Επισκόπηση του Αλγορίθμου Gale-Shapley για το πρόβλημα σταθερού γάμου 1 / 10

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Επισκόπηση του Αλγορίθμου Gale-Shapley για το πρόβλημα σταθερού γάμου 1 / 10"

Transcript

1 1 / 10

2 Λ3 - Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ι Διδάσκων: Η. Κουτσουπιάς Καραγεώργος Βασίλειος Επισκόπηση του Αλγορίθμου Gale-Shapley για το πρόβλημα σταθερού γάμου

3 Εισαγωγή Το 1962, οι David Gale και Lloyd Shapley, από το πανεπιστήμιο Brown, δημοσίευσαν μια πραγματεία για την επίλυση του προβλήματος επιλογής υποψήφιων φοιτητών από ένα πανεπιστήμιο. Στην πορεία της πραγματείας, ανάγουν το πρόβλημα αυτό στο ευκολότερο πρόβλημα εύρεσης σταθερού γάμου, δείχνοντας ότι αυτό είναι μία ειδική περίπτωση του αρχικού προβλήματος. Επίσης παρουσιάζονται και μερικά ακόμα προβλήματα-παραδείγματα, όπως αυτό τις επιλογής συγκατοίκου, τα οποία όμως αν και ομοιάζουν αρκετά στο αρχικό, τελικά δεν είναι συμβατά. Άμα την επίλυση του προβλήματος σταθερού γάμου, η γενίκευση του αλγορίθμου που οδηγεί στην επίλυση του αρχικού προβλήματος γίνεται εμφανής. Τελικώς, η γενικευμένη λύση, στην ουσία αποτελεί έναν αλγόριθμο ανάθεσης, που δημιουργεί ζεύγη μεταξύ δύο συνόλων μη ομότιμων αντικειμένων, με βέλτιστο τρόπο. Πιο συγκεκριμένα, το αρχικό πρόβλημα επιλογής υποψηφίων έχει ως εξής: Έστωσαν κάποια πανεπιστήμια και μια ομάδα από υποψήφιους φοιτητές, n τω πλήθει. Έκαστο πανεπιστήμιο θέλει εκ των n φοιτητών, να επιλέξει μόνο ένα μέρος q. Προφανώς, η επιλογή των q καλλιτέρων εκ των υποψηφίων δεν επαρκεί, καθότι είναι πιθανόν κάποιοι εξ αυτών να αρνηθούν. Το γε νυν έχον, το πανεπιστήμιο θα πρέπει εν γένει να επιλέξει περισσότερους των q, χωρίς να είναι καταφανές πόσοι και ποιοι πρέπει να είναι αυτοί. Αυτό συμβαίνει διότι δεν είναι εν γένει γνωστόν εάν έκαστος υποψήφιος έχει κάνει και σε άλλο πανεπιστήμιο αίτηση, με ποια σειρά προτίμησης έχει κατατάξει τα πανεπιστήμια και εάν κάποιο άλλο πανεπιστήμιο θα τον ζητήσει. Πέραν των προβλημάτων που παρουσιάζονται στην εν λόγω διαδικασία για το πανεπιστήμιο, προβλήματα παρουσιάζονται και για τον ίδιο τον υποψήφιο, καθώς εάν κατά την αίτηση του ζητηθεί εξ ενός των πανεπιστημίων να πει σε ποια άλλα έχει κάνει επίσης αίτηση και με ποια σειρά προτίμησης, τότε για προφανείς λόγους μπορεί να μειωθούν οι πιθανότητές του να γίνει δεκτός από αυτό. Επίσης, εάν ψευδομαρτυρήσει για να ξεπεράσει το πρόβλημα αυτό, τίθεται το θέμα του κατά πόσον κάτι τέτοιο είναι ηθικό, όπως γίνεται και στην περίπτωση όπου δέχεται για εξασφάλιση να εγγραφεί αρχικώς σε ένα πανεπιστήμιο που δεν είναι το προτιμητέο και ύστερα το απορρίπτει χάριν ενός άλλου που είναι προτιμότερο και που τον εδέχθη επίσης. Ορισμός του προβλήματος Ας ορίσουμε τώρα αυστηρότερα τις παραμέτρους του προβλήματος επιλογής. Έστωσαν ένα σύνολο Υ με n υποψήφιους, ένα σύνολο Π με m πανεπιστήμια και μια πεπερασμένη ακολουθία (qi), της οποίας το i-οστό στοιχείο είναι το πλήθος των φοιτητών που θέλει να δεχθεί το i-οστό πανεπιστήμιο. Έκαστος υποψήφιος ταξινομεί τα πανεπιστήμια με σειρά προτίμησης, συμπεριλαμβανομένων και αυτών που δεν τον ενδιαφέρουν. Ομοίως, έκαστο πανεπιστήμιο ταξινομεί τους υποψήφιους με σειρά προτίμησης, συμπεριλαμβανομένων ακόμα και αυτών που δεν θα δεχόταν υπό ουδεμία περίσταση. Σκοπός είναι να βρεθεί ένας μερικός ομομορφισμός f:υ Υ Π, όπου ο f εξαρτάται από τις προαναφερθείσες ταξινομήσεις και από κάποια κριτήρια μεροληψίας, τα οποία πρόκειται να συμφωνηθούν παρακάτω, τέτοιος ώστε η ανάθεση των στοιχείων του Y στο Π να είναι σταθερή. Σταθερή, θα ονομάζεται οποιαδήποτε ανάθεση του Y στο Π, για την οποία δεν υπάρχουν δύο στοιχεία του Υ Π, (υ1,π1) και (υ2,π2), τέτοια που ο υ1 και το π2 συμφωνούν στο ότι θα προτιμούσαν την ανάθεση (υ1,π2). Κατά συνέπεια, ασταθής, θα ονομάζεται οποιαδήποτε ανάθεση για την οποία υπάρχουν τουλάχιστον δύο τέτοια ζεύγη και αυτό διότι είναι δυνατόν ο εν λόγω υποψήφιος να ζητήσει αίτηση μετεγγραφής στο εν λόγω πανεπιστήμιο, το οποίο θα τον δεχθεί, διαταράσσοντας έτσι την ισορροπία της ανάθεσης προς το αμοιβαίο όφελός των. Όσον για τα κριτήρια μεροληψίας, δεδομένου του ότι τα πανεπιστήμια υπάρχουν για τους φοιτητές και όχι το ανάστροφο, στην περίπτωση που δύο πανεπιστήμια και δύο υποψήφιοι δεν συμφωνούν μεταξύ τους για την ανάθεση, προτεραιότητα δίδεται στους υποψήφιους. 3 / 10

4 Έχοντας ορίσει το πρόβλημα και τον σκοπό, αναρωτάται κανείς αν το πρόβλημα δύναται πάντα να επιλυθεί. Αυτό ισοδυναμεί με την ερώτηση του αν υπάρχει πάντα μια σταθερή ανάθεση για κάθε δυνατό πρόβλημα. Όπως θα φανεί παρακάτω, η ύπαρξη λύσης είναι πάντα εξασφαλισμένη. Το γε νυν έχον, ορίζουμε ως κάλλιστη λύση την σταθερή εκείνη ανάθεση, για την οποία δεν υπάρχει άλλη σταθερή ανάθεση υπό την οποία κάποιος υποψήφιος θα ήταν πιο ευχαριστημένος από την πρώτη. Η ύπαρξη κάλλιστης λύσης δεν είναι προφανής, αλλά είναι προφανής η μοναδικότητά της, εάν αυτή υπάρχει. Αυτό φαίνεται αμέσως υποθέτοντας ότι υπάρχουν δύο κάλλιστες λύσεις, καθώς οδηγούμαστε σε ατόπημα από τον ορισμό και την υπόθεση μεροληψίας. Το πρόβλημα του σταθερού γάμου ως ειδική περίπτωση Η απάντηση στο ερώτημα της ύπαρξης λύσης μπορεί να διαφανεί ευκολότερα μέσω της μελέτης ενός απλούστερου προβλήματος. Ας θεωρήσουμε την ειδική περίπτωση όπου το πλήθος των υποψηφίων είναι ίσο με το πλήθος των πανεπιστημίων, και ότι κάθε πανεπιστήμιο θέλει μονάχα έναν φοιτητή. Αν και η περίπτωση αυτή φαντάζει εξωπραγματική, αποκτά νόημα αν αντικαταστήσουμε τους υποψήφιους και τα πανεπιστήμια με άντρες και γυναίκες αντίστοιχα. Τότε η ειδική αυτή περίπτωση του προβλήματος επιλογής υποψηφίων μετατρέπεται σε πρόβλημα γάμων, και η σταθερή ανάθεση τώρα σημαίνει σταθερούς γάμους. Όπως φαντάζεται κανείς, η αντιστοίχηση θα μπορούσε να γίνει και ανάποδα, με τον ρόλο των υποψηφίων να τον αναλαμβάνουν οι γυναίκες. Το αποτέλεσμα θα ήταν το ίδιο το μόνο που αλλάζει σε κάθε περίπτωση είναι ποιος από τους δύο (άντρες ή γυναίκες) θα βγει ριγμένος. Αυτό οφείλεται στο κριτήριο μεροληψίας που έχουμε εισαγάγει και που είναι απόλυτα συνυφασμένο με το γεγονός ότι τα στοιχεία των δύο συνόλων υπόψιν δεν είναι ομότιμα. Έτσι, το φαινομενικά όμοιο πρόβλημα ανάθεσης συγκατοίκου, όπου μία ομάδα από άρτιο αριθμό ατόμων χωρίζεται σε ζεύγη, δεν αποτελεί ειδική περίπτωση του αρχικού. Αυτό καθίσταται σαφές αν χωρίσουμε την αρχική ομάδα σε δύο ισοπληθή σύνολα, καθώς τα σύνολα αυτά θα αποτελούνται από ομότιμα αντικείμενα, και άρα το κριτήριο μεροληψίας δεν εφαρμόζεται. Ο αλγόριθμος σταθερού γάμου Η ύπαρξη της λύσης στο πρόβλημα αυτό αποδεικνύεται με την παρουσίαση του αλγορίθμου που οδηγεί ένα τυχαίο σύνολο ανδρών και ένα γυναικών σε σταθερούς γάμους: function stablematching { Initialize all m in M and w in W to free while exists free man m who still has a woman w to propose to { w = m highest ranked such woman if w is free (m, w) become engaged else some pair (m', w) already exists if w prefers m to m' (m, w) become engaged m' becomes free else (m', w) remain engaged } } Σε κάθε γύρο, κάθε εκτέλεση δηλαδή του βρόγχου, έκαστος άνδρας κάνει πρόταση στην προτιμότερη γυναίκα απ' όσες δεν έχει ήδη προτείνει. Η γυναίκα τον απορρίπτει εάν είναι ήδη ταγμένη σε κάποιον που τον προτιμά καλλίτερα, ειδάλλως τον αποδέχεται αν μη τι άλλο προσωρινά. Δύο ιδιότητες αυτού του αλγορίθμου είναι που πρέπει να προσέξουμε. Πρώτον, στο τέλος της διαδικασίας, δεδομένου του ίσου αριθμού ανδρών και γυναικών, όλοι είναι ζευγαρωμένοι 4 / 10

5 (παντρεύονται), γιατί άπαξ και μια γυναίκα ταχθεί σε κάποιον, θα είναι ταγμένη μέχρι τέλους είτε σε αυτόν είτε σε κάποιον άλλον και δεν δύναται να μείνει γυναίκα άτακτη, καθότι εν τη ανάγκη, κάποιος άντρας θα προτείνει σε όλες τις γυναίκες και η άτακτη είναι αναγκασμένη να δεχθεί. Δεύτερον, όλοι οι γάμοι είναι σταθεροί. Υποθέτοντας ότι στο τέλος, ο άντρας Α και η γυναίκα Γ είναι δεσμευμένοι, αλλά όχι μεταξύ τους ενώ θα το ήθελαν αμφότεροι, οδηγούμαστε σε ατόπημα, καθώς εάν ο Α προτιμούσε την Γ από την τρέχουσα γυναίκα του, τότε θα της είχε προτείνει νωρίτερα και συνεπώς, αν και η Γ προτιμούσε τον Α από τον τρέχοντα άνδρα της, θα τον είχε δεχθεί και θα είχε απορρίψει τον τρέχοντα για χάρη του. Αναφέραμε πρωτύτερα, ότι οι γυναίκες βγαίνουν ριγμένες. Αυτό σημαίνει ότι οι άνδρες τελικώς αποκτούν την προτιμότερη δυνατή επιλογή τους, ενώ οι γυναίκες την τελευταία δυνατή επιλογή. Λέμε δηλαδή ότι ο αλγόριθμος Gale-Shapley είναι άρρεν-βέλτιστος και θήλυ-χείριστος και αυτό οφείλεται στην μεροληψία, δηλαδή ότι οι άνδρες είναι αυτοί που κάνουν τις προτάσεις, ενώ οι γυναίκες αυτές που δέχονται. Πάρα ταύτα, οι γυναίκες έχουν την δυνατότητα να αλλάζουν σύντροφο ώστε να ευτυχίσουν περισσότερο, ενώ οι άνδρες όχι. Ας σημειωθεί, βέβαια, ότι ο αλγόριθμος έχει συμμετρία, και η εναλλαγή ρόλων μεταξύ ανδρών και γυναικών πάλι οδηγεί σε σταθερούς γάμους, με άρρεν-χείριστα και θήλυ-βέλτιστα αποτελέσματα. Ακόμα, η αποδοχή που κάναμε αρχικώς, ότι τα δύο σύνολα είναι ισοπληθή, δεν είναι αναγκαίος. Εύκολα φαίνεται, ότι στην περίπτωση που οι άνδρες είναι περισσότεροι από τις γυναίκες, τότε ο αλγόριθμος τερματίζει όταν όλοι οι άνδρες είναι είτε δεσμευμένοι είτε έχουν απορριφθεί από όλες τις γυναίκες. Από την άλλη, εάν οι γυναίκες είναι περισσότερες από τους άνδρες, τότε ο αλγόριθμος τερματίζει όταν έχουν δεχθεί πρόταση τότες γυναίκες, όσοι άνδρες υπάρχουν. Αν και στην περίπτωση αυτή των άνισων πληθυσμών δεν παντρεύονται όλοι, οι γάμοι είναι πάλι σταθεροί. Ο αλγόριθμος επιλογής υποψηφίων Η επέκταση του προβλήματος σταθερού γάμου στο αρχικό γενικότερο πρόβλημα επιλογής υποψηφίων από πανεπιστήμια είναι τώρα εμφανής. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι εάν ένας υποψήφιος δεν είναι κατάλληλος για ένα πανεπιστήμιο, τότε δεν του επιτρέπεται να κάνει αίτηση. O αλγόριθμος έχει ως εξής: function stableadmission { Initialize all c in C to eligible Initialize all u in U to max quota while exists eligible candidate c that still has a university U to apply to { u = c highest ranked such university if u has available quota (c, u) on waiting list else if u prefers c to some c' on waiting list (c, u) on waiting list c' becomes eligible again else c is rejected and must try next available university in next loop } } Ο αλγόριθμος τερματίζεται όταν κάθε υποψήφιος είναι είτε σε μία λίστα αναμονής, είτε έχει απορριφθεί από όλα τα δυνατά πανεπιστήμια. Το ότι οι αναθέσεις αυτές είναι σταθερές είναι ευθέως ανάλογο με την περίπτωση του προβλήματος σταθερών γάμων. Μένει να δειχθεί ότι η λύση αυτή είναι επίσης και η μοναδική βέλτιστη λύση. Ας αποκαλέσουμε ένα πανεπιστήμιο δυνατό για έναν υποψήφιο, όταν υπάρχει κάποια λύση του προβλήματος, κάποια σταθερή ανάθεση δηλαδή, στην οποία γίνεται δεκτός από αυτό. Έστω ότι μέχρις ενός σημείου στην πορεία των αναθέσεων, ουδείς υποψήφιος έχει απορριφθεί ακόμα από 5 / 10

6 κάποιο δυνατό πανεπιστήμιο. Υποθέτουμε ότι στο σημείο αυτό, το πανεπιστήμιο Α, αποδεχόμενο ένα ποσοστό q από υποψήφιους (βq), απορρίπτει τον α. Πρέπει να δειχθεί ότι το Α δεν είναι δυνατό για τον α. Για τον σκοπό αυτό, έστω ότι υπάρχει μία λύση που κάνει τον α αποδεκτό τελικώς από το Α. Τότε, κάποιος βi από τους προαναφερθέντες βq θα πρέπει να πάει σε κάποιο άλλο πανεπιστήμιο Β. Προφανώς λοιπόν, η ανάθεση αυτή δεν είναι σταθερή, γιατί ο βi προτιμά το Α από το Β, μιας και είχε γίνει ήδη αποδεκτός από αυτό. Αλλά και το Α προτιμά τον βi από τον α, αφού είχε απορρίψει τον α για χάρη του βi πρωτύτερα. Συνεπώς το Α δεν είναι δυνατό για τον α και ο αλγόριθμος απορρίπτει υποψήφιους μόνο από τα μη δυνατά για τον καθένα πανεπιστήμια. Άρα τελικώς, η λύση που δίδει είναι βέλτιστη. Ψέμματα και τρωτά σημεία του αλγόριθμου Όλα τα παραπάνω έχουν βασιστεί στην σιωπηλή υπόθεση, ότι λαμβάνουν χώρα σε έναν ιδανικό κόσμο, όπου δεν υφίσταται διαφθορά και συνεπώς όλοι οι συμμετέχοντες λένε την αλήθεια για τις προτιμήσεις τους. Ο πραγματικός κόσμος, όμως, όπως ξέρουμε όλοι, απέχει πολύ από αυτήν την εξιδανίκευση. Τι συμβαίνει λοιπόν όταν κάποιος λέει ψέμματα; Μπορεί κάποιος να επιτύχει καλύτερα αποτελέσματα, με το να κρύψει την αλήθεια για τις προτιμήσεις του; Προηγούμενες μελέτες, όπως αυτή του Roth 1 δείχνουν ότι σε μια άρρεν-βέλτιστη εφαρμογή του αλγορίθμου σταθερού γάμου, οι άνδρες δεν δύνανται να επιτύχουν καλλίτερα αποτελέσματα. Αυτό είναι εν μέρη αναμενόμενο, αν και όχι προφανές, καθότι ο αλγόριθμος είναι ήδη βέλτιστος για τους άνδρες. Από την άλλη, οι Gale και Sotomayor 2 έδειξαν ότι στην εν λόγω περίπτωση, μια γυναίκα μπορεί να επιτύχει τον καλλίτερο δυνατό άνδρα, λέγοντας ψέμματα. Η ιδέα είναι να απορρίπτει οποιονδήποτε άνδρα είναι χειρότερος από αυτόν. Έτσι, αν και οι άνδρες είναι αυτοί που κάνουν την πρόταση, η γυναίκα που εφαρμόζει αυτή την στρατηγική έχει καλές πιθανότητές να επιτύχει τον επιθυμητό άνδρα το μόνο που μπορεί να την εμποδίσει είναι μια άλλη γυναίκα η οποία εφαρμόζει την ίδια τακτική. Μια κατά τα φαινόμενα πιθανή λύση στο πρόβλημα αυτό, είναι να ζητηθεί από τις γυναίκες να παραδώσουν εξ αρχής μια πλήρης λίστα με τις προτιμήσεις τους σε κάποια κεντρική αρχή, όπως για παράδειγμα ένα γραφείο συνοικεσίων και να αναλάβει η αρχή αυτή να κάνει τις αναθέσεις, αντί να γίνονται αυτές διαδοχικά και κατ' ιδίαν. Πάρα ταύτα, η εργασία των Gusfield και Irving 3 δείχνει ότι ακόμα και σε αυτή την περίπτωση, κάποια πονηρή γυναίκα μπορεί να επιτύχει τον καλλίτερο δυνατό άνδρα, εναλλάσσοντας με κάποιον συγκεκριμένο τρόπο τις καταχωρήσεις στην λίστα των προτιμήσεων. Ποίος όμως είναι ο καλλίτερος δυνατός άνδρας για μία γυναίκα; Ο ιδανικός άνδρας που ίσως έχει αυτή στο μυαλό της πιθανόν να μην είναι δυνατός, γιατί μπορεί αυτός να την έχει τελευταία στην λίστα και να μην τύχει να της κάνει πρόταση ποτέ. Πρέπει λοιπόν με κάποιον τρόπο η γυναίκα να τον αναγνωρίσει εξ αρχής, ώστε να μπορέσει στην συνέχεια, κατά την διαδικασία της επιλογής, ή μέσω της παρακεχαραγμένης λίστας να κλέψει. Αν υποθέσουμε, σε μια παραλλαγή της διαδικασίας επιλογής, ότι μια γυναίκα μπορεί να αρνηθεί έναν άνδρα, τότε η στρατηγική ευρέσεως του καλλίτερου δυνατού άνδρα είναι μάλλον προφανής αρκεί η γυναίκα να αρνηθεί τους πάντες και έχοντας μελετήσει τις προτιμήσεις όλων τον ανδρών, οι οποίες πια έχουν φανερωθεί, ξέρει ποιόν να προτιμήσει στην δεύτερη ευκαιρία, την επόμενη δηλαδή εκτέλεση της διαδικασίας, αφού έχοντας μείνει αυτή ελεύθερη, το πρόβλημα δεν έχει λυθεί και πρέπει να επανεπιχειρηθεί. Από την άλλη, αν δεν δώσουμε στις γυναίκες την δυνατότητα να αρνηθούν κάποιον άνδρα ως ακατάλληλο, τότε η εύρεση του καλλίτερου δυνατού γίνεται δυσκολότερη, και παύει να είναι 1 Roth, A.E. (1982). The Economics of Matching: Stability and Incentives. Mathematics of Operations Research Gale, D., M. Sotomayor (1985b). Ms Machiavelli and the Stable Matching Problem. American Mathematical Monthly Gusfield, D., R. W. Irving (1989). The Stable Marriage Problem: Structure and Algorithms, MIT Press, Massachusetts. 6 / 10

7 δεδομένη. Στην περίπτωση αυτή η βέλτιστη στρατηγική εξαπάτησης για μία γυναίκα, έχει διατυπωθεί από τους Chung-Piaw Teo, Jay Sethuraman, και Wee-Peng Tan 4 : 1. Εκτελούμε τον άρρεν-βέλτιστο αλγόριθμο με την πραγματική λίστα προτιμήσεων της γυναίκας Γ. Σημειώνουμε όλους τους άνδρες οι οποίοι της έκαναν πρόταση. Έστω ο άρρενβέλτιστος άνδρας για την Γ ο Α και Π(Α,Γ) η πραγματική λίστα προτιμήσεων Π(Γ) 2. Έστω ότι ο Α έκανε πρόταση στην Γ κατά το βήμα (1). Μεταφέροντας τον Α στην κορυφή της λίστας Π(Α,Γ), έχουμε την παρακεχαραγμένη λίστα Π(Α,Γ) όπου τώρα ο Α είναι ο άρρεν-βέλτιστος για την Γ. Ονομάζουμε τον Α δυνατό για την Γ. 3. Επαναλαμβάνουμε το βήμα (2) για κάθε άνδρα που έκανε πρόταση στην Γ κατά το βήμα (1). Μέτα την επανάληψη, λέμε ότι ο άνδρας Α, ο πραγματικός άρρεν-βέλτιστος δηλαδή, έχει εξαντληθεί. 4. Εάν ένας δυνατός άνδρας για την Γ, έστω ο Α, δεν έχει εξαντληθεί, τότε εκτελούμε πάλι τον αλγόριθμο του βήματος (1), αλλά με την λίστα Π(Α,Γ). Βρίσκουμε νέου δυνατούς άνδρες για την Γ, επαναλαμβάνουμε για κάθε έναν από αυτούς το βήμα (2) και ορίζουμε τον Α εξαντλημένο. 5. Επαναλαμβάνουμε το βήμα 4, μέχρις ότου όλοι οι δυνατοί άνδρες για την Γ έχουν εξαντληθεί. Έστω Ε το σύνολο όλων των εξαντλημένων (και άρα δυνατών) ανδρών για την Γ. 6. Μεταξύ των ανδρών στο Ε, έστω Α* ο προτιμότερος της Γ. Τότε η λίστα Π(Α*,Γ) είναι η βέλτιστη στρατηγική για την Γ. Η στρατηγική αυτή, δεν έχει εγγυημένα αποτελέσματα, όμως. Η επιρροή των γυναικών, ακόμα κι έτσι είναι περιορισμένη εκ των πραγμάτων. Ένα απλό παράδειγμα που το αποδεικνύει είναι η περίπτωση όπου έκαστος άνδρας επιθυμεί μία συγκεκριμένη γυναίκα την οποία δεν επιθυμεί κανείς άλλος. Τότε ο αλγόριθμος τερματίζει μετά την πρώτη εκτέλεση του βρόγχου και οι γυναίκες δεν έχουν καμία δυνατότητα να αλλάξουν το αποτέλεσμα. Συνεπώς, γεννάται το ερώτημα του κατά πόσον μπορεί να ωφεληθεί κανείς προσπαθώντας να εξαπατήσει, κατά πόσον αυτό είναι εύκολο και τελικά, συναρτήσει των δύο προηγουμένων ερωτήσεων, του κατά πόσον αξίζει κανείς να το επιχειρήσει. Η απάντηση στα ερωτήματα αυτά δεν είναι εύκολη. Οι Chung-Piaw Teo, Jay Sethuraman, και Wee-Peng Tan κλείνουν την ανάλυσή τους με την διαπίστωση ότι τελικά, δεν αξίζει τον κόπο να το επιχειρήσει κανείς. Από την άλλη, ο Chien- Chung Huang 5 σε μια σχετική εργασία του, κάνει μια πολύ εκτενέστερη ανάλυση. Μελετά τις περιπτώσεις όπου υποομάδες των ατόμων που δύνανται να ωφεληθούν με την εξαπάτηση, σχηματίζουν συμμαχίες και διακρίνει περιπτώσεις. Αποδεικνύει ότι σε κάθε συμμαχία, χρειάζεται να υπάρχουν άτομα τα οποία δεν έχουν τίποτα να κερδίσουν με την εξαπάτηση, αλλά τα οποία δρουν ως καταλύτες, βοηθώντας τους υπόλοιπους στην συμμαχία, αν θέλουν να επιτύχουν αισθητά αποτελέσματα. Το κακό με αυτό είναι ότι τα άτομα αυτά, είναι δύσκολο να βρεθούν, δεδομένης της ελλείψεως κινήτρου. Ακόμα, όταν σχηματίζονται συμμαχίες, υπάρχει τουλάχιστον ένα άτομο από την αρχική ομάδα, το οποίο θα βγει ριγμένο δεν γίνεται δηλαδή να βγουν όλοι κερδισμένοι μέσω μιας ομαδικής εργασίας. Αυτό δημιουργεί επιπλέον προβλήματα, γιατί κάποιοι που μπαίνουν στον πειρασμό να εξαπατήσουν, μπορεί να απέχουν τελικά, εξ αιτίας ηθικών διλημμάτων, εν τη γνώσει αυτή. Πάρα ταύτα, το πρόβλημα έλλειψης κινήτρου, μπορεί εν μέρει να ξεπεραστεί, εφαρμόζοντας μια τεχνική τυχαίας εξαπάτησης, όπου όλοι όσοι συμμετέχουν έχουν καλές πιθανότητες να πετύχουν ένα καλλίτερο αποτέλεσμα, με το ρίσκο όμως του να τους τύχει κάποιο χειρότερο. Τέλος, ο Chien-Chung Huang μελετά έναν ακόμα λόγο του να εξαπατήσει κανείς, πέραν του προαναφερθέντα για το μεγαλύτερο όφελος την περίπτωση όπου κάποιος κακοήθης, λέει ψέμματα, για να βλάψει κάποιον άλλον, άσχετα με το αποτέλεσμα που θα έχει αυτό στο δικό του άμεσο 4 Βλέπε Βιβλιογραφία, σημείωση 6. 5 Βλέπε Βιβλιογραφία, σημείωση 4 7 / 10

8 όφελος. Αποδεικνύει ότι είναι δυνατόν ένας άνδρας να βλάψει κάποιον άλλον, κάνοντας πρόταση όχι στην γυναίκα που τον ενδιαφέρει άμεσα, αλλά σε αυτήν που ενδιαφέρει το θύμα, και μάλιστα υπάρχει τρόπος να το κάνει αυτό, χωρίς να αλλάξει το δικό του τελικό αποτέλεσμα, δηλαδή χωρίς να βλάψει το δικό του άμεσο όφελος. Το ότι μπορεί να το κάνει κάποιος αυτό χωρίς προσωπική ζημία σημαίνει αμέσως ότι είναι και πολύ πιθανόν να γίνει στην πράξη, οπότε το να είναι κανείς τίμιος είναι τελικά κακή στρατηγική. Αν και τα συμπεράσματα των Chung-Piaw Teo, Jay Sethuraman, και Wee-Peng Tan φαίνεται να έρχονται σε αντίθεση με αυτά του Chien-Chung Huang σε πρώτη φάση, μπορεί κανείς να πει ότι τελικώς από μίαν άποψη συμφωνούν. Δεδομένου του πόσο δύσκολο είναι κανείς να κλέψει, αν και αυτό μπορεί να αποδώσει σημαντικά υπό ορισμένες συνθήκες, ακόμα και να προστατέψει, είναι μάλλον ασύμφορο από άποψη οικονομίας χρόνου και ενέργειας. Εφαρμογές του αλγόριθμου στον πραγματικό κόσμο Ίσως με όλες αυτές τις υποθέσεις και τις εξιδανικεύσεις που έχουν γίνει στην ανάλυση του αλγορίθμου Gale-Shapley, να αναρωτάται κανείς κατά πόσον είναι αυτός εφαρμόσιμος σε αληθινά περιστατικά. Αν και δεν υπάρχουν αναφορές για την αξιοποίησή του στην επίλυση του αρχικού προβλήματος επιλογής υποψηφίων από πανεπιστήμια, παρόλο που υπάρχουν εργασίες που ισχυρίζονται ότι κάτι τέτοιο θα μπορούσε να αποδώσει σε χώρες με συστήματα εισαγωγής όπως της Ελλάδος και της Σιγκαπούρης, έχει βρει εφαρμογή σε ένα παρεμφερές πρόβλημα, την ανάθεση κλινικής σε φοιτητές ιατρικής στις ΗΠΑ. Όταν ένας φοιτητής ιατρικής αποφοιτήσει και έρθει η ώρα να κάνει την ειδίκευσή του, επισκέπτεται έναν αριθμό από κλινικές ανά την χώρα, δίδοντας συνεντεύξεις. Μετά το πέρας της περιοδείας αυτής, στέλνει μια λίστα στον εθνικό οργανισμό υγείας, με τις κλινικές κατά σειρά προτίμησης και το ίδιο κάνουν και οι κλινικές για τους φοιτητές αντίστοιχα. Εκεί, οι λίστες επεξεργάζονται από υπολογιστές και με την εφαρμογή του αλγορίθμου Gale-Shapley βγάζουν της αναθέσεις με προτεραιότητα την σταθερότητα των αποτελεσμάτων. Αν και αυτό ακούγεται καλό αρχικά, έχουν σημειωθεί σημαντικές αντιθέσεις στην πρακτική αυτή από τους φοιτητές και αυτό οφείλεται όπως θα περίμενε κανείς στην μεροληψία του αλγορίθμου. Αν και στην αρχή του κειμένου, ισχυριστήκαμε ότι τα πανεπιστήμια υπάρχουν για τους φοιτητές, δεν συμβαίνει το ίδιο και με τις κλινικές τον προνομιακό ρόλο των ανδρών αναλαμβάνουν εδώ οι κλινικές, με αποτέλεσμα οι φοιτητές να αισθάνονται ριγμένοι. Βάσει τούτου, έχουν γίνει αρκετές εκλύσεις για την εύρεση ενός παραλλαγμένου αλγορίθμου, ο οποίος να υποδεικνύει αμεροληψία, η αλλιώς να είναι συμμετρικός ως προς τα αποτελέσματα στην εναλλαγή ανδρών-γυναικών. Παρ' όλες τις προσπάθειες, κάτι τέτοιο δεν έχει βρεθεί και το πρόβλημα παραμένει μέχρι σήμερα. Μια άλλη πιο σύγχρονη εφαρμογή που μπορεί να βρει ο αλγόριθμος αυτός είναι στην μοντελοποίηση των εμπορικών δικτύων και τα οικονομικά που βασίζονται σε πράκτορες. Στα παίγνια εμπορικών δικτύων (TNG), ο κάθε παίκτης μπορεί να διαλέξει τους συνεργάτες με τους οποίους θα συνδιαλλαγεί, όπως και την στρατηγική που θα εφαρμόσει στην σχέση του με καθέναν από αυτούς, κάτι που θυμίζει την παραλλαγή που εξετάστηκε στην υπόθεση της εξαπάτησης. Έχουν εξεταστεί δύο διαφορετικά μοντέλα αγοράς, ένα στο οποίο υπάρχουν μόνο καθαροί αγοραστές και πωλητές και ένα στο οποίο υπάρχουν επίσης αμιγώς αγοραστές/πωλητές 6. Ο αλγόριθμος που έχει χρησιμοποιηθεί στην μελέτη αυτή είναι της καθυστερημένης επιλογής και άρνησης (DCR), μια παραλλαγή του Gale-Shapley που έχει αναπτυχθεί συγκεκριμένα για να χειρίζεται διπλής φοράς, ενδογενείς και μερικώς ρευστές δομές αγοράς, όπου ο κάθε αγοραστής και ο κάθε πωλητής έχουν αυθαίρετα νούμερα προσφορών που μπορούν να κάνουν. Τα αποτελέσματα του DCR έχει αποδειχθεί ότι έχουν τις ιδιότητες της σταθερότητας και της Pareto βελτιστοποίησης που έχουν και αυτά του Gale-Shapley 7. 6 Βλέπε Βιβλιογραφία, σημείωση 5 7 Tesfatsion, L. (1997a). A Trade Network Game with Endogenous Partner Selection," in Computational Approaches to Economic Problems (H. Amman, B. Rustem, A. B. Whinston, Eds.) 8 / 10

9 Τα συμπεράσματα από την μελέτη υποδηλώνουν την ύπαρξη πολλαπλών ισορροπιών Nash στα παίγνια όπου συμμετάσχουν οι συμβαλλόμενοι σε τέτοια μοντέλα αγοράς και δίνουν μια κατεύθυνση για περαιτέρω μελέτη. Ακόμα, φαίνεται ότι τα κριτήρια που χρησιμοποιούνται για την αξιολόγηση των αναθέσεων που σχηματίζονται ανάμεσα στους συμβαλλόμενους, δηλαδή η σταθερότητα και η Pareto 8 βελτιστοποίηση δεν είναι επαρκή, καθώς έχουν σχεδιαστεί για στατικές αγορές. Αυτό σημαίνει ότι η αξιολόγηση της απόδοσης του DCR πρέπει να γίνει στα πλαίσια μιας δυναμικής αγοράς, αν θέλουμε να πλησιάσουμε περισσότερο την συμπεριφορά των πραγματικών αγορών. Σύνοψη Στις δεκαετίες που έχουν περάσει από την δημοσίευση του αλγορίθμου Gale-Shapley για την επίλυση του προβλήματος σταθερού γάμου, έχουν γίνει πολλές κατοπινές μελέτες και έχουν εφευρεθεί αρκετές παραλλαγές, κατάλληλες η κάθε μία για διαφορετικά αλλά παρόμοια προβλήματα. Αυτή η ευπλαστία που τον χαρακτηρίζει, σε συνδυασμό με την απλότητα που τον διέπει είναι που του δίνουν μια διαχρονική αξία και που έχουν συμβάλει τόσο στην διάδοσή του και την εφαρμογή του σε τόσο διαφορετικούς τομείς. Οι ίδιοι οι συγγραφείς στο τέλος της δημοσίευσης καταπιάνονται με το θέμα του τι είναι τελικώς τα μαθηματικά, τι είναι αυτό που τα κάνει να ξεχωρίζουν τόσο από τις άλλες επιστήμες, βασισμένοι στο γεγονός ότι το άρθρο τους είναι σαφώς μαθηματικού χαρακτήρα, αν και δεν περιέχει ούτε έναν μαθηματικό τύπο. Διατείνονται ότι αυτό που κάνει τα μαθηματικά αυτό που είναι, είναι στην ουσία η ίδια η προσπάθεια που πρέπει να καταβάλει κανείς για να συλλάβει και να κατανοήσει τις σχέσεις μεταξύ των εννοιών που παρουσιάζονται μέσα από αυτά. Έτσι, ισχυρίζονται ότι το συγκεκριμένο άρθρο μπορεί να χρησιμεύσει ακόμα και σε εκπαιδευτικούς σκοπούς, ως παράδειγμα για την φύση των μαθηματικών, μία ακόμα ξεχωριστή χρήση δηλαδή, ανάμεσα στις τόσες που έχει βρει. 8 Vilfredo Pareto (γεννηθείς 1848), Ιταλός κοινωνιολόγος, οικονομολόγος και φιλόσοφος. 9 / 10

10 Βιβλιογραφία 1. D. Gale, and L. S. Shapley: "College Admissions and the Stability of Marriage", American Mathematical Monthly 69, 9-14, Wikipedia: 3. Harry Mairson : "The Stable Marriage Problem", The Brandeis Review 12, Chien-Chung Huang: How Hard is it to Cheat in the Gale-Shapley Stable Matching Algorithm?, Technical Report TR , Department of Computer Science, Dartmouth College 5. Leigh Tesfatsion: Gale-Shapley Matching in an Evolutionary Trade Network Game, ISU Economic Report No. 43, Chung-Piaw Teo, Jay Sethuraman, and Wee-Peng Tan: Gale-Shapley Stable Marriage Problem Revisited: Strategic Issues and Applications, Department of Decision Sciences, Faculty of Business Administration, National University of Singapore, and Operations Research Center, MIT, / 10

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας

Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Dr. Anthony Montgomery Επίκουρος Καθηγητής Εκπαιδευτικής & Κοινωνικής Πολιτικής antmont@uom.gr Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Αυτό το μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

Ελαφρύτερος και βαρύτερος Αλγόριθμοι ταξινόμησης

Ελαφρύτερος και βαρύτερος Αλγόριθμοι ταξινόμησης 7η Δραστηριότητα Ελαφρύτερος και βαρύτερος Αλγόριθμοι ταξινόμησης Περίληψη Οι υπολογιστές χρησιμοποιούνται συχνά για την ταξινόμηση καταλόγων, όπως για παράδειγμα, ονόματα σε αλφαβητική σειρά, ραντεβού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση καθημερινών ημερίδων

Οργάνωση καθημερινών ημερίδων Οργάνωση καθημερινών ημερίδων 1) Αγώνες ζευγών 1α) Διαθέσιμες κινήσεις: Φιλοσοφία, μηχανισμοί και τα χαρακτηριστικά τους. Οι κινήσεις είναι ένα από τα βασικότερα εργαλεία που έχει ένας διαιτητής στη διάθεσή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Έρευνα για τις σχέσεις Ελλάδος Ηνωμένων Πολιτειών

Έρευνα για τις σχέσεις Ελλάδος Ηνωμένων Πολιτειών Έρευνα για τις σχέσεις Ελλάδος Ηνωμένων Πολιτειών στα πλαίσια της εκδήλωσης What s Next Κεφαλαιοποιώντας τον θετικό αντίκτυπο της πρόσφατης επίσκεψης του Πρωθυπουργού στην Washington 23 Μαρτίου 2010 Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 7 Άσκηση επανάληψης Καθολική σχεδίαση δικτύου

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 7 Άσκηση επανάληψης Καθολική σχεδίαση δικτύου Κινητές επικοινωνίες Κεφάλαιο 7 Άσκηση επανάληψης Καθολική σχεδίαση δικτύου 1 Σχεδίαση συστήματος Η εταιρία μας θέλει να καλύψει με κυψελωτό σύστημα τηλεφωνίας μία πόλη επιφάνειας 20000 km 2 (συχνότητα

Διαβάστε περισσότερα

www.arnos.gr κλικ στη γνώση Τιμολόγηση

www.arnos.gr κλικ στη γνώση Τιμολόγηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Τιμολόγηση Παράγοντες επηρεασμού της τιμής Στόχος της τιμολογιακής πολιτικής πρέπει να είναι ο καθορισμός μιας ιδανικής τιμής η οποία θα ικανοποιεί τόσο τους πωλητές όσο και τους αγοραστές.

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft:

ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft: Specisoft ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft: NPV & IRR: Αξιολόγηση & Ιεράρχηση Επενδυτικών Αποφάσεων Από Αβραάμ Σεκέρογλου, Οικονομολόγo, Συνεργάτη της Specisoft Επισκεφθείτε το Management

Διαβάστε περισσότερα

ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα αλγόριθμοι τεχνολογία αλγορίθμων 2 αλγόριθμοι αλγόριθμος: οποιαδήποτε καλά ορισμένη υπολογιστική διαδικασία που δέχεται κάποια τιμή ή κάποιο σύνολο τιμών, και δίνεικάποιατιμήήκάποιοσύνολοτιμώνως

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα 14-Sep-11 Τυπικός Ορισμός Ντετερμινιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client ΕΣΔ 516 Τεχνολογίες Διαδικτύου Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client Περιεχόμενα Περιεχόμενα Javascript και HTML Βασική σύνταξη Μεταβλητές Τελεστές Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΠΟΡΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΠΕΛΑΤΕΣ ΔΕΠΑ

ΕΜΠΟΡΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΠΕΛΑΤΕΣ ΔΕΠΑ FAQ για τη 7 η Δημοπρασία της ΔΕΠΑ για τους μήνες Απρίλιο - Μάιο - Ιούνιο 2014 ΕΜΠΟΡΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΠΕΛΑΤΕΣ ΔΕΠΑ 1. Τι γίνεται αν δεν εξασφαλίσω ποσότητα ;... 2 2. Όροι παραλαβής ΦΑ μέσω της Δημοπρασίας...

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ 1 Γενικά Η ψηφιακή υπογραφή είναι µια µέθοδος ηλεκτρονικής υπογραφής όπου ο παραλήπτης ενός υπογεγραµµένου ηλεκτρονικού µηνύµατος µπορεί να διαπιστώσει τη γνησιότητα του,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ασκήσεις για εύρεση ολικής, συνδυασμένης και δεσμευμένης πιθανότητας. Βιβλίο Keller Κεφάλαιο 6

Θέμα: Ασκήσεις για εύρεση ολικής, συνδυασμένης και δεσμευμένης πιθανότητας. Βιβλίο Keller Κεφάλαιο 6 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου, 6 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 60 6905, Φαξ: 60 968, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη τ ής Ι. Μ ητ ρ

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

Mh apofasisimèc gl ssec. A. K. Kapìrhc

Mh apofasisimèc gl ssec. A. K. Kapìrhc Mh apofasisimèc gl ssec A. K. Kapìrhc 15 Maòou 2009 2 Perieqìmena 1 Μη αποφασίσιμες γλώσσες 5 1.1 Ανάγω το πρόβλημα A στο B................................. 5 1.2 Αναγωγές μη επιλυσιμότητας..................................

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητής Παν Πειραιά, Δρ Φούντας Ευάγγελος. Δρ ΦΟΥΝΤΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Πρόεδρος Τμήματος Πληροφορικής

Καθηγητής Παν Πειραιά, Δρ Φούντας Ευάγγελος. Δρ ΦΟΥΝΤΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Πρόεδρος Τμήματος Πληροφορικής Β Ι Ο Γ Ρ Α Φ Ι Κ Ο Σ Η Μ Ε Ι Ω Μ Α Δρ ΦΟΥΝΤΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Πρόεδρος Τμήματος Πληροφορικής Μ. ΚΑΡΑΟΛΗ και Α. ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ 80, 185 34 ΠΕΙΡΑΙΑΣ Τηλ 210 414 2314 / Fax: 210-4142107

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης

Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Τεχνητή Νοημοσύνη 04 Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης (Blind Search Algorithms) Εφαρμόζονται σε προβλήματα στα οποία δεν υπάρχει πληροφορία που να επιτρέπει αξιολόγηση των καταστάσεων.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #2: Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι, Εισαγωγή στα Γραφήματα, Αναζήτηση κατά Βάθος, Τοπολογική Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΟΙΠΟΡΙΚΟ ΣΤΑΔΙΟΔΡΟΜΙΑΣ ΝΕΩΝ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΑΓΟΡΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΤΗΣ ΚΥΠΡΟΥ

ΟΔΟΙΠΟΡΙΚΟ ΣΤΑΔΙΟΔΡΟΜΙΑΣ ΝΕΩΝ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΑΓΟΡΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΤΗΣ ΚΥΠΡΟΥ ΟΔΟΙΠΟΡΙΚΟ ΣΤΑΔΙΟΔΡΟΜΙΑΣ ΝΕΩΝ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΑΓΟΡΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΤΗΣ ΚΥΠΡΟΥ 1996-1998 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΡΧΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2000

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΥΚΡΙΝΙΣΕΙΣ. 1.Στόχοι της εργασίας. 2. Λέξεις-κλειδιά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΕΠΟ42

ΔΙΕΥΚΡΙΝΙΣΕΙΣ. 1.Στόχοι της εργασίας. 2. Λέξεις-κλειδιά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΕΠΟ42 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΕΠΟ42 2 Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 2012-2013 ΘΕΜΑ: «Να συγκρίνετε τις απόψεις του Βέμπερ με αυτές του Μάρξ σχετικά με την ηθική της

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Διαβάστε περισσότερα

Έρευνα Καταναλωτικής Εμπιστοσύνης

Έρευνα Καταναλωτικής Εμπιστοσύνης Έρευνα Καταναλωτικής Εμπιστοσύνης ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΕΡΕΥΝΑΣ ΤΥΠΟΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΠΕΡΙΟΧΗ ΕΡΕΥΝΑΣ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΔΟΜΗΜΕΝΟΥ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΡΕΥΝΑΣ 12/04/2013 30/06/2013 ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΤΥΧΑΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

e-seminars Εξυπηρετώ 1 Επαγγελματική Βελτίωση Seminars & Consulting, Παναγιώτης Γ. Ρεγκούκος, Σύμβουλος Επιχειρήσεων Εισηγητής Ειδικών Σεμιναρίων

e-seminars Εξυπηρετώ 1 Επαγγελματική Βελτίωση Seminars & Consulting, Παναγιώτης Γ. Ρεγκούκος, Σύμβουλος Επιχειρήσεων Εισηγητής Ειδικών Σεμιναρίων e-seminars Πρωτοποριακή Συνεχής Επαγγελματική και Προσωπική Εκπαίδευση Επαγγελματική Βελτίωση Εξυπηρετώ 1 e Seminars Copyright Seminars & Consulting Page 1 Περιεχόμενα 1. Η εξυπηρέτηση ως το πλέον δυναμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Ντάκος, Πρόεδρος & Διευθύνων Σύμβουλος, Ροζίνα Κωστιάνη, Ρέα Μάνεση, STEDIMA S.A. www.stedima.gr

Γιώργος Ντάκος, Πρόεδρος & Διευθύνων Σύμβουλος, Ροζίνα Κωστιάνη, Ρέα Μάνεση, STEDIMA S.A. www.stedima.gr Εισαγωγή Έρευνα Stedima: Ισότητα και Ισορροπία στην εργασιακή και προσωπική ζωή των ανωτάτων στελεχών Γιώργος Ντάκος, Πρόεδρος & Διευθύνων Σύμβουλος, Ροζίνα Κωστιάνη, Ρέα Μάνεση, STEDIMA S.A. www.stedima.gr

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Έρευνα Stedima: Η χρησιμοποίηση των εργαλείων κοινωνικής δικτύωσης (social networks) από στελέχη επιχειρήσεων

Έρευνα Stedima: Η χρησιμοποίηση των εργαλείων κοινωνικής δικτύωσης (social networks) από στελέχη επιχειρήσεων Έρευνα Stedima: Η χρησιμοποίηση των εργαλείων κοινωνικής δικτύωσης (social networks) από στελέχη επιχειρήσεων Εισαγωγή Γιώργος Ντάκος, Πρόεδρος & Διευθύνων Σύμβουλος, Χαρχαντής Αθανάσιος STEDIMA S.A. www.stedima.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

e-seminars Αναπτύσσομαι 1 Προσωπική Βελτίωση Seminars & Consulting, Παναγιώτης Γ. Ρεγκούκος, Σύμβουλος Επιχειρήσεων Εισηγητής Ειδικών Σεμιναρίων

e-seminars Αναπτύσσομαι 1 Προσωπική Βελτίωση Seminars & Consulting, Παναγιώτης Γ. Ρεγκούκος, Σύμβουλος Επιχειρήσεων Εισηγητής Ειδικών Σεμιναρίων e-seminars Πρωτοποριακή Συνεχής Επαγγελματική και Προσωπική Εκπαίδευση Προσωπική Βελτίωση Αναπτύσσομαι 1 e Seminars Copyright Seminars & Consulting Page 1 Περιεχόμενα 1. Γιατί είναι απαραίτητη η ανάπτυξη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Διδάσκων: Γεώργιος Γιαγλής. Παράδειγμα Μπαρ

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Διδάσκων: Γεώργιος Γιαγλής. Παράδειγμα Μπαρ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Διδάσκων: Γεώργιος Γιαγλής Παράδειγμα Μπαρ Σκοπός της παρούσας άσκησης είναι να προσομοιωθεί η λειτουργία ενός υποθετικού μπαρ ώστε να υπολογίσουμε το μέσο χρόνο

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #10: Αλγόριθμοι Διαίρει & Βασίλευε: Master Theorem, Αλγόριθμοι Ταξινόμησης, Πιθανοτικός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης K.5.1 Γραμμή Παραγωγής Μια γραμμή παραγωγής θεωρείται μια διάταξη με επίκεντρο το προϊόν, όπου μια σειρά από σταθμούς εργασίας μπαίνουν σε σειρά με στόχο ο κάθε ένας από αυτούς να κάνει μια ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική Εκτίμηση του Μέγιστου Εφικτού Λόγου Μη Εργαζομένων προς Εργαζόμενους στην Ελληνική Οικονομία

Ποσοτική Εκτίμηση του Μέγιστου Εφικτού Λόγου Μη Εργαζομένων προς Εργαζόμενους στην Ελληνική Οικονομία Ποσοτική Εκτίμηση του Μέγιστου Εφικτού Λόγου Μη Εργαζομένων προς Εργαζόμενους στην Ελληνική Οικονομία Θεόδωρος Μαριόλης * 1. Εισαγωγή Ο λεγόμενος Λόγος Οικονομικής Εξάρτησης (Economic Dependency Ratio),

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικές Σημειώσεις για τη Διάλεξη 8

Συμπληρωματικές Σημειώσεις για τη Διάλεξη 8 Συμπληρωματικές Σημειώσεις για τη Διάλεξη 8 Ένα από τα παράδοξα της ισορροπίας Nash που μπορεί να θεωρηθεί και σαν αδυναμία της είναι ότι σε κάποια παίγνια οι παίκτες έχουν μεγαλύτερο όφελος αν δεν διαλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

Δημοπρασίες (Auctions)

Δημοπρασίες (Auctions) Δημοπρασίες (Auctions) Παύλος Στ. Εφραιμίδης Τομέας Λογισμικού και Ανάπτυξης Εφαρμογών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Δημοπρασίες Σε μια δημοπρασία, κάποιο αγαθό πωλείται σε αυτόν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν.

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι μόνος είναι απλά ένα όνειρο. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι με άλλους μαζί είναι πραγματικότητα. John Lennon Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Πιστοποίηση επάρκειας της ελληνομάθειας. Οδηγίες για την ανάπτυξη εξεταστικών ερωτημάτων

Πιστοποίηση επάρκειας της ελληνομάθειας. Οδηγίες για την ανάπτυξη εξεταστικών ερωτημάτων Πιστοποίηση επάρκειας της ελληνομάθειας. Οδηγίες για την ανάπτυξη εξεταστικών ερωτημάτων Εισαγωγή Από το Μάιο του 2011 έγιναν ουσιαστικές και ριζικές αλλαγές στο πιστοποιητικό ελληνομάθειας, που αφορούν

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα σχεδιασμού και παρουσίασης μικροδιδασκαλίας

Παράδειγμα σχεδιασμού και παρουσίασης μικροδιδασκαλίας Παράδειγμα σχεδιασμού και παρουσίασης μικροδιδασκαλίας Στο τρίτο άρθρο αυτής της σειράς, η οποία αποτελεί μια πρώτη, μικρή απάντηση στις ανάγκες των εκπαιδευτών του σεμιναρίου της 12 ης & 13 ης Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Μακρή EFIAP. www.michalismakri.com

Μιχάλης Μακρή EFIAP. www.michalismakri.com Μιχάλης Μακρή EFIAP www.michalismakri.com Γιατί κάποιες φωτογραφίες είναι πιο ελκυστικές από τις άλλες; Γιατί κάποιες φωτογραφίες παραμένουν κρεμασμένες σε γκαλερί για μήνες ή και για χρόνια για να τις

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΕΛΤΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΕΛΤΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΕΛΤΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ Έκδοση 1.0, Ιούνιος 2015 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ, ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΛΙΣΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Προγραμματισμός και Αλγόριθμοι Από το και τημ Χελώμα στημ Ευριπίδης Βραχνός http://evripides.mysch.gr/ 2014 2015 1 Προγραμματισμός Ζάννειο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πειραιά Ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΕΥΝΑ ΜΕΤΑΒΑΣΗΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΓΟΡΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΗ ΣΥΝΤΑΞΗ

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΕΥΝΑ ΜΕΤΑΒΑΣΗΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΓΟΡΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΗ ΣΥΝΤΑΞΗ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΕΥΝΑ ΜΕΤΑΒΑΣΗΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΓΟΡΑ Σ ΣΤΗ ΣΥΝΤΑΞΗ 1. Στόχοι της έρευνας Η ad-hoc έρευνα για τη µετάβαση από την αγορά εργασίας στη σύνταξη έχει τέσσερις βασικούς στόχους: Να διερευνήσει τον

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Vodafone Business E-mail & Website Hosting. Επισκόπηση

Vodafone Business E-mail & Website Hosting. Επισκόπηση Vodafone Business E-mail & Website Hosting Επισκόπηση Καλώς ορίσατε στις υπηρεσίες εταιρικού e-mail και website hosting της Vodafone. Η επαγγελματική σας εικόνα ενισχύεται μέσα από προσωποποιημένους e-mail

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

5 Ψυχολόγοι Προτείνουν Τις 5 Πιο Αποτελεσματικές Τεχνικές Μάθησης

5 Ψυχολόγοι Προτείνουν Τις 5 Πιο Αποτελεσματικές Τεχνικές Μάθησης 5 Ψυχολόγοι Προτείνουν Τις 5 Πιο Αποτελεσματικές Τεχνικές Μάθησης Μια πολύ ενδιαφέρουσα συζήτηση για τις πιο αποτελεσματικές στρατηγικές και τεχνικές μάθησης για τους μαθητές όλων των ηλικιών ανοίγουν

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 07: Λίστες Ι Υλοποίηση & Εφαρμογές

Διάλεξη 07: Λίστες Ι Υλοποίηση & Εφαρμογές Διάλεξη 07: Λίστες Ι Υλοποίηση & Εφαρμογές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ευθύγραμμες Απλά Συνδεδεμένες Λίστες (εισαγωγή, εύρεση, διαγραφή) Ευθύγραμμες Διπλά Συνδεδεμένες Λίστες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΣΤΟ WPT 21 CASH GAME CHALLENGE 2 ΣΤΙΣ 8 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2014

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΣΤΟ WPT 21 CASH GAME CHALLENGE 2 ΣΤΙΣ 8 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2014 ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΣΤΟ WPT 21 CASH GAME CHALLENGE 2 ΣΤΙΣ 8 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2014 Η ανώνυµος εταιρία REGENCY ENTERTAINMENT ΨΥΧΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΙ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗ Α.Ε. διενεργεί στις 8 Οκτωβρίου 2014 το CASH GAME CHALLENGE

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ο Απόλυτος Τρόπος Για Να Εκμεταλλευτείς Το Internet

Ο Απόλυτος Τρόπος Για Να Εκμεταλλευτείς Το Internet ΕΙΔΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ Ο Απόλυτος Τρόπος Για Να Εκμεταλλευτείς Το Internet Κυριαρχία Μέσω Internet Ταμπακάς Γεώργιος ΚΥΡΙΑΡΧΙΑ ΜΕΣΩ INTERNET Μία «Επαναστατική» Μέθοδος και ένας Super Επικερδής και Αυτοματοποιημένος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

«Δουλεύω Ηλεκτρονικά, Δουλεύω Γρήγορα και με Ασφάλεια - by e-base.gr»

«Δουλεύω Ηλεκτρονικά, Δουλεύω Γρήγορα και με Ασφάλεια - by e-base.gr» Επεξήγηση web site με λογικό διάγραμμα «Δουλεύω Ηλεκτρονικά, Δουλεύω Γρήγορα και με Ασφάλεια - by e-base.gr» Web : www.e-base.gr E-mail : support@e-base.gr Facebook : Like Twitter : @ebasegr Πολλοί άνθρωποι

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη απορρόφησης αποφοίτων του Α.Π.Θ. στην αγορά εργασίας

Μελέτη απορρόφησης αποφοίτων του Α.Π.Θ. στην αγορά εργασίας Μελέτη απορρόφησης του Α.Π.Θ. στην αγορά εργασίας Επιστημονικός Κλάδος: Καλών Τεχνών Τμήματα Εικαστικών & Εφαρμοσμένων Τεχνών, Θεάτρου, Μουσικών Σπουδών 1 Ιδρυματικά Υπεύθυνη Γραφείου Διασύνδεσης Α.Π.Θ.:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΙΝΤΕΡΝΕΤ ΚΩΣΤΗΣ ΚΙΤΣΟΠΟΥΛΟΣ Α 2

ΤΟ ΙΝΤΕΡΝΕΤ ΚΩΣΤΗΣ ΚΙΤΣΟΠΟΥΛΟΣ Α 2 ΤΟ ΙΝΤΕΡΝΕΤ ΚΩΣΤΗΣ ΚΙΤΣΟΠΟΥΛΟΣ Α 2 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΟ INTERNET Το Internet είναι ένα πλέγμα από εκατομμύρια διασυνδεδεμένους υπολογιστές που εκτείνεται σχεδόν σε κάθε γωνιά του πλανήτη και παρέχει τις υπηρεσίες

Διαβάστε περισσότερα