Αβεβαιότητα ανάγκη για πιθανότητα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αβεβαιότητα ανάγκη για πιθανότητα"

Transcript

1 Αβεβαιότητα ανάγκη για πιθανότητα ΦΥΣ Διαλ.11 1 Ø Καθηµερινά έχουµε να κάνουµε µε αβεβαιότητα αποφάσεις λαµβάνονται απουσία πλήρους πληροφορίας Ø Οι περισσότεροι κλάδοι των επιστηµών «φαίνεται» να µην περιέχουν αβεβαιότητα Ø Ωστόσο συναντούµε αβεβαιότητα ευρέως στις επιστήµες και θα πρέπει να βρούµε τρόπο να την αντιµετωπίσουµε επιστηµονικά Ø Στις πειραµατικές επιστήµες: υπάρχουν πρακτικά όρια στην ακρίβεια των µετρήσεων Μπορούµε να µετρήσουµε µια ποσότητα µε πεπερασµένη ακρίβεια Όπως ξέρουµε το αποτέλεσµα ενός πειράµατος δεν λέει ποτέ ότι µια θεωρία είναι λάθος ή ότι είναι σωστή. Μας δίνει ωστόσο αποδείξεις στηριζόµενοι πάνω τους µπορούµε να έχουµε µια περισσότερο σηµαντική αντίληψη για το τι είναι αληθές. Σηµαντικά στοιχεία στην ανάλυση αυτή είναι ο προσεγµένος υπολογισµός των σφαλµάτων και η χρήση κατάλληλων εργαλείων από τη θεωρία πιθανοτήτων

2 Αβεβαιότητα ανάγκη για πιθανότητα ΦΥΣ Διαλ.11 2 Ø Στις θεωρητικές επιστήµες υπάρχουν θεµελειώδη όρια για το τι µπορούµε να ξέρουµε ή να προβλέψουµε: Σε συστήµατα πολλών σωµάτων: δεν µπορούµε να ξέρουµε π.χ. τι κάνουν όλα τα άτοµα σε ένα τµήµα ύλης γιατί η γνώση εµπεριέχει πολύ περισσότερη λεπτοµέρεια από αυτή µπορούµε να συλλέξουµε Ο αριθµός των µορίων νερού που βρίσκονται σε ένα ποτήρι είναι τόσο τεράστιος που πρακτικά είναι αδύνατο να προβλέψουµε τι ακριβώς κάνουν: Έχει νόηµα να πούµε ποια η ταχύτητα του ου µορίου; Ωστόσο µπορούµε να ρωτήσουµε πόσο πιθανό είναι ένα µόριο να κινείται µε ταχύτητα µεγαλύτερη από 200m/s Μη γραµµικά συστήµατα: δεν µπορούµε να προβλέψουµε τη µελλοντική κατάσταση ενός συστήµατος το οποίο κινείται κάτω από µη γραµµικές δυνάµεις γιατί η µελοντική τους κατάσταση επιρεάζεται από την γνώση της παρούσας κατάστασής τους. H κίνηση ενός εκκρεµούς το άκρο του οποίου δεν είναι ακλόνητο αλλά κινείται εξαιτίας µιας περιοδικής δύναµης. Εξάρτηση από τη συχνότητα της δύναµης, συντονισµός. Δεν έχει νόηµα να ρωτήσουµε που θα βρίσκεται η µάζα µετά από 10 ταλαντώσεις αλλά µπορούµε να αναρωτηθούµε ποια θα είναι η πιο πιθανή της θέση Κβαντοµηχανικά συστήµατα: δεν ξέρουµε τη διαδροµή που ακολούθησε ακόµα και ένα µόνο ηλεκτρόνιο γιατί εξαιτίας της αρχής της αβεβαιότητας δεν είναι εν γένει γνωστή.

3 Η σηµασία της πιθανότητας Η έννοια χρησιµοποιείται ευρέως Δυο «σχολές» για τον ορισµό πιθανότητας: (Α) Συχνότητας (frequentist) ή εµπειρική: πιθανότητα κάποια δήλωση είναι αληθής: όπου ο παρονοµαστής είναι µεγάλος Ν# η δήλωση είναι αληθής ΦΥΣ Διαλ.11 3 Ν# θα µπορούσε να είναι αληθής (Β) Bayesian: πιθανότητα κάποια δήλωση είναι αληθής = O βαθµός της ορθολογικής πίστης ότι είναι αληθής Λίγο αόριστος και υποκειµενικός ορισµός αλλά πολύ ευρής για να καλύπτει όλες τις περιπτώσεις

4 Συµβολισµός και σηµειογραφία ΦΥΣ Διαλ.11 4 Εν γένει προσπαθούµε να αποδόσουµε µια πιθανότητα σε κάποια «δήλωση» ενώ δίνεται κάποια άλλη «δήλωση» Η δήλωση εκφράζει το ρόλο της πιθανότητας σα προέκταση των κανόνων της λογικής στη περιοχή που βρίσκεται µεταξύ των δυο άκρων: του αληθές και ψευδούς Η δήλωση που δίνεται ονοµάζεται πληροφορία, Ι, ενώ η δήλωση της οποίας ελέγχεται η πιθανότητα ονοµάζεται υπόθεση, Α. Παραδείγµατα: I: Διάλεξα ένα χαρτί από την τράπουλα Α: Το χαρτί αυτό θα είναι ο άσσος σπαθί I: Αγόρασα ένα λαχείο Α: Θα κερδίσω το λαχείο αυτή την εβδοµάδα Αλλά έλειπαν 14 χαρτιά Πριν 2 εβδοµάδες Ø Η πιθανότητα της Α εξαρτάται από την πληροφορία, Ι Ø Η πιθανότητα της υπόθεσης Α δεδοµένης της πληροφορίας, Ι, συµβολίζεται: P(A I) u Το κατά πόσο αληθής είναι η πληροφορία Ι είναι άσχετο µε τη τιµή της P(A I)

5 Κανόνες πιθανοτήτων ΦΥΣ Διαλ.11 5 Οι δυο ορισµοί πιθανοτήτων (frequentist, Bayesian) υπάγονται στους ίδιους κανόνες (Α) Διάστηµα τιµών Η πιθανότητα βρίσκεται πάντοτε στο διάστηµα 0! P(A I)! 1 P(A I)=1 δηλώνει βεβαιότητα ότι η υπόθεση Α είναι αληθής (Β) AND συνδυασµοί: γενική περίπτωση Θεωρήστε 2 υποθέσεις Α 1 και Α 2 και έστω Α 1. Α2 (ή Α 1 AND A 2 ) η σύνθετη υπόθεση ότι και οι 2 υποθέσεις είναι αληθείς. Προκύπτει ότι: P(A 1 A 2 I) = P(A 2 A 1 I)P(A 1 I) όπου: P(A 2 A 1 I) δηλώνει τη πιθανότητα της Α 2 δεδοµένης της υπόθεσης Α 1. Ι Παράδειγµα Ι: Ένα χαρτί έχει τραβηχτεί από την τράπουλα Α 1 : Το χαρτί είναι άσος Α. Α 2 : Το χαρτί είναι σπαθί 1 Α2 : ο άσος είναι σπαθί (Γ) AND συνδυασµοί αµοιβαίως ανεξάρτητοι µεταξύ τους (mutually independent) (Το αληθές της Α 1 δεν µας λέει τίποτα για το αληθές της Α 2 ) Σε αλγεβρική µορφή: P A 2 A 1 I Τότε προκύπτει ότι: ( ) = P( A 2 I ) και P( A 1 A 2 I ) = P( A 1 I ) ( ) = P( A 1 I )! P( A 2 I ) P A 2 A 1 I

6 Κανόνες πιθανοτήτων ΦΥΣ Διαλ.11 6 (Δ) OR συνδυασµοί: γενική περίπτωση Θεωρήστε 2 υποθέσεις Α 1 και Α 2 και έστω Α 1 OR A 2 η σύνθετη υπόθεση ότι τουλάχιστον η µια από τις 2 υποθέσεις είναι αληθής. Προκύπτει ότι: P( A 1 or A 2 I ) = P( A 1 I ) + P( A 2 I )! P( A 1 A 2 I ) Παράδειγµα: Έστω Ν(Ι) το πλήθος όλων των περιπτώσεων Ι και N(A 1 ), N(A 2 ) και Ν(Α 1. Α 2 ) το πλήθος των N(A 1 ) περιπτώσεων που η Α 1,η Α 2 και οι Α 1 και Α 2 ταυτόχρονα είναι αληθείς αντίστοιχα. Το αποτέλεσµα θα είναι: N(A 1 or A 2 ) = N(A 1 )+N(A 2 )-N(A 1. A 2 ) Προφανώς πρέπει να αφαιρέσουµε το κοινό τµήµα γιατί µετράται δυο φορές. N(I) N(A 1. A 2 ) N(A 2 ) (E) OR συνδυασµοί αµοιβαίως αποκλειστικοί µεταξύ τους (mutually exclusive) (Η Α 1 και Α 2 δεν µπορεί να είναι ταυτόχρονα αληθείς) ( ) = 0 Σε αλγεβρική µορφή: P A 2 A 1 I Προκύπτει ότι: P( A 1 or A 2 I ) = P( A 1 I ) + P( A 2 I )

7 Κανόνες πιθανοτήτων ΦΥΣ Διαλ.11 7 (ΣΤ) Κανονικοποίηση: αποτελέσµατα αµοιβαίως αποκλειστικά και εξαντλητικά: mutually exclusive and exhaustive (ΜΕΕ) Θεωρήστε το σύνολο Ω των υποθέσεων Α 1, Α 2, Α 3,...,Α Ω εκ των οποίων τουλάχιστον µια είναι αληθής. Δηλαδή σε αλγεβρική µορφή: P A 1 or A 2 or A 3 or!a! I ( ) = 1 Παράδειγµα: Ι: ένα χαρτί τραβήχτηκε από µια τράπουλα A 1 : είναι άσος Α 2 : είναι χαρτί φιγούρας Α 3 : είναι κοινό χαρτί Οι υποθέσεις είναι αποκλειστικές µεταξύ τους και καλύπτουν όλο το πλήθος των δυνατών τιµών Προκύπτει ότι για ένα τέτοιο σύνολο ισχύει:! ( ) " P A r I = 1 r =1

8 Απόδοση τιµών στις πιθανότητες ΦΥΣ Διαλ.11 8 (Α) Ίσες εκ των προτέρων πιθανότητες: Έστω ότι η πληροφορία Ι προσδιορίζει ένα πλήθος Ω από ΜΕΕ αποτελέσµατα και δεν µας λέει τίποτα που να προτιµά το ένα αποτέλεσµα σχετικά µε τα άλλα. Τότε στην περίπτωση αυτή της µέγιστης άγνοιας οι πιθανότητες µπορούν να αποδοθούν εκ των προτέρων. Στην περίπτωση αυτή η πιθανότητα που αποδίδεται σε κάθε υπόθεση του Ω είναι: ( ) = 1 " P r! P A r " για όλα τα r Σύµφωνα µε το κανόνα των ΜΕΕ θα έχουµε: 1 = " P r =! # P r r =1 Παράδειγµα 1: Ρίχνουµε ένα νόµισµα Στην περίπτωση αυτή ξέρουµε ότι Ω=2 δυνατά αποτελέσµατα Πρέπει να αποδόσουµε στο καθένα από τα δυνατά αποτελέσµατα την ίδια πιθανότητα: p = P r = 1/Ω = 1/2 Παράδειγµα 2: Ένα αέριο αφήνεται να έρθει σε ισορροπία σε αποµονωµένο δοχείο Η κβαντοµηχανική µας λέει ότι µπορεί να βρεθεί σε µια οποιαδήποτε µικροσκοπική κατάσταση από ένα σύνολο Ω δυνατών καταστάσεων. Πρέπει να αποδόσουµε σε κάθε µια από τις καταστάσεις αυτές την πιθανότητα 1/Ω Αυτό αποτελεί το θεµελειώδη λίθο της στατιστικής φυσικής και εποµένως το πως κατανοούµε τη συµπυκνωµένη ύλη!

9 Απόδοση τιµών στις πιθανότητες ΦΥΣ Διαλ.11 9 (Β) Επιχειρήµατα ανάλογα µε τους δυνατούς τρόπους Υποθέτουµε ότι ένα αποτέλεσµα Α µπορεί να ληφθεί µε W δυνατούς τρόπους Α 1,Α 2,Α W που αποτελούν µέλη µιας µεγαλύτερης οµάδας Α 1,Α 2,...,Α Ω που είναι ΜΕΕ δεδοµένης της πληροφορίας Ι. Τότε αν δεν υπάρχει οποιαδήποτε επιπλέον πληροφορία P( A W,!) = W! Παράδειγµα: Ρίχνουµε 2 ζάρια: Ποια η πιθανότητα το άθροισµα τους να δώσει 7 Στη περίπτωση αυτή η πληροφορία Ι είναι η ρίψη των 2 ζαριών Το αποτέλεσµα που θα πρέπει να ελέγξουµε είναι A: το άθροισµά τους να είναι 7 Υπάρχουν συνολικά Ω=6x6=36 δυνατά αποτελέσµατα Καθένα από αυτά πρέπει να του αποδοθεί η ίδια πιθανότητα: P r = 1/Ω = 1/36 Συνολικό score 7 µπορούν να δώσουν οι συνδυασµοί: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) δηλαδή W = 6. Εποµένως η πιθανότητα να πάρουµε άθροισµα 7 θα είναι: P( 7 6,36) = W! = 6 36 =

10 Διoνυµικός παράγοντας ΦΥΣ Διαλ.11 10! Εφαρµογή στα προηγούµενα βρίσκει ο διoνυµικός N N $ C m = παράγοντας που δίνει: " # m % & = N! m! ( N ' m)! (α) το πλήθος των διαφορετικών τρόπων µια οµάδα από Ν ξεχωριστά µεταξύ τους αντικείµενα µπορούν να χωριστούν σε 2 υπο-οµάδες από m και Ν-m αντικείµενα (β) τον αριθµό των διαφορετικών δυνατών ακολουθιών Ν αντικειµένων που φτιάχνουν δυο υπο-οµάδες από m µη διαχωρίσηµα και Ν-m µη διαχωρήσιµα µεταξύ τους αντικειµένων. Ας θεωρήσουµε αρχικά ταξινοµηµένες οµάδες Έχουµε 2 στοιχεία x και y. Οι ταξινοµηµένες οµάδες που µπορούµε να έχουµε είναι: και {x, y} {y, x} Θεωρήστε ταξινοµηµένες οµάδες τριών στοιχείων x, y και z. Υπάρχουν 6 δυνατές περιπτώσεις: {x, y, z},{x, z, y},{y, x, z},{y, z, x},{z, x, y},{z, y, x} Αν είχαµε n στοιχεία ο αριθµός των δυνατών περιπτώσεων θα ήταν n! Υπάρχουν n δυνατές περιπτώσεις να έχουµε ένα συγκεκριµένο στοιχείο στη 1 η θέση, κατόπιν υπάρχουν n-1 περιπτώσεις να έχουµε ένα από τα εναποµείναντα στοιχεία στη 2 η θέση κ.ο.κ. Ο αριθµός αυτός ονοµάζεται αριθµός διευθετήσεων:

11 Διoνυµικός παράγοντας ΦΥΣ Διαλ Θεωρούµε τώρα τον αριθµό των δυνατών περιπτώσεων να έχουµε ταξινοµηµένες οµάδες από k! n στοιχεία από κάποια οµάδα n στοιχείων. Αυτός ο αριθµός είναι ο αριθµός των µεταθέσεων P(n, k). Δείχνει τον αριθµό των ανταλλαγών/µεταθέσεων των n στοιχείων όταν πέρνουµε k κάθε φορά. Έστω ότι έχουµε 4 στοιχεία και πέρνουµε 2 κάθε φορά. Εποµένως έχουµε υπο-οµάδες δυο στοιχείων και το παρακάτω σχήµα δείχνει το «δένδρο» των αποφάσεων Κάθε διαδροµή αντιστοιχεί σε µια ταξινοµηµένη οµάδα. Εποµένως P(4,2) = 12 Αν θέλαµε τον αριθµό των ταξινοµηµένων περιπτώσεων 3 στοιχείων τα οποία πέρνουµε από ένα σύνολο 4 στοιχείων, τότε θα είχαµε: Εποµένως P(4, 3) = 24 Γενικά: P(n,k) = n! n "1 ( )! ( n " 2)!!! ( n " k +1)! P(n, k) = n! ( n " k)!

12 Διoνυµικός παράγοντας ΦΥΣ Διαλ Θεωρούµε τώρα τον αριθµό των δυνατών µεταθέσεων σε οµάδες µη ταξινοµηµένες. Συνδυασµοί είναι οι αριθµοί των διευθετήσεων των στοιχείων χωρίς να λαµβάνουµε υπόψην κάποια συγκεκριµένη σειρά ή θέση. π.χ. για 2 στοιχεία x, y, υπάρχει µόνο 1 οµάδα: {x,y} Ο αριθµός των υπο-οµάδων µεγέθους k στοιχείων που λαµβάνονται από n στοιχεία συµβολίζεται µε. Προφανώς C(n, k) C(n,n) = 1 Για παράδειγµα, ο αριθµός των µη ταξινοµηµένων οµάδων 2 στοιχείων τα οποία λαµβάνονται από ένα σύνολο 4 στοιχείων {x,y,z,w} είναι: {x, y},{x,z},{x,w},{y,z},{y,w},{z,w}! C 4,2 ( ) = 6 Για να βρούµε το τύπο που δίνει τον αριθµό των δυνατών συνδυασµών, θεωρούµε και πάλι το προβληµα εύρεσης του αριθµού των δυνατών ταξινοµηµένων οµάδων µε k στοιχεία τα οποία λαµβάνονται από n-στοιχεία. (α) Δηµιουργούµε όλες τις µη ταξινοµηµένες οµάδες µεγέθους k (β) Ταξινοµούµε τα στοιχεία σε κάθε συνδυασµό που βρήκαµε στο (α) Απο το προηγούµενο παράδειγµα: Η ταξινόµηση τώρα είναι απλή: {x, y},{x, z},{x, w},{y, z},{y, w},{z, w} {y, x},{z, x},{w, x},{z, y},{w, y},{w,z} {x, y},{x, z},{x, w},{y, z},{y, w},{z, w} Εποµένως: P(4,2) = 2! C( 4,2)

13 Διoνυµικός παράγοντας ΦΥΣ Διαλ Σαν ένα ακόµα παράδειγµα, θεωρείστε όλες τις υπο-οµάδες 3 στοιχείων που λαµβάνονται από 4 στοιχεία {x,y,z,w} {x, y,z},{x, y,w},{x,z,w},{y,z,w} Υπάρχουν 6 δυνατοί τρόποι να ταξινοµήσουµε κάθε µια από τις 4 υπο-οµάδες: {x, y, z},{x, z, y},{y, x, z},{z, x, y},{y, z, x},{z, y, x} Εποµένως: P(4,3) = 6! C( 4,3) Δείχνουµε λοιπόν µε το τρόπο αυτό ότι: Από τη παραπάνω σχέση καταλήγουµε ότι: ( ) = P( n, k) P( k, k) = n! C n, k P(n,k) = P( k,k)! C( n,k) k! ( n! k)!

14 ΦΥΣ Διαλ Παραδείγµατα 1. Η πιθανότητα να τραβήξουµε 3 συγκεκριµένα χαρτιά απο µια τράπουλα 52 χαρτιών Το πλήθος των δυνατών 3-συγκεκριµένων καρτών βρίσκεται αν χωρίσουµε την τράπουλα σε 2 υπο-οµάδες των 3 και 52-3=49 καρτών. Οπότε το πλήθος θα είναι:! = 49 C 3 = 52! 3!49! Κάθε περίπτωση έχει εκ των προτέρων πιθανότητα: p = 1! = 3! " 49! 52! = 6 52 " 51" 50 = 4.5 " 10#5 2. Έχουµε µια τράπουλα 52 χαρτιών. Ποια η πιθανότητα τραβώντας µια κάρτα να πάρουµε είτε άσο ή σπαθί; Γενική εφαρµογή του Or θα δώσει: P(άσο OR σπαθί) = P(άσο 52)+P(σπαθί 52)-P(άσο. σπαθί 52) = ! 1 52 = Ποια η πιθανότητα ρίχνοντας 2 ζάρια να πάρουµε το ένα να δείχνει 3; Η πιθανότητα να πάρουµε 3 ρίχνοντας ένα ζάρι είναι 1/6. Η πιθανότητα να πάρουµε µια οποιαδήποτε άλλη πλευρά είναι 5/6. Εποµένως η πιθανότητα να πάρουµε µια οποιαδήποτε πλευρά ρίχνοντας 2 ζάρια θα είναι 5/6 x 5/6 = 25/36. Άρα η πιθανότητα να πάρουµε 3 τουλάχιστον από ένα ζάρι θα είναι 1-25/36 = 11/36

15 Απόδοση τιµών στις πιθανότητες ΦΥΣ Διαλ (Γ) Χρησιµοποίηση επιπλέον πληροφορίας Θεώρηµα Bayes H πιθανότητα που δίνουµε σε κάποια υπόθεση εξαρτάται από τη πληροφορία που έχουµε. Όταν περισσότερη πληροφορία γίνεται προσβάσιµη οπότε η ολική πληροφορία είναι Ε. Ι τότε η πιθανότητα θα αλλάξει. Η διαφορά στη τιµή της πιθανότητας πριν και µετά την απόκτηση επιπλέον πληροφορίας αποτελεί το θεώρηµα Bayes: P( A E I ) = P A I ( ) P( E A I ) P( E I ) Παράδειγµα: Υπόθεση, A: υπάρχει ζωή στον Άρη Πληροφορία, I: γενικά γνωστά στοιχεία για τον Άρη Επιπλέον πληροφορία Ε: υπάρχει νερό στον Άρη Πιθανότητες: P(A I): πιθανότητα ζωής στον Άρη δεδοµένης της Ι P(A Ε. I): πιθανότητα ζωής στον Άρη δεδοµένης επίσης της Ε ότι υπάρχει νερό P(Ε Α. I): πιθανότητα ύπαρξης νερού στον Άρη δεδοµένου ότι υπάρχει ζωή P(Ε I): πιθανότητα ύπαρξης νερού στον Άρη δεδοµένης της Ι ( ) = 1 P E A I Από τη στιγµή που η ζωή όπως τη ξέρουµε απαιτεί νερό Από τη στιγµή που πληροφορία Ι δεν είναι αρκετή να εξασφαλίζει νερό, Από το θεώρηµα Bayes: P( A E I ) = P( E A I ) 1 = ( ) P A I ( ) P E I ( ) > 1 P E I P( E I ) < 1

16 ΦΥΣ Διαλ Θεώρηµα Bayes Conditional Probability Έστω Α 1, Α 2, Α 3,...,Α n ένα σύνολο από n αποκλειστικές (µη αλληλεπικαλύψιµες) υποθέσεις οι οποίες όλες µαζί περιγράφουν ένα σύνολο S. Έστω Ε είναι µια υπόθεση από το σύνολο S η οποία έχει πιθανότητα P(E S)>0. Τότε η πιθανότητα P(A k E) δίνεται από: Αλλά: P( A k E S) = P( A k E S) ( ) + P( A 2 E S) +!+ P( A n E S) P A 1 E S P( A k E S) = P( A k S)P( E A k S) P( A k E S) = Παράδειγµα: P( A 1 S)P E A 1 S ( ) + P A 2 S Θεώρηµα Bayes και εποµένως µπορούµε να γράψουµε: P( A k S)P( E A k S) ( )P( E A 2 S) +!+ P( A n S)P E A n S ( ) Έστω η Μαρία ετοιµάζει το ψήσιµο του οβελία για το πάσχα στην ύπαιθρο. Τα τελευταία χρόνια βρέχει πολύ σπάνια, µόνο 5 µέρες το χρόνο. Ο µετερεωλόγος δυστυχώς έχει προβλέψει βροχή για το πάσχα. Όταν βρέχει, ο µετερεωλόγος προβλέπει ότι θα βρέξει µε επιτυχία 90%. Όταν δεν βρέχει, ο µετερεωλόγος προβλέπει 10% πιθανότητα βροχής. Ποια η πιθανότητα να βρέξει το πάσχα?

17 ΦΥΣ Διαλ Bayes θεώρηµα Στο συγκεκριµένο παράδειγµα, το σύνολο των δυνατών καταστάσεων προσδιορίζεται από 2 αµοιβαίως µη αλληλεπικαλυπτόµενες καταστάσεις, να βρέξει ή να µη βρέξει. Υπάρχει µια επιπλέον περίπτωση, αυτή που καθορίζεται από την πρόβλεψη του µετερεωλόγου για βροχή. Θα έχουµε: A 1 : Θα βρέξει τη µέρα του Πάσχα A 2 : Δε θα βρέξει τη µέρα του Πάσχα Ε: Ο µετερεωλόγος προβλέπει βροχή Με βάση τις πιθανότητες θα έχουµε: ( ) = 5 / 365 = βρέχει 5 µέρες το χρόνο ( ) = 360 / 365 = Δεν βρέχει 360 µέρες το χρόνο ( ) = 0.90 Όταν βρέχει, ο µετερεωλόγος προβλέπει βροχή 90% ( ) = 0.10 Όταν δεν βρέχει, υπάρχει πρόβλεψη για βροχή 10% P A 1 P A 2 P E A 1 P E A 2 Από το θεώρηµα Bayes έχουµε: P( A 1 E) = P( A 1 )P( E A 1 ) ( )P E A 2 P( A 1 )P( E A 1 ) + P A 2 ( ) = 0.014! ! ! 0.1 = 0.111

18 ΦΥΣ Διαλ Θεώρηµα Bayes παράδειγµα Δίνονται 2 συρτάρια (Α,Β) στα οποία περιέχονται 2 χρυσά νοµίσµατα στο ένα συρτάρι ενώ στο άλλο συρτάρι υπάρχουν 1 χρυσό και 1 ασηµένιο νόµισµα. Ωστόσο δεν µπορείτε να δείτε το περιεχόµενο των συρταριών. Αν κάποιος τραβήξει τυχαία ένα νόµισµα από το συρτάρι Α και αυτό είναι χρυσό, ποια η πιθανότητα το συρτάρι αυτό περιέχει ακόµα ένα χρυσό νόµισµα; Γεγονός Περιγραφή Α 1 Το συρτάρι Α έχει 2 χρυσά νοµίσµατα 0.5 Β Β Α 1 P( A!) = Επιλογή ενός χρυσού νοµίσµατος από τα 4 νοµίσµατα Πιθανότητα να διαλέξουµε 1 χρυσό νόµισµα όταν το συρτάρι έχει 2 χρυσά νοµίσµατα P( A 1 )P( B A 1 ) ( )P B A 2 P( A 1 )P( B A 1 ) + P A 2 ( ) = 0.5 "1 Πιθανότητα " " 0.5 = 2 3 = 0.666

19 Αναµενόµενη τιµή ΦΥΣ Διαλ Ορισµός Η πυκνότητα πιθανότητας, PD, εκφράζει τα πάντα τα οποία χρειάζεται να γνωρίζουµε σχετικά µε την σχετιζόµενη τυχαία µεταβλητή Αλλα η PD µπορεί να χαρακτηριστεί απλά από 2 ιδιότητές της: τη µέση τιµή και τη διασπορά της Οι δυο αυτές χαρακτηριστικές της PD είναι ειδικές περιπτώσεις της γενικότερης έννοιας της αναµενόµενης τιµής Έστω g(x) µια συνάρτηση της τυχαίας µεταβλητής x. Η αναµενόµενη τιµή της g(x) δίνεται g( x) = # % $ % &! i " p( x i )g( x i ) f ( x)g( x)dx αν η Χ είναι διακριτή αν η Χ είναι συνεχής Η αναµενόµενη τιµή της g(x) συµπίπτει µε τη µέσο όρο µεγάλου αριθµού παρατηρήσεων της g(x) Κανόνες Μερικοί απλοί αλλά σηµαντικοί κανόνες ( x) + g 2 ( x) = g 1 ( x) + g 2 ( x) g 1 Αν α είναι σταθερά ανεξάρτητη του Χ τότε: a = a και ag( x) = a g( x)

20 Αναµενόµενη τιµή ΦΥΣ Διαλ Μέση τιµή Η µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Χ είναι εξ ορισµού η αναµενόµενη τιµή της x = # % $ % &! i " p( x i ) x i dxf ( x) x αν η Χ είναι διακριτή αν η Χ είναι συνεχής Η µέση τιµή συµπίπτει µε το µέσο όρο για µεγάλες τιµές παρατηρήσεων της x Παραδείγµατα 1. Μέση τιµή µια διακριτής µεταβλητής Έστω Χ το αποτέλεσµα της ρίψης ενός ζαριού. Η Χ πέρνει τιµές x i =1,2,3...,6 µε πιθανότητα p(x i )=1/6. Η µέση τιµή (ή αναµενόµενη τιµή) της x είναι: 6 x =! p( x i ) x i = p! x i = = 7 i=1 i= Μέση τιµή µιας συνεχούς µεταβλητής Έστω Χ µια συνεχής µεταβλητή που επιλέγεται τυχαία στο διάστηµα [1,6] Η Χ έχει τότε PDF: & 1 f ( x) = 5 1! x! 6 " ( ' Εποµένως η µέση τιµή θα είναι: x = ( # f ( x) x dx = 1 ) 0 "##$% 5!" x = 7 2

21 Διασπορά και τυπική απόκλιση Η διασπορά V[x] µιας τυχαίας µεταβλητής Χ είναι η αναµενόµενη τιµή του τετραγώνου της απόκλισής της από τη µέση τιµή: V [ x] = $ & % & ' " i # p( x i )(!x i ) 2 f ( x)dx (!x) 2 όπου Δx i =x i - <x> όπου Δx=x - <x> Μπορούµε να γράψουµε ακόµα: V [ x] = x 2! x 2 και x διακριτή και x συνεχής ΦΥΣ Διαλ Η τυπική απόκλιση µια τυχαίας µεταβλητής Χ είναι η τετραγωνική ρίζα της διασποράς της! x ( ) = V [ x]

22 H Διoνυµική κατανοµή ΦΥΣ Διαλ Έστω ότι ρίχνουµε ένα κέρµα Ν φορές. Ποια η πιθανότητα να πάρουµε m φορές τη µια όψη του? H πιθανότητα αυτή δίνεται από τη διoνυµική κατανοµή η οποία λέει ότι: Αν µια προσπάθεια η οποία δίνει επιτυχία µε πιθανότητα p, τεθεί σε δοκιµή Ν φορές, η πιθανότητα p(m) να βρούµε ακριβώς m επιτυχίες δίνεται από τη σχέση: p( m) = N C m p m ( 1! p) ( N! m) µ" N C m = N! m! ( N! m)! Κάλπικο νόµισµα Κανονικό νόµισµα

23 Ιδιότητες της διoνυµικής κατανοµής ΦΥΣ Διαλ µέση τιµή: διασπορά: m! V m N " m=0 mp( m) = Np N [ ]! "m 2! ( m # m ) 2 p( m) = Np $ q m=0 τυπική απόκλιση:! " V [ m] = Npq Η διoνυµική κατανοµή προσδιορίζεται από δυο παραµέτρους Ν και p. Η µέση τιµή αυξάνει γραµµικά µε τον αριθµό των προσπαθειών ενώ η τυπική απόκλιση µόνο συναρτήσει της τετραγωνικής ρίζας Ν

24 Παράδειγµα τυχαίος περίπατος ΦΥΣ Διαλ Ένας µεθυσµένος κινείται από στύλο σε στύλο καθώς προσπαθεί να γυρίσει στο σπίτι του. Σε κάθε κολόνα σταµατά για λίγο και συνεχίζει. Κάθε φορά που σταµατά µπορεί να κινηθεί εξίσου προς ή µακριά από το σπίτι του. Αν οι κολόνες απέχουν απόσταση α ποια είναι η µέση τιµή και η απόκλιση της µετατόπισής του d από το σηµείο εκκίνησής του µετά από Ν βήµατα; Έστω n R o αριθµός των βηµάτων προς το σπίτι του και n L o αριθµός των βηµάτων στη λάθος κατεύθυνση: n L =N-n R H µετατόπισή του d από το σηµείο εκκίνησης είναι: d = ( n R! n L )a = ( 2n R! N )a Θεωρούµε σα προσπάθεια ένα βήµα, ενώ σαν επιτυχία ένα βήµα το σπίτι του Εποµένως n R είναι κατανεµηµένη διονυµικά µε πιθανότητα p=1/2 Η µέση τιµή και διασπορά της n R είναι: n R = Np = N 2 και V n R [ ] = [!n R ] 2 = Npq = N 4 Η µέση τιµή της µετατόπισης είναι: d = a[ 2n R! N ] = a( 2 n R! N ) = a( N! N ) = 0 Η διασπορά της µετατόπισης είναι:!d 2 = d " d ( )!d 2 = # $ a 2n R " N " 2 n R + N % & 2 = # $ 2a n R " n R ( ) 2 = # a( 2n R " N " 2n R " N ) ( ) % & 2 $ = [ 2a!n R ] 2 = 4a 2 2!n R Αλλά V n R [ ] =!n R [ ] 2 οπότε!d 2 = 4a 2 V n R [ ] " V d [ ] = 4a 2 V n R [ ]! V d [ ] = 4a 2 N 4 = a2 N % & 2

25 Κατανοµή Poisson ΦΥΣ Διαλ Η κατανοµή Poisson είναι ειδική περίπτωση της διoνυµικής κατανοµής όταν: Η πιθανότητα, p, µιας προσπάθειας να δώσει επιτυχία είναι µικρή (πηγαίνει στο 0) Ο αριθµός των προσπαθειών είναι µεγάλος (πηγαίνει στο άπειρο) Ο µέσος αριθµός επιτυχιών, Νp, είναι συγκεκριµένος αριθµός (δεν πηγαίνει στο 0 ή στο άπειρο) Για την διoνυµική κατανοµή µπορούµε να γράψουµε: p! 0, N! " ενώ Νp δεν είναι 0 ή άπειρο m p( m) m = e! m m! Poisson κατανοµή Ιδιότητες της κατανοµής Poisson: Στο Poisson όριο της διoνυµικής κατανοµής, η τυπική απόκλιση δίνεται από! [ m] = Npq = Np( 1 " p)! Np = m Εποµένως η Poisson κατανοµή προδιορίζεται από την <m>

26 Παραδείγµατα ΦΥΣ Διαλ Κατά τη διάρκεια µιας βροχής µετεωριτών, παρατηρούµε ότι µετεωρίτες πέφτουν µε ρυθµό 12.2/h. Υπολογίστε τη πιθανότητα να παρατηρήσετε λιγότερο από 2 σε 0.5h m p( m) m = e! m m! όπου <m> = 6.1/(0.5h) Η πιθανότητα να ανιχνεύσουµε < 2 είναι: p( m < 2) = p( m = 0) + p( m = 1) = e! m 1 + m ( ) = 0.016

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 28 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης: 3/2/28 Ηµεροµηνία Παράδοσης: 7/2/28

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος Τµ. Επιστήµης των Υλικών Στοχαστικές ιαδικασίες Ορισµός Μία στοχαστική διαδικασία είναι µία οικογένεια τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ήδειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοω ή s του δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 6 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ή δειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοωήsτου δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017. HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1

Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1 ΦΥΣ 3 - Διαλ. Κέντρο µάζας Μέχρι τώρα είδαµε την κίνηση υλικών σηµείων µεµονωµένα. Όταν αρχίσουµε να θεωρούµε συστήµατα σωµάτων ή στερεά σώµατα κάποιων διαστάσεων είναι πιο χρήσιµο και ευκολότερο να ορίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ 3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται στις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 10/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/11/2016 1 1 Θεωρία πιθανοτήτων 5/11/2016 2 2 Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηµατικό λογισµό µιλήσαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 15 Οκτωβρίου 2009 ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ De Moivre Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας αφορά πεπερασµένους δειγµατικούς χώρους και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

p(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49

p(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 206-207 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Από κοινού συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Αιτιολόγηση με αβεβαιότητα

Αιτιολόγηση με αβεβαιότητα Αιτιολόγηση με αβεβαιότητα Στα προβλήματα του πραγματικού κόσμου οι αποφάσεις συνήθως λαμβάνονται υπό αβεβαιότητα (uncertainty), δηλαδή έλλειψη επαρκούς πληροφορίας. Οι κυριότερες πηγές αβεβαιότητας είναι:

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q 7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 5 Μαίου 2012

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 5 Μαίου 2012 ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική 5 Μαίου 2012 Συµπληρώστε τα στοιχεία σας στο παρακάτω πίνακα τώρα Ονοµατεπώνυµο Αρ. Ταυτότητας Username Password Δηµιουργήστε ένα φάκελο στο home directory σας µε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

( ) Απειροστές περιστροφές και γωνιακή ταχύτητα ( ) = d! r dt = d! u P. = ω! r

( ) Απειροστές περιστροφές και γωνιακή ταχύτητα ( ) = d! r dt = d! u P. = ω! r ΦΥΣ 211 - Διαλ.28 1 Απειροστές περιστροφές και γωνιακή ταχύτητα q Θεωρήστε ότι έχετε ένα σώµα το οποίο περιστρέφεται ως προς άξονα: q Θεωρήστε ότι ένα σηµείο P πάνω στο σώµα µε διάνυσµα θέσης r t O r t

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 11 Ιανουαρίου 21 Η δεσµευµένη µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Y σε δεδοµένο σηµείο µιας άλλης τυχαίας µεταϐλητής X = x, συµϐολιϲόµενη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

P(200 X 232) = =

P(200 X 232) = = ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 0 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Ανάγκη θεωρίας επιλογής υπό αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2 HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Θεωρία πιθανοτήτων Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (αντίθετα με τις ντετερμινιστικές μεταβλητές)

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 19/04/2016 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραµα Πείραµα: Οποιαδήποτε διαδικασία που µπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθµό παρατηρήσιµων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ.33 1 KYMATA

ΦΥΣ Διαλ.33 1 KYMATA ΦΥΣ 131 - Διαλ.33 1 KYMATA q Κύµατα εµφανίζονται σε συστήµατα µε καταστάσεις ισορροπίας. Τα κύµατα είναι διαταραχές από τη θέση ισορροπίας. q Τα κύµατα προκαλούν κίνηση σε πολλά διαφορετικά σηµεία σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ Kεφάλαιο 11 Θα επαναλάβουµε αυτά που είχαµε πει την προηγούµενη φορά. Παραστατικά αν έχουµε το εξής παίγνιο όπου οι δύο παίχτες παίρνουν ταυτόχρονα τις αποφάσεις τους αφού αποφασίσει ο Ι, θα δούµε πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k ειγµατοληψία Με ιάταξη

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες

Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 26, Εαρινό εξάμηνο Περιεχόμενα I Πιθανότητες 2 2. Πείραμα τύχης.......................................... 2.. Πράξεις..........................................

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasil

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ Σύμφωνα με στοιχεία από το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης η πιθανότητα ένας φοιτητής να αποφοιτήσει μέσα σε 5 χρόνια από την ημέρα εγγραφής του στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; ή Η επιτάχυνση και ο ρυθµός µεταβολής του µέτρου της ταχύτητας. Ένα σώµα Σ ηρεµεί, δεµένο στο άκρο ενός ελατηρίου. Σε µια στιγµή συγκρούεται µε ένα άλλο κινούµενο

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1 5.1: Εισαγωγή 5.2: Πιθανότητες 5.3: Τυχαίες Μεταβλητές καθ. Βασίλης Μάγκλαρης

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα διατήρησης στροφορµής

Παράδειγµα διατήρησης στροφορµής Παράδειγµα διατήρησης στροφορµής ΦΥΣ 3 - Διαλ.6 Κολόνα πέφτει σε γίγαντα. Δίνονται η µάζα του γίγαντα Μ, της κολόνας m, το µήκος της κολόνας l, η ταχύτητα της κολόνας v. H κίνηση γίνεται σε λεία επιφάνεια.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ

Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ 2 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Ορια και Συνέχεια 1.1 Ορια Παράδειγµα 1.1. Να υπολογίσετε το x+y lim (x,y) (0,0) x y. Απάντηση: Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης. Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Κβαντοµηχανική Ι Α Καρανίκας και Π Σφήκας Άσκηση 1 Η Hamiltonian ενός συστήµατος έχει τη γενική µορφή Δείξτε ότι Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισµό της αναµενόµενης τιµής,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 25 Νοεµβρίου 2009 Ορισµός Εστω X µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας f(x) = e λ λx, x = 0, 1,..., (1) x! όπου 0 < λ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 17 Υπενθύµιση: Ακολουθίες Ακολουθία είναι συνάρτηση από

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Εισαγωγή Στα προβλήµατα που έχουµε ασχοληθεί µέχρι τώρα, υποστηρίζουµε ότι έχουµε ένα δείγµα X = (X 1, X 2,...,X n ) F(,θ). π.χ. X 1, X 2,...,X n τ.δ. N(µ,σ 2 ),

Διαβάστε περισσότερα

(REASONING WITH UNCERTAINTY)

(REASONING WITH UNCERTAINTY) ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ REASONING WITH UNCERTAINTY Ακριβής και πλήρης γνώση δεν είναι πάντα δυνατή Οι εµπειρογνώµονες πολλές φορές παίρνουν αποφάσεις από αβέβαια, ηµιτελή ή και αλληλοσυγκρουόµενα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 5ης Διάλεξης 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5

Περιεχόμενα 5ης Διάλεξης 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5 5ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Κινητική Θεωρία πλάσµατος

Κινητική Θεωρία πλάσµατος Κινητική Θεωρία πλάσµατος Λουκάς Βλάχος Τµήµα Φυσικής ΑΠΘ *Οµιλία στο ο ΣΧΟΛΕΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΣΥΝΤΗΞΗΣ, Βόλος- /5/003 1 Θέµατα Τυχαίες διαδικασίες και η κατανοµή Gauss Η συνάρτηση κατανοµής ταχυτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 5 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές Bayesian decision Minimum misclassificaxon rate decision: διαλέγουμε την κατηγορία Ck για

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασική Θεωρία Πιθανοτήτων

3. Βασική Θεωρία Πιθανοτήτων Περίληψη 3. Βασική Θεωρία Πιθανοτήτων Η στατιστική μηχανική βασίζεται στη θεωρία πιθανοτήτων για την παραγωγή μακροσκοπικών ιδιοτήτων στην ισορροπία. Οι θερμοδυναμικές μεταβλητές εμφανίζονται ως μέσοι

Διαβάστε περισσότερα