הרצאה 12: מימון ותמחור אופציות מרטינגלים ונוסחת Black-Scholes

Transcript

1 הרצאה : מימון ותמחור אופציות מרטינגלים ונוסחת Black-Scholes המודל הבינומי: נייר ערך מסוים שמחירו היום הוא 00 יכול לעלות או לרדת בכל אחד מהימים הבאים. נתאר זאת על ידי עץ אופציה אירופית יכולה להיות: expiry date הזכות לקנות את המניה במחיר strike price של 00 בזמן אבל אין חובה לקנות) האופציה הזו תיתן לנו בזמן 40 הרווח הוא במקרה השני והשלישי הרווח הוא את האפשרויות :.0 או 5 במקרה א, מחיר עלה ל 40, קונים ב 00 מוכרים ב 40 במקרה הרביעי, המחיר של המניה ירד ל 80 ואם נקנה אותה ב 00 נפסיד 0, אבל במקרה זה לא נפעיל את הזכות כלומר לא נקנה, והרווח יהיה. 0 הערה לשם פשטות נניח: אין מקדמי הוון, הכסף היום שווה לנו כמו מחר, ואין הגבלה על היכולת ללוות כסף, לקנות ולמכור כל כמות שרוצים בלי להשפיע על השוק. במציאות צריך להוסיף גורמי היוון, רבית במתן ובלקיחת הלואה, ומחירי עסקאות. ההנחה שמותר לקנות או למכור כמה שרוצים היא לא נכונה אבל אם אנחנו שחקנים קטנים בשוק גדול ניתן לעשות אותה. אם אז האופציה מגינה עלינו בפני הפסד, ונותנת לנו לפעמים רווח, לכן יש לשלם עבורה מחיר. אם היינו יודעים את ההסתברויות בצמתים היינו יכולים לחשב מחיר לאופציה. לדוגמא: P up t = 0, x = 00) = 0.4, P up t =, x = 0) = 0.3, P up t =, x = 90) = 0.6, אבל איננו יודעים את ההסתברויות. E gai ) = ) ) ) = 6. ניתן בכל זאת לקבוע מחיר יחיד עבור האופציה. יתר על כן, ניתן לקבוע את המחיר של האופציה בכל רגע לפי המחיר של המניה באותו רגע. נתחיל בזמן עם מחיר של. 90 כמה שווה עכשיו האופציה?

2 א ב לימודי מוסמך בלוגיסטיקה C- C-0 ואם תהיה ירידה נרויח C אז במידה ויש עליה, הרווח שלנו יהיה אם נשלם עבורה לעומת זאת, אם במקום לקנות את האופציה היינו פשוט קונים את המניה היום. היינו מרויחים 30 או מפסידים. 0 קניה של המניה מכניסה סיכון, יכולים להרויח או להפסיד. האופציה מגינה בפני הפסד, אבל יש לשלם y של אופציות x,y) חיוביים או שליליים), וננסה x של מניות וכמות נניח שננסה לקנות כמות עבורה. נסיים באותו מקום בין אם יש עליה או אם יש ירידה. לקבוע את הכמויות כך שלא יהיו לנו הפתעות: 30 x + 0 C) y = 0 x Cy, y = x, gai = 0 + C) x מקבלים משואה: 5<C אז קניה של הרבה מניות ומכירה של הרבה אופציות תיתן זה מראה לנו כמה שווה האופציה: אם לכן 5>C אז מכירה של הרבה מניות וקניה של הרבה אופציות תיתן רווח בלי סיכון. אם רווח בלי סיכון. 5. מחיר גבוה יותר כדאי למכור את האופציה, מחיר נמוך יותר המחיר האמיתי של האופציה הוא בדיוק 5=C ). כדאי לקנות השוק יאזן את זה ל arbitrage יצירה של רווח ללא סיכון נקראת כאשר חישבנו את מחיר האופציה בנינו אותו כך שהוא לא יאפשר.arbitrage נעבור עכשיו לתיאוריה הכללית ולמשפט אלטרנטיבה. נניח כי יש לנו ברירה לקניה של ניירות ערך או מניות,,, נניח כי העתיד מאפשר תוצאות אקראיות שהן,,, a i, j j i בהתאם לתוצאות האקראית משתנה המחיר של הניירות השונים, המחיר של נייר בתוצאה הוא משפט: בדיוק אחד משנים מתקיים: i יש מדיניות השקעות הקונה כמות x i מנייר כך שקיים ai, j p j = 0, for all i xiai, k שעבורו > 0 k וקיים xiai, j 0, for all j קיים וקטור הסתברויות חיובי, > 0 j p כך ש המשמעות: א) אומר שיש הזדמנות ל. arbitrage ב) אומר שקיים וקטור הסתברויות שנותן הסתברות >0 עבור כל תוצאה אפשרית, שתחתיו ההימור על כל אחת מהמניות הוא הימור הוגן., M0, M,, M הוא מרטינגל artigale אם לכולם יש נגדיר יצור סטוכסטי חדש: הגדרה: תהליך סטוכסטי בזמן בדיד, E M+ M =,, M =, M0 = 0 תוחלות סופיות, וקיים: = )

3 מהמר שמשחק סדרה של משחקים הוגנים בזה אחר זה נמצא בכל שלב עם הון נוכחי של, M ולאחר ההימור הבא יהיה לו הון חדש +, M והיות והמשחק הוא הוגן, התוחלת של ההון החדש שווה להון הנוכחי שלו, וזה ממשיך בכל השלבים. ניסוח אקוויוולנטי של המשפט: משפט: בדיוק אחד משנים מתקיים: או שיש אפשרות ל arbitrage או שקיימות הסתברויות שעושות את ההימור על כל מניה ל. artigale תמחור של האופציה שיטה א: בהנחה שאין arbitrage נחפש את ההסתברויות שעושות את כל ההימורים למרטינגלים, ואז נחשב את הרווח מהאופציה תחת הסתברויות אלה, וכך נקבל את המחיר של האופציה. נבצע זאת על הדוגמא: כאן מקבלים שהסתברויות שנותנות שכל ההימורים הם הוגנים, ולכן כל הימור הוא מרטינגל, הן: P up t = 0, x = 00) =, P up t =, x = 0) =, P up t =, x = 90) =, להסתברויות האלה קוראים הסתברויות מנטרלות סיכון probabilities risk eutral תחת הסתברויות אלה הרווח שתיתן לנו האופציה הוא: קבלנו: 4 E gai ) = ) 40 + ) 5 + ) = מחיר האופציה הוא 0=C 3

4 א ב לימודי מוסמך בלוגיסטיקה שיטה ב: מכינים תיק השקעות שבו שמים קצת כסף בצד, ושבו קונים לפני כל נקודת הימור כמות של מניות ומוכרים מיד בשלב הבא, ובצורה זו מנסים לבנות את התיק כך שישחזר בדיוק את הרווחים של האופציה. הכסף ששמנו בצד הא מחיר האופציה אחרת יצרנו ): arbitrage יהי z 0 הכסף ששמנו בצד. הערך שלו הוא תמיד ל. z z יהי יהי יהי ההשקעה בזמן 0 כשהמחיר הוא, 00 ההשקעה בזמן כשהמחיר הוא, 0 z 3 ההשקעה בזמן כשהמחיר הוא. 90 z 0 המשואות הן: ופתרונן הוא: למה המחיר הוא z0 + 0z + 0z = 40 z0 + 0z 5z = 5 z0 0z + 30z3 = 0 z0 0z 0z3 = 0 z3 = 0.5, z =, z = 0.5, z0 = 0? C = z 0 = 0 כי במקום לקנות את האופציה, שמנו בצד, וקנינו ומכרנו מניות בצורה כזו שהרווח הסופי שלנו היה בדיוק כאילו שקנינו את האופציה. לו מישהו היה מוכן לשלם יותר מ 0 עבור האופציה, היינו מוכרים לו ומבצעים את ההשקעות לקיזוז של הסיכונים כך שבסוף היינו יכולים לשלם לו את הרווח של האופציה ולשמור את המחיר שהוא שילם וזה.arbitrage להיפך: אם היו מוכרים לנו את האופציה בפחות, היינו קונים אופציות ומוכרים מניות כך שהיינו נשארים עם רווח. נוסחת : Black-Scholes מה שעשינו הוא לתמחר אופציה כאשר יש מספר סופי של תוצאות אפשריות, או ליתר דיוק כאשר הזמן בדיד, ובכל יחידת זמן יש שינוי מחיר שהוא או עליה או ירידה, לערכים קבועים וידועים, וזה קורה באקראי, בלי שנדע מהן ההסתברויות. Black-Scholes מטפלים במודל הסתברותי אחר. הם מניחים כי מחיר המניה משתנה באופן אקראי בזמן רציף והתהליך של מחיר המניה הוא: t B t)) X t) = X 0) e µ + σ שלילית) שאותו איננו יודעים, כאשר µ הוא קצב הגידול yield growth rate B t) והתהליך, Volatility מעין רבית חיובית או σ הוא פרמטר שמודד את מידת הסיכון שיש בתהליך והוא נקרא הוולטיליות הוא החלק האקראי של, X t) תנועת בראון סטנדרטית הוא תהליך סטוכסטי חשוב בעל התכונות הבאות: B 0) = 0 והוא תנועת בראון סטנדרטית. B t) B s), יש לו מקטעים בלתי תלויים כמו לתהליך פואסון) t > s לא תלוי ב. B w), w s 4

5 ג ד לימודי מוסמך בלוגיסטיקה B t) N0, t) לתהליך יש מסלולים רציפים. זהו תהליך עם זמן רציף ועם מסלולים רציפים שהוא גם תהליך מרקובי, גם תהליך גאוסי, וגם תהליך עם מקטעים בלתי תלויים. יתר על כן והכי חשוב: בראון. איינשטיין. יש לו הרבה מאוד תכונות מעניינות, וניתן לחשב עבורו הרבה מאוד 'מדדי ביצוע'. הרבה תהליכים בטבע, בפיסיקה, בביולוגיה, ובכלכלה, מתנהגים בקירוב כתנועת התאוריה המתימטית של תנועת בראון פותחה על ידי לוי ועל ידי וינר, התאוריה הפיסיקלית על ידי מתאימה לתאוריה כלכלית, ולנתונים אמפיריים. ניתן לאמוד לאחר t B t)) ההנחה ש X t) = X 0) e µ + σ מעשה את הגדלים µ ו σ. r rt r) t B t)) מסתכלים בערך המהוון של המניה: e X t) = X 0) e µ + σ כאשר Black-Scholes הוא הרבית במשק. הם מניחים כי r, σ המחיר של אופציה אירופית הנותנת לנו זכות לקנות את המניה במחיר K ידועים וקבועים לאורך הזמן שבו הם מטפלים. הם מחשבים את. t בזמן האופציה הזאת תיתן. rt + לנו את הרווח K) e X t) rt r) t B t)) e X t) = X 0) e µ + σ החישוב הוא כזה: מסתבר שיש ערך של µ שתחתיו התהליך הוא rt e X t) = X 0) e σ t σ B t) ) σ מרטינגל, והערך הוא r. µ = המרטינגל הוא איפוא: rt + ועבורו צריך לחשב את K). e X t) הנוסחא: המחיר שמתקבל הוא פונקציה של הגדלים הבאים: X 0, K, r, σ, t והוא : rt Europea Optio pricetie t, strike K) = X0Φ σ t α) e KΦ α ) µ t log K / X0e ) σ α =, µ = r, Φ is the Gaussia distributio t הנוסחא נראית מכוערת אבל ניתן להסביר ולהבין כל חלק ממנה. σ האם המחיר של אופציה נקבע באופן יחיד? בשתי הדוגמאות שנתנו, תמחור בינומי, ותמחור של Black-Scholes הנחנו שאנחנו יודעים בדיוק את כל התוצאות האפשריות, פרט לפרמטר יחיד הסתברות עליה וירידה במקרה הבינומי, drift של המודל הגאוסי הכפלי במקרה של.Black-Scholes קבלנו שיש מרטינגל יחיד המתאים לתהליך, וממנו ניתן לחשב את המחיר של האופציה בצורה יחידה. במציאות איננו יודעים את כל האפשרויות ואין לנו מודל שהוא ידוע פרט לפרמטר יחיד. נתאר עכשיו דרך לקבל חסמים כאשר אין לנו ידע כל כך מוחלט. זהו שימוש יפה בתכנות לינארי ומשפט הדואליות. 5

6 . p = s0 חישוב חסמים למחיר של אופציה בעזרת תכנות לינארי. אנו רוצים לחשב מחיר של אופציה חדשה, עבור נייר ערך שכיום מחירו הוא לנו מימוש בסוף תקופה, כאשר מחיר נייר הערך יהיה אקראי, ונסמן את הערך שנממש אז ב האופציה תאפשר g S) S אנחנו רוצים לקבוע את p שהוא המחיר הנכון עבור האופציה היום. נעשה זאת תוך השואה עם החזקת מזומן אופציה מספר 0, מחיר נוכחי, מחיר בעתיד ), החזקה של הנייר עצמו אופציה, מחיר נוכחי או החזקה של אופציות אחרות, שנמספר אותן,,,3 שמחיריהן הנוכחיים. h S), h3 S3),, h S) מחיר בעתיד S, p = s0 הם,,p,p3, p והמימוש שלהן בסוף התקופה ייתן לנו במקום לרכוש את האופציה החדשה יכולנו היום לרכוש תיק portfolio של מזומן, הנייר עצמו, ואופציות x0, x, x,, x x0 + xs 0 + x j p j x0 + xs + x jh j S) קיימות, בכמויות מחיר התיק היום: ומימושו בסוף התקופה הוא: נניח שהאופציה שלנו מבצעת לא פחות טוב מאשר תיק נתון, עבור כל עתיד אפשרי. כלומר x0 + xs + x jh j S) g S) for all S אז, בהיעדר ארביטראז' arbitrage) o התיק: המחיר של האופציה הזו היום הוא ודאי לא נמוך מהמחיר של x0 + xs 0 + x j p j p x0 + xs 0 + x j p j > p אחרת, אם בטוח, ללא סיכון. לכן חסם תחתון עבור היינו קונים הרבה אופציות ומוכרים הרבה תיקים, ומרויחים על ax מתקבל מהתכנית הלינארית הבאה: x0 + xs 0 + x j p j s. t. x0 + xs + x jhj S) g S) for all S p 6

7 כאן יש אינסוף אילוצים עבור כל העתידים האפשריים, ובדרך כלל איננו יודעים את כל העתידים האפשריים. ונקבל: אבל נניח שיש לנו רשימה של תוצאות אפשריות למחיר הנייר בעתיד, ax pl = x0 + xs 0 + x j p j s. t. x0 + xs i) + x jh j s i)) g s i)) for i =,,, באותו אופן מקבלים חסם עליון: i pu = x0 + xs 0 + x j p j s. t. x0 + xs i) + x jh j s i)) g s i)) for i =,,, הבעיה הדואליות לבעית החסם התחתון: i g s i)) yi s. t. : yi s i) yi = = s0 h j s i)) yi = p j for j =,,, yi 0, i =,, הבעיה הדואלית לבעית החסם העליון היא ax g s i)) yi תחת אותם האילוצים. מה רואים מכאן? = 0 x0 = x = = x הוא פתרון אפשרי. אם הן הבעיות של חסם עליון ותחתון הן תמיד אפשריות: וגם לדואליות והחסם התחתון קטו או שווה לעליון. אם חסומות, יש פתרון אופטימלי לבעיות הפרימליות בעית החסם התחתון אינה חסומה, אז כל מחיר שיהי לאופציה הוא נמוך מדי ויש הזדמנות להתעשר מקנייתה, ואם בעית החסם העליון אינה חסומה פתרון מינוס אינסוף) אז כל מחיר הוא גבוה מדי ויש הזדמנות להתעשר ממכירתה. הם וקטור הסתברויות, שתחתיו,y,y, y בפתרון זה, אם אין ארביטראז' אז יש פתרון לדואלית, הנייר המקורי וכל האופציות נותנות רווח של 0 כלומר אלה הן הסתברויות מנטרלות סיכון eutral risk 7

8 . probabilities במילים אחרות, הפתרון של הדואלית נותן לנו הסתברויות שעושות את כל ההימורים שלנו, על הנייר המקורי ועל האופציות הקיימות, למרטינגלים. מחיר האופציה החדשה הוא התוחלת לפי המרטינגל. במקרה שהפתרון לא יחיד והחסם העליון והתחתון אינם זהים יש כמה מרטי נגלים ותחום של ערכים המחיר של האופציה אינו נקבע חש ערכית, ויש טווח של מחירים הוגנים. ההוכחה של משפט האלטרנטיבה היא דומה לפיתוח שעשינו כאן וניתן לראות אותה כנובעת ממשפט הדואליות של תכנות לינארי. מה הלאה: היום קיים מקצוע שנקרא Quat שדורש בדרך כלל רמת הכשרה של PhD וה Quat עוסקים בתמחור של כל מיני מכשירים פיננסיים. בין השאר: אופציה אמריקאית: ניתן לממש אותה בכל זמן מ 0 עד. t וולטיליות וריבית במשק שמשתנים עם הזמן. צרוף של תנאים וזכויות עם הגבלות ואפשרויות שונות. exotic optios כך מתנהלים היום שוקי ההון ושוקי ההשקעות. מקורות הרצאה זו הוכנה על פי הפרקים המתאימים בספר Rick Durrett Essetials of stochastic processes ספרים ברמה דומה שמציגים את הנושא: Steve Shreve Sotchastic calculus for fiace, volue I: The bioial asset pricig odel Sheldo Ross A eleetary itroductio to atheatical fiace: optios ad other topics הספרות המקצועית בנושא היא בדרך כלל ברמה מתקדמת מאוד ולא תוכל לשמש אותכם. את הקשר המעניין עם אופטימיזציה ועם משפט הדואליות של תכנות לינארי ניתן למצוא בספר המצוין: Bob Vaderbei Liear prograig, foudatios ad extesios, third editio 8