Μέτρηση της ευαισθησίας φωτεινής αντίθεσης (contrast sensitivity) µε χρήση κάθετων grating.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μέτρηση της ευαισθησίας φωτεινής αντίθεσης (contrast sensitivity) µε χρήση κάθετων grating."

Transcript

1 Π. Σαπουντζής Μέτρηση της ευαισθησίας φωτεινής αντίθεσης (contrast sensitivity) µε χρήση κάθετων grating. Για τη µελέτη των λειτουργικών χαρακτηριστικών της χωρικής όρασης (spatial vision) είναι απαραίτητη η χρήση κατάλληλων οπτικών ερεθισµάτων. Λόγω της παρατήρησης ότι οι νευρώνες στην οπτική οδό είναι εξειδικευµένοι σε διαφορετικές χωρικές συχνότητες, ο απλούστερος τρόπος για την αξιολόγηση της ευαισθησίας φωτεινής αντίθεσης (contrast sensitivity), είναι η χρησιµοποίηση ερεθισµάτων µε κάποια περιοδική διαµόρφωση, όπως τα gratings τα οποία έχουν το πλεονέκτηµα ότι µπορούν να εκφραστούν µαθηµατικά. Τα gratings αποτελούνται από εναλλασσόµενες φωτεινές και σκοτεινές ράβδους (βλ. Εικ.1). Φωτεινότητα (L) L 1 cycle L max L mean L min Φωτεινότητα (L) 1 cycle L max L mean L min Οριζόντια Θέση (χ) Εικ.1. Gratings µε τετραγωνική (square wave) και ηµιτονοειδή (sine wave) διαµόρφωση

2 Γενικά Αν πολλαπλασιάσουµε τις συναρτήσεις cosχ ή sinχ εξωτερικά µε έναν αριθµό αυτό θα µεταβάλλει την µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της συνάρτησης. Έτσι ενώ η µέγιστη τιµή που µπορούν να πάρουν οι συναρτήσεις cosχ και sinχ είναι 1 και η ελάχιστη -1, η συνάρτηση για παράδειγµα sinχ έχει µέγιστη τιµή και ελάχιστη -. Εικ.. Η συνάρτηση για sinχ έχει µέγιστη τιµή και ελάχιστη - ( ), ενώ η συνάρτηση sinχ έχει µέγιστη τιµή 1 και ελάχιστη -1 ( ). Στην περίπτωση των gratings (εικ. 1) αυτό που διαφοροποιείται µε τις αλλαγές της ελάχιστης και µέγιστης τιµής είναι το contrast. Η φωτεινότητα παραµένει σταθερή. Η απόσταση της µέγιστης τιµής µιας ηµιτονοειδούς συνάρτησης από τον χ άξονα λέγεται πλάτος της συνάρτησης. Έτσι η συνάρτηση sinχ έχει πλάτος (amplitude) 1 ενώ η sinχ έχει πλάτος (βλ. Εικ.). Εικ.3. Η συνάρτηση sinχ ( ) έχει µεγαλύτερη συχνότητα από τη sinχ ( ), ταλαντώνεται δηλαδή πιο γρήγορα. - -

3 Αν πολλαπλασιάσουµε τις συναρτήσεις cosχ ή sinχ εσωτερικά µε έναν αριθµό αυτό θα µεταβάλλει την συχνότητα (frequency) της συνάρτησης. Όσο µεγαλύτερος είναι ο αριθµός µε τον οποίο πολλαπλασιάζουµε εσωτερικά την συνάρτηση τόσο µεγαλύτερη είναι η συχνότητα της. Έτσι η συνάρτηση sinχ έχει µεγαλύτερη συχνότητα από τη sinχ (βλ. Εικ.3). Σειρές Fourier Ορισµός : Αρµονικό λέγεται ένα κύµα το οποίο έχει ηµιτονοειδή ή συνηµιτονοειδή µορφή. ιαφορετικά λέγεται µη αρµονικό. Παραδείγµατα: (α) (β) Εικ.. Οι αρµονικές συναρτήσεις ηµχ (α), συνχ (β) Το ανάπτυγµα σε σειρά Fourier µας επιτρέπει να αναλύσουµε ένα περιοδικό, µε περίοδο, αλλά µη αρµονικό κύµα (Εικ.5), σε άθροισµα αρµονικών συναρτήσεων (ηµίτονων, συνηµίτονων), που έχουν περίοδο ακέραια X X υποπολλαπλάσια της περιόδου του αρχικού κύµατος, δηλαδή X,, κ.τ.λ. 3 Η τεχνική αυτή πήρε το όνοµα της από τον Γάλλο µαθηµατικό Jean Baptiste Joseph, Baron de Fourier ( ). Έτσι µια περιοδική συνάρτηση f (x) µπορεί να παρασταθεί ως µία σειρά Fourier της µορφής, A0 f ( x) = + Am cos mkx + Bm sin mkx m= 1 όπου k = π, η περίοδος του κύµατος. m= 1-3 -

4 Εικ.5. Η µη αρµονική, αλλά περιοδική, συνάρτηση f ( x) = ηµχ + ηµ χ. Οι συντελεστές A 0, A, B προσδιορίζονται από τις παρακάτω σχέσεις. m m A0 Am = = X 0 0 f ( x) dx, 0 f ( x)cos mkxdx, Bm = f ( x)sin mkxdx X Ο προσδιορισµός των παραπάνω συντελεστών, αναφέρεται ως ανάλυση Fourier. Τυχόν συµµετρίες της συνάρτησης που αναλύεται σε σειρά Fourier, µπορεί να απλοποιήσει σηµαντικά τους υπολογισµούς. Έτσι αν η συνάρτηση f (x) είναι άρτια δηλαδή συµµετρική γύρω από τον άξονα yy τότε η σειρά Fourier θα περιέχει µόνο συνηµίτονα (που είναι άρτιες συναρτήσεις). ηλαδή θα είναι B m = 0 για όλα τα m. Παρόµοια αν η συνάρτηση είναι περιττή δηλαδή είναι συµµετρική ως προς την αρχή των αξόνων τότε η σειρά Fourier θα περιέχει µόνο ηµίτονα. ηλαδή θα είναι A m = 0 για όλα τα m. Για παράδειγµα ας υπολογίσουµε το ανάπτυγµα Fourier ενός τετραγωνικού κύµατος, µε περίοδο, αυτού που οι Campbell και Robson (1967) χρησιµοποίησαν στην εργασία τους. Το κύµα φαίνεται στην Εικ. 6 και περιγράφεται µαθηµατικά από τη σχέση, + 1,0 < x < X / f ( x) = 1, / < x < X - -

5 Εικ.6. Square wave, µε περίοδο, συµµετρικό ως προς την αρχή των αξόνων. Επειδή η f (x) είναι περιττή θα είναι A m = 0, και δηλαδή, επειδή όµως Bm = B m = X / 0 ( + 1)sin mkxdx + X 1 [ cos mkx] mπ k = π, παίρνουµε 1 mπ X / ( 1)sin mkxdx X / X 0 + [cos mkx] X / B m = (1 cos mπ ),για m = 1,,3, mπ Εποµένως οι συντελεστές Fourier είναι, B = 1 π, B = 0, B 3 =, 3π B = 0, B 5 =,, 5π και η σειρά που προκύπτει είναι, 1 1 f (x) = (sinκχ + sin 3κχ + sin 5κχ +...). π 3 5 Ο όρος της σειράς Fourier µε τη µικρότερη συχνότητα κχ π sin λέγεται θεµελιώδης (fundamental), ενώ οι υπόλοιποι όροι είναι γνωστοί ως αρµονικές (harmonics). Στη σειρά Fourier του παραδείγµατος απουσιάζουν οι άρτιοι όροι και έτσι εµφανίζονται µόνο οι περιττές αρµονικές (3 η, 5 η κ.τ.λ.). Στα παρακάτω σχήµατα βλέπουµε πώς η θεµελιώδης συχνότητα µαζί µε τις αρµονικές προσεγγίζουν το τετράγωνο κύµα

6 (α) Η θεµελιώδης συχνότητα κχ π sin. (β) Η θεµελιώδης + την 3 η αρµονική sin 3κχ 3π (γ) Η θεµελιώδης + την 3 η + την 5 η αρµονική sin 5κχ 5π - 6 -

7 ρήση των σειρών Fourier στην ανάλυση των gratings. Η ανάλυση Fourier,όπως είδαµε παραπάνω, δείχνει ότι ένα τετραγωνικό κύµα µπορεί να γραφεί ως άθροισµα ηµίτονων των οποίων οι συχνότητες είναι περιττά πολλαπλάσια της θεµελιώδους (fundamental) συχνότητας. Έτσι ένα τετράγωνο κύµα µε περίοδο και πλάτος 1 µπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισµα της άπειρης σειράς, πχ (sin + π 1 sin 3 3 πχ + 1 sin 5 5 πχ +...) 1 1 ή (sinκχ + sin3κχ + sin5κχ +...) π 3 5, όπου κ = π Παρατηρούµε ότι το πλάτος του πρώτου όρου της σειράς (θεµελιώδης) είναι /π ενώ τα πλάτη των υπόλοιπων όρων (3 η, 5 η αρµονική) συνεχώς µειώνονται (/3π για την 3 η αρµονική, /5π για την 5 η αρµονική κ.τ.λ.), ενώ ταυτόχρονα αυξάνονται και οι συχνότητες τους (το χ πολλαπλασιάζεται µε µεγαλύτερο αριθµό). Η τρίτη αρµονική για παράδειγµα έχει τρεις φορές µεγαλύτερη συχνότητα από την θεµελιώδη και τρεις φορές µικρότερο πλάτος. Εικ.7. Επάνω: H καµπύλη ευαισθησίας φωτεινής αντίθεσης (contrast sensitivity function) για τους δύο τύπους grating, sine wave ( ) και square wave ( ). Κάτω: O λόγος των contrast sensitivities για κάθε χωρική συχνότητα. Η συνεχής γραµµή δηλώνει τον λόγο /π. (Campbell and Robson 1967)

8 Από την Εικ.7 βλέπουµε ότι η καµπύλη ευαισθησίας φωτεινής αντίθεσης (contrast sensitivity function) φθίνει για συχνότητες µεγαλύτερες των 3 c/deg και άρα περιµένουµε ότι για ένα square wave µε µεγάλη συχνότητα, οι 3 ες,5 ες, αρµονικές θα είναι δυσδιάκριτες λόγω της µεγάλης τους συχνότητας και του µικρού τους πλάτους. Για αυτό το λόγο η ορατότητα ενός square wave grating καθορίζεται από το πλάτος του 1 ου όρου ( κχ π sin ). Το ερώτηµα είναι εάν το οπτικό µας σύστηµα αναλύει το σήµα που προσλαµβάνει σε σειρά Fourier. Ένα αυτό συµβαίνει τότε θα πρέπει η ευαισθησία µας στο contrast όταν το οπτικό ερέθισµα είναι ένα square wave grating (το οποίο περιγράφεται µαθηµατικά, από τη συνάρτηση κχ π sin, δηλαδή τον θεµελιώδη όρο), να είναι /π φορές µεγαλύτερη από την ευαισθησία σε ένα sine wave grating ίδιας συχνότητας (το οποίο περιγράφεται µαθηµατικά από τη συνάρτηση sin κχ ). Για να εξεταστεί αυτή η υπόθεση υπολογίστηκε από τους Campbell και Robson ο λόγος των contrast sensitivities (square/sine) για κάθε χωρική συχνότητα και τα αποτελέσµατα φαίνονται στην Εικ.7 κάτω. Είναι φανερό ότι ο λόγος δεν παρεκκλίνει σηµαντικά από την τιµή /π για συχνότητες µεγαλύτερες των 0,8 c/deg. Για συχνότητες µικρότερες των 0,8 c/deg η 3 η αρµονική (~, c/deg) συνεισφέρει περισσότερο από την θεµελιώδη στην οπτική αντίληψη του αµφιβληστροειδικού ειδώλου µια και ο οφθαλµός παρουσιάζει µεγαλύτερη contrast sensitivity για αυτή την συχνότητα. Ως αποτέλεσµα, όταν η χωρική συχνότητα ενός square wave, του οποίου το contrast βρίσκεται κοντά στο threshold, είναι µεγαλύτερη από 0,8 c/deg το square wave προσλαµβάνεται ως sine wave (µε πλάτος /π), παρουσιάζει δηλαδή την ίδια συνάρτηση (function). Για χωρικές συχνότητες όµως µικρότερες των 0,8 c/deg το threshold που καταγράφεται είναι πολύ µικρότερο (η ευαισθησία εποµένως µεγαλύτερη) όταν η εξέταση γίνεται µε square wave grating. Εξαιτίας των ατελειών που κάθε οπτικό σύστηµα παρουσιάζει το contrast του αµφιβληστροειδικού ειδώλου ενός grating θα είναι µικρότερο από αυτό του προβαλλόµενου grating. Ακόµα και αν υποθέσουµε πως ο οφθαλµός δεν παρουσιάζει εκτροπές χαµηλής και υψηλής τάξης, ο σχηµατισµός ευκρινούς αµφιβληστροειδικού ειδώλου θα περιορίζεται από τα όρια ευκρίνειας των φωτοϋποδοχέων και την περίθλαση. Έτσι για διάµετρο κόρης,5 mm, οι Fourier συνιστώσες ενός αντικειµένου µε χωρικές συχνότητες µεγαλύτερες από 78 c/deg (λ=560 nm) δεν απεικονίζονται ευκρινώς στον αµφιβληστροειδή, ενώ προκαλείται και aliasing λόγω της υπο-δειγµατοληψίας (under-sampling) των φωτοϋποδοχέων. Εποµένως ένα square wave grating µε θεµελιώδη συχνότητα µεγαλύτερη των 6 c/deg θα απεικονιστεί στον αµφιβληστροειδή ως είδωλο του οποίου οι υψηλότερες αρµονικές (78 c/deg και πάνω) θα απουσιάζουν. (ένα square wave grating µε θεµελιώδη συχνότητα 6 c/deg παρουσιάζει 3 η αρµονική συχνότητα 3 x 6 = 78 c/deg). Με άλλα λόγια το είδωλο ενός square wave θα είναι ένα sine wave grating µε την ίδια χωρική συχνότητα. Εποµένως, λόγω του γεγονότος ότι το κύµα µε ηµιτονοειδή διαµόρφωση (sine wave) περιέχει µία µόνο χωρική συχνότητα αποτελεί το πιο κατάλληλο για την αξιολόγηση της χωρικής όρασης. Μετασχηµατισµός Fourier (Fourier Transform) Ο µετασχηµατισµός Fourier αποτελεί µία γενίκευση του αναπτύγµατος σε σειρά Fourier, µόνο που ο µετασχηµατισµός Fourier µπορεί να εφαρµοστεί και σε µη περιοδικές συναρτήσεις

9 Έτσι αν µία συνάρτηση εξαρτάται από µία χωρική µεταβλητή χ, ο µετασχηµατισµός Fourier την µετατρέπει σε συνάρτηση (χωρικής) συχνότητας f = χ 1. Αν η µεταβλητή της µετασχηµατιζόµενης συνάρτησης είναι χρονική (t), o µετασχηµατισµός Fourier την µετατρέπει σε συνάρτηση χρονικής συχνότητας ω = t 1. Με απλά λόγια θα µπορούσαµε να πούµε ότι ο µετασχηµατισµός Fourier µας δείχνει από ποιες συχνότητες αποτελείται η συνάρτηση µας και πόσο ισχυρές είναι αυτές. Παραδείγµατα: 1 1 Ι) Έστω η συνάρτηση, f (x) = (sin χ + sin 3χ + sin 5χ) π 3 5 που όπως είδαµε προηγουµένως οι όροι της αποτελούν τις τρεις πρώτες αρµονικές του τετραγωνικού κύµατος του παραπάνω παραδείγµατος ( για κ = 1 ). Κάθε όρος της παραπάνω συνάρτησης έχει διαφορετική συχνότητα, µε τον πρώτο όρο να περιέχει την µικρότερη συχνότητα (θεµελιώδη) και το µεγαλύτερο πλάτος (amplitude). Αυτό καθιστά τον πρώτο όρο τον πιο ισχυρό από τους τρεις, που όπως είδαµε παίζει τον σηµαντικότερο ρόλο στην προσέγγιση του τετραγωνικού κύµατος, µε αποτέλεσµα αυτή η συχνότητα να αντικατοπτρίζεται περισσότερο στο µτεασχηµατισµό Fourier. Η συνάρτηση f και ο µετασχηµατισµός της φαίνονται παρακάτω: Στα αριστερά ( ) είναι σχεδιασµένη η συνάρτηση f (χ) η οποία αποτελείται από τρεις διαφορετικές συχνότητες. εξιά ( ) φαίνεται ο Fourier µετασχηµατισµός F (u) όπου u = χ 1 η χωρική συχνότητα. Ο µετασχηµατισµός φανερώνει ότι η f (χ ) αποτελείται από τρεις διαφορετικές συχνότητες ισχυρότερη εκ των οποίων είναι η πρώτη (στον άξονα ψ προβάλλεται η «ενέργεια» της συνάρτησης, η οποία εκφράζεται σε πλάτος/amplitude ή σε ισχύ/power = (amplitude) ). ΙΙ) Αν θεωρήσουµε τώρα τη συνάρτηση f ( χ ) = cos(6πχ) η οποία περιέχει µόνο µία συχνότητα (που είναι 3), o µετασχηµατισµός Fourier είναι : - 9 -

10 Πέρα από το Συνεχή Μετασχηµατισµό Fourier που ορίζεται για συνεχείς και ολοκληρώσιµες συναρτήσεις, ορίζεται και ο ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier (Discrete Fourier Transform) για ένα σύνολο από διακριτά σηµεία. Στα περισσότερα υπολογιστικά πακέτα ο µετασχηµατισµός Fourier υλοποιείται µε έναν αλγόριθµο ο οποίος εκτελεί τον µετασχηµατισµό Fourier περίπου 600 φορές γρηγορότερα. Ο αλγόριθµος αυτός είναι γνωστός ως Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier (Fast Fourier Transform FFT). O µετασχηµατισµός Fourier µιας πραγµατικής συνάρτησης φ (χ), είναι συνήθως µιγαδική συνάρτηση (της συχνότητας f ), έχει δηλαδή τη µορφή, F ( f ) = R( f ) + ii( f ) όπου R ( f ) και I ( f ) είναι το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος της F ( f ) αντίστοιχα. Μπορούµε να εκφράσουµε την F( f ) σε εκθετική µορφή δηλαδή, iphase( f ) F ( f ) = Amplitude( f ) e όπου, 1 I( f ) Amplitude ( f ) = F ( f ) = R ( f ) + I ( f ) και Phase ( f ) = tan. R( f ) Το µέτρο F ( f ) ονοµάζεται Fourier spectrum ή Fourier amplitude, η φάση Phase ( f ) phase spectrum, ενώ η ποσότητα F ( f ) power spectrum. Natural Scenes (Εικόνες που συναντώνται στην φύση) Η δηµιουργία και η εξέλιξη ενός νευρωνικού συστήµατος κατευθύνεται από τρεις βασικούς παράγοντες. (α) Τις λειτουργίες που ένας οργανισµός πρέπει να επιτελέσει, (β) τις υπολογιστικές ικανότητες και περιορισµούς των νευρώνων και (γ) το περιβάλλον στο οποίο ο οργανισµός ζει. Θεωρητικές µελέτες και µοντέλα νευρωνικής επεξεργασίας έχουν επηρεαστεί περισσότερο από τα δύο πρώτα. Πρόσφατες εξελίξεις σε στατιστικά µοντέλα, σε συνδυασµό µε ισχυρά υπολογιστικά εργαλεία, έχουν αυξήσει το ενδιαφέρον για το ρόλο που παίζει το περιβάλλον στο καθορισµό της δοµής και της λειτουργίας των νευρώνων και γενικότερα του οπτικού µας συστήµατος

11 Κωδικοποιώντας, κατά τα στάδια της εξέλιξης, τα σηµαντικότερα ερεθίσµατα (τροφή, εχθρούς, συντρόφους) το καταλληλότερο οπτικό σύστηµα θα έπρεπε να επιβιώσει. Με βάση αυτή τη θεώρηση, τα στατιστικά χωροχρωµατικά χαρακτηριστικά των φυσικών σκηνών θα πρέπει να έχουν καθορίσει τα χαρακτηριστικά των πρωίµων οπτικών οδών, έτσι ώστε να περιοριστεί κατά το δυνατόν η διαβίβασή περιττών σηµάτων και να διαχωριστεί το χρήσιµο σήµα από το θόρυβο. Για τον έλεγχο αυτής της υπόθεσης υπάρχουν δύο βασικές µέθοδοι. Η πιο άµεση προσέγγιση είναι η εξέταση των νευρωνικών αποκρίσεων, όταν το ερέθισµα είναι κάποια φυσική σκηνή. Μια δεύτερη προσέγγιση αποτελεί η µελέτη των στατιστικών χαρακτηριστικών των φυσικών εικόνων και η συσχέτιση τους µε τις αποκρίσεις των νευρώνων. Για αυτό το λόγο είναι απαραίτητη η συλλογή εικόνων, µε χρήση κατάλληλα βαθµονοµηµένων φωτογραφικών µηχανών, οι οποίες να απεικονίζουν, όσο αυτό είναι δυνατό, το φυσικό περιβάλλον µέσα στο οποίο εξελίχθηκε το οπτικό µας σύστηµα και στη συνέχεια η στατιστική µελέτη (κυρίως µε χρήση µετασχηµατισµού Fourier) αυτών των εικόνων. Μια βασική παρατήρηση που προήλθε από την ανάλυση φυσικών εικόνων είναι ότι αυτές περιέχουν παρόµοια στατιστικά χαρακτηριστικά. Έτσι έχει αποδειχθεί (Field, 1987, Burton and Moorhead, 1987, Parraga et al., 1998) ότι η ενέργεια (amplitude) των φυσικών εικόνων µετά από µετασχηµατισµό Fourier ακολουθεί τον παρακάτω νόµο, a Ampliude( f ) = f ηλαδή όταν παρασταθεί γραφικά, σε λογαριθµικούς άξονες, το amplitude µειώνεται σχεδόν γραµµικά µε κλίση α καθώς αυξάνεται η χωρική συχνότητα f. Οι φυσικές εικόνες αποτελούνται περισσότερο από χαµηλές χωρικές συχνότητες. Έχει αποδειχθεί ότι το α παίρνει τιµές από 0,8 µέχρι 1,5 µε µέση τιµή 1, (SD = 0,13), ανάλογα µε το «περιεχόµενο» της εικόνας (βλέπε Εικ.8, Tolhurst et. al 199))

12 Εικ.8. Τρεις φυσικές αχρωµατικές σκηνές και το Fourier amplitude, συναρτήσει της χωρικής συχνότητας, για κάθε µία από αυτές, σχεδιασµένο σε λογαριθµικούς άξονες. Παρατηρούµε πως και για τις τρεις το amplitude µειώνεται γραµµικά. Oι κλίσεις των τριών ευθειών (το α δηλαδή) είναι 1.8,1.,1.00 αντίστοιχα. (Tolhurst et. al 1991). H ίδια σχέση ισχύει και για χρωµατικές εικόνες (Parraga et. al 00). Η µορφή της εξάρτησης που έχει το amplitude από τη χωρική συχνότητα f δηλώνει πως οι χαµηλές και οι µεσαίες χωρικές συχνότητες παίζουν σηµαντικότερο ρόλο στη δηµιουργία µιας φυσικής σκηνής από ότι οι υψηλές και πως η σχέση αυτή είναι γραµµική. Θυµίζουµε πως οι υψηλές χωρικές συχνότητες σε µία εικόνα, καθορίζουν τα άκρα και τις λεπτοµέρειες αυτής της εικόνας (βλ. Εικ. 9). Αρχική εικόνα αµηλές και µεσαίες χωρικές συχνότητες Υψηλές χωρικές συχνότητες Εικ. 9. Πως οι χαµηλές, οι µεσαίες και οι υψηλές χωρικές συχνότητες καθορίζουν τη µορφή µιας εικόνας. Έτσι µία φυσική σκηνή η οποία περιέχει αρκετές λεπτοµέρειες, η εξάρτηση της δηλαδή από τις υψηλές χωρικές συχνότητες είναι µεγάλη, η κλίση της ευθείας περιµένουµε πως θα είναι µικρότερη, θα έχει δηλαδή µικρότερο α

13 Σ. ΠΛΑΪΝΗΣ Εφαρµογές µετασχηµατισµού Fourier στις Επιστήµες της Όρασης Ο µετασχηµατισµός Fourier έχει πολλές εφαρµογές κυρίως στην επεξεργασία και ανάλυση δεδοµένων που παρουσιάζουν χρονική διαµόρφωση. Σε αυτές τις περιπτώσεις σηµαντική παράµετρο αποτελεί η συχνότητα ανάλυσης (frequency analysis) η οποία πρέπει να είναι τουλάχιστον µισή (αξίωµα Nyquist) της συχνότητας δειγµατοληψίας (sampling frequency). Επίσης όσος µεγαλύτερος είναι ο χρόνος δειγµατοληψίας (sampling time) τόσο µικρότερη (και εποµένως πιο ακριβής) είναι το διακριτό όριο (bin size) της συχνότητας ανάλυσης (frequency resolution): frequency resolution = 1 / sampling time. Για παράδειγµα, ένα σήµα που καταγράφεται για συνολικό χρόνο 0 sec (βλ. Εικόνα 1α) µε ένα όργανο που παρουσιάζει 6Hz ανάλυση, µας δίνει 0*6 σηµεία και µας επιτρέπει να εφαρµόσουµε ένα µετασχηµατισµό Fourier µε ανάλυση συχνότητας 13 Hz µε διακριτό όριο ανάλυσης 1/0 = 0.05 Hz (βλ. Εικόνα 1β). Εικόνα 1: (επάνω) Καταγραφή της σταθερότητας (και εποµένως των διακυµάνσεων) της προσαρµοστικής ικανότητας για ένα ερέθισµα µε vergence 1.5D. Οι βλεφαρισµοί (blinks) έχουν φιλτραρηθεί από το επεξεργαζόµενο σήµα. (κάτω) Μετασχηµατισµός Fourier της σταθερότητας προσαρµογής (ισχύς του σήµατος σε σχέση µε την συχνότητα του). Είναι εµφανές ότι εκτός από τις χαµηλές χωρικές συχνότητες που παρουσιάζουν έντονη ισχύ, σηµαντική συµµετοχή παρουσιάζουν και συχνότητες Hz. Αυτές έχουν συσχετισθέι µε το αρτηριακό παλµό

14 Σ. ΠΛΑΪΝΗΣ Εικόνα : Μετασχηµατισµός Fourier των διακυµάνσεων των εκτροπών χαµηλής και υψηλής τάξης του οφθαλµού µετά από: (αριστερά) κυκλοπληγία - έχει εξουδετερωθεί η προσαρµογή, (κέντρο) κοντινή προσαρµογή, (δεξιά) µακρυνή εστίαση. Η συνεχόµενη γραµµή αποτελεί το defocus, ενώ οι υπόλοιπες εκτροπές υψηλής τάξης. Είναι εµφανές ότι (ι) η ισχύς µειώνεται γρανµµικά µε την αυξανόµενη συχνότητα, (ιι) η διακυµάνσεις της προσαρµογής επηρεάζουν κυρίως το defocus (σφαίρωµα) και πολύ λιγότερο τις άλλες εκτροπές. Το επόµενο παράδειγµα (εικόνα 3 και ), αφορά ηλεκτροµυογραφικές µετρήσεις του µυ που περικλείει τον οφθαλµό και είναι υπεύθυνος για το κλείσιµο των βλεφάρων, τον orbicularis occuli. Η εικόνα 3 (πάνω) παρουσιάζει το σήµα απουσία φωτεινού ερεθίσµατος (noise) για χρονικό διάστηµα sec. Στην κάτω εικόνα παρουσιάζοναι αποκρίσεις παρουσία φωτεινού ερεθίσµατος για τα πρώτα δευτερόλεπτα και απουσίας για τα επόµενα. Είναι εµφανές ότι παρουσία ερεθίσµατος οι αποκρίσεις αυξάνονται σηµαντικά. Εικόνα 3: Καταγραφή των ηλεκτρικών αποκρίσεων του µυ orbicularis occuli: (επάνω) απουσία φωτεινού ερεθίµσµατος, (κάτω) παρουσία φωτεινού ερεθίσµατος (φωτεινότητα 75 lux) για τα δύο πρώτα δευτερόλεπτα. Στην εικόνα γίνεται σύγκριση του Μετασχηµατισµού Fourier του θορύβου και παρουσία ερεθίσµατος. Από την σύγκριση µπορούµε να υπολογίσουµε το πηλίκο - -

15 Σ. ΠΛΑΪΝΗΣ signal/noise. Αυτό στην προκειµένη περίπτωση µας βοήθησε να συµπεράνουµε ότι παρόλο που το σήµα παρουσιάζει την µεγαλύτερη ενέργεια σε συχνότητες Hz, οι ιδανικότερες συχνότητες γα καταγαφή είναι αυτές µεταξύ 175-5Hz (όπου signal/noise είναι µεγαλύτερο). Ως αποτέλεσµα καταλήξαµε στην χρήση ενός φίλτρου για που «έκοβε» συχνότητες εκτός του παραπάνω φάσµατος κατά την επεξεργασία του σήµατος. Αυτό µας οδήγησε σε ακριβέστερη ανάλυση και ποσοτικοποίηση των δεδοµένων. Εικόνα : Μετασχηµατισµός Fourier για τις ηλεκτοµυογραφικές αποκρίσεις της εικόνας 3. Οι λευκές και µαύρες στήλες αντιστοιχούν σε σήµα και σε θόρυβο. Εικόνα 5: (αριστερά) Το φίλτρο που χρησιµοποιήθηκε για την ανάλυση και επεξεργασία του ηλεκτροµυογραφικού σήµατος, (δεξιά) µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος µετά την επεξεργασία, η οποία συνέβαλε στην ακριβέστερη ποσοτικοποίηση των αποκρίσεων (στην προκειµένη περίπτωση υπολογίστηκε το ολοκλήρωµα του σήµατος για όλες τις συχνότητες)

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER (H ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα σχέσεων διασποράς Παραπάνω, φαίνεται η απόκριση ενός διηλεκτρικού µέσου σε

Παραδείγµατα σχέσεων διασποράς Παραπάνω, φαίνεται η απόκριση ενός διηλεκτρικού µέσου σε Παραδείγµατα σχέσεων διασποράς Παραπάνω, φαίνεται η απόκριση ενός διηλεκτρικού µέσου σε ηλεκτροµαγνητικό κύµα κυκλ. Συχνότητας ω. Παρατηρούµε ότι η πολωσιµότητα του µέσου εξαρτάται µε την εκφραση 2.42

Διαβάστε περισσότερα

ΟΠΤΙΚΕΣ ΕΚΤΡΟΠΕΣ ΤΟΥ ΟΦΘΑΛΜΟΥ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΤΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ

ΟΠΤΙΚΕΣ ΕΚΤΡΟΠΕΣ ΤΟΥ ΟΦΘΑΛΜΟΥ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΤΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΟΠΤΙΚΕΣ ΕΚΤΡΟΠΕΣ ΤΟΥ ΟΦΘΑΛΜΟΥ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΤΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Σ. ΤΣΙΚΛΗΣ Outline Drifting technique (Sekiguchi et al.) Περιορισµοί στην διακριτική ικανότητα του οφθαλµού ιαθλαστικό σφάλµα & Wavefront aberration

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα ΕΠΛ 422: στα Συστήµατα Πολυµέσων. Βιβλιογραφία. ειγµατοληψία. ηµιουργία ψηφιακής µορφής πληροφορίας στα Συστήµατα Πολυµέσων

Περιεχόµενα ΕΠΛ 422: στα Συστήµατα Πολυµέσων. Βιβλιογραφία. ειγµατοληψία. ηµιουργία ψηφιακής µορφής πληροφορίας στα Συστήµατα Πολυµέσων Περιεχόµενα ΕΠΛ 422: Συστήµατα Πολυµέσων Ψηφιακή Αναπαράσταση Σήµατος: ειγµατοληψία Βιβλιογραφία ηµιουργία ψηφιακής µορφής πληροφορίας στα Συστήµατα Πολυµέσων Βασικές Έννοιες Επεξεργασίας Σηµάτων Ψηφιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός Fourier

Ο μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός Fourier

Ο μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ORIENTATIONAL SELECTIVITY OF THE HUMAN VISUAL SYSTEM. Polyak 1957

ORIENTATIONAL SELECTIVITY OF THE HUMAN VISUAL SYSTEM. Polyak 1957 Polyak 1957 ΗΡΑΚΛΕΙΟ 12/01/2005 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι Hubel & Weisel ήδη από το 1959 πειραµατιζόµενοι σε γάτες έδειξαν ότι πολλοί από τούς νευρώνες του πρωτοταγούς οπτικού φλοιού V1 αποκρίνονται διαφορετικά σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER Ανάλυση σημάτων και συστημάτων Ο μετασχηματισμός Fourier (DTFT και DFT) είναι σημαντικότατος για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων Εντοπίζει

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση ΦΥΣ 131 - Διαλ.34 1 KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση q Παλµός πάνω σε χορδή: Ένα άκρο της σταθερό (δεµένο) Προσπίπτων Ο παλµός ασκεί µια δύναµη προς τα πάνω στον τοίχο ο οποίος ασκεί µια δύναµη προς τα κάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΣΧΟΛΗ Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ Σ.Α.Ε. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 3 ) Αρχικό σήµα ( ) Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται ένα περιοδικό σήµα ( ), το οποίο έχει ληφθεί από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα 3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429 4. Σήματα 1 Σήματα Σήματα είναι: σχήματα αλλαγών που αντιπροσωπεύουν ή κωδικοποιούν πληροφορίες σύνολο πληροφορίας ή δεδομένων σχήματα αλλαγών στο χρόνο, π.χ. ήχος, ηλεκτρικό σήμα εγκεφάλου

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT -7- Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT (discrete time Fourier transform) 3.. Εισαγωγικά. 3.. Είδη µετασχηµατισµών Fourier Με την ονοµασία Μετασχηµατισµοί Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Ποιότητας Εικόνας: Επεξεργασία στο πεδίο της Συχνότητας

Βελτίωση Ποιότητας Εικόνας: Επεξεργασία στο πεδίο της Συχνότητας ΤΨΣ 150 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Βελτίωση Ποιότητας Εικόνας: Επεξεργασία στο πεδίο της Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Εκτίµηση Απόκρισης Περιεχόµενα Βιβλιογραφία

Διαβάστε περισσότερα

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο.

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο. Κεφάλαιο T2 Κύµατα Είδη κυµάτων Παραδείγµατα Ένα βότσαλο πέφτει στην επιφάνεια του νερού. Κυκλικά κύµατα ξεκινούν από το σηµείο που έπεσε το βότσαλο και αποµακρύνονται από αυτό. Ένα σώµα που επιπλέει στην

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας Δυναμική Μηχανών I Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο 7 4 Πεδίο της Συχνότητας 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙςΤΗΜΗς & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑς ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Διάλεξη 2 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst233

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε δει το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι. Σημειώσεις Εργαστηριακών Ασκήσεων

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι. Σημειώσεις Εργαστηριακών Ασκήσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρικών Βιομηχανικών Διατάξεων και Συστημάτων Αποφάσεων ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι Σημειώσεις Εργαστηριακών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Digital Image Processing

Digital Image Processing Digital Image Processing Φιλτράρισμα στο πεδίο των Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008. Φίλτρο: μια διάταξη ή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Σήματα Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Εισαγωγή Για την ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων μαζί με την μαθηματική περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1: Χρήση ψηφιακών φίλτρων για επεξεργασία σηµάτων συνεχούς χρόνου

Σχήµα 1: Χρήση ψηφιακών φίλτρων για επεξεργασία σηµάτων συνεχούς χρόνου ΜΑΘΗΜΑ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ 6. Εισαγωγή Τα φίλτρα είναι µια ειδική κατηγορία ΓΧΑ συστηµάτων τα οποία τροποποιούν συγκεκριµένες συχνότητες του σήµατος εισόδου σε σχέση µε κάποιες άλλες. Η σχεδίαση ψηφιακών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T4. Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα

Κεφάλαιο T4. Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα Κεφάλαιο T4 Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα Κύµατα και σωµατίδια Τα κύµατα είναι πολύ διαφορετικά από τα σωµατίδια. Τα σωµατίδια έχουν µηδενικό µέγεθος. Τα κύµατα έχουν ένα χαρακτηριστικό µέγεθος το µήκος

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουµε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηµατισµό Fourier µιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουµε στην εξίσωση ανάλυσης. Υπολογίζουµε εύκολα την απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα δειγματοληψίας

Θεώρημα δειγματοληψίας Δειγματοληψία Θεώρημα δειγματοληψίας Ένα βαθυπερατό σήμα πεπερασμένης ενέργειας που δεν περιέχει συχνότητες μεγαλύτερες των W Hertz μπορεί να περιγραφθεί πλήρως από τις τιμές του σε χρονικές στιγμές ισαπέχουσες

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 8 Επεξεργασία Σήματος με την Ανάλυση Fourier. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 8 Επεξεργασία Σήματος με την Ανάλυση Fourier. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 8 Επεξεργασία Σήματος με την Ανάλυση Fourier. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων Σκοπός Βασική δομή ενός προγράμματος στο LabVIEW. Εμπρόσθιο Πλαίσιο (front

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ.33 1 KYMATA

ΦΥΣ Διαλ.33 1 KYMATA ΦΥΣ 131 - Διαλ.33 1 KYMATA q Κύµατα εµφανίζονται σε συστήµατα µε καταστάσεις ισορροπίας. Τα κύµατα είναι διαταραχές από τη θέση ισορροπίας. q Τα κύµατα προκαλούν κίνηση σε πολλά διαφορετικά σηµεία σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Doppler Radar. Μεταφορά σήµατος µε την βοήθεια των µικροκυµάτων.

Doppler Radar. Μεταφορά σήµατος µε την βοήθεια των µικροκυµάτων. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 101 10. Άσκηση 10 Doppler Radar. Μεταφορά σήµατος µε την βοήθεια των µικροκυµάτων. 10.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ. Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί (Linear Transformations) Τονισµός χαρακτηριστικών εικόνας (image enhancement)

ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ. Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί (Linear Transformations) Τονισµός χαρακτηριστικών εικόνας (image enhancement) Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί (Linear Transformations) Τονισµός χαρακτηριστικών εικόνας (image enhancement) Συµπίεση εικόνας (image compression) Αποκατάσταση εικόνας (Image restoration) ηµήτριος. ιαµαντίδης

Διαβάστε περισσότερα

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τα βασικότερα στοιχεία που είναι απαραίτητα για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους Έτσι, δίνονται συστηµατικά οι

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 22: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Αναπαράσταση περιοδικών σημάτων με μιγαδικά εκθετικά σήματα: Οι σειρές Fourier Υπολογισμός συντελεστών Fourier Ανάλυση σημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Είδαμε

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 7 Ακούγοντας Πρώτη Ματιά στην Ανάλυση Fourier. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 7 Ακούγοντας Πρώτη Ματιά στην Ανάλυση Fourier. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 7 Ακούγοντας Πρώτη Ματιά στην Ανάλυση Fourier. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων Σκοπός Βασική δομή ενός προγράμματος στο LabVIEW. Εμπρόσθιο Πλαίσιο (front

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 5 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst215

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο της επεξεργασίας σήματος αλλά και συχνή αιτία πονοκεφάλου για όσους πρωτοασχολούνται

Διαβάστε περισσότερα

Σεραφείµ Καραµπογιάς ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Σεραφείµ Καραµπογιάς ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός z Εφαρµογές 1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Γενική εικόνα τι

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 : Φασματική Ανάλυση Σημάτων Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

Κεφάλαιο 6 : Φασματική Ανάλυση Σημάτων Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 6 : Φασματική Ανάλυση Σημάτων Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Φασματική Αάλ Ανάλυση Περιοδικών Σημάτων (Μιγαδικέςδ έ Σειρές

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Δειγματοληψία - Αναδίπλωση

Ενότητα 4: Δειγματοληψία - Αναδίπλωση Ενότητα 4: Δειγματοληψία - Αναδίπλωση Σήματα και Συστήματα Τα συστήματα επεξεργάζονται ένα ή περισσότερα σήματα: Το παραπάνω σύστημα μετατρέπει το σήμα x(t) σε y(t). π.χ. Σε ένα σήμα ήχου μπορεί να ενισχύσει

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Σειρές Fourier: Προσέγγιση Οι Σειρές Fourier μπορούν να αναπαραστήσουν μια πολύ μεγάλη κλάση περιοδικών

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτική ικανότητα του οφθαλµού (Οπτική οξύτητα)

ιακριτική ικανότητα του οφθαλµού (Οπτική οξύτητα) Περίληψη ιακριτική ικανότητα του οφθαλµού (Οπτική οξύτητα) Σωτήρης Πλαΐνης, PhD ΒΕΜΜΟ Visual Science Lab Αξιολόγηση οπτικής συµπεριφοράς Οπτική οξύτητα Ελάχιστη γωνία α ευκρίνειας περιοριστικοί παράγοντες

Διαβάστε περισσότερα

Ήχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1

Ήχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1 Ήχος Χαρακτηριστικά του ήχου Ψηφιοποίηση με μετασχηματισμό Ψηφιοποίηση με δειγματοληψία Κβαντοποίηση δειγμάτων Παλμοκωδική διαμόρφωση Συμβολική αναπαράσταση μουσικής Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 9 Ανάλυση Fourier: Από τη Θεωρία στην Πρακτική Εφαρμογή των Μαθηματικών

Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 9 Ανάλυση Fourier: Από τη Θεωρία στην Πρακτική Εφαρμογή των Μαθηματικών Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 9 Ανάλυση Fourier: Από τη Θεωρία στην Πρακτική Εφαρμογή των Μαθηματικών Τύπων. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων Σκοπός Βασική δομή ενός προγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

17-Φεβ-2009 ΗΜΥ Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση

17-Φεβ-2009 ΗΜΥ Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση ΗΜΥ 429 7. Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση 1 Μαθηματικές ιδιότητες Αντιμεταθετική: a [ * b[ = b[ * a[ παρόλο που μαθηματικά ισχύει, δεν έχει φυσικό νόημα. Προσεταιριστική: ( a [ * b[ )* c[ = a[ *( b[ * c[

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα διάλεξης

Περιεχόμενα διάλεξης 7η Διάλεξη Οπτικές ίνες Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 1 Περιεχόμενα διάλεξης Διασπορά Πόλωσης Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. Page 1 Πόλωση Γενική θεωρία Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 3 Μηχανικό ανάλογο Εγκάρσια

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: O Carlos Santana εκμεταλλεύεται τα στάσιμα κύματα στις χορδές του. Αλλάζει νότα στην κιθάρα του πιέζοντας τις χορδές σε διαφορετικά σημεία, μεγαλώνοντας ή μικραίνοντας το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Σχολή Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Αρχές Τηλ/ων Συστημάτων Εργαστήριο 2 ο : Φάσμα σημάτων - AWGN Βοηθητικές

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

NTÙÍÉÏÓ ÃÊÏÕÔÓÉÁÓ - ÖÕÓÉÊÏÓ www.geocities.com/gutsi1 -- www.gutsias.gr

NTÙÍÉÏÓ ÃÊÏÕÔÓÉÁÓ - ÖÕÓÉÊÏÓ www.geocities.com/gutsi1 -- www.gutsias.gr Έστω µάζα m. Στη µάζα κάποια στιγµή ασκούνται δυο δυνάµεις. ( Βλ. σχήµα:) Ποιά η διεύθυνση και ποιά η φορά κίνησης της µάζας; F 1 F γ m F 2 ιατυπώστε αρχή επαλληλίας. M την της Ποιό φαινόµενο ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Σχολή Οικονομίας Διοίκησης και Πληροφορικής Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Αρχές Τηλ/ων Συστημάτων Εργαστήριο 7 ο : Δειγματοληψία και Ανασύσταση Βασική

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Ενδεικτικές Λύσεις Θεµάτων Τελικών εξετάσεων στη Θεµατική Ενότητα ΦΥΕ34. Ιούλιος 2008 KYMATIKH. ιάρκεια: 210 λεπτά

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Ενδεικτικές Λύσεις Θεµάτων Τελικών εξετάσεων στη Θεµατική Ενότητα ΦΥΕ34. Ιούλιος 2008 KYMATIKH. ιάρκεια: 210 λεπτά Κυµατική ΦΥΕ4 5/7/8 Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Ενδεικτικές Λύσεις Θεµάτων Τελικών εξετάσεων στη Θεµατική Ενότητα ΦΥΕ4 Ιούλιος 8 KYMATIKH ιάρκεια: λεπτά Θέµα ο (Μονάδες:.5) A) Θεωρούµε τις αποστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σήµα; Ωςσήµαορίζεταιέναφυσικόµέγεθοςτοοποίοµεταβάλλεταισεσχέσηµετοχρόνοή το χώρο ή µε οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη µεταβλητή ή µεταβλητές.

Τι είναι σήµα; Ωςσήµαορίζεταιέναφυσικόµέγεθοςτοοποίοµεταβάλλεταισεσχέσηµετοχρόνοή το χώρο ή µε οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη µεταβλητή ή µεταβλητές. Τι είναι σήµα; Ωςσήµαορίζεταιέναφυσικόµέγεθοςτοοποίοµεταβάλλεταισεσχέσηµετοχρόνοή το χώρο ή µε οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη µεταβλητή ή µεταβλητές. Παραδείγµατα: Σήµα οµιλίας Πίεση P() Σήµα εικόνας y I

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ . ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει μια γενική εικόνα του τι είναι σήμα και να κατατάξει τα διάφορα σήματα σε κατηγορίες ανάλογα με τις βασικές ιδιότητες τους. Επίσης,

Διαβάστε περισσότερα

3-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Εφαρμογές

3-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Εφαρμογές ΗΜΥ 429 9. Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Εφαρμογές 1 Ζεύγη σημάτων Συνάρτηση δέλτα: ΔΜΦ δ[ n] u[ n] u[ n 0.5] (συχνότητα 0-0.5) Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 2 Figure από Scientist

Διαβάστε περισσότερα

Οι σειρές Fourier. Eισαγωγικές Επισημάνσεις

Οι σειρές Fourier. Eισαγωγικές Επισημάνσεις παραρτημα Α Οι σειρές Fourier Μέρος (Ι) Eισαγωγικές Επισημάνσεις Ο Γάλλος μαθηματικός Jean Baptist Fourier μελετώντας την διάδοση της θερμότητας στα στερεά σώματα και στην προσπάθειά του να δώσει σε κλειστή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες / Εργαστήριο

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες / Εργαστήριο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες / Εργαστήριο Εργαστηριακή Άσκηση 5: Δειγματοληψία και ανακατασκευή σημάτων Προσομοίωση σε Η/Υ Δρ.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών Ι

Συστήματα Επικοινωνιών Ι + Διδάσκων: Δρ. Κ. Δεμέστιχας e-mail: cdemestichas@uowm.gr Συστήματα Επικοινωνιών Ι Αναπαράσταση Σημάτων και Συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας + Περιεχόμενα n Εισαγωγή n Ανάλυση Fourier n Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κλινική χρήση των ήχων

Κλινική χρήση των ήχων Κλινική χρήση των ήχων Ήχοι και ακουστότητα Κύματα υπερήχων Ακουστικά κύματα, Ήχοι, Είδη ήχων Ήχους υπό την ευρεία έννοια καλούμε κάθε κύμα πίεσης που υπάρχει και διαδίδεται στο εσωτερικό των σωμάτων.

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 2 Βασικά μέρη συστήματος ΨΕΣ Φίλτρο αντι-αναδίπλωσης

Διαβάστε περισσότερα

Μεγεθυντικός φακός. 1. Σκοπός. 2. Θεωρία. θ 1

Μεγεθυντικός φακός. 1. Σκοπός. 2. Θεωρία. θ 1 Μεγεθυντικός φακός 1. Σκοπός Οι μεγεθυντικοί φακοί ή απλά μικροσκόπια (magnifiers) χρησιμοποιούνται για την παρατήρηση μικροσκοπικών αντικειμένων ώστε να γίνουν καθαρά παρατηρήσιμες οι λεπτομέρειες τους.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ. 31 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ l T mg r F Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να λυθεί. Δεν µοιάζει µε τη γνωστή εξίσωση Για µικρές γωνίες θ µπορούµε όµως να γράψουµε Εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER x(t+kτ) = x(t) = π/ω f = / x(t) = = 8 c j t e ω c = (a-jb ) Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c. Αυτός γίνεται κατορθωτός αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ FOURIER

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ FOURIER ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ FOURIER έκδοση DΥΝI-FAN_2016b

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 22: Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με το ΔΜΦ

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 22: Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με το ΔΜΦ HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 22: Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με το ΔΜΦ Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Το ζεύγος εξισώσεων που ορίζουν το

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος

Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός aplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος A R B i( ) i

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Σχολή Θετικών Επιστημών Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΙI Εργαστήριο 9 ο : Δειγματοληψία και Ανασύσταση

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία επεξεργασίας σημάτων

Στοιχεία επεξεργασίας σημάτων Στοιχεία επεξεργασίας σημάτων ΕΜΠ - ΣΧΟΛΗ ΑΤΜ Ακ. Έτος 2004-2005 Β.Βεσκούκης, Δ.Παραδείσης, Δ.Αργιαλάς, Δ.Δεληκαράογλου, Β.Καραθανάση, Β.Μασσίνας Γενικά στοιχεία για το μάθημα Εισάγεται στα πλαίσια της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Επεξεργασία Εικόνας Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Ήχος και φωνή. Τεχνολογία Πολυµέσων 04-1

Ήχος και φωνή. Τεχνολογία Πολυµέσων 04-1 Ήχος και φωνή Φύση του ήχου Ψηφιοποίηση µε µετασχηµατισµό Ψηφιοποίηση µε δειγµατοληψία Παλµοκωδική διαµόρφωση Αναπαράσταση µουσικής Ανάλυση και σύνθεση φωνής Μετάδοση φωνής Τεχνολογία Πολυµέσων 4-1 Φύση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά Κυµατικής Είδη κυµάτων: ιαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της ιάδοσης κυµάτων ΗΕξίσωσητουΚύµατος Κανόνας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Σχολή Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ι Εργαστήριο 1 ο : Εισαγωγή στο Simulink-Σήματα ημιτόνου-awgn

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα