Η Διδασκαλια των ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ στο δηµοτικο σχολειο

Transcript

1 ΒΡΕΤΤΟΥ ΣΠΥΡΙΔΟΥΛΑ, ΔΡΟΣΟΣ ΠΕΤΡΟΣ, ΚΑΝΤΑΝΗ ΜΑΡΙΑ, ΠΑΚΤΣΕΒΑΝΟΓΛΟΥ ΕΥΗΑΝΝΑ, ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΥ ΑΝΝΑ Η Διδασκαλια των ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ στο δηµοτικο σχολειο Στόχοι- Υποστόχοι- Δραστηριότητες

2 Εννοια κλάσματος Ισοδύναμα κλάσματα Σύγκριση κλασμάτων Ποσοστά

3 Α Β Γ Δ Ε ΣΤ Χωρίζουν εμπράγματες διακριτές και συνεχείς ποσότητες(γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 2, 4, 8. Χωρίζουν εμπράγματες και μη, διακριτές και συνεχείς ποσότητες( γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 3, 6, 5, 10. Χ ω ρ ί ζ ο υ ν εμπράγματες και μη, διακριτές και συνεχείς ποσότητες ( γ ρ α μ μ έ ς, δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 3, 6, 5, 10. Διερευνούν με χειραπτικά υλικά και αναπαραστάσεις και προσεγγίζουν διαισθητικά τα κλάσματα 2/4, ¾, 2/3. ΕΝΝΟΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ Εισάγονται στην έννοια του κλάσματος ως αριθμού (ως έκφραση σχέσης μεταξύ ποσοτήτων, ανεξαρτήτως αριθμητικών τιμών, π.χ. κοινός τελεστής). Εισάγονται στα κλάσματα μεγαλύτερα

4 Εννοια κλάσματος Ισοδύναμα κλάσματα Σύγκριση κλασμάτων Ποσοστά

5 Α Β Γ Δ Ε ΣΤ Χωρίζουν εμπράγματες διακριτές και συνεχείς ποσότητες(γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 2, 4, 8. Χωρίζουν εμπράγματες και μη, διακριτές και συνεχείς ποσότητες( γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 3, 6, 5, 10. Χωρίζουν εμπράγματες και μη, διακριτές και συνεχείς ποσότητες ( γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 3, 6, 5, 10. ΕΝΝΟΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ Χωρίζουν σε ίσα μέρη διακριτές και συνεχείς ποσότητες (σε εικονική και συμβολική μορφή, π.χ. γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα). Διερευνούν με χειραπτικά υλικά και αναπαραστάσεις και προσεγγίζουν διαισθητικά τα κλάσματα 2/4, ¾, 2/3. Εισάγονται στην έννοια του κλάσματος ως αριθμού (ως έκφραση σχέσης μεταξύ ποσοτήτων, ανεξαρτήτως αριθμητικών τιμών, π.χ. κοινός τελεστής). Εισάγονται στα κλάσματα μεγαλύτερα της μονάδας και στους

6 Εννοια κλάσματος Ισοδύναμα κλάσματα Σύγκριση κλασμάτων Ποσοστά

7 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α Β Γ Δ Ε ΣΤ Εκφράζουν την ίδια σχέση με διαφορετικές κλασματικές αναπαραστάσεις. Αναγνωρίζουν και κατασκευάζουν ισοδύναμα κλάσματα και απλοποιούν κλάσματα. Βρίσκουν έναν ενδιάμεσο κλασματικό αριθμό (μεταξύ ½ και ¼ ή μεταξύ 2/3 και ¾). Προσθέτουν και αφαιρούν ομώνυμα και μικρά ετερώνυμα κλάσματα. Προσθέτουν και αφαιρούν κλάσματα. Πολλαπλασιάζουν κλάσματα με φυσικούς και κλάσματα με κλάσματα. Διαιρούν κλάσματα με φυσικούς και κλάσματα με κλάσματα (διαίρεση ως α ν τ ί σ τ ρ ο φ ο ς πολλαπλασιασμός).

8 Εννοια κλάσματος Ισοδύναμα κλάσματα Σύγκριση κλασμάτων Ποσοστά

9 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α Β Γ Δ Ε ΣΤ Συγκρίνουν δύο ποσότητες με απλή σχέση μεγέθους ½, 1/4 και περιγράφουν τη σχέση λεκτικά (μισή/ διπλάσια). Συγκρίνουν δύο ποσότητες, προσδιορίζουν τη σχέση μεγέθους και τη συνδέουν λεκτικά( τριπλάσια/ ένα τρίτο, πενταπλάσια/ ένα πέμπτο κλπ) και συμβολικά: 1/3, 1/6, 1/5, 1/10. Συγκρίνουν δύο ποσότητες, προσδιορίζουν τη σχέση μεγέθους τους χρησιμοποιούν την κλασματική αναπαράσταση και την τοποθετούν στην αριθμογραμμή. Συγκρίνουν κλάσματα με διάφορους τρόπους (λεκτικά και συμβολικά). Διατάσσουν ένα σύνολο κλασματικών αριθμών και βρίσκουν ενδιάμεσους, μικρότερους και μεγαλύτερους κλασματικούς αριθμούς.

10 Περιγράφουν όλα τα δυνατά αποτελέσματα (δειγματικός χώρος) σε απλά πειράματα τύχης ενός σταδίου.! Παίζουν παιχνίδια πραγματοποιώντας απλά πειράματα τύχης ενός σταδίου (π.χ. ζάρι, κέρμα, χρωματιστές μπάλες σε σακουλάκι, τροχός της τύχης).! Χρησιμοποιούν καθημερινή γλώσσα για να περιγράφουν την διαδικασία ενός πειράματος τύχης καθώς και τα δυνατά αποτελέσματά του. Εννοια κλάσματος Ρίξε ένα ζάρι 5 φορές. Τι αριθμούς έφερες; Απάντησε στις παρακάτω ερωτήσεις: Ισοδύναμα κλάσματα Σύγκριση κλασμάτων Τι αριθμούς μπορείς να φέρεις; Τι έφερες την πρώτη φορά; Τη δεύτερη; Εφερες κάποιον αριθμό πάνω από μια φορές; Α Ποσοστά

11 ΠΟΣΟΣΤΑ Α Β Γ Δ Ε ΣΤ Με διαδικασίες δοκιµής και ελέγχου διερευνούν τις µεταβολές που προκαλούνται σε µια ποσότητα λόγω µεταβολής µιας άλλης ποσότητας (ανεξάρτητη εξαρτηµένη µεταβλητή). Διερευνούν τη σχέση µεταξύ ανάλογων ποσών. Διερευνούν τη σχέση µεταξύ ανάλογων και αντιστρόφων ανάλογων ποσών. Εισάγονται στα ποσοστά, μετατρέπουν κλασματικούς αριθμούς σε ποσοστά και τα χρησιμοποιούν στη μοντελοποίηση καταστάσεων και την επίλυση προβλημάτων.

12 Συγκρίνουν δύο ποσότητες με απλή σχέση μεγέθους ½, 1/4 και περιγράφουν τη σχέση λεκτικά (μισή/διπλάσια). (I) Α ü Διακρίνουν διαφορετικές ποσότητες: μεγαλύτερο- μικρότερο/ περισσότερο- λιγότερο. Ποια είναι τα περισσότερα;

13 Συγκρίνουν δύο ποσότητες µε απλή σχέση µεγέθους ½, 1/4 και περιγράφουν τη σχέση λεκτικά (µισή/διπλάσια). (II) Α ü Συγκρίνουν σχέσεων μεταξύ διαφορετικών ποσοτήτων: διπλάσιο/τριπλάσιο (εναδικά κλάσματα). Ποια είναι τα περισσότερα; Πόσο περισσότερα είναι;

14 Συγκρίνουν δυο ποσότητες με απλή σχέση μεγέθους 1/2, 1/4 και περιγράφουν τη σχέση λεκτικά (μισή/διπλάσια). (III) Α ü Να κατανοούν και να χειρίζονται την έννοια του µισού (µοιρασιά ανάµεσα σε δύο ανθρώπους) Δύο φίλοι θέλουν να µοιραστούν.

15 Συγκρίνουν δύο ποσότητες με απλή σχέση μεγέθους ½, 1/4 και περιγράφουν τη σχέση λεκτικά (μισή/διπλάσια). (IV) Α ü Οι µαθητές εισάγονται στη συµβολική γραφή του κλάσµατος: η έννοια του αριθµητή (πόσα;;) και του παρονοµαστή (από πόσα;;) ΠΑΡΑΜΥΘΙ: Επιχειρούµε να εξοικειώσουµε τα παιδιά µε την έννοια του κλάσµατος µέσα από µια ιστορία, στην εξέλιξη της οποίας λαµβάνουν τα ίδια ενεργά ρόλο, σχηµατίζοντας σύνολα και βιώνοντας την έννοια του αριθµητή και του παρονοµαστή µέσα από δράσεις και επίλυση γρίφων µε χρήση χειραπτικού υλικού. Εκφράστε µε κλάσµα τι µέρος του όλου είναι τα κυκλωµένα στοιχεία Αφού χρωµατίσετε τα αντίστοιχα µέρη του κύκλου.

16 Συγκρίνουν δύο ποσότητες με απλή σχέση μεγέθους ½, 1/4 και περιγράφουν τη σχέση λεκτικά (μισή/διπλάσια). (V) Α ü Η αναπαράσταση της αριθµογραµµής αξιοποιείται στο σηµείο αυτό προκειµένου να κατανοηθεί η σχέση διπλάσιο-µισό. Ο Πίγκος ο βάτραχος έκανε ένα άλµα από τη λίµνη στο γκρι βράχο. Η φίλη του η Αριάδνη όµως µε ένα άλµα έφτασε από τη λίµνη στον πράσινο βράχο. Ποιο άλµα είναι µεγαλύτερο; Πόσο µεγαλύτερο είναι; Ζητάµε διαφορετικά µισά και διπλάσια σε αριθµογραµµές µε τοποθέτηση αντικειµένων.

17 Χωρίζουν εμπράγματες διακριτές και συνεχείς ποσότητες(γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 2, 4, 8. Χωρίζουν εμπράγματες και μη, διακριτές και συνεχείς ποσότητες( γραμμές, Α δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 3, 6, 5, 10. (I) ü Να κατανοήσουν την έννοια του χωρισµού σε ΙΣΑ µέρη ( «δίκαιη» µοιρασιά) και να κατακτήσουν την δεξιότητα να την πραγµατοποιούν προσαρµοζόµενοι σε διαφορετικά όλα και διαφορετικό αριθµό ίσων µερών (µοιρασιά ανάµεσα σε 2,3,4,5,6, 8,10 άτοµα). Α) Χειραπτικό υλικό Β)Μοιράζουµε σε 2/3/4/5/6/8/10 άτοµα:

18 Χωρίζουν εμπράγματες διακριτές και συνεχείς ποσότητες(γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 2, 4, 8. Χωρίζουν εμπράγματες και μη, διακριτές και συνεχείς ποσότητες( γραμμές, Α δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 3, 6, 5, 10. (II) ü Να κατανοήσουν την έννοια του χωρισµού σε ΙΣΑ µέρη ( «δίκαιη» µοιρασιά) και να κατακτήσουν την δεξιότητα να την πραγµατοποιούν προσαρµοζόµενοι σε διαφορετικά όλα και διαφορετικό αριθµό ίσων µερών (µοιρασιά ανάµεσα σε 2,3,4,5,6, 8,10 άτοµα). Χωρίστε τις πίτες σε 3, 4, 5, 6, 8 και 10 κοµµάτια και συγκρίνετε τα µέρη µεταξύ τους ως προς το µέγεθός τους.

19 Χωρίζουν εμπράγματες διακριτές και συνεχείς ποσότητες(γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 2, 4, 8. Χωρίζουν εμπράγματες και μη, διακριτές και συνεχείς ποσότητες( γραμμές, Α δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 3, 6, 5, 10. (III) ü Χωρισµός όµοιων όλων σε διαφορετικό αριθµό µερών και διερεύνηση και περιγραφή της µεταξύ τους σχέσης. Εφαρµογές και οπτικές αναπαραστάσεις. Μπορείτε να συγκρίνετε το ¼ των παρακάτω µερών;; Προσπαθήστε να συγκρίνετε το 1/3 της πίτσας µε αυτό του καλαµποκιού, το ¼ του µάφιν µε το ¼ του µπισκότου, και το ½ του παγωτού µε το ½ του λουκουµά. Τι παρατηρείτε;

20 Χωρίζουν εμπράγματες διακριτές και συνεχείς ποσότητες(γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 2, 4, 8. Χωρίζουν εμπράγματες και μη, διακριτές και συνεχείς ποσότητες( γραμμές, Α δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 3, 6, 5, 10. (IV) ü Πολλές διαφορετικές ποσότητες µπορούν να χωριστούν σε µισά, τα µισά όµως, όπως και τα ολόκληρα δεν είναι ίδια Βρείτε ποιο κλάσµα µπορεί να συµβολίσει τα σκιασµένα µέρη των σχηµάτων. Τι παρατηρείτε;

21 Χωρίζουν εμπράγματες διακριτές και συνεχείς ποσότητες(γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 2, 4, 8. Χωρίζουν εμπράγματες και μη, διακριτές και συνεχείς ποσότητες( γραμμές, Α δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 3, 6, 5, 10. (V) ü Πολλές διαφορετικές ποσότητες µπορούν να χωριστούν σε µισά, τα µισά όµως, όπως και τα ολόκληρα δεν είναι ίδια Προσπαθήστε να συγκρίνετε το 1/3 της πίτσας µε αυτό του καλαµποκιού, το ¼ του µάφιν µε το ¼ του µπισκότου, και το ½ του παγωτού µε το ½ του λουκουµά. Τι παρατηρείτε;

22 Χωρίζουν εμπράγματες διακριτές και συνεχείς ποσότητες(γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 2, 4, 8. Χωρίζουν εμπράγματες και μη, διακριτές και συνεχείς ποσότητες( γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 3, 6, 5, 10. (VI) Α ü Το ίδιο κλάσµα στο ίδιο σύνολο µπορεί να εκφραστεί µε µια σειρά αναπαραστάσεων. Βρείτε ποιο κλάσµα µπορεί να συµβολίσει τα σκιασµένα µέρη των σχηµάτων. Τι παρατηρείτε;

23 Χωρίζουν εμπράγματες διακριτές και συνεχείς ποσότητες(γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 2, 4, 8. Χωρίζουν εμπράγματες και μη, διακριτές και συνεχείς ποσότητες( γραμμές, Α δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 3, 6, 5, 10. (VII) ü Σχεδιάζουν αναπαραστάσεις που αντιστοιχούν στα εναδικά κλάσµατα (1/2, 1/3, ¼)) ενός συνόλου ή µιας επιφάνειας. Φτιάξτε όσες περισσότερες αναπαραστάσεις του κλάσµατος ½ µπορείτε να σκεφτείτε.

24 Συγκρίνουν δύο ποσότητες, προσδιορίζουν τη σχέση μεγέθους και τη συνδέουν λεκτικά (τριπλάσια/ ένα τρίτο, πενταπλάσια/ ένα πέμπτο κ.λπ.) και συμβολικά: 1/3, 1/6, 1/5, 1/10. (I) Β ü Να µπορούν να χαρακτηρίσουν ποσότητες ως συγκρίσιµες ή µη. Νίκος και η Σοφία µοιράστηκαν τα µπισκότα της εικόνας. Έφαγαν και οι δυο από 4 µπισκότα. Μπορούµε να πούµε ότι έφαγαν το ίδιο; Εκφράστε µε κλάσµα το σκιασµένο µέρος των τµηµάτων. Είναι το ίδιο κλάσµα; Είναι τα ίδια τµήµατα;;

25 Συγκρίνουν δύο ποσότητες, προσδιορίζουν τη σχέση μεγέθους και τη συνδέουν λεκτικά (τριπλάσια/ ένα τρίτο, πενταπλάσια/ ένα πέμπτο κ.λπ.) και συμβολικά: 1/3, 1/6, 1/5, 1/10. (II) Β ü Σύγκριση σχέσεων µεταξύ διαφορετικών ποσοτήτων: το ίδιο/διπλάσιο/τριπλάσιο/ τετραπλάσιο/πενταπλάσιο/δεκαπλάσιο. Συγκρίνετε τις ποσότητες µπισκότων που βρίσκονται από κάτω. με

26 Συγκρίνουν δύο ποσότητες, προσδιορίζουν τη σχέση μεγέθους και τη συνδέουν λεκτικά (τριπλάσια/ ένα τρίτο, πενταπλάσια/ ένα πέμπτο κ.λπ.) και συμβολικά: 1/3, 1/6, 1/5, 1/10. (III) Β ü Σύγκριση των συµβολισµών (κλάσµατα) που εκφράζουν τις σχέσεις αυτές (εναδικά κλάσµατα πάντα). Χρήση πίνακα κλασµάτων µε τουβλάκια για αντιστοίχιση των συµβολισµών µε ποσότητες και µέρη.

27 Χωρίζουν εμπράγματες και μη, διακριτές και συνεχείς ποσότητες ( γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 3, 6, 5, 10. (I) Β ü Χωρίζουν εµπράγµατες και µη, διακριτές και συνεχείς ποσότητες (γραµµές, δυσδιάστατα σχήµατα) σε ίσα µέρη: 3, 6, 5, 10. Χωρισµός στο µαγνητικό πίνακα σε κλάσµατα των 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/8, 1/10.

28 Χωρίζουν εμπράγματες και μη, διακριτές και συνεχείς ποσότητες ( γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 3, 6, 5, 10. (II) Β ü Να αντιστοιχίζουν τους συµβολισµούς µε τις ποσότητες. Κόβουµε τα τετραγωνάκια, ανακατεύουµε και προσπαθούµε να τα αντιστοιχίσουµε. Επίσης, µπορούµε να τα αναποδογυρίσουµε και να προσπαθήσουµε να παίξουµε «Μνήµη» κάνοντάς τα ζευγάρια.

29 Χωρίζουν εμπράγματες και μη, διακριτές και συνεχείς ποσότητες ( γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 3, 6, 5, 10. (III) Β ü Αναπαριστούν εναδικά κλάσµατα (1/2, 1/3, ¼, 1/6, 1/8) ενός συνόλου ή µιας επιφάνειας Χωρίστε τα παρακάτω σχήµατα ώστε να εκφράζουν τα... κλάσµατα.

30 Χωρίζουν εμπράγματες και μη, διακριτές και συνεχείς ποσότητες ( γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 3, 6, 5, 10. (IV) Β ü Παραγωγή σχηµάτων και αναπαραστάσεων που να εικονίζουν σχέσεις µεγεθών/ ποσοτήτων (διακριτών και µη) Δώστε τρεις αναπαραστάσεις του κλάσµατος ¼. Από κλάσµα σε παράσταση κι από παράσταση σε κλάσµα Το ίδιο κλάσµα σε διαφορετικό όλο Διαφορετικά κλάσµατα στο ίδιο όλο

31 Χωρίζουν εμπράγματες και μη, διακριτές και συνεχείς ποσότητες ( γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα) σε ίσα μέρη: 3, 6, 5, 10. (V) Β ü Κατανόηση της προοδευτικής διαίρεσης σε µέρη από τα 2 στα 4 και µετά στα 8, από τα 3 στα 6 και µετά στα 12 κ.ο.κ. (διαισθητική εισαγωγή στα ισοδύναµα) Η Μαρία και ο Κώστας αγόρασαν από µια σοκολάτα. Ο Κώστας έκοψε τη δική του σε πέντε ίσα κοµµάτια, και η Μαρία τη δική της σε 10. Όταν η µαµά τους τους ρώτησε «Πόση σοκολάτα φάγατε;», και οι δύο απάντησαν ότι έφαγαν από ένα κοµµάτι σοκολάτα. Σηµείωσε στο παρακάτω σχήµα πρώτα πόσο έφαγε ο Κώστας και µετά στο ίδιο σχήµα πόσο έφαγε η Μαρία. Παρατήρηση: όσο περισσότερα ίσα µέρη, τόσο µικρότερο το µέγεθος κάθε µέρους, ΕΦΟΣΟΝ ΤΟ ΟΛΟ µένει σταθερό. 1/5 1/10

32 Διερευνούν με χειραπτικά υλικά και αναπαραστάσεις και προσεγγίζουν διαισθητικά τα κλάσματα 2/4, ¾, 2/3. (I) Β ü Προσεγγίζουν την περίπτωση σε µια µοιρασιά να πάρουµε πάνω από ένα κοµµάτι του όλου. ü Εκφράζουν την περίπτωση αυτή σε συµβολικό επίπεδο, µε βάση την προσέγγιση του κλάσµατος αριθµητής=παίρνω τόσα./ παρονοµαστής= από τόσα. Πόσα κοµµάτια του πύργου θα πάρουµε αν θέλουµε α)τα πρασινα τουβλακια β)τα µαύρα τουβλακια γ)τα κίτρινα τουβλάκια δ)τα µπλε τουβλάκια ε)τα κόκκινα τουβλάκια

33 Διερευνούν με χειραπτικά υλικά και αναπαραστάσεις και προσεγγίζουν διαισθητικά τα κλάσματα 2/4, ¾, 2/3. (II) Β ü Προσεγγίζουν την περίπτωση σε µια µοιρασιά να πάρουµε πάνω από ένα κοµµάτι του όλου. ü Εκφράζουν την περίπτωση αυτή σε συµβολικό επίπεδο, µε βάση την προσέγγιση του κλάσµατος αριθµητής= παίρνω τόσα./ παρονοµαστής= από τόσα. Από πόσα κόκκινα τουβλάκια αποτελείται ένα µπλε τουβλάκι lego? Από πόσα πράσινα? Από πόσα κίτρινα? Προσπαθήστε να βρείτε όσο πιο πολλούς διαφορετικούς συνδυασµούς µπορούν να µας δώσουν ένα µπλε τουβλάκι lego χρησιµοποιώντας κόκκινα, πράσινα και κίτρινα τουβλάκια. Πόσο µέρος του συνδυασµού καταλαµβάνει το κάθε χρώµα σε κάθε περίπτωση?

34 Χωρίζουν σε ίσα μέρη διακριτές και συνεχείς ποσότητες (σε εικονική και συμβολική μορφή, π.χ. γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα). (Ι) Γ ü Εκφράζουν µε συµβολική γραφή ένα κλάσµα που παρουσιάζεται µε µια µορφή αναπαράστασης διακριτών και συνεχών ποσοτήτων. Η µητέρα του Γιώργου αγόρασε µια σοκολάτα και τη µοίρασε στον Γιώργο και τα τέσσερα ξαδέρφια του όπως δείχνει το σχήµα. Τι µέρος της σοκολάτας έφαγε κάθε παιδί; Η Μαρία έχει καραµέλες και θέλει να τις µοιράσει στους 3 φίλους της. Τι µέρος από τις καραµέλες θα πάρει το κάθε παιδί; Γράψτε το µε µορφή κλάσµατος.

35 Χωρίζουν σε ίσα μέρη διακριτές και συνεχείς ποσότητες (σε εικονική και συμβολική μορφή, π.χ. γραμμές, δυσδιάστατα σχήματα). (ΙΙ) Γ ü Να εκφράζουν ένα κλάσµα µε µια εικονική αναπαράσταση (διακριτές και συνεχείς ποσότητες). Ο Γιώργος και ο Πέτρος είχαν µια σακουλίτσα µε 10 βόλους. Ο πρώτος έφαγε 4 και ο Πέτρος 3. Τι µέρος όλων των βόλων έφαγε ο καθένας; Κατασκευάστε µια αναπαράσταση για να δείξετε πόσους έφαγε ο καθένας. Χωρίστε τα παρακάτω σχήµατα στα κλάσµατα που βρίσκονται στα αριστερά τους.

36 ί ύ ό ς, ί έ έ ς ς, ύ ή ά ύ ή. ( ) Γ ü Να συγκρίνουν κλάσµατα της µορφής 1/β µε τη βοήθεια εικονικών αναπαραστάσεων εκτός της αριθµογράµµης, όπως κύκλους, τετράγωνα, σοκολάτες κτλ. Γράψτε µε µορφή κλάσµατος τι µέρος έχει φάει ο Κωνσταντίνος. Βάλτε σε σειρά τις ηµέρες ανάλογα µε το πόση πίτσα έφαγε ξεκινώντας από το λιγότερο στο περισσότερο. 1 η ηµέρα 2 η ηµέρα 3 η ηµέρα 4 η ηµέρα

37 ί ύ ό ς, ί έ έ ς ς, ύ ή ά ύ ή.( ) Γ ü Να τοποθετούν κλάσµατα της µορφής 1/β στην αριθµογραµµή. ü Να συγκρίνουν δύο ή περισσότερα κλάσµατα µε τη βοήθεια παράλληλων αριθµογραµµών. ü Να συνδέουν τα κλάσµατα της µορφής 2/β και 3/β µε τη µορφή 2 * 1/β και 3 * 1/β αντίστοιχα και να τα συγκρίνουν µεταξύ τους. Τοποθετήστε το κλάσµα 1/5 στην αριθµογραµµή. Χρησιµοποιώντας δύο παράλληλες αριθµογραµµές, συγκρίνετε τα κλάσµατα ¼ και 1/5. Εντοπίστε το κλάσµα ¾ στην αριθµογραµµή και συγκρίνετέ το µε το 2/4.

38 ά ί έ ές ές ά ς.*( ) Γ ü Να χρησιµοποιούν εικονικές αναπαραστάσεις εκτός των αριθµογραµµών, όπως κύκλους, τετράγωνα, σφαίρες κ.ά., µε σκοπό να αναγνωρίζουν κλάσµατα ισοδύναµα µε τα ½, 1/3 και ¼. Τι µέρος του όλου είναι το κάθε σχήµα; Τι παρατηρείτε; α) β) *(Αυτός ο στόχος είναι η πρώτη προσέγγιση για τα ισοδύναµα κλάσµατα και πρέπει να δοθεί έµφαση γιατί: α) Στην Δ τάξη τα παιδιά δουλεύουν µε οµώνυµα και ετερώνυµα κλάσµατα όπου είναι απαραίτητο να έχουν τα ισοδύναµα κλάσµατα για να κάνουµε πρόσθεση και αφαίρεση, β) Για να µπορούν να βρουν κάποιο κλάσµα ανάµεσα σο 2/3, όπως θα τους ζητηθεί στον επόµενο στόχο.)

39 ά ί έ ές ές ά ς.*( ) Γ ü Να χρησιµοποιούν παράλληλες αριθµογραµµές για να αναγνωρίσουν τις ισοδυναµίες στα κλάσµατα ½, 1/3 και ¼. Κυκλώστε τα κλάσµατα που είναι ισοδύναµα και τοποθετήστε τα σε παράλληλες αριθµογραµµές: 2/4, 1/5, 1/3, 3/6, 2/6, 2/8, ¼, 4/8, ½. *(Αυτός ο στόχος θα πρέπει να διατυπωθεί διαφορετικά για δύο λόγους: α) Στην Δ τάξη τα παιδιά δουλεύουν µε οµώνυµα και ετερώνυµα κλάσµατα όπου είναι απαραίτητο να έχουν τα ισοδύναµα κλάσµατα για να κάνουµε πρόσθεση και αφαίρεση, β) Για να µπορούν να βρουν κάποιο κλάσµα ανάµεσα σο 2/3, όπως θα τους ζητηθεί στον επόµενο στόχο.)

40 ί έ ά ό ό ( ύ ½ ¼ ή ύ 2/3 ¾). Γ ü Βρίσκουν έναν ενδιάµεσο κλασµατικό αριθµό (µεταξύ ½ και ¼ ή µεταξύ 2/3 και ¾). Τοποθετήστε τα κλάσµατα ¼ και ½ σε µια αριθµογραµµή και τα κλάσµατα 2/3 και ¾ σε µια άλλη αριθµογραµµή. Έπειτα, βρείτε ένα κλάσµα ανάµεσά τους.

41 Εισάγονται στην έννοια του κλάσματος ως αριθμού (ως έκφραση σχέσης μεταξύ ποσοτήτων ανεξαρτήτως αριθμητικών τιμών π.χ. κοινός τελεστής*). (Ι) Δ ü ) Να µετατρέπουν κλάσµατα της µορφής α/ β σε α * 1/β. Γράψτε τα κλάσµατα που αντιστοιχούν στο κάθε βελάκι. Στη συνέχεια γράψτε το δεύτερο κλάσµα σε σχέση µε το πρώτο. *Το κλάσµα στην πραγµατικότητα εµφανίζεται ως ο τελεστής, ο σταθερός τελεστής α της συνάρτησης y=ax οπότε δεδοµένου ότι οι τιµές των y,x µεταβάλλονται µε τέτοιο τρόπο ώστε το a να παραµένει σταθερό. Στην ουσία αυτός ο στόχος µας οδηγεί στα ισοδύναµα κλάσµατα και στην έµφαση που πρέπει να δώσουµε στο ανάγωγο κλάσµα βάση του οποίου πολλαπλασιάζοντας αριθµητή και παρονοµαστή µε έναν αριθµό δηµιουργούνται τα ισοδύναµα κλάσµατα.

42 Εισάγονται στην έννοια του κλάσματος ως αριθμού (ως έκφραση σχέσης μεταξύ ποσοτήτων ανεξαρτήτως αριθμητικών τιμών π.χ. κοινός τελεστής*). (ΙΙ) Δ ü Να τοποθετούν κλάσµατα της µορφής α/β που είναι µικρότερα της µονάδας, σε αριθµογραµµή. Τοποθετήστε τα παρακάτω κλάσµατα σε αριθµογραµµή: 4/5, 6/10, 5/6, 7/12. *Το κλάσµα στην πραγµατικότητα εµφανίζεται ως ο τελεστής, ο σταθερός τελεστής α της συνάρτησης y=ax οπότε δεδοµένου ότι οι τιµές των y,x µεταβάλλονται µε τέτοιο τρόπο ώστε το a να παραµένει σταθερό. Στην ουσία αυτός ο στόχος µας οδηγεί στα ισοδύναµα κλάσµατα και στην έµφαση που πρέπει να δώσουµε στο ανάγωγο κλάσµα βάση του οποίου πολλαπλασιάζοντας αριθµητή και παρονοµαστή µε έναν αριθµό δηµιουργούνται τα ισοδύναµα κλάσµατα. (Υποσηµείωση: Ανάλογα µε το επίπεδο των µαθητών µπορεί να ζητηθεί από τους µαθητές να τα τοποθετήσουν σε µία ή δύο αριθµογραµµές.)

43 Εισάγονται στην έννοια του κλάσματος ως αριθμού (ως έκφραση σχέσης μεταξύ ποσοτήτων ανεξαρτήτως αριθμητικών τιμών π.χ. κοινός τελεστής*). (ΙΙΙ) ü Να αναγνωρίζουν δύο κλάσµατα ως ισοδύναµα εάν αυτά συµβολίζονται µε κοµµάτια ίδιου µεγέθους ή βρίσκονται στο ίδιο σηµείο σε µια αριθµογραµµή. *Το κλάσµα στην πραγµατικότητα εµφανίζεται ως ο τελεστής, ο σταθερός τελεστής α της συνάρτησης y=ax οπότε δεδοµένου ότι οι τιµές των y,x µεταβάλλονται µε τέτοιο τρόπο ώστε το a να παραµένει σταθερό. Στην ουσία αυτός ο στόχος µας οδηγεί στα ισοδύναµα κλάσµατα και στην έµφαση που πρέπει να δώσουµε στο ανάγωγο κλάσµα βάση του οποίου πολλαπλασιάζοντας αριθµητή και παρονοµαστή µε έναν αριθµό δηµιουργούνται τα ισοδύναµα κλάσµατα. Συγκρίνετε τα κλάσµατα 3/6, 6/12,18/36, στα 5/6, 10/12, 30/36 και στα 6/6, 12/12, 36/36 µε τη βοήθεια της αριθµογραµµής. Στη συνέχεια βάλε ένα από τα παρακάτω σύµβολα =,>,< στα παρακάτω κενά. 3/6. 6/12 18/36, 5/6. 10/12. 30/36, 6/6. 12/12. 36/36. Δ

44 Συγκρίνουν κλάσματα με διάφορους τρόπους (λεκτικά και συμβολικά). (Ι) Δ ü Να αναγνωρίζουν και να παράγουν απλά ισοδύναµα κλάσµατα (π.χ. ½=2/4, 4/6=2/3). α. Αναγνωρίστε τα ισοδύναµα κλάσµατα που προκύπτουν από τις παρακάτω οπτικές αναπαραστάσεις. 4 ο στρώµα 3 ο στρώµα 2 ο στρώµα β. Στον διπλανό τοίχο κλασµάτων συµπλήρωσε τα στρώµατα που έχουν: 1/5 τούβλα, 1/6 τούβλα, 1/8 τούβλα, 1/10 τούβλα, 1/12 τούβλα και στη συνέχεια βρες τρία ζευγάρια ισοδύναµων κλασµάτων. 1 ο στρώµα

45 Συγκρίνουν κλάσματα με διάφορους τρόπους (λεκτικά και συμβολικά). (ΙΙ) Δ ü Να συγκρίνουν κλάσματα μικρότερα της μονάδας με ίδιο αριθμητή. ü Να συγκρίνουν κλάσματα μικρότερα της μονάδας με ίδιο παρανομαστή. ü Να συγκρίνουν κλάσματα μικρότερα της μονάδας με διαφορετικό αριθμητή και παρανομαστή. Να συγκρίνεις τα παρακάτω κλάσματα 1. 4/7,6/7,2/7 2. 9/12,7/12,3/ /12,8/18,11/22,8/9. *(µε τη χρήση αριθµογραµµής ή µέσω σύγκρισης µε ένα συγκεκριµένο κλάσµα, όπως το ½)

46 έ ύ ώ ά ώ ά. ( ) Δ ü Να αναλύουν ένα κλάσµα σε µικρότερα κλάσµατα µε τον ίδιο παρονοµαστή µε περισσότερους από έναν τρόπους, καταγράφοντάς το σαν µια ισότητα(π.χ. ½=1/4+1/4) και να κατασκευάζουν οπτικές αναπαραστάσεις µε τις ισότητες που θα δηµιουργήσουν. Έχετε το δικό σας αρτοποιείο. Η σπεσιαλιτέ σας είναι τα κλασµατικά µπισκότα. Οι άνθρωποι από όλες τις χώρες παραγγέλνουν τα µπισκότα σας. Εσείς πρόσφατα λάβατε τις ακόλουθες παραγγελίες. Πριν τελειοποιήσετε τις παραγγελίες φτιάχνοντας τα µπισκότα είναι προτιµότερο να επιβεβαιώσετε την κάθε παραγγελία κάνοντας ένα σχέδιο για τον κάθε πελάτη. Εάν η γαρνιτούρα δεν καλύπτει ολόκληρο το µπισκότο οι πελάτες ζήτησαν αυτό το µέρος του µπισκότου να µείνει κενό. Χρησιµοποιώντας τους πρότυπους κύκλους από κάτω δείξε πώς θα έφτιαχνες κάθε µπισκότο µε την κατάλληλη κλασµατική ποσότητα γαρνιτούρας.

47 έ ύ ώ ά ώ ά. ( ) Δ ü Να αναλύουν ένα κλάσµα σε µικρότερα κλάσµατα µε τον ίδιο παρονοµαστή µε περισσότερους από έναν τρόπους, καταγράφοντάς το σαν µια ισότητα(π.χ. ½=1/4+1/4) και να κατασκευάζουν οπτικές αναπαραστάσεις µε τις ισότητες που θα δηµιουργήσουν.

48 Προσθέτουν και αφαιρούν ομώνυμα και μικρά ετερώνυμα κλάσματα. (ΙV) Δ ü Να προσθέτουν κλάσµατα µε παρονοµαστές 10 και 100 χρησιµοποιώντας τις γνώσεις τους για την ισοδυναµία. Ο Γιώργος και ο Κώστας αγόρασαν από ένα σακουλάκι ο καθένας µε 100 καραµέλες. Ο Γιώργος έφαγε τα 3/10 από τις καραµέλες ενώ ο Κώστας έφαγε τα 5/100 από τις καραµέλες. Πόσες καραµέλες έφαγαν και οι δύο µαζί;

49 Προσθέτουν και αφαιρούν ομώνυμα και μικρά ετερώνυμα κλάσματα.(v) Δ ü Να λύνουν προβλήµατα πρόσθεσης και αφαίρεσης µε κλάσµατα που έχουν ίδιους παρονοµαστές τα οποία αναφέρονται στο ίδιο όλο χρησιµοποιώντας ή µη οπτικές αναπαραστάσεις. Η Μαρία µένει 4/5 του χιλιοµέτρου µακριά από το σχολείο. Η Κατερίνα µένει 2/5 του χιλιοµέτρου µακριά από το σχολείο. Πόσο µακρύτερα µένει η Μαρία από το σχολείο σε σύγκριση µε τη Κατερίνα; Δείξε µε µία οπτική αναπαράσταση. Υπολόγισε Η µαµά του Αλέξανδρου είχε 1 κιλό αλεύρι. Χρησιµοποίησε ¼ της κούπας αλεύρι για να φτιάξει κέικ και ¾ της κούπας αλεύρι για να φτιάξει ζυµάρι πίτσας. Πόσο αλεύρι χρησιµοποίησε συνολικά; Δείξε µε µία οπτική αναπαράσταση. Υπολόγισε

50 Προσθέτουν και αφαιρούν ομώνυμα και μικρά ετερώνυμα κλάσματα. (VI) Δ ü Να λύνουν προβλήµατα πρόσθεσης και αφαίρεσης µε κλάσµατα που έχουν διαφορετικούς παρονοµαστές. Εξαιτίας µιας καταιγίδας η στάθµη του νερού σε µια πισίνα ανέβηκε 1/3 του µέτρου. Την επόµενη µέρα έβρεξε πάλι. Το νερό της πισίνας ανέβηκε άλλα 1/2 του µέτρου. Πόσο ανέβηκε συνολικά η στάθµη του νερού; Υπολόγισε.. Ένας υπάλληλος πούλησε τρία κοµµάτια από µια κορδέλα. Το κόκκινο κοµµάτι ήταν το 1/3 του µέτρου. Το µπλε κοµµάτι ήταν το 1/6 του µέτρου. Το πράσινο κοµµάτι ήταν τα 10/12 του µέτρου. Δείξε µε τη χρήση οπτικών αναπαραστάσεων. Πόσο µακρύτερη ήταν η πράσινη κορδέλα από την κόκκινη κορδέλα; Πόσο µακρύτερη ήταν η πράσινη κορδέλα από τη µπλε κορδέλα; Ήταν η κόκκινη κορδέλα µαζί µε τη µπλε µακρύτερες, κοντύτερες ή ίσες µε την πράσινη κορδέλα; Αν η κόκκινη και η µπλε κορδέλα µαζί ήταν µακρύτερες από τη πράσινη, πόσο µακρύτερες ήταν; Αν ήταν κοντύτερες, πόσο κοντύτερες ήταν;

51 Αναγνωρίζουν και κατασκευάζουν ισοδύναμα κλάσματα και απλοποιούν κλάσματα. (Ι) Ε ü Eξηγούν γιατί ένα κλάσµα α/β είναι ισοδύναµο µε ένα κλάσµα (α*ν)/(β*ν) χρησιµοποιώντας οπτικές αναπαραστάσεις. Κυκλώστε τα κλάσµατα που µοιάζουν και συµβολίστε τα σε τη βοήθεια οπτικών αναπαραστάσεων: ½, 1/6, 1/5, 5/10, 4/24, ¼, 6/11, 3/6.

52 Αναγνωρίζουν και κατασκευάζουν ισοδύναμα κλάσματα και απλοποιούν κλάσματα. (ΙΙ) Ε ü Αναγνωρίζουν και παράγουν ισοδύναµα κλάσµατα χρησιµοποιώντας την παραπάνω αρχή. Το παραπάνω κλάσµα είναι µεγαλύτερο της µονάδας. (1) Ο παρονοµαστής και ο αριθµητής είναι 25 και 75. Ποιος αριθµός είναι ο παρονοµαστής και ποιος ο αριθµητής; (2) Αν ο παρονοµαστής είναι 36, ποιος είναι ο µεγαλύτερος αριθµητής για το παραπάνω κλάσµα; Γιατί; (3) Αν ο αριθµητής είναι 18 ποιος είναι ο µικρότερος αριθµός που µπορεί να είναι ο παρονοµαστής; Γιατί; (4) Συµπλήρωσε το παρακάτω πίνακα µε όποιους αριθµούς θες, έτσι ώστε το κλάσµα να είναι µεγαλύτερο της µονάδας και ισοδύναµο µε αυτό της (1):

53 Αναγνωρίζουν και κατασκευάζουν ισοδύναμα κλάσματα και απλοποιούν κλάσματα. (ΙΙΙ) Ε ü Συγκρίνουν κλάσµατα µε ίδιο αριθµητή και ίδιο παρονοµαστή. Βρες δύο κλάσµατα ανάµεσα στα 4/7 και 5/7 Βρες δύο κλάσµατα ανάµεσα στα 5/11 και 6/11

54 Αναγνωρίζουν και κατασκευάζουν ισοδύναμα κλάσματα και απλοποιούν κλάσματα. (ΙV) Ε ü Αναγνωρίζουν ότι συγκρίσεις γίνονται µόνο όταν τα κλάσµατα αναφέρονται στο ίδιο όλο. Γράψε τι µέρος του τετραγώνου είναι το κάθε κοµµάτι.

55 Αναγνωρίζουν και κατασκευάζουν ισοδύναμα κλάσματα και απλοποιούν κλάσματα. (V) Ε ü Συγκρίνουν κλάσµατα µε διαφορετικούς αριθµητές και παρονοµαστές δηµιουργώντας κοινούς αριθµητές ή παρονοµαστές συγκρίνοντας το καθένα: α) µε ένα µοναδιαίο κλάσµα όπως το ½, β) µε οπτικές αναπαραστάσεις όπου π.χ. θα αναφέρεται ότι είναι διαφορετικό το κοµµάτι 1/3 από το κοµµάτι 1/7, γ) χρησιµοποιώντας αριθµητικές στρατηγικές (αφού έχουν εξασκηθεί αρκετά µε τα προηγούµενα) π.χ. συγκρίνοντας τα 5/6 και 9/12 να µετατρέψουν το 5/6 στο ισοδύναµό του 10/12 και να συγκρίνουν αυτό µε το 9/12 αφού έχουν τους ίδιους παρονοµαστές. Η Κατερίνα και η Χρύσα αγόρασαν το ίδιο πάζλ. Μετά από τρεις µέρες η Κατερίνα έχει συναρµολογήσει τα 5/8 του πάζλ, ενώ η Χρύσα το 1/3.Ποιο από τα παρακάτω κλάσµατα δείχνει πόσο περισσότερο έχει συναρµολογήσει η Κατερίνα από τη Χρύσα; Α) 1/6 Β) 7/24 Γ) 4/5 Δ) 25/24

56 Αναγνωρίζουν και κατασκευάζουν ισοδύναμα κλάσματα και απλοποιούν κλάσματα. (VI) Ε ü Συγκρίνουν κλάσµατα µε διαφορετικούς αριθµητές και παρονοµαστές δηµιουργώντας κοινούς αριθµητές ή παρονοµαστές συγκρίνοντας το καθένα: α)µε ένα µοναδιαίο κλάσµα όπως το ½, β) µε οπτικές αναπαραστάσεις όπου π.χ. θα αναφέρεται ότι είναι διαφορετικό το κοµµάτι 1/3 από το κοµµάτι 1/7, γ) χρησιµοποιώντας αριθµητικές στρατηγικές (αφού έχουν εξασκηθεί αρκετά µε τα προηγούµενα) π.χ. συγκρίνοντας τα 5/6 και 9/12 να µετατρέψουν το 5/6 στο ισοδύναµό του 10/12 και να συγκρίνουν αυτό µε το 9/12 αφού έχουν τους ίδιους παρονοµαστές. Μία κούπα είναι γεµάτη ως το 1/3. Είναι το 1/3 πιο κοντά Α) στο 1/2; Β) στο 1/4; ή Γ) έχει την ίδια απόσταση από το ½ και το ¼ της κούπας; Εξηγήστε την απάντησή σας.

57 Διατάσσουν ένα σύνολο κλασματικών αριθμών και βρίσκουν ενδιάμεσους, μικρότερους και μεγαλύτερους κλασματικούς αριθμούς. (I) Ε ü Συγκρίνουν κλάσµατα και ελέγχουν τα αποτελέσµατά τους τοποθετώντας τα κλάσµατα σε µια αριθµογραµµή.* Συγκρίνετε τα: 2/3 ¾, τα ¾ 4/3, τα ¾ 2/3 3/3, τοποθετώντας τα κλάσµατα σε µία ή παράλληλες αριθµογραµµές. Η Μαρία είπε ότι το 4/5 είναι µεγαλύτερο από το ¾ γιατί ο αριθµητής και ο παρανοµαστής του 4/5 είναι µεγαλύτεροι από αυτούς του ¾. *Επεκτείνει τον στόχο της Δ.

58 Διατάσσουν ένα σύνολο κλασματικών αριθμών και βρίσκουν ενδιάμεσους, μικρότερους και μεγαλύτερους κλασματικούς αριθμούς. (II) Ε ü Μετά τη σύγκριση κλασµάτων µε διαφορετικούς αριθµητές και παρονοµαστές µαθαίνουν να χρησιµοποιούν τα σύµβολα <,=,> και ελέγχουν τα αποτελέσµατά τους τοποθετώντας τα κλάσµατα σε µια αριθµογραµµή. Βάλε <,=,> στα παρακάτω κλάσµατα αφού συγκρίνεις µε παραπάνω από 3 τρόπους το κάθε ζεύγος: 9/14. 8/12 5/6. 2/3 25/ /30 Στο τέλος τοποθετείστε τα κλάσµατα στην παρακάτω αριθµογραµµή:

59 Εισάγονται στα κλάσματα μεγαλύτερα της μονάδας και στους μικτούς. (I) Ε ü Μαθαίνουν να αναπαριστούν σε αριθµογραµµή και µε «bar models» κλάσµατα µεγαλύτερα της µονάδας. Τοποθετείστε τα κλάσµατα 4/5 και 5/4 σε µία αριθµογραµµή από το 0 ως το 2. Ποιο κλάσµα είναι πιο κοντά στο 1;

60 Εισάγονται στα κλάσματα μεγαλύτερα της μονάδας και στους μικτούς.(ιi) Ε ü Μαθαίνουν να βάζουν στην αριθµογραµµή µικτά κλάσµατα και να απλοποιούν τα µικτά κ λ ά σ µ α τ α σ ε α π λ ά µ έ σ ω ο π τ ι κ ώ ν αναπαραστάσεων. Είναι σηµαντικό το να γνωρίζουµε πάντα το είδος της τροφής που θα φτιάξουµε. Υπάρχει όµως ένα µικρό πρόβληµα. Συχνά καταλήγουµε στο σηµείο να διαφωνούµε γύρω από το θέµα του πόσο έχει φάει ο καθένας από µας. Θέλουµε να είµαστε δίκαιοι και να µοιραζόµαστε τις πίτσες εξίσου. Μπορείτε να µας βοηθήσετε; Αν είχα 1 (µία) πίτσα και ήθελα να τη µοιράσω εξ ίσου σε 2 (δύο) από εµάς πόση πίτσα θα έπαιρνε ο καθένας; Εάν ήµασταν 3 (τρεις) και είχαµε να µοιράσουµε εξ ίσου 1 (µία) πίτσα, πόση πίτσα θα αναλογούσε στον καθέναν µας;

61 Εισάγονται στα κλάσματα μεγαλύτερα της μονάδας και στους μικτούς. (ΙΙΙ) Ε ü Μαθαίνουν να βάζουν στην αριθµογραµµή µικτά κλάσµατα και να απλοποιούν τα µικτά κλάσµατα σε απλά µέσω οπτικών αναπαραστάσεων. Μερικές φορές, έχουν αποµείνει κάποια κοµµάτια πίτσας τα οποία ζεσταίνουµε ξανά την επόµενη µέρα. Εάν έχω 1/2 (µισή ή όπως αλλιώς λέµε ένα/δεύτερο) πίτσας και θέλω να τη µοιράσω στους δυο µας, τι µέρος από τη συνολική πίτσα θα πάρει ο καθένας µας; Εάν τώρα είχε αποµείνει το 1/3 της πίτσας και θέλουµε να το µοιραστούµε 2 (δύο) άτοµα από εµάς τι µέρος της συνολικής πίτσας θα πάρει ο καθένας µας; Τι θα λέγατε αν 3 (τρεις) από εµάς είχαµε να µοιραστούµε το ¼ της πίτσας; *(Ξανακοιτάξτε σε αυτά που έχετε κάνει µέχρι τώρα. Μπορείτε να καταγράψετε τον τρόπο που έχετε επεξεργαστεί µέχρι στιγµής τις απαντήσεις σας χρησιµοποιώντας αριθµούς και µαθηµατικά σύµβολα; Μπορείτε να σκεφτείτε έναν τρόπο για να αναπαραστήσετε τα προηγούµενα;)

62 Εισάγονται στα κλάσματα μεγαλύτερα της μονάδας και στους μικτούς. (ΙV) Ε ü Μαθαίνουν να βάζουν στην αριθµογραµµή µικτά κλάσµατα και να απλοποιούν τα µικτά κλάσµατα σε απλά µέσω οπτικών αναπαραστάσεων. Σήµερα, ο καθένας από εµάς θα ήθελε το ½ µίας πίτσας, δηλαδή τη µισή πίτσα. Εάν έχω 1 (µία) πίτσα, πόσα άτοµα µπορούν να µοιραστούν εξ ίσου το ½ της πίτσας; (τη µισή πίτσα;) Εάν τώρα έχω συνολικά 2 (δύο) πίτσες, πόσα άτοµα µπορούν να µοιραστούν εξίσου το ½ από κάθε πίτσα; Μερικές φορές συµβαίνει να είµαστε περισσότερο πεινασµένοι, έτσι θα προτιµούσαµε να φάµε τα 2/3 της πίτσας ο καθένας µας. Πόσες πίτσες θα χρειάζονταν για να µοιραστούν εξίσου σε 3 (τρία) άτοµα; Πόσες θα χρειάζονταν για να µοιραστούν εξίσου σε 4 (τέσσερα) άτοµα; Πιστεύετε ότι θα περισσέψει κανένα κοµµάτι; Πώς θα µπορούσατε να αναπαραστήσετε τα προηγούµενα µε αριθµούς και σύµβολα;

63 Προσθέτουν και αφαιρούν κλάσματα. (I) Ε ü Να προσθέτουν και να αφαιρούν µεικτούς αριθµούς µε ίδιους παρονοµαστές είτε αντικαθιστώντας τους µεικτούς µε ισοδύναµα κλάσµατα είτε προσπαθώντας να τα αναλύσουν µε µικρότερα κλάσµατα µε πρόσθεση ή αφαίρεση. 7/8 1/8=; Σε µια συζήτηση ενός δασκάλου και µιας µαθήτριας γίνεται ο παρακάτω διάλογος µέσα στην τάξη: Δάσκαλος: Μαρία, έχουµε δύο πίτσες που είναι κοµµένες στα 8 κοµµάτια. Από την µια πίτσα φαγώθηκαν 7 κοµµάτια. Πόσα κοµµάτια έµειναν; Μαρία: Έµεινε το 1/8. Δάσκαλος: Από την δεύτερη πίτσα φαγώθηκαν 3 κοµµάτια. Πόσα κοµµάτια έµειναν; (Συνέχεια )

64 Προσθέτουν και αφαιρούν κλάσματα. (II) Ε ü Να προσθέτουν και να αφαιρούν µεικτούς αριθµούς µε ίδιους παρονοµαστές είτε αντικαθιστώντας τους µεικτούς µε ισοδύναµα κλάσµατα είτε προσπαθώντας να τα αναλύσουν µε µικρότερα κλάσµατα µε πρόσθεση ή αφαίρεση. Μαρία: Έµειναν τα 5/8. Δάσκαλος: Αν βάλεις τα κοµµάτια που έµειναν µαζί πόση πίτσα έµεινε συνολικά; Μαρία: 6/8. Δάσκαλος: Μπορείς να γράψεις τη πράξη που έκανες; Μαρία: 1/8 + 5/8= 6/16, γράφει! Ποιο είναι το λάθος της Μαρίας;

65 Προσθέτουν και αφαιρούν κλάσματα. (ΙII) Ε ü Να προσθέτουν και να αφαιρούν κλάσµατα και µεικτούς µε διαφορετικούς παρονοµαστές αντικαθιστώντας τα κλάσµατα αυτά µε ισοδύναµα έτσι ώστε να φτάνουν σε προσθέσεις και αφαιρέσεις οµώνυµων. Πού θα βρίσκεται το άθροισµα 2/3 + 1/6 στην παρακάτω αριθµογραµµή;

66 Προσθέτουν και αφαιρούν κλάσματα. (IV) Ε ü Να λύνουν προβλήµατα πρόσθεσης και αφαίρεσης µε ετερώνυµα κλάσµατα και µεικτούς που αναφέρονται στο ίδιο όλο χρησιµοποιώντας οπτικές αναπαραστάσεις. Επίσης µπορούν να χρησιµοποιηθούν και τα µοναδιαία κλάσµατα και οι αριθµητικές στρατηγικές που έχουν ήδη µάθει παραπάνω για να εκτιµήσουν τα αποτελέσµατα αλλά και να τα ελέγξουν. Κόψε τα τετραγωνάκια που δίνονται παρακάτω και δηµιούργησε διάφορα σχήµατα συνδυάζοντας τα τετραγωνάκια µε τους εξής κανόνες: το άθροισµα των κλασµάτων που εµφανίζονται στο κάθε σχήµα πρέπει να είναι 1, δεν επιτρέπεται να δηµιουργηθούν σχήµατα που τα τετραγωνάκια να ενώνονται µε τις γωνίες τους π.χ.

67 Προσθέτουν και αφαιρούν κλάσματα. (V) Ε ü Να λύνουν προβλήµατα πρόσθεσης και αφαίρεσης µε ετερώνυµα κλάσµατα και µεικτούς που αναφέρονται στο ίδιο όλο χρησιµοποιώντας οπτικές αναπαραστάσεις. Επίσης µπορούν να χρησιµοποιηθούν και τα µοναδιαία κλάσµατα και οι αριθµητικές στρατηγικές που έχουν ήδη µάθει παραπάνω για να εκτιµήσουν τα αποτελέσµατα αλλά και να τα ελέγξουν. και τέλος δεν πρέπει να επικαλύπτονται. Αν χρησιµοποιηθούν σωστά τα τετραγωνάκια δεν θα µείνει κανένα εκτός των συνδυασµώνσχηµάτων.

68 Πολλαπλασιάζουν κλάσματα με φυσικούς και κλάσματα με κλάσματα. (I) Ε ü Να καταλάβουν ότι α/β= α φορές το 1/β. ΤΟ ΠΑΡΤΙ ΜΕ ΤΑ ΠΑΓΩΤΑ Χρησιµοποίησε την αριθµογραµµή για να βρεις πόσο παγωτό σερβιρίστηκε στο πάρτι σε κάθε από τις παρακάτω περιπτώσεις: 1. Ένα από τα τραπέζια στο πάρτι σερβίρει παγωτό σοκολάτα. Το κάθε σερβίρισµα είναι το 1/5 του µπολ. Μετά από 5 λεπτά η κυρία Κατερίνα έχει σερβίρει 4 φορές. Πόσο παγωτό έχει σερβίρει;

69 Πολλαπλασιάζουν κλάσματα με φυσικούς και κλάσματα με κλάσματα. (ΙΙ) Ε ü Να καταλάβουν ότι α/β= α φορές το 1/β. 2. Το παγωτό µπανάνα ήταν από τα πιο αγαπηµένα! Στο τέλος του πάρτι έµειναν 3 πακέτα που περιείχαν ½ του µπολ παγωτό µπανάνα. Πόσο παγωτό µπανάνα έµεινε; 3. Σε ένα άλλο τραπέζι δίνουν παγωτό φράουλα. Σε κάθε σερβίρισµα έβαζε το 1/3 του µπολ παγωτό φράουλα. Πόσο παγωτό φράουλας έχει χρησιµοποιήσει µετά από δύο σερβιρίσµατα; 4. Κατά την διάρκεια που καθάριζαν ο κύριος Αποστολόπουλος βρήκαν 2 κιλά παγωτό βανίλια σε πακέτα τα οποία ήταν 2/3 γεµάτα. Πόσα κιλά παγωτό βανίλια έµειναν;

70 Πολλαπλασιάζουν κλάσματα με φυσικούς και κλάσματα με κλάσματα. (III) E ü Να χρησιμοποιήσουν οπτικές α ν α π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς γ ι α τ ο ν πολλαπλασιασμό κλάσματος και φυσικού αριθμού. Διαγωνισµός ανακύκλωσης Δηµιούργησε µπάρες που να δείχνουν την πρόοδο της κάθε πέµπτης τάξης στο διαγωνισµό ανακύκλωσης. Το πρώτο τµήµα συνέλεξε το ¼ των 40 µπουκαλιών που συλλέχθηκαν συνολικά από την πέµπτη. Πόσα συνέλεξαν; 2. Το δεύτερο τµήµα συνέλεξε το 1/10 των 50 κονσερβών που συλλέχθηκαν από την πέµπτη. Πόσες κονσέρβες συνέλεξαν; 3. Τα τµήµατα της πέµπτης τάξης έχουν γεµίσει το 1/5 των 25 κάδων ανακύκλωσης του σχολείου. Πόσους κάδους έχουν γεµίσει;

71 Πολλαπλασιάζουν κλάσματα με φυσικούς και κλάσματα με κλάσματα. (IV) E ü Να χρησιµοποιούν οπτικές να αναπαραστάσεις για τον πολλαπλασιασµό κλασµάτων µεταξύ τους. Στο τέλος του πάρτι! Στο σχολείο διοργανώνεται µια γιορτή. Με το τέλος της, οι µαθητές τακτοποιούν το χώρο και καταγράφουν ότι έµεινε από τα φαγώσιµα. Λύσε το κάθε πρόβληµα χρησιµοποιώντας αριθµογραµµή ή µπάρες. 1. Η Πέµπτη τάξη συνέλεξε το ½ του συνολικού ποσού των τενεκεδένιων κουτιών που εµπεριέχονται στους κάδους ανακύκλωσης του σχολείου, ενώ η τετάρτη τάξη συνέλεξε το ¼ αυτών. Πόσα τενεκεδένια κουτιά µάζεψε η τετάρτη τάξη;

72 Πολλαπλασιάζουν κλάσματα με φυσικούς και κλάσματα με κλάσματα. (V) E ü Να χρησιµοποιούν οπτικές να αναπαραστάσεις για τον πολλαπλασιασµό κλασµάτων µεταξύ τους. 2. Στο τέλος του πάρτι έµεινε το 1/3 του πακέτου του παγωτού µε γεύση βανίλια. Ο διευθυντής έφαγε το ½ του πακέτου που είχε µείνει. Πόσο παγωτό βανίλια έµεινε τελικά; 3. Ο Δήµος έχει µεγάλους κάδους ανακύκλωσης για να χρησιµοποιούνται από τους πολίτες. Το ¼ του συνόλου των κάδων σκουπιδιών είναι κάδοι ανακύκλωσης για τενεκεδένια κουτιά. Αν το 16ο Δηµοτικό σχολείο του δήµου αυτού γέµισε το 1/3 των κάδων ανακύκλωσης για τενεκεδένια κουτιά πόσους κάδους ανακύκλωσης έχουν γεµίσει συνολικά; 4. Οι δάσκαλοι της πέµπτης τάξης πρόσεξαν ότι είχε µείνει το 1/5 του ½ του λίτρου παγωτό φράουλα. Πόσο παγωτό φράουλα έµεινε; 5.* Γράψε ένα πρόβληµα σχετικό µε το θέµα «Στο τέλος του πάρτι!» που να εξηγείται από την παρακάτω αναπαράσταση:

73 Διαιρούν κλάσματα με φυσικούς και κλάσματα με κλάσματα (διαίρεση ως αντίστροφος πολλαπλασιασμός). (I) E ü Να χρησιµοποιήσουν οπτικές αναπαραστάσεις για την διαίρεση κλάσµατος και φυσικού αριθµού. Βραβεία στο «Λούνα Παρκ» Λύσε το κάθε πρόβληµα µε µια αναπαράσταση. 1. Στο «Λούνα Παρκ» στο παιχνίδι της σκοποβολής χρειάσθηκαν περισσότερα βραβεία. Ο διευθυντής έφερε 4 κουτιά από αυτοκόλλητα για βραβείο. Κάθε µαθητής πήρε το 1/5 του κουτιού των αυτοκόλλητων. Πόσοι µαθητές θα πάρουν βραβείο πριν ξεµείνουν; 2. Στο «Λούνα Παρκ» οι µηχανές του popcorn γεµίζουν πακέτα των ¾ του κιλού. Αν πάρω ένα κουτί που ζυγίζει 6 κιλά. Πόσα πακέτα των ¾ του κιλού µπορώ να φτιάξω. 3. Στο «Λούνα Παρκ» υπάρχουν ειδικοί που βάφουν το πρόσωπο. Αυτοί έχουν ¼ του κουτιού µπογιά. Υπάρχουν 5 µαθητές της πέµπτης τάξης που θέλουν να βάψουν το πρόσωπό τους. Πόση µπογιά θα χρησιµοποιηθεί για το κάθε παιδί;

74 Διαιρούν κλάσματα με φυσικούς και κλάσματα με κλάσματα (διαίρεση ως αντίστροφος πολλαπλασιασμός). (II) E ü Να εξοικειωθούν µε τη διαίρεση µεταξύ κλασµάτων χρησιµοποιώντας οπτικές αναπαραστάσεις (αντίστροφο του πολλαπλασιασµού). α. Η Ελένη έφτιαξε τα 4/5 του κιλού ενός µίγµατος για να το µοιραστεί µε τους φίλους της. Τα χώρισε σε σακουλάκια όπου το καθένα χώραγε 2/25 του κιλού. Πόσοι από τους φίλους της θα πάρουν σακουλάκι µε αυτό το µίγµα; β. Ένας δροµέας αντοχής καλύπτει 2 ¾ µίλια σε 2/5 της ώρας. Πόσα µίλια µπορεί ο δροµέας να καλύψει σε µια ώρα; γ. Αν έχει µείνει 28 ½ γραµµάρια δηµητριακά από το κουτί που είχαµε τότε πόσα σερβιρίσµατα των 3 ½ γραµµαρίων µπορούµε να έχουµε; (Συνέχεια )

75 Διαιρούν κλάσματα με φυσικούς και κλάσματα με κλάσματα (διαίρεση ως αντίστροφος πολλαπλασιασμός). (ΙΙΙ) Ε ü Εξοικειωθούν µε τη διαίρεση µεταξύ κλασµάτων χρησιµοποιώντας οπτικές αναπαραστάσεις (αντίστροφο του πολλαπλασιασµού). δ. Χωρίζουµε σε κοµµάτια των 3/8 του µέτρου µία κορδέλα που έχει µήκος ¾ του µέτρου. Πόσα κοµµάτια των 3/8 του µέτρου θα πάρουµε; ε. Έχουµε ένα τετράγωνο µε µήκος 12/15 του µέτρου. Το χωρίζουµε σε µικρότερα τετράγωνα µε µήκος ¼ του µέτρου. Πόσα µικρά τετράγωνα θα πάρουµε; στ. Ένα µπουκάλι µε φάρµακο περιέχει 8 2/3γραµµάρια µιας ουσίας. Το µπουκαλάκι έχει 12 ½ δόσεις. Πόσα γραµµάρια αυτής της ουσίας υπάρχει σε κάθε δόση;

76 Εισάγονται στα ποσοστά, μετατρέπουν κλασματικούς αριθμούς σε ποσοστά και τα χρησιμοποιούν στη μοντελοποίηση καταστάσεων και την επίλυση προβλημάτων. (Ι) ΣΤ Υποστόχος 1-οι µαθητές θα µπορούν να ü Αντιληφθούν ότι το ποσοστό είναι ένας εναλλακτικός τρόπος γραφής του κλάσματος και του δεκαδικού και να το χρησιμοποιούν ως τέτοιο (έννοια, γραφή): 1. Με χρήση διπλής αριθμογραμμής και 2. Με χρήση δεκαδικού πλέγματος. Βάλε σε µια αριθµογραµµή κάθε έναν από τους παρακάτω αριθµούς: Τώρα τοποθέτησε τα παρακάτω ποσοστά σε µια δεύτερη αριθµογραµµή ίση µε την πρώτη: 25%, 30%, 37,5%, 45%, 50%, 60%,80%, 100%. Συµπληρώστε τον παρακάτω πίνακα.

77 Εισάγονται στα ποσοστά, μετατρέπουν κλασματικούς αριθμούς σε ποσοστά και τα χρησιμοποιούν στη μοντελοποίηση καταστάσεων και την επίλυση προβλημάτων. (ΙΙ) ΣΤ Υποστόχος 2-οι µαθητές θα µπορούν να ü Υπολογίζουν τα ποσοστά: 1. Με χρήση αναπαράστασης, Τι κλάσµα συµβολίζει το κάθε σχήµα του τετραγώνου; Τι ποσοστό του τετραγώνου είναι κάθε σχήµα; 2. Με νοερούς υπολογισµούς µέσω επιλογής κατάλληλων δεικτών και 3. Με χρήση γραπτών µεθόδων. Φτιάξτε µια αναπαράσταση που να δείχνει i) το 50% του 500 και ii) το 25% του 240. Υπολόγισε το: i. 75% του 24 ii. 15% του 40 iii. 40% των 400kg Υπολόγισε το 13% του 48 µε τρεις τρόπους: i) έσω κλάσµατος ii) µέσω δεκαδικού iii) µέσω κλασµατικής µονάδας.

78 Εισάγονται στα ποσοστά, μετατρέπουν κλασματικούς αριθμούς σε ποσοστά και τα χρησιμοποιούν στη μοντελοποίηση καταστάσεων και την επίλυση προβλημάτων. (ΙΙΙ) ΣΤ Υποστόχος 3-οι µαθητές θα µπορούν να ü Χρησιµοποιούν τα ποσοστά για σύγκριση λόγων (δηλαδή για σύγκριση των µερών ενός όλου). Σύγκρινε τα 3/4 του 24 µε τα 25/70 του 40.

79 Εισάγονται στα ποσοστά, μετατρέπουν κλασματικούς αριθμούς σε ποσοστά και τα χρησιμοποιούν στη μοντελοποίηση καταστάσεων και την επίλυση προβλημάτων. (ΙV) ΣΤ Υποστόχος 4-οι µαθητές θα µπορούν να ü Χρησιµοποιούν όλα τα παραπάνω για τον υπολογισµό των τιµών µιας πραγµατικής κατάστασης. Δηλαδή, 1. Υπολογισµός τελικού ποσού έπειτα από µια ποσοστιαία αύξηση, 2. Υπολογισµός τελικού ποσού έπειτα από µια ποσοστιαία µείωση, 3. Υπολογισµός της αρχικής τιµής όταν δίνεται η τελική τιµή και η ποσοστιαία αύξηση ή µείωση. Ο κ. Γιώργος αγοράζει τις πορτοκαλάδες με 0.80 ευρώ. Εχει υπολογίσει ότι για να έχει ένα βιώσιμο κέρδος θα πρέπει να αυξάνει τις τιμές των προϊόντων του κατά 25% της αρχική τους τιμής. Πόσο θα πουλήσει τις πορτοκαλάδες; Η Κική βγήκε να ψωνίσει ρούχα την περίοδο των εκπτώσεων για να της έρθει πιο φθηνά. Βρήκε σε ένα μαγαζί που σε όλα του τα προϊόντα είχε 40% έκπτωση μια φούστα που έκανε 24 ευρώ (χωρίς την έκπτωση). Πόσο θα πληρώσει η Κική για αυτή τη φούστα τελικά; Η κυρία Μαρία στις εκπτώσεις πούλαγε όλα της τα προϊόντα 25% φθηνότερα. Τώρα, όμως, τελείωσαν οι εκπτώσεις και επαναφέρει τις παλιές τιμές. Σε ένα παντελόνι, όμως, είχε σβηστεί η τιμή και φαινόταν μόνο το ότι έκανε 46 ευρώ με την έκπτωση. Τι τιμή πρέπει να του βάλει η κυρία Μαρία τώρα;

80 Εισάγονται στα ποσοστά, μετατρέπουν κλασματικούς αριθμούς σε ποσοστά και τα χρησιμοποιούν στη μοντελοποίηση καταστάσεων και την επίλυση προβλημάτων. (V) ΣΤ Υποστόχος 4 (συνέχεια)-οι µαθητές θα µπορούν να ü Χρησιµοποιούν όλα τα παραπάνω για τον υπολογισµό των τιµών µιας πραγµατικής κατάστασης. Δηλαδή, Ο Γιάννης έχει πάει να αγοράσει μια μπλούζα η οποία κάνει 18 ευρώ. Στο ταμείο όμως του λένε ότι επειδή βρίσκεται σε έκπτωση η συγκεκριμένη μπλούζα θα πληρώσει μόνο 11 ευρώ. Τι μείωση του έκαναν; 4. Υπολογισµός της ποσοστιαίας αύξησης ή µείωσης όταν έχουν το αρχικό και το τελικό ποσό και 5. Υπολογισµός τελικής (ή αρχικής) τιµής σε συνεχόµενα ποσοστά.* *(Διδακτικός στόχος: Δηλαδή, διαπιστώνουν ότι η σειρά εφαρµογής των ποσοστών δεν παίζει ρόλο και αναγνωρίζουν τη σηµασία της προσεταιριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασµού) Ενα κατάστημα προσφέρει έκπτωση 10%, αλλά πληρώνετε και ΦΠΑ 22%. Τι προτιμάτε, να σας κάνουν πρώτα την έκπτωση και μετά να υπολογίσουν το ΦΠΑ ή το αντίστροφο;

81 ς ύ π ύ!