7.2 Κ ινηση φορτισµ ενου σωµατιδ ιου σε οµογεν εσ ηλεκτρικ ο και µαγνητικ ο πεδ ιο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "7.2 Κ ινηση φορτισµ ενου σωµατιδ ιου σε οµογεν εσ ηλεκτρικ ο και µαγνητικ ο πεδ ιο"

Transcript

1 Κεφ αλαιο 7 Παραδε ιγµατα Λαγκρανζιαν ων Συναρτ ησεων Σκο υπες σκουπ ακια ρουφηχτ ηρια φτερ α τιναχτ ηρια ξεσκον οπανα κουρελ οπανα κλ οουν θ ορυ οι και τρ οποι ακρο ατες, µαστ ιγιο π εφτουν οι κιν ησεις π ανω στην κατοικ ιδια σκ ονη Κικ η ηµουλ α Σε το υτο το κεφ αλαιο θα κατασκευ ασουµε τη λαγκρανζιαν η συν αρτηση για µια σειρ α απ ο πολ υ διαφορετικ α φυσικ α µηχανικ α συστ ηµατα, απ ο παιδικ α παιχν ιδια εως κοσµολογικ α µοντ ελα. Στ οχος µας εδ ω δεν ε ιναι τ οσο η επ ιδειξη της απλοπο ιησης και της γεν ικευσης που προσφ ερει ο λαγκρανζιαν ος φορµαλισµ ος αυτ ο εξ αλλου ε ιναι ενα θ εµα το οπο ιο εχουµε αναλ υσει διεξοδικ α σε προηγο υµενα κεφ αλαια οσο η παρουσ ιαση των τεχνικ ων που χρησιµοποιε ι κανε ις για να κατασκευ ασει λαγκρανζιαν ες συναρτ ησεις σε πολ υ ετερ οκλητης προ ελευσης συστ ηµατα, καθ ως επ ισης και η ακ ολουθη αν αλυση της εξ ελιξης του συστ ηµατος µ εσω των εξισ ωσεων Euler - Lagrange. Ε υκολα συνειδητοποιε ι κανε ις οτι η δυσκολ ια επ ιλυσης εν ος µηχανικο υ προ λ ηµατος εστι αζεται αποκλειστικ α στη γραφ η της σχετικ ης µε αυτ ο Λαγκρανζιαν ης. Επιπλ εον, κ αποιες διατηρο υµενες ποσ οτητες αναδεικν υονται αµεσα απ ο τη µορφ η της ιδιας της Λαγκρανζιαν ης και µπορο υν να βοηθ ησουν στην ευκολ οτερη ε υρεση των εξισ ωσεων κ ινησης. 7.1 Ισ οτροπος και ανισ οτροπος αρµονικ ος ταλαντωτ ης σε 2 διαστ ασεις Ενα σωµατ ιδιο κινε ιται στο επ ιπεδο υπ ο την επ ιδραση ελκτικ ης δ υναµης αν αλογης µε την απ οσταση του σωµατιδ ιου απ ο κ αποιο σηµε ιο του χ ωρου. Σε ενα καρτεσιαν ο σ υστηµα συντεταγµ ενων µε αρχ η το ελκτικ ο κ εντρο η Λαγκρανζιαν η του σωµατιδ ιου δ ιδεται απ ο τη διαφορ α µεταξ υ 203

2 C 204 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ Σχ ηµα 7.1: (α) Η τροχι α εν ος ισ οτροπου ταλαντωτ η ε ιναι ελλειπτικ η (εδ ω και, ). (β) Η περιοδικ η τροχι α ανισ οτροπου ταλαντωτ η µε και! ( " #, $ %!& )). (γ) Περιοδικ η τροχι α ανισ οτροπου ταλαντωτ η µε '! και ( ( ) * +!, *,-.$ )). (δ) Ψευδο-περιοδικ η τροχι α ανισ οτροπου ταλαντωτ η µε και / 0%! (, 6%! )). Με την π αροδο του χρ ονου η τροχι α θα καλ υψει πυκν α ολα τα σηµε ια του ορθογων ιου. της κινητικ ης και της δυναµικ ης του εν εργειας HEIKJ MLMA (7.1) Η ισοτροπ ια του αρµονικο υ ταλαντωτ η κρ υ εται στον κοιν ο συντελεστ η σκληρ οτητας L και στις δ υο κατευθ υνσεις DQPRH και η Λαγκρανζιαν η αυτ η αναφ ερεται ως Λαγκρανζιαν η εν ος ισ οτροπου ταλαντωτ η σε δ υο διαστ ασεις. Οι δ υο εξισ ωσεις Euler - Lagrange ε ιναι οι:?ts DF L D :VU P?WS H F L H :XU O (7.2) : Z Εκτελο υνται, δηλαδ η, δ υο ανεξ αρτητες ταλαντ ωσεις µε την ιδια συχν οτητα L[+? : D : \^]_a` A /b Fdcfe2I/PGH :Xg;]_a` A /b \ g Οι σταθερ ες,, cfe και προσδιορ ιζονται απ ο τις αρχικ ες συνθ ηκες. Η ισ οτητα των δ υο συχνοτ ητων που πηγ αζει απ ο την ισοτροπ ια του αρµονικο υ ταλαντωτ η οδηγε ι σε ελλειπτικ ες τροχι ες στο επ ιπεδο A DQPRHI, οπως φα ινεται στο Σχ ηµα 7.1(α). Ισως, να φαιν οταν πιο κατ αλληλη η χρ ηση πολικ ων συντεταγµ ενων για την κατασκευ η της Λαγκρανζιαν ης εν ος τ ετοιου συστ ηµατος, αφο υ η δυναµικ η εν εργεια εξαρτ αται µ ονο απ ο την απ οσταση i (i : Z D E FNH E )

3 : } b ΙΣΟΤΡΟΠΟΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 205 και οχι απ ο τη γων ια c, οπως συµ α ινει µε ολες τις κεντρικ ες δυν αµεις. Χρησιµοποι ωντας το τ εχνασµα του Landau που µ αθαµε στο Κεφ αλιο 2, ε ιναι ε υκολο να δε ιξουµε οτι η Λαγκρανζιαν η σε πολικ ες συντεταγµ ενες ε ιναι 9;:?BAjC i EGF i E c+e2ikj C L i EkO (7.3) Η απουσ ια της συντεταγµ ενης c απ ο τη Λαγκρανζιαν η σηµα ινει αυτ οµατα τη διατ ηρηση της αντ ιστοιχης ορµ ης l [ l c C στην προκειµ ενη περ ιπτωση της στροφορµ ης? i E c C, αφο υ η εξ ισωση Euler - Lagrange που αντιστοιχε ι σε αυτ η τη συντεταγµ ενη λαµ ανει την απλ η µορφ η m m An? i E coi C :XU O (7.4) Οσο για την ακτινικ η εξ ισωση Euler - Lagrange αυτ η ε ιναι µια δ υσκολα επιλ υσιµη διαφορικ η εξ ισωση δε υτερης τ αξης?ns i J? i C c+egf L i :VU P η οπο ια απλοποιε ιται και λαµ ανει τη µορφ η?ns i J 9 E? i+p F L i :VU P αν εκµεταλλευτο υµε τη διατ ηρηση της στροφορµ ης 9q:? i E c C. Η περ ιπλοκη µορφ η της ακτινικ ης εξ ισωσης οφε ιλεται στο γεγον ος οτι ε ιναι δ υσκολη η περιγραφ η µιας ελλειψης σε πολικ ες συντεταγµ ενες µε το κ εντρο της ελλειψης να βρ ισκεται στην αρχ η των αξ ονων. Το παρ αδειγµα αυτ ο καταδεικν υει οτι η επιλογ η του συστ ηµατος συντεταγµ ενων µπορε ι να καταστ ησει την ε υρεση της τροχι ας εν ος φυσικο υ συστ ηµατος ευκολ οτερη η δυσκολ οτερη. Ταυτ οχρονα, οµως, µπορε ι να αναδε ιξει αµεσα κ αποια συµµετρ ια του φυσικο υ συστ ηµατος εδ ω τη µη εξ αρτηση της Λαγκρανζιαν ης απ ο τη γων ια c η οπο ια οπως ε ιδαµε συνδ εεται π αντοτε µε µια διατηρο υµενη ποσ οτητα εδ ω συγκεκριµ ενα µε τη στροφορµ η. Αν ο αρµονικ ος ταλαντωτ ης ηταν ανισ οτροπος, δηλαδ η αν η δυναµικ η εν εργεια ε ιχε τη µορφ η rs: #tlvu Lvw HERxP µε Lvuzy Lvw, τ οτε οι ταλαντ ωσεις στη διε υθυνση D και στη διε υθυνση H δεν θα εκτελο υνταν µε την ιδια συχν οτητα, µε αποτ ελεσµα η τροχι α να µην ε ιναι κατ αν αγκην κλειστ η. Αν ειδικ α οι συχν οτητες εχουν ρητ ο λ ογο τ οτε υστερα απ ο u w : {} P περι οδους της H ταλ αντωσης, που διαρκο υν οσο ακρι- ως { περ ιοδοι της D ταλ αντωσης, το σωµατ ιδιο επαν ερχεται στο αρχικ ο

4 \ ˆ \ } 206 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ σηµε ιο. Σε αυτ η την περ ιπτωση η τροχι α κλε ινει και επαναλαµ ανεται υστερα απ ο χρονικ ο δι αστηµα ισο µε περι οδους της H ταλ αντωσης ( η { περι οδους της D ταλ αντωσης). Πρ οκειται για τις λεγ οµενες καµπ υλες Lissajous. Η κ ινηση στην περ ιπτωση αυτ η ε ιναι περιοδικ η (βλ. Σχ ηµα 7.1β,γ). Τ ελος, αν οι συχν οτητες εχουν αρρητο λ ογο, η τροχι α δεν κλε ινει και µε την π αροδο του χρ ονου το σωµατ ιδιο θα περ ασει σε οσοδ ηποτε µικρ η απ οσταση απ ο κ αθε σηµε ιο του ορθογ ωνιου παραλληλογρ αµµου οι διαστ ασεις του οπο ιου καθορ ιζονται απ ο τα πλ ατη των δ υο ανεξ αρτητων ταλαντ ωσεων τα οπο ια µε τη σειρ α τους καθορ ιζονται πλ ηρως απ ο τις αρχικ ες συνθ ηκες (βλ. Σχ ηµα 7.1δ). Η τροχι α, λοιπ ον, του σωµατιδ ιου θα σαρ ωσει τελικ α ολ οκληρο αυτ ο το ορθογ ωνιο παραλληλ ογραµµο. Σε αυτ η την περ ιπτωση η κ ινηση καλε ιται ψευδο-περιοδικ η (quasi-periodic). 7.2 Κ ινηση φορτισµ ενου σωµατιδ ιου σε οµογεν ες ηλεκτρικ ο και µαγνητικ ο πεδ ιο Θεωρο υµε ενα φορτισµ ενο σωµατ ιδιο µ αζας? και φορτ ιου ~, το οπο ιο κινε ιται µ εσα σε ενα συνδυασµ ενο οµογεν ες ηλεκτρικ ο και µαγνητικ ο πεδ ιο. Η Λαγκρανζιαν η του σωµατιδ ιου, οπως ε ιδαµε στο Κεφ αλαιο 3, 1 εχει τη µορφ η: 9;:? ƒ EKF ~ 0 ƒ J ~ h$o (7.5) Στο ιδια ιτερο αυτ ο ηλεκτροµαγνητικ ο πεδ ιο που ε ιναι στατικ ο, δηλαδ η χρονοανεξ αρτητο, το µεν βαθµωτ ο δυναµικ ο σχετ ιζεται αποκλειστικ α µε το ηλεκτρικ ο πεδ ιο ( J h : ), εν ω το ανυσµατικ ο δυναµικ ο µε το µαγνητικ ο πεδ ιο ( Š g : ). Ε ιναι ε υκολο να δειχθε ι οτι λ ογω της οµογ ενειας των συγκεκριµ ενων πεδ ιων (τα πεδ ια ε ιναι σταθερ α σε ολ οκληρο το χ ωρο), το βαθµωτ ο και το ανυσµατικ ο δυναµικ ο µπορο υν να γραφο υν ως ακολο υθως: h : J ˆ D$P \X: gœš D$O (7.6) Προκειµ ενου να απλοποι ησουµε την αν αλυσ η µας, ας θ εσουµε εναν απ ο τους καρτεσιανο υς αξονες, 2 για παρ αδειγµα τον αξονα, παρ αλληλο µε το µαγνητικ ο πεδ ιο, αφο υ το µαγνητικ ο πεδ ιο ε ιναι αυτ ο που καθιστ α πολ υπλοκη την αν αλυση εξαιτ ιας του εξωτερικο υ γινοµ ενου, και ας θεωρ ησουµε οτι το δι ανυσµα του ηλεκτρικο υ πεδ ιου βρ ισκεται στο επ ιπεδο DKJ. 1 Σε το υτο το εδ αφιο εµφαν ιζεται στη Λαγκρανζιαν η του φορτισµ ενου σωµατιδ ιου η ταχ υτητα του φωτ ος Ž, σε αντ ιθεση µε τη Λαγκρανζιαν η που κατασκευ ασαµε στο Κεφ αλαιο 3. Η διαφορ α οφε ιλεται σε διαφορετικ ο σ υστηµα µον αδων που θεωρο υµε στο παρ ον πρ ο ληµα. Βλ επε σχετικ α την αντ ιστοιχη υποσηµε ιωση του Κεφαλα ιου 3 (υποσηµε ιωση 11). 2 οκιµ αστε αλλο σ υστηµα συντεταγµ ενων, οπως για παρ αδειγµα τις κυλινδροπολικ ες συντεταγµ ενες, για να πειστε ιτε οτι οι καρτεσιαν ες συντεταγµ ενες ε ιναι καταλληλ οτερες για την αντιµετ ωπιση του προ λ ηµατος αυτο υ.

5 C C : g ~ g ~ g g ˆ ˆ g u O ª ˆ u u 7.2. ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ ΙΟΥ 207 Με αυτ ες τις επιλογ ες η Λαγκρανζιαν η του φορτισµ ενου σωµατιδ ιου γρ αφεται 9;:?BAC HE F C EI F ~ A J&H DF;D C HI F C ~ A u DF ˆ και οι εξισ ωσεις Euler - Lagrange διαµορφ ωνονται ως εξ ης: I/P (7.7)?TS D : ~ H F C ~ u (7.8)?WS H : J ~ D C (7.9)?TS ˆ O (7.10) Παρατηρο υµε οτι οι εξισ ωσεις αυτ ες δεν ε ιναι αλλες απ ο εκε ινες που θα λαµ αναµε, αν γρ αφαµε το δε υτερο ν οµο του Νε υτωνα και υπολογ ιζαµε τις συνιστ ωσες της δ υναµης Lorentz. Εδ ω οι εξισ ωσεις Euler - Lagrange προ εκυψαν α ιαστα απ ο την τυποποιηµ ενη Λαγκρανζιαν η του φορτισµ ενου σωµατιδ ιου. Η επ ιλυση των εξισ ωσεων αυτ ων παρουσι αζει δυσκολ ια εξαιτ ιας του οτι οι δ υο πρ ωτες ε ιναι πεπλεγµ ενες διαφορικ ες εξισ ωσεις. Η δυσκολ ια αυτ η, οµως, µπορε ι µε κοµψ ο τρ οπο να αντιµετωπισθε ι αν χρησιµοποι ησουµε τη µιγαδικ η συντεταγµ ενη : D FN 4HO Πρ αγµατι, οι δ υο πρ ωτες εξισ ωσεις συµπτ υσσονται σε µια µιγαδικ η διαφορικ η εξ ισωση? S : J& ~ g C F ~ u O (7.11) Αυτ η ε ιναι µ ια µη οµογεν ης, γραµµικ η διαφορικ η εξ ισωση πρ ωτης τ αξης ως προς τη C και ως εκ το υτου η λ υση της ε ιναι : r e +šj œÿž, 4 K KJ Με µια επιπλ εον ολοκλ ηρωση η παραπ ανω εξ ισωση δ ινει δηλαδ η : e/j D A b I : H A b I : HveKF ª? r e ~ g `8 % `8 % ˆ t JN šj œÿž, 4 K x&j /b F ª /b Js οπου e : 4HvekP r e : και εχουµε ορ ισει ως N? ˆ g b P A J ]_a` /b I (7.12) A J ]_a` /b IKJ ˆ g«b P (7.13) P FN

6 P u :? u J P g u 208 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ Σχ ηµα 7.2: Η ελικοειδ ης κ ινηση φορτισµ ενου σωµατιδ ιου σε σταθερ ο µαγνητικ ο και ηλεκτρικ ο πεδ ιο. Το µαγνητικ ο πεδ ιο βρ ισκεται στη διε υθυνση, εν ω το ηλεκτρικ ο πεδ ιο κε ιται στο επ ιπεδο. Εν ω η ελικοειδ ης κ ινηση του σωµατιδ ιου αναπτ υσσεται κατ α µ ηκος του αξονα µε αυξαν οµενο β ηµα, η ελικα µετατοπ ιζεται κατ α τη διε υθυνση µε σταθερ η ταχ υτητα. την αποκαλο υµενη κυκλοτρονικ η συχν οτητα. Αν υπολογ ισουµε τις σταθερ ες της ολοκλ ηρωσης ª συναρτ ησει των αρχικ ων ταχυτ ητων e u P e w, η κ ινηση στο επ ιπεδο D J;H ε ιναι: D A b I : `8 % e u /b F²± e w F ˆ ǵ ³ J ]_a` /b H A b I : HveKF²± e w F ˆ `8 % g ³ /b J e u J ]_a` /b Οσο για την κ ινηση κατ α τον αξονα, αυτ η υπολογ ιζεται ε υκολα απ ο την τρ ιτη εξ ισωση Euler - Lagrange (7.10) A b I : egf e b F ~ ˆ ˆ b O b EµO (7.14) Η κ ινηση του φορτισµ ενου σωµατιδ ιου ε ιναι αυτ η που φα ινεται στο Σχ ηµα 7.2. Ε ιναι µια ελικα µε αυξαν οµενο β ηµα κατ α µ ηκος του αξονα, η οπο ια συνεχ ως µετατοπ ιζεται κατ α την αρνητικ η κατε υθυνση του H αξονα, ο ο- πο ιος ε ιναι ο αξονας ο κ αθετος στο ηλεκτρικ ο πεδ ιο! Αν και η λ υση D A b I µε µια πρ ωτη µατι α φα ινεται λανθασµ ενη στο οριο που το µαγνητικ ο πεδ ιο µηδεν ιζεται φυσιολογικ α, g U αναµ ενουµε επιταχυν οµενη κ ινηση, λαµ ανοντας το οριο, οπ οτε και U, και χρησιµοποι ωντας το οριο %¹ `8 % ºa» e /b b

7 ½ Á : ˆ u?? 7.3. ΑΤΜΟΜΗΧΑΝΗ 209 καταλ ηγουµε στην οµαλ ως επιταχυν οµενη κ ινηση που αναµ ενεται οταν απουσι αζει το µαγνητικ ο πεδ ιο 7.3 Ατµοµηχαν η D A b I : e u b F ~ b EµP H A b I : Hve F e w b P A b I : ekf e b F ~ ˆ b EkO Στο εδ αφιο αυτ ο θα επιχειρ ησουµε να κατασκευ ασουµε ενα απλοποιη- µ ενο µηχανικ ο αν αλογο µιας ατµοµηχαν ης (βλ. Σχ ηµα 7.3). Γι αυτ ο το λ ογο θα θεωρ ησουµε οτι η µ αζα ολ οκληρης της ατµοµηχαν ης ε ιναι ¼, εν ω τα µ ονα κινητ α µ ερη αυτ ης ε ιναι ο κινητ ηριος τροχ ος µε ροπ η αδρ ανειας και το εµ ολο, το οπο ιο συνδ εεται µε τον τροχ ο µ εσω εν ος διωστ ηρα. Τα τελευτα ια αυτ α εξαρτ ηµατα θα τα θεωρ ησουµε α αρ η. Το εµ ολο θα υποθ εσουµε πως ωθε ιται µε σταθερ η δ υναµη ¾ (φ αση εκτ ονωσης), περιστρ εφοντας τον τροχ ο κατ α µισ ο κ υκλο, και επιστρ εφει χωρ ις να ασκε ιται σε αυτ ο κ αποια δ υναµη (φ αση συµπ ιεσης). Η απλουστευµ ενη αυτ η περιγραφ η αποτελε ι µια ικανοποιητικ η προσ εγγιση της λειτουργ ιας των µηχαν ων εσωτερικ ης κα υσης, οσον αφορ α στο σκοπ ο µας. Η Λαγκρανζιαν η της ατµοµηχαν ης, λοιπ ον, θα εχει τη µορφ η 3 9;: ¼ A6 C h.iekf ½ C ¾ A hàiÿd A hài/o (7.15) Η Λαγκρανζιαν η που προκ υπτει ορ ιζει ενα µηχανικ ο σ υστηµα εν ος βαθ- µο υ ελευθερ ιας, αφο υ η γων ια περιστροφ ης του κινητ ηριου τροχο υ ε ιναι αρκετ η για να περιγρ αψει πλ ηρως την κατ ασταση της ατµοµηχαν ης. Με απλ η γεωµετρ ια µπορο υµε να συσχετ ισουµε τη διαδροµ η D που διαν υει το εµ ολο µε τη γων ια στροφ ης h του κινητ ηριου τροχο υ. Εστω Á το µ ηκος του διωστ ηρα της ρ α δου που µετατρ επει την παλινδροµικ η κ ινηση του εµ ολου σε κυκλικ η µ εσω της αρθρωσ ης του µε τον τροχ ο και η ακτ ινα του τροχο υ. Θεωρο υµε οτι η αρθρωση του διωστ ηρα µε τον τροχ ο βρ ισκεται στην περιφ ερεια του τροχο υ. Ε ιναι ε υκολο να δε ιξουµε τ οτε οτι DF Á ]_a` F ]_a` h : σταθερ ο `8 % `8 % P h$p (7.16) οπου ε ιναι η γων ια που σχηµατ ιζει ο διωστ ηρας µε τον αξονα κ ινησης του εµ ολου. Με µια µικρ η ανακατανοµ η των ορων µπορο υµε να γρ αψουµε το D ως D :VÂ J ]_a` hzjvã Á E J E `8 % E h$o 3 Το γεγον ος οτι η κινητικ η εν εργεια του περιστρεφ οµενου τροχο υ µπορε ι να αναλυθε ι στην κινητικ η εν εργεια της καθαρ ης µεταφορικ ης του κ ινησης και της περιστροφικ ης του εν εργειας γ υρω απ ο το κ εντρο µ αζας του αποδεικν υεται ε υκολα αν προσθ εσουµε τις κινητικ ες εν εργειες ολων των υλικ ων σηµε ιων απ ο τα οπο ια αποτελε ιται ο τροχ ος.

8 Z 210 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ Σχ ηµα 7.3: Η ατµοµηχαν η µε τον κινητ ηριο µηχανισµ ο της (το εµ ολο, το διωστ ηρα και τον κινητ ηριο τροχ ο) ]_a` :ÅÄ Z Στην παραπ ανω σχ εση χρησιµοποι ηθηκε η τριγωνοµετρικ η ταυτ οτητα J `8 % E, το πρ οσηµο της οπο ιας, οµως, δεν θα πρ επει να µας απασχολε ι αφο υ η γων ια θετικ η η αρνητικ η ε ιναι π αντα µια οξε ια γων ια. Τελικ α, λοιπ ον, η Λαγκρανζιαν η λαµ ανει τη µορφ η 9;:Æ GA ¼ E F ½ I C h E J ¾ Ã Á E J E `8 % E hzj ¾ ]_a` h$o (7.17) Προφαν ως ο σταθερ ος ορος εχει απαλειφθε ι απ ο τη Λαγκρανζιαν η, εν ω η, αφο υ µ ονο τ οτε δρα η δ υναµη. 4 Γρ αφοντας τις εξισ ωσεις Euler - Lagrange καταλ ηγουµε στη σχ εση εξ ισωση κ ινησης πρ επει να υπολογιστε ι µ ονο για γων ιες U Ç h ÇWÈ ]_a` h h S : ¾ ¼ E F ½WÉ F Á E J E `8 % E h/ê `8 % h$o (7.18) Σε αυτ ο το σηµε ιο αξ ιζει να σηµει ωσουµε πως η διαφορικ η αυτ η εξ ισωση δεν ε ιναι και τ οσο χρ ησιµη απ ο πρακτικ ης αποψης, αφο υ πρ επει να λ υσουµε τη δ υσκολη αυτ η διαφορικ η εξ ισωση προκειµ ενου να δο υµε π ως κινε ιται η ατµοµηχαν η µε την π αροδο του χρ ονου. Χρησιµ οτερο, απ ο πρακτικ ης αποψης, θα ηταν να γνωρ ιζουµε την ταχ υτητα που αποκτ α η ατµοµηχαν η µε κ αθε περιστροφ η του κινητ ηριου τροχο υ. Αυτ ο, οµως, ε ιναι κ ατι που ε υκολα µπορο υµε να µ αθουµε απ ο τη διατ ηρηση της εν εργειας. Ας µην ξεχν αµε οτι το σ υστηµα που µελετ αµε ε ιναι συντηρητικ ο, 4 Θα µπορο υσαµε τον περιορισµ ο αυτ ον να τον εισαγ αγουµε στη συναρτησιακ η µορφ η της δυναµικ ης εν εργειας, µ εσω για παρ αδειγµα της συν αρτησης αλµατος Ë, αλλ α θα επρεπε να ε ιµαστε πολ υ προσεκτικο ι ωστε να µην δηµιουργ ησουµε ασυν εχειες στη δυναµικ η εν εργεια, οι οπο ιες θα οδηγο υσαν σε απειρες δυν αµεις. (Η συν αρτηση αλµατος ε ιναι Ë a1. για ÍÌ#Î και Ë a1. Î για ÍÏ#Î.) Ο καλ υτερος τρ οπος για να επιτευχθε ι αυτ ο στο εν λ ογω πρ ο ληµα θα ηταν να αντικαταστ ησουµε στη δυναµικ η εν εργεια τη γων ια Ð µε Ð ËÑ Ð Ò Ð 1ÔÓ+ ËÑ Ð aóôõ αλλι ως, αν µηδεν ιζαµε τη δυναµικ η εν εργεια εκτ ος των ορ ιων Ð $Î, Ð #, θα καταλ ηγαµε σε απειρες δυν αµεις απ ο την παραγ ωγιση της δυναµικ ης εν εργειας στα σηµε ια αυτ α.

9 : 7.4. ΕΚΤΙΝΑΣΣΟΜΕΝΗ ΓΡΟΘΙΑ 211 Σχ ηµα 7.4: H εκτινασσ οµενη γροθι α. γι αυτ ο και καταφ εραµε να κατασκευ ασουµε αµεσα τη λαγκρανζιαν η του συν αρτηση. Εποµ ενως, A ¼ E F ½ I C ¾ D : σταθερ ο για κ αθε µισ ο κ υκλο, αφο υ στον υπ ολοιπο µισ ο κ υκλο η γωνιακ η ταχ υτητα δεν µετα αλλεται λ ογω του οτι η δ υναµη ¾ µηδεν ιζεται. Ετσι, υστερα απ ο Ö κ υκλους η ταχ υτητα που θα εχει αναπτ υξει η ατµοµηχαν η θα ε ιναι. h C : :ÙØ ÚoÖ)¾ p ¼ E F ½ O Στον υπολογισµ ο της ταχ υτητας εχει ληφθε ι υπ οψη η συνολικ η διαδροµ η του εµ ολου σε κ αθε κ υκλο, D ολ. 7.4 Εκτινασσ οµενη γροθι α Μ εσα σε ενα κουτ ι βρ ισκεται µια πλαστικ η γροθι α στερεωµ ενη στο ακρο εν ος συµπιεσµ ενου ελατηρ ιου (βλ. Σχ ηµα 7.4). Ο τυχερ ος παραλ ηπτης εν ος τ ετοιου δ εµατος, αν προλ α αινε να αποφ υγει τη δραµατικ η σ υγκρουση της γροθι ας µε το σαστισµ ενο του πρ οσωπο, σ ιγουρα θα ε λεπε τη γροθι α να εκτιν ασσεται στον α ερα συµπαρασ υροντας ισως και το κουτ ι. Παρακολουθ ωντας την κ ινηση ολου του συστ ηµατος, θα µπορο υσε κανε ις να καταλ ηξει σε ενδιαφ εροντα συµπερ ασµατα σχετικ α µε το βαθµ ο κακεντρ εχειας του αποστολ εα οσον αφορ α στη σκληρ οτητα του ελατηρ ιου που επ ελεξε και στην αρχικ η του συσπε ιρωση. Προσπαθ ωντας να κ ανουµε ευκολ οτερο το πρ ο ληµα, χωρ ις οµως να αλλ αξουµε τη γενικ η δυναµικ η του, θα θεωρ ησουµε οτι η γροθι α εχει µ αζα ¼, εν ω το ελατ ηριο σκληρ οτητας L ε ιναι αµελητ εας µ αζας, οπως επ ισης και το κουτ ι. Ενα αλλο στοιχε ιο που ε ιναι απαρα ιτητο για την αν αλυση του συστ ηµατος ε ιναι το φυσικ ο µ ηκος του ελατηρ ιου 9 e. Οταν το ελατ ηριο φτ ανει σε αυτ ο

10 ¼ A ¼ ¼ Ø L ¼ L ¼ Ø Ø É Ø L ¼ 212 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ το µ ηκος, θα π αψει πια να επιµηκ υνεται αλλο, εν ω το ελε υθερο ακρο του θα εγκαταλε ιψει στη συν εχεια το εδαφος. Θεωρ ωντας αποκλειστικ α κιν ησεις κατ α µ ηκος του αξονα, οπου το µετρ α τις αποστ ασεις απ ο το εδαφος, µπορο υµε να γρ αψουµε τη Λαγκρανζιαν η του συστ ηµατος ως 9;:= ¼ C EJ ¼ Û J ÀLMA 9 eüj IE2Ý A 9 eüj I/P (7.19) 9 e το ελατ ηριο διατηρε ι το φυσικ ο του µ ηκος δ ιχως δυνα- αφο υ για )Þ µικ η εν εργεια και ανυψ ωνεται στον α ερα µαζ ι µε τη γροθι α. Η εξ ισωση κ ινησης για ενα τ ετοιο φυσικ ο σ υστηµα ε ιναι S : J ¼ Û F LMA 9 eüj I8Ý A 9 eüj I F MLMA 9 eüj IE-ß A 9 eüj IÜO (7.20) Η τελευτα ια δ υναµη που εµφαν ιζεται στην παραπ ανω σχ εση προ εκυψε απ ο την παραγ ωγιση της συν αρτησης Ý και ισο υται µε µηδ εν, αφο υ η συν αρτηση ß A 9 ekj I πολλαπλασι αζει µια συν αρτηση, η οπο ια µηδεν ιζεται :V9 e (βλ. Μαθηµατικ ο Παρ αρτηµα). Ετσι, για παρ αδειγµα, στο σηµε ιο αν ξεκιν ησουµε µε τη γροθι α ακ ινητη και το ελατ ηριο συσπειρωµ ενο κατ α à, το ελατ ηριο θα αποσυσπειρωθε ι αρχικ α σ υµφωνα µε την εξ ισωση κ ινησης S : J ¼ Û F LMA 9 eüj IÜP (7.21) και στη συν εχεια, αφ οτου το ελατ ηριο αποκτ ησει το φυσικ ο του µ ηκος, η γροθι α θα συνεχ ισει να κινε ιται σ υµφωνα µε την εξ ισωση S : J ¼ Û O (7.22) Με τις δεδοµ ενες αρχικ ες συνθ ηκες η εξ ισωση (7.21) δ ινει A b I : 9 eüj ¼ Û [al IKJ A à J ¼ Û [al I ]_a` b Ê P (7.23) εν οσω 'á 9 e. Για να φτ ασει το ελατ ηριο στο φυσικ ο του µ ηκος θα πρ επει να ισχ υει àzâ ¼ Û [al, ειδ αλλως η γροθι α θα ταλαντ ωνεται γ υρω απ ο τη θ εση ισορροπ ιας :X9 ej ¼ Û [al και το ελατ ηριο δεν θα µπορ εσει ποτ ε να αποκτ ησει το φυσικ ο του µ ηκος, συνθ ηκη η οπο ια απαιτε ιται για να αποδεσµευθε ι η γροθι α απ ο το εδαφος. Αν, οµως, à â ¼ Û [al, στη συν εχεια η εξ ισωση (7.22) δ ινει ως λ υση A b F b e2i :X9 egftà b J ¼ Û à L J Ûjb EkP οπου b e ε ιναι η χρονικ η στιγµ η που το ελατ ηριο αποκτ α το φυσικ ο του µ ηκος :V9 e. Η παραπ ανω σχ εση βασ ιστηκε στον υπολογισµ ο της ταχ υτη- απ ο τη σχ εση (7.23) οταν :V9 e και η οπο ια ε ιναι ιση µε τας C C A b e-i : à Ø J ¼ Û à L O

11 : O 7.5. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΣΚΟΥΠΑ 213 Σχ ηµα 7.5: Η ηλεκτρικ η σκο υπα εν ω µαζε υει το καλ ωδι ο της. Εποµ ενως, το µ εγιστο υψος στο οπο ιο θα φτ ασει η γροθι α ε ιναι ã(äqå4æ&:x9 egftà(± Πρ οκειται για ενα αποτ ελεσµα, το οπο ιο ε υκολα θα µπορο υσατε να επαληθε υσετε εφαρµ οζοντας την αρχ η διατ ηρησης της εν εργειας, εφ οσον φυσικ α το κεφ αλι σας βρ ισκεται καθ ολη την εξ ελιξη του φαινοµ ενου πιο ψηλ α απ ο το εν λ ογω υψος. 7.5 Ηλεκτρικ η σκο υπα Σε αυτ ο το παρ αδειγµα θα κατασκευ ασουµε τη Λαγκρανζιαν η εν ος µηχανικο υ συστ ηµατος µετα λητ ης µ αζας και συγκεκριµ ενα µιας αυτ ο- µατης ηλεκτρικ ης σκο υπας που µαζε υει το καλ ωδι ο της, το οπο ιο αρχικ α βρ ισκεται απλωµ ενο στο οριζ οντιο δ απεδο (βλ. Σχ ηµα 7.5). Για λ ογους ευκολ ιας θα υποθ εσουµε οτι η κ ινηση της σκο υπας και του καλωδ ιου εκτε- η µ αζα της σκο υπας χωρ ις το λε ιται στην ευθε ια του αξονα D. Εστω ¼ καλ ωδιο και ç? [ Á η γραµµικ η πυκν οτητα µ αζας του καλωδ ιου. Αν ο µηχανισµ ος της σκο υπας µαζε υει το καλ ωδιο σ υµφωνα µε το ν οµο H A b I, τ οτε η κινητικ η εν εργεια της σκο υπας, της οπο ιας η θ εση καθορ ιζεται απ ο τη συντεταγµ ενη D, ε ιναι ¼ C à L ¼ Û εν ω η κινητικ η εν εργεια του καλωδ ιου ε ιναι ç H A b I C για το τµ ηµα του καλωδ ιου που εχει ηδη µαζευτε ι στο εσωτερικ ο της σκο υπας, αν θεωρ ησουµε οτι το καλ ωδιο, αφ οτου µαζευτε ι, µ ενει ακ ινητο ως προς τη σκο υπα. Τ ελος, το τµ ηµα του καλωδ ιου που σ ερνεται στο π ισω µ ερος της σκο υπας εχει κινητικ η εν εργεια ç A Á J;H A b I8I AC DF J ³ HIEkO C Το σ υστηµα σκο υπας-καλωδ ιου δεν εχει δυναµικ η εν εργεια, αφο υ θεωρ ησαµε οτι η κ ινησ η του πραγµατοποιε ιται στο οριζ οντιο επ ιπεδο και οτι ο ν οµος που καθορ ιζει το µ αζεµα του καλωδ ιου ε ιναι δεδοµ ενος. Αν ηθελε

12 b È [ [ C D ¼ ¼ H O C È [ 214 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ κ αποιος να κ ανει τη λαγκρανζιαν η περιγραφ η πιο ρεαλιστικ η, θα επρεπε ισως να θεωρ ησει ενα συγκεκριµ ενο µηχανισµ ο µαζ εµατος του καλωδ ιου, για παρ αδειγµα να θεωρ ησει ενα καρο υλι τυλ ιγµατος συνδεδεµ ενο µε περιστροφικ ο ελατ ηριο, οπ οτε το σ υστηµα θα ε ιχε περισσ οτερους απ ο ενα βαθµο υς ελευθερ ιας και θα επρεπε να συµπεριλ α ει στη Λαγκρανζιαν η και τη δυναµικ η εν εργεια του ελατηρ ιου και την περιστροφικ η εν εργεια του καρουλιο υ. Γι αυτ ον ακρι ως το λ ογο αποφ υγαµε να µιλ ησουµε για τ υλιγµα του καλωδ ιου και χρησιµοποι ησαµε τον ορο µ αζεµα. Συνολικ α, λοιπ ον, η Λαγκρανζιαν η της σκο υπας µαζ ι µε το καλ ωδιο ε ιναι 9;: è ¼ F ç H A b IŸé C ç è Á J H A b IŸé è D F C H C A b IŸé%EkO (7.24) Οι εξισ ωσεις Euler - Lagrange του συστ ηµατος λαµ ανουν τη µορφ η m m è A ¼ F ç HI D F C ç A Á J;HI AC DF HIŸé :XU O (7.25) Η διατηρο υµενη ποσ οτητα εντ ος των αγκυλ ων ε ιναι, προφαν ως, η ορµ η ê του συστ ηµατος. Ετσι, D : ê J ç A Á J HI C F ç Á O (7.26) Αν υποθ εσουµε οτι αρχικ α η σκο υπα ηταν ακ ινητη και ο ν οµος που δι επει το µ αζεµα του καλωδ ιου δ ινεται απ ο τη σχ εση 5 Ç È για χρ ονους b στιγµ η ταχ υτητα H A b I : Á A J ]_a` /b I/P, ε υκολα συµερα ινουµε οτι η σκο υπα θα εχει κ αθε D C : J ç Á F ç Á Η ταχ υτητα αυτ η µηδεν ιζεται στο τ ελος της κ ινησης (για b ), γεγον ος το οπο ιο ε ιναι αναµεν οµενο εξαιτ ιας διατ ηρησης της ορµ ης του συστ ηµατος. Αυτ ο που ισως ερχεται σε αντ ιθεση µε τη δια ισθησ η µας ε ιναι Á% `8 % /b O οτι η È U επιτ αχυνση της σκο υπας ε ιναι αρνητικ η για ádbká για [ Ú+ëá bíá :qè [ Ú+ και θετικ η. Απ ο πο υ µπορε ι να προ ερχεται µια θετικ η επιτ αχυνση ; εν ε ιναι η τ αση του καλωδ ιου, καθ ως αυτ ο µαζε υεται στο εσωτερικ ο της σκο υπας, η µοναδικ η δ υναµη που ασκε ιται στη σκο υπα; Οχι. Στο εσωτερικ ο της σκο υπας ασκε ιται επιπλ εον µια δ υναµη στη σκο υπα προερχ οµενη απ ο το καλ ωδιο που ακινητοποιε ιται ως προς τη σκο υπα, οπως θα συν ε αινε σε µια πλαστικ η κρο υση. Στο δε υτερο µισ ο της κ ινησης της σκο υπας η δ υναµη αυτ η ε ιναι µεγαλ υτερη απ ο την τ αση, οπ οτε και η σκο υπα επι ραδ υνεται. Π οσο µ ηκος θα διαν υσει συνολικ α η σκο υπα µ εχρι να ακινητοποιηθε ι; Εκτελ ωντας τους υπολογισµο υς, ε ιναι ε υκολο να δε ιξουµε οτι ολ : J ç Á E A ¼ F ç Á I 5 Αν η κ ινηση προ ερχεται απ ο κ αποιο ελατ ηριο ε ιναι αναµεν οµενη µια τ ετοια χρονικ η εξ ελιξη.

13 E 7.6. ΠΟΛΥΑΝΕΛΚΥΣΤΗΡΑΣ ΤΥΠΟΥ ATWOOD 215 Σχ ηµα 7.6: Το σ υστηµα των τροχαλι ων του πολυανελκυστ ηρα. Το παραπ ανω αποτ ελεσµα ε ιναι, µ αλιστα, ανεξ αρτητο απ ο τον τρ οπο µε τον οπο ιο µαζε υεται το καλ ωδιο στο εσωτερικ ο της σκο υπας και ε ιναι ανα- µεν οµενο, αφο υ το κ εντρο µ αζας του αποµονωµ ενου συστ ηµατος πρ επει να βρ ισκεται στην ιδια θ εση που βρισκ οταν αρχικ α, οντας αρχικ α ακ ινητο. 7.6 Πολυανελκυστ ηρας τ υπου Atwood Ας θεωρ ησουµε ì F σταθερ ες α αρε ις τροχαλ ιες κρεµασµ ενες απ ο την οροφ η και αλλες ì κινητ ες α αρε ις τροχαλ ιες που εναλλ ασσονται µε τις σταθερ ες τροχαλ ιες. Ολες οι τροχαλ ιες συνδ εονται µε ενα σχοιν ι, το οπο ιο κλε ινει οπως στο Σχ ηµα 7.6. Εστω ví P E PfOfOfOP î οι κατακ ορυφες θ εσεις των βαριδι ων? í P? E PfOfOfOP? î που κρ εµονται απ ο τις κινητ ες τροχαλ ιες µε κατε υθυνση αυτ η του σχ ηµατος. Το σταθερ ο συνολικ ο µ ηκος του σχοινιο υ υποχρε ωνει τις συντεταγµ ενες του συστ ηµατος να ικανοποιο υν το δεσµ ο +í F E F F î :VU P αφο υ, οσο ανυψ ωνεται µια µ αζα, πρ επει ολες οι αλλες να κατ ερχονται αθροιστικ α ακρι ως κατ α το ιδιο δι αστηµα. Συνεπ ως, η Λαγκρανζιαν η του συστ ηµατος ε ιναι η 9;:= GAn? í C íe F F? î C îe I F Û An? í +í F F? îa î I-P (7.27) και αν, για παρ αδειγµα, αντικαταστ ησουµε την fî συντεταγµ ενη απ ο την εξ ισωση του συνδ εσµου καταλ ηγουµε στη Λαγκρανζιαν η 9;: î š í ï ð í? C E F? î É î š í ï ð í C Ê F Û î š í ï ð í An? J? î I O

14 } òñ ò } : S } : } } ö S ö : ö 216 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ Οι ì J εξισ ωσεις Euler - Lagrange του συστ ηµατος µπορο υν να γραφο υν συνοπτικ α υπ ο µορφ η πιν ακων ôõ õ òñ õ ò ôõ +í õ ôõ õ õ õ F òó?í? î? î? î? î? E F? î? î.....? î? î? î š í F? î. òós E. î S òñ ò òó? í J? î? E J? î.? î š í J? î Πολλαπλασι αζοντας το παραπ ανω σ υστηµα διαφορικ ων εξισ ωσεων µε τον αντ ιστροφο του πρ ωτου π ινακα, υπολογ ιζουµε τις επιταχ υνσεις των πρ ωτων ì J βαριδι ων και κατ οπιν, απ ο την εξ ισωση συνδ εσµου υπολογ ιζουµε την επιτ αχυνση και του τελευτα ιου βαριδιο υ. Αν θ ελαµε να προσδιορ ισουµε την εξ ελιξη του συστ ηµατος καταφε υγοντας στους πολλαπλασιαστ ες Lagrange, θα επρεπε να χρησιµοποι ησου- µε τη Λαγκρανζιαν η ανευ συνδ εσµου (7.27), αλλ α στις ì εξισ ωσεις Euler - Lagrange που θα προ εκυπταν θα επρεπε να αντικαταστ ησουµε το 0, που συν ηθως γρ αφουµε στο δεξι ο µ ελος, µε τον κοιν ο πολλαπλασιαστ η Lagrange του συνδ εσµου, αφο υ m +í F m E F OfOfOF m î :VU O Για παρ αδειγµα, η -οστ η εξ ισωση Euler - Lagrange θα ε ιναι P (7.28)? AfS J Û I : οπ οτε η επιτ αχυνση του -οστο υ βαριδιο υ θα ε ιναι Û F [+? O Αν, τ ωρα, προσθ εσουµε ολες τις επιταχ υνσεις, θα πρ επει απ ο την εξ ισωση του συνδ εσµου να π αρουµε αθροισµα επιταχ υνσεων µηδ εν. Συνεπ ως, µπορο υµε να υπολογ ισουµε το : J ì.ûç P οπου ç η ανηγµ ενη µ αζα ολων των βαριδι ων. Σε αυτ ο το σηµε ιο ε ιµαστε πια σε θ εση να υπολογ ισουµε και την τ αση του σχοινιο υ, αφο υ, οπως εχουµε αναφ ερει, το φυσικ ο ν οηµα των πολλαπλασιαστ ων Lagrange στο λαγκρανζιαν ο φορµαλισµ ο ε ιναι η δ υναµη που ασκε ιται προκειµ ενου να ικανοποιε ιται η εξ ισωση του συνδ εσµου. Η τ αση, λοιπ ον, αυτ η σε κ αθε πλευ-ρ α της κινητ ης τροχαλ ιας ε ιναι ì.ûç [, εν ω το αρνητικ ο πρ οσηµο ση- µα ινει οτι η τ αση αυτ η που ασκε ιται σε κ αθε κινητ η τροχαλ ια εχει κατε υθυνση προς τα επ ανω (αρνητικ η κατε υθυνση). Γνωρ ιζοντας την τιµ η του, υπολογ ιζου-µε στη συν εχεια κ αθε επιτ αχυνση χωριστ α. Συγκεκριµ ενα S Û ± J ìàç? Û O ³ O (7.29) Στην περ ιπτωση που το σ υστηµα των τροχαλι ων ε ιναι αρχικ α ακ ινητο, οι µ αζες, οι οπο ιες υπερ α ινουν την τιµ η ìàç, θα αρχ ισουν να κατευθ υνονται προς τα κ ατω, εν ω οι αλλες προς τα επ ανω. Ε ιναι σκ οπιµο να επισηµ ανουµε το κ ερδος που αποκοµ ισαµε µε τη χρ ηση των πολλαπλασιαστ ων Lagrange οσον αφορ α στο τεχνικ ο µ ερος επ ιλυσης του προ λ ηµατος,

15 S : C : m : ³ E 7.7. ΜΠΙΖΕΛΙ ΣΕ ΓΑΒΑΘΑ 217 Σχ ηµα 7.7: Ενα µπιζ ελι στριφογυρ ιζει στο εσωτερικ ο µιας συµµετρικ ης γα αθας. Θα περ ασει ποτ ε απ ο τον αξονα περιστροφ ης του; Τι σχ ηµα πρ επει να εχει η γα αθα για να µπορ εσουµε να πετ υχουµε κυκλικ ες τροχι ες; αφο υ η αντιστροφ η του A ì J I Š A ì J I π ινακα που εµφαν ιζεται στο σ υστηµα των διαφορικ ων εξισ ωσεων που κατασκευ ασαµε παραπ ανω ε ιναι ιδια ιτερα δ υσκολη. 7.7 Μπιζ ελι σε γα αθα Ας περιγρ αψουµε την κ ινηση εν ος µπιζελιο υ στο εσωτερικ ο µιας αξονικ α συµµετρικ ης γα αθας. Εστω An I το σχ ηµα της γα αθας και κατ α συν επεια η εξ ισωση συνδ εσµου του µπιζελιο υ. Η Λαγκρανζιαν η του µπιζελιο υ σε κυλινδροπολικ ες συντεταγµ ενες ε ιναι 9;:?«ø E C C E É F²± An I m Êúù J? Û An I/O (7.30) Προφαν ως η µ αζα του µπιζελιο υ, οντας πολλαπλασιαστικ η σταθερ α της Λαγκρανζιαν ης, δεν πα ιζει καν ενα ρ ολο στην κ ινησ η του, οπως συµ α ινει π αντοτε µε την κ ινηση εν ος σωµατιδ ιου σε κ αποιο βαρυτικ ο πεδ ιο. Οι εξισ ωσεις κ ινησης οσοι και οι βαθµο ι ελευθερ ιας του συστ ηµατος, δηλαδ η δ υο: E h C :.A +û E F I F σταθερ ο : Á P C E +û +û û J Á E p F Û +û :XU O Ο τ ονος στη δε υτερη διαφορικ η εξ ισωση συµ ολ ιζει παραγ ωγιση ως προς. Αξ ιζει να σηµει ωσουµε οτι στην τελευτα ια εξ ισωση χρησιµοποι ηθηκε η πρ ωτη. Η πρ ωτη σχ εση υποδηλ ωνει τη διατ ηρηση της στροφορµ ης του µπιζελιο υ γ υρω απ ο τον αξονα που εξασφαλ ιζει τη σταθερ η φορ α περιστροφ ης του µπιζελιο υ γ υρω απ ο τον αξονα συµµετρ ιας της γα αθας και την αδυναµ ια του µπιζελιο υ να τον προσεγγ ισει ( οταν Á :üu y ). Η δε υτερη εξ ισωση ε ιναι µια δ υσκολη, µη γραµµικ η διαφορικ η εξ ισωση που περιγρ αφει την ακτινικ η µετακ ινηση του µπιζελιο υ. Ε ιναι δυνατ ον π αντως να βρο υµε τη λ υση του προ λ ηµατος για κυκλικ ες κιν ησεις, δηλαδ η για σταθερ η O S :XU P κ

16 á U 218 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ Σε αυτ η την περ ιπτωση, η δε υτερη εξ ισωση µετατρ επεται στην pκ û An κ I : pκ ûκ : Á E Û O (7.31) Θα µπορο υσαµε επιπλ εον να υπολογ ισουµε και κατ α π οσον οι κυκλικ ες αυτ ες τροχι ες ε ιναι ευσταθε ις. Γι αυτ ον το λ ογο θα θεωρ ησουµε µικρ ες διαταραχ ες γ υρω απ ο την ακτ ινα της κυκλικ ης τροχι ας, δ ιχως µετα ολ η της στροφορµ ης Á,.A b I : κ FNý A b I/P µε ý áíá κ και κατ οπιν θα αναπτ υξουµε τη γενικ η εξ ισωση της ακτινικ ης κ ινησης σε πρ ωτη τ αξη ως προς ý γ υρω απ ο την κυκλικ η κ ινηση. Η ακτινικ η εξ ισωση, αν αγνο ησουµε τον πολ υ µικρ ο ορο ý C E, αποκτ α την ακ ολουθη µορφ η: ýs A F A IE-I F +ûκ Û ±/þ ûκ κ F +û û κ³ ý :XU O (7.32) Στην παραπ ανω σχ εση χρησιµοποι ηθηκε η αναγκα ια σχ εση (7.31) την ο- πο ια πρ επει να ικανοποιε ι η κυκλικ η τροχι α. Συνεπ ως, η τροχι α θα ε ιναι ευσταθ ης (ας θυµηθο υµε τον αρµονικ ο ταλαντωτ η), εφ οσον þ ûκ κ F +û û κ Þ Στην περ ιπτωση που το σχ ηµα της γα αθας εχει πολυωνυµικ η µορφ η ε ιναι εµφαν ες οτι µ ονο για J An I/ÿ P á θα εχουµε ασταθε ις κυκλικ ες τροχι ες, εν ω για κ αθε αλλη τιµ η του οι κυκλικ ες τροχι ες θα ε ιναι ευσταθε ις και εποµ ενως πραγµατοποι ησιµες. U O 7.8 Bungee Jump σε τσουλ ηθρα Εστω ενα σ ωµα µ αζας? που ολισθα ινει χωρ ις τρι η στη ρ αχη εν ος κεκλιµ ενου επιπ εδου µ αζας ¼, το οπο ιο µε τη σειρ α του µπορε ι να κινε ιται ελε υθερα σε οριζ οντιο δ απεδο (βλ. Σχ ηµα 7.8). Η γων ια κλ ισης του κεκλιµ ενου επιπ εδου ε ιναι h και το σ ωµα συγκρατε ιται στο επ ανω µ ερος του κεκλιµ ενου επιπ εδου µ εσω εν ος ελατηρ ιου σταθερ ας L. Τι κ ινηση εκτελε ι το σ υστηµα που περιγρ αψαµε παραπ ανω; Η Λαγκρανζιαν η του συστ ηµατος περιλαµ ανει την κινητικ η εν εργεια και του σ ωµατος και του κεκλιµ ενου επιπ εδου (µ αλιστα, αυτ η του σ ωµατος ε ιναι κ απως πιο πολ υπλοκη, αφο υ το σ ωµα µετ εχει στην κ ινηση του κεκλιµ ενου επιπ εδου), τη δυνα- µικ η εν εργεια του σ ωµατος λ ογω της κ ινησ ης του στο βαρυτικ ο πεδ ιο και τη δυναµικ η εν εργεια του ελατηρ ιου. Χρησιµοποι ωντας ως συντεταγµ ενες του προ λ ηµατος την οριζ οντια µετακ ινηση του κεκλιµ ενου επιπ εδου D A b I και την απ οσταση του ολισθα ινοντος σ ωµατος απ ο το αν ωτατο ακρο

17 S C S ¼ C O 7.8. BUNGEE JUMP ΣΕ ΤΣΟΥΛΗΘΡΑ 219 Σχ ηµα 7.8: Ενα σ ωµα αγκιστρωµ ενο µ εσω εν ος ελατηρ ιου στο επ ανω µ ερος µιας τσουλ ηθρας ολισθα ινει επ ανω σε αυτ η. Η τσουλ ηθρα βρ ισκεται σε παγοδρ οµιο και µπορε ι να κινε ιται ελε υθερα στο οριζ οντιο επ ιπεδο. Τι κ ινηση εκτελε ι ολο το σ υστηµα; του κεκλιµ ενου επιπ εδου H A b I, υπολογ ιζουµε το τετρ αγωνο της ταχ υτητας του ολισθα ινοντος σ ωµατος E : E AC DF H C ]_a` hàiekf AC H `8 % hàieko Η Λαγκρανζιαν η, λοιπ ον, του συστ ηµατος ε ιναι: 9;: ¼ C.? AC DF H ]_a` hàiekf HE `8 % EÀh ÜF? Û H `8 % hzj ML HEO Θεωρ ησαµε για λ ογους ευκολ ιας οτι το ελατ ηριο εχει µηδενικ ο φυσικ ο µ ηκος. Οι εξισ ωσεις κ ινησης, λοιπ ον, των δ υο σωµ ατων ε ιναι A ¼?BAfS D ]_a` h F F? I DF S?WS H ]_a` h : U P (7.33) HIKJ? Û `8 % h F L H : U O (7.34) Η πρ ωτη απ ο αυτ ες τις εξισ ωσεις εκφρ αζει τη διατ ηρηση της ορµ ης στον αξονα D και µπορε ι να χρησιµοποιηθε ι για να αντικατασταθε ι η τιµ η του D στη δε υτερη εξ ισωση. Υστερα απ ο την αντικατ ασταση αυτ η η δε υτερη εξ ισωση ξαναγρ αφεται ως ακολο υθως: ±? ]_a` E h ¼ F? F ³?WS H : J L ± H J? Û `8 % h L ³ O (7.35) Η µορφ η αυτ η δ οθηκε προκειµ ενου να διαφανε ι η H συνιστ ωσα της κ ινησης. Πρ οκειται για ταλ αντωση γ υρω απ ο τη θ εση ισορροπ ιας µε συχν οτητα : L? Hve :? Û L `8 % h$p ¼ F? F?BA F ]_a` E hài Αφο υ οι επιταχ υνσεις του κεκλιµ ενου επιπ εδου και του ολισθα ινοντος σ ω- µατος ως προς το κεκλιµ ενο επ ιπεδο ε ιναι αν αλογες (βλ. σχ εση (7.33)),

18 O 220 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ Σχ ηµα 7.9: Ο αυτ οµατος ρυθµιστ ης του Watt διατηρε ι την ταχ υτητα µιας µηχαν ης σταθερ η. το κεκλιµ ενο επ ιπεδο, αν εξαιρ εσει κανε ις µια πιθαν η οµαλ η κ ινηση που θα µπορο υσε να εκτελε ι, αναµ ενεται να εκτελε ι και αυτ ο οριζ οντια ταλ αντωση µε την ιδια συχν οτητα. Μπορο υµε, µ αλιστα, να εξετ ασουµε τα δ υο ακρα ια ορια των µαζ ων: (α) Αν ¼ ÞÍÞ?, τ οτε η (7.33) οδηγε ι σε µηδενικ η επιτ αχυνση D S, οπ οτε το σ ωµα ταλαντ ωνεται επ ανω στην τσου- Z λ ηθρα µε συχν οτητα L[+?, οπως θα συν ε αινε, αν το κεκλιµ ενο επ ιπεδο ηταν πακτωµ ενο. (β) Αν ¼ áíá?, τ οτε η οριζ οντια θ εση του ολισθα ινοντος σ ωµατος DúF0H ]_a` h εχει επιτ αχυνση µηδενικ η (βλ. σχ εση (7.33)), γεγον ος το οπο ιο σηµα ινει οτι, αν αρχικ α ολα τα µ ερη του συστ ηµατος ηταν ακ ινητα, το σ ωµα αυτ ο θα παρ εµενε στην ιδια οριζ οντια θ εση, εν ω παρ αλληλα θα ταλαντων οταν κατακ ορυφα και αντ ιστοιχα το κεκλιµ ενο επ ιπεδο θα ταλαντων οταν οριζ οντια, ωστε τα δ υο σ ωµατα να βρ ισκονται συνεχ ως σε επαφ η, µε συχν οτητα : L?BA F ]_a` E hài Προφαν ως, οι εξισ ωσεις κ ινησης που παρουσι ασαµε παραπ ανω εχουν ι- σχ υ, εφ οσον το ολισθα ινον σ ωµα δεν φτ ασει σε αρνητικ ες H τιµ ες, δεν ξεπερ ασει, δηλαδ η, το επ ανω ακρο του κεκλιµ ενου επιπ εδου. 7.9 Ρυθµιστ ης µηχαν ης του Watt Στα τ ελη του 18ου αι ωνα ο σκωτσ εζος εφευρ ετης και κατασκευαστ ης της οµ ωνυµης ατµοµηχαν ης James Watt [ ] επιν οησε τον ακ ολουθο µηχανισµ ο προκειµ ενου να διατηρε ιται σταθερ η η ταχ υτητα µιας µηχαν ης (βλ. Σχ ηµα 7.9). υο βαρι ες µεταλλικ ες σφα ιρες στηριγµ ενες σε αρθρ ωσεις περιστρ εφονται σ υµφωνα µε το ρυθµ ο περιστροφ ης της µηχαν ης.

19 U : 7.9. ΡΥΘΜΙΣΤΗΣ ΜΗΧΑΝΗΣ ΤΟΥ WATT 221 Λ ογω της περιστροφ ης τους οι σφα ιρες αναγκ αζονται να ανυψωθο υν ρυθ- µ ιζοντας ετσι την παροχ η καυσ ιµου στη µηχαν η. Εστω οτι η µηχαν η περιστρ εφεται µε γωνιακ η ταχ υτητα. Η ταχ υτητα αυτ η ρυθµ ιζεται απ ο το υψος του δακτυλ ιου, το οπο ιο µε τη σειρ α του καθορ ιζεται απ ο το υψος στο οπο ιο ανυψ ωνονται λ ογω φυγοκ εντρου οι βραχ ιονες στο ακρο των οπο ιων ε ιναι στερεωµ ενες οι µεταλλικ ες σφα ιρες. Αν για κ αποιο λ ογο η ταχ υτητα της µηχαν ης αυξηθε ι, οι σφα ιρες θα ανυψωθο υν και µαζ ι τους θα ανυψωθε ι και ο αρθρωτ ος δακτ υλιος, υποχρε ωνοντας τελικ α τη µηχαν η να ελαττ ωσει την ταχ υτητ α της. Η Λαγκρανζιαν η του συστ ηµατος που περιγρ αψαµε παραπ ανω αποτελε ιται απ ο την κινητικ η και τη δυνα- µικ η εν εργεια των σφαιρ ων. Μπορο υµε, µ αλιστα, να χρησιµοποι ησουµε τη γων ια αν υψωσης h που σχηµατ ιζουν οι βραχ ιονες µε τον κατακ ορυφο αξονα για να περιγρ αψουµε τη θ εση των σφαιρ ων. Αν θεωρ ησουµε οτι οι βραχ ιονες, στο ακρο των οπο ιων ε ιναι στερεωµ ενες οι σφα ιρες, εχουν µ ηκος Á και οτι οι δε υτεροι βραχ ιονες που συνδ εουν το µ εσο των πρ ωτων βραχι ονων µε τον δακτ υλιο εχουν το µισ ο µ ηκος Á [, η Λαγκρανζιαν η του συστ ηµατος λαµ ανει την ακ ολουθη µορφ η 9;: GA? I Á E A C E `8 % EÀhÀIKJ? ÛÁ A J ]_a` hài O (7.36) Η εξ ισωση κ ινησης των σφαιρ ων ε ιναι h S :V`8 % h E ]_a` hzj Û Á O (7.37) απ ο Z Û [ Á ), η θ εση h :XU Αν η συχν οτητα περιστροφ ης των σφαιρ ων ε ιναι αρκετ α µικρ η (µικρ οτερη ε ιναι θ εση ευσταθο υς ισορροπ ιας, αφο υ η παραπ ανω διαφορικ η εξ ισωση µοι αζει µε αυτ η του αρµονικο υ ταλαντωτ η για µικρ α h, και ετσι οι σφα ιρες παραµ ενουν κολληµ ενες στον κατακ ορυφο αξονα. Ας υποθ εσουµε οτι θ ελουµε να διατηρο υµε την ταχ υτητα της µηχαν ης στη σταθερ η τιµ η e Z, η οπο ια ξεπερν α το οριο Û [ Á. Ε ιναι προφαν ες οτι σε αυτ η την περ ιπτωση η θ εση h :²U πα υει να ε ιναι θ εση ευσταθο υς ισορροπ ιας και εµφαν ιζεται µια αλλη θ εση ισορροπ ιας, η γων ια που αποτελε ι ρ ιζα της εξ ισωσης E ]_a` hzj Û Á :XU O Αν αναπτ υξουµε το δε υτερο µ ελος της διαφορικ ης εξ ισωσης (7.37) γ υρω απ ο αυτ ο το σηµε ιο ισορροπ ιας µπορο υµε να αποδε ιξουµε οτι αυτ ο το ν εο σηµε ιο ισορροπ ιας ε ιναι ευσταθ ες. Αν µ αλιστα ρυθµ ισουµε την ταχ υτητα περιστροφ ης αν αλογα µε το π οσο ανυψ ωνονται οι σφα ιρες, σ υµφωνα µε το ν οµο µε Þ ekf A ]_a` hzj ]_a` που συνεπ αγεται ελ αττωση της ταχ υτητας, οταν η γων ια h ξεπερ ασει τη θ εση ισορροπ ιας τ οτε η µηχαν η θα λειτουργε ι συν εχεια µε σταθερ η ταχ υτητα. Μπορο υµε, επιπλ εον, να αποδε ιξουµε οτι στην περ ιπτωση αυτ η η συχν οτητα των µικρ ων ταλαντ ωσεων των σφαιρ ων γ υρω απ ο τη θ εση ισορροπ ιας θα ε ιναι ακ οµη µεγαλ υτερη απ ο,τι αν η συχν οτητα παρ εµενε σταθερ η. Το υτο ε ιναι αναµεν οµενο, αφο υ ο µηχανισµ ος

20 O ì È 222 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ αυτορ υθµισης της ταχ υτητας κατασκευ αστηκε για να προκαλε ι αν αδραση. Ετσι, σε κ αθε µετα ολ η της ταχ υτητας περιστροφ ης, οποιουδ ηποτε ε ιδους τρι η στις αρθρ ωσεις σταθεροποιε ι ταχ υτερα το σ υστηµα στη θ εση ισορροπ ιας Κοσµολογ ια σε ενα κλειστ ο, µονοδι αστατο και σχεδ ον οµογεν ες Σ υµπαν Ας υποθ εσουµε οτι ο κ οσµος ε ιναι µονοδι αστατος και µ αλιστα πεπερασµ ενος. Θα µπορο υσαµε να περιγρ αψουµε εναν τ ετοιο κ οσµο εχοντας κατ α νου την τοπολογ ια εν ος δακτυλ ιου. Αν συµπληρ ωναµε το γεωµετρικ ο αυτ ο υπ ο αθρο µε µ αζες, οι οπο ιες θα επαιζαν το ρ ολο των γαλαξι ων αυτο υ του κ οσµου και θα αλληλεπιδρο υσαν βαρυτικ α µεταξ υ τους, θα ε ιχαµε ενα κοσµολογικ ο µοντ ελο που θα περι εγραφε τον υποθετικ ο αυτ ο κ οσµο. Θ ελουµε να ελ εγξουµε π ως θα εξελισσ οταν µια οµοι οµορφη κατανοµ η µαζ ων κατ α µ ηκος του δακτυλ ιου σε ενα τ ετοιο Σ υµπαν. Η βαρυτικ η δ υναµη σε ενα µονοδι αστατο κ οσµο οπως συµ α ινει και µε την ελκτικ η δ υναµη µεταξ υ δ υο φορτισµ ενων απειρων πλακ ων εν ος πυκνωτ η η οπο ια ε ιναι ανεξ αρτητη της απ οστασης αυτ ων αποδεικν υεται οτι ε ιναι σταθερ η και ανεξ αρτητη απ ο την απ οσταση µεταξ υ των σωµ ατων. Συνεπ ως, το αντ ιστοιχο της νευτ ωνειας βαρυτικ ης ελξης δ υο µαζ ων σε ενα µονοδι αστατο κ οσµο θα ε ιναι ¾ í» E : J? í? E D E J0D í D E J0D í Γενν αται, β ε αια, το ερ ωτηµα τι συµ α ινει οταν η µ ια δι ασταση παρουσι αζει περιοδικ ες συνθ ηκες. Σε αυτ η την περ ιπτωση πρ επει να λ α ουµε τη δ υναµη ακρι ως οπως παραπ ανω, µετρ ωντας τις αποστ ασεις µεταξ υ ολων των µαζ ων δεξι οστροφα οµως η αριστερ οστροφα; Θα επιλ εξουµε εκε ινη τη φορ α κατ α την οπο ια η απ οσταση µεταξ υ των δ υο µαζ ων ε ιναι ελ αχιστη. 7 Η δυναµικ η, λοιπ ον, εν εργεια εν ος ζε υγους σωµατιδ ιων, οι θ εσεις των οπο ιων σε αυτ ο τον κ οσµο καθορ ιζονται απ ο τις γων ιες c Pc εχει τη µορφ η r A c PcI : í?? ± ¹' % î e ð í E c JNcJ, θα ³ P (7.38) οπου ο συµ ολισµ ος í αναφ ερεται στη σταθερ α της βαρ υτητας στο µονοδι αστατο κλειστ ο Σ υµπαν και ε ιναι η ακτ ινα του δακτυλ ιου. Ε ιναι 6 Aν, β ε αια, η τρι η ε ιναι αν αλογη µε την ταχ υτητα κ ινησης, ο χρ ονος απ οσ εσης, οπως γνωρ ιζουµε απ ο την περ ιπτωση του ταλαντωτ η µε απ οσ εση, δεν θα εξαρτ αται απ ο τη συχν οτητα της ταλ αντωσης. 7 Για ενεργειακο υς λ ογους θα πρ επει να επιλεγε ι εκε ινη η φορ α που οδηγε ι στη µικρ οτερη δυνατ η συνολικ η δυναµικ η εν εργεια του πεδ ιου και εποµ ενως, αφο υ η δ υναµη ε ιναι σταθερ η, η εκταση ισχ υος της δ υναµης πρ επει να ε ιναι η µικρ οτερη δυνατ η, δηλαδ η η κοντιν οτερη απ οσταση µεταξ υ αυτ ων. Ευχαριστο υµε τον Φ. Χατζη ω αννου για την επισ ηµανση αυτ η.

21 7.10. ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ 223 Σχ ηµα 7.10: Το µονοδι αστατο Σ υµπαν µε τουσ γαλαξ ιεσ του. ε υκολο να διαπιστ ωσουµε ο αγµατι η δυναµικ η εν εργεια τησ σχ εσησ τι πρ (7.38) δηµιουργε ι µεταξ υ δ υο µαζ ων µια ελκτικ η δ υναµη µε σταθερ ο µ ετρο και φορ α αυτ ην του κοντιν οτερου τ οξου που συνδ εει τισ δ υο µ αζεσ, ανεξαρτ ητωσ των πολλαπλασ ιων του που πιθαν ωσ εµπερι εχονται στη µ ετρηση τησ κ αθε γων ιασ. Ασ υποθ εσουµε στη συν εχεια ο οκληρο το δακτυλιοει τι γεµ ιζουµε ολ δ εσ Σ υµπαν µε ισεσ µ αζεσ οµοι οµορφα κατανεµηµ ενεσ, ετσι ωστε να σχηογω τησ κανονικ οτητασ του -γ ωνου µατ ιζουν ενα κανονικ ο -γωνο. Λ οι µ αζεσ θα ισορροπο υν στην αρχικ η τουσ θ εση. Αν, µ αλιστα, σασ προ1ληµατ ιζει η ευστ αθει α τουσ, υποθ εστε ο οσ αριθµ οσ, οπ οτε, τι ο ε ιναι περιττ επειδ η η δ υναµη ε ιναι σταθερ η και υπ αρχει ισοσ αριθµ οσ µαζ ων στα αριστερ α και στα δεξι α τησ κ αθε µ αζασ, θα ασκε ιται σε κ αθε µ αζα µηδενικ η συνολικ η δ υναµη. Επιπλ εον, ακ οµη και αν µετακιν ησουµε ελαφρ ωσ (λιγ οτερο απ ο ) τισ µ αζεσ απ ο τη θ εση ισορροπ ιασ τουσ, αυτ εσ θα εξακολουθ ησουν ο ον, ο λεσ να βρ ισκονται σε ισορροπ ια. Υποθ ετουµε, λοιπ τι οι γωνιακ εσ θ εσεισ των µαζ ων ε ιναι σταθερ εσ στισ κορυφ εσ του κανονικο υ -γ ωνου. Θα επιτρ εψουµε ο ο Σ υµπαν να εχει µωσ στο δακτυλιοειδ εσ αυτ µετα1λητ η µε το χρ ονο ακτ ινα. Ποια θα ε ιναι τ οτε η κινητικ η εν εργεια του συστ ηµατοσ; Χρειαζ οµαστε οσ του Σ υµπαντοσ αυτο υ για να µετρ αµε ταχ υτητεσ. Αν ενα σ υστηµα εντ επιλ εξουµε να µετρ αµε τισ ταχ υτητεσ ωσ προσ µ ια οποιαδ ηποτε µ αζα,8 η È Ö Ö Ö È [Ö Ö A b I 8 Αυτ οσ ε ιναι ουσιαστικ α ο αντ ιστοιχοσ ν οµοσ του Hubble για το µονοδι αστατο αυτ ο Σ υµπαν, αφο υ, ο οσο ταχ υτερα θα φα ινεται ο σο µακρ υτερα βρ ισκεται ενα α στρο, τ τι αποµακρ υνεται αυτ ο απ ο την κεντρικ η µ αζα που γ ινεται η παρατ ηρηση, αν η ακτ ινα του Σ υµπαντοσ µεγαλ ωνει.

22 C P : S ª Ö ± Ö ï ³ ï E Ö þ L L þ r Ö Ú È È Ç L ï Ú ª ± r Ö P 224 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ ταχ υτητα της L -οστ ης µ αζας στα δεξι α η στα αριστερ α απ ο τη µ αζα που επιλ εξαµε θα ε ιναι ƒ : È A C b I P Ç Ö J O Εποµ ενως, η κινητικ η εν εργεια ολου του Σ υµπαντος θα ε ιναι αν αλογη του A b I E. Η δυναµικ η εν εργεια, οντας το αθροισµα ολων των δυναµικ ων ενεργει ων αλληλεπ ιδρασης των επ ι µ ερους µαζ ων θα ε ιναι rs:= ï ð : Ö δηλαδ η θα ε ιναι αν αλογη της ακτ ινας A b I. Συνολικ α, η Λαγκρανζιαν η του Σ υµπαντος θα ε ιναι 9;:? È C E/J í? E š í ð í P È ³ P (7.39) οπου ª αριθµητικο ι παρ αγοντες που σχετ ιζονται µε το αθροισµα των κινητικ ων και δυναµικ ων ενεργει ων αντ ιστοιχα. Συγκεκριµ ενα, : š í E ð í L E : Ö A Ö J I A Ö F I P το διπλ ασιο του αθρο ισµατος των τετραγ ωνων των σχετικ ων θ εσεων για κ αθε ηµικ υκλιο και : š í E ï ð í : Ö A Ö J I A Ö F I Ú το διπλ ασιο του αθρο ισµατος των σχετικ ων θ εσεων για κ αθε ηµικ υκλιο και για κ αθε µ αζα. Η εξ ελιξη του Σ υµπαντος θα δι επεται απ ο τη δυναµικ η σχ εση που υπαγορε υει η εξ ισωση Euler - Lagrange : J í í? ±Üª ³ : J þ È ¼ ολ P (7.40) Ö? η ολικ η µ αζα του Σ υµπαντος. Με αλλα λ ογια το Σ υµπαν οπου ¼ ολ θα επι ραδ υνει την α υξηση της ακτ ινας του µε σταθερ ο ρυθµ ο. Αν ο αρχικ ος ρυθµ ος διαστολ ης του Σ υµπαντος ηταν A C U I : e, το Σ υµπαν θα φτ ασει στο µ εγιστο µ εγεθ ος του σε χρ ονο äqå4æ&: : Ú È Ee í ¼ ολ e (7.41) í (7.42) ¼ ολ µε την προ π οθεση β ε αια οτι ε ιχε ξεκιν ησει µε σχεδ ον µηδενικ ες διαστ ασεις. Φυσικ α, υστερα απ ο αλλο τ οσο χρονικ ο δι αστηµα οι διαστ ασεις του θα εκµηδενιστο υν και π αλι. Απ ο µια αποψη αυτ ο ε ιναι το µονοδι αστατο αν αλογο του χρονικο υ της εξ ελιξης του πραγµατικο υ µας Σ υµπαντος, εφ οσον οι µοναδικ ες δυν αµεις που δρουν ε ιναι οι βαρυτικ ες ελξεις µεταξ υ των συνιστωσ ων του.

23 C ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Προ λ ηµατα 1. Ενα φορτισµ ενο σωµατ ιδιο ε ιναι υποχρεωµ ενο να κινε ιται επ ανω σε ενα επ ιπεδο. Το σωµατ ιδιο βρ ισκεται µ εσα σε οµογεν ες µαγνητικ ο πεδ ιο, εν γ ενει πλ αγιο σε σχ εση µε το επ ιπεδο. Τι µορφ η εχει η τροχι α της κ ινησης που εκτελε ι το σωµατ ιδιο; 2. Ενα σωµατ ιδιο κινε ιται ελε υθερα στην επιφ ανεια µ ιας σφα ιρας. Προσδιορ ιστε την κ ινησ η του. 3. Αβαρ ες σχοιν ι περν α γ υρω απ ο α αρ η τροχαλ ια που ε ιναι στηριγ- µ ενη στην οροφ η εν ος δωµατ ιου. Στη µ ια ακρη του σχοινιο υ ε ιναι δεµ ενη µ ια αρµαθι α µπαν ανες µ αζας ¼, εν ω στην αλλη ακρη ενας π ιθηκος µ αζας επ ισης ¼ αναρριχ αται µε σκοπ ο να φτ ασει τις µπαν ανες. Αρχικ α ο π ιθηκος και οι µπαν ανες δεν βρ ισκονται στο ιδιο υψος. Η σχετικ η µετατ οπιση του πιθ ηκου ως προς την ακρη του σχοινιο υ ε ιναι A b I µε αρχικ ες συνθ ηκες A U I : U I : U A. Γρ αψτε τη λαγκρανζιαν η συν αρτηση του συστ ηµατος και µελετ ηστε την κ ινησ η του. Ποιες ε ιναι οι διατηρο υµενες ποσ οτητες και ποια η φυσικ η σηµασ ια τους. Θα καταφ ερει να φτ ασει ο π ιθηκος τις µπαν ανες ; 4. Κυκλικ ος δακτ υλιος ακτ ινας κυλ ιεται χωρ ις να ολισθα ινει επ ανω σε οριζ οντιο δ απεδο που κινε ιται οριζ οντια κατ α D A b I οπως φα ινεται στο σχ ηµα. Η µ αζα ¼ του δακτυλ ιου ε ιναι συγκεντρωµ ενη στην περιφ ερει α του. Προσδιορ ιστε το λ ογο της µετατ οπισης του κ εντρου του δακτυλ ιου προς τη µετατ οπιση του δαπ εδου. Θεωρ ηστε στη συν εχεια ενα ν οµισµα µε την ιδια συνολικ η µ αζα ¼, την ιδια ακτ ινα και το ιδιο κ εντρο µ αζας, αλλ α µε τη µ αζα κατανεµηµ ενη µε τ ετοιο τρ οπο ωστε η περιστροφικ η κινητικ η του εν εργεια να ε ιναι ¼ û E c+eµp C µε ¼ û á ¼. Προσδιορ ιστε το ν εο λ ογο µετατ οπισης του κ εντρου β αρους προς τη µετατ οπιση του δαπ εδου. Τι θα συµ ε ι, αν τοποθετηθο υν δ υο δακτ υλιοι διαφορετικ ης ακτ ινας, ο ενας δ ιπλα στον αλλο, π ανω στο κινο υµενο δ απεδο; Επι ε αι ωστε την απ αντησ η σας εκτελ ωντας το πε ιραµα.

24 ¼ È 226 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΩΝ 5. Κατασκευ αστε τη Λαγκρανζιαν η και στη συν εχεια υπολογ ιστε την κ ινηση εν ος συστ ηµατος που αποτελε ιται απ ο ενα δακτ υλιο µ αζας και ακτ ινας, ο οπο ιος µπορε ι να κυλ ιεται σε οριζ οντιο επ ιπεδο, και εν ος σωµατιδ ιου µ αζας? που ολισθα ινει χωρ ις τρι ες επ ανω στο δακτ υλιο ξεκιν ωντας απ ο το αν ωτερο σηµε ιο του δακτυλ ιου οταν αυτ ος ε ιναι ακ ινητος. Πο υ βρ ισκονται τα δ υο σ ωµατα, οταν χ ανεται η επαφ η του εν ος µε το αλλο; 6. Η Λαγκρανζιαν η µιας εκρηξης. Θεωρ ηστε ως απλουστευµ ενο µοντ ελο µιας εκρηξης ενα σ υστηµα δ υο µαζ ων που µπορο υν να κινο υνται π ανω σε εναν αξονα δ ιχως τρι ες. Μεταξ υ των δ υο µαζ ων υ- π αρχει συµπιεσµ ενο α αρ ες ελατ ηριο, το οπο ιο κ αποια στιγµ η αφ ηνεται ελε υθερο να αποσυµπιεστε ι, εως οτου αποκτ ησει το φυσικ ο του µ ηκος, οπ οτε οι δ υο µ αζες διαχωρ ιζονται. Γρ αψτε τη Λαγκρανζιαν η και υπολογ ιστε την κ ινηση του συστ ηµατος των δ υο µαζ ων, αν αρχικ α αυτ α ηταν ακ ινητα. Στο οριο που η σταθερ α του ελατηρ ιου τε ινει στο απειρο, αλλ α η εν εργεια του συµπιεσµ ενου ελατηρ ιου ε ιναι δεδοµ ενη, ποια ε ιναι η εξ ισωση της κ ινησης; Εχοντας καταλ ηξει στο επιθυµητ ο αποτ ελεσµα θα µπορο υσατε µ ηπως να γρ αψετε τη λαγκρανζιαν η συν αρτηση του συστ ηµατος συµπεριλαµ ανοντας µ ονο τις κινητικ ες εν εργειες των µαζ ων µε δεδοµ ενη τη σχετικ η ταχ υτητα των δ υο µαζ ων πριν και µετ α την εκτ ιναξη του ελατηρ ιου; 7. Η Λαγκρανζιαν η εν ος πυρα υλου. Στηριζ οµενοι στο αποτ ελεσµα της προηγο υµενης ασκησης γρ αψτε τη Λαγκρανζιαν η εν ος πυρα υλου, ο οπο ιος προωθε ιται απ ο την εκτ οξευση αερ ιων µε σταθερ ο ρυθµ ο και σχετικ η ταχ υτητα r, σε συνθ ηκες απουσ ιας οποιουδ ηποτε πεδ ιου. Στη συν εχεια κατασκευ αστε την εξ ισωση κ ινησης του πυρα υλου. 8. Ενα σωµατ ιδιο κινε ιται µ εσα σε οµογεν ες µαγνητικ ο πεδ ιο. Να αναφ ερετε ολες τις συµµετρ ιες της λαγκρανζιαν ης συν αρτησης και να προσδιορ ισετε τις διατηρο υµενες ποσ οτητες. Να συγκρ ινετε κατ οπιν τις διατηρο υµενες ποσ οτητες µε αυτ ες που διατηρο υνται σε ενα ελε υθερο σωµατ ιδιο. 9. Προσδιορ ιστε την κ ινηση σωµατιδ ιου που κινε ιται ελε υθερα επ ι µιας ζ ωνης του Möbius. Η ζ ωνη προσδιορ ιζεται παραµετρικ α απ ο τις σχ εσεις µε U Ç ƒ Ç U O D : J&ƒ `8 % A [ I ]_a` A IMF ]_a` A I P H : J&ƒ `8 % A [ I `8 % A IMF `8 % A I P : ]_a` A [ IGP και U Ç )átú.

Θ εµα Α : Θ εµα Β : Θ εµα Γ :

Θ εµα Α : Θ εµα Β : Θ εµα Γ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξετ ασεις επ ι Πτυχ ιω στη Θεωρ ια της Ειδικ ης Σχετικ οτητας 29 Απριλ ιου 2009 Να γραφο υν τα 4 απ ο τα 5 θ εµατα Σε ολα τα θ εµατα εργαστε ιτε σε σ υστηµα µον αδων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΜΑ Α (25 µον αδες) ΘΕΜΑ Β (25 µον αδες) η µοναδικ ΘΕΜΑ Γ (25 µον αδες) κοιν

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΜΑ Α (25 µον αδες) ΘΕΜΑ Β (25 µον αδες) η µοναδικ ΘΕΜΑ Γ (25 µον αδες) κοιν ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξ εταση στη Μηχανικ η Ι 6 Σεπτεµ ρ ιου 2005 Τµ ηµα Π Ιω αννου & Θ Αποστολ ατου Απαντ ηστε και στα 4 Θ εµατα µε σαφ ηνεια και απλ οτητα Οι ολοκληρωµ ενες απαντ ησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξετ ασεις στη Θεωρ ια της Ειδικ ης Σχετικ οτητας Σεπτεµ ρ ιου 200 Να απαντ ησετε στα 4 απ ο τα ακ ολουθα προ λ ηµατα. Θ εµα 1 Το γεγον ος βρ ισκεται εντ ος του µελλοντικο

Διαβάστε περισσότερα

Albert Einstein. Lagrange

Albert Einstein. Lagrange Κεφ αλαιο 3 Συν αρτηση Lagrange Αυτ ο που πραγµατικ α µε ενδιαφ ερει ε ιναι το αν ο Θε ος ε ιχε τη δυνατ οτητα επιλογ ης κατ α τη δηµιουργ ια του κ οσµου Albert Einstein 3.1 Η Λαγκρανζιαν η και το φυσικ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ αλαιο 6 6.1 Απειροστ ες στροφ ες διαν υσµατος

Κεφ αλαιο 6 6.1 Απειροστ ες στροφ ες διαν υσµατος Κεφ αλαιο 6 Στροφ ες Ειδικ η Θεωρ ια της Σχετικ οτητας Στο εξ ης ο χ ωρος και ο χρ ονος ως ανεξ αρτητες εννοιες ε ιναι καταδικασµ ενοι να σ ησουν, καταντ ωντας απλ ες σκι ες, και µ ονο ενα ε ιδος συν ενωσ

Διαβάστε περισσότερα

L 96/22 EL ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΚ) αριθ. 696/98 ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ τη 27η Μαρτ ιου 1998 για την εφαρµογ η του κανονισµο υ (ΕΚ) αριθ. 515/97 του Συµβουλ ιου περ ι τη αµοιβα ια συνδροµ η µεταξ υ των διοικητικ ων αρχ

Διαβάστε περισσότερα

L 217/18 EL Ο ΗΓΙΑ 98/48/ΕΚ ΤΟΥ ΕΥΡΩΠΑΙ ΚΟΥ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 20 η Ιουλ ιου 1998 για την τροποπο ιηση τη οδηγ ια 98/34/ΕΚ για την καθι ερωση µια διαδικασ ια πληροφ ορηση στον τοµ εα των

Διαβάστε περισσότερα

11. 3. 1987, σ. 11).»

11. 3. 1987, σ. 11).» L 201/88 EL Ο ΗΓΙΑ 98/50/ΕΚ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 29η Ιουν ιου 1998 για την τροποπο ιηση τη οδηγ ια 77/187/ΕΟΚ περ ι προσεγγ ισεω των νοµοθεσι ων των κρατ ων µελ ων, σχετικ ων µε τη διατ ηρηση των δικαιωµ

Διαβάστε περισσότερα

Επ ισηµη Εφηµερ ιδα των Ευρωπα ικ ων Κοινοτ ητων L 14/9

Επ ισηµη Εφηµερ ιδα των Ευρωπα ικ ων Κοινοτ ητων L 14/9 20. 1. 98 EL Επ ισηµη Εφηµερ ιδα των Ευρωπα ικ ων Κοινοτ ητων L 14/9 Ο ΗΓΙΑ 97/81/ΕΚ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 15η εκεµβρ ιου 1997 σχετικ α µε τη συµφων ια-πλα ισιο για την εργασ ια µερικ η απασχ οληση που συν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ αλαιο 5 Σ υνοψη και τελικ α συµπερ ασµατα

Κεφ αλαιο 5 Σ υνοψη και τελικ α συµπερ ασµατα Κεφ αλαιο 5 Σ υνοψη και τελικ α συµπερ ασµατα Στα πλα ισια της παρο υσας διατρι ης µετρ ηθηκαν οι ενεργ ες διατοµ ες αντιδρ ασεων πρωτονικ ης σ υλληψης στα τρ ια απ οτατ εσσερα σταθερ α ισ οτοπα του Sr

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικ ο Μετσ ο ιο Πολυτεχνε ιο

Εθνικ ο Μετσ ο ιο Πολυτεχνε ιο Εθνικ ο Μετσ ο ιο Πολυτεχνε ιο Σχολ η Εφαρµοσµ ενων Μαθηµατικ ων και Φυσικ ων Επιστηµ ων Μετρ ησεις ενεργ ων διατοµ ων πυρηνικ ων αντιδρ ασεων πρωτονικ ης σ υλληψης των ισοτ οπων του Στροντ ιου µε σηµασ

Διαβάστε περισσότερα

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1 Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ ΠΟΥ ΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑ Ι ΕΙΑ Σ & ΘΡΗΣ Κ/Τ Ω ΕΝΙΑ ΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤ ΙΚΟΣ Τ ΟΜ ΕΑ Σ Σ ΠΟΥ Ω Ν ΕΠΙΜ ΟΡΦΩ Σ ΗΣ ΚΑ Ι ΚΑ ΙΝΟΤ ΟΜ ΙΩ Ν /ΝΣ Η Σ ΠΟΥ Ω Τ µ ή µ α Α Α. Πα π α δ ρ έ ο υ 37

Διαβάστε περισσότερα

Προτ υπου (Minimal Supersymmetric Standard Model, MSSM).

Προτ υπου (Minimal Supersymmetric Standard Model, MSSM). υνατ οτητα αν ιχνευσης σωµατιδ ιων Higgs και Φυσικ ης π εραν του Καθιερωµ ενου Προτ υπου στον LHC και µελ ετες επ ι του ανιχνευτ η ακτινο ολ ιας µετ α ασης του πειρ αµατος ATLAS CERN-THESIS-22-5 11/2/22

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση Ανάλυση Απ ο τ ε λε σµ άτ ω ν ιδάσκων: Ν ικό λ α ο ς Α µ π α ζ ή ς Ανάλυση Απ ο τ ε λε σµ άτ ω ν Τα απ ο τ ε λ έ σ µ ατ α απ ό τ η ν π αρ αγ ω γ ή κ αι τ η χ ρ ή σ η τ υ χ αί ω ν δ ε ι γ µ

Διαβάστε περισσότερα

α : 210-6465727 E-mail : support@gcsl.gr

α : 210-6465727 E-mail : support@gcsl.gr Α Α Α Α Α: 65Χ Η-Λ Φ Η Η Η Α Α Α Α : 5PROC002922680 Η Α Α Α Η Αθή α, 6-7-205 Η Η Α ιθ..: 30/002/000/4368 Η Α Έ ισ α ά ς: 30/002/000/4034/26-6-205 Η Α, Η Η Α Η (A Α : Η- ) & Η Η Α Η Α A α. / σ : Α. σό α

Διαβάστε περισσότερα

Κανονισμός Διοικητικού Συμ ου ίου

Κανονισμός Διοικητικού Συμ ου ίου Κανονισμός Διοικητικού Συμ ου ίου Περιφερειακής Ένωσης Δήμων (Π.Ε.Δ.) Ιονίων Νήσων Περιφερειακή Έν ση Δήμ ν (Π.Ε.Δ.) Ιονί ν Νήσ ν -3mm-3mm ΠΕΔ ΙΝ Ιανουάριος 2012 2 Περιε όμενα 1 Αντικείμενο του κανονισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ ANAΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΥΠΟΒΟΛΗ ΠΡΟΤΑΣΗΣ ΓΙΑ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΣΥΜΒΑΣΗΣ ΜΙΣΘΩΣΗΣ ΕΡΓΟΥ Αριθμ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΑΛΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

ΓΑΛΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί η σωστή απάντηση. Ένας ακίνητος τρoχός δέχεται σταθερή συνιστάμενη ροπή ως προς άξονα διερχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Τ Α Γ Ε Ν Ι Ν Ε Υ Τ Ω Ν Μ Ε Τ Ω Ν Τ Α Ν Ω Ν Υ Μ Γ Ε Ν Ι Ε Τ Α Ι Α Τ Μ Ε Ν Τ Ω Ν ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΚΤ IKΗΣ ΚΗΣ ΣΥ ΛΕ ΣΗΣ ΟΧ ΗΣ ΟΥ ΚΗΣ ΡΙ Σ ΣΙ ΗΡΑ ΚΛΗΣ Σύµφωνα µε το Νό µο 2190/1920 και το άρ θ ρ ο 26 του Καταστατι

Διαβάστε περισσότερα

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Γραµµική ταχύτητα : ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ds. Γωνιακή ταχύτητα : dθ ω ωr Οµαλή κκλική κίνηση : σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2002 ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ): ΦΥΣΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΙΔΑ: «ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ, ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ» ΣΤΡΑΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ Επιβλέπων Καθηγητής: ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΚΑΡΛΟΒΑΣΙ, ΜΑΪΟΣ 2012 ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Στι ερωτήσει - 4 να γράψετε στο τετράδιό σα τον αριθµό των ερώτηση και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Τροχό κυλίεται πάνω σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

Smart Shop uu ss ii nn g g RR FF ii dd Παύλος ΚΚ ατ σσ αρ όό ς Μ Μ MM Ε Ε ΞΞ ΥΥ ΠΠ ΝΝ ΟΟ ΜΜ ΑΑ ΓΓ ΑΑ ΖΖ Ι Ι ΡΡ ΟΟ ΥΥ ΧΧ ΙΙ ΣΣ ΜΜ ΟΟ ΥΥ E E TT HH N N ΧΧ ΡΡ ΗΗ ΣΣ ΗΗ TT OO Y Y RR FF II DD Απευθύνεται σσ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Επιτρεπόμενη διάρκεια γραπτού 2,5 ώρες (150 λεπτά)

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Επιτρεπόμενη διάρκεια γραπτού 2,5 ώρες (150 λεπτά) ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31/05/2010 ΤΑΞΗ: Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ: 07:30 10:00 π.μ. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:... ΤΜΗΜΑ:...

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2014-2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΜΑΘΗΜΑ: Φυσικά (Φυσική και Χημεία) ΤΑΞΗ: Β

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2014-2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΜΑΘΗΜΑ: Φυσικά (Φυσική και Χημεία) ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2014-2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: Φυσικά (Φυσική και Χημεία) ΤΑΞΗ: Β Χρόνος: 2 ώρες Βαθμός:... Ημερομηνία: 08/06/2015 Υπογραφή Καθηγητή/τριας:...

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΗ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΤΙΗΣ Ι ΤΕΧ/ΗΣ ΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜ : Στις ερωτήσεις - να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στις ερωτήσεις -5 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση..

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘEMA 1 ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση A1.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό.

Διαβάστε περισσότερα

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιµέλεια: Γιοµπλιάκης Λάζαρος Ματελόπουλος Αντώνης Τσαµήτρος ηµήτριος

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιµέλεια: Γιοµπλιάκης Λάζαρος Ματελόπουλος Αντώνης Τσαµήτρος ηµήτριος ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιµέλεια: Γιοµπλιάκης Λάζαρος Ματελόπουλος Αντώνης Τσαµήτρος ηµήτριος ΘΕΜΑ Ο. Σφαίρα Α µε µάζα m g συγκρούεται µετωπικά και ελαστικά µε ταχύτητα υ 5m/ µε ακίνητη σφαίρα Β

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2008 ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑÏΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΓΩΝΙΣΜ ΘΕΜ 1 Ο Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. ) Η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών δεσµών το στάσιµο κύµα είναι: 1/ λ/4 / λ/6 3/ λ/ 4/ λ όπου λ είναι το µήκος κύµατος των τρεχόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 53 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Φιλολάου & Εκφαντίδου 26 : Τηλ.: 2107601470 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω προτάσεις Α1-Α4 να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Αρµονικό κύµα διαδίδεται σε ένα εθύγραµµο ελαστικό µέσο. Όλα τα σηµεία το µέσο διάδοσης, πο ταλαντώνονται λόγω της διέλεσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την στροφική τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών

Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την στροφική τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών Σ' ένα πρόβλημα, παρατηρώ αλλαγή στη κατάσταση ενός στερεού (ή συστήματος στερεών), καθώς αυτό δέχεται εξωτερικές ροπές.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΑ Χ Ρ ΗΜ ΑΤ ΙΣ Τ ΗΡ ΙΑ CISCO EXPO 2009 G. V a s s i l i o u - E. K o n t a k i s g.vassiliou@helex.gr - e.k on t ak is@helex.gr 29 Α π ρ ι λ ί ο υ 20 0 9 Financial Services H E L E X N O C A g e

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Σε όλες τις κινήσεις που μελετούσαμε μέχρι τώρα, προκειμένου να απλοποιηθεί η μελέτη τους, θεωρούσαμε τα σώματα ως υλικά σημεία. Το υλικό σημείο ορίζεται ως σώμα που έχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Στροφορµή

Κεφάλαιο 11 Στροφορµή Κεφάλαιο 11 Στροφορµή Περιεχόµενα Κεφαλαίου 11 Στροφορµή Περιστροφή Αντικειµένων πέριξ σταθερού άξονα Το Εξωτερικό γινόµενο-η ροπή ως διάνυσµα Στροφορµή Σωµατιδίου Στροφορµή και Ροπή για Σύστηµα Σωµατιδίων

Διαβάστε περισσότερα

Τ I Μ Ο Κ A Τ Α Λ Ο Γ Ο Σ ΣΥΝΘΕΤΙΚΩΝ ΚΟΥΦΩΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑ TROCAL 88+ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ

Τ I Μ Ο Κ A Τ Α Λ Ο Γ Ο Σ ΣΥΝΘΕΤΙΚΩΝ ΚΟΥΦΩΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑ TROCAL 88+ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ιο χιλ. Αρτας -Ιωαννίνων 47100 Αρτα web: www.nfantis.gr em ail:tameio@nfantis.gr Τ I Μ Ο Κ A Τ Α Λ Ο Γ Ο Σ ΣΥΝΘΕΤΙΚΩΝ ΚΟΥΦΩΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑ TROCAL 88+ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΕΛΙΔΑ TROCAL 88+ ΛΕΥΚΟ ΜΟΝΟΦΥΛΛΟ 2-3 TROCAL

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων;

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων; ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ Είδαµε ότι η φυσική κίνηση ενός σωµατιδίου σε συντηρητικό πεδίο ικανοποιεί την αρχή ελάχιστης δράσης του Hamilton µε Λαγκρανζιανή, όπου η κινητική ενέργεια του

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΗΣ ΘΕΤΙΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέμα ο. ύλινδρος περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με γωνιακή ταχύτητα ω. Αν ο συγκεκριμένος κύλινδρος περιστρεφόταν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 014 Ε_3.ΦλΓΑΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ & ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Β Β1. Σωστό το β. Δόθηκε ότι οι μάζες των σωμάτων είναι ίσες, δηλαδή ma = mb. Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων (1) και (2) έχουμε:

ΘΕΜΑ Β Β1. Σωστό το β. Δόθηκε ότι οι μάζες των σωμάτων είναι ίσες, δηλαδή ma = mb. Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων (1) και (2) έχουμε: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΛΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α δ Α β Α β Α4 γ Α5. α Σ, β Λ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΠΑ ΑΔΑ: ΒΕΦ8Χ-ΦΟ9. ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 5ης ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ Ε.Π. «ιοικητική Μεταρρ ύθµιση 2007-2013» *** * * t ΜΕΤΑΡΡΥΟΜΙΣΗ

ΕΣΠΑ ΑΔΑ: ΒΕΦ8Χ-ΦΟ9. ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 5ης ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ Ε.Π. «ιοικητική Μεταρρ ύθµιση 2007-2013» *** * * t ΜΕΤΑΡΡΥΟΜΙΣΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Υπουργε ίο ιοικητικ ής Μεταρρ ύθµισης και Ηλεκτρονικ ής ιακυβέρνησης ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 5ης ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ Ε.Π. «ιοικητική Μεταρρ ύθµιση 2007-2013» 22 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 Nα γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 Nα γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 9 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪ Η-ΜΑΝΩΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Φιλολάου & Εκφαντίδου 6 : Τηλ.: 076070 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΥΚΕΙΟΥ 009 ΘΕΜΑ Nα γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό καθεµιάς

Διαβάστε περισσότερα

Κ Α Ν Ο Ν Ι Σ Μ Ο Σ Λ Ε Ι Τ Ο Υ Ρ Γ Ι Α Σ Ε Π Ι Τ Ρ Ο Π Ω Ν

Κ Α Ν Ο Ν Ι Σ Μ Ο Σ Λ Ε Ι Τ Ο Υ Ρ Γ Ι Α Σ Ε Π Ι Τ Ρ Ο Π Ω Ν Κ Α Ν Ο Ν Ι Σ Μ Ο Σ Λ Ε Ι Τ Ο Υ Ρ Γ Ι Α Σ Ε Π Ι Τ Ρ Ο Π Ω Ν Ψ η φ ί σ τ η κ ε α π ό τ η Γ ε ν ι κ ή Σ υ ν έ λ ε υ σ η τ ω ν Μ ε λ ώ ν τ ο υ Σ Ε Π Ε τ η ν 24 η Μ α ΐ ο υ 2003 Δ ι ά τ α ξ η Ύ λ η ς 1. Π

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

από τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N!

από τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N! Οµογενής συµπαγής κύβος ακµής α και µάζας m, ισορροπεί ακουµπώντας µε µια ακµή του σε κατακόρυφο τοίχο και µε µια του έδρα σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, όπως φαίνεται στο

Διαβάστε περισσότερα

1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές ;

1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές ; 45 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪ Η-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Χρυσ Σµύρνης 3 : Τηλ.: 107601470 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 006 ΘΕΜΑ 1 1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΘΕΜΑ 1ο. ΘΕΜΑ 2ο. 3. Σωστό το δ. 2. Σωστό το β. 4. Σωστό το β 5. α περίοδος, β συµβολή, γ σύνθετη, δ µεγαλύτερη, ε κοιλίες

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΘΕΜΑ 1ο. ΘΕΜΑ 2ο. 3. Σωστό το δ. 2. Σωστό το β. 4. Σωστό το β 5. α περίοδος, β συµβολή, γ σύνθετη, δ µεγαλύτερη, ε κοιλίες ΘΕΜ ο ΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ Γ ΤΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 3 ΕΞΕΤΖΟΜΕΝΟ ΜΘΗΜ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΤΩΝ. Σωστό το δ. Σωστό το γ 3. Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας ΔΥΝΑΜΗ ΕΡΓΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑ µηχανική, χηµική, θερµότητα, βαρυτική, ηλεκτρική, µαγνητική, πυρηνική, ραδιοενέργεια, τριβής, κινητική, δυναµική Περιεχόµενα Κεφαλαίου 8 Συντηρητικές

Διαβάστε περισσότερα

κ ηϋλ μ α λκπκλδευμ www.karmatravel.gr Travel.Karma@yahoo.gr ΙΝΔΙΑΝ ΧΡΤΟΝ ΣΡΙΓΩΝΟ 06, 27/10/15 639 899 03/11/15 769 1029 600 5* ΦόλκδΝ Α φαζέ Κα ηγέ

κ ηϋλ μ α λκπκλδευμ www.karmatravel.gr Travel.Karma@yahoo.gr ΙΝΔΙΑΝ ΧΡΤΟΝ ΣΡΙΓΩΝΟ 06, 27/10/15 639 899 03/11/15 769 1029 600 5* ΦόλκδΝ Α φαζέ Κα ηγέ www.karmatravel.gr Travel.Karma@yahoo.gr ΙΝ Ι ΧΡ Ο ΡΙ ΩΝΟ κ ηϋλ μ α λκπκλδευμ Β ί Ο Ά α (2) Ο Φα π υ ί Ο μπ α Ο α π (2) Ο Φ Άμπ Ο Β ί (2) Πλκκλδ ηόμ ΙΝΔΙΑΝ ΧΡΤΟΝ ΣΡΙΓΩΝΟ ΜΫλ μ Αθαχωλά δμ Δέεζδθκ Μκθόεζδθκ

Διαβάστε περισσότερα

Εναλλακτικές ιδέες των µαθητών

Εναλλακτικές ιδέες των µαθητών Εναλλακτικές ιδέες των µαθητών Αντωνίου Αντώνης, Φυσικός antoniou@sch.gr, http://users.att.sch.gr/antoniou Απόδοση στα ελληνικά της µελέτης του Richard P. Olenick, καθηγητή Φυσικής του University of Dallas.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις υναµικής 3 η ενότητα: Κινητική σωµατιδίου: ενέργεια, ορµή, κρούση

Ασκήσεις υναµικής 3 η ενότητα: Κινητική σωµατιδίου: ενέργεια, ορµή, κρούση Ασκήσεις υναµικής 3 η ενότητα: Κινητική σωµατιδίου: ενέργεια, ορµή, κρούση 1. Mόλις τεθεί σε κίνηση µε σταθερή ταχύτητα, ο µάζας 1000 kg ανελκυστήρας Α ανεβαίνει µε ρυθµό έναν όροφο (3 m) το δευτερόλεπτο.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις 1-4 να βρείτε τη σωστή απάντηση. Α1. Για κάποιο χρονικό διάστηµα t, η πολικότητα του πυκνωτή και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο 1.1 Να γράψετε στο τετράδιό σας τα φυσικά µεγέθη από τη Στήλη Ι και, δίπλα σε καθένα, τη µονάδα της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί σ' αυτό.

ΘΕΜΑ 1ο 1.1 Να γράψετε στο τετράδιό σας τα φυσικά µεγέθη από τη Στήλη Ι και, δίπλα σε καθένα, τη µονάδα της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί σ' αυτό. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΠΤΑ (7) ΘΕΜΑ 1ο 1.1 Να γράψετε στο τετράδιό σας τα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Θέμα Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

φυσική κατεύθυνσης γ λυκείου ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (κεφ.4) Γκότσης Θανάσης - Τερζής Πέτρος

φυσική κατεύθυνσης γ λυκείου ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (κεφ.4) Γκότσης Θανάσης - Τερζής Πέτρος 1 Ένα στερεό εκτελεί μεταφορική κίνηση όταν: α) η τροχιά κάθε σημείου είναι ευθεία γραμμή β) όλα τα σημεία του έχουν ταχύτητα που μεταβάλλεται με το χρόνο γ) μόνο το κέντρο μάζας του διαγράφει ευθύγραμμη

Διαβάστε περισσότερα

Multi Post. Ενδοριζικοί άξονες ανασύστασης

Multi Post. Ενδοριζικοί άξονες ανασύστασης Multi Post Ενδορζοί άξς ανασύσασης MultiPost Σύσηµα νδορζών αξόνων α αποαάσαση µ ρηνώδη υλά Το σύσηµα Multi Post ης D+Z που πρλαµβάν άξς αασυασµένους από αθαρό άνο ίνα ένα ύολο σο χρσµό α δοµασµένο σύσηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα δυνάµεων

Παραδείγµατα δυνάµεων ΥΝΑΜΕΙΣ Παραδείγµατα Ορισµός της δύναµης Χαρακτηριστικά της δύναµης Μάζα - Βάρος Μέτρηση δύναµης ράση - αντίδραση Μέτρηση δύναµης Σύνθεση - ανάλυση δυνάµεων Ισορροπία δυνάµεων 1 Ανύψωση βαρών Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ η εξεταστική ερίοδος 05 Σελίδα ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ημερομηνία: 700 Διάρκεια: ώρες Ύλη: Ταλαντώσεις Καθηγητής: Ονοματεώνυμο: ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

σε τα σημε α να ε ναι υπ λ γι τι ζ χαι ι Υ αμμ ζ να αντιπρ σωπει υν τι

σε τα σημε α να ε ναι υπ λ γι τι ζ χαι ι Υ αμμ ζ να αντιπρ σωπει υν τι Φ Λ Ι Ι ι αγωγτ ρι μ Π λλι πρα τν πρ βλτ ματα χαι χαταστι αει τη αθημ ριν ζω μπ ρ ι ν να περιγραφ ν με τη β θεια ν διαγρι μματ ζ απ τελ μεν υ απ να ι ν λ ημε ων αι να ν λ γραμμι ν π υ να ενι ν υν υγ ε

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5. Μονάδες 5. Μονάδες 5. Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

Μονάδες 5. Μονάδες 5. Μονάδες 5. Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ ο ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ου ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 3 ΜΑΪΟΥ 200 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ () Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Σε γαλάζιο φόντο ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ (2013 2014) Σε μαύρο φόντο ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ (2013-2014)

Σε γαλάζιο φόντο ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ (2013 2014) Σε μαύρο φόντο ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ (2013-2014) > Φυσική Β Γυμνασίου >> Αρχική σελίδα ΔΥΝΑΜΗ ΕΕρρωττήήσσεει ιςς ΑΑσσκκήήσσεει ιςς μμ εε ααππααννττήή σσεει ιςς (σελ. 1) ΕΕρρωττήήσσεει ιςς ΑΑσσκκήήσσεει ιςς χχωρρί ίςς ααππααννττήήσσεει ιςς (σελ. 5) ΙΑΒΑΣΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ. και f= 1 T. Κινητική προσέγγιση της Α.Α.Τ. υναμική προσέγγιση της Α.Α.Τ. D = m. Ενεργειακή προσέγγιση της Α.Α.Τ.

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ. και f= 1 T. Κινητική προσέγγιση της Α.Α.Τ. υναμική προσέγγιση της Α.Α.Τ. D = m. Ενεργειακή προσέγγιση της Α.Α.Τ. ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της Α.Α.Τ. Συχνότητα f Ν t και f T Γωνιακή συχνότητα ω π και ωπf Τ. Απομάκρυνση: Κινητική προσέγγιση της Α.Α.Τ. χ Α ημ(ωt + φ 0 ) όταν φ 0

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ΘΕΜΑ 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΑΛΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΑΛΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί η σωστή απάντηση 1. Δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με την επίδραση σταθερής οριζόντιας

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και, δίπλα, το γράμμα που αντιστοιχεί στη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΕΥΘΥΝΣΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΑ Η διάδοση μιας διαταραχής μέσα σ' ένα μέσο ονομάζεται κύμα. Για τη δημιοργία ενός μηχανικού κύματος

Διαβάστε περισσότερα

InfraWell. κρατήστε τον ήλιο μέρα-νύχτα σπίτι σας. InfraWell. θερμαντικά πάνελ υπερύθρων. w w w.infra w e ll-he a ting.c o m

InfraWell. κρατήστε τον ήλιο μέρα-νύχτα σπίτι σας. InfraWell. θερμαντικά πάνελ υπερύθρων. w w w.infra w e ll-he a ting.c o m κρατήστε τον ήλιο μέρα-νύχτα σπίτι σας θερμαντικά πάνελ υπερύθρων w w w.infra w e ll-he a ting.c o m κρατήστε τον ήλιο μέρα-νύχτα σπίτι σας B ring the s un into yo ur ho m e w ith Infra We ll he a te rs!

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

στοιχεία Βιο-μηχανική:

στοιχεία Βιο-μηχανική: : ορισμός Ως δύναμη ορίζεται η επίδραση, η οποία ασκούμενη σε ένα σώμα προκαλεί είτε μεταβολή στην κινητική του κατάσταση, είτε ταυτόχρονα και μεταβολή στην μορφή του. επιταχύνουν ή/και παραμορφώνουν σώματα.

Διαβάστε περισσότερα

ἔστω www.esto.gr Ο...πισινός μας! American Bar το καναμε για όλους μας. * * * www.esto.gr κι από τη Σκιά τους. σε κάθε νησί;

ἔστω www.esto.gr Ο...πισινός μας! American Bar το καναμε για όλους μας. * * * www.esto.gr κι από τη Σκιά τους. σε κάθε νησί; American Bar το καναμε * κι από τη Σκιά τους. * κι απο τις Συνιστώσες τους. * για όλους μας. * * * σε κάθε νησί; * σε κάθε υπουργείο. * έξω από το σπίτι του. * * * Ποιος είναι πίσω μας; * Ο...πισινός μας!

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ. Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD

ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ. Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD Ανάλυση της Ανθρώπινης Κίνησης Εμβιομηχανική Κινησιολογία Κινηματική Κινητική Λειτουργική Ανατομική Γραμμική Γωνιακή Γραμμική Γωνιακή Θέση Ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.3 β. Μονάδες 5 1.4 Μονάδες 5

Μονάδες 5 1.3 β. Μονάδες 5 1.4 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 1 ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 29 ΜΑΪΟΥ 2006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΠΤΑ (7) Για τις ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 131 - Διαλ.12 1. Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος

ΦΥΣ 131 - Διαλ.12 1. Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος ΦΥΣ 3 - Διαλ.2 Μη αδρανειακά συστήµατα Φαινοµενικό βάρος ΦΥΣ 3 - Διαλ.2 2 Μη αδρανειακά συστήµατα x Έστω ότι το S αποκτά επιτάχυνση α 0 S z 0 Α x z S y, y Ο παρατηρητής S µετρά µια επιτάχυνση: A = A +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ Α A1 α Α2 β Α3 β Α4 α Α5. α Σ β Σ γ Λ δ Λ ε Σ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ Α A1 α Α2 β Α3 β Α4 α Α5. α Σ β Σ γ Λ δ Λ ε Σ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΡΙΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Α α Α β Α β Α α Α5. α Σ β Σ γ Λ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 183 / 198 Ταιρια σματα (Matchings) Ταίριασμα: Ένα

Διαβάστε περισσότερα