Pravila pridruživanja. osnovni koncepti i algoritmi
|
|
- Αθορ Βασιλικός
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Pravila pridruživanja osnovni koncepti i algoritmi
2 Istraživanje pravila pridruživanja Za dati skup transakcija (slogova) naći pravila koja predviñaju pojavljivanje stavke (objekta) na osnovu pojavljivanja ostalih stavki (objekata) u transakciji Transakcije potrošačke korpe (Market-Basket transactions) TID Stavke 1 Hleb, Mleko 2 Hleb, Pelene, Pivo, Jaja 3 Mleko, Pelene, Pivo, Kola 4 Hleb, Mleko, Pelene, Pivo 5 Hleb, Mleko, Pelene, Kola Primer pravila pridruživanja {Pelene} {Pivo}, {Mleko, Hleb} {Jaja, Kola}, {Pivo, Hleb} {Mleko}, Implikacija označava istovremeno pojavljivanje, ne uzročnost! 2
3 Pravila pridruživanja Pravila pridruživanja utvrñuju veze (asocijacije, pridruživanja) izmeñu podataka u velikim bazama podataka Analiza veza izmeñu podataka otkrivanje veza izmeñu pojedinačnih podataka ne karakterizuje se celokupna baza podataka Pravila pridruživanja opisuju relacije izmedju skupova elemenata u podacima, i oblika su A B gde su A i B skupovi elemenata predstavljeni u skupu podataka. 3
4 Pravila pridruživanja Primer: {hleb, mleko} {pelene} ako kupac kupi hleb i mleko, (verovatno) će kupiti i pelene elementi (stavke, kod potrošačke korpe artikli, eng. items): hleb, mleko, pelene skup stavki (eng. itemset) sadrži jednu ili više stavki K-skup stavki - skup koji sadrži K stavki 4
5 Definicije pojmova Brojač podrške (Support count) (σ) Broj pojavljivanja skupa stavki Npr. σ({mleko, Hleb, Pelene}) = 2 TID Stavke Podrška Učestalost pojavljivanja skupa stavki u transakcijama Npr. s({mleko, Hleb, Pelene}) = 2/5 1 Hleb, Mleko 2 Hleb, Pelene, Pivo, Jaja 3 Mleko, Pelene, Pivo, Kola 4 Hleb, Mleko, Pelene, Pivo 5 Hleb, Mleko, Pelene, Kola Čest skup stavki Skup stavki čija je podrška veća ili jednaka od navedenog praga (minsup) 5
6 Definicije pojmova Pravilo pridruživanja Implikacija oblika X Y, gde su X i Y skupovi stavki Primer: {Mleko, Pelene} {Pivo} Metrika za procenu pravila Podrška Količnik broja transakcija koje sadrže i X i Y i ukupnog broja transakcija s(x Y) = N Pouzdanost (poverenje, eng. confidence) Meri koliko često se stavka Y javlja u transakcijama koje sadrže X c(x Y) = σ (X Υ Y ) σ ( X ΥY ) σ ( X ) TID Stavke 1 Hleb, Mleko 2 Hleb, Pelene, Pivo, Jaja 3 Mleko, Pelene, Pivo, Kola 4 Hleb, Mleko, Pelene, Pivo 5 Hleb, Mleko, Pelene, Kola Primer: { Mleko, Pelene} (Mleko, Pelene, Pivo) s = σ = T σ (Mleko,Pelene,Pivo) c = = σ (Mleko, Pelene) 2 3 Pivo 2 5 = 0.4 =
7 Istraživanje pravila pridruživanja - nastavak Za dati skup transakcija (slogova) T cilj istraživanja pravila pridruživanja je pronaći sva pravila koja imaju podršku minsup praga pouzdanost minconf praga Pristup metodom grube sile: Izlistati sva moguća pravila pridruživanja Izračunati podršku i pouzdanost za svako pravilo Potkresati pravila koja ne zadovoljavaju minsup i minconf prag Računarski vrlo zahtevan proces! 7
8 Istraživanje pravila pridruživanja - Visoko poverenje nastavak jako pravilo, ukazuje na visok nivo uzročnosti, pridruživanja, asocijacije izmeñu artikala/elemenata ovakva pravila su od interesa Visoka podrška pojavljuje se često, manje je verovatno da se pravilo slučajno pojavilo uočavanje čestih pravila nudi više mogućnosti za akciju U slučaju jako velikih baza podataka minconf (minimalni nivo poverenja) se obično postavlja visoko (npr. 80%) minsup (minimalni nivo podrške) je uobičajeno značajno niži (npr. 5-10%), zbog velike raznolikosti 8
9 Klasičan primer: potrošačka korpa Utvrditi koji se artikli prodaju zajedno Ako kupac kupi odreñene artikle, koji su još proizvodi verovatni da se nañu u njegovoj korpi Primena: npr. organizovati promotivnu kampanju (rasprodaju) tako da se popust ne daje istovremeno na artikle koji se uobičajeno kupuju zajedno ako se prepozna pravilo da kupac koji kupi ženske cipele obično kupuje i odgovarajuću torbu u istom dezenu, onda dati popust na cipele, ali ne i na torbu (ili obrnuto) kupac koji kupuje računar obično kupi i štampač: ponuditi popust na štampač, ali ne i na računar Pored uobičajenih paketa proizvoda, naći i iznenañujuće (neuobičajene) pridružene artikle (npr. novi trend) 9
10 Istraživanje pravila pridruživanja - primer TID Stavke 1 Hleb, Mleko 2 Hleb, Pelene, Pivo, Jaja 3 Mleko, Pelene, Pivo, Kola 4 Hleb, Mleko, Pelene, Pivo 5 Hleb, Mleko, Pelene, Kola Napomene: Primeri pravila: {Mleko,Pelene} {Pivo} (s=0.4, c=0.67) {Mleko,Pivo} {Pelene} (s=0.4, c=1.0) {Pelene,Pivo} {Mleko} (s=0.4, c=0.67) {Pivo} {Mleko,Pelene} (s=0.4, c=0.67) {Pelene} {Mleko,Pivo} (s=0.4, c=0.5) {Mleko} {Pelene,Pivo} (s=0.4, c=0.5) Sva prethodna pravila su binarni delovi istog skupa stavki: {Mleko, Pelene, Pivo} Pravila izvedena iz istog skupa stavki imaju istu podršku ali mogu da imaju različitu pouzdanost To je razlog razdvajanja zahteva za podrškom i pouzdanošću 10
11 Formiranje pravila pridruživanja Dva koraka formiranje podržanih (čestih) skupova stavki Formirati sve skupove stavki kod koijh je podrška minsup formiranje pravila iz čestih skupova Formirati pravila sa visokom pouzdanošću iz svakog skupa stavki, pri čemu je svako pravilo binarna podela čestog skup stavki 11
12 Formiranje pravila pridruživanja Formiranje svih česte skupova artikala je problem jer u primenama se obično pojavljuju stotine hiljada različitih artikala (npr. potrošačka korpa) za d artikala postoji 2 d - 1 mogućih skupova (+ prazan skup) njihovu frekvenciju treba proveriti na osnovu miliona transakcija svakog dana/sata Računarski vrlo zahtevan proces da li je moguće smanjiti prostor pretrage za česte skupove? 12
13 Rešetka skupova artikala null A B C D E AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ABCD ABCE ABDE ACDE BCDE ABCDE 13
14 Formiranje čestih skupova stavki Pristup metodom grube sile: Svaki skup stavki u rešetki je kandidat da bude čest Prebrojati podršku za svakog kandidata pregledanjem baze N Transakcije TID Stavke 1 Hleb, Mleko 2 Hleb, Pelene, Pivo, Jaja 3 Mleko, Pelene, Pivo, Kola 4 Hleb, Mleko, Pelene, Pivo 5 Hleb, Mleko, Pelene, Kola w Lista kandidata Uparuje se svaka transakcija sa svakim kandidatom Složenost ~ O(NMw) => Jako skupo jer je M = 2 d!!! M 14
15 15 Složenost izračunavanja Neka je dato d jedinstvenih stavki: Ukupan broj skupa stavki je = 2 d Ukupan broj mogućih pravila pridruživanja je : = = + = = d d d k k d j j k d k d R Ako je d=6, R = 602
16 Strategije formiranja čestih Smanjiti broj kandidata (M) skupova stavki Kompletno pretraživanje: M=2 d Koristiti tehnike potkresivanja radi smanjenja M Smanjiti broj transakcija (N) Smanjivati veličinu N kako raste broj skupova stavki Koristi se u DHP (Direct Hashing and Pruning) i vertikalno zasnovanim algoritmima istraživanja Smanjiti broj poreñenja (NM) Koristiti efikasnije strukture podataka radi čuvanja kandidata i/ili transakcija Nije potrebno uparivati svakog kandidata sa svakom transakcijom 16
17 Smanjivanje broja kandidata Apriori princip: Ako je skup stavki čest, tada su i svi njegovi podskupovi takoñe česti Apriori princip važi zbog sledeće osobine metrike kojom se meri podrška: X, Y : ( X Y ) s( X ) s( Y ) Podrška skupa pravila nikada nije veća od podrške njegovih podskupova Ova osobina je poznata poda nazivom anti-monotonost podrške 17
18 Anti-monotonost Zatvorenje na niže (downward closure): svaki podskup od podržanog (čestog) skupa je takoñe podržan (čest) ako je {A, B, C} čest, onda je čest i {A, C} Odatle, ako imamo skup artikala koji nije podržan (nije frekventan), onda ni njegovi nad-skupovi ne mogu biti podržani (anti-monotonost) dakle, njegove nad-skupove ne treba razmatrati ako {A} nije čest, onda bilo šta što sadrži {A} ne može biti često ne treba da bude razmatrano 18
19 Anti-monotonost Ne-podržan izostavljeni nadskupovi 19
20 Apriori algoritam inicijalizovati skupove kardinalnosti 1 odrediti frekvenciju kandidatskih skupova; podržani skupovi su oni čija je frekvencija iznad minsup ima novih podržanih skupova? da formirati nove kandidate proširivanjem podržanih skupova sa po jednim elementom ne kraj 20
21 Apriori algoritam Na početku uzeti k=1 Formirati česte skupove stavki kardinalnosti 1 Ponavljati proces sve dok se prestane sa pronalaženjem čestih skupova stavki Formirati skupove stavki dužine (k+1) iz skupova stavki dužine k Potkresati kandidatske skupove stavki koji sadrže podskup kardinalnosti k koji nije čest Prebrojati podršku za svakog kandidata pregledanjem baze Ukloniti kandidate koji su retki (tj. ostaviti samo one koji su česti) 21
22 Ilustracija Apriori principa (minsup >1) Tid Items 1 A, C, D 2 B, C, E 3 A, B, C, E 4 B, E prvi prolaz C Itemset sup 1 L 1 {B} 3 {C} 3 {D} 1 {E} 3 C 2 C 2 {A, B} 1 L 2 Itemset sup drugi prolaz {A, C} 2 {B, C} 2 {B, E} 3 {C, E} 2 {A} Itemset {A, C} C Itemset 3 treći prolaz L 3 {B, C, E} sup 2 {A, E} 1 {B, C} 2 {B, E} 3 {C, E} 2 2 Itemset sup {B, C, E} 2 Itemset sup {A} 2 {B} 3 {C} 3 {E} 3 Itemset {A, B} {A, C} {A, E} {B, C} {B, E} {C, E} 22
23 Ilustracija Apriori principa Stavka Broj Hleb 4 Kola 2 Mleko 4 Pivo 3 Pelene 4 Jaja 1 Minimalna podrška = 3 Stavke (1-skup stavki) Ako se posmatra svaki podskup broj skupova stavki je 6 C C C 3 = 41 Sa potkresivanjem zasnovanim na podršci broj stavki je = 13 Skup stavki Broj {Hleb, Mleko} 3 {Hleb, Pivo} 2 {Hleb, Pelene } 3 {Mleko, Pivo} 2 {Mleko, Pelene} 3 {Pivo, Pelene} 3 Parovi (2-skup stavki) (Nema potrebe za formiranjem kandidata koji uključuju kolu ili jaja Trojke (3-skup stavki) Itemset Count {Hleb, Mleko, Pelene} 3 23
24 Formiranje i potkresivanje skupa Korišćene oznake: kandidata C k+1 označava česte skupove stavki dužine k. F k označava skup kandidata dužine k. Funkcija formiranja novih novih kandidatskih skupova u apriori algoritmu uključuje Formiranje kandidata: generišu se novi k-skupovi stavki na osnovu čestih skupova stavki dužine (k-1) koji su formirani u prethodnoj iteraciji Potkresivanje skupa kandidata: eliminišu se odreñeni kandidatski k- skupovi stavki korišćenjem strategije potkresivanja na osnovu podrške 24
25 Formiranje i potkresivanje skupa Metod grube sile kandidata Razmatra svaki podržani skup dužine k kao potencijalnog kandidata i zatim primenjuje potkresivanje F k-1 F 1 metoda Primer? Problemi? Potrebno leksikografsko ureñenje stavki u skupu 25
26 Formiranje i potkresivanje skupa F k-1 F k-1 metoda kandidata leksikografsko ureñenje Neka su A={a 1, a 2,..., a k-1 } i B={b 1, b 2,..., b k-1 } par čestih k- skupova stavki. A i B mogu da se kombinuju ako zadovoljavaju uslov a i = b i za svako i=1, 2,..., k-2, i a k-1 b k-1 Primer? 26
27 Formiranje i potkresivanje skupa kandidata Primer formiranja F k-1 F k-1 metodom C 3 ={abc, abd, acd, ace, bcd} samo-spajanje skupova iz C 3 abcd iz abc i abd acde iz acd i ace (podržani 3-skupovi) potkresivanje (izostavljanje nepodržanih skupova): acde se izostavlja jer ade nije u C 3 dakle, C 4 = {abcd} 27
28 Smanjenje broja poreñenja Prebrojavanje kandidata: Pregledati bazu podataka transakcija radi odreñivanja podrške svakog od kandidatskih skupova stavki Radi smanjenja broja poreñenja sačuvati kandidate u heš strukturi Umesto uparivanja svake transakcije sa svakim kandidatom transakcija se uparuje sa kandidatima koji se nalaze u heš grupi Transakcije Heš struktura N TID Stavke 1 Hleb, Mleko 2 Hleb, Pelene, Pivo, Jaja 3 Mleko, Pelene, Pivo, Kola 4 Hleb, Mleko, Pelene, Pivo 5 Hleb, Mleko, Pelene, Kola Grupa k 28
29 Formiranje Heš drveta Pretpostavimo da postoji 15 kandidatskih skupova stavki dužine 3: {1 4 5}, {1 2 4}, {4 5 7}, {1 2 5}, {4 5 8}, {1 5 9}, {1 3 6}, {2 3 4}, {5 6 7}, {3 4 5}, {3 5 6}, {3 5 7}, {6 8 9}, {3 6 7}, {3 6 8} Potrebna je : Heš funkcija Maksimalna veličina lista: najveći broj skupova stavki koji može da bude smešten u listu (ako broj kandidatskih skupova stavki prelazi navedenu vrednost podeliti čvor) Heš funkcija 3,6,9 1,4,7 2,5,
30 Pronalaženje pravila Heš funkcija pridruživanja: heš drvo Heš drvo kandidata 1,4,7 3,6,9 2,5,8 Heš na 1, 4 ili
31 Pronalaženje pravila Heš funkcija pridruživanja: heš drvo Heš drvo kandidata 1,4,7 3,6,9 2,5,8 Heš na 2, 5 ili
32 Pronalaženje pravila Heš funkcija pridruživanja: heš drvo Heš drvo kandidata 1,4,7 3,6,9 2,5,8 Heš na 3, 6 ili
33 Operacije sa podskupovima Za datu transakciju t koji su mogući podskupovi veličine 3? 33
34 Operacije sa podskupovima korišćenjem heš drveta transakcija Heš funkcija 1,4,7 3,6,9 2,5,
35 Operacije sa podskupovima korišćenjem heš drveta transakcija Heš funkcija ,4,7 2,5,8 3,6,
36 Operacije sa podskupovima korišćenjem heš drveta transakcija Heš funkcija ,4,7 2,5,8 3,6, Transakcija se uparuje sa 11 od 15 kandidata 36
37 Faktori koji utiču na složenost Izbor praga podrške smanjenje praga podrške daje veći broj čestih skupova stavki Ovim se povećava broj kandidata i najveća dužina čestih skupova stavki Dimenzionalnost (broj stavki) skupa stavki potrebno je više prostora za čuvanje brojača podrške za sve stavke ako se broj čestih skupova stavki poveća, povećava se i cena izračunavanja i izvoñenja U/I operacija Veličina baze podataka pošto Apriori pravi više prolaza, sa povećanjem broja transakcija raste i vreme izvršavanja algoritma Prosečna veličina (širina) transakcije Veličina transakcije povećava učestalost skupa stavki Ovim se povećava najveća dužina čestih skupova stavki i skupova koji se obilaze u heš drvetu (broj podskupova transakcije se povećava sa povećanjem njene veličine) 37
38 Formiranje pravila pridruživanja Svaki čest k-skup stavki može da proizvede do 2 k -2 pravila pridruživanja (ignorišu se pravila sa praznom levom ili desnom stranom) Pravilo se izdvaja deljenjem skupa stavki Y na dva neprazna podskupa X i Y-X, takve da X Y-X ima veću pouzdanost od zadatog praga. Svako takvo pravilo mora da zadovoljava i uslov da je veće od praga podrške. 38
39 Kompaktna reprezentacija čestog skupa stavki Neki skupovi stavki su redundantni jer imaju istu podršku kao i njihovi nadskupovi TID A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C Broj čestih skupova stavki = = 1 Potrebna je kompaktna reprezentacija k k 39
40 Maksimalno čest skup stavki Skup stavki je maksimalno čest ako ni jedan od njegovih neposrednih nadskupova nije čest Maksimalni nadskupovi Retki skupovi stavki Granična linija 40
41 Zatvoreni skupovi stavki Skup stavki je zatvoren ako nijedan od njegovih neposrednih nadskupova nema istu podršku TID Items 1 {A,B} 2 {B,C,D} 3 {A,B,C,D} 4 {A,B,D} 5 {A,B,C,D} Itemset Support {A} 4 {B} 5 {C} 3 {D} 4 {A,B} 4 {A,C} 2 {A,D} 3 {B,C} 3 {B,D} 4 {C,D} 3 Itemset Support {A,B,C} 2 {A,B,D} 3 {A,C,D} 2 {B,C,D} 3 {A,B,C,D} 2 41
42 Maksimalni/zatvoreni skup stavki TID Items 1 ABC 2 ABCD 3 BCE 4 ACDE 5 DE null Ids transakcija A B C D E AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE 2 4 ABCD ABCE ABDE ACDE BCDE Nisu podržani niti od jedne transakcije ABCDE 42
43 Maksimalni/zatvoreni skup stavki Najmanja podrška = 2 null Zatvoreni ali ne i maksimalni A B C D E Zatvoreni i maksimalni AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE 2 4 ABCD ABCE ABDE ACDE BCDE # zatvorenih = 9 # maksimalnih = 4 ABCDE 43
44 Maksimalni/zatvoreni skup stavki 44
45 Alternativne metode formiranja čestih skupova stavki Obilazak rešetke skupa stavki opšte ka pojedinačnom / pojedinačno ka opštem Granica čestih skupova stavki null null Granica čestih skupova stavki null {a 1,a 2,...,a n } {a 1,a 2,...,a n } Granica čestih skupova stavki {a 1,a 2,...,a n } (a) Opšte ka pojedinačnom (Apriori algoritam) (b) Pojedinačno ka opštem (c) Dvosmerno 45
46 Alternativne metode formiranja čestih skupova stavki Obilazak rešetke skupa stavki Ekvivalentne klase null null A B C D A B C D AB AC AD BC BD CD AB AC BC AD BD CD ABC ABD ACD BCD ABC ABD ACD BCD ABCD ABCD (a) Prefiksno drvo (b) Sufiksno drvo 46
47 Alternativne metode formiranja čestih skupova stavki Obilazak rešetke skupa stavki Obilazak u širinu u odnosu na obilazak u visinu (a) Obilazak 'prvo u širinu' (Apriori algoritam) (b) Obilazak 'prvo u visinu' 47
48 Alternativne metode formiranja čestih skupova stavki Reprezentacija baze podataka Horizontalni/vertikalni raspored podataka Horizontalni raspored podataka TID Items 1 A,B,E 2 B,C,D 3 C,E 4 A,C,D 5 A,B,C,D 6 A,E 7 A,B 8 A,B,C 9 A,C,D 10 B Vertikalni raspored podataka A B C D E
49 Algoritam FP-rasta Upotrebljava komprimovanu reprezentaciju baze podataka pomoću FP-drveta Kada je FP-drvo konstruisano koristi se rekurzivni pristup tipa 'podeli pa vladaj' radi pronalaženja čestih skupova stavki FP frequent pattern 49
50 Konstrukcija FP-drveta Posle čitanja TID=1: null TID Stavke 1 {A,B} 2 {B,C,D} 3 {A,C,D,E} 4 {A,D,E} 5 {A,B,C} 6 {A,B,C,D} 7 {B,C} 8 {A,B,C} 9 {A,B,D} 10 {B,C,E} B:1 Posle čitanja TID=2: null A:1 B:1 A:1 B:1 C:1 D:1 50
51 Konstrukcija FP-drveta TID Stavke 1 {A,B} 2 {B,C,D} 3 {A,C,D,E} 4 {A,D,E} 5 {A,B,C} 6 {A,B,C,D} 7 {B,C} 8 {A,B,C} 9 {A,B,D} 10 {B,C,E} Baza podataka sa transakcijama B:5 A:7 C:1 null D:1 B:3 C:3 Header table Stavka A B C D E Pokazivač C:3 D:1 D:1 D:1 E:1 D:1 E:1 Pokazivači se koriste kao pomoć pri formiranju čestih skupova stavki E:1 51
52 FP-rast D:1 C:3 B:5 A:7 D:1 null C:1 D:1 D:1 B:1 C:1 D:1 Uslovni osnovni uzorci za D: P = {(A:1,B:1,C:1), (A:1,B:1), (A:1,C:1), (A:1), (B:1,C:1)} Rekurzivno se primeni FPrast na P Pronañeni su česti skupovi stavki (sa podrškom > 1): AD, BD, CD, ACD, BCD 52
53 Formiranje pravila Za dati čest skup stavki L, naći sve neprazne podskupove f L takve da f L f zadovoljava minimum zahteva za pouzdanošću. Ako je {A,B,C,D} čest skup stavki, pravila kandidati su: ABC D, ABD C, ACD B, BCD A, A BCD, B ACD, C ABD, D ABC AB CD, AC BD, AD BC, BC AD, BD AC, CD AB, Ako je L = k, tada postoji 2 k 2 kandidata za pravila pridruživanja (zanemaruju se L i L) 53
54 Formiranje pravila Kako efikasno formirati pravila iz čestih skupova stavki? U opštem slučaju, pouzdanost nema osobinu antimonotonosti c(abc D) može da bude veće ili manje od c(ab D) Meñutim, pouzdanost pravila izvedenih iz istog skupa pravila poseduje osobinu antimonotonosti: npr., L = {A,B,C,D}: c(abc D) c(ab CD) c(a BCD) 54
55 Formiranje pravila za Apriori Algoritam Rešetka sa pravilima Pravila sa niskom pouzdanošću Potkresana pravila 55
56 Formiranje pravila za Apriori Algoritam Pravila kandidati se formiraju uparivanjem dva pravila koja dele isti prefiks na desnoj strani spajanje(cd=>ab,bd=>ac) proizvodi kandidata za pravilo D => ABC CD=>AB BD=>AC Potkresati pravilo D=>ABC ako njegov podskup AD=>BC nema visoku pouzdanost D=>ABC 56
57 Procena obrazaca Algoritmi sa pravilima pridruživanja imaju tendenciju da formiraju veliki broj pravila veliki broj njih je neinteresantan ili redundantan redundantnost se javlja ako {A,B,C} {D} i {A,B} {D} imaju identičnu podršku i pouzdanost Kriterijum interesantnosti mera može da bude korišćen za rangiranje/potkresivanje izvedenih obrazaca U originalnoj formulaciji pravila pridruživanja podrška i pouzdanost su jedine mere koje se koriste 57
58 58 Primena interesantnosti mere Featur e Prod uct Prod uct Prod uct Prod uct Prod uct Prod uct Prod uct Prod uct Prod uct Prod uct Featur e Featur e Featur e Featur e Featur e Featur e Featur e Featur e Featur e Selection Preprocessing Mining Postprocessing Data Selected Data Preprocessed Data Patterns Knowledge Interesantost mere
59 Izračunavanje interesantnosti mere Za dato pravilo X Y, informacije potrebne za izračunavanje interesantosti pravila mogu da se dobiju iz tabele kontingenata X X Y f 11 Y f 10 f 01 f 00 f o+ f +1 T f +0 f 1+ f 11 : podrška za X i Y f 10 : podrška za X i Y f 01 : podrška za X i Y f 00 : podrška za X i Y Tabela kontingenata za X Y Koristi se za definisanje različitih mera podrška, pouzdanost, Gini, J-mera, itd. 59
60 Nedostaci pouzdanosti Kafa Kafa Čaj Čaj Pravilo pridruživanja: Čaj Kafa Pouzdanost= P(Kafa Čaj) = 0.75 Pošto je P(Kafa) = 0.9 Bez obzira na visoku pozdanost, pravilo je pogrešno P(Kafa Čaj) =
61 Statistička nezavisnost Populacija od 1000 studenata 600 studenata zna da pliva (S) 700 studenata zna da vozi bicikl (B) 420 studenata zna i da pliva i da vozi bicikl (S,B) P(S B) = 420/1000 = 0.42 P(S) P(B) = = 0.42 P(S B) = P(S) P(B) => Statistički nezavisno P(S B) > P(S) P(B) => Pozitivno korelisano P(S B) < P(S) P(B) => Negativno korelisano 61
62 62 Statistički zasnovane mere Mere koje uzimaju u obzir statističku zavisnost )] ( )[1 ( )] ( )[1 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( Y P Y P X P X P Y P X P Y X P coefficient Y P X P Y X P PS Y P X P Y X P Interest Y P X Y P Lift = = = = φ
63 Primer: Lift/Interest Kafa Kafa Čaj Čaj Pravilo pridruživanja: Čaj Kafa Pouzdanost= P(Kafa Čaj) = 0.75 Pošto je P(Kafa) = 0.9 Lift = 0.75/0.9= (< 1, prema tome je negativno pridruženo) 63
64 Nedostaci Lift & Interest Y Y Y Y X X X X Lift = = Lift = = (0.1)(0.1) (0.9)(0.9) Statistička nezavisnost: Ako je P(X,Y)=P(X)P(Y) => Lift = 1 64
65 U literaturi se javlja veliki broj mera Neke mere su dobre za neke primene, ali ne i za neke druge Koji kriterijum treba da koristimo pri proceni kvaliteta mere? 65
66 Osobine dobre mere Piatetsky-Shapiro: Dobra mera mora da zadovoljava 3 osobine: M(A,B) = 0 ako su A i B statistički nezavisne M(A,B) se monotono povećava sa P(A,B) kada P(A) i P(B) ostaju nepromenjene M(A,B) se monotono smanjuje sa P(A) [ili P(B)] kada P(A,B) i P(B) [ili P(A)] ostaju nepromenjene 66
67 Poreñenje različitih mera 10 primera u tabeli kontingenata: Rangiranje tabele kontingenata pomoću različitih mera Exam ple f 11 f 10 f 01 f 00 E E E E E E E E E E
68 Osobine u slučaju permutacije promenljivih B B A p q A r s A A B p r B q s Da li važi M(A,B) = M(B,A)? Simetrične mere: podrška, lift, kolektivna (zbirna) snaga, cosinusna, Žakard, itd. Asimetrične mere: pouzdanost, ubeñenje, Laplas, J-mera, itd. 68
69 Osobine u slučaju skaliranja reda/kolone Primer ocena-pol (Mosteller, 1968): Muški Ženski Muški Ženski Najviša Najviša Najniža Najniža x 10x Mosteller: Pridruživanje treba da bude nezavisno od relativnog broja muških i ženskih studenata u primeru 69
70 70 Osobine u slučaju inverzije operacija A B C D (a) (b) (c) E F Transakcija 1 Transakcija N.....
71 Primer: φ-koeficijent φ-koeficijent je analogan koeficijentu korelacije za neprekidne promenljive Y Y Y Y X X X X φ = = φ = φ koeficijent ima istu vrednost za obe tabele = 71
72 Osobine u slučaju dodavanja praznih slogova B B A p q A r s B B A p q A r s + k Invarijantne mere: podrška, kosinusna mera, Žakard, itd. Mere koje nisu invarijantne: korelacija, Gini, mutual information, odds ratio, itd. 72
73 Različite mere i njihove osobine Sym bol M e as ure Range P1 P2 P3 O1 O2 O3 O3' O4 Φ Correlation Yes Y es Yes Yes No Yes Yes No λ Lambda 0 1 Yes No No Yes No No* Yes No α Odds ratio 0 1 Yes* Yes Yes Yes Yes Yes* Yes No Q Yule's Q Yes Y es Yes Yes Y es Yes Yes No Y Yule's Y Yes Y es Yes Yes Y es Yes Yes No κ Cohen's Yes Y es Yes Yes No No Yes No M Mutual Inf ormation 0 1 Yes Y es Yes Yes No No* Yes No J J-Measure 0 1 Yes No No No No No No No G Gini Index 0 1 Yes No No No No No* Yes No s Support 0 1 No Y es No Yes No No No No c Conf idence 0 1 No Y es No Yes No No No Yes L Laplace 0 1 No Y es No Yes No No No No V Conviction No Y es No Yes** No No Yes No I Interest 0 1 Yes* Yes Yes Yes No No No No IS IS (cosine) No Y es Yes Yes No No No Yes PS Piatetsky-Shapiro's Yes Y es Yes Yes No Yes Yes No F Certainty f actor Yes Y es Yes No No No Yes No AV Added value Yes Y es Yes No No No No No S Collective strength 0 1 No Y es Yes Yes No Yes* Yes No ζ Jaccard No Y es Yes Yes No No No Yes K Klosgen's Κ 0Κ Yes Y es Yes No No No No No
Pravila pridruživanja
Pravila pridruživanja osnovni koncepti i algoritmi Istraživanje pravila pridruživanja Za dati skup transakcija (slogova) naći pravila koja predviñaju pojavljivanje stavke (objekta) na osnovu pojavljivanja
Διαβάστε περισσότεραPravila pridruživanja
Nenad Mitić Matematički fakultet nenad@matf.bg.ac.rs Uvod Formiranje Za dati skup transakcija (slogova) naći koja predvidjaju pojavljivanje stavke (objekta) na osnovu pojavljivanja ostalih (objekata) u
Διαβάστε περισσότεραAsocijativna analiza
Asocijativna analiza Šta je asocijativna analiza? Asocijativna analiza sastoji se u identifikovanju jakih asocijativnih pravila u datom skupu podataka Brojne su varijante osnovnog problema Originalna primjena:
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραΚανόνες Συσχέτισης Ι. Εισαγωγή. Εισαγωγή. Ορισμοί. Ορισμοί. Ορισμοί. Market-Basket transactions (Το καλάθι της νοικοκυράς!)
Εισαγωγή Κανόνες Συσχέτισης Ι Οι διαφάνειες στηρίζονται στο P.-N. Tan, M.Steinbach, V. Kumar, «Introdion to Data Mining», Addison Wesley, 26 Market-Basket transactions (Το καλάθι της νοικοκυράς!) TID Items
Διαβάστε περισσότεραΚανόνες Συσχέτισης IIΙ
Κανόνες Συσχέτισης IIΙ Οι διαφάνειες στηρίζονται στο P.-N. Tan, M.Steinbach, V. Kumar, «Introduction to Data Mining», Addison Wesley, 26 Σύντομη Ανακεφαλαίωση Εξόρυξη Δεδομένων: Ακ. Έτος 2-2 ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραTID Items. Τ = {t 1, t 2,.., t N } ένα σύνολο από δοσοληψίες, όπου κάθε t i είναι ένα στοιχειοσύνολο
Εισαγωγή Κανόνες Συσχέτισης Ι Οι διαφάνειες στηρίζονται στο P.-N. Tan, M.Steinbach, V. Kumar, «Introduction to Data Mining», Addison Wesley, 2006 Market-Basket transactions (Το καλάθι της νοικοκυράς!)
Διαβάστε περισσότεραΟι διαφάνειες στηρίζονται στο P.-N. Tan, M.Steinbach, V. Kumar, «Introduction to Data Mining», Addison Wesley, 2006
Κανόνες Συσχέτισης Ι Οι διαφάνειες στηρίζονται στο P.-N. Tan, M.Steinbach, V. Kumar, «Introduction to Data Mining», Addison Wesley, 2006 Εισαγωγή Market-Basket transactions (Το καλάθι της νοικοκυράς!)
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Συσχέτισης IΙ
Ανάλυση Συσχέτισης IΙ Οι διαφάνειες στηρίζονται στο P.-N. Tan, M.Steinbach, V. Kumar, «Introduction to Data Mining», Addison Wesley, 2006 ΟΑλγόριθμοςFP-Growth Εξόρυξη Δεδομένων: Ακ. Έτος 2010-2011 ΚΑΝΟΝΕΣ
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραΚανόνες Συσχέτισης IΙ
Κανόνες Συσχέτισης IΙ Οι διαφάνειες στηρίζονται στο P.-N. Tan, M.Steinbach, V. Kumar, «Introduction to Data Mining», Addison Wesley, 26 Σύντομη Ανακεφαλαίωση Εξόρυξη Δεδομένων: Ακ. Έτος 28-29 ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΟ Αλγόριθμος FP-Growth
Ο Αλγόριθμος FP-Growth Με λίγα λόγια: Ο αλγόριθμος χρησιμοποιεί μια συμπιεσμένη αναπαράσταση της βάσης των συναλλαγών με τη μορφή ενός FP-δέντρου Το δέντρο μοιάζει με προθεματικό δέντρο - prefix tree (trie)
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραΟι διαφάνειες στηρίζονται στο P.-N. Tan, M.Steinbach, V. Kumar, «Introduction to Data Mining», Addison Wesley, 2006
Ανάλυση Συσχέτισης Ι Οι διαφάνειες στηρίζονται στο P.-N. Tan, M.Steinbach, V. Kumar, «Introduction to Data Mining», Addison Wesley, 2006 Εισαγωγή Market Basket transactions (Το καλάθι της νοικοκυράς!)
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραΑποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων Ενότητα 11: Κανόνες Συσχέτισης Μέρος Α Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραSistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραLecture Notes for Chapter 6. Introduction to Data Mining
Κανόνες Συσχέτισης: Βασικές αρχές και αλγόριθμοι (Association Analysis: Basic Concepts and Algorithms) Lecture Notes for Chapter 6 Introduction to Data Mining by Tan, Steinbach, Kumar Εξόρυξη κανόνων συσχέτισης
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραΑποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων:
Αποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων: Κανόνες Συσχέτισης: Μέρος Β http://delab.csd.auth.gr/~gounaris/courses/dwdm/ gounaris/courses/dwdm/ Ευχαριστίες Οι διαφάνειες του μαθήματος σε γενικές γραμμές
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραRelacije poretka ure denja
Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.
Διαβάστε περισσότερα1. Pojam fazi skupa. 2. Pojam fazi skupa. 3. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici. 4. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici
Meko računarstvo Student: Indeks:. Poja fazi skupa. Vrednost fazi funkcije pripadnosti je iz skupa/opsega: a) {0, b) R c) N d) N 0 e) [0, ] f) [-, ] 2. Poja fazi skupa 2. Na slici je prikazan grafik: a)
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi i strukture podataka - 1.cas
Algoritmi i strukture podataka - 1.cas Aleksandar Veljković October 2016 Materijali su zasnovani na materijalima Mirka Stojadinovića 1 Složenost algoritama Približna procena vremena ili prostora potrebnog
Διαβάστε περισσότεραΑποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων Ενότητα 12: Κανόνες Συσχέτισης Μέρος B Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραPrediktor-korektor metodi
Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότερα100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =
100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα