Αβεβαιότητα ανάγκη για πιθανότητα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αβεβαιότητα ανάγκη για πιθανότητα"

Transcript

1 Αβεβαιότητα ανάγκη για πιθανότητα ΦΥΣ Διαλ.11 1 Ø Καθηµερινά έχουµε να κάνουµε µε αβεβαιότητα αποφάσεις λαµβάνονται απουσία πλήρους πληροφορίας Ø Οι περισσότεροι κλάδοι των επιστηµών «φαίνεται» να µην περιέχουν αβεβαιότητα Ø Ωστόσο συναντούµε αβεβαιότητα ευρέως στις επιστήµες και θα πρέπει να βρούµε τρόπο να την αντιµετωπίσουµε επιστηµονικά Ø Στις πειραµατικές επιστήµες: υπάρχουν πρακτικά όρια στην ακρίβεια των µετρήσεων Μπορούµε να µετρήσουµε µια ποσότητα µε πεπερασµένη ακρίβεια Όπως ξέρουµε το αποτέλεσµα ενός πειράµατος δεν λέει ποτέ ότι µια θεωρία είναι λάθος ή ότι είναι σωστή. Μας δίνει ωστόσο αποδείξεις στηριζόµενοι πάνω τους µπορούµε να έχουµε µια περισσότερο σηµαντική αντίληψη για το τι είναι αληθές. Σηµαντικά στοιχεία στην ανάλυση αυτή είναι ο προσεγµένος υπολογισµός των σφαλµάτων και η χρήση κατάλληλων εργαλείων από τη θεωρία πιθανοτήτων

2 Αβεβαιότητα ανάγκη για πιθανότητα ΦΥΣ Διαλ.11 2 Ø Στις θεωρητικές επιστήµες υπάρχουν θεµελειώδη όρια για το τι µπορούµε να ξέρουµε ή να προβλέψουµε: Σε συστήµατα πολλών σωµάτων: δεν µπορούµε να ξέρουµε π.χ. τι κάνουν όλα τα άτοµα σε ένα τµήµα ύλης γιατί η γνώση εµπεριέχει πολύ περισσότερη λεπτοµέρεια από αυτή µπορούµε να συλλέξουµε Ο αριθµός των µορίων νερού που βρίσκονται σε ένα ποτήρι είναι τόσο τεράστιος που πρακτικά είναι αδύνατο να προβλέψουµε τι ακριβώς κάνουν: Έχει νόηµα να πούµε ποια η ταχύτητα του ου µορίου; Ωστόσο µπορούµε να ρωτήσουµε πόσο πιθανό είναι ένα µόριο να κινείται µε ταχύτητα µεγαλύτερη από 200m/s Μη γραµµικά συστήµατα: δεν µπορούµε να προβλέψουµε τη µελλοντική κατάσταση ενός συστήµατος το οποίο κινείται κάτω από µη γραµµικές δυνάµεις γιατί η µελοντική τους κατάσταση επιρεάζεται από την γνώση της παρούσας κατάστασής τους. H κίνηση ενός εκκρεµούς το άκρο του οποίου δεν είναι ακλόνητο αλλά κινείται εξαιτίας µιας περιοδικής δύναµης. Εξάρτηση από τη συχνότητα της δύναµης, συντονισµός. Δεν έχει νόηµα να ρωτήσουµε που θα βρίσκεται η µάζα µετά από 10 ταλαντώσεις αλλά µπορούµε να αναρωτηθούµε ποια θα είναι η πιο πιθανή της θέση Κβαντοµηχανικά συστήµατα: δεν ξέρουµε τη διαδροµή που ακολούθησε ακόµα και ένα µόνο ηλεκτρόνιο γιατί εξαιτίας της αρχής της αβεβαιότητας δεν είναι εν γένει γνωστή.

3 Η σηµασία της πιθανότητας Η έννοια χρησιµοποιείται ευρέως Δυο «σχολές» για τον ορισµό πιθανότητας: (Α) Συχνότητας (frequentist) ή εµπειρική: πιθανότητα κάποια δήλωση είναι αληθής: όπου ο παρονοµαστής είναι µεγάλος Ν# η δήλωση είναι αληθής ΦΥΣ Διαλ.11 3 Ν# θα µπορούσε να είναι αληθής (Β) Bayesian: πιθανότητα κάποια δήλωση είναι αληθής = O βαθµός της ορθολογικής πίστης ότι είναι αληθής Λίγο αόριστος και υποκειµενικός ορισµός αλλά πολύ ευρής για να καλύπτει όλες τις περιπτώσεις

4 Συµβολισµός και σηµειογραφία ΦΥΣ Διαλ.11 4 Εν γένει προσπαθούµε να αποδόσουµε µια πιθανότητα σε κάποια «δήλωση» ενώ δίνεται κάποια άλλη «δήλωση» Η δήλωση εκφράζει το ρόλο της πιθανότητας σα προέκταση των κανόνων της λογικής στη περιοχή που βρίσκεται µεταξύ των δυο άκρων: του αληθές και ψευδούς Η δήλωση που δίνεται ονοµάζεται πληροφορία, Ι, ενώ η δήλωση της οποίας ελέγχεται η πιθανότητα ονοµάζεται υπόθεση, Α. Παραδείγµατα: I: Διάλεξα ένα χαρτί από την τράπουλα Α: Το χαρτί αυτό θα είναι ο άσσος σπαθί I: Αγόρασα ένα λαχείο Α: Θα κερδίσω το λαχείο αυτή την εβδοµάδα Αλλά έλειπαν 14 χαρτιά Πριν 2 εβδοµάδες Ø Η πιθανότητα της Α εξαρτάται από την πληροφορία, Ι Ø Η πιθανότητα της υπόθεσης Α δεδοµένης της πληροφορίας, Ι, συµβολίζεται: P(A I) u Το κατά πόσο αληθής είναι η πληροφορία Ι είναι άσχετο µε τη τιµή της P(A I)

5 Κανόνες πιθανοτήτων ΦΥΣ Διαλ.11 5 Οι δυο ορισµοί πιθανοτήτων (frequentist, Bayesian) υπάγονται στους ίδιους κανόνες (Α) Διάστηµα τιµών Η πιθανότητα βρίσκεται πάντοτε στο διάστηµα 0! P(A I)! 1 P(A I)=1 δηλώνει βεβαιότητα ότι η υπόθεση Α είναι αληθής (Β) AND συνδυασµοί: γενική περίπτωση Θεωρήστε 2 υποθέσεις Α 1 και Α 2 και έστω Α 1. Α2 (ή Α 1 AND A 2 ) η σύνθετη υπόθεση ότι και οι 2 υποθέσεις είναι αληθείς. Προκύπτει ότι: P(A 1 A 2 I) = P(A 2 A 1 I)P(A 1 I) όπου: P(A 2 A 1 I) δηλώνει τη πιθανότητα της Α 2 δεδοµένης της υπόθεσης Α 1. Ι Παράδειγµα Ι: Ένα χαρτί έχει τραβηχτεί από την τράπουλα Α 1 : Το χαρτί είναι άσος Α. Α 2 : Το χαρτί είναι σπαθί 1 Α2 : ο άσος είναι σπαθί (Γ) AND συνδυασµοί αµοιβαίως ανεξάρτητοι µεταξύ τους (mutually independent) (Το αληθές της Α 1 δεν µας λέει τίποτα για το αληθές της Α 2 ) Σε αλγεβρική µορφή: P A 2 A 1 I Τότε προκύπτει ότι: ( ) = P( A 2 I ) και P( A 1 A 2 I ) = P( A 1 I ) ( ) = P( A 1 I )! P( A 2 I ) P A 2 A 1 I

6 Κανόνες πιθανοτήτων ΦΥΣ Διαλ.11 6 (Δ) OR συνδυασµοί: γενική περίπτωση Θεωρήστε 2 υποθέσεις Α 1 και Α 2 και έστω Α 1 OR A 2 η σύνθετη υπόθεση ότι τουλάχιστον η µια από τις 2 υποθέσεις είναι αληθής. Προκύπτει ότι: P( A 1 or A 2 I ) = P( A 1 I ) + P( A 2 I )! P( A 1 A 2 I ) Παράδειγµα: Έστω Ν(Ι) το πλήθος όλων των περιπτώσεων Ι και N(A 1 ), N(A 2 ) και Ν(Α 1. Α 2 ) το πλήθος των N(A 1 ) περιπτώσεων που η Α 1,η Α 2 και οι Α 1 και Α 2 ταυτόχρονα είναι αληθείς αντίστοιχα. Το αποτέλεσµα θα είναι: N(A 1 or A 2 ) = N(A 1 )+N(A 2 )-N(A 1. A 2 ) Προφανώς πρέπει να αφαιρέσουµε το κοινό τµήµα γιατί µετράται δυο φορές. N(I) N(A 1. A 2 ) N(A 2 ) (E) OR συνδυασµοί αµοιβαίως αποκλειστικοί µεταξύ τους (mutually exclusive) (Η Α 1 και Α 2 δεν µπορεί να είναι ταυτόχρονα αληθείς) ( ) = 0 Σε αλγεβρική µορφή: P A 2 A 1 I Προκύπτει ότι: P( A 1 or A 2 I ) = P( A 1 I ) + P( A 2 I )

7 Κανόνες πιθανοτήτων ΦΥΣ Διαλ.11 7 (ΣΤ) Κανονικοποίηση: αποτελέσµατα αµοιβαίως αποκλειστικά και εξαντλητικά: mutually exclusive and exhaustive (ΜΕΕ) Θεωρήστε το σύνολο Ω των υποθέσεων Α 1, Α 2, Α 3,...,Α Ω εκ των οποίων τουλάχιστον µια είναι αληθής. Δηλαδή σε αλγεβρική µορφή: P A 1 or A 2 or A 3 or!a! I ( ) = 1 Παράδειγµα: Ι: ένα χαρτί τραβήχτηκε από µια τράπουλα A 1 : είναι άσος Α 2 : είναι χαρτί φιγούρας Α 3 : είναι κοινό χαρτί Οι υποθέσεις είναι αποκλειστικές µεταξύ τους και καλύπτουν όλο το πλήθος των δυνατών τιµών Προκύπτει ότι για ένα τέτοιο σύνολο ισχύει:! ( ) " P A r I = 1 r =1

8 Απόδοση τιµών στις πιθανότητες ΦΥΣ Διαλ.11 8 (Α) Ίσες εκ των προτέρων πιθανότητες: Έστω ότι η πληροφορία Ι προσδιορίζει ένα πλήθος Ω από ΜΕΕ αποτελέσµατα και δεν µας λέει τίποτα που να προτιµά το ένα αποτέλεσµα σχετικά µε τα άλλα. Τότε στην περίπτωση αυτή της µέγιστης άγνοιας οι πιθανότητες µπορούν να αποδοθούν εκ των προτέρων. Στην περίπτωση αυτή η πιθανότητα που αποδίδεται σε κάθε υπόθεση του Ω είναι: ( ) = 1 " P r! P A r " για όλα τα r Σύµφωνα µε το κανόνα των ΜΕΕ θα έχουµε: 1 = " P r =! # P r r =1 Παράδειγµα 1: Ρίχνουµε ένα νόµισµα Στην περίπτωση αυτή ξέρουµε ότι Ω=2 δυνατά αποτελέσµατα Πρέπει να αποδόσουµε στο καθένα από τα δυνατά αποτελέσµατα την ίδια πιθανότητα: p = P r = 1/Ω = 1/2 Παράδειγµα 2: Ένα αέριο αφήνεται να έρθει σε ισορροπία σε αποµονωµένο δοχείο Η κβαντοµηχανική µας λέει ότι µπορεί να βρεθεί σε µια οποιαδήποτε µικροσκοπική κατάσταση από ένα σύνολο Ω δυνατών καταστάσεων. Πρέπει να αποδόσουµε σε κάθε µια από τις καταστάσεις αυτές την πιθανότητα 1/Ω Αυτό αποτελεί το θεµελειώδη λίθο της στατιστικής φυσικής και εποµένως το πως κατανοούµε τη συµπυκνωµένη ύλη!

9 Απόδοση τιµών στις πιθανότητες ΦΥΣ Διαλ.11 9 (Β) Επιχειρήµατα ανάλογα µε τους δυνατούς τρόπους Υποθέτουµε ότι ένα αποτέλεσµα Α µπορεί να ληφθεί µε W δυνατούς τρόπους Α 1,Α 2,Α W που αποτελούν µέλη µιας µεγαλύτερης οµάδας Α 1,Α 2,...,Α Ω που είναι ΜΕΕ δεδοµένης της πληροφορίας Ι. Τότε αν δεν υπάρχει οποιαδήποτε επιπλέον πληροφορία P( A W,!) = W! Παράδειγµα: Ρίχνουµε 2 ζάρια: Ποια η πιθανότητα το άθροισµα τους να δώσει 7 Στη περίπτωση αυτή η πληροφορία Ι είναι η ρίψη των 2 ζαριών Το αποτέλεσµα που θα πρέπει να ελέγξουµε είναι A: το άθροισµά τους να είναι 7 Υπάρχουν συνολικά Ω=6x6=36 δυνατά αποτελέσµατα Καθένα από αυτά πρέπει να του αποδοθεί η ίδια πιθανότητα: P r = 1/Ω = 1/36 Συνολικό score 7 µπορούν να δώσουν οι συνδυασµοί: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) δηλαδή W = 6. Εποµένως η πιθανότητα να πάρουµε άθροισµα 7 θα είναι: P( 7 6,36) = W! = 6 36 =

10 Διoνυµικός παράγοντας ΦΥΣ Διαλ.11 10! Εφαρµογή στα προηγούµενα βρίσκει ο διoνυµικός N N $ C m = παράγοντας που δίνει: " # m % & = N! m! ( N ' m)! (α) το πλήθος των διαφορετικών τρόπων µια οµάδα από Ν ξεχωριστά µεταξύ τους αντικείµενα µπορούν να χωριστούν σε 2 υπο-οµάδες από m και Ν-m αντικείµενα (β) τον αριθµό των διαφορετικών δυνατών ακολουθιών Ν αντικειµένων που φτιάχνουν δυο υπο-οµάδες από m µη διαχωρίσηµα και Ν-m µη διαχωρήσιµα µεταξύ τους αντικειµένων. Ας θεωρήσουµε αρχικά ταξινοµηµένες οµάδες Έχουµε 2 στοιχεία x και y. Οι ταξινοµηµένες οµάδες που µπορούµε να έχουµε είναι: και {x, y} {y, x} Θεωρήστε ταξινοµηµένες οµάδες τριών στοιχείων x, y και z. Υπάρχουν 6 δυνατές περιπτώσεις: {x, y, z},{x, z, y},{y, x, z},{y, z, x},{z, x, y},{z, y, x} Αν είχαµε n στοιχεία ο αριθµός των δυνατών περιπτώσεων θα ήταν n! Υπάρχουν n δυνατές περιπτώσεις να έχουµε ένα συγκεκριµένο στοιχείο στη 1 η θέση, κατόπιν υπάρχουν n-1 περιπτώσεις να έχουµε ένα από τα εναποµείναντα στοιχεία στη 2 η θέση κ.ο.κ. Ο αριθµός αυτός ονοµάζεται αριθµός διευθετήσεων:

11 Διoνυµικός παράγοντας ΦΥΣ Διαλ Θεωρούµε τώρα τον αριθµό των δυνατών περιπτώσεων να έχουµε ταξινοµηµένες οµάδες από k! n στοιχεία από κάποια οµάδα n στοιχείων. Αυτός ο αριθµός είναι ο αριθµός των µεταθέσεων P(n, k). Δείχνει τον αριθµό των ανταλλαγών/µεταθέσεων των n στοιχείων όταν πέρνουµε k κάθε φορά. Έστω ότι έχουµε 4 στοιχεία και πέρνουµε 2 κάθε φορά. Εποµένως έχουµε υπο-οµάδες δυο στοιχείων και το παρακάτω σχήµα δείχνει το «δένδρο» των αποφάσεων Κάθε διαδροµή αντιστοιχεί σε µια ταξινοµηµένη οµάδα. Εποµένως P(4,2) = 12 Αν θέλαµε τον αριθµό των ταξινοµηµένων περιπτώσεων 3 στοιχείων τα οποία πέρνουµε από ένα σύνολο 4 στοιχείων, τότε θα είχαµε: Εποµένως P(4, 3) = 24 Γενικά: P(n,k) = n! n "1 ( )! ( n " 2)!!! ( n " k +1)! P(n, k) = n! ( n " k)!

12 Διoνυµικός παράγοντας ΦΥΣ Διαλ Θεωρούµε τώρα τον αριθµό των δυνατών µεταθέσεων σε οµάδες µη ταξινοµηµένες. Συνδυασµοί είναι οι αριθµοί των διευθετήσεων των στοιχείων χωρίς να λαµβάνουµε υπόψην κάποια συγκεκριµένη σειρά ή θέση. π.χ. για 2 στοιχεία x, y, υπάρχει µόνο 1 οµάδα: {x,y} Ο αριθµός των υπο-οµάδων µεγέθους k στοιχείων που λαµβάνονται από n στοιχεία συµβολίζεται µε. Προφανώς C(n, k) C(n,n) = 1 Για παράδειγµα, ο αριθµός των µη ταξινοµηµένων οµάδων 2 στοιχείων τα οποία λαµβάνονται από ένα σύνολο 4 στοιχείων {x,y,z,w} είναι: {x, y},{x,z},{x,w},{y,z},{y,w},{z,w}! C 4,2 ( ) = 6 Για να βρούµε το τύπο που δίνει τον αριθµό των δυνατών συνδυασµών, θεωρούµε και πάλι το προβληµα εύρεσης του αριθµού των δυνατών ταξινοµηµένων οµάδων µε k στοιχεία τα οποία λαµβάνονται από n-στοιχεία. (α) Δηµιουργούµε όλες τις µη ταξινοµηµένες οµάδες µεγέθους k (β) Ταξινοµούµε τα στοιχεία σε κάθε συνδυασµό που βρήκαµε στο (α) Απο το προηγούµενο παράδειγµα: Η ταξινόµηση τώρα είναι απλή: {x, y},{x, z},{x, w},{y, z},{y, w},{z, w} {y, x},{z, x},{w, x},{z, y},{w, y},{w,z} {x, y},{x, z},{x, w},{y, z},{y, w},{z, w} Εποµένως: P(4,2) = 2! C( 4,2)

13 Διoνυµικός παράγοντας ΦΥΣ Διαλ Σαν ένα ακόµα παράδειγµα, θεωρείστε όλες τις υπο-οµάδες 3 στοιχείων που λαµβάνονται από 4 στοιχεία {x,y,z,w} {x, y,z},{x, y,w},{x,z,w},{y,z,w} Υπάρχουν 6 δυνατοί τρόποι να ταξινοµήσουµε κάθε µια από τις 4 υπο-οµάδες: {x, y, z},{x, z, y},{y, x, z},{z, x, y},{y, z, x},{z, y, x} Εποµένως: P(4,3) = 6! C( 4,3) Δείχνουµε λοιπόν µε το τρόπο αυτό ότι: Από τη παραπάνω σχέση καταλήγουµε ότι: ( ) = P( n, k) P( k, k) = n! C n, k P(n,k) = P( k,k)! C( n,k) k! ( n! k)!

14 ΦΥΣ Διαλ Παραδείγµατα 1. Η πιθανότητα να τραβήξουµε 3 συγκεκριµένα χαρτιά απο µια τράπουλα 52 χαρτιών Το πλήθος των δυνατών 3-συγκεκριµένων καρτών βρίσκεται αν χωρίσουµε την τράπουλα σε 2 υπο-οµάδες των 3 και 52-3=49 καρτών. Οπότε το πλήθος θα είναι:! = 49 C 3 = 52! 3!49! Κάθε περίπτωση έχει εκ των προτέρων πιθανότητα: p = 1! = 3! " 49! 52! = 6 52 " 51" 50 = 4.5 " 10#5 2. Έχουµε µια τράπουλα 52 χαρτιών. Ποια η πιθανότητα τραβώντας µια κάρτα να πάρουµε είτε άσο ή σπαθί; Γενική εφαρµογή του Or θα δώσει: P(άσο OR σπαθί) = P(άσο 52)+P(σπαθί 52)-P(άσο. σπαθί 52) = ! 1 52 = Ποια η πιθανότητα ρίχνοντας 2 ζάρια να πάρουµε το ένα να δείχνει 3; Η πιθανότητα να πάρουµε 3 ρίχνοντας ένα ζάρι είναι 1/6. Η πιθανότητα να πάρουµε µια οποιαδήποτε άλλη πλευρά είναι 5/6. Εποµένως η πιθανότητα να πάρουµε µια οποιαδήποτε πλευρά ρίχνοντας 2 ζάρια θα είναι 5/6 x 5/6 = 25/36. Άρα η πιθανότητα να πάρουµε 3 τουλάχιστον από ένα ζάρι θα είναι 1-25/36 = 11/36

15 Απόδοση τιµών στις πιθανότητες ΦΥΣ Διαλ (Γ) Χρησιµοποίηση επιπλέον πληροφορίας Θεώρηµα Bayes H πιθανότητα που δίνουµε σε κάποια υπόθεση εξαρτάται από τη πληροφορία που έχουµε. Όταν περισσότερη πληροφορία γίνεται προσβάσιµη οπότε η ολική πληροφορία είναι Ε. Ι τότε η πιθανότητα θα αλλάξει. Η διαφορά στη τιµή της πιθανότητας πριν και µετά την απόκτηση επιπλέον πληροφορίας αποτελεί το θεώρηµα Bayes: P( A E I ) = P A I ( ) P( E A I ) P( E I ) Παράδειγµα: Υπόθεση, A: υπάρχει ζωή στον Άρη Πληροφορία, I: γενικά γνωστά στοιχεία για τον Άρη Επιπλέον πληροφορία Ε: υπάρχει νερό στον Άρη Πιθανότητες: P(A I): πιθανότητα ζωής στον Άρη δεδοµένης της Ι P(A Ε. I): πιθανότητα ζωής στον Άρη δεδοµένης επίσης της Ε ότι υπάρχει νερό P(Ε Α. I): πιθανότητα ύπαρξης νερού στον Άρη δεδοµένου ότι υπάρχει ζωή P(Ε I): πιθανότητα ύπαρξης νερού στον Άρη δεδοµένης της Ι ( ) = 1 P E A I Από τη στιγµή που η ζωή όπως τη ξέρουµε απαιτεί νερό Από τη στιγµή που πληροφορία Ι δεν είναι αρκετή να εξασφαλίζει νερό, Από το θεώρηµα Bayes: P( A E I ) = P( E A I ) 1 = ( ) P A I ( ) P E I ( ) > 1 P E I P( E I ) < 1

16 ΦΥΣ Διαλ Θεώρηµα Bayes Conditional Probability Έστω Α 1, Α 2, Α 3,...,Α n ένα σύνολο από n αποκλειστικές (µη αλληλεπικαλύψιµες) υποθέσεις οι οποίες όλες µαζί περιγράφουν ένα σύνολο S. Έστω Ε είναι µια υπόθεση από το σύνολο S η οποία έχει πιθανότητα P(E S)>0. Τότε η πιθανότητα P(A k E) δίνεται από: Αλλά: P( A k E S) = P( A k E S) ( ) + P( A 2 E S) +!+ P( A n E S) P A 1 E S P( A k E S) = P( A k S)P( E A k S) P( A k E S) = Παράδειγµα: P( A 1 S)P E A 1 S ( ) + P A 2 S Θεώρηµα Bayes και εποµένως µπορούµε να γράψουµε: P( A k S)P( E A k S) ( )P( E A 2 S) +!+ P( A n S)P E A n S ( ) Έστω η Μαρία ετοιµάζει το ψήσιµο του οβελία για το πάσχα στην ύπαιθρο. Τα τελευταία χρόνια βρέχει πολύ σπάνια, µόνο 5 µέρες το χρόνο. Ο µετερεωλόγος δυστυχώς έχει προβλέψει βροχή για το πάσχα. Όταν βρέχει, ο µετερεωλόγος προβλέπει ότι θα βρέξει µε επιτυχία 90%. Όταν δεν βρέχει, ο µετερεωλόγος προβλέπει 10% πιθανότητα βροχής. Ποια η πιθανότητα να βρέξει το πάσχα?

17 ΦΥΣ Διαλ Bayes θεώρηµα Στο συγκεκριµένο παράδειγµα, το σύνολο των δυνατών καταστάσεων προσδιορίζεται από 2 αµοιβαίως µη αλληλεπικαλυπτόµενες καταστάσεις, να βρέξει ή να µη βρέξει. Υπάρχει µια επιπλέον περίπτωση, αυτή που καθορίζεται από την πρόβλεψη του µετερεωλόγου για βροχή. Θα έχουµε: A 1 : Θα βρέξει τη µέρα του Πάσχα A 2 : Δε θα βρέξει τη µέρα του Πάσχα Ε: Ο µετερεωλόγος προβλέπει βροχή Με βάση τις πιθανότητες θα έχουµε: ( ) = 5 / 365 = βρέχει 5 µέρες το χρόνο ( ) = 360 / 365 = Δεν βρέχει 360 µέρες το χρόνο ( ) = 0.90 Όταν βρέχει, ο µετερεωλόγος προβλέπει βροχή 90% ( ) = 0.10 Όταν δεν βρέχει, υπάρχει πρόβλεψη για βροχή 10% P A 1 P A 2 P E A 1 P E A 2 Από το θεώρηµα Bayes έχουµε: P( A 1 E) = P( A 1 )P( E A 1 ) ( )P E A 2 P( A 1 )P( E A 1 ) + P A 2 ( ) = 0.014! ! ! 0.1 = 0.111

18 ΦΥΣ Διαλ Θεώρηµα Bayes παράδειγµα Δίνονται 2 συρτάρια (Α,Β) στα οποία περιέχονται 2 χρυσά νοµίσµατα στο ένα συρτάρι ενώ στο άλλο συρτάρι υπάρχουν 1 χρυσό και 1 ασηµένιο νόµισµα. Ωστόσο δεν µπορείτε να δείτε το περιεχόµενο των συρταριών. Αν κάποιος τραβήξει τυχαία ένα νόµισµα από το συρτάρι Α και αυτό είναι χρυσό, ποια η πιθανότητα το συρτάρι αυτό περιέχει ακόµα ένα χρυσό νόµισµα; Γεγονός Περιγραφή Α 1 Το συρτάρι Α έχει 2 χρυσά νοµίσµατα 0.5 Β Β Α 1 P( A!) = Επιλογή ενός χρυσού νοµίσµατος από τα 4 νοµίσµατα Πιθανότητα να διαλέξουµε 1 χρυσό νόµισµα όταν το συρτάρι έχει 2 χρυσά νοµίσµατα P( A 1 )P( B A 1 ) ( )P B A 2 P( A 1 )P( B A 1 ) + P A 2 ( ) = 0.5 "1 Πιθανότητα " " 0.5 = 2 3 = 0.666

19 Αναµενόµενη τιµή ΦΥΣ Διαλ Ορισµός Η πυκνότητα πιθανότητας, PD, εκφράζει τα πάντα τα οποία χρειάζεται να γνωρίζουµε σχετικά µε την σχετιζόµενη τυχαία µεταβλητή Αλλα η PD µπορεί να χαρακτηριστεί απλά από 2 ιδιότητές της: τη µέση τιµή και τη διασπορά της Οι δυο αυτές χαρακτηριστικές της PD είναι ειδικές περιπτώσεις της γενικότερης έννοιας της αναµενόµενης τιµής Έστω g(x) µια συνάρτηση της τυχαίας µεταβλητής x. Η αναµενόµενη τιµή της g(x) δίνεται g( x) = # % $ % &! i " p( x i )g( x i ) f ( x)g( x)dx αν η Χ είναι διακριτή αν η Χ είναι συνεχής Η αναµενόµενη τιµή της g(x) συµπίπτει µε τη µέσο όρο µεγάλου αριθµού παρατηρήσεων της g(x) Κανόνες Μερικοί απλοί αλλά σηµαντικοί κανόνες ( x) + g 2 ( x) = g 1 ( x) + g 2 ( x) g 1 Αν α είναι σταθερά ανεξάρτητη του Χ τότε: a = a και ag( x) = a g( x)

20 Αναµενόµενη τιµή ΦΥΣ Διαλ Μέση τιµή Η µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Χ είναι εξ ορισµού η αναµενόµενη τιµή της x = # % $ % &! i " p( x i ) x i dxf ( x) x αν η Χ είναι διακριτή αν η Χ είναι συνεχής Η µέση τιµή συµπίπτει µε το µέσο όρο για µεγάλες τιµές παρατηρήσεων της x Παραδείγµατα 1. Μέση τιµή µια διακριτής µεταβλητής Έστω Χ το αποτέλεσµα της ρίψης ενός ζαριού. Η Χ πέρνει τιµές x i =1,2,3...,6 µε πιθανότητα p(x i )=1/6. Η µέση τιµή (ή αναµενόµενη τιµή) της x είναι: 6 x =! p( x i ) x i = p! x i = = 7 i=1 i= Μέση τιµή µιας συνεχούς µεταβλητής Έστω Χ µια συνεχής µεταβλητή που επιλέγεται τυχαία στο διάστηµα [1,6] Η Χ έχει τότε PDF: & 1 f ( x) = 5 1! x! 6 " ( ' Εποµένως η µέση τιµή θα είναι: x = ( # f ( x) x dx = 1 ) 0 "##$% 5!" x = 7 2

21 Διασπορά και τυπική απόκλιση Η διασπορά V[x] µιας τυχαίας µεταβλητής Χ είναι η αναµενόµενη τιµή του τετραγώνου της απόκλισής της από τη µέση τιµή: V [ x] = $ & % & ' " i # p( x i )(!x i ) 2 f ( x)dx (!x) 2 όπου Δx i =x i - <x> όπου Δx=x - <x> Μπορούµε να γράψουµε ακόµα: V [ x] = x 2! x 2 και x διακριτή και x συνεχής ΦΥΣ Διαλ Η τυπική απόκλιση µια τυχαίας µεταβλητής Χ είναι η τετραγωνική ρίζα της διασποράς της! x ( ) = V [ x]

22 H Διoνυµική κατανοµή ΦΥΣ Διαλ Έστω ότι ρίχνουµε ένα κέρµα Ν φορές. Ποια η πιθανότητα να πάρουµε m φορές τη µια όψη του? H πιθανότητα αυτή δίνεται από τη διoνυµική κατανοµή η οποία λέει ότι: Αν µια προσπάθεια η οποία δίνει επιτυχία µε πιθανότητα p, τεθεί σε δοκιµή Ν φορές, η πιθανότητα p(m) να βρούµε ακριβώς m επιτυχίες δίνεται από τη σχέση: p( m) = N C m p m ( 1! p) ( N! m) µ" N C m = N! m! ( N! m)! Κάλπικο νόµισµα Κανονικό νόµισµα

23 Ιδιότητες της διoνυµικής κατανοµής ΦΥΣ Διαλ µέση τιµή: διασπορά: m! V m N " m=0 mp( m) = Np N [ ]! "m 2! ( m # m ) 2 p( m) = Np $ q m=0 τυπική απόκλιση:! " V [ m] = Npq Η διoνυµική κατανοµή προσδιορίζεται από δυο παραµέτρους Ν και p. Η µέση τιµή αυξάνει γραµµικά µε τον αριθµό των προσπαθειών ενώ η τυπική απόκλιση µόνο συναρτήσει της τετραγωνικής ρίζας Ν

24 Παράδειγµα τυχαίος περίπατος ΦΥΣ Διαλ Ένας µεθυσµένος κινείται από στύλο σε στύλο καθώς προσπαθεί να γυρίσει στο σπίτι του. Σε κάθε κολόνα σταµατά για λίγο και συνεχίζει. Κάθε φορά που σταµατά µπορεί να κινηθεί εξίσου προς ή µακριά από το σπίτι του. Αν οι κολόνες απέχουν απόσταση α ποια είναι η µέση τιµή και η απόκλιση της µετατόπισής του d από το σηµείο εκκίνησής του µετά από Ν βήµατα; Έστω n R o αριθµός των βηµάτων προς το σπίτι του και n L o αριθµός των βηµάτων στη λάθος κατεύθυνση: n L =N-n R H µετατόπισή του d από το σηµείο εκκίνησης είναι: d = ( n R! n L )a = ( 2n R! N )a Θεωρούµε σα προσπάθεια ένα βήµα, ενώ σαν επιτυχία ένα βήµα το σπίτι του Εποµένως n R είναι κατανεµηµένη διονυµικά µε πιθανότητα p=1/2 Η µέση τιµή και διασπορά της n R είναι: n R = Np = N 2 και V n R [ ] = [!n R ] 2 = Npq = N 4 Η µέση τιµή της µετατόπισης είναι: d = a[ 2n R! N ] = a( 2 n R! N ) = a( N! N ) = 0 Η διασπορά της µετατόπισης είναι:!d 2 = d " d ( )!d 2 = # $ a 2n R " N " 2 n R + N % & 2 = # $ 2a n R " n R ( ) 2 = # a( 2n R " N " 2n R " N ) ( ) % & 2 $ = [ 2a!n R ] 2 = 4a 2 2!n R Αλλά V n R [ ] =!n R [ ] 2 οπότε!d 2 = 4a 2 V n R [ ] " V d [ ] = 4a 2 V n R [ ]! V d [ ] = 4a 2 N 4 = a2 N % & 2

25 Κατανοµή Poisson ΦΥΣ Διαλ Η κατανοµή Poisson είναι ειδική περίπτωση της διoνυµικής κατανοµής όταν: Η πιθανότητα, p, µιας προσπάθειας να δώσει επιτυχία είναι µικρή (πηγαίνει στο 0) Ο αριθµός των προσπαθειών είναι µεγάλος (πηγαίνει στο άπειρο) Ο µέσος αριθµός επιτυχιών, Νp, είναι συγκεκριµένος αριθµός (δεν πηγαίνει στο 0 ή στο άπειρο) Για την διoνυµική κατανοµή µπορούµε να γράψουµε: p! 0, N! " ενώ Νp δεν είναι 0 ή άπειρο m p( m) m = e! m m! Poisson κατανοµή Ιδιότητες της κατανοµής Poisson: Στο Poisson όριο της διoνυµικής κατανοµής, η τυπική απόκλιση δίνεται από! [ m] = Npq = Np( 1 " p)! Np = m Εποµένως η Poisson κατανοµή προδιορίζεται από την <m>

26 Παραδείγµατα ΦΥΣ Διαλ Κατά τη διάρκεια µιας βροχής µετεωριτών, παρατηρούµε ότι µετεωρίτες πέφτουν µε ρυθµό 12.2/h. Υπολογίστε τη πιθανότητα να παρατηρήσετε λιγότερο από 2 σε 0.5h m p( m) m = e! m m! όπου <m> = 6.1/(0.5h) Η πιθανότητα να ανιχνεύσουµε < 2 είναι: p( m < 2) = p( m = 0) + p( m = 1) = e! m 1 + m ( ) = 0.016

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 5 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές Bayesian decision Minimum misclassificaxon rate decision: διαλέγουμε την κατηγορία Ck για

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

(REASONING WITH UNCERTAINTY)

(REASONING WITH UNCERTAINTY) ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ REASONING WITH UNCERTAINTY Ακριβής και πλήρης γνώση δεν είναι πάντα δυνατή Οι εµπειρογνώµονες πολλές φορές παίρνουν αποφάσεις από αβέβαια, ηµιτελή ή και αλληλοσυγκρουόµενα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ. ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ. Πύλες - Άλγεβρα Boole 1

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ. ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ. Πύλες - Άλγεβρα Boole 1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ Πύλες - Άλγεβρα Boole 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α)Ηλεκτρονικά κυκλώµατα Αναλογικά κυκλώµατα Ψηφιακά κυκλώµατα ( δίτιµα ) V V 2 1 V 1 0 t t Θετική λογική: Ο V 1 µε V 1 =

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17)

Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17) Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε Άπληστους Αλγόριθµους Στοιχεία άπληστων αλγορίθµων Το πρόβληµα επιλογής εργασιών ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο.

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο. Κεφάλαιο T2 Κύµατα Είδη κυµάτων Παραδείγµατα Ένα βότσαλο πέφτει στην επιφάνεια του νερού. Κυκλικά κύµατα ξεκινούν από το σηµείο που έπεσε το βότσαλο και αποµακρύνονται από αυτό. Ένα σώµα που επιπλέει στην

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναγνώριση Προτύπων Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Χριστόδουλος Χαμζάς Τα περιεχόμενο της παρουσίασης βασίζεται στο βιβλίο: Introduction to Pattern Recognition A Matlab Approach, S. Theodoridis,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣ 114 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ Φθινόπωρο 2014 Διδάσκων/Υπεύθυνος: Φώτης Πτωχός e-mail: fotis@ucy.ac.cy Τηλ: 22.89.2837 Γραφείο: B235 web-page: http://www2.ucy.ac.cy/~fotis/phy114/phy114.htm ΦΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα

Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 1 Ο Ρωμαίο (m R =77kg) διασκεδάζει την Ιουλιέτα (m I =55kg) παίζοντας την κιθάρα του καθισμένος στην πρύμνη της βάρκας τους (μήκους.7 m) που είναι ακίνητη στα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Σημειώσεις μαθήματος Thomas Bayes (1701 1761) Στυλιανός Χατζηδάκης ECE 662 Άνοιξη 2014 1. Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές βασίζονται στο μάθημα ECE662 του Πανεπιστημίου Purdue και

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών . Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών - Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβητής. Θα ήταν αρκετά χρήσιμο να γνωρίζουμε γύρω από ποια τιμή «κυμαίνεται» η τ.μ. Χ. γύρω από την οποία «απώνεται»

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim Κεϕάλαιο 2 Πιθανότητες και Τυχαίες Μεταβλητές Μπορούµε να καταλάβουµε την έννοια της πιθανότητας από τη σχετική συχνότητα εµϕάνισης n i κάποιας τιµής x i µιας διακριτής τ.µ. X. Αν είχαµε τη δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Μαρκοβιανές Αλυσίδες

Μαρκοβιανές Αλυσίδες Μαρκοβιανές Αλυσίδες { θ * } Στοχαστική Ανέλιξη είναι μια συλλογή τ.μ. Ο χώρος Τ (συνήθως είναι χρόνος) μπορεί να είναι είτε διακριτός είτε συνεχής και καλείται παραμετρικός χώρος. Το σύνολο των δυνατών

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα σχέσεων διασποράς Παραπάνω, φαίνεται η απόκριση ενός διηλεκτρικού µέσου σε

Παραδείγµατα σχέσεων διασποράς Παραπάνω, φαίνεται η απόκριση ενός διηλεκτρικού µέσου σε Παραδείγµατα σχέσεων διασποράς Παραπάνω, φαίνεται η απόκριση ενός διηλεκτρικού µέσου σε ηλεκτροµαγνητικό κύµα κυκλ. Συχνότητας ω. Παρατηρούµε ότι η πολωσιµότητα του µέσου εξαρτάται µε την εκφραση 2.42

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές

Διαβάστε περισσότερα