GEOMETRIE ANALITICĂ. Capitolul 5 VECTORI LIBERI. #1. Spaţiul vectorial al vectorilor liberi

Transcript

1 GEOMETRIE ANALITICĂ Cpitolul 5 VECTORI LIBERI # Spţiul vectoril l vectorilor liberi Fie E spţiul tridimensionl l geometriei elementre orientt Definiţii Pentru oricre două puncte A B E considerăm segmentul AB A AB Punctul A se numeşte origine ir B se numeşte etremitte vârful) segmentului orientt Dcă origine şi etremitte coincid se obţine segmentul orientt nul Drept determintă de A şi B se numeşte drept suport lui AB şi se noteă cu AB Acestă dreptă este unic determintă dor dcă A B; pentru segmentul orientt nul drept suport este nedetermintă Două segmente orientte se numesc colinire dcă dreptele suport coincid; se numesc prlele dcă dreptele suport sunt prlele Se numeşte lungime norm modulul) unui segment orientt AB lungime segmentului neorientt [AB] distnţ de l punctul A l punctul B Un segment orientt re lungime nulă dor dcă el este segmentul nul Două segmente neorientte de ceeşi lungime se numesc segmente congruente Două segmente orientte nenule se numesc echipolente dcă u ceeşi direcţie sens şi lungime Două segmente nule vor fi considerte totdeun echipolente C A D B AB Student Web Cop B Dcă AB este echipolent cu CD tunci vom scrie AB ~ CD Se pote răt uşor că AB ~ CD AC ~ BD vei figur) Doi vectori cre u celşi sens u utomt ceeşi direcţie; deci doi vectori sunt echipolenţi dnd u sensul şi lungime identice Teoremă Relţi de echipolenţă definită pe mulţime segmentelor orientte este o relţie de echivlenţă 8 CpV Vectori liberi

2 Demonstrţie Relţi de echipolenţă este refleivă simetrică şi trnitivă temă verificţi!) Definiţie Clsele de echivlenţă le segmentelor orientte le relţiei de echipolenţă se numesc vectori liberi Direcţi sensul şi lungime cre coincid pentru segmentele orientte echipolente ce definesc un vector liber se vor numi direcţi sensul şi respectiv lungime vectorului liber Notţii Vectorii liberi vor fi notţi cu litere mici suprlinite b c ir în desen vor fi repreentţi printr-unul dintre segmentele orientte echipolente ce repreintă cls lor Din cest motiv vectorii liberi se vor not şi prin AB CD Definiţii Un segment orientt determină un vector liber o clsă de echipolenţă) şi spunem că este un repreentnt l vectorului liber determint şi scriem AB AB Definim lungime norm) unui vector liber su AB ) c fiind lungime unui repreentnt l său şi vom not cestă normă prin AB su da ) B Un vector liber de lungime unu se numeşte versor su vector unitte Vectorul liber de lungime ero se numeşte vectorul nul şi se noteă cu repreentt de segmentul orientt AA A E ; direcţi şi sensul lui sunt nedeterminte Doi vectori liberi şi b sunt egli şi scriem b dcă repreentnţii lor sunt echipolenţi deci dcă u ceeşi direcţie sens şi lungime) Vectorii liberi şi b cre u ceeşi direcţie se numesc vectori coliniri; scriem b vei fig) Doi vectori coliniri de ceeşi lungime dr cu sensuri opuse se numesc vectori opuşi; vom not opusul unui vector liber prin vei fig) Trei vectori liberi se numesc coplnri dnd dmit repreentnţi coplnri vei fig) b Student Web Cop c b Fig Fig Fig În cele ce urmeă notăm cu V mulţime tuturor vectorilor liberi din spţiul E Fiăm în E un punct O numit origine Geometrie nlitică 9

3 Oricărui punct M E îi corespunde un vector liber şi numi unul repreentnt OM Reciproc oricărui vector liber M E stfel încât r V r V de îi corespunde un unic punct OM r Vectorul liber r OM se numeşte vectorul de poiţie l punctului M fţă de origine O Astfel mulţimile E şi V sunt în corespondenţă biunivocă bijecţi fiind unic determintă prin fire originii O 4 Mulţime V vectorilor liberi din spţiul E se pote orgni c un grup ditiv comuttiv definind dunre cestor prin regul triunghiului regul prlelogrmului) şi Definiţie Fie b V doi vectori liberi O E un punct rbitrr fit Construim punctele A B E stfel încât OA şi AB b Vectorul liber c repreentt de segmentul orientt OB se numeşte sum vectorilor şi b şi se noteă c + b su OB OA+ AB vei figur) Vectorii liberi bşi c + b sunt vectori coplnri Regul de determinre sumei vectori liberi se numeşte regul triunghiului Adunre vectorilor liberi + : b ) V V + b V este o lege de compoiţie internă bine definită: vectorul liber c + b nu depinde de legere punctului O origine repreentntului OB OB c Temă verificţi!) Teoremă Adunre vectorilor liberi re următorele proprietăţi cre determină o structură de grup belin V +) pe mulţime vectorilor liberi: ) socitivitte: + b + c) + b) + c b c V ; ) este element neutru : V + + ; ) opusul lui este simetricul lui : V + ) ) + ; 4) comuttivitte: b V + b b+ Observţii Comuttivitte dunării justifică determinre sumei doi vectori necoliniri prin regul prlelogrmului: se deseneă OA OB b şi se fieă punctul C c intersecţi dintre prlel l OA dusă prin B şi prlel l OB dusă prin A; segmentul orientt OC este repreentntul lui + b vei figur) O c + b B Student Web Cop b O B A c + b A b C CpV Vectori liberi

4 Asocitivitte dunării permite generlire regulii triunghiului obţinând sum mi mult de doi vectori prin regul poligonului pln În grupul belin V ecuţi b + re o soluţie unică not + b ) b numită diferenţ dintre vectorul şi vectorul b vei figur) Dcă OA şi OB b tunci BA b O A b b B 5 Fie corpul sclrilor R corpul numerelor rele) şi fie V grupul ditiv belin l vectorilor liberi Definim o lege de compoiţie eternă cre permite înmulţire unui vector liber cu un sclr după cum urmeă: Definiţie Se numeşte produsul dintre vectorul liber vectorul t definit stfel: V şi sclrul t R ) dcă şi t tunci t este vectorul cre re ceeşi direcţie cu lungime eglă cu t şi sensul dt de cel l lui su contrr lui după cum t > su t < ; b) dcă t su tunci t Se observă că vectorii liberi t şi sunt colineri 6 Teoremă Înmulţire vectorilor liberi cu sclri re următorele proprietăţi: ) V ; ) s t) st) s t R V ; ) distributivitte fţă de dunre sclrilor s + t) s + t s t R V ; 4) distributivitte fţă de dunre vectorilor t + b ) t + tb t R b V Demonstrţie )-) temă 4) Fie OA şi AB b Atunci OB + b Fără restrânge generlitte presupunem t > şi fie A B E stfel încât O A t şi Student Web Cop O B t + b ) Din semănre OAB ~ OA B ltură-unghi-ltură) reultă AB A B şi A B t AB deci A B tb şi O B t + tb În finl vem t + b) t + tb Cul t < se trteă nlog Observţie Proprietăţile dunării vectorilor liberi structur de grup belin) şi proprietăţile înmulţirii vectorilor liberi cu sclri din teorem 6 rtă că V este un spţiu vectoril peste corpul R l numerelor rele Geometrie nlitică

5 # Coliniritte şi coplnritte Fie V spţiul vectoril rel l vectorilor liberi Presupunem cunoscute noţiunile de subspţiu vectoril dependenţă şi independenţă liniră bă şi dimensiune coordonte şi iomorfism de spţii vectorile Definiţie Dt fiind un vector nenul V \{} se numeşte versorul lui vectorul unic determint de lungime temă verificţi!) Ştim că doi vectori din V se numesc colineri dcă dreptele lor suport sunt prlele Cu jutorul noţiunii introduse mi sus putem d o formulre echivlentă noţiunii de colineritte: Teoremă Dcă vectorii şi b sunt coliniri şi tunci eistă un unic număr rel t stfel încât b t Demonstrţie Dcă b legem t Dcă b legem t Deci presupunem b şi putem scrie b b b Vectorii şi b sunt colineri deci versorii b sunt fie egli fie opuşi Dcă b vem şi deci b b b b b t b ir pentru b reultă Corolr Dt fiind un vector nenul V \{} mulţime V { b V t R b t} Student Web Cop t b tuturor vectorilor coliniri cu formeă cu dunre şi înmulţire cu sclri reli vectorilor liberi un spţiu vectoril unidimensionl Deci doi vectori liberi sunt coliniri dor dcă sunt dependnţi linir; doi vectori liberi necoliniri sunt totdeun linir independenţi Demonstrţie Se verifică uşor că V este un subspţiu vectoril l lui V; fiind nenul este un vector linir independent; folosind teorem genereă pe Ştim că trei vectori din V se numesc coplnri dcă dmit repreentnţi prleli cu un pln dt putem d o formulre echivlentă noţiunii de coplnritte: V Teoremă Vectorii linir dependenţi b c V sunt coplnri dcă şi numi dcă ei sunt Demonstrţie Presupunem că b c sunt linir dependenţi dică rst V nu toţi nuli cu propriette r + sb + tc Fără restrânge generlitte fie t ; împărţind CpV Vectori liberi

6 O F relţi prin t cest devine c k + lb unde k r / t l s / t Deci repreentnţii stisfc relţi dică OC OA OB b OC c OC k OA + lob se flă în plnul determint de OA şi OB Reciproc descompunând repreentntul repreentnţii OC c coplnr cu OA OB b obţinem OC OE + OF vei figur) unde k l R stfel încât OE k OA OF lob ; reultă relţi B E C A c k + lb deci cei trei vectori liberi sunt liner dependenţi Corolr Dţi fiind vectorii liberi necolineri V { c V r s R c r + sb} b V mulţime tuturor vectorilor coplnri cu şi b formeă cu dunre şi înmulţire cu sclri reli vectorilor liberi un spţiu vectoril bidimensionl Demonstrţie V este un subspţiu vectoril l lui V temă verificţi!) ir { b} este o mulţime linir independentă cre genereă pe Deorece dependenţ liniră trei vectori liberi este echivlentă cu coplnritte reultă că orice trei vectori liberi necoplnri sunt linir independenţi Un semene sistem determină o bă spţiului V deci putem formul următore Teoremă Spţiul vectoril rel V l vectorilor liberi din E re dimensiune În cele ce urmeă vom not cest spţiu prin V Demonstrţie În V eistă trei vectori linir independenţi: oricre trei vectori necoplnri b c Aceşti genereă pe V deorece pentru un vector rbitrr d V considerând repreentnţii OD pe vectorii V OA OB b OC c OD d şi proiectând vectorul Student Web Cop O A OB OC re loc descompunere OD OA + OB + OC unde O A k OA OB lob OC moc k l m R deci reultă d k + lb + mc Fie { b c} este o bă fită în V şi rs t sunt coordontele unui vector d V în rport cu cestă bă; tunci vom scrie d r st ) şi identificăm d r s t) Putem crcteri în funcţie de coordonte operţiile cu vectori liberi şi proprietăţile cestor: pentru d i ri si ti ) V i vem ) d + d r+ r s+ s t+ t) ; Geometrie Anlitică

7 ) k d kr ks kt) ; ) d d r r s s t t ; 4) vectorii d d sunt coliniri dnd coordontele lor sunt proporţionle; 5) vectorii d d d sunt coplnri dnd coordontele unui sunt combinţii linire de coordontele celorllţi doi; spre eemplu pentru d kd + ld vem: r kr + lr s ks + ls t kt + lt k l R # Proiecţii ortogonle şi π Fie o dreptă V un vector liber AB un repreentnt l cestui Plnele şi duse prin A şi B şi perpendiculre pe π intersecteă drept respectiv în punctele {A } π { B } π vei figur) Se pote răt prin considerţii de geometrie sintetică fptul că vectorul liber A B nu depinde de legere repreentntului AB deci depinde efectiv dor de vectorul liber temă!) Acest lucru conduce l următore Definiţie Vectorul liber AB determint prin construcţi de mi sus se numeşte proiecţie ortogonlă vectorului AB pe drept şi se noteă pr Observţii Vectorul proiecţie ortogonlă pr vectorului pe drept nu depinde decât de vectorul liber şi de direcţi dreptei deci dcă şi sunt două drepte prlele tunci pr pr Student Web Cop Dcă u este un vector nenul cre dă direcţi dreptei tunci putem vorbi de proiecţi ortogonlă lui pe vectorul liber u pe cre o notăm cu pr u Deci pentru un vector nenul u V \{} fit s- definit prctic o trnsformre pr u : V V pr ) pr V Acest este o trnsformre liniră temă verificţi că u pr u este funcţie ditivă şi omogenă!) Fie u V \ {} şi u versorul său u u u u ) Pentru orice V vectorul pr u este colinir cu u şi deci eistă un număr rel pr definit de relţi: u u A B pr u u B' A' π π pr u 4 CpV Vectori liberi

8 pr u pr u Acest număr se numeşte mărime lgebrică proiecţiei ortogonle u pr u vectorului liber pe u vei) Deci pentru un vector nenul u V \{} fit m definit stfel o trnsformre pr : V R pr ) pr V u u Acest este o trnsformre liniră definită pe spţiul vectorilor liberi V cu vlori în corpul numerelor rele R considert c spţiu vectoril peste el însuşi temă verificţi că pr este plicţie ditivă şi omogenă!) u u Definiţii Fie b V \ {} O şi repreentnţii OA OB b Se numeşte unghiul dintre vectorii şi b unghiul ϕ []determint π de segmentele orientte repreentnţii) OA şi OB ; vei figur Se observă că definiţi unghiului formt de vectorii liberi şi b nu depinde de legere punctului O deci definiţi dtă este corectă În cul în cre unul dintre cei doi vectori este nul unghiul ϕ [] π dintre şi b este nedetermint Doi vectori nenuli şi b se numesc ortogonli dcă unghiul dintre ei este π/ Prin definiţie vectorul liber nul v fi considert ortogonl pe orice vector Cu jutorul noţiunii de unghi doi vectori liberi putem eprim numărul pr în funcţie de lungime vectorului liber şi de unghiul ϕ dintre şi b vei figur) pr cosϕ u u E Definiţie Fie π un pln V \ {} şi AB Prin punctele A şi B ducem drepte perpendiculre pe plnul π şi notăm cu A şi B punctele în cre ceste întersecteă plnul π Vectorul liber A B nu depinde de segmentul AB ci numi de vectorul liber Din cest motiv vectorul liber AB se numeşte proiecţi ortogonlă vectorului pe plnul π şi se noteă Student Web Cop pr π O B pr ϕ ϕ u A Observţii C şi în cul proiecţiei pe o dreptă proiecţi ortogonlă vectorului pe plnul π coincide cu proiecţi s pe orice lt pln prlel cu cest În plus dt fiind un pln π procedeul de mi sus defineşte un endomorfism l spţiului vectorilor liberi V pr : V V π V pr π ) pr π cărui imgine este spţiul vectoril bidimensionl tşt plnului π Geometrie Anlitică 5

9 #4 Produs sclr în V Pentru doi vectori liberi rbitrri nenuli b V \ {} vom not unghiul formt de ceşti prin ϕ [ π] 4 Teoremă Funcţi < > : V V R definită prin b cosϕ pentru b V \ {} pentru su b este un produs sclr pe spţiul vectorilor liberi V Demonstrţie Sunt de verifict pentru funcţi < > proprietăţile unui produs sclr: comuttivitte omogenitte distributivitte fţă de dunre şi poitivitte Demonstrăm omogenitte lăsând celellte proprietăţi drept eerciţiu Fie t R Dcă su b su t re loc relţi < t b > t mbii membri i eglităţii fiind nuli) Dcă t > tunci unghiurile formte de b cu vectorii şi t coincid t t şi vem < t b > t b cosϕ t b cosϕ t Pentru t < unghiurile formte de b cu vectorii şi t sunt suplementre deci cosinusurile lor sunt opuse; folosind Observţii Teorem rtă că Are loc relţi t t reultă relţi V este spţiu vectoril euclidin < > deci putem clcul lungime unui vector liber V folosind produsul sclr prin relţi < > Relţi cosϕ implică ineglitte Cuch-Schwr b 4 Doi vectori liberi sunt ortogonli dnd produsul lor sclr este nul 4 Fie { e e e} V o bă în spţiul vectorilor liberi şi fie b V doi vectori rbitrri Eprimând în coordonte ceşti doi vectori e + e + e b be + be + be putem determin o formulă comodă de clcul produsului sclr în ipote că vlorile cestui pe vectorii bei sunt cunoscute: < e + e + e b e + b e + b e > b < e e Student Web Cop b < e e > + b b < e e > + b > + b < e e < e e < e e > + b > + b > + b < e e < e e < e e > + > + > < e e > < e e > < e e > b ) < e e > < e e > < e e > b < e e > < e e > < e e > b 6 CpV Vectori liberi

10 Mtrice pătrtă din membrul drept portă numele de mtrice Grm fmiliei de vectori { e e } Relţi de mi sus rtă că dcă se cunosc mtrice Grm bei e şi coordontele doi vectori produsul sclr l cestor este perfect determint Se observă că în cul unei be ortogonle mtrice Grm este mtrice digonlă deci re o form etrem de convenbilă pentru clcule Considerând o bă ortonormtă { i j k} V o bă formtă din versori reciproc ortogonli) mtrice Grm devine mtrice unitte < j i > < j j > < j k > < k i > < k j > < k k > Coordontele unui vector în rport cu o semene bă se numesc coordonte euclidiene B ortonormtă {} ijk este crcterită prin eglitte de sus cre pote fi rescrisă sub form tbelului cu vlorile produsului sclr pe cestă bă: < > i j k În cest c epresi de mi sus produsului sclr l vectorilor i + j + k b b i + b j + b k i j k V devine etrem de simplă fiind numită şi epresi cnonică produsului sclr: b + b + b Observţii Coordontele euclidiene le unui vector repreintă ect proiecţiile ortogonle le lui i + j k pe cele trei e de coordonte + considerte cu direcţi şi sensul dte de versorii { ijk } respectiv) dică u loc relţiile pr pr < j > pr < k > i j k Tot în cul bei ortonormte norm euclidină vectorului re epresi mult simplifictă temă verificţi): < > + + Student Web Cop Unghiul dintre vectorii nenuli i + j + k b b i + b j + b k este dt de formul V \ {} cosϕ b + b + b + + b b + b + b ϕ [ π] Se observă că vectorii şi b sunt perpendiculri ortogonli) dcă şi numi dcă re loc relţi b + b + b Geometrie Anlitică 7

11 #5 Produs vectoril Fie b V doi vectori rbitrri în spţiul vectorilor liberi Pentru b V \ {} vom not cu ϕ [] π unghiul dintre şi b 5 Definiţie Se numeşte produsul vectoril dintre vectorii şi b vectorul liber b sin ϕ e pentru b necolineri b pentru b colineri unde e este un versor perpendiculr pe şi b cre re sensul dt de regul mâinii drepte pentru tripletul ordont { b e} vei figur) b Produsul vectoril dintre doi vectori liberi determină o plicţie bilineră ntisimetrică definită pe V V cu vlori în V Teoremă Produsul vectoril re următorele proprietăţi: ) b b nticomuttivitte) ) t b) t) b tb) t R omogenitte) ) b + c) b+ c distributivitte) 4) e ϕ b b identitte Lgrnge) 5) 6) b şi b sunt coliniri 7) dcă şi b nu sunt coliniri tunci b ri prlelogrmului b Student Web Cop construit pe doi repreentnţi cu origine comună i vectorilor şi b vei figur de mi sus) Demonstrţie Proprietăţile ) ) ) 5) 6) 7) le lăsăm c temă Pentru obţine identitte Lgrnge înmulţim cu b identitte si n ϕ cos ϕ Apoi ţinând cont de definiţi produselor sclr şi vectoril reultă relţi 8 CpV Vectori liberi

12 5 Fie { ijk } o bă ortonormtă în V Se observă că versorul k l bei ortonormte pote fi les în două moduri cre diferă prin sens sensul versorului k convenind Student Web Cop k ± i j ) Fiăm i j k ; tunci folosind definiţi produsului vectoril şi proprietăţile din teoremă obţinem tbelul unde produsul se relieă în ordine linie colonă ) i j k i j k k j i De semene reltiv l cestă bă ortonormtă doi vectori rbitrri şi b se descompun i + j + k b bi + b j + bk V şi efectuând clculele k j corespunătore obţinem epresi cnonică produsului vectoril b b b ) i + b b ) j + b b ) k su încă simbolic 5 Dublu produs vectoril i b b i k b Se numeşte dublu produs vectoril l vectorilor b c V vectorul w b c) Eprimând vectorii b c în b ortonormtă {ijk } şi folosind epresiile cnonice le produselor sclr şi vectoril reultă temă verificţi) relţi b c) < c > b c Din relţie se pote observ că vectorul dublu produs vectoril w este coplnr cu vectorii b şi c cee ce implică w b c ) şi perpendiculritte vectorului dublu produs vectoril w pe vectorul vei figur) j b b w c Lb c) Observţii Ordine prnteelor este esenţilă în clculul dublului produs vectoril: produsul vectoril nu este socitiv deci în generl b c) b) c Dublul produs vectoril se pote clcul folosind epresi simbolică: b c b c) < c > Geometrie Anlitică 9

13 54 Eemple Se du vectorii AO k i CA i + j CB i j + 5k Să se găsescă vectorii de poiţie i punctelor A B C şi să se clculee lungime h înălţimii din A triunghiului ABC A Soluţie Verificăm în prelbil că punctele ABC nu sunt colinire!) Cum vectorii CA şi CB nu u coordontele proporţionle deci nu sunt vectori colineri reultă firmţi Obţinem coordontele vectorilor de poiţie le vârfurilor triunghiului: OA AO i k A ) OB OA CA + CB 4i 4 j + 4k OC OB CB i j k B4 44) C ) Înălţime AD triunghiului ABC coincide cu înălţime prlelogrmului construit pe repreentnţii vectorilor BA şi BC Obţinem succesiv BA OB + OA 4 5) BC OB + OC 5); i BA BC ) 5 ) j k 5 BA BC 5 BA BC 5 BC 8 AD BC 8 Se du vectorii: u i + j k v k i w i j V ) Să se determine dublul produs vectoril l vectorilor u v w b) Să se clculee celşi dublu produs vectoril folosind formul u v w) v w c) Să se determine un vector cre este perpendiculr pe u şi este coplnr cu v şi w dică prţine spţiului linir genert de v şi w ) Student Web Cop Soluţie ) Identificăm vectorii liberi cu tripletele coordontelor lor reltiv l b cnonică ortonormtă { i j k} : u ) v ) w ) Prin clcul direct obţinem i j k v w i + j + k ) şi poi dublul produs vectoril v w) i j ) i j k u CpV Vectori liberi

14 b) Aplicând formul u v w) v w vem u v w) ) ) ) ) i j c) Se observă că dublul produs vectoril u v w) v w re ect proprietăţile cerute în enunţ fpt confirmt de eglitte de mi sus: membrul stăng l eglităţii este ortogonl tât pe u cât şi pe v w fiind produsul vectoril l cestor vectori) ir cel drept prţine subspţiului L v w) fiind combinţie liniră de genertorii subspţiului Mulţime tuturor soluţiilor problemei este subspţiul genert de L{ i j}) #6 Produs mit 6 Definiţie Fie b c V trei vectori liberi Se numeşte produsul mit l cestor vectori numărul rel Teoremă Produsul mit re următorele proprietăţi: ) < c b > ) < c b > ) < t b c >< tb c > t R 4) < + b c d >< c d > + < c > < d > 5) identitte lui Lgrnge) 6) dcă şi numi dcă cei trei vectori sunt linir dependenţi dică re loc un din următorele situţii: i) cel puţin unul din vectorii bceste nul; ii) doi dintre vectori sunt coliniri; iii) vectorii bcsunt coplnri Demonstrţie Temă 5 6) Fie Dcă su b c reultă b su c su vectorii b c coliniri deci i) su ii) Admitem deci b c V \ {} şi Folosind propriette ) reultă în mod nlog Student Web Cop că fie unul din vectori este nul i) fie doi din vectori sunt colineri ii) fie b c L{ b c}) deci vectorii sunt coplnri iii) Afirmţi reciprocă este imedită în cul i) uşor de demonstrt folosind ) în cul ii) ir în cul iii) folosimechivlenţele L{ b c}) b c Observţie Dcă vectorii liberi b c V \ {} sunt necoplnri tunci modulul produsului mit repreintă volumul prlelipipedului ce se pote construi pe repreentnţi cu origine comună i celor trei vectori vei figur) Într-devăr notând Geometrie Anlitică

15 b c ϕ c b θ putem scrie θ b c) ϕ b c) b c cosϕ b c cosϕ ± b c sin θ) ± A h prlelogrm_b prlelipiped cosϕ) ± V prlelipiped 6 Fie { ijk } o bă ortonormtă Descompunând trei vectori liberi reltiv l cestă bă i + j + k b b i + b j + b k c c i + c j + c k produsul lor mit re epresi cnonică V b b b Pe b cestei formule mjoritte proprietăţilor din teorem 6 se pot demonstr făcând u de proprietăţile determinnţilor de ordinul trei temă) 6 Se observă că ordine celor trei vectori în clculul produsului lor mit este esenţilă; în cul în cre ceşti sunt necoplnri deci produsul lor mit este nenul) ei determină o bă în V ; cum în cest c produsul lor mit pote fi su poitiv su negtiv putem d următore c Definiţie Spunem că o bă { b c} V este orienttă poitiv/negtiv dcă produsul mit este poitiv/negtiv Spre eemplu identificând vectorii bei ortonormte cnonice { i j k} V c c Student Web Cop ce u cordontele socite i ) j ) k ) remrcăm că deci { i j k} este o bă orienttă poitiv Eemplu Trei vectori b c V sunt coplnri dcă şi numi dcă determinntul mtricii Grm l cestor vectori este identic nul Într-devăr conform observţiei 8 şi teoremei 8 punctul 6) cei trei vectori sunt coplnri linir dependenţi) dor dcă volumul prlelipipedului determint de ceşti este nul prlelipi ped prlelipiped V ± V CpV Vectori liberi

16 Dr eprimând vectorii reltiv l b cnonică i + j + k b bi + b j + bk c ci + c j + ck şi considerând mtrice trnspusă cestor şi mtrice lor Grm vem < > < c > A t [ b c] b b b G c c c < c > < c b > < c c > V prlelipiped det A det det A) A t det A det A det A A) det G În concluie coplnritte celor trei vectori revine l nulre determinntului Grm #7 Probleme propuse Se du vectorii u j + k v k i ) Clculţi produsul vectoril w u v l vectorilor u şi v b) Determinţi dcă vectorii u şi v sunt colineri liner dependenţi) su nu În cul când cei doi vectori sunt liner independenţi completţi fmili { uv} l o bă spţiului V c) Determinţi riile prlelogrmului şi triunghiului determinte de repreentnţi dicenţi i vectorilor liberi u şi v R ) u ) v ) w u v i j + k b) Nu fiindcă u v Fmili { u v w} repreintă o nouă bă! < uv w> 6 ) i c) A u v A A / 6 / / prlelogr m 6 triunghi prlelogrm Se du vectorii u i + k v k j w i +j ) Clculţi produsul mit b) Determinţi dcă vectorii u v w sunt coplnri liner dependenţi) su nu Formeă cei trei vectori o bă în V? Este cestă bă poitiv orienttă? j k Student Web Cop c) Să se determine volumele prlelipipedului prismei triunghiulre şi tetredrului ce u repreentnţi i vectorilor u v w c muchii dicente t R ) u ) v ) w ) Geometrie Anlitică

17 b) Nu sunt coplnri deorece ; fiind trei vectori liner independenţi în spţiul tridimensionl V ceşti determină o bă cre este negtiv orienttă deorece < c) V V V / / V V / / prlelipi ped prism prlelipiped tetredru prism Se du punctele A ) B ) C ) D ) ) Arătţi că punctele dte sunt coplnre b) Clculţi ri prlelogrmului ce re drept lturi dicente repreentnţi i vectorilor liberi AB şi AC c normă de produs vectoril Verificţi că se obţine celşi reultt folosind identitte lui Lgrnge R ) A B C D coplnre < AB AC AD > ir ultim eglitte re loc b) Notând AB b AC ri cerută este b i j k Altfel folosind identitte lui Lgrnge de l produse vectorile) obţinem b b 4 Se du vectorii i + k b λi j c i + j + k V unde λ R ) Aflţi vlore prmetrului λ stfel încât vectorii b c să fie coplnri b) Aflţi vlore prmetrului λ stfel încât vectorii b şi c să fie ortogonli c) Pentru λ flţi proiecţi mărime lgebrică pr b cestei proiecţii pr b vectorului pe vectorul b precum şi d) Pentru λ determinţi înălţime prlelipipedului construit pe repreentnţii vectorilor b c perpendiculră pe b formtă de repreentnţii vectorilor b e) Pentru λ determinţi un vector d perpendiculr pe şi coplnr cu vectorii b c R ) bccoplnri λ ; b) b c λ c) Identificănd ) b ) obţinem pr b b d) prlelipiped prlelogrm_b ) i + j; pr b Student Web Cop h V / A / b / 5 e) Un semene vector este dublul produs vectoril b c) i 7 j 4k 5 Să se verifice proprietăţile: ) identitte lui Jcobi: b c) + b c ) + c b ) b c V b) identitte vectorilă lui Lgrnge: + b b b V c) + + < c b d > b c d V 4 CpV Vectori liberi

18 6 Se du trei vectori b c V Să se verifice că următorele proprietăţi sunt echivlente: ) b c dmit repreentnţi ce formeă lturile unui triunghi; b) u loc relţiile b b c c 7 Se du trei vectori b c V Să se verifice că următorele proprietăţi sunt echivlente: ) vectorii b şi b c sunt colineri; b) re loc relţi b + b c + c Arătţi că dcă vectorii stisfc oricre din cele două proprietăţi tunci ei sunt coplnri 8 Considerăm o bă spţiului vectorilor liberi { b c} V şi cu jutorul cestei construim fmili de vectori b c c b b c ) Arătţi că ceşti vectori determină o nouă bă în V numită b reciprocă socită bei { b c} ) b) Determinţi produsele sclre dintre vectorii celor două be c) Aflţi reciproc bei cnonice ortonormte { i j k} V d) Verificţi că re loc relţi e) Orice vector v V dmite descompunere v < v > + < v b > b+ < v c > c f) B { b c } este reciproc bei { b c } dică u loc relţiile b c c b b c g) Verificţi că u loc relţiile < + b + c + b + c > b + b c + c R ) { b c} bă Obţinem deci { b c } bă b) Prin clcul reultă relţiile < >< c c > Student Web Cop < c >< c >< c b > Aceste relţii determină unic vectorii { b c }: dor tripletul de vectori { b c } definit în enunţ stisfce ceste proprietăţi temă verificţi) c) B dulă bei cnonice este chir e însăşi deci { i j k} d) Prin clcul direct folosind proprietăţile operţiilor cu vectori e) Se determină coeficienţii descompunerii v l + mb + nc prin înmulţire relţiei respectiv cu b c şi folosind relţiile de l punctul b) f) Prin clcul direct folosind punctul b) şi definiţi bei reciproce Geometrie Anlitică 5

19 Cpitolul 6 DREAPTA ŞI PLANUL ÎN SPAŢIU # Reper crtein În cele ce urmeă vom consider spţiul tridimensionl formt din puncte E l geometriei elementre şi spţiul vectoril V de dimensiune trei l vectorilor liberi din spţiu Fiând un punct O E putem stbili corespondenţ bijectivă între cele două mulţimi: ϕ O : E V ϕo M ) OM M E Astfel fiecărui punct M din E îi corespunde în mod unic un vector r OM V numit vectorul său de poiţie De semene fiând o bă ortonormtă B { i j k} V putem stbili iomorfismul dintre spţiile vectorile V şi ψ B : V R ψb r) r i + j + k V cre sociă fiecărui vector liber coordontele sle reltiv l b B Compunând cele două plicţii se observă că prin fire punctului O în şi bei ortonormte R B { i j k} în V deci unui reper crtein R { O ; i jk} R tşţi punctului M determinţi prin relţi fiecărui punct M din E Îi corespunde în mod unic tripletul În cele ce urmeă coeficienţii OM i + j + k se vor numi coordontele crteiene le vectorului OM reltiv l reperul R { O ; i j k} Vom identific E prin bijecţi ψ ϕ : E R şi punctul M E R cu imgine s ψ ϕ M )) R notând: M B O Definiţii ) Dt fiind un reper crtein R { O ; i j k} punctul O se v numi origine reperului b B { i j k} b reperului ir bijecţi ψ B ϕ O : E R se v numi sistem de coordonte crtein b) Dreptele orientte de versorii ik j ce conţin origine O se vor numi e de coordonte şi se vor not respectiv cu O OO c) Plnele determinte de câte două e diferite de coordonte se numesc plne de coordonte şi se vor not cu O O O Student Web Cop B O E Observţii Coordontele crteiene le punctului M repreintă mărimile lgebrice le proiecţiilor ortogonle le vectorului OM pe cele trei e de coordonte dică pr O OM pro OM pr O OM 6 CpVI Drept şi plnul în spţiu

20 C mulţimi de puncte în E ele de coordonte sunt crcterite R respectiv prin ecuţiile O O : : O: Cele trei plne de coordonte sunt crcterite respectiv prin ecuţiile O : O : O : 4 Cum un reper crtein R { O ; i j k} determină în mod unic ele de coordonte OOO şi reciproc vom not uneori reperul prin O În cele ce urmeă considerăm spţiul E înestrt cu un reper crtein fit R {O ; i j k} În spţiul euclidin # Ecuţiile dreptei în spţiu o dreptă pote fi determintă de: E i) un punct şi un vector liber nenul; ii) două puncte distincte; iii) intersecţi două plne Drept determintă de un punct şi un vector nenul Considerăm punctul M ) unde r OM i + o j + k vectorul liber nenul v i + bj + ck V \ {} Aceste determină drept cre trece prin punctul M şi re direcţi dtă de vectorul v vei figur) Fie M E şi r not OM Atunci punctul M prţine dreptei dcă şi numi dcă vectorii rescrie punct not M M şi v sunt colineri condiţie cre se r r ) v Acestă ecuţie în V se numeşte ecuţi vectorilă dreptei definită de un şi o direcţie vector liber) v dte Vectorul v se numeşte vector director l dreptei M Student Web Cop Observţii Orice vector w L{v}) \ {} este de semene vector director Coliniritte vectorilor r r şi v se rescrie r r L{ v}) t R r r tv deci se obţine o ltă formă ecuţiei vectorile dreptei r r + t v t R ) L rândul ei în coordonte cest este echivlentă cu următorele trei ecuţii în R + t + tb t R ) + tc Ο Μ r r v Μ Geometrie Anlitică 7

21 numite ecuţiile prmetrice le dreptei Eliminând vribil t din ceste ecuţii se obţine următorul şir de rporte egle numit ecuţiile crteiene le dreptei în R ) b c Convenim că nulre unui numitor trge după sine nulre numărătorului corespunător şi că ecuţiile sunt dte efectiv de eglre produsului meilor cu etremii în proporţiile formte Spre eemplu dcă ecuţiile crteiene devin ecuţiile unei drepte prlele cu plnul O : c ) b ) ir dcă b ecuţiile crteiene devin ecuţiile unei drepte prlele cu O: Drept determintă de două puncte distincte Două puncte distincte M ) M ) E M M determină în mod unic o dreptă cre le conţine Aflăm ecuţiile cestei folosind ecuţiile ) legând spre eemplu M şi M Student Web Cop Μ v M M v M M Ο vei figur); obţinem ecuţiile crteiene le dreptei ce trece prin punctele M M : 4) În cee ce priveşte drept c intersecţie două plne punctele cestei vor stisfce sistemul de două ecuţii le celor două plne descrise în #) cre u drept intersecţie drept Asemene sisteme u fost dej preentte mi sus ecuţiile )4) şi eemplele prticulre) Drept orienttă Dtă fiind o dreptă în spţiu putem stbili pe cest două sensuri de prcurgere - notte cu +) şi ) Numim dreptă orienttă o dreptă împreună un sens de prcurgere l cestei cre v fi sensul poitiv pe dreptă) Dcă este precit un vector director v l dreptei ) sensul poitiv l dreptei v fi indict de cest vector ir drept orienttă v fi dtă de cuplul v ) Μ Definiţii ) Dcă pe o dreptă orienttă v ) considerăm un punct rbitrr numim prte poitivă dreptei mulţime de puncte M + { M t > M M tv} 8 CpVI Drept şi plnul în spţiu

22 ir ce negtivă { M t < M M tv} b) Se numeşte versor director su direcţie orienttă l dreptei orientte v ) versorul e v socit vectorului director v l cestei c) Se numesc unghiurile directore le dreptei orientte v ) unghiurile αβγ formte de versorul director e respectiv cu ele de coordonte O OO d) Se numesc cosinusurile directore le dreptei orientte v ) coordontele cos α < e i > cosβ < e j > cos γ < e k > le versorului director e reltiv l b { ijk } v Observţii Aele de coordonte sunt eemple de drepte orientte pe cre eistă c punct distins origine O; spre eemplu Oi ) re drept semiă poitivă mulţime de puncte O { M OM ti > } relţi + t Cosinusurile directore α β γ le unei drepte orientte v ) stisfc cos α + cos β + cos γ Acest lucru reultă folosind descompunere versorului e reltiv l b ortonormtă {} ijk după cum urmeă e < e i > i+ < e j > e i cosαi + e j+ < e k > k j cosβ j + e k cos γk cosαi + cosβ j + cos γk şi eprimând fptul că norm euclidină versorului e cosαcosβcos γ) este În spţiul euclidin # Ecuţi plnului în spţiu un pln pote fi determint de: E i) un punct conţinut în pln şi un vector liber nenul norml l pln; ii) trei puncte necolinere; iii) un punct conţinut în pln şi doi vectori liberi necolineri ce dmit repreentnţi incluşi în pln; iv) o dreptă şi un punct eterior dreptei incluse în pln; v) două drepte concurente incluse în pln; vi) două drepte prlele incluse în pln Vom determin în fiecre c ecuţi plnului respectiv Student Web Cop Plnul determint de un punct şi un vector liber nenul norml l pln În cele ce urmeă considerăm: un punct M E conţinut în plnul π; ) vectorul liber nenul n i + bj + ck V \{} norml l plnul π Geometrie Anlitică 9

23 Drept cre trece prin punctul M şi cre re direcţi vectorului norml l plnul π prin M ir vectorul nenul plnului π Se observă că plnul π este unic determint de condiţiile vei figur) n se numeşte n se numeşte vector norml l M π π n π M π M Un punct M E prţine plnului π dcă şi numi dcă Student Web Cop M M n su echivlent < M M n > ) condiţie numită ecuţi vectorilă plnului π Ţinând cont că M M ) i+ ) j+ k cestă ecuţie rescrisă în coordonte crteiene conduce l ecuţi crteină plnului π ce trece prin M şi este perpendiculr pe direcţi n : ) + b ) + c ) Observţii Notând în ecuţi ) d + b + c ) cest se rescrie + b + c + d ) numită ecuţi crteină generlă unui pln Se observă că v conduce l fptul că nu toţi coeficienţii b c sunt nuli Reciproc ecuţi ) cu cestă condiţie stisfăcută re cel puţin o soluţie cre stisfce deci relţi d b c ; înlocuind în ) reultă ecuţi plnului sub form ) Remrcăm că în ecuţi ) coeficienţii celor trei vribile sunt ect coeficienţii vectorului norml n b c) De semene observăm că înmulţind ecuţi ) cu un sclr rel nenul ecuţi obţinută descrie celşi pln; de cee cei ptru coeficienţi b c d i ecuţiei portă numele de prmetri neesenţili i cestei şi că ecuţi unui pln este unică făcând bstrcţie de un fctor multiplictiv Stisfăcând o ecuţie de form ) orice pln este formt din punctele M E ce formeă mulţime de nivel constnt π f {}) funcţiei f : R R f + b + c + d R 4 Plnele de coordonte se obţin uşor folosind ecuţi ) Spre eemplu pentru plnul O legem M O) n k şi obţinem ecuţi Folosind ecuţi ) se observă că orice pln prlel cu O re o ecuţie de form constnt Anlog se pot obţine ecuţiile plnelor O O şi le plnelor prlele cu ceste temă) CpVI Drept şi plnul în spţiu

24 5 Folosind ) şi form vectorului norml l pln plnele perpendiculre pe plnele O O O u ecuţiile temă) respectiv de form + b+ d b+ c + d + c + d 6 Folosind observţi nterioră şi condiţi O π d se obţin ecuţiile plnelor cre trec prin ele de coordonte O OO cre u respectiv form b+ c + c + b 7 Folosind condiţi O π d în ) obţinem ecuţi unui pln cre trece prin origine de form + b+ c Plnul determint de trei puncte necolinere Fie punctele necolinere M i i i i ) E i Plnul π ce conţine ceste puncte re drept vector norml n M M M M cre este vector nenul fpt M E M ce reultă din necolineritte celor trei puncte Alegând în formul ) spre eemplu M obţinem ecuţi vectorilă plnului prin trei puncte dte ce repreintă M condiţi c un punct coplnritte punctelor M M MM MM MM vei figur): M < MM MM MM > 4) su rescriind produsul mit din relţi 4) în coordonte obţinem ecuţi plnului prin trei puncte dte sub formă de determinnt să prţină plnului deci condiţi de echivlentă cu coplnritte vectorilor Student Web Cop n M M M M 5) Se pote răt că ecuţi este echivlentă cu ce obţinută prin nulre următorului determinnt de ordinul 4 prefertă uneori din motive mnemotehnice): 6) Observţie Dcă se cunosc mărimile lgebrice le segmentelor determinte de pln pe ele de coordonte segmente cre u un cpăt în origine O ir celăllt respectiv în punctele de intersecţie cu ele "tăieturile" vei figur) M ) M b) M c) Geometrie Anlitică

25 M c) le plnului respectiv cu ele de coordonte O OO folosind formul 5) reultă ecuţi plnului prin tăieturi M ) M b) + b + c 7) 4 Plnul determint de un punct şi doi vectori necoliniri Considerăm în cele ce urmeă: punctul M E conţinut în plnul π; ) vectorii liberi necolineri u i + b j + c k v i + b j + c k \ {} ce dmit repreentnţi conţinuţi în plnul π Aplicăm formul 5) cu M M V ) ir punctele M ) şi M ) sunt lese stfel încât M M u M M v vei figur) Evident cele două segmente orientte M M M M sunt conţinute în plnul π temă verificţi) ir b c ) b c ) Atunci formul 5) produce ecuţi crteină plnului π ce conţine punctul repreentnţi i vectorilor liberi necolineri u v : b b M Student Web Cop c c u M v M şi 8) Se observă că nulre determinntului din formul 8) revine l eprim prim linie s c o combinţie liniră de următorele două linii M M L{ u }) ) deci ecuţi plnului se pote rescrie sub formă prmetrică v + s + t + sb + tb + sc + tc s t R 9) Numerele rele st se numesc prmetri Când st prcurg mulţime numerelor rele punctul M prcurge tote punctele plnului π CpVI Drept şi plnul în spţiu

26 Observţii Cul când plnul π este dt de o dreptă şi un punct M eterior dreptei mbele conţinute în pln se reduce l cul 4 considerând u vectorul director l dreptei ir v M M unde M este un punct orecre l dreptei le cărui coordonte stisfc ecuţiile cestei) Cul când plnul π este dt de două drepte concurente conţinute în cest se reduce l cul 4 considerând un punct M flt pe un din drepte ir drept vectori liberi u v vectorii directori i celor două drepte Cul când plnul π este dt de două drepte prlele conţinute în π se reduce l cul 4 considerând un punct M flt pe un din drepte u vectorul director l unei dintre drepte vector cre dă direcţi mbelor drepte!) ir v M N unde N este un punct orecre l celeillte drepte 5 Pln orientt Se observă că următorele legeri produc ceeşi orientre: legere unei dintre cele două feţe le plnului; legere unui sens pe o dreptă) normlă l pln; legere unui sens de rotţie în pln urmt de plicre regulii mâinii drepte! Definiţie Se numeşte pln orientt un pln π considert împreună cu o legere sensului pe normlă sens fit printr-un vector liber n ; pe scurt un pln orientt este un cuplu π n ) unde vectorul n este norml l pln Observţii Notăm fţ ce corespunde sensului les poitiv) cu "+)" ir ce opusă cu " )" Plnele O O O sunt orientte respectiv de versorii k i j Dcă plnul π este dt prin ecuţi f + b + c + d cest sepră spţiul în două submulţimi convee numite subspţii: π { f } π + { f } Se observă că ceste mulţimi sunt închise şi convee şi că vem π π π+ ; π π+ E 4 Fie π şi π două plne vând ecuţiile generle respectiv + b + c + d şi + b + c + d Reuniune plnelor π şi π este mulţime închisă) de puncte π π { + b + c + d) + b + c + d) } π Student Web Cop 5 În cul în cre şi π nu sunt nici prlele nici confundte deci vectorii lor normli n b c)n b c) sunt necolineri n n ) intersecţi plnelor π şi π este o dreptă le cărei puncte M stisfc sistemul linir + b + c + d + b + c + d Geometrie Anlitică

27 Condiţi n n conduce l fptul că sistemul este comptibil -nedetermint Vectorul nenul i j k b c c v n n b c b c c b c produce direcţi dreptei deci este vector director l cestei) Ecuţiile crteiene cnonice le perpendiculrei comune reultă cum uşor vând drept dte un punct M l dreptei un punct le cărui coordonte stisfc sistemul) şi vectorul director v l cestei 6 Pentru fl poiţi reltivă unor drepte şi/su plne se reolvă sistemul formt de ecuţiile cestor şi se interpreteă geometric reulttul După cum sistemul este incomptibil comptibil determint comptibil simplu su dublu nedetermint intersecţi este mulţime vidă prlelism!) punct dreptă su pln 7 Fscicule de plne Definiţii ) Dtă fiind o dreptă se numeşte fscicul de plne concurente mulţime plnelor ce conţin cestă dreptă; drept se numeşte fsciculului Dcă vem π π π : + b + c + d π + b + c + d : tunci un pln rbitrr din fscicul re ecuţi s + b + c + d) + t + b + c + d) coeficienţii reli st nu se nuleă simultn unde Presupunând spre eemplu s prin împărţire l s se obţine ecuţi fscicolului redus numit stfel deorece din fscicul lipseşte plnul π ) de form + b + c + d) + r + b + c + d) r R b) Dtă fiind o direcţie furnită de un vector nenul n b c) se numeşte fscicul de plne prlele mulţime plnelor ce u ecuţi de form + b + c + λ λ R Se observă că ceste plne u celşi vector norml n deci sunt efectiv prlele Student Web Cop π b b πλ π #4 Unghiuri în spţiu Vom determin în cele ce urmeă formule de clcul le unghiurilor: dintre două drepte orientte dintre două plne orientte dintre o dreptă orienttă şi un pln orientt 4 CpVI Drept şi plnul în spţiu

28 4 Unghiul dintre două drepte orientte Fie u ) ) două drepte v orientte vând vectorii directori u i + b j + c k v i + b j + c k Se v numi unghiul dintre dreptele orientte u ) ) unghiul α dintre vectorii lor directori u şi v vei figur) v u α v Acest este deci dt de relţi + bb + cc cosα u v + b + c + b + c α [ π] Putem verific temă) următorele crcteriări nlitice le perpendiculrităţii şi prlelismului două drepte: ) + bb + cc b c ) u v b c 4 Unghiul dintre două plne orientte Fie plnele π π vând respectiv ecuţiile + b + c + d + b + c + d orientte implicit de vectorii normli n b c ) n b ) vei figur) n Student Web Cop α c π n Plnele şi π sunt prlele su confundte dcă şi numi dcă vectorii lor normli π sunt coliniri dică n n deci u coeficienţii proporţionli Ele nu sunt confundte dcă ecuţiile lor nu diferă printr-un fctor multiplictiv nenul Prin urmre π şi π sunt prlele dcă eistă un număr rel k R \ {} stfel încât să vem relţiile b c ) k b c ) d kd Plnele π şi π coincid dcă k R \ {} stfel încât b c d ) k b c ) π d Geometrie nlitică 5

29 Dcă plnele π şi π nu sunt prlele su confundte fie drept după cre ceste se intersecteă Un pln π perpendiculr pe tie cele două plne după lturile unui unghi α unghiul diedru l plnelor π şi π Consttăm că putem determin reltiv uşor unghiul θ dintre vectorii n şi n unghiul formt de normlele celor două plne suplementr su egl cu unghiul α) deci obţinem cosα ± cosθ unde < n n > + bb + cc cosθ θ [ π] n n + b + c + b + c în funcţie de sensul vectorilor normli Dcă plnele sunt orientte de vectorii normli n şi n tunci spunem că unghiul θ determint mi sus este unghiul celor două plne orientte În prticulr vem π π < n n > + b b + c c 4 Unghiul dintre o dreptă orienttă şi un pln orientt Considerăm drept orienttă v) şi plnul orientt πn) unde v v v v) n n n n) Prin definiţie unghiul π π n v α formt între drept şi plnul π este θ α unghiul dintre dreptă şi proiecţi ' cestei pe pln În cul π considerăm α ltminteri π drept intersecteă plnul într-un punct conţinut în proiecţi ') Consttăm că putem determin reltiv uşor unghiul θ [ π] dintre vectorii v şi n dintre drept şi norml l plnul π) unghi complementr unghiului α deci obţinem sin α cosθ unde vn + vn + vn cosθ θ [ π] v + v + v n + n + n că: Observţii Se observă că α > dnd unghiul dintre v şi n este scuţit Dcă drept este prlelă cu plnul π su conţinută în pln consttăm π su π < vn > vn+ vn+ vn Student Web Cop Dcă drept este perpendiculră pe plnul π vem: v v v π α θ { π} v n n n n #5 Distnţe în spţiu Vom determin în cele ce urmeă formule de clcul le distnţei: de l un punct l o dreptă su de l un punct l un pln dintre două drepte 6 CpVI Drept şi plnul în spţiu

30 5 Distnţ de l un punct l o dreptă Se du punctul A şi drept de ecuţii crteiene *) b c Ne propunem să determinăm distnţ d A ) de A l punct l dreptă Pentru cest observăm că din ecuţiile dreptei ies în relief vectorul director l cestei AA d A ) v b c) şi un punct l dreptei B ) le v cărui coordonte stisfc sistemul de ecuţii *)) Dcă A coordontele sle stisfc ecuţiile B A' C *)) tunci evident d A ) Dcă A tunci d A ) este mărime înălţimii A A vei figur) prlelogrmului de bă BC determint de segmentele orientte BA şi BC v deci d A ) este rportul dintre ri prlelogrmului şi lungime bei Aplicând formulele de clcul cunoscute reultă formul de clcul distnţei de l punctul A l drept BA v d A; ) v Observţii Formul re loc şi în cul A Are loc relţi d A; ) inf d A M ) deci distnţ d A; ) este ce mi M mică distnţă de l punctul A l punctele dreptei 5 Distnţ de l un punct l un pln Se du punctul A ) şi plnul π de ecuţie + b+ c + d Ne propunem să determinăm distnţ d A π) de l punct l pln A A' d Aπ) AA Student Web Cop π Dcă A π tunci evident d A; π) Dcă A π fie A ) proiecţi punctului A pe plnul π vei figur) obţinut prin intersecţi unicei drepte de vector director v b c) ce conţine punctul A perpendiculr prin A pe pln) cu plnul π Atunci distnţ de l punctul A l plnul π este d A π) A A Prin clcul se obţine temă verificţi): Geometrie Anlitică 7

31 + b + c + d d A; π ) **) + b + c Observţii Formul **) re loc şi în cul A π Distnţ d A; π) este ce mi mică distnţă de l punctul A l punctele plnului π dică re loc relţi d A; π ) inf d A M ) M π 5 Distnţ dintre două drepte Perpendiculr comună două drepte orecre din spţiu Se du două drepte cu vectorii directori respectiv v v \ {} Ne propunem să determinăm distnţ d ) dintre cele două V drepte Dcă dreptele sunt confundte sistemul reunit l ecuţiilor lor este comptibil nedetermint) su concurente sistem unic determint) tunci evident d ) Student Web Cop Dcă dreptele sunt prlele sistem incomptibil cu rngul mtricii coeficienţilor ) tunci legând un punct A de pe prim dreptă plicând 5 putem clcul distnţ d ) d A ) Dcă dreptele sunt orecre sistem incomptibil cu rngul mtricii coeficienţilor egl cu ) su concurente tunci vectorii v v sunt necolineri şi deci n v v este un vector norml l mbele drepte ce determină direcţi normlă comună unică celor două drepte Acest este direcţi perpendiculrei comune celor două drepte unic dreptă ce se sprijină pe mbele drepte şi este ortogonlă pe ceste Ecuţiile perpendiculrei comune ecuţii l următorelor două plne π şi π l intersecţi căror cest se flă: plnul ce conţine un punct l π A primei drepte şi repreentnţi i vectorilor liberi v şi n ; plnul ce conţine un punct A l π sunt furnite de sistemul de două celei de- dou drepte şi repreentnţi i vectorilor liberi v şi n vei figur) v Deci un punct M prţine perpendiculrei comune E dcă şi numi dcă coordontele sle stisfc sistemul de < A M v n > ecuţii < AM v n > Apoi intersectând cu dreptele şi se obţin respectiv punctele B numite piciorele perpendiculrei comune ir distnţ dintre şi este d B ) B π A n v v v A B π 8 CpVI Drept şi plnul în spţiu

32 Observţii Distnţ dintre cele două drepte şi se pote clcul şi direct fără fi necesră determinre în prelbil perpendiculrei comune şi intersecţiei cestei cu cele două drepte Fiând două puncte A A distnţ dintre dreptele şi este distnţ dintre plnele π d ) şi π determinte respectiv de A v v şi A v v Remrcăm că prin construcţie vem π π π π A π h A v Atunci prrlelipipedul ce re drept muchii dicente A A şi repreentnţi de origine A i vectorilor liberi v v prleli cu bele vei figur) re bele conţinute în cele două plne prlele ir înălţime s re lungime d ) d π π ) h V / v Student Web Cop π prlelipiped prlelipiped Folosind formulele de clcul le volumului şi riei obţinem < A A v v > d ) v v B ) B A b Putem determin piciorele B le perpendiculrei comune - şi de ici distnţ dintre cele două drepte d B şi perpendiculr comună dreptă determintă de punctele B B stfel: Folosind ecuţiile vectorile ) le celor două drepte considerăm două puncte rbitrre fite C s) A A şi punctele mobile B C t) OC t) OA + tv t R C s) OC s) OA + sv s R Când prmetrii t şi s prcurg drept relă cele două puncte C t) C s) prcurg respectiv dreptele B Cele două puncte coincid c C t) Geometrie Anlitică 9

33 respectiv cu piciorele perpendiculrei comune dor tunci când vectorul liber determint de segmentul orientt C t) C ) stisfce condiţiile de ortogonlitte pe s cei doi vectori directori vei figur) < C t) C s) v > < C t) C s) v > sistem linir de două ecuţii în necunoscutele t şi s Soluţiile s sunt prmetrii corespunători punctelor căutte şi vem C t ) B C s B Atunci re ecuţi vectorilă d B B ) Are loc relţi deci distnţ d ; ) pe cele două drepte + ) t OM OB tb B t R ir distnţ dintre drepte este d ; ) inf d A ) B A B este ce mi mică distnţă dintre două puncte flte respectiv #6 Probleme propuse Determinţi drept în următorele curi ştiind că: ) trece prin punctele A ) B ) b) conţine punctul C ) şi re vectorul director v k i Determinţi ecuţiile prmetrice le dreptei c) este normlă l plnul π : şi conţine punctul D) d) se flă l intersecţi plnelor π ; π : : R ) Folosim ecuţi dreptei prin puncte dte A A A B A B A B A + b) Folosim ecuţi dreptei ce trece printr-un punct C dt si re direcţi dtă de vectorul director v : C C C : t) v v v Student Web Cop Pentru fl ecuţiile prmetrice eglăm cu t şirul de rporte; obţinem : t + t + ) t R c) Dtorită perpendiculrităţii drept vector director l dreptei putem consider vectorul n norml l plnul π n ) şi folosim ecuţi dreptei ce trece printr-un punct D dt si re direcţi dtă de vectorul director n ; obţinem : 4 CpVI Drept şi plnul în spţiu

34 d) Pentru fl ecuţiile cnonice le dreptei π π reolvăm sistemul t + t + t) t R Etrgând t din fiecre relţie reultă t) Să se determine plnul π în următorele curi ştiind că: ) conţine punctele necolinere A ) B) C) b) conţine punctul D ) şi repreentnţi i vectorilor u k i v j + i c) conţine punctul E) şi re vectorul norml n i j + k d) este perpendiculr pe drept : şi conţine punctul F ) e) conţine drept : şi punctul G ) + R ) Folosim ecuţi plnului prin puncte A B C A A A π : B C B C B C b) Folosim ecuţi plnului ce trece printr-un punct D dt şi conţine repreentnţi două direcţii u v dte π : u u u v D v D v D Student Web Cop + c) Folosim ecuţi plnului ce trece prin punctul dt E) şi re vectorul norml n i j + k n n ) dt n π : n ) + n ) + n ) + E E E d) Plnul conţine punctul F şi re drept vector norml ect vectorul director l dreptei ; ecuţiile dreptei se rescriu : deci / vectorul norml l pln este n / ) Folosind ecuţi unui pln ce conţine un punct F) dt de vector norml dt folosim multiplul n mi comod în clcul) obţinem π : e) Plnul π determint de punctul G şi vectorii w u v şi GH unde u ) v ) sunt vectorii normli i plnelor din sistemul de ecuţii l dreptei ir H este un punct l dreptei spre eemplu H ) Se obţine π : + Vrintă Acel pln din fsciculul : ) + λ + ) π λ Geometrie Anlitică 4

Δείτε περισσότερα