0 = δ X + δ X + Δ 0 =

112 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Pentru SB încărct numi cu forţ, (ig ), se trseză digrm de momente M i0, (ig b). Se încrcă SB pe rând cu X = (ig c) şi X = (ig e) şi se trseză digrmele de momente încovoietore m (ig d), respectiv m (ig f). / / X = X = ) c) e) / / M i0 m m / b) d) f) Cu digrmele M i0, m şi m, se clculeză coeficienţii sistemului.4..5-, stfel: Δ 0 - cu digrmele M i0 şi m Δ 0 - cu digrmele M i0 şi m δ - cu digrm m δ = δ - cu digrmele m şi m δ - cu digrm m EI Δ = 0 = ig

113 Clculul deformţiilor prin metode energetice 9 EI Δ = == 8 8 EI δ = = EI δ = EI δ = = EI δ = + = 0 Cu vlorile cestor coeficienţi, sistemul..4.5-, devine: 8 X X + - X + X 9 8 = 0 = Rezolvre sistemului.4..5-, conduce l vlorile: X X = 6 = 4 Sistemul sttic determint rezultt, este prezentt în ig Pentru cest sistem, se pote clcul deplsre pe verticlă secţiunii. Digrmele M i0 şi m V sunt prezentte în ig Rezultă: δ EI V = =

114 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii de unde, se obţine deplsre pe vericlă secţiunii : δ V = 5 48 EI / / /4 /6 ig / / /4 /4 M i0 mv / /8 ig

115 Clculul deformţiilor prin metode energetice.4..6 Pentru cdrul din ig , se cere să se trseze digrm de momente încovoietore. ig Rezolvre: Sistemul este de trei ori sttic nedetermint exterior şi pentru că prezintă şi un contur închis, încă de trei ori sttic nedetermint interior. Deci, grdul de nedeterminre este: n = + = 6. Se observă că sistemul este simetric încărct ntisimetric, cee ce ne oferă posibilitte cunoşterii eforturilor N şi M i în secţiunile cuprinse în plnul de simetrie. Pentru cest sistem, eforturile N şi M i din secţiunile cuprinse în plnul de simetrie, sunt nule. Rezultă sistemul echivlent SE cel mi convenbil, cel prezentt în ig şi sistemul de bză SB în ig b. X X SE SB ) b) ig

116 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Se pote constt că, numărul necunoscutelor (cre iniţil u fost 6) s- redus l două şi se pote utiliz numi o jumătte din sistem, cee ce fce c volumul de clcul să se reducă forte mult. Sistemul de ecuţii de condiţie, pentru cest cdru, este: δ X + δ X + Δ0 = δ X + δ X + Δ0 = Sistemul de bză SB se încrcă cu srcin plictă, (ig ) şi se trseză digrm M i0, (ig b). Se încrcă SB pe rând cu srcinile X =, (ig c), X =, (ig e) şi se trseză digrm de momente încovoietore m (ig d), respectiv m (ig f). X = X = ) c) e) M i0 m m b) d) f) ig

117 Clculul deformţiilor prin metode energetice Se clculeză coeficienţii sistemului de ecuţii.4..6-, stfel: Δ 0 - cu digrmele M i0 şi m Δ 0 - cu digrmele M i0 şi m δ - cu digrm m δ = δ - cu digrmele m şi m δ - cu digrm m EI Δ0 = = EI Δ = - = 7 EI δ = + = EI δ = EI δ = = 4 EI δ = + = 0 Suprfţ trpezoidlă din digrm M i0, s- descompus întro suprfţă dreptunghiulră şi un triunghiulră. Cu ceste vlori le coeficienţilor, sistemul de ecuţii.4..6-, cpătă form: 7 X X - 4 X + X = 0 = Rezolvre sistemului de ecuţii.4..6-, conduce l vlorile necunoscutelor suplimentre: X = = 0, X = = 0,7 4 8

118 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Digrm de momente încovoietore cre rezultă cum după ce sistemul este sttic determint (ig ), este prezenttă în ig b. 0,55 0,55 0,7 0,55 0,447 0,6 0,74 ) b) ig Pentru prte din drept, digrm s- trst cunoscându-se că l sisteme simetrice încărcte ntisimetric, eforturile N şi M i sunt ntisimetrice fţă de x de simetrie Pentru cdrul din ig , să se trseze digrm de momente încovoietore. ig

119 Clculul deformţiilor prin metode energetice Rezolvre: Sistemul este sttic nedetermint exterior. Grdul de nedeterminre este: n = 6 - = (6 recţiuni, trei ecuţii de echilibru). După cum se consttă, sistemul este simetric, încărct simetric cu o forţă concentrtă plictă chir în secţiune cuprinsă în plnul de simetrie. Sistemul echivlent SE cel mi convenbil, este prezentt în ig , ir sistemul de bză SB rezultt din SE, în ig b. Srcin cre cţioneză în secţiune din plnul de simetrie, se împrte în mod egl pe cele două feţe le secţiunii. SE X X SB X X ) b) ig Numărul necunoscutelor, s- redus în cest cz, de l trei l două şi de semene se v lucr în continure, numi cu jumătte din sistem. Sistemul de ecuţii de condiţie, re form: δ X + δ X + Δ0 = δ X + δ X + Δ0 = Se încrcă sistemul de bză SB, cu srcin, (ig ) şi se trseză digrm de moment încovoietor M i0, (ig b). 0

120 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Se încrcă SB pe rând cu necunoscutele X =, (ig c) şi X =, (ig e) şi se trseză digrmele de moment încovoietor m (ig d), respectiv digrm m (ig f). X = X = ) c) e) M i0 m m b) d) e) ig Cu jutorul digrmelor M i0, m, şi m, se clculeză coeficienţii sistemului de ecuţiii.4..7-, stfel: ( + ) EI Δ0 = = + EI Δ0 = = 4 EI δ = + = EI δ = EI δ = + = EI δ = + + = ( ) Sistemul de ecuţii.4..7-, cpătă cum form următore:

121 Clculul deformţiilor prin metode energetice 4 X + X = 0 + X = 0 X După rezolvre sistemului.4..7-, pentru necunoscutele suplimentre se obţin vlorile: X X 6 = 7 4 = 7 Digrm de moment încovoietor s- clcult şi trst pentru o jumătte de sistem (ig ), ir pentru celltă jumătte s- trst prin simetrie (ig b), ştiindu-se că l sisteme simetrice încărcte simetric, momentul încovoietor, este simetric. 4/7 /7 4/7 /7 /7 6/7 /7 M i 4/7 ) b) 4/7 /7 /7 /7 /7 ig

122 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii.4..8 Pentru sistemul din ig , să se clculeze recţiunile după montre forţtă cestui. δ ig Rezolvre: După montre forţtă, sistemul din ig , devine un sistem sttic nedetermint exterior, c în ig Grdul de nedeterminre este n =, (5 recţiuni, ecuţii de echilibru). Sistemul echivlent SE (vrint ce mi convenbilă), l sistemului rel este prezentt în ig , ir sistemul de bză SB, în ig b. SE X ig X SB ) b) ig

123 Clculul deformţiilor prin metode energetice Sistemul de ecuţii, corespunzător grdului de nedeterminre n =, re form următore: δ X + δ X + Δ0 = δ X + δ X + Δ0 = δ Atenţie: Pe direcţi verticlă (direcţi lui X ), deplsre produsă de srcin plictă şi necunoscutele X şi X, nu este nulă (c în celellte exemple de până cum), ci eglă cu δ. Digrmele M i0, m şi m trste pentru cest exemplu, sunt prezentte în ig m M i0 X = m X = ) b) c) ig Coeficienţii sistemului de ecuţii.4..8-, sunt: EI Δ0 = = EI Δ0 = = 7 EI δ = + = EI δ = EI δ = + 0 = EI δ = + + = Sistemul de ecuţii.4..8-, devine: 4

124 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii 4 X + X X + X = δ E I = Rezolvre sistemului.4..8-, conduce l vlorile: X = δ E I 5 X + 6 δ E I = Să se clculeze eforturile din cele trei bre le sistemului din ig Brele u ceeşi rigiditte: E A = E A = E A şi α = 450. α α ig Rezolvre: De l studiul sistemelor de bre rticulte, ne remintim că l cest tip de probleme, trebuie determinte mi întâi eforturile xile din bre (vezi clculul sistemelor de bre rticulte). Sistemul pentru clculul eforturilor xile, pentru cest exemplu, este prezentt în ig

125 Clculul deformţiilor prin metode energetice N N α α N ig Pentru determinre eforturilor N, N, N, pentru sistemul din ig , se pun condiţiile de echilibru (sistenul de forţe este pln). ( ) = 0 N cosα + N = 0 x ( ) = 0 N + N sin α - = 0 y ( ) = 0 Nu se pote scrie b.4..9-c M K Se consttă că s-u scris două ecuţii şi sunt trei necunoscute (eforturil N, N, N ). Rezultă de ici, că sistemul de bre, este sttic nedetermint o dtă (n = ). Un din metode (metod relţiilor dintre deplsările diferitelor secţiuni le elementelor ce compun sistemul) fost prezenttă l cpitolul rezervt solicitării xile. Aplicre cestei metode pentru problem nostră, este dificilă, deorece găsire pe cle geometrică relţiilor cre există între deformţiile celor trei bre, necesită cunoştiinţe temeinice de geometrie din prte rezolvitorului. Găsire unui dintre eforturi (ridicre nedeterminării) pentru cest sistem de bre rticulte, se fce cum prin metod srcinii unitre, procedeul Veresceghin. Se vor prcurge etpele cunoscute pentru cestă metodă, însă se v ţine sem numi de efortul xil. De ltfel, supr celor trei bre rticulte, nu cţioneză lte eforturi. Se formeză sistemul echivlent SE cel mi convenbil (ig ) şi sistemul de bză SB, (ig b). Sistemul de ecuţii de condiţie, pentru n =, este: 6

126 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii δ X + Δ0 = de unde rezultă expresi pentru efortul xil X : X Δ 0 = δ α α X SE ) α α SB b) ig Se i sistemul de bză SB (ig ) şi se trseză digrm de efort xil N 0. Pentru pute trs digrm N 0, trebuie determinte eforturile xile N 0, N 0, N 0 din cele trei bre. Schem după cre se determină ceste eforturi, este prezenttă în ig Efortul N 0 = 0. α α ) + + b) N 0 N 0 Putem scrie: ig ig N 0 7

127 Clculul deformţiilor prin metode energetice ( ) = 0 N 0 = 0 x ( ) = 0 N = 0 N = b y Cu vlorile eforturilor N 0, N 0, N 0, se trseză digrm N 0, (ig b). Se încrcă sistemul de bză SB cu necunoscut X = (ig ) şi pe schem din ig b, se clculeză eforturile n, n, n. Se observă că n =. -0,7 + α + α n X = -0,7 - - ) c) n α X ==n α b) n ig ( ) = 0 n + cosα = 0 x ( ) = 0 n + sin α = b y 6c). Rezultă: n = cos α = 0, n = cos α = 0, b n = c Cu vlorile n, n şi n, se trseză digrm n (ig

128 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Coeficienţii ecuţiei.4..9-, se determină cu jutorul digrmelor N 0 şi n, cre sunt prezentte lăturt, în ig ,7 + N ) n -0,7 - - b) ig Vlorile coeficienţilor ecuţiei.4..9-, sunt: 0,7 Δ0 = = 0,7 E A EA 0,7 0,7 0,7 0,7 δ = + + = E A E A E A Din relţi.4..9-, rezultă efortul xil necunoscut: EA 0,7 Δ0 X EA = = = 0,5 δ 4 EA Sistemul din ig devine sttic determint solicitt c în ig Acest sistem, pote fi rezolvt mi deprte după metodele cunoscute de l sistemele de bre rticulte. 9

129 Clculul deformţiilor prin metode energetice α α 0,5 Eforturile din cele trei bre rticulte, se pot clcul uşor: = N 0 + X n = + = 4 (efort xil de întindere) 4 N N 0 + X n = N ( + ) = 0,5 = (efort xil de întindere) ig = N 0 + X n = 0 + = 4 (efort xil de compresiune) 4 N În concluzie, eforturile xile din cele trei bre, sunt: N N N = = 0, = = 0, b 4 = = 0, c 4 În continure, se pot efectu clcule de rezistenţă su deformbilitte, după metodele cunoscute. 0

130 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii 4. CALCULUL DE REZISTENŢĂ AL BARELOR CURBE PLANE 4. Considerţii generle. Etpe de clcul Brele curbe plne, sunt cele bre curbe, cre u x longitudinlă într-un singur pln. Se dmite că cest pln este totodtă şi pln de simetrie pentru bră şi că plnul forţelor, coincide cu cest pln de simetrie. Sub cţiune unui sistem de forţe coplnre, situt în plnul brei curbe, în secţiunile trnsversle le cestee, iu nştere eforturi xile N, tăietore T şi momente încovoietore M i. Efortul xil N, dezvoltă tensiuni normle σ. Se cceptă că ceste tensiuni sunt reprtizte uniform pe suprfţ secţiunii trnsversle şi ele se clculeză cu relţi cunoscută de l brele drepte: N σ = σ N = ± 4.- A Efortul tăietor T, dezvoltă tensiuni tngenţile τ. Cu proximţie, ceste tensiuni se pot determin cu jutorul relţiei lui Jurwski, dedusă pentru brele drepte: T Sz τ = 4.- I b z Pentru brele curbe cre prezintă secţiune trnsverslă mre, tensiunile tngenţile sunt de vlori mici şi de cele mi multe ori, ele se neglijeză. Momentul încovoietor, produce tensiuni normle σ. Pentru br cu curbură mică (rză de curbură mre), vând rportul dintre rz de curbură R şi înălţime secţiunii h (măsurtă pe direcţie rdilă) mi mre decât , tensiunile normle σ produse de

131 Clculul de rezistenţă l brelor curbe plne momentul încovoietor M i, se pot clcul cu relţi lui Nvier de l brele drepte: Miz σ = σmiz = ± y 4.- I Relţi 4.- dă erori cu tât mi mri, cu cât curbur brei este mi mre (rz de curbură mi mică). Dcă rportul R/h < , dică br prezintă o curbură mre, este necesră plicre în clcule relţiei stbilită pentru brele curbe. În litertur de specilitte, sunt cunoscute două relţii pentru clculul tensiunilor normle σ l bre curbe plne, solicitte l îmcovoiere: ) relţi lui Winkler b) relţi lui Toll. ) Dintre cele două relţii, relţi lui Winkler este ce mi utiliztă, fiind mi simplă şi permite utilizre unor cunoştinţe de l încovoiere pură brelor drepte. Relţi lui Winkler, pentru clculul tensiunii normle l încovoiere, într-un punct k dintr-o secţiune unei bre curbe plnă cu curbură mre, este: z σ K ± M ± y iz K = σk,miz = 4.-4 A e rn ( ± yk ) unde: M iz - momentul încovoietor din secţiune în cre este situt punctul K. În fţ lui M iz se pune semnul + dcă cest deschide br (micşoreză curbur) şi semnul -, dcă închide br (măreşte curbur) A - ri secţiunii trnsversle brei, secţiune în cre este situt punctul K e - distnţ dintre x neutră şi x centrlă Gz (x centrlă Gy, este totdeun x cre trece şi prin centrul de curbură, vând sensul pozitiv spre centrul de curbură) r n - rz de curbură xei neutre

132 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii y K - distnţ de l x neutră până l punctul K în cre se clculeză tensiune normlă. În fţ lui y K se pune semnul + dcă punctul este situt spre centrul de curbură şi semnul -, dcă cest este situt spre fibrele extreme exteriore. Tensiunile mxime se ting în fibrele extreme (interiore, respectiv exteriore) şi ceste se pot clcul cu relţiile: σ σ int ext σ ± M + y iz = i = 4.-5 A e R ± M y iz = σe = 4.-5b A e R unde: y - distnţ în modul dintre x neutră şi fibrele extreme interiore brei curbe y - distnţ în modul dintre x neutră şi fibrele extreme situte l exteriorul brei curbe R - distnţ de l centrul de curbură l fibrele extreme interiore (rz de curbură fibrei extreme interiore) R - distnţ de l centrul de curbură l fibrele extreme exteriore (rz de curbură fibrei extreme exteriore). După cum se pote constt, în relţiile 4.-4, 4.-5, trebuie ţinut sem de numite convenţii de semn (pentru M iz şi y K ), cee ce de multe ori, complică clculele. Pentru un clcul mi simplu şi mi ferit de greşeli, în czul brelor curbe plne cu curbură mre, solicitte l încovoiere, pentru clculul tensiunii normle într-un punct K dintr-o secţiune, se pote utiliz următore relţie: σ K ± M A e y r iz K = 4.-6 K unde:

133 Clculul de rezistenţă l brelor curbe plne y K - distnţ în modul, dintre x neutră şi punctul K în cre se clculeză tensiune r K - rz de curbură (în modul) fibrei cre conţine punctul K. În relţi 4.-6, tote mărimile cre intervin (inclusiv M i ) se introduc în vlore bsolută. După semnul egl, se pune semnul + su -, după cum punctul K, este situt în zon întinsă su ce comprimtă secţiunii, ş după cum judecm şi l brele drepte. Utilizând relţi propusă (rel.4.-6), nu mi trebuie reţinută nicio convenţie de semn. În tote vrintele prezentte, după cum se observă, intervine mărime e, cre reprezintă distnţ dintre x neutră şi x centrlă Gz. Excentricitte e (după cum se mi numeşte), pote fi determintă în două moduri: În modul exct, mi întâi se determină cu numite relţii, poziţi xei neutre (rz de curbură xei neutre) prin mărime r n. Cunoscând mărime r n, se clculeză excentricitte e, cu relţi: e = R r n 4.-7 unde: R - rz de curbură xei geometrice brei curbe. În Tbelul 4.-, se prezintă relţiile de clcul pentru rz de curbură xei neutre r n, pentru câtev suprfeţe simple, des întâlnite în construcţi de mşini. În modul proximtiv, excentricitte e, se clculeză cu relţi: I z e 4.-8 A R unde: I z - momentul de inerţie xil, fţă de x centrlă Gz (cre este şi x de încovoiere), suprfeţei secţiunii trnsversle brei, secţiune în cre se clculeză tensiune normlă σ. 4

134 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Tbelul 4.- Poziţi Secţiune Relţi pentru r n h G R r n = h / [ln (R / R )] b y e r n R z G r z e r n = [R + (R r ) / ] / r n R y b r n = A / ( t + t +t ) h h h b b y e z r n R R R R 4 unde: t = b ln(r / R ) t = b ln(r / R ) t = b ln(r 4 / R ) A - ri totlă secţiunii r n = A / ( t ln t ) b unde: 4 h G y e z R t = ( B R - b R ) / h t = [ R / R - ( B - b)] B R r n R A = ( B + b) h / suprfeţei secţiunii) (ri 5

135 Clculul de rezistenţă l brelor curbe plne L brele curbe plne, x neutră este prlelă cu x centrlă Gz, şi sitută fţă de cest înspre centrul de curbură. L brele curbe plne, în secţiunile trnsversle, pre şi efort xil N (rezultă o solicitre compusă de ctegori I). În cest cz de solicitre, tensiune normlă rezultntă în punctul K, se clculeză cu relţi: N M iz y K σ K = ± ± 4.-9 A A e r Anlizând relţi 4.-4, rezultă că tensiune normlă σ l bre curbe plne, vriză pe secţiune după o lege hiperbolică. Acestă hiperbolă prezintă porţiune cu pnt ce mi mre, totdeun spre centrul de curbură. Pentru reprezentre tensiunii normle pe secţiune, trebuie determintă poziţi xei neutre (vezi cestă problemă l brele drepte). Poziţi cestee este dej determintă de l clculul tensiunii normle, clcul ce nu pote fi efectut fără cunoşte poziţi xei neutre (mărime excentricităţii e su r n ). Pentru clculul de rezistenţă l brelor curbe plne, trebuie prcurse următorele etpe: Se reprezintă br numi prin x s geometrică. Se reduc tote forţele plicte, în centrul de greutte l secţiunii în cre ele cţioneză şi componentele rezultte se şeză pe br reprezenttă numi prin x s geometrică. Pentru cest sistem, se trseză digrmele de eforturi N şi M i (efortul tăietor T se neglijeză). uncţie de vriţi secţiunii în lungul elementului de rezistenţă şi mărime eforturilor, se stbileşte secţiune periculosă. Se deseneză secţiune periculosă şi se scriu vlorile eforturilor din secţiune periculosă. Se poziţioneză şi centrul de curbură l brei, fţă de secţiune periculosă. Se stbileşte tipul solicitării (v rezult o solicitre compusă de ctegori I). Pe secţiune periculosă, se stbilesc punctele cele mi solicitte: l întindere, respectiv l compresiune (vezi K 6

136 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii solicitre compusă de ctegori I, Cp. ). Aceste puncte vor fi situte pe fibrele extreme interiore, respectiv exteriore. Dcă secţiune periculosă: se flă pe o porţiune dreptă elementului de rezistenţă (br nu este curbă în cest loc), clculul se fce c l brele drepte (vezi Cp.), se flă pe o porţiune curbă brei su în porţiune de seprre între ce curbă şi dreptă, se clculeză rportul R / h. Dcă R / h > 5...6, clculul se fce cu relţiile de l brele drepte, ir dcă R/h < , clculul se fce cu relţiile pentru bre curbe, prcurgându-se mi deprte următorrele etpe: Se scrie relţi generlă de clcul tensiunii normle (rel. 4.-9) Se prticulrizeză relţi 4.-9 pentru punctele cele mi solicitte şi pentru tipul problemei (verificre, dimensionre, efort cpbil). Pentru relţiile prticulrizte, se clculeză: A - ri secţiunii trnsversle ( secţiunii periculose) e - excentricitte (cu un dintre relţiile 4.-7 su 4.- 8) y K - distnţ de l x neutră l punctele cele mi solicitte r K - rz de curbură fibrelor pe cre sunt situte punctele cele mi solicite. Având clculte mărimile de mi sus, ceste se introduc în relţiile prticulrizte pentru punctele cele mi solicitte, ir din ceste relţii finle, se determină mărime cerută. Dcă se cere să se reprezinte şi vriţi tensiunii normle pe secţiune, se prcurg etpele: Se duc prlele l x neutră prin punctele cele mi solicitte. Se reprezintă vriţi tensiunii normle, vând grijă c totdeun pnt ce mi mre curbei, să fie sitută spre centrul de curbură. În cele două porţiuni, se pun semnele corespunzătore tensiunii (plus şi minus), precum şi vlorile mxime le tensiunii. 7

137 Clculul de rezistenţă l brelor curbe plne Se duc "hşurile" digrmei tensiunii normle. b) Relţi lui Toll pentru clculul tensiunii normle într-un punct K dintr-o secţiune unei bre curbe plnă cu curbură mre, este: ± M i ± M i ± y K σ K = ± N + + A R k R R + ( ± y ) 4.-0 K unde: A - ri secţiunii trnsversle în cre este situt punctul K N - efortul xil din secţiune în cre se clculeză tensiune. El re semnul + dcă este de întindere şi - dcă este de compresiune M i - momentul încovoietor din secţiune în cre se clculeză tensiune. Are semnul + dcă închide br curbă (măreşte curbur) şi semnul - dcă deschide br (micşoreză curbur) k - un coeficient (coeficientul lui Toll), cre re expresi: k I z 4.- A R R - rz de curbură xei geometrice brei curbe y K - coordont y punctului K, şi măsoră distnţ dintre x geometrică şi punctul K în cre se clculeză tensiune. Coordont y K re semnul + dcă punctul K este situt fţă de x geometrică spre fibrele extreme exteriore şi semnul - dcă este situt spre centrul de curbură fţă de x geometrică. Observţie: Convenţiile de semne pentru M i şi y K, în cele două relţii prezentte pentru clculul tensiunii normle l bre curbe plne (Winkler şi Toll), sunt contrrii. Clculul tensiunii normle σ l bre curbe plne, după relţi lui Toll, nu pote fi făcută decât ţinând sem strict de condiţiile de semn, pentru M i şi y K. Pentru reprezentre vriţiei tensiunii normle pe secţiune se determină poziţi xei neutre (cre este tot prlelă cu x centrlă Gz), din ecuţi xei neutre, cre re expresi: 8

138 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii N M Mi y0 σ = + i + 0 A R k R R + y = unde: y 0 -coordont unui punct de pe x neutră (distnţ dintre x geometrică şi x neutră) Pentru simplificre clculelor, în relţi 4.-, se neglijeză efortul xil N, de unde rezultă poziţi xei neutre: k R y k Se pote constt că şi după cestă relţie, x neutră este sitută fţă de x geometrică tot spre centrul de curbură l brei curbe şi este prlelă cu x geometrică. Etpele de clcul sunt celeşi cu cele prezentte l relţi lui Winkler, deosebirile pr dor l relţi de clcul tensiunii normle şi l ce de determinre poziţiei xei neutre. 4. Modele de probleme rezolvte În tote exemplele cre urmeză, se v plic relţi lui Winkler pentru clculul tensiunii normle. 4.. Pentru br din ig.4..-, se cer: ) verificre brei, pentru σ = 50 MP b) vriţi tensiunii normle în secţiune periculosă R R =, m ig.4..- Rezolvre: Se vor prcurge tote etpele recomndte în cest cpitol. 9

139 Clculul de rezistenţă l brelor curbe plne Se reprezintă br numi prin x s geometrică. Acestă etpă este efectută chir din enunţul problemei (vezi ig.4..-). orţele plicte sunt reduse şi plicte pe bră (încă din enunţ). Rezultă sistemul din ig.4..-: R R =, m - N R ) b) M i c) ig.4..- Digrmele de eforturi N şi M i pentru sistemul rezultt (ig.4..-) sunt prezentte în ig.4..-b, respectiv ig.4..-c. Br re secţiune constntă. Rezultă că secţiune periculosă este pe rezemul fix (din stâng). Secţiune periculosă cu form şi poziţi s, este prezenttă în ig T G y T e z r T R r n C y y C r C CC (centrul de curbură) ig.4..- Eforturile din secţiune periculosă, sunt: N = - = - 8 KN 40

140 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii M iz = R = 4,8 KN m 4..- Rezultă o solicitre compusă de ctegori I. Punctele cele mi solicitte din secţiune periculosă sunt punctele T l întindere şi punctele C l compresiune (ig.4..-). Secţiune periculosă este sitută tocmi în zon de trecere de l form dreptă l ce curbă. Se clculeză rportul R / h, unde R = 600 mm: R h 600 = = În cest cz, tensiune normlă se clculeză cu relţiile de l brele curbe. Relţi generlă de clcul tensiunii normle (relţi lui Winkler), este (rel. 4.-9): σ K N A M y iz K = ± ± 4..- A e r K Pentru punctele cele mi solicitte, relţi 4..-, re form. σ σ T C A R A e y r T = R y T C = 4..-4b A A e rc Pentru secţiune periculosă, rezultă: A = 0 80 = mm Iz e mm A R y T = 60 + e = 6 mm (ig.4..-) y C = 60 - e = 58 mm (ig.4..-) 4

141 Clculul de rezistenţă l brelor curbe plne r T = R + 60 = 660 mm (ig.4..-) r C = R - 60 = 540 mm (ig.4..-) Prticulrizte, relţiile şi 4..-4b, devin: ,8 0 6 σ mx, t = σt = + =,56 MP < σ , σ mx, c = σc = = 7,64 MP < σ Poziţi xei neutre fiind cunoscută (e = mm), se pote reprezent vriţi tensiunii normle în secţiune periculosă (ig.4..-4) t c Ax geometrică +,56 +,56 Ax neutră y -7,64-7,64 σ [MP] ) b ig Ambele reprezentări (ig.4..-4,b) sunt corecte, deorece pnt mi mre digrmei este în mbele czuri spre centrul de curbură. 4.. Pentru br de secţiune circulră din ig.4..-, se cer: ) vlore forţei cpbile ( =?) pentru σ = 50 MP b) digrm de vriţie tensiunii normle în secţiune periculosă. 4

142 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii d=00 mm r = 0,5 m r ig.4..- Rezolvre: Br reprezenttă prin x s geometrică şi încărctă cu componentele rezultte din reducere forţelor, este prezenttă în ig r = 500 mm R R = 00 mm N + ) b M i c) ig.4..- Atenţie: Pentru cest exemplu R r. Rz de curbură xei geometrice R este: d R = r + = = 00 mm

143 Clculul de rezistenţă l brelor curbe plne Digrmele de eforturi pentru sistemul din ig.4..-, sunt prezentte în ig.4..-b şi ig.4..-c. Secţiune periculosă rezultă pe porţiune curbă, unde cţioneză eforturile: N = M iz = Rezultă o solicitre compusă de ctegori I. Secţiune periculosă cu form şi poziţi ei, este prezenttă în ig Punctul cel mi solicitt l întindere este punctul T, ir cel mi solicitt l compresiune este punctul C (ig.4..-). Rportul R / h, este: R h 00 = = e y T z y C CC y T C r T r n R r C ig.4..- Clculul de rezistenţă se fce cu relţi lui Winkler: σ K N A M y iz K = ± ± A e r K Relţi 4..-4, prticulriztă pentru punctele T şi C, devine: 44

144 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii R y σ = T T = + σt A A e rt R y σ = C C = σc 4..-5b A A e rc Se clculeză mărimile cre intervin în relţiile 4..-5,b: π d A = = 7.85,98 4 e I z mm A R mm d y T = e = 48 mm d y C = + e = 5 mm d r T = R = 50 mm d r C = R + = 50 mm Cu vlorile de mi sus, relţiile 4..-5,b devin: 7.85, = , = b 7.85, ,98 50 Din relţi rezultă ' = 5,4 KN, ir din relţi 4..-6b rezultă " =0,6 KN. orţ cpbilă pentru bră, este: cp = min (' ; '') = ' = 5,4 KN 45

145 Clculul de rezistenţă l brelor curbe plne Pentru reprezent vriţi tensiunii normle în secţiune periculosă, trebuie clcultă tensiune normlă din punctul C, cu forţ = cp = 5,4 KN. Se obţine: σ mx, c 5, , , , =,65 MP Vriţi tensiunii normle din secţiune periculosă, este prezenttă în ig e z CC y +50 σ [MP] -,65 ig Pentru br din ig.4..-, se cer: ) srcin cpbilă (p =?) pentru σ t = 0 MP şi σ c = -90 MP b) vriţi tensiunii normle din secţiune periculosă (fără clculul vlorilor mxime). 46

146 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii r r = 75 mm = 0,6 m p ig.4..- Rezolvre: Br reprezenttă numi prin x s geometrică şi încărctă cu componentele rezultte prin reducere srcinii p, este prezenttă în ig R G p y G b) ) ig.4..- Nici l cestă bră, rz r nu reprezintă rz de curbură xei geometrice R. Pentru clculul lui R, trebuie determintă poziţi centrului de greutte l secţiunii (vezi ig.4..-b). După clcule, se obţine y G = 5 mm şi 47

147 Clculul de rezistenţă l brelor curbe plne ir R = r + y G = = 00 mm = R = 600 mm b Digrmele de eforturi N şi M i le sistemului din ig.4..- sunt prezentte în ig.4..-: -pr 4pR pr pr N M i ) b) ig.4..- În secţiune periculosă cţioneză eforturile: N = - pr M iz = 4 pr b rezultând o solicitre compusă de ctegori I. Secţiune periculosă cu form şi poziţi s, este prezenttă în ig Punctele cele mi solicitte l întindere T, respectiv compresiune C, sunt rătte în ig

148 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii T G y T e z r T y C R r n C y r C CC Secţiune periculosă este sitută într-o porţiune curbă, unde rportul R / h, este: R h ig = = Clcul de rezistenţă se fce în cest cz cu relţi de l bre curbe (relţi lui Winkler), cărei expresie generlă, este: σ K N A M y iz K = ± ± A e r K Relţi 4..-4, prticulriztă pentru punctele T şi C, devine: N M y σ = iz T mx, t = σt = + σt A A e rt N M y = σ = = σ iz C σ mx, c C c 4..-5b A A e rc Se clculeză mărimile din relţiile 4..-5,b: A =.600 mm 49

149 Clculul de rezistenţă l brelor curbe plne Iz e mm A R y T = 5 + e = 6 mm y C = y G - e = 5 - = 4 mm r T = r + 60 = = 5 mm r C = r = 75 mm Cu ceste vlori, relţiile 4..-5,b, devin: p 00 4p = p 00 4p = b Rezolvând ecuţiile 4..-6,b, se obţin vlorile: p' =,4 kn/m p'' = 4,58 kn/m de unde rezultă srcin cpbilă: p cp = min (p' ; p'') =,4 kn/m Vriţi tensiunii normle din secţiune periculosă, este prezenttă în ig T +0 G z C y -4,4 σ [MP] C ig

150 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Pentru tote exemplele prezentte până cum, excentricitte e fost clcultă cu relţi proximtivă: I z e A R Să clculăm cum mărime excentricităţii e cu relţi exctă (pentru vede ce diferenţă rezultă între cele două procedee): unde: e = R r n r n - se clculeză cu relţi (vezi Tbelul 4.-, poziţi prticulriztă şi ig.4..-6): r n A = R R b ln + b ln R R ir: b = 40 mm b = 0 mm R = 75 mm R = 95 mm R = 5 mm b h R h R b R CC ig

151 Clculul de rezistenţă l brelor curbe plne Introducând ceste mărimi în relţi 4..-9, se obţine: 0 40 r n = = 99,0075 mm ln + 0 ln Din relţi 4..-8, rezultă mărime excentricităţii e: e = R r n = 00-99,0075 = 0, Se pote constt că diferenţ este forte mică, cee ce permite să se utilizeze relţi proximtivă pentru excentricitte e. 5

152 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii 5. CALCULUL LA LAMBAJ (STABILTATE) AL BARELOR DREPTE ZVELTE, SOLICITATE LA COMPRESIUNE 5. Considerţii generle. Etpe de clcul lmbjul este fenomenul de trecere unei piese din stre de echilibru stbil în ce de echilibru instbil, l o numită vlore (critică) srcinilor plicte. lmbjul mi este cunoscut şi sub denumire de fenomen de pierdere stbilităţii unei piese (element de rezistenţă). lmbjul este un fenomen şi nu o solicitre, el părând numi pentru numite elemente de rezistenţă, solicitte într-un numit mod. Vlore critică srcinii plicte, numită şi forţă critică de flmbj ( cr ), depinde de form şi dimensiunile elementului de rezistenţă, de modul de rezemre şi plicre l srcinilor. Atingere vlorii forţei critice de flmbj într-un element de rezistenţă reprezintă o stre periculosă, ir elementul de rezistenţă nu mi pote fi utilizt. Clculul de flmbj l unui element de rezistenţă constă în determinre vlorii forţei critice şi legere unei forţe rele mi mică de c f ori, unde c f portă numele de coeficient de sigurnţă l flmbj. Se v prezent numi flmbjul brelor drepte zvelte (lungi şi subţiri) supuse solicitării xile de compresiune. Relţi de bză (fundmentlă) pentru clculul l flmbj, este: cr cf = cf 5.- N ef unde: cr - forţ critică de flmbj N ef - efortul xil efectiv de compresiune din bră c f - coeficientul de sigurnţă dmisibil l flmbj. 5

153 Clculul l flmbj l brelor drepte zvelte solicitte l compresiune Vlorile coeficientului de sigurnţă dmisibil c f sunt vrite şi nu există prescripţii oficile pentru ele. În generl c f se i din diferite trtte de construcţii de mşini. Pentru piese de mşini, vlorile extreme le coeficientul de sigurnţă dmis l flmbj sunt: c f,min = 4 c f,mx = 8 În Tbelul 5.-, sunt prezentte câtev vlori le lui c f pentru tije de piston şi biele. Pies Tbelul 5.- c f Tij pistonului Biel Mşini cu un cilindru 8... Mşini cu un cilindru şi contrtijă; mşini cu doi cilindri Mşini termice mri Motore de utomobil 4.. 5,5 Este cunoscut fptul că flmbjul unui element de rezistenţă pote ve loc în trei domenii: elstic, elsto - plstic şi plstic, primele două fiind cele mi importnte. C urmre, fiecărui domeniu de flmbj, îi corespunde o numită expresie pentru forţ critică de flmbj. Astfel: pentru domeniul elstic (formul lui Euler): cr π E I min = 5.- lf unde: E - modulul de elsticitte longitudinl l mterilului elementului de rezistenţă I min - momentul de inerţie xil minim l secţiunii trnsversle elementului de rezistenţă l f - lungime de flmbj, cre depinde de modul de rezemre l elementului de rezistenţă. 54

154 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii În ig.5.- se prezintă cele mi frecvente moduri de rezemre elementului de rezistenţă şi relţi lungimii de flmbj l f, pentru fiecre mod: ) br rticultă l mbele cpete b) br înţepenită l un cpăt şi liberă l celăllt c) br înţepenită l un cpăt şi rticultă l celăllt d) br înţepenită l mbele cpete. l l f = l l f = l l f = 0,7 l l f = 0,5 l ) b) c) d) ig.5.- pentru domeniul elsto - plstic (relţi lui Tetmjer - Isinski): cr = A σ cr 5.- unde: A - ri secţiunii trnsversle brei σ cr - o tensiune critică cărei expresie re form: pentru oţel: σ cr = - b λ 5.-4 pentru fontă: σ cr = - b λ - c λ 5.-4b ir,, b, c - coeficienţi determinţi experimentl λ - coeficient de zvelteţe, cu expresi: 55

155 Clculul l flmbj l brelor drepte zvelte solicitte l compresiune şi λ f = 5.-5 i l min i min - rz de girţie minimă secţiunii trnsversle brei. Delimitre domeniilor (elstic, elsto - plstic, plstic) se fce pe bz coeficientului de zvelteţe (coeficientul de subţirime) λ. În ig.5.- se prezintă o schemă de delimitre domeniilor de flmbj, funcţie de coeficientul de zvelteţe λ. Domeniul flmbjului plstic Domeniul flmbjului elsto-plstic Domeniul flmbjului elstic λ 0 λ cr =A σ cr λ 0 cr =π E I min / l f Vlorile coeficienţilor, b, c, λ 0, λ pentru câtev mterile utilizte în construcţi de mşini, sunt prezentte în Tbelul 5.-. Din cele prezentte până cum rezultt că pentru clculul l flmbj există două relţii (relţi 5.- şi 5.-), pentru domeniul elstic, respectiv elsto - plstic. În domeniul construcţiilor pentru cre se pote dmite c f,min =,7 şi c f,mx =,4 s- stbilit o metodă de clcul unică, tât pentru flmbjul elstic cât şi cel plstic. Acestă metodă este cunoscută sub numele de metod coeficientului de flmbj ϕ. În metod coeficientului de flmbj ϕ, rezistenţ dmisibilă l flmbj se defineşte c fiind: σ ig.5.- σcr cr cr Nef = = = 5.-6 c A c c A A f = În cest fel, clculul l flmbj devine un clcul de form celui de l compresiune, dică: A = 5.-7 σ f 56

156 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Tbelul 5.- Mterilul b c λ0 λ OL 7 (σc = 40 MP) 04.00, Oţel σr = 480 MP , σc = 0 MP Oţel σr = 50 MP σc = 60 MP , Oţel cu 50 % nichel 46.00, Oţel crom - molibden , Durluminiu 7.00, ontă , Lemn 8,7 0, Mărime σ f, rezultă din vlore lui σ cr vribilă cu λ, împărţită cu un coeficient de sigurnţă c f, vribil şi el cu λ. Se introduce un coeficient de flmbj ϕ, definit de relţi: unde: σf ϕ = < 5.-8 σ σ - tensiune dmisibilă l compresiune simplă. Acum, relţi 5.-7 pentru flmbj, cpătă form: N ef A = = ϕ σ cre pentru probleme de verificre şi efort cpbil l flmbj, este: Nef σef = σ 5.-0 ϕ A În Tbelul 5.- se prezintă vlorile coeficientului de flmbj ϕ pentru OL7, ir în Tbelul 5.-4, pentru lemn şi fontă, funcţie de coeficientul de zvelteţe λ. Tbelul

157 Clculul l flmbj l brelor drepte zvelte solicitte l compresiune λ ,000 0,996 0,99 0,987 0,98 0,979 0,975 0,97 0,967 0, ,960 0,956 0,95 0,948 0,944 0,94 0,97 0,9 0,90 0, ,9 0,99 0,95 0,9 0,908 0,904 0,90 0,897 0,894 0, ,886 0,88 0,879 0,876 0,87 0,868 0,865 0,86 0,857 0, ,850 0,847 0,84 0,89 0,86 0,8 0,88 0,85 0,8 0, ,84 0,80 0,806 0,80 0,799 0,795 0,79 0,788 0,784 0, ,776 0,77 0,769 0,765 0,76 0,757 0,75 0,749 0,745 0, ,77 0,74 0,79 0,75 0,7 0,77 0,7 0,709 0,705 0, ,696 0,69 0,688 0,68 0,679 0,674 0,670 0,665 0,660 0, ,65 0,646 0,64 0,66 0,60 0,65 0,69 0,6 0,607 0, ,59 0,585 0,577 0,567 0,555 0,545 0,55 0,55 0,55 0, ,496 0,488 0,479 0,470 0,46 0,454 0,446 0,49 0,4 0, ,47 0,40 0,40 0,97 0,9 0,84 0,78 0,7 0,67 0, ,55 0,50 0,45 0,40 0,5 0,0 0,5 0,0 0,5 0, ,06 0,0 0,98 0,94 0,90 0,86 0,8 0,78 0,74 0, ,67 0,6 0,60 0,57 0,5 0,50 0,47 0,44 0,4 0, ,5 0, 0,9 0,6 0, 0, 0,8 0,5 0, 0, ,08 0,05 0,0 0,0 0,98 0,96 0,94 0,9 0,90 0, ,85 0,8 0,8 0,79 0,77 0,75 0,74 0,7 0,70 0, ,66 0,65 0,6 0,6 0,60 0,58 0,56 0,55 0,5 0, ,50 0,49 0,47 0,46 0,44 0,4 0,4 0,40 0,9 0, ,6 0,5 0,4 0, 0, 0,0 0,9 0,8 0,6 0, ,4 0, 0, 0, 0,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0, ,4 0, 0, 0, 0,0 0,09 0,08 0,07 0,06 0, ,04 0,0 0,0 0,0 0,0 0,00 0,099 0,098 0,098 0, , Tbelul 5.-4 λ Lemn ontă λ Lemn ontă 0.00,00, ,48 0, ,99 0, ,8 0, ,97 0, ,0 0, ,9 0, , ,87 0, , ,80 0, , ,7 0, , ,6 0, ,4 - Pentru rezolvre l flmbj brelor drepte zvelte, se prcurg următorele etpe: Mi întâi trebuie stbilite elementele cre pot să-şi pirdă stbilitte, dică să flmbeze. enomenul de flmbj pre 58

158 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii l brele zvelte solicitte l compresiune (cest cz fost trtt până cum). Se determină eforturile xile de compresiune (vezi clculul sistemelor de bre rticulte etc.) din elementele sistemului. Dcă brele solicitte l compresiune sunt zvelte, cestor pe lângă clculul de rezistenţă li se fce şi clculul l flmbj. Se stbileşte tipul de problemă (verificre, dimensionre, efort cpbil) şi condiţiile impuse (de rezistenţă, stbilitte su mbele). Pentru flmbj, se scrie relţi fundmentlă de clcul (relţi 5.-). Se clculeză lungime de flmbj l f. ) Pentru problemele de verificre su efort cpbil, se prcurg următorele etpe: Se clculeză rz de girţie minimă i min şi se stbileşte domeniul de flmbj determinând vlore lui λ cu relţi 5.-5 (vezi şi ig.5.-). În funcţie de domeniul de flmbj stbilit, se scrie relţi pentru forţ critică de flmbj cr (rel. 5.- su 5.-). Se prticulrizeză cr şi se introduce în relţi de bză 5.-, cre în funcţie de tipul problemei se prticulrizeză pentru c f. Din cestă ultimă relţie, se determină mărime neunoscută (coeficient de sigurnţă l flmbj c f su efortul cpbil). b) Pentru problemele de dimensionre, se prcurg etpele: Se clculeză forţ critică de flmbj cr cu relţi lui Euler (rel. 5.-). Se introduce expresi lui cr în relţi de bză (rel. 5.-) egltă cu c f. Din relţi rezulttă se exprimă I min,nec şi în funcţie de form secţiunii, se determină dimensiune secţiune trnsversle brei. * Se verifică cum domeniul de flmbj. Se clculeză rz de girţie minimă i min şi coeficientul de zvelteţe efectiv λ ef (cu dimensiune secţiunii trnsversle determintă nterior). 59

159 Clculul l flmbj l brelor drepte zvelte solicitte l compresiune Se compră λ ef cu λ 0 su cu λ şi: dcă λ ef λ 0 dimensiune secţiunii trnsversle determintă nterior este bună şi se doptă cestă dimensiune dcă λ < λ ef < λ 0 se clculeză cr cu relţi 5.- şi cu cestă vlore, se clculeză în continure coeficientul de sigurnţă l flmbj c f cu relţi 5.-, ir dcă c f c f dimensiune determintă mi devreme se cceptă dcă c f < c f se măreşte dimensiune determintă şi se rei clculul de l etp însemntă cu *. Clculul se continuă până când se junge în situţi ]n cre dimensiune determintă se cceptă. Dcă se efectueză clculul l flmbj prin metod coeficientului de flmbj ϕ, se prcurg etpele: Se determină eforturile xile N din brele sistemului. Se stbilesc elementele susceptibile l flmbj. Se stbileşte tipul de problemă. Se clculeză l f, i min şi λ ef (pentru probleme de verificre su încărcre cpbilă) În funcţie de λ ef din Tbelul 5.-, respectiv Tbelul 5.-4 (su ltele corespunzătore) se determină coeficientul de flmbj ϕ. Vlore coeficientului de flmbj se introduce în relţi 5.- 0, de unde rezultă mărime necunoscută (tensiune mximă su efort cpbil). Pentru problemele de dimensionre, metod coeficientului de flmbj ϕ este mi dificil de utilizt, deorece necunoscându-se dimensiune secţiunii trnsversle nu se pote clcul vlore lui i min, deci nici lui λ ef şi c urmre nu se pote lege o vlore pentru coeficientul de flmbj ϕ. Totuşi, pentru problemele de dimensionre, se pote fce pentru început un clcul proximtiv de stbilire riei necesre din condiţi de rezistenţă numi pe bz solicitării l 60

160 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii compresiune simplă, urmt poi din prope în prope de un clcul l flmbj, până când relţi 5.-0 este îndeplinită. 5. Modele de probleme rezolvte 5.. Să se determine forţ cpbilă pe cre o pote suport sistemul din ig ştiind că br orizontlă re rigiditte mre. Se cunosc: σ = 50 MP, c f =, E =, 05 MP, σ cr = 0 -,4 λ. d = 0 mm, D = 0 mm, k = d/d =0,66, = 0,75 m. m m d D ig.5..- Rezolvre: Se prcurg etpele recomndte pentru cestă ctegorie de probleme. Stâlpul de susţinere l brei orizontle fiind zvelt şi solicitt l compresiune, pote să-şi pirdă stbilitte (să flmbeze). Se determină efortul xil N din stâlp (vezi schem din ig.5..- pe bză cărei se determină efortul xil). ( M) B = 0 N = 0 B N de unde: ig

161 Clculul l flmbj l brelor drepte zvelte solicitte l compresiune N = =, Sensul rel l efortului xil N, confirmă ipotez de mi îninte că stâlpul este solicitt l compresiune. Problem este de efort cpbil. Relţi fundmentlă (de bză) de clcul, pentru probleme de efort cpbil, este: N cr ef = c f 5..- şi Br este rticultă l mbele cpete, rezultând din ig.5.- (czul ): l f = = 0,75 m 5..- i I min = 8,988 mm A min = de unde rezultă cum coeficientul de zvelteţe λ: f 750 = l = = 8,44< λ = i 8,988 λ 0 min Rezultă că l o eventulă tingere forţei critice de flmbj, stâlpul de susţinere v flmb în domeniul elsto-plstic. Se clculeză forţ critică de flmbj, cu relţi 5.-: cr ( k ) ( 0,4 )= π D = A σ cr = λ 4 ( 0,66 ) ( 0,4 8,44) = 85,76 kn π 0 =

162 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii orţ critică de flmbj determintă, se introduce în relţi 5..- şi ţinând sem şi de efortul xil N, se obţine: =, de unde se clculeză vlore forţei cpbile: cp = = N 9,05 kn 5..-8,5 Deorece în enunţul problemei se dă şi tensiune normlă dmisibilă σ, însemnă că trebuie făcut şi clculul de rezistenţă. Etpele pentru cest clcul sunt cele cunoscute dej: su după înlocuiri: N = σ A,5 A = σ de unde rezultă forţ cpbilă : A σ >,5 cp = 9,89 kn cp orţ cpbilă pentru întregul sistem, este: cp = = min (,cp ;,cp ) = 9,05 KN şi rezultt din condiţi de stbilitte (flmbj). 6

163 Clculul l flmbj l brelor drepte zvelte solicitte l compresiune 5.. Să se dimensioneze brele de oţel din ig.5..-, pentru cre se cunosc: E =, 05 MP, σ = 50 MP, c f =, α = 0 0, h = m. h d α α ig.5..- Rezolvre: Br este solicittă l întindere, ir br l compresiune. Br este zveltă, deci pote flmb. Eforturile xile din cele două bre se determină cu jutorul schemei din ig N α α N ( ) = 0 N sinα + N sinα = x + N = 5..- N ( ) = 0 N cosα N cosα = 0 y ig.5..- N = N 5..-b Din relţiile 5..- şi 5..-b, se obţine: N = N = = 0 KN 5..-c L flmbj se v clcul numi br. 64

164 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Problem este de dimensionre, condiţi de stbilitte şi rezistenţă. Relţi de bză pentru flmbj, este: cr = cf N 5..- Lungime de flmbj l f (vezi ig.5.-, czul c), este: h l f = 0,7 l = 0,7 =.66 mm 5..- cosα Pentru problemele de dimensionre, se clculeză cr cu relţi 5.- : cr π E I min = lf cre se introduce în relţi 5..-, rezultând: π E I l N f min = c f de unde I min, nec 4 f N cf π d = l = 5..-5b π E 64 obţinându-se dimetrul brei: 64 lf N c π E d 4 f = mm 5..-5c Cu cestă vlore pentru dimetrul brei, se verifică domeniul (presupus iniţil fi cel elstic): 65

165 Clculul l flmbj l brelor drepte zvelte solicitte l compresiune se clculeză λ ef lf lf = = i min I min = 9,88 > λ A λ ef 0 = Cum se verifică domeniul de flmbj (cel elstic), rezultă că pentru condiţi de stbilitte se cceptă cestă dimensiune: d = mm Tot pentru br, se clculeză un dimetru necesr şi din condiţi de rezistenţă: A nec N π d = = σ 4 de unde se obţine: d 4 N = = 0 mm π σ π 50 Pentru br, rezultă în finl dimetrul secţiunii trnsversle: d = mx (d ; d ) = mm şi rezultt tot din condiţi de stbilitte. Br este solicittă l întindere, deci se dimensioneză numi din condiţi de rezistenţă: N A = nec = 5..- σ de unde se obţine dimensiune secţiunii trnsversle: 66

166 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii N 0 0 = = 9 mm 5..- σ 50 Observţie: sensul rezultt pentru eforturile xile (vezi rezulttele de l relţi 5..-c şi ig.5..-), confirmă că br este solicittă l întindere, ir br l compresiune. 5.. Să se dimensioneze o bră de oţel de secţiune circulră cu dimetrul d, comprimtă de o forţă = 5 KN, br este rticultă l mbele cpete (ig.5..-), ir lungime ei pote fi: ) = m b) = 0,8 m Se cunosc: c f =, σ cr = 0 -,4 λ, E =, 05 MP. ig.5..- Rezolvre: Br este zveltă şi solicittă l compresiune, putând în ceste condiţii să-şi pirdă stbilitte. Efortul xil din bră este: N = = 5 KN 5..- Problem este de dimensionre, condiţi de stbilitte. Relţi fundmentlă de clcul este: cr N = c f 5..- Lungime de flmbj l f este: l f =

167 Clculul l flmbj l brelor drepte zvelte solicitte l compresiune orţ critică re expresi (problemă de dimensionre): cr π E I min = lf cre introdusă în relţi 5..-, rezultă: π E I l N f min = c f 5..-4b de unde I min,nec 4 f N cf π d = l = 5..-4c π E 64 ir d = 4 64 lf N c π E f 5..-4d Czul ) = m. Din relţi 5..-4d se obţine: ( 0 ) mm 64 = π, 0 d 4 Se verifică domeniul de flmbj: f lf 4 0 = l = = = 6,98 > λ i d min 6 = λ 0 Se verifică domeniul de flmbj, cceptându-se dimensiune secţiunii trnsversle brei: 68

168 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii d = 6 mm Czul b) = 0, 8 m = 800 mm Din relţi 5..-4d, se obţine dimetrul secţiunii: ( 0,8 0 ) mm 64 = π, 0 d 4 Verificăm domeniul de flmbj: f lf = l = = = 80 < λ i d min 40 = λ 0 Nu se verifică domeniul de flmbj. Cu cestă dimensiune pentru dimetrul d, br v flmb în domeniul elsto-plstic. Se verifică dcă este stisfăcută vlore coeficientului de sigurnţă l flmbj: se clculeză π 40 = A σcr = ( 0,4 80) 74,95 kn cr = c se clculeză coeficientul de sigurnţă l flmbj cr 74,05 = = =,0 < cf N 5 f = Nu se tinge vlore coeficientului de sigurnţă dmis. se măreşte secţiune doptând d = 45 mm şi se rei clculul de l punctul cu semnul (vezi şi etpele indicte) Se clculeză 69

169 Clculul l flmbj l brelor drepte zvelte solicitte l compresiune lf λ = l = = = 7, < λ 0 i d min 45 4 f = rezultă tot domeniul elsto-plstic de flmbj se clculeză π 45 = 4 cr = A σcr = 05 ( 0,4 7, ) 87,7 kn coeficientul de sigurnţă l flmbj este cr 87,7 cf = = =, < cf = N 5 Tot nu se tinge vlore minimă dmisă. Se măreşte din nou secţiune doptând d = 48 mm şi se rei clculul de l punctul se clculeză lf λ = l = = = 66,66 < λ 0 i d min 48 4 f = 05 Rezultă tot domeniul elesto-plstic de flmbj. se clculeză π 48 cr = A σcr = = 4 ( 0,4 66,66) 4,45 kn se clculeză coeficientul de sigurnţă l flmbj cr 4,45 cf = = =, > cf = N 5 70

170 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Abi cum este tinsă vlore minimă dmisă pentru coeficientul de sigurnţă l flmbj. Se pote dmite pentru dimetrul brei în cestă vrintă, vlore: d = 48 mm Cum în enunţul problemei nu se indică tensiune normlă mximă dmisă, nu se mi fce şi un clcul din condiţi de rezistenţă Să se dimensioneze brele sistemului din ig pentru cre se cunosc: p = 4 KN/m, =, m, =,8 m, c f =, E =. 05 MP, σ cr = 0 -,4 λ, ir br verticlă re rigiditte forte mre. p 0,4 m 0, m d 0,8 m ig Rezolvre: Brele şi sunt solicitte l compresiune şi pot să-şi pirdă stbilitte. Pe schem din ig se determină eforturile xile din cele două bre. 7

171 Clculul l flmbj l brelor drepte zvelte solicitte l compresiune N 0,4 m p 0, m 0,8 m B C ig N ( M) = 0 N 0,8 = p 0,4 0,5 N = 6 kn B ( ) = 0 N 0,8 = p 0,4, N = 5,6 kn M 5..4-b C Orientre eforturilor N şi N confirmă ipotez iniţilă că brele sunt solicitte l compresiune. Problem este de dimensionre, condiţi de stbilitte. Lungime de flmbj pentru cele două bre este: pentru br : l f = 0,7 = 0,84 m (ig.5.-c) pentru br : l f = =,8 m (ig.5.-) b Relţi fundmentlă de clcul este: cr = cf N Relţi pentru cr în czul problemelor de dimensionre este: cr π E I min = lf cre înlocuită în relţi 5..4-, conduce l: π E I l f min = c f de unde 7

172 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii f N cf = l π E I min,nec Pentru cele două bre, relţi cpătă form: pentru br I min,nec 4 f N cf π d = l = π E 64 pentru br I 4 f N cf = l = b π E 6 min, nec = Din relţiile ,b rezultă dimensiune secţiunii trnsversle fiecărei bre. Astfel: pentru br d = 4 64 lf N c π E f pentru br = 4 6 l N c π E f f b Ţinând sem de vlorile numerice le mărimilor cre intervin în relţiile ,b se obţine: ,6 0 = 4 mm π, 0 d 4 7

173 Clculul l flmbj l brelor drepte zvelte solicitte l compresiune = mm b π, 0 4 Se verifică cum domeniul de flmbj. pentru br 4 l d f λ = = = 40> cee ce însemnă că se verifică domeniul de flmbj şi se doptă dimensiune rezulttă prin clcul: pentru br d = 4 mm λ 0 l.800 f f λ = = = = 96,9 > 4 6 l λ 0 Şi pentru br se verifică domeniul elstic de flmbj şi c urmre se cceptă dimensiune clcultă: = mm. Deci pentru cele două bre, u rezultt dimensiunile secţiunii trnsversle: pentru br, d = 4 mm pentru br, = mm Pentru br din oţel de secţiune circulră cu dimetrul d = 0 mm (ig.5..5-) se cere să se determine diferenţ de 74

174 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii tempertură l cre pote fi supusă br, stfel încât cest să nu-şi pirdă stbilitte (să nu flmbeze). Pentru mterilul brei se cunosc: α = 0-6 grd -, E =, 05 MP. d = 4 m δ= mm ig Rezolvre: Dcă br se încălzeşte cu Δt grde, e se diltă şi jungând în peretele din drept, v fi supusă l compresiune. Tempertur v creşte până când în bră, efortul xil N tinge vlore forţei critice cr (vezi enunţul). Pentru cest cz, coeficientul de sigurnţă l flmbj este egl cu unitte (unu). Efortul xil N din bră se determină cu jutorul schemei privind deformre brei (ig.5..5-), sistemul fiind sttic nedetermint o dtă. Δl t δ ig Δl N Din ig se pote scrie Δl = δ + l t Δ N unde: 75

175 Clculul l flmbj l brelor drepte zvelte solicitte l compresiune Δl t - deformre (lungire) brei dcă cest se încălzeşte cu Δt grde Δl N - deformţi prelută de perete (de efortul xil N) Δl t = α Δt N l = 5..5-b E A Δ N Cu relţiile 5..5-,b, relţi devine: α N Δt = δ E A de unde se obţine efortul xil N: N E A = ( α Δ t δ) 5..5-b Problem este de clcul unei mărimi cpbile (Δt), condiţi de stbilitte. Lungime de flmbj brei (vezi ig.5.-b) este: Relţi fundmentlă de clcul este: l f = = 8 m = 8 0 mm su prticulriztă pentru problem nostră: cr = c f N de unde: cr = b N cr = N c 76

176 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Se clculeză coeficientul de zvelteţe pentru stbilire domeniului de flmbj: lf 4 lf λ = = = = 66,66> λ0 i d 0 min = Rezultă domeniul elstic de flmbj. Pentru domeniul elstic de flmbj, forţ critică cr, re expresi: π = E I π E d = 64 l π = 5 4,0 0 4 min cr lf f 64 ( 8 0 ) 9,65 kn Ţinând sem de relţi 5..5-b, relţi c, devine: cr E A = ( α Δt δ) de unde rezultă vriţi de tempertură Δt: Δt = cr δ + E A α α = cr δ + α E A Cu vlorile numerice, relţi conduce l: 9, Δt = 5, C = 0, 0,

177 Clculul elementelor de rezistenţă solicitte prin şocuri 6. CALCULUL ELEMENTELOR DE REZISTENŢĂ SOLICITATE PRIN ŞOCURI 6. Considerţii generle. Etpe de clcul Solicitre prin şoc re loc tunci când supr unui corp (element de rezistenţă) intervine o vriţie bruscă de viteză. Şocul este urmre contctului dintre corpuri, produs într-un timp forte scurt. În urm şocului, l suprfţ de contct dintre corpuri, pr forţe forte mri. Solicitările prin şoc sunt frecvente în prctică l btere piloţilor, forjre pieselor, cădere obiectelor grele pe elementele de rezistenţă etc. În czul solicitărilor prin şocuri, în elementele de rezistenţă pr eforturi şi de ici tensiuni şi deformţii, mult mi mri decât în czul solicitării cestor prin srcini sttice de ceeşi mărime. Trebuie reţinut fptul că ceste eforturi mplificte ţin un timp forte scurt, tât cât re loc şocul. Odtă cu pierdere efectului de şoc, elementele de rezistenţă rămân solicitte sttic de către celeşi srcini. Astfel mărimile (eforturi, tensiuni, deformţii) produse în timpul şocului şi cre portă numele de mărimi dinmice, pot fi clculte cu relţiile: N d = ψ Ν st M id = ψ M i,st M td = ψ M t,st σ d = ψ σ st δ d = ψ δ st ϕ d = ψ ϕ st b 6.-c 6.-d 6.-e 6.-f unde: N d, M id, M td - sunt eforturile (xil, încovoietor, torsiune) dinmice dică cele din timpul şocului 78

178 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii N st, M i,st, M t,st - eforturile sttice, dică cele produse de srcinile plicte sttic σ d, δ d, ϕ d - tensiune normlă şi deformţiile (deplsre, respectiv rotire) dinmice, cele produse în timpul şocului σ st, δ st, ϕ st - tensiune normlă şi deformţiile sttice, produse de srcinile plicte sttic ψ - un multiplictor de şoc (su de impct) cărui expresie este: h Ψ = δ st unde: h - înălţime de l cre cde (loveşte) srcin (greutte) mobilă δ st - deplsre secţiunii de impct produsă de greutte cre loveşte, considertă c o forţă sttică plictă în secţiune de impct. Acestă deplsre se clculeză pe direcţi deplsării srcinii cre produce şocul (impctul). Din relţi 6.- se consttă că pentru h = 0 (srcin nu re înălţime de cădere, dr se plică brusc), se obţine Ψ =. Atenţie: Pentru o problemă dtă, multiplictorul de impct Ψ re o singuă vlore, indiferent ce mărime se clculeză şi indiferent pentru ce element de rezistenţă l problemei. Unicitte lui provine din fptul că mărimile cre intră în expresi s (vezi relţi 6.-) sunt unice în czul unei probleme. Astfel, greutte cre cde este unică (un singură), secţiune de impct unică (impctul re loc într-o singură secţiune) şi înălţime h de l cre cde srcin este tot unică (o srcină re o singură deplsre h). Deci, pentru o problemă, există un singur multiplictor de impct. Multiplictorul de impct Ψ re de obicei vlori mri, deorece deplsre sttică δ st este forte mică. În ceste czuri, se pote neglij termenul (unu) din fţ rdiclului (vezi rel. 6.-) şi chir de sub rdicl, rezultând o relţie simplifictă pentru Ψ, de form: 79

179 Clculul elementelor de rezistenţă solicitte prin şocuri h Ψ = 6.- δ st În lte situţii, în loc de înălţime de cădere h, se indică vitez de deplsre srcinii. În ceste czuri, se utilizeză relţi căderii libere: de unde rezultă: v = g h 6.-4 h v = 6.-5 g cre introdusă în relţi 6.-, se obţine: v Ψ = g δ st Relţiile 6.-, 6.-, 6.-6 se utilizeză tât pentru solicitre xilă prin şoc cât şi pentru solicitre de încovoiere prin şoc. În czul opririi su pornirii prin şoc unui rbore cu jutorul unui volnt, tensiune tngenţilă dinmică mximă re expresi: G J τ mx = 6.-7 V unde: G - modulul de elsticitte trnsversl l mterilului rborelui J - momentul de inerţie msic l volntului V - volumul rborelui cre prei şocul. 80

180 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Pentru un volnt de greutte P, vând form unui disc plin de dimetru D, momentul de inerţie msic J, re expresi: P D J = g ir pentru un volnt vând form unei corone circulre subţiri, de dimetru mediu D m, expresi momentului de inerţie msic J, este: P Dm J = g Dcă se doreşte un clcul şi mi exct, tunci momentul de inerţie msic J cre intră în relţi 6.-7 trebuie să includă şi momentul de inerţie msic l rborelui. În cele prezentte până cum, nu s- ţinut sem de ms corpului lovit. Dcă se ţine sem şi de ms corpului lovit, expresi multiplictorului de şoc Ψ re expresi: h Ψ = + + δ P 6.-0 st + k Q unde: P - greutte corpului lovit Q - greutte corpului cre loveşte (produce şocul) k - coeficient de reducere greutăţii su msei corpului lovit. Astfel pentru: şocul xil, k = / = 0, br simplu rezemtă supusă unui şoc trnsversl l mijloc, k = 7/5 = 0,485 br încstrtă lovită în cpătul liber, k = /40 = 0,5. În generl, clculul l solicitări prin şoc se fce din condiţi de rezistenţă, cărei expresie re form: 8

181 Clculul elementelor de rezistenţă solicitte prin şocuri σ d,mx = Ψ σ st,mx 6.- După efecture clculului de rezistenţă, în unele situţii se mi clculeză şi deformţiile produse în timpul şocului (vezi rel. 6.- e, respectiv 6.-f). Pentru solicitre xilă şi de încovoiere prin şoc, se prcurg următorele etpe: Se reprezintă sistemul numi prin xele geometrice le elementelor componente Pe cestă reprezentre, se pune în secţiune de impct greutte cre cde, c o forţă plictă sttic Se stbileşte tipul de problemă şi condiţi impusă. Se scrie relţi generlă de clcul (rel. 6.-) cre în funcţie de tipul de problemă (verificre, dimensionre, efort cpbil) se compră su se egleză cu σ. Se clculeză deplsre sttică δ st produsă de greutte sttică plictă în secţiune de impct. Se prticulrizeză relţi scrisă legând pentru Ψ expresi convenbilă (rel. 6.-, 6.-, 6.-6 su 6.-0). Se stbileşte secţiune periculosă şi se clculeză tensiune sttică mximă σ st,mx. Din relţi rezulttă se determină mărime necunoscută (tensiune mximă, înălţime mximă de cădere, mărime mximă greutăţii cre produce şocul). Pentru clculul deformţiilor din momentul şocului (deformţiile dinmice), se utilizeză relţiile 6.-e, respectiv 6.-f. 8

182 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii 6. Modele de probleme rezolvte 6.. O greutte Q cde de l înălţime h = 0,5 m pe suportul B susţinut de brele, şi, c în ig Se cere: ) să se clculeze vlore greutăţii Q, stfel c în momentul şocului în nici o bră să nu se depăşescă σ = 60 MP b) deplsre mximă secţiunii de impct. Brele u ceeşi lungime = m, ceeşi rie A = cm, α = 0 0 şi sunt din oţel pentru cre E =. 0 5 MP. α α Q h B Opritor ig.6..- Rezolvre: Se prcurg etpele indicte. ) Sistemul reprezentt numi prin xele geometrice le elementelor de rezistenţă este prezentt în ig Greutte cre cde pusă în secţiune de impct c o srcină sttică este prezenttă în ig.6..-b. Problem este de efort cpbil, condiţi de rezistenţă. Relţi generlă de clcul este: 8

183 Clculul elementelor de rezistenţă solicitte prin şocuri σ = Ψ σ = σ 6..- mx st,mx cre prticulriztă, cpătă form: h δ st σ st,mx = σ 6..- α α α α Q ) b ig.6..- Pentru sistemul din ig.6..-b, se clculeză deplsre secţiunii, cre reprezintă secţiune de impct. Pentru cest se determină mi întâi eforturile xile din cele trei bre. Din schem eforturilor (ig.6..-) rezultă: α α N N (Σ) x = 0 N sinα - N sinα = 0 Q ig

184 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii N = N 6..- (Σ) y = 0 N cosα + N cosα = Q N coα = Q N = Q = 0,577Q < Q 6..-b Schem pentru clculul deplsării sttice secţiunii de impct este prezenttă în ig (vezi clculul sistemelor de bre rticulte). α α Δl /cosα Δl =Δl δ st Δl /cosα Δl ig Se obţine: Δl = + Δl cosα N N = + E A cosα E A δst = = E A Q + Q E A = 5 Q E A Q =,66 E A

185 Clculul elementelor de rezistenţă solicitte prin şocuri Secţiune periculosă este oricre brei (pentru br verticlă N = N mx = Q) ir tensiune normlă mximă este tunci: N mx N Q = = A A A σ st, mx = Înlocuind relţi şi în relţi 6..- se obţine: h 5 Q E A Q A = σ Din relţi se determină mărime greutăţii cre produce şocul: 5 A σ = = 0,587 N h E 6 500, 0 Q 5 b) Deplsre mximă secţiunii de impct re loc în momentul şocului: δ h = 6..-8, mx Ψ δst, = δst, δst Deplsre sttică este: δ st, 5 Q = = 8,06 0 mm E A ir multiplictorul de şoc re vlore: h 500 = = = 5, δ 8,06 0 Ψ st 86

186 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii o vlore forte mre. Din relţi rezultă deplsre secţiunii de impct în momentul şocului: δ, mx = Ψ δst, = 5,9 8,06 0 =,89 mm De l ce înălţime pote să cdă greutte Q = 00 dn pe sistemul din ig.6..- stfel încât tensiune normlă mximă să nu depăşscă σ = 50 MP. Br oriontlă este rigidă, ir ce verticlă re secţiune circulră cu dimetrul d = 40 mm şi este reliztă din oţel pentru cre E =, 0 5 MP. Q = m h B m m ig.6..- Rezolvre: Sistemul dt, reprezentt numi prin xele geometrice le elementelor componente, este prezentt în ig.6..-, ir cel cu greutte Q plictă sttic în ig.6..-b. B Q = B ) ig.6..- b) 87

187 Clculul elementelor de rezistenţă solicitte prin şocuri Pentru sistemul din ig.6..-b se clculeză deplsre sttică δ st secţiunii de impct. Mi întâi se determină efortul xil din br verticlă rticultă. Schem pentru clculul efortului xil este prezenttă în ig Q N m m B ) m m δ st Δl ig.6..- b Pentru sistemul din ig.6..- se pote scrie: (ΣM) B = 0 Q - N = 0 N = Q =,5 Q = 50 dn 6..- Problem este de clcul înălţimii de cădere (de "efort" cpbil). Relţi generlă de clcul este: su Ψ σ st, = σ 6..- mx Ψ σ st, = σ mx 6..-b Secţiune periculosă pentru br rticultă este oricre. Tensiune sttică mximă este: 88

188 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii N N = = = A π d π 40,9 MP σst, mx = Deplsre sttică δ S secţiunii de impct se clculeză din sistemul prezentt în ig.6..-b: su Δl δ st = δ st = Δl N = Δl = = 0,05 mm E A 5 π b, 0 4 δ st = Înlocuind relţi 6..- şi relţi 6..-4b în relţi 6..-b, rezultă: h 0,05,9 = de unde se obţine înălţime mximă de l cre pote să cdă greutte Q: 0,05 50 h = = 98,6 mm 6..-6,9 Pentru cest sistem, multiplictorul de impct (după relţi simplifictă) re vlore: h 98,6 Ψ = = = 6, δ 0,05 st Tote mărimile (tensiuni şi deformţii) în momentul şocului se mplifică de 6,06 ori fţă de situţi în cre greutte Q r fi plictă c o forţă sttică în secţiune de impct (ig.6..-b). 89

189 Clculul elementelor de rezistenţă solicitte prin şocuri 6.. Pentru br de oţel din ig.6..-, (E =, 0 5 MP), să se clculeze vlore mximă greutăţii Q cre pote să cdă de l înălţime h = 50 mm, stfel încât tensiune normlă mximă să nu depăşescă σ = 50 MP. = m d = 50 mm h Q d = 50 mm D = 00 mm Opritor ig.6..- Rezolvre: Sistemul reprezentt numi prin x geometrică elementelor componente este prezentt în ig.6..-, ir încărct cu srcin Q plictă sttic în secţiune de impct, în ig.6..- b. ) ig.6..- Q b) 90

190 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Problem este de efort cpbil. Relţi generlă de clcul este: su Ψ σ st, = σ 6..- h δ st mx σ st,mx = σ 6..-b Se clculeză deplsre sttică secţiunii de impct. Se pote uşor constt că pentru totă br, efortul xil este constnt şi re vlore: N = Q 6..- Deplsre sttică secţiunii de impct este: δ st = Δl + Δl = N E A N + E A = unde: = A + A = 0,55 0 Q E A A Q 5 π D π d A = =.875 π mm π d A = =.600 π mm 4 Secţiune periculosă este oricre pe porţiune cu dimetrul d, (A < A ). Tensiune normlă sttică mximă este: Q σ st,mx = A Înlocuid relţi în relţi 6..-b, rezultă: h δ st Q A = σ su 9

191 Clculul elementelor de rezistenţă solicitte prin şocuri h 0,55 0 Q = σ -5 Q A 6..-5b de unde rezultă vlore mximă dmisă pentru srcin cre cde Q: 0,55 0 Q = 5 (.600 π) = 6.58,4 N 6,58 kn Multiplictorul de impct re vlore: h 50 = = = 0, δ 0, ,4 Ψ 5 st 6..4 ) Să se determine înălţime de l cre pote să cdă o greutte Q = 00 N pe o grindă suspendtă cu două cbluri, c în ig.6..4-, stfel încât tensiune normlă mximă să nu depăşescă σ = 50 MP. b) Să se clculeze deplsările mxime le elementelor sistemului în momentul producerii şocului. Pentru mterilul elementelor componente se v lu E =, 0 5 MP. = 4 m d Q d = 0 mm h 60 00,5 m,5 m ig

192 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Rezolvre: Sistemul reprezentt numi prin xele geometrice le elementelor componente este prezentt în ig Sistemul încărct cu srcin Q plictă c o forţă sttică în secţiune de impct, este prezentt în ig.6..4-b. Problem este de clcul înălţimii de cădere (mărime cpbilă). Q,5 m,5 m ) b) ig Relţi generlă de clcul re expresi: su σ = Ψ σ = σ mx st, mx h σ = σ + + st,mx δ 6..4-b st Se stbileşte secţiune periculosă. L cestă problemă există două elemente cre pot conţine secţiune periculosă: brele rticulte şi grind. Mi întâi se determină tensiune sttică mximă din brele rticulte. Pentru cest, pe schem din ig se determină eforturile xile din cele două bre. 9

193 Clculul elementelor de rezistenţă solicitte prin şocuri ( ) ( ) = 0 N + N = y Q M = 0 Q,5 N = 0 N B = 6..4-b N Q N N Q N,5 m,5 m,5 m,5 m B ) ig.6..4-,5q/ b) Ţinând sem de relţi 6..4-b, din relţi rezultă: Q = N = 00 N 6..4-c N = Pentru cele două bre, oricre secţiune este l fel de periculosă. Tensiune normlă sttică mximă din brele rticulte este: N N 4 N = = = A π d π d 0,8 MP σ st, mx = Pentru stbilire secţiunii periculose l grindă, se trseză digrm M i (vezi ig.6..4-b), deorece grind orizontlă este solicittă l încovoiere. Secţiune periculosă grinzii este secţiune în cre cţioneză srcin sttică Q. Tensiune normlă sttică mximă din grindă este:.500 Q Miz = = Wz 60 00,5 MP σst, mx.gr = 94

194 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Tensiune normlă sttică mximă din grindă este mi mre decât tensiune normlă sttică mximă din brele rticulte. Rezultă că elementul cel mi periculos din sistem, este grind şi nume secţiune în cre este plictă srcin sttică Q (secţiune în cre se produce şocul). Se clculeză cum deplsre sttică δ st secţiunii de impct. Trebuie vut în vedere că l cest sistem se deformeză tât brele rticulte cât şi grind orizontlă. Schem pentru clculul deplsării sttice secţiunii de impct este prezenttă în ig Δl δ δ st ig Din ig rezultă că deplsre sttică δ S este: δ st = Δl + δ unde: Δl - lungire brelor rticulte δ - deplsre (săget) sttică secţiunii de impct, dtorită deformării grinzii. Pentru clculul deplsării δ se pote utiliz metod srcinii unitre, procedeul Veresceghin, metodă prezenttă într-un cpitol nterior (Cp. ). Clculele efectute u condus l următorul rezultt: 95

195 Clculul elementelor de rezistenţă solicitte prin şocuri Q.500 δ = = 0,07 6 E Iz mm Lungire brelor verticle este: N l = = = 0,006 mm E A, 0 π 00 Δ 5 Ţinând sem de relţi şi relţi , din relţi se obţine: δ st = Δl + δ = 0, ,07 = 0, mm Având clculte δ st şi σ st,mx, ceste se introduc în relţi 6..4-b, rezultând: h + +,5 = 50 0, Rezolvând ecuţi , se obţine înălţime de cădere h greutăţii Q: h = 55,7 mm impct: b) Din relţi rezultă vlore multiplictorului de σ 50 Ψ = = = σ,5 st,mx Pentru cest sistem, în momentul şocului, tensiunile şi deformţiile se mplifică de 00 de ori. Atunci, în momentul şocului şi lungire brelor rticulte se măreşte tot de 00 de ori, l fel şi săget grinzii. În momentul şocului, pentru cele două elemente de rezistenţă (brele şi grind), deformţiile mxime (dinmice), sunt: pentru brele rticulte: 96

196 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Δl mx = Δld,mx = Ψ Δl = 00 0,006 = 0,6 mm pentru grindă: δmx,gr = Δld,gr = Ψ δ = 00 0,07 = 0,7 mm ir deplsre mximă secţiunii de impct, este: δmx = δd = Ψ δst = 00 0, =, mm 6..5 Greutte Q = 0 dn cde de l înălţime h pe br de oţel cu secţiune circulră de dimetru d = 50 mm, c în ig Se cere să se clculeze înălţime h de l cre pote să cdă greutte Q, stfel încât în momentul şocului tensiune normlă din sistem să nu depăşescă σ = 50 MP. În clcule se v neglij greutte brei. Se consideră E =, 0 5 MP. Q h = m ig Rezolvre: Sistemul reprezentt numi prin x geometrică este prezentt în ig.6..5-, ir cel încărct cu srcin sttică Q, în ig.6..5-b. Problem este de clcul înălţimii mxime de cădere (mărime cpbilă), condiţi de rezistenţă. 97

197 Clculul elementelor de rezistenţă solicitte prin şocuri Relţi generlă de clcul, este: su σ = Ψ σ = σ mx st,mx h = + σst,mx σ 6..5-b δst Q ) ig b) Pentru determinre solicitărilor şi secţiunii periculose, pentru sistemul din ig.6..5-b, se trseză digrmele de eforturi (ig.6..5-). -Q Q Q N -Q M i Q ig Din ig rezultă că secţiune periculosă este oricre de pe br verticlă sistemului, unde cţioneză eforturile: N = - Q

198 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii M i = Q 6..5-b În secţiune periculosă (secţiune circulră) rezultă o solicitre compusă de ctegori I, ir tensiune normlă sttică mximă, este: N M iz Q Q = + = + 6,95 MP A Wz π d π d 4 σst, mx = Se clculeză cum deplsre sttică δ S secţiunii de impct. Pentru cest se doptă metod srcinii unitre (Mohr-Mxwell), procedeul Veresceghin. Pentru clculul lui δ st se ţine sem numi de momentul încovoietor, cu digrmele corespunzătore prezentte În ig Q Q Q M 0 m Q ig Rezultă δ st : EI δst = Q + Q = Q de unde se obţine δ 4 Q = 4,9 mm b EI st = Cu vlorile σ st,mx şi δ st, relţi 6..5-b, cpătă form: 99

199 Clculul elementelor de rezistenţă solicitte prin şocuri h + 6,95 = 50 4, de unde, rezultă înălţime mximă de l cre pote să cdă greutte Q: h = 75,46 mm Să se clculeze tensiune mximă din cblul de scensor (ig.6..6-) în czul în cre srcin Q cre coboră este frântă brusc. Pentru mortizre şocului între cblu şi srcină s- introdus un rc de mortizre. Se consideră - lungime cblului, E - modulul de elsticitte longitudinl l mterilului cblului, v - vitez srcinii în momentul frânării brusce şi k - constnt elstică rcului. k Q ig Rezolvre: Sistemul reprezentt numi prin x s geometrică elementelor componente este prezentt în ig.6..6-, ir cel încărct cu srcin sttică Q, în ig.6..6-b. Cblul este solicitt l întindere, secţiune periculosă fiind oricre. Relţi generlă de clcul este: 00

200 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii σ = Ψ mx σ st,mx su σ mx v = + + σst,mx g δ 6..6-b st k k ) ig b) Q Se clculeză tensiune normlă sttică mximă: N Q = A A σ st, mx = Deplsre sttică δ st secţiunii de impct este compusă din lungire cblului (Δl C ) plus lungire resortului (Δl r ): Q Q Q E A δst = Δlc + Δlr = + = E A k E A k Cu vlorile σ st,mx şi δ st, relţi de clcul 6..6-b, devine: 0

201 Clculul elementelor de rezistenţă solicitte prin şocuri σ mx v Q = + + Q E A A g + E A k Din relţi rezultă forte clr rolul rcului de mortizre. Cu cât rcul este mi mole (k - mi mic), cu tât el se întinde mi mult şi tensiune dinmică este mi mică. ie cum următorul exemplu numeric: E =, 0 5 MP, v = m/s, Q = 5 kn, A = 600 mm, = 0 m, k = 0,4 N/m. Cu ceste vlori, tensiune mximă (dinmică) din cblu, este: σ mx = 9, MP Ψ =, Dcă nu există resort de mortizre (k ), tensiune mximă din cblu, este: σ' mx = 90,8 MP Ψ = 4,69 Se consttă că lips resortului de mortizre şocului, conduce l creştere tensiunii normle mxime de: σ σ ' mx mx = 90,8 9, =,0 Pentru solicitările prin şoc, elementele de mortizre u un rol deosebit de importnt, ele reduc în mod substnţil tensiunile şi deformţiile elementelor. 0

202 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii 7. CALCULUL LA SOLICITĂRI VARIABILE (OBOSEALĂ) 7. Considerţii generle. Etpe de clcul Experienţ condus l consttre că mterilele rezistă l solicitări vribile mi puţin decât l solicitări sttice. enomenul de micşorre crcteristicilor de rezistenţă sub efectul solicitărilor vribile, portă numele de obosel mterilului. Crcteristic mecnică mterilului l solicitări vribile este rezistenţ l oboselă. Simbolurile pentru rezistenţele l oboselă u c indici vlorile coeficientului de simetrie l ciclului (vezi elementele ciclului de solicitre) şi se noteză stfel: σ - - rezistenţ l oboselă pentru ciclul lternnt simetric de încovoiere σ -t - rezistenţ l oboselă pentru ciclul lternnt simetric de trcţiune-compresiune τ -t - rezistenţ l oboselă pentru ciclul lternnt simetric de torsiune σ 0 - rezistenţ l oboselă pentru ciclul pulsnt de încovoiere σ 0t - rezistenţ l oboselă pentru ciclul pulsnt de trcţiune σ 0c - rezistenţ l oboselă pentru ciclul pulsnt de compresiune τ 0 - rezistenţ l oboselă pentru ciclul pulsnt de torsiune σ Ρ - rezistenţ l oboselă pentru ciclul orecre de încovoiere σ Rt - rezistenţ l oboselă pentru ciclul orecre de trcţiune τ R - rezistenţ l oboselă pentru ciclul orecre de răsucire. Pentru o solicitre dtă, rezistenţele l oboselă prin ciclu lternnt simetric sunt cele mi mici, cele prin ciclul pulsnt sunt mi mri, ir l solicitările sttice sunt cele mi mri. Între rezistenţele l oboselă şi crcteristicile mecnice sttice le mterilelor, există numite relţii empirice: l oţeluri: σ - = (0,4... 0,5) σ r σ 0 = (,5...,6) σ σ t = (0,7... 0,8) σ σ 0t =,5 σ -t τ = (0, ,58) σ - τ 0 = (,8...,0) τ

203 Clculul l solicitări vribile (oboselă) l lije uşore: σ t = (0,5... 0,5) σ r În Tbelul 7.- sunt prezentte crcteristicile mecnice şi rezistenţele l oboselă pentru câtev mterile, utilizte frecvent în construcţi de mşini. Teoretic, un mteril prezintă o infinitte de rezistenţe l oboselă (există o infinitte de cicluri de solicitre). Vriţi rezistenţei l oboselă unui mteril în funcţie de coeficientul de simetrie l ciclului de solicitre, reprezintă ş numit digrmă rezistenţelor l oboselă su curb ciclurilor limită. Pentru simplificre clculelor l oboselă, digrmele rezistenţelor l oboselă se schemtizeză. În litertur de specilitte sunt cunoscute mi multe stfel de schemtizări: Goodmn, Soderberg, Serensen, etc. Rezistenţele l oboselă sunt influenţte de o serie de fctori. Cei mi importnţi fctori de influenţă rezistenţelor l oboselă sunt: Concentrtorii de tensiune. De influenţ lor se ţine sem în clcule prin coeficientul efectiv de concentrre l tensiunii su fctorul de reducere l rezistenţei l oboselă, nott Kσ, Kτ. Aceşti se determină pe cle experimentlă pentru fiecre tip şi mărime de concentrtor şi se prezintă de obicei sub formă de digrme. În lips unor stfel de digrme, pentru elementele de secţiune circulră se pot utiliz şi vlorile prezentte în Tbelul 7.-, su clcul pentru oţelurile cu σ r = MP, cu relţiile: pentru piese cre nu u treceri bruşte de l o formă l lt, cneluri, cneluri pentru pene şi u o suprfţă bine strunjită: K σ σr 400 =, + 0, pentru piese cu vriţii bruşte le secţiunii, crestături, cneluri: K σ σ r 400 =,5 +,

204 Denumire mterilului Oţel de uz generl OL 7 Crcteristici mecnice sttice l 0 0 C σ r σ c Α 5 [MP] [MP] [%] σ [MP] Rezistenţe l oboselă Încovoiere Trcţiune compresiune σ 0 σ t σ 0t τ Tbelul 7.- Răsucire τ 0 Observţii [MP] [MP] [MP] [MP] [MP] În stre normliztă OL Idem OL 70 min Idem OLC 5 min Idem OLC 45 min Idem OLC 60 min Idem OT ontă cenuşie c Rezistenţele l trcţiune depind de dimetrul probei turnte c Oţel lit de construcţii de Îmbunătăţit mşini 40Cr0 MoCr Idem

205 Clculul l solicitări vribile (oboselă) Tbelul 7.- Ntur deformţiei şi fctorului efectiv de concentrre tensiunii K I. Încovoiere şi întindere:. Cnelură semicirculră l un rbore; rportul dintre rz cnelurii şi dimetrul rborelui 0,... 0,5...,0...,0.... Cnelură semicirculră Rportul dintre rz cnelurii complete şi înălţime secţiunii (dimetrul rborelui) 0, ,5... 0,5... 0,5...,0,6,,,75,50,0,0. Vriţi secţiunii sub unghi drept,0 4. Cnelură în V,0 5. ilet Withworth,0 6. ilet metric,5 7. Orificii, tunci când rportul dintre dimetrul orificiului şi dimensiune trnsverslă secţiunii este de l 0, l 0,,0 8. Zgârieturi produse de cuţit pe suprfţ piesei,-,4 II. Răsucire. Cnelură semicirculră când rportul dintre rz cnelurii şi dimetrul minim l rborelui este: 0,0... 0,0... 0,0...,8,,. Cneluri pentru pene,6-,0 Dimensiune piesei. Dimensiune piesei influenţeză rezistenţ l oboselă piesei prin coeficientul dimensionl (de mărime) ε, (ε σ, ε τ ), determint şi el experimentl şi prezentt sub formă de digrme. În ig.7.- se prezintă vriţi coeficientului dimensionl ε pentru piese de secţiune circulră. Grdul de prelucrre l suprfeţei, de semene influenţeză rezistenţ l oboselă unei piese. În clcule intervine prin coeficientul de stre l suprfeţei, γ. În ig.7.- se prezintă vlorile coeficientului de stre l suprfeţei, pentru piese din oţel solicitte l încovoiere. 06

206 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Cei trei fctori prezentţi, pot fi grupţi într-un fctor globl de influenţă rezistenţei l oboselă (Kσ) D, respectiv (Kτ) D cre u expresiile: K σ ( Kσ) D = 7.-4 ε σ γ ( K Kτ τ ) = D ε 7.-4b γ τ Piese din oţel crbon solicitte l încovoiere - Piese din oţel solicitte l torsiune - Piese din oţel lit supuse l încovoiere ig.7.- suprfţă lustruită b şlefuire fină su prelucrre fină cu cuţitul c şlefuire brută su strunjire brută d suprfţă lmintă cu crustă e piesă supusă coroziunii în pă dulce f piesă supusă coroziunii în pă sărtă ig

207 Clculul l solicitări vribile (oboselă) Elementele unui ciclu de solicitre, sunt: tensiune mximă (σ mx, τ mx ) su limit superioră tensiunii tensiune minimă (σ min, τ min ) su limit inferioră tensiunii tensiune medie (σ m, τ m ): σ m σ mx + σ min τ mx + τ min = ; τ m = 7.-5 mplitudine tensiunii su ciclului (σ m, τ m ): σ m σmx σmin τmx τmin = ; τm = 7.-6 coeficientul de simetrie l ciclului, R: σ R = σ min min = ; R 7.-7 mx τ τ mx Cele mi întâlnite cicluri de solicitre, sunt: ciclurile lternt simetrice pentru cre σ mx = σ min, σ m = σ mx, R = ciclurile pulsnte, pentru cre σ min = 0, σ m = σ mx /, R = 0. Clculul de rezistenţă l oboselă, presupune clculul coeficientului de sigurnţă l oboselă c şi comprre lui cu o vlore dininte stbilită. În Tbelul 7.- se prezintă vlorile recomndte le coeficientul de sigurnţă l oboselă pentru unele piese de mşini. Coeficientul de sigurnţă l oboselă c, re expresii diferite, în funcţie de coeficientul de simetrie l ciclului de solicitre şi schemtizre utiliztă. Astfel, pentru cicluri lternnt simetrice: 08

208 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii solicitre de încovoiere c σ = σ K σ σ ε γ σ m 7.-8 Tbelul 7.- Coeficientul Mterilul şi piesele de sigurnţă c Piese de mşini confecţionte din oţel,5...,7 Piese de mşini uşore, din oţel,...,4 Piese importnte din oţel când încercre l oboselă s- făcut,5 chir pe piesă Piese din oţel turnt,4...,0 Piese din fontă... Piese din lije de cupru...,7 Piese din lije uşore...,5 solicitre de torsiune τ cτ = K τ τ ε γ pentru cicluri lternnte: schemtizre Goodmn, solicitre de încovoiere c σ = K σ σ m σ m + ε γ σ σ σ τ m r 7.-8b 7.-9 solicitre de torsiune c τ = K τ ε γ τ τ τ m + τ τ m r 7.-9b schemtizre Soderberg, 09

209 Clculul l solicitări vribile (oboselă) 0 solicitre de încovoiere c m m σ σ σ σ σ σ σ γ ε K c + = 7.-0 solicitre de torsiune c m m τ τ τ τ τ τ τ γ ε K c + = 7.-0b schemtizre Serensen solicitre de încovoiere m σ m σ σ - σ σ Ψ σ γ ε K σ c + = 7.- unde: 0 0 σ σ σ σ Ψ = 7.-b solicitre de torsiune m τ m τ τ - τ τ Ψ τ γ ε K τ c + = 7.- unde:

210 Rezistenţ mterilelor. Noţiuni fundmentle şi plicţii Ψ τ τ τ = 0 τ 0 7.-b În czul solicitării compuse de încovoiere şi torsiune, coeficientul de sigurnţă c, se clculeză cu relţi: c = c c σ σ c + τ c τ 7.- su utilizând digrm din ig.7.-. ig.7.- În czul pieselor cre u o durtă de funcţionre limittă, dică mi mică decât numărul de cicluri cre r produce rupere prin oboselă (N 0 ), coeficientul de sigurnţă nu se mi clculeză fţă de rezistenţ l oboselă σ -. În cest cz, se efectueză un clcul l durbilitte. În curb rezistenţelor l oboselă mterilului (curb Wőhler) în coordonte semilogritmice (ig.7.-4) corespunzătore coeficientului de simetrie R ciclului rel de solicitre, se duce