Forecasting Εισαγωγή στην Πρόγνωση

Transcript

1 Forecasting Εισαγωγή στην Πρόγνωση

2 Πρόγνωση Ορισμός Αντί προλόγου Εφαρμογές Εφοδιαστική Ορισμός: [<μτγν. πρόγνωσις < προγιγνώσκω] (η) ουσ. (Κ πρόγνωσις, -εως) προαίσθηση πρόνοια ή έγκαιρη φροντίδα για το μέλλον (Μείζον Ελληνικό Λεξικό) εκτίμηση πραγματικής τιμής ή κατάστασης, αναφερόμενη σε μελλοντική χρονική περίοδο (J. Scott Armstrong, Principles of Forecasting: A Handbook for Researchers and Practitioners, 2001) δήλωση ότι ένα συγκεκριμένο γεγονός θα συμβεί στο μέλλον (wikipedia)

3 Αντί προλόγου Ορισμός Αντί προλόγου Εφαρμογές Εφοδιαστική Η πρόγνωση είναι δύσκολη, ιδίως όταν αναφέρεται στο μέλλον (Mark Twain/ Nils Bohr) Ηπροσπάθειαναπροβλέψειςτομέλλον μελετώντας μόνο το παρελθόν μοιάζει με την προσπάθεια να οδηγήσεις κοιτώντας μόνο από τον καθρέπτη (Γεώργιος Κοσμετάτος) Πρόγνωση καλείται η τέχνη του να λες τι θα συμβεί και στη συνέχεια να εξηγείς γιατί δε συνέβη (Ανώνυμος) {ισχύει & το αντίστροφο} Συχνά λέγεται ότι υπάρχουν δύο κατηγορίες προγνώσεων: οι τυχερές και οι λανθασμένες (Control magazine, Institute of Operations Management)

4 Αντί προλόγου Ορισμός Αντί προλόγου Εφαρμογές Εφοδιαστική Οι προγνώσεις είναι πάντοτε λανθασμένες (Ανώνυμος) Ποτέ δεν σκέπτομαι το μέλλον, πλησιάζει αρκετά γρήγορα (Albert Einstein) Το παρόν κυοφορεί το μέλλον (Voltaire) Είναιπολύκαλύτεροτοναπροβλέπει κανείς χωρίς βεβαιότητα από το να μην προβλέπει καθόλου (Henri Poincare, The Foundations of Science)

5 Εφαρμογές Ορισμός Αντί προλόγου Εφαρμογές Εφοδιαστική Click to add text

6 Πρόγνωση στην Εφοδιαστική Ορισμός Αντί προλόγου Εφαρμογές Εφοδιαστική Κόστος Α υλών Ημι-έτοιμων προϊόντων Αμοιβών & γενικών εξόδων Ζήτηση/ Πωλήσεις Ανά περιοχή Ανά προϊόν/ κατηγορία προϊόντος/ μερίδιο Ανά χονδρέμπορο/ λιανικό πωλητή Συμπεριφορά ανταγωνισμού/ πελατών Τιμή Στο εξής θα γίνεται αναφορά, χωρίς βλάβη της γενικότητας, σε πρόγνωση ζήτησης. Οι μέθοδοι και τα συμπεράσματα, ωστόσο, είναι εφαρμόσιμα σε οποιοδήποτε πρόβλημα πρόγνωσης.

7 Κατηγορίες Μεθόδων Πρόγνωσης Κρίσεως Χρονοσειρών (Time Series) Αιτιοκρατικές Μέθοδοι Πρόγνωσης Κρίσεως (Judgmental) Αιτιοκρατικές (Causal)

8 Μέθοδοι Κρίσεως (Judgmental) Κρίσεως Αιτιοκρατικές Βασίζονται σε προσωπικές εκτιμήσεις Αυτές συχνά συνδυάζονται με χρήση τυποποιημένων μεθοδολογιών Εύκολα κατανοητές & ευρύτατα χρησιμοποιούμενες Εκτίμηση ειδικού Ερωτηματολόγια/ Έρευνα αγοράς Focus groups Μέθοδος Δελφών (Delphi) Προγνωστικές Αγορές (Prediction markets)

9 Αιτιοκρατικές (Causal) Μέθοδοι Κρίσεως Αιτιοκρατικές Αναγνώριση παρελθοντικών συσχετίσεων στα δεδομένα και χρήση τους για πρόβλεψη Υπόθεση εργασίας: οι συσχετίσεις αυτές συνεχίζουν να ισχύουν και στο μέλλον Συνήθως προκύπτει Απλή εξίσωση Μοντέλο συστήματος Τέτοιου είδους συσχετίσεις πραγματεύεται η Οικονομετρία (Econometrics). Ζήτηση Τιμή

10 Λίγες διαφάνειες περί Οικονομετρίας Συσχέτιση Συνδιακύμανση Παλινδρόμηση R2 Σύνοψη Ζήτηση Τιμή

11 Συνδιακύμανση (Covariance) Συσχέτιση Συνδιακύμανση Παλινδρόμηση R2 Σύνοψη Ερώτημα: Έχουν οι δύο μεταβλητές συσχέτιση; σ XY, = E X μx Y μy ( )( ) Αν σ>0, τότε μεγαλύτερες του μέσου τιμές του Χ συσχετίζονται με μεγαλύτερες του μέσου τιμές του Υ και αντίστροφα Αν σ=0, τότε οι δύο μεταβλητές δεν είναι γραμμικά συσχετιζόμενες Αν σ<0, τότε μεγαλύτερες του μέσου τιμές του Χ συσχετίζονται με μικρότερες του μέσου τιμές του Υ και αντίστροφα n ˆ t= 1 σ XY, = ( X )( ) t X Yt Y n 1

12 Συντελεστής συσχέτισης (Correlation coefficient) Συσχέτιση Συνδιακύμανση Παλινδρόμηση R2 Σύνοψη Ερώτημα: Πόσο ισχυρή είναι η συσχέτιση μεταξύ δύο μεταβλητών; ρ XY, = σ XY, σ σ X Y, οπου 2 2 σ =+ E X μ & σ =+ E Y μ ( ) ( ) X X Y Y Εμπεριέχει όλα τα χαρακτηριστικά της συνδιακύμανσης Επιπρόσθετα, ο συντελεστής ανήκει στο [-1,1] Όσο πιο κοντά είναι η τιμή του συντελεστή στη μονάδα, τόσο ισχυρότερη είναι η (θετική ή αρνητική) συσχέτιση των μεταβλητών

13 Υπολογισμός συντελεστή συσχέτισης Συσχέτιση Συνδιακύμανση Παλινδρόμηση R2 Σύνοψη Εκτιμητής του συντελεστή με βάση τα διαθέσιμα δεδομένα: XY, ˆ XY, =, ˆ σ ˆ XσY ρ ˆ σ X Τελικά: ˆ ρ ˆ σ οπου ( Xt X) ( Yt Y) 2 2 =+ & ˆ σy =+ n 1 n 1 XY, = XY i i Προσοχή: Ο συντελεστής δεν αποδεικνύει την ύπαρξη συσχέτισης, απλά αποτελεί ένδειξη αυτής i i nxy X nx Y ny

14 Μοντέλο Παλινδρόμησης (Regression) 2 μεταβλητών Συσχέτιση Συνδιακύμανση Παλινδρόμηση R2 Σύνοψη Έστω ότι έχουμε ανιχνεύσει μία γραμμική συσχέτιση. Τότε, κατασκευάζουμε το μοντέλο: όπου Y = α + bx + u, t = 1,..., n t t t u = Y Yˆ t t t η παράμετρος θορύβου (τυχαία μεταβλητή) με χαρακτηριστικά Για Y Yˆ = min προκύπτουν ( X X)( Y Y) ( X ) 2 t X ˆ t t b = ( ) μ σ ( ) E u = = 0 & u, u = 0 t s t u t s ( ) 2 t t & â= Y bx ˆ

15 Συντελεστής R 2 Συσχέτιση Συνδιακύμανση Παλινδρόμηση R2 Σύνοψη Ερώτημα: Πόσο αξιόπιστο είναι το μοντέλο που δημιουργήθηκε; ( Yt Y) TSS = ( Yˆ ) t Y RSS = Ισχύουν: TSS=RSS+ESS, RSS 0 & ESS 0 Συντελεστής R 2 : ˆ 2 2 : Total Sum of Squares : Regression (explained) Sum of Squares 2 ESS = ut : Error (unexplained) Sum of Squares 2 RSS ESS R = = 1 TSS TSS Εκφράζει το ποσοστό της διακύμανσης του Y t που επεξηγεί το μοντέλο παλινδρόμησης R = ρ 2 ˆY 2, Y ˆ Επίσης ισχύει (φυσική ερμηνεία;)

16 Τελικά Συσχέτιση Συνδιακύμανση Παλινδρόμηση R2 Σύνοψη Ζήτηση Τιμή

17 Σύνοψη περί Οικονομετρίας Συσχέτιση Συνδιακύμανση Παλινδρόμηση R2 Σύνοψη 1. Υπολογισμός συνδιακύμανσης μεταβλητών (COVAR) 2. Υπολογισμός συντελεστή συσχέτισης μεταβλητών (CORREL) 3. Επιλογή μοντέλου (το γραμμικό μοντέλο δύο μεταβλητών είναι το πλέον απλό) 4. Υπολογισμός συντελεστή R 2 (RSQ, PEARSON) Αν οι τιμές των συντελεστών είναι ικανοποιητικές, τότε: 5. Χρήση μοντέλου, με γνωστές τις τιμές των μεταβλητών εισόδου, για την πρόβλεψη της μεταβλητής εξόδου Για παράδειγμα, για δεδομένη τιμή προκύπτει πρόγνωση ζήτησης *:Συναρτήσεις Excel

18 Εισαγωγή στην Ανάλυση Χρονοσειρών Παράδειγμα Συνιστώσες Αποσύνθεση Εξομάλυνση Εκθετική Holt Holt-Winters Σφάλματα Μέτρα Ορισμός χρονοσειράς Ως χρονοσειρά καλείται μία ακολουθία παρατηρήσεων μίας μεταβλητής σε σταθερά χρονικά διαστήματα { t n} &{ X } x,...,,..., 1 x x οπου t = 1,..., n t το μοντέλο της χρονοσειράς Κατά την ανάλυση χρονοσειρών δεν επιχειρείται αναζήτηση εκτιμήσεων ούτε επιχειρείται αναζήτηση σχέσεων αιτίου και αιτιατού, αλλά επιχειρείται η αναζήτηση επαναλαμβανόμενων μοτίβων (patterns) στην ίδια τη χρονοσειρά και θεωρείταιπωςταμοντέλααυτάθασυνεχίσουν να ισχύουν και στο μέλλον

19 Παράδειγμα Παράδειγμα Συνιστώσες Αποσύνθεση Εξομάλυνση Εκθετική Holt Holt-Winters Σφάλματα Μέτρα Ζήτηση Παρόν Χρόνος

20 Συνιστώσες χρονοσειράς Παράδειγμα Συνιστώσες Αποσύνθεση Εξομάλυνση Τάση (Trend) Γραμμική ή μη-γραμμική Κύκλος (Cycle) Περιοδική διακύμανση, για παράδειγμα κύκλος οικονομίας Υποσύνολο: Εποχικότητα (Seasonality) Διακύμανση με περίοδο έτους/ εποχής/ μήνα/ εβδομάδας Μοτίβο (pattern) Εκθετική Holt Holt-Winters Σφάλματα Μέτρα Τυχαιότητα (Randomness) Μη περιγράψιμη από κάποια από τις παραπάνω συνιστώσες Ευκταία είναι η ιδιότητα στασιμότητας (stationarity) του παράγοντα αυτού Θόρυβος (Noise)

21 Μοντέλο Αποσύνθεσης Χρονοσειράς Παράδειγμα Συνιστώσες Αποσύνθεση Εξομάλυνση Εκθετική Holt Holt-Winters Σφάλματα Μέτρα όπου T t : συνιστώσα τάσης C t : συνιστώσα κύκλου/ εποχικότητας R t : συνιστώσα τυχαιότητας Ισχύουν: X = T + C + R, t = 1,..., n E R = c t t t t ( ) 0 t t+ d= d j= 1 c j = c 0 t

22 Παράδειγμα Αποσύνθεσης Παράδειγμα Συνιστώσες Αποσύνθεση Εξομάλυνση Εκθετική Holt Holt-Winters Σφάλματα Μέτρα

23 Επί του προκειμένου; Παράδειγμα Συνιστώσες Αποσύνθεση Εξομάλυνση Εκθετική Holt Holt-Winters Σφάλματα Μέτρα

24 Τεχνικές Εξομάλυνσης (Smoothing) Παράδειγμα Συνιστώσες Αποσύνθεση Εξομάλυνση Εκθετική Holt Holt-Winters Σφάλματα Μέτρα H διακύμανση του θορύβου είναι χρονικά σταθερή, οπότε μπορεί να εξομαλυνθεί μέσω της άθροισης παρατηρήσεων Κινητός Μέσος Όρος (Moving Average) ( ) N xt + xt + xt N MAN X t = xt n = N N n= 1 Μεγάλο Ν Σταθερότητα Μικρό Ν Ευαισθησία Ιδανική για απουσία μοτίβου

25 Περαιτέρω Εξομάλυνση Παράδειγμα Συνιστώσες Αποσύνθεση Εξομάλυνση Εκθετική Holt Holt-Winters Σφάλματα Μέτρα Σταθμισμένος Μέσος Όρος (Weighted Moving Average) n= 1 ( ) 1 1 WMA X = w x = w x w x N N t t n t n t t t N t N n= 1 & w = 1 t n Για παράδειγμα, για Ν=3 N WMA ( X ) = x + x + x t t 1 t 2 t 3 (η επιλογή των βαρών είναι αυθαίρετη, αλλά ιδιαίτερης σημασίας)

26 Απλή Εκθετική Εξομάλυνση Παράδειγμα Συνιστώσες Αποσύνθεση Εξομάλυνση Εκθετική Holt Holt-Winters Σφάλματα Μέτρα Μοντέλο: X = ax + (1 a) X = t t 1 t 1 = ax + a(1 a) x + a(1 a) x 2 t 1 t 2 t 3 όπου α ησταθεράεξομάλυνσης,. Μικρό α Σταθερότητα Μεγάλο α Ευαισθησία 0< a < 1 Αντιστοιχεί κατά προσέγγιση σε κινητό μέσο όρο Ν στοιχείων, όπου α=2/(n+1)

27 Εκθετική Εξομάλυνση με Γραμμική Τάση Παράδειγμα Συνιστώσες Αποσύνθεση Εξομάλυνση Εκθετική Holt Holt-Winters Σφάλματα Μέτρα Μοντέλο Holt L = ax + 1 a X + T ( )( ) t t t 1 t 1 T = γ L L + 1 γ T ( ) ( ) t t t 1 t 1 Tελικα : X = L + mt t+ m t t όπου α,γ σταθερές εξομάλυνσης, L σταθερός παράγοντας (level) & T τάση (trend) Το μοντέλο υπολογίζεται επαναληπτικά: t t t+ m t+ 1 t+ 1 t+ m+ 1 Αρχική τιμή: διάφοροι τρόποι, πχ 0 < a, γ < 1 L, T, X, L, T, X,... T = x x 1 2 1

28 Εκθετική Εξομάλυνση με Εποχικότητα & Τάση Παράδειγμα Συνιστώσες Αποσύνθεση Εξομάλυνση Εκθετική Holt Holt-Winters Σφάλματα Μέτρα Μοντέλο Holt-Winters ( ) ( 1 ) t Lt = a Lt 1+ Tt 1 + a S t s ( ) ( 1 β) T = β L L + T S t t t 1 t 1 t t s ( 1 γ) = γs + x t L t ( ) Tελικα X = L + kt S για k = 1,2,..., s t+ k t n t+ k s όπου α,β,γ σταθερές εξομάλυνσης, L σταθερός παράγοντας (level), T τάση (trend) & S παράγοντας εποχικότητας (seasonality) με περίοδο s x 0 < a, β, γ < 1

29 Συνοψίζοντας (επί της μοντελοποίησης ) Παράδειγμα Συνιστώσες Αποσύνθεση Εξομάλυνση Εκθετική Holt Holt-Winters Σφάλματα Μέτρα Πληθώρα μοντέλων διαθέσιμη Άλλες κατηγορίες: ARIMA (Box-Jenkins) GARCH Αρκετά περισσότερο πολύπλοκες Επομένως: Πώς αποτιμάται η καταλληλότητα ενός μοντέλου; Πώς μπορεί να υποβοηθηθεί κανείς κατά τη διαδικασία επιλογής του;

30 Μέτρα Σφάλματος Παράδειγμα Συνιστώσες Αποσύνθεση Εξομάλυνση Εκθετική Holt Holt-Winters Σφάλματα Μέτρα Σφάλμα Πρόγνωσης (forecast error) et = Xt xt Μέση Απόκλιση (Mean Deviation, MD) Εκφράζει την προκατάληψη (bias) του μοντέλου MD 1 n et n t = 1 = Μέση Απόλυτη Απόκλιση (Mean Absolute Deviation, MAD) MAD 1 n et n t = 1 =

31 Μέτρα Σφάλματος (συν.) Παράδειγμα Συνιστώσες Αποσύνθεση Εξομάλυνση Εκθετική Holt Holt-Winters Σφάλματα Μέτρα Μέσο Τετραγωνικό Σφάλμα (Mean Squared Error, MSE) MSE Τετραφωνική Ρίζα Μέσου Τετραγωνικού Σφάλματος (Root Mean Squared Error, RMSE) RMSE Μέσο Ποσοστιαίο Σφάλμα (Mean Percent Error, MPE) Μέσο Απόλυτο Ποσοστιαίο Σφάλμα (Mean Absolute Percent Error, MAPE) 1 n et MAPE = n x 1 n 2 et n t = 1 = 1 n 2 et n t = 1 = e MPE = n x 1 n t t= 1 t= 1 t t

32 Αυτοσυνδιακύμανση (autocovariance) Παράδειγμα Συνιστώσες Αποσύνθεση Εξομάλυνση Εκθετική Holt Holt-Winters Σφάλματα Μέτρα Covariance function γ ( rs, ) = CovX (, X) = E[( X μ ( r))( X μ ( s))] X r s r X s X Sample autocovariance function n h 1 ˆ( γ h) = ( x x)( xt x) t+ h n t= 1 Εκφράζει την ύπαρξη συσχέτισης μεταξύ των διαδοχικών τιμών της χρονοσειράς

33 Αυτοσυσχέτιση (autocorrelation) Παράδειγμα Συνιστώσες Αποσύνθεση Εξομάλυνση Εκθετική Holt Holt-Winters Σφάλματα Μέτρα Autocorrelation function γ X ( h) ρ ( h) = = Cor( X +, X ) γ (0) X t h t X Sample autocorrelation function ˆ( ρ h) = ˆ( γ h) ˆ(0) γ Εκφράζει την ισχύ της συσχέτισης μεταξύ διαδοχικών μεγεθών της χρονοσειράς

34 Στασιμότητα (stationarity) χρονοσειράς Παράδειγμα Συνιστώσες Αποσύνθεση Εξομάλυνση Εκθετική Holt Holt-Winters Σφάλματα Μέτρα H {X t } καλείται (αδύναμα) στάσιμη (weakly stationary) εάν ημέσητιμήμ x (t) είναι ανεξάρτητη του x & η αυτοσυνδιακύμανση γ x (t+h,t) είναι ανεξάρτητη του x για κάθε h. Η διαδικασία αποσύνθεσης και μοντελοποίησης μίας χρονοσειράς είναι πλήρως επιτυχημένη, όταν η χρονοσειρά του σφάλματος πρόγνωσης είναι στάσιμη.

35 Νευρωνικά Νευρώνας Δίκτυο Εκπαίδευση Υλοποίηση Εν τέλει, η διαδικασία πρόγνωσης καλείται να μοντελοποιήσει τη διαδικασία επιλογής και μοντελοποίησης συσχετιζόμενων με το υπό πρόγνωση μέγεθος μεταβλητών Μεταβλητές Εισόδου Συνάρτηση Πρόγνωση Πώς αλλιώς είναι αυτό εφικτό; βλέπε Τεχνητή Νοημοσύνη (Artificial Intelligence) & Μηχανική Μάθηση (Machine Learning)

36 Φυσικός νευρώνας (neuron) Νευρώνας Δίκτυο Εκπαίδευση Υλοποίηση

37 Τεχνητός νευρώνας (artificial neuron) Νευρώνας Δίκτυο Εκπαίδευση Υλοποίηση

38 Νευρωνικό δίκτυο (neural network) Νευρώνας Δίκτυο Εκπαίδευση Υλοποίηση

39 Διαδικασία εκπαίδευσης (training) Νευρώνας Δίκτυο Εκπαίδευση Υλοποίηση

40 Υλοποίηση Νευρωνικών Δικτύων στο MatLab Neural Network Toolbox/ Διαθέσιμες Εντολές Δημιουργία νευρωνικού δικτύου: newff Εκπαίδευση: train Προσομοίωση & πρόγνωση : sim Νευρώνας Δίκτυο Εκπαίδευση Υλοποίηση Εύκολα παραμετροποιήσιμο Απαιτητικό σε υπολογιστικό χρόνο

41 Τέλος