Επισκόπηση του Αλγορίθμου Gale-Shapley για το πρόβλημα σταθερού γάμου 1 / 10

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Επισκόπηση του Αλγορίθμου Gale-Shapley για το πρόβλημα σταθερού γάμου 1 / 10"

Transcript

1 1 / 10

2 Λ3 - Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ι Διδάσκων: Η. Κουτσουπιάς Καραγεώργος Βασίλειος Επισκόπηση του Αλγορίθμου Gale-Shapley για το πρόβλημα σταθερού γάμου

3 Εισαγωγή Το 1962, οι David Gale και Lloyd Shapley, από το πανεπιστήμιο Brown, δημοσίευσαν μια πραγματεία για την επίλυση του προβλήματος επιλογής υποψήφιων φοιτητών από ένα πανεπιστήμιο. Στην πορεία της πραγματείας, ανάγουν το πρόβλημα αυτό στο ευκολότερο πρόβλημα εύρεσης σταθερού γάμου, δείχνοντας ότι αυτό είναι μία ειδική περίπτωση του αρχικού προβλήματος. Επίσης παρουσιάζονται και μερικά ακόμα προβλήματα-παραδείγματα, όπως αυτό τις επιλογής συγκατοίκου, τα οποία όμως αν και ομοιάζουν αρκετά στο αρχικό, τελικά δεν είναι συμβατά. Άμα την επίλυση του προβλήματος σταθερού γάμου, η γενίκευση του αλγορίθμου που οδηγεί στην επίλυση του αρχικού προβλήματος γίνεται εμφανής. Τελικώς, η γενικευμένη λύση, στην ουσία αποτελεί έναν αλγόριθμο ανάθεσης, που δημιουργεί ζεύγη μεταξύ δύο συνόλων μη ομότιμων αντικειμένων, με βέλτιστο τρόπο. Πιο συγκεκριμένα, το αρχικό πρόβλημα επιλογής υποψηφίων έχει ως εξής: Έστωσαν κάποια πανεπιστήμια και μια ομάδα από υποψήφιους φοιτητές, n τω πλήθει. Έκαστο πανεπιστήμιο θέλει εκ των n φοιτητών, να επιλέξει μόνο ένα μέρος q. Προφανώς, η επιλογή των q καλλιτέρων εκ των υποψηφίων δεν επαρκεί, καθότι είναι πιθανόν κάποιοι εξ αυτών να αρνηθούν. Το γε νυν έχον, το πανεπιστήμιο θα πρέπει εν γένει να επιλέξει περισσότερους των q, χωρίς να είναι καταφανές πόσοι και ποιοι πρέπει να είναι αυτοί. Αυτό συμβαίνει διότι δεν είναι εν γένει γνωστόν εάν έκαστος υποψήφιος έχει κάνει και σε άλλο πανεπιστήμιο αίτηση, με ποια σειρά προτίμησης έχει κατατάξει τα πανεπιστήμια και εάν κάποιο άλλο πανεπιστήμιο θα τον ζητήσει. Πέραν των προβλημάτων που παρουσιάζονται στην εν λόγω διαδικασία για το πανεπιστήμιο, προβλήματα παρουσιάζονται και για τον ίδιο τον υποψήφιο, καθώς εάν κατά την αίτηση του ζητηθεί εξ ενός των πανεπιστημίων να πει σε ποια άλλα έχει κάνει επίσης αίτηση και με ποια σειρά προτίμησης, τότε για προφανείς λόγους μπορεί να μειωθούν οι πιθανότητές του να γίνει δεκτός από αυτό. Επίσης, εάν ψευδομαρτυρήσει για να ξεπεράσει το πρόβλημα αυτό, τίθεται το θέμα του κατά πόσον κάτι τέτοιο είναι ηθικό, όπως γίνεται και στην περίπτωση όπου δέχεται για εξασφάλιση να εγγραφεί αρχικώς σε ένα πανεπιστήμιο που δεν είναι το προτιμητέο και ύστερα το απορρίπτει χάριν ενός άλλου που είναι προτιμότερο και που τον εδέχθη επίσης. Ορισμός του προβλήματος Ας ορίσουμε τώρα αυστηρότερα τις παραμέτρους του προβλήματος επιλογής. Έστωσαν ένα σύνολο Υ με n υποψήφιους, ένα σύνολο Π με m πανεπιστήμια και μια πεπερασμένη ακολουθία (qi), της οποίας το i-οστό στοιχείο είναι το πλήθος των φοιτητών που θέλει να δεχθεί το i-οστό πανεπιστήμιο. Έκαστος υποψήφιος ταξινομεί τα πανεπιστήμια με σειρά προτίμησης, συμπεριλαμβανομένων και αυτών που δεν τον ενδιαφέρουν. Ομοίως, έκαστο πανεπιστήμιο ταξινομεί τους υποψήφιους με σειρά προτίμησης, συμπεριλαμβανομένων ακόμα και αυτών που δεν θα δεχόταν υπό ουδεμία περίσταση. Σκοπός είναι να βρεθεί ένας μερικός ομομορφισμός f:υ Υ Π, όπου ο f εξαρτάται από τις προαναφερθείσες ταξινομήσεις και από κάποια κριτήρια μεροληψίας, τα οποία πρόκειται να συμφωνηθούν παρακάτω, τέτοιος ώστε η ανάθεση των στοιχείων του Y στο Π να είναι σταθερή. Σταθερή, θα ονομάζεται οποιαδήποτε ανάθεση του Y στο Π, για την οποία δεν υπάρχουν δύο στοιχεία του Υ Π, (υ1,π1) και (υ2,π2), τέτοια που ο υ1 και το π2 συμφωνούν στο ότι θα προτιμούσαν την ανάθεση (υ1,π2). Κατά συνέπεια, ασταθής, θα ονομάζεται οποιαδήποτε ανάθεση για την οποία υπάρχουν τουλάχιστον δύο τέτοια ζεύγη και αυτό διότι είναι δυνατόν ο εν λόγω υποψήφιος να ζητήσει αίτηση μετεγγραφής στο εν λόγω πανεπιστήμιο, το οποίο θα τον δεχθεί, διαταράσσοντας έτσι την ισορροπία της ανάθεσης προς το αμοιβαίο όφελός των. Όσον για τα κριτήρια μεροληψίας, δεδομένου του ότι τα πανεπιστήμια υπάρχουν για τους φοιτητές και όχι το ανάστροφο, στην περίπτωση που δύο πανεπιστήμια και δύο υποψήφιοι δεν συμφωνούν μεταξύ τους για την ανάθεση, προτεραιότητα δίδεται στους υποψήφιους. 3 / 10

4 Έχοντας ορίσει το πρόβλημα και τον σκοπό, αναρωτάται κανείς αν το πρόβλημα δύναται πάντα να επιλυθεί. Αυτό ισοδυναμεί με την ερώτηση του αν υπάρχει πάντα μια σταθερή ανάθεση για κάθε δυνατό πρόβλημα. Όπως θα φανεί παρακάτω, η ύπαρξη λύσης είναι πάντα εξασφαλισμένη. Το γε νυν έχον, ορίζουμε ως κάλλιστη λύση την σταθερή εκείνη ανάθεση, για την οποία δεν υπάρχει άλλη σταθερή ανάθεση υπό την οποία κάποιος υποψήφιος θα ήταν πιο ευχαριστημένος από την πρώτη. Η ύπαρξη κάλλιστης λύσης δεν είναι προφανής, αλλά είναι προφανής η μοναδικότητά της, εάν αυτή υπάρχει. Αυτό φαίνεται αμέσως υποθέτοντας ότι υπάρχουν δύο κάλλιστες λύσεις, καθώς οδηγούμαστε σε ατόπημα από τον ορισμό και την υπόθεση μεροληψίας. Το πρόβλημα του σταθερού γάμου ως ειδική περίπτωση Η απάντηση στο ερώτημα της ύπαρξης λύσης μπορεί να διαφανεί ευκολότερα μέσω της μελέτης ενός απλούστερου προβλήματος. Ας θεωρήσουμε την ειδική περίπτωση όπου το πλήθος των υποψηφίων είναι ίσο με το πλήθος των πανεπιστημίων, και ότι κάθε πανεπιστήμιο θέλει μονάχα έναν φοιτητή. Αν και η περίπτωση αυτή φαντάζει εξωπραγματική, αποκτά νόημα αν αντικαταστήσουμε τους υποψήφιους και τα πανεπιστήμια με άντρες και γυναίκες αντίστοιχα. Τότε η ειδική αυτή περίπτωση του προβλήματος επιλογής υποψηφίων μετατρέπεται σε πρόβλημα γάμων, και η σταθερή ανάθεση τώρα σημαίνει σταθερούς γάμους. Όπως φαντάζεται κανείς, η αντιστοίχηση θα μπορούσε να γίνει και ανάποδα, με τον ρόλο των υποψηφίων να τον αναλαμβάνουν οι γυναίκες. Το αποτέλεσμα θα ήταν το ίδιο το μόνο που αλλάζει σε κάθε περίπτωση είναι ποιος από τους δύο (άντρες ή γυναίκες) θα βγει ριγμένος. Αυτό οφείλεται στο κριτήριο μεροληψίας που έχουμε εισαγάγει και που είναι απόλυτα συνυφασμένο με το γεγονός ότι τα στοιχεία των δύο συνόλων υπόψιν δεν είναι ομότιμα. Έτσι, το φαινομενικά όμοιο πρόβλημα ανάθεσης συγκατοίκου, όπου μία ομάδα από άρτιο αριθμό ατόμων χωρίζεται σε ζεύγη, δεν αποτελεί ειδική περίπτωση του αρχικού. Αυτό καθίσταται σαφές αν χωρίσουμε την αρχική ομάδα σε δύο ισοπληθή σύνολα, καθώς τα σύνολα αυτά θα αποτελούνται από ομότιμα αντικείμενα, και άρα το κριτήριο μεροληψίας δεν εφαρμόζεται. Ο αλγόριθμος σταθερού γάμου Η ύπαρξη της λύσης στο πρόβλημα αυτό αποδεικνύεται με την παρουσίαση του αλγορίθμου που οδηγεί ένα τυχαίο σύνολο ανδρών και ένα γυναικών σε σταθερούς γάμους: function stablematching { Initialize all m in M and w in W to free while exists free man m who still has a woman w to propose to { w = m highest ranked such woman if w is free (m, w) become engaged else some pair (m', w) already exists if w prefers m to m' (m, w) become engaged m' becomes free else (m', w) remain engaged } } Σε κάθε γύρο, κάθε εκτέλεση δηλαδή του βρόγχου, έκαστος άνδρας κάνει πρόταση στην προτιμότερη γυναίκα απ' όσες δεν έχει ήδη προτείνει. Η γυναίκα τον απορρίπτει εάν είναι ήδη ταγμένη σε κάποιον που τον προτιμά καλλίτερα, ειδάλλως τον αποδέχεται αν μη τι άλλο προσωρινά. Δύο ιδιότητες αυτού του αλγορίθμου είναι που πρέπει να προσέξουμε. Πρώτον, στο τέλος της διαδικασίας, δεδομένου του ίσου αριθμού ανδρών και γυναικών, όλοι είναι ζευγαρωμένοι 4 / 10

5 (παντρεύονται), γιατί άπαξ και μια γυναίκα ταχθεί σε κάποιον, θα είναι ταγμένη μέχρι τέλους είτε σε αυτόν είτε σε κάποιον άλλον και δεν δύναται να μείνει γυναίκα άτακτη, καθότι εν τη ανάγκη, κάποιος άντρας θα προτείνει σε όλες τις γυναίκες και η άτακτη είναι αναγκασμένη να δεχθεί. Δεύτερον, όλοι οι γάμοι είναι σταθεροί. Υποθέτοντας ότι στο τέλος, ο άντρας Α και η γυναίκα Γ είναι δεσμευμένοι, αλλά όχι μεταξύ τους ενώ θα το ήθελαν αμφότεροι, οδηγούμαστε σε ατόπημα, καθώς εάν ο Α προτιμούσε την Γ από την τρέχουσα γυναίκα του, τότε θα της είχε προτείνει νωρίτερα και συνεπώς, αν και η Γ προτιμούσε τον Α από τον τρέχοντα άνδρα της, θα τον είχε δεχθεί και θα είχε απορρίψει τον τρέχοντα για χάρη του. Αναφέραμε πρωτύτερα, ότι οι γυναίκες βγαίνουν ριγμένες. Αυτό σημαίνει ότι οι άνδρες τελικώς αποκτούν την προτιμότερη δυνατή επιλογή τους, ενώ οι γυναίκες την τελευταία δυνατή επιλογή. Λέμε δηλαδή ότι ο αλγόριθμος Gale-Shapley είναι άρρεν-βέλτιστος και θήλυ-χείριστος και αυτό οφείλεται στην μεροληψία, δηλαδή ότι οι άνδρες είναι αυτοί που κάνουν τις προτάσεις, ενώ οι γυναίκες αυτές που δέχονται. Πάρα ταύτα, οι γυναίκες έχουν την δυνατότητα να αλλάζουν σύντροφο ώστε να ευτυχίσουν περισσότερο, ενώ οι άνδρες όχι. Ας σημειωθεί, βέβαια, ότι ο αλγόριθμος έχει συμμετρία, και η εναλλαγή ρόλων μεταξύ ανδρών και γυναικών πάλι οδηγεί σε σταθερούς γάμους, με άρρεν-χείριστα και θήλυ-βέλτιστα αποτελέσματα. Ακόμα, η αποδοχή που κάναμε αρχικώς, ότι τα δύο σύνολα είναι ισοπληθή, δεν είναι αναγκαίος. Εύκολα φαίνεται, ότι στην περίπτωση που οι άνδρες είναι περισσότεροι από τις γυναίκες, τότε ο αλγόριθμος τερματίζει όταν όλοι οι άνδρες είναι είτε δεσμευμένοι είτε έχουν απορριφθεί από όλες τις γυναίκες. Από την άλλη, εάν οι γυναίκες είναι περισσότερες από τους άνδρες, τότε ο αλγόριθμος τερματίζει όταν έχουν δεχθεί πρόταση τότες γυναίκες, όσοι άνδρες υπάρχουν. Αν και στην περίπτωση αυτή των άνισων πληθυσμών δεν παντρεύονται όλοι, οι γάμοι είναι πάλι σταθεροί. Ο αλγόριθμος επιλογής υποψηφίων Η επέκταση του προβλήματος σταθερού γάμου στο αρχικό γενικότερο πρόβλημα επιλογής υποψηφίων από πανεπιστήμια είναι τώρα εμφανής. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι εάν ένας υποψήφιος δεν είναι κατάλληλος για ένα πανεπιστήμιο, τότε δεν του επιτρέπεται να κάνει αίτηση. O αλγόριθμος έχει ως εξής: function stableadmission { Initialize all c in C to eligible Initialize all u in U to max quota while exists eligible candidate c that still has a university U to apply to { u = c highest ranked such university if u has available quota (c, u) on waiting list else if u prefers c to some c' on waiting list (c, u) on waiting list c' becomes eligible again else c is rejected and must try next available university in next loop } } Ο αλγόριθμος τερματίζεται όταν κάθε υποψήφιος είναι είτε σε μία λίστα αναμονής, είτε έχει απορριφθεί από όλα τα δυνατά πανεπιστήμια. Το ότι οι αναθέσεις αυτές είναι σταθερές είναι ευθέως ανάλογο με την περίπτωση του προβλήματος σταθερών γάμων. Μένει να δειχθεί ότι η λύση αυτή είναι επίσης και η μοναδική βέλτιστη λύση. Ας αποκαλέσουμε ένα πανεπιστήμιο δυνατό για έναν υποψήφιο, όταν υπάρχει κάποια λύση του προβλήματος, κάποια σταθερή ανάθεση δηλαδή, στην οποία γίνεται δεκτός από αυτό. Έστω ότι μέχρις ενός σημείου στην πορεία των αναθέσεων, ουδείς υποψήφιος έχει απορριφθεί ακόμα από 5 / 10

6 κάποιο δυνατό πανεπιστήμιο. Υποθέτουμε ότι στο σημείο αυτό, το πανεπιστήμιο Α, αποδεχόμενο ένα ποσοστό q από υποψήφιους (βq), απορρίπτει τον α. Πρέπει να δειχθεί ότι το Α δεν είναι δυνατό για τον α. Για τον σκοπό αυτό, έστω ότι υπάρχει μία λύση που κάνει τον α αποδεκτό τελικώς από το Α. Τότε, κάποιος βi από τους προαναφερθέντες βq θα πρέπει να πάει σε κάποιο άλλο πανεπιστήμιο Β. Προφανώς λοιπόν, η ανάθεση αυτή δεν είναι σταθερή, γιατί ο βi προτιμά το Α από το Β, μιας και είχε γίνει ήδη αποδεκτός από αυτό. Αλλά και το Α προτιμά τον βi από τον α, αφού είχε απορρίψει τον α για χάρη του βi πρωτύτερα. Συνεπώς το Α δεν είναι δυνατό για τον α και ο αλγόριθμος απορρίπτει υποψήφιους μόνο από τα μη δυνατά για τον καθένα πανεπιστήμια. Άρα τελικώς, η λύση που δίδει είναι βέλτιστη. Ψέμματα και τρωτά σημεία του αλγόριθμου Όλα τα παραπάνω έχουν βασιστεί στην σιωπηλή υπόθεση, ότι λαμβάνουν χώρα σε έναν ιδανικό κόσμο, όπου δεν υφίσταται διαφθορά και συνεπώς όλοι οι συμμετέχοντες λένε την αλήθεια για τις προτιμήσεις τους. Ο πραγματικός κόσμος, όμως, όπως ξέρουμε όλοι, απέχει πολύ από αυτήν την εξιδανίκευση. Τι συμβαίνει λοιπόν όταν κάποιος λέει ψέμματα; Μπορεί κάποιος να επιτύχει καλύτερα αποτελέσματα, με το να κρύψει την αλήθεια για τις προτιμήσεις του; Προηγούμενες μελέτες, όπως αυτή του Roth 1 δείχνουν ότι σε μια άρρεν-βέλτιστη εφαρμογή του αλγορίθμου σταθερού γάμου, οι άνδρες δεν δύνανται να επιτύχουν καλλίτερα αποτελέσματα. Αυτό είναι εν μέρη αναμενόμενο, αν και όχι προφανές, καθότι ο αλγόριθμος είναι ήδη βέλτιστος για τους άνδρες. Από την άλλη, οι Gale και Sotomayor 2 έδειξαν ότι στην εν λόγω περίπτωση, μια γυναίκα μπορεί να επιτύχει τον καλλίτερο δυνατό άνδρα, λέγοντας ψέμματα. Η ιδέα είναι να απορρίπτει οποιονδήποτε άνδρα είναι χειρότερος από αυτόν. Έτσι, αν και οι άνδρες είναι αυτοί που κάνουν την πρόταση, η γυναίκα που εφαρμόζει αυτή την στρατηγική έχει καλές πιθανότητές να επιτύχει τον επιθυμητό άνδρα το μόνο που μπορεί να την εμποδίσει είναι μια άλλη γυναίκα η οποία εφαρμόζει την ίδια τακτική. Μια κατά τα φαινόμενα πιθανή λύση στο πρόβλημα αυτό, είναι να ζητηθεί από τις γυναίκες να παραδώσουν εξ αρχής μια πλήρης λίστα με τις προτιμήσεις τους σε κάποια κεντρική αρχή, όπως για παράδειγμα ένα γραφείο συνοικεσίων και να αναλάβει η αρχή αυτή να κάνει τις αναθέσεις, αντί να γίνονται αυτές διαδοχικά και κατ' ιδίαν. Πάρα ταύτα, η εργασία των Gusfield και Irving 3 δείχνει ότι ακόμα και σε αυτή την περίπτωση, κάποια πονηρή γυναίκα μπορεί να επιτύχει τον καλλίτερο δυνατό άνδρα, εναλλάσσοντας με κάποιον συγκεκριμένο τρόπο τις καταχωρήσεις στην λίστα των προτιμήσεων. Ποίος όμως είναι ο καλλίτερος δυνατός άνδρας για μία γυναίκα; Ο ιδανικός άνδρας που ίσως έχει αυτή στο μυαλό της πιθανόν να μην είναι δυνατός, γιατί μπορεί αυτός να την έχει τελευταία στην λίστα και να μην τύχει να της κάνει πρόταση ποτέ. Πρέπει λοιπόν με κάποιον τρόπο η γυναίκα να τον αναγνωρίσει εξ αρχής, ώστε να μπορέσει στην συνέχεια, κατά την διαδικασία της επιλογής, ή μέσω της παρακεχαραγμένης λίστας να κλέψει. Αν υποθέσουμε, σε μια παραλλαγή της διαδικασίας επιλογής, ότι μια γυναίκα μπορεί να αρνηθεί έναν άνδρα, τότε η στρατηγική ευρέσεως του καλλίτερου δυνατού άνδρα είναι μάλλον προφανής αρκεί η γυναίκα να αρνηθεί τους πάντες και έχοντας μελετήσει τις προτιμήσεις όλων τον ανδρών, οι οποίες πια έχουν φανερωθεί, ξέρει ποιόν να προτιμήσει στην δεύτερη ευκαιρία, την επόμενη δηλαδή εκτέλεση της διαδικασίας, αφού έχοντας μείνει αυτή ελεύθερη, το πρόβλημα δεν έχει λυθεί και πρέπει να επανεπιχειρηθεί. Από την άλλη, αν δεν δώσουμε στις γυναίκες την δυνατότητα να αρνηθούν κάποιον άνδρα ως ακατάλληλο, τότε η εύρεση του καλλίτερου δυνατού γίνεται δυσκολότερη, και παύει να είναι 1 Roth, A.E. (1982). The Economics of Matching: Stability and Incentives. Mathematics of Operations Research Gale, D., M. Sotomayor (1985b). Ms Machiavelli and the Stable Matching Problem. American Mathematical Monthly Gusfield, D., R. W. Irving (1989). The Stable Marriage Problem: Structure and Algorithms, MIT Press, Massachusetts. 6 / 10

7 δεδομένη. Στην περίπτωση αυτή η βέλτιστη στρατηγική εξαπάτησης για μία γυναίκα, έχει διατυπωθεί από τους Chung-Piaw Teo, Jay Sethuraman, και Wee-Peng Tan 4 : 1. Εκτελούμε τον άρρεν-βέλτιστο αλγόριθμο με την πραγματική λίστα προτιμήσεων της γυναίκας Γ. Σημειώνουμε όλους τους άνδρες οι οποίοι της έκαναν πρόταση. Έστω ο άρρενβέλτιστος άνδρας για την Γ ο Α και Π(Α,Γ) η πραγματική λίστα προτιμήσεων Π(Γ) 2. Έστω ότι ο Α έκανε πρόταση στην Γ κατά το βήμα (1). Μεταφέροντας τον Α στην κορυφή της λίστας Π(Α,Γ), έχουμε την παρακεχαραγμένη λίστα Π(Α,Γ) όπου τώρα ο Α είναι ο άρρεν-βέλτιστος για την Γ. Ονομάζουμε τον Α δυνατό για την Γ. 3. Επαναλαμβάνουμε το βήμα (2) για κάθε άνδρα που έκανε πρόταση στην Γ κατά το βήμα (1). Μέτα την επανάληψη, λέμε ότι ο άνδρας Α, ο πραγματικός άρρεν-βέλτιστος δηλαδή, έχει εξαντληθεί. 4. Εάν ένας δυνατός άνδρας για την Γ, έστω ο Α, δεν έχει εξαντληθεί, τότε εκτελούμε πάλι τον αλγόριθμο του βήματος (1), αλλά με την λίστα Π(Α,Γ). Βρίσκουμε νέου δυνατούς άνδρες για την Γ, επαναλαμβάνουμε για κάθε έναν από αυτούς το βήμα (2) και ορίζουμε τον Α εξαντλημένο. 5. Επαναλαμβάνουμε το βήμα 4, μέχρις ότου όλοι οι δυνατοί άνδρες για την Γ έχουν εξαντληθεί. Έστω Ε το σύνολο όλων των εξαντλημένων (και άρα δυνατών) ανδρών για την Γ. 6. Μεταξύ των ανδρών στο Ε, έστω Α* ο προτιμότερος της Γ. Τότε η λίστα Π(Α*,Γ) είναι η βέλτιστη στρατηγική για την Γ. Η στρατηγική αυτή, δεν έχει εγγυημένα αποτελέσματα, όμως. Η επιρροή των γυναικών, ακόμα κι έτσι είναι περιορισμένη εκ των πραγμάτων. Ένα απλό παράδειγμα που το αποδεικνύει είναι η περίπτωση όπου έκαστος άνδρας επιθυμεί μία συγκεκριμένη γυναίκα την οποία δεν επιθυμεί κανείς άλλος. Τότε ο αλγόριθμος τερματίζει μετά την πρώτη εκτέλεση του βρόγχου και οι γυναίκες δεν έχουν καμία δυνατότητα να αλλάξουν το αποτέλεσμα. Συνεπώς, γεννάται το ερώτημα του κατά πόσον μπορεί να ωφεληθεί κανείς προσπαθώντας να εξαπατήσει, κατά πόσον αυτό είναι εύκολο και τελικά, συναρτήσει των δύο προηγουμένων ερωτήσεων, του κατά πόσον αξίζει κανείς να το επιχειρήσει. Η απάντηση στα ερωτήματα αυτά δεν είναι εύκολη. Οι Chung-Piaw Teo, Jay Sethuraman, και Wee-Peng Tan κλείνουν την ανάλυσή τους με την διαπίστωση ότι τελικά, δεν αξίζει τον κόπο να το επιχειρήσει κανείς. Από την άλλη, ο Chien- Chung Huang 5 σε μια σχετική εργασία του, κάνει μια πολύ εκτενέστερη ανάλυση. Μελετά τις περιπτώσεις όπου υποομάδες των ατόμων που δύνανται να ωφεληθούν με την εξαπάτηση, σχηματίζουν συμμαχίες και διακρίνει περιπτώσεις. Αποδεικνύει ότι σε κάθε συμμαχία, χρειάζεται να υπάρχουν άτομα τα οποία δεν έχουν τίποτα να κερδίσουν με την εξαπάτηση, αλλά τα οποία δρουν ως καταλύτες, βοηθώντας τους υπόλοιπους στην συμμαχία, αν θέλουν να επιτύχουν αισθητά αποτελέσματα. Το κακό με αυτό είναι ότι τα άτομα αυτά, είναι δύσκολο να βρεθούν, δεδομένης της ελλείψεως κινήτρου. Ακόμα, όταν σχηματίζονται συμμαχίες, υπάρχει τουλάχιστον ένα άτομο από την αρχική ομάδα, το οποίο θα βγει ριγμένο δεν γίνεται δηλαδή να βγουν όλοι κερδισμένοι μέσω μιας ομαδικής εργασίας. Αυτό δημιουργεί επιπλέον προβλήματα, γιατί κάποιοι που μπαίνουν στον πειρασμό να εξαπατήσουν, μπορεί να απέχουν τελικά, εξ αιτίας ηθικών διλημμάτων, εν τη γνώσει αυτή. Πάρα ταύτα, το πρόβλημα έλλειψης κινήτρου, μπορεί εν μέρει να ξεπεραστεί, εφαρμόζοντας μια τεχνική τυχαίας εξαπάτησης, όπου όλοι όσοι συμμετέχουν έχουν καλές πιθανότητες να πετύχουν ένα καλλίτερο αποτέλεσμα, με το ρίσκο όμως του να τους τύχει κάποιο χειρότερο. Τέλος, ο Chien-Chung Huang μελετά έναν ακόμα λόγο του να εξαπατήσει κανείς, πέραν του προαναφερθέντα για το μεγαλύτερο όφελος την περίπτωση όπου κάποιος κακοήθης, λέει ψέμματα, για να βλάψει κάποιον άλλον, άσχετα με το αποτέλεσμα που θα έχει αυτό στο δικό του άμεσο 4 Βλέπε Βιβλιογραφία, σημείωση 6. 5 Βλέπε Βιβλιογραφία, σημείωση 4 7 / 10

8 όφελος. Αποδεικνύει ότι είναι δυνατόν ένας άνδρας να βλάψει κάποιον άλλον, κάνοντας πρόταση όχι στην γυναίκα που τον ενδιαφέρει άμεσα, αλλά σε αυτήν που ενδιαφέρει το θύμα, και μάλιστα υπάρχει τρόπος να το κάνει αυτό, χωρίς να αλλάξει το δικό του τελικό αποτέλεσμα, δηλαδή χωρίς να βλάψει το δικό του άμεσο όφελος. Το ότι μπορεί να το κάνει κάποιος αυτό χωρίς προσωπική ζημία σημαίνει αμέσως ότι είναι και πολύ πιθανόν να γίνει στην πράξη, οπότε το να είναι κανείς τίμιος είναι τελικά κακή στρατηγική. Αν και τα συμπεράσματα των Chung-Piaw Teo, Jay Sethuraman, και Wee-Peng Tan φαίνεται να έρχονται σε αντίθεση με αυτά του Chien-Chung Huang σε πρώτη φάση, μπορεί κανείς να πει ότι τελικώς από μίαν άποψη συμφωνούν. Δεδομένου του πόσο δύσκολο είναι κανείς να κλέψει, αν και αυτό μπορεί να αποδώσει σημαντικά υπό ορισμένες συνθήκες, ακόμα και να προστατέψει, είναι μάλλον ασύμφορο από άποψη οικονομίας χρόνου και ενέργειας. Εφαρμογές του αλγόριθμου στον πραγματικό κόσμο Ίσως με όλες αυτές τις υποθέσεις και τις εξιδανικεύσεις που έχουν γίνει στην ανάλυση του αλγορίθμου Gale-Shapley, να αναρωτάται κανείς κατά πόσον είναι αυτός εφαρμόσιμος σε αληθινά περιστατικά. Αν και δεν υπάρχουν αναφορές για την αξιοποίησή του στην επίλυση του αρχικού προβλήματος επιλογής υποψηφίων από πανεπιστήμια, παρόλο που υπάρχουν εργασίες που ισχυρίζονται ότι κάτι τέτοιο θα μπορούσε να αποδώσει σε χώρες με συστήματα εισαγωγής όπως της Ελλάδος και της Σιγκαπούρης, έχει βρει εφαρμογή σε ένα παρεμφερές πρόβλημα, την ανάθεση κλινικής σε φοιτητές ιατρικής στις ΗΠΑ. Όταν ένας φοιτητής ιατρικής αποφοιτήσει και έρθει η ώρα να κάνει την ειδίκευσή του, επισκέπτεται έναν αριθμό από κλινικές ανά την χώρα, δίδοντας συνεντεύξεις. Μετά το πέρας της περιοδείας αυτής, στέλνει μια λίστα στον εθνικό οργανισμό υγείας, με τις κλινικές κατά σειρά προτίμησης και το ίδιο κάνουν και οι κλινικές για τους φοιτητές αντίστοιχα. Εκεί, οι λίστες επεξεργάζονται από υπολογιστές και με την εφαρμογή του αλγορίθμου Gale-Shapley βγάζουν της αναθέσεις με προτεραιότητα την σταθερότητα των αποτελεσμάτων. Αν και αυτό ακούγεται καλό αρχικά, έχουν σημειωθεί σημαντικές αντιθέσεις στην πρακτική αυτή από τους φοιτητές και αυτό οφείλεται όπως θα περίμενε κανείς στην μεροληψία του αλγορίθμου. Αν και στην αρχή του κειμένου, ισχυριστήκαμε ότι τα πανεπιστήμια υπάρχουν για τους φοιτητές, δεν συμβαίνει το ίδιο και με τις κλινικές τον προνομιακό ρόλο των ανδρών αναλαμβάνουν εδώ οι κλινικές, με αποτέλεσμα οι φοιτητές να αισθάνονται ριγμένοι. Βάσει τούτου, έχουν γίνει αρκετές εκλύσεις για την εύρεση ενός παραλλαγμένου αλγορίθμου, ο οποίος να υποδεικνύει αμεροληψία, η αλλιώς να είναι συμμετρικός ως προς τα αποτελέσματα στην εναλλαγή ανδρών-γυναικών. Παρ' όλες τις προσπάθειες, κάτι τέτοιο δεν έχει βρεθεί και το πρόβλημα παραμένει μέχρι σήμερα. Μια άλλη πιο σύγχρονη εφαρμογή που μπορεί να βρει ο αλγόριθμος αυτός είναι στην μοντελοποίηση των εμπορικών δικτύων και τα οικονομικά που βασίζονται σε πράκτορες. Στα παίγνια εμπορικών δικτύων (TNG), ο κάθε παίκτης μπορεί να διαλέξει τους συνεργάτες με τους οποίους θα συνδιαλλαγεί, όπως και την στρατηγική που θα εφαρμόσει στην σχέση του με καθέναν από αυτούς, κάτι που θυμίζει την παραλλαγή που εξετάστηκε στην υπόθεση της εξαπάτησης. Έχουν εξεταστεί δύο διαφορετικά μοντέλα αγοράς, ένα στο οποίο υπάρχουν μόνο καθαροί αγοραστές και πωλητές και ένα στο οποίο υπάρχουν επίσης αμιγώς αγοραστές/πωλητές 6. Ο αλγόριθμος που έχει χρησιμοποιηθεί στην μελέτη αυτή είναι της καθυστερημένης επιλογής και άρνησης (DCR), μια παραλλαγή του Gale-Shapley που έχει αναπτυχθεί συγκεκριμένα για να χειρίζεται διπλής φοράς, ενδογενείς και μερικώς ρευστές δομές αγοράς, όπου ο κάθε αγοραστής και ο κάθε πωλητής έχουν αυθαίρετα νούμερα προσφορών που μπορούν να κάνουν. Τα αποτελέσματα του DCR έχει αποδειχθεί ότι έχουν τις ιδιότητες της σταθερότητας και της Pareto βελτιστοποίησης που έχουν και αυτά του Gale-Shapley 7. 6 Βλέπε Βιβλιογραφία, σημείωση 5 7 Tesfatsion, L. (1997a). A Trade Network Game with Endogenous Partner Selection," in Computational Approaches to Economic Problems (H. Amman, B. Rustem, A. B. Whinston, Eds.) 8 / 10

9 Τα συμπεράσματα από την μελέτη υποδηλώνουν την ύπαρξη πολλαπλών ισορροπιών Nash στα παίγνια όπου συμμετάσχουν οι συμβαλλόμενοι σε τέτοια μοντέλα αγοράς και δίνουν μια κατεύθυνση για περαιτέρω μελέτη. Ακόμα, φαίνεται ότι τα κριτήρια που χρησιμοποιούνται για την αξιολόγηση των αναθέσεων που σχηματίζονται ανάμεσα στους συμβαλλόμενους, δηλαδή η σταθερότητα και η Pareto 8 βελτιστοποίηση δεν είναι επαρκή, καθώς έχουν σχεδιαστεί για στατικές αγορές. Αυτό σημαίνει ότι η αξιολόγηση της απόδοσης του DCR πρέπει να γίνει στα πλαίσια μιας δυναμικής αγοράς, αν θέλουμε να πλησιάσουμε περισσότερο την συμπεριφορά των πραγματικών αγορών. Σύνοψη Στις δεκαετίες που έχουν περάσει από την δημοσίευση του αλγορίθμου Gale-Shapley για την επίλυση του προβλήματος σταθερού γάμου, έχουν γίνει πολλές κατοπινές μελέτες και έχουν εφευρεθεί αρκετές παραλλαγές, κατάλληλες η κάθε μία για διαφορετικά αλλά παρόμοια προβλήματα. Αυτή η ευπλαστία που τον χαρακτηρίζει, σε συνδυασμό με την απλότητα που τον διέπει είναι που του δίνουν μια διαχρονική αξία και που έχουν συμβάλει τόσο στην διάδοσή του και την εφαρμογή του σε τόσο διαφορετικούς τομείς. Οι ίδιοι οι συγγραφείς στο τέλος της δημοσίευσης καταπιάνονται με το θέμα του τι είναι τελικώς τα μαθηματικά, τι είναι αυτό που τα κάνει να ξεχωρίζουν τόσο από τις άλλες επιστήμες, βασισμένοι στο γεγονός ότι το άρθρο τους είναι σαφώς μαθηματικού χαρακτήρα, αν και δεν περιέχει ούτε έναν μαθηματικό τύπο. Διατείνονται ότι αυτό που κάνει τα μαθηματικά αυτό που είναι, είναι στην ουσία η ίδια η προσπάθεια που πρέπει να καταβάλει κανείς για να συλλάβει και να κατανοήσει τις σχέσεις μεταξύ των εννοιών που παρουσιάζονται μέσα από αυτά. Έτσι, ισχυρίζονται ότι το συγκεκριμένο άρθρο μπορεί να χρησιμεύσει ακόμα και σε εκπαιδευτικούς σκοπούς, ως παράδειγμα για την φύση των μαθηματικών, μία ακόμα ξεχωριστή χρήση δηλαδή, ανάμεσα στις τόσες που έχει βρει. 8 Vilfredo Pareto (γεννηθείς 1848), Ιταλός κοινωνιολόγος, οικονομολόγος και φιλόσοφος. 9 / 10

10 Βιβλιογραφία 1. D. Gale, and L. S. Shapley: "College Admissions and the Stability of Marriage", American Mathematical Monthly 69, 9-14, Wikipedia: 3. Harry Mairson : "The Stable Marriage Problem", The Brandeis Review 12, Chien-Chung Huang: How Hard is it to Cheat in the Gale-Shapley Stable Matching Algorithm?, Technical Report TR , Department of Computer Science, Dartmouth College 5. Leigh Tesfatsion: Gale-Shapley Matching in an Evolutionary Trade Network Game, ISU Economic Report No. 43, Chung-Piaw Teo, Jay Sethuraman, and Wee-Peng Tan: Gale-Shapley Stable Marriage Problem Revisited: Strategic Issues and Applications, Department of Decision Sciences, Faculty of Business Administration, National University of Singapore, and Operations Research Center, MIT, / 10

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 4η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Ευσταθές Ταίριασμα Πρόβλημα Ευσταθούς Ταιριάσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης

Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Η οπισθοδρόµηση στο σχεδιασµό αλγορίθµων Το πρόβληµα των σταθερών γάµων και ο αλγόριθµος των Gale-Shapley Το πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι 1 Έννοια Ανεπίσημα, ένας αλγόριθμος είναι μια βήμα προς βήμα μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος ή την διεκπεραίωση

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΟΜΗΜΕΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΟΜΗΜΕΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΟΜΗΜΕΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ Τρίτη Διάλεξη Εντολές Επιλογής και Επανάληψης Εντολές επιλογής Εντολή if Η πιο απλή μορφή της if συντάσσεται ως εξής: if ( συνθήκη ) Οι εντολές μέσα στα άγκιστρα αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Dr. Anthony Montgomery Επίκουρος Καθηγητής Εκπαιδευτικής & Κοινωνικής Πολιτικής antmont@uom.gr Ποιός είναι ο σκοπός του μαθήματος μας? Στο τέλος του σημερινού μαθήματος,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας

Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Dr. Anthony Montgomery Επίκουρος Καθηγητής Εκπαιδευτικής & Κοινωνικής Πολιτικής antmont@uom.gr Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Αυτό το μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

Ελαφρύτερος και βαρύτερος Αλγόριθμοι ταξινόμησης

Ελαφρύτερος και βαρύτερος Αλγόριθμοι ταξινόμησης 7η Δραστηριότητα Ελαφρύτερος και βαρύτερος Αλγόριθμοι ταξινόμησης Περίληψη Οι υπολογιστές χρησιμοποιούνται συχνά για την ταξινόμηση καταλόγων, όπως για παράδειγμα, ονόματα σε αλφαβητική σειρά, ραντεβού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 5.1 Εισαγωγή στους αλγορίθμους 5.1.1 Εισαγωγή και ορισμοί Αλγόριθμος (algorithm) είναι ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών οι οποίες εκτελούν κάποιο ιδιαίτερο έργο. Κάθε αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΠΟΡΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΠΕΛΑΤΕΣ ΔΕΠΑ

ΕΜΠΟΡΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΠΕΛΑΤΕΣ ΔΕΠΑ FAQ για τη 7 η Δημοπρασία της ΔΕΠΑ για τους μήνες Απρίλιο - Μάιο - Ιούνιο 2014 ΕΜΠΟΡΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΠΕΛΑΤΕΣ ΔΕΠΑ 1. Τι γίνεται αν δεν εξασφαλίσω ποσότητα ;... 2 2. Όροι παραλαβής ΦΑ μέσω της Δημοπρασίας...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα 14-Sep-11 Τυπικός Ορισμός Ντετερμινιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Dr. Christos D. Tarantilis Associate Professor in Operations Research & Management Science http://tarantilis.dmst.aueb.gr/ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 1- ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 7 Άσκηση επανάληψης Καθολική σχεδίαση δικτύου

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 7 Άσκηση επανάληψης Καθολική σχεδίαση δικτύου Κινητές επικοινωνίες Κεφάλαιο 7 Άσκηση επανάληψης Καθολική σχεδίαση δικτύου 1 Σχεδίαση συστήματος Η εταιρία μας θέλει να καλύψει με κυψελωτό σύστημα τηλεφωνίας μία πόλη επιφάνειας 20000 km 2 (συχνότητα

Διαβάστε περισσότερα

Να κόψει κανείς ή να μην κόψει;

Να κόψει κανείς ή να μην κόψει; Να κόψει κανείς ή να μην κόψει; Του Νίκου Παναγιωτίδη, Φυσικού και Ραδιοερασιτέχνη (SV6 DBK) Συντονίζω στους 145,510 MHz με στάσιμα 1,5:1. Να κοντύνω μερικά εκατοστά το καλώδιο μήπως καλυτερέψει; κι αν

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Γραφείο Προέδρου Αθήνα, 27 Φεβρουαρίου 2010 ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

Γραφείο Προέδρου Αθήνα, 27 Φεβρουαρίου 2010 ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡAΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Μητροπόλεως 12 14 Τ.Κ. 10563 Αθήνα, Τηλ. 5202250 / 5202260 / 5202270 TELEFAX. 5227300 Γραφείο Προέδρου Αθήνα, 27 Φεβρουαρίου 2010 ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Περισσότεροι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Να περιγραφεί η δομή επανάληψης Αρχή_επανάληψης Μέχρις_ότου

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Να περιγραφεί η δομή επανάληψης Αρχή_επανάληψης Μέχρις_ότου 2.87 Να περιγραφεί η δομή επανάληψης Μέχρις_ότου Ημορφή της δομής επανάληψης Μέχρις_ότου είναι: Μέχρις_ότου Συνθήκη Η ομάδα εντολών στο εσωτερικό της επανάληψης, εκτελείται μέχρις ότου ισχύει η συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς Μάθηµα : Overview Of The Algorithmic Game Theory Ηµεροµηνία : 007/04/19 Σηµειώσεις : Ελενα Χατζηγιωργάκη,

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι)

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτοσυστήματα Δημοσίου κλειδιού Αποστολέας P Encryption C Decryption P Παραλήπτης Προτάθηκαν το 1976 Κάθε συμμετέχων στο

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του A A N A B P Y T A ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΑ ΑΠΛΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 9 5 0 Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του Περιεχόμενα Εισαγωγή και παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Κεφάλαιο 9: Συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών 208 9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Οι συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών είναι επεξεργαστές ειδικού σκοπού οι οποίοι είναι συνήθως προσκολλημένοι σε

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Κάποια Αντιπροσωπευτικά Προβλήµατα. Έκδοση 1.3, 29/02/2012. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Κάποια Αντιπροσωπευτικά Προβλήµατα. Έκδοση 1.3, 29/02/2012. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή: Κάποια Αντιπροσωπευτικά Προβλήµατα Έκδοση 1.3, 29/02/2012 Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.1 Ένα πρώτο πρόβληµα: Ευσταθές Ταίριασµα Ταίριασµα

Διαβάστε περισσότερα

2 Πώς πουλάει διαφημιστικό χώρο η Google;

2 Πώς πουλάει διαφημιστικό χώρο η Google; 2 Πώς πουλάει διαφημιστικό χώρο η Google; 2.1. Μία Σύντομη Απάντηση Σήμερα πολλές διαδικτυακές υπηρεσίες και πληροφορίες στον παγκόσμιο ιστό διατίθενται «δωρεάν», λόγω των διαφημίσεων που εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ 1 Γενικά Η ψηφιακή υπογραφή είναι µια µέθοδος ηλεκτρονικής υπογραφής όπου ο παραλήπτης ενός υπογεγραµµένου ηλεκτρονικού µηνύµατος µπορεί να διαπιστώσει τη γνησιότητα του,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή

Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Ταυτότητα Σεναρίου Τίτλος: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Γνωστικό Αντικείμενο: Πληροφορική Διδακτική Ενότητα: Ελέγχω-Προγραμματίζω τον Υπολογιστή

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Εισαγωγή Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Βιβλιογραφία Jon Kleinberg και Éva Tardos, Σχεδιασμός αλγορίθμων, Εκδόσεις Κλειδάριθμος,

Διαβάστε περισσότερα

Mh apofasisimèc gl ssec. A. K. Kapìrhc

Mh apofasisimèc gl ssec. A. K. Kapìrhc Mh apofasisimèc gl ssec A. K. Kapìrhc 15 Maòou 2009 2 Perieqìmena 1 Μη αποφασίσιμες γλώσσες 5 1.1 Ανάγω το πρόβλημα A στο B................................. 5 1.2 Αναγωγές μη επιλυσιμότητας..................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 6 Συνδεσμολογία Αντιστάσεων ΙI (αντιστάσεις σε παράλληλη σύνδεση) Σκοπός

ΑΣΚΗΣΗ 6 Συνδεσμολογία Αντιστάσεων ΙI (αντιστάσεις σε παράλληλη σύνδεση) Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 6 Συνδεσμολογία Αντιστάσεων ΙI (αντιστάσεις σε παράλληλη σύνδεση) Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να σχεδιάζει κύκλωμα αντιστάσεων σε παράλληλη σύνδεση και να μετράει

Διαβάστε περισσότερα

Συνέντευξη του Ν. Λυγερού στην εκπομπή «Καλή σας ημέρα» ΡΙΚ 1, 03/11/2014

Συνέντευξη του Ν. Λυγερού στην εκπομπή «Καλή σας ημέρα» ΡΙΚ 1, 03/11/2014 Συνέντευξη του Ν. Λυγερού στην εκπομπή «Καλή σας ημέρα» ΡΙΚ 1, 03/11/2014 Δημοσιογράφος: -Μπορούν να συνυπάρξουν η θρησκεία και η επιστήμη; Ν.Λυγερός: -Πρώτα απ όλα συνυπάρχουν εδώ και αιώνες, και κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Συμβολοσειρές. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Συμβολοσειρές. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Συμβολοσειρές Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Συμβολοσειρές Συμβολοσειρές και προβλήματα που αφορούν συμβολοσειρές εμφανίζονται τόσο συχνά που

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ Α... Β

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ Α... Β ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Ντάκος, Πρόεδρος & Διευθύνων Σύμβουλος, Ροζίνα Κωστιάνη, Ρέα Μάνεση, STEDIMA S.A. www.stedima.gr

Γιώργος Ντάκος, Πρόεδρος & Διευθύνων Σύμβουλος, Ροζίνα Κωστιάνη, Ρέα Μάνεση, STEDIMA S.A. www.stedima.gr Εισαγωγή Έρευνα Stedima: Ισότητα και Ισορροπία στην εργασιακή και προσωπική ζωή των ανωτάτων στελεχών Γιώργος Ντάκος, Πρόεδρος & Διευθύνων Σύμβουλος, Ροζίνα Κωστιάνη, Ρέα Μάνεση, STEDIMA S.A. www.stedima.gr

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων Εργαστηριακή Άσκηση 2012-2013. Γκόγκος Νίκος Α.Μ.: 4973 Έτος: 3 ο Email: gkogkos@ceid.upatras.gr. Εισαγωγικά:

Δομές Δεδομένων Εργαστηριακή Άσκηση 2012-2013. Γκόγκος Νίκος Α.Μ.: 4973 Έτος: 3 ο Email: gkogkos@ceid.upatras.gr. Εισαγωγικά: Δομές Δεδομένων Εργαστηριακή Άσκηση 2012-2013 Γκόγκος Νίκος Α.Μ.: 4973 Έτος: 3 ο Email: gkogkos@ceid.upatras.gr Εισαγωγικά: Η υλοποίηση του project έχει γίνει σε python [2.7]. Τα python modules είναι αυτόνομα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων - Ορισμός. Αν οι επιλογές μιας επιχείρησης εξαρτώνται από την αναμενόμενη αντίδραση των υπόλοιπων επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά, τότε υπάρχει στρατηγική αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση καθημερινών ημερίδων

Οργάνωση καθημερινών ημερίδων Οργάνωση καθημερινών ημερίδων 1) Αγώνες ζευγών 1α) Διαθέσιμες κινήσεις: Φιλοσοφία, μηχανισμοί και τα χαρακτηριστικά τους. Οι κινήσεις είναι ένα από τα βασικότερα εργαλεία που έχει ένας διαιτητής στη διάθεσή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

e-seminars Αναπτύσσομαι 1 Προσωπική Βελτίωση Seminars & Consulting, Παναγιώτης Γ. Ρεγκούκος, Σύμβουλος Επιχειρήσεων Εισηγητής Ειδικών Σεμιναρίων

e-seminars Αναπτύσσομαι 1 Προσωπική Βελτίωση Seminars & Consulting, Παναγιώτης Γ. Ρεγκούκος, Σύμβουλος Επιχειρήσεων Εισηγητής Ειδικών Σεμιναρίων e-seminars Πρωτοποριακή Συνεχής Επαγγελματική και Προσωπική Εκπαίδευση Προσωπική Βελτίωση Αναπτύσσομαι 1 e Seminars Copyright Seminars & Consulting Page 1 Περιεχόμενα 1. Γιατί είναι απαραίτητη η ανάπτυξη

Διαβάστε περισσότερα

FAQ για τη 12 η (τριμηνιαία) Δημοπρασία της ΔΕΠΑ για τους μήνες Ιούλιο -Αύγουστο - Σεπτέμβριο 2015

FAQ για τη 12 η (τριμηνιαία) Δημοπρασία της ΔΕΠΑ για τους μήνες Ιούλιο -Αύγουστο - Σεπτέμβριο 2015 FAQ για τη 12 η (τριμηνιαία) Δημοπρασία της ΔΕΠΑ για τους μήνες Ιούλιο -Αύγουστο - Σεπτέμβριο 2015 ΕΜΠΟΡΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι γίνεται αν δεν εξασφαλίσω ποσότητα ;... 3 2. Σύναψη Σύμβασης Πώλησης Φ.Α. μέσω της

Διαβάστε περισσότερα

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να - Παράδειγμα. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να αποκρούσει ένας τερματοφύλακας. - Αν οι δύο παίκτες επιλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Προγραμματισμός και Αλγόριθμοι Από το και τημ Χελώμα στημ Ευριπίδης Βραχνός http://evripides.mysch.gr/ 2014 2015 1 Προγραμματισμός Ζάννειο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πειραιά Ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόνομοι Πράκτορες. Εργασία εξαμήνου. Value Iteration και Q- Learning για Peg Solitaire

Αυτόνομοι Πράκτορες. Εργασία εξαμήνου. Value Iteration και Q- Learning για Peg Solitaire Αυτόνομοι Πράκτορες Εργασία εξαμήνου Value Iteration και Q- Learning για Peg Solitaire Μαρίνα Μαυρίκου 2007030102 1.Εισαγωγικά για το παιχνίδι Το Peg Solitaire είναι ένα παιχνίδι το οποίο παίζεται με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.1: Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (Ι). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 4.1 Τρόποι Προσέλκυσης Νέων...21 4.2 Προτάσεις Πολιτικής των Νέων...22 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ...24 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ...26 ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΦΟΡΕΩΝ...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 4.1 Τρόποι Προσέλκυσης Νέων...21 4.2 Προτάσεις Πολιτικής των Νέων...22 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ...24 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ...26 ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΦΟΡΕΩΝ... Cities for Peace and Democracy in Europe Ε Ρ Ε ΤΟΠΙΚΗ ΒΙΩΣΙΜΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΩΘΩΝΤΑΣ ΤΗΝ ΦΩΝΗ ΤΩΝ ΝΕΩΝ Υ Ν Α με την υποστήριξη Ιανουάριος 2007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ...3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ...6

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Πρόβλημα: Με τον όρο αυτό εννοείται μια κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. Δομή προβλήματος: Με τον όρο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα από τον αριθμό κάθε πρότασης, το γράμμα Σ, αν αυτή

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Κατασκευή ενός υποδείγματος

1.1 Κατασκευή ενός υποδείγματος Το συμβατικό πρώτο κεφάλαιο ενός βιβλίου μικροοικονομικής αποτελεί μια πραγμάτευση των «ορίων και των μεθόδων» της οικονομικής. Παρ όλο που το αντικείμενο αυτό μπορεί να είναι πολύ ενδιαφέρον, φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Παίγνιο: Συμμετέχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με τουλάχιστον δύο στρατηγικές ο καθένας και αντίθετα συμφέροντα. Το αποτέλεσμα για κάθε παίκτη καθορίζεται από τις συνδυασμένες επιλογές όλων

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα