Αβεβαιότητα ανάγκη για πιθανότητα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αβεβαιότητα ανάγκη για πιθανότητα"

Transcript

1 Αβεβαιότητα ανάγκη για πιθανότητα ΦΥΣ Διαλ.11 1 Ø Καθηµερινά έχουµε να κάνουµε µε αβεβαιότητα αποφάσεις λαµβάνονται απουσία πλήρους πληροφορίας Ø Οι περισσότεροι κλάδοι των επιστηµών «φαίνεται» να µην περιέχουν αβεβαιότητα Ø Ωστόσο συναντούµε αβεβαιότητα ευρέως στις επιστήµες και θα πρέπει να βρούµε τρόπο να την αντιµετωπίσουµε επιστηµονικά Ø Στις πειραµατικές επιστήµες: υπάρχουν πρακτικά όρια στην ακρίβεια των µετρήσεων Μπορούµε να µετρήσουµε µια ποσότητα µε πεπερασµένη ακρίβεια Όπως ξέρουµε το αποτέλεσµα ενός πειράµατος δεν λέει ποτέ ότι µια θεωρία είναι λάθος ή ότι είναι σωστή. Μας δίνει ωστόσο αποδείξεις στηριζόµενοι πάνω τους µπορούµε να έχουµε µια περισσότερο σηµαντική αντίληψη για το τι είναι αληθές. Σηµαντικά στοιχεία στην ανάλυση αυτή είναι ο προσεγµένος υπολογισµός των σφαλµάτων και η χρήση κατάλληλων εργαλείων από τη θεωρία πιθανοτήτων

2 Αβεβαιότητα ανάγκη για πιθανότητα ΦΥΣ Διαλ.11 2 Ø Στις θεωρητικές επιστήµες υπάρχουν θεµελειώδη όρια για το τι µπορούµε να ξέρουµε ή να προβλέψουµε: Σε συστήµατα πολλών σωµάτων: δεν µπορούµε να ξέρουµε π.χ. τι κάνουν όλα τα άτοµα σε ένα τµήµα ύλης γιατί η γνώση εµπεριέχει πολύ περισσότερη λεπτοµέρεια από αυτή µπορούµε να συλλέξουµε Ο αριθµός των µορίων νερού που βρίσκονται σε ένα ποτήρι είναι τόσο τεράστιος που πρακτικά είναι αδύνατο να προβλέψουµε τι ακριβώς κάνουν: Έχει νόηµα να πούµε ποια η ταχύτητα του ου µορίου; Ωστόσο µπορούµε να ρωτήσουµε πόσο πιθανό είναι ένα µόριο να κινείται µε ταχύτητα µεγαλύτερη από 200m/s Μη γραµµικά συστήµατα: δεν µπορούµε να προβλέψουµε τη µελλοντική κατάσταση ενός συστήµατος το οποίο κινείται κάτω από µη γραµµικές δυνάµεις γιατί η µελοντική τους κατάσταση επιρεάζεται από την γνώση της παρούσας κατάστασής τους. H κίνηση ενός εκκρεµούς το άκρο του οποίου δεν είναι ακλόνητο αλλά κινείται εξαιτίας µιας περιοδικής δύναµης. Εξάρτηση από τη συχνότητα της δύναµης, συντονισµός. Δεν έχει νόηµα να ρωτήσουµε που θα βρίσκεται η µάζα µετά από 10 ταλαντώσεις αλλά µπορούµε να αναρωτηθούµε ποια θα είναι η πιο πιθανή της θέση Κβαντοµηχανικά συστήµατα: δεν ξέρουµε τη διαδροµή που ακολούθησε ακόµα και ένα µόνο ηλεκτρόνιο γιατί εξαιτίας της αρχής της αβεβαιότητας δεν είναι εν γένει γνωστή.

3 Η σηµασία της πιθανότητας Η έννοια χρησιµοποιείται ευρέως Δυο «σχολές» για τον ορισµό πιθανότητας: (Α) Συχνότητας (frequentist) ή εµπειρική: πιθανότητα κάποια δήλωση είναι αληθής: όπου ο παρονοµαστής είναι µεγάλος Ν# η δήλωση είναι αληθής ΦΥΣ Διαλ.11 3 Ν# θα µπορούσε να είναι αληθής (Β) Bayesian: πιθανότητα κάποια δήλωση είναι αληθής = O βαθµός της ορθολογικής πίστης ότι είναι αληθής Λίγο αόριστος και υποκειµενικός ορισµός αλλά πολύ ευρής για να καλύπτει όλες τις περιπτώσεις

4 Συµβολισµός και σηµειογραφία ΦΥΣ Διαλ.11 4 Εν γένει προσπαθούµε να αποδόσουµε µια πιθανότητα σε κάποια «δήλωση» ενώ δίνεται κάποια άλλη «δήλωση» Η δήλωση εκφράζει το ρόλο της πιθανότητας σα προέκταση των κανόνων της λογικής στη περιοχή που βρίσκεται µεταξύ των δυο άκρων: του αληθές και ψευδούς Η δήλωση που δίνεται ονοµάζεται πληροφορία, Ι, ενώ η δήλωση της οποίας ελέγχεται η πιθανότητα ονοµάζεται υπόθεση, Α. Παραδείγµατα: I: Διάλεξα ένα χαρτί από την τράπουλα Α: Το χαρτί αυτό θα είναι ο άσσος σπαθί I: Αγόρασα ένα λαχείο Α: Θα κερδίσω το λαχείο αυτή την εβδοµάδα Αλλά έλειπαν 14 χαρτιά Πριν 2 εβδοµάδες Ø Η πιθανότητα της Α εξαρτάται από την πληροφορία, Ι Ø Η πιθανότητα της υπόθεσης Α δεδοµένης της πληροφορίας, Ι, συµβολίζεται: P(A I) u Το κατά πόσο αληθής είναι η πληροφορία Ι είναι άσχετο µε τη τιµή της P(A I)

5 Κανόνες πιθανοτήτων ΦΥΣ Διαλ.11 5 Οι δυο ορισµοί πιθανοτήτων (frequentist, Bayesian) υπάγονται στους ίδιους κανόνες (Α) Διάστηµα τιµών Η πιθανότητα βρίσκεται πάντοτε στο διάστηµα 0! P(A I)! 1 P(A I)=1 δηλώνει βεβαιότητα ότι η υπόθεση Α είναι αληθής (Β) AND συνδυασµοί: γενική περίπτωση Θεωρήστε 2 υποθέσεις Α 1 και Α 2 και έστω Α 1. Α2 (ή Α 1 AND A 2 ) η σύνθετη υπόθεση ότι και οι 2 υποθέσεις είναι αληθείς. Προκύπτει ότι: P(A 1 A 2 I) = P(A 2 A 1 I)P(A 1 I) όπου: P(A 2 A 1 I) δηλώνει τη πιθανότητα της Α 2 δεδοµένης της υπόθεσης Α 1. Ι Παράδειγµα Ι: Ένα χαρτί έχει τραβηχτεί από την τράπουλα Α 1 : Το χαρτί είναι άσος Α. Α 2 : Το χαρτί είναι σπαθί 1 Α2 : ο άσος είναι σπαθί (Γ) AND συνδυασµοί αµοιβαίως ανεξάρτητοι µεταξύ τους (mutually independent) (Το αληθές της Α 1 δεν µας λέει τίποτα για το αληθές της Α 2 ) Σε αλγεβρική µορφή: P A 2 A 1 I Τότε προκύπτει ότι: ( ) = P( A 2 I ) και P( A 1 A 2 I ) = P( A 1 I ) ( ) = P( A 1 I )! P( A 2 I ) P A 2 A 1 I

6 Κανόνες πιθανοτήτων ΦΥΣ Διαλ.11 6 (Δ) OR συνδυασµοί: γενική περίπτωση Θεωρήστε 2 υποθέσεις Α 1 και Α 2 και έστω Α 1 OR A 2 η σύνθετη υπόθεση ότι τουλάχιστον η µια από τις 2 υποθέσεις είναι αληθής. Προκύπτει ότι: P( A 1 or A 2 I ) = P( A 1 I ) + P( A 2 I )! P( A 1 A 2 I ) Παράδειγµα: Έστω Ν(Ι) το πλήθος όλων των περιπτώσεων Ι και N(A 1 ), N(A 2 ) και Ν(Α 1. Α 2 ) το πλήθος των N(A 1 ) περιπτώσεων που η Α 1,η Α 2 και οι Α 1 και Α 2 ταυτόχρονα είναι αληθείς αντίστοιχα. Το αποτέλεσµα θα είναι: N(A 1 or A 2 ) = N(A 1 )+N(A 2 )-N(A 1. A 2 ) Προφανώς πρέπει να αφαιρέσουµε το κοινό τµήµα γιατί µετράται δυο φορές. N(I) N(A 1. A 2 ) N(A 2 ) (E) OR συνδυασµοί αµοιβαίως αποκλειστικοί µεταξύ τους (mutually exclusive) (Η Α 1 και Α 2 δεν µπορεί να είναι ταυτόχρονα αληθείς) ( ) = 0 Σε αλγεβρική µορφή: P A 2 A 1 I Προκύπτει ότι: P( A 1 or A 2 I ) = P( A 1 I ) + P( A 2 I )

7 Κανόνες πιθανοτήτων ΦΥΣ Διαλ.11 7 (ΣΤ) Κανονικοποίηση: αποτελέσµατα αµοιβαίως αποκλειστικά και εξαντλητικά: mutually exclusive and exhaustive (ΜΕΕ) Θεωρήστε το σύνολο Ω των υποθέσεων Α 1, Α 2, Α 3,...,Α Ω εκ των οποίων τουλάχιστον µια είναι αληθής. Δηλαδή σε αλγεβρική µορφή: P A 1 or A 2 or A 3 or!a! I ( ) = 1 Παράδειγµα: Ι: ένα χαρτί τραβήχτηκε από µια τράπουλα A 1 : είναι άσος Α 2 : είναι χαρτί φιγούρας Α 3 : είναι κοινό χαρτί Οι υποθέσεις είναι αποκλειστικές µεταξύ τους και καλύπτουν όλο το πλήθος των δυνατών τιµών Προκύπτει ότι για ένα τέτοιο σύνολο ισχύει:! ( ) " P A r I = 1 r =1

8 Απόδοση τιµών στις πιθανότητες ΦΥΣ Διαλ.11 8 (Α) Ίσες εκ των προτέρων πιθανότητες: Έστω ότι η πληροφορία Ι προσδιορίζει ένα πλήθος Ω από ΜΕΕ αποτελέσµατα και δεν µας λέει τίποτα που να προτιµά το ένα αποτέλεσµα σχετικά µε τα άλλα. Τότε στην περίπτωση αυτή της µέγιστης άγνοιας οι πιθανότητες µπορούν να αποδοθούν εκ των προτέρων. Στην περίπτωση αυτή η πιθανότητα που αποδίδεται σε κάθε υπόθεση του Ω είναι: ( ) = 1 " P r! P A r " για όλα τα r Σύµφωνα µε το κανόνα των ΜΕΕ θα έχουµε: 1 = " P r =! # P r r =1 Παράδειγµα 1: Ρίχνουµε ένα νόµισµα Στην περίπτωση αυτή ξέρουµε ότι Ω=2 δυνατά αποτελέσµατα Πρέπει να αποδόσουµε στο καθένα από τα δυνατά αποτελέσµατα την ίδια πιθανότητα: p = P r = 1/Ω = 1/2 Παράδειγµα 2: Ένα αέριο αφήνεται να έρθει σε ισορροπία σε αποµονωµένο δοχείο Η κβαντοµηχανική µας λέει ότι µπορεί να βρεθεί σε µια οποιαδήποτε µικροσκοπική κατάσταση από ένα σύνολο Ω δυνατών καταστάσεων. Πρέπει να αποδόσουµε σε κάθε µια από τις καταστάσεις αυτές την πιθανότητα 1/Ω Αυτό αποτελεί το θεµελειώδη λίθο της στατιστικής φυσικής και εποµένως το πως κατανοούµε τη συµπυκνωµένη ύλη!

9 Απόδοση τιµών στις πιθανότητες ΦΥΣ Διαλ.11 9 (Β) Επιχειρήµατα ανάλογα µε τους δυνατούς τρόπους Υποθέτουµε ότι ένα αποτέλεσµα Α µπορεί να ληφθεί µε W δυνατούς τρόπους Α 1,Α 2,Α W που αποτελούν µέλη µιας µεγαλύτερης οµάδας Α 1,Α 2,...,Α Ω που είναι ΜΕΕ δεδοµένης της πληροφορίας Ι. Τότε αν δεν υπάρχει οποιαδήποτε επιπλέον πληροφορία P( A W,!) = W! Παράδειγµα: Ρίχνουµε 2 ζάρια: Ποια η πιθανότητα το άθροισµα τους να δώσει 7 Στη περίπτωση αυτή η πληροφορία Ι είναι η ρίψη των 2 ζαριών Το αποτέλεσµα που θα πρέπει να ελέγξουµε είναι A: το άθροισµά τους να είναι 7 Υπάρχουν συνολικά Ω=6x6=36 δυνατά αποτελέσµατα Καθένα από αυτά πρέπει να του αποδοθεί η ίδια πιθανότητα: P r = 1/Ω = 1/36 Συνολικό score 7 µπορούν να δώσουν οι συνδυασµοί: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) δηλαδή W = 6. Εποµένως η πιθανότητα να πάρουµε άθροισµα 7 θα είναι: P( 7 6,36) = W! = 6 36 =

10 Διoνυµικός παράγοντας ΦΥΣ Διαλ.11 10! Εφαρµογή στα προηγούµενα βρίσκει ο διoνυµικός N N $ C m = παράγοντας που δίνει: " # m % & = N! m! ( N ' m)! (α) το πλήθος των διαφορετικών τρόπων µια οµάδα από Ν ξεχωριστά µεταξύ τους αντικείµενα µπορούν να χωριστούν σε 2 υπο-οµάδες από m και Ν-m αντικείµενα (β) τον αριθµό των διαφορετικών δυνατών ακολουθιών Ν αντικειµένων που φτιάχνουν δυο υπο-οµάδες από m µη διαχωρίσηµα και Ν-m µη διαχωρήσιµα µεταξύ τους αντικειµένων. Ας θεωρήσουµε αρχικά ταξινοµηµένες οµάδες Έχουµε 2 στοιχεία x και y. Οι ταξινοµηµένες οµάδες που µπορούµε να έχουµε είναι: και {x, y} {y, x} Θεωρήστε ταξινοµηµένες οµάδες τριών στοιχείων x, y και z. Υπάρχουν 6 δυνατές περιπτώσεις: {x, y, z},{x, z, y},{y, x, z},{y, z, x},{z, x, y},{z, y, x} Αν είχαµε n στοιχεία ο αριθµός των δυνατών περιπτώσεων θα ήταν n! Υπάρχουν n δυνατές περιπτώσεις να έχουµε ένα συγκεκριµένο στοιχείο στη 1 η θέση, κατόπιν υπάρχουν n-1 περιπτώσεις να έχουµε ένα από τα εναποµείναντα στοιχεία στη 2 η θέση κ.ο.κ. Ο αριθµός αυτός ονοµάζεται αριθµός διευθετήσεων:

11 Διoνυµικός παράγοντας ΦΥΣ Διαλ Θεωρούµε τώρα τον αριθµό των δυνατών περιπτώσεων να έχουµε ταξινοµηµένες οµάδες από k! n στοιχεία από κάποια οµάδα n στοιχείων. Αυτός ο αριθµός είναι ο αριθµός των µεταθέσεων P(n, k). Δείχνει τον αριθµό των ανταλλαγών/µεταθέσεων των n στοιχείων όταν πέρνουµε k κάθε φορά. Έστω ότι έχουµε 4 στοιχεία και πέρνουµε 2 κάθε φορά. Εποµένως έχουµε υπο-οµάδες δυο στοιχείων και το παρακάτω σχήµα δείχνει το «δένδρο» των αποφάσεων Κάθε διαδροµή αντιστοιχεί σε µια ταξινοµηµένη οµάδα. Εποµένως P(4,2) = 12 Αν θέλαµε τον αριθµό των ταξινοµηµένων περιπτώσεων 3 στοιχείων τα οποία πέρνουµε από ένα σύνολο 4 στοιχείων, τότε θα είχαµε: Εποµένως P(4, 3) = 24 Γενικά: P(n,k) = n! n "1 ( )! ( n " 2)!!! ( n " k +1)! P(n, k) = n! ( n " k)!

12 Διoνυµικός παράγοντας ΦΥΣ Διαλ Θεωρούµε τώρα τον αριθµό των δυνατών µεταθέσεων σε οµάδες µη ταξινοµηµένες. Συνδυασµοί είναι οι αριθµοί των διευθετήσεων των στοιχείων χωρίς να λαµβάνουµε υπόψην κάποια συγκεκριµένη σειρά ή θέση. π.χ. για 2 στοιχεία x, y, υπάρχει µόνο 1 οµάδα: {x,y} Ο αριθµός των υπο-οµάδων µεγέθους k στοιχείων που λαµβάνονται από n στοιχεία συµβολίζεται µε. Προφανώς C(n, k) C(n,n) = 1 Για παράδειγµα, ο αριθµός των µη ταξινοµηµένων οµάδων 2 στοιχείων τα οποία λαµβάνονται από ένα σύνολο 4 στοιχείων {x,y,z,w} είναι: {x, y},{x,z},{x,w},{y,z},{y,w},{z,w}! C 4,2 ( ) = 6 Για να βρούµε το τύπο που δίνει τον αριθµό των δυνατών συνδυασµών, θεωρούµε και πάλι το προβληµα εύρεσης του αριθµού των δυνατών ταξινοµηµένων οµάδων µε k στοιχεία τα οποία λαµβάνονται από n-στοιχεία. (α) Δηµιουργούµε όλες τις µη ταξινοµηµένες οµάδες µεγέθους k (β) Ταξινοµούµε τα στοιχεία σε κάθε συνδυασµό που βρήκαµε στο (α) Απο το προηγούµενο παράδειγµα: Η ταξινόµηση τώρα είναι απλή: {x, y},{x, z},{x, w},{y, z},{y, w},{z, w} {y, x},{z, x},{w, x},{z, y},{w, y},{w,z} {x, y},{x, z},{x, w},{y, z},{y, w},{z, w} Εποµένως: P(4,2) = 2! C( 4,2)

13 Διoνυµικός παράγοντας ΦΥΣ Διαλ Σαν ένα ακόµα παράδειγµα, θεωρείστε όλες τις υπο-οµάδες 3 στοιχείων που λαµβάνονται από 4 στοιχεία {x,y,z,w} {x, y,z},{x, y,w},{x,z,w},{y,z,w} Υπάρχουν 6 δυνατοί τρόποι να ταξινοµήσουµε κάθε µια από τις 4 υπο-οµάδες: {x, y, z},{x, z, y},{y, x, z},{z, x, y},{y, z, x},{z, y, x} Εποµένως: P(4,3) = 6! C( 4,3) Δείχνουµε λοιπόν µε το τρόπο αυτό ότι: Από τη παραπάνω σχέση καταλήγουµε ότι: ( ) = P( n, k) P( k, k) = n! C n, k P(n,k) = P( k,k)! C( n,k) k! ( n! k)!

14 ΦΥΣ Διαλ Παραδείγµατα 1. Η πιθανότητα να τραβήξουµε 3 συγκεκριµένα χαρτιά απο µια τράπουλα 52 χαρτιών Το πλήθος των δυνατών 3-συγκεκριµένων καρτών βρίσκεται αν χωρίσουµε την τράπουλα σε 2 υπο-οµάδες των 3 και 52-3=49 καρτών. Οπότε το πλήθος θα είναι:! = 49 C 3 = 52! 3!49! Κάθε περίπτωση έχει εκ των προτέρων πιθανότητα: p = 1! = 3! " 49! 52! = 6 52 " 51" 50 = 4.5 " 10#5 2. Έχουµε µια τράπουλα 52 χαρτιών. Ποια η πιθανότητα τραβώντας µια κάρτα να πάρουµε είτε άσο ή σπαθί; Γενική εφαρµογή του Or θα δώσει: P(άσο OR σπαθί) = P(άσο 52)+P(σπαθί 52)-P(άσο. σπαθί 52) = ! 1 52 = Ποια η πιθανότητα ρίχνοντας 2 ζάρια να πάρουµε το ένα να δείχνει 3; Η πιθανότητα να πάρουµε 3 ρίχνοντας ένα ζάρι είναι 1/6. Η πιθανότητα να πάρουµε µια οποιαδήποτε άλλη πλευρά είναι 5/6. Εποµένως η πιθανότητα να πάρουµε µια οποιαδήποτε πλευρά ρίχνοντας 2 ζάρια θα είναι 5/6 x 5/6 = 25/36. Άρα η πιθανότητα να πάρουµε 3 τουλάχιστον από ένα ζάρι θα είναι 1-25/36 = 11/36

15 Απόδοση τιµών στις πιθανότητες ΦΥΣ Διαλ (Γ) Χρησιµοποίηση επιπλέον πληροφορίας Θεώρηµα Bayes H πιθανότητα που δίνουµε σε κάποια υπόθεση εξαρτάται από τη πληροφορία που έχουµε. Όταν περισσότερη πληροφορία γίνεται προσβάσιµη οπότε η ολική πληροφορία είναι Ε. Ι τότε η πιθανότητα θα αλλάξει. Η διαφορά στη τιµή της πιθανότητας πριν και µετά την απόκτηση επιπλέον πληροφορίας αποτελεί το θεώρηµα Bayes: P( A E I ) = P A I ( ) P( E A I ) P( E I ) Παράδειγµα: Υπόθεση, A: υπάρχει ζωή στον Άρη Πληροφορία, I: γενικά γνωστά στοιχεία για τον Άρη Επιπλέον πληροφορία Ε: υπάρχει νερό στον Άρη Πιθανότητες: P(A I): πιθανότητα ζωής στον Άρη δεδοµένης της Ι P(A Ε. I): πιθανότητα ζωής στον Άρη δεδοµένης επίσης της Ε ότι υπάρχει νερό P(Ε Α. I): πιθανότητα ύπαρξης νερού στον Άρη δεδοµένου ότι υπάρχει ζωή P(Ε I): πιθανότητα ύπαρξης νερού στον Άρη δεδοµένης της Ι ( ) = 1 P E A I Από τη στιγµή που η ζωή όπως τη ξέρουµε απαιτεί νερό Από τη στιγµή που πληροφορία Ι δεν είναι αρκετή να εξασφαλίζει νερό, Από το θεώρηµα Bayes: P( A E I ) = P( E A I ) 1 = ( ) P A I ( ) P E I ( ) > 1 P E I P( E I ) < 1

16 ΦΥΣ Διαλ Θεώρηµα Bayes Conditional Probability Έστω Α 1, Α 2, Α 3,...,Α n ένα σύνολο από n αποκλειστικές (µη αλληλεπικαλύψιµες) υποθέσεις οι οποίες όλες µαζί περιγράφουν ένα σύνολο S. Έστω Ε είναι µια υπόθεση από το σύνολο S η οποία έχει πιθανότητα P(E S)>0. Τότε η πιθανότητα P(A k E) δίνεται από: Αλλά: P( A k E S) = P( A k E S) ( ) + P( A 2 E S) +!+ P( A n E S) P A 1 E S P( A k E S) = P( A k S)P( E A k S) P( A k E S) = Παράδειγµα: P( A 1 S)P E A 1 S ( ) + P A 2 S Θεώρηµα Bayes και εποµένως µπορούµε να γράψουµε: P( A k S)P( E A k S) ( )P( E A 2 S) +!+ P( A n S)P E A n S ( ) Έστω η Μαρία ετοιµάζει το ψήσιµο του οβελία για το πάσχα στην ύπαιθρο. Τα τελευταία χρόνια βρέχει πολύ σπάνια, µόνο 5 µέρες το χρόνο. Ο µετερεωλόγος δυστυχώς έχει προβλέψει βροχή για το πάσχα. Όταν βρέχει, ο µετερεωλόγος προβλέπει ότι θα βρέξει µε επιτυχία 90%. Όταν δεν βρέχει, ο µετερεωλόγος προβλέπει 10% πιθανότητα βροχής. Ποια η πιθανότητα να βρέξει το πάσχα?

17 ΦΥΣ Διαλ Bayes θεώρηµα Στο συγκεκριµένο παράδειγµα, το σύνολο των δυνατών καταστάσεων προσδιορίζεται από 2 αµοιβαίως µη αλληλεπικαλυπτόµενες καταστάσεις, να βρέξει ή να µη βρέξει. Υπάρχει µια επιπλέον περίπτωση, αυτή που καθορίζεται από την πρόβλεψη του µετερεωλόγου για βροχή. Θα έχουµε: A 1 : Θα βρέξει τη µέρα του Πάσχα A 2 : Δε θα βρέξει τη µέρα του Πάσχα Ε: Ο µετερεωλόγος προβλέπει βροχή Με βάση τις πιθανότητες θα έχουµε: ( ) = 5 / 365 = βρέχει 5 µέρες το χρόνο ( ) = 360 / 365 = Δεν βρέχει 360 µέρες το χρόνο ( ) = 0.90 Όταν βρέχει, ο µετερεωλόγος προβλέπει βροχή 90% ( ) = 0.10 Όταν δεν βρέχει, υπάρχει πρόβλεψη για βροχή 10% P A 1 P A 2 P E A 1 P E A 2 Από το θεώρηµα Bayes έχουµε: P( A 1 E) = P( A 1 )P( E A 1 ) ( )P E A 2 P( A 1 )P( E A 1 ) + P A 2 ( ) = 0.014! ! ! 0.1 = 0.111

18 ΦΥΣ Διαλ Θεώρηµα Bayes παράδειγµα Δίνονται 2 συρτάρια (Α,Β) στα οποία περιέχονται 2 χρυσά νοµίσµατα στο ένα συρτάρι ενώ στο άλλο συρτάρι υπάρχουν 1 χρυσό και 1 ασηµένιο νόµισµα. Ωστόσο δεν µπορείτε να δείτε το περιεχόµενο των συρταριών. Αν κάποιος τραβήξει τυχαία ένα νόµισµα από το συρτάρι Α και αυτό είναι χρυσό, ποια η πιθανότητα το συρτάρι αυτό περιέχει ακόµα ένα χρυσό νόµισµα; Γεγονός Περιγραφή Α 1 Το συρτάρι Α έχει 2 χρυσά νοµίσµατα 0.5 Β Β Α 1 P( A!) = Επιλογή ενός χρυσού νοµίσµατος από τα 4 νοµίσµατα Πιθανότητα να διαλέξουµε 1 χρυσό νόµισµα όταν το συρτάρι έχει 2 χρυσά νοµίσµατα P( A 1 )P( B A 1 ) ( )P B A 2 P( A 1 )P( B A 1 ) + P A 2 ( ) = 0.5 "1 Πιθανότητα " " 0.5 = 2 3 = 0.666

19 Αναµενόµενη τιµή ΦΥΣ Διαλ Ορισµός Η πυκνότητα πιθανότητας, PD, εκφράζει τα πάντα τα οποία χρειάζεται να γνωρίζουµε σχετικά µε την σχετιζόµενη τυχαία µεταβλητή Αλλα η PD µπορεί να χαρακτηριστεί απλά από 2 ιδιότητές της: τη µέση τιµή και τη διασπορά της Οι δυο αυτές χαρακτηριστικές της PD είναι ειδικές περιπτώσεις της γενικότερης έννοιας της αναµενόµενης τιµής Έστω g(x) µια συνάρτηση της τυχαίας µεταβλητής x. Η αναµενόµενη τιµή της g(x) δίνεται g( x) = # % $ % &! i " p( x i )g( x i ) f ( x)g( x)dx αν η Χ είναι διακριτή αν η Χ είναι συνεχής Η αναµενόµενη τιµή της g(x) συµπίπτει µε τη µέσο όρο µεγάλου αριθµού παρατηρήσεων της g(x) Κανόνες Μερικοί απλοί αλλά σηµαντικοί κανόνες ( x) + g 2 ( x) = g 1 ( x) + g 2 ( x) g 1 Αν α είναι σταθερά ανεξάρτητη του Χ τότε: a = a και ag( x) = a g( x)

20 Αναµενόµενη τιµή ΦΥΣ Διαλ Μέση τιµή Η µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Χ είναι εξ ορισµού η αναµενόµενη τιµή της x = # % $ % &! i " p( x i ) x i dxf ( x) x αν η Χ είναι διακριτή αν η Χ είναι συνεχής Η µέση τιµή συµπίπτει µε το µέσο όρο για µεγάλες τιµές παρατηρήσεων της x Παραδείγµατα 1. Μέση τιµή µια διακριτής µεταβλητής Έστω Χ το αποτέλεσµα της ρίψης ενός ζαριού. Η Χ πέρνει τιµές x i =1,2,3...,6 µε πιθανότητα p(x i )=1/6. Η µέση τιµή (ή αναµενόµενη τιµή) της x είναι: 6 x =! p( x i ) x i = p! x i = = 7 i=1 i= Μέση τιµή µιας συνεχούς µεταβλητής Έστω Χ µια συνεχής µεταβλητή που επιλέγεται τυχαία στο διάστηµα [1,6] Η Χ έχει τότε PDF: & 1 f ( x) = 5 1! x! 6 " ( ' Εποµένως η µέση τιµή θα είναι: x = ( # f ( x) x dx = 1 ) 0 "##$% 5!" x = 7 2

21 Διασπορά και τυπική απόκλιση Η διασπορά V[x] µιας τυχαίας µεταβλητής Χ είναι η αναµενόµενη τιµή του τετραγώνου της απόκλισής της από τη µέση τιµή: V [ x] = $ & % & ' " i # p( x i )(!x i ) 2 f ( x)dx (!x) 2 όπου Δx i =x i - <x> όπου Δx=x - <x> Μπορούµε να γράψουµε ακόµα: V [ x] = x 2! x 2 και x διακριτή και x συνεχής ΦΥΣ Διαλ Η τυπική απόκλιση µια τυχαίας µεταβλητής Χ είναι η τετραγωνική ρίζα της διασποράς της! x ( ) = V [ x]

22 H Διoνυµική κατανοµή ΦΥΣ Διαλ Έστω ότι ρίχνουµε ένα κέρµα Ν φορές. Ποια η πιθανότητα να πάρουµε m φορές τη µια όψη του? H πιθανότητα αυτή δίνεται από τη διoνυµική κατανοµή η οποία λέει ότι: Αν µια προσπάθεια η οποία δίνει επιτυχία µε πιθανότητα p, τεθεί σε δοκιµή Ν φορές, η πιθανότητα p(m) να βρούµε ακριβώς m επιτυχίες δίνεται από τη σχέση: p( m) = N C m p m ( 1! p) ( N! m) µ" N C m = N! m! ( N! m)! Κάλπικο νόµισµα Κανονικό νόµισµα

23 Ιδιότητες της διoνυµικής κατανοµής ΦΥΣ Διαλ µέση τιµή: διασπορά: m! V m N " m=0 mp( m) = Np N [ ]! "m 2! ( m # m ) 2 p( m) = Np $ q m=0 τυπική απόκλιση:! " V [ m] = Npq Η διoνυµική κατανοµή προσδιορίζεται από δυο παραµέτρους Ν και p. Η µέση τιµή αυξάνει γραµµικά µε τον αριθµό των προσπαθειών ενώ η τυπική απόκλιση µόνο συναρτήσει της τετραγωνικής ρίζας Ν

24 Παράδειγµα τυχαίος περίπατος ΦΥΣ Διαλ Ένας µεθυσµένος κινείται από στύλο σε στύλο καθώς προσπαθεί να γυρίσει στο σπίτι του. Σε κάθε κολόνα σταµατά για λίγο και συνεχίζει. Κάθε φορά που σταµατά µπορεί να κινηθεί εξίσου προς ή µακριά από το σπίτι του. Αν οι κολόνες απέχουν απόσταση α ποια είναι η µέση τιµή και η απόκλιση της µετατόπισής του d από το σηµείο εκκίνησής του µετά από Ν βήµατα; Έστω n R o αριθµός των βηµάτων προς το σπίτι του και n L o αριθµός των βηµάτων στη λάθος κατεύθυνση: n L =N-n R H µετατόπισή του d από το σηµείο εκκίνησης είναι: d = ( n R! n L )a = ( 2n R! N )a Θεωρούµε σα προσπάθεια ένα βήµα, ενώ σαν επιτυχία ένα βήµα το σπίτι του Εποµένως n R είναι κατανεµηµένη διονυµικά µε πιθανότητα p=1/2 Η µέση τιµή και διασπορά της n R είναι: n R = Np = N 2 και V n R [ ] = [!n R ] 2 = Npq = N 4 Η µέση τιµή της µετατόπισης είναι: d = a[ 2n R! N ] = a( 2 n R! N ) = a( N! N ) = 0 Η διασπορά της µετατόπισης είναι:!d 2 = d " d ( )!d 2 = # $ a 2n R " N " 2 n R + N % & 2 = # $ 2a n R " n R ( ) 2 = # a( 2n R " N " 2n R " N ) ( ) % & 2 $ = [ 2a!n R ] 2 = 4a 2 2!n R Αλλά V n R [ ] =!n R [ ] 2 οπότε!d 2 = 4a 2 V n R [ ] " V d [ ] = 4a 2 V n R [ ]! V d [ ] = 4a 2 N 4 = a2 N % & 2

25 Κατανοµή Poisson ΦΥΣ Διαλ Η κατανοµή Poisson είναι ειδική περίπτωση της διoνυµικής κατανοµής όταν: Η πιθανότητα, p, µιας προσπάθειας να δώσει επιτυχία είναι µικρή (πηγαίνει στο 0) Ο αριθµός των προσπαθειών είναι µεγάλος (πηγαίνει στο άπειρο) Ο µέσος αριθµός επιτυχιών, Νp, είναι συγκεκριµένος αριθµός (δεν πηγαίνει στο 0 ή στο άπειρο) Για την διoνυµική κατανοµή µπορούµε να γράψουµε: p! 0, N! " ενώ Νp δεν είναι 0 ή άπειρο m p( m) m = e! m m! Poisson κατανοµή Ιδιότητες της κατανοµής Poisson: Στο Poisson όριο της διoνυµικής κατανοµής, η τυπική απόκλιση δίνεται από! [ m] = Npq = Np( 1 " p)! Np = m Εποµένως η Poisson κατανοµή προδιορίζεται από την <m>

26 Παραδείγµατα ΦΥΣ Διαλ Κατά τη διάρκεια µιας βροχής µετεωριτών, παρατηρούµε ότι µετεωρίτες πέφτουν µε ρυθµό 12.2/h. Υπολογίστε τη πιθανότητα να παρατηρήσετε λιγότερο από 2 σε 0.5h m p( m) m = e! m m! όπου <m> = 6.1/(0.5h) Η πιθανότητα να ανιχνεύσουµε < 2 είναι: p( m < 2) = p( m = 0) + p( m = 1) = e! m 1 + m ( ) = 0.016

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

(REASONING WITH UNCERTAINTY)

(REASONING WITH UNCERTAINTY) ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ REASONING WITH UNCERTAINTY Ακριβής και πλήρης γνώση δεν είναι πάντα δυνατή Οι εµπειρογνώµονες πολλές φορές παίρνουν αποφάσεις από αβέβαια, ηµιτελή ή και αλληλοσυγκρουόµενα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim Κεϕάλαιο 2 Πιθανότητες και Τυχαίες Μεταβλητές Μπορούµε να καταλάβουµε την έννοια της πιθανότητας από τη σχετική συχνότητα εµϕάνισης n i κάποιας τιµής x i µιας διακριτής τ.µ. X. Αν είχαµε τη δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ).

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ). Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη 31 Οκτωβρίου 2014 Πιθανότητες και Στατιστική Διάλεξη 7 Ασκήσεις ΙΙ Δεσμευμένη πιθανότητα, Συνδυαστικά επιχειρήματα Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών . Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών - Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβητής. Θα ήταν αρκετά χρήσιμο να γνωρίζουμε γύρω από ποια τιμή «κυμαίνεται» η τ.μ. Χ. γύρω από την οποία «απώνεται»

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΣΧΕ ΙΑ ΛΥΣΕΩΝ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΣΧΕ ΙΑ ΛΥΣΕΩΝ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ42 - ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2009-2010 2 oς Τόµος ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΣΧΕ ΙΑ ΛΥΣΕΩΝ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑ 2 i. υναµική τεχνική επικύρωσης:

Διαβάστε περισσότερα

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 0.5 + 0.4 0.3 = 0.6.

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 0.5 + 0.4 0.3 = 0.6. 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Θεωρούµε δύο ενδεχόµενα A, B. Με πιθανότητα 0.5 ϑα συµβεί το A, µε πιθανότητα 0.4 ϑα συµβεί το B και µε πιθανότητα 0.3 ϑα συµβούν και τα δυο. Ποια είναι η πιθανότητα να µη συµβεί

Διαβάστε περισσότερα

0 1 0 0 0 1 p q 0 P =

0 1 0 0 0 1 p q 0 P = Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση ΦΥΣ 131 - Διαλ.34 1 KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση q Παλµός πάνω σε χορδή: Ένα άκρο της σταθερό (δεµένο) Προσπίπτων Ο παλµός ασκεί µια δύναµη προς τα πάνω στον τοίχο ο οποίος ασκεί µια δύναµη προς τα κάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Πιθανοτική Συλλογιστική Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Αβεβαιότητα πεποιθήσεων πράκτορας θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

κανένα από τα παραπάνω

κανένα από τα παραπάνω Το παρακάτω ερωτηµατολόγιο απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές µη µαθηµατικών τµηµάτων και έχει ως στόχο να καταγράψει τις µαθηµατικές γνώσεις που απαιτούνται για την παρακολούθηση ενός εισαγωγικού µαθήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια:

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια: ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια (όπως ορίζεται στη μελέτη της μηχανικής τέτοιων σωμάτων): Η ενέργεια που οφείλεται σε αλληλεπιδράσεις και κινήσεις ολόκληρου του μακροσκοπικού σώματος, όπως η μετατόπιση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognton Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesan Decson Theory Π. Τσακαλίδης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayes Decson theory Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας Υλικών Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Νίκος Λαζαρίδης Για το µάθηµα Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά (ΤΕΤΥ 116) Αναθεώρηση, συµπληρώσεις : Μαρία Καφεσάκη 1 Κεφάλαιο 1: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου Εαρινό Εξάµηνο 2009 Κάτια Παπακωνσταντινοπούλου 1. Εστω A ένα µη κενό σύνολο. Να δείξετε ότι η αλγεβρική δοµή (P(A), ) είναι αβελιανή οµάδα. 2. Εστω ένα ξενοδοχείο

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε βασικά όργανα του εργαστηρίου (διαστηµόµετρο, µικρόµετρο, χρονόµετρο) προκειµένου να: Να µετρήσουµε την πυκνότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Μεταπτυχιακή Ειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστημών. Πάτρα 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Μεταπτυχιακή Ειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστημών. Πάτρα 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Διπλωματική Εργασία Μεταπτυχιακή Ειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστημών Στατιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης Πειραματικών Δεδομένων Αθανάσιος Δρόσος Πάτρα 008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100 1. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Μια µεγάλη εταιρία θέλει να εξετάσει εάν το εκπαιδευτικό πρόγραµµα που ακολουθήσανε οι 100 πωλητές της ήταν αποτελεσµατικό (δηλαδή εάν αυξήθηκαν οι πωλήσεις). Οι δύο παρακάτω πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις)

Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις) Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις) Πότε µια κίνηση λέγεται περιοδική; Να γράψετε τρία παραδείγµατα. Μια κίνηση λέγεται περιοδική όταν επαναλαµβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήµατα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση ,Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Καραδηµητρίου Ε. Μιχάλης http://perifysikhs.wordpress.com mixalis.karadimitriou@gmail.com Πρόχειρες Σηµειώσεις 2011-2012 1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση 1.1 Περιοδικά Φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μια από τις πιο όμορφες εφαρμογές του τριωνύμου στη φυσική είναι η μεγιστοποίηση κάποιου μεγέθους μέσα από αυτό. Η ιδέα απλή και βασίζεται στη λογική επίλυσης του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

Φώτης Φωτόπουλος Αριστοτέλης Χαραλαµπάκης

Φώτης Φωτόπουλος Αριστοτέλης Χαραλαµπάκης Φώτης Φωτόπουλος Αριστοτέλης Χαραλαµπάκης ΓΕΝΙΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΕΙ ΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΟΡΙΑΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΘΗΝΑ 996 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα Κεφάλαιο T3 Ηχητικά κύµατα Εισαγωγή στα ηχητικά κύµατα Τα κύµατα µπορούν να διαδίδονται σε µέσα τριών διαστάσεων. Τα ηχητικά κύµατα είναι διαµήκη κύµατα. Διαδίδονται σε οποιοδήποτε υλικό. Είναι µηχανικά

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις Η Φύση της Επιστήµης Ενότητες Κεφαλαίου 1 Μοντέλα Θεωρίες και Νόµοι Μετρήσεις και αβεβαιότητα (σφάλµατα); Σηµαντικά ψηφία Μονάδες, Πρότυπα, και το Διεθνές Σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ INFORMATION MANAGEMENT

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ INFORMATION MANAGEMENT KINGSTON UNIVERSITY ICBS Business College ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ INFORMATION MANAGEMENT ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ : ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ν. ΣΤΑΜΟΥΛΗΣ Ανάλυση δεδοµένων και βασικές έννοιες Για τον

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤEΣ ΚΑΤΑΝΟΜEΣ Σε πολλά προβλήματα, ενδιαφερόμαστε για περισσότερα από ένα χαρακτηριστικά ενός πληθυσμού. Τα χαρακτηριστικά αυτά είναι πιθανό να αλληλοεξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα