Μέτρηση της ευαισθησίας φωτεινής αντίθεσης (contrast sensitivity) µε χρήση κάθετων grating.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μέτρηση της ευαισθησίας φωτεινής αντίθεσης (contrast sensitivity) µε χρήση κάθετων grating."

Transcript

1 Π. Σαπουντζής Μέτρηση της ευαισθησίας φωτεινής αντίθεσης (contrast sensitivity) µε χρήση κάθετων grating. Για τη µελέτη των λειτουργικών χαρακτηριστικών της χωρικής όρασης (spatial vision) είναι απαραίτητη η χρήση κατάλληλων οπτικών ερεθισµάτων. Λόγω της παρατήρησης ότι οι νευρώνες στην οπτική οδό είναι εξειδικευµένοι σε διαφορετικές χωρικές συχνότητες, ο απλούστερος τρόπος για την αξιολόγηση της ευαισθησίας φωτεινής αντίθεσης (contrast sensitivity), είναι η χρησιµοποίηση ερεθισµάτων µε κάποια περιοδική διαµόρφωση, όπως τα gratings τα οποία έχουν το πλεονέκτηµα ότι µπορούν να εκφραστούν µαθηµατικά. Τα gratings αποτελούνται από εναλλασσόµενες φωτεινές και σκοτεινές ράβδους (βλ. Εικ.1). Φωτεινότητα (L) L 1 cycle L max L mean L min Φωτεινότητα (L) 1 cycle L max L mean L min Οριζόντια Θέση (χ) Εικ.1. Gratings µε τετραγωνική (square wave) και ηµιτονοειδή (sine wave) διαµόρφωση

2 Γενικά Αν πολλαπλασιάσουµε τις συναρτήσεις cosχ ή sinχ εξωτερικά µε έναν αριθµό αυτό θα µεταβάλλει την µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της συνάρτησης. Έτσι ενώ η µέγιστη τιµή που µπορούν να πάρουν οι συναρτήσεις cosχ και sinχ είναι 1 και η ελάχιστη -1, η συνάρτηση για παράδειγµα sinχ έχει µέγιστη τιµή και ελάχιστη -. Εικ.. Η συνάρτηση για sinχ έχει µέγιστη τιµή και ελάχιστη - ( ), ενώ η συνάρτηση sinχ έχει µέγιστη τιµή 1 και ελάχιστη -1 ( ). Στην περίπτωση των gratings (εικ. 1) αυτό που διαφοροποιείται µε τις αλλαγές της ελάχιστης και µέγιστης τιµής είναι το contrast. Η φωτεινότητα παραµένει σταθερή. Η απόσταση της µέγιστης τιµής µιας ηµιτονοειδούς συνάρτησης από τον χ άξονα λέγεται πλάτος της συνάρτησης. Έτσι η συνάρτηση sinχ έχει πλάτος (amplitude) 1 ενώ η sinχ έχει πλάτος (βλ. Εικ.). Εικ.3. Η συνάρτηση sinχ ( ) έχει µεγαλύτερη συχνότητα από τη sinχ ( ), ταλαντώνεται δηλαδή πιο γρήγορα. - -

3 Αν πολλαπλασιάσουµε τις συναρτήσεις cosχ ή sinχ εσωτερικά µε έναν αριθµό αυτό θα µεταβάλλει την συχνότητα (frequency) της συνάρτησης. Όσο µεγαλύτερος είναι ο αριθµός µε τον οποίο πολλαπλασιάζουµε εσωτερικά την συνάρτηση τόσο µεγαλύτερη είναι η συχνότητα της. Έτσι η συνάρτηση sinχ έχει µεγαλύτερη συχνότητα από τη sinχ (βλ. Εικ.3). Σειρές Fourier Ορισµός : Αρµονικό λέγεται ένα κύµα το οποίο έχει ηµιτονοειδή ή συνηµιτονοειδή µορφή. ιαφορετικά λέγεται µη αρµονικό. Παραδείγµατα: (α) (β) Εικ.. Οι αρµονικές συναρτήσεις ηµχ (α), συνχ (β) Το ανάπτυγµα σε σειρά Fourier µας επιτρέπει να αναλύσουµε ένα περιοδικό, µε περίοδο, αλλά µη αρµονικό κύµα (Εικ.5), σε άθροισµα αρµονικών συναρτήσεων (ηµίτονων, συνηµίτονων), που έχουν περίοδο ακέραια X X υποπολλαπλάσια της περιόδου του αρχικού κύµατος, δηλαδή X,, κ.τ.λ. 3 Η τεχνική αυτή πήρε το όνοµα της από τον Γάλλο µαθηµατικό Jean Baptiste Joseph, Baron de Fourier ( ). Έτσι µια περιοδική συνάρτηση f (x) µπορεί να παρασταθεί ως µία σειρά Fourier της µορφής, A0 f ( x) = + Am cos mkx + Bm sin mkx m= 1 όπου k = π, η περίοδος του κύµατος. m= 1-3 -

4 Εικ.5. Η µη αρµονική, αλλά περιοδική, συνάρτηση f ( x) = ηµχ + ηµ χ. Οι συντελεστές A 0, A, B προσδιορίζονται από τις παρακάτω σχέσεις. m m A0 Am = = X 0 0 f ( x) dx, 0 f ( x)cos mkxdx, Bm = f ( x)sin mkxdx X Ο προσδιορισµός των παραπάνω συντελεστών, αναφέρεται ως ανάλυση Fourier. Τυχόν συµµετρίες της συνάρτησης που αναλύεται σε σειρά Fourier, µπορεί να απλοποιήσει σηµαντικά τους υπολογισµούς. Έτσι αν η συνάρτηση f (x) είναι άρτια δηλαδή συµµετρική γύρω από τον άξονα yy τότε η σειρά Fourier θα περιέχει µόνο συνηµίτονα (που είναι άρτιες συναρτήσεις). ηλαδή θα είναι B m = 0 για όλα τα m. Παρόµοια αν η συνάρτηση είναι περιττή δηλαδή είναι συµµετρική ως προς την αρχή των αξόνων τότε η σειρά Fourier θα περιέχει µόνο ηµίτονα. ηλαδή θα είναι A m = 0 για όλα τα m. Για παράδειγµα ας υπολογίσουµε το ανάπτυγµα Fourier ενός τετραγωνικού κύµατος, µε περίοδο, αυτού που οι Campbell και Robson (1967) χρησιµοποίησαν στην εργασία τους. Το κύµα φαίνεται στην Εικ. 6 και περιγράφεται µαθηµατικά από τη σχέση, + 1,0 < x < X / f ( x) = 1, / < x < X - -

5 Εικ.6. Square wave, µε περίοδο, συµµετρικό ως προς την αρχή των αξόνων. Επειδή η f (x) είναι περιττή θα είναι A m = 0, και δηλαδή, επειδή όµως Bm = B m = X / 0 ( + 1)sin mkxdx + X 1 [ cos mkx] mπ k = π, παίρνουµε 1 mπ X / ( 1)sin mkxdx X / X 0 + [cos mkx] X / B m = (1 cos mπ ),για m = 1,,3, mπ Εποµένως οι συντελεστές Fourier είναι, B = 1 π, B = 0, B 3 =, 3π B = 0, B 5 =,, 5π και η σειρά που προκύπτει είναι, 1 1 f (x) = (sinκχ + sin 3κχ + sin 5κχ +...). π 3 5 Ο όρος της σειράς Fourier µε τη µικρότερη συχνότητα κχ π sin λέγεται θεµελιώδης (fundamental), ενώ οι υπόλοιποι όροι είναι γνωστοί ως αρµονικές (harmonics). Στη σειρά Fourier του παραδείγµατος απουσιάζουν οι άρτιοι όροι και έτσι εµφανίζονται µόνο οι περιττές αρµονικές (3 η, 5 η κ.τ.λ.). Στα παρακάτω σχήµατα βλέπουµε πώς η θεµελιώδης συχνότητα µαζί µε τις αρµονικές προσεγγίζουν το τετράγωνο κύµα

6 (α) Η θεµελιώδης συχνότητα κχ π sin. (β) Η θεµελιώδης + την 3 η αρµονική sin 3κχ 3π (γ) Η θεµελιώδης + την 3 η + την 5 η αρµονική sin 5κχ 5π - 6 -

7 ρήση των σειρών Fourier στην ανάλυση των gratings. Η ανάλυση Fourier,όπως είδαµε παραπάνω, δείχνει ότι ένα τετραγωνικό κύµα µπορεί να γραφεί ως άθροισµα ηµίτονων των οποίων οι συχνότητες είναι περιττά πολλαπλάσια της θεµελιώδους (fundamental) συχνότητας. Έτσι ένα τετράγωνο κύµα µε περίοδο και πλάτος 1 µπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισµα της άπειρης σειράς, πχ (sin + π 1 sin 3 3 πχ + 1 sin 5 5 πχ +...) 1 1 ή (sinκχ + sin3κχ + sin5κχ +...) π 3 5, όπου κ = π Παρατηρούµε ότι το πλάτος του πρώτου όρου της σειράς (θεµελιώδης) είναι /π ενώ τα πλάτη των υπόλοιπων όρων (3 η, 5 η αρµονική) συνεχώς µειώνονται (/3π για την 3 η αρµονική, /5π για την 5 η αρµονική κ.τ.λ.), ενώ ταυτόχρονα αυξάνονται και οι συχνότητες τους (το χ πολλαπλασιάζεται µε µεγαλύτερο αριθµό). Η τρίτη αρµονική για παράδειγµα έχει τρεις φορές µεγαλύτερη συχνότητα από την θεµελιώδη και τρεις φορές µικρότερο πλάτος. Εικ.7. Επάνω: H καµπύλη ευαισθησίας φωτεινής αντίθεσης (contrast sensitivity function) για τους δύο τύπους grating, sine wave ( ) και square wave ( ). Κάτω: O λόγος των contrast sensitivities για κάθε χωρική συχνότητα. Η συνεχής γραµµή δηλώνει τον λόγο /π. (Campbell and Robson 1967)

8 Από την Εικ.7 βλέπουµε ότι η καµπύλη ευαισθησίας φωτεινής αντίθεσης (contrast sensitivity function) φθίνει για συχνότητες µεγαλύτερες των 3 c/deg και άρα περιµένουµε ότι για ένα square wave µε µεγάλη συχνότητα, οι 3 ες,5 ες, αρµονικές θα είναι δυσδιάκριτες λόγω της µεγάλης τους συχνότητας και του µικρού τους πλάτους. Για αυτό το λόγο η ορατότητα ενός square wave grating καθορίζεται από το πλάτος του 1 ου όρου ( κχ π sin ). Το ερώτηµα είναι εάν το οπτικό µας σύστηµα αναλύει το σήµα που προσλαµβάνει σε σειρά Fourier. Ένα αυτό συµβαίνει τότε θα πρέπει η ευαισθησία µας στο contrast όταν το οπτικό ερέθισµα είναι ένα square wave grating (το οποίο περιγράφεται µαθηµατικά, από τη συνάρτηση κχ π sin, δηλαδή τον θεµελιώδη όρο), να είναι /π φορές µεγαλύτερη από την ευαισθησία σε ένα sine wave grating ίδιας συχνότητας (το οποίο περιγράφεται µαθηµατικά από τη συνάρτηση sin κχ ). Για να εξεταστεί αυτή η υπόθεση υπολογίστηκε από τους Campbell και Robson ο λόγος των contrast sensitivities (square/sine) για κάθε χωρική συχνότητα και τα αποτελέσµατα φαίνονται στην Εικ.7 κάτω. Είναι φανερό ότι ο λόγος δεν παρεκκλίνει σηµαντικά από την τιµή /π για συχνότητες µεγαλύτερες των 0,8 c/deg. Για συχνότητες µικρότερες των 0,8 c/deg η 3 η αρµονική (~, c/deg) συνεισφέρει περισσότερο από την θεµελιώδη στην οπτική αντίληψη του αµφιβληστροειδικού ειδώλου µια και ο οφθαλµός παρουσιάζει µεγαλύτερη contrast sensitivity για αυτή την συχνότητα. Ως αποτέλεσµα, όταν η χωρική συχνότητα ενός square wave, του οποίου το contrast βρίσκεται κοντά στο threshold, είναι µεγαλύτερη από 0,8 c/deg το square wave προσλαµβάνεται ως sine wave (µε πλάτος /π), παρουσιάζει δηλαδή την ίδια συνάρτηση (function). Για χωρικές συχνότητες όµως µικρότερες των 0,8 c/deg το threshold που καταγράφεται είναι πολύ µικρότερο (η ευαισθησία εποµένως µεγαλύτερη) όταν η εξέταση γίνεται µε square wave grating. Εξαιτίας των ατελειών που κάθε οπτικό σύστηµα παρουσιάζει το contrast του αµφιβληστροειδικού ειδώλου ενός grating θα είναι µικρότερο από αυτό του προβαλλόµενου grating. Ακόµα και αν υποθέσουµε πως ο οφθαλµός δεν παρουσιάζει εκτροπές χαµηλής και υψηλής τάξης, ο σχηµατισµός ευκρινούς αµφιβληστροειδικού ειδώλου θα περιορίζεται από τα όρια ευκρίνειας των φωτοϋποδοχέων και την περίθλαση. Έτσι για διάµετρο κόρης,5 mm, οι Fourier συνιστώσες ενός αντικειµένου µε χωρικές συχνότητες µεγαλύτερες από 78 c/deg (λ=560 nm) δεν απεικονίζονται ευκρινώς στον αµφιβληστροειδή, ενώ προκαλείται και aliasing λόγω της υπο-δειγµατοληψίας (under-sampling) των φωτοϋποδοχέων. Εποµένως ένα square wave grating µε θεµελιώδη συχνότητα µεγαλύτερη των 6 c/deg θα απεικονιστεί στον αµφιβληστροειδή ως είδωλο του οποίου οι υψηλότερες αρµονικές (78 c/deg και πάνω) θα απουσιάζουν. (ένα square wave grating µε θεµελιώδη συχνότητα 6 c/deg παρουσιάζει 3 η αρµονική συχνότητα 3 x 6 = 78 c/deg). Με άλλα λόγια το είδωλο ενός square wave θα είναι ένα sine wave grating µε την ίδια χωρική συχνότητα. Εποµένως, λόγω του γεγονότος ότι το κύµα µε ηµιτονοειδή διαµόρφωση (sine wave) περιέχει µία µόνο χωρική συχνότητα αποτελεί το πιο κατάλληλο για την αξιολόγηση της χωρικής όρασης. Μετασχηµατισµός Fourier (Fourier Transform) Ο µετασχηµατισµός Fourier αποτελεί µία γενίκευση του αναπτύγµατος σε σειρά Fourier, µόνο που ο µετασχηµατισµός Fourier µπορεί να εφαρµοστεί και σε µη περιοδικές συναρτήσεις

9 Έτσι αν µία συνάρτηση εξαρτάται από µία χωρική µεταβλητή χ, ο µετασχηµατισµός Fourier την µετατρέπει σε συνάρτηση (χωρικής) συχνότητας f = χ 1. Αν η µεταβλητή της µετασχηµατιζόµενης συνάρτησης είναι χρονική (t), o µετασχηµατισµός Fourier την µετατρέπει σε συνάρτηση χρονικής συχνότητας ω = t 1. Με απλά λόγια θα µπορούσαµε να πούµε ότι ο µετασχηµατισµός Fourier µας δείχνει από ποιες συχνότητες αποτελείται η συνάρτηση µας και πόσο ισχυρές είναι αυτές. Παραδείγµατα: 1 1 Ι) Έστω η συνάρτηση, f (x) = (sin χ + sin 3χ + sin 5χ) π 3 5 που όπως είδαµε προηγουµένως οι όροι της αποτελούν τις τρεις πρώτες αρµονικές του τετραγωνικού κύµατος του παραπάνω παραδείγµατος ( για κ = 1 ). Κάθε όρος της παραπάνω συνάρτησης έχει διαφορετική συχνότητα, µε τον πρώτο όρο να περιέχει την µικρότερη συχνότητα (θεµελιώδη) και το µεγαλύτερο πλάτος (amplitude). Αυτό καθιστά τον πρώτο όρο τον πιο ισχυρό από τους τρεις, που όπως είδαµε παίζει τον σηµαντικότερο ρόλο στην προσέγγιση του τετραγωνικού κύµατος, µε αποτέλεσµα αυτή η συχνότητα να αντικατοπτρίζεται περισσότερο στο µτεασχηµατισµό Fourier. Η συνάρτηση f και ο µετασχηµατισµός της φαίνονται παρακάτω: Στα αριστερά ( ) είναι σχεδιασµένη η συνάρτηση f (χ) η οποία αποτελείται από τρεις διαφορετικές συχνότητες. εξιά ( ) φαίνεται ο Fourier µετασχηµατισµός F (u) όπου u = χ 1 η χωρική συχνότητα. Ο µετασχηµατισµός φανερώνει ότι η f (χ ) αποτελείται από τρεις διαφορετικές συχνότητες ισχυρότερη εκ των οποίων είναι η πρώτη (στον άξονα ψ προβάλλεται η «ενέργεια» της συνάρτησης, η οποία εκφράζεται σε πλάτος/amplitude ή σε ισχύ/power = (amplitude) ). ΙΙ) Αν θεωρήσουµε τώρα τη συνάρτηση f ( χ ) = cos(6πχ) η οποία περιέχει µόνο µία συχνότητα (που είναι 3), o µετασχηµατισµός Fourier είναι : - 9 -

10 Πέρα από το Συνεχή Μετασχηµατισµό Fourier που ορίζεται για συνεχείς και ολοκληρώσιµες συναρτήσεις, ορίζεται και ο ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier (Discrete Fourier Transform) για ένα σύνολο από διακριτά σηµεία. Στα περισσότερα υπολογιστικά πακέτα ο µετασχηµατισµός Fourier υλοποιείται µε έναν αλγόριθµο ο οποίος εκτελεί τον µετασχηµατισµό Fourier περίπου 600 φορές γρηγορότερα. Ο αλγόριθµος αυτός είναι γνωστός ως Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier (Fast Fourier Transform FFT). O µετασχηµατισµός Fourier µιας πραγµατικής συνάρτησης φ (χ), είναι συνήθως µιγαδική συνάρτηση (της συχνότητας f ), έχει δηλαδή τη µορφή, F ( f ) = R( f ) + ii( f ) όπου R ( f ) και I ( f ) είναι το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος της F ( f ) αντίστοιχα. Μπορούµε να εκφράσουµε την F( f ) σε εκθετική µορφή δηλαδή, iphase( f ) F ( f ) = Amplitude( f ) e όπου, 1 I( f ) Amplitude ( f ) = F ( f ) = R ( f ) + I ( f ) και Phase ( f ) = tan. R( f ) Το µέτρο F ( f ) ονοµάζεται Fourier spectrum ή Fourier amplitude, η φάση Phase ( f ) phase spectrum, ενώ η ποσότητα F ( f ) power spectrum. Natural Scenes (Εικόνες που συναντώνται στην φύση) Η δηµιουργία και η εξέλιξη ενός νευρωνικού συστήµατος κατευθύνεται από τρεις βασικούς παράγοντες. (α) Τις λειτουργίες που ένας οργανισµός πρέπει να επιτελέσει, (β) τις υπολογιστικές ικανότητες και περιορισµούς των νευρώνων και (γ) το περιβάλλον στο οποίο ο οργανισµός ζει. Θεωρητικές µελέτες και µοντέλα νευρωνικής επεξεργασίας έχουν επηρεαστεί περισσότερο από τα δύο πρώτα. Πρόσφατες εξελίξεις σε στατιστικά µοντέλα, σε συνδυασµό µε ισχυρά υπολογιστικά εργαλεία, έχουν αυξήσει το ενδιαφέρον για το ρόλο που παίζει το περιβάλλον στο καθορισµό της δοµής και της λειτουργίας των νευρώνων και γενικότερα του οπτικού µας συστήµατος

11 Κωδικοποιώντας, κατά τα στάδια της εξέλιξης, τα σηµαντικότερα ερεθίσµατα (τροφή, εχθρούς, συντρόφους) το καταλληλότερο οπτικό σύστηµα θα έπρεπε να επιβιώσει. Με βάση αυτή τη θεώρηση, τα στατιστικά χωροχρωµατικά χαρακτηριστικά των φυσικών σκηνών θα πρέπει να έχουν καθορίσει τα χαρακτηριστικά των πρωίµων οπτικών οδών, έτσι ώστε να περιοριστεί κατά το δυνατόν η διαβίβασή περιττών σηµάτων και να διαχωριστεί το χρήσιµο σήµα από το θόρυβο. Για τον έλεγχο αυτής της υπόθεσης υπάρχουν δύο βασικές µέθοδοι. Η πιο άµεση προσέγγιση είναι η εξέταση των νευρωνικών αποκρίσεων, όταν το ερέθισµα είναι κάποια φυσική σκηνή. Μια δεύτερη προσέγγιση αποτελεί η µελέτη των στατιστικών χαρακτηριστικών των φυσικών εικόνων και η συσχέτιση τους µε τις αποκρίσεις των νευρώνων. Για αυτό το λόγο είναι απαραίτητη η συλλογή εικόνων, µε χρήση κατάλληλα βαθµονοµηµένων φωτογραφικών µηχανών, οι οποίες να απεικονίζουν, όσο αυτό είναι δυνατό, το φυσικό περιβάλλον µέσα στο οποίο εξελίχθηκε το οπτικό µας σύστηµα και στη συνέχεια η στατιστική µελέτη (κυρίως µε χρήση µετασχηµατισµού Fourier) αυτών των εικόνων. Μια βασική παρατήρηση που προήλθε από την ανάλυση φυσικών εικόνων είναι ότι αυτές περιέχουν παρόµοια στατιστικά χαρακτηριστικά. Έτσι έχει αποδειχθεί (Field, 1987, Burton and Moorhead, 1987, Parraga et al., 1998) ότι η ενέργεια (amplitude) των φυσικών εικόνων µετά από µετασχηµατισµό Fourier ακολουθεί τον παρακάτω νόµο, a Ampliude( f ) = f ηλαδή όταν παρασταθεί γραφικά, σε λογαριθµικούς άξονες, το amplitude µειώνεται σχεδόν γραµµικά µε κλίση α καθώς αυξάνεται η χωρική συχνότητα f. Οι φυσικές εικόνες αποτελούνται περισσότερο από χαµηλές χωρικές συχνότητες. Έχει αποδειχθεί ότι το α παίρνει τιµές από 0,8 µέχρι 1,5 µε µέση τιµή 1, (SD = 0,13), ανάλογα µε το «περιεχόµενο» της εικόνας (βλέπε Εικ.8, Tolhurst et. al 199))

12 Εικ.8. Τρεις φυσικές αχρωµατικές σκηνές και το Fourier amplitude, συναρτήσει της χωρικής συχνότητας, για κάθε µία από αυτές, σχεδιασµένο σε λογαριθµικούς άξονες. Παρατηρούµε πως και για τις τρεις το amplitude µειώνεται γραµµικά. Oι κλίσεις των τριών ευθειών (το α δηλαδή) είναι 1.8,1.,1.00 αντίστοιχα. (Tolhurst et. al 1991). H ίδια σχέση ισχύει και για χρωµατικές εικόνες (Parraga et. al 00). Η µορφή της εξάρτησης που έχει το amplitude από τη χωρική συχνότητα f δηλώνει πως οι χαµηλές και οι µεσαίες χωρικές συχνότητες παίζουν σηµαντικότερο ρόλο στη δηµιουργία µιας φυσικής σκηνής από ότι οι υψηλές και πως η σχέση αυτή είναι γραµµική. Θυµίζουµε πως οι υψηλές χωρικές συχνότητες σε µία εικόνα, καθορίζουν τα άκρα και τις λεπτοµέρειες αυτής της εικόνας (βλ. Εικ. 9). Αρχική εικόνα αµηλές και µεσαίες χωρικές συχνότητες Υψηλές χωρικές συχνότητες Εικ. 9. Πως οι χαµηλές, οι µεσαίες και οι υψηλές χωρικές συχνότητες καθορίζουν τη µορφή µιας εικόνας. Έτσι µία φυσική σκηνή η οποία περιέχει αρκετές λεπτοµέρειες, η εξάρτηση της δηλαδή από τις υψηλές χωρικές συχνότητες είναι µεγάλη, η κλίση της ευθείας περιµένουµε πως θα είναι µικρότερη, θα έχει δηλαδή µικρότερο α

13 Σ. ΠΛΑΪΝΗΣ Εφαρµογές µετασχηµατισµού Fourier στις Επιστήµες της Όρασης Ο µετασχηµατισµός Fourier έχει πολλές εφαρµογές κυρίως στην επεξεργασία και ανάλυση δεδοµένων που παρουσιάζουν χρονική διαµόρφωση. Σε αυτές τις περιπτώσεις σηµαντική παράµετρο αποτελεί η συχνότητα ανάλυσης (frequency analysis) η οποία πρέπει να είναι τουλάχιστον µισή (αξίωµα Nyquist) της συχνότητας δειγµατοληψίας (sampling frequency). Επίσης όσος µεγαλύτερος είναι ο χρόνος δειγµατοληψίας (sampling time) τόσο µικρότερη (και εποµένως πιο ακριβής) είναι το διακριτό όριο (bin size) της συχνότητας ανάλυσης (frequency resolution): frequency resolution = 1 / sampling time. Για παράδειγµα, ένα σήµα που καταγράφεται για συνολικό χρόνο 0 sec (βλ. Εικόνα 1α) µε ένα όργανο που παρουσιάζει 6Hz ανάλυση, µας δίνει 0*6 σηµεία και µας επιτρέπει να εφαρµόσουµε ένα µετασχηµατισµό Fourier µε ανάλυση συχνότητας 13 Hz µε διακριτό όριο ανάλυσης 1/0 = 0.05 Hz (βλ. Εικόνα 1β). Εικόνα 1: (επάνω) Καταγραφή της σταθερότητας (και εποµένως των διακυµάνσεων) της προσαρµοστικής ικανότητας για ένα ερέθισµα µε vergence 1.5D. Οι βλεφαρισµοί (blinks) έχουν φιλτραρηθεί από το επεξεργαζόµενο σήµα. (κάτω) Μετασχηµατισµός Fourier της σταθερότητας προσαρµογής (ισχύς του σήµατος σε σχέση µε την συχνότητα του). Είναι εµφανές ότι εκτός από τις χαµηλές χωρικές συχνότητες που παρουσιάζουν έντονη ισχύ, σηµαντική συµµετοχή παρουσιάζουν και συχνότητες Hz. Αυτές έχουν συσχετισθέι µε το αρτηριακό παλµό

14 Σ. ΠΛΑΪΝΗΣ Εικόνα : Μετασχηµατισµός Fourier των διακυµάνσεων των εκτροπών χαµηλής και υψηλής τάξης του οφθαλµού µετά από: (αριστερά) κυκλοπληγία - έχει εξουδετερωθεί η προσαρµογή, (κέντρο) κοντινή προσαρµογή, (δεξιά) µακρυνή εστίαση. Η συνεχόµενη γραµµή αποτελεί το defocus, ενώ οι υπόλοιπες εκτροπές υψηλής τάξης. Είναι εµφανές ότι (ι) η ισχύς µειώνεται γρανµµικά µε την αυξανόµενη συχνότητα, (ιι) η διακυµάνσεις της προσαρµογής επηρεάζουν κυρίως το defocus (σφαίρωµα) και πολύ λιγότερο τις άλλες εκτροπές. Το επόµενο παράδειγµα (εικόνα 3 και ), αφορά ηλεκτροµυογραφικές µετρήσεις του µυ που περικλείει τον οφθαλµό και είναι υπεύθυνος για το κλείσιµο των βλεφάρων, τον orbicularis occuli. Η εικόνα 3 (πάνω) παρουσιάζει το σήµα απουσία φωτεινού ερεθίσµατος (noise) για χρονικό διάστηµα sec. Στην κάτω εικόνα παρουσιάζοναι αποκρίσεις παρουσία φωτεινού ερεθίσµατος για τα πρώτα δευτερόλεπτα και απουσίας για τα επόµενα. Είναι εµφανές ότι παρουσία ερεθίσµατος οι αποκρίσεις αυξάνονται σηµαντικά. Εικόνα 3: Καταγραφή των ηλεκτρικών αποκρίσεων του µυ orbicularis occuli: (επάνω) απουσία φωτεινού ερεθίµσµατος, (κάτω) παρουσία φωτεινού ερεθίσµατος (φωτεινότητα 75 lux) για τα δύο πρώτα δευτερόλεπτα. Στην εικόνα γίνεται σύγκριση του Μετασχηµατισµού Fourier του θορύβου και παρουσία ερεθίσµατος. Από την σύγκριση µπορούµε να υπολογίσουµε το πηλίκο - -

15 Σ. ΠΛΑΪΝΗΣ signal/noise. Αυτό στην προκειµένη περίπτωση µας βοήθησε να συµπεράνουµε ότι παρόλο που το σήµα παρουσιάζει την µεγαλύτερη ενέργεια σε συχνότητες Hz, οι ιδανικότερες συχνότητες γα καταγαφή είναι αυτές µεταξύ 175-5Hz (όπου signal/noise είναι µεγαλύτερο). Ως αποτέλεσµα καταλήξαµε στην χρήση ενός φίλτρου για που «έκοβε» συχνότητες εκτός του παραπάνω φάσµατος κατά την επεξεργασία του σήµατος. Αυτό µας οδήγησε σε ακριβέστερη ανάλυση και ποσοτικοποίηση των δεδοµένων. Εικόνα : Μετασχηµατισµός Fourier για τις ηλεκτοµυογραφικές αποκρίσεις της εικόνας 3. Οι λευκές και µαύρες στήλες αντιστοιχούν σε σήµα και σε θόρυβο. Εικόνα 5: (αριστερά) Το φίλτρο που χρησιµοποιήθηκε για την ανάλυση και επεξεργασία του ηλεκτροµυογραφικού σήµατος, (δεξιά) µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος µετά την επεξεργασία, η οποία συνέβαλε στην ακριβέστερη ποσοτικοποίηση των αποκρίσεων (στην προκειµένη περίπτωση υπολογίστηκε το ολοκλήρωµα του σήµατος για όλες τις συχνότητες)

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER (H ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα σχέσεων διασποράς Παραπάνω, φαίνεται η απόκριση ενός διηλεκτρικού µέσου σε

Παραδείγµατα σχέσεων διασποράς Παραπάνω, φαίνεται η απόκριση ενός διηλεκτρικού µέσου σε Παραδείγµατα σχέσεων διασποράς Παραπάνω, φαίνεται η απόκριση ενός διηλεκτρικού µέσου σε ηλεκτροµαγνητικό κύµα κυκλ. Συχνότητας ω. Παρατηρούµε ότι η πολωσιµότητα του µέσου εξαρτάται µε την εκφραση 2.42

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

ORIENTATIONAL SELECTIVITY OF THE HUMAN VISUAL SYSTEM. Polyak 1957

ORIENTATIONAL SELECTIVITY OF THE HUMAN VISUAL SYSTEM. Polyak 1957 Polyak 1957 ΗΡΑΚΛΕΙΟ 12/01/2005 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι Hubel & Weisel ήδη από το 1959 πειραµατιζόµενοι σε γάτες έδειξαν ότι πολλοί από τούς νευρώνες του πρωτοταγούς οπτικού φλοιού V1 αποκρίνονται διαφορετικά σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER Ανάλυση σημάτων και συστημάτων Ο μετασχηματισμός Fourier (DTFT και DFT) είναι σημαντικότατος για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων Εντοπίζει

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση ΦΥΣ 131 - Διαλ.34 1 KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση q Παλµός πάνω σε χορδή: Ένα άκρο της σταθερό (δεµένο) Προσπίπτων Ο παλµός ασκεί µια δύναµη προς τα πάνω στον τοίχο ο οποίος ασκεί µια δύναµη προς τα κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα 3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429 4. Σήματα 1 Σήματα Σήματα είναι: σχήματα αλλαγών που αντιπροσωπεύουν ή κωδικοποιούν πληροφορίες σύνολο πληροφορίας ή δεδομένων σχήματα αλλαγών στο χρόνο, π.χ. ήχος, ηλεκτρικό σήμα εγκεφάλου

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας Δυναμική Μηχανών I Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο 7 4 Πεδίο της Συχνότητας 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι. Σημειώσεις Εργαστηριακών Ασκήσεων

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι. Σημειώσεις Εργαστηριακών Ασκήσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρικών Βιομηχανικών Διατάξεων και Συστημάτων Αποφάσεων ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι Σημειώσεις Εργαστηριακών

Διαβάστε περισσότερα

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο.

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο. Κεφάλαιο T2 Κύµατα Είδη κυµάτων Παραδείγµατα Ένα βότσαλο πέφτει στην επιφάνεια του νερού. Κυκλικά κύµατα ξεκινούν από το σηµείο που έπεσε το βότσαλο και αποµακρύνονται από αυτό. Ένα σώµα που επιπλέει στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T4. Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα

Κεφάλαιο T4. Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα Κεφάλαιο T4 Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα Κύµατα και σωµατίδια Τα κύµατα είναι πολύ διαφορετικά από τα σωµατίδια. Τα σωµατίδια έχουν µηδενικό µέγεθος. Τα κύµατα έχουν ένα χαρακτηριστικό µέγεθος το µήκος

Διαβάστε περισσότερα

Doppler Radar. Μεταφορά σήµατος µε την βοήθεια των µικροκυµάτων.

Doppler Radar. Μεταφορά σήµατος µε την βοήθεια των µικροκυµάτων. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 101 10. Άσκηση 10 Doppler Radar. Μεταφορά σήµατος µε την βοήθεια των µικροκυµάτων. 10.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο της επεξεργασίας σήματος αλλά και συχνή αιτία πονοκεφάλου για όσους πρωτοασχολούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ήχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1

Ήχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1 Ήχος Χαρακτηριστικά του ήχου Ψηφιοποίηση με μετασχηματισμό Ψηφιοποίηση με δειγματοληψία Κβαντοποίηση δειγμάτων Παλμοκωδική διαμόρφωση Συμβολική αναπαράσταση μουσικής Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα διάλεξης

Περιεχόμενα διάλεξης 7η Διάλεξη Οπτικές ίνες Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 1 Περιεχόμενα διάλεξης Διασπορά Πόλωσης Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. Page 1 Πόλωση Γενική θεωρία Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 3 Μηχανικό ανάλογο Εγκάρσια

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτική ικανότητα του οφθαλµού (Οπτική οξύτητα)

ιακριτική ικανότητα του οφθαλµού (Οπτική οξύτητα) Περίληψη ιακριτική ικανότητα του οφθαλµού (Οπτική οξύτητα) Σωτήρης Πλαΐνης, PhD ΒΕΜΜΟ Visual Science Lab Αξιολόγηση οπτικής συµπεριφοράς Οπτική οξύτητα Ελάχιστη γωνία α ευκρίνειας περιοριστικοί παράγοντες

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ . ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει μια γενική εικόνα του τι είναι σήμα και να κατατάξει τα διάφορα σήματα σε κατηγορίες ανάλογα με τις βασικές ιδιότητες τους. Επίσης,

Διαβάστε περισσότερα

NTÙÍÉÏÓ ÃÊÏÕÔÓÉÁÓ - ÖÕÓÉÊÏÓ www.geocities.com/gutsi1 -- www.gutsias.gr

NTÙÍÉÏÓ ÃÊÏÕÔÓÉÁÓ - ÖÕÓÉÊÏÓ www.geocities.com/gutsi1 -- www.gutsias.gr Έστω µάζα m. Στη µάζα κάποια στιγµή ασκούνται δυο δυνάµεις. ( Βλ. σχήµα:) Ποιά η διεύθυνση και ποιά η φορά κίνησης της µάζας; F 1 F γ m F 2 ιατυπώστε αρχή επαλληλίας. M την της Ποιό φαινόµενο ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κλινική χρήση των ήχων

Κλινική χρήση των ήχων Κλινική χρήση των ήχων Ήχοι και ακουστότητα Κύματα υπερήχων Ακουστικά κύματα, Ήχοι, Είδη ήχων Ήχους υπό την ευρεία έννοια καλούμε κάθε κύμα πίεσης που υπάρχει και διαδίδεται στο εσωτερικό των σωμάτων.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών - Πειράματα Μονοβαθμίων Συστημάτων (ΜΒΣ) σε Σεισμική Τράπεζα

Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών - Πειράματα Μονοβαθμίων Συστημάτων (ΜΒΣ) σε Σεισμική Τράπεζα ΠΠΜ 5: Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ, Πειράματα ΜΒΣ σε Σεισμική Τράπεζα Πανεπιστήμιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος ΠΠΜ 5: Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ Δυναμική

Διαβάστε περισσότερα

Παλμογράφος. ω Ν. Άσκηση 15:

Παλμογράφος. ω Ν. Άσκηση 15: Άσκηση 15: Παλμογράφος Σκοπός: Σε αυτή την άσκηση θα μάθουμε τις βασικές λειτουργίες του παλμογράφου και το πώς χρησιμοποιείται αυτός για τη μέτρηση συνεχούς και εναλλασσόμενης τάσης, συχνότητας και διαφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ήχος και φωνή. Τεχνολογία Πολυµέσων 04-1

Ήχος και φωνή. Τεχνολογία Πολυµέσων 04-1 Ήχος και φωνή Φύση του ήχου Ψηφιοποίηση µε µετασχηµατισµό Ψηφιοποίηση µε δειγµατοληψία Παλµοκωδική διαµόρφωση Αναπαράσταση µουσικής Ανάλυση και σύνθεση φωνής Μετάδοση φωνής Τεχνολογία Πολυµέσων 4-1 Φύση

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 6. Fourier Ανάλυση Σημάτων. (Επανάληψη Κεφ. 10.0-10.2 Κεφ. 10.3, 10.5-7) Ανάλυση σημάτων. Τι πρέπει να προσέξουμε

Διάλεξη 6. Fourier Ανάλυση Σημάτων. (Επανάληψη Κεφ. 10.0-10.2 Κεφ. 10.3, 10.5-7) Ανάλυση σημάτων. Τι πρέπει να προσέξουμε University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη (Επανάληψη Κεφ. 10.0-10. Κεφ. 10.3, 10.5-7) Ανάλυση σημάτων Τι πρέπει να προσέξουμε Επαρκής ψηφιοποίηση στο χρόνο (Nyquist) Αναδίπλωση (aliasing)

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων

Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 20 Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων Α. Εγκατάσταση Αφού κατεβάσετε το συµπιεσµένο αρχείο µε το πρόγραµµα επίδειξης, αποσυµπιέστε το σε ένα κατάλογο µέσα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

Μεταπτυχιακή Εργασία: Η σημασία της φωτεινότητας και του προσανατολισμού στην αντίληψη των φυσικών εικόνων. Ζαχόπουλος Βασίλειος

Μεταπτυχιακή Εργασία: Η σημασία της φωτεινότητας και του προσανατολισμού στην αντίληψη των φυσικών εικόνων. Ζαχόπουλος Βασίλειος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΠΤΙΚΗ & ΟΡΑΣΗ Μεταπτυχιακή Εργασία: Η σημασία της φωτεινότητας και του προσανατολισμού στην αντίληψη των φυσικών εικόνων Ζαχόπουλος Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. () t. Διαμόρφωση Γωνίας. Περιεχόμενα:

ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. () t. Διαμόρφωση Γωνίας. Περιεχόμενα: ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Περιεχόμενα: Διαμόρφωση Φάσης (PM) και Συχνότητας (FM) Διαμόρφωση FM από Απλό Τόνο - - Στενής Ζώνης - - Ευρείας Ζώνης - - από Πολλούς Τόνους Εύρος Ζώνης Μετάδοσης Κυματομορφών FM Απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά Κυµατικής Είδη κυµάτων: ιαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της ιάδοσης κυµάτων ΗΕξίσωσητουΚύµατος Κανόνας

Διαβάστε περισσότερα

4. Αναρµονικά περιοδικά κύµατα και σειρές Fourier

4. Αναρµονικά περιοδικά κύµατα και σειρές Fourier - 39-4. Αναρµονικά περιοδικά κύµατα και σειρές Furier Στο (κεφ. ) έχουµε περιγράψει αναλυτικά το αρµονικό συνηµιτονικού προφίλ κύµα: f(z,t)=αcs (ωt kz), το οποίο αποτελεί λύση της κυµατικής εξίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1 Στοιχειώδεις παρατηρήσεις.................... 3 1.2 + Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών........ 6 1.3 Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Συστηµάτν Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Όραση Α. Ιδιότητες των κυµάτων. Ανατοµικάστοιχείαοφθαλµού. Ορατό φως

Όραση Α. Ιδιότητες των κυµάτων. Ανατοµικάστοιχείαοφθαλµού. Ορατό φως Ιδιότητες των κυµάτων Όραση Α Μήκος κύµατος: απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών κυµατικών µορφών Συχνότητα: αριθµός κύκλων ανά δευτερόλεπτα (εξαρτάται από το µήκος κύµατος) Ορατό φως Ανατοµικάστοιχείαοφθαλµού

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµμάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµμάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµμάτων Διάλεξη 3: DSP for Audio Δρ. Θωµμάς Ζαρούχας Επιστηµμονικός Συνεργάτης Μεταπτυχιακό Πρόγραµμµμα: Τεχνολογίες και Συστήµματα Ευρυζωνικών Εφαρµμογών και Υπηρεσιών 1 Προεπισκόπηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη Διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT discrete cosine transform Η σχέση αποτελεί «πυρήνα»

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλεξία. http://diktya-epal-b.ggia.info Creative Commons License 3.0 Share-Alike

Πολυπλεξία. http://diktya-epal-b.ggia.info Creative Commons License 3.0 Share-Alike Πολυπλεξία Ανάλυση σημάτων στο πεδίο χρόνου, συχνότητας, πολυπλεξία διαίρεσης συχνότητας, πολυπλεξία διαίρεσης χρόνου (1.6 ενότητα σελ 19-20, 29-30 και στοιχεία από 2.1 ενότητα σελ. 52-58). http://diktya-epal-b.ggia.info

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή σε οπτική και μικροσκοπία

Εισαγωγή σε οπτική και μικροσκοπία Εισαγωγή σε οπτική και μικροσκοπία Eukaryotic cells Microscope Cancer Μικροσκόπια Microscopes Ποια είδη υπάρχουν (και γιατί) Πώς λειτουργούν (βασικές αρχές) Πώς και ποια μικροσκόπια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Τοαπλόεκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1 Την παρακάτω ανάλυση στο θέµα των Εξαναγκασµένων Ταλαντώσεων έκαναν οι : ρ. Μιχάλης Αθανασίου ρ. Απόστολος Κουιρουκίδης Φυσικοί, Επιστηµονικοί Συνεργάτες ΤΕΙ Σερρών, στα Τµήµατα Πληροφορικής -Επικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Συγχρονισμός Συμβόλων Εισαγωγή Σε ένα ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστημα, η έξοδος του φίλτρου λήψης είναι μια κυματομορφή συνεχούς χρόνου y( an x( t n ) n( n x( είναι

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Digital Image Processing

Digital Image Processing Digital Image Processing Intensity Transformations Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008. Image Enhancement: είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΩΛΗΝΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΣΤΟΝ ΑΕΡΑ ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ήχος. Υπεύθυνος Καθηγητής: Παζούλης Παναγιώτης

Ο Ήχος. Υπεύθυνος Καθηγητής: Παζούλης Παναγιώτης ιαθεµατική Εργασία µε Θέµα: Οι Φυσικές Επιστήµες στην Καθηµερινή µας Ζωή Ο Ήχος Τµήµα: β1 Γυµνασίου Υπεύθυνος Καθηγητής: Παζούλης Παναγιώτης Συντακτική Οµάδα: Γεώργιος Ελευθεριάδης Ο Ήχος Έχει σχέση ο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΠΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΠΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΠΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ Άσκηση 4. Διαφράγματα. Θεωρία Στο σχεδιασμό οπτικών οργάνων πρέπει να λάβει κανείς υπόψη και άλλες παραμέτρους πέρα από το πού και πώς σχηματίζεται το είδωλο ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ ΘΕΜΑ 1 ο (βαθµοί 2) Σώµα µε µάζα m=5,00 kg είναι προσαρµοσµένο στο ελεύθερο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου και ταλαντώνεται εκτελώντας πέντε (5) πλήρης ταλαντώσεις σε χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα!

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! ΓΙΩΡΓΟΣ ΑΣΗΜΕΛΛΗΣ Μαθήματα Οπτικής 3. Πόλωση Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! Αυτό που βλέπουμε με τα μάτια μας ή ανιχνεύουμε με αισθητήρες είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει όταν φως με συγκεκριμένο χρώμα -είδος,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER

ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ2 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Γ. Μήτσου Οκτώβριος 2007 Α. Θεωρία Εισαγωγή Η ταχύτητα του φωτός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

15/3/2009. Ένα ψηφιακό σήμα είναι η κβαντισμένη εκδοχή ενός σήματος διάκριτου. χρόνου. Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής

15/3/2009. Ένα ψηφιακό σήμα είναι η κβαντισμένη εκδοχή ενός σήματος διάκριτου. χρόνου. Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής 15/3/9 Από το προηγούμενο μάθημα... Ένα ψηφιακό σήμα είναι η κβαντισμένη εκδοχή ενός σήματος διάκριτου Μάθημα: «Ψηφιακή Επεξεργασία Ήχου» Δάλ Διάλεξη 3 η : «Επεξεργαστές Ε ξ έ Δυναμικής Περιοχής» Φλώρος

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική των οφθαλμών και της όρασης. Κική Θεοδώρου

Φυσική των οφθαλμών και της όρασης. Κική Θεοδώρου Φυσική των οφθαλμών και της όρασης Κική Θεοδώρου Περιεχόμενα Στοιχεία Γεωμετρικής Οπτικής Ανατομία του Οφθαλμού Αμφιβληστροειδής Ο ανιχνευτής φωτός του οφθαλμού Το κατώφλι της όρασης Φαινόμενα περίθλασης

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση πληροφορίας - Διαμόρφωση

Μετάδοση πληροφορίας - Διαμόρφωση ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ. Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μετάδοση πληροφορίας - Διαμόρφωση MYE006-ΠΛΕ065: ΑΣΥΡΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΑ Ευάγγελος Παπαπέτρου Διάρθρωση μαθήματος Βασικές έννοιες μετάδοσης Διαμόρφωση ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΑΣ ΖΩΩΝ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΟΥ ΟΡΓΑΝΟΛΟΓΙΑ ΑΘΗΝΑ 2010

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΑΣ ΖΩΩΝ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΟΥ ΟΡΓΑΝΟΛΟΓΙΑ ΑΘΗΝΑ 2010 1 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΑΣ ΖΩΩΝ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΟΥ ΟΡΓΑΝΟΛΟΓΙΑ ΑΘΗΝΑ 2010 2 3 ΚΑΘΟΔΙΚΟΣ ΠΑΛΜΟΓΡΑΦΟΣ Ο παλµογράφος είναι ένα πολύ χρήσιµο όργανο για τη µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 22: Βασικά Ζητήματα Δίκτυα Η/Υ

ΠΛΗ 22: Βασικά Ζητήματα Δίκτυα Η/Υ www.lucent.com/security ΠΛΗ 22: Βασικά Ζητήματα Δίκτυα Η/Υ 2 η ΟΣΣ / ΠΛΗ22 / ΑΘΗ.4 /07.12.2014 Νίκος Δημητρίου (Σημείωση: Η παρουσίαση αυτή συμπληρώνει τα αρχεία PLH22_OSS2_diafaneies_v1.ppt, και octave_matlab_tutorial_v1.ppt

Διαβάστε περισσότερα

Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ220 24/1/2007. of them occurring as the solution of a problem indicates some inconsistency or absurdity.

Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ220 24/1/2007. of them occurring as the solution of a problem indicates some inconsistency or absurdity. Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ0 //007 Μιγαδικοί Αριµοί Παναγιώτης Παναγή, ppanagi@ucy.ac.cy ηµήτρης Ηλιάδης, eldemet@ucy.ac.cy The imaginary expression a and the negative expression b, have this resemblance,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή η χορδή ταλαντώνεται µε την θεµελιώδη συχνότητα θα ισχύει. Όπου L είναι το µήκος της χορδής. Εποµένως, =2 0,635 m 245 Hz =311 m/s

Επειδή η χορδή ταλαντώνεται µε την θεµελιώδη συχνότητα θα ισχύει. Όπου L είναι το µήκος της χορδής. Εποµένως, =2 0,635 m 245 Hz =311 m/s 1. Μία χορδή κιθάρας µήκους 636 cm ρυθµίζεται ώστε να παράγει νότα συχνότητας 245 Hz, όταν ταλαντώνεται µε την θεµελιώδη συχνότητα. (a) Βρείτε την ταχύτητα των εγκαρσίων κυµάτων στην χορδή. (b) Αν η τάση

Διαβάστε περισσότερα