ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

Transcript

1 Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως αν γνωρίζουµε το µέγεθός τους. Τέτοιες ϕυσικές ποσότητες ονο- µάζονται ϐαθµωτές ή αριθµητικές. Αλλες ϕυσικές ποσότητες, οι οποίες ονοµάζονται διανυσµατικές, περιγράφονται πλήρως µόνο αν γνωρίζουµε και το µέγεθός τους και την κατεύθυνσή τους. Ετσι για να περιγράψουµε την κίνηση του ανέµου δίνουµε και την ταχύτητά του και την κατεύθυνσή του, για παράδειγµα 0 χιλιόµετρα ανά ώρα, ϐορειοανατολικός. Η ταχύτητα του ανέµου µαζί µε την κατεύθυνσή του ϕτιάχνουν µία διανυσµατική ποσότητα την οποία ονοµάζουµε ταχύτητα του ανέµου. Αλλα παραδείγ- µατα διανυσµατικών ποσοτήτων είναι η δύναµη και η µετατόπιση. Σε αυτή την ενότητα ϑα εισάγουµε τη γεωµετρική έννοια του διανύσµατος στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο, ϑα ορίσουµε πράξεις µεταξύ διανυσµάτων και ϑα συζητήσουµε κάποιες ϐασικές ιδιότητες αυτών των πράξεων. Τα διανύσµατα µπορούν να αναπαρασταθούν γεωµετρικά σαν κατευθυνόµενα ευθύ- γραµµα τµήµατα ή σα ϐέλη στον -διάστατο ή στον 3-διάστατο χώρο. Η κατεύθυνση ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ του ϐέλους καθορίζει την κατεύθυνση του διανύσµατος και το µήκος του ϐέλους περιγράφει το µέγεθος του διανύσµατος. Η αρχή του ϐέλους ονοµάζεται αρχικό σηµείο του διανύσµατος και η κορυφή του τελικό σηµείο του διανύσµατος. Θα συµβολί- Ϲουµε τα διανύσµατα µε έντονα πεζά γράµµατα (για παράδειγµα a, k, v, w και x). 185

2 186 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Οταν µιλάµε για διανύσµατα ϑα ονοµάζουµε τους αριθµούς ϐαθµωτά. Ολα τα ϐαθ- µωτά µας ϑα είναι πραγµατικοί αριθµοί και ϑα τα συµβολίζουµε µε κανονικά πεζά γράµµατα (για παράδειγµα a, k, v, w και x). Αν, όπως στο Σχήµα 1α, το αρχικό σηµείο ενός διανύσµατος v είναι το A και το τελικό σηµείο είναι το B, τότε ϑα γράφουµε v = AB Σχήµα 1 ιανύσµατα µε το ίδιο µήκος και την ίδια κατεύθυνση, όπως αυτά του Σχήµατος 1ϐ, ονοµάζονται ισοδύναµα. Εφόσον επιθυµούµε ένα διάνυσµα να καθορίζεται µόνο από το µήκος και την κατεύθυνσή του, ϑα ϑεωρούµε τα ισοδύναµα διανύσµατα ίσα, παρότι µπορεί να ϐρίσκονται σε διαφορετικές ϑέσεις. Αν τα v και w είναι ισοδύναµα ϑα γράφουµε v = w Ορισµός. Αν τα v και w είναι διανύσµατα, τότε το άθροισµα v+w είναι το διάνυσµα το οποίο καθορίζεται ως εξής : Τοποθετούµε το διάνυσµα w έτσι ώστε το αρχικό του σηµείο να συµπίπτει µε το τελικό σηµείο του v. Το διάνυσµα v + w αναπαρίσταται από το ϐέλος το οποίο ξεκινάει από το αρχικό σηµείο του v και καταλήγει στο τελικό σηµείο του w (Σχήµα α.) Στο Σχήµα ϐ έχουµε κατασκευάσει δύο αθροίσµατα, το v + w (µπλε ϐέλη) και το w + v (άσπρα ϐέλη). Είναι προφανές ότι v + w = w + v και ότι το άθροισµα συµπίπτει µε τη διαγώνιο του παραλληλογράµµου που ορίζεται από τα v και w αν αυτά τοποθετηθούν έτσι ώστε να έχουν το ίδιο αρχικό σηµείο. Σχήµα Το διάνυσµα µε µηδενικό µήκος ονοµάζεται µηδενικό διάνυσµα και συµβολίζεται µε 0. Ορίζουµε 0 + v = v + 0 = v για οποιοδήποτε διάνυσµα v. Εφόσον δεν υπάρχει µία ϕυσιολογική κατεύθυνση για το µηδενικό διάνυσµα ϑα συµφωνήσουµε να του δίνουµε όποια κατεύθυνση είναι

3 3.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ (ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ) 187 ϐολική για το πρόβληµα που εξετάζουµε. Αν το v είναι ένα µη µηδενικό διάνυσµα, τότε το v, το αντίθετο του v, ορίζεται σαν το διάνυσµα το οποίο έχει το ίδιο µήκος µε το v, αλλά αντίθετη κατεύθυνση (Σχήµα 3). Σχήµα 3 Το διάνυσµα αυτό έχει την ιδιότητα v + ( v) = 0 (Γιατί ;) Επιπροθέτως ορίζουµε 0 = 0. Η αφαίρεση διανυσµάτων ορίζεται µε τον ακόλουθο τρόπο. Ορισµός. Αν τα v και w είναι δύο διανύσµατα, τότε η διαφορά του v από το w ορίζεται ως εξής v w = v + ( w) (Σχήµα 4α). Για να πάρουµε τη διαφορά v w χωρίς να κατασκευάσουµε το w τοποθετούµε τα v και w έτσι ώστε τα αρχικά τους σηµεία να συµπίπτουν, τότε το διάνυσµα από το τελικό σηµείο του w στο τελικό σηµείο του v είναι το v w (Σχήµα 4ϐ). Σχήµα 4 Ορισµός. Αν το v είναι ένα µη µηδενικό διάνυσµα και το k είναι ένας µη µηδενικός πραγµατικός αριθµός (ϐαθµωτό), τότε το γινόµενο kv ορίζεται ως το διάνυσµα του οποίου το µήκος είναι k ϕορές το µήκος του v και του οποίου η κατεύθυνση είναι η ίδια µε την κατεύθυνση του v αν k > 0 και αντίθετη από αυτήν του v αν k < 0. Αν k = 0 ή v = 0, τότε ορίζουµε kv = 0. Στο Σχήµα 5 ϐλεπουµε τη σχέση ανάµεσα στο διάνυσµα v και τα διανύσµατα 1 v, ( 1)v, v ( 3)v. Παρατηρούµε ότι το διάνυσµα ( 1)v έχει το ίδιο µήκος µε το v, αλλά έχει αντίθετη κατεύθυνση. Άρα το ( 1)v είναι το αντίθετο του v, δηλαδή ( 1)v = v Σχήµα 5 Ενα διάνυσµα της µορφής kv ονοµάζεται ϐαθµωτό γινόµενο του v. Οπως ϐλέπουµε από το Σχήµα 5, διανύσµατα τα οποία είναι το ένα ϐαθµωτό γινόµενο του άλλου είναι παράλληλα. Αντίστροφα, µπορεί κανείς να δείξει ότι µη µηδενικά παράλληλα διανύσµατα είναι το ένα ϐαθµωτό γινόµενο του άλλου. Παραλείπουµε την απόδειξη.

4 188 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προβλήµατα τα οποία αφορούν διανύσµατα µπορούν να απλοποιηθούν µε την εισαγωγή ενός ορθογώνιου συστήµατος συντεταγµένων. Θα ξεκινήσουµε εξετάζοντας τι γίνεται στον -διάστατο χώρο (το επίπεδο). Εστω v ένα διάνυσµα στο επίπεδο και ας ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ υποθέσουµε ότι το v έχει τοποθετηθεί έτσι ώστε το αρχικό του σηµείο να ϐρίσκεται στην αρχή των αξόνων του ορθογώνιου συστήµατος συντεταγµένων. Οι συντεταγµένες (v 1, v ) του τελικού σηµείου του διανύσµατος v ονοµάζονται συνιστώσες του v. Θα γράφουµε v = (v 1, v ) Αν δύο ισοδύναµα διανύσµατα v και w τοποθετηθούν έτσι ώστε τα αρχικά τους σηµεία να ϐρίσκονται στην αρχή των αξόνων, τότε είναι προφανές ότι τα τελικά τους σηµεία πρέπει να συµπίπτουν (εφόσον τα διανύσµατα έχουν το ίδιο µήκος και την ίδια κατεύθυνση) και άρα τα δύο διανύσµατα έχουν τις ίδιες συνιστώσες. Αντίστροφα, διανύσµατα µε τις ίδιες συνιστώσες είναι ισοδύναµα, εφόσον έχουν το ίδιο µήκος και την ίδια κατεύθυνση. Συνοψίζοντας παίρνουµε ότι δύο διανύσµατα v = (v 1, v ) και w = (w 1, w ) είναι ισοδύναµα αν και µόνο αν v 1 = w 1 και v = w Σχήµα 6 Οι πράξεις της πρόσθεσης διανυσµάτων και του πολλαπλασιασµού µε ϐαθµωτό είναι εύκολο να γίνουν µέσω συνιστωσών. Οπως ϕαίνεται στο Σχήµα 7, αν τότε v = (v 1, v ) και w = (w 1, w ) v + w = (v 1 + w 1, v + w ) (1) Σχήµα 7 Αν το v = (v 1, v ) είναι ένα διάνυσµα και το k είναι ένα ϐαθµωτό, τότε, χρησιµοποιώντας ένα γεωµετρικό επιχείρηµα µε όµοια τρίγωνα, µπορούµε να δείξουµε (Άσκηση 15) ότι kv = (kv 1, kv ) ()

5 3.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ (ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ) 189 (Σχήµα 8). Ετσι, για παράδειγµα, αν v = (1, ) και w = (7, 6), τότε v + w = (1, ) + (7, 6) = (1 + 7, + 6) = (8, 4) και 4v = 4(1, ) = (4(1), 4( )) = (4, 8) Εφόσον v w = v + ( 1)w, παίρνουµε από τους Τύπους (1) και () ότι v w = (v 1 w 1, v w ) (Επιβεβαιώστε το.) Σχήµα 8 Ακριβώς όπως τα διανύσµατα στο επίπεδο µπορούν να περιγραφούν από Ϲεύγη πραγ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ µατικών αριθµών, έτσι και τα διανύσµατα στον 3-διάστατο χώρο µπορούν να περιγραφούν σαν τριάδες πραγµατικών αριθµών µε την εισαγωγή ενός ορθογώνιου συστήµατος συντεταγµένων. Για να κατασκευάσουµε ένα τέτοιο σύστηµα επιλέγουµε ένα σηµείο O, το οποίο ονοµάζουµε αρχή των αξόνων, και τρεις, ανά δύο κάθετες, ευθείες οι οποίες περνάνε από την αρχή των αξόνων, τις οποίες ονοµάζουµε άξονες συντεταγµένων. ίνουµε τα ονόµατα x, y και z σε αυτούς τους άξονες και για κάθε άξονα επιλέγουµε τη ϑετική κατεύθυνση και τη µονάδα µέτρησης του µήκους (Σχήµα 9 α). Κάθε Ϲεύγος αξόνων ορίζει ένα επίπεδο, το οποίο ονοµάζεται επίπεδο συντεταγµένων. Ονοµάζουµε αυτά τα επίπεδα επίπεδο xy, επίπεδο xz και επίπεδο yz. Σε κάθε σηµείο P στον 3-διάστατο χώρο αντιστοιχίζουµε µία τριάδα αριθµών (x, y, z), την οποία ονοµάζουµε συντεταγµένες του P, µε τον ακόλουθο τρόπο : Φέρνουµε τρία επίπεδα τα οποία περνάνε από το P και είναι παράλληλα στα επίπεδα συντεταγµένων και ονοµάζουµε τα σηµεία τοµής αυτών των επιπέδων µε τους τρείς άξονες συντεταγµένων X, Y και Z (Σχήµα 9 ϐ). Οι συντεταγµένες του P ορίζονται ως τα προσηµασµένα µήκη x = OX y = OY z = OZ Σχήµα 9 Στο Σχήµα 10 κατασκευάσαµε τα σηµεία των οποίων οι συντεταγµένες είναι (4, 5, 6) και ( 3,, 4).

6 190 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Σχήµα 10 Τα ορθογώνια συστήµατα συντεταγµένων στον 3-διάστατο χώρο χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, τα αριστερόστροφα και τα δεξιόστροφα. Ενα δεξιόστροφο σύστηµα έχει την ιδιότητα ότι µία ϐίδα η οποία δείχνει προς τη ϑετική κατέυθυνση του άξονα z ϑα κινηθεί προς τα πάνω αν στρίψουµε τον ϑετικό ηµιάξονα x κατά 90 προς τον ϑετικό ηµιάξονα y (Σχήµα 11α). Το σύστηµα είναι αριστερόστροφο αν η ϐίδα κινηθεί προς τα κάτω (Σχήµα 11ϐ). Σχήµα 11 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Σε αυτό το ϐιβλίο ϑα χρησιµοποιούµε µόνο δεξιόστροφα συστήµατα συντεταγµένων. Αν, όπως στο Σχήµα 1, ένα διάνυσµα v στον 3-διάστατο χώρο τοποθετηθεί έτσι ώστε το αρχικό του σηµείο να ϐρίσκεται στην αρχή ενός ορθογώνιου συστήµατος συντεταγµένων, τότε οι συντεταγµένες του τελικού του σηµείου ονοµάζονται συνιστώσες του v και γράφουµε v = (v 1, v, v 3 ) Σχήµα 1 Αν τα v = (v 1, v, v 3 ) και w = (w 1, w, w 3 ) είναι δύο διανύσµατα στον 3-διάστατο χώρο, τότε επιχειρήµατα παρόµοια µε αυτά που χρησιµοποιήσαµε για το επίπεδο µας οδηγούν στα παρακάτω αποτελέσµατα. Τα v και w είναι ισοδύναµα αν και µόνο αν v 1 = w 1, v = w και v 3 = w 3 v + w = (v 1 + w 1, v + w, v 3 + w 3 ) kv = (kv 1, kv, kv 3 ), αν το k είναι οποιοδήποτε ϐαθµωτό Παράδειγµα 1 Αν τα v = (1, 3, ) και w = (4,, 1), τότε v + w = (5, 1, 3), v = (, 6, 4), w = ( 4,, 1), v w = v + ( w) = ( 3, 5, 1) Κάποιες ϕορές ένα διάνυσµα είναι έτσι τοποθετηµένο ώστε το αρχικό του σηµείο δε ϐρίσκεται στην αρχή των αξόνων. Αν το διάνυσµα P 1 P έχει αρχικό σηµείο P 1 (x 1, y 1, z 1 ) και τελικό σηµείο P (x, y, z ), τότε P 1 P = (x x 1, y y 1, z z 1 )

7 3.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ (ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ) 191 ηλαδή για να πάρουµε τις συνιστώσες του P 1 P αφαιρούµε τις συντεταγµένες του αρχικού σηµείου από τις συντεταγµένες του τελικού σηµείου. Αυτό µπορούµε να το δούµε από το Σχήµα 13: Το διάνυσµα P 1 P είναι η διαφορά των διανυσµάτων OP και OP 1 και άρα P 1 P = OP OP 1 = (x, y, z ) (x 1, y 1, z 1 ) = (x x 1, y y 1, z z 1 ) Σχήµα 13 Παράδειγµα Οι συνιστώσες του διανύσµατος v = P 1 P µε αρχικό σηµείο P 1 (, 1, 4) και τελικό σηµείο P (7, 5, 8) είναι v = (7, 5 ( 1), 8 4) = (5, 6, 1) Στο -διάστατο χώρο το διάνυσµα µε αρχικό σηµείο P 1 (x 1, y 1 ) και τελικό σηµείο P (x, y ) είναι P 1 P = (x x 1, y y 1 ) Η λύση πολλών προβληµάτων µπορεί να γίνει απλούστερη αν µετατοπίσουµε τους άξονες συντεταγµένων για να πάρουµε νέους άξονες παράλληλους µε τους αρχικούς. Στο Σχήµα 14 α µετατοπίσαµε τους άξονες του συστήµατος συντεταγµένων xy και ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ πήραµε ένα σύστηµα συντεταγµένων x y του οποίου η αρχή των αξόνων O ϐρίσκεται στο σηµείο (x, y) = (k, l). Ενα σηµείο P στο -διάστατο χώρο έχει και συντεταγµένες (x, y) και συντεταγµένες (x, y ). Για να δούµε πώς αυτές οι δύο συνδέονται ϑεωρούµε το διάνυσµα O P (Σχήµα 14ϐ). Στο σύστηµα xy το αρχικό του σηµείο ϐρίσκεται στο (k, l) και το τελικό σηµείο στο (x, y) και άρα O P = (x k, y l). Στο σύστηµα x y το αρχικό του σηµείο ϐρίσκεται στο (0, 0) και το τελικό σηµείο στο (x, y ) και άρα O P = (x, y ). Εποµένως x = x k y = y l Οι τύποι αυτοί ονοµάζονται εξισώσεις µετατόπισης. Σχήµα 14 Παράδειγµα 3 Υποθέτουµε ότι ένα σύστηµα συντεταγµένων xy µετατοπίζεται έτσι ώστε να πάρουµε ένα σύστηµα συντεταγµένων x y του οποίου η αρχή έχει xy συντεταγµένες (k, l) = (4, 1).

8 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ (α) Να ϐρεθούν οι x y συντεταγµένες του σηµείου µε xy συντεταγµένες P (, 0). (ϐ) Να ϐρεθούν οι xy συντεταγµένες του σηµείου µε x y συντεταγµένες Q( 1, 5). Λύση (α). Οι εξισώσεις µετατόπισης είναι x = x 4 y = y 1 και άρα οι x y συντεταγµένες του σηµείου P (, 0) είναι x = 4 = και y = 0 1 = 1. Λύση (ϐ). Οι εξισώσεις µετατόπισης από το (α) µπορούν να ξαναγραφτούν ως εξής x = x + 4 y = y + 1 και άρα οι xy συντεταγµένες του Q είναι x = = 3 και y = = 6. Στον 3-διάστατο χώρο οι εξισώσεις µετατόπισης είναι x = x k y = y l z = z m όπου (k, l, m) είναι οι xyz συντεταγµένες της αρχής των αξόνων στο σύστηµα x y z. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ Σχεδιάστε ένα δεξιόστροφο σύστηµα συντεταγµένων και ϐρείτε τα σηµεία των οποίων οι συντεταγµένες είναι (α) (3, 4, 5) (ϐ) ( 3, 4, 5) (γ) (3, 4, 5) (δ) (3, 4, 5) (ε) ( 3, 4, 5) (στ) ( 3, 4, 5) (Ϲ) (3, 4, 5) (η) ( 3, 4, 5) (ϑ) ( 3, 0, 0) (ι) (3, 0, 3) (ια) (0, 0, 3) (ιβ) (0, 3, 0). Να σχεδιαστούν τα παρακάτω διανύσµατα µε το αρχικό σηµείο τοποθετηµένο στην αρχή των αξόνων : (α) v 1 = (3, 6) (ϐ) v = ( 4, 8) (γ) v 3 = ( 4, 3) (δ) v 4 = (5, 4) (ε) v 5 = (3, 0) (στ) v 6 = (0, 7) (Ϲ) v 7 = (3, 4, 5) (η) v 8 = (3, 3, 0) (ϑ) v 9 = (0, 0, 3) 3. Να ϐρεθούν οι συνιστώσες των διανυσµάτων µε αρχικό σηµείο P 1 και τελικό σηµείο P. (α) P 1(4, 8), P (3, 7) (ϐ) P 1(3, 5), P ( 4, 7) (γ) P 1( 5, 0), P ( 3, 1) (δ) P 1(0, 0), P (a, b) (ε) P 1(3, 7, ), P (, 5, 4) (στ) P 1( 1, 0, ), P (0, 1, 0) (Ϲ) P 1(a, b, c), P (0, 0, 0) (η) P 1(0, 0, 0), P (a, b, c) 4. Να ϐρεθεί το τελικό σηµείο ενός διανύσµατος u µε αρχικό σηµείο P ( 1, 3, 5) τέτοιου ώστε (α) Το u να έχει την ίδια κατεύθυνση µε το v = (6, 7, 3) (ϐ) Το u να έχει αντίθετη κατεύθυνση από το v = (6, 7, 3) 5. Να ϐρεθεί το αρχικό σηµείο ενός διανύσµατος u µε τελικό σηµείο Q(3, 0, 5) τέτοιου ώστε (α) Το u να έχει την ίδια κατεύθυνση µε το v = (4,, 1) (ϐ) Το u να έχει αντίθετη κατεύθυνση από το v = (4,, 1)

9 3.. ΝΟΡΜΑ ΕΝΟΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟ, ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Εστω u = ( 3, 1, ), v = (4, 0, 8) και w = (6, 1, 4). Να ϐρεθούν οι συνιστώσες των (α) v w (ϐ) 6u + v (γ) v + u (δ) 5(v 4u) (ε) 3(v 8w) (στ) (u 7v) (8v + u) 7. Εστω u, v και w τα διανύσµατα της Άσκησης 6. Να ϐρεθούν οι συνιστώσες του διανύσµατος x το οποίο ικανοποιεί την u v + x = 7x + w. 8. Εστω u, v και w τα διανύσµατα της Άσκησης 6. Να ϐρεθούν ϐαθµωτα c 1, c και c 3 τέτοια ώστε c 1u + c v + c 3w = (, 0, 4) 9. είξτε ότι δεν υπάρχουν ϐαθµωτά c 1, c και c 3 τέτοια ώστε c 1(, 9, 6) + c ( 3,, 1) + c 3(1, 7, 5) = (0, 5, 4) 10. Να ϐρεθούν όλα τα ϐαθµωτά c 1, c και c 3 για τα οποία c 1(1,, 0) + c (, 1, 1) + c 3(0, 3, 1) = (0, 0, 0) 11. Εστω P το σηµείο (, 3, ) και Q το σηµείο (7, 4, 1). (α) Να ϐρεθεί το σηµείο που ϐρίσκεται στο µέσο του ευθύγραµµου τµήµατος που ενώνει τα P και Q. (ϐ) Να ϐρεθεί το σηµείο του ευθύγραµµου τµήµατος που ενώνει τα P και Q το οποίο ϐρίσκεται στα 3/4 της διαδροµής από το P στο Q. 1. Εστω ότι ένα σύστηµα συντεταγµένων xy µετατοπίζεται ώστε να πάρουµε ένα σύστηµα συντεταγµένων x y του οποίου η αρχή των αξόνων O έχει xy συντεταγµένες (, 3). (α) Να ϐρεθούν οι x y συντεταγµένες του σηµείου P το οποίο έχει xy συντεταγµένες (7, 5). (ϐ) Να ϐρεθούν οι xy συντεταγµένες του σηµείου Q το οποίο έχει x y συντεταγµένες ( 3, 6). (γ) Σχεδιάστε τους άξονες συντεταγµένων xy και x y και ϐρείτε τα σηµεία P και Q. 13. Εστω ότι ένα σύστηµα συντεταγµένων xyz µετατοπίζεται ώστε να πάρουµε ένα σύστηµα συντεταγµένων x y z. Εστω v ένα διάνυσµα του οποίου οι συνιστώσες στο xyz σύστηµα είναι v = (v 1, v, v 3). Αποδείξτε ότι οι συνιστώσες του v στο x y z σύστηµα είναι οι ίδιες. 14. Να ϐρεθούν οι συνιστώσες των u, v, u + v και u v για τα διανύσµατα του Σχήµατος 15. Σχήµα Αποδείξτε γεωµετρικά ότι αν v = (v 1, v ), τότε kv = (kv 1, kv ). (Περιοριστείτε στην περίπτωση που k > 0, όπως ϕαίνεται στο Σχήµα 8. Η πλήρης απόδειξη περιλαµβάνει πολλές διαφορετικές περιπτώσεις οι οποίες εξαρτώνται από το πρόσηµο του k και το τεταρτηµόριο στο οποίο ϐρίσκεται το διάνυσµα.) 3. Νόρµα ενός ιανύσµατος, Αριθµητική ιανυσµάτων Σε αυτή την ενότητα ϑα µιλήσουµε για τους κύριους κανόνες της αριθµητικής διανυσµάτων. Στο επόµενο ϑεώρηµα δίνουµε έναν κατάλογο µε τις πιο σηµαντικές ιδιότητες των Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

10 194 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ πράξεων διανυσµάτων στο -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο. Θεώρηµα Αν τα u, v και w είναι διανύσµατα στο - ή στον 3-διάστατο χώρο και τα k και l είναι ϐαθµωτά, τότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις. (α) u + v = v + u (ϐ) (u + v) + w = u + (v + w) (γ) u + 0 = 0 + u = u (δ) u + ( u) = 0 (ε) k(lu) = (kl)u (στ) k(u + v) = ku + kv (Ϲ) (k + l)u = ku + lu (η) 1u = u Πριν µιλήσουµε για την απόδειξη του ϑεωρήµατος πρέπει να σηµειώσουµε ότι µε όσα είπαµε µέχρι τώρα αναπτύξαµε δύο τρόπους να ϐλέπουµε τα διανύσµατα : τον γεωµετρικό στον οποίο τα διανύσµατα αναπαριστώνται από ϐέλη ή από κατευθυνόµενα ευθύγραµµα τµήµατα και τον αναλυτικό στον οποίο τα διανύσµατα αναπαριστώνται από Ϲεύγη ή από τριάδες αριθµών που ονοµάζονται συνιστώσες. Εποµένως οι ισότητες του Θεωρήµατος 3..1 µπορούν να αποδειχθούν είτε γεωµετρικά είτε αναλυτικά. Για να δούµε πώς γίνεται αυτό ϑα αποδείξουµε και µε τους δύο τρόπους το µέρος (ϐ). Οι υπόλοιπες αποδείξεις αφήνονται σαν ασκήσεις. Απόδειξη του µέρους (ϐ) (αναλυτική). Θα δώσουµε την απόδειξη για διανύσµατα στον 3-διάστατο χώρο. Η απόδειξη για τον -διάστατο χώρο είναι παρόµοια. Αν u = (u 1, u, u 3 ), v = (v 1, v, v 3 ) και w = (w 1, w, w 3 ), τότε (u + v) + w = [(u 1, u, u 3 ) + (v 1, v, v 3 )] + (w 1, w, w 3 ) = (u 1 + v 1, u + v, u 3 + v 3 ) + (w 1, w, w 3 ) = ([u 1 + v 1 ] + w 1, [u + v ] + w, [u 3 + v 3 ] + w 3 ) = (u 1 + [v 1 + w 1 ], u + [v + w ], u 3 + [v 3 + w 3 ]) = (u 1, u, u 3 ) + [(v 1, v, v 3 ) + (w 1, w, w 3 )] = u + (v + w) Απόδειξη του µέρους (ϐ) (γεωµετρική). Εστω ότι τα u, v και w αναπαρίστανται από τα P Q, QR και RS όπως στο Σχήµα 1. Τότε v + w = QS και u + (v + w) = P S Επίσης u + v = P R και (u + v) + w = P S Εποµένως u + (v + w) = (u + v) + w Σχήµα 1

11 3.. ΝΟΡΜΑ ΕΝΟΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟ, ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 195 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Το µέρος (ϐ) του προηγούµενου ϑεωρήµατος µας επιτρέπει να χρησι- µοποιούµε το σύµβολο u + v + w χωρίς να δηµιουργείται κάποιο πρόβληµα, εφόσον παίρνουµε το ίδιο αποτέλεσµα όπου και αν ϐάλουµε τις παρενθέσεις. Επιπλέον έ- χουµε ότι αν τοποθετήσουµε τα διανύσµατα u, v και w «το ένα µετά το άλλο», τότε το άθροισµα u + v + w είναι το διάνυσµα µε αρχικό σηµείο το αρχικό σηµείο του u και τελικό σηµείο το τελικό σηµείο του w (Σχήµα 1). Το µήκος ενός διανύσµατος u συχνά ονοµάζεται νόρµα του u και συµβολίζεται µε u. Από το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα παίρνουµε ότι η νόρµα ενός διανύσµατος u = (u 1, u ) είναι u = u 1 + u (1) ΝΟΡΜΑ ΕΝΟΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ (Σχήµα α). Εστω u = (u 1, u, u 3 ) ένα διάνυσµα στον 3-διάστατο χώρο. Χρησιµοποιώντας το Σχήµα ϐ και εφαρµόζοντας δύο ϕορές το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα παίρνουµε Εποµένως u = (OR) + (P R) = (OQ) + (OS) + (P R) = u 1 + u + u 3 u = u 1 + u + u 3 () Σχήµα Ενα διάνυσµα µε νόρµα 1 ονοµάζεται µοναδιαίο διάνυσµα. Αν τα P 1 (x 1, y 1, z 1 ) και P (x, y, z ) είναι δύο σηµεία στον 3-διάστατο χώρο, τότε η απόσταση d µεταξύ τους είναι η νόρµα του διανύσµατος P 1 P (Σχήµα 3). Εφόσον P 1 P = (x x 1, y y 1, z z 1 ) παίρνουµε από την () ότι d = (x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ) Σχήµα 3 Οµοια αν P 1 (x 1, y 1 ) και P (x, y ) είναι δύο σηµεία στον -διάστατο χώρο, τότε η απόσταση µεταξύ τους δίνεται από τον παρακάτω τύπο d = (x x 1 ) + (y y 1 )

12 196 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Παράδειγµα 1 Η νόρµα του διανύσµατος u = ( 3,, 1) είναι u = ( 3) + () + (1) = 14 Η απόσταση d µεταξύ των σηµείων P 1 (, 1, 5) και P (4, 3, 1) είναι d = (4 ) + ( 3 + 1) + (1 + 5) = 44 = 11 Από τον ορισµό του γινοµένου ku, το µήκος του διανύσµατος ku είναι k ϕορές το µήκος του u. Αν την εκφράσουµε σαν εξίσωση η σχέση αυτή γράφεται ku = k u Ο τύπος αυτός είναι ιδιαίτερα χρήσιµος και ισχύει και στο -διάστατο και στον 3- διάστατο χώρο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ Να ϐρεθεί η νόρµα του v. (α) v = (4, 3) (ϐ) v = (, 3) (γ) v = ( 5, 0) (δ) v = (,, ) (ε) v = ( 7,, 1) (στ) v = (0, 6, 0). Να ϐρεθεί η απόσταση µεταξύ των P 1 και P. (α) P 1(3, 4), P (5, 7) (ϐ) P 1( 3, 6), P ( 1, 4) (γ) P 1(7, 5, 1), P ( 7,, 1) (δ) P 1(3, 3, 3), P (6, 0, 3) 3. Εστω u = (,, 3), v = (1, 3, 4) και w = (3, 6, 4). Να υπολογιστούν τα παρακάτω : (α) u + v (ϐ) u + v (γ) u + u 1 (δ) 3u 5v + w (ε) w w (στ) 1 w w 4. Εστω v = ( 1,, 5). Να ϐρεθούν όλα τα ϐαθµωτά k για τα οποία kv = Εστω u = (7, 3, 1), v = (9, 6, 6), w = (, 1, 8), k = και l = 5. Επιβεβαιώστε ότι αυτά τα διανύσµατα και ϐαθµωτά ικανοποιούν τις παρακάτω ισότητες του Θεωρήµατος (α) µέρος (ϐ) (ϐ) µέρος (ε) (γ) µέρος (στ) (δ) µέρος (Ϲ) 6. (α) είξτε ότι αν το v είναι ένα µη µηδενικό διάνυσµα, τότε το 1 v v είναι ένα µοναδιαίο διάνυσµα. (ϐ) Χρησιµοποιήστε το αποτέλεσµα του µέρους (α) για να ϐρείτε ένα µοναδιαίο διάνυσµα το οποίο να έχει την ίδια κατεύθυνση µε το διάνυσµα v = (3, 4). (γ) Χρησιµοποιήστε το αποτέλεσµα του µέρους (α) για να ϐρείτε ένα µοναδιαίο διάνυσµα το οποίο να έχει την αντίθετη κατεύθυνση από το διάνυσµα v = (, 3, 6).

13 3.3. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ, ΠΡΟΒΟΛΕΣ (α) είξτε ότι οι συνιστώσες του διανύσµατος v = (v 1, v ) του Σχήµατος 4 είναι v 1 = v cos θ και v = v sin θ. (ϐ) Εστω u και v τα διανύσµατα του Σχήµατος 5. Χρησιµοποιήστε το αποτέλεσµα του µέρους (α) για να ϐρείτε τις συνιστώσες του 4u 5v. Σχήµα 4 Σχήµα 5 8. Εστω p 0 = (x 0, y 0, z 0). Περιγράψτε το σύνολο όλων των σηµείων p(x, y, z) για τα οποία p p 0 = Αποδείξτε γεωµετρικά ότι αν τα u και v είναι διανύσµατα στο - ή στον 3-διάστατο χώρο, τότε u + v u + v. 10. Αποδείξτε αναλυτικα τα µέρη (α), (γ) και (ε) του Θεωρήµατος Αποδείξτε αναλυτικα τα µέρη (δ), (Ϲ) και (η) του Θεωρήµατος Αποδείξτε γεωµετρικά το µέρος (στ) του Θεωρήµατος Εσωτερικό Γινόµενο, Προβολές Σε αυτή την ενότητα ϑα µιλήσουµε για έναν τρόπο να πολλαπλασιάζουµε διανύσµατα στο -διάστατο ή στον 3-διάστατο χώρο και ϑα δώσουµε κάποιες εφαρµογές αυτού του πολλαπλασιασµού στη γεωµετριά. Εστω u και v δύο µη µηδενικά διανύσµατα στο -διάστατο ή στον 3-διάστατο χώρο. Ας υποθέσουµε ότι αυτά τα διανύσµατα έχουν τοποθετηθεί έτσι ώστε τα αρχικά τους σηµεία να συµπίπτουν. Θα ονοµάζουµε γωνία µεταξύ των u και v τη γωνία θ που ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ορίζουν τα u και v και η οποία ικανοποιεί την ανισότητα 0 θ π (Σχήµα 1). Σχήµα 1 Ορισµός. Αν τα u και v είναι διανύσµατα στο - ή στον 3-διάστατο χώρο και θ είναι η γωνία µεταξύ των u και v, τότε το Ευκλείδιο εσωτερικό γινόµενο ή απλά εσωτερικό γινόµενο u v ορίζεται ως εξής u v = { u v cos θ αν u 0 και v 0 0 αν u = 0 ή v = 0 (1) Παράδειγµα 1 Οπως ϕαίνεται στο Σχήµα, η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων u = (0, 0, 1) και v = (0,, ) είναι 45. Εποµένως u v = u v cos θ = ( )( ( ) ) =

14 198 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Σχήµα ΤΥΠΟΣ ΜΕ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ Για λόγους υπολογισµών ϑα ϑέλαµε να έχουµε έναν τύπο ο οποίος να εκφράζει το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων µέσω των συνιστωσών τους. Θα ϐρούµε έναν τέτοιο τύπο για διανύσµατα στον 3-διάστατο χώρο. Με τον ίδιο τρόπο µπορούµε να ϐρούµε και έναν τύπο για διανύσµατα στον -διάστατο χώρο. Εστω u = (u 1, u, u 3 ) και v = (v 1, v, v 3 ) δύο µη µηδενικά διανύσµατα. Αν, όπως στο Σχήµα 3, θ είναι η γωνία µεταξύ των u και v, τότε από το νόµο των συνηµιτόνων παίρνουµε P Q = u + v u v cos θ () Σχήµα 3 Εφόσον P Q = v u, µπορούµε να ξαναγράψουµε την () ως εξής u v cos θ = 1 ( u + v v u ) ή u v = 1 ( u + v v u ) Αν κάνουµε τις αντικαταστάσεις u = u 1 + u + u 3 v = v 1 + v + v 3 και v u = (v 1 u 1 ) + (v u ) + (v 3 u 3 ) και απλοποιήσουµε παίρνουµε u v = u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 (3) Αν τα u = (u 1, u ) και v = (v 1, v ) είναι δύο διανύσµατα στον -διάστατο χώρο, τότε ο αντίστοιχος τύπος είναι u v = u 1 v 1 + u v (4) ΕΥΡΕΣΗ ΓΩΝΙΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Αν τα u και v είναι µη µηδενικά διανύσµατα, τότε ο Τύπος (1) µπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής cos θ = u v u v (5)

15 3.3. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ, ΠΡΟΒΟΛΕΣ 199 Παράδειγµα Θεωρούµε τα διανύσµατα u = (, 1, 1) και v = (1, 1, ) Να ϐρεθεί το u v και η γωνία θ µεταξύ των u και v. Λύση. u v = u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 = ()(1) + ( 1)(1) + (1)() = 3 Εχουµε επίσης ότι u = v = 6. Άρα από την (5) παίρνουµε cos θ = u v u v = 3 = Άρα θ = 60. Παράδειγµα 3 Να ϐρεθεί η γωνία µεταξύ µίας διαγωνίου ενός κύβου και µίας ακµής του. Λύση. Εστω k το µήκος της ακµής του κύβου. Εισάγουµε ένα σύστηµα συντεταγµένων όπως ϕαίνεται στο Σχήµα 4. Σχήµα 4 Αν u 1 = (k, 0, 0), u = (0, k, 0) και u 3 = (0, 0, k), τότε το διάνυσµα d = (k, k, k) = u 1 + u + u 3 είναι η διαγώνιος του κύβου. Για τη γωνία θ µεταξύ του d και του u 1 έχουµε cos θ = u 1 d u 1 d = k (k)( 3k ) = 1 3 Εποµένως θ = cos 1 ( 1 3 ) Το επόµενο ϑεώρηµα µας λέει µε ποιο τρόπο µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το εσωτερικό γινόµενο για να πάρουµε πληροφορίες για τη γωνία µεταξύ δύο διανυσµάτων. Επίσης µας δίνει µία πολύ σηµαντική σχέση µεταξύ της νόρµας και του εσωτερικού γινοµένου.

16 00 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Θεώρηµα Εστω u και v διανύσµατα στο - ή στον 3-διάστατο χώρο. (α) v v = v, δηλαδή v = (v v) 1 (ϐ) Αν τα διανύσµατα u και v είναι µη µηδενικά και θ είναι η γωνία µεταξύ τους, τότε θ οξεία αν και µόνο αν u v > 0 θ αµβλεία αν και µόνο αν u v < 0 θ = π/ αν και µόνο αν u v = 0 Απόδειξη (α). Εφόσον η γωνία θ µεταξύ των v και v είναι 0, έχουµε v v = v v cos θ = v cos 0 = v Απόδειξη (ϐ). Εφόσον η θ ικανοποιεί τη σχέση 0 θ π, παίρνουµε ότι : θ οξεία αν και µόνο αν cos θ > 0, θ αµβλεία αν και µόνο αν cos θ < 0 και θ = π/ αν και µόνο αν cos θ = 0. Τα cos θ και u v έχουν το ίδιο πρόσηµο, εφόσον u v = u v cos θ, u > 0 και v > 0. Από όσα είπαµε παίρνουµε το αποτέλεσµα. Παράδειγµα 4 Αν u = (1,, 3), v = ( 3, 4, ) και w = (3, 6, 3), τότε u v = (1)( 3) + ( )(4) + (3)() = 5 v w = ( 3)(3) + (4)(6) + ()(3) = 1 u w = (1)(3) + ( )(6) + (3)(3) = 0 Εποµένως τα u και v σχηµατίζουν αµβλεία γωνία, τα v και w σχηµατίζουν οξεία γωνία και τα u και w είναι κάθετα. ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Τα κάθετα διανύσµατα τα ονοµάζουµε και ορθογώνια διανύσµατα. Από όσα είπαµε στο Θεώρηµα 3.3.1(ϐ), ϐλέπουµε ότι δύο µη µηδενικά διανύσµατα είναι ορθογώνια αν και µόνο αν το εσωτερικό τους γινόµενο είναι µηδέν. Αν συµφωνήσουµε να ϑεωρούµε τα u και v κάθετα όταν και τα δύο ή ένα από τα δύο είναι 0, τότε µπορούµε να πούµε ότι γενικά δύο διανύσµατα u και v είναι ορθογώνια (κάθετα) αν και µόνο αν u v = 0. Για να δείξουµε ότι τα u και v είναι ορθογώνια διανύσµατα ϑα γράφουµε u v. Παράδειγµα 5 είξτε ότι στο -διάστατο χώρο το µη µηδενικό διάνυσµα n = (a, b) είναι κάθετο στην ευθεία ax + by + c = 0. Λύση. Εστω P 1 (x 1, y 1 ) και P (x, y ) δύο διαφορετικά σηµεία της ευθείας. Τότε ϑα ισχύει ax 1 + by 1 + c = 0 ax + by + c = 0 (6)

17 3.3. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ, ΠΡΟΒΟΛΕΣ 01 Εφόσον το διάνυσµα P 1 P = (x x 1, y y 1 ) κινείται πάνω στην ευθεία (Σχήµα 5), αρκεί να δείξουµε ότι τα n και P 1 P είναι κάθετα. Αφαιρώντας κατά µέλη της εξισώσεις στην (6) παίρνουµε a(x x 1 ) + b(y y 1 ) = 0 το οποίο ξαναγράφεται στη µορφή (a, b) (x x 1, y y 1 ) = 0 ή Άρα τα n και P 1 P είναι κάθετα. n P 1 P = 0 Σχήµα 5 Στο επόµενο ϑεώρηµα δίνουµε έναν κατάλογο µε τις πιο σηµαντικές ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου. Οι ιδιότητες αυτές είναι χρήσιµες σε υπολογισµούς. Θεώρηµα Αν τα u, v και w είναι διανύσµατα στο - ή στον 3-διάστατο χώρο και το k είναι ϐαθµωτό, τότε (α) u v = v u (ϐ) u (v + w) = u v + u w (γ) k(u v) = (ku) v = u (kv) (δ) v v > 0 αν v 0 και v v = 0 αν v = 0 Απόδειξη. Θα αποδείξουµε το (γ) για διανύσµατα στον 3-διάστατο χώρο και ϑα αφήσου- µε τις υπόλοιπες αποδείξεις σαν ασκήσεις. Εστω u = (u 1, u, u 3 ) και v = (v 1, v, v 3 ). Τότε Οµοια k(u v) = k(u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) = (ku 1 )v 1 + (ku )v + (ku 3 )v 3 = (ku) v k(u v) = u (kv) Σε πολλες εφαρµογές µας ενδιαφέρει να «διασπάσουµε» ένα διάνυσµα u σε ένα άθροι- σµα δύο όρων, ενός παράλληλου µε ένα συγκεκριµένο µη µηδενικό διάνυσµα a και ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ενός κάθετου στο a. Αν τα u και a τοποθετηθούν έτσι ώστε τα αρχικά τους σηµεία να συµπίπτουν σε ένα σηµείο Q, µπορούµε να διασπάσουµε το διάνυσµα u ως εξής (Σχήµα 6): Φέρνουµε µία κάθετη από το τελικό σηµείο του u στην ευθεία που ορίζει

18 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ το a και κατασκευάζουµε ένα διάνυσµα w 1 µε αρχικό σηµείο το Q και τελικό σηµείο το σηµείο στο οποίο η κάθετος τέµνει την ευθεία. Κατόπιν σχηµατίζουµε τη διαφορά w = u w 1 Οπως ϕαίνεται στο Σχήµα 6, το διάνυσµα w 1 είναι παράλληλο στο a, το διάνυσµα w είναι κάθετο στο a και w 1 + w = w 1 + (u w 1 ) = u Σχήµα 6 Το διάνυσµα w 1 ονοµάζεται ορθογωνια προβολή του u στο a ή συνιστώσα του u κατά µήκος του a. Συµβολίζεται µε proj a u (7) Το διάνυσµα w ονοµάζεται συνιστώσα του u κάθετα στο a. Εφόσον w = u w 1, το διάνυσµα αυτό µπορεί να γραφτεί µε το συµβολισµό της (7) ως εξής w = u proj a u Το επόµενο ϑεώρηµα µας δίνει τύπους για τον υπολογισµό των διανυσµάτων proj a u και u proj a u. Θεώρηµα Αν τα u και a είναι διανύσµατα στο - ή στον 3-διάστατο χώρο και a 0, τότε proj a u = u a a (συνιστώσα του u κατά µήκος του a) a και u proj a u = u u a a (συνιστώσα του u κάθετα στο a) a Απόδειξη. Εστω w 1 = proj a u και w = u proj a u. Εφόσον το w 1 είναι παράλληλο στο a, πρέπει να είναι ϐαθµωτό γινόµενο του a. Εποµένως µπορεί να γραφτεί στη µορφή w 1 = ka. Άρα u = w 1 + w = ka + w (8) Αν πάρουµε το εσωτερικό γινόµενο και των δύο πλευρών της (8) µε το a και χρησιµοποιήσουµε τα Θεωρήµατα 3.3.1(α) και 3.3. παίρνουµε u a = (ka + w ) a = k a + w a (9)

19 3.3. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ, ΠΡΟΒΟΛΕΣ 03 Οµως w a = 0, εφόσον το w είναι κάθετο στο a. Εποµένως η (9) µας δίνει Εφόσον proj a u = w 1 = ka, παίρνουµε k = u a a proj a u = u a a a Παράδειγµα 6 Εστω u = (, 1, 3) και a = (4, 1, ). Να ϐρεθεί η συνιστώσα του u κατά µήκος του a και η συνιστώσα του u ορθογώνια στο a. Λύση. u a = ()(4) + ( 1)( 1) + (3)() = 15 a = 4 + ( 1) + = 1 Εποµένως η συνιστώσα του u κατά µήκος του a είναι proj a u = u a a a = 15 ( 0 (4, 1, ) = 1 7, 5 7, 10 ) 7 και η συνιστώσα του u κάθετα στο a είναι ( 0 u proj a u = (, 1, 3) 7, 5 7, 10 ) ( = 6 7 7, 7, 11 ) 7 Ο αναγνώστης µπορεί να επιβεβαιώσει ότι τα διανύσµατα u proj a u και a είναι κάθετα δείχνοντας ότι το εσωτερικό τους γινόµενο είναι µηδέν. Για να πάρουµε έναν τύπο για το µήκος της συνιστώσας του u κατά µήκος του a δουλεύουµε όπως παρακάτω proj a u = = = και παίρνουµε u a a a u a a a Τύπος (5) της Ενότητας 3.. u a a a Εφόσον a > 0. proj a u = u a a (10) Αν µε θ συµβολίσουµε τη γωνία µεταξύ των u και a, u a = u a cos θ. Άρα η (10) µπορεί να γραφτεί και ως εξής proj a u = u cos θ (11) (Επιβεβαιώστε το.) Η γεωµετρική σηµασία του αποτελέσµατος αυτού ϕαίνεται στο Σχήµα 7.

20 04 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Σχήµα 7 Σαν παράδειγµα εφαρµογής όσων είπαµε παραπάνω ϑα χρησιµοποιήσουµε διανυσµατικές µεθόδους για να ϐρούµε έναν τύπο για την απόσταση ενός σηµείου του επιπέδου από µία ευθεία. Παράδειγµα 7 Να ϐρεθεί ένας τύπος για την απόσταση D µεταξύ του σηµείου P 0 (x 0, y 0 ) και της ευθείας ax + by + c = 0. Λύση. Εστω Q(x 1, y 1 ) ένα οποιοδήποτε σηµείο της ευθείας και ας τοποθετήσουµε το διάνυσµα n = (a, b) έτσι ώστε το αρχικό του σηµείο να ϐρίσκεται στο Q. Σχήµα 8 Από όσα είπαµε στο Παράδειγµα 5, το διάνυσµα n είναι κάθετο στην ευθεία (Σχήµα 8). Οπως ϕαίνεται από το σχήµα, η απόσταση D είναι ίση µε το µήκος της ορθογώνιας προβολής του QP 0 στο n. Εποµένως από την (10) D = proj nqp0 = QP 0 n n Οµως QP 0 = (x 0 x 1, y 0 y 1 ) QP 0 n = a(x 0 x 1 ) + b(y 0 y 1 ) n = a + b και άρα D = a(x 0 x 1 ) + b(y 0 y 1 ) a + b (1) Εφόσον το σηµείο Q(x 1, y 1 ) ϐρίσκεται στην ευθεία, οι συντεταγµένες του ικανοποιούν την εξίσωση της ευθείας και άρα ax 1 + by 1 + c = 0 ή c = ax 1 by 1

21 3.3. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ, ΠΡΟΒΟΛΕΣ 05 Αν αντικαταστήσουµε αυτή την έκφραση στην (1) παίρνουµε τον τύπο D = ax 0 + by 0 + c a + b (13) Παράδειγµα 8 Από τον Τύπο (13) παίρνουµε ότι η απόσταση του σηµείου (1, ) από την ευθεία 3x + 4y 6 = 0 είναι D = (3)(1) + (4)( ) = 11 5 = 11 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ Να ϐρεθεί το u v. (α) u = (, 3), v = (5, 7) (ϐ) u = ( 6, ), v = (4, 0) (γ) u = (1, 5, 4), v = (3, 3, 3) (δ) u = (,, 3), v = (1, 7, 4). Για κάθε ένα από τα Ϲεύγη διανυσµάτων της Άσκησης 1, ϐρείτε το συνηµίτονο της γωνίας θ µεταξύ των u και v. 3. Προσδιορίστε αν τα u και v σχηµατίζουν οξεία γωνία, αµβλεία γωνία ή είναι ορθογώνια. (α) u = (6, 1, 4), v = (, 0, 3) (ϐ) u = (0, 0, 1), v = (1, 1, 1) (γ) u = ( 6, 0, 4), v = (3, 1, 6) (δ) u = (, 4, 8), v = (5, 3, 7) 4. Να ϐρεθεί η ορθογώνια προβολή του u στο a. (α) u = (6, ), a = (3, 9) (ϐ) u = ( 1, ), a = (, 3) (γ) u = (3, 1, 7), a = (1, 0, 5) (δ) u = (1, 0, 0), a = (4, 3, 8) 5. Για κάθε ένα από τα Ϲεύγη διανυσµάτων της Άσκησης 4 να ϐρεθεί η συνιστώσα του u κάθετα στο a. 6. Να ϐρεθεί η proj a u. (α) u = (1, ), a = ( 4, 3) (ϐ) u = (5, 6), a = (, 1) (γ) u = (3, 0, 4), a = (, 3, 3) (δ) u = (3,, 6), a = (1,, 7) 7. Εστω u = (5,, 1), v = (1, 6, 3) και k = 4. Επιβεβαιώστε το Θεώρηµα 3.3. για αυτές τις ποσότητες. 8. (α) είξτε ότι τα v = (a, b) και w = ( b, a) είναι ορθογώνια διανύσµατα. (ϐ) Χρησιµοποιήστε το αποτέλεσµα του (α) για να ϐρείτε δύο διανύσµατα τα οποία είναι ορθογώνια στο v = (, 3). (γ) Βρείτε δύο µοναδιαία διανύσµατα κάθετα στο ( 3, 4). 9. Εστω u = (3, 4), v = (5, 1) και w = (7, 1). Να υπολογιστούν οι παραστάσεις (α) u (7v + w) (ϐ) (u w)w (γ) u (v w) (δ) ( u v) w 10. Εξηγήστε γιατί οι παρακάτω παραστάσεις δεν έχουν νόηµα. (α) u (v w) (ϐ) (u v) + w (γ) u w (δ) k (u + v) 11. Χρησιµοποιήστε διανυσµατικές µεθόδους για να ϐρείτε τα συνηµίτονα των εσωτερικών γωνιών του τριγώνου µε κορυφές (0, 1), (1, ) και (4, 1).

22 06 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 1. είξτε ότι τα A(3, 0, ), B(4, 3, 0) και C(8, 1, 1) είναι κορυφές ενός ορθογωνίου τριγώνου. Σε ποια κορυφή ϐρίσκεται η ορθή γωνία ; 13. Εστω ότι a b = a c και a 0. Συνεπάγεται ότι b = c; Εξηγήστε την απάντησή σας. 14. Εστω p = (, k) και q = (3, 5). Να ϐρεθεί k τέτοιο ώστε (α) Τα p και q να είναι παράλληλα. (ϐ) Τα p και q να είναι ορθογώνια. (γ) Η γωνία µεταξύ των p και q να είναι π/3. (δ) Η γωνία µεταξύ των p και q να είναι π/ Χρησιµοποιήστε τον Τύπο (13) για να υπολογίσετε την απόσταση µεταξύ του σηµείου και της ευθείας. (α) 4x + 3y + 4 = 0, ( 3, 1) (ϐ) y = 4x +, (, 5) (γ) 3x + y = 5, (1, 8) 16. Αποδείξτε την ταυτότητα u + v + u v = u + v. 17. Αποδείξτε την ταυτότητα u v = 1 4 u + v 1 4 u v. 18. Να ϐρεθεί η γωνία µεταξύ µίας διαγωνίου ενός κύβου και µίας από τις πλευρές του. 19. Εστω i, j και k µοναδιαία διανύσµατα στους ϑετικούς ηµιάξονες x, y και z ενός ορθογώνιου συστήµατος συντεταγµένων στον 3-διάστατο χώρο. Αν το v = (a, b, c) είναι ένα διάνυσµα, τότε οι γωνίες α, β και γ µεταξύ του v και των διανυσµάτων i, j και k ονοµάζονται γωνίες διεύθυνσης του v (Σχήµα 9) και οι αριθµοί cos α, cos β και cos γ ονοµάζονται συνηµίτονα διεύθυνσης του v. (α) είξτε ότι cos α = a/ v. (ϐ) Βρείτε τα cos β και cos γ. (γ) είξτε ότι v/ v = (cos α, cos β, cos γ). (δ) είξτε ότι cos α + cos β + cos γ = 1. Σχήµα 9 0. Χρησιµοποιήστε το αποτέλεσµα της Άσκησης 19 για να ϐρείτε µε προσέγγιση µίας µοίρας τη γωνία που σχηµατίζει µία διαγώνιος ενός κουτιού µε διαστάσεις 10cm 15cm 5cm µε µία από τις ακµές του κουτιού. 1. Χρησιµοποιήστε το αποτέλεσµα της Άσκησης 19 για να αποδείξετε ότι τα διανύσµατα v 1 και v του 3-διάστατου χώρου είναι κάθετα αν και µόνο αν τα συνηµίτονα κατεύθυνσής τους ικανοποιούν την cos α 1 cos α + cos β 1 cos β + cos γ 1 cos γ = 0. είξτε ότι αν το v είναι ορθογώνιο στα w 1 και w, τότε το v είναι ορθογώνιο στο k 1w 1+k w για οποιαδήποτε ϐαθµωτά k 1 και k. 3. Εστω u και v µη µηδενικά διανύσµατα στο - ή στον 3-διάστατο χώρο και έστω k = u και l = v. είξτε ότι το διάνυσµα w = lu + kv ϐρίσκεται στη διχοτόµο της γωνίας µεταξύ των u και v. 3.4 Εξωτερικό Γινόµενο Σε πολλές εφαρµογές των διανυσµάτων στη γεωµετρία, τη ϕυσική και τη µηχανική µας ενδιαφέρει να κατασκευάσουµε ένα διάνυσµα στον 3-διάστατο χώρο το οποίο να είναι κάθετο σε δύο δοθέντα διανύσµατα. Στην ενότητα αυτή ϑα µιλήσουµε για ένα είδος γινοµένου διανυσµάτων το οποίο µας δίνει ένα τέτοιο διάνυσµα.

23 3.4. ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 07 Ορισµός. Αν τα u = (u 1, u, u 3 ) και v = (v 1, v, v 3 ) είναι διανύσµατα στον 3- διάστατο χώρο, τότε το εξωτερικό γινόµενο u v είναι το διάνυσµα u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v u v 1 ) ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ή µε συµβολισµό οριζουσών ( u u v = u 3 v v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 1 u v 1 v ) (1) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Αντί να αποµνηµονεύσετε την (1) µπορείτε να πάρετε τις συνιστώσες του u v µε τον ακόλουθο τρόπο : Σχηµατίστε τον 3 πίνακα [ ] u1 u u 3 v 1 v v 3 του οποίου η πρώτη γραµµή περιέχει τις συνιστώσες του u και η δεύτερη τις συνιστώσες του v. Για να ϐρείτε την πρώτη συνιστώσα του u v διαγράψτε την πρώτη στήλη και πάρτε την ορίζουσα, για να ϐρείτε τη δεύτερη συνιστώσα διαγράψτε τη δεύτερη στήλη και πάρτε το αντίθετο της ορίζουσας και για να ϐρείτε την τρίτη συνιστώσα διαγράψτε την τρίτη στήλη και πάρτε την ορίζουσα. Παράδειγµα 1 Να ϐρεθεί το u v, αν u = (1,, ) και v = (3, 0, 1). Λύση. [ 1 ] u v = ( 0 1, = (, 7, 6), ) Υπάρχει µία πολύ σηµαντική διαφορά ανάµεσα στο εσωτερικό γινόµενο και το εξωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων. Το εσωτερικό γινόµενο είναι ένα ϐαθµωτό ενώ το εξωτερικό γινόµενο είναι ένα διάνυσµα. Το επόµενο ϑεώρηµα µας δίνει µία σηµαντική σχέση ανάµεσα στο εσωτερικό γινόµενο και το εξωτερικό γινόµενο. Μας λέει επίσης ότι το u v είναι ορθογώνιο και στο u και στο v. Θεώρηµα Αν τα u και v είναι διανύσµατα στον 3-διάστατο χώρο, τότε (α) u (u v) = 0 (το u v είναι ορθογώνιο στο u) (ϐ) v (u v) = 0 (το u v είναι ορθογώνιο στο v) (γ) u v = u v (u v) (ταυτότητα του Lagrange)

24 08 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Απόδειξη (α). Εστω u = (u 1, u, u 3 ) και v = (v 1, v, v 3 ). Τότε u (u v) = (u 1, u, u 3 ) (u v 3 u 3 v, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v u v 1 ) = u 1 (u v 3 u 3 v ) + u (u 3 v 1 u 1 v 3 ) + u 3 (u 1 v u v 1 ) = 0 Απόδειξη (ϐ). Οµοια µε την (α). Απόδειξη (γ). Εφόσον u v = (u v 3 u 3 v ) + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) + (u 1 v u v 1 ) () και u v (u v) = (u 1 + u + u 3)(v 1 + v + v 3) (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) (3) για να αποδείξουµε την ταυτότητα του Lagrange αρκει να κάνουµε τις πράξεις στη δεξιά πλευρά των () και (3) και να επιβεβαιώσουµε την ισότητα. Παράδειγµα Θεωρούµε τα διανύσµατα u = (1,, ) και v = (3, 0, 1) Στο Παράδειγµα 1 δείξαµε ότι u v = (, 7, 6) Εφόσον u (u v) = (1)() + ()( 7) + ( )( 6) = 0 και v (u v) = (3)() + (0)( 7) + (1)( 6) = 0 το u v είναι ορθογώνιο και στο u και στο v, όπως µας λέει το Θεώρηµα Στο επόµενο ϑεώρηµα δίνουµε τις κύριες ιδιότητες του εξωτερικού γινοµένου. Θεώρηµα Αν τα u, v και w είναι διανύσµατα στον 3-διάστατο χώρο και το k είναι ϐαθµωτό, τότε (α) u v = (v u) (ϐ) u (v + w) = (u v) + (u w) (γ) (u + v) w = (u w) + (v w) (δ) k(u v) = (ku) v = u (kv) (ε) u 0 = 0 u = 0 (στ) u u = 0

25 3.4. ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 09 Οι αποδείξεις είναι άµεσες συνέπειες του Τύπου (1) και ιδιοτήτων των οριζουσών. Για παράδειγµα το (α) µπορεί να αποδειχθεί µε τον ακόλουθο τρόπο. Απόδειξη (α). Αν εναλλάξουµε τα u και v στην αριστερή πλευρά της (1), τότε εναλλάσονται οι γραµµές στις τρεις ορίζουσες στη δεξιά πλευρά της (1). Εποµένως αλλάζει το πρόσηµο κάθε συνιστώσας του εξωτερικού γινοµένου. Άρα u v = (v u). Οι αποδείξεις των υπολοίπων αφήνονται σαν ασκήσεις. Παράδειγµα 3 Θεωρούµε τα διανύσµατα i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) Τα διανύσµατα αυτά έχουν µήκος 1 και ϐρίσκονται στους άξονες συντεταγµένων (Σχή- µα 1). Ονοµάζονται κανονικά µοναδιαία διανύσµατα του 3-διάστατου χώρου. Κάθε διάνυσµα v = (v 1, v, v 3 ) του 3-διάστατου χώρου µπορεί να εκφραστεί µέσω των i, j και k εφόσον µπορούµε να γράψουµε v = (v 1, v, v 3 ) = v 1 (1, 0, 0) + v (0, 1, 0) + v 3 (0, 0, 1) = v 1 i + v j + v 3 k Για παράδειγµα (, 3, 4) = i 3j + 4k Σχήµα 1 Από την (1) παίρνουµε i j = ( , , ) = (0, 0, 1) = k Είναι εύκολο ο αναγνώστης να πάρει τα παρακάτω αποτελέσµατα i i = j j = k k = 0 i j = k, j k = i, k i = j j i = k, k j = i, i k = j Το Σχήµα µας ϐοηθάει να ϑυµόµαστε τα παραπάνω αποτελέσµατα. Σχήµα Αυτό που µας λέει το παραπάνω διάγραµµα είναι ότι το εξωτερικό γινόµενο δύο διαδοχικών διανυσµάτων αν κινούµαστε κατά τη ϕορά των δεικτών του ϱολογιού είναι το

26 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ επόµενο διάνυσµα, ενώ το εξωτερικό γινόµενο δύο διαδοχικών διανυσµάτων αν κινού- µαστε αντίθετα µε τη ϕορά των δεικτών του ϱολογιού είναι το αντίθετο του επόµενου διανύσµατος. ΤΥΠΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΜΕ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Πρέπει να παρατηρήσουµε εδώ ότι ένα εξωτερικό γινόµενο µπορεί να παρασταθεί συµβολικά µε τη µορφή µίας 3 3 ορίζουσας : u v = i j k u 1 u u 3 v 1 v v 3 = u u 3 v v 3 i u 1 u 3 v 1 v 3 j + u 1 u v 1 v k (4) Για παράδειγµα αν u = (1,, ) και v = (3, 0, 1), τότε i j k u v = 1 = i 7j 6k το οποίο είναι το ίδιο που πήραµε και στο Παράδειγµα 1. Προειδοποίηση. Γενικά δεν ισχύει ότι u (v w) = (u v) w. Για παράδειγµα, i (j j) = i 0 = 0 και (i j) j = k j = (j k) = i και άρα i (j j) (i j) j Ξέρουµε από το Θεώρηµα ότι το u v είναι κάθετο και στο u και στο v. Αν τα u και v είναι µη µηδενικά διανύσµατα, τότε µπορεί να αποδειχτεί ότι η κατεύθυνση του u v µπορεί να προσδιοριστεί χρησιµοποιώντας τον «κανόνα του δεξιού χεριού» ( Οπως έχουµε ήδη πει σε αυτό το ϐιβλίο ϑα χρησιµοποιούµε µόνο δεξιόστροφα συστή- µατα συντεταγµένων. Αν χρησιµοποιούσαµε αριστερόστροφα συστήµατα συντεταγµένων ϑα ίσχυε ένας «κανόνας του αριστερού χεριού».) (Σχήµα 3). Εστω θ η γωνία µεταξύ των u και v και έστω ότι το u περιστρέφεται κατά µήκος της θ µέχρι να συµπέσει µε το v. Αν ϐάλουµε τα δάχτυλα του δεξιού χεριού να δείχνουν προς την κατεύθυνση της περιστροφής, τότε ο αντίχειρας δείχνει (κατά προσέγγιση) την κατεύθυνση του u v. Σχήµα 3

27 3.4. ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 11 Θα σας ϐοηθήσει να καταλάβετε τον παραπάνω κανόνα αν τον εφαρµόσετε στα γινόµενα i j = k j k = i k i = j Αν u και v είναι δύο µη µηδενικά διανύσµατα στον 3-διάστατο χώρο, τότε η νόρµα του u v µας δίνει κάποιες ιδιαίτερα χρήσιµες γεωµετρικές πληροφορίες. Η ταυτότητα του Lagrange, για την οποία µιλησαµε στο Θεώρηµα 3.4.1, µας λέει ότι ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙ- ΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕ- ΝΟΥ u v = u v (u v) (5) Αν µε θ συµβολίσουµε τη γωνία µεταξύ των u και v, τότε u v = u v cos θ και άρα η (5) µπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής Εποµένως u v = u v u v cos θ = u v (1 cos θ) = u v sin θ u v = u v sin θ (6) Οµως το v sin θ είναι το ύψος του παραλληλογράµµου που ορίζουν τα u και v (Σχήµα 4). Άρα από την (6) το εµβαδόν A αυτού του παραλληλογράµµου είναι ίσο µε A = (ϐάση)(ύψος) = u v sin θ = u v ηλαδή η νόρµα του u v είναι ίση µε το εµβαδόν του παραλληλογράµµου που ορίζουν τα u και v. Σχήµα 4 Παράδειγµα 4 Να ϐρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από τα σηµεία P 1 (,, 0), P ( 1, 0, ) και P 3 (0, 4, 3). Λύση. Το εµβαδόν A του τριγώνου αυτού είναι ίσο µε το 1/ του εµβαδού του παραλληλογράµµου που ορίζουν τα διανύσµατα P 1 P και P 1 P 3 (Σχήµα 5). Χρησιµοποιώντας τη µέθοδο που περιγράψαµε στο Παράδειγµα της Ενότητας 3.1 παίρνουµε ότι P 1 P = ( 3,, ) και P 1 P 3 = (,, 3). Εποµένως P 1 P P 1 P 3 = ( 10, 5, 10) και άρα A = 1 P 1 P P 1 P 3 = 1 15 (15) =

28 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ ΜΙΚΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ Σχήµα 5 Ορισµός. Αν τα u, v και w είναι διανύσµατα στον 3-διάστατο χώρο, τότε το u (v w) ονοµάζεται µικτό γινόµενο των u, v και w. Το µικτό γινόµενο των u = (u 1, u, u 3 ), v = (v 1, v, v 3 ) και w = (w 1, w, w 3 ) µπορεί να υπολογιστεί από τον παρακάτω τύπο. u (v w) = u 1 u u 3 v 1 v v 3 w 1 w w 3 (7) Ο τύπος αυτό είναι άµεση συνέπεια του Τύπου (4) εφόσον ( ) v u (v w) = u v 3 w w 3 i v 1 v 3 w 1 w 3 j + v 1 v w 1 w k = v v 3 w w 3 u 1 v 1 v 3 w 1 w 3 u + v 1 v w 1 w u 3 u 1 u u 3 = v 1 v v 3 w 1 w w 3 Παράδειγµα 5 Να υπολογιστεί το µικτό γινόµενο u (v w) των διανυσµάτων u = 3i j 5k, v = i + 4j 4k, w = 3j + k Λύση. Από την (7) παίρνουµε 3 5 u (v w) = = ( ) = = 49 + ( 5) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Το σύµβολο (u v) w δεν έχει κανένα νόηµα, εφόσον δε µπορούµε να πάρουµε το εξωτερικό γινόµενο ενός ϐαθµωτού και ενός διανύσµατος. Εποµένως δεν υπάρχει κανένα πρόβληµα αν γράφουµε u v w αντί για u (v w). Παρόλα αυτά για λόγους σαφήνειας ϑα συνεχίσουµε να χρησιµοποιούµε τις παρενθέσεις όταν γράφουµε το µικτό γινόµενο. Από την (7) παίρνουµε ότι u (v w) = w (u v) = v (w u)

29 3.4. ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 13 εφόσον οι 3 3 ορίζουσες που αναπαριστούν αυτά τα γινόµενα προκύπτουν η µία από την άλλη µε δύο εναλλαγές γραµµών. (Επιβεβαιώστε το.) Μπορείτε να ϑυµάστε αυτές τις σχέσεις χρησιµοποιώντας το Σχήµα 6. Συγκεκριµένα οι σχέσεις προκύπτουν αν µετακινήσουµε τα διανύσµατα u, v και w πάνω στις πλευρές του τριγώνου κατά τη ϕορά των δεικτών του ϱολογιού. Σχήµα 6 Το µικτό γινόµενο u (v w) έχει µία χρήσιµη γεωµετρική ερµηνεία. Αν ϑεωρήσουµε ότι τα διανύσµατα u, v και w δε ϐρίσκονται όλα στο ίδιο επίπεδο, τότε τα τρία αυτά διανύσµατα αποτελούν τρεις γειτονικές ακµές ενός παραλληλεπιπέδου (Σχήµα 7) αν τα τοποθετήσουµε έτσι ώστε να έχουν κοινό αρχικό σηµείο. Αν ως ϐάση του παραλληλεπιπέδου ϑεωρήσουµε το παραλληλόγραµµο που ορίζουν τα v και w, τότε το εµβαδό της ϐάσης είναι v w και το ύψος h είναι η ορθογώνια προβολή του u στο v w (Σχήµα 7). Εποµένως από τον Τύπο (10) της Ενότητας 3.3 h = proj v w u = Άρα ο όγκος V του παραλληλεπιπέδου είναι u (v w) v w u (v w) V = (εµβαδόν της ϐάσης)(ύψος) = v w v w ή αν απλοποιήσουµε V = [ όγκος του παραλληλεπιπέδου µε γειτονικές πλευρές u, v και w ] = u (v w) (8) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Από τον παραπάνω τύπο παίρνουµε ότι u (v w) = ±V όπου τα + και εξαρτώνται από το αν τα u και v w σχηµατίζουν οξεία η αµβλεία γωνία (Θεώρηµα 3.3.1). Σχήµα 7 Ο Τύπος (8) µας οδηγεί σε ένα χρήσιµο κανόνα για το αν τρία διανύσµατα ϐρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Εφόσον τρία διανύσµατα που δεν ϐρίσκονται στο ίδιο ε- πίπεδο ορίζουν ένα παραλληλεπίπεδο µε µη µηδενικό όγκο, παίρνουµε από την (8)

30 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ ότι u (v w) = 0 αν και µόνο αν τα διανύσµατα u, v και w ϐρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Εποµένως έχουµε το παρακάτω αποτέλεσµα. Θεώρηµα Αν τα διανύσµατα u = (u 1, u, u 3 ), v = (v 1, v, v 3 ) και w = (w 1, w, w 3 ) έχουν το ίδιο αρχικό σηµείο, τότε τα διανύσµατα αυτά ϐρίσκονται στο ίδιο επίπεδο αν και µόνο αν u 1 u u 3 u (v w) = v 1 v v 3 w 1 w w 3 = 0 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙ- ΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΑΠΟ ΤΙΣ ΣΥΝΤΕ- ΤΑΓΜΕΝΕΣ Αρχικά ορίσαµε ένα διάνυσµα σαν ένα κατευθυνόµενο ευθύγραµµο τµήµα ή σαν ένα ϐέλος στον -διάστατο ή στον 3-διάστατο χώρο. Αργότερα εισάγαµε τα συστήµατα συντεταγµένων και τις συνιστώσες για να απλοποιήσουµε τους υπολογισµούς µε διανύσµατα. Εποµένως ένα διάνυσµα «υπάρχει» ανεξάρτητα από τον αν έχουµε ορίσει ένα σύστηµα συντεταγµένων. Οι συνιστώσες ενός διανύσµατος δεν εξαρτώνται µόνο από το διάνυσµα αλλά και από το σύστηµα συντεταγµένων που έχουµε επιλέξει. Για παράδειγµα στο Σχήµα 8 έχουµε σχεδιάσει ένα διάνυσµα v στο επίπεδο και δύο δια- ϕορετικά συστήµατα συντεταγµένων. Στο σύστηµα συντεταγµένων xy οι συνιστώσες του v είναι (1, 1) ενώ στο σύστηµα συντεταγµένων x y είναι (, 0). Σχήµα 8 Οσα είπαµε παραπάνω οδηγούν σε µία ερώτηση η οποία αφορα τον ορισµό του ε- ξωτερικού γινοµένου. Εφόσον ορίσαµε το εξωτερικό γινόµενο u v µέσω των συνιστωσών των u και v και εφόσον οι συνιστώσες εξαρτώνται από το σύστηµα συντεταγµένων υπάρχει η πιθανότητα δύο συγκεκριµένα διανύσµατα u και v να έχουν διαφορετικά εξωτερικά γινόµενα σε διαφορετικά συστήµατα συντεταγµένων. Ευτυχώς κάτι τέτοιο δε συµβαίνει. Θυµίζουµε ότι (i) Το u v είναι κάθετο και στο u και στο v. (ii) Η ϕορά του u v καθορίζεται µε τον κανόνα του δεξιού χεριού. (iii) u v = u v sin θ. Αυτές οι τρεις ιδιότητες καθορίζουν πλήρως το διάνυσµα u v. Οι ιδιότητες (i) και (ii) µας δίνουν την κατεύθυνσή του και η ιδιότητα (iii) το µήκος του. Εφόσον αυτές οι τρεις ιδιότητες του u v εξαρτώνται µόνο από το µήκος και τις σχετικές ϑέσεις των u και v και όχι από το συγκεκριµένο δεξιόστροφο σύστηµα συντεταγµένων που

31 3.4. ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 15 χρησιµοποιούµε, το διάνυσµα u v δε ϑα αλλάξει αν πάρουµε ένα διαφορετικό δεξιόστροφο σύστηµα συντεταγµένων. Για αυτό το λόγο ϑα λέµε ότι ο ορισµός του u v είναι ανεξάρτητος των συντεταγµένων. Αυτό το αποτέλεσµα έχει ιδιαίτερη σηµασία για τους ϕυσικούς και τους µηχανικούς οι οποίοι πολλές ϕορές δουλεύουν µε πολλά συστήµατα συντεταγµένων στο ίδιο πρόβληµα. Παράδειγµα 6 Θεωρούµε δύο κάθετα διανύσµατα u και v µήκους 1 (όπως αυτά του Σχήµατος 9α). Αν εισάγουµε ένα σύστηµα συντεταγµένων xyz όπως στο Σχήµα 9ϐ, τότε u = (1, 0, 0) = i και v = (0, 1, 0) = j και άρα u v = i j = k = (0, 0, 1) Από την άλλη αν εισάγουµε ένα σύστηµα συντεταγµένων x y z όπως στο Σχήµα 9γ, τότε u = (0, 0, 1) = k και v = (1, 0, 0) = i και άρα u v = k i = j = (0, 1, 0) Είναι όµως ϕανερό από τα Σχήµατα 9ϐ και 9γ ότι το διάνυσµα (0, 0, 1) στο σύστηµα συντεταγµένων xyz είναι το ίδιο µε το διάνυσµα (1, 0, 0) στο σύστηµα συντεταγµένων x y z. Βλέπουµε λοιπόν ότι παίρνουµε το ίδιο διάνυσµα u v είτε κάνουµε τους υπολογισµούς µε συντεταγµένες από το σύστηµα xyz είτε µε συντεταγµένες από το σύστηµα x y z. Σχήµα 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ Εστω u = (3,, 1), v = (0,, 3) και w = (, 6, 7). Να υπολογιστούν τα (α) v w (ϐ) u (v w) (γ) (u v) w (δ) (u v) (v w) (ε) u (v w) (στ) (u v) w. Να ϐρεθεί ένα διάνυσµα κάθετο στα u και v. (α) u = ( 6, 4, ), v = (3, 1, 5) (ϐ) u = (, 1, 5), v = (3, 0, 3)

32 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 3. Να ϐρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου µε κορυφές P, Q και R. (α) P (, 6, 1), Q(1, 1, 1), R(4, 6, ) (ϐ) P (1, 1, ), Q(0, 3, 4), R(6, 1, 8) 4. Να ϐρεθεί το εµβαδόν του παραλληλογράµµου που ορίζεται από τα u και v. (α) u = (1, 1, ), v = (0, 3, 1) (ϐ) u = (, 3, 0), v = ( 1,, ) 5. Επιβεβαιώστε το Θεώρηµα για τα διανύσµατα u = (4,, 1) και v = ( 3,, 7). 6. Επιβεβαιώστε το Θεώρηµα 3.4. για u = (5, 1, ), v = (6, 0, ), w = (1,, 1) και k = Εξηγήστε τι είναι λάθος στην έκφραση u v w. 8. Να υπολογιστεί το µεικτό γινόµενο u (v w). (α) u = ( 1,, 4), v = (3, 4, ), w = ( 1,, 5) (ϐ) u = (3, 1, 6), v = (, 4, 3), w = (5, 1, ) 9. Εστω u (v w) = 3. Να υπολογιστούν τα (α) u (w v) (ϐ) (v w) u (γ) w (u v) (δ) v (u w) (ε) (u w) v (στ) v (w w) 10. Να ϐρεθεί ο όγκος του παραλληλεπιπέδου µε ακµές u, v και w. (α) u = (, 6, ), v = (0, 4, ), w = (,, 4) (ϐ) u = (3, 1, ), v = (4, 5, 1), w = (1,, 4) 11. Εξετάστε αν τα u, v και w ανήκουν στο ίδιο επίπεδο αν τα τοποθετήσουµε έτσι ώστε τα αρχικά τους σηµεία να ταυτίζονται. (α) u = ( 1,, 1), v = (3, 0, ), w = (5, 4, 0) (ϐ) u = (5,, 1), v = (4, 1, 1), w = (1, 1, 0) (γ) u = (4, 8, 1), v = (, 1, ), w = (3, 4, 1) 1. Να ϐρεθούν όλα τα µοναδιαία διανύσµατα τα οποία είναι παράλληλα στο επίπεδο yz και κάθετα στο διάνυσµα (3, 1, ). 13. Να ϐρεθούν όλα τα µοναδιαία διανύσµατα τα οποία ϐρίσκονται στο επίπεδο που ορίζουν τα διανύσµατα u = (3, 0, 1) και v = (1, 1, 1) και είναι κάθετα στο διάνυσµα w = (1,, 0). 14. Εστω a, b, c και d διανύσµατα στον 3-διάστατο χώρο. Αποδείξτε ότι (a + d) (b c) = a (b c) + d (b c) 15. Απλοποιήστε την έκφραση (u + v) (u v). 16. Χρησιµοποιήστε το εξωτερικό γινόµενο για να υπολογίσετε το ηµίτονο της γωνίας που σχηµατίζουν τα διανύσµατα u = (, 3, 6) και v = (, 3, 6). 17. (α) Να ϐρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου µε κορυφές A(1, 0, 1), B(0,, 3) και C(, 1, 0). (ϐ) Χρησιµοποιήστε το αποτέλεσµα του (α) για να ϐρείτε το µήκος του ύψους από την κορυφή C στην πλευρά AB. 18. Αποδείξτε ότι αν το u είναι ένα διάνυσµα µε αρχικό σηµείο ένα σηµείο µίας ευθείας και τελικό σηµείο ένα σηµείο P εκτός της ευθείας και το v είναι ένα διάνυσµα παράλληλο στην ευθεία, τότε η απόσταση του σηµείου P από την ευθεία είναι ίση µε u v / v. 19. Χρησιµοποιήστε το αποτέλεσµα της Άσκησης 18 για να υπολογίσετε την απόσταση του σηµείου P από την ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία A και B. (α) P ( 3, 1, ), A(1, 1, 0), B(, 3, 4) (ϐ) P (4, 3, 0), A(, 1, 3), B(0,, 1) 0. Αποδείξτε ότι αν θ είναι η γωνία που σχηµατίζουν τα διανύσµατα u και v και u v 0, τότε tan θ = u v /(u v). 1. Θεωρούµε το παραλληλεπίπεδο µε ακµές τα διανύσµατα u = (3,, 1), v = (1, 1, ) και w = (1, 3, 3).

33 3.4. ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 17 (α) Να ϐρεθεί το εµβαδόν της έδρας που ορίζουν τα u και w. (ϐ) Να ϐρεθεί η γωνία που σχηµατίζει το u µε το επίπεδο που περιέχει την έδρα που ορίζουν τα v και w.. Να ϐρεθεί ένα διάνυσµα n κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα σηµεία A(0,, 1), B(1, 1, ) και C( 1, 1, 0). 3. Εστω m και n δύο διανύσµατα οι συνιστώσες των οποίων στο σύστηµα συντεταγµένων xyz του Σχήµατος 9 είναι m = (0, 0, 1) και n = (0, 1, 0). (α) Να ϐρεθούν οι συνιστώσες των m και n στο σύστηµα συντεταγµένων x y z του Σχήµατος 9. (ϐ) Υπολογίστε το m n χρησιµοποιώντας τις συνιστώσες στο σύστηµα συντεταγµένων xyz. (γ) Υπολογίστε το m n χρησιµοποιώντας τις συνιστώσες στο σύστηµα συντεταγµένων x y z. (δ) Αποδείξτε ότι τα διανύσµατα που ϐρήκατε στα ερωτήµατα (ϐ) και (γ) είναι ίσα. 4. Αποδείξτε τις παρακάτω ταυτότητες. (α) (u + kv) v = u v (ϐ) u (v z) = (u z) v 5. Εστω u, v και w µη µηδενικά διανύσµατα στον 3-διάστατο χώρο µε κοινό αρχικό σηµείο τα οποία ανά δύο δεν είναι συνευθειακά. Αποδείξτε ότι (α) Το u (v w) ϐρίσκεται στο επίπεδο που ορίζουν τα v και w. (ϐ) Το (u v) w ϐρίσκεται στο επίπεδο που ορίζουν τα u και v. 6. Αποδείξτε ότι x (y z) = (x z)y (x y)z. Υπόδειξη : Πρώτα αποδείξτε το αποτέλεσµα για z = i = (1, 0, 0), µετά για z = j = (0, 1, 0) και µετά για z = k = (0, 0, 1). Συνδύαζοντας αυτά που ήδη αποδείξατε, αποδείξτε το για ένα τυχαίο διάνυσµα z = (z 1, z, z 3), γράφοντας το z στη µορφή z = z 1i + z j + z 3k. 7. Εστω x = (1, 3, 1), y = (1, 1, ) και z = (3, 1, ). Χρησιµοποιήστε το αποτέλεσµα της Άσκησης 6 για να υπολογίσετε το x (y z). Για να ελέγξτε το αποτέλεσµα που ϐρήκατε υπολογίστε το x (y z) χρησιµοποιώντας τον ορισµό του εξωτερικού γινοµένου. 8. Αποδείξτε ότι αν τα a, b, c και d ϐρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, τότε (a b) (c d) = Γνωρίζουµε από τη στερεοµετρία ότι ο όγκος ενός τετραέδρου ισούται µε V = 1 3 (εµβαδόν της ϐάσης) (ύψος). Χρησιµοποιήστε αυτόν τον τύπο για να δείξετε ότι ό όγκος του τετραέδρου µε ακµές τα διανύσµατα a, b και c είναι ίσος µε V = 1 a (b c). 6 Σχήµα Χρησιµοποιήστε το αποτέλεσµα της Άσκησης 9 για να ϐρείτε τον όγκο του τετραέδρου µε κορυφές P, Q, R και S. (α) P ( 1,, 0), Q(, 1, 3), R(1, 0, 1), S(3,, 3) (ϐ) P (0, 0, 0), Q(1,, 1), R(3, 4, 0), S( 1, 3, 4) 31. Αποδείξτε τα (α) και (ϐ) του Θεωρήµατος Αποδείξτε τα (γ) και (δ) του Θεωρήµατος Αποδείξτε τα (ε) και (στ) του Θεωρήµατος 3.4..

34 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 3.5 Ευθείες και Επίπεδα στον 3-διάστατο χώρο Στην ενότητα αυτή ϑα χρησιµοποιήσουµε όσα είπαµε για τα διανύσµατα για να περιγράψουµε τις εξισώσεις ευθειών και επιπέδων στον 3-διάστατο χώρο. ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Μία ευθεία στο επίπεδο περιγράφεται από την κλίση της και ένα σηµείο της. Κατά παρόµοιο τρόπο ένα επίπεδο στον 3-διάστατο χώρο προσδιορίζεται από την κλίση του και ένα σηµείο του. Ενας ϐολικός τρόπος για να περιγράψουµε την κλίση του επιπέδου είναι να ϐρούµε ένα µη µηδενικό διάνυσµα n το οποίο είναι κάθετο στο επίπεδο. Εστω ότι ϑέλουµε να ϐρούµε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σηµείο P 0 (x 0, y 0, z 0 ) και είναι κάθετο στο µη µηδενικό διάνυσµα n = (a, b, c). Είναι προφανές από το Σχήµα 1 ότι το επίπεδο αποτελείται από όλα τα σηµεία P (x, y, z) για τα οποία τα διανύσµατα n και P 0 P είναι ορθογώνια, δηλαδή από όλα τα σηµεία P (x, y, z) για τα οποία n P 0 P = 0. (1) Εφόσον P 0 P = (x x 0, y y 0, z z 0 ), η εξίσωση (1) γράφεται a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 () Η εξίσωση αυτή ονοµάζεται εξίσωση σηµείου-καθέτου ενός επιπέδου. Σχήµα 1 Παράδειγµα 1 Να ϐρεθεί µία εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σηµείο (3, 1, 7) και είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (4,, 5). Λύση. Από την () η εξίσωση σηµείου-καθέτου του επιπέδου είναι 4(x 3) + (y + 1) 5(z 7) = 0. Εύκολα ϐλέπουµε ότι αν κάνουµε τις πράξεις στην εξίσωση () παίρνουµε ax + by + cz + ( ax 0 by 0 cz 0 ) = 0.

35 3.5. ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 19 Εφόσον τα a, b, c, x 0, y 0, z 0, είναι σταθερές, το ax 0 by 0 cz 0 είναι µία σταθερά. Εφόσον n = (a, b, c) 0, τα a, b, c δεν είναι όλα ίσα µε µηδέν. Άρα κάθε επίπεδο έχει µία εξίσωση της µορφής ax + by + cz + d = 0, όπου τα a, b, c και d είναι σταθερές µε τις a, b, c όχι όλες ίσες µε µηδέν. Για παράδειγµα η εξίσωση του Παραδείγµατος 1 µπορεί να γραφτεί στη µορφή 4x + y 5z + 5 = 0. Στο ϑεώρηµα που ακολουθεί ϑα δείξουµε ότι κάθε εξίσωση της µορφής ax + by + cz + d = 0, µε τις a, b, c όχι όλες ίσες µε µηδέν, είναι εξίσωση ενός επιπέδου στον 3-διάστατο χώρο. Θεώρηµα Αν τα a, b, c και d είναι σταθερές µε τίς a, b, c όχι όλες ίσες µε µηδέν, τότε η ax + by + cz + d = 0 (3) είναι εξίσωση ενός επιπέδου κάθετου στο διάνυσµα n = (a, b, c). Η εξίσωση (3) είναι µία γραµµική εξίσωση µε µεταβλητές x, y και z. Ονοµάζεται γενική µορφή της εξίσωσης ενός επιπέδου. Απόδειξη. Από την υπόθεση οι a, b, c δεν είναι όλες ίσες µε µηδέν. Εστω ότι a 0. Τότε η εξίσωση ax + by + cz + d = 0 µπορεί να γραφτεί στη µορφή a ( x + d ) + by + cz = 0. a Εύκολα ϐλέπουµε ότι αυτή είναι η εξίσωση σηµείου-καθέτου του επιπέδου που διέρχεται από το σηµείο ( da ), 0, 0 και είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (a, b, c). Αν a = 0, τότε τουλάχιστον ένα από τα b και c είναι διαφορετικό από το 0. ουλεύοντας όπως πριν µπορούµε και σε αυτές τις περιπτώσεις να δείξουµε ότι η ax + by + cz + d = 0 είναι εξίσωση ενός επιπέδου που είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (a, b, c). Οπως είπαµε στο Κεφάλαιο 1, οι λύσεις του συστήµατος γραµµικών εξισώσεων ax + by = k 1 cx + dy = k

36 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ είναι τα σηµεία τοµής των ευθειών του επιπέδου µε εξισώσεις ax + by = k 1 και cx + dy = k. Αντίστοιχα οι λύσεις του συστήµατος ax + by + cz = k 1 dx + ey + fz = k (4) gx + hy + iz = k 3 είναι τα σηµεία τοµής των επιπέδων του 3-διάστατου χώρου µε εξισώσεις ax+by+cz = k 1, dx + ey + fz = k και gx + hy + iz = k 3. Στο Σχήµα ϐλεπουµε κάποιες από τις ϑέσεις των τριών επιπέδων όταν το σύστηµα (4) δεν έχει καµία, έχει µία ή έχει άπειρες λύσεις Σχήµα (a) Καµία λύση (3 παράλληλα επίπεδα). (b) Καµία λύση ( παράλληλα επίπεδα). (c) Καµία λύση (3 επίπεδα χωρίς σηµεία τοµής). (d) Άπειρες λύσεις (3 επίπεδα που ταυτίζονται). (e) Άπειρες λύσεις (3 επίπεδα που τέµνονται σε µία ευθεία). (f) Μία λύση (3 επίπεδα που τέµνονται σε ένα σηµείο). (g) Καµία λύση ( επίπεδα που ταυτίζονται και είναι παράλληλα στο τρίτο). (h) Άπειρες λύσεις ( επίπεδα που ταυτίζονται και τέµνονται µε το τρίτο). Παράδειγµα Να ϐρεθεί µία εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σηµεία P 1 (1,, 1), P (, 3, 1) και P 3 (3, 1, ). Λύση. Εφόσον τα τρία αυτά σηµεία ϐρίσκονται στο επίπεδο, οι συντεταγµένες τους πρέπει να ικανοποιούν τη γενική εξίσωση του επιπέδου ax+by+cz+d = 0. Εποµένως ϑα ισχύει Λύνοντας το σύστηµα αυτό παίρνουµε Για t = 16 παίρνουµε a + b c + d = 0 a + 3b + c + d = 0 3a b + c + d = 0 a = 9 16 t, b = 1 16 t, c = t, d = t. a = 9, b = 1, c = 5, d = 16 και άρα µία εξίσωση του επιπέδου είναι η 9x + y 5z 16 = 0.

37 3.5. ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 1 Για τις υπόλοιπες µη µηδενικές τιµές του t παίρνουµε το ίδιο επίπεδο, εφόσον ( 9 ) ( 16 t x + 1 ) ( ) ( 5 16 t y + 16 t z + t = 0 1 ) 16 t (9x + y 5z 16) = 0 9x + y 5z 16 = 0. Εναλλακτική Λύση. Εφόσον τα σηµεία P 1 (1,, 1), P (, 3, 1) και P 3 (3, 1, ) ανήκουν στο επίπεδο, τα διανύσµατα P 1 P = (1, 1, ) και P 1 P 3 = (, 3, 3) είναι παράλληλα στο επίπεδο. Εποµένως το διάνυσµα P 1 P P 1 P 3 = (9, 1, 5) είναι κάθετο στο επίπεδο, εφόσον είναι κάθετο στο P 1 P και στο P 1 P 3. Άρα το επίπεδο διέρχεται από το σηµείο P 1 (1,, 1) και είναι κάθετο στο διάνυσµα (9, 1, 5). Εποµένως η εξίσωση σηµείου-καθέτου του είναι 9(x 1) + (y ) 5(z + 1) = 0 η οποία αν κάνουµε τις πράξεις γίνεται 9x + y 5z 16 = 0. Συνεχίζουµε µε τις εξισώσεις των ευθειών στον 3-διάστατο χώρο. Εστω l η ευθεία στον 3-διάστατο χώρο η οποία διέρχεται από το σηµείο P 0 (x 0, y 0, z 0 ) και είναι παράλληλη ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ στο µη µηδενικό διάνυσµα v = (a, b, c). Οπως ϐλέπουµε στο Σχήµα 3, η ευθεία l αποτελείται από τα σηµεία P (x, y, z) για τα οποία το διάνυσµα P 0 P είναι παράλληλο στο διάνυσµα v, δηλαδή από τα σηµεία P για τα οποία υπάρχει ένα ϐαθµωτό t τέτοιο ώστε P 0 P = tv. (5) Σχήµα 3 Αν την εκφράσουµε µέσω συνιστωσών η εξίσωση (5) γράφεται ως εξής (x x 0, y y 0, z z 0 ) = (ta, tb, tc). Άρα τα σηµεία της ευθείας l ικανοποιούν τις εξισώσεις x = x 0 + ta y = y 0 + tb z = z 0 + tc µε < t < Οι εξισώσεις αυτές ονοµάζονται παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας l, γιατί οι συντεταγµένες των σηµείων P (x, y, z) της ευθείας εξαρτώνται από την παράµετρο t.

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Παράδειγµα 3 Η ευθεία που διέρχεται από το σηµείο (1,, 3) και είναι παράλληλη στο διάνυσµα v = (4, 5, 7) έχει παραµετρικές εξισώσεις x = 1 + 4t y = + 5t µε < t < z = 3 7t Παράδειγµα 4 (α) Να ϐρεθούν παραµετρικές εξισώσεις για την ευθεία l που διέρχεται από τα σηµεία P 1 (, 4, 1) και P (5, 0, 7). (ϐ) Που τέµνει η ευθεία αυτή το επίπεδο xy; Λύση. (α) Εφόσον η ευθεία l διέρχεται από τα σηµεία P 1 (, 4, 1) και P (5, 0, 7), το διάνυσµα P 1 P = (3, 4, 8) είναι παράλληλο στην l. Εποµένως η l διέρχεται από το σηµείο P 1 (, 4, 1) και είναι παράλληλη στο διάνυσµα P 1 P. Άρα οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας είναι x = + 3t y = 4 4t z = 1 + 8t µε < t < (ϐ) Η ευθεία l τέµνει το επίπεδο xy στο σηµείο για το οποίο z = 1 + 8t = 0, δηλαδή για t = 1 8. Θέτοντας t = 1 στις παραµετρικές εξισώσεις της l παίρνουµε ότι το σηµείο 8 τοµής είναι το (x, y, z) = ( 19 8, 7 ), 0 Παράδειγµα 5 Να ϐρεθούν παραµετρικές εξισώσεις για την ευθεία l στην οποία τέµνονται τα επίπεδα 3x + y 4z 6 = 0 και x 3y z 4 = 0. Λύση. Η ευθεία l αποτελείται από όλα τα σηµεία (x, y, z) των οποίων οι συντεταγµένες είναι λύσεις του συστήµατος Αν λύσουµε αυτό το σύστηµα παίρνουµε 3x + y 4z = 6 x 3y z = 4. x = t, y = t, z = t. Εποµένως οι παραµετρικές εξισώσεις της l είναι x = t y = t µε < t < z = t

39 3.5. ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 3 Πολλές ϕορές γνωρίζουµε τις παραµετρικές εξισώσεις x = x 0 + ta y = y 0 + tb z = z 0 + tc µε < t < (6) µίας ευθείας l και ϑέλουµε να ϐρούµε δύο επίπεδα τοµή των οποίων είναι η ευθεία αυτή. Εφόσον υπάρχουν άπειρα επίπεδα που διέρχονται από αυτή την ευθεία, ϑα υπάρχουν άπειρα τέτοια Ϲεύγη επιπέδων. Για να ϐρούµε δύο τέτοια επίπεδα, όταν τα a, b και c είναι διαφορετικά από 0, µπορούµε να γράψουµε την εξίσωση (6) στη µορφή x x 0 a = t, y y 0 b = t, z z 0 c = t. Απαλοίφοντας την παράµετρο t από τις τρεις αυτές εξισώσεις παίρνουµε ότι η l αποτελείται από όλα τα σηµεία (x, y, z) που ικανοποιούν τις εξισώσεις x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c Οι εξισώσεις αυτές ονοµάζονται συµµετρικές εξισώσεις της l. Είναι άµεσο από αυτές τις εξισώσεις ότι η l είναι τοµή των επιπέδων x x 0 a = y y 0 b και y y 0 b = z z 0 c ή των επιπέδων x x 0 a = z z 0 c και y y 0 b = z z 0 c ή των επιπέδων x x 0 a = y y 0 b και x x 0 a = z z 0 c Παράδειγµα 6 Να ϐρεθούν δύο επίπεδα των οποίων τοµή είναι η ευθεία x = 3 + t y = 4 + 7t z = 1 + 3t µε < t < Λύση. Οι συµµετρικές εξισώσεις αυτής της ευθείας είναι x 3 = y = z 1 3. (7) Άρα, από όσα είπαµε παραπάνω, η ευθεία αυτή είναι τοµή των επιπέδων x 3 = y και y = z 1 3 ή 7x y 9 = 0 και 3y 7z + 19 = 0.

40 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προφανώς αν πάρουµε διαφορετικά Ϲεύγη εξισώσεων από την (7) παίρνουµε διαφορετικά Ϲεύγη επιπέδων. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ Να ϐρεθεί η εξίσωση σηµείου-καθέτου του επιπέδου που διέρχεται από το σηµείο P και είναι κάθετο στο διάνυσµα n. (α) P ( 1, 3, ), n = (, 1, 1) (ϐ) P (1, 1, 4), n = (1, 9, 8) (γ) P (, 0, 0), n = (0, 0, ) (δ) P (0, 0, 0), n = (1,, 3). Να γραφτεί η γενική µορφή των εξισώσεων των επιπέδων της Άσκησης Να ϐρεθεί µία εξίσωση σηµείου-καθέτου του επιπέδου µε εξίσωση (α) 3x + 7y + z = 10 (ϐ) x 4z = 0 4. Να ϐρεθεί µία εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σηµεία (α) P ( 4, 1, 1), Q(, 0, 1), R( 1,, 3) (ϐ) P (5, 4, 3), Q(4, 3, 1), R(1, 5, 4) 5. Εξετάστε αν τα επίπεδα είναι παράλληλα (α) 4x y + z = 5 και 7x 3y + 4z = 8 (ϐ) x 4y 3z = 0 και 3x 1y 9z 7 = 0 (γ) y = 8x 4z + 5 και x = 1 z y 6. Εξετάστε αν η ευθεία και το επίπεδο είναι παράλληλα (α) x = 5 4t, y = 1 t, z = 3 + t και x + y + 3z 9 = 0 (ϐ) x = 3t, y = 1 + t, z = t και 4x y + z = 1 7. Εξετάστε αν τα επίπεδα είναι κάθετα (α) 3x y + z 4 = 0 και x + z = 1 (ϐ) x y + 3z = 4 και x + 5y + 4z = 1 8. Εξετάστε αν η ευθεία και το επίπεδο είναι κάθετα (α) x = 5 4t, y = 1 t, z = 3 + t και x + y + 3z 9 = 0 (ϐ) x = 3t, y = 1 + t, z = t και 4x y + z = 1 9. Να ϐρεθούν παραµετρικές εξισώσεις για την ευθεία που διέρχεται από το σηµείο P και είναι παράλληλη στο διάνυσµα v. (α) P (3, 1, ), v = (, 1, 3) (ϐ) P (, 3, 3), v = (6, 6, ) (γ) P (,, 6), v = (0, 1, 0) (δ) P (0, 0, 0), v = (1,, 3) 10. Να ϐρεθούν συµµετρικές εξισώσεις για τις ευθείες στα (α) και (ϐ) της Άσκησης Να ϐρεθούν παραµετρικές εξισώσεις για την ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία (α) (5,, 4), (7,, 4) (ϐ) (0, 0, 0), (, 1, 3) 1. Να ϐρεθούν παραµετρικές εξισώσεις για την ευθεία στην οποία τέµνονται τα επίπεδα (α) 7x y + 3z = και 3x + y + z + 5 = 0 (ϐ) x + 3y 5z = 0 και y = 0

41 3.5. ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Να ϐρεθούν δύο επίπεδα των οποίων τοµή είναι η ευθεία (α) x = 7 4t, y = 5 t, z = 5 + t (ϐ) x = 4t, y = t, z = 7t 14. Να ϐρεθεί µία εξίσωση (α) Του επιπέδου xy. (ϐ) Του επιπέδου xz. (γ) Του επιπέδου yz. 15. Να ϐρεθεί µία εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι παράλληλο στο επίπεδο 7x + 4y z + 3 = Να ϐρεθεί µία εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σηµείο (3, 6, 7) και είναι παράλληλο στο επίπεδο 5x y + z 5 = Να ϐρεθεί µία εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σηµείο (x 0, y 0, z 0) και είναι παράλληλο (α) Στο επίπεδο xy. (ϐ) Στο επίπεδο xz. (γ) Στο επίπεδο yz. 18. Αποδείξτε ότι αν a, b, c 0, τότε η εξίσωση του επιπέδου το οποίο τέµνει του άξονες συντεταγµένων στα x = a, y = b και z = c είναι x a + y b + z c = Να ϐρεθεί το σηµείο τοµής της ευθείας x 9 = 5t, y +1 = t, z 3 = t και του επιπέδου x 3y + 4z + 7 = 0.

42 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 3.6 Λυµένες Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 3 1. (α) Εστω u = (, 7), v = παρακάτω διανύσµατα ( ) 1 4, 1 και w = (6, ). 9 (I) v w (II) w v (III) u (v w) (IV) (u v) w (V) 1 4 w 3v Να υπολογιστούν τα (ϐ) Εστω u = ( 3, 1, ), v = (4, 0, 8) και w = (6, 1, 4). Να υπολογιστούν τα παρακάτω διανύσµατα (I) v w (II) 6u + v (III) v + u (IV) 5(v 4u) (V) ( 3)(v 8w) (VI) (u 7v) (8v + u) (α) (I) Χρησιµοποιώντας την αλγεβρική έκφραση για τη διαφορά διανυσµάτων στο - διάστατο χώρο παίρνουµε ότι v w = = = ( ) 1 4, 1 (6, ) 9 ( ) 1 4 6, 1 9 ( ) ( 3 4, 17 ). 9 (II) 1ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας την αλγεβρική έκφραση για τη διαφορά διανυσµάτων στο -διάστατο χώρο παίρνουµε ότι w v = ( ) 1 (6, ) 4, 1 9 = (6 14 (, 1 )) 9 = ( ) 3 4, ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων και την αλγε-

43 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 7 ϐρική έκφραση για το αντίθετο διάνυσµα στο -διάστατο χώρο παίρνουµε ότι w v = w + ( v) x y = x + ( y) = w + ( 1)v x = ( 1)x = 1w + ( 1)v x = 1x = (( 1)( 1))w + ( 1)v = ( 1)(( 1)w) + ( 1)v (λµ)x = λ(µx) = ( 1)(( 1)w + v) λx + λy = λ(x + y) = ( 1)(( w) + v) ( 1)x = x = ( 1)(v + ( w)) x + y = y + x = ( 1)(v w) x + ( y) = x y = (v w) ( 1)x = x ( = 3 4, 17 ) 9 ( ( = 3 ), 17 ) 4 9 ( ) 3 = 4, από το (Ι) (III) Χρησιµοποιώντας την αλγεβρική έκφραση για τη διαφορά διανυσµάτων στο - διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u (v w) = ( (, 7) 3 4, 17 ) 9 = ( ( 3 ), 7 17 ) 4 9 = ( 31 4, 46 ). 9 από το (Ι) (IV) Χρησιµοποιώντας την αλγεβρική έκφραση για τη διαφορά διανυσµάτων στο -

44 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ διάστατο χώρο παίρνουµε ότι (u v) w = = = = = ( ( 1 (, 7) 4, 1 9 ( 14 (, ( 7 4, 64 ) (6, ) 9 ( 7 4 6, 64 ) 9 ( ) ( 17 4, 8 ). 9 )) (6, ) )) (6, ) (V) Χρησιµοποιώντας την αλγεβρική έκφραση για το ϐαθµωτό γινόµενο και τη διαφορά διανυσµάτων στο -διάστατο χώρο παίρνουµε ότι 1 4 w 3v = 1 ( ) 1 (6, ) 3 4 4, 1 9 ( 1 = 4 6, 1 ) 4 ( ) = = = ( 3 1 ( ) ( ) 3 3, 1 4, 1 3 ( 3 3 ( 4, 1 1 )) 3 ( ) 3 4, 1. 6 ( 4, 3 (ϐ) (I) Χρησιµοποιώντας την αλγεβρική έκφραση για τη διαφορά διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι v w = (4, 0, 8) (6, 1, 4) = (4 6, 0 ( 1), 8 ( 4)) = (, 1, 4). (II) Χρησιµοποιώντας την αλγεβρική έκφραση για το ϐαθµωτό γινόµενο και το άθροισµα διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι 6u + v = 6( 3, 1, ) + (4, 0, 8) 1 9 )) = (6 ( 3), 6 1, 6 ) + ( 4, 0, ( 8)) = ( 18, 6, 1) + (8, 0, 16) = ( , 6 + 0, 1 + ( 16)) = ( 10, 6, 4). (III) 1ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας την αλγεβρική έκφραση για το αντίθετο διάνυσµα

45 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 9 και το άθροισµα διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι v + u = (4, 0, 8) + ( 3, 1, ) = ( 4, 0, ( 8)) + ( 3, 1, ) = ( 4, 0, 8) + ( 3, 1, ) = ( 4 + ( 3), 0 + 1, 8 + ) = ( 7, 1, 10). ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων και την αλγε- ϐρική έκφραση για τη διαφορά διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι v + u = u + ( v) x + y = y + x = u v x + ( y) = x y = ( 3, 1, ) (4, 0, 8) = ( 3 4, 1 0, ( 8)) = ( 7, 1, 10). (IV) 1ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας την αλγεβρική έκφραση για το ϐαθµωτό γινόµενο και τη διαφορά διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι 5(v 4u) = 5((4, 0, 8) 4( 3, 1, )) = 5((4, 0, 8) (4 ( 3), 4 1, 4 )) = 5((4, 0, 8) ( 1, 4, 8)) = 5(4 ( 1), 0 4, 8 8) = 5(16, 4, 16) = (5 16, 5 ( 4), 5 ( 16)) = (80, 0, 80). ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων και την αλγε- ϐρική έκφραση για το ϐαθµωτό γινόµενο και τη διαφορά διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι 5(v 4u) = 5v 5(4u) λ(x y) = λx λy = 5v (5 4)u λ(µx) = (λµ)x = 5v 0u = 5(4, 0, 8) 0( 3, 1, ) = (5 4, 5 0, 5 ( 8)) (0 ( 3), 0 1, 0 ) = (0, 0, 40) ( 60, 0, 40) = (0 ( 60), 0 0, 40 40) = (80, 0, 80). (V) 1ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας την αλγεβρική έκφραση για το ϐαθµωτό γινόµενο

46 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ και τη διαφορά διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι ( 3)(v 8w) = ( 3)((4, 0, 8) 8(6, 1, 4)) = ( 3)((4, 0, 8) (8 6, 8 ( 1), 8 ( 4))) = ( 3)((4, 0, 8) (48, 8, 3)) = ( 3)(4 48, 0 ( 8), 8 ( 3)) = ( 3)( 44, 8, 4) = (( 3) ( 44), ( 3) 8, ( 3) 4) = (13, 4, 7). ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων και την αλγεβρική έκφραση για το ϐαθµωτό γινόµενο και το άθροισµα διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι ( 3)(v 8w) = ( 3)v ( 3)(8w) λ(x y) = λx λy = ( 3)v (( 3) 8)u λ(µx) = (λµ)x = ( 3)v ( 4)u = ( 3)v + ( (( 4)u)) x y = x + ( y) = ( 3)v + ( 1)(( 4)u) x = ( 1)x = ( 3)v + (( 1)( 4))u λ(µx) = (λµ)x = ( 3)v + 4u = ( 3)(4, 0, 8) + 4(6, 1, 4) = (( 3) 4, ( 3) 0, ( 3) ( 8)) + (4 6, 4 ( 1), 4 ( 4)) = ( 1, 0, 4) + (144, 4, 96) = ( , 0 + ( 4), 4 + ( 96)) = (13, 4, 7). (VI) 1ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας την αλγεβρική έκφραση για το ϐαθµωτό γινόµενο, το άθροισµα διανυσµάτων και τη διαφορά διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι (u 7v) (8v + u) = (( 3, 1, ) 7(4, 0, 8)) (8(4, 0, 8) + ( 3, 1, )) = (( ( 3), 1, ) (7 4, 7 0, 7 ( 8))) ((8 4, 8 0, 8 ( 8)) + ( 3, 1, )) = (( 6,, 4) (8, 0, 56)) ((3, 0, 64) + ( 3, 1, )) = ( 6 8, 0, 4 ( 56)) (3 + ( 3), 0 + 1, 64 + ) = ( 34,, 60) (9, 1, 6) = ( 34 9, 1, 60 ( 6)) = ( 63, 1, 1). ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων και την αλγεβρική έκφραση για το ϐαθµωτό γινόµενο και το άθροισµα διανυσµάτων στον 3-διάστατο

47 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 31 χώρο παίρνουµε ότι (u 7v) (8v + u) = (u + ( 7v)) + ( (8v + u)) x y = x + ( y) = (u + ( 1)(7v)) + ( 1)(8v + u) x = ( 1)x = (u + ( 1)(7v)) + (( 1)(8v) + ( 1)u) λ(x + y) = λx + λy = (u + (( 1) 7)v) + ((( 1) 8)v + ( 1)u) λ(µx) = (λµ)x = (u + ( 7)v) + (( 8)v + ( 1)u) = u + (( 7)v + ( 8)v) + ( 1)u προσεταιριστική ι- διότητα της πρόσθεσης διανυσµάτων = u + (( 7) + ( 8))v + ( 1)u λx + λy = λ(x + y) = u + ( 15)v + ( 1)u λx + µx = (λ + µ)x = u + ( 1)u + ( 15)v x + y = y + x = ( + ( 1))u + ( 15)v λx + µx = (λ + µ)x = 1u + ( 15)v = u + ( 15)v 1x = x = ( 3, 1, ) + ( 15)(4, 0, 8) = ( 3, 1, ) + (( 15) 4, ( 15) 0, ( 15) ( 8)) = ( 3, 1, ) + ( 60, 0, 10) = ( 3 + ( 60), 1 + 0, + 10) = ( 63, 1, 1).. (α) Να ϐρεθούν οι συνιστώσες των διανυσµάτων µε αρχικό σηµείο P 1 και τελικό σηµείο P αν (I) P 1 (3, 5), P ( 4, 7) (II) P 1 (0, 0), P (a, b) (III) P 1 (3, 7, ), P (, 5, 4) (IV) P 1 (a, b, c), P (0, 0, 0) (ϐ) (I) Θεωρούµε το σηµείο του -διάστατου χώρου P (3, 5). Να ϐρεθούν όλα τα σηµεία Q(x, y) του -διάστατου χώρου για τα οποία το διάνυσµα P Q έχει την ίδια κατεύθυνση µε το v = (7, 3). (II) Θεωρούµε το σηµείο του 3-διάστατου χώρου Q(3, 0, 5). Να ϐρεθούν όλα τα σηµεία P (x, y, z) του 3-διάστατου χώρου για τα οποία το διάνυσµα P Q έχει αντίθετη κατεύθυνση από το v = (4,, 1). (α) (I) Εχουµε ότι P 1 P = ( 4 3, 7 ( 5)) = ( 7, ).

48 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ (II) Εχουµε ότι P 1 P = (a 0, b 0) = (a, b). (III) Εχουµε ότι P 1 P = ( 3, 5 ( 7), 4 ) = ( 5, 1, 6). (IV) Εχουµε ότι P 1 P = (0 a, 0 b, 0 c) = ( a, b, c). (ϐ) (I) Εστω Q(x, y) ένα σηµείο του -διάστατου χώρου. Εχουµε ότι P Q = (x 3, y ( 5)) = (x 3, y + 5). (1) Παίρνουµε ότι P Q έχει την ίδια κατεύθυνση µε το v P Q = λv, για κάποιο ϐαθµωτό λ 0 (x 3, y + 5) = λ(7, 3), για κάποιο ϐαθµωτό λ 0 από την (1) (x 3, y + 5) = (7λ, 3λ), για κάποιο ϐαθµωτό λ 0 { x 3 = 7λ y + 5 = 3λ, για κάποιο ϐαθµωτό λ 0 { x = 7λ + 3 y = 3λ 5, για κάποιο ϐαθµωτό λ 0. Εποµένως τα σηµεία Q του -διάστατου χώρου για τα οποία το διάνυσµα P Q έχει την ίδια κατεύθυνση µε το v = (7, 3) είναι όλα τα σηµεία της µορφής Q(7λ + 3, 3λ 5), όπου το λ είναι ένα ϐαθµωτό µε λ 0. (II) Εστω Q(x, y, z) ένα σηµείο του 3-διάστατου χώρου. Εχουµε ότι P Q = (3 x, 0 y, 5 z) = (3 x, y, 5 z). ()

49 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 33 Παίρνουµε ότι P Q έχει αντίθετη κατεύθυνση από το v P Q = λv, για κάποιο ϐαθµωτό λ 0 (3 x, y, 5 z) = λ(4,, 1), για κάποιο ϐαθµωτό λ 0 από την () (3 x, y, 5 z) = (4λ, λ, λ), για κάποιο ϐαθµωτό λ 0 3 x = 4λ y = λ, για κάποιο ϐαθµωτό λ 0 5 z = λ x = 4λ + 3 y = λ z = λ 5, για κάποιο ϐαθµωτό λ 0. Εποµένως τα σηµεία Q του -διάστατου χώρου για τα οποία το διάνυσµα P Q έχει αντίθετη κατεύθυνση από το v = (4,, 1) είναι όλα τα σηµεία της µορφής Q( 4λ + 3, λ, λ 5), όπου το λ είναι ένα ϐαθµωτό µε λ (α) Εστω u = (3, 1, 4), v = (, 1, 1) και w = ( 1, 1, ). (I) Υπάρχουν ϐαθµωτά λ 1, λ και λ 3 τέτοια ώστε λ 1 u + λ v + λ 3 w = 0; (II) Υπάρχουν ϐαθµωτά λ 1, λ και λ 3 όχι όλα ίσα µε 0 τέτοια ώστε λ 1 u + λ v + λ 3 w = 0; (ϐ) Εστω u = (, 1, 3) και v = (,, 1). (I) Υπάρχουν ϐαθµωτά λ 1 και λ τέτοια ώστε λ 1 u + λ v = 0; (II) Υπάρχουν ϐαθµωτα λ 1 και λ όχι και τα δύο ίσα µε 0 τέτοια ώστε λ 1 u + λ v = 0; (α) (I) Για λ 1 = λ = λ 3 = 0 έχουµε ότι λ 1 u + λ v + λ 3 w = 0u + 0v + 0w = x = 0 = 0. x + 0 = x

50 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ (II) Χρησιµοποιώντας την αλγεβρική έκφραση για το ϐαθµωτό γινόµενο, το άθροισµα διανυσµάτων και το µηδενικό διάνυσµα στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι λ 1 u + λ v + λ 3 w = 0 λ 1 (3, 1, 4) + λ (, 1, 1) + λ 3 ( 1, 1, ) = (0, 0, 0) (3λ 1, λ 1, 4λ 1 ) + (λ, λ, λ ) + ( λ 3, λ 3, λ 3 ) = (0, 0, 0) (3λ 1 + λ + ( λ 3 ), λ 1 + λ + ( λ 3 ), 4λ 1 + λ + λ 3 ) = (0, 0, 0) (3λ 1 + λ λ 3, λ 1 + λ λ 3, 4λ 1 + λ + λ 3 ) = (0, 0, 0) 3λ 1 + λ λ 3 = 0 λ 1 + λ λ 3 = 0 4λ 1 + λ + λ 3 = 0 Εποµένως ϑα υπάρχουν ϐαθµωτά λ 1, λ και λ 3 όχι όλα ίσα µε 0 τέτοια ώστε. λ 1 u + λ v + λ 3 w = 0 αν και µόνο αν το οµογενές σύστηµα 3λ 1 + λ λ 3 = 0 λ 1 + λ λ 3 = 0 4λ 1 + λ + λ 3 = 0 (3) έχει µη τετριµµένες λύσεις. Σηµείωση : Από όσα είπαµε παραπάνω είναι άµεσο ότι 0u + 0v + 0w = 0 (4) αν και µόνο αν η τετριµµένη λύση λ 1 = 0, λ = 0, λ 3 = 0 είναι λύση του οµογενούς συστήµατος (3). Εφόσον η τετριµµένη λύση είναι πάντα λύση ενός οµογενούς συστήµατος, παίρνουµε ότι η (4) ισχύει. Εξετάζουµε αν το οµογενές σύστηµα (3) έχει µη τετριµµένες λύσεις : 1ος τρόπος : Γνωρίζουµε ότι το οµογενές σύστηµα (3) έχει µη τετριµµένες λύσεις αν και µόνο αν ο πίνακας συντελεστών του δεν είναι αντιστρέψιµος. Εφόσον 3 1 det(a) = A = = ( 1) 4 + ( 1) 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 = = 0, ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιµος. Από όσα είπαµε συµπεραίνουµε ότι το οµογενές σύστηµα (3) έχει µη τετριµµένες λύσεις.

51 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 35 ος τρόπος : Λύνουµε το οµογενές σύστηµα (3). Ο πίνακάς συντελεστών του είναι ο Χρησιµοποιούµε απαλοιφή Gauss για να ϐρούµε την κλιµακωτή µορφή του : πολλαπλασιάζουµε την 1η γραµµή µε προσθέτουµε -1 ϕορά την 1η γραµ- µή στη η και -4 ϕορές την 1η γραµ- µή στην 3η πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή µε 3 προσθέτουµε 5 3 ϕορές τη η γραµµή στην 3η Το οµογενές σύστηµα που αντιστοιχεί στον τελευταίο πίνακα είναι το λ λ 1 3 λ 3 = 0 λ λ 3 = 0 (η 3η γραµµή του πίνακα αντιστοιχεί στην εξίσωση 0λ 1 + 0λ + 0λ 3 = 0 η οποία επαληθεύεται από όλα τα λ 1, λ, λ 3 και για αυτό το λόγο την παραλείπουµε). Εφόσον το σύστηµα αυτό έχει εξισώσεις και 3 µεταβλητές, ϑα έχει µη τετριµµένες λυσεις. Από όσα είπαµε παίρνουµε ότι υπάρχουν ϐαθµωτά λ 1, λ και λ 3 όχι όλα ίσα µε 0 τέτοια ώστε λ 1 u + λ v + λ 3 w = 0. Σηµείωση : Για να ϐρούµε όλα τα ϐαθµωτά λ 1, λ και λ 3 για τα οποία λ 1 u + λ v + λ 3 w = 0

52 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ πρέπει να λύσουµε το σύστηµα λ λ 1 3 λ 3 = 0 λ λ 3 = 0. (5) Το λύνουµε µε προς τα πίσω αντικατάσταση. Οι ϐασικές µεταβλητές είναι οι λ 1 και λ και η ελεύθερη η λ 3. Λύνοντας ως προς τις ϐασικές µεταβλητές παίρνουµε ότι λ 1 = 3 λ λ 3. λ = λ 3 Αντικαθιστώντας τη η εξίσωση στην 1η παίρνουµε ότι λ 1 = λ 3 λ = λ 3. Αν δώσουµε την αυθαίρετη τιµή t στην ελεύθερη µεταβλητή λ 3 παίρνουµε ότι η λύση του συστήµατος (5) είναι λ 1 = t, λ = t, λ 3 = t, t στο R. Εποµένως για λ 1 = t, λ = t, λ 3 = t, t στο R, ισχύει λ 1 u + λ v + λ 3 w = 0. (ϐ) (I) Για λ 1 = λ = 0 έχουµε ότι λ 1 u + λ v = 0u + 0v = x = 0 = 0. x + 0 = x (II) Χρησιµοποιώντας την αλγεβρική έκφραση για το ϐαθµωτό γινόµενο, το άθροισµα διανυσµάτων και το µηδενικό διάνυσµα στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι λ 1 u + λ v = 0 λ 1 (, 1, 3) + λ (,, 1) = (0, 0, 0) (λ 1, λ 1, 3λ 1 ) + (λ, λ, λ ) = (0, 0, 0) (λ 1 + λ, λ 1 + λ, 3λ 1 + λ ) = (0, 0, 0) λ 1 + λ = 0 λ 1 + λ = 0 3λ 1 + λ = 0 Εποµένως ϑα υπάρχουν ϐαθµωτά λ 1 και λ όχι και τα δύο ίσα µε 0 τέτοια ώστε. λ 1 u + λ v = 0

53 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 37 αν και µόνο αν το οµογενές σύστηµα λ 1 + λ = 0 λ 1 + λ = 0 3λ 1 + λ = 0 (6) έχει µη τετριµµένες λύσεις. Λύνουµε το σύστηµα αυτό. Ο πίνακάς συντελεστών του είναι ο Χρησιµοποιούµε απαλοιφή Gauss-Jordan για να ϐρούµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του : πολλαπλασιάζουµε την 1η γραµµή µε προσθέτουµε -1 ϕο- ϱά την 1η γραµµή στη η και 3 ϕορές την 1η γραµµή στην 3η προσθέτουµε -4 ϕο- ϱές τη η γραµµή στην 3η προσθέτουµε -1 ϕο- ϱά τη η γραµµή στην 1η Το οµογενές σύστηµα που αντιστοιχεί στον τελευταίο πίνακα είναι το λ 1 = 0 λ = 0 (η 3η γραµµή του πίνακα αντιστοιχεί στην εξίσωση 0λ 1 + 0λ = 0 η οποία επαληθεύεται από όλα τα λ 1, λ και για αυτό το λόγο την παραλείπουµε). Εποµένως η λύση του συστήµατος (6) είναι λ 1 = 0, λ = 0, δηλαδή η τετριµµένη λύση. Άρα δεν υπάρχουν ϐαθµωτά λ 1 και λ όχι και τα δύο ίσα µε 0 τέτοια ώστε λ 1 u + λ v = 0.

54 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 4. Εστω ότι ένα σύστηµα συντεταγµένων xy του -διάστατου χώρου µετατοπίζεται έτσι ώστε να πάρουµε ένα σύστηµα συντεταγµένων x y του οποίου οι άξονες είναι πα- ϱάλληλοι µε τους άξονες του αρχικού και η αρχή των αξόνων O έχει xy συντεταγµένες (, 3). (α) Να ϐρεθούν οι x y συντεταγµένες του σηµείου P το οποίο έχει xy συντεταγµένες (7, 5). (ϐ) Να ϐρεθούν οι xy συντεταγµένες του σηµείου Q το οποίο έχει x y συντεταγµένες ( 3, 6). (α) Οι συντεταγµένες του σηµείου P στο σύστηµα συντεταγµένων x y είναι (7, 5 ( 3)) = (5, 8). (ϐ) Εστω (x, y) οι συντεταγµένες του σηµείου Q στο σύστηµα συντεταγµένων xy. Οι συντεταγµένες του σηµείου Q στο σύστηµα συντεταγµένων x y είναι (x, y ( 3)) και άρα (x, y ( 3)) = ( 3, 6). Εχουµε ότι (x, y ( 3)) = ( 3, 6) (x, y + 3) = ( 3, 6) { x = 3 y + 3 = 6 { x = 1 y = 3 και άρα οι συντεταγµένες του σηµείου Q στο σύστηµα συντεταγµένων xy είναι ( 1, 3). 5. Εστω u και v διανύσµατα του -διάστατου/3-διάστατου χώρου και λ και µ ϐαθµωτά. Αποδείξτε τα παρακάτω (α) Αν το w είναι ένα διάνυσµα του -διάστατου/3-διάστατου χώρου για το οποίο ισχύει u + w = 0, τότε w = u. (ϐ) ( 1)u = u. (γ) (λ µ)u = λu µu. (δ) λ(u v) = λu λv.

55 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 39 (α) 1ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων στο - διάστατο και τον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι w = 0 + w x = 0 + x = (( u) + u) + w 0 = ( x) + x = ( u) + (u + w) (x + y) + z = x + (y + z) = ( u) + 0 από την υπόθεση = u. x + 0 = x ος τρόπος : Εστω u = (u 1, u ) και w = (w 1, w ). Χρησιµοποιώντας τις αλγεβρικές εκφράσεις για την ισότητα διανυσµάτων, το άθροισµα διανυσµάτων, το µηδενικό διάνυσµα και το αντίθετο διάνυσµα στο -διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u + w = 0 (u 1, u ) + (w 1, w ) = (0, 0) µηδενικό διάνυσµα στο -διάστατο χώρο (u 1 + w 1, u + w ) = (0, 0) άθροισµα διανυσµάτων στο -διάστατο χώρο { u1 + w 1 = 0 u + w = 0 ισότητα διανυσµάτων στο -διάστατο χώρο { w1 = u 1 w = u (w 1, w ) = ( u 1, u ) ισότητα διανυσµάτων στο -διάστατο χώρο (w 1, w ) = (u 1, u ) αντίθετο διάνυσµα στο -διάστατο χώρο w = u. Εστω u = (u 1, u, u 3 ) και w = (w 1, w, w 3 ). Χρησιµοποιώντας τις αλγεβρικές εκφράσεις για την ισότητα διανυσµάτων, το άθροισµα διανυσµάτων, το µηδενικό διάνυσµα

56 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ και το αντίθετο διάνυσµα στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u + w = 0 (u 1, u, u 3 ) + (w 1, w, w 3 ) = (0, 0, 0) µηδενικό διάνυσµα στον 3-διάστατο χώρο (u 1 + w 1, u + w, u 3 + w 3 ) = (0, 0, 0) u 1 + w 1 = 0 u + w = 0 u 3 + w 3 = 0 w 1 = u 1 w = u w 3 = u 3 (w 1, w, w 3 ) = ( u 1, u, u 3 ) άθροισµα διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο ισότητα διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο ισότητα διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο w = u. αντίθετο διάνυσµα στον 3-διάστατο χώρο (ϐ) 1ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων στο - διάστατο και τον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u + ( 1)u = 1u + ( 1)u x = 1x = (1 + ( 1))u λ 1 x + λ x = (λ 1 + λ )x = 0u = 0 0u = 0 και εποµένως, από το (α), παίρνουµε ότι ( 1)u = u. ος τρόπος : Εστω u = (u 1, u ). Χρησιµοποιώντας τις αλγεβρικές εκφράσεις για το ϐαθµωτό γινόµενο και το αντίθετο διάνυσµα στο -διάστατο χώρο παίρνουµε ότι ( 1)u = ( 1)(u 1, u ) = (( 1) u 1, ( 1) u ) ϐαθµωτό γινόµενο στο -διάστατο χώρο = ( u 1, u ) = (u 1, u ) αντίθετο διάνυσµα στο -διάστατο χώρο = u.

57 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 41 Εστω u = (u 1, u, u 3 ). Χρησιµοποιώντας τις αλγεβρικές εκφράσεις για το ϐαθµωτό γινόµενο και το αντίθετο διάνυσµα στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι ( 1)u = ( 1)(u 1, u, u 3 ) = (( 1) u 1, ( 1) u, ( 1) u 3 ) ϐαθµωτό γινόµενο στον 3-διάστατο χώρο = ( u 1, u, u 3 ) = (u 1, u, u 3 ) αντίθετο διάνυσµα στον 3-διάστατο χώρο = u. (γ) 1ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων στο - διάστατο και τον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι (λ µ)u = (λ + ( µ))u = λu + ( µ)u (λ 1 + λ )x = λ 1 x + λ x = λu + (( 1)µ)u = λu + ( 1)(µu) (λ 1 λ )x = λ 1 (λ x) = λu + ( (µu)) από το (ϐ) = λu µu. x + ( y) = x y ος τρόπος : Εστω u = (u 1, u ). Χρησιµοποιώντας τις αλγεβρικές εκφράσεις για το ϐαθµωτό γινόµενο και τη διαφορά διανυσµάτων στο -διάστατο χώρο παίρνουµε ότι (λ µ)u = (λ µ)(u 1, u ) = ((λ µ)u 1, (λ µ)u ) ϐαθµωτό γινόµενο στο -διάστατο χώρο = (λu 1 µu 1, λu µu ) ιδιότητες πράξεων αριθµών = (λu 1, λu ) (µu 1, µu ) διαφορά διανυσµάτων στο -διάστατο χώρο = λ(u 1, u ) µ(u 1, u ) ϐαθµωτό γινόµενο στο -διάστατο χώρο = λu µu. Εστω u = (u 1, u, u 3 ). Χρησιµοποιώντας τις αλγεβρικές εκφράσεις για το ϐαθµωτό

58 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ γινόµενο και τη διαφορά διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι (λ µ)u = (λ µ)(u 1, u, u 3 ) = ((λ µ)u 1, (λ µ)u, (λ µ)u 3 ) ϐαθµωτό γινόµενο στον 3-διάστατο χώρο = (λu 1 µu 1, λu µu, λu 3 µu 3 ) ιδιότητες πράξεων αριθµών = (λu 1, λu, λu 3 ) (µu 1, µu, µu 3 ) διαφορά διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο = λ(u 1, u, u 3 ) µ(u 1, u, u 3 ) ϐαθµωτό γινόµενο στον 3-διάστατο χώρο = λu µu. (δ) 1ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων στο - διάστατο και τον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι λ(u v) = λ(u + ( v)) x y = x + ( y) = λu + λ( v) λ 1 (x + y) = λ 1 x + λ 1 y = λu + λ(( 1)v) από το (ϐ) = λu + (λ( 1))v λ 1 (λ x) = (λ 1 λ )x = λu + (( 1)λ)v ιδιότητες πράξεων αριθµών = λu + ( 1)(λv) (λ 1 λ )x = λ 1 (λ x) = λu + ( (λv)) από το (ϐ) = λu λv x + ( y) = x y ος τρόπος : Εστω u = (u 1, u ) και v = (v 1, v ). Χρησιµοποιώντας τις αλγεβρικές εκφράσεις για το ϐαθµωτό γινόµενο και τη διαφορά διανυσµάτων στο -διάστατο χώρο

59 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 43 παίρνουµε ότι λ(u v) = λ((u 1, u ) (v 1, v )) = λ(u 1 v 1, u v ) διαφορά διανυσµάτων στο -διάστατο χώρο = (λ(u 1 v 1 ), λ(u v )) ϐαθµωτό γινόµενο στο -διάστατο χώρο = (λu 1 λv 1, λu λv ) ιδιότητες πράξεων αριθµών = (λu 1, λu ) (λv 1, λv ) διαφορά διανυσµάτων στο -διάστατο χώρο = λ(u 1, u ) λ(v 1, v ) ϐαθµωτό γινόµενο στο -διάστατο χώρο = λu λv. Εστω u = (u 1, u, u 3 ) και v = (v 1, v, v 3 ). Χρησιµοποιώντας τις αλγεβρικές εκ- ϕράσεις για το ϐαθµωτό γινόµενο και τη διαφορά διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι λ(u v) = λ((u 1, u, u 3 ) (v 1, v, v 3 )) = λ(u 1 v 1, u v, u 3 v 3 ) διαφορά διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο = (λ(u 1 v 1 ), λ(u v ), λ(u 3 v 3 )) ϐαθµωτό γινόµενο στον 3-διάστατο χώρο = (λu 1 λv 1, λu λv, λu 3 λv 3 ) ιδιότητες πράξεων αριθµών = (λu 1, λu, λu 3 ) (λv 1, λv, λv 3 ) διαφορά διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο = λ(u 1, u, u 3 ) λ(v 1, v, v 3 ) ϐαθµωτό γινόµενο στον 3-διάστατο χώρο = λu λv. 6. (α) Να ϐρεθεί η νόρµα του v αν (I) v = (4, 3) (II) v = ( 5, 0) (III) v = (,, ) (IV) v = (0, 6, 0)

60 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ (ϐ) Να ϐρεθεί η απόσταση d(p 1, P ) των P 1 και P αν (I) P 1 (3, 4), P (5, 7) (II) P 1 (7, 5, 1), P ( 7,, 1) (α) (I) Από τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στο -διάστατο χώρο παίρνουµε ότι v = (4, 3) = 4 + ( 3) = 5 = 5. (II) Από τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στο -διάστατο χώρο παίρνουµε ότι v = ( 5, 0) = ( 5) + 0 = 5 = 5. (III) Από τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι v = (,, ) = + + = 1 = 3. (IV) Από τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι v = (0, 6, 0) = = 36 = 6. (ϐ) (I) Από τον τύπο για την απόσταση σηµείων στο -διάστατο χώρο παίρνουµε ότι d(p 1, P ) = d((3, 4), (5, 7)) = (5 3) + (7 4) = + 3 = 13. (II) Από τον τύπο για την απόσταση σηµείων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι d(p 1, P ) = d((7, 5, 1), ( 7,, 1)) = ( 7 7) + ( ( 5)) + ( 1 1) = ( 14) ( ) = 09.

61 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εστω u και v διανύσµατα του 3-διάστατου χώρου και λ ϐαθµωτό. Αποδείξτε τα παρακάτω (α) u 0. (ϐ) u = 0 u = 0. (γ) λu = λ u. (δ) u + v u + v. (ε) u v u + v. (στ) u + v u v. (Ϲ) u v u v. Υπόδειξη : Για να αποδείξετε τα (ε), (στ) και (Ϲ) χρησιµοποιήστε τα προηγούµενα. Εστω u = (u 1, u, u 3 ) και v = (v 1, v, v 3 ). (α) Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u = u 1 + u + u 3 νόρµα διανύσµατός στον 3-διάστατο χώ- ϱο 0. (ϐ) Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος και τις αλγεβρικές εκφράσεις της ισότητας διανυσµάτων και του µηδενικού διανύσµατος στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u = 0 u 1 + u + u 3 = 0 νόρµα διανύσµατός στον 3-διάστατο χώ- ϱο u 1 + u + u 3 = 0 u 1 = 0, u = 0, u 3 = 0 αν α, β, γ 0, τότε α + β + γ = 0 α = β = γ = 0 u 1 = 0, u = 0, u 3 = 0 (u 1, u, u 3 ) = (0, 0, 0) ισότητα διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο u = 0. µηδενικό διάνυσµα στον 3-διάστατο χώ- ϱο (γ) Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος και την αλγεβρική έκφραση

62 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ του ϐαθµωτού γινοµένου στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι λu = (λu 1, λu, λu 3 ) ϐαθµωτό γινόµενο στον 3-διάστατο χώρο = (λu 1 ) + (λu ) + (λu 3 ) νόρµα διανύσµατός στον 3-διάστατο χώ- ϱο = λ u 1 + λ u + λ u 3 = λ (u 1 + u + u 3 ) = λ u 1 + u + u 3 = λ u 1 + u + u 3 = λ u νόρµα διανύσµατός στον 3-διάστατο χώ- ϱο (δ) Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u = u 1 + u + u 3 και v = v 1 + v + v 3. Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος και την αλγεβρική έκφραση του αθροίσµατος διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u + v = (u 1 + v 1, u + v, u 3 + v 3 ) άθροισµα διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο = (u 1 + v 1 ) + (u + v ) + (u 3 + v 3 ) νόρµα διανύσµατός στον 3-διάστατο χώ- ϱο = (u 1 + u 1v 1 + v 1 ) + (u + u v + v ) + (u 3 + u 3v 3 + v 3 ) = u 1 + u + u 3 + v 1 + v + v 3 + (u 1v 1 + u v + u 3 v 3 ).

63 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 47 Χρησιµοποιώντας όσα είπαµε παίρνουµε ότι u + v u + v u + v ( u + v ) από το (α), u + v, u, v 0 ( u 1 + u + u 3 + v 1 + v + v 3 + (u 1v 1 + u v + u 3 v 3 )) ( u 1 + u + u 3 + v 1 + v + v 3 ( u 1 + u + u 3 + v1 + v + v3 + (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) u 1 + u + u 3 + v1 + v + v 3 u 1 + u + u 3 + v1 + v + v3 + (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) ( u 1 + u 3) + ( u + u 1 + u + 3 u v 1 + v + v 3 + v 1 + v + v 3 u 1 + u + u 3 + v1 + v + v3 + (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) ) ) ) u 1 + u + u 3 + u 1 + u + u 3 v 1 + v + v 3 + v 1 + v + v 3 u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u 1 + u + u 3 v 1 + v + v 3 u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 (u 1 + u + u 3 )(v 1 + v + v 3 ) u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u 1 v 1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3 Εφόσον u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u 1 v 1 + u v + u 3 v 3, για να αποδείξουµε ότι u 1 v 1 +u v +u 3 v 3 u 1 v 1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3 αρκεί να αποδείξουµε ότι u 1 v 1 +u v +u 3 v 3 u 1 v 1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3.

64 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Εχουµε ότι u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u 1 v 1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3 ( u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u 1 v1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3 u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u 1v1 + u v1 + u 3v1 + u 1v + u v + u 3v + u 1v3 + u v3 + u 3v3 ) (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) u 1v 1 + u v 1 + u 3v 1 + u 1v + u v + u 3v + u 1v 3 + u v 3 + u 3v 3 u 1v 1 + u v + u 3v 3 + u 1 v 1 u v + u 1 v 1 u 3 v 3 + u v u 3 v 3 u 1v 1 + u v 1 + u 3v 1 + u 1v + u v + u 3v + u 1v 3 + u v 3 + u 3v 3 u 1 v 1 u v + u 1 v 1 u 3 v 3 + u v u 3 v 3 u v 1 + u 3v 1 + u 1v + u 3v + u 1v 3 + u v 3 0 (u v 1 u v 1 u 1 v + u 1v ) + (u 3v 1 u 3 v 1 u 1 v 3 + u 1v 3) + (u 3v u 3 v u v 3 + u v 3) 0 (u v 1 u 1 v ) + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) + (u 3 v u v 3 ). Γνωρίζουµε ότι το τετράγωνο ενός πραγµατικού αριθµού είναι ϑετικός αριθµός και εποµένως 0 (u v 1 u 1 v ) + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) + (u 3 v u v 3 ). Συνδυάζοντας όσα είπαµε παίρνουµε ότι u + v u + v. (ε) 1ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες της νόρµας που ήδη αποδείξαµε και τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων παίρνουµε ότι u v = u + ( v) x y = x + ( y) u + v από το (δ) = u + ( 1)v x = ( 1)x = u + 1 v από το (γ) = u + v. ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u = u 1 + u + u 3 και v = v 1 + v + v 3.

65 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 49 Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος και την αλγεβρική έκφραση της διαφοράς διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u v = (u 1 v 1, u v, u 3 v 3 ) διαφορά διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο = (u 1 v 1 ) + (u v ) + (u 3 v 3 ) νόρµα διανύσµατός στον 3-διάστατο χώ- ϱο = (u 1 u 1v 1 + v1 ) + (u u v + v ) + (u 3 u 3v 3 + v3 ) = u 1 + u + u 3 + v 1 + v + v 3 (u 1v 1 + u v + u 3 v 3 ). Χρησιµοποιώντας όσα είπαµε παίρνουµε ότι u v u + v u v ( u + v ) από το (α), u + v, u, v 0 ( u 1 + u + u 3 + v 1 + v + v 3 (u 1v 1 + u v + u 3 v 3 )) ( u 1 + u + u 3 + v 1 + v + v 3 ( u 1 + u + u 3 + v1 + v + v3 (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) u 1 + u + u 3 + v1 + v + v 3 u 1 + u + u 3 + v1 + v + v3 (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) ( u 1 + u 3) + ( u + u 1 + u + 3 u v 1 + v + v 3 + v 1 + v + v 3 u 1 + u + u 3 + v1 + v + v3 (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) ) ) ) u 1 + u + u 3 + u 1 + u + u 3 v 1 + v + v 3 + v 1 + v + v 3 (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) u 1 + u + u 3 v 1 + v + v 3 (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) (u 1 + u + u 3 )(v 1 + v + v 3 ) (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) u 1 v 1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3 Εφόσον για να αποδείξουµε ότι (u 1 v 1 +u v +u 3 v 3 ) (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) u 1 v 1 + u v + u 3 v 3, u 1 v 1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3 αρκεί να αποδείξουµε ότι u 1 v 1 +u v +u 3 v 3 u 1 v 1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3.

66 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Εχουµε ότι u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u 1 v 1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3 ( u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u 1 v1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3 u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u 1v1 + u v1 + u 3v1 + u 1v + u v + u 3v + u 1v3 + u v3 + u 3v3 ) (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) u 1v 1 + u v 1 + u 3v 1 + u 1v + u v + u 3v + u 1v 3 + u v 3 + u 3v 3 u 1v 1 + u v + u 3v 3 + u 1 v 1 u v + u 1 v 1 u 3 v 3 + u v u 3 v 3 u 1v 1 + u v 1 + u 3v 1 + u 1v + u v + u 3v + u 1v 3 + u v 3 + u 3v 3 u 1 v 1 u v + u 1 v 1 u 3 v 3 + u v u 3 v 3 u v 1 + u 3v 1 + u 1v + u 3v + u 1v 3 + u v 3 0 (u v 1 u v 1 u 1 v + u 1v ) + (u 3v 1 u 3 v 1 u 1 v 3 + u 1v 3) + (u 3v u 3 v u v 3 + u v 3) 0 (u v 1 u 1 v ) + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) + (u 3 v u v 3 ). Γνωρίζουµε ότι το τετράγωνο ενός πραγµατικού αριθµού είναι ϑετικός αριθµός και εποµένως 0 (u v 1 u 1 v ) + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) + (u 3 v u v 3 ). Συνδυάζοντας όσα είπαµε παίρνουµε ότι u v u + v. (στ) 1ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων παίρνουµε ότι (u + v) + ( v) = u + (v + ( v)) (x + y) + z = x + (y + z) = u + 0 x + ( x) = 0 και ότι = u x + 0 = x (u + v) + ( u) = (v + u) + ( u) x + y = y + x = v. από την προηγούµενη ισότητα Από τις ιδιότητες της νόρµας που ήδη αποδείξαµε, τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων και την πρώτη από τις δύο παραπάνω ισότητες παίρνουµε ότι u = (u + v) + ( v) u + v + v από το (δ) = u + v + ( 1)v x = ( 1)x = u + v + 1 v από το (γ) = u + v + v

67 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 51 και άρα u v u + v. Κατά παρόµοιο τρόπο από τις ιδιότητες της νόρµας που ήδη αποδείξαµε, τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων και τη δεύτερη από τις δύο παραπάνω ισότητες παίρνουµε ότι v u u + v ή ( u v ) u + v. Εφόσον ±( u v ) u + v, έχουµε ότι u v u + v. ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u = u 1 + u + u 3 και v = v 1 + v + v 3. Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος και την αλγεβρική έκφραση του αθροίσµατος διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u + v = (u 1 + v 1, u + v, u 3 + v 3 ) άθροισµα διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο = (u 1 + v 1 ) + (u + v ) + (u 3 + v 3 ) νόρµα διανύσµατός στον 3-διάστατο χώ- ϱο = (u 1 + u 1v 1 + v 1 ) + (u + u v + v ) + (u 3 + u 3v 3 + v 3 ) = u 1 + u + u 3 + v 1 + v + v 3 + (u 1v 1 + u v + u 3 v 3 ).

68 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Χρησιµοποιώντας όσα είπαµε παίρνουµε ότι u v u + v u v u + v από το (α), u + v 0 ( u v ) u + v u u v + v u + v ( u 1 + u + u 3) u 1 + u + u 3 v 1 + v + v 3 + ( u 1 + u + u 3) ( ) u 1 + u + u 3 + v 1 + v + v 3 + (u 1v 1 + u v + u 3 v 3 ) u 1 + u + u 3 u 1 + u + u 3 v 1 + v + v 3 + u 1 + u + u 3 ( ) u 1 + u + u 3 + v 1 + v + v 3 + (u 1v 1 + u v + u 3 v 3 ) u 1 + u + u 3 u 1 + u + u 3 v 1 + v + v 3 + u 1 + u + u 3 u 1 + u + u 3 + v 1 + v + v 3 + (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) u 1 + u + u 3 v 1 + v + v 3 u 1v 1 + u v + u 3 v 3 (u 1 + u + u 3 )(v 1 + v + v 3 ) u 1v 1 + u v + u 3 v 3 u 1 v 1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3 u 1v 1 + u v + u 3 v 3 (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) u 1 v 1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3 Εφόσον (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) u 1 v 1 + u v + u 3 v 3, για να αποδείξουµε ότι (u 1 v 1 +u v +u 3 v 3 ) u 1 v 1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3 αρκεί να αποδείξουµε ότι u 1 v 1 +u v +u 3 v 3 u 1 v 1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3.

69 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 53 Εχουµε ότι u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u 1 v 1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3 ( u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u 1 v1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3 u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u 1v1 + u v1 + u 3v1 + u 1v + u v + u 3v + u 1v3 + u v3 + u 3v3 ) (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) u 1v 1 + u v 1 + u 3v 1 + u 1v + u v + u 3v + u 1v 3 + u v 3 + u 3v 3 u 1v 1 + u v + u 3v 3 + u 1 v 1 u v + u 1 v 1 u 3 v 3 + u v u 3 v 3 u 1v 1 + u v 1 + u 3v 1 + u 1v + u v + u 3v + u 1v 3 + u v 3 + u 3v 3 u 1 v 1 u v + u 1 v 1 u 3 v 3 + u v u 3 v 3 u v 1 + u 3v 1 + u 1v + u 3v + u 1v 3 + u v 3 0 (u v 1 u v 1 u 1 v + u 1v ) + (u 3v 1 u 3 v 1 u 1 v 3 + u 1v 3) + (u 3v u 3 v u v 3 + u v 3) 0 (u v 1 u 1 v ) + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) + (u 3 v u v 3 ). Γνωρίζουµε ότι το τετράγωνο ενός πραγµατικού αριθµού είναι ϑετικός αριθµός και εποµένως 0 (u v 1 u 1 v ) + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) + (u 3 v u v 3 ). Συνδυάζοντας όσα είπαµε παίρνουµε ότι u v u + v. (Ϲ) 1ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες της νόρµας που ήδη αποδείξαµε και τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων παίρνουµε ότι u v = u + ( v) x y = x + ( y) u v από το (στ) = u ( 1)v x = ( 1)x = u 1 v από το (γ) = u v. ος τρόπος : Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u = u 1 + u + u 3 και v = v 1 + v + v 3.

70 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος και την αλγεβρική έκφραση της διαφοράς διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u v = (u 1 v 1, u v, u 3 v 3 ) διαφορά διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο = (u 1 v 1 ) + (u v ) + (u 3 v 3 ) νόρµα διανύσµατός στον 3-διάστατο χώ- ϱο = (u 1 u 1v 1 + v 1 ) + (u u v + v ) + (u 3 u 3v 3 + v 3 ) = u 1 + u + u 3 + v 1 + v + v 3 (u 1v 1 + u v + u 3 v 3 ). Χρησιµοποιώντας όσα είπαµε παίρνουµε ότι u v u v u v u v ( u v ) u v u u v + v u + v ( u 1 + u + u 3) u 1 + u + u 3 v 1 + v + v 3 + ( u 1 + u + u 3) ( ) u 1 + u + u 3 + v 1 + v + v 3 (u 1v 1 + u v + u 3 v 3 ) u 1 + u + u 3 u 1 + u + u 3 v 1 + v + v 3 + u 1 + u + u 3 ( ) u 1 + u + u 3 + v 1 + v + v 3 (u 1v 1 + u v + u 3 v 3 ) u 1 + u + u 3 u 1 + u + u 3 v 1 + v + v 3 + u 1 + u + u 3 u 1 + u + u 3 + v 1 + v + v 3 (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) u 1 + u + u 3 v 1 + v + v 3 (u 1v 1 + u v + u 3 v 3 ) (u 1 + u + u 3 )(v 1 + v + v 3 ) (u 1v 1 + u v + u 3 v 3 ) u 1 v 1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3 (u 1v 1 + u v + u 3 v 3 ) u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u 1 v 1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3 Εφόσον u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u 1 v 1 + u v + u 3 v 3, για να αποδείξουµε ότι u 1 v 1 +u v +u 3 v 3 u 1 v 1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3

71 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 55 αρκεί να αποδείξουµε ότι u 1 v 1 +u v +u 3 v 3 u 1 v 1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3. Εχουµε ότι u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u 1 v 1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3 u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ( u 1 v 1 + u v 1 + u 3 v 1 + u 1 v + u v + u 3 v + u 1 v 3 + u v 3 + u 3 v 3 u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 u 1v 1 + u v 1 + u 3v 1 + u 1v + u v + u 3v + u 1v 3 + u v 3 + u 3v 3 ) (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) u 1v 1 + u v 1 + u 3v 1 + u 1v + u v + u 3v + u 1v 3 + u v 3 + u 3v 3 u 1v 1 + u v + u 3v 3 + u 1 v 1 u v + u 1 v 1 u 3 v 3 + u v u 3 v 3 u 1v 1 + u v 1 + u 3v 1 + u 1v + u v + u 3v + u 1v 3 + u v 3 + u 3v 3 u 1 v 1 u v + u 1 v 1 u 3 v 3 + u v u 3 v 3 u v 1 + u 3v 1 + u 1v + u 3v + u 1v 3 + u v 3 0 (u v 1 u v 1 u 1 v + u 1v ) + (u 3v 1 u 3 v 1 u 1 v 3 + u 1v 3) + (u 3v u 3 v u v 3 + u v 3) 0 (u v 1 u 1 v ) + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) + (u 3 v u v 3 ). Γνωρίζουµε ότι το τετράγωνο ενός πραγµατικού αριθµού είναι ϑετικός αριθµός και εποµένως 0 (u v 1 u 1 v ) + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) + (u 3 v u v 3 ). Συνδυάζοντας όσα είπαµε παίρνουµε ότι u v u v. 8. Εστω P 1, P και P 3 σηµεία του -διάστατου ή του 3-διάστατου χώρου. Αποδείξτε τα παρακάτω (α) d(p 1, P ) 0. (ϐ) d(p 1, P ) = 0 P 1 = P. (γ) d(p 1, P ) = d(p, P 1 ). (δ) d(p 1, P ) d(p 1, P 3 ) + d(p 3, P ). Υπόδειξη : Συνδυάστε τον τύπο d(p 1, P ) = P 1 P µε τις ιδιότητες της νόρµας. 1ος τρόπος : Αν τα P 1 και P είναι σηµεία του -διάστατου ή του 3-διάστατου χώρου, τότε η απόστασή τους είναι ίση µε d(p 1, P ) = P 1 P. (7) (α) Χρησιµοποιώντας την (7) και τις ιδιότητες της νόρµας διανυσµάτων στο -διάστατο και τον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι d(p 1, P ) = P 1 P από την (7) 0. x 0

72 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ (ϐ) Χρησιµοποιώντας την (7), τις ιδιότητες της νόρµας διανυσµάτων στο -διάστατο και τον 3-διάστατο χώρο και τις ιδιότητες των διανυσµάτων στο -διάστατο και τον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι d(p 1, P ) = 0 P 1 P = 0 από την (7) P 1 P = 0 x = 0 x = 0 P 1 = P. AB = 0 A = B (γ) Χρησιµοποιώντας την (7), τις ιδιότητες της νόρµας διανυσµάτων στο -διάστατο και τον 3-διάστατο χώρο και τις ιδιότητες των διανυσµάτων στο -διάστατο και τον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι d(p, P 1 ) = P P 1 από την (7) = P 1 P = ( 1) P 1 P = 1 P 1 P = P 1 P BA = AB x = ( 1)x λx = λ x = d(p 1, P ). από την (7) (δ) Χρησιµοποιώντας την (7), τις ιδιότητες της νόρµας διανυσµάτων στο -διάστατο και τον 3-διάστατο χώρο και τις ιδιότητες των διανυσµάτων στο -διάστατο και τον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι d(p 1, P ) = P 1 P από την (7) = P 1 P 3 + P 3 P P 1 P 3 + P 3 P AB = AC + CB x+y x + y = d(p 1, P 3 ) + d(p 3, P ). από την (7) ος τρόπος : Αν τα A(x, y) και B(x, y ) είναι δύο σηµεία του -διάστατου χώρου, τότε η απόστασή τους είναι ίση µε d(a, B) = (x x) + (y y). (8) Αν τα A(x, y, z) και B(x, y, z ) είναι δύο σηµεία του 3-διάστατου χώρου, τότε η απόστασή τους είναι ίση µε d(a, B) = (x x) + (y y) + (z z). (9)

73 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 57 (α) Εστω P 1 (x 1, y 1 ) και P (x, y ). Χρησιµοποιώντας την (8) παίρνουµε ότι d(p 1, P ) = (x x 1 ) + (y y 1 ) από την (8) 0. Εστω P 1 (x 1, y 1, z 1 ) και P (x, y, z ). Χρησιµοποιώντας την (9) παίρνουµε ότι d(p 1, P ) = (x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ) από την (9) 0. (ϐ) Εστω P 1 (x 1, y 1 ) και P (x, y ). Χρησιµοποιώντας την (8) παίρνουµε ότι d(p 1, P ) = 0 (x x 1 ) + (y y 1 ) = 0 από την (8) (x x 1 ) = 0, (y y 1 ) = 0 αν α, β, γ 0, τότε α + β + γ = 0 α = 0, β = 0, γ = 0 x x 1 = 0, y y 1 = 0 x 1 = x, y 1 = y P 1 = P. Εστω P 1 (x 1, y 1, z 1 ) και P (x, y, z ). Χρησιµοποιώντας την (9) παίρνουµε ότι d(p 1, P ) = 0 (x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ) = 0 από την (9) (x x 1 ) = 0, (y y 1 ) = 0, (z z 1 ) = 0 αν α, β, γ 0, τότε α + β + γ = 0 α = β = γ = 0 x x 1 = 0, y y 1 = 0, z z 1 = 0 x 1 = x, y 1 = y, z 1 = z P 1 = P. (γ) Εστω P 1 (x 1, y 1 ) και P (x, y ). Χρησιµοποιώντας την (8) παίρνουµε ότι d(p, P 1 ) = (x 1 x ) + (y 1 y ) από την (8) = (x x 1 ) + (y y 1 ) = d(p 1, P ) από την (8) Εστω P 1 (x 1, y 1, z 1 ) και P (x, y, z ). Χρησιµοποιώντας την (9) παίρνουµε ότι d(p, P 1 ) = (x 1 x ) + (y 1 y ) + (z 1 z ) από την (9) = (x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ) = d(p 1, P ) από την (9) (δ) Εστω P 1 (x 1, y 1 ), P (x, y ) και P 3 (x 3, y 3 ). Χρησιµοποιώντας την (8) παίρνουµε ότι d(p 1, P ) = (x x 1 ) + (y y 1 ) = x x x 1 + x 1 + y y y 1 + y 1,

74 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ d(p 1, P 3 ) = (x 3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) = x 3 x 3x 1 + x 1 + y 3 y 3y 1 + y1, d(p 3, P ) = (x x 3 ) + (y y 3 ) = x x x 3 + x 3 + y y y 3 + y3. Εποµένως έχουµε ότι d(p 1, P ) d(p 1, P 3 ) + d(p 3, P ) d(p 1, P ) (d(p 1, P 3 ) + d(p 3, P )) d(p 1, P ) d(p 1, P 3 ) + d(p 1, P 3 )d(p 3, P ) + d(p 3, P ) ( ( x x x 1 + x 1 + y y y 1 + y1) x 3 x 3 x 1 + x 1 + y 3 y 3y 1 + y1) + + (x 3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) ( (x x 3 ) + (y y 3 ) + x x x 3 + x 3 + y y y 3 + y3 x x x 1 + x 1 + y y y 1 + y1 x 3 x 3 x 1 + x 1 + y3 y 3 y 1 + y1+ + (x 3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) (x x 3 ) + (y y 3 ) + x x x 3 + x 3 + y y y 3 + y3 x x 1 y y 1 x 3 + x 3 x 1 y3 + y 3 y 1 + x x 3 + y y 3 (x 3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) (x x 3 ) + (y y 3 ) (x x 3 )(x 3 x 1 ) + (y y 3 )(y 3 y 1 ) (x 3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) (x x 3 ) + (y y 3 ) (x x 3 )(x 3 x 1 ) + (y y 3 )(y 3 y 1 ) ((x 3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) ) ((x x 3 ) + (y y 3 ) ). Εφόσον ) (x x 3 )(x 3 x 1 ) + (y y 3 )(y 3 y 1 ) (x x 3 )(x 3 x 1 ) + (y y 3 )(y 3 y 1 ), για να αποδείξουµε ότι (x x 3 )(x 3 x 1 )+(y y 3 )(y 3 y 1 ) ((x 3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) ) ((x x 3 ) + (y y 3 ) ) αρκεί να αποδείξουµε ότι (x x 3 )(x 3 x 1 )+(y y 3 )(y 3 y 1 ) ((x3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) ) ((x x 3 ) + (y y 3 ) ). Εχουµε ότι (x x 3 )(x 3 x 1 ) + (y y 3 )(y 3 y 1 ) ((x3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) ) ((x x 3 ) + (y y 3 ) ) (x x 3 )(x 3 x 1 ) + (y y 3 )(y 3 y 1 ) ( ((x3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) ) ((x x 3 ) + (y y 3 ) ) ((x x 3 )(x 3 x 1 ) + (y y 3 )(y 3 y 1 )) ( ((x3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) ) ((x x 3 ) + (y y 3 ) ) ((x x 3 )(x 3 x 1 ) + (y y 3 )(y 3 y 1 )) ( (x 3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) ) ( (x x 3 ) + (y y 3 ) ) (x x 3 ) (x 3 x 1 ) + (y y 3 ) (y 3 y 1 ) + (x x 3 )(x 3 x 1 )(y y 3 )(y 3 y 1 ) (x 3 x 1 ) (x x 3 ) + (x 3 x 1 ) (y y 3 ) + (y 3 y 1 ) (x x 3 ) + (y 3 y 1 ) (y y 3 ) 0 (x 3 x 1 ) (y y 3 ) (x 3 x 1 )(y y 3 )(x x 3 )(y 3 y 1 ) + (y 3 y 1 ) (x x 3 ) 0 ((x 3 x 1 )(y y 3 ) (x x 3 )(y 3 y 1 )). ) )

75 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 59 Γνωρίζουµε ότι το τετράγωνο ενός πραγµατικού αριθµού είναι ϑετικός αριθµός και εποµένως 0 ((x 3 x 1 )(y y 3 ) (x x 3 )(y 3 y 1 )). Από όσα είπαµε παίρνουµε ότι d(p 1, P ) d(p 1, P 3 ) + d(p 3, P ). Εστω P 1 (x 1, y 1, z 1 ), P (x, y, z ) και P 3 (x 3, y 3, z 3 ). Χρησιµοποιώντας την (9) παίρνουµε ότι d(p 1, P ) = (x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ) = x x x 1 + x 1 + y y y 1 + y1 + z z z 1 + z1, d(p 1, P 3 ) = (x 3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) + (z 3 z 1 ) = x 3 x 3x 1 + x 1 + y 3 y 3y 1 + y1 + z 3 z 3z 1 + z1, d(p 3, P ) = (x x 3 ) + (y y 3 ) + (z z 3 ) = x x x 3 + x 3 + y y y 3 + y3 + z z z 3 + z3. Εποµένως έχουµε ότι d(p 1, P ) d(p 1, P 3 ) + d(p 3, P ) d(p 1, P ) (d(p 1, P 3 ) + d(p 3, P )) d(p 1, P ) d(p 1, P 3 ) + d(p 1, P 3 )d(p 3, P ) + d(p 3, P ) ( x x x 1 + x 1 + y y y 1 + y1 + z z z 1 + z1) ( x 3 x 3 x 1 + x 1 + y 3 y 3y 1 + y1 + z 3 z 3z 1 + z1) + + (x 3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) + (z 3 z 1 ) (x x 3 ) + (y y 3 ) + (z z 3 ) + ( + x x x 3 + x 3 + y y y 3 + y3 + z z z 3 + z3 x x x 1 + x 1 + y y y 1 + y1 + z z z 1 + z1 x 3 x 3 x 1 + x 1 + y3 y 3 y 1 + y1 + z3 z 3 z 1 + z1+ + (x 3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) + (z 3 z 1 ) (x x 3 ) + (y y 3 ) + (z z 3 ) +x x x 3 + x 3 + y y y 3 + y3 + z z z 3 + z3 x x 1 y y 1 z z 1 x 3 + x 3 x 1 y3 + y 3 y 1 z3 + z 3 z 1 + x x 3 + y y 3 + z z 3 (x 3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) + (z 3 z 1 ) (x x 3 ) + (y y 3 ) + (z z 3 ) (x x 3 )(x 3 x 1 ) + (y y 3 )(y 3 y 1 ) + (z z 3 )(z 3 z 1 ) (x 3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) + (z 3 z 1 ) (x x 3 ) + (y y 3 ) + (z z 3 ) (x x 3 )(x 3 x 1 ) + (y y 3 )(y 3 y 1 ) + (z z 3 )(z 3 z 1 ) ((x 3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) + (z 3 z 1 ) ) ((x x 3 ) + (y y 3 ) + (z z 3 ) ) Εφόσον (x x 3 )(x 3 x 1 ) + (y y 3 )(y 3 y 1 ) + (z z 3 )(z 3 z 1 ) (x x 3 )(x 3 x 1 ) + (y y 3 )(y 3 y 1 ) + (z z 3 )(z 3 z 1 ), )

76 60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ για να αποδείξουµε ότι (x x 3 )(x 3 x 1 ) + (y y 3 )(y 3 y 1 ) + (z z 3 )(z 3 z 1 ) ((x 3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) + (z 3 z 1 ) ) ((x x 3 ) + (y y 3 ) + (z z 3 ) ) αρκεί να αποδείξουµε ότι (x x 3 )(x 3 x 1 ) + (y y 3 )(y 3 y 1 ) + (z z 3 )(z 3 z 1 ) ((x 3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) + (z 3 z 1 ) ) ((x x 3 ) + (y y 3 ) + (z z 3 ) ). Εχουµε ότι (x x 3 )(x 3 x 1 ) + (y y 3 )(y 3 y 1 ) + (z z 3 )(z 3 z 1 ) ((x 3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) + (z 3 z 1 ) ) ((x x 3 ) + (y y 3 ) + (z z 3 ) ) (x x 3 )(x 3 x 1 ) + (y y 3 )(y 3 y 1 ) + (z z 3 )(z 3 z 1 ) ( ((x3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) + (z 3 z 1 ) ) ((x x 3 ) + (y y 3 ) + (z z 3 ) ) ((x x 3 )(x 3 x 1 ) + (y y 3 )(y 3 y 1 ) + (z z 3 )(z 3 z 1 )) ( ((x3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) + (z 3 z 1 ) ) ((x x 3 ) + (y y 3 ) + (z z 3 ) ) ((x x 3 )(x 3 x 1 ) + (y y 3 )(y 3 y 1 ) + (z z 3 )(z 3 z 1 )) ( (x 3 x 1 ) + (y 3 y 1 ) + (z 3 z 1 ) ) ( (x x 3 ) + (y y 3 ) + (z z 3 ) ) (x x 3 ) (x 3 x 1 ) + (y y 3 ) (y 3 y 1 ) + (z z 3 ) (z 3 z 1 ) + +(x x 3 )(x 3 x 1 )(y y 3 )(y 3 y 1 ) + (x x 3 )(x 3 x 1 )(z z 3 )(z 3 z 1 )+ +(y y 3 )(y 3 y 1 )(z z 3 )(z 3 z 1 ) (x 3 x 1 ) (x x 3 ) + (x 3 x 1 ) (y y 3 ) + (x 3 x 1 ) (z z 3 ) + +(y 3 y 1 ) (x x 3 ) + (y 3 y 1 ) (y y 3 ) + (y 3 y 1 ) (z z 3 ) + +(z 3 z 1 ) (x x 3 ) + (z 3 z 1 ) (y y 3 ) + (z 3 z 1 ) (z z 3 ) 0 (x 3 x 1 ) (y y 3 ) (x 3 x 1 )(y y 3 )(x x 3 )(y 3 y 1 ) + (y 3 y 1 ) (x x 3 ) +(x 3 x 1 ) (z z 3 ) (x 3 x 1 )(z z 3 )(x x 3 )(z 3 z 1 ) + (z 3 z 1 ) (x x 3 ) +(y 3 y 1 ) (z z 3 ) (y 3 y 1 )(z z 3 )(y y 3 )(z 3 z 1 ) + (z 3 z 1 ) (y y 3 ) 0 ((x 3 x 1 )(y y 3 ) (x x 3 )(y 3 y 1 )) + ((x 3 x 1 )(z z 3 ) (z 3 z 1 )(x x 3 )) + ((y 3 y 1 )(z z 3 ) (z 3 z 1 )(y y 3 )). Γνωρίζουµε ότι το τετράγωνο ενός πραγµατικού αριθµού είναι ϑετικός αριθµός και εποµένως 0 ((x 3 x 1 )(y y 3 ) (x x 3 )(y 3 y 1 )) + ((x 3 x 1 )(z z 3 ) (z 3 z 1 )(x x 3 )) + ((y 3 y 1 )(z z 3 ) (z 3 z 1 )(y y 3 )). Από όσα είπαµε παίρνουµε ότι 9. (α) Να ϐρεθεί το u v αν d(p 1, P ) d(p 1, P 3 ) + d(p 3, P ). (I) u = (, 3), v = (5, 7) (II) u = ( 6, ), v = (4, 0) (III) u = (1, 5, 4), v = (3, 3, 3) (IV) u = (,, 3), v = (1, 7, 4) ) )

77 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 61 (ϐ) Για κάθε ένα από τα Ϲεύγη διανυσµάτων του (α), ϐρείτε το συνηµίτονο της γωνίας θ µεταξύ των u και v. (γ) Προσδιορίστε αν τα u και v σχηµατίζουν οξεία γωνία, αµβλεία γωνία ή είναι ορθογώνια αν (I) u = (6, 1, 4), v = (, 0, 3) (II) u = (0, 0, 1), v = (1, 1, 1) (III) u = ( 6, 0, 4), v = (3, 1, 6) (IV) u = (, 4, 8), v = (5, 3, 7) (α) Αν τα u = (u 1, u ) και v = (v 1, v ) είναι διανύσµατα στο -διάστατο χώρο, τότε το εσωτερικό τους γινόµενο είναι ίσο µε u v = u 1 v 1 + u v. (10) Αν τα u = (u 1, u, u 3 ) και v = (v 1, v, v 3 ) είναι διανύσµατα στον 3-διάστατο χώρο, τότε το εσωτερικό τους γινόµενο είναι ίσο µε u v = u 1 v 1 + u v + u 3 v 3. (11) (I) Από την (10) παίρνουµε ότι u v = ( 7) = 11. (II) Από την (10) παίρνουµε ότι u v = ( 6) 4 + ( ) 0 = 4. (III) Από την (11) παίρνουµε ότι u v = ( 5) = 0. (IV) Από την (11) παίρνουµε ότι u v = ( ) ( 4) = 0. (ϐ) Αν τα u και v είναι µη µηδενικά διανύσµατα στο -διάστατο χώρο ή στον 3-διάστατο χώρο, τότε το συνηµίτονο της γωνίας θ µεταξύ των u και v είναι ίσο µε (I) Από το (α)(i) cos θ = u v u v. (1) u v = 11.

78 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Από τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στο -διάστατο χώρο u = + 3 = 13 και v = 5 + ( 7) = 74. Άρα από την (1) παίρνουµε ότι cos θ = 11 = (II) Από το (α)(ii) u v = 4. Από τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στο -διάστατο χώρο u = ( 6) + ( ) = 40 = 10 και v = = 16 = 4. Άρα από την (1) παίρνουµε ότι (III) Από το (α)(iii) cos θ = = u v = 0. Άρα από την (1) παίρνουµε ότι (IV) Από το (α)(iv) cos θ = 0 u v = 0. u v = 0. Άρα από την (1) παίρνουµε ότι cos θ = 0 u v = 0. (γ) Αν τα u και v είναι διανύσµατα στο -διάστατο χώρο ή στον 3-διάστατο χώρο, τότε για τη γωνία θ µεταξύ των u και v έχουµε ότι θ οξεία αν και µόνο αν u v > 0 θ αµβλεία αν και µόνο αν u v < 0 θ = π/ αν και µόνο αν u v = 0 (13)

79 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 63 (I) Από την (11) παίρνουµε ότι u v = ( 3) = 0. Άρα από την (13) παίρνουµε ότι τα u και v είναι ορθογώνια. (II) Από την (11) παίρνουµε ότι u v = ( 1) 1 = 1 < 0. Άρα από την (13) παίρνουµε ότι η γωνία θ µεταξύ των u και v είναι αµβλεία. (III) Από την (11) παίρνουµε ότι u v = ( 6) = 6 > 0. Άρα από την (13) παίρνουµε ότι η γωνία θ µεταξύ των u και v είναι οξεία. (IV) Από την (11) παίρνουµε ότι u v = ( 8) 7 = 34 < 0. Άρα από την (13) παίρνουµε ότι γωνία θ µεταξύ των u και v είναι αµβλεία. 10. (α) Να ϐρεθεί η ορθογώνια προβολή του u στο a και η συνιστώσα του u κάθετα στο a αν (I) u = (6, ), a = (3, 9) (II) u = ( 1, ), a = (, 3) (III) u = (3, 1, 7), a = (1, 0, 5) (IV) u = (1, 0, 0), a = (4, 3, 8) (ϐ) Να ϐρεθεί η proj a u αν (I) u = (1, ), a = ( 4, 3) (II) u = (5, 6), a = (, 1) (III) u = (3, 0, 4), a = (, 3, 3) (IV) u = (3,, 6), a = (1,, 7) (α) Η ορθογωνια προβολή του u στο a είναι ίση µε Η συνιστώσα του u κάθετα στο a είναι ίση µε proj a u = u a a. (14) a u proj a u (15) (I) Από την (10) παίρνουµε ότι u a = ( 9) = 0.

80 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Εποµένως από την (14) και τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων παίρνουµε ότι η ορθογωνια προβολή του u στο a είναι ίση µε proj a u = 0 (3, 9) = 0(3, 9) = 0. (3, 9) Από την (15), την προηγούµενη ισότητα και τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων παίρνουµε ότι η συνιστώσα του u κάθετα στο a είναι ίση µε u proj a u = (6, ) 0 = (6, ) = u. (II) Από την (10) παίρνουµε ότι u a = ( 1) ( ) + ( ) 3 = 4. Από τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στο -διάστατο χώρο παίρνουµε ότι a = ( ) + 3 = 13. Εποµένως από την (14) παίρνουµε ότι proj a u = ( 4 ) (, 3) = (, 3) = ( ) 8 13, Από την (15) και την προηγούµενη ισότητα παίρνουµε ότι η συνιστώσα του u κάθετα στο a είναι ίση µε ( ) ( 8 u proj a u = ( 1, ) 13, 1 = 1 ) 13 13, (III) Από την (11) παίρνουµε ότι u a = ( 7) 5 = 3. Από τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι a = = 6. Εποµένως από την (14) παίρνουµε ότι proj a u = ( 3 ) (1, 0, 5) = ( (1, 0, 5) = 16, 0, Από την (15) και την προηγούµενη ισότητα παίρνουµε ότι η συνιστώσα του u κάθετα στο a είναι ίση µε ( u proj a u = (3, 1, 7) 16 ), 0, = ). ( ) 55, 1,

81 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 65 (IV) Από την (11) παίρνουµε ότι u a = = 4. Από τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι a = = 89. Εποµένως από την (14) παίρνουµε ότι proj a u = 4 ( ) (4, 3, 8) = 4 ( (4, 3, 8) = 89, 1 89, 3 ). 89 Από την (15) και την προηγούµενη ισότητα παίρνουµε ότι η συνιστώσα του u κάθετα στο a είναι ίση µε ( 16 u proj a u = (1, 0, 0) 89, 1 89, 3 ) ( ) 73 = 89 89, 1 89, (ϐ) Η νόρµα της ορθογώνιας προβολής του u στο a είναι ίση µε (I) Από την (10) παίρνουµε ότι proj a u = u a a. (16) u a = 1 ( 4) + ( ) ( 3) =. Από τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στο -διάστατο χώρο a = ( 4) + ( 3) = 5 = 5. Εποµένως από την (16) παίρνουµε ότι (II) Από την (10) παίρνουµε ότι proj a u = 5 = 5. u a = ( 1) = 4. Από τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στο -διάστατο χώρο a = + ( 1) = 5. Εποµένως από την (16) παίρνουµε ότι proj a u = 4 5 = 4 5.

82 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ (III) Από την (11) παίρνουµε ότι u a = = 18. Από τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι a = =. Εποµένως από την (16) παίρνουµε ότι proj a u = 18 = 18. (IV) Από την (11) παίρνουµε ότι u a = ( ) + 6 ( 7) = 43. Από τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι a = ( 7) = 55. Εποµένως από την (16) παίρνουµε ότι proj a u = = (α) Να ϐρεθούν τα συνηµίτονα των γωνιών του τριγώνου µε κορυφές A(0, 1), B(1, ) και C(4, 1). (ϐ) είξτε ότι τα A(3, 0, ), B(4, 3, 0) και C(8, 1, 1) είναι κορυφές ενός ορθογωνίου τριγώνου. Σε ποια κορυφή ϐρίσκεται η ορθή γωνία ; (α) Οι πλευρές της γωνίας ÂBC είναι τα διανύσµατα AB και BC. Εποµένως από τη (1) AB BC cos(âbc) =. AB BC Οι πλευρές της γωνίας BCA είναι τα διανύσµατα BC και CA. Εποµένως από τη (1) cos( BCA) = BC CA. BC CA Οι πλευρές της γωνίας ĈAB είναι τα διανύσµατα CA και AB. Εποµένως από τη (1) cos(ĉab) = CA AB CA. AB Εχουµε ότι AB = (1 0, ( 1)) = (1, 1),

83 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 67 BC = (4 1, 1 ( )) = (3, 3), CA = (4 0, 1 ( 1)) = (4, ). Από την (10) παίρνουµε ότι AB BC = ( 1) 3 = 0, BC CA = = 18, CA AB = ( 1) =. Από τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στο -διάστατο χώρο παίρνουµε ότι AB = 1 + ( 1) =, BC = = 18 = 3, CA = 4 + = 0 = 5. Άρα 0 cos(âbc) = = 0, AB BC cos( BCA) = cos(ĉab) = = 3, 10 5 = (ϐ) Οι πλευρές της γωνίας ÂBC είναι τα διανύσµατα AB και BC. Εποµένως από την (1) Εχουµε ότι και cos(âbc) = AB BC. AB BC AB = (4 3, 3 0, 0 ) = (1, 3, ) BC = (8 4, 1 3, 1 0) = (4,, 1). Από την (11) παίρνουµε ότι AB BC = ( ) + ( ) ( 1) = 0. Από όσα είπαµε παίρνουµε ότι 0 cos(âbc) = = 0 AB BC

84 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ και άρα η γωνία ÂBC είναι ορθή. Εποµένως το τρίγωνο µε κορυφές A, B, C είναι ορθογώνιο και η ορθή γωνία αντιστοιχεί στην κορυφή B. 1. Εστω p = (, k) και q = (3, 5). Να ϐρεθεί k τέτοιο ώστε (α) Τα p και q να είναι παράλληλα. (ϐ) Τα p και q να είναι ορθογώνια. (γ) Η γωνία µεταξύ των p και q να είναι π 3. (δ) Η γωνία µεταξύ των p και q να είναι π 4. Εστω θ η γωνία µεταξύ των p και q. Από την (1) cos(θ) = p q p q. Από την (10) παίρνουµε ότι p q = 3 + k 5 = 6 + 5k. (17) Από τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στο -διάστατο χώρο παίρνουµε ότι p = + k = 4 + k και q = = 34. Εποµένως cos(θ) = 6 + 5k 4 + k 34 = 6 + 5k. (18) k (α) 1ος τρόπος : Εχουµε ότι τα p και q είναι παράλληλα cos(θ) = cos(0) ή cos(θ) = cos(π) cos(θ) = ± k = ±1 από την (18) k 6 + 5k = ± k (6 + 5k) = k 9k + 60k 100 = 0 k = 10 3.

85 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 69 ος τρόπος : Εχουµε ότι τα p και q είναι παράλληλα p = λq, για κάποιο λ στο R (, k) = λ(3, 5), για κάποιο λ στο R (, k) = (3λ, 5λ), για κάποιο λ στο R { = 3λ k = 5λ, για κάποιο λ στο R λ = 3 k = k = 5λ (ϐ) 1ος τρόπος : Εχουµε ότι ( π ) τα p και q είναι ορθογώνια cos(θ) = cos cos(θ) = k = 0 από την (18) k 6 + 5k = 0 k = 6 5. ος τρόπος : Εχουµε ότι τα p και q είναι ορθογώνια p q = k = 0 από την (17) k = 6 5. (γ) Εχουµε ότι η γωνία µεταξύ των p και q είναι π 3 ( π ) cos(θ) = cos 3 cos(θ) = 1

86 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ 6 + 5k k = 1 από την (18) k = k (1 + 10k) = k και k 0 33k + 10k + 4 = 0 και k 0 k = 60 ± και k 0 k = (δ) Εχουµε ότι η γωνία µεταξύ των p και q είναι π 4 ( π ) cos(θ) = cos 4 cos(θ) = 6 + 5k = k k = k (1 + 10k) = k και k 0 33k + 10k + 4 = 0 και k 0 k = 15 ± 89 4 και k 0 k = 1 ή k = 8 και k 0 από την (18) k = 1.

87 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Υπολογίστε την απόσταση του σηµείου P από την ευθεία l αν (α) P ( 3, 1), l : 4x + 3y + 4 = 0 (ϐ) P (, 5), l : y = 4x + (γ) P (1, 8), l : 3x + y = 5 Η απόσταση D του σηµείου P 0 (x 0, y 0 ) του -διάστατου χώρου από την ευθεία l : ax + by + c = 0 του -διάστατου χώρου είναι ίση µε D = ax 0 + by 0 + c a + b. (19) (α) Από την (19) η απόσταση του σηµείου P ( 3, 1) από την ευθεία l : 4x + 3y + 4 = 0 είναι D = 4 ( 3) = 5 5 = 1. (ϐ) Η εξίσωση της l γράφεται 4x y + = 0. Από την (19) η απόσταση του σηµείου P (, 5) από την ευθεία l : 4x y + = 0 είναι D = ( 4) ( 5) + ( 4) + ( 1) = 1 17 = (γ) Η εξίσωση της l γράφεται 3x + y 5 = 0. Από την (19) η απόσταση του σηµείου P (1, 8) από την ευθεία l : 3x + y 5 = 0 είναι D = = 6 10 = Αν τα u, v και w είναι διανύσµατα στο -διάστατο ή στον 3-διάστατο χώρο, τότε αποδείξτε τα παρακάτω (α) (u + v) w = u w + v w (ϐ) u (v w) = u v u w (γ) ( u) v = (u v) (δ) u v = 1 4 u + v 1 4 u v (α) Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου στο -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι (u + v) w = w (u + v) x y = y x = w u + w v x (y + z) = x y + x z = u w + v w. x y = y x

88 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ (ϐ) Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου και τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων στο -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u (v w) = u (v + ( w)) x y = x + ( y) = u v + u ( w) x (y + z) = x y + x z = u v + u (( 1)w) x = ( 1)x = u v + ( 1)(u w) x (λy) = λ(x y) = u v + ( u w) ιδιότητες πράξεων αριθµών = u v u w. ιδιότητες πράξεων αριθµών (γ) Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου και τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων στο -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι ( u) v = v ( u) x y = y x = v (( 1)u) x = ( 1)x = ( 1)(v u) x (λy) = λ(x y) = v u. ιδιότητες πράξεων αριθµών (δ) Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου στο -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι 1 4 u + v 1 4 u v = = 1 ( u + v u v ) 4 = 1 4 ((u + v) (u + v) (u v) (u v)) x = x x = 1 4 = 1 4 ((u + v) u + (u + v) v (u v) (u v)) x (y + z) = x y + x z (u u + v u + u v + v v (u v) (u v)) (x + y) z = x z + y z

89 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 73 = 1 4 = 1 4 = 1 4 = 1 4 = 1 4 (u u + v u + u v + v v ((u v) u (u v) v)) x (y z) = x y x z (u u + v u + u v + v v (u v) u + (u v) v) (u u + v u + u v + v v (u u v u) + u v v v) (x y) z = x z y z (u u + v u + u v + v v u u + v u + u v v v) (v u + u v) = 1 4 4u v x y = y x = u v. 15. (α) Εστω u = (3,, 1), v = (0,, 3) και w = (, 6, 7). Να υπολογιστούν τα παρακάτω (I) v w (II) u (v w) (III) (u v) w (IV) (u v) (v w) (V) u (v w) (VI) (u v) w (ϐ) Να ϐρεθεί ένα διάνυσµα κάθετο στα u και v αν (I) u = ( 6, 4, ), v = (3, 1, 5) (II) u = (, 1, 5), v = (3, 0, 3) (α) Αν τα u = (u 1, u, u 3 ) και v = (v 1, v, v 3 ) είναι διανύσµατα στον 3-διάστατο χώρο, τότε το εξωτερικό τους γινόµενο u v είναι το διάνυσµα ( u u v = u 3 v v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 1 u v 1 v ) (0) ή συµβολικά µε τη µορφή µίας 3 3 ορίζουσας i j k u v = u 1 u u 3 v 1 v v 3. (1) (I) Από την (0) και τον ορισµό της ορίζουσας πίνακα παίρνουµε ότι v w = (0,, 3) (, 6, 7) = ( ) 3 6 7, 0 3 7, 0 6 = (3, 6, 4). (II) Από την (0) και τον ορισµό της ορίζουσας πίνακα παίρνουµε ότι u (v w) = (3,, 1) (3, 6, 4) από την (I) ( ) 1 = 6 4, , = ( 14, 0, 8).

90 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ (III) Από την (1) και όσα ξέρουµε για τις ορίζουσες και για τις πράξεις διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u v = (3,, 1) (0,, 3) = i j k = 1 3 i j ανάπτυγµα συµπαρα- k γόντων ως προς την 1η γραµµή = ( 4)i ( 9)j + 6k ορισµός ορίζουσας πίνακα = ( 4)(1, 0, 0) ( 9)(0, 1, 0) + 6(0, 0, 1) = ( 4, 9, 6). Από αυτό που µόλις ϐρήκαµε, την (1) και όσα ξέρουµε για τις ορίζουσες και για τις πράξεις διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι (u v) w = ( 4, 9, 6) (, 6, 7) = i j k = i j ανάπτυγµα συµπαρα- k γόντων ως προς την 1η γραµµή = 7i ( 40)j + ( 4)k ορισµός ορίζουσας πίνακα = 7(1, 0, 0) ( 40)(0, 1, 0) + ( 4)(0, 0, 1) = (7, 40, 4). (IV) Από την (1) και όσα ξέρουµε για τις ορίζουσες και για τις πράξεις διανυσµάτων

91 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 75 στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι (u v) (v w) = ( 4, 9, 6) (3, 6, 4) από τις (III) και (I) = i j k = i j ανάπτυγµα συµπαρα- k γόντων ως προς την 1η γραµµή = 0i ( 176)j + ( 64)k ορισµός ορίζουσας πίνακα = 0(1, 0, 0) ( 176)(0, 1, 0) + ( 64)(0, 0, 1) = (0, 176, 64). (V) 1ος τρόπος : Από την (0), τον ορισµό της ορίζουσας πίνακα και όσα ξέρουµε για τις πράξεις διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u (v w) = (3,, 1) ((0,, 3) (, 6, 7)) = (3,, 1) ((0,, 3) (, 6, 7)) = (3,, 1) ((0,, 3) (4, 1, 14)) = (3,, 1) (0 4, 1, 3 14) = (3,, 1) ( 4, 10, 17) ( 1 = 10 17, = ( 44, 55, )., ) ος τρόπος : Από τις ιδιότητες του εξωτερικού γινοµένου παίρνουµε ότι u (v w) = u v u (w) x (y z) = x y x z = u v (u w). x (λy) = λ(x y). Από την (0) και τον ορισµό της ορίζουσας πίνακα παίρνουµε ότι u w = (3,, 1) (, 6, 7) = ( 1 6 7, = (0, 3, 14)., 3 6 ) Από όσα είπαµε, την (III) και όσα ξέρουµε για τις πράξεις διανυσµάτων στον 3-διάστατο

92 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ χώρο παίρνουµε ότι u (v w) = u v (u w) = ( 4, 9, 6) (0, 3, 14) = ( 4, 9, 6) ( 0, ( 3), 14) = ( 4, 9, 6) (40, 46, 8) = ( 4 40, 9 ( 46), 6 8) = ( 44, 55, ). (VI) Από όσα ξέρουµε για τις πράξεις διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι (u v) w = ( 4, 9, 6) (, 6, 7) από την (III) = ( 4, 9, 6) (, 6, 7) = ( 4, 9, 6) (4, 1, 14) = ( 4 4, 9 1, 6 14) = ( 8, 3, 8). (ϐ) Αν τα u και v είναι διανύσµατα στον 3-διάστατο χώρο, τότε το εξωτερικό τους γινόµενο u v είναι κάθετο στα u και v. (I) Από την (0) και τον ορισµό της ορίζουσας πίνακα παίρνουµε ότι u v = ( 6, 4, ) (3, 1, 5) = ( 4 1 5, = (18, 36, 18)., ) Εποµένως ένα διάνυσµα κάθετο στα u = ( 6, 4, ) και v = (3, 1, 5) είναι το u v = (18, 36, 18). (II) Από την (1) και όσα ξέρουµε για τις ορίζουσες και για τις πράξεις διανυσµάτων

93 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 77 στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u v = (, 1, 5) (3, 0, 3) = i j k = i j ανάπτυγµα συµπαρα- k γόντων ως προς την 1η γραµµή = ( 3)i ( 9)j + ( 3)k ορισµός ορίζουσας πίνακα = ( 3)(1, 0, 0) ( 9)(0, 1, 0) + ( 3)(0, 0, 1) = ( 3, 9, 3). Εποµένως ένα διάνυσµα κάθετο στα u = (, 1, 5) και v = (3, 0, 3) είναι το u v = ( 3, 9, 3). 16. (α) Να ϐρεθεί το εµβαδόν του παραλληλογράµµου που ορίζεται από τα u και v αν (I) u = (1, 1, ), v = (0, 3, 1) (II) u = (, 3, 0), v = ( 1,, ) (ϐ) Να ϐρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου µε κορυφές P, Q και R αν (I) P (, 6, 1), Q(1, 1, 1), R(4, 6, ) (I) P (1, 1, ), Q(0, 3, 4), R(6, 1, 8) (α) Αν τα u και v είναι διανύσµατα στον 3-διάστατο χώρο, τότε το εµβαδόν του παραλληλογράµµου που ορίζεται από τα u και v είναι A = u v. () (I) Από την (0) και τον ορισµό της ορίζουσας πίνακα παίρνουµε ότι u v = (1, 1, ) (0, 3, 1) = ( 1 3 1, = ( 7, 1, 3)., ) Από τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u v = ( 7, 1, 3) = ( 7) + ( 1) + 3 = 59.

94 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Άρα, από την (), το εµβαδόν του παραλληλογράµµου που ορίζεται από τα u = (1, 1, ) και v = (0, 3, 1) είναι A = 59. (II) Από την (1) και όσα ξέρουµε για τις ορίζουσες και για τις πράξεις διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u v = (, 3, 0) ( 1,, ) = i j k = 3 0 i 0 1 j ανάπτυγµα συµπαρα- k γόντων ως προς την 1η γραµµή = ( 6)i ( 4)j + 7k ορισµός ορίζουσας πίνακα = ( 6)(1, 0, 0) ( 4)(0, 1, 0) + 7(0, 0, 1) = ( 6, 4, 7). Από τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι u v = ( 6, 4, 7) = ( 6) = 101. Άρα, από την (), το εµβαδόν του παραλληλογράµµου που ορίζεται από τα u = (, 3, 0) και v = ( 1,, ) είναι A = 101. (ϐ) Αν τα P, Q και R είναι σηµεία στον 3-διάστατο χώρο, τότε το εµβαδόν του τριγώνου µε κορυφές P, Q και R είναι A = 1 P Q P R. (3) (I) Εχουµε ότι P Q = (1, 1 6, 1 ( 1)) = ( 1, 5, ) και P R = (4, 6 6, ( 1)) = (, 0, 3).

95 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 79 Από την (0) και τον ορισµό της ορίζουσας πίνακα παίρνουµε ότι P Q P R = ( 1, 5, ) (, 0, 3) = ( 5 0 3, 1 3 = ( 15, 7, 10). ), Από τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι P Q P R = ( 15, 7, 10) = ( 15) = 374. Άρα, από την (3), το εµβαδόν του τριγώνου µε κορυφές P (, 6, 1), Q(1, 1, 1) και R(4, 6, ) είναι A = (II) Εχουµε ότι και P Q = (0 1, 3 ( 1), 4 ) = ( 1, 4, ) P R = (6 1, 1 ( 1), 8 ) = (5,, 6). Από την (1) και όσα ξέρουµε για τις ορίζουσες και για τις πράξεις διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι P Q P R = ( 1, 4, ) (5,, 6) = i j k = 4 6 i j ανάπτυγµα συµπαρα- k γόντων ως προς την 1η γραµµή = 0i ( 16)j + ( )k ορισµός ορίζουσας πίνακα = 0(1, 0, 0) ( 16)(0, 1, 0) + ( )(0, 0, 1) = (0, 16, ). Από τον ορισµό της νόρµας διανύσµατος στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι P Q P R = (0, 16, ) = ( ) = 1140.

96 80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Άρα, από την (3), το εµβαδόν του τριγώνου µε κορυφές P (1, 1, ), Q(0, 3, 4) και R(6, 1, 8) είναι A = = Εστω u (v w) = 3. Να υπολογιστούν τα (α) u (w v) (ϐ) (v w) u (γ) w (u v) (δ) v (u w) (ε) (u w) v (στ) v (w w) (α) Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού και του εξωτερικού γινοµένου παίρνουµε ότι u (w v) = u ( (v w)) y x = (x y) = (u (v w)) x ( y) = (x y) = 3. από την υπόθεση (ϐ) Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου παίρνουµε ότι (v w) u = u (v w) x y = y x = 3. από την υπόθεση (γ) Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του µικτού γινοµένου παίρνουµε ότι w (u v) = u (v w) z (x y) = x (y z) = 3. από την υπόθεση (δ) Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού, του εξωτερικού και του µικτού γινοµένου παίρνουµε ότι v (u w) = v ( (w u)) y x = (x y) = (v (w u)) x ( y) = (x y) = (u (v w)) y (z x) = x (y z) = 3. από την υπόθεση (ε) Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου παίρνουµε ότι (u w) v = v (u w) x y = y x = 3. από το (δ) (στ) Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού και του εξωτερικού γινοµένου παίρνουµε ότι v (w w) = v 0 x x = 0 = 0. x 0 = 0

97 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ (α) Να ϐρεθεί ο όγκος του παραλληλεπιπέδου µε ακµές u, v και w αν (I) u = (, 6, ), v = (0, 4, ), w = (,, 4) (II) u = (3, 1, ), v = (4, 5, 1), w = (1,, 4) (ϐ) Εξετάστε αν τα u, v και w ανήκουν στο ίδιο επίπεδο αν τα τοποθετήσουµε έτσι ώστε τα αρχικά τους σηµεία να ταυτίζονται αν (I) u = ( 1,, 1), v = (3, 0, ), w = (5, 4, 0) (II) u = (5,, 1), v = (4, 1, 1), w = (1, 1, 0) (III) u = (4, 8, 1), v = (, 1, ), w = (3, 4, 1) Αν τα u = (u 1, u, u 3 ), v = (v 1, v, v 3 ) και w = (w 1, w, w 3 ) είναι διανύσµατα στον 3-διάστατο χώρο, τότε το µικτό γινόµενο των u, v και w είναι ίσο µε u 1 u u 3 u (v w) = v 1 v v 3 w 1 w w 3 (4) (α) Αν τα u, v και w είναι διανύσµατα στον 3-διάστατο χώρο, τότε ο όγκος του παραλληλεπιπέδου µε ακµές u, v και w είναι ίσος µε V = u (v w). (5) (I) Από την (4) και τον ορισµό της ορίζουσας ενός 3 3 πίνακα παίρνουµε ότι 6 u (v w) = = 4 ( 4) + ( 6) ( ) ( ) ( 6) 0 ( 4) = ( 3) ( 8) 0 = 16. Από την (4) παίρνουµε ότι ο όγκος του παραλληλεπιπέδου µε ακµές u = (, 6, ), v = (0, 4, ) και w = (,, 4) είναι ίσος µε V = 16 = 16. (II) Από την (4) και τον ορισµό της ορίζουσας ενός 3 3 πίνακα παίρνουµε ότι 3 1 u (v w) = = = = 45. Από την (4) παίρνουµε ότι ο όγκος του παραλληλεπιπέδου µε ακµές u = (3, 1, ), v = (4, 5, 1) και w = (1,, 4) είναι ίσος µε V = 45 = 45.

98 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ (ϐ) Αν τα διανύσµατα του 3-διάστατου χώρου u, v και w τοποθετηθούν έτσι ώστε τα αρχικά τους σηµεία να ταυτίζονται, τότε τα u, v και w ανήκουν στο ίδιο επίπεδο αν και µόνο αν u (v w) = 0. (I) Από την (4) και τον ορισµό της ορίζουσας ενός 3 3 πίνακα παίρνουµε ότι 1 1 u (v w) = = ( 1) ( ) ( ) 5 + ( 1) 3 ( 4) ( 1) 0 5 ( 1) ( ) ( 4) ( ) 3 0 = ( 8) 0 = 40. Εφόσον u (v w) 0, αν τα u = ( 1,, 1), v = (3, 0, ) και w = (5, 4, 0) τοποθετηθούν έτσι ώστε τα αρχικά τους σηµεία να ταυτίζονται, τότε δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. (II) Από την (4) και τον ορισµό της ορίζουσας ενός 3 3 πίνακα παίρνουµε ότι 5 1 u (v w) = = 5 ( 1) 0 + ( ) ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( ) 4 0 = 0 + ( ) + ( 4) ( 1) ( 5) 0 = 0. Εφόσον u (v w) = 0, αν τα u = (5,, 1), v = (4, 1, 1) και w = (1, 1, 0) τοποθετηθούν έτσι ώστε τα αρχικά τους σηµεία να ταυτίζονται, τότε ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. (III) Από την (4) και τον ορισµό της ορίζουσας ενός 3 3 πίνακα παίρνουµε ότι u (v w) = = ( 8) ( ) ( 4) ( ) ( 4) ( 8) 1 = ( 8) 3 3 ( 19) = 45. Εφόσον u (v w) = 0, αν τα u = (4, 8, 1), v = (, 1, ) και w = (3, 4, 1) τοποθετηθούν έτσι ώστε τα αρχικά τους σηµεία να ταυτίζονται, τότε ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. 19. Να ϐρεθεί ένα διάνυσµα n κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα σηµεία A(0,, 1), B(1, 1, ) και C( 1, 1, 0). Προφανώς ένα διάνυσµα είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα σηµεία A(0,, 1), B(1, 1, ) και C( 1, 1, 0) αν και µόνο αν είναι κάθετο στα διανύσµατα AB και

99 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 83 AC. Το εξωτερικό γινόµενο AB AC είναι κάθετο στα διανύσµατα AB και AC. Εχουµε ότι και AB = (1 0, 1 ( ), 1) = (1, 1, 3) AC = ( 1 0, 1 ( ), 0 1) = ( 1, 3, 1). Από την (1) και όσα ξέρουµε για τις ορίζουσες και για τις πράξεις διανυσµάτων στον 3-διάστατο χώρο παίρνουµε ότι AB AC = (1, 1, 3) ( 1, 3, 1) = i j k = i j ανάπτυγµα συµπαρα- k γόντων ως προς την 1η γραµµή = 8i ( 4)j + 4k ορισµός ορίζουσας πίνακα = 8(1, 0, 0) ( 4)(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1) = (8, 4, 4). Από όσα είπαµε ένα διάνυσµα κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα σηµεία A(0,, 1), B(1, 1, ) και C( 1, 1, 0) είναι το n = (8, 4, 4). 0. Αποδείξτε ότι αν θ είναι η γωνία που σχηµατίζουν τα διανύσµατα του 3-διάστατου χώρου u και v και u v 0, τότε tan θ = u v u v. Γνωρίζουµε ότι αν u και v είναι διανύσµατα του 3-διάστατου χώρου και θ είναι η γωνία που σχηµατίζουν τα u και v, τότε u v = u v sin θ (6) και u v = u v cos θ. (7) Εφόσον u v 0, το u v u v

100 84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ ορίζεται. Εχουµε u v u v = u v sin θ u v από την (6) = u v sin θ u v cos θ από την (7) = sin θ cos θ = tan θ. sin θ cos θ = tan θ 1. Αν τα u, v και w είναι διανύσµατα στον 3-διάστατο χώρο και το λ είναι ένα ϐαθµωτό, τότε αποδείξτε τα παρακάτω (α) (u + v) w = (u w) + (v w) (ϐ) (λu) v = λ(u v) (γ) u 0 = 0 (δ) (u + λv) v = u v (α) Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του εξωτερικού γινοµένου και τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων παίρνουµε ότι (u + v) w = (w (u + v)) y x = (x y) = (w u + w v) x (y + z) = x y + x z = ( (w u)) + ( (w v)) (x + y) = ( x) + ( y) = u w + v w. (x y) = y x (ϐ) Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του εξωτερικού γινοµένου και τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων παίρνουµε ότι (λu) v = (v (λu)) y x = (x y) = (λ(v u)) x (λy) = λ(x y) = λ( (v u)) (λx) = λ( x) = λ(v u). (x y) = y x (γ) Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του εξωτερικού γινοµένου και τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων παίρνουµε ότι u 0 = u (00) 0 = 0x = 0(u 0) x (λy) = λ(x y) = 0. 0x = 0

101 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 85 (δ) Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του εξωτερικού γινοµένου και τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων παίρνουµε ότι (u + λv) v = u v + (λv) v από το (α) = u v + λ(v v) από το (ϐ) = u v + λ0 x x = 0 = u v + 0 λ0 = 0 = u v. x + 0 = x. Αποδείξτε ότι αν τα x, y και z είναι διανύσµατα στον 3-διάστατο χώρο, τότε x (y z) = (x z)y (x y)z. Υπόδειξη : Πρώτα αποδείξτε το αποτέλεσµα για z = i = (1, 0, 0), µετά για z = j = (0, 1, 0) και µετά για z = k = (0, 0, 1). Συνδύαζοντας αυτά που ήδη αποδείξατε, αποδείξτε το για ένα τυχαίο διάνυσµα z = (z 1, z, z 3 ), γράφοντας το z στη µορφή z = z 1 i + z j + z 3 k. Εστω x = (x 1, x, x 3 ), y = (y 1, y, y 3 ). Από την (0) και τον ορισµό της ορίζουσας πίνακα y i = (y 1, y, y 3 ) (1, 0, 0) = ( y y 3 0 0, y 1 y 3 1 0, y 1 y 1 0 ) = (0, y 3, y ) και x (y i) = (x 1, x, x 3 ) (0, y 3, y ) = ( x x 3 y 3 y, x 1 x 3 0 y, x 1 x 0 y 3 ) = ( x y x 3 y 3, x 1 y, x 1 y 3 ). Από την (11) και όσα ξέρουµε για τις πράξεις διανυσµάτων (x i)y (x y)i = ((x 1, x, x 3 ) (1, 0, 0))y ((x 1, x, x 3 ) (y 1, y, y 3 ))i = (x x 0 + x 3 0)y (x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 )i = x 1 y (x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 )i = x 1 (y 1, y, y 3 ) (x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 )(1, 0, 0) = (x 1 y 1, x 1 y, x 1 y 3 ) (x 1 y 1 + x y + x 3 y 3, 0, 0) = (x 1 y 1 (x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 ), x 1 y 0, x 1 y 3 0) = ( x y x 3 y 3, x 1 y, x 1 y 3 ). Εποµένως x (y i) = (x i)y (x y)i.

102 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Από την (0) και τον ορισµό της ορίζουσας πίνακα y j = (y 1, y, y 3 ) (0, 1, 0) = ( y y 3 1 0, y 1 y 3 0 0, y 1 y 0 1 ) = ( y 3, 0, y 1 ) και x (y j) = (x 1, x, x 3 ) ( y 3, 0, y 1 ) = ( x x 3 0 y 1, x 1 x 3 y 3 y 1, x 1 x y 3 0 ) = (x y 1, x 1 y 1 x 3 y 3, x y 3 ). Από την (11) και όσα ξέρουµε για τις πράξεις διανυσµάτων (x j)y (x y)j = ((x 1, x, x 3 ) (0, 1, 0))y ((x 1, x, x 3 ) (y 1, y, y 3 ))j = (x x 1 + x 3 0)y (x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 )j = x y (x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 )j = x (y 1, y, y 3 ) (x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 )(0, 1, 0) = (x y 1, x y, x y 3 ) (0, x 1 y 1 + x y + x 3 y 3, 0) = (x y 1 0, x y (x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 ), x y 3 0) = (x y 1, x 1 y 1 x 3 y 3, x y 3 ). Εποµένως x (y j) = (x j)y (x y)j. Από την (0) και τον ορισµό της ορίζουσας πίνακα y k = (y 1, y, y 3 ) (0, 0, 1) = ( y y 3 0 1, y 1 y 3 0 1, y 1 y 0 0 ) = (y, y 1, 0) και x (y k) = (x 1, x, x 3 ) (y, y 1, 0) ( x = x 3 y 1 0, x 1 x 3 y 0, x 1 x y y 1 ) = ( x 3 y 1, x 3 y, x 1 y 1 x y ). Από την (11) και όσα ξέρουµε για τις πράξεις διανυσµάτων (x k)y (x y)k = ((x 1, x, x 3 ) (0, 0, 1))y ((x 1, x, x 3 ) (y 1, y, y 3 ))k = (x x 0 + x 3 1)y (x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 )k = x 3 y (x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 )k = x 3 (y 1, y, y 3 ) (x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 )(0, 0, 1) = (x 3 y 1, x 3 y, x 3 y 3 ) (0, x 1 y 1 + x y + x 3 y 3, 0) = (x 3 y 1 0, x 3 y 0, x 3 y 3 (x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 )) = (x 3 y 1, x 3 y, x 1 y 1 x y ).

103 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 87 Εποµένως x (y k) = (x k)y (x y)k. Εστω z = (z 1, z, z 3 ) = z 1 i + z j + z 3 k. Από όσα είπαµε, τις ιδιότητες του εξωτρικού και του εσωτερικού γινοµένου και τις ιδιότητες των πράξεων διανυσµάτων παίρνουµε ότι x (y z) = x (y (z 1 i + z j + z 3 k)) = x (y (z 1 i) + y (z j) + y (z 3 k))) u (v 1 +v +...+v n ) = u v 1 +u v +...+u v n = x (z 1 (y i) + z (y j) + z 3 (y k))) u (λv) = λ(u v) = x (z 1 (y i)) + x (z (y j)) + x (z 3 (y k))) u (v 1 +v +...+v n ) = u v 1 +u v +...+u v n = z 1 (x (y i)) + z (x (y j)) + z 3 (x (y k))) u (λv) = λ(u v) = z 1 ((x i)y (x y)i) + z ((x j)y (x y)j) + z 3 ((x k)y (x y)k) = (z 1 (x i) + z (x j) + z 3 (x k))y (x y)(z 1 i + z j + z 3 k) ιδιότητες πράξεων διανυσµάτων = (x (z 1 i) + x (z j) + x (z 3 k))y (x y)(z 1 i + z j + z 3 k) u (λv) = λ(u v) = (x (z 1 i + z j + z 3 k))y (x y)(z 1 i + z j + z 3 k) u (v 1 + v v n ) = u v 1 + u v u v n = (x z)y (x y)z. 3. (α) Να ϐρεθεί η εξίσωση σηµείου-καθέτου του επιπέδου που διέρχεται από το σηµείο P και είναι κάθετο στο διάνυσµα n αν (I) P ( 1, 3, ), n = (, 1, 1) (II) P (, 0, 0), n = (0, 0, ) (ϐ) Να γραφτεί η γενική µορφή των εξισώσεων των επιπέδων του (α). (γ) Να ϐρεθεί µία εξίσωση σηµείου-καθέτου του επιπέδου µε εξίσωση (I) 3x + 7y + z = 10 (II) x 4z = 0

104 88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ (α) Η εξίσωση σηµείου-καθέτου του επιπέδου που διέρχεται από το σηµείο P 0 (x 0, y 0, z 0 ) και είναι κάθετο στο µη µηδενικό διάνυσµα n = (a, b, c) είναι a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0. (8) (I) Από την (8) η εξίσωση σηµείου-καθέτου του επιπέδου που διέρχεται από το σηµείο P ( 1, 3, ) και είναι κάθετο στο µη µηδενικό διάνυσµα n = (, 1, 1) είναι ( )(x ( 1)) + 1(y 3) + ( 1)(z ( )) = 0. (II) Από την (8) η εξίσωση σηµείου-καθέτου του επιπέδου που διέρχεται από το σηµείο P (, 0, 0) και είναι κάθετο στο µη µηδενικό διάνυσµα n = (0, 0, ) είναι 0(x ) + 0(y 0) + (z 0) = 0. (ϐ) Η γενική εξίσωση ενός επιπέδου είναι µία εξίσωση της µορφής ax + by + cz + d = 0, όπου τα a, b, c και d είναι σταθερές µε τις a, b, c όχι όλες ίσες µε µηδέν. (I) Η εξίσωση σηµείου-καθέτου του επιπέδου στο (α)(i) είναι ( )(x ( 1)) + 1(y 3) + ( 1)(z ( )) = 0. Αν κάνουµε πράξεις παίρνουµε ( )(x ( 1)) + 1(y 3) + ( 1)(z ( )) = 0 (x + 1) + (y 3) (z + ) = 0 x + y 3 z = 0 x + y z 7 = 0 και άρα η γενική εξίσωση του επιπέδου στο (α)(i) είναι x + y z 7 = 0. (II) Η εξίσωση σηµείου-καθέτου του επιπέδου στο (α)(ii) είναι 0(x ) + 0(y 0) + (z 0) = 0. Αν κάνουµε πράξεις παίρνουµε 0(x ) + 0(y 0) + (z 0) = 0 z = 0 z = 0 και άρα η γενική εξίσωση του επιπέδου στο (α)(ii) είναι z = 0.

105 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 89 (γ)(i) Αν κάνουµε πράξεις παίρνουµε 3x + 7y + z = 10 3x + 7y + z 10 = 0 3x 0 + 7y 0 + z 10 = 0 ( 3)(x 0) + 7(y 0) + (z 5) = 0 και άρα µία εξίσωση σηµείο-καθέτου του επιπέδου µε γενική εξίσωση 3x + 7y + z = 10 είναι η ( 3)(x 0) + 7(y 0) + (z 5) = 0. Σηµείωση : Η εξίσωση που ϐρήκαµε είναι µία από τις εξισώσεις σηµείου-καθέτου του επιπέδου µε γενική εξίσωση 3x + 7y + z = 10. Υπάρχουν και άπειρες άλλες. Για παράδειγµα, εφόσον 3x + 7y + z = 10 3x y + z = 0 3x ( 10 + ( 7y 0 + z 0 = 0 ( 3) x 10 )) + 7(y 0) + (z 0) = 0, 3 µία εξίσωση σηµείου-καθέτου του επιπέδου µε γενική εξίσωση 3x + 7y + z = 10 είναι η ( ( ( 3) x 10 )) + 7(y 0) + (z 0) = 0 3 και εφόσον 3x + 7y + z = 10 3x 3 + 7y 7 + z = 0 3x 3 + 7y 7 + z 0 = 0 ( 3) (x ( 1)) + 7(y 1) + (z 0) = 0, µία εξίσωση σηµείου-καθέτου του επιπέδου µε γενική εξίσωση 3x + 7y + z = 10 είναι η ( 3) (x ( 1)) + 7(y 1) + (z 0) = 0. (II) Αν κάνουµε πράξεις παίρνουµε x 4z = 0 x 0 4z 0 = 0 1(x 0) + 0(y 0) + ( 4)(z 0) = 0

106 90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ και άρα µία εξίσωση σηµείο-καθέτου του επιπέδου µε γενική εξίσωση x 4z = 0 είναι η 1(x 0) + 0(y 0) + ( 4)(z 0) = 0. Σηµείωση : Η εξίσωση που ϐρήκαµε είναι µία από τις εξισώσεις σηµείου-καθέτου του επιπέδου µε γενική εξίσωση x 4z = 0. Υπάρχουν και άπειρες άλλες. Για παράδειγµα, εφόσον x 4z = 0 x 1 4z + 1 = 0 1 (x 1) + 0(y 0) + ( 4) µία εξίσωση σηµείου-καθέτου του επιπέδου µε γενική εξίσωση ( z 1 ) = 0, 4 x 4z = 0 είναι η ( 1 (x 1) + 0(y 0) + ( 4) z 1 ) = 0 4 και εφόσον x 4z = 0 x + 4 4z 4 = 0 1 (x ( 4)) + 0(y 153) + ( 4)(z ( 1)) = 0, µία εξίσωση σηµείου-καθέτου του επιπέδου µε γενική εξίσωση x 4z = 0 είναι η 1 (x ( 4)) + 0(y 153) + ( 4)(z ( 1)) = Να ϐρεθεί µία εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σηµεία P, Q και R αν (α) P ( 4, 1, 1), Q(, 0, 1), R( 1,, 3) (ϐ) P (5, 4, 3), Q(4, 3, 1), R(1, 5, 4) (α) Εφόσον τα σηµεία P ( 4, 1, 1), Q(, 0, 1) και R( 1,, 3) ϐρίσκονται στο επίπεδο, οι συντεταγµένες τους πρέπει να ικανοποιούν τη γενική εξίσωση του επιπέδου ax + by + cz + d = 0. Εποµένως ϑα ισχύει 4a b c + d = 0 a + c + d = 0 a b 3c + d = 0. (9)

107 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 91 Λύνουµε το οµογενές σύστηµα (9). Ο πίνακας συντελεστών του συστήµατος αυτού είναι ο Με απαλοιφή Gauss-Jordan ϐρίσκουµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του πίνακα. συντελεστών : πολλαπλασιάζουµε την 1η γραµµή µε προσθέτουµε ϕο- ϱές την 1η γραµµή στη η και 1 ϕορά την 1η γραµµή στην 3η πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή µε προσθέτουµε 7 4 ϕο- ϱές τη η γραµµή στην 3η πολλαπλασιάζουµε την 3η γραµµή µε προσθέτουµε -3 ϕο- ϱές την 3η γραµµή στη η και 1 4 ϕο- ϱές την 3η γραµµή στην 1η προσθέτουµε 1 4 ϕορές τη η γραµ- µή στην 1η

108 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Το αντίστοιχο οµογενές σύστηµα είναι το a = 0 b d = 0 c + d = 0 Λύνουµε ώς προς τις ϐασικές µεταβλητές a, b και c και παίρνουµε a = 0 b = d c = d ίνοντας αυθαίρετες τιµές στην ελεύθερη µεταβλητή d παίρνουµε ότι η λύση του συστήµατος είναι η a = 0, b = t, c = t, d = t, t στο R... Για t = 1 παίρνουµε a = 0, b =, c = 1, d = 1 και άρα µία εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σηµεία P ( 4, 1, 1), Q(, 0, 1) και R( 1,, 3) είναι η y z + 1 = 0. Σηµείωση : Για τις υπόλοιπες µη µηδενικές τιµές του t παίρνουµε το ίδιο επίπεδο, εφόσον 0x + ty tz + t = 0 ty tz + t = 0 t(y z + 1) = 0 y z + 1 = 0. (ϐ) Εφόσον τα σηµεία P (5, 4, 3), Q(4, 3, 1) και R(1, 5, 4) ανήκουν στο επίπεδο, τα διανύσµατα P Q και P R είναι παράλληλα στο επίπεδο. Εποµένως το εξωτερικό τους γινόµενο P Q P R είναι κάθετο στο επίπεδο, εφόσον είναι κάθετο στο P Q και στο P R. Εχουµε ότι P Q = (4 5, 3 4, 1 3) = ( 1, 1, ) και P R = (1 5, 5 4, 4 3) = ( 4, 1, 1). Από την (0) και τον ορισµό της ορίζουσας πίνακα P Q P R = ( 1, 1, ) ( 4, 1, 1) = ( 1 1 1, = (1, 9, 5)., )

109 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 93 Άρα το επίπεδο του οποίου ϑέλουµε να ϐρούµε την εξίσωση διέρχεται από το σηµείο P (5, 4, 3) και είναι κάθετο στο διάνυσµα P Q P R = (1, 9, 5). Εποµένως η εξίσωση σηµείου-καθέτου του είναι 1(x 5) + 9(y 4) + ( 5)(z 3) = 0. Κάνοντας πράξεις παίρνουµε ότι η γενική εξίσωση του επιπέδου αυτού είναι x + 9y 5z 6 = (α) Εξετάστε αν τα επίπεδα είναι παράλληλα (I) 4x y + z = 5 και 7x 3y + 4z = 8 (II) x 4y 3z = 0 και 3x 1y 9z 7 = 0 (III) y = 8x 4z + 5 και x = 1 z y (ϐ) Εξετάστε αν τα επίπεδα είναι κάθετα (I) (II) 3x y + z 4 = 0 και x + z = 1 x y + 3z = 4 και x + 5y + 4z = 1 Το επίπεδο µε εξίσωση ax + by + cz + d = 0 είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (a, b, c). (α) Αν το επίπεδο E 1 είναι κάθετο στο διάνυσµα n 1 και το επίπεδο E είναι κάθετο στο διάνυσµα n, τότε τα E 1 και E είναι παράλληλα αν και µόνο αν τα n 1 και n είναι παράλληλα. (I) Εφόσον 4x y + z = 5 4x y + z 5 = 0, το επίπεδο 4x y + z = 5 είναι κάθετο στο διάνυσµα n 1 = (4, 1, ). Εφόσον 7x 3y + 4z = 8 7x 3y + 4z 8 = 0, το επίπεδο 7x 3y + 4z = 8 είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (7, 3, 4). Προφανώς κανένα από τα n 1 και n δεν είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του άλλου και άρα δεν είναι παράλληλα. Εποµένως τα επίπεδα 4x y + z = 5

110 94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ και 7x 3y + 4z = 8 δεν είναι παράλληλα. (II) Το επίπεδο x 4y 3z = 0 είναι κάθετο στο διάνυσµα n 1 = (1, 4, 3). Το επίπεδο 3x 1y 9z 7 = 0 είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (3, 1, 9). Εφόσον 3n 1 = 3(1, 4, 3) = (3 1, 3 ( 4), 3 ( 3)) = (3, 1, 9) = n, τα n 1 και n είναι παράλληλα. Εποµένως τα επίπεδα x 4y 3z = 0 και 3x 1y 9z 7 = 0 είναι παράλληλα. (III) Εφόσον y = 8x 4z + 5 8x y 4z + 5 = 0, το επίπεδο y = 8x 4z + 5 είναι κάθετο στο διάνυσµα n 1 = (8,, 4). Εφόσον x = 1 z y x 1 4 y 1 z = 0, το επίπεδο x = 1 z y ( είναι κάθετο στο διάνυσµα n = 1, 1 ) 4, 1. Εφόσον ( 8n = 8 1, 1 ) ( ( 4, 1 = 8 1, 8 1 ) (, 8 1 )) = (8,, 4) = n 1, 4 τα n 1 και n είναι παράλληλα. Εποµένως τα επίπεδα y = 8x 4z + 5

111 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 95 και x = 1 z y είναι παράλληλα. (ϐ) Αν το επίπεδο E 1 είναι κάθετο στο διάνυσµα n 1 και το επίπεδο E είναι κάθετο στο διάνυσµα n, τότε τα E 1 και E είναι κάθετα αν και µόνο αν τα n 1 και n είναι κάθετα. (I) Το επίπεδο 3x y + z 4 = 0 είναι κάθετο στο διάνυσµα n 1 = (3, 1, 1). Εφόσον x + z = 1 x + z + 1 = 0, το επίπεδο x + z = 1 είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (1, 0, ). Εφόσον n 1 n = (3, 1, 1) (1, 0, ) = ( 1) = 5 0, τα n 1 και n δεν είναι κάθετα. Εποµένως τα επίπεδα 3x y + z 4 = 0 και x + z = 1 δεν είναι κάθετα. (II) Εφόσον x y + 3z = 4 x y + 3z 4 = 0, το επίπεδο x y + 3z = 4 είναι κάθετο στο διάνυσµα n 1 = (1,, 3). Εφόσον x + 5y + 4z = 1 x + 5y + 4z + 1 = 0, το επίπεδο x + 5y + 4z = 1

112 96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (, 5, 4). Εφόσον n 1 n = (1,, 3) (, 5, 4) = 1 ( ) + ( ) = 0, τα n 1 και n είναι κάθετα. Εποµένως τα επίπεδα 3x y + z 4 = 0 και είναι κάθετα. x + z = 1 6. (α) Εξετάστε αν η ευθεία και το επίπεδο είναι παράλληλα (I) x = 5 4t, y = 1 t, z = 3 + t και x + y + 3z 9 = 0 (II) x = 3t, y = 1 + t, z = t και 4x y + z = 1 (ϐ) Εξετάστε αν η ευθεία και το επίπεδο είναι κάθετα (I) x = 5 4t, y = 1 t, z = 3 + t και x + y + 3z 9 = 0 (II) x = 3t, y = 1 + t, z = t και 4x y + z = 1 Η ευθεία l µε παραµετρικές εξισώσεις x = x 0 + ta y = y 0 + tb z = z 0 + tc µε < t < είναι παράλληλη στο διάνυσµα v = (a, b, c). (α) Αν το επίπεδο E είναι κάθετο στο διάνυσµα n και η ευθεία l είναι παράλληλη στο διάνυσµα v = (a, b, c), τότε το E και η l είναι παράλληλα αν και µόνο αν τα n και v είναι κάθετα. (I) Το επίπεδο x + y + 3z 9 = 0 είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (1,, 3). Η ευθεία x = 5 4t y = 1 t z = 3 + t µε < t < είναι παράλληλη στο διάνυσµα v = ( 4, 1, ). Εφόσον n v = (1,, 3) ( 4, 1, ) = 1 ( 4) + ( 1) + 3 = 0, τα n και v είναι κάθετα. Εποµένως το επίπεδο x + y + 3z 9 = 0

113 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 97 και η ευθεία είναι παράλληλα. (II) Εφόσον x = 5 4t y = 1 t z = 3 + t µε < t < 4x y + z = 1 4x y + z 1 = 0, το επίπεδο 4x y + z = 1 είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (4, 1, ). Η ευθεία x = 3t y = 1 + t z = t µε < t < είναι παράλληλη στο διάνυσµα v = (3,, 1). Εφόσον n v = (4, 1, ) (3,, 1) = ( 1) + ( 1) = 8 0, τα n και v δεν είναι κάθετα. Εποµένως το επίπεδο 4x y + z = 1 και η ευθεία δεν είναι παράλληλα. x = 3t y = 1 + t z = t µε < t < (ϐ) Αν το επίπεδο E είναι κάθετο στο διάνυσµα n και η ευθεία l είναι παράλληλη στο διάνυσµα v = (a, b, c), τότε το E και η l είναι κάθετα αν και µόνο αν τα n και v είναι παράλληλα. (I) Στο (α)(i) αποδείξαµε ότι το επίπεδο x + y + 3z 9 = 0 και η ευθεία x = 5 4t y = 1 t µε < t < z = 3 + t είναι παράλληλα. Εποµένως δεν είναι κάθετα. (II) Από το (α)(ii) το επίπεδο 4x y + z = 1

114 98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (4, 1, ) και η ευθεία x = 3t y = 1 + t z = t µε < t < είναι παράλληλη στο διάνυσµα v = (3,, 1). Προφανώς κανένα από τα n και v δεν είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του άλλου και άρα δεν είναι παράλληλα. Εποµένως το επίπεδο 4x y + z = 1 και η ευθεία δεν είναι κάθετα. x = 3t y = 1 + t z = t µε < t < 7. (α) Να ϐρεθούν παραµετρικές εξισώσεις για την ευθεία που διέρχεται από το σηµείο P και είναι παράλληλη στο διάνυσµα v αν (I) P (, 3, 3), v = (6, 6, ) (II) P (0, 0, 0), v = (1,, 3) (ϐ) Να ϐρεθούν συµµετρικές εξισώσεις για την ευθεία στο (I) του (α). (α) Οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας στον 3-διάστατο χώρο η οποία διέρχεται από το σηµείο P 0 (x 0, y 0, z 0 ) και είναι παράλληλη στο µη µηδενικό διάνυσµα v = (a, b, c) είναι x = x 0 + ta y = y 0 + tb z = z 0 + tc µε < t <. (30) (I) Από την (30) οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο P (, 3, 3) και είναι παράλληλη στο διάνυσµα v = (6, 6, ) είναι x = ( ) + 6t y = 3 + ( 6)t z = ( 3) + ( 3)t µε < t < ή x = + 6t y = 3 6t z = 3 3t µε < t <. (II) Από την (30) οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο P (0, 0, 0) και είναι παράλληλη στο διάνυσµα v = (1,, 3) είναι x = 0 + 1t y = 0 + ( )t z = 0 + 3t µε < t <

115 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 99 ή x = t y = t z = 3t µε < t < (ϐ) Οι συµµετρικές εξισώσεις της ευθείας στον 3-διάστατο χώρο η οποία διέρχεται από το σηµείο P 0 (x 0, y 0, z 0 ) και είναι παράλληλη στο διάνυσµα v = (a, b, c), µε a, b, c 0, είναι x x 0 a = y y 0 b. = z z 0. (31) c Από την (31) οι συµµετρικές εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο P (, 3, 3) και είναι παράλληλη στο διάνυσµα v = (6, 6, ) είναι ή x ( ) 6 x + 6 = y 3 6 = y 3 6 = z ( 3) = z Να ϐρεθούν παραµετρικές εξισώσεις για την ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία P και Q αν (α) P (5,, 4), Q(7,, 4) (ϐ) P (0, 0, 0), Q(, 1, 3) (α) Εφόσον η ευθεία διέρχεται από τα σηµεία P (5,, 4) και Q(7,, 4), είναι πα- ϱάλληλη στο διάνυσµα P Q. Εχουµε ότι P Q = (7 5, ( ), 4 4) = (, 4, 8) Εποµένως η ευθεία της οποίας ϑέλουµε να ϐρούµε την εξίσωση διέρχεται από το σηµείο P (5,, 4) και είναι παράλληλη στο διάνυσµα P Q = (, 4, 8). Άρα, από την (30) οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας είναι x = 5 + t y = + 4t µε < t < z = 4 8t. (ϐ) Εφόσον η ευθεία διέρχεται από τα σηµεία P (0, 0, 0) και Q(, 1, 3), είναι πα- ϱάλληλη στο διάνυσµα P Q. Εχουµε ότι P Q = ( 0, 1 0, 3 0) = (, 1, 3) Εποµένως η ευθεία της οποίας ϑέλουµε να ϐρούµε την εξίσωση διέρχεται από το σηµείο P (0, 0, 0) και είναι παράλληλη στο διάνυσµα P Q = (, 1, 3). Άρα, από την (30) οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας είναι x = 0 + t y = 0 + ( 1)t z = 0 + ( 3)t µε < t <

116 300 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ ή x = t y = t z = 3t µε < t <. 9. Να ϐρεθούν παραµετρικές εξισώσεις για την ευθεία στην οποία τέµνονται τα επίπεδα (α) 7x y + 3z = και 3x + y + z + 5 = 0 (ϐ) x + 3y 5z = 0 και y = 0 (α) Εφόσον η ευθεία αποτελείται από όλα τα σηµεία τοµής των επίπέδων 7x y + 3z = και 3x + y + z + 5 = 0, ϑα αποτελείται από όλα τα σηµεία (x, y, z) των οποίων οι συντεταγµένες είναι λύσεις του συστήµατος 7x y + 3z = 3x + y + z = 5. (3) Λύνουµε το σύστηµα (3). Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος αυτού είναι ο [ Με απαλοιφή Gauss-Jordan ϐρίσκουµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα : ]. [ ] πολλαπλασιάζουµε την 1η γραµµή µε προσθέτουµε 3 ϕο- ϱές την 1η γραµµή στη η πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή µε προσθέτουµε 7 ϕο- ϱές τη η γραµµή στην 1η

117 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Το αντίστοιχο σύστηµα είναι το x + 7z = 1 y + 3z = 41. Λύνουµε ώς προς τις ϐασικές µεταβλητές x και y και παίρνουµε x = 1 7z y = 41 3z. ίνοντας αυθαίρετες τιµές στην ελεύθερη µεταβλητή z παίρνουµε ότι η λύση του συστήµατος είναι η x = 1 7t, y = 41 3t, z = t, t στο R. Εποµένως οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας είναι x = 1 7t y = 41 3t z = t µε < t <. (ϐ) Εφόσον η ευθεία αποτελείται από όλα τα σηµεία τοµής των επίπέδων x + 3y 5z = 0 και y = 0, ϑα αποτελείται από όλα τα σηµεία (x, y, z) των οποίων οι συντεταγµένες είναι λύσεις του συστήµατος x + 3y 5z = 0 y = 0. (33) Λύνουµε το οµογενές σύστηµα (33). Ο πίνακας συντελεστών του συστήµατος αυτού είναι ο [ ]. Με απαλοιφή Gauss-Jordan ϐρίσκουµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του πίνακα συντελεστών : [ ] πολλαπλασιάζουµε την 1η γραµµή µε προσθέτουµε 3 ϕορές τη η γραµ- µή στην 1η

118 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Το αντίστοιχο οµογενές σύστηµα είναι το x 5 z = 0 y = 0. Λύνουµε ώς προς τις ϐασικές µεταβλητές x και y και παίρνουµε x = 5 z y = 0. ίνοντας αυθαίρετες τιµές στην ελεύθερη µεταβλητή z παίρνουµε ότι η λύση του συστήµατος είναι η x = 5 t, y = 0, z = t, t στο R. Εποµένως οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας είναι x = 5 t y = 0 z = t µε < t <. 30. Να ϐρεθούν δύο επίπεδα των οποίων τοµή είναι η ευθεία (α) (ϐ) x = 7 4t, y = 5 t, z = 5 + t x = 4t, y = t, z = 7t (α) Λύνοντας ως προς t τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας x = 7 4t y = 5 t z = 5 + t µε < t < παίρνουµε ότι t = x 7 4 t = y + 5 t = z 5 µε < t < Εξισώνοντας τα δεύτερα µέλη της 1ης και της 3ης παίρνουµε ότι. x 7 4 = z 5 ή x + 4z 7 = 0. Εξισώνοντας τα δεύτερα µέλη της ης και της 3ης παίρνουµε ότι y + 5 = z 5

119 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ή y + z 5 = 0. Εποµένως η ευθεία x = 7 4t y = 5 t z = 5 + t µε < t < είναι τοµή των επιπέδων x + 4z 7 = 0 και y + z 5 = 0. (ϐ) Λύνοντας ως προς t τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας x = 4t y = t z = 7t µε < t < παίρνουµε ότι t = x 4 t = y µε < t <. t = z 7 Εξισώνοντας τα δεύτερα µέλη της 1ης και της ης παίρνουµε ότι ή x 4 = y x 4y = 0. Εξισώνοντας τα δεύτερα µέλη της 1ης και της 3ης παίρνουµε ότι ή x 4 = z 7 7x 4z = 0. Εποµένως η ευθεία x = 4t y = t z = 7t µε < t < είναι τοµή των επιπέδων x 4y = 0

120 304 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ και 7x 4z = (α) Να ϐρεθεί µία εξίσωση του επιπέδου xz. (ϐ) Να ϐρεθεί µία εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σηµείο (x 0, y 0, z 0 ) και είναι παράλληλο στο επίπεδο xz. (α) Προφανώς το επίπεδο xz διέρχεται από τα σηµεία P (0, 0, 0), Q(1, 0, 0) και R(0, 0, 1). Εφόσον τα σηµεία P (0, 0, 0), Q(1, 0, 0) και R(0, 0, 1) ϐρίσκονται στο επίπεδο xz, οι συντεταγµένες τους πρέπει να ικανοποιούν τη γενική εξίσωση του επιπέδου ax + by + cz + d = 0. Εποµένως ϑα ισχύει d = 0 a d = 0 c + d = 0. (34) Λύνουµε το οµογενές σύστηµα (34). Ο πίνακας συντελεστών του συστήµατος αυτού είναι ο Με απαλοιφή Gauss-Jordan ϐρίσκουµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του πίνακα. συντελεστών : εναλλάσουµε την 1η και τη η γραµµή εναλλάσουµε τη η και την 3η γραµµή προσθέτουµε -1 ϕο- ϱά την 3η γραµµή στη η και -1 ϕορά την 3η γραµµή στην 1η Το αντίστοιχο οµογενές σύστηµα είναι το a = 0 c = 0 d = 0 ίνοντας αυθαίρετες τιµές στην ελεύθερη µεταβλητή b παίρνουµε ότι η λύση του συστήµατος είναι η a = 0, b = t, c = 0, d = 0, t στο R..

121 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Για t = 1 παίρνουµε a = 0, b = 1, c = 0, d = 0 και άρα µία εξίσωση του επιπέδου xz είναι η y = 0. (ϐ) Από το (α) µία εξίσωση του επιπέδου xz είναι η y = 0 ή 0x + 1y + 0z + 0 = 0. Εποµένως το διάνυσµα n = (0, 1, 0) είναι κάθετο στο επίπεδο xz. Εφόσον το επίπεδο του οποίου ϑέλουµε να ϐρούµε την εξίσωση είναι παράλληλο στο επίπεδο xz, ϑα είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (0, 1, 0). Άρα ϑέλουµε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σηµείο (x 0, y 0, z 0 ) και είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (0, 1, 0). Από την (8) η εξίσωση σηµειού-καθέτου αυτού του επιπέδου είναι 0(x x 0 ) + 1(y y 0 ) + 0(z z 0 ) = 0. Κάνοντας τις πράξεις παίρνουµε ότι η γενική εξίσωση αυτού του επιπέδου είναι y = y Να ϐρεθεί µία εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σηµείο (3, 6, 7) και είναι παράλληλο στο επίπεδο 5x y + z 5 = 0. Το διάνυσµα n = (5,, 1) είναι κάθετο στο επίπεδο 5x y + z 5 = 0. Εφόσον το επίπεδο του οποίου ϑέλουµε να ϐρούµε την εξίσωση είναι παράλληλο στο επίπεδο 5x y + z 5 = 0, ϑα είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (5,, 1). Άρα ϑέλουµε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σηµείο (3, 6, 7) και είναι κάθετο στο διάνυσµα n = (5,, 1). Από την (8) η εξίσωση σηµείου-καθέτου αυτού του επιπέδου είναι 5(x 3) + ( )(y ( 6)) + 1(z 7) = 0.

122 306 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Κάνοντας τις πράξεις παίρνουµε ότι η γενική εξίσωση αυτού του επιπέδου είναι 5x y + z 34 = Αποδείξτε ότι αν a, b, c 0, τότε η εξίσωση του επιπέδου το οποίο τέµνει του άξονες συντεταγµένων στα x = a, y = b και z = c είναι x a + y b + z c = 1. Εφόσον το επίπεδο τέµνει του άξονες συντεταγµένων στα x = a, y = b και z = c, το επίπεδο διέρχεται από τα σηµεία P (a, 0, 0), Q(0, b, 0) και R(0, 0, c). Εχουµε a a + 0 b + 0 c = 1, 0 a + b b + 0 c = 1, 0 a + 0 b + c c = 1, και άρα οι συντεταγµένες των P (a, 0, 0), Q(0, b, 0) και R(0, 0, c) επαληθεύουν την εξίσωση x a + y b + z c = 1. Εποµένως µία εξίσωση του επιπέδου το οποίο τέµνει του άξονες συντεταγµένων στα x = a, y = b και z = c είναι x a + y b + z c = Να ϐρεθεί το σηµείο τοµής της ευθείας x 9 = 5t, y + 1 = t, z 3 = t και του επιπέδου x 3y + 4z + 7 = 0. Οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας x 9 = 5t, y + 1 = t, z 3 = t είναι x = 9 5t y = 1 t z = 3 + t µε < t <. Αντικαθιστώντας αυτές τις εξισώσεις στην εξίσωση του επιπέδου x 3y + 4z + 7 = 0 παίρνουµε (9 5t) 3( 1 t) + 4(3 + t) + 7 = 0. Λύνοντας αυτή την εξίσωση ως προς t παίρνουµε t = 40 3.

123 3.6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Για t = 40 3 οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας µας δίνουν x = = y = = z = = 49 3 Εποµένως το σηµείο τοµής της ευθείας x 9 = 5t, y + 1 = t, z 3 = t και του επιπέδου x 3y + 4z + 7 = 0 είναι το ( 173 3, 43 3, 49 ). 3

124 308 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ - ΙΑΣΤΑΤΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ 3- ΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ

125 Σχήμα 1, σελίδα 186

126 Σχήμα, σελίδα 186

127 Σχήμα 3, σελίδα 187

128 Σχήμα 4, σελίδα 187

129 Σχήμα 5, σελίδα 187

130 Σχήμα 6, σελίδα 188

131 Σχήμα 7, σελίδα 188

132 Σχήμα 8, σελίδα 189

133 Σχήμα 9, σελίδα 189

134 Σχήμα 10, σελίδα 190

135 Σχήμα 11, σελίδα 190

136 Σχήμα 1, σελίδα 190

137 Σχήμα 13, σελίδα 191

138 Σχήμα 14, σελίδα 191

139 Σχήμα 15, σελίδα 193

140 Σχήμα 1, σελίδα 194

141 Σχήμα, σελίδα 195

142 Σχήμα 3, σελίδα 195

143 Σχήμα 4, σελίδα 197

144 Σχήμα 5, σελίδα 197

145 Σχήμα 1, σελίδα 197

146 Σχήμα, σελίδα 198

147 Σχήμα 3, σελίδα 198

148 Σχήμα 4, σελίδα 199

149 Σχήμα 5, σελίδα 01

150 Σχήμα 6, σελίδα 0

151 Σχήμα 7, σελίδα 04

152 Σχήμα 8, σελίδα 04

153 Σχήμα 9, σελίδα 06

154 Σχήμα 1, σελίδα 09

155 Σχήμα, σελίδα 09

156 Σχήμα 3, σελίδα 10

157 Σχήμα 4, σελίδα 11

158 Σχήμα 5, σελίδα 1

159 Σχήμα 6, σελίδα 13

160 Σχήμα 7, σελίδα 13

161 Σχήμα 8, σελίδα 14

162 Σχήμα 9, σελίδα 15

163 Σχήμα 10, σελίδα 17