ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΣΕΛΙΔΕΣ 3-36 ΜΕΡΟΣ ο ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙΔΕΣ ΜΕΡΟΣ 3ο ΚΥΚΛΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙΔΕΣ ΜΕΡΟΣ 4ο ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙΔΕΣ 95- ΜΕΡΟΣ 5ο ΕΛΛΕΙΨΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙΔΕΣ -4 ΜΕΡΟΣ 6ο ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕΛΙΔΕΣ 5-4 ΜΕΡΟΣ 7ο ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΕΛΙΔΕΣ 43-48

3 ΜΕΡΟΣ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 3

4 ΜΕΡΟΣ ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα. Το πρώτο άκρο Α, ονομάζεται αρχή ή σημείο εφαρμογής, ενώ το δεύτερο Β ονομάζεται πέρας του διανύσματος. Μηδενικό διάνυσμα ονομάζεται το διάνυσμα που η αρχή και το πέρας του συμπίπτουν. Συμβολίζεται με. Μέτρο ή μήκος του διανύσματος ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, και συμβολίζεται με AB. AB ονομάζεται το μήκος του Μοναδιαίο διάνυσμα ονομάζεται το διάνυσμα έχει μέτρο.. Να δώσετε τους ορισμούς: φορέας διανύσματος, παράλληλα διανύσματα, ομόρροπα- αντίρροπα διανύσματα, ίσα διανύσματα, αντίθετα διανύσματα, γωνία δύο διανυσμάτων ΑΠΑΝΤΗΣΗ Φορέας διανύσματος ονομάζεται η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα. Παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα ονομάζονται δύο ή περισσότερα μη μηδενικά διανύσματα AB και, που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς. Για δύο παράλληλα διανύσματα ότι έχουν ίδια διεύθυνση και γράφουμε AB //. Ομόρροπα ονομάζονται δύο μη μηδενικά διανύσματα AB και όταν: α) όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους ή β) όταν έχουν τον ίδιο φορέα και μία από τις AB και λέμε ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη. Στην περίπτωση αυτή λέμε Γ Α Α Δ Β Β Γ Δ 4

5 ότι τα AB και έχουν την ίδια κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και ίδια φορά) και γράφουμε AB ΓΔ. Αντίρροπα ονομάζονται δύο μη μηδενικά διανύσματα AB και όταν είναι συγγραμμικά και δεν είναι ομόρροπα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα AB και έχουν αντίθετη κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά) και γράφουμε AB ΓΔ. Δ Δ Α Γ Γ Α Β Β 3. Να δώσετε τους ορισμούς: ίσα διανύσματα, αντίθετα διανύσματα, γωνία δύο διανυσμάτων. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ίσα ονομάζονται δύο μη μηδενικά διανύσματα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα. Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα AB και είναι ίσα, γράφουμε AB. Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους και συμβολίζονται με. Αντίθετα ονομάζονται δύο διανύσματα, όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα. Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα AB και είναι αντίθετα, γράφουμε Γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και. Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα OA α και OB β. Την κυρτή γωνία AOB, που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ, την ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων α και β και τη συμβολίζουμε με (, ) ή (, ) Για την γωνία θ = (, ) ισχύει Ειδικότερα:, αν., αν. θ 8 Ο a θ Β Α 5

6 , αν τα και είναι ορθογώνια ή κάθετα και γράφουμε α β Αν ένα από τα διανύσματα, είναι το μηδενικό διάνυσμα, τότε ως γωνία των και μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε γωνία με. 4. Αν α, β είναι δύο διανύσματα, τότε να αποδείξετε ότι: α + β = β + α και ( α + β )+ γ = α +(β + γ ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Από το διπλανό σχήμα έχουμε: α β OA AM OM Επομένως,. β αobbm OM. Από το διπλανό σχήμα έχουμε: ( α β) γ ( OA AB) B OBB O και α( βγ) OA( ABB ) OA A O. Επομένως, ( ) a ( ). Ο a Α a a a Μ a Ο Β a Α Γ Β a 5. Τι ονομάζεται διαφορά του ενός διανύσματος β από ένα διάνυσμα α ΑΠΑΝΤΗΣΗ Διαφορά του διανύσματος από το διάνυσμα ορίζεται ως άθροισμα των διανυσμάτων και. Δηλαδή α βα( β) 6. Να δώσετε τον ορισμό του πολλαπλασιασμού ενός πραγματικού αριθμού λ (λ) επί ένα μη μηδενικό διάνυσμα α. Ποιες ιδιότητες ισχύουν. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ένας πραγματικός αριθμός με και ένα μη μηδενικό διάνυσμα. Ονομάζουμε γινόμενο του λ με το και το συμβολίζουμε με ή ένα διάνυσμα το οποίο: είναι ομόρροπο του, αν είναι αντίρροπο του, αν και έχει μέτρο. Αν είναι ή, τότε ορίζουμε ως το μηδενικό διάνυσμα. 6

7 7. Αν α, β είναι δύο διανύσματα με β, να αποδείξετε ότι αν α //β τότε α = λ β ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αφού τα διανύσματα και είναι παράλληλα και, τότε υπάρχει μοναδικός αριθμός τέτοιος ώστε. Πράγματι, αν θέσουμε, τότε. Συνεπώς: Αν, τότε. Αν, τότε. Αν, τότε. Σε κάθε λοιπόν περίπτωση υπάρχει τέτοιος, ώστε. 8. Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος. Απόδειξη Ας πάρουμε ένα διάνυσμα αναφοράς Ο. AB και ένα σημείο Α Μ Για τη διανυσματική ακτίνα τμήματος ΑΒ έχουμε: OM OA AM και OM OBBM. OM του μέσου Μ του Ο Β Επομένως, OM OA AM OBBM OAOB. Άρα OAOB OM 9. Σε σύστημα αναφοράς O δίνεται το σημείο Α(, ), αν ΟΑ= α. Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα α γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των, κατά μοναδικό τρόπο. 7

8 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ένα διάνυσμα του επιπέδου. Με αρχή το Ο σχεδιάζουμε το διάνυσμα OA. Αν A και A είναι οι προβολές του Α στους άξονες και αντιστοίχως, έχουμε: OA OA OA () Αν, είναι οι συντεταγμένες του A, τότε ισχύει OA ι και OA j. Επομένως η ισότητα () γράφεται i j Επομένως το διάνυσμα είναι γραμμικός συνδυασμός των i και j. Μοναδικότητα Η έκφραση του ως γραμμικού συνδυασμού των i και j είναι μοναδική. Πράγματι, έστω ότι ισχύει και i j. Τότε θα έχουμε: i j i j ( ) i ( ) j Αν υποθέσουμε ότι, δηλαδή ότι, τότε θα ισχύει i j Η σχέση αυτή, όμως, δηλώνει ότι i / / j, που είναι άτοπο, αφού τα i και j δεν είναι συγγραμμικά. Επομένως, που συνεπάγεται ότι και. Δηλαδή το διάνυσμα γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των, κατά μοναδικό τρόπο. Α j a a Ο i A A. Σε σύστημα αναφοράς O δίνεται τα σημεία Α(, ) και Β(, ). Αν είναι ΟΑ= α και ΟΒ = β, να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες των διανυσμάτων α + β και λ α είναι ( +, + ) και (λ, λ ) αντίστοιχα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θεωρούμε τα διανύσματα, ) και, ), τότε έχουμε: ( ( ( i j) ( i j) ( ) i ( ) j ( i j) ( )i ( ) j Επομένως, ) και (, ) ( Δηλαδή, ) (, ) (, ) και λ, ) (, ) ( ( 8

9 . Να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ δύο σημείων, ) και, ) του καρτεσιανού επιπέδου. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας θεωρήσουμε δύο σημεία, ) και, ) του καρτεσιανού επιπέδου Επειδή OM ( OAOB ), και OM (, ), OA, ), OB, ), έχουμε ( ( ( ( και ας υποθέσουμε ότι (, ) είναι οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ. ( ( (, ) [(, ) (, )], B(, ) Μ(,) A(, ) Ο Επομένως ισχύει και.. Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες (, ) του διανύσματος με άκρα τα σημεία A, ) και, ) δίνονται από τις σχέσεις ( και. ( ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας θεωρήσουμε δύο σημεία, ) και, ) ( ( του καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουμε ότι B(, ) (, ) είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος AB. A(, ) OA Επειδή, ABOB, AB(, ), OB, ), και ( OA (, ), έχουμε:, ) (, ) (, ) (, ) ( Ο Επομένως: Οι συντεταγμένες (, ) του διανύσματος με άκρα τα σημεία A, ) και (, ) δίνονται από τις σχέσεις και. ( 9

10 3. Αν α (, ), τότε να αποδείξετε ότι το μέτρο του διανύσματος δίνεται από τον τύπο ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω (, ) ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου και Α το σημείο με διανυσματική ακτίνα OA α. Αν και είναι οι προβολές του Α στους άξονες και αντιστοίχως, επειδή το σημείο Α έχει τετμημένη και τεταγμένη, θα ισχύει ( ) και ( ). Έτσι θα έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Επομένως: Αν α (, ), τότε Για παράδειγμα, αν (5,), τότε 5 3. Α Ο A A(,) a 4. Να αποδείξετε ότι η απόσταση των σημείων (, ) και, ( ) ( ) είναι ίση με ) ( ). ( ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας θεωρήσουμε τώρα δύο σημεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου. Επειδή η απόσταση ( ) των σημείων Α και Β είναι ίση με το μέτρο του διανύσματος AB(, ), σύμφωνα με τον τύπο () θα ισχύει: Ο A(, ) B(, ) ) ( ) ( ) ( 5. Να αποδείξετε ότι η απόσταση των σημείων (, ) και, ( ) ( ) ) ( ) είναι ίση με. ( ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας θεωρήσουμε τώρα δύο σημεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου. Επειδή η απόσταση ( ) των σημείων Α και Β είναι ίση με το μέτρο του Ο A(,) B(, )

11 διανύσματος AB(, ), σύμφωνα με τον τύπο () θα ισχύει: ) ( ) Για παράδειγμα, η απόσταση των σημείων (, 7) και ( 5, 3) είναι ίση με ( ) ( ) ( (5 ) ( 3 7) Έστω ένα διάνυσμα α = (, ) Tι ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος α, με τι ισούται και τι ισχύει για τον συντελεστή διεύθυνσης στις περιπτώσεις που είναι α) = και β) = ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω OA (, ) ένα μη μηδενικό διάνυσμα και φ, η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα. Για τη γωνία φ, αν το δεν είναι παράλληλο προς τον άξονα, ισχύει: εφ φ. Συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος ονομάζεται το πηλίκο της τεταγμένης προς την τετμημένη του (, ), με, Τον συντελεστή διεύθυνσης τον συμβολίζουμε με λ και ισχύει: λ εφφ ΣΧΟΛΙΑ Αν, δηλαδή αν α //, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος είναι ο. Αν, δηλαδή αν α //, τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος. 7. Να αποδείξετε την ισοδυναμία α // β λ = λ όπου λ, λ είναι οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντίστοιχα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω δύο διανύσματα, ) και, ) με συντελεστές διεύθυνσης ( ( και αντιστοίχως. Τότε έχουμε τις ισοδυναμίες: //.

12 8. Πως ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων ; ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ α β συνφ, όπου φ η γωνία των διανυσμάτων και. Αν α ή β, τότε ορίζουμε α β = 9. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες του ορισμού γινομένου; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Άμεσες συνέπειες του ορισμού είναι οι εξής: αβ βα (Αντιμεταθετική ιδιότητα) Αν α β, τότε αβ και αντιστρόφως. Αν α β, τότε α β α β και αντιστρόφως. Αν α β, τότε α β α β και αντιστρόφως. Το εσωτερικό γινόμενο α α συμβολίζεται με α και λέγεται τετράγωνο του α. Έχουμε: α α α συν α. Επομένως α α. Ειδικότερα, για τα μοναδιαία διανύσματα i και j του καρτεσιανού επίπεδου ισχύουν: i j ji και i j. Για κάθε διάνυσμα να αποδείξετε ότι α = α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε: συν.

13 . Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους. Δηλαδή ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω τα διανύσματα, ) ( και (, ) Με αρχή το Ο παίρνουμε τα διανύσματα OA και OB. Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε: Β(, ) θ Ο a Α(, ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) συν () η οποία ισχύει και στην περίπτωση που τα σημεία Ο, Α, Β είναι συνευθειακά. Όμως είναι ( ) ( ) ( ), ) και ( ( ) Επομένως, από την () σχέση έχουμε διαδοχικά: ( ) ( ) άρα. Να αποδείξετε ότι: i) λ = ( ) =λ( ) ii) ( ) = + iii) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θεωρούμε τα διανύσματα (, ), (, ) και ( 3, 3 ), τότε έχουμε: i) ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) και ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( ). Άρα, ( ) ( ) ( ) ii) ( ) (, )( 3, 3) ( 3) ( 3) ) ( ) ( ) ( ). iii) (

14 3. Αν, είναι δύο διανύσματα και θ η γωνία των δύο αυτών διανυσμάτων, τότε να αποδείξετε ότι συνθ= ( ( ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν, ) και, ) είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου που σχηματίζουν γωνία θ, τότε συν. Είναι όμως, Επομένως η παραπάνω σχέση γίνεται: συν και 4. Πως ορίζεται η προβολή διανύσματος σε διάνυσμα και ποιος τύπος ισχύει για αυτήν ; ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω α, v δύο διανύσματα του επιπέδου με α. Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα OAα και OM ν. Από το Μ φέρνουμε κάθετο στη διεύθυνση του OA και έστω M το ίχνος της καθέτου. Το διάνυσμα OM λέγεται προβολή του ν στο α και συμβολίζεται με προβ α ν. Δηλαδή, OM προβ α ν. Αποδεικνύεται ότι η προβολή του ν πάνω στο α είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου Ο. Για το εσωτερικό γινόμενο των α και ν έχουμε: αv α( OM MM ) αomαmm αom α προβ α ν Επομένως: αν απροβ αν Ο v θ M M a A 4

15 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Για τέσσερα σημεία,,, να αποδειχτεί ότι. Απόδειξη Α Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε έχουμε: AB OBOAO O OBO O OAB A. Β Γ Δ. Δίνονται τέσσερα σημεία Α, Β, Γ, Δ και έστω Ο το μέσο του τμήματος ΑΓ. Να αποδείξετε ότι + =. Απόδειξη + = + = = = που ισχύει, αφού Ο μέσο του ΑΓ 3. Αν στο διπλανό σχήμα είναι (ΒΜ) = (ΜΓ), Β να αποδείξετε ότι = 3 ( + ) Μ Α Γ Απόδειξη Σημείο αναφοράς το Α Τα διανύσματα, έχουν ίδια φορά, άρα η ισότητα (ΒΜ) = (ΜΓ) γίνεται = = ( ) = 3 = + 3 = + = 3 ( + ) 4. Αν +3 = +3, να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. 5

16 Απόδειξη Σημείο αναφοράς το Κ. +3 = +3 3 ( ) = + 3( ) 3 + = = + 3 = 3 // Κ, Λ και Μ συνευθειακά. 5. Αν ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι διάμεσοι του τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι + + = Απόδειξη Α + + = Ζ Ε ( + ) + ( + ) + ( + ) = Β Δ Γ ( ) = = 6. Να αποδείξετε ότι, αν ισχύουν δύο από τις σχέσεις + + z =, + + z =, + + z =, τότε θα ισχύει και η τρίτη. (Δίνεται Κ Λ) Απόδειξη Υποθέσεις : + + z = και + + z = Αφαιρούμε κατά μέλη ( )+ ( )+ z( ) = ( + )+ ( + )+ z( + ) = + +z = ( + + z) = + + z = Υποθέσεις : + + z = και + + z = + + z = ( K + ) + ( K + ) + z( K + ) = K + + K + + z K + z = ( + + z) K + ( + + z ) =. K + = + = H τρίτη περίπτωση είναι όμοια με τη δεύτερη 6

17 7. Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα είναι σταθερό. Απόδειξη Α β Μ Β γ Γ Με σημείο αναφοράς το Α, ορίζουμε τα σημεία Β και Γ θεωρώντας τα διανύσματα = και = = 3( ) 5( ) + ( ) = = 5 που είναι σταθερό 8. Αν (,) και (,4 ) είναι οι δύο κορυφές του παραλληλόγραμμου και (, 3) το κέντρο του, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ. Απόδειξη B(,4) Αν, ) και, ) είναι οι δύο άλλες ( ( κορυφές του παραλληλόγραμμου, επειδή το Κ είναι το μέσον των ΑΓ και ΒΔ, έχουμε: ( ) 3 και. 4 3 A(-,) K(, -3) Γ Επομένως, Δ και. Άρα, οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ είναι αντιστοίχως ( 6, 7) και ( 3, ) 9. Να βρεθούν οι τιμές του μ R για τις οποίες τα σημεία (,), ( μ,3) και ( 5μ,9) είναι συνευθειακά. Απόδειξη Τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά, αν και μόνο αν τα διανύσματα AB( μ det(, 3) AB, A ). και A ( 5μ, 9) είναι παράλληλα, δηλαδή, αν και μόνο αν 7

18 Έχουμε λοιπόν μ det( AB, A ) 5μ 3 9 9μ 95μ3 3μ 5μ μ ή μ. 3. Δίνεται το διάνυσμα = ( 4, 3 ), λ R. Για ποια τιμή του λ είναι : (i) = ; (ii) και // Απόδειξη (i) = (ii) 4= και 3 = (λ = ή λ = ) και (λ = ή λ = ) λ = και // 4 και 3 = (λ και λ ) και (λ = ή λ = ) λ =. Δίνονται τα διανύσματα = ( 3, 3 ) και = ( 5 6, 3 7 ). Να βρείτε το λ R ώστε να είναι =. Λύση = 3 = 5 6 και 3 = 3 7 λ = 4 και 5 λ = λ = και λ = λ = και (λ = ή λ = ) λ =. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό, ώστε τα διανύσματα = (, ) και = (4, ) να είναι ομόρροπα. Λύση, ομόρροπα = λ με λ (, ) = λ (4, ) με λ = 4λ και = λ με λ = 4λ και = λ. 4λ με λ = 4λ και = 4 με λ = 4λ και λ = άρα = 4. = 8

19 3. Αν u = (3, 4), ποιο διάνυσμα είναι συγγραμμικό με το u και έχει διπλάσιο μέτρο από το u ; Λύση Έστω w το ζητούμενο διάνυσμα. w // u w = λ u () w = u w = u () Αλλά w = u () u = u = λ = ή λ = () w = (3, 4 ) = (6, 8) ή w = (3, 4 ) = ( 6, 8) 4. Στο διπλανό σύστημα συντεταγμένων είναι = i και B= j. Να εκφράσετε ως συνάρτηση των i και j : α) Τα διανύσματα θέσεως των σημείων Γ, Δ, Ε, Ζ, Κ και Η. β) Τα διανύσματα,,,,, και. Λύση α) = i, = i + j, = i + j, = j, Ζ = i + j, = i + j. β) = Β j Ε Δ Θ Η K = i + j i = i + j O Γ i Α = = i ( i + j ) = i i j = i j = = i + j ( i + j ) = i + j i j = i = = i + j ( i + j ) = i + j i j = i + j = = 3 i + j ( i + j ) = 3 i + j i j = i = = i j = = j ( i + j ) = j i j = i + 3 j 5. Δίνονται τα σημεία Α(, 6) και Β( 9, ). Να βρείτε α.το σημείο του άξονα που ισαπέχει από τα Α και Β. β.το σημείο του άξονα που ισαπέχει από τα Α και Β. 9

20 Λύση (i) Έστω Μ(, ) το ζητούμενο σημείο. (ΜΑ) = (ΜΒ) MA = MB 6 = = 6 = = 3. Άρα Μ( 3, ) (ii) Έστω Μ(, ) το ζητούμενο σημείο. (ΜΑ) = (ΜΒ) MA = MB 6 = = = = 3. Άρα Μ(, 3). 6. Σε ένα σύστημα συντεταγμένων οι τετμημένες δύο σημείων Α και Λύση Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης ( 4λ + 3) 7 =. Nα βρείτε την τιμή του λ R., ώστε το μέσο του τμήματος ΑΒ να έχει τετμημένη 4. Επειδή γ = 7 <, η εξίσωση έχει ρίζες, έστω,. Έστω Μ το μέσο του ΑΒ. Τότε + = M = λ + 3 = 8 4λ 5 = λ = 5 ή 7. Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος πάνω στο διάνυσμα, αν α, v 3 και η γωνία των διανυσμάτων α και v είναι ίση με π φ 6. Λύση Έστω v προβ ν. Τότε θα ισχύει v λ. Επειδή αv aπροβ, έχουμε: α α αv v α α v αv αv αλα αv λα 3 3 λ λ3 α v συνφ λ α Άρα, v 3 α.

21 8. Δίνονται τα διανύματα α (3,) και ν (,). Να αναλυθεί το ν σε Λύση δύο κάθετες στο. α συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη Έστω ε η ευθεία η κάθετη στη διεύθυνση του α. Από το πέρας Μ του ν φέρνουμε τις κάθετες και στη διεύθυνση του α και στην ε αντιστοίχως και έστω ν και ν. Έχουμε ν ν ν. () Το διάνυσμα ν είναι η προβολή του ν στο α και επειδή ν // α, υπάρχει λr, τέτοιο ώστε προ ν λα (3λ, λ). Όμως αν απροβ ν και επομένως έχουμε διαδοχικά: β α ( 3,) (,) (3,) (3λ, λ) Συνεπώς, ν α (3,), και v v v (,),,. 3 33λλ 5 λ λ. ε M α v v v Ο M M a 9. Αν = (, 3) και = (, 5), τότε (i) Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα, ( ).(-3 ) και ( ). (3 + ) (ii) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λ R, ώστε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων u = (κ, λ) και να είναι ίσο με μηδέν. Ποια η σχέση όλων των διανυσμάτων u στην περίπτωση αυτή; Λύση (i) = ( ) = + 5 = 3 ( ).( 3 ) = 6 ( ) = 6. 3 = -78 = (, 3) (, 5) = (, 3 5) = ( 3, ) 3 + = 3 (, 3) + (, 5) = ( 3, 9) + (, 5) = (, 4) Άρα ( ). (3 + ) = ( 3, ). (, 4) = 3 8 = 5 (ii) u. = κ + 5λ = Είναι u, άρα τα διανύσματα u είναι μεταξύ τους συγγραμμικά.

22 . Αν u = (, ), v = (4, ) και w = (6, ), να υπολογίστε τις παραστάσεις : u.(7 v + w ), u ( v. w ), u.v w και ( u v ). w Λύση u. v = = 8 u = u. w = 6 + = 6 w = v. w = 4 + = 4 = 5 6 = 6 u (7 v + w) = 7( u. v ) + u. w = = = 6 u ( v. w ) = 5.4 = 4 5 u.v w = 8 w = 8 w = 8. 6 = 48 ( u v ). w = ( 5 v ). w = 5 ( v. w ) = 5.4 = 4 5. Αν = (, ) και = (, ), να βρείτε τον λ R ώστε: (i) Τα διανύσματα και + λ να είναι κάθετα. (ii) Τα διανύσματα Λύση και + λ να είναι κάθετα. (i) + λ.( + λ ) = + λ(. ) = + λ( + ) = + λ = λ = (ii) + λ.( + λ ) =. + λ = ( + ) + λ ( + ) = + λ = λ = λ =. Να βρείτε τα διανύσματα που είναι κάθετα στο u = (3, -) και έχουν μέτρο ίσο με. Λύση Έστω v = (, ) το ζητούμενο διάνυσμα. u v u. v = 3 = = 3 = 3 () v = =

23 = 3 = 4 = 3 4 ( ) 9 = 4 = 3 Για = 3, η () = 3 3, και για = 3 θα είναι = 3 3 Άρα v = ( 3, 3 3 ) ή v = ( 3, 3 3 ) ή = 3 3. Αν =, = 3 και ( ), =, να υπολογίσετε τον κ R, 3 ώστε τα διανύσματα u = 3 - και v = κ + να είναι κάθετα. Λύση u v u. v = (3 ).( κ + ) = 3κ + 6. κ. - = () Αλλά = = 4, = = 9 και. = συν 3 =. 3. = 3 () 3κ κ = κ + 8 3κ 8 = 9κ = κ =. 4. Αν = (κ, ) και = (4, 3), να βρείτε τον κ R ώστε να ισχύει : (i). = (ii) (, ) = (iii) // 4 Λύση (i). = 4κ + 3 = 4κ = 3 κ = 3 4 (ii). = συν 4 4κ + 3 = 8k + 6 = () Περιορισμός : 8κ + 6 8κ 6 κ 3 4 () 8 6 = 5( ) 3

24 κ + 36 = κ 4 = κ 7 = Δ = = = 5, κ = 48 5 = 4 4 ή 98 = 4 7 ή Λόγω του περιορισμού θα έχουμε κ = 7 (iii) // 4 3 = 3κ 4 = κ = Aν = = και (, ) = 3, να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων u = +4 και v =. Λύση Έστω θ η γωνία των διανυσμάτων u, v. Τότε συνθ = u.v u v u. v = ( + 4 ).( ) u = = = +. 4 =. + = 4 = 3 u = 4 = 4. = συν 3 = 4. =. = 4( ) = = 4( + 4) =. Άρα u = 3 () v = v = =. + = + + = 3. Άρα v = 3 () συνθ = 3 = 3 3 θ = 3 6. Δίνονται τα σημεία Α(3, ), Β(6, 4), Γ(, 5 ) και Δ(, ). Να υπολογίσετε (i) Το εσωτερικό γινόμενο. (ii) Τι συμπεραίνετε για τα διανύσματα και ; 4

25 Λύση (i) = (6 3, 4 + ) = (3, ) = (, 5) = (, 3). = 3( ) + ( )( 3) = = (ii). = 7. Δίνονται τα διανύσματα = (, 4) και = ( -8, 5). Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη προς το. Λύση Έστω u, v οι συνιστώσες, με u //, v και = u + v u // u = λ v v. = = u + v. =.( u + v) ( 8) + ( 4) 5 =.( λ + v ) 6 = λ +. v 36 = λ (4 + 6) + 36 = λ λ = 9 5 Άρα u = 9 = 9 (, 4) = 5 5 8, = u + v v = u = ( 8, 5) 8, , = =, Αν =, =, = 3 και + + =, να υπολογίσετε τα : (i).,.,. (ii) συν(, ), συν(, ), συν(, ), και να αποδείξετε ότι = και = 3 Λύση (i) + + = + = ( + ) = ( ) = = 9 4. = 8. = Ομοίως βρίσκουμε. = 3 και. = 6 5

26 (ii) συν(,. ) = = =. και ομοίως συν(, ) =, συν(, ) = συν(, ) = (, ) = 8 ο άρα, οπότε η σχέση = γίνεται =. Ομοίως αποδεικνύουμε ότι = Αν τα διανύσματα = (κ, λ) και = (μ, ν) είναι κάθετα και έχουν μέτρα ίσα με τη μονάδα, να δείξετε ότι (κν λμ) =. Λύση. = κμ + λν = (κμ + λν ) = + κμλν + = () = = + = = = = + = = () ( ) + κμλν + ( + ) ( + κμλν + ( ) = κμλν + = ) = (κν λμ) = = (κν λμ) 3. Να αποδείξετε ότι Λύση Θεωρούμε τα διανύσματα u = (α, β ) και v = (γ, δ). Τότε συν u, v = Αλλά συν u, v 6

27 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε AΔ ΑΒ 5ΑΓ και AΕ 5ΑΒ ΑΓ α) Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ και ΑΓ β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και ΒΓ είναι παράλληλα. Μεθοδολογία Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα ΑΒ έχουμε AB OB OA Αν έχουμε να δείξουμε μια διανυσματική ισότητα τότε ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα Θεωρούμε σημείο αναφοράς ένα από τα σημεία της διανυσματικής ισότητας (πχ το Α) Εκφράζουμε όλα τα διανύσματα με αρχή το σημείο Α Κάνουμε πράξεις και καταλήγουμε σε μια σχέση που ισχύει είτε προφανώς είτε από δεδομένα Μεθοδολογία Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα α, β είναι παράλληλα έχουμε τους παρακάτω τρεις τρόπους Δείχνουμε ότι α λβ, λ με β (αυτή τη μέθοδο τη χρησιμοποιούμε όταν έχουμε μια διανυσματική ισότητα και δεν ξέρουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων) Αν α λβ, λ τότε α β Αν α λβ, λ τότε α β Αν α,, β, τότε αρκεί να δείξουμε det α,β ( det α,β ) Αν α,, β, και α, β μη κατακόρυφα διανύσματα αρκεί να δείξουμε ότι λα λ (ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος β α, είναι λα ) 7

28 ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε, Ζ σημεία τέτοια ώστε: AE AΔ, AΖ AΓ. 5 7 α) Να γράψετε τα διανύσματα EΖ και ΖΒ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ και ΑΔ. β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Β, Ζ και Ε είναι συνευθειακά. Μεθοδολογία Για να δείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ/ /ΑΓ ή ΑΒ/ /ΒΓ κ.ο.κ ΑΣΚΗΣΗ 3 Θεωρούμε τα σημεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ ΡΚ 3ΡΜ α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. β) Για τα παραπάνω σημεία Κ, Λ και Μ να δείξετε ότι ισχύει ΑΛ 3ΒΛ ΜΒ ΑΚ ΑΜ ΒΚ όπου Α και Β είναι σημεία του επιπέδου. ΑΣΚΗΣΗ 4 Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ i 4 j, ΟB 3i j και ΟΓ 5i 5 j, όπου i και j είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των ΑΒ και ΒΓ. β) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α, Β και Γ μπορεί να είναι κορυφές τριγώνου. Μεθοδολογία Αν α i j τότε α, Αν α, και β, τότε α β,, λα λ,λ ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνονται τα διανύσματα i j, i 5 j και 7, 3. α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα,, είναι μη συγγραμμικά ανά δύο. β) Να γραφεί το διάνυσμα ως γραμμικός συνδυασμός των και. 8

29 Μεθοδολογία Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα α, β δεν είναι παράλληλα αρκεί να δείξουμε ότι det α,β με την προϋπόθεση πως γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των α, β Μεθοδολογία Αν θέλουμε να γράψουμε ένα διάνυσμα α ως γραμμικό συνδυασμό δύο διανυσμάτων β και γ τότε πρέπει το α να γραφεί στην παρακάτω μορφή α κβ λγ με κ, λ ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α(,), Γ(4, 3) και Δ(, 3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ. β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β. ΑΣΚΗΣΗ 7 Θεωρούμε τα σημεία Αα,3,Βα,4 και α) Να βρείτε τα διανύσματα ΑΒ, ΒΓ. Γ 4,5α 4,α. β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. γ) Αν α, να βρείτε τον αριθμό λ ώστε ΑΓ λαβ. ΑΣΚΗΣΗ 8,4 5,, Θεωρούμε τα σημεία α) Να γράψετε το συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε β) Έστω α =. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ. Μεθοδολογία Αν Α Α, Α και Β Β ΑΒ, Β, τότε B Α B Α ΑΒ B Α B Α 9

30 ΑΣΚΗΣΗ 9 Θεωρούμε τα διανύσματα,, και τυχαίο σημείο Ο. Αν 5, 3 4 και 3 6 α) Να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων,,. β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. ΑΣΚΗΣΗ Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι AB = α και AΔ = β. Θεωρούμε σημεία Ε, Ζ, την ΑΔ και τη διαγώνιο ΑΓ αντίστοιχα, ώστε AΕ = AΔ 3 και AΖ = AΓ. 4 Να αποδείξετε ότι: α) AΖ = α +β 4 β) ΕΖ = α - β και να υπολογίσετε με τη βοήθεια των α, β το ΕΒ. 4 3 γ) Tα σημεία Ε, Ζ, Β είναι συνευθειακά. ΑΣΚΗΣΗ Δίνονται τα διανύσματα α και β με α, β= και α = 3, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα α β και κα β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος α β. Μεθοδολογία Για να βρούμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων που γνωρίζουμε τα μέτρα τους και τη γωνία τους χρησιμοποιούμε τον τύπο α β α β συν α, β Για να βρούμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α, β, και που γνωρίζουμε τις συντεταγμένες τους χρησιμοποιούμε τον τύπο α β Για να βρούμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων που γνωρίζουμε τα μέτρα τους καθώς και μια σχέση μεταξύ των διανυσμάτων τους, απομονώνουμε στο ένα μέλος τα δυο διανύσματα και υψώνουμε στο τετράγωνο ώστε να «δημιουργήσουμε» το εσωτερικό γινόμενο που ψάχνουμε. 3

31 Μεθοδολογία Αν θέλουμε να δείξουμε ότι δύο διανύσματα α και β είναι κάθετα αρκεί να δείξουμε ότι α β Μεθοδολογία Αν γνωρίζουμε τα μέτρα δύο διανυσμάτων α,β και την γωνία τους α, β τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο οποιουδήποτε διανύσματος της μορφής u λα μβ υπολογίζοντας το u u λα μβ λα λαμβ μβ λ α λαμβ μ β λ α λμ αβ μ β. Προσοχή! Στο τέλος πρέπει να θυμόμαστε να παίρνουμε τη ρίζα της ποσότητας που έχουμε υπολογίσει. ΑΣΚΗΣΗ Έστω τα διανύσματα α και β για τα οποία : α β α) Να αποδείξετε ότι α β και β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α β και α β α,β 6 ΑΣΚΗΣΗ 3 5π Έστω α,β δύο διανύσματα με α, β, α,β και u α β. 6 α) Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα α β και α u. β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u. ΑΣΚΗΣΗ 4 και ΑΓ,6 Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ κ 6κ 9, κ 3, όπου κ α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο ΑΒ ΑΓ β) Να βρείτε τις τιμές του κ, ώστε τα διανύσματα ΑΒ και ΑΓ να είναι κάθετα. γ) Για κ να βρείτε το διάνυσμα ΒΓ ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνονται τα διανύσματα α,3 και β,. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u α β β) Να βρείτε το θετικό αριθμό για τον οποίον τα διανύσματα u και v, είναι κάθετα 3

32 ΑΣΚΗΣΗ 6 Έστω, δυο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν 3 9,, 3 α) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων, και το εσωτερικό γινόμενο β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u 3 ΑΣΚΗΣΗ 7 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: ΑΒ 4, 6, ΑΓ, 8. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΑΜ, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να αποδείξετε ότι η γωνία Α είναι οξεία. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. ΑΣΚΗΣΗ 8 Δίνονται τα διανύσματα α,β με β α 4 και α β 8. α) Να υπολογίσετε τη γωνία α,β. β) Να αποδείξετε ότι β α. ΑΣΚΗΣΗ 9 και π Δίνονται τα διανύσματα α,β με α, β α,β. Να υπολογίσετε τα 3 εξής: α) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α,β και κατόπιν της παράστασης α α β β) το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων α β και β α ΑΣΚΗΣΗ Δίνονται τα διανύσματα α, 3 και β 3,3 α) τη γωνία α,β β) το διάνυσμα u α β αβ α. Να υπολογίσετε 3

33 ΑΣΚΗΣΗ Δίνονται τα διανύσματα α,β με α, α β β 7 και α β. α) Να υπολογίσετε τα α και β. β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος α β. β) Να βρείτε την προβολή του α β στο διάνυσμα β. ΑΣΚΗΣΗ Δίνονται τα διανύσματα α (, 7) και β (, 4). α) Να βρεθεί η προβολή του α πάνω στο β. β) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να είναι παράλληλη στο β. Μεθοδολογία Για να αναλύσουμε ένα διάνυσμα β σε δυο κάθετες συνιστώσες ώστε η μια να είναι παράλληλη σε ένα α ακολουθούμε την εξής διαδικασία. Έστω β και β οι κάθετες συνιστώσες του β, oπότε β β β () Έστω β / /α β λα με λ και β α βα Έχουμε, αβ α β β αβ αβ αβ αλα λα λ α αβ από όπου βρίσκουμε λ επομένως λ = γνωστός αριθμός. α Στη συνέχεια από τον τύπο β β β βυπολογίζουμε το β λα υπολογίζουμε το β, τέλος από τη σχέση ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνονται τα διανύσματα, 3, α) Να βρείτε την προβολή του πάνω στο β) Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη με το. 33

34 ΆΣΚΗΣΗ 4 Δίνεται τα διανύσματα, και u, v 5 4 για τα οποία ισχύουν: u v και α) Να αποδείξετε ότι β) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα u3v και είναι αντίρροπα και ότι u3v 4 Άσκηση 5 Έστω, δύο διανύσματα για τα οποία ισχύουν :, και 7,7, 7 α) Να γράψετε το διάνυσμα ως συνάρτηση του μ. β) Αν μ =, τότε : i. να αποδείξετε ότι (3, 4) και ότι το είναι κάθετο στο 7 ii. να βρείτε την γωνία των διανυσμάτων, ΑΣΚΗΣΗ 6 Έστω, 3 και 5, δύο διανύσματα. α) Να βρείτε το και να υπολογίσετε την παράσταση β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 3.. ΑΣΚΗΣΗ 7 α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε διανύσματα, ισχύει: β) Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με πλευρά ίση με τη μονάδα και,. Αν η διαγώνιός του ΑΓ έχει μήκος 3, να βρείτε το μήκος της διαγώνιου ΒΔ.. ΑΣΚΗΣΗ 8 Θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Γ ώστε,4 και 3,6. α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο και να βρείτε αν η γωνία Α του τριγώνου είναι οξεία, ορθή ή αμβλεία.. β) Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου.. 34

35 ΑΣΚΗΣΗ 9 Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ (4, ) και ΟΒ (, ) όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ΟΑ και ΟΒ είναι κάθετα. β) Αν Γ(α,β) είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A και Β τότε: i) να αποδείξετε ότι: AΒ ( 3, 4) και AΓ (α 4,β ) ii) να αποδείξετε ότι: 4α 3β iii) αν επιπλέον τα διανύσματα ΟΓ και ΑΒ είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνονται τα διανύσματα, και για τα οποία ισχύουν:,,, 6 και, όπου. α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο. β) Αν ισχύει, τότε: i) να αποδείξετε ότι: ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 3 και είναι κάθετα. ΑΣΚΗΣΗ 3 α) Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμιά από τις ισότητες: u v u v και u v u v β) Δίνονται τα διανύσματα,, για τα οποία ισχύουν: και i) Να αποδείξετε ότι: και ii) Να αποδείξετε ότι:

36 36

37 ΜΕΡΟΣ ο ΕΥΘΕΙΕΣ 37

38 ΜΕΡΟΣ ο : ΕΥΘΕΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Πότε μια εξίσωση με δύο αγνώστους, ονομάζεται εξίσωση γραμμής ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.. Πότε μια ευθεία και ένα διάνυσμα είναι παράλληλα ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Όταν μια ευθεία και ένα διάνυσμα είναι παράλληλα, έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Ο φ ω ε φ ω Ο ω ω ε φ=ω φ=π+ω 3. Ποιος είναι ο τύπος του συντελεστή διεύθυνσης που διέρχεται από τα σημεία A, ) και B, ) ; ( ( ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A (, ) και B (, ), με είναι λ. 3. Πότε δύο ευθείες ε,ε με αντίστοιχους συντελεστές διεύθυνσης λ,λ και τα διανύσματα δ και δ είναι παράλληλα προς τις ε αντιστοίχως; και ε ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πράγματι, αν ε,ε είναι δύο ευθείες με αντίστοιχους συντελεστές διεύθυνσης λ,λ και τα διανύσματα δ και δ είναι παράλληλα προς τις ε και ε αντιστοίχως, έχουμε τις ισοδυναμίες : ε // ε δ // δ λ λ και ε ε δ δ λ λ. 38

39 4. Πότε δύο ευθείες ε και ε με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντιστοίχως, είναι παράλληλες και πότε κάθετες ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Επομένως, αν οι ευθείες ε και ε έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντιστοίχως, τότε: ε // ε λ λ και ε ε λ λ 5. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το A, ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ δίνεται από τον τύπο : ( λ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και A, ) ένα σημείο του επιπέδου. Ζητάμε την εξίσωση ( της ευθείας ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. Ένα σημείο M (, ) διαφορετικό του A, ) ανήκει στην ε, αν και μόνο αν το διάνυσμα ( AM είναι παράλληλο στην ε, δηλαδή αν και μόνο αν το AM και η ε έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Επειδή AM (, ), έχουμε λ. AM Επομένως, το σημείο M (, ) ανήκει στην ε αν και μόνο αν λ ή λ( ). Η τελευταία εξίσωση επαληθεύεται και από το σημείο A (, ). Άρα η εξίσωση της ευθείας ε είναι: λ( ) 6. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία A, ) και B, ) δίνεται από τον τύπο : ( ( ) ( φ ε Α(, ) M(,) Ο ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A, ) και B, ). ( ( Αν, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι λ και επομένως η εξίσωση λ( ) γίνεται: ( ) () ε B(, ) Α(, ) Ο 39

40 7. Ποια η εξίσωση μιας κατακόρυφης ευθείας που διέρχεται από το σημείο A, ) ; ( ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η εξίσωση μιας κατακόρυφης ευθείας που διέρχεται από το σημείο A, ) μπορεί να βρεθεί αμέσως, ( αφού κάθε σημείο της Μ έχει τετμημένη και άρα η εξίσωσή της είναι : Ο ε Α(, ) 8. Ποια η εξίσωση ευθείας που τέμνει τον άξονα στο σημείο A (, β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η εξίσωση ευθείας που τέμνει τον άξονα στο σημείο A (, β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι β λ( ), η οποία τελικά γράφεται λ β. ε Α(,β) Ο 9. Ποιος ο τύπος μιας ευθείας διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ; Ποιες οι εξισώσεις των διχοτόμων του ορθοκανονικού συστήματος; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε η εξίσωσή της είναι ( ) ή λ. δ δ Ο ε =- 35 o 45 o = Έτσι, οι διχοτόμοι των γωνιών O και O έχουν εξισώσεις και αντιστοίχως. Ο 4

41 . Ποιος ο τύπος μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο A, ) και είναι παράλληλη στον άξονα. ( ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν μια ευθεία διέρχεται από το σημείο A, ) ( και είναι παράλληλη στον άξονα, δηλαδή είναι όπως λέμε μια οριζόντια ευθεία, έχει εξίσωση ( ), δηλαδή. ε Ο Α(, ). Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής A B με A ή B () και αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής () παριστάνει ευθεία γραμμή. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο. Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα στο σημείο (, ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε θα έχει εξίσωση, η οποία γράφεται ( ) Αν η ευθεία ε είναι κατακόρυφη και διέρχεται από το σημείο P(, ), τότε θα έχει εξίσωση, η οποία γράφεται ισοδύναμα ( ). Βλέπουμε, δηλαδή, ότι και στις δύο περιπτώσεις η εξίσωση της ευθείας ε παίρνει τη μορφή A B με A ή B. Αντιστρόφως, έστω η εξίσωση A B με A ή B. Ο ε P(, ) A Αν B, τότε η εξίσωση γράφεται B, που είναι εξίσωση B ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης A B και η οποία τέμνει τον άξονα στο σημείο, B. Αν B, τότε, λόγω της υπόθεσης, είναι A και η εξίσωση γράφεται, που είναι εξίσωση ευθείας κάθετης στον άξονα A P,.Σε όλες λοιπόν τις περιπτώσεις η εξίσωση A A ή B παριστάνει ευθεία. στο σημείο του B με A 4

42 ΣΧΟΛΙΑ α. Η εξίσωση ευθείας που τέμνει τον άξονα στο σημείο A (, β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι β λ( ). β. Αν μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε η εξίσωσή της είναι ( ). γ. Έτσι, οι διχοτόμοι των γωνιών O και O αντιστοίχως. έχουν εξισώσεις και δ. Αν μια ευθεία διέρχεται από το σημείο A, ) και είναι παράλληλη στον ( άξονα, έχει εξίσωση ( ).. Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση A B είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ ( B, A). ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία του επιπέδου με εξίσωση A B. Αν B, τότε η ε έχει συντελεστή διεύθυνσης παράλληλη προς το διάνυσμα δ ( B, A). A λ και επομένως είναι B Αν B, τότε η ε είναι παράλληλη προς τον άξονα και επομένως παράλληλη και πάλι προς το διάνυσμα δ ( B, A). 3. Η ευθεία με εξίσωση A B είναι κάθετη στο διάνυσμα n ( A, B). ΑΠΟΔΕΙΞΗ Όμως, το διάνυσμα δ ( B, A) είναι κάθετο στο διάνυσμα n ( A, B), αφού η ευθεία με εξίσωση A B είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ ( B, A). δ n ( B, A) ( A, B) AB AB. ε Ο δ (,) n (, ) 4

43 4. Ποιος ο τύπος της απόστασης του σημείου M, ) από την ευθεία με εξίσωση A B. ( ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση A B και M, ) ένα σημείο εκτός αυτής. τότε θα ισχύει ( d M, ε) M M () d( M ( A B, ε) A B ε n ( A, B) Μ (, ) Μ (, ) Ο Για παράδειγμα, η απόσταση του σημείου M (,) από την ευθεία ε : είναι ίση με 4( ) 3 8 d ( M, ε) Ποιος ο τύπος του εμβαδού ενός τριγώνου ΑΒΓ με A (, ), B (, ) και ( 3, 3 ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω A, ), B, ) και 3, ) τρία σημεία του ( ( ( 3 καρτεσιανού επιπέδου, το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο : Γ( 3, 3 ) Δ B(, ) ( AB ) det( AB, A ) A(, ) Για παράδειγμα, αν A (,), B(, ) και ( 3, 8) είναι οι κορυφές ενός τριγώνου ΑΒΓ, τότε AB (, ) και A ( 3, 9), οπότε το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι ( AB ) det( AB, A )

44 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία A (,), B (,5) και (4,). Να βρεθούν οι εξισώσεις: (i) Του ύψους που άγεται από την κορυφή Α (ii) Της διαμέσου που άγεται από την κορυφή Β (iii) Της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΓ. ΛΥΣΗ (i) Επειδή λ, ο συντελεστής διεύθυνσης του ύψους του B τριγώνου από το Α είναι 3 ( ) ή λ. Επομένως, η εξίσωση του ύψους είναι 4 (ii) Το μέσον Μ του τμήματος ΑΓ έχει συντεταγμένες 4 3 3,, 3 5 λ 3 Επομένως, ο συντελεστής διεύθυνσης της διαμέσου ΒΜ είναι 7 και άρα η εξίσωση της ΒΜ είναι 5 7( ), η οποία γράφεται ισοδύναμα 7. (iii) Επειδή η ευθεία ΑΓ έχει συντελεστή διεύθυνσης 4 5, η οποιαδήποτε κάθετος σε αυτήν έχει συντελεστή διεύθυνσης 5, επομένως η εξίσωση της μεσοκαθέτου είναι ή ισοδύναμα Δίνονται η ευθεία ε με εξίσωση και το σημείο A (,). Να βρεθούν οι συντεταγμένες του συμμετρικού του σημείου Α ως προς την ευθεία ε. ΛΥΣΗ Αν A ( μ, ν) είναι το συμμετρικό του Α ως προς την ε, τότε το μέσον Μ του AA ανήκει στην ε και το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης των ε και AA είναι -, αφού ε AA. Οι συντεταγμένες του Α (μ,ν) ε Μ Α(,) Ο 44

45 μέσου Μ είναι μ ν, Έτσι έχουμε το σύστημα πράξεων γράφεται και ο συντελεστής διεύθυνσης του AA είναι ν μ ν μ, το οποίο μετά την εκτέλεση των ν μ μ ν 4 μ ν 5 Από τη λύση του συστήματος αυτού βρίσκουμε συμμετρικό σημείο του Α ως προς την ε είναι το. 6 5 μ και 6 3 A, ν. Επομένως, το Δίνεται η εξίσωση: ( 5) λ(3 7) (), όπου λ R i) Να αποδειχτεί ότι Για κάθε τιμή της παραμέτρου λ η εξίσωση () παριστάνει ευθεία γραμμή Όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση () (Οικογένεια ευθειών) διέρχονται από το ίδιο σημείο. ii) Ποια από τις παραπάνω ευθείες είναι κάθετη στην ευθεία ζ : ; ΑΠΟΔΕΙΞΗ (i) Η εξίσωση () γράφεται ισοδύναμα ( 3 ) ( λ) (5 7λ) λ. () Επειδή δεν υπάρχει τιμή του λ για την οποία να μηδενίζονται και ο συντελεστής του και ο συντελεστής του, η εξίσωση () παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του λ R. Για να δείξουμε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας () διέρχονται από το ίδιο σημείο, αρκεί να βρούμε ένα σημείο K, ) του οποίου οι συντεταγμένες να ( επαληθεύουν την () για όλες τις τιμές του λ. Το ζητούμενο σημείο θα είναι εκείνο του οποίου οι συντεταγμένες μηδενίζουν τις παραστάσεις 5 και 3 7, δηλαδή η λύση του συστήματος 5 και 3 7. Από την επίλυση του συστήματος βρίσκουμε ότι 3 και. Επομένως, όλες οι ευθείες της οικογένειας () διέρχονται από το σημείο (3, ) K. (ii) Έστω ε ευθεία της οικογένειας () που είναι κάθετη στην ευθεία ζ. Τότε θα ισχύει λ ε λζ λε λε (3) 45

46 όμως, λόγω της (), ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε είναι ίσος με 3λ λ ε. λ 3λ λ Επομένως, από την (3) έχουμε 6λ λ λ, οπότε η ευθεία ε θα έχει εξίσωση 4 που γράφεται. 4. Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών ε : = και ΛΥΣΗ ε : 3. Οι ευθείες ε και ε έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ και λ. Άρα, είναι παράλληλες προς τα διανύσματα δ (, ) και δ (, ). Επομένως, η οξεία γωνία θ των ευθειών ε και ε είναι ίση ή παραπληρωματική της γωνίας φ των διανυσμάτων δ και δ. Όμως, είναι: δ δ ( ) συν φ. δ δ 5 Επομένως, συν θ, οπότε θ Να αποδειχτεί ότι η απόσταση των ευθειών ε : λ β και ε : λ β ΑΠΟΔΕΙΞΗ δίνεται από τον τύπο d( ε, ε ) β β. λ Η απόσταση των ε και ε είναι ίση με την απόσταση οποιουδήποτε σημείου της ευθείας ε από την ευθεία ε. Για, από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε ότι β. Άρα, το σημείο, β ) ( ανήκει στην ε, οπότε έχουμε d( ε,ε ) d( A,ε ) λ β β λ β β λ, αφού ε λ β : 46

47 6. Θεωρούμε τα σημεία Α(-3,), Β(-,) και Γ(-4,). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(,) για τα οποία ισχύει: (ΜΒΓ)=(ΑΒΓ) ΛΥΣΗ Το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με ( AB ) det( AB, A ), ενώ του (ΜΒΓ) είναι ίσο με ( MB ) det( B, BM ) Γ Α Β Μ Ο Επομένως, το M (, ) είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου, αν και μόνο αν ισχύει ή ή 4. Άρα, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος αποτελείται από τις ευθείες και 4, οι οποίες είναι παράλληλες προς τη ΒΓ. 7. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης : i) Tης ευθείας, η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(, 4) και Β(, 6) ii) Tης ευθείας, η οποία τέμνει τους άξονες στα σημεία Γ(, ) και Δ(, ) iii) Tης ευθείας, η οποία διέρχεται από το Ο και είναι κάθετη στη ΓΔ. ΛΥΣΗ i) = 6 4 ( ) = = ii) = = iii) ε ΓΔ =. = = 8. Να βρείτε τη γωνία, που σχηματίζουν με τον άξονα οι ευθείες που διέρχονται από τα σημεία : i) A(, 4) και Β(, 6) ii) A(, 3) και Β(, 4) iii) A(, 3) και Β(, ) iv) A(, 3) και Β(, 3) 47

48 ΛΥΣΗ Έστω ω η ζητούμενη γωνία i) εφω = = 6 4 ( ) = = ω = 45ο ii) εφω = = 4 3 ( ) = = ω = 45ο iii) A B ΑΒ ω = 9 ο iv) εφω = = 3 3 ( ) = ω = ο 8. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(, ) και i) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα = (3, ) ii) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα = (, ) iii) σχηματίζει με τον άξονα γωνία ω =. 4 ΛΥΣΗ Έστω ε η ζητούμενη ευθεία i) ε// = = 3 ε : = λ ( ) ( ) = ( ) 3 + = = = 3 3 ii) Επειδή =, είναι // (το δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης), άρα και ε// και αφού διέρχεται από το σημείο Α(, ), θα έχει εξίσωση = iii) ω = 4 = εφ = 4 ε : = λ ( ) ( ) =.( ) + = = 9. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, που διέρχεται από τα σημεία Α(συνθ, ημθ) και Β(ημθ, συνθ), αν < θ < και θ. Για ποια τιμή του θ η ευθεία αυτή διέρχεται από την αρχή 4 των αξόνων; 48

49 ΛΥΣΗ ΑΒ : = A ( ) A ημθ = ( συνθ) ημθ = ( συνθ) = + συνθ + ημθ Η ευθεία αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων συνθ + ημθ = ημθ = συνθ = εφθ = θ = 4. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών, που διέρχονται από το σημείο Α(-, ) και σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. Λύση Έστω ΑΛΚ ζητούμενη ευθεία. έχει Α Λ Ο K Αφού διέρχεται από το Α, θα εξίσωση = λ( + ) = λ + λ + () Περιορισμός : Για να ορίζεται τρίγωνο ΟΚΛ, θα πρέπει η ευθεία να τέμνει τους άξονες και μάλιστα σε διαφορετικά σημεία Κ, Λ, άρα θα πρέπει λ και λ Συντεταγμένες του Κ : Για =, η () = λ K + λ λ K K = λ = K. Συντεταγμένες του Λ : Για =, η () = λ( + ) = λ + Τρίγωνο ΟΚΛ ισοσκελές (ΟΚ) = (ΟΛ) = 49

50 = = = = λ = ή λ = Άρα ζητούμενη ευθεία () είναι = + + ή = + = + 3 ή = +. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών και τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ, του οποίου τα δύο ύψη έχουν εξισώσεις = + 3 και = + αντιστοίχως και η κορυφή Α έχει συντεταγμένες (, 4) ΛΥΣΗ Α Διαπιστώνουμε ότι η κορυφή Α δεν Δ επαληθεύει καμία από τις εξισώσεις των υψών. Ε Έστω, λοιπόν ΒΔ : = + 3 Β Γ ΓΕ : = + ΑΓ ΒΔ. = = και ΑΓ : 4 = ( ) = = + 6 ΑΒ ΓΕ. = = ΑΒ : 4 = ( ) = + 4 = + 3 Για τις συντεταγμένες του Β, λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των ΑΒ, ΒΔ Για τις συντεταγμένες του Γ, λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των ΑΓ, ΓΕ

51 . Να αποδείξτε ότι, για κάθε πραγματική τιμή του μ η εξίσωση: (μ ) + μ + = παριστάνει ευθεία γραμμή. Πότε η ευθεία αυτή είναι παράλληλη προς τον άξονα διέρχεται από την αρχή των αξόνων;, πότε προς τον και πότε ΛΥΣΗ Η δοσμένη εξίσωση είναι της μορφής Α + B + Γ =. Ένας τουλάχιστον από τους μ, μ είναι, διότι: αν ήσαν μ = και μ =, θα ήταν μ = και μ =, που είναι άτοπο. Άρα η δοσμένη εξίσωση παριστάνει ευθεία γραμμή ε. ε// μ = μ = ε// μ = ε διέρχεται από την αρχή των αξόνων = μ = 3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Α(-, 3) και είναι κάθετη στην ευθεία =. Ποιο είναι το σημείο τομής των δύο ευθειών; ΛΥΣΗ Έστω ε : = = η δοσμένη ευθεία και η η ζητούμενη. = = 3 3 η ε = 3 η : 3 = 3 ( + ) 6 = = Σημείο τομής των ε, η :

52 4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών = και 3 7 = και είναι κάθετη στην ευθεία 4 + =. ΛΥΣΗ Σημείο τομής : D = -5-3 = = D = = = 44 D = -3 7 = = 7 = D D = 44 = 44 = D Η τρίτη ευθεία έχει λ = D = 7 = 7 K( 44, 7) = 4, άρα η ζητούμενη κάθετή της θα έχει συντελεστή διεύθυνσης 4. Η εξίσωσή της θα είναι +7 = ( + 44) = = 4 5. Τα σημεία Α(-4, 6) και Γ(-, ) είναι οι απέναντι κορυφές ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Οι πλευρές ΒΓ και ΓΔ του παραλληλογράμμου ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις + 3 = και + = αντιστοίχως. Να υπολογίσετε : (i) Τις συντεταγμένες της κορυφής Δ. (ii) Το συνημίτονο της οξείας γωνίας των διαγωνίων του παραλληλογράμμου. ΛΥΣΗ Α Β (i) AΔ//ΒΓ A = = 3 K ΑΔ : - 6 = ( +4) - + = 3 Δ Γ 3 8 = = + 3 = 4 Οι συντεταγμένες του Δ θα είναι η λύση του συστήματος 34 των εξισώσεων των ευθειών ΑΔ και ΔΓ 5

53 D = 3 = 3 = 4, D = 4 3 = = 8, D = 4 = 4 = 6 = D =, = D D D = 4 Άρα Δ(, 4) (ii) = 6 = 5 = (3, 5) 4 3 Το σημείο τομής Κ των διαγωνίων είναι μέσο της ΑΓ. Άρα Κ( 4, 6 ), Κ( 5, 7 ) = 7 4 = = 78 = ) = = συν(, = (9, ) = = Να βρείτε την τιμή του λϵr, ώστε οι ευθείες (λ ) + λ + 8 = και λ λ = να είναι κάθετες. ΛΥΣΗ Η πρώτη ευθεία είναι παράλληλη στο διάνυσμα = (Β, Α) = (λ, λ) και η δεύτερη είναι παράλληλη στο διάνυσμα = (Β, Α) = (3, λ) Οι δύο ευθείες είναι κάθετες τότε και μόνο τότε όταν. = 3λ λ( λ) = 3λ λ + = + λ = λ(λ + ) = λ = ή λ + = λ = ή λ = 53

54 7. Να σχεδιάσετε τις γραμμές τις οποίες παριστάνουν οι εξισώσεις i) = ii) = ΛΥΣΗ i) H εξίσωση γράφεται 4 + (4 ) = (β βάθμια ως προς ) Δ = 6 4(4 ) = = 4 = 4 = + ή = + ευθείες 4 O - = + = ii) H εξίσωση γράφεται + ( + 4 3) = (β-βάθμια ως προς ) Δ = 4 4 ( + 4 3) = 4( ) = 4( 4 + 4) = 4 ( ) = = + ή = + = ή = + 3 ευθείες 4 O = - 5 = Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες της μορφής (α + α + 3) + ( α α + ) + (3α + ) =, ϵr, διέρχονται από το ίδιο σημείο ΛΥΣΗ Για =, έχουμε τη συγκεκριμένη ευθεία : = Για =, έχουμε τη συγκεκριμένη ευθεία : ( + + 3) + ( + ) +3 += : = Βρίσκουμε το σημείο τομής K των, λύνοντας το σύστημά τους = = 3 = 3 = = 3 = 3( ) = Άρα Κ(, ) Θα αποδείξουμε ότι, για κάθε ϵr, η δοσμένη εξίσωση επαληθεύεται από το Κ(, ), οπότε όλες οι ευθείες, που παριστάνει, θα διέρχονται από το Κ. ( + + 3)( ) + ( + ) + (3 + ) = = = 54

55 9. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες + 4 = 5, 3 = και = διέρχονται από το ίδιο σημείο. ΛΥΣΗ Βρίσκουμε το σημείο τομής K των δύο πρώτων λύνοντας το σύστημά τους D = 4 3 = = 4 D = = 4 = 4 D = 5 = 5 = 4 3 D = D =, = D = Άρα Κ(, ) D Για να διέρχεται η τρίτη ευθεία από το Κ(, ), αρκεί να επαληθεύεται από αυτό = = =.. Να βρείτε την οξεία γωνία την οποία σχηματίζουν οι ευθείες = μ και ( + μ) = ( μ). ΛΥΣΗ Έστω : μ = και : ( + μ) ( μ) = οι δοσμένες ευθείες. Θεωρούμε το διάνυσμα = (, μ) και το = ( μ, + μ). συν,. ( ) = = ( ) ( ) = = = Άρα η ζητούμενη γωνία είναι 45 ο. = =. 55

56 . Δίνεται η ευθεία 3 + = 3 και το σημείο Α(, ). Να βρείτε τις συντεταγμένες της προβολής του Α στην ευθεία αυτή. ΛΥΣΗ ε K Α Σύστημα των ε και ΑΚ D = 3 3 D = = 9 = ΑΚ ε, οπότε Κ είναι η προβολή του Α στη δοσμένη ευθεία ε. = 3 άρα = 3 ΑΚ: = ( ) = 3 = 5 = = 4, D = = 5 3 = 8 = D = 5, = D D = 9 5 D. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Α(, 3) από την ευθεία + + =. ΛΥΣΗ.( ).3 d = = = 3. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Α(-, 3) από την ευθεία = ΛΥΣΗ 5.( ) 3.3 d = 5 3 = 9 34 = 56

57 4. Δίνονται οι ευθείες : = και : =. i) Να δείξετε ότι // ii) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις της αρχής των αξόνων από τις,. iii) Να υπολογίσετε την απόσταση των και. ΛΥΣΗ (i) = 5 = = // (ii) d(o, ) = = = 5 89 = d(o, ) = = (iii) H, για =, δίνει = 5 d(, ) = d(κ, ) = = = Άρα το σημείο Κ 5, 5 = = 9 89 = Ποιο σημείο της ευθείας 3 = 3 ισαπέχει από τα σημεία Α(, 3) και Β(7, 9) ΛΥΣΗ Το ζητούμενο σημείο Κ θα ανήκει στη μεσοκάθετο μ του τμήματος ΑΒ. AB = 9 3 = 7 μ AB = -. Α M μ Β ε Έστω Μ το μέσο του ΑΒ. Τότε = 7 = 4 και = 3 9 = 6 Εξίσωση της μεσοκαθέτου μ: 6 = ( 4) 6 = = 33 Σύστημα των ε, μ : Κ D = 3 = + 3 = 5 57

58 D = 3 3 = = 6, D = 3 = 3 = = K D D = D D = 6 5 = και = K D D = = 5 6. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 3 και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 5 μονάδες. ΛΥΣΗ Έστω ε: = 3 + β 3 + β = η ζητούμενη ευθεία. d(o, ) = = = 5 = 5 5 β = 5 Άρα ε: = ή = Η ευθεία ε : 3 + = είναι μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών ε και ε, που απέχουν 8 μονάδες. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών αυτών. ΛΥΣΗ Οι ζητούμενες ευθείες θα έχουν εξίσωση της μορφής 3 + β =. Έστω Μ(, ) Θα είναι d(μ, ε) = 4 το τυχαίο σημείο τους = 4 3 = = 4 3 ή 3 + = = ή = 8. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές Α(, ), Β(6, ), Γ(4, 3) ΛΥΣΗ AB = (6, ) = (6, ), A = (4, 3 ) = (4, 3) (ΑΒΓ) = det, = = 8 = 9 58

59 9. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές Α(, ), Β(3, 4), Γ( 5, 4) ΛΥΣΗ AB = (3, 4 ) = (, ), A = ( 5, 4 ) = ( 6, 6) (ΑΒΓ) = det, = 6 6 = = 3. Δίνονται τα σημεία Α(5, ) και Β(, 3). Να βρείτε το σημείο Μ του άξονα, για το οποίο το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ να είναι ίσο με 7. ΛΥΣΗ Έστω Μ(, ) το ζητούμενο σημείο. AB = ( 5, 3 ) = ( 4, ) AM = ( 5, ) = ( 5, ) (ΜΑΒ) = 7 det, = = 4 4 = 4 4 = 4 4 = 4 ή 4 = 4 = ή = 8 = ή = 4 Το ζητούμενο σημείο είναι Μ(, ) ή Μ(4, ) 3. Να βρείτε το σημείο του άξονα, το οποίο ισαπέχει από την αρχή των αξόνων Ο και από την ευθεία =. Λύση Έστω Α(α, ) το ζητούμενο σημείο. 59

60 Θα έχουμε = = = 5 6 5α 6 = 3α ή 5α 6 = 3α 8α = -6 ή 8α = 6 α = 5 ή α = 3 Άρα Α( 5, ) ή Α( 3, ) 3. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες = και =. Λύση Ας είναι, οι δύο ευθείες. Έστω Μ(, ) το τυχαίο σημείο των διχοτόμων d(μ, ) = d(μ, ) = = = (3 4 + ) = 5( ) ή 3(3 4 + ) = 5( ) = ή = = ή = 6 = ή = 33. Δίνονται τα σημεία Α(, ) και Β(3, ). Να βρείτε το σύνολο των σημείων Μ, για τα οποία ισχύει (ΜΑΒ) = 8 Λύση Έστω Μ(, ) τυχαίο σημείο για το οποίο ισχύει (ΜΑΒ) = 8 = ( +, + ), = (3 +, + ) = (4, 3) (ΜΑΒ) = 8 det, = = = = = 6 ή = = ή = 6

61 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗ Δίνονται τα σημεία Α, και Β5,6. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και B. β) Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει εξίσωση την 7 Μεθοδολογία : Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθεία που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία B A δίνεται από τον τύπο λαβ B A. Επίσης μια ευθεία (ε) της οποίας ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης έχει τη μορφή o λ ε( o). Μεθοδολογία : Για να βρούμε την μεσοκάθετο ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ;έχουμε 3 τρόπους: Α τρόπος:, Βρίσκουμε το μέσο Μ ( χρησιμοποιώντας τους τύπους M A B και M A B ) και με δεδομένο ότι η ευθεία είναι κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα θα έχουμε το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης τους ισούται με Β τρόπος: Ξέρουμε ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ισαπέχει από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος επομένως απαιτούμε (ΜΑ)=(ΜΒ) ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η ευθεία (ε) : και το σημείο Α(, 4). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην (ε). β) Να βρείτε την προβολή του σημείου Α πάνω στην (ε) 6

62 ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(3,), Β(,) και Γ(,4). α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ. β) Να βρείτε τις εξισώσεις του ύψους ΒΔ και της διαμέσου ΑΜ. ΑΣΚΗΣΗ 4 Θεωρούμε μια ευθεία (ε) και ένα σημείο Α(6, -) εκτός της (ε). Έστω Μ(, ) η προβολή του Α στην (ε). Να βρείτε: α) Την εξίσωση της ευθείας (ε). β) Το συμμετρικό του Α ως προς την (ε). ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνονται τα σημεία Α(, 3), Β(-, 5) και Γ(-, -4). α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο. β) Να βρείτε το συμμετρικό Δ του Β ως προς το μέσο Μ της ΑΓ. γ) Τι σχήμα είναι το ΑΒΓΔ; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας. ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε : 8, ε : 4 και το σημείο Α της ε που έχει τετμημένη το 4. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ε γ) Αν Β είναι το σημείο τομής των ευθειών ε και ε, τότε να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β Μεθοδολογία : Όταν θέλουμε να βρούμε τη σχετική θέση δύο ευθειών λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων τους. Δηλαδή : Αν το σύστημα έχει μία λύση τότε οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο Αν το σύστημα είναι αδύνατο τότε οι ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό σημείο δηλαδή είναι παράλληλες Αν το σύστημα έχει άπειρες λύσεις τότε οι ευθείες έχουν άπειρα κοινά σημεία δηλαδή ταυτίζονται 6

63 ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνονται οι ευθείες ε : 8 6 και ε : 5 οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ. Αν οι ευθείες ε και ε τέμνουν τον άξονα ' στα σημεία Α, Β αντίστοιχα, τότε: α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Μ, Α και Β β) Αν Κ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος ΜΚ ΑΣΚΗΣΗ 8 Δίνονται οι ευθείες ε : 8 8 και ε : οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ και στη συνέχεια την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Μ και είναι κάθετη στον άξονα ' β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που διέρχονται από το Μ και έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ έχουν εξίσωση την λ 3λ 4, όπου λ ΑΣΚΗΣΗ 9 Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μέσο Μ και Α,, Μ,5. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β. β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, καθώς και τα κοινά σημεία αυτής με τους άξονες και. ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η ευθεία ε : και το σημείο Α5,. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η, η οποία διέρχεται από το Α και είναι κάθετη προς την ευθεία ε. β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η, η οποία διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη προς τον άξονα. γ) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών η και η και την απόστασή του από την αρχή των αξόνων ΑΣΚΗΣΗ Δίνονται οι ευθείες ε : 3 5 και ε : 3 5 α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε και ε είναι κάθετες μεταξύ τους β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε και ε γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α και την αρχή Ο των αξόνων 63

64 ΑΣΚΗΣΗ Δίνονται οι ευθείες ε :3 3 και ε : 4 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε και ε β) Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα στο σημείο Β και η ευθεία ε τέμνει τον άξονα στο σημείο Γ, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Β και Γ ii) να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ έχει εξίσωση την 3 4 ΑΣΚΗΣΗ 3 Έστω Μ3,5 το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με Α, α) Να βρείτε i) τις συντεταγμένες του σημείου B ii) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και B β) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου Κ του άξονα έτσι, ώστε να ισχύει ΚΑ ΚΒ ΑΣΚΗΣΗ 4 Θεωρούμε την ευθεία ε που τέμνει τους άξονες και στα σημεία Α3, και Β,6 αντίστοιχα. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε β) Αν ε είναι η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ε, τότε να βρείτε: i) την εξίσωση της ευθείας ε ii) τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ε και ε ΑΣΚΗΣΗ 5 Θεωρούμε τα σημεία, και, α) Να αποδείξετε ότι :, όπου και. β) Αν ε είναι η ευθεία που διέρχεται από το σημείο, και είναι κάθετη προς την ευθεία ΑΒ, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση ε ii) αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα στο σημείο Κ και τον άξονα στο σημείο Λ, να αποδείξετε ότι αξόνων., όπου Ο είναι η αρχή των 64

65 ΑΣΚΗΣΗ 6 Θεωρούμε τα σημεία Α(6, μ) και Β(μ +, μ + ), μ ϵ R α) Να αποδείξετε ότι για κάθε μ R, τα σημεία είναι διαφορετικά μεταξύ τους και να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα Α και Β. β) Να βρείτε για ποια τιμή του μ, το σημείο Γ(4, ) περιέχεται στην ευθεία ΑΒ. ΑΣΚΗΣΗ 7 Έστω Α( -, ), Β(, ) και Γ( -, 3) τρία σημεία του επιπέδου. α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(, ) ώστε : 3 5 είναι η ευθεία ε: = β) Να βρείτε ευθεία κάθετη στην (ε) που διέρχεται από το μέσο Κ του τμήματος ΑΓ ΑΣΚΗΣΗ 8 Σε παραλληλόγραμμο οι πλευρές του και βρίσκονται πάνω στις ευθείες εξισώσεις ε : + + = και ε : + 6 = αντίστοιχα. Αν το κέντρο του είναι το σημείο Κ(, ), τότε: α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α και να αποδείξετε ότι Γ(, 6). β) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς και τις συντεταγμένες της κορυφής Δ. ΑΣΚΗΣΗ 9 Θεωρούμε την εξίσωση (λ ) + (8 λ) + 9λ 7 =,, (). α) Να αποδείξετε ότι για κάθε, παριστάνει ευθεία. β) Αν (ε ), (ε ) είναι οι ευθείες που προκύπτουν από την () για λ =, λ = αντίστοιχα, να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν. ΑΣΚΗΣΗ Δίνονται οι ευθείες ε : κ κ 3κ και ζ : 3κ κ 6κ όπου κ α) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του κ, ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες Μονάδες β) Να βρείτε την αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες (ε) και (ζ) Μονάδες 5 65

66 ΑΣΚΗΣΗ Δίνονται οι ευθείες ε : λ 6 και ε : λ 4 όπου λ α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ οι ευθείες ε και ε τέμνονται και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους Μ β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία ε : 8 6 γ) Αν η ευθεία ε τέμνει τους άξονες και στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και είναι παράλληλη προς την ευθεία ΑΒ ii) αν Κ είναι τυχαίο σημείο της ευθείας ζ να αποδείξετε ότι 9 (ΚΑΒ) 4 ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η εξίσωση: () α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει γεωμετρικά δύο ευθείες γραμμές ε και ε οι οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους. β) Αν ε : και ε : 4, να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ε των ε και ε. γ) Αν Α είναι σημείο της ευθείας ε με τεταγμένη το και Β σημείο της ευθείας ε με τετμημένη το, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων A και Β ii) να βρείτε τις συντεταγμένες δύο σημείων Γ και Δ της ευθείας ε έτσι, ώστε το τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι τετράγωνο. ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται η εξίσωση 3λ 3λ λ, με λ διαφορετικό του. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει στο επίπεδο, δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους, καθεμιά από τις οποίες έχει κλίση ίση με. β) Αν το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες του ερωτήματος α) είναι ίσο με, να βρείτε την τιμή του λ. 66

67 ΑΣΚΗΣΗ 4 Δίνεται η ευθεία ε : 4 7 και τα σημεία Α(, 4) και Β(,6) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου Μ της ευθείας ε το οποίο ισαπέχει από τα σημεία Α και Β β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ(, ) για τα οποία ισχύει (ΚΑΒ) (ΜΑΒ) ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: 5 και 5 ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνονται τα σημεία Aλ, λ, B, και Γ 4, 6, λ. α) Να βρείτε την μεσοκάθετο του τμήματος ΒΓ. β) Αν το σημείο Α ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ, να βρείτε την τιμή του λ. γ) Για λ = 4, να βρείτε σημείο Δ ώστε το τετράπλευρο ΑΒΔΓ να είναι ρόμβος. ΑΣΚΗΣΗ 6 Θεωρούμε τα σημεία Α( t + 6, ), B(, 4t ), t. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ. β) Να δείξετε ότι το Μ κινείται σε ευθεία την οποία να προσδιορίσετε. γ) Αν (ΑΒ) = d, να αποδείξετε ότι d και κατόπιν να βρείτε τα Α, Β ώστε η απόσταση (ΑΒ) να είναι ελάχιστη. ΑΣΚΗΣΗ 7 Θεωρούμε τις εξισώσεις ε λ : (λ ) + (λ ) λ + 3 =, λ α) Να αποδείξετε ότι καθεμιά από τις (ε λ ) παριστάνει ευθεία και κατόπιν ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο. β) Έστω λ και λ. Αν η (ε λ ) τέμνει τους άξονες και στα σημεία Α(α,) και Β(, β) αντίστοιχα, τότε: i. Nα εκφράσετε τα α, β συναρτήσει του λ. ii. Nα βρείτε την ευθεία της παραπάνω μορφής ώστε να ισχύει + = α β 67

68 ΑΣΚΗΣΗ 8 Θεωρούμε σημεία Mα,α +, α α) Να δείξετε ότι κινούνται στην ευθεία = + β) Να βρείτε το συμμετρικό Mα,β του Μ ως προς την ευθεία - = γ) Να δείξετε ότι το Μ κινείται, για τις διάφορες τιμές του α, στην ευθεία = δ) Να εξετάσετε αν οι τρεις ευθείες συντρέχουν και κατόπιν να αιτιολογήσετε το αποτέλεσμα, αφού πρώτα σχεδιάσετε τις τρεις ευθείες. ΑΣΚΗΣΗ 9 Δίνονται τα σημεία Α, και Β,3. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α,Β β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΚΛ, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων και Κ, Λ είναι τα σημεία τομής της ε με τους άξονες και αντίστοιχα ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία A3,, B 3,, Γ 4,. α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ. β) Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους ΓΔ καθώς και την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται αυτό. ΑΣΚΗΣΗ 3 Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων O θεωρούμε την ευθεία : και τα σημεία, και 6, 3. α) Να προσδιορίσετε σημείο Γ της ευθείας ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την. β) Έστω,. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου. 68

69 ΑΣΚΗΣΗ 3 Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων O θεωρούμε την ευθεία : όπου θετικός ακέραιος μεγαλύτερος της μονάδας. α) Να βρείτε με τη βοήθεια του τα σημεία τομής της, ευθείας με τους άξονες, και το εμβαδόν του τριγώνου β) Αν ισχύει (OAB) < να αποδείξετε ότι κ = O. ΑΣΚΗΣΗ 33 Θεωρούμε την ευθεία : 3 4 και το σημείο Α(, ). α) Να αποδείξετε ότι το Α δεν ανήκει στην (ε) και να βρείτε την απόστασή του από αυτή. β) Να βρείτε όλες τις ευθείες που είναι παράλληλες στην (ε) και απέχουν από το Α απόσταση ίση με 3 μονάδες.. ΑΣΚΗΣΗ 34 Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων στο οποίο απεικονίζεται ο χάρτης του νομού Αρκαδίας. Τα χωριά Δόξα (Δ), Λευκοχώρι (Λ) και Κακουρέϊκα (Κ) έχουν αντίστοιχες συντεταγμένες Δ(, ), Λ(, ) και Κ(, ).. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα χωριά Δόξα (Δ) και Λευκοχώρι (Λ). β) Να βρείτε την απόσταση του Κ από την ευθεία (ε). γ) Να εξετάσετε, με βάση τα δεδομένα του προβλήματος, ποιο από τα χωριά Δόξα και Λευκοχώρι απέχει τη μικρότερη απόσταση από τα Κακουρέϊκα ΑΣΚΗΣΗ 35 Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Ο θεωρούμε τα σημεία Α(λ-,λ+) και Β(μ+3,μ), λ, μr. α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,Β κινούνται στις ευθείες : 3 και : 3αντίστοιχα. β) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών,. Μεθοδολογία : και : δύο παράλληλες ευθείες, τότε η μεταξύ Αν τους απόσταση δίνεται από τον τύπο d,. 69

70 ΑΣΚΗΣΗ 36 Δίνονται τα σημεία Α(,), Β(, 5) και Γ(t, 3t ), tr. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ. Μονάδες 7 β) Να δείξετε ότι η απόσταση του σημείου Γ από την ευθεία ΑB καθώς και τo εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι ανεξάρτητα του t. Μονάδες 8 Μεθοδολογία Ο συντελεστής διεύθυνσης ευθείας που διέρχεται από τα σημεία, B(, ) είναι, αν. Η εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης λ που διέρχεται από το σημείο, είναι ( ). Η απόσταση σημείου, και από ευθεία : B με Α ή Β δίνεται από τον τύπο d(, ) Το εμβαδόν τριγώνου με κορυφές Α, Β, Γ δίνεται από τον τύπο det AB,A ΑΣΚΗΣΗ 37 Δίνονται οι ευθείες ε : 3 3 και ε : 4 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε και ε β) Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Β και η ευθεία ε τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Γ, τότε: i) να βρείτε εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ ii) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ (,) για τα οποία ισχύει (ΚΒΓ) = (ΑΒΓ) ανήκουν σε δύο παράλληλες ευθείες, των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις. ΑΣΚΗΣΗ 38 Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που είναι παράλληλο προς την ευθεία ε : =, με Α,, B, και. Αν το σημείο Μ(3,5) είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και το γινόμενο των τετμημένων των σημείων Α και Β ισούται με 5, τότε: α) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β. β) Να αποδείξετε ότι (ΟΑΒ) = 4, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ(,) για τα οποία ισχύει (ΚΑΒ) = (ΟΑΒ) ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: = και + 6 = 7

71 ΑΣΚΗΣΗ 39 Δίνονται οι ευθείες : 5, : 3 5 με και το σημείο Α(,-) α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε τιμή του οι ευθείες τέμνονται β) Αν οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Α, να βρείτε την τιμή του γ) Έστω και Β, Γ τα σημεία που οι και τέμνουν τον άξονα. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ΑΣΚΗΣΗ 4 Δίνονται τα σημεία 3 Α,, Β, και μ 4 Γμ, όπου μ α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ και ΒΓ β) Να αποδείξετε ότι για κάθε μ το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β γ) Να βρείτε την τιμή του μ έτσι, ώστε μβγ ΑΒ δ) Για την τιμή του μ που βρήκατε στο ερώτημα γ), να αποδείξετε ότι ΟΒΓ όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων ΑΣΚΗΣΗ 4 Δίνονται τα σημεία Α3,4, Β5,7 και Γμ,3μ, όπου μ α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ και ΑΓ και, στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του μ β) Να αποδείξετε ότι: i) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δεν εξαρτάται από το μ ii) για κάθε τιμή του μ το σημείο Γ ανήκει σε ευθεία ε, της οποίας να βρείτε την εξίσωση γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από την τιμή του μ; 7

72 ΑΣΚΗΣΗ 4 Θεωρούμε το σημείο Μ( 3, ) και ευθεία που διέρχεται από το Μ και τέμνει τους αρνητικούς ημιάξονες στα σημεία Α, Β. α) Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης λ της ευθείας είναι αρνητικός. β) Έστω Ε(λ) το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. i. Να αποδείξετε ότι Ε(λ) για κάθε λ <. ii. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που σχηματίζει με τους ημιάξονες τρίγωνο με ελάχιστο εμβαδόν. ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η εξίσωση α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει δυο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους. Έστω ε : + = και ε : + = 3 οι δυο ευθείες. β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου που σχηματίζεται από τους άξονες και τις ευθείες. γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή Ο και τέμνει τις ε και ε στα σημεία Α, Β ώστε (ΑΒ) =. 7

73 ΑΣΚΗΣΗ 44 Σε καρτεσιανό σύστημα αξόνων Ο θεωρούμε τα σημεία Μ(, ), Α(, 3) και Β(, ) ώστε να σχηματίζουν τρίγωνο με εμβαδόν (ΜΑΒ) = 4. α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι δυο ευθείες ε, ε παράλληλες μεταξύ τους. β) Να βρείτε την απόσταση των ε, ε. γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα Α, Β είναι η μεσοπαράλληλη των ε, ε. Πως αιτιολογείται γεωμετρικά το συμπέρασμα αυτό; ΑΣΚΗΣΗ 45 Δίνονται τα σημεία Α(, ), Β( 3, 4) και Γ(λ +, λ), λ. α) Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του λ, τα Α, Β, Γ σχηματίζουν τρίγωνο και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι σταθερό. (Μονάδες ) β) Να αποδείξετε ότι η κορυφή Γ κινείται σε ευθεία παράλληλη στην ΑΒ. (Μονάδες 6) γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του Γ ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την ΒΓ. (Μονάδες 7) ΑΣΚΗΣΗ 46 73

74 Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Ο θεωρούμε τις ευθείες ε λ : + (λ + ) λ + =, λ. α) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο Μ. β) Να αποδείξετε ότι do, ελ γ) Να βρείτε ποια από τις ευθείες της παραπάνω μορφής απέχει την μέγιστη απόσταση από το Ο. ΑΣΚΗΣΗ 47 Δίνονται τα διανύσματα α, και β 3,. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u 4α β 3 β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης και διέρχεται από το σημείο Α, αβ u 5 ΑΣΚΗΣΗ 48 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 5,4), Β(,6), Γ(4,) και σημείο Μ της πλευράς ΑΒ για το οποίο ισχύει ΑΜ ΑΒ 4 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΑΒ β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ. 9 γ) Αν το σημείο Μ έχει συντεταγμένες 4,, να υπολογίσετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Γ,Μ. ΑΣΚΗΣΗ 49 Θεωρούμε τα σημεία,, B,4 και,,. α) Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό, τα σημεία σχηματίζουν τρίγωνο. β) Έστω ότι για το εμβαδόν του τριγώνου ισχύει 3. i) Να αποδείξετε ότι ή. ii) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων, όταν. 74

75 ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνονται τα διανύσματα α και b με μέτρα, 6 αντίστοιχα και φ, π η μεταξύ τους γωνία. Επίσης δίνεται η εξίσωση αb αb 5. α) Να αποδείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία για κάθε φ, π. β) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα, να αποδείξετε ότι b 3α γ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα, να αποδείξετε ότι b 3α δ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στη διχοτόμο πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων, να αποδείξετε ότι b α ΑΣΚΗΣΗ 5 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AΒ (λ, λ ) AΓ (3λ,λ ) όπου λ και λ και Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ α) Να αποδείξετε ότι AΜ (λ, λ) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το διάνυσμα AΜ είναι κάθετο στο διάνυσμα α, λ λ γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ΑΣΚΗΣΗ 5 Θεωρούμε τα σημεία Α(, ), Β(, ) και Γ(, ). α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(, ) ώστε 3 είναι η ευθεία ε: + =. β) Να βρείτε: i. Σημείο Κ στον άξονα ώστε το συμμετρικό του ως προς την ευθεία του ερωτήματος α) να είναι σημείο Λ του άξονα. ii. Το εμβαδόν του τριγώνου ΚΛΣ όπου Σ είναι το σημείο τομής της ευθείας ε με τον άξονα. 75

76 76

77 ΜΕΡΟΣ 3ο ΚΥΚΛΟΣ 77

78 ΜΕΡΟΣ 3ο : ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Να βρεθεί η εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ. Ποιος κύκλος ονομάζεται μοναδιαίος ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο O(, ) και ακτίνα ρ. Γνωρίζουμε από τη Γεωμετρία ότι ένα σημείο M(, ) ανήκει στον κύκλο C, αν και μόνο αν απέχει από το κέντρο του Ο απόσταση ίση με ρ, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει: ( OM) () Ο ρ (,) M(,) Όμως, ( OM). Επομένως, η () γράφεται ή, ισοδύναμα,. () C Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι οι συντεταγμένες των σημείων του κύκλου και μόνο αυτές επαληθεύουν την εξίσωση (). Άρα, ο κύκλος με κέντρο το σημείο O(, ) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση (3) Ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο(,) και ακτίνα έχει εξίσωση. Ο κύκλος αυτός λέγεται μοναδιαίος κύκλος.. Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτομένης του κύκλου ρ στο σημείο του A, ). ( 78

79 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου C : ρ σε ένα σημείο του A(, ). Γνωρίζουμε από τη Γεωμετρία ότι ένα σημείο M(, ) ανήκει στην ε, αν και μόνο αν, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει OA AM. () Όμως OA, ) και AM, ). Έτσι ( η () γράφεται διαδοχικά ( Α(, ) M(,) ε ( ) ( ), αφού. Ο Επομένως, η εφαπτομένη του κύκλου ρ στο σημείο του A, ) έχει εξίσωση : Για παράδειγμα, η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο A, 3 εξίσωση, η οποία γράφεται 3. ( 3 έχει 3. Να βρεθεί η εξίσωση κύκλου με κέντρο K(, ) και ακτίνα ρ. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο K(, ) και ακτίνα ρ. Ένα σημείο M(, ) ανήκει στον κύκλο C, αν και μόνο αν απέχει από το κέντρο του Κ απόσταση ίση με ρ, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει Ο Κ(, ) ρ M(,) ( KM ) ρ () Όμως, ( KM) ( ) ( ) Επομένως, η σχέση () γράφεται: ( ) ( ) ή, ισοδύναμα, ( ) ( ). Άρα, ο κύκλος με κέντρο K(, ) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: ( ) ( ) (). Έτσι, για παράδειγμα, ο κύκλος με κέντρο K(, 3) και ακτίνα έχει εξίσωση ( ) ( 3). 79

80 4. Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής A B, με A B 4 (Ι) και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής (Ι) παριστάνει κύκλο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ο κύκλος με κέντρο K(, ) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση ( ) ( ) Αν εκτελέσουμε τις πράξεις, η εξίσωση γράφεται ( ρ ), δηλαδή παίρνει τη μορφή A B, (3) όπου A, B και. Αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής (3) γράφεται διαδοχικά: ( A) ( B) A A B B A B A B A B 4. 4 Επομένως: A B Αν A B 4, η εξίσωση (3) παριστάνει κύκλο με κέντρο K, και ακτίνα A B 4. Αν A B 4, η εξίσωση (3) παριστάνει ένα μόνο σημείο, το A B K,. Αν A B 4, η εξίσωση (3) είναι αδύνατη, δηλαδή δεν υπάρχουν σημεία M (, ) των οποίων οι συντεταγμένες να την επαληθεύουν. Αποδείξαμε λοιπόν ότι: Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής A B, με A B 4 (Ι) και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής (Ι) παριστάνει κύκλο. Π.χ. Η εξίσωση 46, για παράδειγμα, γράφεται διαδοχικά ( 4) ( 6) ( ) ( 3 3 ) 3. ( ) ( 3) Άρα, παριστάνει κύκλο με κέντρο K(, 3) και ακτίνα. 8

81 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου C : 5 που διέρχονται από το σημείο A( 3, ), και να αποδειχτεί ότι οι εφαπτόμενες αυτές είναι κάθετες. ΛΥΣΗ Έστω μια εφαπτομένη του κύκλου C που διέρχεται από το σημείο Α. Αν (, ) είναι το σημείο επαφής, τότε η M θα έχει εξίσωση 5 () ε M Α(3,) ω Ο M και επειδή διέρχεται από το σημείο A( 3, ), θα ισχύει 3 5. () Όμως, το σημείο M(, ) ανήκει στον κύκλο C. Άρα, θα ισχύει 5. (3) Επομένως, οι συντεταγμένες (, ) του M είναι η λύση του συστήματος των εξισώσεων () και (3). Λύνουμε το σύστημα αυτό και βρίσκουμε δύο λύσεις: (, ) (, ) ή (, ) (, ) (4) Άρα, υπάρχουν δύο εφαπτόμενες του C που διέρχονται από το σημείο A(, ) οι οποίες, λόγω των () και (4), έχουν εξισώσεις: : 5, : 5. Επειδή οι συντελεστές διεύθυνσης των και είναι και ευθείες και είναι κάθετες. ε 3,, οι. Δίνονται οι κύκλοι C : (-) +(-3) =5 και C : +(+) =3. i) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης ε του κύκλου C στο σημείο A(5,-) ii) Να αποδειχτεί ότι η ε εφάπτεται και του κύκλου C. 8

82 ΛΥΣΗ Ο κύκλος C έχει κέντρο K (,3) και ακτίνα 5, ενώ ο κύκλος C έχει κέντρο (, ) και ακτίνα 3. (i) Γνωρίζουμε από τη Γεωμετρία ότι ένα σημείο M (, ) ανήκει στην ε, αν και μόνο αν AM KA, δηλαδή, αν και μόνο O C K(,3) M(,) Λ(,-) A(5,-) αν KA AM. () C B Όμως, KA ( 3, 4) και ( 5, ) AM. Έτσι, η () γράφεται διαδοχικά 3( 5) 4( ) Άρα, η εξίσωση της ε είναι: () (ii) Για να δείξουμε ότι η ε εφάπτεται του κύκλου C, αρκεί να δείξουμε ότι η απόσταση του κέντρου (, ) του C από την ε είναι ίση με την ακτίνα του C, δηλαδή ίση με 3. 34( ) Έχουμε λοιπόν: d(, ε) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν διέρχεται από το σημείο Α(, 3 ) (ii) Όταν διέρχεται από το σημείο Α(α β, α + β) (iii) Όταν εφάπτεται της ευθείας = (iv) Όταν εφάπτεται της ευθείας α + β = + ΛΥΣΗ (i) ρ = (ΟΑ) = 3 Εξίσωση του κύκλου : = 4 =. + = (ii) ρ = (ΟΑ) = ( ) ( ) = = Εξίσωση του κύκλου : + = + 8

83 (iii) ρ = απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία =.. = Εξίσωση του κύκλου : + = (iv) ρ = απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία α+β ( + ) = =.. ( ) Εξίσωση του κύκλου : + = = + = 4. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν είναι παράλληλη στην ευθεία = + 3 (ii) Όταν είναι κάθετη στην ευθεία = (iii) Όταν διέρχεται από το σημείο Α(5, ) + = 5 ΛΥΣΗ (i) Έστω ε : + = 5 η ζητούμενη εφαπτομένη, όπου Ε(, ) το σημείο επαφής. ε // στην ευθεία = + 3 Ε στον κύκλο + = 5 = ή = = = () () 4 + = = 5 5 = 5 = Για =, η () =, οπότε ε : + = 5 Για =, η () =, οπότε ε : = 5 (ii) Έστω ε : + = 5 η ζητούμενη εφαπτομένη, όπου Ε(, ) το σημείο επαφής. ε στην ευθεία = = = = Συνεχίζουμε όπως στην περίπτωση (i) και βρίσκουμε ε : + = 5 ή ε : = 5 (iii) Έστω ε : + = 5 η ζητούμενη εφαπτομένη, όπου Ε(, ) το σημείο επαφής. A ε 5 +. = 5 = () () Ε στον κύκλο + = 5 + = 5 = 4 = ή = Άρα ε : + = 5 ή ε : = 5 83

84 5. Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου + = 4 που έχει μέσο το σημείο Μ(, ) ΛΥΣΗ Η ζητούμενη χορδή ε θα είναι κάθετη στην ΟΜ. Είναι = =. Άρα =. Επομένως ε : ( ) = ( ) + = = 6. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Όταν έχει κέντρο Κ(, ) και διέρχεται από το σημείο Α( 3, ) (ii) Όταν έχει διάμετρο το τμήμα με άκρα Α(, ) και Β(7, 8) (iii) Όταν έχει ακτίνα ρ = 5 και τέμνει τον άξονα στα σημεία Α(, ) και Β(7, ) (iv) Όταν διέρχεται από τα σημεία Α(4, ) και Β(8, ) και έχει το κέντρο του στην ευθεία = (v) Όταν τέμνει τον άξονα στα σημεία Α(4, ) και Β(8, ) και τον άξονα στα σημεία Γ(, ) και Δ(, μ) (vi) Όταν εφάπτεται του άξονα στο σημείο Α(3, ) και διέρχεται από το σημείο Β(, ) (vii) Όταν διέρχεται από την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας = στο σημείο Α(, 3) ΛΥΣΗ (i) = (ΚΑ ) = ( ) + ( 3 ) = + 3 = 4 Η εξίσωση του κύκλου είναι ( ) + ( ) = 4 (ii) Το κέντρο Κ του κύκλου θα είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ. Κ( 7, 8 ) = Κ(3, 5) και = (ΚΑ ) = ( 3 ) + ( 5 ) = = 5 Η εξίσωση του κύκλου είναι ( 3 ) + ( 5 ) = 5 (iii) Έστω Κ(, ) το κέντρο του κύκλου. (ΚΑ ) = (ΚΒ ) Ο Α Κ Β ( ) +( ) = ( 7 ) +( ) + + = = 48 = 4 () (ΚΑ) = 5 (ΚΑ ) = 5 ( ) +( ) = = 5 () = 6 = 4 ή 4 Η εξίσωση του κύκλου είναι ( 4 ) + ( 4 ) = 5 ή ( 4 ) + ( + 4 ) = 5 84

85 (iv) Έστω Κ(, ) το κέντρο του κύκλου. (ΚΑ ) = (ΚΒ ) ( 4 ) +( ) = ( 8 ) +( ) = = 48 = 6 Επειδή Κστην ευθεία =, θα είναι = = 6 = (ΚΑ ) = (4 6 ) + ( 6 ) = = 4 Η εξίσωση του κύκλου είναι ( 6 ) + ( 6 ) = 4 (v) Έστω Κ(, ) το κέντρο του κύκλου. (ΚΑ ) = (ΚΒ ) ( 4 ) +( ) = ( 8 ) +( ) = = 48 = 6 () (ΚΑ ) = (ΚΓ ) ( 4 ) + ( ) = ( ) +( + ) = = () 3 = + 3 = + = -9 = (ΚΑ ) = ( 4 ) + ( ) = (6 4 ) +( 9 ) = 4 +8 = 85 Η εξίσωση του κύκλου είναι ( 6 ) + ( + 9 ) = 85 (vi) Έστω Κ(, ) το κέντρο του κύκλου. KA = 3 O Β K Α (ΚΑ ) = (ΚΒ ) ( 3 ) +( ) = ( ) +( ) = = 4 = = 3 = ρ = (ΚΑ) = = Η εξίσωση του κύκλου είναι ( 3 ) + ( ) = 4 (vii) Έστω Κ(, ) το κέντρο του κύκλου και ε η ευθεία = A ΑΚ ε. = K 3 ( 3 4 ) = O 3 = = 4 (3) 85

86 (ΚΑ ) = (ΚΟ ) ( ) +( 3 ) = = = 9 = 3 = 9 (3) = = 8 = (ΚΟ ) = + = Η εξίσωση του κύκλου είναι ( = 8 44 = ) + ( 3 ) = Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση = ΛΥΣΗ = ρ = A = 4 = = 4 = 6 36 B = 6 = 3 K(, 3) = 64 = 8 = 4 8. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση + 4α + β + 4α + 6β = ΛΥΣΗ = A = 4 = α = B = = 5β Κ(α, 5β) 4 6 4(4 6 ) = 4 4 = = 4 4 = 9 ρ = 3β 9. Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου = στο σημείο του Α(, ) Λύση = A =, = B =. Κέντρο το Κ(, ) Έστω Μ(, ) το τυχαίο σημείο της εφαπτομένης στο Α. = ( )( ) + ( + )( + ) = ( + )( ) = = = 86

87 . Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου + α β+α 3β = στο σημείο του Α(α, β) ΛΥΣΗ = A = α = B = β Κέντρο το Κ(α, β) Έστω Μ(, ) το τυχαίο σημείο της εφαπτομένης στο Α. = ( α)(α α) + ( + β)( β + β) = ( + β)β = () Όταν β =, η () γίνεται ( + ). = δηλαδή =, που δεν παριστάνει ευθεία. Η εξήγηση είναι : Η δοσμένη εξίσωση + α β + 3 = γίνεται + α + = 4 = 4 4 = Οπότε ο κύκλος εκφυλίζεται σε σημείο, άρα δε γίνεται λόγος για εφαπτομένη. Όταν β, η () γίνεται + β = δηλαδή = β. Να βρείτε τη σχετική θέση των κύκλων C : + = και C : ( ) + = 4 ΛΥΣΗ (, ), = (, ), = Είναι ( ) = και = = ( ) = Άρα οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά.. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( α)( β) + ( γ)( δ) = παριστάνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τετραπλεύρου με κορυφές τα σημεία Α(α, γ), Β(β, γ), Γ(β, δ), Δ(α, δ) και ότι οι ΑΓ και ΒΔ είναι διάμετροι αυτού του κύκλου. ΛΥΣΗ ( α)( β) + ( γ)( δ) = (α + β) + αβ + (γ + δ) + γδ = + (α + β) (γ + δ) + αβ + γδ = είναι δε (α+β ) + (γ + δ ) 4(αβ + γδ) = = αβ + + +αβ γδ + 4αβ 4γδ γδ + = (α β ) + (γ δ ) > 87

88 Άρα η δοσμένη εξίσωση παριστάνει κύκλο. Ελέγχουμε αν η εξίσωση επαληθεύεται από το σημείο Α(α, γ) (α α)( β) + (γ γ)( δ) = που ισχύει. Άρα ο κύκλος διέρχεται από το Α. Ομοίως, διέρχεται από τα Β, Γ, Δ.. = (α β)(β β) + (γ γ)(δ γ) = (α β). +. )(δ γ) = + = = 9 ο ΑΓ διάμετρος Ομοίως ΒΔ διάμετρος 3. Να αποδείξετε ότι η ευθεία συνφ + ημφ = 4ημφ συνφ + 4 εφάπτεται του κύκλου = ΛΥΣΗ H δοσμένη ευθεία γράφεται ε : συνφ + ημφ 4ημφ + συνφ 4 =. = A =, = B = 4. Κέντρο του κύκλου Κ(, 4) 4 = = 6 ρ = d(k, ε) = = = 4 = ρ. Άρα η ευθεία εφάπτεται του κύκλου. 4. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, από τα οποία οι εφαπτόμενες προς τον κύκλο + = ρ είναι κάθετες. ΛΥΣΗ Ο ρ Α Β Μ(μ,ν) Έστω Μ(μ,ν) τυχαίο σημείο του γεωμετρικού τόπου ˆ ˆ ˆ = 9 ο και ΟΑ = ΟΒ ΟΑΒΜ τετράγωνο πλευράς ρ ΟΜ = ρ το Μ διαγράφει κύκλο (Ο, ρ ) + = (ρ ) + = 5. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τα σημεία Α(-3, ) και Β(3, ) είναι σταθερός και όσος με. 88

89 ΛΥΣΗ Έστω Μ(, ) τυχαίο σημείο του γεωμετρικού τόπου = (MA ) = 4 (MB ) ( + 3 ) + ( ) = 4[( - 3 ) + ( ) ] = 4( ) = = = = Κύκλος με κέντρο Κ(5, ) και ακτίνα ρ = 36 = 64 = 8 = 4 6. Να αποδείξετε ότι το σημείο τομής των ευθειών συνθ + ημθ = α και ημθ συνθ = β ανήκει στον κύκλο + = α +β για όλες τις τιμές του θϵ[,π). ΛΥΣΗ Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των δύο ευθειών. D = συνθ ημθ ημθ -συνθ = θ D = α = + β ημθ συνθ = = ασυνθ βημθ D = D D = ασυνθ + βημθ = D D = (ασυνθ + βημθ ) + (αημθ βσυνθ ) = θ + αβσυνθ ημθ + ( θ + ) + ( θ + + ) = συνθ ημθ α β = αημθ βσυνθ αβσυνθ ημθ = = βσυνθ αημθ + θ = 89

90 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται η εξίσωση: () α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο (, 5) και ακτίνα 3. β) Από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων να προσδιορίσετε εκείνες που εφάπτονται του παραπάνω κύκλου. ΑΣΚΗΣΗ Σε καρτεσιανό επίπεδο Ο θεωρούμε κύκλο C που διέρχεται από το σημείο 3, και έχει κέντρο το 4,8 α) Να αποδείξετε ότι C : 4 8 5, και έπειτα να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Ο και Κ. β) Από τα σημεία του κύκλου C να βρείτε τις συντεταγμένες: i) του σημείου που απέχει τη μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων. ii) του σημείου που απέχει τη μεγαλύτερη απόσταση από την αρχή των αξόνων. ΑΣΚΗΣΗ 3 Σε καρτεσιανό επίπεδο Ο θεωρούμε τα σημεία Α(, ), B(3, ) και Γ(, ). Αν τα σημεία αυτά σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα τη ΒΓ, τότε: α) Να αποδείξετε ότι το Α κινείται στον κύκλο C :. β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του Α, ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι και ισοσκελές. 9

91 ΑΣΚΗΣΗ 4 Σε καρτεσιανό επίπεδο O θεωρούμε τα σημεία K(, -) και A(-6, 5). α) Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με κέντρο Κ που διέρχεται από το Α, έχει εξίσωση C : β) Να βρείτε την εξίσωση κύκλου που εφάπτεται εσωτερικά στον κύκλο C στο σημείο Α και έχει ακτίνα ίση με το μισό της ακτίνας του C. ΑΣΚΗΣΗ 5 Σε καρτεσιανό επίπεδο O θεωρούμε τα σημεία A(, ), B(3, -)και την ευθεία ε:++=. Nα βρείτε: α) Την εξίσωση της μεσοκάθετης του τμήματος ΑΒ. β) Την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α, Β και έχει το κέντρο του στην ευθεία ε. ΑΣΚΗΣΗ 6 Έστω η εξίσωση: ( λ + 6) +( λ) = λ + 8λ (), όπου α) Τι παριστάνει γεωμετρικά σε καρτεσιανό επίπεδο O η εξίσωση () όταν λ = και τι όταν λ = 6 ; β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του λ από το διάστημα (,6) η εξίσωση () στο καρτεσιανό επίπεδο O παριστάνει κύκλο. γ) Καθώς το λ μεταβάλλεται στο διάστημα (, 6), να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων οι οποίοι προκύπτουν από την εξίσωση () ανήκουν σε ένα ευθύγραμμο τμήμα από το οποίο εξαιρούνται τα άκρα του. ΑΣΚΗΣΗ 7 Σε καρτεσιανό επίπεδο O θεωρούμε τον κύκλο C : + = 4 και μία τυχούσα διάμετρό του AB με A(, ) και B(, ). α) Να δικαιολογήσετε γιατί ισχύει = και = ; β) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων N(κ, λ) για τα οποία ισχύει 5 είναι ο κύκλος C : + = 9. γ) Στο καρτεσιανό επίπεδο να προσδιορίσετε τη θέση των σημείων M(, ) 4 9 για τα οποία ισχύει:. 9

92 ΑΣΚΗΣΗ 8 Δίνεται η εξίσωση. Να αποδείξετε ότι: α) Η εξίσωση παριστάνει κύκλο C του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. β) Ο κύκλος C εφάπτεται στον άξονα και να προσδιορίσετε το σημείο επαφής τους. 4 γ) Το σημείο M, βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον κύκλο σε δυο σημεία Α, Β ώστε η χορδή AB του κύκλου να έχει μέσο το Μ. ΑΣΚΗΣΗ 9 Δίνονται οι εξισώσεις και 3 5 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει κύκλο C με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα. β) Να αποδείξετε ότι, για κάθε η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Κατόπιν να αποδείξετε ότι οι ευθείες που προκύπτουν από την για τις διάφορες τιμές του λ διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο να προσδιορίσετε. γ) Έστω Α και Β τα σημεία τομής του κύκλου C με τους θετικούς ημιάξονες O και O αντίστοιχα. Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του λ, ώστε η ευθεία ΑΒ να προκύπτει από την εξίσωση (). 9

93 ΑΣΚΗΣΗ Σε καρτεσιανό επίπεδο O θεωρούμε την εξίσωση 3 4,. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε, η εξίσωση παριστάνει κύκλο. Κατόπιν, να βρείτε για ποιες τιμές του α, ο κύκλος διέρχεται από την αρχή Ο. β) Έστω C ο κύκλος που προκύπτει από την παραπάνω εξίσωση όταν και, μια ευθεία που τέμνει τον κύκλο C σε σημείο Α διαφορετικό από το Ο. i. Να βρείτε τις συντεταγμένες του Α συναρτήσει του λ. ii. Να αποδείξετε ότι το μέσο Μ του τμήματος ΟΑ κινείται σε κύκλο σταθερής ακτίνας ο οποίος διέρχεται από το Ο. ΑΣΚΗΣΗ Σε καρτεσιανό σύστημα Ο, θεωρούμε τα σημεία Μ(, ), A( 5, ) και B(, ) για τα οποία ισχύει 5. α) Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ ανήκει στον κύκλο C : + = 5. β) Θεωρούμε το σημείο Σ(7, ). i. Να εξετάσετε αν το σημείο Σ βρίσκεται στο εσωτερικό ή το εξωτερικό του κύκλου C. ii. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες, από το σημείο Σ προς τον κύκλο, είναι μεταξύ τους κάθετες. ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η εξίσωση α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του λ, με 5, παριστάνει κύκλο. Κατόπιν να βρείτε τι παριστάνει η εξίσωση, όταν 5. C C β) Έστω, οι κύκλοι που προκύπτουν από την παραπάνω εξίσωση όταν 3 και 9 αντίστοιχα. ( ) ( 7), C C i. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά. ii. Να βρείτε το σημείο επαφής των κύκλων. 93

94 94

95 ΜΕΡΟΣ 4ο ΠΑΡΑΒΟΛΗ 95

96 ΜΕΡΟΣ 4ο : ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Να δοθεί ο ορισμός της παραβολής καθώς και ορισμός της κορυφής της. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ. Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την Ε και τη δ. Αν Α είναι η προβολή της εστίας Ε στη διευθετούσα δ, τότε το μέσο Κ του ΕΑ είναι προφανώς σημείο της παραβολής και λέγεται κορυφή της. P Α δ (διευθετούσα) C (παραβολή) Μ (ΜΕ)=(ΜΡ) Κ Ε (εστία). Να δώσετε το βασικό τυπολόγιο της παραβολής. ΑΠΑΝΤΗΣΗ P M(,) p> p< M(,) P Α O p E, p O Α E, p δ: p δ: Η εξίσωση της παραβολής C με εστία E p, p και διευθετούσα : είναι p Ο αριθμός p λέγεται παράμετρος της παραβολής και η p παριστάνει την απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα. Για παράδειγμα, η παραβολή με εστία το σημείο E(, ) και διευθετούσα την ευθεία έχει p και επομένως έχει εξίσωση 4. 96

97 3. Ποια άλλη εξίσωση γνωρίζετε για την παραβολή ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν τώρα πάρουμε σύστημα συντεταγμένων O με αρχή Ο την κορυφή της παραβολής και άξονα την κάθετη από το Ε στη δ και εργαστούμε όπως πριν, θα βρούμε ότι η παραβολή C έχει εξίσωση p Η εξίσωση αυτή γράφεται ισοδύναμα p και παριστάνει τη γραφική παράσταση της γνωστής μας από την Α Λυκείου συνάρτησης α, όπου α p Για παράδειγμα, η εξίσωση παριστάνει την 4 =p p> =p p< E, p O O p δ: p δ: E, p παραβολή που έχει p και άρα έχει εστία το σημείο E(, ) και διευθετούσα την ευθεία. 4. Ποιες οι ιδιότητες της παραβολής ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια παραβολή p. () Από την εξίσωση () προκύπτει ότι τα p και (με ) είναι ομόσημα. Άρα, κάθε φορά η παραβολή βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει ο άξονας και η εστία Ε. Επομένως, η παραβολή βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσα δ και η εστία Ε. Αν το σημείο M(, ) είναι σημείο της παραβολής, δηλαδή, αν p, τότε και το σημείο M, ) θα είναι σημείο της ίδιας παραβολής, αφού ) ( ( p. Αυτό σημαίνει ότι ο άξονας είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής. Επομένως, η κάθετη από την εστία στη διευθετούσα είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής και λέγεται άξονας της παραβολής. 97

98 5. Να δώσετε τον τύπο της εφαπτομένης της παραβολής σε ένα σημείο της. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω η παραβολή C με εξίσωση p () και ένα σταθερό της σημείο M(, ). Η εφαπτομένη της παραβολής σημείο της M(, ) έχει εξίσωση p( ) p στο Για παράδειγμα, η εφαπτομένη της παραβολής C 4 στο σημείο της M (, ) έχει εξίσωση ( ), η οποία γράφεται. Αν μια παραβολή έχει εξίσωση p, τότε η εφαπτομένη της στο σημείο M(, ) έχει εξίσωση p( ). ε ζ M (, ) O M (, ) 6. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε την ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας παραβολής στο σημείο επαφής M διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η ημιευθεία M E και η ημιευθεία M t, που είναι ομόρροπη της ΟΕ, όπου Ε είναι η εστία της παραβολής.. N (-,) ε ω O M (, ) ω φ φ p E, ω C η t 98

99 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω η παραβολή p και η εφαπτομένη της ε σε ένα σημείο της M(, ), η οποία τέμνει τη διευθετούσα της παραβολής στο σημείο M. Να αποδειχτεί ότι M E M ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η εξίσωση της ε είναι 9. p ( ). () M (, ) Επειδή το σημείο M(, ) είναι σημείο της παραβολής, ισχύει p, οπότε p. Άρα, οι συντεταγμένες του M ε M O E p, είναι Έτσι, η εξίσωση () γράφεται p,. p δ: p p ή p. () Επομένως, οι συντεταγμένες του M θα είναι η λύση του συστήματος p p Από την επίλυση του συστήματος αυτού βρίσκουμε ότι οι συντεταγμένες του M είναι Έτσι, έχουμε EM p p,. p p p p και. EM p p p p. Άρα, EM, που σημαίνει ότι EM EM EM, δηλαδή ότι M E M 9. 99

100 . Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον άξονα σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν έχει εστία το σημείο Ε(, ) (ii) Όταν έχει διευθετούσα την ευθεία = (iii) Όταν διέρχεται από το σημείο Α(, ) ΛΥΣΗ (i) Η εξίσωση της παραβολής θα είναι της μορφής = ρ = ρ =. Άρα = 4 (ii) = Η εξίσωση της παραβολής θα είναι της μορφής ρ =. Άρα = = ρ (iii) Η εξίσωση της παραβολής θα είναι της μορφής Επαληθεύεται από το σημείο Α(, ) Άρα = 4 = ρ = ρ. ρ = 3. Να βρεθεί η εστία και η διευθετούσα της παραβολής με εξίσωση : (i) = 8 (ii) = 8 (iii) = 4 (iv) = 4 (v) = 4α (vi) = 4 ΛΥΣΗ (i) ρ = 8 ρ = 4 (ii) ρ = 8 ρ = 4 (iii) = 4 = 4 = Άρα Ε(, ) και δ : = = Άρα Ε(, ) και δ : = ρ = 4 ρ = = Άρα Ε(, ) και δ : = (iv) = 4 = 4 ρ = 4 ρ = (v) ρ = 4α ρ = α = Άρα Ε(, ) και δ : = = α Άρα Ε(α, ) και δ : = α

101 (vi) = 4 ρ = 4α ρ = α = 4α = α Άρα Ε(, α) και δ : = α 4. Δίνεται η παραβολή ΛΥΣΗ O M E = ρ. Να αποδειχθεί ότι η κορυφή της παραβολής είναι το πλησιέστερο στην εστία σημείο της. Έστω Μ(, ) το τυχαίο σημείο της παραβολής και Ε η εστία της. Θα αποδείξουμε ότι (ΕΜ) (ΕΟ) (ΕΜ ) (ΕΟ ) ( ) + ( ) ρ + ρ που ισχύει 5. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β της παραβολής = 4 που έχουν την ίδια τεταγμένη και ισχύει Α Ô Β =9ο. ΛΥΣΗ Β O Α Επειδή η παραβολή μας είναι συμμετρική ως προς τον άξονα, τα σημεία Α, Β που έχουν την ίδια τεταγμένη, θα έχουν αντίθετες τετμημένες,, αντίστοιχα. στην παραβολή = 4 () Α ÔΒ =9ο OA. OB = ( ) +. = = () = 4 4 = ( 4 ) = = ή 4 = Για =, η () = απορρίπτεται αφού Α Ο Για 4 = 4 = = 4 Η () 4 = 6 = = 4 ή = 4 4 Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι Α(4, 4) και Β( 4, 4)

102 6. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής = 4 σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν είναι παράλληλη στην ευθεία = + (ii) Όταν είναι κάθετη στην ευθεία = (iii) Όταν διέρχεται από το σημείο Α(, ) ΛΥΣΗ Η παραβολή γράφεται = 4 =. ρ = Η εφαπτομένη της στο σημείο της Λ(, ) είναι ε : = ( + ) = + = = () (i) ε // = + = = = Λ(, ) στην παραβολή = 4 () ε : = (ii) ε = = Λ(, ) στην παραβολή = 4 = = 4 = = = 4 = 4 () ε : = - 4 (iii) Α(, ) ε =. = Λ(, ) στην παραβολή = 4 = 4 () = ή = = ή = = 4 = ή =

103 7. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της παραβολής = 4 στα σημεία Α(4, 4) και Β(, 4 ) τέμνονται κάθετα και πάνω στη διευθετούσα της. ΛΥΣΗ Η παραβολή γράφεται = 4 =. ρ = και δ : = Εφαπτομένη στο Α ε :. 4 = (4 + ) + 4 = = 4. () Εφαπτομένη στο B η :. ( ) = ( 4 + ) = 4 + = 4 () =. ( ) = ε η Λύνουμε το σύστημα των (),() για να βρούμε το σημείο τομής K των ε, η. Εξισώνουμε τα δεύτερα μέλη 4 = = = 5 = 3 () =. 3 4 =. (Άρα το Κ δεν ανήκει στη διευθετούσα) 8. Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος ( 3 ) + ΛΥΣΗ παραβολής κοινά σημεία τους) = 4. = 8 εφάπτεται της (Δηλαδή έχουν τις ίδιες εφαπτόμενες στα (3) () ή Τα σημεία τομής είναι Α(, ), Β(, -) Η εφαπτομένη της παραβολής στο Α είναι ε:. = ( + ) + =. Το κέντρο του κύκλου είναι Κ(3, ) και η ακτίνα r = 8 d(k, ε) =.3. = 4 = 6 κύκλου Ομοίως στο σημείο Β. = 8 = r άρα η ε εφάπτεται και του 3

104 9. Έστω η παραβολή =. Αν η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Α(, 3 ) τέμνει τον άξονα στο σημείο Β, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΕΑΒ είναι ισόπλευρο. ΛΥΣΗ Α = =.6 άρα ρ = 6 και Ε(3, ) Εφαπτομένη στο Α ε :. 3 = 6( + ) Για = δίνει =. Άρα Β(, ) (ΕΑ ) = ( 3 ) +( 3 ) = 4 + = 6 Β O E (ΕΒ ) = 4 = 6 (ΑΒ ) = ( ) + { 3 ) = 4 + = 6 Άρα (ΕΑ) = (ΕΒ) = (ΑΒ). Έστω η παραβολή = 4. Αν η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Α(3, 3 ) τέμνει τη διευθετούσα στο σημείο Β, να αποδειχθεί ότι ο κύκλος με διάμετρο ΑΒ εφάπτεται στον άξονα στην εστία της παραβολής. ΛΥΣΗ Β δ Κ Δ O Ε Α = 4. =. άρα Ε(, ) και δ : = Εφαπτομένη στο Α ε :. 3 = ( + 3) Για = δίνει 3 = ( + 3) 3 = 4 = 3 = 3 3 Άρα Β(, 3 3 ). Το κέντρο Κ του κύκλου διαμέτρου ΑΒ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ. = = = 3 K K Είναι = = ΚΕ K E Αρκεί να είναι και (ΚΕ) = (ΚΑ) (ΚΕ ) = (ΚΑ ) = ( ) + ( = 4 + ( 3 3 ) = (3 - ) +( ) 6 3 = ) που ισχύει 4

105 . Έστω Μ ένα σημείο της παραβολής = ρ. Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος με διάμετρο ΕΜ, όπου Ε η εστία της παραβολής, εφάπτεται στον άξονα. ΛΥΣΗ Λ O E M K Έστω Μ(, ) σημείο της παραβολής, οπότε = ρ Το κέντρο Κ του κύκλου διαμέτρου ΕΜ είναι το μέσο του τμήματος ΕΜ. = = K και = K 4 = Φέρουμε ΚΛ Λ, Αρκεί να είναι (ΚΕ) = (ΚΛ) (ΚΕ ) = (ΚΛ ) = 4 = ( ) = ( ) 6 4ρ = 4 + 4ρ + = 8 ρ = ρ που ισχύει. Έστω η παραβολή = ρ και η εφαπτομένη της ε σε ένα σημείο Α(, ) αυτής. Αν η ευθεία ΟΑ τέμνει τη διευθετούσα της παραβολής στο σημείο Β, να αποδειχθεί ότι ΒΕ // ε. ΛΥΣΗ δ Δ Β O ε E Α ε : = ρ( + ) = + OA : = ( ) = 5

106 δ Δ Β O ε E = ρ Α Σύστημα των δ : = και OA, για να βρούμε τις συντεταγμένες του Β. Είναι B = = B = ( ) = Αρκεί να είναι = = = = το οποίο ισχύει, αφού το Α ανήκει στην παραβολή. 6

107 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗ p Θεωρούμε την παραβολή C : 4 και την κατακόρυφη ευθεία :, όπου p η παράμετρος της παραβολής C. α) Να βρείτε την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής. β) Αν η ευθεία ε τέμνει την παραβολή C στα σημεία Β και Γ, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των Β και Γ, καθώς και τις εξισώσεις των εφαπτόμενων ε και ε της παραβολής C στα σημεία της αυτά αντίστοιχα. ii) να αποδείξετε ότι το σημείο τομής των ε και ε ανήκει στη διευθετούσα της C. ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η εξίσωση: α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει δύο παραβολές και C : 4 4 6, () C : και να βρείτε για κάθε μία από αυτές την εστία και τη διευθετούσα της. β) Αν Ε και Ε είναι οι εστίες των παραβολών C και C αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα Ε Ε. 4 7

108 ΑΣΚΗΣΗ 3 Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζονται οι παραβολές C : p οι οποίες έχουν εστίες τα σημεία Ε και Ε αντίστοιχα. Η απόσταση των σημείων Ε και Ε είναι ίση με 4 μονάδες. C : p και α) Να βρείτε την εστία, τη διευθετούσα και την εξίσωση καθεμίας από τις παραβολές C και C. β) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα Ε Ε. ΑΣΚΗΣΗ 4 Σε καρτεσιανό επίπεδο O θεωρούμε κύκλο C ο οποίος έχει το κέντρο του στην ευθεία ε : = Έστω επίσης A(5, 3) και B(, 5) δύο σημεία του κύκλου C α) Να αποδείξετε ότι C : ( ) + = 5 β) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής C που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και εστία το κέντρο του κύκλου C γ) Αν M και M είναι τα σημεία τομής των C και C, τότε: i) να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων ε και ε της παραβολής C στα σημεία αυτά ii) να αποδείξετε ότι οι ε και ε τέμνονται σε σημείο που ανήκει στον κύκλο C 8

109 ΑΣΚΗΣΗ 5 Σε καρτεσιανό επίπεδο O θεωρούμε κύκλο C που διέρχεται από τα σημεία A(,), B(,4) και Γ (,6). α) Να αποδείξετε ότι C: + ( 4) = 4. β) Από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων να προσδιορίσετε εκείνες που εφάπτονται του κύκλου C. γ) Αν M και M είναι τα σημεία επαφής του κύκλου C με τις εφαπτόμενες του ερωτήματος β), να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και διέρχεται από τα σημεία M και M ΑΣΚΗΣΗ 6 Σε καρτεσιανό επίπεδο θεωρούμε τα σημεία A,, B, 4, την παραβολή και έστω, τυχαίο σημείο της παραβολής. α) Να αποδείξετε ότι: i. ii. 4 4 ( ) 46 ( ) 3 β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του Μ ώστε το εμβαδόν (MAB) του τριγώνου ΜΑΒ να γίνεται ελάχιστο. γ) Έστω ότι το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται ελάχιστο όταν,. Να εξετάσετε αν η εφαπτομένη της παραβολής στο Μ είναι παράλληλη στην πλευρά AB του τριγώνου ΜΑΒ. 9

110

111 ΜΕΡΟΣ 5ο ΕΛΛΕΙΨΗ

112 ΜΕΡΟΣ 5ο : ΕΛΛΕΙΨΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Να δοθεί ο ορισμός της έλλειψης και οι άμεσες συνέπειες του ορισμού αυτού. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω Ε και Ε δύο σημεία ενός επιπέδου. Ονομάζεται έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και Ε ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο του ΕΕ. Το σταθερό αυτό άθροισμα το συμβολίζουμε, συνήθως,με α και την απόσταση των εστιών E και Ε με γ. H απόσταση EE ονομάζεται εστιακή απόσταση της έλλειψης. Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό: M α) Ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν ( ME ) ( ME) E (Ε Ε)=γ (ΜΕ )+(ΜΕ)=α Ε β) Ισχύει ( EE) ( ME ) ( ME), δηλαδή οπότε γ α. Αν, τότε τα σημεία E, E συμπίπτουν, οπότε η έλλειψη γίνεται κύκλος με κέντρο το Ε και ακτίνα α. Μ ρ ρ Α ρ E Α E ρ Μ Κ Σ Λ a. Ποιος είναι ο τύπος της εξίσωσηςτης έλλειψης; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια έλλειψη C με εστίες E και Ε. Θα βρούμε την εξίσωση της έλλειψης ως προς σύστημα συντεταγμένων O με άξονα των την ευθεία EE και άξονα των τη μεσοκάθετο του EE. Αν M(, ) είναι ένα σημείο της έλλειψης C, A E( γ,) B O B M (, ) E(γ,) Α

113 η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία E( γ,), E(, ) και σταθερό άθροισμα είναι Για παράδειγμα, η εξίσωση της έλλειψης με εστίες τα σημεία E(4,), E( 4, ) και σταθερό άθροισμα α β, όπου β α γ είναι, αφού β α γ Αν τώρα πάρουμε σύστημα συντεταγμένων O με άξονα των τη μεσοκάθετο του EE και άξονα των την ευθεία EE και εργαστούμε όπως πριν, θα βρούμε ότι η εξίσωση της έλλειψης C είναι B O Α E(, γ) Β β α, όπου β α γ E(, γ) A Για παράδειγμα, η έλλειψη με εστίες E (, 4), E(, 4) και σταθερό άθροισμα είναι, αφού β α γ Ποιες είναι οι ιδιότητες της έλλειψης ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια έλλειψη C :, όπου β α Αν M(, ) είναι ένα σημείο της έλλειψης C, τότε τα σημεία M (, ), M (, ) και M (, ) 3 4 ανήκουν στην C, αφού οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωσή της. Αυτό σημαίνει ότι η παραπάνω έλλειψη έχει τους άξονες και άξονες συμμετρίας και την αρχή των αξόνων κέντρο συμμετρίας. Επομένως, η ευθεία που ενώνει τις εστίες E, E της έλλειψης και η μεσοκάθετος του EE είναι άξονες συμμετρίας της έλλειψης, ενώ το μέσο Ο του EE είναι κέντρο συμμετρίας της. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της έλλειψης. A M 3 M M 4 B A O B M Από την εξίσωση της έλλειψης για βρίσκουμε α, ενώ για βρίσκουμε β. Επομένως, η έλλειψη C τέμνει τον άξονα στα σημεία 3

114 A ( α,) και A(α,), ενώ τον άξονα στα σημεία B (, β) και B(, β). Τα σημεία AA A, A, B, B λέγονται κορυφές της έλλειψης, ενώ τα ευθύγραμμα τμήματα και B B, τα οποία έχουν μήκη ( AA) α και ( BB) β, λέγονται μεγάλος άξονας και μικρός άξονας αντιστοίχως. Το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν δύο οποιαδήποτε συμμετρικά ως προς Ο σημεία M και M 4 της έλλειψης λέγεται διάμετρος της έλλειψης. Αποδεικνύεται ότι : β ( M M ) α, δηλαδή ότι κάθε διάμετρος της έλλειψης είναι μεγαλύτερη ή ίση από το μικρό άξονα και μικρότερη ή ίση από το μεγάλο άξονα της έλλειψης. Τέλος, από την εξίσωση της έλλειψης, έχουμε Οπότε και άρα α α. Ομοίως β β. 4 Άρα, η έλλειψη περιέχεται στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες, και,. 4. Τι είναι και πως ορίζεται η εκκεντρότητα της έλλειψης;ποιες ελλείψεις ονομάζονται όμοιες; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια παράμετρος που καθορίζει τη μορφή της έλλειψης είναι η εκκεντρότητα της έλλειψης. Ονομάζουμε εκκεντρότητα της έλλειψης και τη γ α β συμβολίζουμε με ε, το λόγο ε. Επειδή γ α β, είναι ε, α α α β β β οπότε ε και άρα ε. () α α α α β Επομένως, όσο μεγαλώνει η εκκεντρότητα τόσο μικραίνει ο λόγος και κατά συνέπεια τόσο πιο επιμήκης γίνεται η έλλειψη (Σχ. α). Όταν το ε τείνει στο μηδέν, τότε ο λόγος τείνει στο και επομένως η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος. Όταν, όμως, το ε τείνει στη μονάδα, τότε ο λόγος τείνει στο και επομένως η έλλειψη τείνει να εκφυλιστεί σε ευθύγραμμο τμήμα. Οι ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα, άρα ίδιο λόγο, λέγονται όμοιες. 4

115 5. Πως ορίζεται η εφαπτομένη της έλλειψης ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια έλλειψη C με εξίσωση α β και ένα σημείο της M(, ). Η εφαπτομένη της ζ έλλειψης C στο σημείο M(, ) ορίζεται με τρόπο ανάλογο προς εκείνο με τον οποίο ορίστηκε η εφαπτομένη της παραβολής και αποδεικνύεται ότι έχει εξίσωση β α Για παράδειγμα, η εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο της 6 4 (, 3 M 3) έχει εξίσωση, η οποία γράφεται ισοδύναμα Αν μια έλλειψη έχει εξίσωση, β α τότε η εφαπτομένη της στο σημείο M(, ) έχει εξίσωση. β α ε Μ Ο 6. Ποια κοινή ιδιότητα έχουν η παραβολή και η έλλειψη και που χρησιμοποιείται η ιδιότητα αυτή ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Όπως η παραβολή έτσι και η έλλειψη έχει ανάλογη ανακλαστική ιδιότητα. Συγκεκριμένα: Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας έλλειψης στο σημείο επαφής Μ διχοτομεί τη γωνία E M E, όπου E, E οι εστίες της έλλειψης. E E Σύμφωνα με την ιδιότητα αυτή ένα ηχητικό κύμα ή μια φωτεινή ακτίνα που ξεκινούν από τη μία εστία μιας έλλειψης, ανακλώμενα σε αυτήν, διέρχονται από την άλλη εστία. E M E ε 5

116 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Δίνονται η έλλειψη C : και ο κύκλος C. Αν β : α α M(, ) είναι ένα σημείο της C και M(, ) το σημείο του C με, να αποδειχτεί ότι η εφαπτομένη της έλλειψης C στο σημείο M και η εφαπτομένη του κύκλου C στο σημείο M τέμνονται πάνω στον άξονα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η εξίσωση της είναι β α () ε ε M και της είναι. () α α Για, από την () βρίσκουμε, ενώ από τη () βρίσκουμε α. Άρα, και η και η τέμνουν τον στο ίδιο σημείο, το α M,. A Ο M C C Α M ΣΧΟΛΙΟ Σύμφωνα με την εφαρμογή αυτή, για να φέρουμε την εφαπτομένη έλλειψης στο σημείο, φέρνουμε την εφαπτομένη του κύκλου C στο C M ε σημείο και στη συνέχεια ενώνουμε το σημείο τομής Μ των ε και με M το σημείο. Η MM είναι η ζητούμενη εφαπτομένη. M ε της 6

117 . Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις (i) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε ( 4, ) και Ε(4, ) και μεγάλο άξονα (ii) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε (, 5) και Ε(, 5) και μεγάλο άξονα 6 (iii) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε (, ) και Ε(, ) και εκκεντρότητα 3 (iv) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε ( 4, ) και Ε(4, ) και διέρχεται από το σημείο Μ(4, 9 ) 5 (v) Όταν έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, εστίες στον άξονα και διέρχεται από τα σημεία M (, ) και M (, ) Λύση (i) Είναι γ = 4 και α = = 5, οπότε = 5 4 = 5 6 = 9, C : = (ii) Είναι γ = 5 και α = 6 = 3, οπότε = 3 5 = 69 5 = 44, C : + = (iii) Είναι γ = και ε =, οπότε = = α = 3. = 3 = = 5, C : + = (iv) Έστω C : + = με > και = 4 = 6. Μ C = = = 5( 6) Δ = = 366 = = = 5 ή ( 6) + 8 = 5 ( 6) = =

118 Για = 5 = 5 θα είναι = 4 = 5 6 = 9, 5 οπότε C : + = 5 9 Για = 5 θα είναι = 4 = 5 6= = 88 < απορρίπτεται 5 (v) Έστω C : + = με > (Θέτουμε = μ και = ν) Τότε C : μ + ν = M (, ) C μ + ν = () M (, ) C μ.4 + ν. = 4 6μ + ν = 4 () () () 5μ = 3 μ = 5 () + ν = + 5ν = 5 5ν = 4 ν = Επομένως C : + 4 = Να βρείτε τα μήκη των αξόνων, τις εστίες και την εκκεντρότητα της Λύση έλλειψης + 4 = = 4 + = + 4 = α = Μήκος του μεγάλου άξονα = α = 4 β = Μήκος του μικρού άξονα = β = = = = 4 = 3 γ = 3 Εστίες : Ε (- 3, ), Ε( 3, ) και εκκεντρότητα ε = = 3 4. Να βρείτε τα μήκη των αξόνων, τις εστίες και την εκκεντρότητα της έλλειψης = 4336 Λύση = = = + = + =

119 β = Μήκος του μικρού άξονα = β = 4 α = 3 Μήκος του μεγάλου άξονα = α = 6 = = = = 5 γ = 5 Εστίες : Ε (, -5), Ε(,5) και εκκεντρότητα ε = = Να εγγράψετε στην έλλειψη 4 + = 4 τετράγωνο με πλευρές Λύση B Γ παράλληλες προς τους άξονες. O Α Δ Έστω ΑΒΓΔ το ζητούμενο τετράγωνο με Α(, ) Επειδή οι άξονες είναι άξονες συμμετρίας, θα είναι Β(, ), Γ(, ), Δ(, ) ΑΒ = ΑΔ = = Α στην έλλειψη 4 + = Άρα Α,, Β, 5 5, Γ,, Δ 5 5, = 4 5 = 4 = 4 = = Αν Ε, Ε είναι οι εστίες και Β Β ο μικρός άξονας της έλλειψης + = 4, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΒΒΈ είναι τετράγωνο. Λύση Ε Β Ο Β Ε + = 4 + = 4 Είναι = 4 και =, β = = = 4 = γ = Β Β = = Ε Ε Οι διαγώνιοι, λοιπόν, του τετραπλεύρου είναι ίσες, διχοτομούνται και είναι κάθετες, άρα είναι τετράγωνο. 9

120 7. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες μιας έλλειψης στα άκρα μιας διαμέτρου της είναι παράλληλες. (Διάμετρος μιας έλλειψης λέγεται το τμήμα που συνδέει δύο σημεία της έλλειψης και διέρχεται από την αρχή των αξόνων) = = Λύση η B ε Ο A Έστω ΑΒ η διάμετρος και ε, η οι εφαπτόμενες στα Α, Β της έλλειψης + = με Α(, ). Λόγω της συμμετρίας ως προς την αρχή Ο, θα είναι Β(, ). ε : + = + = () ( ) ( ) η : + = = + + = () Από τις (), () βλέπουμε ότι =, άρα ε η. 8. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης 3 + = 4, οι οποίες : (i) είναι παράλληλες προς την ευθεία = 3 + (ii) είναι κάθετες στην ευθεία = (iii) διέρχονται από το σημείο Μ(, 4) Λύση (i) Έστω ε : 3 + = 4 ζητούμενη εφαπτομένη, όπου Λ(, ) το σημείο επαφής. ε παράλληλη στην ευθεία = 3 + = 3 3 = 3 Λ(, ) στην έλλειψη 3 + = 4 = = 4 4 = 4 = = ή =

121 Για = θα είναι =, οπότε ε : 3. + = = 4 Για = θα είναι =, οπότε ε : 3. ( ) + ( ) = 4 3 = 4 (ii) Έστω ε : 3 + = 4 ζητούμενη εφαπτομένη, όπου Λ(, ) το σημείο επαφής. ε κάθετη στην ευθεία =. = 3. = Λ(, ) στην έλλειψη 3 + = 4 = 3 = = =6 = 4 ή = 4 Για = 4 θα είναι = 3 4 = 6 Τότε ε : = = = Για = 4 θα είναι = 3 ( 4 ) = 6 Τότε ε : 3(- 4 ) 6 = 4 6 = = (iii) Έστω ε : 3 + = 4 ζητούμενη εφαπτομένη, όπου Λ(, ) το σημείο επαφής. M(, 4) ε = 4 = Λ(, ) στην έλλειψη 3 + = = 4 3 = 3 3 = = ή = Για =, =, είναι ε : 3. + = = 4 Για =, =, είναι ε : 3. ( ) + = = 4

122 9. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της έλλειψης + 4 = Λύση στα σημεία της M (4 5, 5 ), M ( 4 5, 5 ), M ( 4 5, 5 ) και M (4 5, 5 ) σχηματίζουν 3 4 τετράγωνο με διαγώνιες τους άξονες και. ε : εφαπτομένη στο M : = ζ : εφαπτομένη στο M : = η : εφαπτομένη στο M : = 3 θ : εφαπτομένη στο M : = 4 Σημεία τομής της ε με τους άξονες Για = βρίσκουμε 4 5 = = 5 K( 5 5 5, ) Για = βρίσκουμε 5 = = Λ(, 5 5 ) Ομοίως βρίσκουμε τα σημεία τομής των ζ, η, θ με τους άξονες και διαπιστώνουμε ότι ανά δύο τέμνουν κάθε άξονα στο ίδιο σημείο. Άρα οι άξονες είναι διαγώνιοι. Λόγω της συμμετρίας της έλλειψης ως προς την αρχή των αξόνων, οι διαγώνιοι είναι κάθετες και σαν τμήματα διχοτομούνται. Άρα το M M M M είναι ρόμβος. = =. = ε ζ άρα ο ρόμβος είναι τετράγωνο. ( t ) t. Να αποδείξετε ότι το σημείο M, ανήκει t t στην έλλειψη + =, για όλες τις τιμές του tϵr. ( ) Λύση H εξίσωση της έλλειψης γράφεται + = Μ στην έλλειψη ( t ) t ( ) + ( = t t ( t ) 4 t + ( t ) ( t ) = ( t ) ( t ) 4t + = ( t ) ( t ) + 4 t = ( + 4 t ) t + t + 4 t = + t + t που ισχύει ) 4

123 . Να αποδείξετε ότι το σημείο τομής των ευθειών Λύση α = λβ(α + ) και λα = β(α ), < β < α, ανήκει στην έλλειψη + =, για όλες τις τιμές του λϵr*. Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις εξισώσεις των ευθειών. λ = λ ( ) = + = + = Άρα το σημείο τομής Μ(, ) των δύο ευθειών ανήκει στην έλλειψη.. Έστω η έλλειψη + = και η εφαπτομένη στο σημείο της (, ). Αν η εφαπτομένη τέμνει τους άξονες και p M στα σημεία Γ(p, ) και Δ(, q), να αποδείξετε ότι + =. q Λύση (, ) στην έλλειψη + = M Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι + = Γ(p, ) στην εφαπτομένη p +. = p = = p Δ, q) στην εφαπτομένη. + q = p + = + = + = 4 4 q q = = q 3

124 ΑΣΚΗΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Δίνονται οι ελλείψεις C : 4 και C : 4 α) Να αποδείξετε ότι οι ελλείψεις και έχουν την ίδια εκκεντρότητα. β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής των ελλείψεων και ανήκουν στον κύκλο C ΑΣΚΗΣΗ Δίνονται ο κύκλος C :, η έλλειψη C : και η 5 κατακόρυφη ευθεία : 4 Αν Γ και Δ είναι τα σημεία του πρώτου τεταρτημορίου στα οποία η ευθεία ε τέμνει τον κύκλο C και την έλλειψη C αντίστοιχα, τότε: α) να βρείτε τις συντεταγμένες των Γ και Δ. β) να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου C στο σημείο Γ και της έλλειψης C στο σημείο της Δ, καθώς και το σημείο τομής των εφαπτομένων αυτών. ΑΣΚΗΣΗ 3 : 8 Θεωρούμε την έλλειψη με εστίες τα σημεία άξονα μήκους 6 μονάδων C C α) Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης. και μεγάλο β) Αν Μ είναι σημείο της έλλειψης για το οποίο ισχύει ΜΕ = ΜΕ, τότε : i) να βρείτε τα μήκη των ευθύγραμμων τμημάτων ΜΕ και ΜΕ ii) να αποδείξετε ότι η γωνία Ε ΜΕ είναι ορθή C C ( 5,), ( 5,) ΑΣΚΗΣΗ 4 Σε καρτεσιανό επίπεδο O θεωρούμε τα σημεία M(, ) για τα οποία ισχύει 6 η ισότητα, όπου A(3,) και B(3,). 9 α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία M ανήκουν στον κύκλο C : 5 β) Αν Γ και Δ είναι τα σημεία τομής του κύκλου με τον άξονα, τότε: C i) να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης η οποία έχει μεγάλο άξονα το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ και εστίες τα σημεία A και B. ii) να παραστήσετε γραφικά τον κύκλο και την έλλειψη. C C C 4

125 ΜΕΡΟΣ 6ο ΥΠΕΡΒΟΛΗ 5

126 ΜΕΡΟΣ 6ο : ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Πως ορίζεται η υπερβολή και ποιες οι άμεσες συνέπειες του ορισμού ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω E και Ε δύο σημεία ενός επιπέδου. Ονομάζεται υπερβολή με εστίες τα σημεία E και Ε ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από τα E και Ε είναι σταθερή και μικρότερη του ( EE ). Την απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων κάθε σημείου της υπερβολής από τις εστίες την παριστάνουμε συνήθως με α, ενώ την απόσταση των εστιών με γ. Η απόσταση EE ονομάζεται εστιακή απόσταση της υπερβολής. με τον ορισμό αυτό: α) Ένα σημείο Μ είναι σημείο της υπερβολής, αν και μόνο αν ( ME ) ( ME) α. Μ β) Ισχύει ( ME ) ( ME) ( E E) Ε Ε δηλαδή α γ, οπότε α γ. (Ε Ε)=γ (MΕ )(ME) =a. Ποιος είναι ο τύπος της Εξίσωση της Υπερβολής και ποια η υπερβολή ονομάζεται ισοσκελής; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία E ( γ,), E (γ,), και σταθερή διαφορά α είναι, όπου β γ α Ε (-γ,) Ο Α Α Μ(,) Ε(γ,) Για παράδειγμα, η εξίσωση της υπερβολής με εστίες τα σημεία E ( 3, ) E (3,) και σταθερή διαφορά 4 είναι, αφού

127 Αν τώρα πάρουμε σύστημα συντεταγμένων O με άξονα των την ευθεία EE και άξονα των τη μεσοκάθετο του EE, θα βρούμε ότι η εξίσωση της υπερβολής C είναι: α β, όπου β γ α. Για παράδειγμα, η εξίσωση της υπερβολής με εστίες τα σημεία E (, 3) E (,3) και σταθερή διαφορά α 4, είναι 5, αφού β γ α 3 5. Τέλος, αν είναι, τότε η υπερβολή λέγεται ισοσκελής και η εξίσωσή της γράφεται: a. Ο E(,γ) Α Α Ε (,-γ) 3. Ποιες είναι οι ιδιότητες της υπερβολής; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια υπερβολή C, η οποία ως προς ένα σύστημα συντεταγμένων O έχει εξίσωση, όπου β α β γ α. Αν M(, ) είναι ένα σημείο της υπερβολής C, τότε και τα σημεία M (, ), M (, ) και M (, ) 3 4 ανήκουν στην C, αφού οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωσή της. Αυτό σημαίνει ότι η υπερβολή C έχει τους άξονες και άξονες συμμετρίας και την αρχή των αξόνων κέντρο συμμετρίας. Επομένως, η ευθεία που ενώνει τις εστίες E, E της υπερβολής και η μεσοκάθετη του EE είναι άξονες συμμετρίας της υπερβολής, ενώ το μέσο Ο του EE είναι κέντρο συμμετρίας της. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της υπερβολής. M 3 M 4 =-a O =a M M Από την εξίσωση της υπερβολής για βρίσκουμε. Συνεπώς, η υπερβολή τέμνει τον άξονα στα σημεία αυτά λέγονται κορυφές της υπερβολής. A (, ), και A(, ). Τα σημεία 7

128 Από την ίδια εξίσωση για προκύπτει η εξίσωση, η οποία είναι αδύνατη στο R. Επομένως, η υπερβολή C δεν τέμνει τον άξονα. Τέλος, από την εξίσωση της υπερβολής, έχουμε Οπότε και άρα ή., Επομένως, τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών α και α, πράγμα που σημαίνει ότι η υπερβολή αποτελείται από δύο χωριστούς κλάδους. 4. Ποιες είναι οι ασύμπτωτες Υπερβολής και τι γνωρίζεται γι αυτές; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια υπερβολή C με εξίσωση α β () οι ασύμπτωτες της υπερβολής α β είναι οι ευθείες ε: =λ a O a, Είναι φανερό ότι οι ασύμπτωτες της υπερβολής είναι οι διαγώνιες του ορθογώνιου ΚΛΜΝ με κορυφές τα σημεία K ( α, β), ( α, β), M ( α, β) και N( α, β). Το ορθογώνιο αυτό λέγεται ορθογώνιο βάσης της υπερβολής. Για παράδειγμα, οι ασύμπτωτες της υπερβολής 4 είναι οι ευθείες και. Αν α β ευθείες: η υπερβολή C έχει εξίσωση, τότε οι ασύμπτωτες της είναι και. a Ν Α Ο Μ Λ a Κ Α 8

129 5. Ποιος είναι ο μνημονικός κανόνας για να βρίσκουμε τις ασύμπτωτες μιας υπερβολής ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ένας μνημονικός κανόνας για να βρίσκουμε κάθε φορά τις ασύμπτωτες μιας υπερβολής είναι ο εξής: Παραγοντοποιούμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης της υπερβολής και εξισώνουμε κάθε παράγοντα με μηδέν. Για παράδειγμα, έστω η υπερβολή. Επειδή 4 4. οι ασύμπτωτες της υπερβολής είναι οι ευθείες και, δηλαδή οι και. 6. Ποια είναι η εκκεντρότητα της υπερβολής ; Τι γνωρίζεται γι αυτή ; Ποια η εκκεντρότητα της ισοσκελούς υπερβολής ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Όπως στην έλλειψη έτσι και στην υπερβολή μία παράμετρος που καθορίζει το σχήμα της είναι η εκκεντρότητα. Ονομάζουμε εκκεντρότητα της υπερβολής α β είναι γ, και τη συμβολίζουμε με ε, το λόγο ε. Επειδή α ε α α β, οπότε β β ε και άρα, ε. () α α γ α β, Επομένως, η εκκεντρότητα ε προσδιορίζει το συντελεστή διεύθυνσης της ασυμπτώτου της, δηλαδή χαρακτηρίζει το ορθογώνιο βάσης, άρα τη μορφή της ίδιας της υπερβολής. Όσο η εκκεντρότητα μικραίνει και τείνει να γίνει ίση με, ο λόγος A Ο A, άρα και το β, μικραίνει και τείνει να γίνει ίσο με. Κατά συνέπεια, όσο πιο μικρή είναι η εκκεντρότητα της υπερβολής τόσο πιο επίμηκες είναι το ορθογώνιο βάσης και κατά συνέπεια τόσο πιο κλειστή είναι η υπερβολή. Στην περίπτωση της ισοσκελούς υπερβολής είναι, οπότε. 9

130 7. Πως ορίζεται η εφαπτομένη της υπερβολής ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια υπερβολή με εξίσωση α β () και ένα σημείο M(, ) αυτής. Η εφαπτομένη της υπερβολής στο σημείο M(, ) ορίζεται με τρόπο O ανάλογο προς εκείνο με τον οποίο ορίστηκε η εφαπτομένη της έλλειψης και αποδεικνύεται ότι έχει εξίσωση β α Έτσι, για παράδειγμα, η εφαπτομένη της υπερβολής στο σημείο M ( 4, 3) έχει εξίσωση 3, η οποία γράφεται ισοδύναμα Αν μια υπερβολή έχει εξίσωση, β α τότε η εφαπτομένη της στο σημείο M(, ) θα έχει εξίσωση. β α ζ Μ(,) ε 8. Πως ορίζεται η ανακλαστική ιδιότητα της υπερβολής ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Όπως η έλλειψη έτσι και η υπερβολή έχει ανάλογη ανακλαστική ιδιότητα. Συγκεκριμένα: Η εφαπτομένη μιας υπερβολής σε ένα σημείο της Μ διχοτομεί τη γωνία E ME, όπου E, E οι εστίες της υπερβολής. Επομένως, μια φωτεινή ακτίνα, E Ε κατευθυνόμενη προς τη μία εστία C της υπερβολής, όταν ανακλάται ω ω ω M C στην επιφάνεια αυτής, διέρχεται Ε Ο Ε από την άλλη εστία, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ιδιότητα αυτή της υπερβολής σε συνδυασμό με τις αντίστοιχες ιδιότητες των άλλων κωνικών τομών βρίσκει εφαρμογή στην κατασκευή των ανακλαστικών τηλεσκοπίων, καθώς και στη ναυσιπλοΐα για τον προσδιορισμό του στίγματος των πλοίων. 3

131 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να αποδειχτεί ότι το γινόμενο των αποστάσεων ενός σημείου M (, ) της υπερβολής β α ΑΠΟΔΕΙΞΗ από τις ασύμπτωτες είναι σταθερό. Έστω M(, ) ένα σημείο της υπερβολής. Τότε θα ισχύει β α ισοδύναμα, β α α β. () ή, β β Οι ασύμπτωτες ε και ε της υπερβολής έχουν εξισώσεις και, α α ή ισοδύναμα β α και β α () αντιστοίχως. Επομένως, το γινόμενο των αποστάσεων του M από τις ε, ε είναι ίσο με είναι σταθερό. d( M, ε ) d( M, ε β α β ) β α β α α β β α α ( ), που. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε ( 3, ), Ε(3, ) και κορυφές τα σημεία Α(5, ) και Α ( 5, ). (ii) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε (, ), Ε(, ) και εκκεντρότητα 5 3 (iii) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε ( 5, ), Ε( 5, ) και διέρχεται από το σημείο Μ(, ) (iv) Όταν έχει ασύμπτωτες τις ευθείες = 4 3 και = 4 3 και διέρχεται από το σημείο Μ(3, 4) ΛΥΣΗ (i) Είναι γ = 3 και α = 5, οπότε C : 5-44 = (ii) Είναι γ = και ε = 5 3, οπότε = 5 3 = 6 = 366 = 64, C : = 3 5 = 69 5 = 44, = = α =.6 3

132 (iii) Έστω C : Μ(, ) C (5 Δ = 96 6 = 36 Για Για άρα C : = > 5 = = 4 Έστω C : = 4 3 έχουμε 4 = = (5 ( (5 ) ( ) )8 4 8 = ) ) = = (5 = = = 4 6 = ή 4 δεν υπάρχει υπερβολή. = = = 5 4 =, β = 4 3, οπότε C : 6 9 = = (5 4 = ) ( (5 ) = ) ) = = 6 Μ(3, 4) C 6 (3 ) 9 4 = = = 6 = 9 = 3 β = 4 3 β = 4 Άρα C : 3 4 = Έστω C : = 4 3 = = 4 3 β, οπότε C : Μ(3, 4) C = Άρα δεν υπάρχει τέτοια υπερβολή. = (3 ) = = 6 = = 6 = < άτοπο. = 6 4 3

133 3. Να βρείτε τις εστίες, την εκκεντρότητα και τις ασύμπτωτες της υπερβολής : (i) 9 6 = 44 (ii) = 4 (iii) 44 5 = 36 ΛΥΣΗ (i) 9 6 = 44 = 4, β = 3, = = 5 Εστίες : Ε ( 5, ), Ε(5, ) Εκκεντρότητα : ε = = = 6 9 = = = 6 = 5 γ Ασύμπτωτες : =, = = 3 4, = 3 4 (ii) = 4 =, β =, = 4 4 = 4 = 4 = 8 γ = Εστίες : Ε (, ), Ε(, ) Εκκεντρότητα : ε = = = Ασύμπτωτες : =, = =, = =, = = (iii) 44 5 = = 5 = 5, β =, = 44 = = = 69 γ = 3 = Εστίες : Ε ( 3, ), Ε(3, ) Εκκεντρότητα : ε = = 3 5 Ασύμπτωτες : =, = = 5, = 5 33

134 4. Να βρείτε την εκκεντρότητα της υπερβολής =, της οποίας η ασύμπτωτη = σχηματίζει με τον άξονα γωνία 3 ο. ΛΥΣΗ Ο συντελεστής διεύθυνσης της ασύμπτωτης θα είναι = εφ3ο = = β = 3 3 = 4 3 = 3 = 3 γ = 3 ε = Αν η εφαπτομένη της υπερβολής = στην κορυφή Α(α, ) τέμνει την ασύμπτωτη = στο σημείο Γ, να αποδείξετε ΛΥΣΗ ότι (ΟΕ) = (ΟΓ). Η εφαπτομένη της υπερβολής στο Α(α, ) έχει εξίσωση = α. Η = για = α δίνει = β. Άρα Γ(α, β) (ΟΕ) = (ΟΓ) (ΟΕ ) = (ΟΓ ) = + = που ισχύει. 6. Έστω η υπερβολής C : =, ε η εφαπτομένη της σε ένα σημείο της (, ) και ζ η κάθετη της ε στο. Αν η ε διέρχεται από το σημείο M (, β) και η ζ διέρχεται από το σημείο M (α, 3 της υπερβολής είναι ίση με. ), να αποδείξετε ότι η εκκεντρότητα 34

135 ΛΥΣΗ M ε C : = = M Ο M 3 ζ ε. =. ζ = ζ : = ( ) β = M (α, ) ζ β = 3 στην υπερβολή ( +. ε : M (, β) ε (- β) = = β = = = 3 + = ( ) (α ) = 3 ) = 3 = = = = = 3 = 3 = 4 4 = = 4 4 = 4 4 ε = 35

136 7. Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία που είναι παράλληλη προς μια από τις ασύμπτωτες της υπερβολής = τέμνει την υπερβολή σε ένα μόνο σημείο. Ποιο είναι το σημείο τομής της ευθείας = και της υπερβολής 4 = ; ΛΥΣΗ Μια ασύμπτωτη είναι =. Μια παράλληλός της είναι = + μ () Η υπερβολή γράφεται = () Σύστημα των (), () για να έχουμε τα κοινά σημεία τους. () βμ = = = = βμ = ( ) μοναδική λύση, άρα μοναδικό σημείο τομής. Σύστημα των εξισώσεων = (3) και 4 (3) = (4) 4 ( ) = 4 (4 4 + ) = = 4 = = = (4) Άρα =. =. Σημείο τομής το Κ, 8. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της υπερβολής 4 = οι οποίες: (i) είναι παράλληλες προς την ευθεία = + (ii) είναι κάθετες στην ευθεία = 4 3 (iii) διέρχονται από το σημείο Μ(3, ) 36

137 Λύση (i) Έστω ε : 4 = ζητούμενη εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία = +, όπου (, ) το σημείο επαφής = = = 4 4 στην υπερβολή 4 = (4 ) 4 = 6 4 = = = = ή = Για =, η = 4 = 4, άρα ε : 4 4 = = 3 Για =, η = 4 = 4, άρα ε : = (ii) Έστω ε : 4 = ζητούμενη εφαπτομένη κάθετη στην ευθεία = 4 3, όπου (, ) το σημείο επαφής + = 3 ( 4 3 ) = 4 ( 4 3 ) = 4 = 4 3 = 3 στην υπερβολή 4 = ( 3 ) 4 = 3 4 = = αδύνατη. 4 3 Άρα δεν υπάρχει εφαπτομένη κάθετη στη ευθεία = (iii) Έστω ε : 4 = ζητούμενη εφαπτομένη, που να διέρχεται από το σημείο Μ(3, ), όπου (, ) το σημείο επαφής. Μ(3, ) ε = = 4 στην υπερβολή 4 = 4 4 = 6 4 = 4 = 4 = = ή = Άρα ε : 4 4 = ή = = 3 ή + = 3 37

138 9. Αν E είναι η προβολή της εστίας Ε της υπερβολής = πάνω στην ασύμπτωτη =, να αποδείξετε ότι (i) (O E ) =, (ii) (E E ) = β Λύση (i) E E στην ασύμπτωτη EE =. Ε E E : = ( γ) Ο Ε (O E ) = d(, E E ) = β = + γ + β γ =.. = = = (ii) Ασύμπτωτη ζ : = β = (E E ) = d(e, ζ) =.. = = = β. Από ένα σημείο M (, ) της υπερβολής = φέρνουμε παράλληλες προς τις ασύμπτωτες. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του σχηματιζόμενου παραλληλόγραμμου είναι σταθερό. Λύση Έστω M ΚΟΛ το παραλληλόγραμμο. K M Κ στην ασύμπτωτη = Ο Λ Μ =. Εξίσωση της M Κ : = ( ) () Εξίσωση της OK : = () Σύστημα των (), () για να βρούμε τις συντεταγμένες του Κ. Βάσει της (), η () γράφεται = ( ) β = + β Άρα = β = β + β ( + β ) 38

139 () = = ( + β ) = ( + β ) ( M ΚΟΛ) = (KO M ) = det(, = ( ) ( ) α = Είναι = ( + β ) ( + β ) = ( + β )( = ( + β ) = δηλαδή στην υπερβολή ) = ( ) = ( ) = = - σταθερό. =, αφού το M ανήκει.να δείξετε ότι το συνημίτονο μιας από τις γωνίες των ασυμπτώτων της υπερβολής Λύση = δίνεται από τον τύπο συνφ = Θεωρούμε το διάνυσμα u = (α, β) στην ασύμπτωτο = και το διάνυσμα v = (α, β)// στην ασύμπτωτο =.. συν( u, v ) = u.v u v = = = ( ) ( ) = ( ) = = = ( ) = Είναι = ε 39

140 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗ Μία έλλειψη C έχει εκκεντρότητα ίση με 4 5 και τις ίδιες εστίες με την υπερβολή C : 4 α) Να αποδείξετε ότι C :. 5 9 β) Να παραστήσετε γραφικά την έλλειψη C και την υπερβολή C σε καρτεσιανό επίπεδο O. ΑΣΚΗΣΗ α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της υπερβολής που τέμνει τον άξονα στα σημεία Α (,), Α(,) και διέρχεται από το σημείο 5, είναι η : C 4 β) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C με διάμετρο το τμήμα Α Α. γ) Να αποδείξετε ότι οι μοναδικές κοινές εφαπτόμενες της υπερβολής C και του κύκλου C είναι οι ευθείες : και :. 4

141 4

142 ΜΕΡΟΣ 7ο ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4

143 ΜΕΡΟΣ 7ο : ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 43

144 44

145 45

146 46

147 47

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2 1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων

Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων ) α β α β α//β ) α β α β α β ) α β α β α β 4)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ). 6 6. Το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1) 7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Επανάληψη Χριστουγέννων Αφού κάνετε μια επανάληψη στο πρώτο κεφάλαιο και θυμηθείτε όλους τους τύπους και τις μεθοδολογίες, να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις από την τράπεζα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Έστω Α, Β, Κ, Λ και Μ τυχαία σημεία του χώρου Α ισχύει η σχέση ΑΚ + ΜΑ = ΚΒ 2ΑΒ + ΒΛ, να αποδείξετε ότι: α) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά, β) ΚΛ ΚΜ, γ) ΚΛ = ΚΜ 2 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β O A M B ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο ΘΕΜΑ ον : α α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β. Μονάδες 5 β. Αν α, ν

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Αν α = ( 1, ) i α β iii και β = ( 1, ), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ii ( α )( β ) α β α + β α iv Αν α =, β = 1 και ( αβ, ) = 15 ο, να υπολογίσετε το α β Με βάση το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Διανύσματα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / 9 / 0 1 6 Kατεύθυνση κεφάλαιο 1 44 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για τα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΝΤΡΙΖΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ / ΘΕΜΑ Δίνεται το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5.

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5. . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (λ -, λ ), λ R. - Έστω λ- και λ, τότε λ () και λ (). - Από τις () και () έχουμε:. Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία.. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1)

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1) α.. Άξονας Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i 1). Ο i I Οι ημιευθείες Ο και O λέγονται αντίστοιχα θετικός ημιάξονας και αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 4 7. Αν ισχύουν να αποδείξετε ότι. Αν ισχύει ότι 5 5 να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Φυλλάδιο Ασκήσεων 1 Διανύσματα

Φυλλάδιο Ασκήσεων 1 Διανύσματα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΤΟΙΜΟΥ Β ΥΚΕΙΟΥ 07-8 Φυλλάδιο Διανύσματα ο ΓΕ Αγίων Αναργύρων Μαθηματικά Προσανατολισμού Φυλλάδιο Ασκήσεων Διανύσματα Β υκείου ύνθεση Άσκηση Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ [TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ] (Μονάδες 13) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ [TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ] (Μονάδες 13) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Ο 863 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε: AΔ=AB+5AΓ και AΕ =5AB+AΓ α) Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ ως γραμμικό συνδυασμό των AB και AΓ ) Να δείξετε ότι τα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι:

1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: α) ΑΜ = 1 2 ( ΑΒ + ΑΓ ) β) ΜΝ = 1 2 ΒΑ 2. ** ίνονται τα διανύσµατα ΑΒ και Α Β. Αν Μ και Μ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( )

1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( ) .5 Ασκήσεις σχολικού ιλίου σελίδας 47 50 A Oµάδας. Αν α (, 3) και (, 5), τότε Να ρείτε τα εσωτερικά γινόµενα α, (α ).(-3 ) και (α ). (3α + ) Να ρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λ R, ώστε το εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΥΘΕΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΥΘΕΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑ Β.,.,. ΠΡΟΣΘΕΣΗ & ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ - ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. σελ.. ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ.. σελ. 5.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ... σελ.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις)

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) 1 Μέρος Α Θεωρία (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) Η έννοια του διανύσματος Ορισμός του Διανύσματος Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 / Διανύσματα Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 1 / 7 / 0 1 8 Kατεύθυνση κεφάλαιο 1 44 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΥΘΕΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΒΡΥΣΑΛΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Διανύσματα Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα 3.1 Έννοια διανύσματος Ορισμός 1 Ονομάζουμε Διάνυσμα ΑΒ ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με αρχή το Α και πέρας

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα και Απαντήσεις Προαγωγικών Εξετάσεων Β ΛΥΚΕΙΟΥ στα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού

Θέματα και Απαντήσεις Προαγωγικών Εξετάσεων Β ΛΥΚΕΙΟΥ στα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού ΘΕΜΑ ο Θέματα και Απαντήσεις Προαγωγικών Εξετάσεων Β ΛΥΚΕΙΟΥ στα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού (Α Να χαρακτηρίσετε με τις λέξεις ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις παρακάτω πέντε προτάσεις μεταφέροντας τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα