ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)"

Transcript

1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014)

2 Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του Λυκείου του Δικτυακού Τόου mathematica.gr με βάση υλικό ου αναρτήθηκε στο mathematica Συνεργάστηκαν οι: Γιώργος Αόκης, Γιώργος Βισβίκης, Κωνσταντίνος Γεωργίου Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργης Καλαθάκης, Δημήτρης Κατούνης, Θόδωρος Καραμεσάλης, Γιώργος Λέκκας, Μάμης Στεργίου, Θανάσης Παασταθόουλος, Περικλής Παντούλας, Γιώργος Ρίζος, Γιώργος Ροδόουλος, Χρήστος Τσιφάκης, Σωτήρης Χασάης, Antonis_A, gga, Grosrouvre, emag57 Το Δελτίο διατίθεται ελεύθερα αό το δικτυακό τόο mathematica.gr

3 Θέματα ης Ομάδας Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου GI_V_ALG α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οοίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να αραστήσετε γραφικά στο είεδο τις δυο εξισώσεις του συστήματος ου ορίσατε στο (α) ερώτημα και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο. (Μονάδες 15) 3x + 4y = 1 α) Θεωρούμε το σύστημα 6x + 8y = Αν ολλαλασιάσουμε την ρώτη εξίσωση με και την ροσθέσουμε στη δεύτερη, ροκύτει το ισοδύναμο σύστημα 3x + 4y = 1 0x + 0y = Η δεύτερη εξίσωση είναι αδύνατη άρα το σύστημα είναι ράγματι αδύνατο. β) Οι εξισώσεις του συστήματος γράφονται αντίστοιχα y= x+ 3, y= x Οι ευθείες ου ορίζουν οι εξισώσεις του συστήματος έχουν ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, οότε είναι αράλληλες και εομένως το σύστημα είναι αδύνατο. 3

4 GI_V_ALG Δίνεται η εξίσωση : 8x + y = 7 (1) α) Να γράψετε μια άλλη εξίσωση ου να μην έχει καμία κοινή λύση με την (1) (Μονάδες 10) β) Να αραστήσετε γραφικά τις δύο εξισώσεις και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο. (Μονάδες 15) α) Πρέει το σύστημα να είναι αδύνατο. Ειλέγουμε.χ. 8x + y = 11 β) Παρατηρούμε ότι οι ευθείες είναι αράλληλες, άρα το σύστημα είναι αδύνατο. 4

5 GI_V_ALG Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος αό το Βασίλη. α) Μορείτε να υολογίσετε την ηλικία του καθενός ; Να δικαιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 13) β) Δίνεται ειλέον η ληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια. Να υ ολογίσετε την ηλικία του καθενός. (Μονάδες 1) Έστω x η ηλικία του Μάρκου και y η ηλικία του Βασίλη. Αό τα δεδομένα, ροκύτει ότι: x+ y= 7 (1) και x > y () α) Υοθέτουμε ότι οι x, y είναι θετικοί ρητοί αριθμοί. Αό τα αραάνω, δεν μορούμε να υολογίσουμε την ηλικία του καθενός, διότι η (1) αοτελεί μία γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, ενώ η () δεν εξασφαλίζει τη μοναδικότητα ττης λύσης. Για αράδειγμα, θα μορούσε (x,y) = (18,9) ή (x,y) = (17,10) κ.ο.κ. β) Τώρα, ξέρουμε ότι και x y= 5 (3) (καθώς και x> y ) Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1),(3), αίρνουμε την εξίσωση x = 3 x = 16. Για x= 16, αό την (1) έχουμε: 16 + y = 7 y = 11 Δηλαδή, ο Μάρκος είναι 16 ετών και ο Βασίλης 11. Τα αοτελέσματα αυτά, εαληθεύουν όλα τα δεδομένα. 5

6 GI_V_ALG α) Με βάση τα δεδομένα του σχήματος, να ροσδιορίσετε τις εξισώσεις των ευθειών (ε), (η). (Μονάδες 1) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους. (Μονάδες 13) α) Η εξίσωση η οοία αριστάνει μια ευθεία (ου δεν είναι κάθετη στον άξονα x'x) είναι της μορφής y = λx + β, όου λ ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας αυτής (λ = εφω, όου ω είναι η γωνία κλίσης της ευθείας με τον άξονα x'x). Παρατηρώ ότι η ευθεία (ε) με εξίσωση y = λx + β τέμνει τους άξονες στα σημεία, Α(0,) και Β(,0), οότε: για το σημείο Α(0,) είναι = λ0 + β β= για το σημείο Β(,0) είναι 0= λ+ β λ= β λ= 1 Και έτσι η ευθεία (ε) θα έχει εξίσωση: y= x+ Η ευθεία (η) τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο Γ(4,0) και σχηματίζει γωνία45 με τον x'x, οότε λ = ε φ45 = 1. Εομένως η εξίσωση της ευθείας (η) γίνεται : y= x+ β και εειδή το σημείο Γ(4,0) ανήκει στην ευθεία αυτή τότε : 0= 4+ β β= 4. Τελικά η ευθεία (η) θα έχει εξίσωση y= x 4 Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών αυτών θα λύσουμε σύ y= x 4 y= x 4 y= 1 στημα:. y= x+ x+ = x 4 x= 3 Άρα το σημείο τομής έχει συντεταγμένες (3, 1). 6

7 GI_V_ALG 1696 α) Να διατάξετε αό το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αρακάτω αριθμούς: 17 συν, συν, συν (Μονάδες 1) β) Αν < x1 < x <, να συγκρίνετε τους αριθμούς: ημ x 1, ημ x (Μονάδες 13) 17 α) Κάνω αναγωγή στο ρώτο τεταρτημόριο για το συν 10 Χρησιμοοιώντας διαδοχικά γωνίες ου διαφέρουν κατά και στην συνέχεια γωνίες ου έχουν άθροισμα αίρνουμε: συν συν = + = συν = συν ( Αφού = ) Έτσι οι γωνίες,, ανήκουν στο διάστημα 0,, στο οοίο η συνάρτηση του f(x) = συνx είναι γνησίως φθίνουσα. 3 3 Εομένως: < < συν > συν > συν β) Ισχύει ότι ημ x1 = συνx1 (Γωνίες συμληρωματικές) και ημ x = συνx (Γωνίες συμληρωματικές) 3 3 Ισχύει < x1 < x < δηλαδή x,x 1,. Στο διάστημα αυτό η συνάρτηση f(x) = συνx είναι γνησίως αύξουσα. Εομένως: x1 < x συνx1 < συνx ημ x1 < ημ x Άλλη λύση: ( 1 3 ) 3 Αφού < x1 < x < > x1 > x > 3 > x1 > x > > x1 > x > Άρα οι γωνίες x, 1 x ανήκουν στο διάστημα,, ου όως γνωρίζουμε η συνάρτηση g(x) = συνx είναι γνησίως φθίνουσα. Εομένως x1 > x ημ x 1 < ημ x. 7

8 GI_V_ALG Δίνεται η συνάρτηση f(x) x 4x 5 = +, x R α) Να αοδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x ) + 1. (Μονάδες 1 ) β) Στο σύστημα συντεταγμένων ου ακολουθεί, να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f, μετατοίζοντας κατάλληλα την y= x. (Μονάδες 13 ) α) f(x) = x 4x+ 5= x 4x = (x ) + 1 β) Η γραφική αράσταση της f με τη μορφή της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f(x) = (x ) + 1 είναι μία οριζόντια μετατόιση y = x κατά μονάδες ρος τα δεξιά και ταυτόχρονα κατακόρυφη μετατόιση κατά 1 μονάδα ρος τα άνω. Όλα αυτά φαίνονται στο αρακάτω σχήμα. 8

9 GI_V_ALG α) Είναι η τιμή x = λύση της εξίσωσης 3συν4x + 3 = 0 ; Να αιτιολογήσετε την αάντησή 4 σας. (Μονάδες 10 ) β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f(x) = συν4x με την ευθεία y= 1. (Μονάδες 15 ) α) Είναι 3συν4 3 3(συν 1) 3( 1 1) = + = + =, άρα η τιμή x = είναι λύση της εξίσωσης 4 3συν4x + 3 = 0 β) Αναζητούμε τις λύσεις της εξίσωσης f(x) = y. k συν4x = 1 = συν 4x = k+ x = +,k 4 GI_V_ALG x y= 8 (1) Δίνεται το σύστημα: με αραμέτρους α,β,γ. αx + βy = γ () α) Να ειλέξετε τιμές για τις αραμέτρους α,β,γ ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (, 3). (Μονάδες 13) β) Να ειλέξετε τιμές για τις αραμέτρους α,β,γ ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο. (Μονάδες 1) α) Αρκεί η ευθεία () να διέρχεται αό το σημείο (, 3) ). Αρκεί να "ειλέξουμε" μια ευθεία ου διέρχεται αό αυτό το σημείο,.χ. την x=, η οοία ροκύτει με α = 1, β = 0, γ = Η (1) εαληθεύεται αό το σημείο (, 3),αφού ισχύει : ( 3) = 8 8= 8,οότε διέρχεται αό το δοσμένο σημείο και εομένως το σύστημα έχει μοναδική λύση. β) Θα ειλέξουμε ευθεία αράλληλη της (1). Ειλέγουμε ( α= 1,β = 8,γ = 0 ), οότε το σύστημα είναι αδύνατο. 9

10 GI_V_ALG Δίνεται ένα ορθογώνιο αραλληλόγραμμο με μήκος xcm, λάτος ycm, ερίμετρο ίση με 38cm και με την ακόλουθη ιδιότητα: Αν αυξήσουμε το μήκος του κατά cm και μειώσουμε το λάτος του κατά 4cm, θα ροκύψει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του αρχικού. α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων x,y του ορθογωνίου. (Μονάδες 15) α) Το δοσμένο ορθογώνιο έχει εμβαδόν xy και ερίμετρο x + y = 38. Αν γίνουν οι αλλαγές στις διαστάσεις του, το εμβαδόν του θα γίνει (x + )(y 4) και θα είναι ίσο με το αρχικό. Εομένως έχουμε το σύστημα : β) Είναι : x + y = 38 (x + )(y 4) = xy x + y = 38 x + y = 19 x + y = 19 (x + )(y 4) = xy xy 4x + y 8 = xy 4x + y = 8 y= 19 x y= 19 x y= 14 x + 19 x = 4 3x = 15 x = 5 Εομένως οι διαστάσεις του είναι x= 5,y= 14 Σχόλιο : Εειδή, αραδοσιακά, λέμε μήκος τη μεγαλύτερη λευρά και εειδή εδώ ροκύτει ότι το μήκος είναι μικρότερο αό το λάτος, ας μην αρασυρθούν οι μαθητές αό τις λέξεις. 10

11 GI_V_ALG Στο δημοτικό parking μιας εαρχιακής όλης στις 10 το ρωί, το σύνολο των δίκυκλων και τετράτροχων οχημάτων ου έχουν αρκάρει είναι 830 και το λήθος των τροχών τους.700. α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. (Μονάδες 13 ) β) Να βρείτε τον αριθμό των δίκυκλων καθώς και τον αριθμό των τετράτροχων οχημάτων. (Μονάδες 1 ) α) Έστω x,y ο αριθμός των δίκυκλων και των τετράτροχων οχημάτων αντίστοιχα. Η μία εξίσωση του συστήματος είναι x + y = 830 (1) Τα δίκυκλα έχουν συνολικά x τροχούς, ενώ τα τετράτροχα 4y τροχούς. Η άλλη εξίσωση λοιόν του συστήματος είναι x + 4y = 700 ή x + y = 1350 () β) x + y = 830 ( ) x + y = 830 x = 310 x + y = 1350 y = 50 y = 50 Έχουμε λοιόν 310 δίκυκλα και 50 τετράτροχα οχήματα. GI_V_ALG 1765 Δίνεται γωνία ω ου ικανοοιεί τη σχέση: ( ημω + συνω) = 1 α) Να αοδείξετε ότι είτε ημω = 0 είτε συνω = 0. (Μονάδες 13) β) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της γωνίας ω. (Μονάδες 1) α) Είναι ( ) ημω + συνω = 1 ημ ω + συν ω + ημω συνω = 1 β) ημω 0 ω κ 1+ ημω συνω = 1 ημω συνω = 0 ημω = 0 ή συνω = 0 = = ή ( ) ω = κ + = κ + 1,κ. Γενικά ω= κ, κ συνω = 0 συνω = συν ω = κ ±,κ. Γενικά ω= κ+, κ (Το σύνολο των δυνατών τιμών της γωνίας ω θα μορούσε να εκφραστεί γενικά αό την σχέση ω= κ, κ ). 11

12 GI_V_ALG Δίνεται η συνάρτηση f(x) = συνx,x α) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; Ποια είναι η ερίοδος της f; (Μονάδες 9) β) Να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της f σε διάστημα λάτους μιας εριόδου. (Μονάδες 10) γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση μορεί να άρει την τιμή 1. Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 6) 1 α) Η f έχει ελάχιστη τιμή και μέγιστη τιμή 1. Κάθε τιμή της συνάρτησης εαναλαμβάνεται όταν το x αυξηθεί κατά, οότε το x αυξάνεται κατά. Εομένως η ερίοδος της f είναι T =. β) Σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση στο διλανό σχήμα γ) Η συνάρτηση δεν μορεί να άρει την τιμή 1, εειδή έχει μέγιστη τιμή το 1. Αυτό άλλωστε φαίνεται και στη γραφική αράσταση. Η f δεν μορεί να άρει τιμές εκτός του διαστήματος 1 1,. ΣΧΟΛΙΟ: Το (β) ερώτημα είναι κάως ασαφές. Το διάστημα λάτους μιας εριόδου μορεί να είναι οοιοδήοτε διάστημα έχει λάτος,. χ το 3 7,

13 GI_V_ALG y= x + 1 α) Να λύσετε αλγεβρικά το σύστημα x y = 1 (Μονάδες 15 ) β) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τις λύσεις του συστήματος ου βρήκατε στο ερώτημα (α). (Μονάδες 10 ) α) y= x + 1 y= x + 1 x+ 1= x + 1 x(x 1) = 0 x y = 1 y = x + 1 y = x + 1 y = x + 1 x= 0 ή x 1= 0 x= 0 ή x= 1 x= 0 και y= 1 y= x+ 1 y= x+ 1 ή x= 1και y= Εομένως το σύστημα έχει τις λύσεις (x,y) = (0,1) ή (x,y) = (1,) β) Οι λύσεις του συστήματος είναι τα σημεία τομής της αραβολής με εξίσωση y= x + 1 και της ευθείας με εξίσωση y= x+ 1, όως φαίνεται στο διλανό σχήμα 13

14 GI_V_ALG Αν 0< x< και (συνx+ 1) (5συνx 4) = 0, τότε: α) 4 Να αοδείξετε ότι συνx =. 5 β) Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x. (Μονάδες 10) (Μονάδες 15) α) Αφού 0< x< (1ο τεταρτημόριο), είναι συνx> 0. (συνx+ 1) (5συνx 4) = 0 συνx+ 1= 0 ή 5συνx 4= συνx = ή συνx =. 5 Αφού συνx> 0, δεκτό είναι μόνο το 4 συνx =. 5 β) Ισχύει ότι ημ x + συν x= 1 ημ x+ = 1 ημ x+ = 1 ημ x = Άρα ημx = ή ημx =. 5 5 Εειδή ημx> 0, για κάθε x με 3 0< x<, είναι τελικά ημx =. 5 3 ημx 3 Είσης εφx = = = και σφx = = =. συνx 4 4 εφx

15 GI_V_ALG Δίνονται οι γωνίες ω, θ με συνω 0 και συνθ 0, για τις οοίες ισχύει: 0 ω+ θ= 135 Να αοδείξετε ότι: α) εφ(ω+ θ) = 1 (Μονάδες 10) β) εφω + εφθ + 1 = εφω εφθ (Μονάδες 15) α) Είναι εφ(ω+ θ) = εφ135 = εφ( ) = εφ45 = 1 β) Οότε, εφω + εφθ εφ(ω+ θ) = 1 = 1 εφω + εφθ = ( 1 εφω εφθ) 1 εφω εφθ εφω + εφθ = 1 + εφωεφθ εφω + εφθ + 1 = εφω εφθ GI_V_ALG Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ημx+ 1, x α) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f β) Για οια τιμή του x [0,] η συνάρτηση αρουσιάζει μέγιστη τιμή; (Μονάδες 10) (Μονάδες 15) α) H συνάρτηση g(x) = ημx έχει ελάχιστη τιμή και μέγιστη, άρα η f(x) = g(x) + 1 θα έχει ελάχιστη τιμή + 1= 1 και μέγιστη + 1= 3. β) Έχουμε f(x) = 3 ημx+ 1= 3 ημx= ημx= 1= ημ και αφού x [0,], είναι x = 15

16 GI_V_ALG (λ + 1)x + y = 3 Δίνεται το σύστημα : με αράμετρο λ. 4x + (λ 1)y = 6 α) Αν λ = 3, να δείξετε ότι το σύστημα έχει άειρες λύσεις. Να βρείτε μία λύση. (Μονάδες 8) β) Αν λ = 3, να δείξετε ότι το σύστημα είναι αδύνατο. (Μονάδες 8) γ) Αν λ = 0, να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση την οοία και να ροσδιορίσετε. (Μονάδες 9) α) Για λ = 3 έχουμε x + y = 3 3 y= x +, x (άειρες λύσεις). 4x 4y = Για x = έχουμε y= άρα μια λύση είναι η (x,y) =,. β) Για λ = 3 έχουμε 4x + y = 3 (αδύνατο). 4x + y = 6 x+ y= 3 x+ y= 3 γ) Για λ = 0 έχουμε. 4x y = 6 8x y = 1 Προσθέτουμε κατά μέλη: 9x = 9 x = 1 και με αντικατάσταση στην 1η : 1+ y= 3 y= 16

17 GI_V_ALG Δίνεται η συνάρτηση f( x) = x x + 1 α) Να δείξετε ότι f( x) 1. (Μονάδες 8) β) Είναι το 1 η μέγιστη τιμή της συνάρτησης; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 8) γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή εριττή. (Μονάδες 9) α) Είναι Είναι : x + 1> 0, οότε η f( x ) έχει εδίο ορισμού όλο το. x f x 1 1 x x x x + 1 ( ) x + 1 ου ισχύει για κάθε x με το ίσον να ισχύει όταν x= 1 ( x 1) 0 β) Όως αοδείξαμε αραάνω είναι f( x) 1 f( x) f( 1), οότε η f( x ) έχει μέγιστο το 1, όταν x = 1. γ) Η f( x ) έχει εδίο ορισμού όλο το, οότε για κάθε x θα είναι και ( ) ( ) + x x f( x) = = = f x x 1 x + 1 ( ), άρα η f( x ) είναι εριττή. x με 17

18 GI_V_ALG 1769 ημ + x + συν + x = 0 α) Να αοδείξετε ότι: ( ) β) Να βρείτε τις τιμές του x [ 0,) για τις οοίες ισχύει: συνx = ημ + x (Μονάδες 10) (Μονάδες 15) α) Ισχύει : ημ + x = ημ x Όμως ημ x = συνx (γωνίες συμληρωματικές) Δηλαδή ημ + x = συνx. (αφού + x + x = ) Ακόμη συν( + x) = συνx (γωνίες ου διαφέρουν κατά ) ημ + x + συν + x = συνx συνx= 0 Συνεώς ( ) β) Είναι συνx = ημ + x συνx = συνx (αό το (α) ερώτημα) συνx= 0 συνx= 0 συνx = συν x= κ ±, κ. Όμως x [ 0,), εομένως κ + < 0 4κ + < 4 0 4κ + 1< 4 1 4κ < 3 κ <,, κ 4 4 Άρα κ= 0 και x = κ < 0 4κ < 4 0 4κ 1< 4 1 4κ < 5 κ <, κ 4 4 Άρα κ = 1 και 3 x= = 18

19 GI_V_ALG α) Να διατάξετε αό το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αρακάτω αριθμούς: 17 συν, συν, συν (Μονάδες 1) 3 β) Αν < x1 < x <, να συγκρίνετε τους αριθμούς: ημ x 1, ημ x (Μονάδες 13) 17 α) Κάνω αναγωγή στο ρώτο τεταρτημόριο για το συν 10 Χρησιμοοιώντας διαδοχικά γωνίες ου διαφέρουν κατά, και στην συνέχεια γωνίες ου έχουν άθροισμα αίρνουμε: συν συν = + = συν = συν (αφού = ) Έτσι οι γωνίες,, ανήκουν στο διάστημα 0,, στο οοίο η συνάρτηση y = συνx είναι γνησίως φθίνουσα. 3 3 Εομένως: < < συν > συν > συν β) Α ΤΡΟΠΟΣ Ισχύει ότι ημ x1 = συνx1 (γωνίες συμληρωματικές) και ημ x = συνx (γωνίες συμληρωματικές) 3 3 Ισχύει ότι < x1 < x < δηλαδή x,x 1,. Στο διάστημα αυτό η συνάρτηση y = συνx είναι γνησίως αύξουσα. Εομένως: x1 < x συνx1 < συνx ημ x1 < ημ x 19

20 Β ΤΡΟΠΟΣ Αφού ( 1) 3 3 < x1 < x < > x1 > x > + 3 > x1 > x > > x1 > x > Άρα οι γωνίες x, 1 x ανήκουν στο διάστημα,, στο οοίο η συνάρτηση y = ημx είναι γνησίως φθίνουσα. Εομένως: x1 > x ημ x 1 < ημ x. 0

21 GI_V_ALG Στο αρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση C f μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το. Να ααντήσετε τα αρακάτω ερωτήματα : α) Να διατάξετε αό το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς f(x 1),f(x ),f(x 3). (Μονάδες 10) β) Είναι η συνάρτηση γνησίως μονότονη στο ; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 10) γ) Παρουσιάζει η f μέγιστο στο σημείο x ; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 13) α) Φέρνοντας τις ροβολές των σημείων στον άξονα yy έχουμε : f(x 1) < f(x 3) < f(x ) β) Η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη. Αν ήταν γνησίως αύξουσα, τότε για x1 < x < x3 θα ίσχυε f(x 1) < f(x ) < f(x 3) ενώ αν ήταν γνησίως φθίνουσα, τότε για x1 < x < x3 θα ίσχυε f(x 1) > f(x ) > f(x 3) αλλά αό το ερώτημα (α) έχουμε f(x 1) < f(x 3) < f(x ). γ) Φέρνοντας την οριζόντια ευθεία ου διέρχεται αό το ( x,f(x) ) αρατηρούμε ότι η συνάρτηση αίρνει και τιμές μεγαλύτερες του f(x ). Άρα το x δεν είναι θέση μεγίστου. 1

22 GI_V_ALG Δίνεται 3 ημ =, όου φ η οξεία γωνία ου σχηματίζεται με κορυφή το σημείο Α της ευθείας 5 (ε) του αρακάτω σχήματος. α) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας φ. (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο των γωνιών θ και ω του σχήματος. (Μονάδες 15) α) Ισχύει ημ φ+ συν φ = 1 + συν φ= 1 + συν φ= 1 συν φ= συνφ = ή 5 4 συνφ =. 5 Αφού η γωνία φ είναι οξεία, είναι συνφ > 0 και εομένως 4 συνφ =. 5 β) Παρατηρούμε ότι η γωνία ω είναι αραληρωματική της φ, οότε ω = φ. 3 4 Έτσι ημω = ημ( φ) = ημφ = και συνω = συν( φ) = συνφ =. 5 5 Είσης θ = ω, οότε και 3 ημθ = ημ( ω) = ημ( ω) = ημω = 5 4 συνθ = συν( ω) = συν( ω) = συνω =. 5 Σχόλιο : Στα ίδια συμεράσματα θα καταλήγαμε αν αρατηρούσαμε ότι θ = + φ

23 GI_V_ALG Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις : ε 1 = και 1 ( ):x y 1 ( ε ):(λ 1)x y = 6 με αράμετρο λ. α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε οι ευθείες να είναι αράλληλες. (Μονάδες 8) β) Να αραστήσετε γραφικά τις ευθείες για λ = 3. (Μονάδες 8) γ) Υάρχει τιμή του λ ώστε οι ευθείες να ταυτίζονται; Να δικαιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 9) α) To σύστημα έχει ορίζουσα D= + λ 1 = λ 3. Πρέει το σύστημα να είναι αδύνατο άρα D= 0 λ 3= 0 λ = 3 και τότε έχουμε τις ευθείες ( ε 1):x y= 1 και ( ε 1):x y= 6 ου είναι αράλληλες. β) γ) Θα ρέει το σύστημα να έχει άειρες λύσεις, δηλαδή D= 0 αλλά τότε λ = 3 και αό το ε ρώτημα (α) είδαμε ότι οι ευθείες είναι αράλληλες. Άρα δεν υάρχει τέτοια τιμή του λ. 3

24 GI_V_ALG Δίνεται η συνάρτηση f( x) = 3συνx, x α) Να βρείτε την ερίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f. (Μονάδες 1) β) Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα και να αραστήσετε γραφικά την f σε διάστημα μιας εριόδου. (Μονάδες 13) α) Η ερίοδος της συνάρτησης είναι T = = Η μέγιστη τιμή της είναι 3, όταν συνx = 1 x = κ + x = κ +, κ Ζ και η ελάχιστη είναι 3 όταν συνx = 1 x = κ x = κ, κ Ζ β) x 0 x 0 4 συνx f(x) = 3συνx Με τη βοήθεια του αραάνω ίνακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση στο διάστημα [ 0, ] 4

25 GI_V_ALG Δίνονται οι ευθείες ε1:x+ y= 5, ε: x+ 3y= 9, ε 1:3x+ y= 7 α) i) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ε1, ε ii) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ε1, ε 3 (Μονάδες 1) β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) να δείξετε ότι το κοινό σημείο των ε, ε 3 είναι σημείο της ε 1 (Μονάδες 13) αi) ii) x + y = 5 Λύνουμε το σύστημα. x + 3y = 9 Προσθέτουμε κατά μέλη : 4y = 4 y = 1 και με αντικατάσταση στη 1η : x 1 = 5 x = 3 άρα το σημείο τομής είναι το A(3, 1). x + y = 5 4x y = 10 Λύνουμε το σύστημα. 3x + y = 7 3x + y = 7 Προσθέτουμε κατά μέλη : x= 3 x= 3 και με αντικατάσταση στη 1η : 6+ y= 5 y= 1, άρα το σημείο τομής είναι το A(3, 1). β) Παρατηρούμε ότι οι τρεις ευθείες έχουν κοινό σημείο το A(3, 1), άρα ροφανώς το κοινό σημείο των ε, ε 3 είναι σημείο της ε 1 5

26 GI_V_ALG Ένα θέατρο έχει 5 σειρές καθισμάτων χωρισμένες σε δύο διαζώματα. Η κάθε μια αό τις σειρές του κάτω διαζώματος έχει 14 καθίσματα και η κάθε μια αό τις σειρές του άνω διαζώματος έχει 16 καθίσματα, ενώ η συνολική χωρητικότητα του θεάτρου είναι 374 καθίσματα. α) Αν x ο αριθμός σειρών του κάτω και y o αριθμός σειρών του άνω διαζώματος, να εκφράσετε τα δεδομένα του ροβλήματος με ένα σύστημα δύο εξισώσεων. (Μονάδες 1) β) Πόσες σειρές έχει το άνω και όσες το κάτω διάζωμα; (Μονάδες 13) α) Είναι β) 16 x + 14 y = 374 x+ y = 5 ( ) 16 x + 14 y = y + 14 y = 374 (1). x+ y = 5 x = 5 y () Λύνουμε την (1) και αίρνουμε: y= 13. Με αντικατάσταση στην () ροκύτει ότι: x= 5 13= 1 Παρατήρηση: Θα μορούσε να ζητήσει τον αριθμό των καθισμάτων στο κάτω και στο άνω διάζωμα, οότε θα βρίσκαμε: Κάτω διάζωμα: 16 x = 16 1 = 19 καθίσματα. Πάνω διάζωμα: 14 y = = 18 καθίσματα. GI_V_ALG 1775 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ημ( 3x) + συν 3x. α) Να δείξετε ότι f(x) = ημ3x (Μονάδες 10) β) Να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της f. (Μονάδες 13) α) Είναι ημ( 3x) = ημ3x και συν 3x = ημ3x άρα, με αντικατάσταση, ροκύτει ότι : f(x) = ημ3x. β) Η συνάρτηση έχει μέγιστο, ελάχιστο και ερίοδο T = 3 6

27 GI_V_ALG 1773 Έστω γνησίως μονότονη συνάρτηση f: η γραφική αράσταση της οοίας διέρχεται αό τα σημεία Α(, 3) και Β(4, 5). α) Να ροσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f. (Μονάδες 13) β) Αν η γραφική αράσταση της f τέμνει τον άξονα x x στο, να δείξετε ότι f(0) > 0 (Μονάδες 1) α) Αφού η γραφική αράσταση της f διέρχεται αό τα σημεία Α(,3) και Β(4,5), ισχύουν f() = 3 και f(4) = 5. Αν η συνάρτηση f ήταν γνησίως φθίνουσα, εφόσον < 4, θα είχαμε f() > f(4) ή 3 > 5, ου είναι άτοο. Με δεδομένο ότι η f είναι γνησίως μονότονη, θα είναι γνησίως αύξουσα. β) Αφού η γραφική αράσταση της f τέμνει τον άξονα x x στο, είναι f( ) = 0. Είναι < 0 και f γνησίως αύξουσα. Άρα f( ) < f(0), δηλαδή f(0) > 0 GI_V_ALG Δίνονται οι ευθείες: ε 1 : x + y = 6 και ε : x y = 3 α) Να ροσδιορίσετε αλγεβρικά το κοινό τους σημείο Μ. (Μονάδες 13) β) Να βρείτε για οια τιμή του α, η ευθεία 3x + ay = α + 5 διέρχεται αό το Μ. (Μονάδες 1) α) Οι συντεταγμένες του σημείου Μ θα ροσδιορισθούν αό τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των δύο ευθειών. ε 1 :x+ y= 6 Έχουμε: ( Σ) ε :x y= 3 1 D= = 1= 4 1= 5 1. Είναι: ( ) Dx = = 1 ( 3) = 1+ 3= 9 και Dy = = ( 3) 6 = 6 6 = Αφού D= 5 0, το ( Σ ) έχει μοναδική λύση, D D x την ( ) y x,y =, =, =,. Άρα Μ,. D D β) Η ευθεία 3x + αy = α + 5 διέρχεται αό το σημείο Μ,, αν και μόνο αν, η εξίσωσή 5 5 της εαληθεύεται αό τις συντεταγμένες του σημείου. Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του Μ αίρνουμε την : α = α α = 5α + 5 7α = α =

28 GI_V_ALG Δίνεται η αράσταση : ημ x A = με x κ, κ. 1 συνx α) Να αοδείξετε ότι A= 1+ συνx (Μονάδες 1) ημ x 1 β) Να λύσετε την εξίσωση = στο διάστημα (0,) (Μονάδες 13) 1 συνx α) ημ x 1 συν x (1+ συνx)(1 συνx) A= = = = 1+ συνx 1 συνx 1 συνx 1 συνx β) Αό το ερώτημα (α), για x κ, κ η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την και αφού x (0,) έχουμε : συνx = συνx = = συν 3 4 x = ή x = (δεκτές) 3 3 GI_V_ALG Έστω γωνία x για την οοία ισχύουν : < x < και ημ( x) ημ( x) 1 α) 1 Να αοδείξετε ότι ημx = (Μονάδες 1) β) Να βρείτε τη γωνία x (Μονάδες 13) α) 1 Έχουμε ημ( x) ημ( + x) = 1 ημx ( ημx) = 1 ημx= 1 ημx = β) 1 Είναι ημx = = ημ και x 6 < < άρα 5 x = = 6 6 8

29 GI_V_ALG α) Να αοδείξετε ότι : ημx ημx + =,x κ, κ (Μονάδες 13) 1 συνx 1+ συνx ημx ημx ημx 4 β) Να λύσετε την εξίσωση: + = 1 συνx 1+ συνx 3 (Μονάδες 1) α) Για x κ,κ έχουμε: ( + ) + ( ) ( )( ) ημx ημx ημx 1 συνx ημx 1 συνx + = = 1 συνx 1+ συνx 1 συνx 1+ συνx ( ) ημx 1+ συνx + 1 συνx = 1 συν x ημx =. ημ x = ημx β) Αό το (α) ερώτημα και για x κ,κ έχουμε: ημx ημx = = 4ημx= 3 ημx = ημx = ημ 1 συνx 1+ συνx 3 ημx 3 3 x= κ + ή x= κ + x= κ + ή x= κ +, κ

30 GI_V_ALG 1863 Στο αρακάτω σχήμα δίνονται οι αραβολές C,C f g ου είναι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f, g αντίστοιχα με εδίο ορισμού το. Η γραφική αράσταση της g ροκύτει αό τη γραφική αράσταση της f με οριζόντια και κατακόρυφη μετατόιση. Παρατηρώντας το σχήμα: α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας, το είδος του ακρότατου της f και την τιμή του. β) Να βρείτε μέσω οιων μετατοίσεων της C f ροκύτει η C g. (Μονάδες 10) (Μονάδες 15) α) Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, + ) Παρουσιάζει ελάχιστη τιμή για x= την f( ) = 3. β) Παρατηρούμε ότι η C g ροκύτει αό την και 4 μονάδες κάτω. Δηλαδή: g(x) = f(x 4) 4 για κάθε x. C, f αν αυτή μετατοιστεί κατά 4 μονάδες δεξιά 30

31 GI_V_ALG Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 1x + 19 α) Να δείξετε ότι γράφεται στη μορφή: f(x) = (x 3) + 1 (Μονάδες 10) β) Παρακάτω δίνεται η γραφική αράσταση της συνάρτησης g(x) = x. Στο ίδιο σύστημα αξόνων, να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της f, και να εξηγήσετε ως αυτή ροκύτει μετατοίζοντας κατάλληλα τη γραφική αράσταση της g. (Μονάδες 15) α) Έχουμε : f(x) = x 1x + 19 = x 1x = (x 6x + 9) + 1 = (x 3) + 1 β) Η γραφική αράσταση της f (κόκκινη) θα ροκύψει αό τη γραφική αράσταση της g (μλε) με δύο μετατοίσεις : μία οριζόντια ρος τα δεξιά κατά 3 μονάδες και μία κατακόρυφη ρος τα άνω κατά μία μονάδα. 31

32 GI_V_ALG x y= 9 Δίνεται το σύστημα με αραμέτρους α,β,γ. αx + βy = γ α) Να ειλέξετε τιμές για τις αραμέτρους α,β,γ ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1, 4). (Μονάδες 13) β) Να ειλέξετε τιμές για τις αραμέτρους α,β,γ ώστε το σύστημα να είναι αδύνατο και να εαληθεύσετε γραφικά την ειλογή σας. (Μονάδες 1) α) Το σύστημα έχει ορίζουσα D = β + α. Για να έχει μοναδική λύση : D 0 β α (1). Αφού το ζεύγος (1, 4) εαληθεύει, αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση (η ρώτη ικανοοιείται) και έχουμε α 4β= γ (). Φροντίζοντας να ισχύει η (1), ειλέγουμε.χ. α = 1, β = και έτσι η () δίνει γ = 7. β) Για να είναι το σύστημα αδύνατο ρέει D= 0 β = α. Ειλέγουμε.χ. α= 1,β = και αντικαθιστούμε : x y= 9 x y = γ άρα ροφανώς θα ρέει γ 9. Eιλέγουμε.χ. γ= 7. Tότε το σύστημα αριστάνει τις ευθείες y= x, y= x ου είναι αράλληλες. 3

33 GI_V_ALG x + y = 3 Δίνεται το σύστημα με αραμέτρους α,β,γ. αx + βy = γ α) Να ειλέξετε τιμές για τις αραμέτρους α,β,γ ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση το ζεύγος ( 1,5). (Μονάδες 13) β) Να ειλέξετε τιμές για τις αραμέτρους α,β,γ ώστε το σύστημα να έχει άειρες λύσεις και να εαληθεύσετε γραφικά την ειλογή σας. (Μονάδες 1) α) Το σύστημα έχει ορίζουσα D= β α. Για να έχει μοναδική λύση ρέει D 0 α β (1). Αφού το ζεύγος ( 1,5) εαληθεύει, αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση (η ρώτη ικανοοιείται) και έχουμε α + 5β= γ (). Φροντίζοντας να ισχύει η (1), ειλέγουμε.χ. α = 1,β = 3 και έτσι η () δίνει γ = 14. β) Για να έχει άειρες λύσεις το σύστημα ρέει D= 0 α = β. Ειλέγουμε.χ. α=,β = 1 και αντικαθι x + y = 3 στούμε : x + y = γ ρέει γ = 3. άρα ροφανώς θα Tότε οι λύσεις είναι τα ζεύγη ου αοτελούν συντεταγμένες των σημείων της ευθείας y= x+ 3 33

34 GL_V_ALG α) Να αοδείξετε ότι: ημ x + = συνx + ημx. (Μονάδες 13) 3 β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α), να λύσετε στο διάστημα ( 0, ) την εξίσωση: 3 1 συνx + ημx= 0 (Μονάδες 1) α) Εφαρμόζοντας τον τύο ημ( α + β) = ημασυνβ + συναημβ έχουμε: 1 3 ημ x + = ημxσυν + συνxημ = ημx + συνx Δηλαδή ημ x + = συνx + ημx 3 β) Λόγω του ρώτου ερωτήματος ισχύει 3 1 συνx ημx ημ + = x +, οότε έχουμε να λύ 3 σουμε την εξίσωση ημ x+ = 0. Έχουμε: 3 x+ = κ + 0 x= κ ημ x 0 ημ x ημ = + =,κ 3 3 x+ = κ + 0 x= κ Θέλουμε τις λύσεις του διαστήματος ( 0, ). Οότε: 1 x 0, 0 < x < 0 < κ 0 κ 1 3 < < 3 < 1 < κ < < κ < και κ. Συνεώς δεν υάρχει κ Z 0, αό ( ) τον ρώτο τύο λύσεων. ( ) τέτοιο ώστε να ροκύτει λύση στο διάστημα ( ) x 0, 0 < x < 0 < κ + 0 κ 1 3 < < + 3 < < κ < 1 < κ < 1 και κ. Οότε κ = 0 και x =. 3 Δηλαδή η μοναδική λύση της εξίσωσης στο διάστημα ( 0, ) είναι η x = 3 34

35 GI_V_ALG 1991 Δίνεται γωνία ω για την οοία ισχύει ότι συνω + 5ημω = 0 α) Να αοδείξετε ότι ισχύει: β) Να αοδείξετε ότι ημ ω + 5ημω 3= 0. (Μονάδες 1) 1 ημω =. (Μονάδες 13) α) Είναι συνω = 1 ημ ω, οότε αντικαθιστώντας στην ισότητα ( ) 1 ημ ω 5ημω 0 ημ ω 5ημω = + = συνω = 1 ημ ω έχουμε: β) Θέτω y = ημω, 1 y 1 στην ισότητα ημ ω + 5ημω 3= 0, η οοία γράφεται: 5± 7 y + 5y 3 = 0 y = άρα y= 3 ου αορρίτεται ή 4 1 y = άρα 1 ημω = GI_V_ALG Δίνεται η συνάρτηση f( x) = x 5, x. α) Να δείξετε ότι η f αρουσιάζει ελάχιστο στο x= 0. (Μονάδες 8) β) Είναι η f άρτια συνάρτηση; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 8) γ) Με οια μετατόιση της gx ( ) x = ροκύτει η C; f (Μονάδες 9) α) Για κάθε x, ισχύει: ( ) Όμως f( 0) = 5, εομένως f( x) f( 0) x 0 x 5 5 f x 5 Άρα η f αρουσιάζει ελάχιστο στο x= 0. β) Ισχύουν ότι : για κάθε x Df = και το x Df = f( x) = ( x) 5= x 5= f( x) Εομένως η f άρτια συνάρτηση. γ) Η C f ροκύτει αό την μετατόιση της για κάθε x. C g στον άξονα; yy κατά 5 μονάδες. 35

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 16950 16954

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 1-1. -175663 Βασικές Τριγωνομετρικές ταυτότητες Αν 0

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα Τράπεζα θεμάτων ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα ΘΕΜΑ 2 (16950) α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Παρασκευή 9 Ιουνίου 7 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/6/7, 6:3) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη Ειρήνη Μαρωνίτης Λάμπρος Μπουρούνης

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (22/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (22/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (//04) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Επιμελητών των φακέλων του Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη Ειρήνη Μαρωνίτης Λάμπρος Μπουρούνης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 6 17 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Θέμα Α Α1 Παραομή στο σχολικό βιβλίο σελίδα 135.

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική λευρά Γωνίες με άθροισμα 180 - Γωνίες με διαφορά 180 - Γωνίες αντίθετες Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90 Γωνίες με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx 1.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Oµάδας 1.i) Να βρείτε την ερίοδο, τη µέγιστη τιµή και την ελάχιστη τιµή της αρακάτω συνάρτησης και στη συνέχεια να την αραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 4, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το 4, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη Ειρήνη Μαρωνίτης Λάμπρος Μπουρούνης

Διαβάστε περισσότερα

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β»

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» Άσκηση GI_V_GEO 899 [Παράγραφος 8.] Στο αρακάτω σχήµα τα τµήµατα ΑΕ και Β τέµνονται στο Γ. Να αοδείξετε ότι τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Tριγωνομετρικές εξισώσεις

Tριγωνομετρικές εξισώσεις Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017 Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Εαναλητικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Α. Αν α>0 με α, τότε για οοιουσδήοτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log ( θ θ ) = log θ + log θ (7 μονάδες) α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Κ Κ α α ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ α α ρ ρ ι ι............ Α Α λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε ι μ ε λ ε ι α Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς w w w. d r

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία f ( t ) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, + ) R µε: f ( ) = + ( + ), > t Α ) να δείξετε ότι: α) f ( ) = ln +, > β) f ( ) = Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f Γ) να δείξετε ότι η C f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας

ΜΔΕ Άσκηση 6 Α. Τόγκας Πρόβλημα 15. Για κάθε μια αό τις ακόλουθες αρχικές τιμές θερμοκρασίας i) να βρεθεί η λύση στην μορφή μια σειράς Fourier της εξίσωσης της θερμότητας με εριοδικές συνοριακές συνθήκες u t = u x x < x

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ5 0 ii)συν(-660 0 ) i)διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκω και εομένως 0 0 0 5 60 5 5 60 5 5 0 0 0 0 0 ii) ( 660 ) ( 70 60 ) ( 60 60 ) 0 (60 ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 8464 84767 www.iraklitos.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() = ln, [,] αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. β) ln d + d =. Β) Δίνεται η συνάρτηση α) h() h(), για κάθε [, + ). = d. Να αοδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 17 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Ααντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α1. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελ 135 Α. α. Ψευδής

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α ονομάζεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος ώστε: για κάθε A να ισχύει T A και T A, ισχύει f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο 1. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1. Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1 η Μορφ Ασκσεων: Μας ζητούν να λύσουμε μια εξίσωση της μορφς: = α, α 0 = α, α 0 εφx = α, α 0 σφx = α, α 0 1. Να λυθούν οι εξ ισώσεις: i. ημ x =, ii. ημ x= 0, iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (2) -2- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ο ) φέρουµε το ύψος Α. Ν.δ.ο. Γ ηµβ σφγ =. ΑΒ. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5 ο. 3. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σελ. σχολ. βιβλ. 6 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 4 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 46-47 Α4. Λ, Σ, Λ, Σ, Σ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν 3 και < x < 3, να βρεθούν οι ΠΡΟΣΟΧΗ : Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια )

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµχ = ηµθ χ = 0 0 κ + θ ή χ = 0 0 κ + 80 0 - θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ή χ = κ + - θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) κ ακέραιος συνχ = συνθ χ = 0 0 κ ± θ ( τύοι λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Ααντήσεις Ειμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών http://www.othisi.gr ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Παρασκευή, 9 Ιουνίου 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αιγύτιοι μηχανικοί, για να ροσδιορίσουν το λάτος του οταμού Νείλου μεταξύ δύο σημείων A και B, ροσδιόρισαν με το θεοδόλιχο μια διεύθυνση κάθετη ρος την

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Σ. Ανδρεαδάκης Β. Κατσαργύρης Σ. Παασταυρίδης Γ. Πολύζος Α. Σβέρκος Η συγγραφή και η ειμέλεια του βιβλίου ραγματοοιήθηκε υό την αιγίδα του

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων-4ο Β Λυκείου- ΑΛΓΕΒΡΑ

Τράπεζα Θεμάτων-4ο Β Λυκείου- ΑΛΓΕΒΡΑ Τράπεζα Θεμάτων-ο Β Λυκείου- ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ (178) Δίνεται η συνάρτηση f (x) f x 8 x 8 x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες 5) β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Ασκήσεις με τα χαρακτηριστικά της κίνησης. Μικρές ασκήσεις ου αναφέρονται στους ορισμούς της εριόδου, της συχνότητας, του λάτους και της ενέργειας της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2017 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2017 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 9/6/7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΤΣΙΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ασκσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 88-89 A Oµάδας 1.i) Να λύσετε την εξίσωση ηµx = 0 ηµx = 0 ηµx = ηµ0 x = k + 0 x = k + 0, k Z Σηµείωση: Οι λύσεις αυτές διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρουσίαση δ Θεωρητικά θέµατα Ας δούµε την είλυση ενός αραµετρικού γραµµικού συστήµατος. Θέµα Θα λύσουµε το σύστηµα D = D D y λ λ λ = λ = λ λ = λ + λ (Σ) : λ y = λ λ y = λ = λ(λ )

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14 " ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ "

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14  ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Άσκηση Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Παράδοση 6//9 Αν υοθέσουμε ως στο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων yz ο άξονας των z συμίτει με τη διεύθυνση της κατακόρυφου, να γράψετε αναλυτικά (με την

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να

Διαβάστε περισσότερα

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Τ Ε Τ Α Ρ Τ Ο Θ Ε Μ Α Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ

Διαβάστε περισσότερα

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη ανάλυση, σχόλια και ροεκτάσεις με αφορμή ααντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών ου διατυώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη (αραδείγματα αό τα μαθηματικά του λυκείου) του Δημητρίου Ντρίζου σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΑ 010-11 ΘΕΜΑ 1 ο : 1) Κατά τη διάδοση ενός κύματος σ ένα ελαστικό μέσον i) μεταφέρεται ύλη. ii) μεταφέρεται ενέργεια και ύλη. iii) όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου Ον/μο:. ΕΠΑ.Λ. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία 06-11-16 Θέμα 1 ο : Α.i. Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση; (4 μον.) ii. Πότε μία συνάρτηση f ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα