Προσεγγιστικ οσ προσδιορισµ οσ τησ θεµελει ωδουσ ταλ αντωσησ µι ασ αλυσ ιδασ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Προσεγγιστικ οσ προσδιορισµ οσ τησ θεµελει ωδουσ ταλ αντωσησ µι ασ αλυσ ιδασ"

Transcript

1 Το πηλ ικο Rayleigh O Rayleigh το 187 τη εποχ η που ερευνο υσε τις ιδι οτητες των ηχητικ ων κυµ ατων ανεκ αλυψε µ ια ιδι οτητα των χαρακτηριστικ ων συχνοτ ητων και ταλαντ ωσεων που εχει ιδια ιτερη σηµασ ια. Απ εδειξε οτι το πηλ ικο (1) γ ινεται στ ασιµο οταν οι συντεταγµ ενες αντιστοιχο υν στους κανονικο υς τρ οπους ταλ αντωσης και οι στ ασιµες τιµ ες του πηλ ικου αυτο υ, που ονοµ αζεται πηλ ικο Rayleigh, ε ιναι τα τετρ αγωνα των χαρακηριστικ ων συχνοτ ητων του συστ ηµατος. Απ οδειξη: Αρκε ι να αποδε ιξουµε οτι το πηλ ικο Rayleigh καθ ισταται στ ασιµο για τα αν υσµατα που ε ιναι γενικευµ ενα ιδιοαν υσµατα των πιν ακων και, που ικανοποιο υν δηλαδ η τη σχ εση:. Αν ε ιναι αληθ ες αυτ ο οι ιδιοτιµ ες ε ιναι τα τετρ αγωνα των χαρακτηριστικ ων συχνοτ ητων και τα ιδιοδιαν υσµατα οι κανονικο ι τρ οποι ταλ αντωσης του συστ ηµατος. Οι στ ασιµες τιµ ες του πηλ ικου και τα που καθιστο υν το πηλ ικο Rayleigh στ ασιµο προσδιορ ιζονται απ ο τις συνθ ηκες για ". Απ ο την (1) εχουµε, κ ανοντας χρ ηση της συµµετρικ οτητας των πιν ακων και, οτι: $#% &' "&)(*,+ &' "&-. / (2) συνεπ ως το πηλ ικο Rayleigh καθ ισταται στ ασιµο για τα που ικανοποιο υν τη σχ εση: 0 1 () που σηµα ινει οτι οι κανονικο ι τρ οποι ταλ αντωσης καθιστο υν στ ασιµο το πηλ ικο Rayleigh και οι χαρακτηριστικ ες συχν οτητες δ ιδονται απ ο τις στ ασιµες τιµ ες του πηλ ικου αυτο υ. H ιδι οτητα αυτ η του πηλ ικου Rayleigh, η οπο ια ονοµ αζεται και αρχ η Rayleigh-Ritz, εχει πολλ ες εφαρµογ ες στον προσεγγιστικ ο προσδιορισµ ο των χαρακτηριστικ ων συχνοτ ητων σ υνθετων φυσικ ων συστηµ ατων οπως λ.χ. ο προσδιορισµ ος των χαρακτηριστικ ων συχνοτ ητων ταλαντ ωσεων του Ηλιου η της Γης. Σ υµφωνα µε την παραπ ανω ιδι οτητα ε αν κ ανουµε λ αθος τ αξεως 2 στον προσδιορισµ ο του κανονικο υ τρ οπου ταλ αντωσης το λ αθος στην χαρακτηριστικ η συχν οτητα ε ιναι τ αξεως 2, Με τον τρ οπο αυτ ο µπορο υµε να προσεγγ ισουµε πολ υ καλ α τις χαρακτηριστικ ες συχν οτητες του συστ ηµατος ε αν µπορο υµε να προτε ινουµε βασισµ ενοι στη δια ισθηση µας κ αποιο υποψ ηφιο κανονικ ο τρ οπο ταλ αντωσης. Εξ αλλου ακ οµη και αν δεν µπορο υµε µε καν ενα τρ οπο να προ λ εψουµε τη δοµ η των κανονικ ων τρ οπων ταλ αντωσης µερικο ι υπολογισµο ι του πηλ ικου Rayleigh µε τυχα ια αν υσµατα αµ εσως µας καταδεικν υουν οτι η µ εγιστη χαρακτηριστικ η συχν οτητα του συστ ηµατος πρ επει να ε ιναι µεγαλ υτερη απ ο τη µ εγιστη τιµ η των πηλ ικων Rayleigh και η ελ αχιστη ιδιοσυχν οτητα πρ επει να ε ιναι µικρ οτερη απ ο ολες τις τιµ ες των πηλ ικων Rayleigh (θα αποδε ιξουµε στο επ οµενο εδ αφιο τη πρ οταση αυτ η). Αν ε ιχαµε δε υποµον η, και προ α ιναµε σε πολλο υς υπολογισµο υς, τ οτε θα βλ επαµε, σ υµφωνα µε το παραπ ανω 1

2 W T \ θε ωρηµα, οτι οι τιµ ες του πηλ ικου που θα υπολογ ιζαµε, για τυχα ια αν υσµατα, συσσωρε υονται γ υρω απ ο κ αποιες συγκεκριµ ενες τιµ ες, οι οπο ιες δεν ε ιναι τ ιποτε αλλο απ ο τις χαρακτηριστικ ες συχν οτητες του συστ ηµατος. Μπορε ι να µη σας ικανοποιε ι το γεγον ος οτι πολλ ες φορ ες πρ επει να προ ο υµε σε προσεγγιστικ ες µεθ οδους τ ετοιας µορφ ης, αλλ α αυτ ο ε ιναι αναγκα ιο οταν αντιµετωπ ιζουµε σ υνθετα και δυσεπ ιλυτα φυσικ α συστ ηµατα. Προσεγγιστικ ος προσδιορισµ ος της θεµελει ωδους ταλ αντωσης µι ας αλυσ ιδας Ενα σ υνθετο εκκρεµ ες αποτελε ιται απ ο ενα α αρ ες ν ηµα συνολικο υ µ ηκους στο οπο ιο ε ιναι δεµ ενες ανα διαστ ηµατα µ ηκους 5, χ αντρες µ αζας, 6. Το ν ηµα βρ ισκεται στο σταθερ ο πεδ ιο βαρ υτητας και θα εξετ ασουµε µικρ ες κιν ησεις απ ο τη κατακ ορυφο, που ε ιναι η κατ ασταση ευσταθο υς ισορροπ ιας του συστ ηµατος. Θ ελουµε να προσδιορ ισουµε τη θεµελει ωδη κανονικ η ταλ αντωση του εκκρεµο υς αυτο υ, δηλαδ η να προσδιορ ισουµε τη µικρ οτερη χαρακτηριστικ η συχν οτητα και τον αντιστοιχο υντα κανονικ ο τρ οπο ταλ αντωσης. Ιδια ιτερο ενδιαφ ερον εχει το οριο )78 οταν η συνολικ η µ αζα που προσαρτ αται στο ν ηµα ε ιναι σταθερ η, εστω +, οπ οτε η µ αζα κ αθε χ αντρας ε ιναι οπου : ;+9 η γραµµικ η πυκν οτητα των µαζ ων στο ν ηµα και το συνολικ ο µ ηκος ε ιναι 5. Σε αυτ ο το οριο θα περιγρ αψουµε τις ταλαντ ωσεις εν ος σχοινιο υ στο πεδ ιο βαρ υτητας η µ ιας αλυσ ιδας. Ας γρ αψουµε την Λαγκρανζιαν η του συστ ηµατος των µαζ ων. Ως συντεταγµ ενες της -οστ ης µ αζας λαµ ανουµε τη γων ια, <, που σχηµατ ιζει το τµ ηµα του ν ηµατος, µ ηκους 5, µεταξ υ της και (= µ αζας. Ε αν λ α ουµε καρτεσιαν ο σ υστηµα αξ ονων µε αρχ η το σηµε ιο αν αρτησης του ν ηµατος η θ εση της πρ ωτης χ αντρας ε ιναι >? F? G( εν ω η θ εση της -οστ ης µ αζας προσδιορ ιζεται απ ο την αναδροµικ η σχ εση: > L > FAL 1FADM? ( S ;T " VU () Η Λανγκρανζιαν η που περιγρ αφει τη γενικ η κ ινηση των χαντρ ων ε ιναι: 1 X [\ 5 > N F (^FA`_aU (5) ZY? Για να µελετ ησουµε µικρ ες κιν ησεις περ ι το ευσταθ ες σηµε ιο ισορροπ ιας <A? < W b, γραµµικοποιο υµε τη Λαγκρανζιαν η. Η γραµµικοποιηµ ενη Λανγκρανζιαν η που περιγρ αφει τη κ ινηση µπορε ι να ληφθε ι στη µορφ η: \ <? N \ <A?QN \ < η σε µορφ η πιν ακων: N N \ <A?QN N \ < W ( \ < <? N <? NP< N N <? N NP< W fe (6) 5dc \ < ( < < (7) οπου < =g <A? < WAh. O συµµετρικ ος π ινακας εχει στοιχε ια τα + &i N E(Vj για 2

3 nnm n n on s r r r lk j, δηλαδ η o π ινακας εχει τη µορφ η: (p (p (p (PT (PT (it (it. (it... και ο π ινακας ε ιναι ο διαγ ωνιος π ινακας µε -οστ ο διαγ ωνιο στοιχε ιο το #%ts / N E(, 5. Ασκηση: Επι ε αι ωστε οτι οι µικρ ες ταλαντ ωσεις δι επονται απ ο τη Λαγκρανζιαν η (7). Αντιλαµ ανεστε οτι ο υπολογισµ ος των χαρακτηριστικ ων συχνοτ ητων και κανονικ ων τρ οπων ταλ αντωσης αυτο υ του συστ ηµατος ε ιναι δ υσκολος. Μπορε ι βε α ιως αµ εσως να υπολογ ισουµε τους κανονικο υς τρ οπους ταλ αντωσης για κ αθε κ ανοντας χρ ηση αριθ- µητικ ων µεθ οδων. Εµε ις, οµως, θα προσφ υγουµε σε προσεγγιστικ ο υπολογισµ ο της θεµελει ωδους ταλ αντωσης. Αναµ ενουµε οτι η µικρ οτερη χαρακτηριστικ η συχν οτητα να προκ υπτει οταν το ν ηµα ε ιναι σχεδ ον ευθ υγραµµο και λαµ ανουµε ως πρ ωτη προσεγγισιση στον θεµελει ωδη κανονικ ο τρ οπο ταλ αντωσης την κ ινηση για την οπο ια <A? < < W δηλαδ η < ugv h U (9) q-r r (8) Θα πε ιτε οτι γνωρ ιζετε τη συχν οτητα ταλ αντωσης στο οριο w7/8 αυτ ης της περιορισµ ενης κ ινησης. Η συχν οτητα ταλ αντωσης αυτο υ του τρ οπου ε ιναι η συχν οτητα ταλ αντωσης µ ιας οµογενο υς ρ α δου στο βαρυτικ ο πεδ ιο : x zy Ut{Q. Για να δο υµε οµως τι συχν οτητα µας δ ινει το πηλ ικο Rayleigh. Το πηλ ικο Rayleigh για το προσεγγιστικ ο < ε ιναι: ~} U (10) x 5 < < < < 5 N T N N N T N N T N Q T Συνεπ ως αναµ ενουµε οτι η θεµελι ωδης ταλ αντωση να εχει χαρακτηριστικ η συχν οτητα για : E( U (11) η συχν οτητα αυτ η προσεγγ ιζει τη συχν οτητα ταλ α- Βλ επετε οτι πρ αγµατι οταν το w7/8 ντωσης µ ιας οµογενο υς ρ α δου: xƒ Ut{ x Ut{ UtT T ˆ U (12) Με τι ακρ ι εια εχουµε προ λ εψει οµως τη χαρακτηριστικ η συχν οτητα της θεµελει ωδους ταλ αντωσης µ ιας αλυσ ιδας ; Σε επ οµενο κεφ αλαιο θα υπολογ ισουµε ακρι ως τη θε- µελει ωδη χαρακτηριστικ η συχν οτητα µ ιας κρεµ αµενης οµογενο υς αλυσ ιδας. Θα βρο υµε οτι η θεµελει ωδης χαρακτηριστικ η συχν οτητα ε ιναι: xl? ŠU Î { {KŒ T UtTI T (1)

4 N ( Σχ ηµα 1: Ο ακρι ης θεµελει ωδης κανονικ ος τρ οπος ταλ αντωσης µ ιας αλυσ ιδας (κ οκκινη συνεχ ης γραµµ η). Η ευθε ια γραµµ η ε ιναι η προσ εγγιση που χρησιµοποι ηθηκε για να προσεγγισθε ι µε το πηλ ικο Rayleigh η θεµελει ωδης χαρακτηριστικ η συχν οτητα. εν ω ο προσεγγιστικ ος υπολογισµ ος µ εσω του πηλ ικου Rayleigh εδωσε x UtT T ˆ y. ηλαδ η καταφ εραµε να προσεγγ ισουµε τη χαρακτηριστικ η συχν οτητα µε σχετικ ο σφ αλµα U Ž % Ο ακρι ης θεµελει ωδης τρ οπος ταλ αντωσης ε ιναι > G T xl? 5 ( F (1) οπου > η µετατ οπιση απ ο το σηµε ιο ισορροπ ιας σε υψος F απ ο το σηµε ιο αν αρτησης. Η συν αρτηση Q $ ε ιναι η συν αρτηση Bessel µηδενικ ης τ αξεως οι πρ ωτοι οροι της οπο ιας ε ιναι: A $ E( š $ Tš (15) Το γρ αφηµα του ακρι ο υς τρ οπου ταλ αντωσης παρουσι αζεται στο Σχ ηµα 1. Στο ιδιο σχ ηµα παρουσι αζεται µε διακεκοµµ ενη γραµµ η η προσ εγγιση στο κανονικ ο τρ οπο ταλ αντωσης. Εν ω η προσ εγγιση στο κανονικ ο τρ οπο ταλ αντωσης δεν ε ιναι ιδιαιτ ερως ακρι- ης, η χαρακτηριστικ η συχν οτητα που προ λ επεται απ ο το πηλ ικο Rayleigh εχει ιδια ιτερη ακρ ι εια, καταδεικν υοντας τη σηµασ ια της προσεγγιστικ ης µεθ οδου που ανακ αλυψε ο Rayleigh. Αξ ιζει επ ισης να σηµειωθε ι οτι αν προσεγγ ισουµε την συνεχ η αλυσ ιδα µε 10 µ ονο µ αζες ο θεµελει ωδης κανονικ ος τρ οπος ταλ αντωσης που προκ υπτει απ ο την ακρι η ε υρεση των κανονικ ων τρ οπων ταλ αντωσης (που γ ινεται µε αριθµητικ ες µεθ οδους) ε ιναι απαρ αλλακτη µε τον ακρι η θεµελει ωδη κανονικ ο τρ οπο ταλ αντωσης της συνεχο υς αλυσ ιδας.

5 Συµπεριφορ α των χαρακτηριστικ ων συχνοτ ητων Το πηλ ικο του Rayleigh µπορε ι να αποκαλ υψει τη συµπεριφορ α των χαρακτηριστικ ων συχνοτ ητων. Ιδιατ ερως µας ενδιαφ ερει να µπορο υµε να εκτιµ ησουµε τη µετα ολ η των χαρακτηριστικ ων συχνοτ ητων αν µετα αλουµε τις δυν αµεις επαναφορ ας (την ελαστικ οτητα) του συστ ηµατος η µετα αλλουµε την αδρ ανεια του συστ ηµατος η οταν µε κ αποιο τρ οπο περιορ ιζουµε η ελευθερ ωνουµε τους βαθµο υς ελευθερ ιας του συστ ηµατος. Ενα παρ αδειγµα περιορισµο υ των βαθµ ων ελευθερ ιας του συστ ηµατος ε ιναι η δ εσµευση των συντεταγµ ενων του συστ ηµατος ωστε να µεετα αλλονται ολες µαζ υ κρατ ωντας συγκεκριµ ενο λ ογο µεταξ υ τους, δηλαδ η για ολους τους χρ ονους να ισχ υει:? W œ? W W W žÿ W M? W W M? W U (16) Οι ( αυτο ι περιορισµο ι µετατρ επουν το σ υστηµα σε σ υστηµα εν ος βαθµο υ ελευθερ ιας, η δε κ ινηση του δεσµευµ ενου συστ ηµατος µπορε ι να περιγραφε ι απ ο µ ια µετα λητ η η οπο ια σχετ ιζεται µε τις αρχικ ες συντεταγµ ενες µε τις σχ εσεις οι οπο ιες γρ αφονται συνοπτικ α υπ ο µορφ η πιν ακων ως οπου /g? WAh η κολ ωνα των σχετικ ων αποκλ ισεων των αρχικ ων συντεταγµ ενων. Η κ ινηση της περιορισµ ενης κ ινησης ικανοποιε ι την εξ ισωση: 9 0N (17) η οπο ια εχει εκθετικ ες λ υσεις της µορφ ης µε ªU (18) Βλ επουµε οτι η συχν οτητα ταλ αντωσης του δεσµευµ ενου συστ ηµατος δ ινεται απ ο το πηλ ικο Rayleigh του αν υσµατος. Ηδη γνωρ ιζουµε οτι οταν εχουµε ενα κανονικ ο τρ οπο ταλ αντωσης «η συχν οτητα ταλ αντωσης ισο υται µε µ ια απ ο τις χαρακτηριστικ ες συχν οτητες και το πηλ ικο Rayleigh εχει στ ασιµη τιµ η για «. Για τυχα ιο µπορο υµε ε υκολα να φρ αξουµε τη συχν οτητα ταλ αντωσης µετασχηµατ ιζοντας το πηλ ικο Rayleigh στις χαρακτηριστικ ες συντεταγµ ενες οπου το εχει συντεταγµ ενες, οπου. Σε αυτ ες τις συντεταγµ ενες επειδ η,???sn N± W W W??SN NP W W U (19) Ε αν οι χαρακτηριστικ ες συχνοτ ητες του συστ ηµατος διαταχθο υν ετσι ωστε R?k² k k0 W παρατηρο υµε οτι αναγκαστικ α η συχν οτητα ταλ αντωσης του περιορισµ ενου συστ ηµατος εν ος βαθµο υ ελευθερ ιας πρ επει να ικανοποιε ι την ανισ οτητα:? k k1 W (20) η µ εγιστη δε συχν οτητα πραγµατοποιε ιται οταν το σ υστηµα δεσµε υεται να κινε ιται τον κανονικ ο τρ οπο ταλ αντωσης σ υστηµα δεσµε υεται µε «?. Αποδε ιξαµε δηλαδ η οτι ƒ«w, και η ελ αχιστη συχν οτητα επιτυγχ ανεται οταν το 5

6 [ [ 1. Το ελ αχιστο του πηλ ικου Rayleigh > ως προς ολα τα αν υσµατα > ε ιναι?. 2. Το µ εγιστο του πηλ ικου Rayleigh > ως προς ολα τα αν υσµατα > ε ιναι W. και γενικ οτερα θα αποδε ιξουµε οτι:. Ε αν περιορ ισουµε το > µε (.³ περιορισµο υς της µορφ ης Š >, για (G³ αν υσµατα, και µεγιστοποι ησουµε το πηλ ικο Rayleigh > ως προς τα > που ικανοποιο υν αυτο υς τους περιορισµο υς, τ οτε το ελ αχιστο, ως προς ολες τις τιµ ες των, αυτ ων των µεγ ιστων ε ιναι το τετρ αγωνο της ³ χαρακτηριστικ ης συχν οτητας. Επειδ η η µεγιστοπο ιηση του πηλ ικου Rayleigh διενεργε ιται για τα αν υσµατα > που ε ιναι κ αθετα στα συγκεκριµ ενα, η παραπ ανω πρ οταση γρ αφεται συµ ολικ α ως εξ ης: aµ ' BDC µ Q¹ º» ' > f_ G " (P³ (21) οπου το µ BDC ' συµ ολ ιζει το ελ αχιστο ως προς ολες τις επιλογ ες των (u³,, και το µ Q¹ º» ' συµ ολ ιζει το µ εγιστο ως προς τα > που ε ιναι κ αθετα σε ολα τα. Για την απ οδειξη αυτο υ του min-max χαρακτηρισµο υ των χαρακτηριστικ ων συχνοτ ητων πρ ωτα παρατηρο υµε οτι η διαδικασ ια µεγιστοπο ιησης µπορε ι χωρ ις ελλειψη της γενικ οτητασµ ατων να διενεργηθε ι στις χαρακτηριστικ ες συντεταγµ ενες δι οτι δεδοµ ενων των ανυ- η µεγιστοπο ιηση του πηλ ικου Rayleigh στις κανονικ ες συντεταγµ ενες,, πρ επει να διενεργηθε ι στα που ε ιναι κ αθετα τ ωρα στα αν υσµατα ¼. ι οτι ε ιναι:???sn N± W W W µ ' BDC µ Q¹ º» ' > > > > aµ ½ BDC µ Q¹ ¾» ½?? N N± W W U (22) Αν αποδε ιξουµε οτι για ορισµ ενα, που ικανοποιο υν τις συνθ ηκες GÀ;¼, το µ εγιστο του πηλ ικου Rayleigh ε ιναι µεγαλ υτερο η ισο του, τ οτε το µ εγιστο ως προς ολα τα uàá¼ θα ε ιναι σ ιγουρα µεγαλ υτερο η ισο του. Eπιλ εγουµε τα που εχουν συντεταγµ ενες:? M? du (2) Μ ια τ ετοια επιλογ η ε ιναι συµ ατ η µε τους περιορισµο υς. ι οτι οι περιορισµο ι: ¼?, ¼ *,...,¼ W M - * µπορο υν να χρησιµοποιηθο υν για να εκφρ ασουµε τις (³ συντεταγµ ενες Â? W συναρτ ησει των υπολο ιπων συντεταγµ ενων? και να µηδεν ισουµε ολες αυτ ες τις συντεταγµ ενες εκτ ος της. ηλαδ η επειδ η γενικ α κ αθε σ υστηµα (p³ εξισ ωσεων µε (p³ N αγν ωστους εχει π αντα λ υση, µπορο υµε να θ εσουµε :? M? ± και να προσδιορ ισουµε επιλεγµ ενα ειδικ α, µε µη µηδενικ ες µ ονο τις συντεταγµ ενες Â? W, που ικανοποιο υν τους περιορισµο υς. Για αυτ α οµως τα ε ιναι β ε αιο οτι µ Q¹Ã Ä και οτι ισ οτης πραγµατοποιε ιται για τα που δ ινουν τις (2). Συνεπ ως το ελ αχιστο ως προς ολους τους περιορισµο υς θα ε ιναι: µ ' BDC Οµο ιως αποδεικν υεται η εξ ης πρ οταση: µ Q¹ º» ' > _ U (2) 6

7 [. Ε αν περιορ ισουµε το > µε ³:( περιορισµο υς της µορφ ης Š >, µε ³%(0 αν υσµατα, και ελαχιστοποι ησουµε το πηλ ικο Rayleigh > ως προς τα > που ικανοποιο υν αυτο υς τους περιορισµο υς, τ οτε το µ εγιστο, ως προς ολες τις τιµ ες των, αυτ ων των ελαχ ιστων ε ιναι το τετρ αγωνο της ³ χαρακτηριστικ ης συχν οτητας, δηλαδ η aµ Q¹ ' µ º» BDC ' > f_. ³ (99U (25) Ασκηση: Αποδε ιξτε τον max-min χαρακτηρισµ ο (25) των χαρακτηριστικ ων συχνοτ ητων. Οι χαρακτηρισµο ι min-max και max-min ε ιναι πολ υ χρ ησιµοι δι οτι αποκαλ υπτουν την συµπεριφορ α των χαρακτηριστικ ων συχνοτ ητων σε µετα ολ ες του αρχικο υ συστ ηµατος. Ως πρ ωτο παρ αδειγµα λαµ ανουµε ενα σ υστηµα βαθµ ων ελευθερ ιας µε χαρακτηριστικ ες συχν οτητες R?ik k k W στο οπο ιο επι αλουµε ενα περιορισµ ο της µορφ ης: d, οπου κ αποιο ανυσµα. Το αρχικ ο σ υστηµα µετατρ επεται σε σ υστηµα (% βαθµ ων ελευθερ ιας µε χαρακτηριστικ ες συχν οτητες ÆÅ? k0 ÆÅ k k0 ÆÅ W M?. Τι σχ εση εχουν οι αρχικ ες χαρακτηριστικ ες συχν οτητες µε τις τελικ ες ; Θα δε ιξουµε οτι οι ν εες χαρακτηριστικ ες συχν οτητες εναλλ ασονται µεταξ υ των αρχικ ων: R?Ãk0 Å? k0 k k k Å k Â?Æk k0 W M? k0 ÅW M? k W U (26) Οι χαρακτηριστικ ες συχν οτητες του ν εου συστ ηµατος µπορο υν να βρεθο υν περιορ ιζοντας το πηλ ικο Rayleigh του ν εου συστ ηµατος Ç που προκ υπτει απ ο το πηλ ικο Rayleigh,, του αρχικο υ συστ ηµατος επι αλοντας τον συγκεκριµ ενο περιορισµ ο. Σ υµφωνα µε τον χαρακτηρισµ ο min-max η ³ χαρακτηριστικ η συχν οτητα του αρχικο υ συστ η- µατος,, προκ υπτει απ ο ελαχιστοπο ιηση του µ Q¹ ως προς ολους τους (;³ περιορισµο υς. Το ελ αχιστο οµως αυτ ο θα ε ιναι προφαν ως µικρ οτερο του ελαχ ιστου που θα προκ υψει αν λ α ουµε τον P ± ως ενα απ ο τους (;³ περιορισµο υς ( ετσι ωστε το πηλ ικο Rayleigh,, του αρχικο υ συστ ηµατος γ ινει το πηλ ικο Rayleigh, Ç, του ν εου συστ η- µατος) και ελαχιστοπο ιησουµε ως προς τους υπ ολοιπους ( È(ɳ περιορισµο υς. Η δε υτερη οµως ελαχιστοπο ιηση θα δ ωσει το τετρ αγωνο της Å. Συνεπ ως θα ε ιναι: kg ÆÅ. Η αλλη πλευρ α της ανισ οτητας αποδεικν υεται κ ανοντας χρ ηση του max-min χαρακτηρισµο υ. Πρ αγµατι, περιορ ιζοντας το σ υστηµα βαθµ ων ελευθερ ιας µε ³ (P περιορισµο υς εχουµε οτι µ Q¹ µ BDCi. Αλλ α το µ εγιστο µ BDC ως προς ολους τους ³ (G περιορισµο υς θα ε ιναι µεγαλ υτερο του µεγ ιστου του µ BDC οταν µ ια απ ο τις συνθ ηκες π αρει την ειδικ η µορφ η Š i Ê (και το γ ινει Ç ) και η µεγιστοπο ιηση διενεργηθε ι ως προς τους υπ ολοιπους ³Ã(T περιορισµο υς. Αλλ α η µεγιστοπο ιηση ως προς ³Ã(T περιορισµο υς της Ç δ ινει το τετρ αγωνο της Å M?. Συνεπ ως ÆÅ M? k0. Mε τον τρ οπο αποδειχθηκε η αλ ηθεια της (26). Με τον ιδιο τρ οπο µπορε ι να αποδειχθε ι οτι αν περιορ ισουµε ενα σ υστηµα βαθµ ων ελευθερ ιας µε ³ περιορισµο υς ετσι ωστε να αποκτ ησουµε ενα ν εο σ υστηµα ()³ βαθµ ων ελευθερ ιας, το ν εο σ υστηµα θα εχει (:³ χαρακτηριστικ ες συχν οτητες ÆÅ? ÆÅ W M οι ÆÅ οπο ιες δεν θα ε ιναι µεγαλ υτερες των αντιστο ιχων Â?  W και δεν θα ε ιναι µικρ οτερες των αντιστο ιχων R? W M του αρχικο υ συστ ηµατος. Με τον τρ οπο αυτ ο 7

8 καταλ ηγουµε και π αλι στη πρ οταση που ηδη αποδε ιξαµε οτι αν ενα σ υστηµα βαθµ ων ελευθερ ιας περιορισθε ι σε σ υστηµα εν ος βαθµο υ ελευθερ ιας η χαρακτηριστικ η συχν οτητα του µονοδιαστ ατου συστ ηµατος, Å?, θα ικανοποιε ι την ανισ οτητα: R?Ãk0 ÆÅ? k W. Ασκηση: Ενας σεισµ ος δηµιουργε ι ρωγµ ες σε ενα κτ ηριο. Πως αλλ αζουν οι χαρακτηριστικ ες συχν οτητες του κτηρ ιου ; Η ισοδυν αµως µ ια καµπ ανα ραγ ιζει, πως αλλ αζει η συχν οτητα του ηχου της (Arnold) ; Τ ωρα θα διερευν ησουµε πως µετα αλλονται οι χαρακτηριστικ ες συχν οτητες οταν αυξ ησουµε τη σκληρ οτητα του συστ ηµατος. Ενα σ υστηµα που χαρακτηρ ιζεται απ ο το πηλ ικο Rayleigh? θα ονοµ αζεται πι ο σκληρ ο απ ο ενα αλλο σ υστηµα µε πηλ ικο Rayleigh, αν? Äp για ολα τα. Αν στη περ ιπτωση του συστ ηµατος µαζ ων συνδεδεµ ενων µε ελατ ηρια πολλαπλασι ασουµε ολες τις σταθερ ες των ελατηρ ιων µε ενα αριθµ ο ε ιτε παροµο ιως µει ωσουµε ολες τις µ αζες του συστ ηµατος το ν εο σ υστηµα ε ιναι σκληρ οτερο του αρχικο υ. Επ ισης αν διαταρ αξουµε τον π ινακα δυναµικ ης εν εργειας,, ετσι ωστε το ν εο σ υστηµα να εχει ως π ινακα δυναµικ ης εν εργειας τον N Å, µε Å θετικ ο, το ν εο σ υστηµα θα ε ιναι σκληρ οτερο του αρχικο υ. Στη περ ιπτωση αυτ η προκ υπτει αµ εσως απ ο τ ον χαρακτηρισµ ο min-max η max-min των χαρακτηριστικ ων συχνοτ ητων οτι µ ια προς µ ια οι χαρακτηριστικ ες συχν οτητες του σκληροτ ερου συστ ηµατος δεν µπορε ι να ε ιναι µικρ οτερες απ ο τις αντ ιστοιχες συχν οτητες του αρχικο υ συστ ηµατος. 8

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξ εταση στη Μηχανικ η ΙI 27 Ιουν ιου 2008 Π Ιω αννου & Θ Αποστολ ατου Απαντ ηστε στα 3 Θ εµατα µε σαφ ηνεια απλ οτητα Οι ολοκληρωµ ενες απαντ ησεις εκτιµ ωνται ιδιαιτ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξετ ασεις στη Θεωρ ια της Ειδικ ης Σχετικ οτητας Σεπτεµ ρ ιου 200 Να απαντ ησετε στα 4 απ ο τα ακ ολουθα προ λ ηµατα. Θ εµα 1 Το γεγον ος βρ ισκεται εντ ος του µελλοντικο

Διαβάστε περισσότερα

Θ εµα Α : Θ εµα Β : Θ εµα Γ :

Θ εµα Α : Θ εµα Β : Θ εµα Γ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξετ ασεις επ ι Πτυχ ιω στη Θεωρ ια της Ειδικ ης Σχετικ οτητας 29 Απριλ ιου 2009 Να γραφο υν τα 4 απ ο τα 5 θ εµατα Σε ολα τα θ εµατα εργαστε ιτε σε σ υστηµα µον αδων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΜΑ Α (25 µον αδες) ΘΕΜΑ Β (25 µον αδες) η µοναδικ ΘΕΜΑ Γ (25 µον αδες) κοιν

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΜΑ Α (25 µον αδες) ΘΕΜΑ Β (25 µον αδες) η µοναδικ ΘΕΜΑ Γ (25 µον αδες) κοιν ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξ εταση στη Μηχανικ η Ι 6 Σεπτεµ ρ ιου 2005 Τµ ηµα Π Ιω αννου & Θ Αποστολ ατου Απαντ ηστε και στα 4 Θ εµατα µε σαφ ηνεια και απλ οτητα Οι ολοκληρωµ ενες απαντ ησεις

Διαβάστε περισσότερα

& N. Εστω µια ακολουθ ια απ ο οµ οκεντρους πολ υ λεπτο υς σφαιρικο υς φλοιο υς µε αντ ιστοιχες ακτ ινες "M " 6 "ONP Q Q Q RS"MTU και µ αζες " Q Q Q RV

& N. Εστω µια ακολουθ ια απ ο οµ οκεντρους πολ υ λεπτο υς σφαιρικο υς φλοιο υς µε αντ ιστοιχες ακτ ινες M  6 ONP Q Q Q RSMTU και µ αζες  Q Q Q RV ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξ εταση στη Μηχανικ η Ι 2 Σεπτεµ ρρ ιου 200 Τµ ηµα Π. Ιω αννου & Θ. Αποστολ ατου Απαντ ηστε και στα 10 ισοδ υναµα ερωτ ηµατα. Οι ολοκληρωµ ενες απαντ ησεις εκτιµ ωνται

Διαβάστε περισσότερα

12:00 12:05 12:00 12:03

12:00 12:05 12:00 12:03 Εξετ ασεις στη Θεωρ ια της Ειδικ ης Σχετικ οτητας Ιο υνιος 4 Θ εµα : (α) Γρ αψτε υπ ο µορφ η π ινακα το µετασχηµατισµ ο oretz που συνδ εει τις χωροχρονικ ες συντεταγµ ενες δ υο συστηµ ατων που κινο υνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ αλαιο Απ ο τη δυναµικ η στη στατικ

Κεφ αλαιο Απ ο τη δυναµικ η στη στατικ Κεφ αλαιο 4 Απ ο την Αρχ η του D Alembert στην Αρχ η της Ισοδυναµ ιας Αν στο µν ηµα σας χαρ αξουν κ ατι τ ετοιο, τ οτε τα π ατε περ ιφηµα. Richard Feynman Σχ ηµα 4.1: Το σχ εδιο αυτ ο ε ιναι χαραγµ ενο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ αλαιο 6 6.1 Απειροστ ες στροφ ες διαν υσµατος

Κεφ αλαιο 6 6.1 Απειροστ ες στροφ ες διαν υσµατος Κεφ αλαιο 6 Στροφ ες Ειδικ η Θεωρ ια της Σχετικ οτητας Στο εξ ης ο χ ωρος και ο χρ ονος ως ανεξ αρτητες εννοιες ε ιναι καταδικασµ ενοι να σ ησουν, καταντ ωντας απλ ες σκι ες, και µ ονο ενα ε ιδος συν ενωσ

Διαβάστε περισσότερα

Albert Einstein. Lagrange

Albert Einstein. Lagrange Κεφ αλαιο 3 Συν αρτηση Lagrange Αυτ ο που πραγµατικ α µε ενδιαφ ερει ε ιναι το αν ο Θε ος ε ιχε τη δυνατ οτητα επιλογ ης κατ α τη δηµιουργ ια του κ οσµου Albert Einstein 3.1 Η Λαγκρανζιαν η και το φυσικ

Διαβάστε περισσότερα

7.2 Κ ινηση φορτισµ ενου σωµατιδ ιου σε οµογεν εσ ηλεκτρικ ο και µαγνητικ ο πεδ ιο

7.2 Κ ινηση φορτισµ ενου σωµατιδ ιου σε οµογεν εσ ηλεκτρικ ο και µαγνητικ ο πεδ ιο Κεφ αλαιο 7 Παραδε ιγµατα Λαγκρανζιαν ων Συναρτ ησεων Σκο υπες σκουπ ακια ρουφηχτ ηρια φτερ α τιναχτ ηρια ξεσκον οπανα κουρελ οπανα κλ οουν θ ορυ οι και τρ οποι ακρο ατες, µαστ ιγιο π εφτουν οι κιν ησεις

Διαβάστε περισσότερα

L 96/22 EL ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΚ) αριθ. 696/98 ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ τη 27η Μαρτ ιου 1998 για την εφαρµογ η του κανονισµο υ (ΕΚ) αριθ. 515/97 του Συµβουλ ιου περ ι τη αµοιβα ια συνδροµ η µεταξ υ των διοικητικ ων αρχ

Διαβάστε περισσότερα

Πα κ έ τ ο Ε ρ γ α σ ί α ς 4 Α ν ά π τ υ ξ η κ α ι π ρ ο σ α ρ µ ο γ ή έ ν τ υ π ο υ κ α ι η λ ε κ τ ρ ο ν ι κ ο ύ ε κ π α ι δ ε υ τ ι κ ο ύ υ λ ι κ ο

Πα κ έ τ ο Ε ρ γ α σ ί α ς 4 Α ν ά π τ υ ξ η κ α ι π ρ ο σ α ρ µ ο γ ή έ ν τ υ π ο υ κ α ι η λ ε κ τ ρ ο ν ι κ ο ύ ε κ π α ι δ ε υ τ ι κ ο ύ υ λ ι κ ο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ ΕΣΣΑΛ ΙΑΣ ΠΟΛ Υ ΤΕΧ ΝΙΚ Η ΣΧ ΟΛ Η ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ ΑΝΟΛ ΟΓ Ω Ν ΜΗΧ ΑΝΙΚ Ω Ν Β ΙΟΜΗΧ ΑΝΙΑΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ Π Π Σ ΣΥ ΝΟΠ Τ Ι Κ Η Ε Κ Θ Ε ΣΗ ΠΕ 4 Α Ν Α ΠΤ Υ Ξ Η Κ Α Ι ΠΡ Ο Σ Α Ρ Μ Ο Γ Η ΕΝ Τ Υ ΠΟ Υ Κ Α

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Μ Ε Λ Η Τ Η Ρ Ι Ο Κ Υ Κ Λ Α Δ Ω Ν

Ε Π Ι Μ Ε Λ Η Τ Η Ρ Ι Ο Κ Υ Κ Λ Α Δ Ω Ν Ε ρ μ ο ύ π ο λ η, 0 9 Μ α ρ τ ί ο υ 2 0 1 2 Π ρ ο ς : Π ε ρ ιφ ε ρ ε ι ά ρ χ η Ν ο τ ίο υ Α ιγ α ί ο υ Α ρ ι θ. Π ρ ω τ. 3 4 2 2 κ. Ι ω ά ν ν η Μ α χ α ι ρ ί δ η F a x : 2 1 0 4 1 0 4 4 4 3 2, 2 2 8 1

Διαβάστε περισσότερα

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1 Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ ΠΟΥ ΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑ Ι ΕΙΑ Σ & ΘΡΗΣ Κ/Τ Ω ΕΝΙΑ ΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤ ΙΚΟΣ Τ ΟΜ ΕΑ Σ Σ ΠΟΥ Ω Ν ΕΠΙΜ ΟΡΦΩ Σ ΗΣ ΚΑ Ι ΚΑ ΙΝΟΤ ΟΜ ΙΩ Ν /ΝΣ Η Σ ΠΟΥ Ω Τ µ ή µ α Α Α. Πα π α δ ρ έ ο υ 37

Διαβάστε περισσότερα

L 217/18 EL Ο ΗΓΙΑ 98/48/ΕΚ ΤΟΥ ΕΥΡΩΠΑΙ ΚΟΥ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 20 η Ιουλ ιου 1998 για την τροποπο ιηση τη οδηγ ια 98/34/ΕΚ για την καθι ερωση µια διαδικασ ια πληροφ ορηση στον τοµ εα των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ Ι: ΟΦΕΙΛΕΣ ΕΡΓΩΝ ΕΘΝΙΚΟΥ ΣΚΕΛΟΥΣ. Ληξιπρόθεσµες οφειλές (τιµολόγιο>90 ηµερών) Εγκεκριµένη πίστωση. Χωρις κατανοµή πίστωσης

ΠΙΝΑΚΑΣ Ι: ΟΦΕΙΛΕΣ ΕΡΓΩΝ ΕΘΝΙΚΟΥ ΣΚΕΛΟΥΣ. Ληξιπρόθεσµες οφειλές (τιµολόγιο>90 ηµερών) Εγκεκριµένη πίστωση. Χωρις κατανοµή πίστωσης ΦΟΡΕΑΣ: Υπουργείο / Αποκεντρωµένη ιοίκηση..... ΕΙ ΙΚΟΣ ΦΟΡΕΑΣ: Γενική γραµµατεία... / Περιφέρεια..... Αναφορά για το µήνα: Ετος: 2012 ΣΑ έργου (Π Ε) Υποχρεώσεις πιστοποιηµένων εργασιών χωρίς τιµολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

JEAN-CHARLES BLATZ 02XD34455 01RE52755

JEAN-CHARLES BLATZ 02XD34455 01RE52755 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΩΝ ΕΝ Ι ΑΜ ΕΣ ΩΝ ΟΙ Κ ΟΝΟΜ Ι Κ ΩΝ Κ ΑΤΑΣ ΤΑΣ ΕΩΝ ΤΗΣ ΕΤΑΙ ΡΙ ΑΣ Κ ΑΙ ΤΟΥ ΟΜ Ι ΛΟΥ Α Τρίµηνο 2005 ΑΝΩΝΥΜΟΣ Γ ΕΝΙ Κ Η ΕΤ ΑΙ Ρ Ι Α Τ ΣΙ ΜΕΝΤ ΩΝ Η Ρ ΑΚ Λ Η Σ ΑΡ. ΜΗ Τ Ρ. Α.Ε. : 13576/06/Β/86/096

Διαβάστε περισσότερα

! " # $ % & $ % & $ & # " ' $ ( $ ) * ) * +, -. / # $ $ ( $ " $ $ $ % $ $ ' ƒ " " ' %. " 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; ; < = : ; > : 0? @ 8? 4 A 1 4 B 3 C 8? D C B? E F 4 5 8 3 G @ H I@ A 1 4 D G 8 5 1 @ J C

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση Ανάλυση Απ ο τ ε λε σµ άτ ω ν ιδάσκων: Ν ικό λ α ο ς Α µ π α ζ ή ς Ανάλυση Απ ο τ ε λε σµ άτ ω ν Τα απ ο τ ε λ έ σ µ ατ α απ ό τ η ν π αρ αγ ω γ ή κ αι τ η χ ρ ή σ η τ υ χ αί ω ν δ ε ι γ µ

Διαβάστε περισσότερα

Επ ισηµη Εφηµερ ιδα των Ευρωπα ικ ων Κοινοτ ητων L 14/9

Επ ισηµη Εφηµερ ιδα των Ευρωπα ικ ων Κοινοτ ητων L 14/9 20. 1. 98 EL Επ ισηµη Εφηµερ ιδα των Ευρωπα ικ ων Κοινοτ ητων L 14/9 Ο ΗΓΙΑ 97/81/ΕΚ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 15η εκεµβρ ιου 1997 σχετικ α µε τη συµφων ια-πλα ισιο για την εργασ ια µερικ η απασχ οληση που συν

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος στην ελληνικ κδοση... xvii. Πρόλογος... xix

Πρόλογος στην ελληνικ κδοση... xvii. Πρόλογος... xix ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος στην ελληνικ κδοση................................. xvii Πρόλογος................................................... xix M ρος Πρ το Π Σ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΖΟΥΜΕ ΤΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ 1. Π

Διαβάστε περισσότερα

11. 3. 1987, σ. 11).»

11. 3. 1987, σ. 11).» L 201/88 EL Ο ΗΓΙΑ 98/50/ΕΚ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ τη 29η Ιουν ιου 1998 για την τροποπο ιηση τη οδηγ ια 77/187/ΕΟΚ περ ι προσεγγ ισεω των νοµοθεσι ων των κρατ ων µελ ων, σχετικ ων µε τη διατ ηρηση των δικαιωµ

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση Π ρ ο µ ο ί ω Μ η χ α ν ο ί Ε λ έ γ χ ο υ τ ο υ Χ ρ ό ν ο υ Φάσεις σο ση ς ισµ ιδάσκων: Ν ικό λ α ο ς Α µ π α ζ ή ς Φάσεις τ η ς π ρ ο σο µ ο ί ω ση ς i. Κατασκευή το υ µ ο ν τέ λ ο υ π ρ ο

Διαβάστε περισσότερα

Πτερυγιοφόροι σωλήνες

Πτερυγιοφόροι σωλήνες ΛΕΒΗΤΕΣ ΑΤΜΟΥ Πτερυγιοφόροι σωλήνε ΑΤΜΟΛΕΒΗΤΕΣ Εύκολη λειτουργία και συντήρηση Για όλου του τύπου καυήρων και καυσίµων Ο οπίσθιο θάλαµο αναροφή καυσαερίων είναι λυόµενο, γεγονό που επιτρέπει τον πλήρη

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Πυρηνικ α µεγ εθη των θεωρητικ ων υπολογισµ ων

4.1 Πυρηνικ α µεγ εθη των θεωρητικ ων υπολογισµ ων Κεφ αλαιο 4 Θεωρητικο ι υπολογισµο ι Hauser-Feshbach και σ υγκριση µε τα πειραµατικ α αποτελ εσµατα 4.1 Πυρηνικ α µεγ εθη των θεωρητικ ων υπολογισµ ων Οπως αποδε ιχθηκε στην παρ αγραφο 1.5, ηενεργ ος διατοµ

Διαβάστε περισσότερα

Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " #

Z L L L N b d g 5 *  # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1  5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3  # Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / 0 1 2 / + 3 / / 1 2 3 / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " # $ % $ ' $ % ) * % @ + * 1 A B C D E D F 9 O O D H

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ αλαιο 5 Σ υνοψη και τελικ α συµπερ ασµατα

Κεφ αλαιο 5 Σ υνοψη και τελικ α συµπερ ασµατα Κεφ αλαιο 5 Σ υνοψη και τελικ α συµπερ ασµατα Στα πλα ισια της παρο υσας διατρι ης µετρ ηθηκαν οι ενεργ ες διατοµ ες αντιδρ ασεων πρωτονικ ης σ υλληψης στα τρ ια απ οτατ εσσερα σταθερ α ισ οτοπα του Sr

Διαβάστε περισσότερα

15PROC

15PROC ΑΝΑΡΣΗΣ Α ΣO ΙΑ ΙΚΣΤΟ INFORMATICS DEVELOPMEN T AGENCY Digitally signed by INFORMATICS DEVELOPMENT AGENCY Date: 2015.02.13 14:19:36 EET Reason: Location: Athens Ο Α Α Ο Ο Ο Ο, Α Α Α Α Ω Α Α Α Α Α Ο Ο Α

Διαβάστε περισσότερα

) * +, -. + / - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 : ; < 8 = 8 9 >? @ A 4 5 6 7 8 9 6 ; = B? @ : C B B D 9 E : F 9 C 6 < G 8 B A F A > < C 6 < B H 8 9 I 8 9 E ) * +, -. + / J - 0 1 2 3 J K 3 L M N L O / 1 L 3 O 2,

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικ ο Μετσ ο ιο Πολυτεχνε ιο

Εθνικ ο Μετσ ο ιο Πολυτεχνε ιο Εθνικ ο Μετσ ο ιο Πολυτεχνε ιο Σχολ η Εφαρµοσµ ενων Μαθηµατικ ων και Φυσικ ων Επιστηµ ων Μετρ ησεις ενεργ ων διατοµ ων πυρηνικ ων αντιδρ ασεων πρωτονικ ης σ υλληψης των ισοτ οπων του Στροντ ιου µε σηµασ

Διαβάστε περισσότερα

Κ Α Ν Ο Ν Ι Σ Μ Ο Σ Λ Ε Ι Τ Ο Υ Ρ Γ Ι Α Σ Ε Π Ι Τ Ρ Ο Π Ω Ν

Κ Α Ν Ο Ν Ι Σ Μ Ο Σ Λ Ε Ι Τ Ο Υ Ρ Γ Ι Α Σ Ε Π Ι Τ Ρ Ο Π Ω Ν Κ Α Ν Ο Ν Ι Σ Μ Ο Σ Λ Ε Ι Τ Ο Υ Ρ Γ Ι Α Σ Ε Π Ι Τ Ρ Ο Π Ω Ν Ψ η φ ί σ τ η κ ε α π ό τ η Γ ε ν ι κ ή Σ υ ν έ λ ε υ σ η τ ω ν Μ ε λ ώ ν τ ο υ Σ Ε Π Ε τ η ν 24 η Μ α ΐ ο υ 2003 Δ ι ά τ α ξ η Ύ λ η ς 1. Π

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

Πρι τ αρακτηρ οτικ λαπλ ουοτηματα μικρ ετ εξεργατ δ π υ τ

Πρι τ αρακτηρ οτικ λαπλ ουοτηματα μικρ ετ εξεργατ δ π υ τ ι ε α τ Τ εγνα α α ετ κ λε τ υργικ ο τημα Η οτ ρ α τ υ αρ Γ ζε τ τη Φ λα δ α απ τ α φ ιτητ τ υ Πα ετ τημ υ τ υ λ νκ ξεκ νη ε αν μ α τ ρ τ Θε α να δημ υργηθε ακαλ τερ Ενα τ υ αμτ ρε ααντατ κρ ετα καλ τερα

Διαβάστε περισσότερα

---------------------------------------------------------------------------------------- 1.1. --------------

---------------------------------------------------------------------------------------- 1.1. -------------- ΕΚΘΕΣΗ Τ Ο Υ Ι Ο Ι ΚΗΤ Ι ΚΟ Υ ΣΥ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Υ Π Ρ Ο Σ Τ ΗΝ Τ Α ΚΤ Ι ΚΗ Γ ΕΝ Ι ΚΗ ΣΥ Ν ΕΛ ΕΥ ΣΗ Τ Ω Ν Μ ΕΤ Ο Χ Ω Ν Kύριοι Μ έ τ οχοι, Σ ύµ φ ω ν α µ ε τ ο Ν όµ ο κ α ι τ ο Κα τ α σ τ α τ ικ ό τ ης ε

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

σ οσ ί α: α ούσι, Α Α

σ οσ ί α:    α ούσι, Α Α Α Α, Α Α Α Α Ω ----- ΑΦ ----- α. / σ : Α. α α έο.. ό : - α ούσι σ οσ ί α: www.minedu.gov.gr E-mail: press@minedu.gov.gr ίο ύ ο Α Α Α Ω Α Α Ω Α Ω 2015 α ούσι, 17-3 - 2015 Α. ό α α ω α α ι ώ άσ ω 5. ι ό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΑ Χ Ρ ΗΜ ΑΤ ΙΣ Τ ΗΡ ΙΑ CISCO EXPO 2009 G. V a s s i l i o u - E. K o n t a k i s g.vassiliou@helex.gr - e.k on t ak is@helex.gr 29 Α π ρ ι λ ί ο υ 20 0 9 Financial Services H E L E X N O C A g e

Διαβάστε περισσότερα

Θ έ λ ω ξ ε κ ι ν ώ ν τ α ς ν α σ α ς μ ε τ α φ έ ρ ω α υ τ ό π ο υ μ ο υ ε ί π ε π ρ ι ν α π ό μ ε ρ ι κ ά χ ρ ό ν ι α ο Μ ι χ ά λ η ς

Θ έ λ ω ξ ε κ ι ν ώ ν τ α ς ν α σ α ς μ ε τ α φ έ ρ ω α υ τ ό π ο υ μ ο υ ε ί π ε π ρ ι ν α π ό μ ε ρ ι κ ά χ ρ ό ν ι α ο Μ ι χ ά λ η ς 9. 3. 2 0 1 6 A t h e n a e u m I n t e r C o Ο μ ι λ ί α κ υ ρ ί ο υ Τ ά σ ο υ Τ ζ ή κ α, Π ρ ο έ δ ρ ο υ Δ Σ Σ Ε Π Ε σ τ ο ε π ί σ η μ η δ ε ί π ν ο τ ο υ d i g i t a l e c o n o m y f o r u m 2 0 1

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1.7,1 Δράση στο c π ίπεοοτοιιτο ίχου.. 2.6 Τοίχοι υπό θλίψη ~αl διαιμηση... 104

Περιεχόμενα. 1.7,1 Δράση στο c π ίπεοοτοιιτο ίχου.. 2.6 Τοίχοι υπό θλίψη ~αl διαιμηση... 104 Περιεχόμενα Πρόλογος ο Κεφάλαιο 1 Είδη τοιχοσωμάτων ιι;cιι τοιχοποιιών Eίδl1 τοιχοποιιών.. 12 Το ι χοποιίες από φυσικούς λίθοο.;ς 1.3 Τοιχοποιίες από τεχνητό τοιχσσώματα...................... 19 1.3.1

Διαβάστε περισσότερα

(.: EGF/2014/009 EL/Sprider Stores)

(.: EGF/2014/009 EL/Sprider Stores) INFORMATICS DEVELOPMEN T AGENCY Digitally signed by INFORMATICS DEVELOPMENT AGENCY ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ Α ΚΤΥΟ Date: 2015.08.04 15:53:37 EEST Reason: Location: Athens ΑΔΑ: ΩΛ0Π465Θ1Ω-ΣΓΛ Ε Η Η Η Α Α ΓΕ Ε ΓΑ Α,

Διαβάστε περισσότερα

Κανονισμός Εκτε εστικής Επιτροπής

Κανονισμός Εκτε εστικής Επιτροπής Κανονισμός Εκτε εστικής Επιτροπής Περιφερειακής Ένωσης Δήμων (Π.Ε.Δ.) Ιονίων Νήσων Περιφερειακή Έν ση Δήμ ν (Π.Ε.Δ.) Ιονί ν Νήσ ν ΠΕΔ ΙΝ Ιανουάριος 2012 2 Περιε όμενα 1 Αντικείμενο 4 2 Σύν εση εκτε εστικής

Διαβάστε περισσότερα

Προτ υπου (Minimal Supersymmetric Standard Model, MSSM).

Προτ υπου (Minimal Supersymmetric Standard Model, MSSM). υνατ οτητα αν ιχνευσης σωµατιδ ιων Higgs και Φυσικ ης π εραν του Καθιερωµ ενου Προτ υπου στον LHC και µελ ετες επ ι του ανιχνευτ η ακτινο ολ ιας µετ α ασης του πειρ αµατος ATLAS CERN-THESIS-22-5 11/2/22

Διαβάστε περισσότερα

α : 210-6465727 E-mail : support@gcsl.gr

α : 210-6465727 E-mail : support@gcsl.gr Α Α Α Α Α: 65Χ Η-Λ Φ Η Η Η Α Α Α Α : 5PROC002922680 Η Α Α Α Η Αθή α, 6-7-205 Η Η Α ιθ..: 30/002/000/4368 Η Α Έ ισ α ά ς: 30/002/000/4034/26-6-205 Η Α, Η Η Α Η (A Α : Η- ) & Η Η Α Η Α A α. / σ : Α. σό α

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ ΘΕΜΑΤΑ

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥ ΝΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟ ΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙ ΚΗΣ ΚΑΤΕΥ ΘΥΝΣΗΣ ( ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦ ΟΡΙ ΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟ ΓΩΝ ΣΕ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 ÈÅÌÅËÉÏ

Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 ÈÅÌÅËÉÏ Ζήτηµα ο Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Ο πρώτος κανόνας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ ANAΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΥΠΟΒΟΛΗ ΠΡΟΤΑΣΗΣ ΓΙΑ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΣΥΜΒΑΣΗΣ ΜΙΣΘΩΣΗΣ ΕΡΓΟΥ Αριθμ.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000

Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000 Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση..

Διαβάστε περισσότερα

ιάβασ A[i] ιάβασ key done α θής

ιάβασ A[i] ιάβασ key done α θής ιώσ ις ια Α ( ό ι αι ια ο ίσ ο ι ό ο ια ήθ α ό ο ο ίο αι ίας ο έ β ιο 5, α ά α ο ο οι έ ο ώσ α ο ί α οθ ί σ ο ς αθ ές) Α Α Α Μ α ο ή Α XΗ Α Α Η Η Ι _Ο Ο σ Ο Ο... Ο _ Α Α Η Η αι α ισ όφως 1. Ό ι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα

Επαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα Επαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα Θέµα ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Ένα σηµειακό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΠΑΙΔΕΥΣΗ ΦΥΣΙΗ ΘΕΤΙΗΣ & ΤΕΧΝ/ΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και, δίπλα, το γράμμα που αντιστοιχεί στη ράση η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΑ ΧΑ ΡΑ ΚΤ ΗΡ ΙΣ ΤΙ ΚΑ ΤΗΣ ΑΝΕΡΓΙΑΣ - ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑ ΣΙ Α - ΚΑΡΑ ΣΑ ΒΒ ΟΓ ΠΟ Υ ΑΝ ΑΣΤΑΣΙΟΣ

ΘΕΜΑ: ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΑ ΧΑ ΡΑ ΚΤ ΗΡ ΙΣ ΤΙ ΚΑ ΤΗΣ ΑΝΕΡΓΙΑΣ - ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑ ΣΙ Α - ΚΑΡΑ ΣΑ ΒΒ ΟΓ ΠΟ Υ ΑΝ ΑΣΤΑΣΙΟΣ ΤΕΧΝ Οη ΟΓ ΙΚ Ο Ε Κ ΠΟ ΙΔ ΕΥ ΤΙ ΚΟ ΙΔΡΥΜΟ ΚΟΒΟΠΑΕ ΕΧΟΠΗ ΔΙϋΙ ΚΗ ΕΗ Σ ΚΑΙ Ο Ι ΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ηο ΓΙ ΣΤ ΙΚ ΗΣ ΘΕΜΑ: ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΑ ΧΑ ΡΑ ΚΤ ΗΡ ΙΣ ΤΙ ΚΑ ΤΗΣ ΑΝΕΡΓΙΑΣ - ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑ ΣΙ Α - Καθηγητή ΚΑΡΑ ΣΑ ΒΒ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΤΙΚΩΝ ΔΟΜΩΝ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΚΕΦΑΛΛΗΝΙΑΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΤΙΚΩΝ ΔΟΜΩΝ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΚΕΦΑΛΛΗΝΙΑΣ τ. Ε. I. Ν-λ ε λ λ λ ς : ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΤΙΚΩΝ ΔΟΜΩΝ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΚΕΦΑΛΛΗΝΙΑΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ; MIX. ΠΙΠΙΛΙΑΓΚΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

13PROC Α /

13PROC Α / Α Α Α / : Α: 13PROC001709766 2013-11-11 Α Α.. 20135639/04 11 2013 Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α 1 Α Α : Α: α αο ή & ίο 80 18534, ι αιάς.: 210 2104142239 Fax: 210 4142469 Email: procurements@unipi.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο

Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο Σ Χ Ο Λ Η Ε Φ Α Ρ Μ Ο Σ Μ Ε Ν Ω Ν Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Κ Α Ι Φ Υ Σ Ι Κ Ω Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ω Ν Επαναληπτική εξέταση στο άθηα Τ Ο Μ Ε Α Σ Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ ΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

Θέ α: ωσ ή ια ροφή και άσκηση ια ο ς εφήβο ς.

Θέ α: ωσ ή ια ροφή και άσκηση ια ο ς εφήβο ς. 4ο Ε Α α ο σίο Α' ίο 4-2015 ρε νη ική ρ ασία Θέ α: ωσ ή ια ροφή και άσκηση ια ο ς εφήβο ς. 4η Ο ά α 1ο Τ τ ά η ο Y ο ώτη α: ι ές α ές άσ ησης ια ο ς φήβο ς. Γενικές αρχές άσκησης: Εί η Άσ ησης Ια ι ός

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000

Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000 Ζήτηµα ο Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Ένας ανεµιστήρας

Διαβάστε περισσότερα

15SYMV

15SYMV Α Η ια ο έ ο «ύ βο ος οσ ή ι ς ιφ ια ού ιασ ού ια οι ι ή σ ά σ ο ά σ ιφέ ια ι ής α ο ίας» (Κω ι ός : 2012 00880179, Κω ι ός Ο...: 390445 : «ύ βο οι χ ι ής οσ ή ι ης ιφέ ιας Κ ι ής Μα ο ίας» οέ ο 5:«ύ βο

Διαβάστε περισσότερα

14SYMV

14SYMV Α Η Α Η Η ΙΩ ο ο ι ό έ α ο ς α ι ής Α ι ής σή α 07/09/2013 α ύ ά θι σ βα ο έ ώ : 14SYMV002269652 2014-09-03 Aφ ός ο ή ο α ι ής, ο ο οίος ύ ι σ ο αύ ιο, ο ός ο ο ιώ α. 1.. 19500, ό ς οσ ί αι ό ι α ια ο

Διαβάστε περισσότερα

* * } t. / f. i ^ . «-'. -*.. ;> * ' ί ' ,ΐ:-- ΙΣ Τ Ο Λ Ο Γ ΙΑ Τ Α ΣΥΣΤΗ Μ Α ΤΑ ΟΡΓΑΝΟΝ. Ο.Β.Κ δτο ΥΛΑΣ

* * } t. / f. i ^ . «-'. -*.. ;> * ' ί ' ,ΐ:-- ΙΣ Τ Ο Λ Ο Γ ΙΑ Τ Α ΣΥΣΤΗ Μ Α ΤΑ ΟΡΓΑΝΟΝ. Ο.Β.Κ δτο ΥΛΑΣ % r,r,»v: ' $ & '"- -.,.. -., * *» # t -..* ' T. < - 'ί" : ', *».- 7 Λ CV';y * ' f y \ '. :.-ή ; / ' w, * * } t ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΠΑΝΝΙΝΠΝ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ V* ι Λ-Α..;. «* '. ft A 1^>>,- 7 - ^Λ' :.-.. ν -»V-

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν. Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν. Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν. Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Ο πρώτος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 Nα γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 Nα γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 9 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪ Η-ΜΑΝΩΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Φιλολάου & Εκφαντίδου 6 : Τηλ.: 076070 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΥΚΕΙΟΥ 009 ΘΕΜΑ Nα γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό καθεµιάς

Διαβάστε περισσότερα

Τ I Μ Ο Κ A Τ Α Λ Ο Γ Ο Σ ΣΥΝΘΕΤΙΚΩΝ ΚΟΥΦΩΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑ TROCAL 88+ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ

Τ I Μ Ο Κ A Τ Α Λ Ο Γ Ο Σ ΣΥΝΘΕΤΙΚΩΝ ΚΟΥΦΩΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑ TROCAL 88+ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ιο χιλ. Αρτας -Ιωαννίνων 47100 Αρτα web: www.nfantis.gr em ail:tameio@nfantis.gr Τ I Μ Ο Κ A Τ Α Λ Ο Γ Ο Σ ΣΥΝΘΕΤΙΚΩΝ ΚΟΥΦΩΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑ TROCAL 88+ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΕΛΙΔΑ TROCAL 88+ ΛΕΥΚΟ ΜΟΝΟΦΥΛΛΟ 2-3 TROCAL

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ Β Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα Πολλές φορές στην προσπάθειά μας να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Φυσική Γ Λυκείου (Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Φυσική Γ Λυκείου (Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης) Θέµα 1 ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Φυσική Γ Λυκείου (Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης) 1.1 Πολλαπλής επιλογής A. Ελαστική ονοµάζεται η κρούση στην οποία: α. οι ταχύτητες των σωµάτων πριν και µετά την κρούση

Διαβάστε περισσότερα

υφ υ., Β ί,. υ, Βί φ υ α π ί αμ υ Γ α - α ί υ. α. πί. V ( α μ μ μ α, α α π ία μ ί α πα μ υπ ) π αμ α 8 α, α φ μα α υ α ί υ α Βαφ π. α ί α, π ( α ί), φ

υφ υ., Β ί,. υ, Βί φ υ α π ί αμ υ Γ α - α ί υ. α. πί. V ( α μ μ μ α, α α π ία μ ί α πα μ υπ ) π αμ α 8 α, α φ μα α υ α ί υ α Βαφ π. α ί α, π ( α ί), φ Φ Γ Θ ΓΓ Γ ON Β Γ Θ Γ Ω Γ φ α α (..) Θ α ία ί α α ί α (φ μα α Ο αμ υ π φα α ) π υ α α α μ αφ απ υ υ υ υ υ (φ μα υ α α α αμ υ α υ Ο υ φυ υ). Β α ί α ί α υ α ί α α α Θ α ία, α α ία μ μ α ί π GR 16 α GR 17.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

13PROC

13PROC Α Α Η Α O Α Ο Η Η Η Ο Α Α Ο Ο Α Α Α Η Α Ω, Ο Ο Α Α Η Ο Η Α Α Α Α Α Ο Ο Α Α Ο Ο Α Α Α Ο Ο Ο Α Η Ο Ο Α Α Ο Ο Ο Α α. ι ύθ σ :. ασ ή α 100, 70013 Η ά ιο ή ς οφ: ία ο ά 2810391100 fax 2810391101, Email: sec1@imbb.forth.gr

Διαβάστε περισσότερα

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε Ἦχος Νη α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε στη η και ε πι κα α θε ε ε ε δρα α λοι οι µων ου ουκ ε ε κα θι ι σε ε ε

Διαβάστε περισσότερα

Α Α: 6ΙΜ9Η-Φ2Φ Α Α : 15PROC002922919. Αθή α, 16-7-2015. α : 210-6465727 E-mail : support@gcsl.gr . 210-6479000, FAX: 210-6479285

Α Α: 6ΙΜ9Η-Φ2Φ Α Α : 15PROC002922919. Αθή α, 16-7-2015. α : 210-6465727 E-mail : support@gcsl.gr . 210-6479000, FAX: 210-6479285 Α Α Α Α Α Α Α: 6ΙΜ9Η-Φ2Φ Α Α : 15PROC002922919 Αθή α, 16-7-2015 Α Α Α Α ιθ..: 30/002/000/4371 / Α Έ ισ α ά ς: 30/002/000/4033/26-6-2015 Α, Α & Α Α A (A Α : Α - ) α. / σ : Α. σό α ος: α. ώ ι ας : 11521-Αθή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ A4. Πυκνωτής µε χωρητικότητα C συνδέεται µε πηγή τάσης V. Στη συνέχεια ο πυκνωτής αποσυνδέεται από την πηγή και οι οπλισµοί του συνδέ

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ A4. Πυκνωτής µε χωρητικότητα C συνδέεται µε πηγή τάσης V. Στη συνέχεια ο πυκνωτής αποσυνδέεται από την πηγή και οι οπλισµοί του συνδέ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗ 23 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ A Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2.7. ր ց ց ր. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1. H παράγωγος µιας συνάρτησης f είναι. f (x) > 0 3(x 1 ) 3 (x 2 ) 2 (x 3) > 0

2.7. ր ց ց ր. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1. H παράγωγος µιας συνάρτησης f είναι. f (x) > 0 3(x 1 ) 3 (x 2 ) 2 (x 3) > 0 .7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 67 7 A Οµάδας. H παράγωγος µιας συνάρτησης είναι () = ( ) ( ) ( ) Για ποιες τιµές του η παρουσιάζει τοπικό µέγιστο και για ποιες τοπικό ελάχιστο; D = R, όπου και παραγωγίζεται.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ Τ ΟΥ Σ ΥΛΛΟΓΟΥ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ ΣΤΙΣ ΗΜΟΣΙΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΝΟΜΩΝ ΑΤΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΑ ΩΝ Όπως τροποποιήθηκε µε την απόφαση της Γενικής

ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ Τ ΟΥ Σ ΥΛΛΟΓΟΥ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ ΣΤΙΣ ΗΜΟΣΙΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΝΟΜΩΝ ΑΤΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΑ ΩΝ Όπως τροποποιήθηκε µε την απόφαση της Γενικής ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ Τ ΟΥ Σ ΥΛΛΟΓΟΥ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ ΣΤΙΣ ΗΜΟΣΙΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΝΟΜΩΝ ΑΤΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΑ ΩΝ Όπως τροποποιήθηκε µε την απόφαση της Γενικής Σ υν ελεύσεως της 26η ς/11/20ο5-1 - ΣΩΜΑΤΕΙΟ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΣΗΜΟ. 1ο Κριτήριο αξιολόγησης στα κεφ Θέμα 1. Κριτήρια αξιολόγησης Ταλαντώσεις - Κύματα.

ΟΡΟΣΗΜΟ. 1ο Κριτήριο αξιολόγησης στα κεφ Θέμα 1. Κριτήρια αξιολόγησης Ταλαντώσεις - Κύματα. 1ο Κριτήριο αξιολόγησης στα κεφ. 1-2 Θέμα 1 Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή; 1. Ένα σώμα μάζας m είναι δεμένο στην ελεύθερη άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k και ηρεμεί στη θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΟΥ Α.Π.Θ.

ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΟΥ Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΟΥ Α.Π.Θ. ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΣ ΣΠΟΥΔΩΝ Ακαδημαϊκό Έτος Εγγραφής στο Τμήμα: Τρόπος Εγγραφής στο Τμήμα:

Διαβάστε περισσότερα

14SYMV Fax : e mail:

14SYMV Fax : e mail: Η Η Η Ο Α Α Ο Ο Ω σό 06/11/2014 Η Ο Α Ο Η Α Α Α ιθ. ω : 17848 έφ α : 2321 3 52610 Fax : 2321 3 52618 e mail: dimarxosep@0670.syzefxis.gov.gr ΒΑ Η Α Ο Η Η Ω ο ή ο α ο ή α ά αι σ ο ο ι ό α άσ α σή α 18/09/2014,

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÐÑÉÓÌÁ ÐÁÔÑÁ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 25 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÐÑÉÓÌÁ ÐÁÔÑÁ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 25 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Α ΦΥΣΙΗ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΥΕΙΟΥ & ΕΠΑ.. Β 5 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. γ, Α. β, Α3. γ, Α4. γ Α5. α. Σ, β. Σ γ. δ. ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β. Σωστό το γ. θα αέρας νερό Αρχικά Snell µεταξύ νερού αέρα n ηµ θ n ηµ90, Όµως

Διαβάστε περισσότερα

15SYMV Λεωφόρος Εθνικής Αντιστάσεως, Νέα Ιωνία

15SYMV Λεωφόρος Εθνικής Αντιστάσεως, Νέα Ιωνία Α Α Α Η Α Ω 15SYMV002528982 2015-01-16 Λεωφόρος Εθνικής Αντιστάσεως, Νέα Ιωνία Α Η α οχής η σιώ σ ίασης catering σ ο αίσιο ι έ ιας ω άσ ω ισ ο οίησης Α χι ής α α ι ής α ά ισης α οφοί ω... ης ιό ο έα ία

Διαβάστε περισσότερα

ΦάσµαGroup ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ-ΜΑΡΤΙΟΥ 2016 ΤΜΗΜΑΤΑ: ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. σύγχρονο. µαθητικό φροντιστήριο

ΦάσµαGroup ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ-ΜΑΡΤΙΟΥ 2016 ΤΜΗΜΑΤΑ: ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. σύγχρονο. µαθητικό φροντιστήριο σύγχρονο ΦάσµαGroup προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. µαθητικό φροντιστήριο 1. 25ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ 50.27.990 50.20.990 2. 25ης Μαρτίου 74 ΠΛ. ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ 50.50.658 50.60.845 3. Γραβιάς 85 ΚΗΠΟΥΠΟΛΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΑ: ΩΟΑ21-Ι58 ΑΝΑΡΣΗΣ ΑΝΝΣΟΝ ΙΑ ΙΚΣΤΟ. ΤΠΟΤΡΓ ΙΟΝΤΠΟ ΟΜΩΝ,Ν Μ ΣΑΦΟΡΩΝΝΚΑΙΝ ΙΚΣΤΩΝ ΓΡΑΦ ΙΟΝΤΠΟΤΡΓΟΤ Αρ.Πρωτ.: 2554 INFORMATICS DEVELOPMEN T AGENCY

ΑΔΑ: ΩΟΑ21-Ι58 ΑΝΑΡΣΗΣ ΑΝΝΣΟΝ ΙΑ ΙΚΣΤΟ. ΤΠΟΤΡΓ ΙΟΝΤΠΟ ΟΜΩΝ,Ν Μ ΣΑΦΟΡΩΝΝΚΑΙΝ ΙΚΣΤΩΝ ΓΡΑΦ ΙΟΝΤΠΟΤΡΓΟΤ Αρ.Πρωτ.: 2554 INFORMATICS DEVELOPMEN T AGENCY INFORMATICS DEVELOPMEN T AGENCY Digitally signed by INFORMATICS DEVELOPMENT AGENCY Date: 2014.11.10 17:20:27 EET Reason: Location: Athens ΑΔΑ: ΩΟΑ21-Ι58 ΑΝΑΡΣΗΣ ΑΝΝΣΟΝ ΙΑ ΙΚΣΤΟ ΛΛΗΝΙΚΗΝ ΗΜΟΚΡΑΣΙΑ Αθήνα,ΝΝ10-11-2014

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Τρίτη 5 Ιανουαρίου 016 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις από 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση ΙΙ - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση ΙΙ - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση ΙΙ - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Η απλή αρµονική ταλάντωση είναι κίνηση : (δ) ευθύγραµµη περιοδική Α.2. Σώµα εκτελεί απλή αρµονική

Διαβάστε περισσότερα

Μπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση.

Μπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση. Μπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση. Τις προηγούµενες µέρες έγινε στο δίκτυο µια συζήτηση µε θέµα «Πόση είναι η κεντροµόλος επιτάχυνση;» Θεωρώ αναγκαίο να διατυπώσω µε απλό τρόπο κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΑ: ΩΕ3ΨΟΡΗΛ-ΣΗΧ. Λεωφόρος Εθνικής Αντιστάσεως, Νέα Ιωνία Α Α, Φ : Ιωάννα Δέ INFORMATICS DEVELOPMEN T AGENCY

ΑΔΑ: ΩΕ3ΨΟΡΗΛ-ΣΗΧ. Λεωφόρος Εθνικής Αντιστάσεως, Νέα Ιωνία  Α Α, Φ : Ιωάννα Δέ INFORMATICS DEVELOPMEN T AGENCY INFORMATICS DEVELOPMEN T AGENCY Digitally signed by INFORMATICS DEVELOPMENT AGENCY Date: 2015.01.27 13:09:48 EET Reason: Location: Athens ΑΔΑ: ΩΕ3ΨΟΡΗΛ-ΣΗΧ Α Α Α Α Ω, Λεωφόρος Εθνικής Αντιστάσεως, Νέα

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες

Διαβάστε περισσότερα

( ) L v. δ Τύμπανο. κίνησης. Αντίβαρο τάνυσης. 600m. 6000Ν ανά cm πλάτους ιµάντα και ανά ενίσχυση 0.065

( ) L v. δ Τύμπανο. κίνησης. Αντίβαρο τάνυσης. 600m. 6000Ν ανά cm πλάτους ιµάντα και ανά ενίσχυση 0.065 Ανυψωτικές & Μεταφορικές Μηχανές Ακαδημαϊκό έτος: 010-011 Άσκηση (Θέμα Επαναληπτικής Γραπτής Εξέτασης Σεπ010 / Βαρύτητα: 50%) Έστω η εγκατάσταση της ευθύγραµµης µεταφορικής ταινίας του Σχήµατος 1, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης 0. 0.3 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 8 Ερωτήσεις κατανόησης. Να γράψετε τους τύπους υπολογισµού του εµβαδού Τετραγώνου Ορθογωνίου i Παραλληλογράµµου iν) Τριγώνου ν) Τραπεζίου πάντηση Ε = α Ε = α β

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001 Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν- x ν- +... + α x + α 0 0, µε ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΙΔΑ: «ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ, ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ» ΣΤΡΑΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ Επιβλέπων Καθηγητής: ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΚΑΡΛΟΒΑΣΙ, ΜΑΪΟΣ 2012 ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2010

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2010 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ A Στις ηµιτελείς προτάσεις Α-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της πρότασης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία τη συµπληρώνει σωστά. Α.

Διαβάστε περισσότερα

Κανονισμός Διοικητικού Συμ ου ίου

Κανονισμός Διοικητικού Συμ ου ίου Κανονισμός Διοικητικού Συμ ου ίου Περιφερειακής Ένωσης Δήμων (Π.Ε.Δ.) Ιονίων Νήσων Περιφερειακή Έν ση Δήμ ν (Π.Ε.Δ.) Ιονί ν Νήσ ν -3mm-3mm ΠΕΔ ΙΝ Ιανουάριος 2012 2 Περιε όμενα 1 Αντικείμενο του κανονισμού

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ ο ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 17-10-11 ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ ΣΕΙΡΑ Α Θέµα 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΕΓΓΡΑΦΗ ΣΤΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ ΤΗΣ ΠΡΑΞΗΣ

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΕΓΓΡΑΦΗ ΣΤΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ ΤΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΕΓΓΡΑΦΗ ΣΤΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ ΤΗΣ ΠΡΑΞΗΣ Κατάρτιση, πιστοποίηση και συμβουλευτική με στόχο την ενδυνάμωση των δεξιοτήτων άνεργων νέων 18-24 ετών σε ειδικότητες του

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Ε α ο Σ στ α Κο ω ς Ασφά ε ας- Ε Σ στ α Κο ω ς Ασφά σ ς φά αιο Α Α ές αι ό α α ο ιαίο σ ή α ος οι ι ής Ασφά ιας... 3 Ά θ ο ιώ ις α ές ο ιαίο σ ή α ος οι ι ής Ασφά ιας... 3 Ά θ ο θ ι ό βού ιο οι ι ής Ασφά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΟΝΟΜ/ΜΟ: ΤΜΗΜΑ: ΘΕΜΑ 1 Ο. 1 ο κεφάλαιο: «ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ» 1.1 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: F(N) x(m) 1.2 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΟΝΟΜ/ΜΟ: ΤΜΗΜΑ: ΘΕΜΑ 1 Ο. 1 ο κεφάλαιο: «ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ» 1.1 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: F(N) x(m) 1.2 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ 1 ο κεφάλαιο: «ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ» ΟΝΟΜ/ΜΟ: ΤΜΗΜΑ: ΘΕΜΑ 1 Ο 1.1 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: Σύστηµα ελατηρίου-µάζας εκτελεί Γ.Α.Τ. Στο διπλανό διάγραµµα φαίνεται η γραφική παράσταση της δύναµης

Διαβάστε περισσότερα