Liên hệ:

Transcript

1 Giáo trình Vi tích phân 2 Bộ môn Giải tích (Kho Toán Tin học, Đại học Kho học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh) Bản ngày 19 tháng 1 năm 218

2 2 Đây là giáo trình cho các môn toán Vi tích phân 2 cho khối B và C do Bộ môn Giải tích (Kho Toán-Tin học, Đại học Kho học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh) chủ trì biên soạn. Thm gi biên soạn: Ông Thnh Hải, Nguyễn Vũ Huy, Nguyễn Thị Thu Vân, Huỳnh Qung Vũ Liên hệ: hqvu@hcmus.edu.vn Mỗi mục tương ứng với khoảng một buổi thảo luận trong lớp học. Trng web Tài liệu hỗ trợ môn học củ Bộ môn Giải tích có ở: Đây là bản thảo, đng được tiếp tục chỉnh sử bổ sung.

3 Mục lục 1 Đạo hàm củ hàm nhiều biến Không gin R n Vectơ, điểm, chiều dài, khoảng cách, tích trong Tập mở và tập đóng trong R n Hình học trong R n Hàm số nhiều biến. Giới hạn và sự liên tục Giới hạn củ hàm số nhiều biến Hàm số liên tục Đạo hàm củ hàm số Đạo hàm riêng phần Mặt phẳng tiếp xúc và Xấp xỉ tuyến tính Khả vi và Đạo hàm Đạo hàm riêng cấp co Đạo hàm củ hàm vectơ Đạo hàm theo hướng Đạo hàm củ hàm hợp Cực trị củ hàm số nhiều biến Cực trị không có ràng buộc Cực trị có ràng buộc Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Tích phân bội Định nghĩ và tính chất củ tích phân bội Tích phân trên hình hộp Tích phân trên tập tổng quát Thể tích Sự có tích phân và sự có thể tích Tính chất củ tích phân Công thức Fubini Công thức Fubini cho miền phẳng Công thức Fubini cho miền b chiều Công thức đổi biến Phép đổi biến Công thức đổi biến cho vi phân và tích phân Tọ độ cực Tọ độ cầu Giải thích công thức đổi biến Ứng dụng củ tích phân bội

4 4 MỤC LỤC Giá trị trung bình Tâm khối lượng Xác suất củ sự kiện ngẫu nhiên Giải tích vectơ Tích phân đường Chiều dài củ đường đi Tích phân đường loại một Tích phân đường loại hi Sự phụ thuộc vào đường đi Liên hệ giữ hi loại tích phân đường Công thức Newton Leibniz và Công thức Green Trường bảo toàn Ý nghĩ vật lý củ khái niệm trường bảo toàn Công thức Green Điều kiện để trường vectơ phẳng là bảo toàn ạng thông lượng củ công thức Green Tích phân mặt iện tích mặt Tích phân mặt loại một Tích phân mặt loại hi Mặt như là tập điểm. Định hướng Pháp tuyến củ mặt. Liên hệ giữ hi loại tích phân mặt Công thức Stokes và Công thức Guss Ostrogrdsky Công thức Stokes Điều kiện để trường b chiều là bảo toàn Công thức Guss Ostrogrdsky Ý nghĩ vật lý củ div và curl Ứng dụng Tài liệu thm khảo 12 Chỉ mục 13

5 Chương 1 Đạo hàm củ hàm nhiều biến 1.1 Không gin R n Khoảng 3 năm trước Công nguyên, nhà toán học Hy Lạp Euclid viết bộ sách Cơ sở củ hình học, tổng kết hiểu biết hình học đương thời. Ngày ny hình học phẳng và hình học không gin b chiều mà Euclid trình bày với hệ thống tiên đề và các chứng minh bằng suy diễn toán học vẫn được học ở trường trung học phổ thông. Phát triển từ hình học Euclid, trong chương này chúng t sẽ xét không gin Euclide n- chiều. Nhưng phương pháp củ chúng t là phương pháp Hình học Giải tích củ escrtes, theo đó điểm sẽ tương ứng với số, nhờ đó qun hệ hình học được diễn tả bằng qun hệ số lượng. Cụ thể hơn, cũng như môn Vi Tích phân Hàm một biến (xem [Bmgt1]), môn Vi Tích phân Hàm nhiều biến đặt trên cơ sở trên tập hợp các số thực, và mặc dù chúng t sẽ dùng hình vẽ và trực qun để dẫn dắt nhưng mỗi suy luận chỉ được coi là chặt chẽ khi nó nằm trong hệ thống suy luận từ tập hợp số thực bằng các quy tắc suy luận toán học. Tuy vậy phát triển củ chúng t vẫn nhắm tới sự tương thích và chứ các trường hợp n = 1, n = 2, n = 3 mà t đã học ở trung học phổ thông. Trên tinh thần đó, chúng t bắt đầu môn học với định nghĩ cho những khái niệm căn bản như không gin, điểm, vectơ, đường thẳng, mặt phẳng,... Với mỗi số nguyên dương n, tập hợp R n là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự n số thực. Vậy R n = {x = (x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2..., x n R}. Số thực x i được gọi là thành phần hy tọ độ thứ i củ phần tử x Vectơ, điểm, chiều dài, khoảng cách, tích trong Khi tập R n được trng bị các phép toán nhất định thì nó được gọi là một không gin vectơ, và các phần tử củ nó cũng được gọi là các vectơ. Đôi khi, để nhấn mạnh việc nhìn phần tử x dưới khí cạnh vectơ người t dùng kí hiệu x hy x, đặc biệt khi n = 2, 3. Các phép toán đó gồm phép toán cộng và phép toán nhân, được định nghĩ như su. Phép cộng + củ hi vectơ x = (x 1, x 2,..., x n ) và y = (y 1, y 2,..., y n ) cho r vectơ x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ). Phép nhân củ vectơ x với số thực α cho vectơ Hi phép toán + và có các tính chất: α x = x α = (αx 1, αx 2,..., αx n ). Mệnh đề Với mọi x, y R n, với mọi α, β R: () x + y = y + x, 5

6 6 CHƯƠNG 1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN (b) (x + y) + z = x + (y + z), (c) với là vectơ có tất cả các thành phần bằng, nghĩ là = (,,..., ) (thường được gọi là điểm gốc tọ độ), thì x + = + x = x, (d) tồn tại vectơ đối x = ( 1) x = ( x 1, x 2,..., x n ) so cho x + ( x) =, (e) 1 x = x, (f) α (β x) = (α β) x, (g) (α + β) x = α x + β x, (h) α (x + y) = α x + α y. Về su để kí hiệu đơn giản hơn t thường bỏ đi dấu chấm để kí hiệu phép nhân ở trên, ví dụ viết 2x thy vì 2 x. Hình 1.1.1: Hình ảnh minh họ cho một điểm (x, y, z) nằm trong không gin R 3. Những tính chất trên phù hợp với các trường hợp riêng R, R 2, R 3 đã biết. Tuy vậy có một điểm khác biệt khá tinh tế đáng chú ý là trong các trường hợp riêng này, cũng như trong vật lý, t thường hình dung một vectơ là một đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi một cặp có thứ tự hi điểm, một điểm đầu và một điểm cuối; tức là vectơ trước đây là có gốc. Còn vectơ như t vừ định nghĩ trên, không đi kèm khái niệm gốc, trước đây có khi được gọi là vectơ tự do. Mỗi vectơ có một chiều dài, hy độ lớn, được gọi là chiều dài Euclid, cho bởi x = x x x2 n. Chiều dài củ vectơ còn được gọi là chuẩn củ vectơ (đặc biệt khi n > 3), kí hiệu là x. Trong trường hợp n = 1 độ lớn này chính là giá trị tuyệt đối củ số thực. Chiều dài vectơ có các tính chất qun trọng su: Mệnh đề Với mọi x, y R n, với mọi α R thì:

7 1.1. KHÔNG GIAN R N 7 () x, (b) x = khi và chỉ khi x =, (c) αx = α x, (d) x + y x + y (bất đẳng thức tm giác). Hi phần tử x, y bất kì củ R n lại có một khoảng cách giữ chúng, kí hiệu là d(x, y), được gọi là khoảng cách Euclid, cho bởi d(x, y) = y x = (y 1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) (y n x n ) 2. Trong trường hợp n = 1 khoảng cách này chính là chiều dài thông thường củ một đoạn số thực. Trong trường hơp n = 2 và n = 3 khoảng cách từ x tới y bằng chiều dài củ vectơ đi từ x tới y. Khoảng cách có các tính chất qun trọng su: Mệnh đề Với mọi x, y, z R n thì: () d(x, y), (b) d(x, y) = khi và chỉ khi x = y, (c) d(x, y) = d(y, x), (d) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (bất đẳng thức tm giác). Trên R n t còn có một tích vô hướng củ hi vectơ, tổng quát hó tích củ số thực và tích vô hướng trong R 2, R 3 mà t đã biết, và cũng được gọi là tích vô hướng Euclid, còn gọi là tích trong Euclid, cho bởi x y = x, y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n. Phép toán tích vô hướng có các tính chất su: Mệnh đề Với mọi x, y, z R n, với mọi α R thì: () x x, (b) x x = khi và chỉ khi x =, (c) x y = y x (d) x (y + z) = x y + x z, (e) (αx) y = α(x y), T có ngy qun hệ giữ tích vô hướng và độ lớn: x = x x. Như vậy chiều dài, khoảng cách, và tích vô hướng Euclid củ R n có qun hệ gắn bó với nhu. Mỗi phần tử x củ tập hợp R n có nhiều vi trò tùy theo khí cạnh mà t qun tâm: là một vectơ nếu t qun tâm tới phép toán vectơ, hy là một điểm nếu t qun tâm hơn tới khoảng cách. Chính vì vậy một phần tử củ R n khi thì được gọi là một vectơ, khi thì được gọi là một điểm. Người đọc không nên bị rối bởi điều này. Cũng vì lí do này mà t không nhất thiết phải dùng kí hiệu khác nhu để phân biệt điểm hy vectơ. Không gin R n có một bộ đặc biệt các vectơ (e 1 = (1,,..., ), e 2 = (, 1,..., ),..., e n = (,,..., 1))

8 8 CHƯƠNG 1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN có tính chất là với một vectơ x bất kì trong R n thì x = n x i e i. i=1 Bộ trên được gọi là cơ sở vectơ chính tắc củ R n. Người t nói rằng n là số chiều củ R n, bởi vì R n có một cơ sở vectơ gồm đúng n phần tử, và mọi phần tử củ R n đều nhận được từ cơ sở đó bằng phép cộng vectơ và phép nhân với số thực Tập mở và tập đóng trong R n Với khoảng cách và độ dài Euclid, t có thể xây dựng tập mở, đóng, là cấu trúc thích hợp cho khái niệm giới hạn và liên tục. Cho x R n và ɛ >. Các tập hợp B(x, ɛ) = {y R n x y < ɛ} B (x, ɛ) = {y R n x y ɛ} S(x, ɛ) = {y R n x y = ɛ} lần lượt được gọi là quả cầu (mở), quả cầu đóng, và mặt cầu tâm x bán kính ε trong R n. Vậy một quả cầu mở là tập hợp tất cả các điểm có khoảng cách tới một điểm cho trước nhỏ hơn một số cho trước. Đây rõ ràng là một phát triển củ khái niệm khoảng, hình tròn, quả cầu trong trường hợp n = 1, 2, 3. Điểm x được gọi là một điểm trong củ một tập R n nếu có một số ɛ > so cho quả cầu B(x, ɛ) được chứ trong. Tập tất cả các điểm trong củ được gọi là phần trong củ được ký hiệu là. Tập hợp được gọi là một tập mở nếu mọi điểm củ đều là điểm trong củ. Ví dụ Quả cầu B(x, ɛ) là một tập mở. Điểm x R n được gọi là một điểm biên củ tập R n nếu một quả cầu B(x, ɛ) bất kì chứ ít nhất một điểm thuộc và một điểm không thuộc. Tập các điểm biên củ kí hiệu là, và được gọi là biên củ. Rõ ràng, điểm trong củ thì nằm trong, còn điểm biên củ có thể thuộc và cũng có thể không thuộc. Ví dụ Mặt cầu S(x, ɛ) là biên củ quả cầu B(x, ɛ). Tập R n được gọi là một tập đóng nếu chứ mọi điểm biên củ nó. Ví dụ Quả cầu đóng B (x, ɛ) và mặt cầu S(x, ɛ) là các tập đóng. Ví dụ Tập C = {(x, y, z) R 3 x < b, y < b, z < b} không là tập mở, cũng không là tập đóng trong R 3. Điểm x R n được gọi là một điểm tụ hy điểm giới hạn củ tập R n nếu một quả cầu B(x, ɛ) bất kì chứ ít nhất một điểm thuộc khác với x. Người t thường dùng thuật ngữ lân cận củ một điểm trong R n để chỉ một tập mở củ R n chứ điểm đó.

9 1.2. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN. GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC Hình học trong R n Cho hi vectơ u và v trong R n. Góc giữ hi vectơ u và v là số thực θ [, π] thỏ Như thế t được công thức cos θ = u v u v. u v = u v cos θ. T nói u vuông góc, hy trực gio với v nếu u v =, tức là góc giữ chúng là π/2, kí hiệu là u v. Hi vectơ là cùng phương nếu góc giữ chúng bằng hoặc π, tức là một vectơ là bội củ vectơ ki. Hi vectơ là cùng hướng nếu góc giữ chúng bằng, tức là một vectơ là bội dương củ vectơ ki. Nếu v thì vectơ đơn vị theo chiều củ v là cùng chiều với v có độ lớn bằng u v v, tức là vectơ u v v 2 v. v v. Hình chiếu củ u lên v là vectơ Cho hi vectơ trong R 3, u = (u 1, u 2, u 3 ) và v = (v 1, v 2, v 3 ). Tích có hướng củ hi vectơ này, kí hiệu là u v, được định nghĩ là vectơ u v = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 ). Một tính chất căn bản củ tích có hướng mà t kiểm được ngy là (u v) u và (u v) v. Như vậy tích có hướng củ hi vectơ vuông góc với hi vectơ ấy. Ngoài r tích có hướng bằng vectơ khi và chỉ khi hi vectơ là cùng phương. 1.2 Hàm số nhiều biến. Giới hạn và sự liên tục Trong đời sống, một đại lượng thường phụ thuộc vào nhiều đại lượng khác. Ví dụ nhiệt độ phụ thuộc vào vị trí và thời gin; giá cả củ một hàng hoá trên thị trường phụ thuộc vào chi phí sản xuất, sản lượng cung cấp, nhu cầu thị trường. Người đọc có thể đư r những ví dụ khác. Như thế để khảo sát các đại lượng trong đời sống chúng t cần những hàm có nhiều biến. Chúng t có định nghĩ hàm số nhiều biến như su: Định nghĩ Cho một tập không rỗng R n, ánh xạ f : R x = (x 1,..., x n ) f(x) = f(x 1,..., x n ) được gọi là một hàm số được xác định trên. T gọi là tập xác định, f là hàm số, x là biến số, f(x) là giá trị củ f tại x. Đồ thị củ hàm số f là tập hợp tất cả các điểm (x 1,..., x n, y) trong không gin R n+1 so cho y = f(x 1,..., x n ). Ví dụ () Hàm số f : R với = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1} và z = f(x, y) = 1 x 2 y 2 có đồ thị là nử mặt cầu có tâm tại gốc tọ độ O và bán kính 1 nằm trong nử không gin trên z. (b) Đồ thị củ hàm số z = f(x, y) = x 2 + y 2 là mặt nón tròn xoy qunh trục Oz, nằm trong nử không gin trên z.

10 1 CHƯƠNG 1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn củ hàm số nhiều biến Định nghĩ Cho hàm số f xác định trên tập R n theo biến x và là một điểm tụ củ. T nói hàm f có giới hạn L R khi x dần đến nếu ɛ >, δ >, x, < x < δ f(x) L < ɛ. Khi đó t viết lim x f(x) = L, hoặc viết f(x) L khi x. Chúng t thấy định nghĩ củ giới hạn củ hàm nhiều biến không khác gì với định nghĩ củ giới hạn củ hàm một biến (xem [Bmgt1]). Ý nghĩ củ định nghĩ này cũng không có gì khác: Giới hạn củ f(x) là L khi x tiến tới nếu khoảng cách giữ f(x) và L nhỏ tùy ý miễn khoảng cách giữ x và đủ nhỏ. Như vậy giới hạn củ hàm một biến là trường hợp n = 1 củ giới hạn củ hàm nhiều biến, và t thừ hưởng mọi tính chất đã có trong Vi Tích phân Hàm một biến. Trong một số trường hợp đơn giản hơn, có thể hiểu giới hạn một cách thô sơ: khi x gần tới hơn thì f(x) gần tới L hơn. Ghi chú Trong định nghĩ trên t cho phép điểm là điểm tụ củ miền xác định, không nhất thiết thuộc. Điều này là để chúng t có thể xét những giới hạn như lim (x,y) (,) x 2 y x 2 + 4y 2. Ở đó chúng t cho (x, y) dần tới (, ) mà không bằng (, ), nơi hàm không được xác định. Điều này giải thích điều kiện < x trong định nghĩ. Nếu thuộc thì định nghĩ giới hạn tại trở nên đơn giản hơn: lim x f(x) = L nếu ɛ >, δ >, x < δ f(x) L < ɛ. Một số tính chất củ giới hạn dưới đây có thể được giải thích và chứng minh từ định nghĩ, tương tự như với hàm một biến. Mệnh đề Giả sử f, g : R n là hi hàm số có giới hạn khi x. Khi đó: () lim x [f(x) + g(x)] = lim x f(x) + lim x g(x), (b) lim x [kf(x)] = k lim x f(x) với k là một hằng số, (c) lim x [f(x)g(x)] = lim x f(x) lim x g(x), f(x) (d) lim x g(x) = lim x f(x) lim x g(x) nếu lim g(x). x (e) Nếu f g thì lim x f(x) lim x g(x). ưới đây là một hệ quả thường được dùng: Hệ quả (tiêu chuẩn kẹp). Giả sử f, g, h : R và f g h. Giả sử f và h có cùng giới hạn L khi x. Khi đó g cũng có giới hạn là L khi x. Trong môn này phần lớn chúng t làm việc trên R 2, để dễ hình dung cũng như thực hiện các tính toán hơn.

11 1.2. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN. GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC 11 Ví dụ Tìm giới hạn Chúng t có thể thấy rằng ( lim (x,y) (1,) (x3 + y 3 1 ) ) sin x 2 + y 2. ( lim (x,y) (1,) (x3 + y 3 1 ) ) sin x 2 + y 2 = 1 sin(1/1) = sin 1. Một lý luận chi tiết có thể dùng các tính chất cơ bản trên củ giới hạn và tính liên tục củ hàm sin. Ví dụ Tìm giới hạn ( lim (x,y) (,) (x3 + y 3 1 ) ) sin x 2 + y 2. Đặt f(x, y) = (x 3 + y 3 ) sin ( 1 x 2 +y 2 ). Hàm số f này xác định trên R 2 \ {(, )}. T có f(x, y) x 3 + y 3. Vì x 3 + y 3 khi (x, y) (, ) nên theo tiêu chuẩn kẹp thì lim (x,y) (,) f(x, y) =, do đó lim (x,y) (,) f(x, y) =. Vậy ( lim (x,y) (,) (x3 + y 3 1 ) ) sin x 2 + y 2 =. T có thể mở rộng khái niệm giới hạn bằng vô hạn tương tự như với hàm một biến. Ví dụ T có 1 + y lim (x,y) (,1) x 2 = +. lim (x,y,z) (,,) x y 2 + z 2 = +. Giới hạn củ hàm số thông qu dãy Tương tự như trường hợp hàm một biến, t có khái niệm giới hạn củ dãy trong R n. Định nghĩ không có gì khác trong trường hợp n = 1. T nói rằng một dãy các điểm x m, m Z + trong R n hội tụ tới x nếu lim m x m x =. Khi đó t viết lim m x m = x. o định nghĩ củ khoảng cách và độ lớn Euclid, t có thể thấy giới hạn củ dãy tương đương với giới hạn củ từng tọ độ, tức là nếu viết x m = (x 1 m, x 2 m,..., x n m) và x = (x 1, x 2,..., x n ) thì lim m (x1 m, x 2 m,..., x n m) = (x 1, x 2,..., x n ) lim m x1 m = x 1, lim m x2 m = x 2,..., Chúng t có một liên hệ giữ hội tụ củ dãy và hội tụ củ hàm số: lim m xn m = x n. Mệnh đề Hàm f có giới hạn L khi x dần đến khi và chỉ khi với mọi dãy (x m ) m Z + mà x m thì lim x m = lim f(x m) = L. m m Người đọc có thể thử giải thích kết quả này. Có thể chứng minh nó bằng lý luận xuất phát từ định nghĩ.

12 12 CHƯƠNG 1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Hàm số liên tục Định nghĩ Cho hàm số f xác định trên tập R n, t nói f liên tục tại nếu lim f(x) = f(). x Hàm f được gọi là liên tục trên nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc. Một lần nữ, khái niệm liên tục trong R n không có gì khác với liên tục trong R. Nó vẫn có ý nghĩ là: thy đổi giá trị củ hàm là nhỏ tùy ý nếu thy đổi giá trị củ biến là đủ nhỏ. Như vậy tính liên tục cho phép t kiểm soát được si số. Các khái niệm và kết quả về sự liên tục đối với hàm một biến vẫn còn giữ nguyên cho trường hợp hàm nhiều biến. Các kết quả về tính liên tục củ tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp củ các hàm liên tục, vẫn còn giữ nguyên cho trường hợp hàm nhiều biến, và có thể được suy r ngy từ các tính chất tương ứng củ sự hội tụ. Ví dụ Xét sự liên tục củ hàm số f(x, y) = { (xy) 2 x 2 +y 2 (x, y) (, ) (x, y) = (, ). T thấy hàm f liên tục tại mọi điểm (x, y) (, ). Xét tại (, ). Theo bất đẳng thức Cuchy xy x2 + y 2, 2 do đó suy r (xy) 2 x 2 + y 2 (x2 + y 2 ) 2 4(x 2 + y 2 ) = (x2 + y 2 ) 2, 4 lim f(x, y) lim (x 2 + y 2 ) 2 (x,y) (,) (x,y) (,) 4 Vậy lim (x,y) (,) f(x, y) = = f(, ). Như vậy f liên tục tại mọi điểm trên miền xác định. =. Bài tập Tìm () lim (x,y) (,) x 2 y x 2 +4y 2 (b) lim (x,y) (,) x 2 y 3 x 2 + y 2 (c) lim (x,y) (,) (sin 2 x)y x 2 + y Hàm f(x, y) = { xy 2 x 2 +y 2 (x, y) (, ) (x, y) = (, ) có liên tục hy không?

13 1.3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Đạo hàm củ hàm số Đạo hàm riêng phần Cho một hàm số nhiều biến z = f(x) = f(x 1, x 2,..., x n ) xác định trên một tập mở R n. Xét điểm = ( 1, 2,..., n ).T giả sử là một tập mở, hoặc thy vào đó, một cách tương đương đối với vấn đề đạo hàm, giả sử là một điểm trong củ. Cố định x 2 = 2, x 3 = 3,..., x n = n thì f(x 1, x 2,..., x n ) là hàm chỉ theo một biến là x 1. Nếu hàm này có đạo hàm tại x 1 = 1 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng phần củ hàm z = f(x 1, x 2,..., x n ) theo biến x 1 (biến thứ nhất) tại điểm = ( 1, 2,..., n ). Đạo hàm riêng phần thực chất là đạo hàm theo một biến số khi tất cả các biến còn lại nhận giá trị cố định. Như vậy đạo hàm riêng phần cũng chỉ là đạo hàm. Khi tính đạo hàm riêng theo biến nào thì t coi các biến còn lại như là hằng số, và tính đạo hàm theo biến đng xét theo cách tính đạo hàm củ hàm một biến. Chính thức, từ định nghĩ củ đạo hàm củ hàm một biến, t có định nghĩ su: Định nghĩ Cho f : R n R và = ( 1, 2,..., n ) là một điểm trong củ. Giới hạn f( 1 + h 1, 2,..., n ) f( 1, 2,..., n ) lim, h 1 h 1 nếu có, được gọi là đạo hàm riêng theo biến thứ nhất củ f tại. Giả thiết là điểm trong củ miền xác định là để đảm bảo tồn tại f( 1 +h 1, 2,..., n ) khi h 1 đủ nhỏ. T kí hiệu đạo hàm riêng phần trên bởi một trong các cách su: f x1 (x), f x 1 (x), f 1 (x), f 1 f(x), (x), hy z (x). x 1 x 1 Ghi chú Giải thích củ chúng t rằng đạo hàm riêng là đạo hàm khi chỉ một biến thy đổi có nghĩ chính xác như su: nếu t đặt g(x 1 ) = f(x 1, 2,..., n ) thì g là hàm chỉ theo một biến là x 1 và f x 1 () chính là g ( 1 ). Ý nghĩ củ đạo hàm riêng là ý nghĩ củ đạo hàm mà t đã biết: đạo hàm riêng đo tỉ lệ thy đổi giữ giá trị củ hàm với giá trị củ biến đng xét tại điểm đng xét. Giá trị củ đạo hàm riêng theo một biến cho thấy hàm đng thy đổi như thế nào theo biến đó. Vì thế mỗi khi muốn khảo sát sự thy đổi củ các đại lượng người t thường thấy sự xuất hiện củ đạo hàm riêng. 1 Ví dụ cho f(x, y) = x 3 y 2. Muốn tính f x t xem y như hằng số và biến số là x, như thế f x (x, y) = 3x2 y 2. Tương tự, f y (x, y) = 2x3 y. Khi f có đạo hàm riêng theo tất cả các biến tại x thì t gọi grdient 2 củ f tại x, ký hiệu grd f(x) hy f(x) (nbl) là vectơ mà các thành phần là các đạo hàm riêng: ( f f(x) = (x), f (x),..., f ) (x). x 1 x 2 x n Ví dụ Xét hàm f : R 2 R xác định bởi f(x, y) = x 2 + y 2. Tính f(, 1). T có f f f f x (x, y) = 2x, do đó x (, 1) =. Tương tự y = 2y, do đó, y (, 1) = 2. Vậy f(, 1) = (, 2). 1 Thuật ngữ đạo hàm trong tiếng Anh là derivtive, có nghĩ là dẫn xuất, từ một cái khác mà r: đạo hàm củ một hàm là một hàm dẫn xuất từ hàm bn đầu. 2 trong tiếng Anh grdient có nghĩ là dốc, nghiêng,...

14 14 CHƯƠNG 1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Mặt phẳng tiếp xúc và Xấp xỉ tuyến tính Giả sử f(x, y) khả vi trong một lân cận củ điểm (, b). Đặt r(x, y) = (x, y, f(x, y)). Ảnh củ r chính là đồ thị củ f. Nếu t cố định y = b thì r(x, y) trở thành một đường đi trên đồ thị củ f. Vận tốc củ đường đi đó là r x (, b) = x r(, b) = (1,, f x(, b)). Vectơ này tiếp xúc với đồ thị củ f tại điểm (, b, f(, b)). Tương tự, cố định x = t được một vectơ tiếp xúc nữ là r y (, b) = (, 1, f y (, b)). Hi vectơ tiếp xúc này căng một mặt phẳng, được gọi là mặt phẳng tiếp xúc củ đồ thị củ f ở điểm (, b). Mặt phẳng này có một vectơ pháp tuyến là r x (, b) r y (, b) = ( f x (, b), f y (, b), 1). Từ đó t có một phương trình cho mặt phẳng tiếp xúc là (x )f x (, b) (y b)f y (, b) + (z f(, b)) =, hy z = f(, b) + f x (, b)(x ) + f y (, b)(y b). Ý chính củ xấp xỉ tuyến tính là dùng mặt phẳng tiếp xúc để xấp xỉ đồ thị. Như thế với (x, y) (, b) t có xấp xỉ f(x, y) f(, b) + f x (, b)(x ) + f y (, b)(y b). Một cách viết khác là f(x, y) f x (, b) x + f y (, b) y Khả vi và Đạo hàm Với hàm một biến t đã thấy f f(x + h) f(x) (x) = lim. h h Nếu đạo hàm f (x) tồn tại thì t có thể viết ɛ(h) = f(x + h) f(x) h f(x) và f(x + h) = f(x) + f (x)h + ɛ(h)h, với lim h ɛ(h) =. Giờ t làm tương tự cho hàm nhiều biến. Hàm f được gọi là khả vi tại p, nếu trong một lân cận củ p t có thể viết f(x + h) = f(x) + c h + ɛ(h) h, với c R n và lim h ɛ(h) =. Khi đó t đặt gọi đạo hàm củ f tại p là ánh xạ f (p) : R n R được cho bởi f (p)(h) = c h. Như vậy khả vi nghĩ là có đạo hàm. Hàm khả vi có nghĩ là hàm có thể được xấp xỉ tốt bằng xấp xỉ tuyến tính. Đạo hàm chính là xấp xỉ tuyến tính đó. Mệnh đề Nếu hàm f có tất cả các đạo hàm riêng liên tục trong một lân cận củ điểm p thì hàm f khả vi tại điểm p. Hơn nữ khi đó f (p)(h) = f(p) h, tức là ánh xạ tuyến tính f (p) được đại diện trong cơ sở chính tắc củ R n bởi vectơ grdient f(p).

15 1.3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Đạo hàm riêng cấp co T biết đạo hàm cấp co củ hàm một biến số được định nghĩ theo quy nạp: đạo hàm cấp n bằng đạo hàm củ đạo hàm cấp (n 1). Đối với hàm nhiều biến khái niệm tương ứng là đạo hàm riêng và đạo hàm riêng cấp co. Cho f : R n R. Nếu f x i tồn tại tại mọi điểm x thì t có một hàm mới f x i : R x f x i (x). T lại có thể xét đạo hàm riêng củ hàm f x i này, tức là ( ) f. x j x i Các đạo hàm này, nếu có, được gọi là các đạo hàm riêng cấp 2 củ f. T thường dùng ký hiệu ( ) f = 2 f = f xi x x j x i x j x j. i Tương tự, nếu f có các đạo hàm riêng cấp 2 tại mọi điểm củ thì đạo hàm riêng theo các biến củ các đạo hàm riêng cấp 2 này gọi là đạo hàm riêng cấp 3 củ f, ký hiệu là ( 2 ) f 3 f = = f xi x x k x j x i x k x j x j x k. i Ví dụ Hàm f(x, y) = x 3 y 4 4xy 2 có f x (x, y) = 3x 2 y 4 4y 2, f y (x, y) = 4x 3 y 3 8xy. Các đạo hàm cấp 2 là f xx (x, y) = 6xy 4, f xy (x, y) = 12x 2 y 3 8y = f yx (x, y), f yy (x, y) = 12x 3 y 2 8x. Ví dụ Hàm f(x, y) = x 2 e y + x 3 y 2 y 5 có f x (x, y) = 2xe y + 3x 2 y 2, f y (x, y) = x 2 e y + 2x 3 y 5y 4, f xy (x, y) = 2xe y + 6x 2 y = f yx (x, y). Trong các ví dụ trên t thấy f xy = f yx. Đây không phải là tình cờ. Định lý su cho biết một điều kiện đủ để hi đạo hàm riêng hỗn hợp bằng nhu. Định lý Nếu f : R n R có tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trên thì 2 f = 2 f x i x j x j x i trên, với mọi i, j = 1, 2,..., n. Vậy nếu các đạo hàm riêng liên tục thì thứ tự lấy đạo hàm không ảnh hưởng tới kết quả. Chứng minh. T viết chứng minh cho trường hợp n = 2 cho dễ theo dõi hơn. Trường hợp tổng quát không có gì khác về nội dung. Theo định nghĩ f y ( + h, b) f y (, b) f yx (, b) = lim h h = lim h lim k f(+h,b+k) f(+h,b) k h lim k f(,b+k) f(,b) k 1 = lim lim [(f( + h, b + k) f( + h, b)) (f(, b + k) f(, b))]. h k hk

16 16 CHƯƠNG 1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Đặt g(x) = f(x, b + k) f(x, b) thì [f( + h, b + k) f( + h, b)] [f(, b + k) f(, b)] = g( + h) g(). Vì g khả vi liên tục nên theo Định lý giá trị trung bình (xem [Bmgt1]) có một số θ giữ và + h so cho g( + h) g() = g (θ)h. Chú ý g (x) = f x (x, b + k) f x (x, b), t được [f( + h, b + k) f( + h, b)] [f(, b + k) f(, b)] = [f x (θ, b + k) f x (θ, b)]h. Vì f x (θ, y) là hàm khả vi liên tục theo biến y nên lại theo Định lý giá trị trung bình có một số δ giữ b và b + k so cho f x (θ, b + k) f x (θ, b) = f xy (θ, δ)k. Vậy f yx (, b) = lim h lim k f xy (θ, δ). Chú ý θ và δ phụ thuộc vào (h, k). Khi h và k đủ nhỏ thì (θ, δ) đủ gần (, b), và vì f xy liên tục nên f xy (θ, δ) gần tùy ý f xy (, b). o đó giới hạn ở vế phải bằng f xy (, b). Bài tập Cho Tìm f f (1, 2) và (1, 2). x y f(x, y) = y x 1 + t3 dt Cho z = f(x, y), x = u v, y = v u. Chứng tỏ z u + z v = Cho z = f(x 2, y 4 ). Tính 2 z x y Điện thế V trong một mạch điện đơn giản đng giảm dần vì pin cũ đi. Điện trở R đng dần tăng lên do thiết bị bị nóng lên. Theo định luật Ohm, V = IR. Hãy tìm xem cường độ dòng điện I đng thy đổi như thế nào khi R = 4Ω, I =.8A, dv/dt =.1V/s, và R/dt =.3Ω/s Tìm một xấp xỉ tuyến tính củ hàm f(x, y) = x xy + y 2 gần điểm (x, y) = (5, 6). Viết phương trình cho mặt phẳng tiếp xúc củ đồ thị ở điểm (x, y) = (5, 6). Ước lượng f(5.1, 5.9) Cho f y (1, 2) = 5, f x (1, 2) = 1, f(1, 2) = 45. Hãy ước lượng f(11, 18) Tìm xấp xỉ tuyến tính củ hàm f(x, y) = x 2 y 3 gần điểm (x, y) = (2, 1) Tìm điểm trên mặt 2x 2 + xy + y 2 + 4x + 8y z + 14 = mà tiếp xúc với mặt phẳng 4x + y z = Tìm mặt phẳng tiếp xúc củ mặt tại điểm (1, 1, 2). x 2 + y 2 + z 2 + x 4 y 4 + x 4 z 4 + y 4 z 4 9z = Chứng tỏ với mỗi c, hàm u(x, t) = (2 cos(ct) + 3 sin(ct)) sin(x) là nghiệm củ phương trình sóng u tt = c 2 u xx Giả sử có hi món hàng có số lượng sản phẩm lần lượt là x 1 và x 2, với giá cố định trên mỗi đơn vị sản phẩm là p 1 và p 2. Gọi U(x 1, x 2 ) là số thực đại diện cho giá trị sử dụng. Giả sử ngân sách sử dụng là cố định. Các đạo hàm U x 1 và U x 1 được gọi là các giá trị sử dụng cận biên lần lượt củ hi món hàng. Chứng tỏ rằng nếu giá trị sử dụng là tối ưu thì tỉ lệ giá trị sử dụng cận biên củ hi món hàng đúng bằng tỉ lệ giá củ hi món hàng đó Một vật hình hộp chữ nhật đng có kích thước dài 1 mét, rộng 2 mét, co 3 mét. ưới tác động củ môi trường kích thước củ vật đng thy đổi, chiều dài tăng với tốc độ, 3 mét/giây, chiều rộng tăng, 2 mét/giây, và chiều co giảm, 1 mét/giây. Hỏi thể tích củ vật đng tăng hy đng giảm?

17 1.4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM VECTƠ Đạo hàm củ hàm vectơ Tổng quát hơn hàm số t có hàm vectơ. Đó đơn giản là những ánh xạ f : R n R m. Mỗi hàm vectơ f như vậy là một bộ củ m hàm số củ n biến, cụ thể nếu t viết f(x 1, x 2,..., x n ) = (f 1 (x 1, x 2,..., x n ), f 2 (x 1, x 2,..., x n ),..., f m (x 1, x 2,..., x n )) thì f = (f 1, f 2,..., f m ) trong đó các f i là các hàm số củ n biến. Ví dụ Một ánh xạ r : (, b) R R m, r(t) = (x 1 (t), x 2 (t),..., x m (t)) thường được gọi là một đường đi trong R m, mô hình hó chuyển động trong không gin theo thời gin. Ví dụ đường (x(t) = cos t, y(t) = sin t, z(t) = t) được gọi là đường xoắn. Vì không gin đến R m có sẵn khoảng cách Euclid, nên khái niệm hội tụ và liên tục có thể mở rộng từ hàm số lên hàm vectơ mà không thy đổi nội dung. Bây giờ t bàn tới khái niệm đạo hàm. Cho x là một điểm trong củ. Nếu có một hàm tuyến tính f (x) : R n R m so cho có một quả cầu B(x, ɛ) và một hàm r : B(x, ɛ) R m thỏ mãn: f(x + h) = f(x) + f (x)(h) + r(h), h B(x, ɛ) r(h) và lim h h =, thì ánh xạ f (x) (còn được kí hiệu là df(x)) được gọi là đạo hàm (derivtive - dẫn xuất) củ f tại x. Vậy đạo hàm cho một xấp xỉ tuyến tính củ hàm: f(x + h) f(x) + f (x)(h). Có thể thấy ngy, nếu hàm có đạo hàm (khả vi) thì nó liên tục. M trận các ( đạo hàm) riêng củ f tại x được gọi là m trận Jcobi 3 củ f tại x, kí hiệu là J f (x) = fi x j (x) 1 i m, 1 j n. Ví dụ Khi m = 1 m trận Jcobi J f (x) chính là vectơ grdient f(x) = ( f (x),..., f ) (x). x 1 x n Trong định nghĩ đạo hàm nếu lấy h = e i thì t được ngy: Nếu hàm f có đạo hàm thì nó có các đạo hàm riêng, và ánh xạ đạo hàm f (x) được biễu diễn trong cơ sở chuẩn tắc (e i ) bởi m trận Jcobi J f (x). Ngược lại, nếu tất cả các đạo hàm riêng củ các hàm thành phần củ f tồn tại và liên tục tại x thì t nói f khả vi liên tục hy trơn tại x. T có: Mệnh đề Nếu f khả vi liên tục tại x thì f có đạo hàm tại x, và ánh xạ tuyến tính f (x) có thể biểu diễn trong cơ sở tuyến tính chuẩn tắc củ R n bởi m trận Jcobi J f (x), tức là f (x)(h) = J f (x) h, trong đó phép nhân bên vế phải là phép nhân m trận. Lưu ý là tổng quát ở mọi số chiều, người t coi đạo hàm tại một điểm là một ánh xạ tuyến tính, không phải một bộ số. Bộ số này chỉ đóng vi trò làm m trận biểu diễn cho ánh xạ tuyến tính. Tuy vậy trong môn học này để cụ thể hơn t thường đồng nhất ánh xạ đạo hàm tại một điểm với m trận Jcobi biễu diễn ánh xạ đó. 3 Jcobi là họ củ một nhà toán học sống vào thế kỉ 19

18 18 CHƯƠNG 1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm theo hướng Cho hàm f : R n R m và x là một điểm trong củ. Đạo hàm củ hàm f tại điểm x theo hướng vectơ u R n được định nghĩ là f(x + hu) f(x) u f(x) = lim. h h Đây là tỉ lệ thy đổi củ hàm theo biến củ nó khi biến chỉ được thy đổi theo hướng cho trước. Người t thường qui ước lấy các vectơ có độ dài bằng 1 để chỉ hướng, mục đích là để chiều dài củ vectơ chỉ hướng không làm ảnh hưởng tới các khái niệm liên qun tới hướng. Đặt g(h) = f(x + hu) thì u f(x) = dg dh () = g (). ùng đạo hàm hàm hợp t được Vậy g () = f (x) d dh (x + hu) h= = J f (x) u. u f(x) = J f (x) u. Trong trường hợp f là hàm số t được công thức biễu diễn đạo hàm theo hướng qu vectơ grdient: u f(x) = f(x) u. (1.4.1) Từ công thức trên t suy r u (f)(x) = f(x) u là lớn nhất khi và chỉ khi vectơ đơn vị u có cùng hướng với f(x), tức là u = f(x) f(x). Giá trị lớn nhất củ u(f)(x) là f(p). Vậy giá trị củ hàm tăng nhnh nhất theo hướng củ vectơ grdient. Tương tự, giá trị củ hàm giảm nhnh nhất theo hướng đối củ vectơ grdient. Ngoài r từ định nghĩ củ đạo hàm t suy r ngy f f(x + tu) f(x) (x)(u) = lim = u f(x). t t Vậy f (x)(u) bằng đạo hàm củ f tại x theo hướng u, đo tỉ lệ thy đổi củ f tại x theo hướng u Đạo hàm củ hàm hợp Giả sử f là hàm số củ x và y, nhưng x và y lại là hàm số củ t. Như thế t có thể xem f cũng phụ thuộc vào t, là hàm củ t. T muốn tính đạo hàm củ f theo t. Đây là vấn đề đạo hàm củ hàm hợp. Định lý Cho hàm số f(x, y) với x = x(t) và y = y(t), t R. Đặt z(t) = f((x(t), y(t)). Giả sử f, x và y khả vi. Khi đó dz dt (t) = f x (x(t), y(t)) dx dt (t) + f y dy (x(t), y(t)) (t). (1.4.2) dt Người t thường hiểu ngầm f là hàm củ t, tuy đúng r phải đặt r một hàm hợp mới là z = f((x(t), y(t)), để công thức ngắn gọn hơn và đỡ phải đặt thêm biến mới, và viết tắt rằng df dt = f dx x dt + f dy y dt. (1.4.3)

19 1.4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM VECTƠ 19 T có một cách giải thích Công thức (1.4.2) (không phải chứng minh) dự trên xấp xỉ tuyến tính như su. Vì z f x (x, y) x + f y (x, y) y f x (x, y)x (t) t + f y (x, y)y (t) t nên z t f x(x, y)x (t) + f y (x, y)y (t). ùng khái niệm đạo hàm chứ không dùng đạo hàm riêng, t có thể viết công thức đạo hàm hàm hợp theo cùng hình thức như với hàm một biến. Cho U, V, W là tập mở củ R k, R l, R p theo thứ tự đó, cho f : U V nd g : V W có đạo hàm, t có công thức đạo hàm hàm hợp (g f) (x) = g (f(x)) f (x). Chú ý rằng ở vế phải là hợp củ hi ánh xạ tuyến tính. Nếu viết ở dạng m trận biểu diễn thì công thức này cho J g f (x) = J g (f(x)) J f (x). (1.4.4) Ở vế phải tích là phép nhân củ m trận. Ví dụ Cho z = f(x, y), với (x, y) = r(t). Công thức đạo hàm hàm hợp (1.4.4) trở thành hy ngắn gọn hơn d(f r) (t) = dt df(x(t), y(t)) (t) = ( f)(x(t), y(t)) (x (t), y (t)) dt = f x (x(t), y(t)) x t z (t) + (x(t), y(t)) y y t (t), z t = z x x t + z y y t. Vậy t thu lại được công thức đạo hàm hàm hợp (1.4.2). Bài tập Đặt hệ tọ độ trên một vùng trên mặt phẳng so cho hướng trục x là hướng đông và hướng trục y là hướng bắc. Nhiệt độ tại một điểm có tọ độ (x, y) trong vùng được mô hình hó bởi công thức T (x, y) = 1e 2x2 +3y 2. Tại điểm có tọ độ (1, 2): () Nếu đi về hướng đông thì nhiệt độ tăng hy giảm? (b) Nếu đi về hướng đông bắc thì nhiệt độ tăng hy giảm? (c) Nên đi theo hướng nào để nhiệt độ giảm nhnh nhất? Cho f(x, y) = y x. Tìm đạo hàm củ f tại điểm (1, 2) theo hướng củ vectơ (2, 3) (lưu ý cần lấy vectơ đơn vị). Tìm hướng tại điểm (1, 2) mà giá trị củ hàm f tăng nhnh nhất Tìm đạo hàm củ f(x, y) = 5x 2 y 3 tại điểm (1, 1) theo hướng tới điểm (3, 2) Cho T (x, y) = x 2 + y 2 x y là nhiệt độ tại điểm (x, y) trên mặt phẳng. Một con kì nhông đng nằm ở điểm (1, 3) đng muốn được ấm lên càng nhnh càng tốt. Nó nên bò theo hướng nào? Cho u, v : (, b) R 3. Hãy kiểm tr các công thức su về đạo hàm: () (u v) = u v + u v. (b) (u v) = u v + u v Cho f, g : R n R. Chứng tỏ nếu f, g có đạo hàm riêng theo mọi biến tại x, thì

20 2 CHƯƠNG 1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN () (b) (c) nếu g(x) thì (f + g)(x) = f(x) + g(x), (fg)(x) = g(x) f(x) + f(x) g(x), ( ) f (x) = 1 g g 2 (g(x) f(x) f(x) g(x)). (x) 1.5 Cực trị củ hàm số nhiều biến Như t đã thấy với hàm một biến, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là một bài toán phổ biến, được gọi là bài toán cực trị hy bài toán tối ưu hó. Ở bài này chúng t phát triển một số phương pháp để khảo sát bài toán này. Ở đây có sự tương tự với hàm một biến, nhưng cũng có những điều mới do tính nhiều chiều. Cũng giống như đối với hàm một biến, t chi vấn đề thành hi phần: cực trị đị phương và cực trị toàn cục. Định nghĩ Hàm f : R n R có cực đại đị phương (hy cực đại tương đối) tại nếu có một quả cầu B(, r) so cho f() f(x) với mọi x B(, r). Tương tự f : R n R có cực tiểu đị phương (hy cực tiểu tương đối) tại nếu có một quả cầu B(, r) so cho f() f(x) với mọi x B(, r). Cực tiểu và cực đại được gọi chung là cực trị. Chú ý rằng nếu hàm có cực trị đị phương ở một điểm thì điểm đó phải là một điểm trong củ miền xác định. Định nghĩ Hàm f : R n R có cực đại toàn cục (hy cực đại tuyệt đối) tại nếu f() f(x) với mọi x. Khi đó f() là giá trị lớn nhất củ f. Tương tự f : R n R có cực tiểu toàn cục (hy cực tiểu tuyệt đối) tại nếu f() f(x) với mọi x. Khi đó f() là giá trị nhỏ nhất củ f. o định nghĩ cực trị đị phương, bài toán cực trị với tập xác định củ hàm mục tiêu là tập mở thì được gọi bài toán không có ràng buộc, ngược lại bài toán với tập xác định củ hàm mục tiêu không là tập mở được gọi là bài toán cực trị có ràng buộc Cực trị không có ràng buộc Với hàm một biến, để hàm khả vi có cực trị đị phương tại một điểm thì đạo hàm phải bằng tại điểm đó. Đối với hàm nhiều biến, một cực trị theo tất cả các biến hẳn nhiên phải là một cực trị theo từng biến, do đó đạo hàm theo từng biến phải bằng tại điểm đó. Vậy một điều kiện cần để có cực trị đị phương là tất cả các đạo hàm riêng phải bằng : Định lý (Điều kiện cần cấp 1). Nếu f : R n R khả vi tại và f có cực f trị đị phương tại thì f() =, nghĩ là i = 1,..., n, x i () =. Chứng minh. Đặt = ( 1, 2,..., n ), một điểm trong củ. Hàm một biến ϕ 1 : t f(t, 2,..., n ) xác định trong một khoảng mở I chứ 1 và khả vi tại 1. Vì f có cực trị đị phương tại nên ϕ 1 có cực trị đị phương tại 1. o vậy = ϕ 1 ( 1) = f x 1 (). Tương tự f x 2 () = f x 3 () = = f x n () =.

21 1.5. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 21 Nếu tại các đạo hàm riêng cấp một triệt tiêu thì được gọi là một điểm dừng hy điểm tới hạn. Đây là những điểm ở đó có thể xảy r cực trị đị phương. Như vậy t tìm cực trị đị phương trong các điểm dừng. Việc các đạo hàm riêng cấp một triệt tiêu tại điểm cực trị chỉ là điều kiện cần, nhưng không phải là điều kiện đủ. Ví dụ Xét hàm hi biến f(x, y) = x 2 y 2. T có f x f (, ) = y (, ) =, nhưng f(x, ) > f(, ) > f(, y) với mọi x và y. Vậy (, ) là một điểm dừng, nhưng hàm không có cực trị đị phương tại (, ). Điểm (, ) thường được gọi, dự vào hình dạng đồ thị, là một điểm yên, xem Hình Như vậy cần lưu ý rằng cực trị đị phương phải xảy r ở điểm dừng, nhưng điều ngược lại không đúng. Để tìm điều kiện đủ, t nhớ lại trong hàm một biến tại các điểm dừng t đã dùng dấu củ đạo hàm bậc hi để có thể kiểm soát chặt chẽ hơn cách thy đổi củ hàm. Cho f khả vi liên tục mọi cấp trong một quả cầu B(x, r). Với h so cho h < r t đặt g(t) = f(x + th), t ( 1, 1). Giá trị củ hàm g là giá trị củ hàm f khi biến chỉ di chuyển dọc theo đoạn thẳng từ x tới h. Hàm g khả vi liên tục mọi cấp, và t tính được đạo hàm củ nó theo qui tắc đạo hàm hàm hợp: g (t) = 1 i n g () = 1 i n g (t) = g () = f x i (x + th)h i, (1.5.1) f x i (x)h i, (1.5.2) 1 i n 1 j n 1 i n 1 j n 2 f x i x j (x + th)h i h j, (1.5.3) 2 f x i x j (x)h i h j. (1.5.4) T có thể đoán rằng dấu củ g () có thể có vi trò trong điều kiện đủ cho cực trị. Chẳng hạn nếu g () > và g () = thì theo kết quả về hàm một biến chắc chắn g(t) = f(x + th) g() = f(x) với mọi t đủ bé (phụ thuộc vào h). Để trình bày chính xác t dùng phương pháp khi triển Tylor. Mệnh đề (Khi triển Tylor). Cho f khả vi liên tục cấp hi trong một quả cầu B(x, r). Với mọi h B(, r) t có f(x + h) = f(x) + 1 i n f x i (x)h i với θ (, 1) phụ thuộc vào h. Một công thức khác là f(x + h) = f(x) + với lim h ɛ(h) =. 1 i n f x i (x)h i i n 1 j n 1 i n 1 j n 2 f x i x j (x + θh)h i h j, 2 f x i x j (x)h i h j + ɛ(h) h 2, Chứng minh. Áp dụng khi triển Tylor cho hàm một biến g tại t được g(t) = g() + g ()t g (θ)t 2,

22 22 CHƯƠNG 1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN với θ nằm giữ và t. Chú ý là t có thể cho t thuộc một khoảng mở chứ và 1 mà vẫn đảm bảo x + th B(x, r). Cho t = 1 t được ngy công thức thứ nhất. So sánh công thức thứ nhất và công thức thứ hi, t chỉ cần chứng minh ( 2 f lim (x + θh) h x i x j 1 i,j n 1 i,j n ùng đánh giá h i h j 1 2 (h2 i + h2 j ) 2 2 h 2 t được 1 i,j n Cho h thì ( 2 f (x + θh) 2 f ) hi h j (x) x i x j x i x j h 2 2 f x i x j (x + θh) 1 i,j n 1 i,j n 2 f x i x j (x), t được kết quả. 2 f ) hi h j (x) x i x j h 2 =. 2 f (x + θh) 2 f (x) h ih j x i x j x i x j h 2 2 f (x + θh) 2 f (x). x i x j x i x j Các đạo hàm bậc hi 2 f x i x j (x) có vi trò qun trọng trong vấn đề này. Bảng các số này xếp dưới dạng một m trận n n được gọi là m trận Hess 4, kí hiệu là Hess(f, x) = ( 2 f ) (x) x i x. j 1 i,j n Bây giờ t có thể phát biểu một điều kiện đủ cho cực trị đị phương: Định lý (Điều kiện đủ cấp 2). Giả sử f có các đạo hàm riêng cấp hi liên tục trên một quả cầu chứ x và x là một điểm dừng củ f, tức f(x) =. () Nếu m trận Hess(f, x) xác định âm, nghĩ là h = (h 1, h 2,, h n ) R n \ {} thì n n 2 f i=1 j=1 x i x j (x) h j h j <, thì f có cực đại đị phương tại x. (b) Nếu m trận Hess(f, x) xác định dương, nghĩ là h = (h 1, h 2,, h n ) R n \ {} thì n n 2 f i=1 j=1 x i x j (x) h j h j >, thì f có cực tiểu đị phương tại x. (c) Nếu m trận Hess(f, x) không xác định dương và cũng không xác định âm, thì f không có cực trị tại x, và x được gọi là một điểm yên củ f. Chứng minh. Áp dụng công thức công thức Tylor, chú ý x là điểm dừng, nghĩ là tất cả các đạo hàm bậc nhất f x i (x) đều bằng, t được f(x + h) f(x) = i n 1 j n ( 1 = 2 1 i n 1 j n 2 f x i x j (x)h i h j + ɛ(h) h 2 2 f x i x j (x) h ih j h 2 + ɛ(h) ) h 2, với lim h ɛ(h) =. Giả sử Hess(f, x) xác định dương. Với h, đặt u = h/ h, thì i n 1 j n 2 f (x) h i x i x j h 4 tên một nhà toán học sống vào thế kỉ 19 h j h = i n 1 j n 2 f x i x j (x)u i u j

23 1.5. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 23 là một hàm liên tục theo biến u trên mặt cầu đơn vị S(, 1). Vì mặt cầu có tính đóng và bị chặn (compắc) nên hàm này có giá trị lớn nhất α < (xem Định lý ). Vậy bây giờ t có f(x + h) f(x) (α + ɛ(h)) h 2. Khi h đủ nhỏ thì ɛ(h) < α, do đó f(x + h) < f(x). Vậy x là một cực đại đị phương củ f. Trường hợp Hess(f, x) xác định âm là tương tự. Nếu Hess(f, x) không xác định dương và cũng không xác định âm thì từ công thức 1 j n g () = 2 f 1 i n x i x j (x)h i h j ở Phương trình (1.5.4) t thấy tồn tại hướng h theo hướng đó g có cực đại ngặt tại, đồng thời lại tồn tại hướng h mà theo hướng đó g có cực tiểu ngặt tại. Vậy f không có cực trị tại x. (Điều này lý giải tên điểm yên, vì đồ thị củ hàm phần nào trông giống một cái yên ngự.) Tính xác định dương và xác định âm củ m trận thực r không dễ kiểm tr, trừ phi chúng t khảo sát sâu hơn về điều này (một chủ đề củ môn Đại số tuyến tính nâng co). Trong môn học này chúng t chỉ dừng lại ở việc chỉ r rằng trong trường hợp hi chiều, n = 2, có một cách rất thiết thực để kiểm tr điều này. Mệnh đề Cho m trận ( ) b H =. b c Đặt = det H = c b 2. () Nếu > và > thì H là xác định dương. (Chú ý nếu > thì và c cùng dấu, nên vi trò củ và c ở đây như nhu.) (b) Nếu > và < thì H là xác định âm, (c) Nếu < thì H không xác định dương và không xác định âm. Chứng minh. Giả sử, t biến đổi với h = (h 1, h 2 ), (h) = h bh 1 h 2 + ch 2 2 = [(h 1 + b h 2) 2 c ] b2 + 2 h 2 2. Nếu > và > thì rõ ràng h, (h) > (vì nếu h 2 = và (h 1 + b h 2 = thì h 1 = ). Tương tự, nếu > và < thì h, (h) <. Nếu <, lấy h = (1, ) thì (h) =, nhưng lấy h = ( b/, 1) thì (h) = /, trái dấu. Vậy H không xác định dương và cũng không xác định âm. Nếu = thì và (1, ) =, nên H không xác định dương và cũng không xác định âm. Tóm tắt lại, các bước để tìm cực trị củ một hàm hi biến khả vi liên tục cấp hi là: Bước 1. Tìm điểm dừng (x, y ) bằng cách giải hệ phương trình f(x, y) =. Bước 2. Tính định thức củ m trận Hess(f, (x, y )), cụ thể là tính số ( = det(hess(f, (x, y ))) = 2 f x 2 (x, y ) 2 f 2 ) 2 y 2 (x f, y ) x y (x, y ). Nếu > thì (x, y ) là điểm cực trị đị phương củ hàm f. Để phân loại điểm cực trị t xét tiếp:

24 24 CHƯƠNG 1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Nếu 2 f x 2 (x, y ) > thì f có cực tiểu đị phương tại (x, y ). Nếu 2 f x 2 (x, y ) < thì f có cực đại đị phương tại (x, y ). Nếu < thì điểm (x, y ) không là điểm cực trị củ f, và là một điểm yên củ f. Ví dụ Xét f(x, y) = x 2 + y 2. T có f x (x, y) = 2x, f y (x, y) = 2y. Giải hệ phương trình 2x = và 2y = t được điểm dừng duy nhất là (x, y) = (, ). Tính đạo hàm bậc hi, t được f xx = 2 >, f xy = f yx =, f yy = 2. Tiếp theo = [f xx f yy f 2 xy] = 4 >. Vậy hàm có cực tiểu đị phương tại (, ). Điều này t thấy ngy từ hình vẽ đồ thị củ hàm, và có thể kiểm lại được dễ dàng bằng cách khác. Tương z = x 2 + y 2 z = x 2 y 2 z = x 2 y 2 Hình 1.5.1: tự với g(x, y) = x 2 y 2 t có g x (x, y) = 2x, g y (x, y) = 2y. Điểm dừng duy nhất là (x, y) = (, ). T có g xx = 2 <, g xy = g yx =, g yy = 2, = [g xx g yy g 2 xy] = 4 >. Vậy hàm có cực đại đị phương tại (, ). Với h(x, y) = x 2 y 2 t có h x (x, y) = 2x, h y (x, y) = 2y. Điểm dừng duy nhất là (x, y) = (, ). T có h xx = 2, h xy = h yx =, h yy = 2, = [h xx h yy h 2 xy] = 4 <. Vậy hàm không có cực trị tại (, ), đó là một điểm yên. Điều này t thấy rõ từ hình vẽ đồ thị củ hàm. Ví dụ Tìm và phân loại các điểm cực trị củ hàm f(x, y) = x 4 + y 4 4xy + 1. Bước 1. Tìm các điểm dừng. Tính, f x = 4x3 4y; Cho những đạo hàm riêng này bằng, f y = 4y3 4x. x 3 y = và y 3 x =. Thế y = x 3 từ phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hi, = x 9 x = x(x 8 1) = x(x 4 1)(x 4 + 1) = x(x 2 1)(x 2 + 1)(x 4 + 1). Có 3 nghiệm thực: x =, 1, 1. Có b điểm dừng là (, ), (1, 1), và ( 1, 1). Bước 2. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 và det(hess(f, (x, y ))): 2 f x 2 (x, y) = 12x2 ; 2 f (x, y) = 4; x y 2 f y 2 (x, y) = 12y2. det(hess(f, (x, y))) = 144x 2 y Vì det(hess(f, (, ))) = 16 <, nên (, ) là một điểm yên. Vì det(hess(f, (1, 1))) = 128 > và 2 f (1, 1) = 12 >, nên f có cực tiểu đị phương tại (1, 1). Tương tự x 2 det(hess(f, ( 1, 1))) = 128 > và 2 f ( 1, 1) = 12 > nên f cũng có cực tiểu x 2 đị phương tại ( 1, 1).

25 1.5. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN Cực trị có ràng buộc T xét bài toán tìm cực trị củ f(x) thỏ điều kiện g(x) = c trong đó c là một hằng số thực. Đây là một bài toán cực trị có ràng buộc, hy còn được gọi là cực trị có điều kiện. T vẫn tìm cực trị củ một hàm f, tuy nhiên bây giờ miền xác định củ hàm f là tập có dạng g 1 ({c}). Tập như vậy có thể không phải là một tập mở, thậm chí có phần trong bằng tập rỗng, khiến cho các phương pháp củ chúng t ở phần trước không áp dụng được. Ví dụ Tìm cực trị củ hàm f(x, y) = x + y thỏ x 2 + y 2 = 1. T có thể nhìn bài toán như là tìm cực trị củ x + y trên đường tròn đơn vị. Vì đường tròn đơn vị có phần trong bằng rỗng. T hết t khảo sát trường hợp hi chiều, n = 2. Trong trường hợp này đồ thị củ hàm có thể là một mặt trong R 3 nên t có trực qun hình học. Bài toán là { Tìm cực trị củ f(x, y) thỏ g(x, y) = c. (1.5.5) Trong trường hợp này, dưới một số điều kiện nhất định mà t sẽ chỉ r, phương trình g(x, y) = c xác định một đường cong phẳng C, gọi là một đường mức củ hàm g. Giả sử (x, y ) là một điểm trên C. Qunh điểm này t có thể thm số hó đường C như là r(t) = (x(t), y(t)), với r() = (x, y ). T luôn có g(r(t)) = c, do đó lấy đạo hàm theo t t được g(r(t)) r (t) =, đặc biệt g(x, y ) r () =. Về mặt hình học điều này có nghĩ là vectơ g(x, y ) phải vuông góc với vectơ r (). Mà vectơ r () là vectơ vận tốc củ đường r tại điểm r(), t đi đến một qun sát then chốt: vectơ grdient củ một hàm luôn vuông góc với đường mức củ hàm đó. Bây giờ giả sử (x, y ) là một nghiệm đị phương củ Bài toán (1.5.5). Như thế hàm f(r(t)) có cực trị đị phương tại t =, do đó đạo hàm phải bằng tại t =, tức là = d dt (f(r(t)) t= = f(r()) r (). Ý nghĩ hình học là vectơ grdient củ hàm mục tiêu f cũng phải vuông góc với đường C tại điểm cực trị đị phương. Như thế trên mặt phẳng t có hi vectơ g(x, y ) và f(x, y ) cùng vuông góc với đường C tại điểm (x, y ), do đó hi vectơ này phải cùng phương, dẫn tới có một số thực λ so cho f(x, y ) = λ g(x, y ). Số thực này được gọi là nhân tử Lgrnge. Lý luận trên là cơ sở cho phương pháp nhân tử Lgrnge su đây: Định lý (Điều kiện cần cấp 1 Phương pháp nhân tử Lgrnge). Giả sử f và g khả vi liên tục trên trên tập mở Ω trong R 2. Nếu (x, y ) là một nghiệm đị phương củ Bài toán (1.5.5) thỏ g(x, y ), thì phải tồn tại λ R so cho f(x, y ) + λ g(x, y ) =, tức là { f x (x, y ) + λ g x (x, y ) = f y (x, y ) + λ g y (x, y ) =. Như vậy để giải bài toán cực trị t giải hệ phương trình gồm 3 phương trình và 3 ẩn x, y, λ: f g x (x, y) + λ x (x, y) = f g y (x, y) + λ y (x, y) = g(x, y) = c.

26 26 CHƯƠNG 1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Chứng minh. Chứng minh này chỉ là chi tiết hó củ lý luận hình học ở trên. Sự tồn tại củ một thm số hó đị phương củ đường mức sẽ được kiểm tr bằng định lý hàm ẩn. Trước hết t thấy rằng vì g(x, y ) nên g x (x, y ) hoặc g y (x, y ) và do vậy không mất tính tổng quát t giả sử g y (x, y ). Áp dụng được định lý hàm ẩn cho hàm g, tồn tại một khoảng mở I chứ x và một khoảng mở J chứ y và một hàm φ : I J khả vi liên tục so cho x I, g(x, φ(x)) = c, φ(x ) = y, và {(x, y) I J g(x, y) = } = {(x, φ(x)) x I}. Điều này có nghĩ là qunh điểm (x, y ) đường mức là đồ thị củ một hàm theo biến x. Từ phương trình g(x, φ(x)) = c lấy đạo hàm theo biến x t được g g (x, φ(x)) + x y (x, φ(x))φ (x) =. o hàm f có cực trị đị phương tại (x, y ) nên x là điểm xảy r cực trị đị phương củ hàm một biến f(x) = f(x, φ(x)) nên phải có Đặt λ = f y (x,y ) g y (x,y ) thì f (x ) = f x (x, φ(x )) + f y (x, φ(x ))φ (x ) =. f x (x, (y )) = φ (x ) f y (x, y ) = φ (x )λ g y (x, y ) = λ g x (x, y ). Như thế λ chính là nhân tử Lgrnge. Bây giờ t tổng quát hó các kết quả trên cho trường hợp hàm n biến. Cho hàm f định nghĩ trên tập mở Ω trong R n. T xét bài toán { Tìm cực trị củ f(x) thỏ g i (x) = c i, 1 i p < n. (1.5.6) Làm tương tự trường hợp n = 2, t có thể thu được một tổng quát hó củ phương pháp nhân tử Lgrnge: Định lý Cho f và g i, 1 i p khả vi liên tục trên tập mở Ω trong Rn và Ω. Nếu các điều kiện su thỏ () là nghiệm đị phương củ Bài toán (1.5.6), (b) g 1 (), g 2 (),..., g p () độc lập tuyến tính, thì tồn tại λ 1, λ 2,..., λ p R so cho f() + p λ j g j () =. j=1

27 1.5. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Trong phần này chúng t khảo sát bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, tức là tìm cực trị toàn cục. Một tập đóng và bị chặn trong R n còn được gọi là một tập compắc. 5 Định lý Một hàm liên tục trên một tập compắc thì có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đó. Đây là một tổng quát hó củ Định lý giá trị lớn nhất và nhỏ nhất củ hàm một biến. Chứng minh củ nó vượt r khỏi phạm vi củ môn học này, thường có trong các giáo trình nhập môn Giải tích. Áp dụng định lý này, để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất củ một hàm liên tục trên một tập compắc t thực hiện các bước su: Bước 1. Tìm các giá trị củ f ở phần trong củ tập, dùng các phương pháp củ cực trị không có ràng buộc. Bước 2. Tìm các giá trị cực trị củ f trên biên củ tập, dùng các phương pháp củ cực trị có ràng buộc. Bước 3. Số lớn nhất trong các giá trị ở Bước 1 và Bước 2 là giá trị lớn nhất và số nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất. Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất củ hàm số f(x, y) = x 2 2xy + 2y trong hình chữ nhật = {(x, y) x 3, y 2}. Trước hết t thấy f là một đ thức nên nó liên tục trên hình chữ nhật đóng và bị chặn. Trước hết t thực hiện Bước 1, xét phần trong củ hình chữ nhật. Giải hệ f x (x, y) = 2x 2y =, f y (x, y) = 2x + 2 =, t có được điểm dừng duy nhất là (1, 1), và giá trị củ f ở đó là f(1, 1) = 1. Hình 1.5.2: Trong Bước 2 chúng t nhìn các giá trị củ f trên biên củ, bo gồm 4 đoạn thẳng L 1, L 2, L 3, L 4 được biểu diễn trong Hình Trên L 1 chúng t có y = và f(x, ) = x 2, x 3. Đây là một hàm tăng củ x, do đó giá trị nhỏ nhất củ nó là f(, ) = và giá trị lớn nhất củ nó là f(3, ) = 9. Trên L 2 t có x = 3 và f(3, y) = 9 4y, y 2. 5 từ compct trong tiếng Anh có nghĩ là gọn, chặt,...

28 28 CHƯƠNG 1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Đây là một hàm giảm củ y, do đó giá trị cực đại củ nó là f(3, ) = 9 và giá trị cực tiểu củ nó là f(3, 2) = 1. Trên L 3 chúng t có y = 2 và f(x, 2) = x 2 4x + 4, x 3. Bằng các phương pháp củ vi phân hàm một biến, hy đơn giản bằng cách qun sát rằng f(x, 2) = (x 2) 2, chúng t thấy rằng giá trị cực tiểu củ hàm số này là f(2, 2) = và giá trị cực đại là f(, 2) = 4. Cuối cùng, trên L 4 chúng t có x = và f(, y) = 2y, y 2 với giá trị cực đại f(, 2) = 4 và giá trị cực tiểu f(, ) =. o đó, trên biên, giá trị nhỏ nhất củ f là và giá trị lớn nhất là 9. Trong Bước 3 chúng t so sánh các giá trị này với giá trị f(1, 1) = 1 tại điểm dừng và kết luận rằng giá trị lớn nhất củ f trên là f(3, ) = 9 và giá trị nhỏ nhất là f(, ) = f(2, 2) =. Bài tập Tìm và phân loại các điểm tới hạn củ hàm số. () f(x, y) = x 2 xy + y 2 + 9x 6y + 1 (b) f(x, y) = x 3 6xy + 8y 3 (c) f(x, y) = 3xy x 2 y xy 2 (d) f(x, y) = (x 2 + y)e y/2 (e) f(x, y) = x 3 + 4xy 2y (f) f(x, y) = x 3 + y 3 3x 2 3y 2 9x (g) f(x, y) = x 4 + y 4 4xy + 4. Hàm này có giá trị lớn nhất hy giá trị nhỏ nhất hy không? Một công ty sản xuất hi loại điện thoại di động. Gọi x là số điện thoại loại 1 (đơn vị nghìn cái), và y là số điện thoại loại 2 (đơn vị nghìn cái). onh thu được mô hình hó bởi hàm R(x, y) = 3x+2y (đơn vị triệu đồng). Chi phí được mô hình hó bằng hàm C(x, y) = 3x 2 3xy+4y 2. Hãy tính C x (3, 4) và giải thích ý nghĩ củ kết quả. Công ty nên sản xuất với sản lượng mỗi loại là bo nhiêu để được lợi nhuận tối đ? Một công ty sản xuất hi loại máy thu hình: loại CRT và loại LC. Gọi x là số máy thu hình loại CRT (đơn vị nghìn cái) và y là số máy thu hình loại LC (đơn vị nghìn cái). onh thu được cho bởi hàm R(x, y) = x + 4y (đơn vị triệu đồng). Chi phí được mô hình hó bằng hàm C(x, y) = x 2 2xy + 2y 2 + 7x 12y + 9 Công ty nên sản xuất với sản lượng mỗi loại là bo nhiêu để được lợi nhuận tối đ? Một công ty sản xuất hi mẫu xe gắn máy. Gọi x là số xe theo mẫu thứ nhất, y là số xe theo mẫu thứ hi (đơn vị là nghìn chiếc). Chi phí sản xuất được cho bởi hàm C(x, y) = 3x 2 + 4xy + 5y 2 (đơn vị triệu đồng). Giá bán mỗi xe thuộc mẫu thứ nhất là 34 triệu đồng và giá bán mỗi xe thuộc mẫu thứ thứ hi là 52 triệu đồng. () Tìm công thức cho donh thu và lợi nhuận. (b) Công ty nên sản xuất với sản lượng mỗi loại là bo nhiêu để có lợi nhuận lớn nhất? Tìm các giá trị cực đại và cực tiểu tuyệt đối củ f trên tập. () f(x, y) = 4xy 2 x 2 y 2 xy 3 ; là miền tm giác đóng trên mặt phẳng xy với các đỉnh (, ), (, 6) và (6, ) (b) f(x, y) = e x2 y 2 (x 2 + 2y 2 ); là đĩ x 2 + y 2 4

29 1.5. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất củ f theo các ràng buộc được cho () f(x, y) = x 2 y; x 2 + y 2 = 1 (b) f(x, y) = 1 x + 1 y ; 1 x y 2 = 1 (c) f(x, y, z) = xyz; x 2 + y 2 + z 2 = 3 (d) f(x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 ; x + y + z = 1, x y + 2z = Xét hàm f(x, y) = xy x 2y trên tm giác với các đỉnh (3, ), (, 6), (, ). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất củ hàm ùng phương pháp nhân tử Lgrnge để tìm cực trị củ hàm f(x, y) = x 2 y dưới ràng buộc x 2 + 2y 2 = Tìm cực trị củ hàm f(x, y) = x 2 + xy 2 2x + 3 dưới ràng buộc x 2 + y Tìm các điểm trên mặt xy 2 z 3 = 2 mà gần nhất với góc tọ độ Tìm điểm trên đồ thị z = x 2 + y 2 mà gần nhất tới điểm (,, 2) Nhiệt độ trên mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 1 được mô hình hó bằng hàm T (x, y, z) = 5 1(x + 2y + 3z) 2. Tìm nơi lạnh nhất trên mặt cầu Tìm điểm trên mặt bầu dục g(x, y, z) = 5x 2 + y 2 + 3z 2 = 9 mà tại đó nhiệt độ f(x, y, z) = x 2y + 9z là co nhất ùng phương pháp nhân tử Lgrnge để chứng minh rằng trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất ùng phương pháp nhân tử Lgrnge để chứng minh bất đẳng thức Cuchy: Nếu x, y, z là các số thực không âm thì 3 xyz x+y+z 3.

30 Chương 2 Tích phân bội Trong chương này chúng t sẽ nghiên cứu tích phân Riemnn trong không gin nhiều chiều. Tích phân trên không gin nhiều chiều là sự phát triển tương tự củ tích phân một chiều. o đó các ý chính đã quen thuộc và không khó, để dễ theo dõi hơn người đọc có thể xem lại phần tích phân một chiều trong [Bmgt1]. 2.1 Định nghĩ và tính chất củ tích phân bội Cho I là một hình hộp, và f : I R. T muốn tính tổng giá trị củ hàm f trên hình hộp I. T chi nhỏ hình hộp I bằng những hình hộp con nhỏ hơn. T hy vọng rằng trên mỗi hình hộp nhỏ hơn đó, giá trị củ hàm f sẽ thy đổi ít hơn, và t có thể xấp xỉ f bằng một hàm hằng. T hy vọng rằng nếu t chi càng nhỏ thì xấp xỉ càng tốt hơn, và khi qu giới hạn thì t sẽ được giá trị đúng củ tổng giá trị củ f. Su đây là một cách giải thích hình học. Giả sử thêm hàm f là không âm, t muốn tìm thể tích củ khối bên dưới đồ thị củ hàm f bên trên hình hộp I. T sẽ xấp xỉ khối đó bằng những hình hộp với đáy là một hình hộp con củ I và chiều co là một giá trị củ f trong hình hộp con đó. T hy vọng rằng khi số hình hộp tăng lên thì t sẽ gần hơn giá trị đúng củ thể tích Tích phân trên hình hộp ưới đây t bắt đầu làm chính xác hó các ý tưởng ở trên. Người đọc có thể hình dung các trường hợp 1, 2, 3 chiều để dễ theo dõi. 3

31 2.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN BỘI 31 T định nghĩ một hình hộp n-chiều trong R n là một tập con củ R n có dạng [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] [ n, b n ] với i < b i với mọi 1 i n, tức là tích củ n đoạn thẳng. Để khởi đầu về thể tích củ hình hộp, chúng t hãy xét trường hợp một chiều. Chiều dài củ đoạn thẳng [, b] bằng bo nhiêu? T muốn khái niệm chiều dài toán học mô phỏng khái niệm chiều dài vật lý thường dùng trong đời sống từ xư. Như vậy trước hết chiều dài củ một đoạn thẳng [, b] là một số thực không âm. Vì chiều dài vật lý không phụ thuộc vào cách đặt hệ tọ độ, nếu t tịnh tiến đoạn thẳng thì chiều dài không thy đổi, vậy nếu kí hiệu chiều dài củ đoạn [, b] là [, b] thì cần có [ + c, b + c] = [, b]. Nếu n là số nguyên dương, thì vì đoạn thẳng [, n] gồm n đoạn thẳng [, ], [, 2], [2, 3],..., [(n 1), n], nên t muốn có tính chất cộng tính thể hiện qu [, n] = n [, ]. Điều này dẫn tới [, ] = n [, 1 n ], hy [, 1 n ] = 1 n [, ]. o đó với m, n là số nguyên dương thì [, m n ] = m n [, ]. Trong trường hợp riêng, t có [, m n ] = m n [, 1]. Vì mọi số thực là giới hạn củ một dãy các số hữu tỉ, nên nếu như t muốn chiều dài có tính liên tục thì t cần có [, ] = [, 1], do đó phải có [, b] = [, b ] = (b ) [, 1]. Để chuẩn hó t thường lấy [, 1] = 1, và như thế [, b] = (b ). Như vậy để là chiều dài có những tính chất như thường dùng thì nó buộc phải được định nghĩ một cách duy nhất si khác cách chọn chiều dài đơn vị, giống như việc chọn đơn vị đo trong vật lý. Lý luận tương tự cho số chiều co hơn, t có thể đư r định nghĩ ngắn gọn su: Định nghĩ Thể tích n-chiều củ hình hộp [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] [ n, b n ] được định nghĩ là số thực (b 1 1 )(b 2 2 ) (b n n ). T thường dùng kí hiệu I để chỉ thể tích củ I. Khi số chiều n = 1 t thường thy từ thể tích bằng từ chiều dài. Khi n = 2 t thường dùng từ diện tích. Đối với khái niệm tổng, lý luận tương tự như đối với khái niệm thể tích, t có thể đi đến kết luận là tổng củ hàm hằng 1 trên hình hộp I là I. Bây giờ t bắt đầu quá trình chi nhỏ miền xác định. Một phép chi (hy phân hoạch) củ một khoảng [, b] là một tập con hữu hạn củ khoảng [, b] mà chứ cả và b. T có thể đặt tên các phần tử củ một phép chi là x, x 1,..., x m với = x < x 1 < x 2 < < x m = b. Mỗi khoảng [x i 1, x i ] là một khoảng con củ khoảng [, b] tương ứng với phép chi. Một phép chi củ hình hộp I = n i=1 [ i, b i ] là một tích escrtes củ các phép chi củ các khoảng [ i, b i ]. Cụ thể nếu mỗi P i là một phép chi củ khoảng [ i, b i ] thì P = n i=1 P i là một phép chi củ hình hộp I. Xem ví dụ ở Hình Một hình hộp con ứng với một phép chi P củ một hình hộp I là một tích các khoảng con củ các cạnh củ hình hộp I. Cụ thể một hình hộp con củ hình hộp I có dạng n i=1 T i trong đó T i là một khoảng con củ khoảng [ i, b i ] ứng với phép chi P i. Bây giờ là việc xấp xỉ. Cho I là một hình hộp, và f : I R. Với một phép chi P củ I, thành lập tổng Riemnn 1 R f(x R ) R ở đây tổng được lấy trên tất cả các hình hộp con R củ P, và x R là một điểm bất kì thuộc R, xem Hình Đây là một xấp xỉ củ tổng giá trị củ f trên I. Nếu f thì đây là một xấp xỉ củ thể tích củ khối bên dưới đồ thị củ f bên trên I. Cuối cùng là quá trình giới hạn. Giới hạn củ tổng Riemnn khi phép chi mịn hơn sẽ là tích phân củ hàm f trên I, kí hiệu là I f. 1 Bernrd Riemnn là người đã đề xuất một định nghĩ chặt chẽ cho tích phân vào khoảng năm 1854, mặc dù tích phân đã được dùng trước đó.

32 32 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI y d R c b x Hình 2.1.1: Một phép chi củ hình chữ nhật [, b] [c, d] gồm những điểm mà các tọ độ thứ nhất tạo thành một phép chi củ [, b] và các tọ độ thứ hi tạo thành một phép chi củ [c, d]. Vậy I f đại diện cho khái niệm tổng giá trị củ hàm f trên I. Nếu f thì I f đại diện cho khái niệm thể tích củ khối bên dưới đồ thị củ f bên trên I. 2 Để làm chính xác ý tưởng trên t cần làm rõ quá trình qu giới hạn. Chúng t đư r một cách định nghĩ tích phân Riemnn như su. Định nghĩ T nói f là khả tích (có tích phân) trên I nếu có một số thực, gọi là tích phân củ f trên I, kí hiệu là I f, có tính chất là với mọi ɛ > có δ > so cho nếu tất cả các cạnh củ các hình chữ nhật con củ một phép chi đều có chiều dài nhỏ hơn δ thì với mọi cách chọn điểm đại diện x R thuộc hình hộp con R t có R f(x R) R I f < ɛ. Như thế tổng Riemnn gần tùy ý tới giá trị tích phân miễn là phép chi đủ mịn. Người đọc qun tâm chi tiết hơn có thể xem ở các giáo trình nâng co hơn, chẳng hạn [Vugt3]. Ví dụ Nếu f = c là hàm hằng có giá trị bằng hằng số thực c thì t thấy ngy từ định nghĩ là mọi tổng Riemnn đều bằng c I, nên c = c I. Đặc biệt I 1 = I. Khi số chiều n = 1 t có tích phân củ hàm một biến quen thuộc từ trung học và đã được khảo sát trong môn Vi tích phân hàm một biến, với [,b] f thường được viết là b f(x) dx. Như vậy t thừ hưởng tất cả các kết quả đã có trong Vi tích phân hàm một biến, chẳng hạn như công thức Newton Leibniz để tính tích phân. Khi n = 2 t có tích phân bội hi, thường được viết là I f(x, y) da hy I f(x, y) dxdy. Khi n = 3 t có tích phân bội b, thường được viết là f(x, y, z) dv hy I f(x, y, z) dxdydz. Ghi chú Hiện giờ dx, dxdy, dxdydz, da, dv chỉ là kí hiệu để chỉ loại tích phân, không có ý nghĩ độc lập Tích phân trên tập tổng quát Để ngắn gọn hơn t thường dùng từ miền để chỉ một tập con củ R n. Chúng t chỉ xét những miền bị chặn. Nhớ lại rằng trong tích phân hàm một biến để xét tích phân trên khoảng không bị chặn t đã phải dùng tới giới hạn củ tích phân và xây dựng khái niệm tích phân suy rộng. 2 Kí hiệu do Gottfried Leibniz đặt r khi xây dựng phép tính vi tích phân vào thế kỉ 17. Nó đại diện cho chữ cái s trong chữ Ltin summ (tổng). I I

33 2.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN BỘI 33 z f(x R, y R ) z = f(x, y) y R (x R, y R ) x I Hình 2.1.2: Xấp xỉ Riemnn. Cho là một miền bị chặn, và cho f : R. Vì bị chặn nên có hình hộp I chứ. Mở rộng hàm f lên hình hộp I thành hàm F : I R xác định bởi F (x) = { f(x), x, x I \. Định nghĩ T nói f là khả tích trên nếu F khả tích trên I, và khi đó tích phân củ f trên được định nghĩ là tích phân củ F trên I: f = Để tích phân củ f trên được định nghĩ thì F phải bị chặn trên I, do đó f phải bị chặn trên. Tích phân f không phụ thuộc vào cách chọn hình hộp I. Điều này dễ đoán, và người t có thể kiểm tr chặt chẽ được. Chúng t thấy khi là một hình hộp thì định nghĩ tích phân này trùng với định nghĩ đã có. I F Thể tích T định nghĩ thể tích thông qu tích phân:

34 34 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI Định nghĩ Cho là một tập con bị chặn củ R n. Thể tích n-chiều củ được định nghĩ là tích phân củ hàm 1 trên : = Nếu là hình hộp thì định nghĩ này trùng với định nghĩ củ hình hộp đã có. T thường thy từ thể tích bằng từ chiều dài khi n = 1 và bằng từ diện tích khi n = 2. Có thể giải thích định nghĩ thể tích ở trên như su. Đặt miền bị chặn vào trong một hình hộp I. Xét hàm có giá trị bằng 1 trên và bằng ngoài. Hàm này thường được gọi là gọi là hàm đặc trưng củ, kí hiệu là χ 3 : χ (x) = 1. { 1, x, x R n \. Định nghĩ nói rằng = I χ. Xét một phép chi củ I. Tùy cách chọn điểm đại diện trong mỗi hình chữ nhật con mà mỗi tổng Riemnn củ hàm đặc trưng tương ứng một xấp xỉ củ thể tích củ bởi tổng thể tích củ một số hình chữ nhật con củ I. Tập có thể tích khi và chỉ khi các xấp xỉ này gần tùy ý một số thực được gọi là thể tích củ. Xem minh họ ở Hình Hình 2.1.3: Các xấp xỉ dư và xấp xỉ thiếu diện tích củ một hình tròn bằng diện tích củ các hình chữ nhật. Ý niệm thể tích đã có từ hàng nghìn năm trước nhưng t nên chú ý đây có thể là lần đầu tiên t định nghĩ thể tích Sự có tích phân và sự có thể tích Qu ý củ tích phân t thấy việc xấp xỉ dự trên một giả thiết: nếu biến thy đổi ít thì giá trị củ hàm thy đổi ít. Như vậy sự khả tích phụ thuộc chặt chẽ vào sự liên tục. Mặt khác không nhất thiết phải liên tục thì mới khả tích. Su đây là một ví dụ một hàm không liên tục nhưng khả tích. 3 χ là một chữ cái Hy Lạp, có thể đọc là khi )

35 2.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN BỘI 35 Ví dụ Cho f : [, 1] R, f(x) = {, x 1 2 1, x = 1 2. Với phép chi bất kì củ [, 1] so cho chiều dài củ các khoảng con nhỏ hơn ɛ 2 Riemnn nhỏ hơn ɛ. Vì thế hàm f khả tích. Chú ý rằng f không liên tục tại 1 2. thì tổng Để nói rõ không liên tục tới mức độ nào thì khả tích t đư r một số khái niệm su. Một tập con củ R n là có thể tích n-chiều không nếu t có thể phủ tập đó bằng hữu hạn hình hộp có tổng thể tích nhỏ hơn số dương cho trước bất kì. Một tập con củ R n là có độ đo n-chiều không nếu t có thể phủ tập đó bằng một họ đếm được các hình hộp có tổng thể tích nhỏ hơn số dương cho trước bất kì. Có thể hiểu sơ lược tập có độ đo không là tập không đáng kể đối với tích phân. Ví dụ () Tập rỗng có thể tích n-chiều không. (b) Tập hợp gồm một điểm trong R n có thể tích n-chiều không. (c) Một đoạn thẳng trong R 2 có diện tích không. (d) Hội củ hi tập có thể tích không là một tập có thể tích không. T nói hàm f là liên tục hầu khắp (hầu như khắp nơi) nếu tập hợp tất cả điểm ở đó f không liên tục có độ đo không. Định lý (khả tích trên tập có thể tích = bị chặn + liên tục hầu khắp). Cho là tập con có thể tích củ R n. Khi đó f khả tích trên khi và chỉ khi f bị chặn và liên tục hầu khắp trên. Chứng minh khó vượt ngoài phạm vi môn học này, người đọc qun tâm có thể xem ở [Vugt3]. Ví dụ Vì hình chữ nhật có thể tích nên hàm liên tục trên hình chữ nhật thì khả tích. Về sự có thể tích, vì tập điểm không liên tục củ hàm đặc trưng củ một tập chính là biên củ tập đó nên t có: Hệ quả Một tập con bị chặn củ R n có thể tích n-chiều khi và chỉ khi biên củ nó có thể tích n-chiều không. T có một miêu tả tiện dùng cho các tập không đáng kể: Mệnh đề Đồ thị củ một hàm khả tích trên một tập con bị chặn củ R n có thể tích không trong R n+1. Ví dụ Đồ thị củ một hàm liên tục trên một khoảng đóng có diện tích không trong R 2. Vậy một đoạn thẳng, một đoạn prbol, một đường tròn thì có diện tích không. Ví dụ (hình tròn có diện tích). Xét hình tròn cho bởi x 2 + y 2 R 2. Biên củ hình tròn này là đường tròn x 2 + y 2 = R 2. Đường tròn này là hội củ nử đường tròn trên và nử đường tròn dưới. Nử đường tròn trên là đồ thị củ hàm y = R 2 x 2, R x R. Theo Mệnh đề , tập này có diện tích không. Tương tự nử đường tròn dưới có diện tích không. Vậy đường tròn có diện tích không, do đó theo Hệ quả t kết luận hình tròn có diện tích.

36 36 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ Tương tự, một hình tm giác thì có diện tích vì biên củ nó là một hội củ hữu hạn những đoạn thẳng, là những tập có diện tích không. Ví dụ (quả cầu có thể tích). Xét quả cầu cho bởi x 2 + y 2 + z 2 R 2. Nử mặt cầu trên là đồ thị củ hàm z = R 2 x 2 y 2 với (x, y) thuộc về hình tròn x 2 + y 2 R 2. Vì hình tròn có diện tích và hàm trên liên tục, nên theo Định lý hàm trên khả tích, và theo Mệnh đề thì đồ thị củ nó có thể tích không trong R 3. Tương tự nử mặt cầu dưới cũng có thể tích không, do đó mặt cầu có thể tích không, và do Hệ quả nên quả cầu có thể tích. Các ví dụ trên nhằm minh họ rằng chúng t đã có thể thảo luận các đối tượng tích phân và thể tích một cách chặt chẽ, thống nhất. Tuy nhiên các vấn đề này không phải là trọng tâm củ giáo trình này, nên t sẽ không bàn thêm nữ Tính chất củ tích phân T có những tính chất cơ bản củ tích phân, tương tự ở trường hợp hàm một biến: Mệnh đề Nếu f và g khả tích trên thì: () f + g khả tích và (f + g) = (b) Với mọi số thực c thì cf khả tích và (c) Nếu f g thì f g. f + g. cf = c f. Tuy chúng t không chứng minh chặt chẽ các tính chất này từ định nghĩ nhưng không khó để giải thích chúng bằng cách dùng sự xấp xỉ bởi tổng Riemnn. Chẳng hạn nếu f g thì một xấp xỉ Riemnn củ f phải nhỏ hơn hy bằng xấp xỉ Riemnn củ g với cùng cách chi và cùng cách chọn điểm đại diện, do đó tích phân củ f nhỏ hơn hy bằng tích phân củ g. Người đọc nên thử đư r lí luận cho các tính chất còn lại. Kết quả su nói rằng giá trị củ một hàm bị chặn trên một tập có thể tích không không ảnh hưởng đến tích phân. Mệnh đề Cho là tập con bị chặn củ R n, f và g bị chặn trên, và f(x) = g(x) trừ r một tập có thể tích không. Khi đó f khả tích khi và chỉ khi g khả tích, và khi đó f = g. Một hệ quả nữ là thêm bớt một tập có thể tích không không ảnh hưởng tới tích phân. Hệ quả Cho 1 và 2 là hi tập con bị chặn củ R n. Giả sử 1 2 có thể tích không. Nếu f khả tích trên 1 và trên 2 thì f khả tích trên 1 2, và f = 1 2 f + 1 f. 2 Kết quả này cho phép t tính tích phân trên một miền bằng cách chi miền đó thành những miền đơn giản hơn. Đây là dạng tổng quát củ công thức quen thuộc cho hàm một biến: b f + c b f = c f. Trong mệnh đề trên lấy f = 1 t có kết quả: Nếu 1 và 2 có thể tích và 1 2 có thể tích không thì 1 2 = Đây chính là tính chất cộng tính củ thể tích. Ứng dụng, khi tính diện tích một hình t vẫn thường chi hình đó thành những hình đơn giản hơn bằng những đoạn thẳng hy đoạn cong, rồi cộng các diện tích lại.

37 2.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN BỘI 37 Bài tập Một hồ nước hình chữ nhật kích thước 4m 8m có độ sâu không đều. Người t đo được chiều sâu tại một số điểm trên hồ như trong bảng su. Ví dụ trong bảng này độ sâu tại điểm cách bờ trái 5m và bờ trên 1m là 4, 6m. Hãy ước lượng lượng nước trong hồ. vị trí ,1 4,5 4,6 4., 3 3,7 4,1 4,5 4, Hãy cho một ví dụ minh họ rằng xấp xỉ Riemnn ứng với một phép chi mịn hơn không nhất thiết tốt hơn Tại so khoảng (, b) có chiều dài bằng (b )? Tại so miền phẳng bên dưới đồ thị y = 1 x 2, bên trên đoạn 1 x 1 có diện tích? Tại so một khối tứ diện thì có thể tích? Các hàm su có khả tích không? Nếu hàm khả tích thì tích phân củ nó bằng bo nhiêu? { x, x 1, x 1 () f(x) = 2,, x = 1 2. { x y, x 1, < y 1, (b) f(x, y) =, x 1, y =. { 4, x 1, y 1, (x, y) ( 1 (c) f(x, y) = 2, 1 2 ), 5, (x, y) ( 1 2, 1 2 ). { 2, x 1, y 1, y x, (d) f(x, y) = x, x 1, y 1, y = x. { 3, x 1, y 1, y x 2, (e) f(x, y) = x 2, x 1, y 1, y = x 2. (f) f(x, y) = 4, < x < 1, y < 2. { 2, x 1, y 1, (g) f(x, y) = 3, 1 < x 2, y Hãy cho một ước lượng cho giá trị củ tích phân (nghĩ là cho biết tích phân có thể có giá trị từ đâu tới đâu) e x2 y 3 dxdy. [,1] [1,2] Điều su đây là đúng hy si, giải thích: (x 2 + y) sin(xy 2 ) da = 1. [,1] [1,4] Giả sử A R n, A có thể tích. Cho c R. Giải thích vì so c = c A. A Giả sử A B R n, A và B có thể tích. Giải thích vì so A B Giả sử A B R n, f khả tích trên A và B, và f. Giải thích vì so Giải thích vì so nếu f khả tích và f khả tích thì Tìm tập R 2 so cho tích phân (1 x 2 y 2 ) da đạt giá trị lớn nhất. I f I f. A f B f.

38 38 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI 2.2 Công thức Fubini Công thức Fubini trong không gin hi chiều có dạng: [,b] [c,d] f(x, y) dxdy = b ( d c ) f(x, y) dy dx = d c ( b ) f(x, y) dx dy. Một tích phân củ tích phân được gọi là một tích phân lặp (iterted integrl). Công thức Fubini đư bài toán tính tích phân bội về bài toán tính tích phân củ hàm một biến. Về mặt số lượng công thức Fubini nói rằng tổng giá trị củ hàm trên hình chữ nhật bằng tổng củ các tổng giá trị trên các đoạn cắt song song. T có thể giải thích bằng hình học công thức trên như su. Giả sử f >. Khi đó f là thể tích củ khối bên dưới mặt z = f(x, y) bên trên hình chữ nhật [, b] [,b] [c,d] [c, d]. Khi đó d c f(x, y) dy là diện tích củ mặt cắt (tiết diện) củ khối bởi mặt phẳng x = x. Vậy công thức Fubini nói rằng thể tích củ khối bằng tổng diện tích các mặt cắt song song. z z = f(x, y) d f(x, y) dy c x c d y b x Có thể giải thích công thức này bằng cách xấp xỉ thể tích củ khối như su. Chi khoảng [, b] thành những khoảng con. Ứng với những khoảng con này, khối được cắt thành những mảnh bởi những mặt cắt song song. Vì chiều dài mỗi khoảng con là nhỏ, t có thể xấp xỉ thể tích củ mỗi mảnh bởi diện tích một mặt cắt nhân với chiều dài củ khoảng con. Chi tiết hơn, t xấp xỉ theo tổng Riemnn: Giả sử = x < x 1 < < x m = b là một phép chi củ khoảng [, b] và c = y < y 1 < < y n = d là một phép chi củ khoảng [c, d]. Với x i là điểm đại diện bất kì thuộc khoảng con x i = [x i 1, x i ] và yj là điểm bất kì thuộc y j = [y j 1, y j ] thì

39 2.2. CÔNG THỨC FUBINI 39 b ( d c ) f(x, y) dy dx = m ( d i=1 i=1 c j=1 ) f(x i, y) dy x i m ( n ) f(x i, yj ) y j x i 1 i m,1 j n [,b] [c,d] f(x i, y j ) x i y j f(x, y) dxdy. Định lý (công thức Fubini 4 ). Cho A là một hình hộp trong R m và B là một hình hộp trong R n. Cho f khả tích trên hình hộp A B trong R m+n. Giả sử với mỗi x A tích phân B f(x, y) dy tồn tại. Khi đó ( ) f = f(x, y) dy dx. A B Ví dụ Tính tích phân [,1] [2,3] x dxdy. A B Vì hàm (x, y) x là liên tục trên hình chữ nhật [, 1] [2, 4] nên tích phân trên tồn tại, công thức Fubini áp dụng được, cho: 1 ( 4 ) 1 1 x dxdy = x dy dx = xy y=4 y=2 dx = 2x dx = x 2 x=1 x= = 1. [,1] [2,4] 2 T cũng có thể áp dụng công thức Fubini theo thứ tự khác: 4 ( 1 ) 4 1 x=1 x dxdy = x dx dy = dy = [,1] [2,4] x2 x= dy = 1 2 y Hệ quả (thể tích củ miền dưới đồ thị). Giả sử f là hàm xác định, không âm trên miền bị chặn R n. Gọi E là miền dưới đồ thị củ f bên trên miền, tức E = {(x, y) R n R x, y f(x)}. Nếu E có thể tích thì thể tích đó bằng tích phân củ f trên : E = f. Đây là một công thức mà t đã hướng tới ngy từ đầu khi xây dựng tích phân nhưng phải tới giờ mới xây dựng được. Chứng minh. Vì E có thể tích nên nó bị chặn, có một hình hộp chứ nó. T có thể lấy hình hộp đó là I [, c] với I là một hình hộp n-chiều trong R n chứ và c đủ lớn. Áp dụng công thức Fubini: ( c ) E = 1 = χ E = χ E (x, y) dy dx. E I [,c] Nếu x I \ thì χ E (x, y) = y [, c], do đó c χ E(x, y) dy =. Nếu x thì χ E (x, y) = 1 khi và chỉ khi y f(x), do đó c χ E(x, y) dy = f(x) 1 dy = f(x). o đó ( c ) E = χ E (x, y dy dx = f(x) dx. I y=4 y=2 = 1. 4 Guido Fubini chứng minh một dạng tổng quát củ công thức vào đầu thế kỉ 2, nhưng những kết quả dạng này đã được biết trước đó khá lâu.

40 4 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ (tính diện tích tm giác). Xét là tm giác với các đỉnh (, ), (, ), (, b), với, b >. Đây là miền dưới đồ thị y = b x với x. Như t đã biết ở Ví dụ , tm giác có diện tích. Vậy = b x dx = 1 2 b Công thức Fubini cho miền phẳng Việc áp dụng công thức Fubini sẽ dễ dàng hơn đối với những miền đơn giản. Một tập con củ R 2 được gọi là một miền đơn giản theo chiều đứng nếu nó có dạng {(x, y) R 2 x b, g(x) y h(x)}. Đây là một miền giữ hi đồ thị có cùng miền xác định. Một đường thẳng đứng nếu cắt miền này thì phần gio là một đoạn thẳng. Tương tự, một tập con củ R 2 được gọi là một miền đơn giản theo chiều ngng nếu nó có dạng {(x, y) R 2 c y d, g(y) x h(y)}. y h(x) y = h(x) y d x = g(y) x = h(y) g(x) y = g(x) y c x b x g(y) h(y) x Hình 2.2.1: Miền hi chiều đơn giản. Mệnh đề Cho miền đơn giản theo chiều đứng = {(x, y) R 2 x b, g(x) y h(x)}. Giả sử f, g và h liên tục. Khi đó f(x, y) dxdy = b ( h(x) g(x) ) f(x, y) dy dx. Công thức có thể đúng dưới những điều kiện tổng quát hơn như ở Hệ quả nhưng chúng t chỉ phát biểu ở dạng thường dùng trong môn học này. Trường hợp miền đơn giản theo chiều nằm ngng là tương tự. Chứng minh. T có thể chỉ r với những điều kiện này thì miền có diện tích, tuy nhiên lí luận chi tiết vượt r khỏi phạm vi môn học này (xem [Vugt3]). Lấy một hình chữ nhật I = [, b] [c, d] chứ. Gọi F là mở rộng củ f lên I bằng không ngoài. Vì f liên tục trên tập có diện tích nên f khả tích trên, do đó F khả tích trên I. Ngoài r d c F (x, y) dy = h(x) g(x) f(x, y) dy tồn tại. Áp dụng công thức Fubini cho F : f(x, y) dxdy = F (x, y) dxdy = I b ( d c ) F (x, y) dy dx = b ( h(x) g(x) ) f(x, y) dy dx.

41 2.2. CÔNG THỨC FUBINI 41 Ghi chú Trong trường hợp miền không đơn giản t có thể tìm cách chi miền thành những phần đơn giản để tính, dự trên cơ sở Hệ quả Ví dụ (tính diện tích hình tròn). Xét hình tròn cho bởi phương trình x 2 + y 2 R 2. Áp dụng công thức ở Mệnh đề cho hàm f = 1, g(x) = R 2 x 2, h(x) = R 2 x 2, với R x R, hy nhnh hơn dùng 2.2.8, t có = 1 dxdy = R ( R 2 x 2 R R 2 x 2 1 dy ) dx = R R 2 R 2 x 2 dx. Đổi biến x = R sin t, dx = R cos t dt, x = R = t = π/2, x = R = t = π/2, t được R R 2 R 2 x 2 dx = π 2 π 2 Vậy diện tích củ hình tròn bán kính R là πr 2. 2R 2 cos 2 t dt = πr 2. Ví dụ Tính tích phân ey2 da, trong đó là tm giác với các đỉnh (, ), (4, 2), (, 2). Các giả thiết ở Mệnh đề được thỏ. T có thể miêu tả theo hi cách = {(x, y) R 2 x 4, x 2 y 2} = {(x, y) R2 y 2, x 2y}. Theo cách miêu tả thứ nhất, tức là xem là miền đơn giản theo chiều đứng, thì công thức Fubini cho: 4 ( ) 2 I = e y2 da = e y2 dy dx. Tuy nhiên người t biết nguyên hàm củ hàm e y2 theo biến y không phải là một hàm sơ cấp, do đó không có công thức cho nó. T chuyển hướng dùng cách miêu tả thứ hi, xem là miền đơn giản theo chiều ngng: I = 2 ( 2y e y2 = e 4 1. ) dx dy = 2 x 2 xe y2 x=2y x= dy = 2 2ye y2 dy = e y2 y=2 y= Công thức Fubini cho miền b chiều Tương tự trường hợp hi chiều t có thể nói về miền b chiều đơn giản. Một tập con củ R 3 được gọi là một miền đơn giản theo chiều trục z nếu nó có dạng {(x, y, z) R 3 (x, y), f(x, y) z g(x, y)}. Đây là miền nằm giữ hi đồ thị có cùng miền xác định. Một đường thẳng cùng phương với trục z nếu cắt miền này thì phần gio là một đoạn thẳng. Tương tự có khái niệm miền đơn giản theo chiều trục x và trục y. Tương tự trường hợp hi chiều ở Mệnh đề 2.2.5, t có: Mệnh đề Cho miền R 2 có diện tích, và miền E = {(x, y, z) R 3 (x, y), g(x, y) z h(x, y)}. Giả sử f, g và h bị chặn và liên tục. Khi đó E f(x, y, z) dxdydz = ( h(x,y) g(x,y) ) f(x, y, z) dz dxdy.

42 42 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI Chứng minh. T có thể chỉ r với những điều kiện này thì E có thể tích. Lấy mở rộng F củ f lên I [, b] so cho F bằng không ngoài E. Nếu (x, y) / thì F có giá trị trên {(x, y)} [, b]. Nếu (x, y) thì b F (x, y, z) dz = h(x,y) f(x, y, z) dz. Áp dụng công thức Fubini cho F : F (x, y, z) dv = I [,b] I = = ( b ( b ( h(x,y) ) F (x, y, z) dz da ) F (x, y, z) dz da g(x,y) ) f(x, y, z) dz da. g(x,y) Ví dụ Tính tích phân E x dv với E là khối tứ diện với các đỉnh (,, ), (1,, ), (, 2, ), (,, 3). Bước chính là miêu tả khối E. T có thể xem E là một khối đơn giản theo chiều trục z, là miền bên dưới mặt phẳng P qu b điểm (1,, ), (, 2, ), (,, 3) và bên trên tm giác với các đỉnh (,, ), (1,, ), (, 2, ) trong mặt phẳng xy. Trước hết cần viết phương trình mặt phẳng P. T có hi vectơ cùng phương với mặt phẳng này là (,, 3) (1,, ) = ( 1,, 3) và (,, 3) (, 2, ) = (, 2, 3). Vectơ tích có hướng ( 1,, 3) (, 2, 3) = (6, 3, 2) vuông góc với mặt phẳng P, là một vectơ pháp tuyến. Một điểm (x, y, z) nằm trên P khi và chỉ khi vectơ (x, y, z) (,, 3) vuông góc với vectơ pháp tuyến (6, 3, 2), đồng nghĩ với tích vô hướng củ hi vectơ này bằng. Vậy phương trình củ P là (x, y, z 3) (6, 3, 2) =, tức là 6x + 3y + 2z = 6. Nếu t nhớ dạng tổng quát củ phương trình mặt phẳng là x + by + cz = d thì bằng cách thế giá trị vào t có thể tìm được phương trình củ P nhnh chóng hơn. T có thể chọn coi tm giác là miền đơn giản theo chiều trục y trong mặt phẳng xy. Khi đó t có một miêu tả: E = {(x, y, z) R 3 x 1, y 2 2x, z (6 6x 3y)/2}. Một miêu tả khối E như một miền đơn giản lập tức cho cách viết tích phân trên E như là tích phân lặp, chú ý là các điều kiện áp dụng công thức Fubini ở Mệnh đề đều được thỏ: 1 ( 2 2x ( ) ) 3 3x 3 2 y x dv = x dz dy dx E = = = 1 ( 2 2x 1 1 x (3 3x 32 ) y ) dy (x(3 3x)y 34 xy2 ) y=2 2x y= (3x 3 6x 2 + 3x) dx = 1 4. Nhờ công thức Fubini các tích phân nhiều chiều có thể được đư về các tích phân một chiều. Các tích phân một chiều có thể được tính đúng hoặc tính xấp xỉ. Việc tính xấp xỉ về nguyên lý khá đơn giản, dự trên việc tính một tổng Riemnn. Việc tính đúng nói chung phức tạp hơn. Trong thực tế tính xấp xỉ lẫn tính đúng thường cần một lượng tính toán lớn và thích hợp để dùng máy tính. Người học có thể đọc lại phần tính tích phân trong giáo trình vi tích phân hàm một biến như [Bmgt1]. dx dx

43 2.2. CÔNG THỨC FUBINI 43 Bài tập Cho hàm Tích phân củ f bằng bo nhiêu? f : [, 1] [, 1] R (x, y) f(x, y) = { x + y, x y xy, x > y Cho hàm số f(x, y) = { x 2 y, x 1, y 1, y x 2, xy 2, x 1, y 1, y > x 2. Tính tích phân củ hàm f Tính: () Tính: ( x y 2 ) da trong đó là miền bo bởi các đường cong y = x 2, x = y 4. (b) Gọi là miền được bo bởi các đường cong x = y 2, y x = 3, y = 3, y = 2. Tính x da. (c) Gọi là miền trong góc phần tư thứ nhất, nằm bên trên đường hyperbol xy = 1, bên trên đường thẳng y = x, bên dưới đường thẳng y = 2. Tính y da. (d) Tính tích phân củ hàm x 2 y 3 trên miền được bo bởi các đường y = 4x 2, y = 5 3x Đổi thứ tự tích phân trong các tích phân lặp su và tính chúng: () 1 ( ) 1 xe y2 dy dx. x 2 (b) 1 ( ) 1 x3 + 2 dx dy. y (c) 1 ( ) 3 3y cos(x2 ) dx dy. (d) 2 ( ) 4 y cos(x 2 ) dx dy. y 2 (e) 1 ( ) 1 dy dx. x ey Tính: () Tính tích phân y dv trong đó E là khối tứ diện với 4 đỉnh (,, ), (1,, ), (2, 1, ) và E (,, 1). (b) Tính tích phân z dv trong đó E là khối được bo bởi các mặt z =, x =, y = x, E y = 1, z = 2x + 3y. (c) Tìm thể tích củ khối được bo bởi các mặt y =, z =, z = 1 x + y, y = 1 x Cho f là hàm liên tục, hãy viết lại tích phân y f(x, y, z) dz dy dx theo thứ tự 1 x dx dz dy Tính x 3 z cos(y 2 ) dy dx dz. z Giả sử f và g liên tục và f g trên [, b]. Gọi là miền giữ đồ thị củ f và g, tức = {(x, y) R 2 x b, f(x) y g(x)}. Chứng minh rằng = b ( ) g(x) f(x) dx.

44 44 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI Cho g liên tục trên hình hộp [, b] [c, d] [e, f], chứng tỏ [,b] [c,d] [e,f] g(x, y, z) dv = b ( d ( f c e ) ) g(x, y, z) dz dy dx (thể tích củ khối bằng tổng diện tích các mặt cắt song song). Giả sử tập E R 3 có thể tích. Giả sử z b với mọi (x, y, z) E. Giả sử với mỗi z [, b] tập E z = {(x, y) R 2 (x, y, z) E} có diện tích. Chứng tỏ E = b E z dz Tính thể tích củ khối được miêu tả trong Hình z z = e 3x y y = e 2x y = e x 1 x Hình 2.2.2: (khối tròn xoy). Cho f là hàm liên tục trên khoảng [, b] và f(x) trên [, b]. Chứng tỏ khối tròn xoy nhận được bằng cách xoy miền dưới đồ thị củ f qunh trục x có thể tích và thể tích bằng V = π b [f(x)]2 dx (nguyên lý Cvlieri 5 ). Nếu hi khối b chiều có thể tích, và có một phương so cho mọi mặt phẳng với phương đó cắt hi khối theo hi mặt cắt có cùng diện tích, thì hi khối đó có cùng thể tích Chứng tỏ rằng thể tích củ khối bo bởi mặt x 2 + (y z 3) 2 = 1, z 1 bằng với thể tích củ khối bo bởi mặt x 2 + y 2 = 1, z 1 (Hình 2.2.3). Hình 2.2.3: Mặt x 2 + y 2 = 1 (trái) và mặt x 2 + (y z 3) 2 = 1 (phải). 5 Bonventur Frncesco Cvlieri là một nhà toán học Ý sống vào đầu thế kỉ 17.

45 2.3. CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN Công thức đổi biến Nhớ lại trong tích phân hàm một biến, để tính 1 1 x 2 dx t thường làm như su. Đặt x = sin t thì dx = cos t dt, x = tương ứng t =, x = 1 tương ứng t = π/2, và 1 1 x 2 dx = = π/2 π/2 1 sin 2 t cos t dt = π/2 cos 2 t dt ( 1 1 (1 + cos 2t) dt = 2 2 t + 1 sin 2t 4 ) t=π/2 t= = π 4. Mục đích củ bài này là khảo sát tổng quát hó phương pháp ở trên lên nhiều chiều: Với tích phân A f(x) dx, nếu đổi biến x = ϕ(u) thì tích phân sẽ biến đổi như thế nào? Phép đổi biến Cho A và B là hi tập mở trong R n. Một ánh xạ f : A B được gọi là một phép đổi biến nếu f là song ánh, khả vi liên tục, và ánh xạ ngược f 1 cũng khả vi liên tục. Ví dụ Trong R n phép tịnh tiến x x + là một phép đổi biến. Giả sử f là một phép đổi biến trên một tập mở. Từ đẳng thức (f 1 f)(x) = x với mọi x, lấy đạo hàm hi vế, theo qui tắc đạo hàm củ hàm hợp thì (f 1 ) (f(x)) f (x) = id (identity: ánh xạ đồng nhất), hy (f 1 ) (y) f (x) = id với y = f(x). Tương tự do (f f 1 )(y) = y nên f (f 1 (y)) (f 1 ) (y) = id, hy f (x) (f 1 ) (y) = id. Hi điều này dẫn tới (f 1 ) (y) chính là ánh xạ ngược củ f (x), do đó J f 1(y) = (J f (x)) 1. (2.3.1) Công thức đổi biến cho vi phân và tích phân Định lý (công thức đổi biến). Công thức đổi biến f = (f ϕ) det ϕ (2.3.2) ϕ(a) A được thỏ dưới những giả thiết: A là một tập mở trong R n, ϕ là một phép đổi biến từ A lên ϕ(a), A và ϕ(a) có thể tích, f và (f ϕ) det ϕ khả tích. Có một cách viết hình thức dễ nhớ tương tự trường hợp một chiều như su: Đặt x = ϕ(u) thì Nếu thì X dx = det ϕ (u) du. x X u U f(x) dx = f(ϕ(u)) det ϕ (u) du. U Để tính toán, nhớ rằng det ϕ = det J ϕ.

46 46 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI ( Nếu viết x = x(u) và x u = det xi u j )i,j thức cho đổi biến củ dạng vi phân: thì có thể viết một cách hình thức dễ nhớ công dx = x u du. ấu trị tuyệt đối có thể được bỏ đi nếu t biết dấu củ det ϕ. Nếu det ϕ luôn dương thì ϕ được gọi là một phép đổi biến bảo toàn định hướng. Nếu det ϕ luôn âm thì ϕ được gọi là một phép đổi biến đảo ngược định hướng. Như trường hợp một chiều, đổi biến có thể dùng để làm cho hàm dưới dấu tích phân, tức dạng vi phân, đơn giản hơn. Trong trường hợp nhiều chiều, đổi biến hy được dùng để làm cho miền lấy tích phân đơn giản hơn. Ví dụ (đổi biến một chiều). Đây là phương pháp đổi biến trong tích phân cho hàm một biến quen thuộc. Thực vậy, cho x = ϕ(t) với t [, b], ở đây ϕ liên tục và ϕ : (, b) ϕ((, b)) là một vi đồng phôi. Cho f khả tích trên ϕ([, b]). Theo công thức đổi biến: f(x) dx = f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. ϕ((,b)) (,b) o ϕ (t), t (, b) nên hoặc ϕ (t) >, t (, b) hoặc ϕ (t) <, t (, b). Vì vậy hoặc ϕ là hàm tăng hoặc ϕ là hàm giảm trên [, b]. Nếu ϕ là hàm tăng (bảo toàn định hướng) thì ϕ([, b]) = [ϕ(), ϕ(b)]. o đó, dùng?? để chuyển đổi giữ tích phân trên khoảng mở và tích phân trên khoảng đóng, t được b f(ϕ(t))ϕ (t) dt = = = [,b] f(ϕ(t))ϕ (t) dt = (ϕ(),ϕ(b)) ϕ(b) ϕ() f(x) dx = f(x) dx. (,b) [ϕ(),ϕ(b)] f(ϕ(t))ϕ (t) dt f(x) dx Nếu ϕ là hàm giảm (đảo ngược định hướng) thì ϕ([, b]) = [ϕ(b), ϕ()] và ϕ (t) = ϕ (t). o đó b f(ϕ(t))ϕ (t) dt = = = (,b) (ϕ(b),ϕ()) ϕ() ϕ(b) f(ϕ(t)) ϕ (t) dt f(x) dx f(x) dx = ϕ(b) ϕ() f(x) dx. Trong cả hi trường hợp t được công thức đổi biến cho tích phân hàm một biến: b f(ϕ(t))ϕ (t) dt = ϕ(b) ϕ() f(x) dx. Nếu t giả sử hàm f liên tục thì trong vi tích phân hàm một biến công thức đổi biến được chứng minh bằng cách dùng công thức Newton Leibniz và qui tắc đạo hàm hàm hợp, và chỉ cần hàm ϕ là trơn.

47 2.3. CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN 47 Ví dụ (đổi biến hi chiều). Với phép đổi biến (u, v) (x, y) người t thường dùng kí hiệu ( (x, y) x x) (u, v) = det u v. Với kí hiệu này công thức đổi biến có dạng như su. Nếu phép đổi biến (u, v) (x, y) mng tập A thành tập B thì f(x, y) dxdy = f(x(u, v), y(u, v)) (x, y) (u, v) dudv. Một cách hình thức t có thể viết: B Chú ý rằng, do Phương trình (2.3.1): Tọ độ cực A y u y v dxdy = (x, y) (u, v) dudv. (u, v) (x, y) = 1 (x,y) (u,v) Một điểm P = (x, y) trên mặt phẳng R 2 có thể được miêu tả bằng hi số thực (r, θ), với r là khoảng cách từ O tới P, và θ 2π là góc từ vectơ (1, ) (ti Ox) tới vectơ OP. Vậy x = r cos θ, y = r sin θ, r, θ 2π. Tuy nhiên tương ứng (x, y) (r, θ) này không là song ánh và không liên tục trên ti Ox. Vì vậy t phải hạn chế miền xác định là mặt phẳng bỏ đi ti Ox. Khi đó ánh xạ ngược là (, ) (, 2π) R 2 \ {(x, ) x } (r, θ) (x, y) = (r cos θ, r sin θ). T tính được (x,y) (r,θ) (r, θ) = r >, vì vậy đây là một phép đổi biến. Một cách hình thức, có thể nhớ rằng dxdy = r drdθ. Ví dụ (tích phân trên hình tròn). Gọi B 2 (O, R) là hình tròn đóng tâm O bán kính R. Để áp dụng công thức đổi biến t dùng phép đổi biến ϕ từ hình chữ nhật mở (, R) (, 2π) sng miền là B 2 (O, R) bỏ đi đường tròn biên và ti Ox. Giả sử f khả tích trên B 2 (O, R). Tập bị bỏ đi có diện tích không, do đó nó không ảnh hưởng đến tích phân, nên: f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy = f(r cos θ, r sin θ)r drdθ B 2 (O,R) Chẳng hạn diện tích củ hình tròn là: B 2 (O, R) = B 2 (O,R) 1 dxdy = =. (,R) (,2π) [,R] [,2π] R 2π f(r cos θ, r sin θ)r drdθ. 1 r dθ dr = πr 2.

48 48 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI Như vậy chú ý rằng với mục đích lấy tích phân thì để đơn giản t thường lấy cận trong tọ độ cực là r và θ 2π. Ví dụ Cho E là khối được bo bởi các mặt z = x 2 +y 2 và z = 1. Tính E z dxdydz. Bo ở đây chỉ là một miêu tả trực qun, vì thế t nên vẽ hình rồi từ đó đư r một miêu tả toán học, tức là miêu tả dưới dạng tập hợp. 1 z = x 2 + y 2 1 y x Xem E là một khối đơn giản theo chiều trục z, nằm trên mặt z = x 2 + y 2, dưới mặt z = 1. Như vậy E = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 z 1}. Chiếu khối E xuống mặt phẳng xoy t được hình tròn x 2 + y 2 1. Áp dụng công thức Fubini: ( 1 ) z dxdydz = z dz dxdy E x 2 +y 2 1 x 2 +y 2 1 = x 2 +y z2 1 z=x 2 +y dxdy 2 1 ( = 1 ( x 2 + y 2) ) 2 dxdy x 2 +y ( = 1 ( r 2) ) 2 r drdθ r 1, θ 2π 2 = 1 1 ( 2π ) (r r 5 ) dθ dr = π 2 3. Trong ví dụ này một điểm (x, y, z) trong R 3 được miêu tả bằng cách dùng tọ độ cực (r, θ) để miêu tả (x, y). Người t thường gọi hệ tọ độ (r, θ, z) là hệ tọ độ trụ Tọ độ cầu Một điểm P = (x, y, z) trong R 3 có thể được miêu tả bằng bộ b số thực (ρ, φ, θ), với ρ là khoảng cách từ O tới P, φ là góc giữ vectơ (,, 1) (ti Oz) và vectơ OP, và nếu gọi M = (x, y, ) là hình chiếu củ điểm P xuống mặt phẳng Oxy thì θ là góc từ vectơ (1,, ) (ti Ox) tới vectơ OM. Trong hình t tính được ngy z = P M = ρ cos φ, OM = ρ sin φ, x = OM cos θ = ρ sin φ cos θ, y = OM sin θ = ρ sin φ sin θ. Tương tự như trường hợp tọ độ cực, để có một phép đổi biến thực sự t phải hạn chế miền xác định bằng cách bỏ đi tập {(x, y, z) R 3 y =, x }, tức một nử củ mặt phẳng xoz, ứng với ρ =, φ =, φ = π, θ =, θ = 2π. Khi đó ánh xạ ϕ : (, ) (, π) (, 2π) R 3 \ {(x, y, z) R 3 y =, x } (ρ, φ, θ) (x, y, z) = (ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ)

49 2.3. CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN 49 z φ ρ P φ = const O y θ M θ = const x Hình 2.3.1: ρ = const ứng với một mặt cầu. Trên mỗi mặt cầu các đường φ = const là các đường vĩ tuyến, các đường θ = const là các đường kinh tuyến, với ρ, φ π, θ 2π. Bộ (ρ, φ, θ) đại diện cho (co độ, vĩ độ, kinh độ) củ một điểm trong không gin. là một song ánh, có det J ϕ (ρ, φ, θ) = ρ 2 sin φ >. Vậy đây là một phép đổi biến. Cũng như trường hợp tọ độ cực, phần bị bỏ đi thường không ảnh hưởng tới tích phân nên t thường không nhắc tới chi tiết kĩ thuật này. Một cách hình thức, có thể nhớ rằng dxdydz = ρ 2 sin φ dρdφdθ. Có tài liệu dùng thứ tự trong tọ độ cầu là (ρ, θ, φ). Thứ tự tọ độ trong tọ độ cầu liên qun tới định hướng trên mặt cầu, tuy không ảnh hưởng tới tích phân bội nhưng sẽ ảnh hưởng tới tích phân mặt ở chương su. Ví dụ (thể tích quả cầu). Gọi B 3 (O, R) là quả cầu mở tâm O bán kính R trong R 3. Thể tích củ quả cầu này là: B 3 (O, R) = B 3 (O,R) 1 dv = R π 2π Su đây là một số ví dụ các phép đổi biến khác. 1 ρ 2 sin φ dθ dφ dρ = 4π 3 R3. Ví dụ (diện tích hình bầu dục). Một hình bầu dục (e-líp, ellipse) trong mặt phẳng là tập hợp các điểm thỏ trong đó, b >. Viết lại công thức ở dạng (x x ) (y y ) 2 b 2 1 ( ) x 2 ( ) x y 2 y + 1, b

50 5 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI t thấy có thể làm phép đổi biến u = x x v = y y. b Phép đổi biến này đư hình bầu dục về hình tròn u 2 + v 2 1. Đây chẳng qu là một phép co dãn (vị tự) trục tọ độ biến hình bầu dục thành hình tròn hợp với phép tịnh tiến về gốc tọ độ. T tính được dudv = 1 bdxdy, từ đó = 1 dxdy = 1 b dudv = b 1 dudv = bπ. u 2 +v 2 1 x 2y 3x y u 2 +v 2 1 Ví dụ Tính R da trong đó R là hình bình hành bo bởi các đường thẳng x 2y =, x 2y = 4, 3x y = 1, và 3x y = 8. Đặt u = x 2y và v = 3x y. Miền bo bởi các đường thẳng u =, u = 4, v = 1, và v = 8 là hình chữ nhật = [, 4] [1, 8] trong mặt phẳng (u, v). y v R x u Vì (u, v) (x, y) = det ( u x v x u y v y ) = det ( ) 1 2 = nên ánh xạ (x, y) (u, v) là một phép đổi biến từ phần trong củ sng phần trong củ R. Biên củ và R không ảnh hưởng đến tích phân vì chúng có diện tích không và t đng lấy tích phân hàm liên tục. Chú ý rằng (x, y) (u, v) = 1 = 1 (u,v) 5. (x,y) Công thức đổi biến cho: x 2y R 3x y dxdy = u (x, y) v (u, v) dudv = 1 u 5 v dudv = Giải thích công thức đổi biến 4 ( 8 1 ) u v dv du = 8 ln 8. 5 Chúng t sẽ không chứng minh công thức đổi biến vì một chứng minh sẽ khó và dài vượt khỏi phạm vi môn học này. ưới đây chúng t đư r một giải thích, tuy chư phải là một chứng minh, nhưng sẽ giúp t hiểu rõ hơn công thức.

51 2.3. CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN 51 Để cho đơn giản, xét trường hợp A là một hình chữ nhật. Ánh xạ ϕ mng miền A trên mặt phẳng (u, v) sng miền ϕ(a) trên mặt phẳng (x, y). Xét một phép chi A thành những hình chữ nhật con. T xem tác động củ ϕ lên một hình chữ nhật con đại diện [u, u + u] [v, v + v], có diện tích u v. Hàm trơn ϕ mng mỗi cạnh củ hình chữ nhật này thành một đoạn cong trên mặt phẳng (x, y), do đó t được một hình chữ nhật cong trên mặt phẳng (x, y) với một đỉnh là điểm ϕ(u, v ). v A y ϕ(a) ϕ v ϕ(u, v ) (u, v ) u u x Hình 2.3.2: Minh họ công thức đổi biến. Bây giờ t tính diện tích hình chữ nhật cong này bằng cách xấp xỉ tuyến tính. Đoạn cong từ ϕ(u, v ) tới ϕ(u + u, v ) sẽ được xấp xỉ tuyến tính bằng một đoạn thẳng tiếp tuyến tại ϕ(u, v ). Vì vectơ tiếp xúc chính là ϕ u (u, v ) nên đoạn tiếp tuyến này cho bởi vectơ ϕ u (u, v ) u. r (t) t r(t + t) r(t) Hình 2.3.3: Xấp xỉ tuyến tính đường cong: r(t + t) r(t) r (t) t. Tương tự, đoạn cong ϕ(u, v + v) được xấp xỉ bởi vectơ tiếp xúc ϕ v (u, v ) v. Vậy hình chữ nhật cong được xấp xỉ bởi hình bình hành sinh bởi hi vectơ tiếp xúc trên. b α Vấn đề bây giờ là tính diện tích hình bình hành sinh bởi hi vectơ. Giả sử = ( 1, 2 )

52 52 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI và b = (b 1, b 2 ), diện tích củ hình bình hành sinh bởi và b là b sin α = 2 b 2 (1 cos 2 α) = 2 b 2, b 2 = ( )(b2 1 + b2 2 ) ( 1b b 2 ) 2 = ( 1 b 2 2 b 1 ) 2 = 1 b 2 2 b 1 ( ) 1 b = det 1 = det(, b). 2 b 2 (2.3.3) T vừ được một kết quả đáng chú ý, giải thích ý nghĩ hình học củ định thức: giá trị tuyệt đối củ định thức củ m trận chính là diện tích củ hình bình hành sinh bởi hi vectơ cột củ m trận. Bản thân dấu củ định thức cũng có thể được giải thích, nhưng t gác việc này lại. Người đọc kỹ tính có thể thắc mắc rằng công thức tính diện tích thông qu hàm sin ở trên chư được thiết lập trong lý thuyết củ chúng t. Đây là một phản đối xác đáng. Lý luận trên chư phải là một chứng minh mà chỉ cho thấy sự không mâu thuẫn với những kết quả đã biết. Trở lại công thức đổi biến, vậy diện tích củ hình bình hành sinh bởi hi vectơ ϕ u (u, v ) u và ϕ v (u, v ) v là ( ϕ det u (u, v ) u, ϕ ) ( ϕ v (u, v ) v = det u (u, v ), ϕ ) v (u, v ) u v = det J ϕ (u, v ) u v. Điều này cũng giải thích sự xuất hiện củ dấu trị tuyệt đối. Bài tập Một số bài tập tính toán có thể dùng máy tính và tính xấp xỉ Tính: () Tính thể tích củ khối được bo bởi mặt z = 4 x 2 y 2 và mặt phẳng xoy. (b) Tính thể tích củ khối được bo bởi mặt z = 9 x 2 y 2, y x, trong góc phần tám thứ nhất (tức x, y, z ). (c) Tính tích phân x2 + y 2 trong đó là miền được bo bởi hi đường cong x 2 + y 2 = 4 nd x 2 + y 2 = 9. (d) Tính tích phân (x2 + y 2 ) 3/2 da trong đó là miền trong góc phần tư thứ nhất bo bởi đường tròn x 2 + y 2 = 9, đường thẳng y = và y = 3x. y 2 x 2 (e) Tính tích phân da trong đó là miền trong góc phần tư thứ nhất bo bởi đường tròn x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 4, đường thẳng y = và y = x. (f) Tính tích phân x2 da trong đó là miền được bo bởi e-líp 3x 2 + 4y 2 = 8. (g) Tính tích phân E cos [ (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2] dv trong đó E là quả cầu đơn vị x 2 +y 2 +z 2 1. (h) Tính thể tích củ khối được bo phí trên bởi mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 2 và được bo phí dưới bởi mặt prboloid z = x 2 + y 2. (i) Tìm thể tích củ khối bị chặn trên bởi mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4 và bị chặn dưới bởi mặt nón z 2 = 3x 2 + 3y 2, z. (j) Tìm thể tích củ khối bị chặn bởi mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 9 và mặt trụ x 2 + y 2 = 2y. (k) Tính thể tích củ miền phí dưới mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 1 phí trên mặt phẳng z = 1/ 2.

53 2.3. CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN 53 (l) Tính thể tích củ khối bên dưới mặt z = 4 x 2 y 2 bên trên mặt x 2 + y 2 + z 2 = 6. (m) Tính thể tích củ khối được bo bởi các mặt z = 9 x 2 y 2, z = 3x 2 + 3y (n) Tính thể tích củ khối được bo bởi các mặt z = 3 2y, z = x 2 + y 2. (o) Tính tích phân E x dv trong đó E là khối được bo bởi hi mặt z = 6 x2 y 2 và z = x 2 + 3y Tính thể tích củ khối được miêu tả bởi điều kiện x 2 +y 2 z 2 3(x 2 +y 2 ), 1 x 2 +y 2 +z 2 4, z Tính: () Tính diện tích củ miền được bo bởi đường cong hình bông ho r = cos(11θ) (đây là đường trong mặt phẳng xy được cho bởi phương trình thm số x = r cos θ, y = r sin θ với r như trên). Hình 2.3.4: Đường r = cos(11θ). (b) Tính diện tích miền được bo bởi đường cong hình trái tim r = 1 + cos θ Hình 2.3.5: Đường r = 1 + cos θ. (c) Đường cong trong mặt phẳng xy cho bởi phương trình r = θ, θ 2π cùng với ti Ox bo một miền hình vỏ ốc được vẽ trong hình Hãy tính tích phân ex2 +y 2 dxdy Tính: () Tính tích phân R (x2 + 2xy) da trong đó R là hình bình hành bo bởi các đường thẳng y = 2x + 3, y = 2x + 1, y = 5 x, y = 2 x. (b) Tính tích phân R (x + y)2 da trong đó R là hình bình hành bo bởi các đường thẳng y = x, y = x + 1, y = 2x, y = 2x 3. (c) Tính diện tích củ miền phẳng được bo bởi các đường cong y 2 = x, y 2 = 2x, y = 1/x, y = 2/x.

54 54 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI sqrt(t)*sin(t) sqrt(t)*cos(t) Hình 2.3.6: Đường r = θ. (d) Tính diện tích củ miền phẳng được bo bởi các đường cong y 2 = x, 3y 2 = x, y = x 2, y = 2x Xét khối bầu dục E được bo bởi mặt có phương trình x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 4. Hãy tính thể tích củ E bằng cách đổi biến để đư về thể tích củ quả cầu. Tìm công thức thể tích củ khối bầu dục tổng quát Tìm diện tích củ miền phẳng được bo bởi đường cong x 2 2xy + 2x + 3y 2 2y = Gọi là miền phẳng được xác định bởi x 4 + x 2 + 3y 4 + y 2 2y 1. Hãy tính tích phân x dxdy. Hãy tổng quát hó Tìm thể tích củ khối được tạo bằng cách xoy miền bo bởi đồ thị củ hàm f(x) = x x 3 và trục x qunh trục y ùng máy tính hãy vẽ mặt cầu mấp mô cho bởi phương trình trong tọ độ cầu ρ = 1 + sin 2 (3θ) sin 4 (5φ). Tính thể tích củ khối bo bởi mặt này Hãy giải bài (thể tích khối tròn xoy) bằng cách đổi biến Giải bài bằng cách dùng công thức đổi biến Mặt xuyến (torus) có thể được miêu tả như là mặt tròn xoy nhận được bằng cách xoy qunh trục z một đường tròn trên mặt phẳng Oyz không cắt trục z. Hãy kiểm tr rằng mặt xuyến có phương trình dạng ẩn: Hình 2.3.7: Mặt xuyến. ( ) 2 x2 + y 2 b + z 2 = 2, < < b, và dạng thm số: ((b + cos θ) cos φ, (b + cos θ) sin φ, sin θ), φ, θ 2π. (Hình ) Hãy tính thể tích củ khối bo bởi mặt xuyến.

55 2.4. ỨNG ỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI 55 z O φ b y θ x Hình 2.3.8: (thể tích củ khối nón). Giả sử là một miền trong mặt phẳng Oxy. Cho A là một điểm phí trên mặt phẳng Oxy trong R 3. Tập hợp tất cả các điểm nằm trên các đoạn thẳng nối A với các điểm thuộc được gọi là một khối nón hy khối chóp. Chẳng hạn một khối tứ diện là một khối nón. Miền được gọi là đáy củ khối nón, còn khoảng cách từ A tới mặt phẳng Oxy được gọi là chiều co củ khối nón. Hãy chứng tỏ thể tích củ khối nón đúng bằng một phần b diện tích đáy nhân chiều co Trong mặt phẳng R 2 một phép quy qunh gốc tọ độ một góc α có thể được miêu tả bằng 2 cách: Trong tọ độ cực, đó là ánh xạ (r, θ) (r, θ + α). Tương ứng trong tọ độ Euclid đó là ( x y ) ( cos α sin α sin α cos α ) ( x y ùng công thức đổi biến, hãy chứng tỏ một phép quy qunh gốc tọ độ mng một hình có diện tích thành một hình có cùng diện tích (phép dời hình bảo toàn thể tích). Một phép dời hình trong R 2 được định nghĩ là một song ánh từ R 2 vào chính nó bảo toàn khoảng cách. Người t biết trong mặt phẳng một phép dời hình bất kì là một hợp củ các phép tịnh tiến, phép quy qunh gốc tọ độ, và phép lấy đối xứng qu trục x. ùng công thức đổi biến, hãy chứng tỏ diện tích củ một hình không thy đổi qu một phép dời hình. ). 2.4 Ứng dụng củ tích phân bội Tích phân là tổng, đó là ý nghĩ chính củ tích phân. Vì vậy mỗi khi có nhu cầu tính tổng củ vô hạn giá trị thì tích phân có thể xuất hiện. Về cơ bản, nếu tại mỗi điểm x i, 1 i n có tương ứng các giá trị f(x i ) củ một đại lượng thì tổng giá trị củ đại lượng đó dĩ nhiên là n i=1 f(x i). Nếu tập hợp các điểm đng xét là vô hạn thì hàm f : R có khi được gọi là hàm mật độ củ đại lượng, và tổng giá trị củ đại lượng là f Giá trị trung bình Nếu tại các điểm x i, 1 i n có tương ứng các giá trị f(x i ) thì giá trị trung bình tại các điểm này như t đã biết là 1 n n i=1 f(x i). Trong trường hợp miền xác định có vô hạn phần tử, giả sử f : R, thì giá trị trung bình củ f được cho bằng công thức tương tự, chỉ thy tổng bằng tích phân: 1 f.

56 56 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI Ví dụ Nhiệt độ tại điểm (x, y) trên mặt phẳng là 5e x2 y 2 (độ Celcius). Hãy tìm nhiệt độ trung bình trên đĩ tròn đơn vị tâm tại gốc tọ độ. Gọi là đĩ tròn x 2 + y 2 1. Nhiệt độ trung bình trên được cho bởi 1 5e x2 y2 dxdy = 1 π = 5 1 2π ( 1 1 e 5e r2 r dθ dr ) 31, Tâm khối lượng T giới thiệu khái niệm tâm khối lượng (center of mss). Trong trường hợp hi chất điểm có khối lượng m 1 tại điểm p 1 và có khối lượng m 2 tại điểm p 2 thì tâm khối lượng củ hệ hi điểm này, theo nguyên tắc đòn bẩy củ vật lý, nằm tại điểm m 1 p 1 + m 2 p 2 m 1 + m 2. Đối với hệ gồm n chất điểm, bằng qui nạp t tìm được vị trí củ tâm khối lượng là n i=1 m ip i n i=1 m, i với tổng khối lượng là m = n i=1 m i. Xét trường hợp khối lượng liên tục, giả sử t có một khối vật chất chiếm phần không gin E trong R 3. Tại mỗi điểm p = (x, y, z) R 3 gọi ρ(p) là mật độ khối lượng củ khối tại p, đó là giới hạn củ khối lượng trung bình qunh p, có thể hiểu là khối lượng tại điểm p. Khối lượng củ khối chính là tích phân củ mật độ khối lượng: m = ρ. Từ công thức củ trường hợp rời rạc ở trên t suy r vị trí củ tâm khối lượng trong trường hợp liên tục sẽ là E ρp E ρ = E ρp m. Ở đây tích phân củ hàm vectơ được hiểu là vectơ tích phân củ từng thành phần. Cụ thể hơn, nếu p = (x, y, z) thì tâm khối lượng nằm ở điểm 1 ( m E ρx, E ρy, E ρz). Ví dụ T tìm tâm khối lượng củ nử hình tròn đồng chất. Gọi là nử trên củ hình tròn tâm O bán kính R và gọi hằng số ρ là mật độ khối lượng củ nó. Khối lượng củ khối này là m = ρ da = ρπr2 /2. Tọ độ củ tâm khối lượng là x = 1 ρx dxdy =, m y = 1 m ρy dxdy = ρ m E R π Xác suất củ sự kiện ngẫu nhiên (r sin θ)r dθ dr = 4 3π R. Một biến ngẫu nhiên X là một ánh xạ từ một tập hợp các sự kiện vào R. Trong trường hợp tập giá trị củ X là hữu hạn thì t nói X là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Với mỗi giá trị x có một số thực f(x) 1 là xác suất để X có giá trị x, kí hiệu là

57 2.4. ỨNG ỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI 57 P (X = x). Hàm f được gọi là hàm phân bố xác suất củ biến ngẫu nhiên X. Xác suất để X có giá trị trong tập C được cho bởi P (X C) = x C f(x). Một hệ quả là x f(x) = P (X ) = 1. Giá trị trung bình (men) hy kỳ vọng (expected vlue) theo xác suất củ X được cho bởi: E(X) = xf(x). x Ví dụ Xét một trò chơi với con xúc sắc như su: Người chơi phải trả 2 đồng cho mỗi lần tung xúc sắc. Nếu mặt ngử là mặt 6 nút thì người chơi được nhận 6 đồng, nếu là các mặt còn lại thì chỉ được nhận 1 đồng. Hỏi trong trò chơi này i được lợi, người chơi hy người tổ chức trò chơi? Gọi X là biến xác suất như su: Mặt 6 nút củ xúc sắc ứng với số thực 6, các mặt còn lại ứng với số thực 1. Hàm phân bố xác suất trong trường hợp này là f(1) = 5/6 và f(6) = 1/6. Câu trả lời cho câu hỏi trên được quyết định bởi giá trị trung bình củ biến xác suất X. T có E(X) = = 11 6 < 2, như vậy nếu chơi nhiều lần thì người chơi sẽ bị thiệt, còn người tổ chức trò chơi sẽ hưởng lợi. Trong trường hợp biến ngẫu nhiên liên tục, tập giá trị củ biến ngẫu nhiên X là một tập con vô hạn củ R. Tương tự với trường hợp rời rạc, có một hàm phân bố xác suất, hy mật độ xác suất (probbility density function) f : R so cho f(x) và xác suất để X có giá trị trong tập C được cho bởi P (X C) = f. Một hệ quả là hàm mật độ xác suất phải thỏ P (X ) = f = 1. Trung bình hy kỳ vọng củ biến ngẫu nhiên X được cho bởi: E(X) = xf. Chú ý sự tương tự củ công thức này với công thức củ tâm khối lượng. Ví dụ Một nhà sản xuất bảo hành một sản phẩm 2 năm. Gọi T là biến xác suất ứng thời điểm hư hỏng củ sản phẩm với số thực t là thời gin từ khi sản phẩm được sản xuất theo năm. Giả sử hàm mật độ xác suất được cho bởi f(t) =, 1e,1t. Xác suất sản phẩm bị hư trong thời gin bảo hành sẽ là P ( T 2) = 2 C, 1e,1t dt 18%. Trong trường hợp có n biến ngẫu nhiên thì tập giá trị củ biến ngẫu nhiên là một tập con củ R n, hàm phân bố xác suất sẽ là một hàm n biến, và các tích phân trên sẽ là tích phân bội. Ví dụ Xét tình huống một chuyến xe buýt thường tới trạm trễ, nhưng không quá 1 phút, và đợi ở trạm 5 phút. Hàm mật độ xác suất củ giờ xe tới trạm, gọi là X, được cho bởi f 1 (x) =, 2x +, 2, x 1. Một người thường đi xe buýt vào giờ này nhưng hy bị trễ, có khi tới 2 phút. Hàm mật độ xác suất củ giờ người này tới trạm, gọi là Y, được cho bởi f 2 (y) =, 5y +, 1, y 2. Hỏi xác suất để người này đón được chuyến xe buýt này là bo nhiêu?

58 58 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI Ở đây có hi biến xác suất độc lập nên hàm phân bố xác suất chung là f(x, y) = f 1 (x)f 2 (y). Xác suất cần tìm được cho bởi P (Y X + 5) = = {(x,y) R 2 x 1, y x+5} 1 x+5 f(x, y) dy dx 65%. f(x, y) dxdy Ví dụ (Tính e x2 dx). Tích phân e x2 dx rất qun trọng trong môn Xác suất (xem Bài tập 2.4.9). Ở đây t sẽ tính nó thông qu tích phân bội %e^-x^ x Hình 2.4.1: Đường cong e x2 thường được gọi là đường hình chuông. Gọi B (R) là hình tròn đóng tâm bán kính R, tức B (R) = {(x, y) x 2 + y 2 R 2 }. Gọi I(R) là hình vuông tâm với chiều dài cạnh 2R, tức I(R) = [ R, R] [ R, R]. Vì B (R) I(R) B (R 2) nên e (x2 +y 2) da e (x2 +y 2) da e (x2 +y 2) da. Vì B (R) B (R) I(R) e (x2 +y 2) da = [,R] [,2π] nên từ bất đẳng thức trên, lấy giới hạn t được e (x2 +y 2) da = π. nên lim R Mặt khác theo công thức Fubini: I(R) e (x2 +y 2) ( R da = I(R) e x2 R ) ( R dx e y2 R lim e (x2 +y 2) ( R da = lim e x2 R I(R) R R Vậy t được công thức nổi tiếng: e x2 dx = π. B (R 2) re r2 da = π(1 e R2 ), ) ( R 2, dy = e dx) x2 R ) 2 ( 2. dx = e dx) x2

59 2.4. ỨNG ỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI 59 Bài tập Tính: () Tìm tâm khối lượng củ hình chữ nhật đồng chất [ 1, 1] [ 2, 2] R 2. (b) Tìm tâm khối lượng củ vật có hình dạng một miếng mỏng chiếm miền trên mặt phẳng bo bởi đường y = 12, 37x 2 và đường y = 8, 5 với hàm mật độ khối lượng ρ(x, y) = 13, 6x 4 y 1,2. (c) Tìm tâm khối lượng củ hình trái tim ở Hình (d) Tìm tâm khối lượng củ hình vỏ ốc ở Hình (e) Chứng tỏ tâm khối lượng củ một tm giác chính là trọng tâm (gio điểm củ b đường trung tuyến) củ tm giác. (f) Tìm tâm khối lượng củ một khối đồng chất có dạng hình nón nhọn cân chiều co là h và với đáy là hình tròn bán kính R. (g) Tìm tâm khối lượng củ khối tứ diện đồng chất được bo bởi các mặt x =, y =, z =, x + y b + z c = 1 với, b, c > Cho R 2 là một tập đồng chất, có diện tích, đối xứng qu gốc tọ độ O tức là nếu p thì p. Hãy tìm tâm khối lượng củ Xét một mô hình đơn giản cho cấu trúc hành tinh Trái đất, gồm phần lõi cứng ở gần tâm có mật độ khối lượng co và phần ngoài có mật độ khối lượng giảm dần từ trong r ngoài. Gọi ρ là khoảng cách từ một điểm tới tâm, thì mật độ khối lượng tại điểm đó được mô hình hó như su: { , ρ 1, f(ρ) = ρ, 1 ρ 64, ở đây đơn vị khối lượng là kg và đơn vị chiều dài là km. Hãy ước lượng khối lượng củ Trái đất Khu trung tâm thành phố được miêu tả như một hình chữ nhật [, 1] [, 2] với đơn vị chiều dài là km. Giá đất trong khu vực này trong được mô hình hó bằng hàm p, ở vị trí (x, y) [, 1] [, 2] thì p(x, y) = 2 1(x 1 2 )2 15(y 1) 2 (triệu đồng/m 2 ). Hãy tính giá đất trung bình ở khu vực này Giả sử rằng gốc tọ độ ở trung tâm thành phố và mật độ dân số tại điểm có tọ độ (x, y) có mô hình p(x, y) = 2(x 2 + y 2 ),2 người trên km 2, hãy tìm số dân trong bán kính 5 km từ trung tâm thành phố Một cái bồn có dạng hình hộp với chiều rộng 3 mét, chiều dài 4 mét, chiều co 5 mét chứ đầy nước. T cần tính công W năng lượng cần thiết để bơm hết nước r khỏi bồn qu mặt trên củ bồn. () Gọi x là khoảng cách từ một chất điểm trong bồn tới mặt trên củ bồn. Giải thích vì so công để đư chất điểm này r khỏi bồn là xρg, với mật độ khối lượng củ nước là ρ = 1 kg/m 3, hằng số trọng lực là g = 9, 8 m/s 2. (b) Thiết lập công thức W = 5 xρg 3 4 dx. Tính W Kim tự tháp Vu Khufu là kim tự tháp lớn nhất ở Ai Cập, được xây dựng trong khoảng từ năm 258 TCN tới 256 TCN. Đáy củ nó là một hình vuông với chiều dài cạnh là 23,4 mét và chiều co là 146,5 mét. () Hãy ước lượng thể tích củ kim tự tháp. (b) Kim tự tháp được làm bằng đá vôi. Mật độ khối lượng củ đá vôi vào khoảng 24 kg/m 3. Hãy ước lượng khối lượng củ kim tự tháp. (c) Hãy ước lượng công xây dựng kim tự tháp này. (Công này ít nhất bằng thế năng trọng trường củ khối kim tự tháp.)

60 6 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI (d) Mỗi người nhận khoảng 2 kcl năng lượng mỗi ngày từ thức ăn. Giả sử mỗi người dùng được 2% năng lượng đó để làm việc, 34 ngày một năm, trong 2 năm, thì cần ít nhất bo nhiêu người để xây dựng kim tự tháp này? (Giả sử họ không có máy móc, chư kể những phần khác củ công việc và những yếu tố khác, nên đây chỉ là một ước lượng thô.) Hi công ty sản xuất hi sản phẩm cạnh trnh với nhu. Gọi X, Y là biến xác suất ứng với thời điểm hư hỏng củ hi sản phẩm tính theo thời gin từ khi sản phẩm được sản xuất (theo năm), và giả sử hi biến này là độc lập với nhu. Giả sử các hàm mật độ xác suất được cho bởi f(x) =, 2e,2x và g(y) =.1e,1y. Hãy tính xác suất sản phẩm củ công ty thứ nhất bị hư trước sản phẩm củ công ty thứ hi trong thời gin bảo hành 3 năm Chứng tỏ hàm được dùng trong mô hình phân bố chuẩn (norml distribution) củ môn Xác suất f(x) = 1 σ 2π e (x µ) 2 2σ 2 thỏ mãn tính chất cần có củ hàm phân bố xác suất: f(x) dx= Hãy đư r một giải thích cho công thức su, thường được dùng trong xác suất khi có hi biến ngẫu nhiên: 2 +y 2) dxdy = π. R 2 e (x Từ đó hãy đư r công thức cho mô hình phân bố chuẩn củ hi biến ngẫu nhiên. %e^(-y^2-x^2) z x y Hình 2.4.2: Hàm e (x2 +y 2) (hàm Gmm). Hàm Gmm là một mở rộng củ hàm gii thừ lên tập hợp các số thực. T định nghĩ Γ(z) = () Chứng tỏ Γ(z) được xác định. t z 1 e t dt, z R, z >. (b) Kiểm tr rằng Γ(z + 1) = zγ(z). Suy r với số nguyên dương n thì Γ(n + 1) = n!. (c) Kiểm tr công thức Γ( 1 2 ) = π (công thức Pppus). Hãy tìm lại công thức củ Pppus 6 : Thể tích củ khối tròn xoy nhận được bằng cách xoy một miền phẳng qunh một trục bên ngoài bằng diện tích củ miền nhân với chiều dài củ đường đi củ tâm khối lượng củ miền. Cụ thể hơn, gọi là miền bo bởi hi đồ thị củ hi hàm f và g trên đoạn [, b], với g(x) f(x) trên [, b]. Gọi (x, y ) là tâm khối lượng củ. Khi đó thể tích củ khối tròn xoy nhận được bằng cách xoy miền qunh trục x bằng 2πy. Ứng dụng, hãy tìm lại công thức thể tích củ khối xuyến. 6 Pppus xứ Alexndri, một nhà hình học sống vào thể kỉ thứ 4 su Công nguyên.

61 Chương 3 Giải tích vectơ Trong chương trước chúng t đã khảo sát thể tích củ miền trong không gin n-chiều và tích phân trên những miền đó. Tuy nhiên những câu hỏi chẳng hạn như về chu vi củ đường tròn, diện tích củ mặt cầu, hy nói chung là độ đo củ tập con k-chiều trong không gin n-chiều với k < n và tích phân trên đó thì chúng t chư xét. Chương này sẽ trả lời những câu hỏi này cho trường hợp đường (k = 1) và mặt (k = 2). Chương này cũng giới thiệu các qun hệ giữ phép tính vi phân và phép tính tích phân củ hàm nhiều biến thông qu phép tính tích phân đường, phép tính tích phân mặt, và các công thức liên hệ chúng, như các công thức Green, công thức Stokes, công thức Guss Ostrogrdsky. 3.1 Tích phân đường Chiều dài củ đường đi Khi nói tới một đường t thường nghĩ tới một con đường, tức là một tập hợp điểm, ví dụ một đường thẳng hy một đường tròn. Mục đích củ chúng t trong mục này là thực hiện các đo đạc trên đường, chẳng hạn như đo chiều dài củ đường. Các đo đạc đó sẽ được thực hiện qu một chuyến đi trên con đường. Tuy nhiên t có thể đi trên một con đường theo nhiều cách khác nhu, và t chư có căn cứ để cho rằng các đo đạc bằng các cách đi khác nhu trên cùng một con đường sẽ cho r cùng một kết quả. o đó trước mắt chúng t sẽ làm việc với từng cách đi cụ thể mà t gọi là đường đi. Một đường đi (pth) là một ánh xạ từ một khoảng đóng [, b] vào R n (một tương ứng mỗi thời điểm với một vị trí). Tập hợp các điểm mà đường đi đã đi qu được gọi là vết củ đường đi (đây là con đường như đã bàn ở trên). Với đường đi r : [, b] R n thì vết củ r tập ảnh r([, b]) = {r(t) t [, b]}. Đường đi r : [, b] R n được gọi là: đóng hy kín nếu r() = r(b), tức là điểm đầu và điểm cuối trùng nhu. đơn nếu nó không đi qu điểm nào hi lần (không có điểm tự cắt). Chính xác hơn, nếu r không phải là đường đóng thì nó được gọi là đơn nếu r là đơn ánh trên [, b]; nếu r là đường đóng thì nó được gọi là đơn nếu r là đơn ánh trên [, b). liên tục nếu r là hàm liên tục trên [, b]. 61

62 62 CHƯƠNG 3. GIẢI TÍCH VECTƠ Đường cong đơn, không kín Đường cong đơn, kín Đường cong kín, không đơn Đường cong không đơn, không kín Đường đi r : [, b] R n được gọi là trơn nếu r là hàm trơn trên [, b], nghĩ là nếu r mở rộng được thành một hàm trơn trên một khoảng (c, d) chứ [, b]. Điều này đồng nghĩ với việc r có đạo hàm phải tại và đạo hàm trái tại b. Nếu r là một đường đi trơn thì đạo hàm r (t) có ý nghĩ vật lý là vận tốc chuyển động (velocity) tại thời điểm t. Độ lớn củ vận tốc r (t) là tốc độ (speed) tại thời điểm t. Cho đường đi r : [, b] R n. Xét một phép chi = t < t 1 < < t m = b củ [, b]. Trên mỗi khoảng con [t i 1, t i ], 1 i m, t xấp xỉ tuyến tính đường đi: r(t) r(t i 1 ) r (t i 1 )(t t i 1 ). Nói cách khác, t xấp xỉ chuyển động bằng một chuyển động đều với vận tốc không đổi r (t i 1 ). Quãng đường đi được trong khoảng thời gin từ t i 1 tới t i được xấp xỉ bởi vectơ r (t i 1 ) t i, với chiều dài là r (t i 1 ) t i. r (t i 1 ) t i r(t i ) r(t i 1 ) Hình 3.1.1: Xấp xỉ tuyến tính: r(t i ) r(t i 1 ) r (t i 1 ) t i. Như vậy chiều dài củ đường đi được xấp xỉ bởi m i=1 r (t i 1 ) t i. Đây chính là tổng Riemnn củ hàm r (t) trên khoảng [, b]. Vậy t đư r định nghĩ su: Định nghĩ Chiều dài củ đường đi r : [, b] R n được định nghĩ là b r (t) dt. Định nghĩ này chứ công thức đã quen biết: quãng đường đi được = tốc độ thời gin. Ví dụ Giả sử một vật di chuyển trên một đường với tốc độ hằng v, trong khoảng thời gin từ tới b. Khi đó quãng đường vật đã đi được có chiều dài là b v dt = v(b ), đúng như t chờ đợi. Một ý tưởng khác để đư r định nghĩ độ dài đường là lấy giới hạn tổng độ dài các đoạn thẳng gấp khúc nối các điểm liên tiếp trên đường cong, khi số điểm dần đến vô hạn (Hình 3.1.2). Cách tiếp cận này cũng cho r kết quả tương tự như trên.

63 3.1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 63 Hình 3.1.2: Tích phân đường loại một Cho đường đi r : [, b] R n. Giả sử f là một hàm thực xác định trên vết củ đường, tức f : r([, b]) R. T muốn tính tổng giá trị củ hàm trên đường. T làm một cách tương tự như đã làm khi định nghĩ chiều dài đường đi. Xét một phép chi = t < t 1 < < t m = b. Trên khoảng con [t i 1, t i ] t xấp xỉ tuyến tính đường đi r(t) r(t i 1 ) r (t i 1 )(t t i 1 ). Khi đó phần đường từ r(t i 1 ) đến r(t i ) được xấp xỉ bằng r (t i 1 ) t i. Trên phần đường này t xấp xỉ hàm f bởi hàm hằng với giá trị f(r(t i 1 )). o đó tổng giá trị củ f trên phần đường từ r(t i 1 ) đến r(t i ) được xấp xỉ bằng f(r(t i 1 )) r (t i 1 ) t i. Tổng giá trị củ f trên đường r được xấp xỉ bằng Vậy t định nghĩ: m f(r(t i 1 )) r (t i 1 ) t i. i=1 Định nghĩ Cho f là một hàm xác định trên vết củ đường r : [, b] R n. Tích phân củ f trên r được kí hiệu là r f ds và được định nghĩ là: r f ds = b f(r(t)) r (t) dt. Để có tích phân thì đường đi phải khả vi. Nếu đường đi chỉ khả vi từng khúc, tức là có các số = t < t 1 < t 2 < < t m = b so cho trên mỗi khoảng [t i 1, t i ] ánh xạ r là khả vi, thì gọi r i là hạn chế củ đường r lên khoảng [t i 1, t i ], t định nghĩ. m f ds = f ds. r r i Ví dụ Nếu f 1 thì i=1 r 1 ds = b r (t) dt là chiều dài củ đường đi r. Ví dụ Xét trường hợp hi chiều, n = 2. Viết r(t) = (x(t), y(t)), khi đó b f ds = f((x(t), y(t)) x (t) 2 + y (t) 2 dt. Một cách hình thức có thể nhớ rằng r ds = x (t) 2 + y (t) 2 dt.

64 64 CHƯƠNG 3. GIẢI TÍCH VECTƠ Hình 3.1.3: Đường khả vi từng khúc Tích phân đường loại hi Một trường vectơ là một tương ứng mỗi điểm với một vectơ. Chính xác hơn, một trường vectơ trên tập R n là một ánh xạ F : R n. Đôi khi để nhấn mạnh hoặc để dùng kí hiệu thường có trong vật lý t để thêm mũi tên trên kí hiệu trường, viết là F. Cho đường đi r : [, b] R n và cho F là một trường vectơ xác định trên vết củ r. T muốn tính tổng thành phần củ trường cùng chiều đường đi. Ví dụ Trong vật lý, nếu một vật di chuyển theo một đường dưới tác động củ một trường lực thì tổng tác động củ lực, tức tổng thành phần củ lực cùng chiều chuyển động, được gọi là công (work) củ trường lực. Trong trường hợp đơn giản, nếu lực là hằng F và vật chuyển động đều trên một đường thẳng theo một vectơ s thì công củ lực bằng F cos( F, s) s = F s. Xét một phép chi = t < t 1 < < t m = b củ [, b]. Trên mỗi khoảng con [t i 1, t i ], 1 i m, t xấp xỉ đường bằng xấp xỉ tuyến tính: r(t) r (t i 1 )(t t i 1 ). Khi đó phần đường từ r(t i 1 ) đến r(t i ) được xấp xỉ bằng r (t i 1 ) t i. Trên phần đường này trường F có thể được xấp xỉ bằng trường hằng, đại diện bởi vectơ F (r(t i 1 )). Tổng củ thành phần cùng chiều đường đi củ trường F trên phần đường từ r(t i 1 ) đến r(t i ) được xấp xỉ bằng F (r(t i 1 )) r (t i 1 ) t i. Tổng thành phần tiếp tuyến củ F dọc theo r được xấp xỉ bằng m i=1 F (r(t i 1)) r (t i 1 ) t i. Vậy t định nghĩ: Định nghĩ Cho F là một trường vectơ trên vết củ một đường đi r : [, b] R n. Tích phân củ F trên r được kí hiệu là r F d s và được định nghĩ là: r F d s = b F (r(t)) r (t) dt. Định nghĩ này được mở rộng cho đường khả vi từng khúc theo cách như tích phân đường loại một. Ghi chú Có một số cách kí hiệu khác cho tích phân đường loại hi, chẳng hạn r F d r, r F d l. Ví dụ Xét trường hợp hi chiều, n = 2. Viết F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) và r(t) = (x(t), y(t)). Khi đó r F d s = b [P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)] dt.

65 3.1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 65 T đư r hi tích phân mới: P (x, y) dx = r b P (x(t), y(t))x (t) dt. r Q(x, y) dy = b Q(x(t), y(t))y (t) dt. Người t thường viết F d s = P (x, y) dx + Q(x, y) dy. r r Một cách hình thức có thể nhớ rằng d s = r (t) dt, dx = x (t) dt, dy = y (t) dt Sự phụ thuộc vào đường đi Như đã bàn ở đầu chương, t rất qun tâm tới việc các kết quả đo đạc có thy đổi hy không nếu t đi theo những đường đi khác nhu trên cùng một con đường. Cho ϕ : [c, d] [, b] là một phép đổi biến. Nếu ϕ (t) > với mọi t [c, d] thì t nói ϕ bảo toàn định hướng. Nếu ϕ (t) < với mọi t [c, d] thì t nói ϕ đảo ngược định hướng. Nếu r : [, b] R n là một đường đi thì r ϕ là một đường đi cùng vết với r. T nói r ϕ và r si khác một phép đổi biến. T có kết quả đơn giản su đây về sự bất biến củ tích phân đường qu một phép đổi biến. Định lý (đổi biến trong tích phân đường). không thy đổi qu phép đổi biến. () Tích phân đường loại một (b) Tích phân đường loại hi không thy đổi qu phép đổi biến bảo toàn định hướng và đổi dấu qu phép đổi biến đảo ngược định hướng. Chứng minh. Cho f là một hàm thực và F là một trường vectơ xác định trên vết củ đường r : [, b] R n. Cho ϕ : [c, d] [, b] là một phép đổi biến. T xét trường hợp ϕ đảo ngược định hướng, trường hợp còn lại là tương tự. Theo công thức đổi biến củ tích phân bội, với phép đổi biến u = ϕ(t) thì r Trong khi đó f ds = b f(r(u)) r (u) du = = d c d c d = = c r ϕ f(r(ϕ(t))) r (ϕ(t)) ϕ (t) dt f(r(ϕ(t))) r (ϕ(t))ϕ (t) dt f(r ϕ(t)) (r ϕ) (t) dt f ds.

66 66 CHƯƠNG 3. GIẢI TÍCH VECTƠ r F d s = b F (r(u)) r (u) du = d = [F (r(ϕ(t))) r (ϕ(t))] ϕ (t) dt c d c d = = c r ϕ [F (r(ϕ(t))) r (ϕ(t))]ϕ (t) dt F (r ϕ(t)) (r ϕ) (t) dt F d s. Ví dụ Cả hi loại tích phân đường không thy đổi dưới một phép tịnh tiến củ biến thời gin t t + c với c R. Ví dụ Với đường đi r(t), t [, b] thì đường r( + b t), t [, b], khởi đầu ở r(b) và kết thúc ở r(), được gọi là đường ngược củ đường r, kí hiệu là r. T nói đường r trái chiều với đường r. Định lý nói nếu đảo ngược định hướng củ đường thì tích phân đường loại một không thy đổi trong khi đó tích phân đường loại hi bị đổi dấu. Đường đi r : [, b] R n được gọi là chính qui (regulr) nếu r trơn trên [, b] và vận tốc r (t) luôn khác không. Ghi chú Trong quyển sách củ Stewrt [Ste12] thuật ngữ đường trơn chính là thuật ngữ đường chính qui ở đây. C α β d b β 1 α c Người t có thể chứng tỏ hi đường đi đơn chính qui với cùng vết khác biệt bởi một phép đổi biến (xem [Vugt3]). Từ đó t nói hi đường đi đơn chính qui có cùng vết là có cùng định hướng nếu chúng si khác một phép đổi biến bảo toàn định hướng, và ngược lại nếu phép đổi biến là đảo ngược định hướng thì t nói hi đường là trái định hướng. T có kết quả chính củ phần này ([Vugt3]): Định lý (tích phân trên đường cong). () Tích phân đường loại một dọc theo hi đường đi đơn chính qui có cùng vết thì bằng nhu. (b) Tích phân đường loại hi dọc theo hi đường đi đơn chính qui có cùng vết thì bằng nhu nếu cùng định hướng và đối nhu nếu trái định hướng. Như vậy t có thể nói đến tích phân đường loại một (chẳng hạn chiều dài) trên một tập điểm, ví dụ như một đường tròn, một đồ thị,... nếu tập điểm ấy là vết củ một đường đi đơn chính qui nào đó. Trong trường hợp này t nói vết đó là một đường cong (curve). Để tính tích phân trên một đường cong t có thể chọn một đường đi đơn chính qui bất kì để thực hiện tính toán. Đối với tích phân đường loại hi thì t được cho thêm một

67 3.1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 67 định hướng trên đường cong và t có thể chọn một đường đi đơn chính qui có cùng định hướng bất kì để tính. Ví dụ Giả sử hàm thực f xác định trên khoảng [, b]. Gọi γ là một đường chính qui bất kì đi từ tới b. Vì khoảng [, b] cũng là vết củ đường đơn chính qui α(t) = t với t [, b] nên b b f ds = f ds = f(α(t))α (t) dt = f(t) dt. γ α Đây chính là tích phân củ hàm f trên khoảng [, b]. Vậy tích phân củ hàm thực trên khoảng là một trường hợp riêng củ tích phân đường loại một. Ví dụ (chiều dài củ đường tròn). Xét đường đi r(t) = (R cos t, R sin t), t 2π, một đường đi với tốc độ hằng qunh đường tròn tâm O bán kính R. Chiều dài củ đường này là 2π R dt = 2πR. Nếu t lấy một đường đi khác α(t) = (R cos(2πt), R sin(2πt)), t 1, thì chiều dài củ đường này là 1 2πR dt = 2πR. Bây giờ t có thể nói chiều dài củ đường tròn bằng 2πR, không phụ thuộc vào cách chọn một thm số hó đơn chính qui để tính. (Chúng t không nói là đã tìm r công thức chiều dài củ đường tròn, vì khi đư r thm số hó chúng t đã thừ nhận những tính chất nhất định về đường tròn, trong đó có thừ nhận số π, góc t, hàm cos và hàm sin.) Ví dụ Cho trường F (x, y) = (2y, 3x) và C là đường cong y = x 2, x 1, định hướng từ (, ) tới (1, 1). Hãy tính I = C F d s. T cần đư r một thm số hó cho đường cong C. Vì C là một đồ thị, t có ngy thm số hó C 1 (x) = (x, x 2 ), x 1. T cũng có thể dùng các thm số hó khác như C 2 (y) = ( y, y), y 1, hoặc C 3 (t) = (ln t, ln 2 t), 1 t e. Đây đều là các đường đi đơn, chính qui với vết C, theo định hướng đã cho. Với C 1 : Với C 2 : C 1 F d s = C 2 F d s = 1 1 F (C 1 (x)) C 1(x) dx = F (C 2 (y)) C 2(y) dy = 1 1 (2x 2, 3x) (1, 2x) dx = 4 3. (2y, 3 y) ( 1 ) 2 y, 1 dy = 4 3. Với C 3 : F d s = C 3 = e 1 e 1 F (C 3 (t)) C 3(t) dt = 4 ln2 t t e dt = 4 3 ln3 t e 1 = (2 ln 2 t, 3 ln t) ( 1 t, 2 ln t ) t dt Liên hệ giữ hi loại tích phân đường T đư r định nghĩ hướng tiếp tuyến củ đường cong được định hướng C, vết củ một đường đi đơn chính qui r(t) theo hướng đã định, t b, tại điểm p = r(t), < t < b, là hướng củ vectơ vận tốc r (t). Hướng này không phụ thuộc vào cách chọn đường đi đơn chính qui trên đó. Vì vậy việc định hướng cho đường cong đồng nghĩ với việc chọn hướng tiếp tuyến. Tại điểm p = r(t) vectơ tiếp tuyến cùng chiều đơn vị được định nghĩ, đó là T (p) = r r (t), không phụ thuộc vào cách chọn đường đi r theo định hướng củ C.

68 68 CHƯƠNG 3. GIẢI TÍCH VECTƠ Nếu F là một trường vectơ trên C thì C F d s = = b b F (r(t)) r (t) dt = b [F (r(t)) T (r(t))] r (t) dt = [ r ] (t) F (r(t)) r r (t) dt (t) F T ds. Vậy trong trường hợp này tích phân đường loại hi có thể được biểu diễn qu tích phân đường loại một. Biểu thức trên cũng khẳng định lại ý nghĩ củ tích phân loại hi, đó là tổng thành phần tiếp tuyến củ trường dọc theo đường. C Bài tập Tính: () Chiều dài củ đường r(t) = (2 2t, e 2t, e 2t ), t 1. (b) Tìm khối lượng củ sợi dây hình prbol y = x 2, 1 x 2, với mật độ khối lượng ρ(x, y) = y/x. (c) C sin z2 dx + e x dy + e y dz, với C là đường (2, t, e t ), t 1. (d) C F d r, với F (x, y, z) = (sin z, z, xy) và C là đường (cos θ, sin θ, θ), θ 9π/4. (e) Tìm công củ trường F (x, y, z) = (y x 2, z 2 + x, yz) trên đường (t, t 2, t 3 ), t 1. ( ) Cho trường F (x, y) = 2xye x2y, x 2 e x2 y. Tính tích phân đường củ trường này dọc theo một đường đi từ điểm (, ) tới điểm (1, 1) bằng các cách su: () dùng đường thẳng, (b) dùng đường gấp khúc, (c) dùng đường khác () Một vật di chuyển trong trường trọng lực củ Quả đất từ một điểm có co độ 1 mét đến một điểm có co độ 2 mét. Hỏi công củ trọng lực là âm, bằng không, hy dương? (b) Cho C là một đường và n là vectơ pháp tuyến. Hỏi n d s là âm, bằng không, hy dương? C Phân tử NA trong không gin b chiều có hình dạng đường xoắn ốc kép, mỗi đường có thể được mô hình hó bởi đường (R sin t, R cos t, ht) (hãy vẽ đường này). Bán kính củ mỗi đường xoắn ốc khoảng 1 ngstrom (1 ngstrom = 1 8 cm). Mỗi đường xoắn ốc xoắn lên khoảng 34 ngstrom su mỗi vòng xoy. Hãy ước tính chiều dài củ mỗi vòng xoy củ phân tử NA Một sợi dây với hi đầu cố định dưới tác( động ) củ trọng trường sẽ có hình dạng một đường xích (ctenry) với phương trình y = cosh, với cosh là hàm hyperbolic cosine cho bởi cosh x = (e x + e x )/2. Đài tưởng niệm Gtewy Arch ở Sint Louis nước Mỹ có dạng một đường xích đảo ngược. Vị trí điểm tâm hình học (cũng là tâm khối lượng củ mặt cắt vuông góc) (centroid) củ cổng được thiết kế theo công thức y = 693, , 7672 cosh, 1333x với y là khoảng cách tới mặt đất và 299, 2239 x 299, 2239, đơn vị đo là feet. Hãy tính chiều dài củ đường tâm hình học Cầu Akshi-Kikyo ở Nhật Bản hiện là một trong những cây cầu treo dài nhất thế giới. Hi tháp co 297m tính từ mặt biển. Chiều dài nhịp chính (khoảng cách giữ hi tháp) là 1991m. Mỗi sợi cáp chính có dạng một đường prbol. Điểm thấp nhất củ sợi cáp chính cách mặt biển khoảng 97m. Hãy tính chiều dài củ một sợi cáp chính, bằng tính chính xác hoặc tính xấp xỉ Khi nào thì chiều dài củ một đường đi bằng? x

69 3.2. CÔNG THỨC NEWTON LEIBNIZ VÀ CÔNG THỨC GREEN Cho đường đi chính qui r : [, b] R n. Đặt s(t) = t r (u) du. Hàm s được gọi là hàm chiều dài củ r. Đặt chiều dài củ r là l = s(b). () Chứng tỏ hàm s(t) có hàm ngược trơn. Gọi hàm đó là t(s), s l. (b) Kiểm tr rằng đường α(s) = r(t(s)) có cùng vết với đường r. Chứng tỏ tốc độ củ α luôn là 1. Việc thy r bởi α được gọi là thm số hó lại theo chiều dài. Chú ý rằng ds dt (t) = r (t). Điều này thường được viết dưới dạng kí hiệu là ds = r (t) dt. 3.2 Công thức Newton Leibniz và Công thức Green Trường bảo toàn Định nghĩ Một trường vectơ F được gọi là bảo toàn nếu có hàm số thực f, gọi là một hàm thế củ F, so cho f = F. Vectơ f(x) đại diện cho đạo hàm f (x), vì thế t có thể hiểu là f = F : hàm thế f chính là một nguyên hàm củ hàm F. Một trường bảo toàn còn được gọi là một trường grdient. Ví dụ (trường hằng). Giả sử c R n và F là trường trên R n cho bởi F (x) = c. Một nguyên hàm củ F là f(x) = c x, vậy F là bảo toàn. Định lý (công thức Newton Leibniz). Giả sử r là một đường đi trơn bắt đầu ở A và kết thúc ở B. Cho f là một hàm thực trơn trên một tập mở chứ vết củ r. Khi đó: r f d s = f(b) f(a). Định lý trên có một hệ quả là tích phân r f d s không phụ thuộc vào sự lự chọn đường đi r từ điểm A tới điểm B. T nói tích phân này là độc lập với đường đi. Công thức trên có thể được hiểu như: B A f = f(b) f(a). Đây là dạng tổng quát hó củ công thức Newton Leibniz củ hàm một biến vốn được thường gọi là Định lý cơ bản củ Vi Tích phân, vì vậy công thức này cũng được gọi là Định lý cơ bản củ tích phân đường. Chứng minh. Giả sử r : [, b] R n, r() = A và r(b) = B. Khi đó theo công thức Newton Leibniz củ hàm một biến: r f d s = b f(r(t)) r (t) dt = b d (f r)(t) dt = f r(b) f r(). dt

70 7 CHƯƠNG 3. GIẢI TÍCH VECTƠ Hệ quả (tích phân củ trường bảo toàn chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối củ đường đi). Nếu F là một trường bảo toàn liên tục trên miền thì tích phân củ F trên một đường đi trơn trong chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối củ đường đi. Hệ quả (tích phân củ trường bảo toàn trên đường đi kín bằng không). Nếu F là một trường bảo toàn liên tục trên miền thì tích phân củ F trên một đường đi trơn kín trong bằng không. Những kết quả trong phần trên có thể được mở rộng cho các đường trơn từng khúc. Ví dụ Tính tính phân C ydx + (x + 6y)dy trong đó C là một đường đi từ (1, ) tới (2, 1). T tìm một hàm thế cho trường (y, x + 6y). T giải hệ phương trình đạo hàm riêng để tìm nguyên hàm: { f x f y (x, y) = y (x, y) = x + 6y. Từ phương trình thứ nhất t được f(x, y) = y dx = xy + (y). Thy vào phương trình thứ hi t được (y) = 6y, suy r (y) = 6y dy = 3y 2 + E. Vậy t tìm được một hàm thế là f(x, y) = xy + 3y 2. Suy r tích phân đã cho bằng f(2, 1) f(1, ) = 5. Ví dụ ự đoán trường vectơ trong hình su có bảo toàn qunh điểm giữ hy không? Lấy một đường kín qunh điểm giữ, chẳng hạn một đường tròn hy đường vuông, t thấy tích phân củ trường dọc theo đường đó bằng. o đó t dự đoán trường trong hình là bảo toàn Ý nghĩ vật lý củ khái niệm trường bảo toàn Ví dụ Xét vật có khối lượng m ở trong không gin gần bề mặt quả đất. T xấp xỉ bằng cách giả sử trọng trường không đổi trong phần không gin này. Nếu t đặt trục z vuông góc với mặt đất, chỉ r ngoài, và gốc tọ độ trên mặt đất thì trọng lực tác động lên vật là F = mg k = (,, mg) trong đó g 9, 8 m/s 2 là hằng số trọng trường gần mặt đất. T tìm được hàm thế củ trường này có dạng f(z) = mgz + C. Trong vật lý t thường cho thế năng củ vật ở trên mặt đất là dương, còn thế năng tại mặt đất bằng, do đó thế năng củ vật được cho bởi hàm U(z) = mgz. Như vậy hàm thế trong vật lý là đối củ hàm thế trong toán. Ví dụ (trường trọng lực). Chính xác hơn, giả sử một vật có khối lượng M nằm ở gốc tọ độ trong R 3, và một vật có khối lượng m nằm ở điểm r = (x, y, z), theo cơ học

71 3.2. CÔNG THỨC NEWTON LEIBNIZ VÀ CÔNG THỨC GREEN 71 Newton, vật có khối lượng m sẽ chịu tác động củ lực hấp dẫn từ vật có khối lượng M bằng F ( r) = mmg r 3 r. T tìm một nguyên hàm cho F bằng cách giải hệ phương trình f x x (x, y, z) = mmg (x 2 +y 2 +z 2 ) 3/2 f y y (x, y, z) = mmg (x 2 +y 2 +z 2 ) 3/2 f z (x, y, z) = mmg z (x 2 +y 2 +z 2 ) 3/2. Từ phương trình thứ nhất, lấy tích phân theo x t được x f(x, y, z) = mmg (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 dx = mmg (x 2 + y 2 + z 2 + C(y, z). ) 1/2 Thy vào hi phương trình còn lại, t được C(y, z) thực sự chỉ là một hằng số C. Vậy trường trọng lực là một trường bảo toàn với một hàm thế là f( r) = mmg r. Giả sử một vật di chuyển dưới tác dụng củ tổng lực F. Giả sử trường F là bảo toàn với f là một hàm thế. Giả sử vị trí củ vật ở thời điểm t là r(t). Giả sử r(t ) = x và r(t 1 ) = x 1. T định nghĩ động năng (năng lượng từ chuyển động) củ vật là K(t) = 1 2 m r (t) 2 ; và thế năng (năng lượng từ vị trí) củ vật là U(x) = f(x). Theo định lý cơ bản củ tích phân đường: x1 x F d s = f(x 1 ) f(x ) = (U(x 1 ) U(x )). Vậy công củ trường bằng đối củ biến thiên thế năng. Mặt khác theo cơ học Newton: F = m = mr. o đó: x1 x t1 t t1 F d s = F (r(t)) r (t) dt = mr (t) r (t) dt. Bây giờ chú ý hệ thức (xem Bài tập 1.4.5) (r r ) = r r + r r = 2r r, hy r r = 1 2 ( r 2 ), t biến đổi t x1 x F d s = t1 t m 1 2 ( r (t) 2 ) dt = 1 2 m r (t 1 ) m r (t ) 2 = K(t 1 ) K(t ). Vậy công củ trường bằng biến thiên động năng. T kết luận K(t) + U(r(t)) không đổi, vậy tổng động năng và thế năng, tức năng lượng cơ học, được bảo toàn trong quá trình chuyển động trong trường bảo toàn Công thức Green Trong phần này t chỉ làm việc trên trên mặt phẳng Euclid hi chiều R 2. Giả sử là một miền đơn giản có biên trơn từng khúc trên R 2. Cụ thể, như là một miền đơn giản theo chiều thẳng đứng, có dạng = {(x, y) x b, f(x) y g(x)} trong đó f(x) và g(x) là hàm trơn, trong khi đó theo chiều nằm ngng thì = {(x, y) c y d, h(y) x k(y)} trong đó h(y) và k(y) là hàm trơn.

72 72 CHƯƠNG 3. GIẢI TÍCH VECTƠ y d y = g(x) x = h(y) x = k(y) c y = f(x) b x Biên củ phải được định hướng tương thích với. Miêu tả trực qun là: biên được định hướng so cho khi đi trên biên thì miền nằm bên ty trái; hoặc: đặt bàn ty phải theo hướng củ biên thì miền nằm ở phí lòng bàn ty. Chính xác như su: được định hướng cùng chiều với định hướng củ các đường đi γ 1 (x) = (x, f(x)), x b và đường γ 2 với γ 2 (x) = (x, g(x)), x b. Có thể kiểm tr được rằng đây cũng là định hướng củ đường γ 3 với γ 3 (y) = (h(y), y), c y d và đường γ 4 với γ 4 (y) = (k(y), y), c y d. Định lý (công thức Green). Cho là một miền đơn giản với biên trơn từng khúc được định hướng tương thích. Giả sử (P, Q) là một trường vectơ trơn trên một tập mở chứ. Khi đó: [ Q P dx + Q dy = x P ] dxdy. y Chứng minh. T có: P dx = P dx + γ 1 P dx γ 2 P dx γ 3 P dx γ 4 = b P (x, f(x)) dx b P (x, g(x)) dx. Xem là miền đơn giản theo chiều thẳng đứng, do các đạo hàm riêng củ trường là liên tục trên nên t có Vậy P y da = = b b ( g(x) f(x) ) P y dy dx [P (x, f(x)) P (x, g(x))] dx. P dx = P y da. Tương tự, xem là miền đơn giản theo chiều nằm ngng, t được Q Q dy = x da. Cộng lại t được kết quả.

73 3.2. CÔNG THỨC NEWTON LEIBNIZ VÀ CÔNG THỨC GREEN 73 Đối với một miền không đơn giản nhưng có thể được phân chi thành một hội củ hữu hạn những miền đơn giản với những phần chung chỉ nằm trên biên, t có thể áp dụng công thức Green cho từng miền đơn giản rồi cộng lại. Ví dụ Công thức Green vẫn đúng cho miền = {(x, y) 1 x 2 +y 2 2, y }, mặc dù miền này không phải là một miền đơn giản. C 2 C 7 C C 4 C 5 C 3 C 6 Chi thành hội củ hi miền đơn giản 1 và 2 được miêu tả trong hình vẽ. Chú ý rằng khi được định hướng dương ứng với 2 thì đường C 7 được định hướng ngược lại, trở thành C 7, do đó hi tích phân đường tương ứng triệt tiêu. Áp dụng công thức Green cho 1 và 2 t được: [ Q x P ] y da = = = = = [ Q 1 x P ] [ Q da + y 2 x P ] da y F d s + F d s 1 ( 2 ) F d s + F d s + F d s + F d s + C 1 C 7 C 5 C ( 6 ) + F d s + F d s + F d s + C 2 C 3 C 4 F d s C 7 F d s + F d s + C 1 C 2 F d s + C 3 F d s + C 4 + F d s + C 5 F d s C 6 F d s Điều kiện để trường vectơ phẳng là bảo toàn Định lý (điều kiện cần để trường bảo toàn). Nếu trường F = (P, Q) trơn và bảo toàn trên một tập mở chứ tập thì trên t phải có P y = Q x.

74 74 CHƯƠNG 3. GIẢI TÍCH VECTƠ Chứng minh. Giả sử f là hàm thế củ F. Khi đó f f x = P và y = Q. Với giả thiết về tính trơn như trên thì các đạo hàm riêng củ P và Q tồn tại và liên tục trên, và P Q x = 2 f x y. Vì 2 f x y và 2 f y x y = 2 f y x và tồn tại và liên tục nên chúng bằng nhu, do đó P y = Q x. Ví dụ (P y = Q x cần nhưng không đủ). ưới đây là một ví dụ kinh điển. Xét trường ( ) y F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) = x 2 + y 2, x x 2 + y 2. T có P y = Q trên trên miền xác định là mặt phẳng bỏ đi điểm (, ). Mặt khác, tính x toán trực tiếp cho thấy nếu C là đường tròn bán kính đơn vị tâm tại (, ) ngược chiều kim đồng hồ thì C F d s = 2π khác. Vậy F không phải là một trường vectơ bảo toàn trên miền xác định củ nó. Xem thêm ở Bài tập Một tập R n được gọi là một miền hình so nếu có một điểm p so cho với mọi điểm p thì đoạn thẳng nối p và p được chứ trong. Ví dụ R n là một miền hình so. Một tập con lồi củ R n là một miền hình so. R n trừ đi một điểm không là miền hình so. Kết quả dưới đây nói rằng nếu miền là mở hình so thì điều kiện P y = Q x cũng là một điều kiện đủ để trường là bảo toàn. Định lý (bổ đề Poincré). Giả sử F = (P, Q) là một trường vectơ trơn trên miền mở hình so. Nếu P y = Q x trên thì F là bảo toàn trên. Chứng minh. Để gợi ý, ở đây t dùng kí hiệu p p F d s để chỉ tích phân củ F trên đoạn thẳng p + t(p p ), t 1, nối điểm p với điểm p. Đặt f(p) = p p F d s. thì đây chính là một hàm thế củ F. T sẽ kiểm tr rằng f x = P, chứng minh f y = Q p p + h i p Hình 3.2.1: Bổ đề Poincré cho miền hình so. là tương tự. Theo định nghĩ củ đạo hàm, với i = (1, ), t có: [ f 1 p+h i ] p (p) = lim F d s F d s. x h h p p Chú ý do mở nên nếu h đủ nhỏ thì điểm p + h i sẽ nằm trong. Nếu b điểm p, p và p + h i không cùng nằm trên một đường thẳng thì chúng tạo thành một tm giác. Tm giác này là một miền đơn giản do đó t có thể áp dụng định lý Green cho miền này, dùng giả thiết P, t được tích phân đường trên biên củ tm giác bằng, tức là y = Q x

75 3.2. CÔNG THỨC NEWTON LEIBNIZ VÀ CÔNG THỨC GREEN 75 p+h i p p F d s F d s = p p+h i p F d s. Công thức này cũng đúng nếu b điểm là thẳng hàng. Viết p = (x, y), và lấy đường đi thẳng từ p tới p + h i là r(t) = (x + t, y) với t h, t được p+h i p F d s = x+h x P (t, y) dt. o đó f 1 (p) = lim x h h x+h x P (t, y) dt = P (x, y). Đẳng thức cuối cùng là một kết quả quen thuộc trong Giải tích 1, có thể được kiểm dễ dàng sử dụng việc hàm P liên tục theo x, xem Bài tập Ví dụ Trường F (x, y) = (e x2, y 3 ) có bảo toàn hy không? T có ex2 y = = y3 x. Miền xác định củ trường là R2, một miền mở hình so. Bổ đề Poincré áp dụng được, cho t kết luận trường là bảo toàn trên miền xác định. Nếu có một trường (P, Q) mà P y = Q x nhưng lại không bảo toàn thì bổ đề Poincré cho biết miền xác định củ trường không phải là một miền hình so. Như vậy một giả thiết giải tích đã đư đến một kết luận hình học. Kết luận củ bổ đề Poincré vẫn đúng nếu thy miền hình so bởi miền tổng quát hơn gọi là miền đơn liên, đại khái là miền chỉ gồm một mảnh không có lỗ thủng. Chi tiết chính xác vượt r ngoài phạm vi môn học này. Miền đơn liên Các miền không đơn liên ạng thông lượng củ công thức Green Cho là miền phẳng và F là một trường trên so cho t có thể áp dụng công thức Green. Giả sử được thm số hó theo chiều dương bởi C(t) = (x(t), y(t)), t b. Vectơ vận tốc củ đường biên là C (t) = (x (t), y (t)). Vectơ pháp tuyến ngoài n củ tại điểm (x(t), y(t)) là n = 1 C (t) (y (t), x (t)). T giải thích điều này su đây. Vectơ ( y (t), x (t)) vuông góc (x (t), y (t)) (do tích vô hướng bằng ), vậy n cùng phương với ( y (t), x (t)). Chiều củ n được xác định theo nguyên tắc chiều từ pháp tuyến ngoài sng tiếp tuyến phải cùng chiều với chiều dương chuẩn tắc củ mặt phẳng, tức là chiều từ (1, ) sng (, 1).