Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = ="

Transcript

1 Παράδειγα Το γωστό παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω ταξιοηέα σε 5 οάδες. Η έση τιή για το δείγα έχει βρεθεί 77. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο ,5 9, ,5, ,5 0, ,5 5, ,5 0,5 ( 9,5) οπότε 967,5 9,6 ( ) + 6(,5) + (0,5) 9 + 5(5,5),6 5,776 + (0,5) Ο συτελεστής εταβλητότητας στο δείγα είαι CV 5, ,075 Για τη διακύαση έχουε ( 0, 5)

2 Όπως και στα η οαδοποιηέα δεδοέα, υπάρχει έας πιο εύχρηστος τύπος για τη διακύαση, που δε απαιτεί υπολογισό τω διαφορώ (ή για το δείγα) Παίροτας το αάπτυγα στο τύπο σ για τη διακύαση εός πληθυσού, βρίσκουε σ Άρα δείξαε ότι πορούε α χρησιοποιούε το τύπο σ Ατίστοιχα για το δείγα ισχύει

3 Η έση απόκλιση Για η οαδοποιηέα δεδοέα, η έση απόκλιση είαι A Έστω ότι έχουε και πάλι τιές ίσες ε στη η οάδα τιές ίσες ε στη η οάδα κλπ τιές ίσες ε στη - οάδα τότε παίρουε το τύπο για οαδοποιηέα δεδοέα, A Ατίστοιχα για το δείγα ο τύπος είαι α Βρίσκουε τη έση απόκλιση στο παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο ,5 9, ,5, ,5 0, ,5 5, ,5 0,5 Ο τύπος δίει α 9,5 + 6,5 + 0, ,5 + 0, , 5 6

4 Μέτρα ασυετρίας Οι καταοές διακρίοται γεικά σε συετρικές (π.χ. η καοική καταοή) θετικά ασύετρες αρητικά ασύετρες Σε ια συετρική καταοή, Οι τιές καταέοται οοιόορφα γύρω από τη έση τους τιή Η έση τιή, η διάεσος και η επικρατούσα τιή συπίπτου. Οι περισσότερες καταοές που χρησιοποιούε στη στατιστική δε είαι συετρικές. Έστω ότι έχουε έα σύολο δεδοέω,,...,. Ο συτελεστής ασυετρίας β ορίζεται από τη σχέση β Παρατηρούε ότι α z ( ) είαι οι τυποποιηέες τιές που ατιστοιχού στα δεδοέα, τότε ο συτελεστής ασυετρίας είαι ο αριθητικός έσος της τρίτης δύαης αυτώ τω τυποποιηέω τιώ β. z Πώς ετράε τη ασυετρία ιας καταοής; 7 8

5 Παράδειγα Έστω τα δεδοέα, 0,,, 5, Υπολογίζουε το συτελεστή ασυετρίας για τα δεδοέα αυτά. Η έση τιή. Για α βρούε το συτελεστή ασυετρίας β, κατασκευάζουε το πίακα. ( ) ( ) Σύολα Από το πίακα, βλέπουε ότι 6 ( ) 6, 6 ( ) 88. Συεπώς η διακύαση ισούται ε ( ) 5 και η τυπική απόκλιση είαι 6 5,. 6 7, 5 Άρα ο συτελεστής ασυετρίας είαι β 88 6 (5,) 88 85,,06. ( ) 9 0

6 Για οαδοποιηέα δεδοέα, ο συτελεστής ασυετρίας β γράφεται Για συετρικά δεδοέα, είαι προφαές από το τύπο ότι ισχύει pc 0. β ( ) Έας άλλος συτελεστής ο οποίος χρησιοποιείται είαι ο Έα άλλο έτρο ασυετρίας είαι ο δείκτης ασυετρίας του Peao pc ( m) Όσο εγαλύτερος (ικρότερος) είαι ο αριθητικός έσος από τη διάεσο, τόσο εγαλύτερη θετική (ατ. αρητική) ασυετρία παρουσιάζου τα δεδοέα. pc τ Για οοκόρυφες καταοές, ισχύει ότι τ Για συετρικά δεδοέα, έχουε και πάλι pc 0, εφόσο στη περίπτωση αυτή ο έσος και η επικρατούσα τιή συπίπτου. Αποδεικύεται ότι m, οπότε για το δείκτη ασυετρίας του Peao ισχύει πάτα pc.

7 Μέτρα κύρτωσης Η κύρτωση χαρακτηρίζει τη αιχηρότητα της καπύλης ιας καταοής. Με βάση τη κύρτωση, οι καταοές διακρίοται σε: λεπτόκυρτες εσόκυρτες πλατύκυρτες Ο συτελεστής κύρτωσης β ορίζεται από τη σχέση β ( ) Παρατηρούε και πάλι ότι α z είαι οι τυποποιηέες τιές που ατιστοιχού στα δεδοέα, τότε β z Για οαδοποιηέα δεδοέα, ο συτελεστής κύρτωσης β γράφεται β ( ) Σε ατίθεση ε το συτελεστή ασυετρίας, ο συτελεστής κύρτωσης παίρει όο θετικές τιές.

8 Για εσόκυρτες καταοές, όπως π.χ. η καοική, ισχύει β. Ότα η τιή του συτελεστή είαι β <, τότε η καταοή είαι πλατύκυρτη. Ότα η τιή του συτελεστή είαι β >, τότε η καταοή είαι λεπτόκυρτη. Παράδειγα Έστω ότι έχουε τα δεδοέα 0,, 7,,, 7, 0 Η έση τιή είαι 0. Για τη διακύαση και τους συτελεστές ασυετρίας και κύρτωσης, κατασκευάζουε το πίακα. ( ) ( ) ( ) Από το πίακα, βρίσκουε ότι 7 ( ), 7 7 ( ) 68, ( )

9 Συεπώς έχουε, πρώτα για τη διακύαση ( ) 6 άρα η τυπική απόκλιση είαι 7 6 7, Ο συτελεστής ασυετρίας είαι 0,06 ( ) β ( 68) 7 (7,) 55, Ο συτελεστής κύρτωσης είαι ( ) β (7,), Τα δεδοέα προέρχοται από ία πλατύκυρτη καταοή. Τα δεδοέα είαι πιθαό α προέρχοται από κάποια συετρική καταοή. Η ικρή αρητική ασυετρία στο δείγα φαίεται α οφείλεται στη τυχαιότητα του δείγατος. 7 8

10 Οι συτελεστές ασυετρίας και κύρτωσης χρησιοποιού τα αθροίσατα ( ), ( ) Για, κλπ. Τα αθροίσατα αυτά είαι παραδείγατα ροπώ για έα σύολο δεδοέω. Ορισός Γεικά η ροπή τάξης γύρω από το σηείο 0 ιας καταοής είαι το άθροισα ( ) Δύο ειδικές περιπτώσεις είαι: A. 0 0, τότε έχουε ροπές γύρω από τη αρχή (γύρω από το ηδέ) η ροπή τάξης είαι Για, έχουε 0 ο αριθητικός έσος B. 0, οπότε έχουε τη κετρική ροπή (ροπή γύρω από το έσο) τάξης, Για, παίρουε ( ) Για, Για, ( ) 0 ( ) κλπ. ( ) 9 0

11 Ατίστοιχα ορίζοται και οι ροπές για έα πληθυσό. Π.χ. η ροπή ης τάξης γύρω από το ηδέ Η ροπή ης τάξης γύρω από τη έση τιή ( ) σ η πληθυσιακή διακύαση Α έχουε οαδοποιηέα δεδοέα, διαστήατα, και είαι η απόλυτη συχότητα του διαστήατος, τότε η ροπή τάξης γύρω από το σηείο 0 είαι ( ) είαι η κετρική τιή του διαστήατος. Για 0 0, έχουε τη ροπή τάξης γύρω από τη αρχή 0 Ο λόγος είαι η σχετική συχότητα για το διάστηα και συβολίζεται συχά ε p αφού εκτιά τη πιθαότητα η εταβλητή ας α πάρει τιή στο διάστηα. Γράφοτας p,,,..., η ροπή τάξης γύρω από τη αρχή γράφεται p Για οαδοποιηέα δεδοέα, η κετρική ροπή τάξης είαι ( ) p ( )

12 Σχέση εταξύ κετρικώ ροπώ και ροπώ γύρω από το ηδέ Ότα γωρίζουε τις ροπές γύρω από τη αρχή,, για,,..., πορούε α βρούε τις ροπές γύρω από το έσο. Για, 0 Για, + + Για, Παρόοια για παίροτας το αάπτυγα ου βαθού κλπ.

13 Έστω ία εταβλητή Χ ε ροπή τάξης γύρω από το έσο (X ). Θεωρούε ία εταβλητή Υ α + β Χ Έστω (Y ) η κετρική ροπή τάξης της Υ. o Τότε ισχύει ( Y ) β ( X ) Παράδειγα Έστω τα παρακάτω δεδοέα ιας εταβλητής Χ 5.0, 5.06, 5., 5.7, 5., 5.7, 5.5 Ζητάε τις τρεις πρώτες κετρικές ροπές της Χ. Λύση Πολλαπλασιάζουε όλες τις τιές επί 00 ώστε α γίου ακέραιοι 50, 506, 5, 57, 5, 57, 55 Α αφαιρέσουε το 500 από κάθε τιή, τα δεδοέα γίοται, 6,, 7,, 7, 5 Οι τιές αυτές προέρχοται από ία εταβλητή Υ για τη οποία ισχύει Υ 00 Χ 500 Η πρώτη κετρική ροπή είαι ηδέ. Για α βρούε τη η και η ροπή της Υ, βρίσκουε πρώτα τη έση τιή και ετά κατασκευάζουε το πίακα 5 6

14 y 7 y y y ( y) y ( y y) Σύολο 76 5 Παρόοια, βρίσκουε για τη τρίτη ροπή 5 ( Y ) 7 9 από όπου παίρουε για τη εταβλητή Χ, 9 Y 6 X 9 0 0, Άρα 76 ( Y ) 7 5 Συεπώς, Y X 00 0,05 7 8

15 Άσκηση (6. στο βιβλίο) Α αυξηθού όλοι οι ισθοί κατά 0%, τότε και ο αριθητικός έσος αυξάεται κατά 0% ο καιούριος έσος όρος θα είαι 90, 9 Α αυξηθού όλοι οι ισθοί κατά 0, ο έος έσος θα είαι Στη πρώτη περίπτωση, η διακύαση θα πολλαπλασιαστεί επί (,), εώ στη δεύτερη (α αυξηθού όλοι οι ισθοί κατά ία σταθερή ποσότητα), η διακύαση παραέει σταθερή. ( ) ,

16 Άσκηση (8. στο βιβλίο) (α) Α από τις τιές ιας εταβλητής Χ αφαιρέσουε ια ποσότητα d, η έση τιή ελαττώεται κατά d εώ η διακύαση παραέει αετάβλητη. (β) Τι συβαίει ε τους συτελεστές ασυετρίας και κύρτωσης; Λύση (α) Έστω Υ Χ d, τότε για τις τιές στο δείγα έχουε. d y. ) ( d d d y y Για τη διακύαση ατίστοιχα έχουε [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( X Y d d y y (β) Ο συτελεστής ασυετρίας της Υ είαι [ ],,, X X X Y Y d d y y β β χρησιοποιώτας τα αποτελέσατα από το (α) παραπάω. Με παρόοιο τρόπο βρίσκουε ότι ο συτελεστής κύρτωσης είαι X X Y Y y y,, β β Οι δύο συτελεστές παραέου αετάβλητοι.

17 Άσκηση (8. στο βιβλίο) Κλάσεις F Σύολο 80 Να υπολογιστού Οι δύο πρώτες ροπές γύρω από το ηδέ Ο συτελεστής εταβλητότητας ο και ο τεταρτηόριο ο και 9 ο δεκατηόριο επικρατούσα τιή , Για τη δεύτερη ροπή παρόοια βρίσκουε ,67 Συεπώς για τη διακύαση παίρουε ότι 8 8 ( ) , (,)

18 Η τυπική απόκλιση είαι 807,98,5 Εποέως ο συτελεστής εταβλητότητας είαι CV,5, 0,75 Για το Q, βρίσκουε τη κλάση στη οποία αήκει 60,, L 0, 98, F 78 Άρα έχουε Q ,76 Παρόοια βρίσκουε ότι Q ,8 ( 60 78) ( 0 ) οπότε το εδοτεταρτηοριακό εύρος είαι IQR Q Q 5,95. Υπολογίζουε το πρώτο δεκατηόριο (το σηείο κάτω από το οποίο βρίσκεται το 0% τω παρατηρήσεω) Επειδή 80/08, από τις αθροιστικές συχότητες βλέπουε ότι το δεκατηόριο βρίσκεται στη η κλάση (90-0), συεπώς ( ) ισούται ε δ δ L + F L + F 0 0 Για το 9 ο ,8 ( 8 ) δεκατηόριο (κάτω από το οποίο βρίσκεται το 90% τω παρατηρήσεω), έχουε 9 0 L, 5 συεπώς ( 5) δ5 9 + F ,. ( 76) 5 6

19 Για τη επικρατούσα τιή, βλέπουε ότι η κλάση ε τη εγαλύτερη συχότητα είαι η η ( ) Η επικρατούσα τιή είαι τ L + δ ( ) + ( ) (98 5) + (98 8) Ερώτηση πολλαπλής επιλογής Δίεται το δείγα τιώ από ία εταβλητή X 8,, 0, 0, 50. Με βάση το δείγα, η διακύαση της εταβλητής ισούται ε α. 8 β. 660 Y 5 X + 0 γ. 660 δ ε. 800 [Απάτηση: ε] 7 8

Β.2.6. Γεωµετρικός µέσος.

Β.2.6. Γεωµετρικός µέσος. 6 Β..6. Γεωετρικός έος. α) Τα δεδοέα δίοται ααλυτικά Οριός Β.. Έτω ότι τα δεδοέα είαι δοέα ααλυτικά ( τιές που ατιτοιχού τα άτοα του πληθυού): i, i,,,..., Οοάζουε Γεωετρικό έο τω δεδοέω i, τη -οτή ρίζα

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

Η Μέθοδος Παραγοντοποίησης Ακεραίων Αριθών Number Field Sieve: Θεωρία και Υλοποίηση. Νικόλαος Καραπάνος

Η Μέθοδος Παραγοντοποίησης Ακεραίων Αριθών Number Field Sieve: Θεωρία και Υλοποίηση. Νικόλαος Καραπάνος Η Μέθοδος Παραγοντοποίησης Ακεραίων Αριθών Number Field Sieve: Θεωρία και Υλοποίηση Νικόλαος Καραπάνος Master Thesis Επιβλέπων: Παύλος Σπυράκης, Καθηγητής Τήα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήιο Πατρών

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής ε ν ό τ η τ α 1 1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής Οι εφαρμογές των μεθόδων της στατιστικής είναι ευρείες. Πριν την αναφορά μας για τη χρησιμότητα της στατιστικής, είναι σκόπιμο να παραθέσουμε τους παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

( Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ)

( Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Χ. ΑΜΙΑΝΟΥ, Ν. ΠΑΠΑ ΑΤΟΣ, Χ. Α. ΧΑΡΑΛΑΜΠΙ ΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΑΘΗΝΑ 003 Στη Ρίτα Στη Χρυούλα Στη Λέα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ατί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι µεταβλητές µιας στατιστικής έρευνας αποτελούνται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει. Για να

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2.

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. Κεφάλαιο 17 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17.3. ΤΟ χ 2 ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 17.3.1. Ένα ερευνητικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

3. Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών)

3. Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών) Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών) Μια «πολύπλοη» συνάρτηση f, δυό μεταβλητών, μπορεί να προσεγγιστεί (στην γειτονιά ενός σημείου (,y)) από μια πολυωνιμιή συνάρτηση με την βοήθεια του αναπτύγματος

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΟΥΡΛΑΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 ( ) ( ) ( ) = 4( ) d d ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΘΗΝΑ 00 Email: dsourlas@phsics.upatras.gr www.phsics.upatras.gr

Διαβάστε περισσότερα

Εξαιτίας της συμβολής δύο κυμάτων του ίδιου πλάτους και της ίδιας συχνότητας. που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο

Εξαιτίας της συμβολής δύο κυμάτων του ίδιου πλάτους και της ίδιας συχνότητας. που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Τι ονομάζουμε στάσιμο κύμα f()=0.5sin() Εξαιτίας της συμβοής δύο κυμάτων του ίδιου πάτους και της ίδιας συχνότητας που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό εαστικό μέσο με αντίθετη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΑΠ ΝΔΦΚ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΑ

ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΑΠ ΝΔΦΚ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΑ Αρχικό Κεφάλαιο (principal), ονομάζεται το ποσό των χρημάτων που δανείζεται κάποιος κατά τη σύναψη ενός δανείου Το ποσό αυτό που

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα