Επισκόπηση του Αλγορίθμου Gale-Shapley για το πρόβλημα σταθερού γάμου 1 / 10

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Επισκόπηση του Αλγορίθμου Gale-Shapley για το πρόβλημα σταθερού γάμου 1 / 10"

Transcript

1 1 / 10

2 Λ3 - Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ι Διδάσκων: Η. Κουτσουπιάς Καραγεώργος Βασίλειος Επισκόπηση του Αλγορίθμου Gale-Shapley για το πρόβλημα σταθερού γάμου

3 Εισαγωγή Το 1962, οι David Gale και Lloyd Shapley, από το πανεπιστήμιο Brown, δημοσίευσαν μια πραγματεία για την επίλυση του προβλήματος επιλογής υποψήφιων φοιτητών από ένα πανεπιστήμιο. Στην πορεία της πραγματείας, ανάγουν το πρόβλημα αυτό στο ευκολότερο πρόβλημα εύρεσης σταθερού γάμου, δείχνοντας ότι αυτό είναι μία ειδική περίπτωση του αρχικού προβλήματος. Επίσης παρουσιάζονται και μερικά ακόμα προβλήματα-παραδείγματα, όπως αυτό τις επιλογής συγκατοίκου, τα οποία όμως αν και ομοιάζουν αρκετά στο αρχικό, τελικά δεν είναι συμβατά. Άμα την επίλυση του προβλήματος σταθερού γάμου, η γενίκευση του αλγορίθμου που οδηγεί στην επίλυση του αρχικού προβλήματος γίνεται εμφανής. Τελικώς, η γενικευμένη λύση, στην ουσία αποτελεί έναν αλγόριθμο ανάθεσης, που δημιουργεί ζεύγη μεταξύ δύο συνόλων μη ομότιμων αντικειμένων, με βέλτιστο τρόπο. Πιο συγκεκριμένα, το αρχικό πρόβλημα επιλογής υποψηφίων έχει ως εξής: Έστωσαν κάποια πανεπιστήμια και μια ομάδα από υποψήφιους φοιτητές, n τω πλήθει. Έκαστο πανεπιστήμιο θέλει εκ των n φοιτητών, να επιλέξει μόνο ένα μέρος q. Προφανώς, η επιλογή των q καλλιτέρων εκ των υποψηφίων δεν επαρκεί, καθότι είναι πιθανόν κάποιοι εξ αυτών να αρνηθούν. Το γε νυν έχον, το πανεπιστήμιο θα πρέπει εν γένει να επιλέξει περισσότερους των q, χωρίς να είναι καταφανές πόσοι και ποιοι πρέπει να είναι αυτοί. Αυτό συμβαίνει διότι δεν είναι εν γένει γνωστόν εάν έκαστος υποψήφιος έχει κάνει και σε άλλο πανεπιστήμιο αίτηση, με ποια σειρά προτίμησης έχει κατατάξει τα πανεπιστήμια και εάν κάποιο άλλο πανεπιστήμιο θα τον ζητήσει. Πέραν των προβλημάτων που παρουσιάζονται στην εν λόγω διαδικασία για το πανεπιστήμιο, προβλήματα παρουσιάζονται και για τον ίδιο τον υποψήφιο, καθώς εάν κατά την αίτηση του ζητηθεί εξ ενός των πανεπιστημίων να πει σε ποια άλλα έχει κάνει επίσης αίτηση και με ποια σειρά προτίμησης, τότε για προφανείς λόγους μπορεί να μειωθούν οι πιθανότητές του να γίνει δεκτός από αυτό. Επίσης, εάν ψευδομαρτυρήσει για να ξεπεράσει το πρόβλημα αυτό, τίθεται το θέμα του κατά πόσον κάτι τέτοιο είναι ηθικό, όπως γίνεται και στην περίπτωση όπου δέχεται για εξασφάλιση να εγγραφεί αρχικώς σε ένα πανεπιστήμιο που δεν είναι το προτιμητέο και ύστερα το απορρίπτει χάριν ενός άλλου που είναι προτιμότερο και που τον εδέχθη επίσης. Ορισμός του προβλήματος Ας ορίσουμε τώρα αυστηρότερα τις παραμέτρους του προβλήματος επιλογής. Έστωσαν ένα σύνολο Υ με n υποψήφιους, ένα σύνολο Π με m πανεπιστήμια και μια πεπερασμένη ακολουθία (qi), της οποίας το i-οστό στοιχείο είναι το πλήθος των φοιτητών που θέλει να δεχθεί το i-οστό πανεπιστήμιο. Έκαστος υποψήφιος ταξινομεί τα πανεπιστήμια με σειρά προτίμησης, συμπεριλαμβανομένων και αυτών που δεν τον ενδιαφέρουν. Ομοίως, έκαστο πανεπιστήμιο ταξινομεί τους υποψήφιους με σειρά προτίμησης, συμπεριλαμβανομένων ακόμα και αυτών που δεν θα δεχόταν υπό ουδεμία περίσταση. Σκοπός είναι να βρεθεί ένας μερικός ομομορφισμός f:υ Υ Π, όπου ο f εξαρτάται από τις προαναφερθείσες ταξινομήσεις και από κάποια κριτήρια μεροληψίας, τα οποία πρόκειται να συμφωνηθούν παρακάτω, τέτοιος ώστε η ανάθεση των στοιχείων του Y στο Π να είναι σταθερή. Σταθερή, θα ονομάζεται οποιαδήποτε ανάθεση του Y στο Π, για την οποία δεν υπάρχουν δύο στοιχεία του Υ Π, (υ1,π1) και (υ2,π2), τέτοια που ο υ1 και το π2 συμφωνούν στο ότι θα προτιμούσαν την ανάθεση (υ1,π2). Κατά συνέπεια, ασταθής, θα ονομάζεται οποιαδήποτε ανάθεση για την οποία υπάρχουν τουλάχιστον δύο τέτοια ζεύγη και αυτό διότι είναι δυνατόν ο εν λόγω υποψήφιος να ζητήσει αίτηση μετεγγραφής στο εν λόγω πανεπιστήμιο, το οποίο θα τον δεχθεί, διαταράσσοντας έτσι την ισορροπία της ανάθεσης προς το αμοιβαίο όφελός των. Όσον για τα κριτήρια μεροληψίας, δεδομένου του ότι τα πανεπιστήμια υπάρχουν για τους φοιτητές και όχι το ανάστροφο, στην περίπτωση που δύο πανεπιστήμια και δύο υποψήφιοι δεν συμφωνούν μεταξύ τους για την ανάθεση, προτεραιότητα δίδεται στους υποψήφιους. 3 / 10

4 Έχοντας ορίσει το πρόβλημα και τον σκοπό, αναρωτάται κανείς αν το πρόβλημα δύναται πάντα να επιλυθεί. Αυτό ισοδυναμεί με την ερώτηση του αν υπάρχει πάντα μια σταθερή ανάθεση για κάθε δυνατό πρόβλημα. Όπως θα φανεί παρακάτω, η ύπαρξη λύσης είναι πάντα εξασφαλισμένη. Το γε νυν έχον, ορίζουμε ως κάλλιστη λύση την σταθερή εκείνη ανάθεση, για την οποία δεν υπάρχει άλλη σταθερή ανάθεση υπό την οποία κάποιος υποψήφιος θα ήταν πιο ευχαριστημένος από την πρώτη. Η ύπαρξη κάλλιστης λύσης δεν είναι προφανής, αλλά είναι προφανής η μοναδικότητά της, εάν αυτή υπάρχει. Αυτό φαίνεται αμέσως υποθέτοντας ότι υπάρχουν δύο κάλλιστες λύσεις, καθώς οδηγούμαστε σε ατόπημα από τον ορισμό και την υπόθεση μεροληψίας. Το πρόβλημα του σταθερού γάμου ως ειδική περίπτωση Η απάντηση στο ερώτημα της ύπαρξης λύσης μπορεί να διαφανεί ευκολότερα μέσω της μελέτης ενός απλούστερου προβλήματος. Ας θεωρήσουμε την ειδική περίπτωση όπου το πλήθος των υποψηφίων είναι ίσο με το πλήθος των πανεπιστημίων, και ότι κάθε πανεπιστήμιο θέλει μονάχα έναν φοιτητή. Αν και η περίπτωση αυτή φαντάζει εξωπραγματική, αποκτά νόημα αν αντικαταστήσουμε τους υποψήφιους και τα πανεπιστήμια με άντρες και γυναίκες αντίστοιχα. Τότε η ειδική αυτή περίπτωση του προβλήματος επιλογής υποψηφίων μετατρέπεται σε πρόβλημα γάμων, και η σταθερή ανάθεση τώρα σημαίνει σταθερούς γάμους. Όπως φαντάζεται κανείς, η αντιστοίχηση θα μπορούσε να γίνει και ανάποδα, με τον ρόλο των υποψηφίων να τον αναλαμβάνουν οι γυναίκες. Το αποτέλεσμα θα ήταν το ίδιο το μόνο που αλλάζει σε κάθε περίπτωση είναι ποιος από τους δύο (άντρες ή γυναίκες) θα βγει ριγμένος. Αυτό οφείλεται στο κριτήριο μεροληψίας που έχουμε εισαγάγει και που είναι απόλυτα συνυφασμένο με το γεγονός ότι τα στοιχεία των δύο συνόλων υπόψιν δεν είναι ομότιμα. Έτσι, το φαινομενικά όμοιο πρόβλημα ανάθεσης συγκατοίκου, όπου μία ομάδα από άρτιο αριθμό ατόμων χωρίζεται σε ζεύγη, δεν αποτελεί ειδική περίπτωση του αρχικού. Αυτό καθίσταται σαφές αν χωρίσουμε την αρχική ομάδα σε δύο ισοπληθή σύνολα, καθώς τα σύνολα αυτά θα αποτελούνται από ομότιμα αντικείμενα, και άρα το κριτήριο μεροληψίας δεν εφαρμόζεται. Ο αλγόριθμος σταθερού γάμου Η ύπαρξη της λύσης στο πρόβλημα αυτό αποδεικνύεται με την παρουσίαση του αλγορίθμου που οδηγεί ένα τυχαίο σύνολο ανδρών και ένα γυναικών σε σταθερούς γάμους: function stablematching { Initialize all m in M and w in W to free while exists free man m who still has a woman w to propose to { w = m highest ranked such woman if w is free (m, w) become engaged else some pair (m', w) already exists if w prefers m to m' (m, w) become engaged m' becomes free else (m', w) remain engaged } } Σε κάθε γύρο, κάθε εκτέλεση δηλαδή του βρόγχου, έκαστος άνδρας κάνει πρόταση στην προτιμότερη γυναίκα απ' όσες δεν έχει ήδη προτείνει. Η γυναίκα τον απορρίπτει εάν είναι ήδη ταγμένη σε κάποιον που τον προτιμά καλλίτερα, ειδάλλως τον αποδέχεται αν μη τι άλλο προσωρινά. Δύο ιδιότητες αυτού του αλγορίθμου είναι που πρέπει να προσέξουμε. Πρώτον, στο τέλος της διαδικασίας, δεδομένου του ίσου αριθμού ανδρών και γυναικών, όλοι είναι ζευγαρωμένοι 4 / 10

5 (παντρεύονται), γιατί άπαξ και μια γυναίκα ταχθεί σε κάποιον, θα είναι ταγμένη μέχρι τέλους είτε σε αυτόν είτε σε κάποιον άλλον και δεν δύναται να μείνει γυναίκα άτακτη, καθότι εν τη ανάγκη, κάποιος άντρας θα προτείνει σε όλες τις γυναίκες και η άτακτη είναι αναγκασμένη να δεχθεί. Δεύτερον, όλοι οι γάμοι είναι σταθεροί. Υποθέτοντας ότι στο τέλος, ο άντρας Α και η γυναίκα Γ είναι δεσμευμένοι, αλλά όχι μεταξύ τους ενώ θα το ήθελαν αμφότεροι, οδηγούμαστε σε ατόπημα, καθώς εάν ο Α προτιμούσε την Γ από την τρέχουσα γυναίκα του, τότε θα της είχε προτείνει νωρίτερα και συνεπώς, αν και η Γ προτιμούσε τον Α από τον τρέχοντα άνδρα της, θα τον είχε δεχθεί και θα είχε απορρίψει τον τρέχοντα για χάρη του. Αναφέραμε πρωτύτερα, ότι οι γυναίκες βγαίνουν ριγμένες. Αυτό σημαίνει ότι οι άνδρες τελικώς αποκτούν την προτιμότερη δυνατή επιλογή τους, ενώ οι γυναίκες την τελευταία δυνατή επιλογή. Λέμε δηλαδή ότι ο αλγόριθμος Gale-Shapley είναι άρρεν-βέλτιστος και θήλυ-χείριστος και αυτό οφείλεται στην μεροληψία, δηλαδή ότι οι άνδρες είναι αυτοί που κάνουν τις προτάσεις, ενώ οι γυναίκες αυτές που δέχονται. Πάρα ταύτα, οι γυναίκες έχουν την δυνατότητα να αλλάζουν σύντροφο ώστε να ευτυχίσουν περισσότερο, ενώ οι άνδρες όχι. Ας σημειωθεί, βέβαια, ότι ο αλγόριθμος έχει συμμετρία, και η εναλλαγή ρόλων μεταξύ ανδρών και γυναικών πάλι οδηγεί σε σταθερούς γάμους, με άρρεν-χείριστα και θήλυ-βέλτιστα αποτελέσματα. Ακόμα, η αποδοχή που κάναμε αρχικώς, ότι τα δύο σύνολα είναι ισοπληθή, δεν είναι αναγκαίος. Εύκολα φαίνεται, ότι στην περίπτωση που οι άνδρες είναι περισσότεροι από τις γυναίκες, τότε ο αλγόριθμος τερματίζει όταν όλοι οι άνδρες είναι είτε δεσμευμένοι είτε έχουν απορριφθεί από όλες τις γυναίκες. Από την άλλη, εάν οι γυναίκες είναι περισσότερες από τους άνδρες, τότε ο αλγόριθμος τερματίζει όταν έχουν δεχθεί πρόταση τότες γυναίκες, όσοι άνδρες υπάρχουν. Αν και στην περίπτωση αυτή των άνισων πληθυσμών δεν παντρεύονται όλοι, οι γάμοι είναι πάλι σταθεροί. Ο αλγόριθμος επιλογής υποψηφίων Η επέκταση του προβλήματος σταθερού γάμου στο αρχικό γενικότερο πρόβλημα επιλογής υποψηφίων από πανεπιστήμια είναι τώρα εμφανής. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι εάν ένας υποψήφιος δεν είναι κατάλληλος για ένα πανεπιστήμιο, τότε δεν του επιτρέπεται να κάνει αίτηση. O αλγόριθμος έχει ως εξής: function stableadmission { Initialize all c in C to eligible Initialize all u in U to max quota while exists eligible candidate c that still has a university U to apply to { u = c highest ranked such university if u has available quota (c, u) on waiting list else if u prefers c to some c' on waiting list (c, u) on waiting list c' becomes eligible again else c is rejected and must try next available university in next loop } } Ο αλγόριθμος τερματίζεται όταν κάθε υποψήφιος είναι είτε σε μία λίστα αναμονής, είτε έχει απορριφθεί από όλα τα δυνατά πανεπιστήμια. Το ότι οι αναθέσεις αυτές είναι σταθερές είναι ευθέως ανάλογο με την περίπτωση του προβλήματος σταθερών γάμων. Μένει να δειχθεί ότι η λύση αυτή είναι επίσης και η μοναδική βέλτιστη λύση. Ας αποκαλέσουμε ένα πανεπιστήμιο δυνατό για έναν υποψήφιο, όταν υπάρχει κάποια λύση του προβλήματος, κάποια σταθερή ανάθεση δηλαδή, στην οποία γίνεται δεκτός από αυτό. Έστω ότι μέχρις ενός σημείου στην πορεία των αναθέσεων, ουδείς υποψήφιος έχει απορριφθεί ακόμα από 5 / 10

6 κάποιο δυνατό πανεπιστήμιο. Υποθέτουμε ότι στο σημείο αυτό, το πανεπιστήμιο Α, αποδεχόμενο ένα ποσοστό q από υποψήφιους (βq), απορρίπτει τον α. Πρέπει να δειχθεί ότι το Α δεν είναι δυνατό για τον α. Για τον σκοπό αυτό, έστω ότι υπάρχει μία λύση που κάνει τον α αποδεκτό τελικώς από το Α. Τότε, κάποιος βi από τους προαναφερθέντες βq θα πρέπει να πάει σε κάποιο άλλο πανεπιστήμιο Β. Προφανώς λοιπόν, η ανάθεση αυτή δεν είναι σταθερή, γιατί ο βi προτιμά το Α από το Β, μιας και είχε γίνει ήδη αποδεκτός από αυτό. Αλλά και το Α προτιμά τον βi από τον α, αφού είχε απορρίψει τον α για χάρη του βi πρωτύτερα. Συνεπώς το Α δεν είναι δυνατό για τον α και ο αλγόριθμος απορρίπτει υποψήφιους μόνο από τα μη δυνατά για τον καθένα πανεπιστήμια. Άρα τελικώς, η λύση που δίδει είναι βέλτιστη. Ψέμματα και τρωτά σημεία του αλγόριθμου Όλα τα παραπάνω έχουν βασιστεί στην σιωπηλή υπόθεση, ότι λαμβάνουν χώρα σε έναν ιδανικό κόσμο, όπου δεν υφίσταται διαφθορά και συνεπώς όλοι οι συμμετέχοντες λένε την αλήθεια για τις προτιμήσεις τους. Ο πραγματικός κόσμος, όμως, όπως ξέρουμε όλοι, απέχει πολύ από αυτήν την εξιδανίκευση. Τι συμβαίνει λοιπόν όταν κάποιος λέει ψέμματα; Μπορεί κάποιος να επιτύχει καλύτερα αποτελέσματα, με το να κρύψει την αλήθεια για τις προτιμήσεις του; Προηγούμενες μελέτες, όπως αυτή του Roth 1 δείχνουν ότι σε μια άρρεν-βέλτιστη εφαρμογή του αλγορίθμου σταθερού γάμου, οι άνδρες δεν δύνανται να επιτύχουν καλλίτερα αποτελέσματα. Αυτό είναι εν μέρη αναμενόμενο, αν και όχι προφανές, καθότι ο αλγόριθμος είναι ήδη βέλτιστος για τους άνδρες. Από την άλλη, οι Gale και Sotomayor 2 έδειξαν ότι στην εν λόγω περίπτωση, μια γυναίκα μπορεί να επιτύχει τον καλλίτερο δυνατό άνδρα, λέγοντας ψέμματα. Η ιδέα είναι να απορρίπτει οποιονδήποτε άνδρα είναι χειρότερος από αυτόν. Έτσι, αν και οι άνδρες είναι αυτοί που κάνουν την πρόταση, η γυναίκα που εφαρμόζει αυτή την στρατηγική έχει καλές πιθανότητές να επιτύχει τον επιθυμητό άνδρα το μόνο που μπορεί να την εμποδίσει είναι μια άλλη γυναίκα η οποία εφαρμόζει την ίδια τακτική. Μια κατά τα φαινόμενα πιθανή λύση στο πρόβλημα αυτό, είναι να ζητηθεί από τις γυναίκες να παραδώσουν εξ αρχής μια πλήρης λίστα με τις προτιμήσεις τους σε κάποια κεντρική αρχή, όπως για παράδειγμα ένα γραφείο συνοικεσίων και να αναλάβει η αρχή αυτή να κάνει τις αναθέσεις, αντί να γίνονται αυτές διαδοχικά και κατ' ιδίαν. Πάρα ταύτα, η εργασία των Gusfield και Irving 3 δείχνει ότι ακόμα και σε αυτή την περίπτωση, κάποια πονηρή γυναίκα μπορεί να επιτύχει τον καλλίτερο δυνατό άνδρα, εναλλάσσοντας με κάποιον συγκεκριμένο τρόπο τις καταχωρήσεις στην λίστα των προτιμήσεων. Ποίος όμως είναι ο καλλίτερος δυνατός άνδρας για μία γυναίκα; Ο ιδανικός άνδρας που ίσως έχει αυτή στο μυαλό της πιθανόν να μην είναι δυνατός, γιατί μπορεί αυτός να την έχει τελευταία στην λίστα και να μην τύχει να της κάνει πρόταση ποτέ. Πρέπει λοιπόν με κάποιον τρόπο η γυναίκα να τον αναγνωρίσει εξ αρχής, ώστε να μπορέσει στην συνέχεια, κατά την διαδικασία της επιλογής, ή μέσω της παρακεχαραγμένης λίστας να κλέψει. Αν υποθέσουμε, σε μια παραλλαγή της διαδικασίας επιλογής, ότι μια γυναίκα μπορεί να αρνηθεί έναν άνδρα, τότε η στρατηγική ευρέσεως του καλλίτερου δυνατού άνδρα είναι μάλλον προφανής αρκεί η γυναίκα να αρνηθεί τους πάντες και έχοντας μελετήσει τις προτιμήσεις όλων τον ανδρών, οι οποίες πια έχουν φανερωθεί, ξέρει ποιόν να προτιμήσει στην δεύτερη ευκαιρία, την επόμενη δηλαδή εκτέλεση της διαδικασίας, αφού έχοντας μείνει αυτή ελεύθερη, το πρόβλημα δεν έχει λυθεί και πρέπει να επανεπιχειρηθεί. Από την άλλη, αν δεν δώσουμε στις γυναίκες την δυνατότητα να αρνηθούν κάποιον άνδρα ως ακατάλληλο, τότε η εύρεση του καλλίτερου δυνατού γίνεται δυσκολότερη, και παύει να είναι 1 Roth, A.E. (1982). The Economics of Matching: Stability and Incentives. Mathematics of Operations Research Gale, D., M. Sotomayor (1985b). Ms Machiavelli and the Stable Matching Problem. American Mathematical Monthly Gusfield, D., R. W. Irving (1989). The Stable Marriage Problem: Structure and Algorithms, MIT Press, Massachusetts. 6 / 10

7 δεδομένη. Στην περίπτωση αυτή η βέλτιστη στρατηγική εξαπάτησης για μία γυναίκα, έχει διατυπωθεί από τους Chung-Piaw Teo, Jay Sethuraman, και Wee-Peng Tan 4 : 1. Εκτελούμε τον άρρεν-βέλτιστο αλγόριθμο με την πραγματική λίστα προτιμήσεων της γυναίκας Γ. Σημειώνουμε όλους τους άνδρες οι οποίοι της έκαναν πρόταση. Έστω ο άρρενβέλτιστος άνδρας για την Γ ο Α και Π(Α,Γ) η πραγματική λίστα προτιμήσεων Π(Γ) 2. Έστω ότι ο Α έκανε πρόταση στην Γ κατά το βήμα (1). Μεταφέροντας τον Α στην κορυφή της λίστας Π(Α,Γ), έχουμε την παρακεχαραγμένη λίστα Π(Α,Γ) όπου τώρα ο Α είναι ο άρρεν-βέλτιστος για την Γ. Ονομάζουμε τον Α δυνατό για την Γ. 3. Επαναλαμβάνουμε το βήμα (2) για κάθε άνδρα που έκανε πρόταση στην Γ κατά το βήμα (1). Μέτα την επανάληψη, λέμε ότι ο άνδρας Α, ο πραγματικός άρρεν-βέλτιστος δηλαδή, έχει εξαντληθεί. 4. Εάν ένας δυνατός άνδρας για την Γ, έστω ο Α, δεν έχει εξαντληθεί, τότε εκτελούμε πάλι τον αλγόριθμο του βήματος (1), αλλά με την λίστα Π(Α,Γ). Βρίσκουμε νέου δυνατούς άνδρες για την Γ, επαναλαμβάνουμε για κάθε έναν από αυτούς το βήμα (2) και ορίζουμε τον Α εξαντλημένο. 5. Επαναλαμβάνουμε το βήμα 4, μέχρις ότου όλοι οι δυνατοί άνδρες για την Γ έχουν εξαντληθεί. Έστω Ε το σύνολο όλων των εξαντλημένων (και άρα δυνατών) ανδρών για την Γ. 6. Μεταξύ των ανδρών στο Ε, έστω Α* ο προτιμότερος της Γ. Τότε η λίστα Π(Α*,Γ) είναι η βέλτιστη στρατηγική για την Γ. Η στρατηγική αυτή, δεν έχει εγγυημένα αποτελέσματα, όμως. Η επιρροή των γυναικών, ακόμα κι έτσι είναι περιορισμένη εκ των πραγμάτων. Ένα απλό παράδειγμα που το αποδεικνύει είναι η περίπτωση όπου έκαστος άνδρας επιθυμεί μία συγκεκριμένη γυναίκα την οποία δεν επιθυμεί κανείς άλλος. Τότε ο αλγόριθμος τερματίζει μετά την πρώτη εκτέλεση του βρόγχου και οι γυναίκες δεν έχουν καμία δυνατότητα να αλλάξουν το αποτέλεσμα. Συνεπώς, γεννάται το ερώτημα του κατά πόσον μπορεί να ωφεληθεί κανείς προσπαθώντας να εξαπατήσει, κατά πόσον αυτό είναι εύκολο και τελικά, συναρτήσει των δύο προηγουμένων ερωτήσεων, του κατά πόσον αξίζει κανείς να το επιχειρήσει. Η απάντηση στα ερωτήματα αυτά δεν είναι εύκολη. Οι Chung-Piaw Teo, Jay Sethuraman, και Wee-Peng Tan κλείνουν την ανάλυσή τους με την διαπίστωση ότι τελικά, δεν αξίζει τον κόπο να το επιχειρήσει κανείς. Από την άλλη, ο Chien- Chung Huang 5 σε μια σχετική εργασία του, κάνει μια πολύ εκτενέστερη ανάλυση. Μελετά τις περιπτώσεις όπου υποομάδες των ατόμων που δύνανται να ωφεληθούν με την εξαπάτηση, σχηματίζουν συμμαχίες και διακρίνει περιπτώσεις. Αποδεικνύει ότι σε κάθε συμμαχία, χρειάζεται να υπάρχουν άτομα τα οποία δεν έχουν τίποτα να κερδίσουν με την εξαπάτηση, αλλά τα οποία δρουν ως καταλύτες, βοηθώντας τους υπόλοιπους στην συμμαχία, αν θέλουν να επιτύχουν αισθητά αποτελέσματα. Το κακό με αυτό είναι ότι τα άτομα αυτά, είναι δύσκολο να βρεθούν, δεδομένης της ελλείψεως κινήτρου. Ακόμα, όταν σχηματίζονται συμμαχίες, υπάρχει τουλάχιστον ένα άτομο από την αρχική ομάδα, το οποίο θα βγει ριγμένο δεν γίνεται δηλαδή να βγουν όλοι κερδισμένοι μέσω μιας ομαδικής εργασίας. Αυτό δημιουργεί επιπλέον προβλήματα, γιατί κάποιοι που μπαίνουν στον πειρασμό να εξαπατήσουν, μπορεί να απέχουν τελικά, εξ αιτίας ηθικών διλημμάτων, εν τη γνώσει αυτή. Πάρα ταύτα, το πρόβλημα έλλειψης κινήτρου, μπορεί εν μέρει να ξεπεραστεί, εφαρμόζοντας μια τεχνική τυχαίας εξαπάτησης, όπου όλοι όσοι συμμετέχουν έχουν καλές πιθανότητες να πετύχουν ένα καλλίτερο αποτέλεσμα, με το ρίσκο όμως του να τους τύχει κάποιο χειρότερο. Τέλος, ο Chien-Chung Huang μελετά έναν ακόμα λόγο του να εξαπατήσει κανείς, πέραν του προαναφερθέντα για το μεγαλύτερο όφελος την περίπτωση όπου κάποιος κακοήθης, λέει ψέμματα, για να βλάψει κάποιον άλλον, άσχετα με το αποτέλεσμα που θα έχει αυτό στο δικό του άμεσο 4 Βλέπε Βιβλιογραφία, σημείωση 6. 5 Βλέπε Βιβλιογραφία, σημείωση 4 7 / 10

8 όφελος. Αποδεικνύει ότι είναι δυνατόν ένας άνδρας να βλάψει κάποιον άλλον, κάνοντας πρόταση όχι στην γυναίκα που τον ενδιαφέρει άμεσα, αλλά σε αυτήν που ενδιαφέρει το θύμα, και μάλιστα υπάρχει τρόπος να το κάνει αυτό, χωρίς να αλλάξει το δικό του τελικό αποτέλεσμα, δηλαδή χωρίς να βλάψει το δικό του άμεσο όφελος. Το ότι μπορεί να το κάνει κάποιος αυτό χωρίς προσωπική ζημία σημαίνει αμέσως ότι είναι και πολύ πιθανόν να γίνει στην πράξη, οπότε το να είναι κανείς τίμιος είναι τελικά κακή στρατηγική. Αν και τα συμπεράσματα των Chung-Piaw Teo, Jay Sethuraman, και Wee-Peng Tan φαίνεται να έρχονται σε αντίθεση με αυτά του Chien-Chung Huang σε πρώτη φάση, μπορεί κανείς να πει ότι τελικώς από μίαν άποψη συμφωνούν. Δεδομένου του πόσο δύσκολο είναι κανείς να κλέψει, αν και αυτό μπορεί να αποδώσει σημαντικά υπό ορισμένες συνθήκες, ακόμα και να προστατέψει, είναι μάλλον ασύμφορο από άποψη οικονομίας χρόνου και ενέργειας. Εφαρμογές του αλγόριθμου στον πραγματικό κόσμο Ίσως με όλες αυτές τις υποθέσεις και τις εξιδανικεύσεις που έχουν γίνει στην ανάλυση του αλγορίθμου Gale-Shapley, να αναρωτάται κανείς κατά πόσον είναι αυτός εφαρμόσιμος σε αληθινά περιστατικά. Αν και δεν υπάρχουν αναφορές για την αξιοποίησή του στην επίλυση του αρχικού προβλήματος επιλογής υποψηφίων από πανεπιστήμια, παρόλο που υπάρχουν εργασίες που ισχυρίζονται ότι κάτι τέτοιο θα μπορούσε να αποδώσει σε χώρες με συστήματα εισαγωγής όπως της Ελλάδος και της Σιγκαπούρης, έχει βρει εφαρμογή σε ένα παρεμφερές πρόβλημα, την ανάθεση κλινικής σε φοιτητές ιατρικής στις ΗΠΑ. Όταν ένας φοιτητής ιατρικής αποφοιτήσει και έρθει η ώρα να κάνει την ειδίκευσή του, επισκέπτεται έναν αριθμό από κλινικές ανά την χώρα, δίδοντας συνεντεύξεις. Μετά το πέρας της περιοδείας αυτής, στέλνει μια λίστα στον εθνικό οργανισμό υγείας, με τις κλινικές κατά σειρά προτίμησης και το ίδιο κάνουν και οι κλινικές για τους φοιτητές αντίστοιχα. Εκεί, οι λίστες επεξεργάζονται από υπολογιστές και με την εφαρμογή του αλγορίθμου Gale-Shapley βγάζουν της αναθέσεις με προτεραιότητα την σταθερότητα των αποτελεσμάτων. Αν και αυτό ακούγεται καλό αρχικά, έχουν σημειωθεί σημαντικές αντιθέσεις στην πρακτική αυτή από τους φοιτητές και αυτό οφείλεται όπως θα περίμενε κανείς στην μεροληψία του αλγορίθμου. Αν και στην αρχή του κειμένου, ισχυριστήκαμε ότι τα πανεπιστήμια υπάρχουν για τους φοιτητές, δεν συμβαίνει το ίδιο και με τις κλινικές τον προνομιακό ρόλο των ανδρών αναλαμβάνουν εδώ οι κλινικές, με αποτέλεσμα οι φοιτητές να αισθάνονται ριγμένοι. Βάσει τούτου, έχουν γίνει αρκετές εκλύσεις για την εύρεση ενός παραλλαγμένου αλγορίθμου, ο οποίος να υποδεικνύει αμεροληψία, η αλλιώς να είναι συμμετρικός ως προς τα αποτελέσματα στην εναλλαγή ανδρών-γυναικών. Παρ' όλες τις προσπάθειες, κάτι τέτοιο δεν έχει βρεθεί και το πρόβλημα παραμένει μέχρι σήμερα. Μια άλλη πιο σύγχρονη εφαρμογή που μπορεί να βρει ο αλγόριθμος αυτός είναι στην μοντελοποίηση των εμπορικών δικτύων και τα οικονομικά που βασίζονται σε πράκτορες. Στα παίγνια εμπορικών δικτύων (TNG), ο κάθε παίκτης μπορεί να διαλέξει τους συνεργάτες με τους οποίους θα συνδιαλλαγεί, όπως και την στρατηγική που θα εφαρμόσει στην σχέση του με καθέναν από αυτούς, κάτι που θυμίζει την παραλλαγή που εξετάστηκε στην υπόθεση της εξαπάτησης. Έχουν εξεταστεί δύο διαφορετικά μοντέλα αγοράς, ένα στο οποίο υπάρχουν μόνο καθαροί αγοραστές και πωλητές και ένα στο οποίο υπάρχουν επίσης αμιγώς αγοραστές/πωλητές 6. Ο αλγόριθμος που έχει χρησιμοποιηθεί στην μελέτη αυτή είναι της καθυστερημένης επιλογής και άρνησης (DCR), μια παραλλαγή του Gale-Shapley που έχει αναπτυχθεί συγκεκριμένα για να χειρίζεται διπλής φοράς, ενδογενείς και μερικώς ρευστές δομές αγοράς, όπου ο κάθε αγοραστής και ο κάθε πωλητής έχουν αυθαίρετα νούμερα προσφορών που μπορούν να κάνουν. Τα αποτελέσματα του DCR έχει αποδειχθεί ότι έχουν τις ιδιότητες της σταθερότητας και της Pareto βελτιστοποίησης που έχουν και αυτά του Gale-Shapley 7. 6 Βλέπε Βιβλιογραφία, σημείωση 5 7 Tesfatsion, L. (1997a). A Trade Network Game with Endogenous Partner Selection," in Computational Approaches to Economic Problems (H. Amman, B. Rustem, A. B. Whinston, Eds.) 8 / 10

9 Τα συμπεράσματα από την μελέτη υποδηλώνουν την ύπαρξη πολλαπλών ισορροπιών Nash στα παίγνια όπου συμμετάσχουν οι συμβαλλόμενοι σε τέτοια μοντέλα αγοράς και δίνουν μια κατεύθυνση για περαιτέρω μελέτη. Ακόμα, φαίνεται ότι τα κριτήρια που χρησιμοποιούνται για την αξιολόγηση των αναθέσεων που σχηματίζονται ανάμεσα στους συμβαλλόμενους, δηλαδή η σταθερότητα και η Pareto 8 βελτιστοποίηση δεν είναι επαρκή, καθώς έχουν σχεδιαστεί για στατικές αγορές. Αυτό σημαίνει ότι η αξιολόγηση της απόδοσης του DCR πρέπει να γίνει στα πλαίσια μιας δυναμικής αγοράς, αν θέλουμε να πλησιάσουμε περισσότερο την συμπεριφορά των πραγματικών αγορών. Σύνοψη Στις δεκαετίες που έχουν περάσει από την δημοσίευση του αλγορίθμου Gale-Shapley για την επίλυση του προβλήματος σταθερού γάμου, έχουν γίνει πολλές κατοπινές μελέτες και έχουν εφευρεθεί αρκετές παραλλαγές, κατάλληλες η κάθε μία για διαφορετικά αλλά παρόμοια προβλήματα. Αυτή η ευπλαστία που τον χαρακτηρίζει, σε συνδυασμό με την απλότητα που τον διέπει είναι που του δίνουν μια διαχρονική αξία και που έχουν συμβάλει τόσο στην διάδοσή του και την εφαρμογή του σε τόσο διαφορετικούς τομείς. Οι ίδιοι οι συγγραφείς στο τέλος της δημοσίευσης καταπιάνονται με το θέμα του τι είναι τελικώς τα μαθηματικά, τι είναι αυτό που τα κάνει να ξεχωρίζουν τόσο από τις άλλες επιστήμες, βασισμένοι στο γεγονός ότι το άρθρο τους είναι σαφώς μαθηματικού χαρακτήρα, αν και δεν περιέχει ούτε έναν μαθηματικό τύπο. Διατείνονται ότι αυτό που κάνει τα μαθηματικά αυτό που είναι, είναι στην ουσία η ίδια η προσπάθεια που πρέπει να καταβάλει κανείς για να συλλάβει και να κατανοήσει τις σχέσεις μεταξύ των εννοιών που παρουσιάζονται μέσα από αυτά. Έτσι, ισχυρίζονται ότι το συγκεκριμένο άρθρο μπορεί να χρησιμεύσει ακόμα και σε εκπαιδευτικούς σκοπούς, ως παράδειγμα για την φύση των μαθηματικών, μία ακόμα ξεχωριστή χρήση δηλαδή, ανάμεσα στις τόσες που έχει βρει. 8 Vilfredo Pareto (γεννηθείς 1848), Ιταλός κοινωνιολόγος, οικονομολόγος και φιλόσοφος. 9 / 10

10 Βιβλιογραφία 1. D. Gale, and L. S. Shapley: "College Admissions and the Stability of Marriage", American Mathematical Monthly 69, 9-14, Wikipedia: 3. Harry Mairson : "The Stable Marriage Problem", The Brandeis Review 12, Chien-Chung Huang: How Hard is it to Cheat in the Gale-Shapley Stable Matching Algorithm?, Technical Report TR , Department of Computer Science, Dartmouth College 5. Leigh Tesfatsion: Gale-Shapley Matching in an Evolutionary Trade Network Game, ISU Economic Report No. 43, Chung-Piaw Teo, Jay Sethuraman, and Wee-Peng Tan: Gale-Shapley Stable Marriage Problem Revisited: Strategic Issues and Applications, Department of Decision Sciences, Faculty of Business Administration, National University of Singapore, and Operations Research Center, MIT, / 10

Ευσταθές ταίριασμα. (υλικό βασισμένο στο βιβλίο. Slides by Kevin Wayne. Copyright 2005 Pearson-Addison Wesley. All rights reserved.

Ευσταθές ταίριασμα. (υλικό βασισμένο στο βιβλίο. Slides by Kevin Wayne. Copyright 2005 Pearson-Addison Wesley. All rights reserved. Ευσταθές ταίριασμα (υλικό βασισμένο στο βιβλίο των Kleinberg Tardos) Slides by Kevin Wayne. Copyright 2005 Pearson-Addison Wesley. All rights reserved. 1 Ανάθεση Ειδικευόμενων Ιατρών σε Νοσοκομεία Πρόβλημα.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 4η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Ευσταθές Ταίριασμα Πρόβλημα Ευσταθούς Ταιριάσματος

Διαβάστε περισσότερα

Stable Matching. Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας

Stable Matching. Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας Stable Matching Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr 1 Ιστορία... Το 1962 οι Gale και Shapley δύο οικονομολόγοι μαθηματικοί (mathematical economists) έθεσαν το ερώτημα: Μπορούμε να σχεδιάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Τρίτη 15 Ιανουαρίου 2008 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (13:00-16:00) ΘΕΜΑ 1 ο (2,5

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Ένα πρώτο πρόβληµα: Ευσταθές Ταίριασµα

1.1 Ένα πρώτο πρόβληµα: Ευσταθές Ταίριασµα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή: Κάποια Αντιπροσωπευτικά Προβλήµατα Βασισµένο στις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Copyright 2005 Pearson-Addison Wesley. All rights reserved. 1 1.1 Ένα πρώτο πρόβληµα: Ευσταθές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΟΛΕΣ. 7.1 Εισαγωγικό μέρος με επεξήγηση των Εντολών : Επεξήγηση των εντολών που θα

ΕΝΤΟΛΕΣ. 7.1 Εισαγωγικό μέρος με επεξήγηση των Εντολών : Επεξήγηση των εντολών που θα 7.1 Εισαγωγικό μέρος με επεξήγηση των Εντολών : Επεξήγηση των εντολών που θα ΕΝΤΟΛΕΣ χρησιμοποιηθούν παρακάτω στα παραδείγματα Βάζοντας την εντολή αυτή σε οποιοδήποτε χαρακτήρα μπορούμε να αλλάζουμε όψεις

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Δοµών Δεδοµένων

Βασικές Έννοιες Δοµών Δεδοµένων Δοµές Δεδοµένων Δοµές Δεδοµένων Στην ενότητα αυτή θα γνωρίσουµε ορισµένες Δοµές Δεδοµένων και θα τις χρησιµοποιήσουµε για την αποδοτική επίλυση του προβλήµατος του ευσταθούς ταιριάσµατος Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης

Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Η οπισθοδρόµηση στο σχεδιασµό αλγορίθµων Το πρόβληµα των σταθερών γάµων και ο αλγόριθµος των Gale-Shapley Το πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 4η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 4η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 4η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΟΛΕΣ. 7.1 Εισαγωγικό μέρος με επεξήγηση των Εντολών : Επεξήγηση των εντολών που θα

ΕΝΤΟΛΕΣ. 7.1 Εισαγωγικό μέρος με επεξήγηση των Εντολών : Επεξήγηση των εντολών που θα 7.1 Εισαγωγικό μέρος με επεξήγηση των Εντολών : Επεξήγηση των εντολών που θα ΕΝΤΟΛΕΣ χρησιμοποιηθούν παρακάτω στα παραδείγματα Βάζοντας την εντολή αυτή σε οποιοδήποτε αντικείμενο μπορούμε να αλλάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3 Αλγόριθμοι Επιλογής Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Αλγόριθμοι Επιλογής Γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 4

Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 4 Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 4 Μανόλης Κουμπαράκης Δομές Δεδομένων και Τεχνικές 1 Μέθοδοι Ταξινόμησης Βασισμένοι σε Συγκρίσεις Κλειδιών Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης που είδαμε μέχρι τώρα αποφασίζουν πώς να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία

Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία Κεφάλαιο 4 Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία κατά Nash είναι: (α) ένα διάνυσµα από στρατηγικές, έτσι ώστε δεδοµένων των υπολοίπων στρατηγικών, ο παίκτης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται δύο κριτήρια απόρριψης απομακρυσμένων από τη μέση τιμή πειραματικών μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους και συγκεκριμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΠΩΛΗΣΗ

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΠΩΛΗΣΗ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΠΩΛΗΣΗ Καταρχάς, βασική προϋπόθεση για το κλείσιμο μιας συνάντησης είναι να έχουμε εξακριβώσει και πιστοποιήσει ότι μιλάμε με τον υπεύθυνο που λαμβάνει μια απόφαση συνεργασίας ή επηρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Dr. Anthony Montgomery Επίκουρος Καθηγητής Εκπαιδευτικής & Κοινωνικής Πολιτικής antmont@uom.gr Ποιός είναι ο σκοπός του μαθήματος μας? Στο τέλος του σημερινού μαθήματος,

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G,k η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική η οποία παράγει κάποια λέξη 1 n όπου n k } (β) { Μ,k η Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ψευδοκώδικας. November 7, 2011

Ψευδοκώδικας. November 7, 2011 Ψευδοκώδικας November 7, 2011 Οι γλώσσες τύπου ψευδοκώδικα είναι ένας τρόπος περιγραφής αλγορίθμων. Δεν υπάρχει κανένας τυπικός ορισμός της έννοιας του ψευδοκώδικα όμως είναι κοινός τόπος ότι οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας

Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Dr. Anthony Montgomery Επίκουρος Καθηγητής Εκπαιδευτικής & Κοινωνικής Πολιτικής antmont@uom.gr Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Αυτό το μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ Kεφάλαιο 11 Θα επαναλάβουµε αυτά που είχαµε πει την προηγούµενη φορά. Παραστατικά αν έχουµε το εξής παίγνιο όπου οι δύο παίχτες παίρνουν ταυτόχρονα τις αποφάσεις τους αφού αποφασίσει ο Ι, θα δούµε πόσα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές

Διαβάστε περισσότερα

Μάριος Αγγελίδης

Μάριος Αγγελίδης ΠΙΝΑΚΕΣ Ενότητες βιβλίου: 3.3, 9.1-9.3 Ώρες διδασκαλίας: 1 Σε όλα τα προβλήματα μέχρι τώρα διαβάζαμε μία τιμή την φορά, την επεξεργαζόμασταν και χωρίς να την αποθηκεύουμε επαναλαμβάναμε την διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 3 (θεωρία παιγνίων) Οι δύο μεγαλύτερες τράπεζες μιας χώρας, Α και Β, εκτιμούν ότι μια άλλη τράπεζα, η Γ, θα κλείσει στο προσεχές διάστημα και πρόκειται να προχωρήσουν σε διαφημιστικές εκστρατείες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 9: Απείρως επαναλαμβανόμενα παίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 8: Πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα παίγνια Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

6.5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΟΥΣ ΚΑΤ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ

6.5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΟΥΣ ΚΑΤ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 6.5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΟΥΣ ΚΑΤ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 6.5.1. Οι γνώσεις υποψηφίων δασκάλων για την υπολογιστική εκτίμηση Σε μια έρευνα των Lemonidis

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΟΜΗΜΕΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΟΜΗΜΕΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΟΜΗΜΕΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ Τρίτη Διάλεξη Εντολές Επιλογής και Επανάληψης Εντολές επιλογής Εντολή if Η πιο απλή μορφή της if συντάσσεται ως εξής: if ( συνθήκη ) Οι εντολές μέσα στα άγκιστρα αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δηλώσεις Εργαστηρίων

Δηλώσεις Εργαστηρίων Δηλώσεις Εργαστηρίων Η δήλωση των εργαστηρίων γίνεται με ηλεκτρονικό τρόπο μέσω διαδικτύου στη διεύθυνση: http://hydra.it.teithe.gr/diloseis/ Συνιστάται να ελέγξετε τη σελίδα των βαθμολογιών που βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

3. Παίγνια Αλληλουχίας

3. Παίγνια Αλληλουχίας 3. Παίγνια Αλληλουχίας Τα παίγνια αλληλουχίας πραγµατεύονται περιπτώσεις όπου οι κινήσεις των παικτών διαδέχονται η µια την άλλη, σε αντίθεση µε τα παίγνια όπου οι αποφάσεις των παικτών γίνονται ταυτόχρονα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 11: Σχεδίαση μηχανισμών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι 1 Έννοια Ανεπίσημα, ένας αλγόριθμος είναι μια βήμα προς βήμα μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος ή την διεκπεραίωση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2015-2016 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο Β Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης ΜΑΘΗΜΑ :

Διαβάστε περισσότερα

Έστω η συνάρτηση ορισμένη σε μια σ-άλγεβρα με πεδίο τιμών το, δηλαδή

Έστω η συνάρτηση ορισμένη σε μια σ-άλγεβρα με πεδίο τιμών το, δηλαδή Τι εννοούμε με τον όρο «πιθανότητα»? Ο όρος πιθανότητα έχει δυο διαφορετικές πλην όμως σχετιζόμενες ερμηνείες. Η πρώτη είναι η καθαρά μαθηματική ερμηνεία του όρου πιθανότητα σύμφωνα με την οποία η πιθανότητα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης

Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμόζονται σε προβλήματα στα οποία δεν υπάρχει πληροφορία που να επιτρέπει την αξιολόγηση των καταστάσεων του χώρου αναζήτησης.

Εφαρμόζονται σε προβλήματα στα οποία δεν υπάρχει πληροφορία που να επιτρέπει την αξιολόγηση των καταστάσεων του χώρου αναζήτησης. Ανάλογα με το αν ένας αλγόριθμος αναζήτησης χρησιμοποιεί πληροφορία σχετική με το πρόβλημα για να επιλέξει την επόμενη κατάσταση στην οποία θα μεταβεί, οι αλγόριθμοι αναζήτησης χωρίζονται σε μεγάλες κατηγορίες,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ένας πίνακας με όνομα Α δέκα θέσεων : 1 η 2 η 3 η 4 η 5 η 6 η 7 η 8 η 9 η 10 η

Έστω ένας πίνακας με όνομα Α δέκα θέσεων : 1 η 2 η 3 η 4 η 5 η 6 η 7 η 8 η 9 η 10 η Μονοδιάστατοι Πίνακες Τι είναι ο πίνακας γενικά : Πίνακας είναι μια Στατική Δομή Δεδομένων. Δηλαδή συνεχόμενες θέσεις μνήμης, όπου το πλήθος των θέσεων είναι συγκεκριμένο. Στις θέσεις αυτές καταχωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι. Μάρθα Σιδέρη. epl333 lect

Αλγόριθμοι. Μάρθα Σιδέρη. epl333 lect Αλγόριθμοι Μάρθα Σιδέρη epl333 lect1 2011 1 1 Τι είναι αλγόριθμος?? ιαδικασία για να λύνουμε υπολογιστικά προβλήματα. Βήμα βήμα σαφής διαδικασία επίλυσης προβλήματος (μετασχηματισμού της εισόδου στην επιθυμητή

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων

Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον Θεωρία Παιγνίων Αβεβαιότητα παρουσία άλλου πράκτορα Μια άλλη πηγή αβεβαιότητας είναι η παρουσία άλλου πράκτορα στο περιβάλλον, ακόμα κι όταν ένας πράκτορας είναι

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 12: Αντιστοιχίσεις και καλύμματα Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Λύσεις 1ης σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 22 Απριλίου 2015 Πρόβλημα 1.

Διαβάστε περισσότερα

Το κείμενο που ακολουθεί αποτελεί επεξεργασία του πρωτότυπου κειμένου του Α. Κάστωρ για την επίλυση των παραδειγμάτων κρίσιμης αλυσίδας που

Το κείμενο που ακολουθεί αποτελεί επεξεργασία του πρωτότυπου κειμένου του Α. Κάστωρ για την επίλυση των παραδειγμάτων κρίσιμης αλυσίδας που Το κείμενο που ακολουθεί αποτελεί επεξεργασία του πρωτότυπου κειμένου του Α. Κάστωρ για την επίλυση των παραδειγμάτων κρίσιμης αλυσίδας που παρουσιάστηκαν στις 19/11/2015 και 3/12/2015 στις διαλέξεις του

Διαβάστε περισσότερα

Α Ν Α Λ Τ Η Α Λ Γ Ο Ρ Ι Θ Μ Ω Ν Κ Ε Υ Α Λ Α Ι Ο 5. Πως υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου;

Α Ν Α Λ Τ Η Α Λ Γ Ο Ρ Ι Θ Μ Ω Ν Κ Ε Υ Α Λ Α Ι Ο 5. Πως υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου; 5.1 Επίδοση αλγορίθμων Μέχρι τώρα έχουμε γνωρίσει διάφορους αλγόριθμους (αναζήτησης, ταξινόμησης, κ.α.). Στο σημείο αυτό θα παρουσιάσουμε ένα τρόπο εκτίμησης της επίδοσης (performance) η της αποδοτικότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Επεξήγηση των εντολών που θα ΕΝΤΟΛΕΣ χρησιμοποιηθούν παρακάτω στα παραδείγματα < ενδυμασία1>

Επεξήγηση των εντολών που θα ΕΝΤΟΛΕΣ χρησιμοποιηθούν παρακάτω στα παραδείγματα < ενδυμασία1> ΕΝΤΟΛΕΣ Επεξήγηση των εντολών που θα χρησιμοποιηθούν παρακάτω στα παραδείγματα Βάζοντας την εντολή αυτή σε οποιοδήποτε χαρακτήρα μπορούμε να αλλάζουμε όψεις (δλδ ενδυμασία). Η εντολή αυτή κάνει ό,τι και

Διαβάστε περισσότερα

Εισ. Στην ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ. Διάλεξη 7 η. Βασίλης Στεφανής

Εισ. Στην ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ. Διάλεξη 7 η. Βασίλης Στεφανής Εισ. Στην ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Διάλεξη 7 η Βασίλης Στεφανής Αλγόριθμοι ταξινόμησης Στην προηγούμενη διάλεξη είδαμε: Binary search Λειτουργεί μόνο σε ταξινομημένους πίνακες Πώς τους ταξινομούμε? Πολλοί τρόποι. Ενδεικτικά:

Διαβάστε περισσότερα

Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0

Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ιδάσκων: Ε. Πετράκης. Επαναληπτική Εξέταση: 15/09/99 Απαντήστε στα τρία από τα τέσσερα θέµατα. Όλα τα υποερωτήµατα βαθµολογούνται το ίδιο. 1. Θεωρήσατε ένα ολιγοπωλιακό κλάδο όπου τρεις

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 3 Θεωρία Σφαλμάτων Σκοπός

ΑΣΚΗΣΗ 3 Θεωρία Σφαλμάτων Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 3 Θεωρία Σφαλμάτων Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να παρουσιάζει τα αποτελέσματα πειραματικών μετρήσεων σε μορφή. Τις περισσότερες φορές στις ασκήσεις του εργαστηρίου,

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 0 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Ανάγκη θεωρίας επιλογής υπό αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 12 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α Μία εταιρεία παροχής ολοκληρωμένων ευρυζωνικών υπηρεσιών μελετά την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2,5 μονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις Πέμπτη 21 Ιουνίου 2012 16:30-19:30 Υποθέστε ότι θέλουμε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης 6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Κυκλώματα Δύο Ακροδεκτών Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Εισαγωγή Τα ηλεκτρικά κυκλώματα ταξινομούνται σε διάφορες κατηγορίες,

Διαβάστε περισσότερα

5. Απλή Ταξινόμηση. ομές εδομένων. Χρήστος ουλκερίδης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

5. Απλή Ταξινόμηση. ομές εδομένων. Χρήστος ουλκερίδης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 5. Απλή Ταξινόμηση 2 ομές εδομένων 4 5 Χρήστος ουλκερίδης Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 11/11/2016 Εισαγωγή Η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Μονοδιάστατοι πίνακες Πότε πρέπει να χρησιμοποιούνται πίνακες Πολυδιάστατοι πίνακες Τυπικές επεξεργασίες πινάκων

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Μονοδιάστατοι πίνακες Πότε πρέπει να χρησιμοποιούνται πίνακες Πολυδιάστατοι πίνακες Τυπικές επεξεργασίες πινάκων ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μονοδιάστατοι πίνακες Πότε πρέπει να χρησιμοποιούνται πίνακες Πολυδιάστατοι πίνακες Τυπικές επεξεργασίες πινάκων Εισαγωγή Η χρήση των μεταβλητών με δείκτες στην άλγεβρα είναι ένας ιδιαίτερα

Διαβάστε περισσότερα

Γραφείο Προέδρου Αθήνα, 27 Φεβρουαρίου 2010 ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

Γραφείο Προέδρου Αθήνα, 27 Φεβρουαρίου 2010 ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡAΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Μητροπόλεως 12 14 Τ.Κ. 10563 Αθήνα, Τηλ. 5202250 / 5202260 / 5202270 TELEFAX. 5227300 Γραφείο Προέδρου Αθήνα, 27 Φεβρουαρίου 2010 ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Περισσότεροι

Διαβάστε περισσότερα

Ελαφρύτερος και βαρύτερος Αλγόριθμοι ταξινόμησης

Ελαφρύτερος και βαρύτερος Αλγόριθμοι ταξινόμησης 7η Δραστηριότητα Ελαφρύτερος και βαρύτερος Αλγόριθμοι ταξινόμησης Περίληψη Οι υπολογιστές χρησιμοποιούνται συχνά για την ταξινόμηση καταλόγων, όπως για παράδειγμα, ονόματα σε αλφαβητική σειρά, ραντεβού

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός Ψηφιακών Εκπαιδευτικών Εφαρμογών ΙI

Σχεδιασμός Ψηφιακών Εκπαιδευτικών Εφαρμογών ΙI Σχεδιασμός Ψηφιακών Εκπαιδευτικών Εφαρμογών ΙI Εργασία 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑΣ: Τσελίγκα Αρετή, 1312009161, Στ εξάμηνο, κατεύθυνση: Εκπαιδευτική Τεχνολογία και Διαπολιτισμική Επικοινωνία Το γνωστικό αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 5.1 Εισαγωγή στους αλγορίθμους 5.1.1 Εισαγωγή και ορισμοί Αλγόριθμος (algorithm) είναι ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών οι οποίες εκτελούν κάποιο ιδιαίτερο έργο. Κάθε αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα Α Α3.1 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙΔΕΣ

Θέμα Α Α3.1 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 9 ΣΕΛΙΔΕΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2012-2013 Επιμέλεια: Ομάδα Διαγωνισμάτων από το Στέκι των Πληροφορικών Θέμα Α Α1 Α2 1. Μέχρι το 1976

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

L A P. w L A f(w) L B (10.1) u := f(w)

L A P. w L A f(w) L B (10.1) u := f(w) Κεφάλαιο 10 NP -πληρότητα Σύνοψη Οι γλώσσες στην κλάση πολυπλοκότητας P μπορούν να αποφασίζονται σε πολωνυμικό χρόνο. Οι επιστήμονες πιστεύουν, αν και δε μπορούν να το αποδείξουν ότι η P είναι ένα γνήσιο

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { ww w {a,b}* }. (β) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ 2005

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ 2005 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ 2005 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. 1. Να αναφέρετε ονοµαστικά τα κριτήρια που πρέπει απαραίτητα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 8η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 8η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 8η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άπληστοι Αλγόριθμοι Χρονοπρογραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ανάλυση Αλγορίθμων Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ανάλυση Αλγορίθμων Η ανάλυση αλγορίθμων περιλαμβάνει τη διερεύνηση του τρόπου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ερωτήσεων. Βάσεις Δεδομένων Ευαγγελία Πιτουρά 1

Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ερωτήσεων. Βάσεις Δεδομένων Ευαγγελία Πιτουρά 1 Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ερωτήσεων Βάσεις Δεδομένων 2013-2014 Ευαγγελία Πιτουρά 1 Επεξεργασία Ερωτήσεων Θα δούμε την «πορεία» μιας SQL ερώτησης (πως εκτελείται) Ερώτηση SQL Ερώτηση ΣΒΔ Αποτέλεσμα Βάσεις

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΠΟΡΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΠΕΛΑΤΕΣ ΔΕΠΑ

ΕΜΠΟΡΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΠΕΛΑΤΕΣ ΔΕΠΑ FAQ για τη 7 η Δημοπρασία της ΔΕΠΑ για τους μήνες Απρίλιο - Μάιο - Ιούνιο 2014 ΕΜΠΟΡΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΠΕΛΑΤΕΣ ΔΕΠΑ 1. Τι γίνεται αν δεν εξασφαλίσω ποσότητα ;... 2 2. Όροι παραλαβής ΦΑ μέσω της Δημοπρασίας...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα