ME.09 Transformate Fourier prin sinus şi cosinus
|
|
|
- Δημόκριτος Δαγκλής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ME.9 Trnsformte Fourier prin sinus şi cosinus Cuvinte cheie Trnsformre Fourier prin cosinus, trnsformre Fourier prin sinus, trnsformt Fourier prin sinus, trnsformt Fourier prin cosinus, formule de inversre, ecuţii integrle ME.9. Definiţii. Proprietăţi. În numite condiţii sunt devrte formulele directă şi formul de inversre pentru Trnsformt Fourier vezi ME.7. şi ME.7.4. Prin combinre celor două formule se obţine integrl Fourier ME.8 cre se pote duce l următorele forme: pentru funcţiile pre f = + cos + fy cos ydy d. respectiv pentru funcţiile impre f = + sin + fy sin ydy d. Fiind dt o funcţie f :, C etensi ei l o funcţie pră, respectiv impră pe, v verific formul, respectiv, deci pentru, funcţi f v verific ceste formule. Integrlele interiore pot fi considerte c trnsformări le funcţiei f, ir formulele şi devin formule de inversre. Fie f L, continuă pe porţiuni. Definiţie Funcţi F c f] = f c = + fy cos ydy 3
2 se numeşte trnsformt Fourier prin cosinus TFC funcţiei f :, C. Funcţi + F s f] = f s = fy sin ydy 4 se numeşte trnsformt Fourier prin sinus TFS funcţiei f. Opertorii F c şi F s se numesc respectiv trnsformre Fourier prin cosinus şi trnsformre Fourier prin sinus. Înlocuind integrlele din şi cu ceste trnsformte obţinem formulele de inversre vlbile pentru, : F c f c ] = f = F s f s ] = f = + + f c cos d 5 f s sin d 6 Legătur cu trnsformre Fourier Fie funcţi f :, C. Considerăm etensi ei l o funcţie pră pe,, f p = f şi f p = f+. Clculăm trnsformt Fourier funţiei f p : + Ff p ] = f p e i d = f p e i d + + f p e i d În prim integrlă efectuăm schimbre de vribilă şi pe, înlocuim f p cu f. Obţinem, cu formulele lui Eule cos = ei +e i, sin = e i e i : Ff p ] = fe i d + fe i d = f e i +e i d = f cos d = F c f]. Considerăm etensi funcţiei f l funcţi impră f i = signf. Procedând în mod nlog, obţinem: Ff i ] = f i e i d = f e i d+ fe i d = fe i d + fe i d = i i f sin d = if s f]. Rezultă: f ei e i i d = F c f] = Ff p], F s f] = i Ff i] 7
3 3 Proprietăţi. Liniritte Pentru f, g L,, α, β C F c αf + βg] = αf c f] + βf c g]; F s αf + βg] = αf s f] + βf s g]. 8 Se obţin din liniritte integrlei: F c αf +βg] = α fcosd + β. Asemănre schimbre sclei timpului F c f] = f c + αf+βg]cosd = gcosd = αf c f] + βf c g] şi nlog pentru F s., F s f] = f s >. 9 Se demonstreză cu schimbre de vribilă t = : F c f] = ftcos t dt = ftcos t dt = f c şi nlog pentru F s. 3. Întârziere Pentru > u loc următorele eglităţi: F c f + f + ] = f c cos ; F s f f + ] = f s sin ; F c sign f + f + ] = f c sin ; F s sign f f + ] = f s cos. fcosd = Pentru demonstrţie se utilizeză etensiile pră, respectiv impră le funcţiei f: f p = f, f i = sign f. Avem, folosind propriette de liniritte şi poi schimbre de vribilă t = +, resspectiv t = : F c f p + + f p ] = f p tcost dt+ dt + f p tcost dt + + f p + cosd + f p tcost dt = f p tcost dt. f p cosd = f p tcost dt f p tcost Cu formulele cosα ± β = cos α cos β sin α sinβ obţnem mi deprte, ţinând sem şi de fptul că f p este pră şi f p t = ft pentru t > :
4 4 f p t cos t cos + sin t sin dt+ f p t cos tdt cos f p t sin tdt sin = f p t sin tdt sin + f p t cos t cos sin t sin dt f p t cos tdt f p t cos tdt cos = f c cos. Am utilizt fptul că f p t şi cos t sunt pre şi sin t impră, deci f p t cos tdt şi f p t sin tdt = f p tsintdt, rezultând reducere cestor integrle. cos f p t cos tdt = Celellte formule se deduc în mod nlog, de eemplu l ultim formulă se plecă de l clculul epresiei F s f i + f i + ]. 4. Deplsre Pentru b > F c ft cos bt] = f c + b + f c b]; F c ft sin bt] = f s + b f c s b]; F s ft cos bt] = f s + b + f s b]; F s ft sin bt] = f c + b f c b]. Clculăm f c + b = f cos + bd = f cos b cos d f sin b sin d = F c f cos b] F s f sin b]. Anlog f c b = F c f cos b] + F s f sin b]. Adunând, respectiv scăzând cele două eglităţi şi împărţind l obţinem primele două formule. Ultimele două se obţin clculând f s + b şi f s b şi procedând l fel. Combinând propriette de semănre 9 cu obţinem pentru, b >
5 5 formulele: F c ft cos bt] = F c ft sin bt] = F s ft cos bt] = F s ft sin bt] = + b f c f s + b f s + b f c + b 5. Derivre în domeniul timp ] + f b c ; ] f b s ; ] + f b s ; f c b ]. Dcă lim f =, lim f = şi f C,, tunci F c f ] = f s f; F s f ] = f c ; F c f ] = fc f ; 3 F s f ] = fs + f. Aceste formule se demonstreză integrând prin prţi. F c f ] = f cos d = f cos + f sin d = f sin d + lim f cos lim f cos = f s f. F s f ] = + f sin d = f sin + f cos d = f c. F c f ] = f cos d = f cos + f sin d = f + f sin d = f + f cos + f cos d = fc f. F s f ] = f sin d = f sin + f cos d = f cos + f sin d = fs + f. Observţie Se demonstreză în mod nlog că în ipotezele f C 3, şi lim f k =, k =,,, 3 sunt devărte eglităţile: F c f IV ] = 4 fc + f f ; F s f IV ] = 4 fs 3 f + f.
6 6 De semene, dcă f şi f sunt continue pe, cu ecepţi unui punct şi slturile în sunt σ = f + f, σ = f + f, tunci sunt devărte eglităţile F c f ] = f s f σ cos ; F s f ] = f c + σ sin ; F c f ] = fc f σ sin σ cos ; F s f ] = fs + f σ cos σ sin 6. Derivre în domeniul frecvenţă Dcă funcţi f este continuă pe porţiuni în, şi n f, n+ f L, tunci n N f c n = F c n n f]; f c n+ = F s n+ n+ f]; f s n = F s n n f]; 4 f s n+ = F c n n+ f]. Demonstrţi se fce prin inducţie. Considerăm prim formulă. Pentru n = derivăm de două ori în rport cu şi vem f c = f sin d = formul este devărtă. O presupunem devărtă pentru n. n+ n pentru n+ vem f c = f c = + f cos d = f cos d = F c n n f] deci În mod nlog, n n f cos d = n+ n+ f cos d = F c n+ n+ f], deci formul este devărtă n N. Celellte trei formule se demonsteză în celşi mod. 7. Integrre în domeniul timp Dcă f L, şi f este continuă pe porţiuni, tunci Dcă în plus F c fd = tunci F s ftdt = f s 5 ftdt = f c 6
7 Pentru demonstrţi formulei 5 notăm g = 7 ftdt, de unde g = f şi plicăm derivre în domeniul timp dou formulă 3: F s g ] = ] F s f] = ĝ c = f s, de unde ĝ c = f s, dică F c ftdt = f s. În mod nlog, fie h = ftdt, deci h = f şi h = ftdt =, de unde cu prim formulă 3 vem F c h ] = F c f] = ] ĥs h = f c = ĥs = f c, dică F s ftdt = f c. Condiţi lim h = impus condiţi fd =. 8. Integrre în domeniul frecvenţă Dcă următorele integrle sunt convergente, tunci F s ] f = f c tdt; F c f ] = f s tdt 7 Considerăm funcţi g = f. Aplicăm opertorul F c şi obţinem F c g] = F c f]. Conform ultimei formule 4 plicte funcţiei g pentru n = vem ĝ s = F c g], deci ĝ s = f c. Integrăm pe intervlul, şi ţinem sem de fptul că lim ĝ c =. Obţinem ĝ stdti = f c tdt = ĝ s t = f c tdt = ĝ s = f c tdt, dică F s f] = f c tdt. În mod nlog se demonstreză dou formulă Produsul de convoluţie Fie f, g L, şi etensiile lor pre, respectiv impre f p = f, f i = signf, g p şi g i. C în ME.7. se defineşte produsul de convoluţie f p g p = f p tg p tdt ir din propriette 8 din ME.7. rezultă Ff p g p ] = Ff p ]Fg p ] Scriem integrl c o sumă de integrle f p g p = f p tg p tdt + f p tg p tdt. În prim integrlă efectuăm schimbre de vribilă t t şi e devine f p tg p + tdt = ftg+tdt, ir dou integrlă este ftg t dt, deci obţinem
8 8 f p g p = ftg + t + g t dt şi se pote răt că f p g p este o funcţie pră. Aplicăm opertorul ] F şi obţinem Ff p ]Fg p ] = F ftg + t + g t dt. Dr conform 7 Ff p ] = F c f] si în generl pentru orice funcţie pră h, Fh] = F c h]. Prin simplificre cu obţinem f c ĝ c = F c ftg + t + g t dt. 8 În mod similr pot fi demonstrte şi eglităţile similre de mi jos. f, g L, tunci u loc următorele eglităţi: Dcă f s ĝ s = F c f s ĝ c = F s ftg + t + sign tg t dt ; f c ĝ s = F s ftg t g + tdt ; 9 gtf t f + tdt. ME.9. Probleme rezolvte Să se determinetrnsformtele Fourier prin cosinus şi sinus le funcţiilor următore:,,, Funcţi puls rectngulr r =,, /, =. sin Rezolvre: F c r ] = r cos d = cos d = sin =. cos F s r ] = r sin d = sin d = cos =.,,. Funcţi rmpă f =,, /, =
9 Rezolvre: Se integreză prin părţi F c f] = sin d = Anlog F c f] = sin + cos = sin + cos sin d = 9 cos d = sin. cos + sin. 3. f = Rezolvre: Se utilizeză integrl improprie I = e it dt = + i. Cu schimbre de vribilă t = se obţine t = /, deci I = e i / cos +i sin d de unde d = + i. Eglăm ] respectiv părţile rele şi imginre şi înlocuim cu. Rezultă F c = ] cos d = şi F s = sin d =. 4. f =, Re >. Să se clculeze F + c f]. Rezolvre: Se procedeză c în ME.7.7, Problem, unde s- obţinut eglitte e F c ] = i d = + + e.. Se în locuieşte e i = cos + i sin şi cos eglând părţile rele se obţine d = + e, de unde F c ] = + cos d = + e deorece,. 5. f = e, Re >. Rezolvre: Clculăm e e i d = e i d = i e i = i deorece e i = e Re cre tinde l când. Amplificăm cu conjugt şi utilizăm e i = cos + i sin. rezultă f c + i f s = e e i d = e cos +i sin d = +i +. Eglăm respectiv părţile rele şi imginre şi obţinem f c =, f + s = f = e. Să se clculeze F c f]. Rezolvre: Se procedeză c în ME.7., Eemplul, unde s- obţinut rezulttul F c e ] = e e i d = 4. Luând prte relă se obţine f c = e cos d = e e cosd = e 4, deci fc =
10 e 4. sin. 7. f = Rezolvre: sin sin F c f] = cos d. Din Problem vem F c r ] = şi ] plicând formul de inversiune 5 rezultă r = Fc sin = sin cos d. /,, sin Schimbând rolurile lui şi se obţine cos d = r =,, /4, =. Se pote răt în mod nlog F s f] = ln +, clculând prin integrre prin părţi F s ln + ] = sin şi plicând formul de inversiune pentru F s. ] 8. Să se clculeze F s şi F 3 + c ]. + 3 Rezolvre: Se observă că derivt funcţiei f = este f =. + + Atunci din 3 F s + ] = F s f ] = f c = e = ] 4 e. Mi deprte, f = 3 şi din nou din 3 se obţine F c = + 3 F c f ] = fc = e = 4 ie. 9. Să se clculeze F c ]. + Rezolvre: Notăm f = şi utilizăm ultim formulă derivre în domeniul frecvenţei: f + ] s = F c f], deci,conform problemei 8, F c = + ] F c = + 4 e = 4 e.. Să se clculeze F c sin Rezolvre: F c sin +b ] = sin +b ] +b cos d =, >, Re b >. sin cos d. Am utilizt fptul +b că integrndul este funcţie pră. Czul I <. Folosim formul sin α cos β = sinα + β + sinα β şi obţinem f c = sin+ sin 4 d + d. +b +b Considerăm conturul Γ din figur de mi jos şi integrl I = ze i+z 4 z + b dz + ze i z z + b dz Γ Γ
11 Funcţiile din integrle u în domeniul mărginit de Γ polul simplu bi şi plicând teorem reziduurilor obţinem cu formul Rez P z Qz, = P Q I = 4 Rez i ze i+z, bi + Rez ze i z, bi bie i+bi z +b z +b = i bi + biei bi bi i e +b +e b = i e b e b +e b = i e b ch b. Rezultă f c = Im I = e b ch b. Czul II >. Se efectueză un clcul similr, plecând de l formul sin cos = sin + sin ]. Se junge l I = ze i+z 4 dz ze i z dz = i e +b e b z +b z +b = Γ Γ i e b e b e b = i e b sh b, deci f c = Im I = e b sh b. ME.9.3 Aplicţii le trnsformărilor Fourier prin cosinus şi sinus Aceste trnsformări pot fi utilizte pentru rezolvre mi multor tipuri de probleme, de l ecuţii diferenţile şi cu derivte prţile, l ecuţii integrle su l procesre semnlelor şi imginilor.. Ecuţii diferenţile Considerăm problem cu condiţii l frontieră formtă din ecuţi diferenţilă cu condiţiile l frontieră y y = f,, y = şi y =, A,, b unde f este pulsul rectngulr f = Ar b =, b,, b, A >. A, = b =
12 Aplicăm opertorul F c şi utilizăm formul de derivre în domeniul timp F c f ] = fc f şi Problem pentru trnsformt pulsului rectngulr. Ecuţi diferenţilă cu condiţiile se trnsformă în ecuţi lgebrică ŷ c ŷ c = A sin b, deci soluţi problemei în domeniul frecvenţă este ŷ c = A + sin b, cre se pote descompune în frcţii simple ŷ c = A sin b sin b +. Din nou din Problem, sin b = F c r b ]. Pentru sin b + determin semnlul din domeniul timp corespunzător funcţiei ĝ c = utilizăm formul de inversre g = sin b cos d. Clculăm integrl + cu Problem, schimbând rolurile vribilelor { şi. A e b ch, < Rezultă soluţi problemei y = A e sh b, >.. Ecuţii integrle Considerăm ecuţii integrle cu funcţi necunoscută y şi nucleul cos, respectiv sin. Ecuţi y cos d = f,, se pote scrie y cos d = f. Comprând cu formul de inversre 5 rezultă că soluţi este y = f c = f cos d. 3 Se presupne că funcţi f re trnsformtă Fourier prin cosinus. În mod nlog, dcă f re trnsformtă Fourier prin sinus, ecuţi y sin d = f,, 4 re soluţi y = f s = f sin d. 5 Eemple,,. y cos d =,,, =. Rezolvre Membrul drept este funcţi puls rectngulr r. Aplicăm 3 şi rezulttul din Problem şi obţinem soluţi y = sin. {,,. y cos d =,,. Rezolvre
13 Cu formul 3, integrând prin părţi, se obţine: y = cos d = sin + sin d = cos = cos. sin 4,, 3. y sin d =,, 4, =. Rezolvre Se plică formul 5 şi formul sin α sin β = cosα β cosα + β] şi se obţine y = sin 4 sin d = cos/4 d +4 /4 sin/4 /4+ sin/ + = 4 sin/4 + cos +4 ME.9.4 Probleme propuse = 4 cos = 6 6 cos. Să se clculeze următorele trnsformte: 3,,. F c f] şi F s f] pentru f =,,, 3/,,. F c f], f = cos/4 +d = sin/ 3. Fc f c ], f c = e, >. 4. F c f], f =. Răspuns: + e. 5. Fc f c ], f c = i. Răspuns: + e F c f], f = e cos 4 +. Răspuns: F s f], f =. Răspuns: + 4 e. 8. F s e 4 ]. Răspuns: e. ] + 9. Fs, Re > Răspuns: e.. Să se rezolve ecuţi integrlă cos,, y cos d = f, f =,, 4, =. Răspuns: sin.. Să se rezolve ecuţi integrlă
14 4,, y sin d = f, f =,, ],,. Răspuns: sin + cos.
15 ME.9.5 Tbele cu trnsformte prin cosinus - sinus f F cf F sf f, > f cosb, {, b} R + f sinb, {, b} R + Fc f + b F c f b + F c f + b F s f b F s f Fs f + b F s f b + F s f + b F c f b F c f n f, n N n F cf n n F sf n n+ f, n N n F sf n+ n+ F cf n+ 6. f =, < <, f =, > sin cos 7. 8., dcă < <,, dcă < <,, dcă >. cos cos sin sin 9., dcă <<,, dcă >. cos t dt t sin t dt t., dcă < <,, dcă >. cos sin cos + sin.. + α α e α, Reα >. e α Eiα + α + e α Ei α ], α >. e α Eiα α e α Ei α ], α >, + Ei = t e t dt, < rg <. e α, α >.
16 6 f F cf F sf 3. ν = e ν ln ν Γν cos ν, ν Γ ν cos ν, < Reν <.? < Reν <. 4. e α α, Reα >. + α + α 5. / e α α +, Reα > + α + α α + α + α 6. ν e α, Reα > Γν + α / cos ν rctg Γν + α /, sin ν rctg, α α Reν >. Reν >. 7. e α, Reα > /4αF /4α α e ; 3 ;, 4α α e F α; γ; z = + + αα +...α + k γγ +...γ + k zk k= 8. sinα, α >, dcă < α,, dcă = α, 4 ln + α α, dcă > α 9.. sin e rctg cosα, α > α, dcă < < α,, dcă > α 4 ln ln α + α ln + α α
Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii
Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur
Integrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Lucian Maticiuc SEMINAR 1 3. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1. Să se arate că. f (x) dx = 0. Rezolvare:
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC. Să se rte că Rezolvre: SEMINAR
Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
CURS I II. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1 Integrabilitate Riemann. Criterii de integrabilitate
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC CURS I II Cpitolul I: Integrl
Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Integrale generalizate (improprii)
Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem
Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
CAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ
CAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ În teori Integrlei definite numită şi Integrl Riemnn, s- urmărit c, l numite funcţii rele de o vriilă relă, dte pe mulţimi din R, după o schemă
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
2 Ecuaţii diferenţiale Ecuaţia diferenţială de ordinul n... 55
Cuprins 1 Integrl definită şi generlizări 3 1.1 Definiţie, proprietăţi, formule de clcul............... 3 1. Integrl curbilinie......................... 17 1.3 Integrl improprie.........................
π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.
Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x)
sin d = 8 2π 2 = 32 π
.. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Tema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.
ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii
Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate. Mircea Olteanu
@ ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvte Mirce Oltenu Cuprins Integrle improprii şi cu prmetri 5. Noţiuni teoretice......................... 5. Integrle improprii.........................3
TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE
TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE 35 TEMA 5: DERIVATE ŞI DIFERENȚIALE Obiective: Deinire principlelor proprietăţi mtemtice le uncţiilor, le itelor de uncţii şi le uncţiilor continue Deinire principlelor
MULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM
Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM IAŞI 27 2 Cuprins 1 Integrle improprii 9 1.1 Introducere............................ 9 1.2 Definiţi integrlei improprii................... 1 1.3
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Tit Tihon CNRV Roman FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE. Caracteristici vizibile observate PUNCTAJ ACORDAT
Tit Tihon CNRV Romn FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE Nr. crt 5 6 7 8 9 0 Nr. crt Nr. crt Crcteristici vizibile observte PUNCTAJ ACORDAT preciere D+ Nu Observţii privind preciere folosire mnulului
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL (material incomplet, în curs de redactare) Paul GEORGESCU
ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL (mteril incomplet, în curs de redctre) Pul GEORGESCU Cuprins PRIMITIVE. Primitive................................... Operţii cu funcţii cre dmit primitive................ 7.3
TITULARIZARE 2002 Varianta 1
TITULARIZARE 2002 Vrint 1 A. Omotetii plne: definiţie, oricre două triunghiuri omotetice sunt semene, mulţime omotetiilor de celşi centru formeză un grup belin izomorf cu grupul multiplictiv l numerelor
CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.
CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte
GHEORGHE PROCOPIUC ANALIZĂ MATEMATICĂ
GHEORGHE PROCOPIUC ANALIZĂ MATEMATICĂ IAŞI, 2002 Cuprins 1 ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR METRICE 6 1.1 Introducere................................... 6 1.1.1 Elemente de teori teori mulţimilor.................
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Cursul 4. Matrice. Rangul unei matrice. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare. Metoda eliminării a lui Gauss
Lector univ dr Cristin Nrte Cursul 4 Mtrice Rngul unei mtrice Rezolvre sistemelor de ecuţii linire Metod eliminării lui Guss Definiţie O mtrice m n este o serie de mn intrări, numite elemente, rnjte în
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA FINALĂ - 22 mai 2010
ETAPA FINALĂ - mi 00 BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A. Pe o dreptă se consideră 00 puncte, cre formeză 009 segmente, fiecre de cm. Pe primul segment, desupr dreptei, construim un pătrt, pe l doile segment,
Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
z a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ALGEBRA
CAPITOLUL. ELEMENTE DE ALGEBRA. Mulţimi Definiţi.. (Cntor) Prin mulţime se înţelege un nsmlu de oiecte ine determinte şi distincte, cre formeză o entitte. Oiectele cre formeză o mulţime se numesc elementele
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Curs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
4. Integrale improprii cu parametru real
4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie
SEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. 1. Probleme. ω2 s s 2, Re s > 0; (4) sin ωt σ(t) ω. (s λ) 2, Re s > Re λ. (6)
SEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. Probleme. Foloind proprieaea de liniariae, ă e demonreze urmăoarele: in σ(, Re > ; ( + penru orice C. co σ( h σ( ch σ(, Re > ; ( +, Re > ; (3, Re > ; (4. Să e arae că penru
4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire
4.7. Sbilie sisemelor liire cu o irre şi o ieşire Se spue că u sisem fizic relizbil ese sbil fţă de o siuţie de echilibru sţior, dcă sub cţiue uei perurbţii eeriore (impuls Dirc) îşi părăseşe sre de echilibru
CURS 11, Analiză matematică, semestrul I,
CURS, Anliză mtemtiă, semestrul I, 4 5 Integrle duble Fie R un domeniu ompt înhis şi mărginit. Să presupunem ă,,..., n este un şir finit de domenii ompte, fără punte interiore omune, stfel înât... n. Vom
METODE ŞI ETAPE NECESARE PENTRU DETERMINAREA
ETOE ŞI ETAPE ECESARE PETRU ETERIAREA UGHIULUI A OUĂ PLAE PROF. IACU ARIA, ŞCOALA ROUL LAEA, ORAVIłA, CARAŞ- SEVERI (). Unghi diedru. Fie α şi β două semiplne vând ceeşi frontieră (muchie)d. Se numeşte
Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
CAPITOLUL 6 FORME LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE. 6.1 Forme liniare
Algebră liniră CAPITOLUL 6 FORME LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE 6 Forme linire Fie V un spţiu vectoril peste un corp K Definiţi 6 Se numeşte formă liniră su funcţionlă liniră o plicţie f : V K cre stisfce
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Ioan ROŞCA CALCUL NUMERIC. Elemente de teoria aproximarii
Ion ROŞCA CALCUL NUMERIC Elemente de teori proximrii P R E F A T A In ultimul timp, u pǎrut nevoi enorme de modele mtemtice tot mi sofisticte şi simulǎri pe clcultor tot mi vste şi complexe. In cest mod,
Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
2 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL
1 2 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL 2.1 Probleme clsice de clcul vriţionl Din punct de vedere istoric, prim problemă de clcul vriţionl este ş numit problemă lui Dido. Legend mitologică spune că Dido, su
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Calcul diferenţial şi integral (notiţe de curs)
Clcul diferenţil şi integrl (notiţe de curs) Şt. Blint E. Kslik, L. Tǎnsie, A. Tomoiogă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mriş Cuprins 0 L ce pote fi util un curs de clcul diferenţil şi integrl pentru un student
Principiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
EcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau
EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
7. INTEGRALA IMPROPRIE. arcsin x. cos xdx
7 INTEGRALA IMPROPRIE 7 Erciţii rzolv Erciţiul 7 Să s sudiz nur urăorlor ingrl irorii şi să s drin vloril csor în cz d convrgnţă: d c sin d 3 / rcsin d cos d d sin d > R Soluţii Funcţi f : - R f s ingrilă
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Ecuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEŢEANĂ 8 mrtie 04 Profil rel, specilizre ştiinţele nturii FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT
CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
ANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n,
ANEXA ANEXĂ MATRICE ŞI DETERMINANŢI Fie K u corp şi m N* = N \ {} Tbloul dreptughiulr A = ude ij K i = m j = m m m se umeşte mtrice de tip (m ) cu elemete di corpul K Mulţime mtricelor cu m liii şi coloe
Geometria triunghiului
Geometri triunghiului 1 I Triunghiul ritrr Fie AB A c h m l β γ B D E A 1 Geometri triunghiului Formule de z pentru triunghiuri Notm prin:,, c lungimile lturilor B, A, respectiv AB; α, β, γ mrimile unghiurilor
Soluţiile problemelor propuse în nr. 2/2010
Soluţiile problemelor propuse în nr. /00 Clsele primre P.96. Mior rnjeză ptru mărgele, două lbe şi două glbene, un lângă lt, pe o ţă. În câte feluri pote rnj Mior mărgelele? (Cls I) Inst. Mri Rcu, Işi
Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Teorema Rezidurilor şi Bucuria Integralelor Reale
Torma Ridurilor şi Bucuria Intgrallor Ral Prntar d Alandru Ngrscu Intgral cu funcţii raţional c dpind d sin t şi cos t u notaţia it, avm: cos t ( + sin t ( i dt d i, iar intgrara s va fac d-a lungul crcului
VII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cp PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METOE GENERALE E CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î cest prgrf vom remiti oţiue de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele geerle de clcul le cestor efiiţi Fie f : I,
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
![REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita](/thumbs/75/72305087.jpg "REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita")
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ -11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 11 Pappas Ath...page 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ
Transformata z (TZ) TZ este echivalenta Transformatei Laplace (TL) in domeniul sistemelor discrete. In domeniul sistemelor continui: Sistem continuu
Prelucrre umeric semlelor Trsformt Trsformt este echivlet Trsformtei Lplce TL i domeiul sistemelor discrete. I domeiul sistemelor cotiui: xt s Sistem cotiuu yt Ys ht; Hs I domeiul sistemelor discrete: